مقالات

1.1: مراجعة الوظائف


أهداف التعلم

  • استخدم تدوينًا وظيفيًا لتقييم دالة.
  • حدد مجال ومدى دالة.
  • ارسم الرسم البياني للدالة.
  • أوجد أصفار دالة.
  • يتعرف على دالة من جدول القيم.
  • إنشاء وظائف جديدة من وظيفتين أو أكثر.
  • وصف خصائص التناظر للدالة.

في هذا القسم ، نقدم تعريفًا رسميًا للدالة ونفحص عدة طرق يتم من خلالها تمثيل الوظائف - أي من خلال الجداول والصيغ والرسوم البيانية. ندرس الترميز الرسمي والمصطلحات المتعلقة بالوظائف. نحدد أيضًا تكوين الوظائف وخصائص التناظر. ستكون معظم هذه المواد بمثابة مراجعة لك ، ولكنها بمثابة مرجع مفيد لتذكيرك ببعض الأساليب الجبرية المفيدة للعمل مع الدوال.

المهام

إعطاء مجموعتين (A ) و (B ) مجموعة بها عناصر مرتبة أزواج ((x، y) ) حيث (x ) عنصر (A ) و (y ) هو عنصر (B ، ) هو علاقة من (A ) إلى (B ). تحدد العلاقة من (A ) إلى (B ) العلاقة بين هاتين المجموعتين. الوظيفة هي نوع خاص من العلاقات حيث يرتبط كل عنصر من المجموعة الأولى بعنصر واحد بالضبط من المجموعة الثانية. عنصر المجموعة الأولى يسمى الإدخال؛ عنصر المجموعة الثانية يسمى انتاج. تُستخدم الدوال طوال الوقت في الرياضيات لوصف العلاقات بين مجموعتين. بالنسبة لأي وظيفة ، عندما نعرف المدخلات ، يتم تحديد المخرجات ، لذلك نقول أن الناتج هو دالة للمدخل. على سبيل المثال ، يتم تحديد مساحة المربع من خلال طول جانبه ، لذلك نقول إن المنطقة (المخرجات) هي دالة على طول ضلعها (المدخل). يمكن وصف سرعة الكرة التي يتم إلقاؤها في الهواء بأنها دالة على مقدار الوقت الذي تكون فيه الكرة في الهواء. تكلفة إرسال الحزمة بالبريد هي دالة على وزن الحزمة. نظرًا لأن الوظائف لها استخدامات كثيرة ، فمن المهم أن يكون لديك تعريفات ومصطلحات دقيقة لدراستها.

التعريف: الوظائف

أ وظيفة (f ) يتكون من مجموعة من المدخلات ومجموعة من المخرجات وقاعدة لتخصيص كل مدخل لمخرج واحد بالضبط. مجموعة المدخلات تسمى نطاق من الوظيفة. مجموعة المخرجات تسمى نطاق التابع وظيفة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f ) ، حيث يكون المجال هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية والقاعدة هي تربيع الإدخال. بعد ذلك ، يتم تعيين الإدخال (x = 3 ) للمخرج (3 ^ 2 = 9 ).

نظرًا لأن كل رقم حقيقي غير سالب له جذر تربيعي ذي قيمة حقيقية ، فإن كل رقم غير سالب هو عنصر في نطاق هذه الدالة. نظرًا لعدم وجود رقم حقيقي به مربع سالب ، فإن الأعداد الحقيقية السالبة ليست من عناصر النطاق. نستنتج أن النطاق هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة.

بالنسبة لوظيفة عامة (f ) مع المجال (D ) ، غالبًا ما نستخدم (x ) للإشارة إلى الإدخال و (y ) للإشارة إلى الإخراج المرتبط بـ (x ). عند القيام بذلك ، نشير إلى (x ) باسم متغير مستقل و (ص ) مثل المتغير التابع، لأنها تعتمد على (س ). باستخدام تدوين الوظيفة ، نكتب (y = f (x) ) ، ونقرأ هذه المعادلة كـ " (y ) يساوي (f ) من (x." ) لوظيفة التربيع الموصوفة سابقًا ، نكتب (f (x) = x ^ 2 ).

يمكن تصور مفهوم الوظيفة باستخدام الأشكال ( PageIndex {1} ) - ( PageIndex {3} ).

يمكننا أيضًا تصور وظيفة عن طريق رسم النقاط ((x، y) ) في مستوى الإحداثيات حيث (y = f (x) ). التمثيل البياني للدالة هو مجموعة كل هذه النقاط. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f ) ، حيث يكون المجال هو المجموعة (D = {1،2،3 } ) والقاعدة هي (f (x) = 3 − x ). في الشكل ( PageIndex {4} ) ، نرسم رسمًا بيانيًا لهذه الوظيفة.

كل وظيفة لها مجال. ومع ذلك ، في بعض الأحيان يتم وصف دالة بواسطة معادلة ، كما في (f (x) = x ^ 2 ) ، دون تحديد مجال معين. في هذه الحالة ، يُعتبر المجال مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية (x ) التي يكون (f (x) ) رقمًا حقيقيًا لها. على سبيل المثال ، نظرًا لأنه يمكن تربيع أي رقم حقيقي ، إذا لم يتم تحديد مجال آخر ، فإننا نعتبر مجال (f (x) = x ^ 2 ) هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية. من ناحية أخرى ، فإن دالة الجذر التربيعي (f (x) = sqrt {x} ) تعطي ناتجًا حقيقيًا فقط إذا كان (x ) غير سالب. لذلك ، مجال الوظيفة (f (x) = sqrt {x} ) هو مجموعة الأرقام الحقيقية غير السالبة ، والتي تسمى أحيانًا المجال الطبيعي.

بالنسبة للوظائف (f (x) = x ^ 2 ) و (f (x) = sqrt {x} ) ، يتم تعيين المجالات بعدد لا نهائي من العناصر. من الواضح أننا لا نستطيع سرد كل هذه العناصر. عند وصف مجموعة بعدد لا حصر له من العناصر ، غالبًا ما يكون من المفيد استخدام أداة إنشاء المجموعات أو تدوين الفاصل الزمني. عند استخدام تدوين set-builder لوصف مجموعة فرعية من جميع الأرقام الحقيقية ، المشار إليها (R ) ، نكتب

[ {x ، | ، textit {x له بعض الخصائص} }. ]

نقرأ هذا على أنه مجموعة من الأرقام الحقيقية (س ) مثل أن (س ) لديه بعض الخصائص. على سبيل المثال ، إذا كنا مهتمين بمجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من واحد ولكن أقل من خمسة ، فيمكننا الإشارة إلى هذه المجموعة باستخدام تدوين مجموعة الباني عن طريق الكتابة

[ {x ، | ، 1

يمكن أيضًا الإشارة إلى مجموعة مثل هذه ، والتي تحتوي على جميع الأرقام الأكبر من (أ ) وأقل من (ب ، ) باستخدام تدوين الفاصل ((أ ، ب) ). لذلك،

[(1،5) = {x ، | ، 1

الأرقام (1 ) و (5 ) تسمى نقاط النهاية لهذه المجموعة. إذا أردنا النظر في المجموعة التي تتضمن نقاط النهاية ، فسنشير إلى هذه المجموعة بالكتابة

[[1،5] = {x ، | ، 1

يمكننا استخدام ترميز مشابه إذا أردنا تضمين إحدى نقاط النهاية ، ولكن ليس الأخرى. للإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة ، سنستخدم تدوين مجموعة البناء

[ {x ، | ، x ge 0 }. ]

أصغر رقم في هذه المجموعة هو صفر ، لكن هذه المجموعة لا تحتوي على أكبر عدد. باستخدام تدوين الفاصل ، سنستخدم الرمز (∞، ) الذي يشير إلى اللانهاية الموجبة ، وسنكتب المجموعة على النحو التالي

[[0، ∞) = {x ، | ، x ge 0 }. ]

من المهم ملاحظة أن (∞ ) ليس رقمًا حقيقيًا. يتم استخدامه هنا بشكل رمزي للإشارة إلى أن هذه المجموعة تشمل جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي الصفر. وبالمثل ، إذا أردنا وصف مجموعة جميع الأعداد غير الإيجابية ، فيمكننا الكتابة

[(- ∞، 0] = {x ، | ، x≤0 }. ]

هنا ، يشير الترميز (- ∞ ) إلى اللانهاية السالبة ، ويشير إلى أننا نقوم بتضمين جميع الأرقام الأقل من أو تساوي الصفر ، مهما كانت صغيرة. مجموعة

[(- ∞، ∞) = { textit {x} ، | ، textit {x هو أي رقم حقيقي} } ]

يشير إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. يتم تعريف بعض الوظائف باستخدام معادلات مختلفة لأجزاء مختلفة من مجالها. تُعرف هذه الأنواع من الوظائف بالدوال متعددة التعريف. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد تعريف دالة (f ) بمجال يمثل مجموعة جميع الأرقام الحقيقية مثل (f (x) = 3x + 1 ) لـ (x≥2 ) و (f (x) = x ^ 2 ) لـ (x <2 ). نشير إلى هذه الوظيفة بالكتابة

[f (x) = begin {cases} 3x + 1، & text {if} x≥2 x ^ 2، & text {if} x <2 end {cases} ]

عند تقييم هذه الدالة للإدخال (x ) ، تعتمد المعادلة المراد استخدامها على ما إذا كان (x≥2 ) أو (x <2 ). على سبيل المثال ، منذ (5> 2 ) ، نستخدم حقيقة أن (f (x) = 3x + 1 ) لـ (x≥2 ) ونرى أن (f (5) = 3 (5) ) + 1 = 16 ). من ناحية أخرى ، بالنسبة لـ (x = −1 ) ، نستخدم حقيقة أن (f (x) = x ^ 2 ) لـ (x <2 ) ونرى ذلك (f (−1) = 1 ).

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم الوظائف

بالنسبة للوظيفة (f (x) = 3x ^ 2 + 2x − 1 ) ، قم بتقييم:

  1. (و (−2) )
  2. (f ( sqrt {2}) )
  3. (و (أ + ح) )

حل

استبدل القيمة المعطاة لـ (x ) في صيغة (f (x) ).

  1. (و (−2) = 3 (2 ^) 2 + 2 (2) −1 = 12−4−1 = 7 )
  2. (f ( sqrt {2}) = 3 ( sqrt {2}) ^ 2 + 2 sqrt {x} −1 = 6 + 2 sqrt {2} −1 = 5 + 2 sqrt {2} )
  3. (f (a + h) = 3 (a + h) ^ 2 + 2 (a + h) −1 = 3 (a ^ 2 + 2ah + h ^ 2) + 2a + 2h − 1 ) (= 3 أ ^ 2 + 6 ه + 3 س ^ 2 + 2 أ + 2 س − 1 )

تمرين ( PageIndex {1} )

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ 2−3x + 5 ) ، قم بتقييم (f (1) ) و (f (a + h) ).

تلميح

استبدل (1 ) و (a + h ) بـ (x ) في صيغة (f (x) ).

إجابه

(و (1) = 3 ) و (و (أ + ح) = أ ^ 2 + 2ah + ح ^ 2−3a − 3 س + 5 )

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن المجال والنطاق

لكل من الوظائف التالية ، حدد i. المجال والثاني. نطاق.

  1. (و (س) = (س − 4) ^ 2 + 5 )
  2. (f (x) = sqrt {3x + 2} −1 )
  3. (و (س) = 3 س − 2 )

حل

1. ضع في اعتبارك (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5. )

1- بما أن (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 ) هو رقم حقيقي لأي رقم حقيقي (x ) ، فإن مجال (f ) هو الفاصل ((- ∞، ∞) ).

2. منذ ((x − 4) ^ 2≥0 ) ، نعلم (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5≥5 ). لذلك ، يجب أن يكون النطاق مجموعة فرعية من ( {y ، | ، y≥5 }. ) لإظهار أن كل عنصر في هذه المجموعة موجود في النطاق ، نحتاج إلى إظهار ذلك لـ ( y ) في هذه المجموعة ، يوجد عدد حقيقي (x ) مثل (f (x) = (x − 4) ^ 2 + 5 = y ). حل هذه المعادلة لـ (x، ) نرى أننا بحاجة إلى (x ) على هذا النحو

((س − 4) ^ 2 = ص 5. )

يتم استيفاء هذه المعادلة طالما يوجد رقم حقيقي (س ) مثل ذلك

(x − 4 = ± sqrt {y − 5} )

منذ (y≥5 ) ، الجذر التربيعي محدد جيدًا. نستنتج أن (x = 4 ± sqrt {y y 5}، ) (f (x) = y، ) وبالتالي النطاق هو ( {y ، | ، y≥5 }. )

2. ضع في اعتبارك (f (x) = sqrt {3x + 2} −1 ).

1- لإيجاد مجال (f ) نحتاج إلى التعبير (3x + 2≥0 ). لحل هذه التفاوتات ، نستنتج أن المجال هو ( {x ، | ، x≥ − 2/3 }. )

2- للعثور على نطاق (f ) ، نلاحظ أنه منذ ( sqrt {3x + 2} ≥0، ) (f (x) = sqrt {3x + 2} −1≥ − 1 ). لذلك ، يجب أن يكون نطاق (f ) مجموعة فرعية من المجموعة ( {y ، | ، y≥ − 1 } ). لإظهار أن كل عنصر في هذه المجموعة يقع في نطاق (f ) ، نحتاج إلى إظهار أنه بالنسبة لجميع (y ) في هذه المجموعة ، يوجد رقم حقيقي (x ) في المجال مثل ذلك (f (x) = y. ) دع (y≥ − 1. ) ثم ، (f (x) = y ) إذا وفقط إذا

( sqrt {3x + 2} −1 = ص. )

حل هذه المعادلة لـ (x، ) نرى أن (x ) يجب أن يحل المعادلة

( sqrt {3x + 2} = ص + 1. )

منذ (y≥ − 1 ) ، يمكن أن يوجد مثل هذا (x ). بتربيع طرفي هذه المعادلة ، لدينا (3x + 2 = (y + 1) ^ 2. )

لذلك نحن بحاجة

(3 س = (ص + 1) ^ 2−2 ، )

مما يوحي

(x = frac {1} {3} (y + 1) ^ 2− frac {2} {3}. )

نحتاج فقط إلى التحقق من أن (x ) يقع في مجال (f ). نظرًا لأن مجال (f ) يتكون من جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي ( frac {−2} {3} ) ، و

( frac {1} {3} (y + 1) ^ 2- frac {2} {3} ≥− frac {2} {3}، )

يوجد (x ) في مجال (f ). نستنتج أن نطاق (f ) هو ( {y ، | ، y≥ − 1 }. )

3. ضع في اعتبارك (f (x) = dfrac {3} {x − 2}. )

1. بما أن (3 / (x − 2) ) يتم تعريفه عندما يكون المقام غير صفري ، يكون المجال ( {x ، | ، x ≠ 2 }. )

2- للعثور على نطاق (f، ) نحتاج إلى إيجاد قيم (y ) بحيث يوجد رقم حقيقي (x ) في المجال مع الخاصية التي

( frac {3} {x} −2 = y. )

حل هذه المعادلة لـ (x، ) نجد ذلك

(س = فارك {3} {y} +2. )

لذلك ، طالما (y ≠ 0 ) ، يوجد رقم حقيقي (x ) في المجال مثل (f (x) = y ). وبالتالي ، فإن النطاق هو ( {y ، | ، y ≠ 0 }. )

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد المجال والمدى لـ (f (x) = sqrt {4−2x} +5. )

تلميح

استخدم (4−2x≥0 ).

إجابه

المجال = ( {x ، | ، x≤2 } ) والنطاق = ( {y ، | ، y≥5 } )

تمثيل الوظائف

عادةً ما يتم تمثيل الوظيفة باستخدام واحدة أو أكثر من الأدوات التالية:

  • طاولة
  • رسم بياني
  • صيغة

يمكننا تحديد دالة في كل شكل ، ولكن يمكننا أيضًا استخدامها معًا. على سبيل المثال ، يمكننا رسم القيم من جدول أو إنشاء جدول من صيغة على رسم بياني.

الجداول

وصفت الوظائف باستخدام أ جدول القيم تظهر بشكل متكرر في تطبيقات العالم الحقيقي. النظر في مثال بسيط التالية. يمكننا وصف درجة الحرارة في يوم معين كدالة للوقت من اليوم. لنفترض أننا نسجل درجة الحرارة كل ساعة لمدة 24 ساعة بدءًا من منتصف الليل. نسمح لمتغير الإدخال (x ) أن يكون الوقت بعد منتصف الليل ، ويقاس بالساعات ، ومتغير الإخراج (y ) يكون درجة الحرارة (x ) ساعات بعد منتصف الليل ، مقاسة بالدرجات فهرنهايت. نسجل بياناتنا في Table ( PageIndex {1} ).

الجدول ( PageIndex {1} ): درجة الحرارة كدالة للوقت في اليوم
ساعة بعد منتصف الليلدرجة الحرارة (درجة فهرنهايت)ساعة بعد منتصف الليلدرجة الحرارة (درجة فهرنهايت)
0581284
1541385
2531485
3521583
4521682
5551780
6601877
7641974
8722069
9752165
10782260
11802358

يمكننا أن نرى من الجدول أن درجة الحرارة دالة على الوقت ، وأن درجة الحرارة تنخفض ، ثم تزداد ، ثم تنخفض مرة أخرى. ومع ذلك ، لا يمكننا الحصول على صورة واضحة لسلوك الوظيفة دون رسمها بيانيًا.

الرسوم البيانية

بالنظر إلى الدالة (f ) الموصوفة في الجدول ، يمكننا تقديم صورة مرئية للوظيفة في شكل رسم بياني. يمكن أن يعطينا رسم بياني لدرجات الحرارة المدرجة في الجدول ( PageIndex {1} ) فكرة أفضل عن تقلباتها على مدار اليوم. يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) مخطط وظيفة درجة الحرارة.

من النقاط المرسومة على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {5} ) ، يمكننا تصور الشكل العام للرسم البياني. غالبًا ما يكون من المفيد توصيل النقاط في الرسم البياني ، والتي تمثل البيانات من الجدول. في هذا المثال ، على الرغم من أننا لا نستطيع التوصل إلى أي استنتاج نهائي بشأن درجة الحرارة في أي وقت لم يتم فيه تسجيل درجة الحرارة ، نظرًا لعدد نقاط البيانات التي تم جمعها والنمط في هذه النقاط ، فمن المعقول الشك في أن درجات الحرارة عند اتبعت مرات أخرى نمطًا مشابهًا ، كما نرى في الشكل ( PageIndex {6} ).

الصيغ الجبرية

في بعض الأحيان لا يتم إعطاؤنا قيم الدالة في شكل جدول ، بل يتم إعطاؤنا القيم في صيغة صريحة. تظهر الصيغ في العديد من التطبيقات. على سبيل المثال ، مساحة دائرة نصف القطر (r ) تُعطى بالصيغة (A (r) = πr ^ 2 ). عندما يُرمى جسم لأعلى من الأرض بسرعة ابتدائية (v_ {0} ) قدم / ث ، فإن ارتفاعه فوق الأرض من وقت رميه حتى اصطدامه بالأرض تُعطى بالصيغة (s ( ر) = - 16 طن ^ 2 + v_ {0} t ). عندما يتم استثمار (P ) الدولارات في حساب بمعدل فائدة سنوي (r ) مركب بشكل مستمر ، يتم إعطاء مبلغ المال بعد (t ) سنوات من خلال الصيغة (A (t) = Pe ^ {rt} ). الصيغ الجبرية هي أدوات مهمة لحساب قيم الوظائف. غالبًا ما نقوم أيضًا بتمثيل هذه الوظائف بصريًا في شكل رسم بياني.

بالنظر إلى صيغة جبرية للدالة (f ) ، فإن الرسم البياني (f ) هو مجموعة النقاط ((x ، f (x)) ) ، حيث (x ) يقع في مجال (f ) و (f (x) ) في النطاق. لرسم دالة معطاة بواسطة صيغة ، من المفيد أن تبدأ باستخدام الصيغة لإنشاء جدول للمدخلات والمخرجات. إذا كان مجال (f ) يتكون من عدد لا حصر له من القيم ، فلا يمكننا سردها جميعًا ، ولكن نظرًا لأن سرد بعض المدخلات والمخرجات يمكن أن يكون مفيدًا جدًا ، فهو غالبًا طريقة جيدة للبدء.

عند إنشاء جدول المدخلات والمخرجات ، نتحقق عادةً لتحديد ما إذا كان الصفر ناتجًا أم لا. تسمى قيم (x ) حيث (f (x) = 0 ) أصفار الدالة. على سبيل المثال ، أصفار (f (x) = x ^ 2−4 ) هي (x = ± 2 ). تحدد الأصفار مكان تقاطع الرسم البياني لـ (f ) مع (x ) - المحور ، مما يعطينا مزيدًا من المعلومات حول شكل الرسم البياني للدالة. قد لا يتقاطع الرسم البياني للدالة أبدًا مع محور (س ) - ، أو قد يتقاطع عدة مرات (أو حتى عدة مرات بلا حدود).

نقطة أخرى مهمة هي (y ) - التقاطع ، إذا كان موجودًا. يتم إعطاء التقاطع (y ) - بواسطة ((0، f (0)) ).

نظرًا لأن الوظيفة لها ناتج واحد تمامًا لكل إدخال ، يمكن أن يحتوي الرسم البياني للدالة ، على الأكثر ، على (y ) - اعتراض واحد. إذا كان (x = 0 ) في مجال دالة (f، ) فإن (f ) لديه واحد بالضبط (y ) - تقاطع. إذا لم يكن (x = 0 ) في مجال (f، ) فإن (f ) ليس له (y ) - تقاطع. وبالمثل ، بالنسبة لأي رقم حقيقي (c ، ) إذا كان (c ) في مجال (f ) ، هناك مخرج واحد بالضبط (f (c) ، ) والخط (x = c ) يتقاطع مع الرسم البياني لـ (f ) مرة واحدة بالضبط. من ناحية أخرى ، إذا لم يكن (c ) في مجال (f ، ) (f (c) ) لم يتم تعريفه والخط (x = c ) لا يتقاطع مع الرسم البياني لـ (F). تتلخص هذه الخاصية في اختبار الخط العمودي.

اختبار الخط العمودي

عند إعطاء دالة (f ) ، فإن كل خط عمودي يمكن رسمه يتقاطع مع الرسم البياني (f ) ليس أكثر من مرة. إذا تقاطع أي خط رأسي مع مجموعة من النقاط أكثر من مرة ، فإن مجموعة النقاط لا تمثل دالة.

يمكننا استخدام هذا الاختبار لتحديد ما إذا كانت مجموعة النقاط المرسومة تمثل الرسم البياني للدالة (الشكل ( PageIndex {7} )).

مثال ( PageIndex {3} ): البحث عن الأصفار و (y ) - اعتراضات الدالة

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = - 4x + 2. )

  1. أوجد كل أصفار (f ).
  2. ابحث عن (y ) - التقاطع (إن وجد).
  3. ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f ).

حل

1- لإيجاد الأصفار ، حل (f (x) = - 4x + 2 = 0 ). نكتشف أن (f ) لديه صفر واحد عند (x = 1/2 ).

2. يتم إعطاء التقاطع (y ) - من خلال ((0، f (0)) = (0،2). )

3. بالنظر إلى أن (f ) دالة خطية من الشكل (f (x) = mx + b ) التي تمر عبر النقاط ((1 / 2،0) ) و ((0، 2) ) ، يمكننا رسم الرسم البياني لـ (f ) (الشكل ( PageIndex {8} )).

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام الأصفار و (y ) - الاعتراضات لرسم رسم بياني

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = sqrt {x + 3} +1 ).

  1. أوجد كل أصفار (f ).
  2. ابحث عن (y ) - التقاطع (إن وجد).
  3. ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f ).

حل

1- لإيجاد الأصفار ، حل ( sqrt {x + 3} + 1 = 0 ). تشير هذه المعادلة إلى ( sqrt {x + 3} = - 1 ). نظرًا لأن ( sqrt {x + 3} ≥0 ) للجميع (x ) ، فإن هذه المعادلة ليس لها حلول ، وبالتالي لا تحتوي (f ) على أصفار.

2- يتم الحصول على التقاطع (y ) - من خلال ((0، f (0)) = (0، sqrt {3} +1) ).

3- لرسم هذه الدالة ، نقوم بعمل جدول للقيم. نظرًا لأننا نحتاج إلى (x + 3≥0 ) ، فنحن بحاجة إلى اختيار قيم (x− − 3 ). نختار القيم التي تجعل من السهل تقييم دالة الجذر التربيعي.

(س )-3-21
(و (س) )123

باستخدام الجدول ومعرفة أنه نظرًا لأن الوظيفة هي جذر تربيعي ، يجب أن يكون الرسم البياني لـ (f ) مشابهًا للرسم البياني (y = sqrt {x} ) ، فإننا نرسم الرسم البياني (الشكل ( PageIndex {9} )).

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد أصفار (f (x) = x ^ 3−5x ^ 2 + 6x. )

تلميح

حلل كثير الحدود إلى عوامل.

إجابه

(س = 0،2،3 )

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد ارتفاع كائن حر السقوط

إذا سقطت كرة من ارتفاع 100 قدم ، فإن ارتفاعها في الوقت (t ) تُعطى بالوظيفة (s (t) = - 16t ^ 2 + 100 ) ، حيث تقاس s بالأقدام و (t ) يقاس بالثواني. المجال مقيد بالفاصل ([0، c]، ) حيث (t = 0 ) هو الوقت الذي تسقط فيه الكرة و (t = c ) هو الوقت الذي تضرب فيه الكرة الأرض .

  1. قم بإنشاء جدول يوضح الارتفاع s (t) عندما (t = 0 ، ، 0.5 ، ، 1 ، ، 1.5 ، ، 2 ، ) و (2.5 ). باستخدام البيانات من الجدول ، حدد مجال هذه الوظيفة. أي ، أوجد الوقت (ج ) عندما تضرب الكرة الأرض.
  2. رسم رسم بياني لـ (ق ).

حل

(ر )00.511.522.5
(شارع))100968464360

بما أن الكرة تصطدم بالأرض عندما (t = 2.5 ) ، فإن مجال هذه الوظيفة هو الفاصل ([0،2.5] ).

2.

التعريف: الزيادة والنقصان في فترة

نقول أن الوظيفة (f ) هي زيادة على الفاصل (I ) إذا للجميع (x_ {1} ، ، x_ {2} ∈I ، )

(f (x_ {1}) ≤f (x_ {2}) ) عندما (x_ {1}

نقول إن (f ) يتزايد بشكل صارم في الفاصل (I ) إذا كان للجميع (x_ {1} ، x_ {2} ∈I ، )

(f (x_ {1})

نقول أن الوظيفة (f ) هي يتناقص على الفاصل (I ) إذا للجميع (x_ {1} ، x_ {2} ∈I ، )

(f (x_ {1}) ≥f (x_ {2}) ) إذا (x_ {1}

نقول أن الدالة (f ) تتناقص بشكل صارم على الفاصل (I ) إذا كان للجميع (x_ {1} ، x_ {2} ∈I ) ،

(f (x_ {1})> f (x_ {2}) ) إذا (x_ {1}

على سبيل المثال ، الدالة (f (x) = 3x ) تتزايد على الفاصل ((- ∞، ∞) ) لأن (3x_ {1} <3x_ {2} ) كلما (x_ {1) } - x ^ 3_ {2} ) متى (x_ {1}

الجمع بين الوظائف

الآن بعد أن قمنا بمراجعة الخصائص الأساسية للوظائف ، يمكننا أن نرى ما يحدث لهذه الخصائص عندما نجمع الوظائف بطرق مختلفة ، باستخدام العمليات الحسابية الأساسية لإنشاء وظائف جديدة. على سبيل المثال ، إذا تم وصف تكلفة شركة لتصنيع العناصر (x ) من خلال الوظيفة (C (x) ) والإيرادات الناتجة عن بيع (x ) العناصر موصوفة من خلال الوظيفة (R (x) ) ، ثم يتم تعريف الربح على تصنيع وبيع عناصر (x ) على أنه (P (x) = R (x) −C (x) ). باستخدام الفرق بين وظيفتين ، أنشأنا وظيفة جديدة.

بدلاً من ذلك ، يمكننا إنشاء وظيفة جديدة عن طريق تكوين وظيفتين. على سبيل المثال ، بالنظر إلى الدوال (f (x) = x ^ 2 ) و (g (x) = 3x + 1 ) ، يتم تعريف الوظيفة المركبة (f∘g ) بحيث

[(f∘g) (x) = f (g (x)) = (g (x)) ^ 2 = (3x + 1) ^ 2. ]

يتم تعريف الوظيفة المركبة (g∘f ) على هذا النحو

[(g∘f) (x) = g (f (x)) = 3f (x) + 1 = 3x ^ 2 + 1. ]

لاحظ أن هاتين الوظيفتين الجديدتين مختلفتان عن بعضهما البعض.

الجمع بين الدالات والعمليات الحسابية

لدمج الدوال باستخدام عوامل حسابية ، نقوم ببساطة بكتابة الدوال مع المشغل وتبسيطها. بالنظر إلى وظيفتين (f ) و (g ) ، يمكننا تحديد أربع وظائف جديدة:

((f + g) (x) = f (x) + g (x) )مجموع
((f − g) (x) = f (x) −g (x) )فرق
((f · g) (x) = f (x) g (x) )منتج
(( frac {f} {g}) (x) = frac {f (x)} {g (x)} ) لـ (g (x) ≠ 0 )حاصل القسمة

مثال ( PageIndex {6} ): دمج الدوال باستخدام العمليات الحسابية

بالنظر إلى الدالات (f (x) = 2x − 3 ) و (g (x) = x ^ 2−1 ) ، ابحث عن كل من الوظائف التالية وحدد مجالها.

  1. ((و + ز) (خ) )
  2. ((و − ز) (خ) )
  3. ((و · ز) (خ) )
  4. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) )

حل

1. ((f + g) (x) = (2x − 3) + (x ^ 2−1) = x ^ 2 + 2x − 4. )

مجال هذه الوظيفة هو الفاصل الزمني ((- ∞ ، ∞) ).

2. ((f − g) (x) = (2x − 3) - (x ^ 2−1) = - x ^ 2 + 2x − 2. )

مجال هذه الوظيفة هو الفاصل الزمني ((- ∞ ، ∞) ).

3. ((f · g) (x) = (2x − 3) (x ^ 2−1) = 2x ^ 3−3x ^ 2−2x + 3. )

مجال هذه الوظيفة هو الفاصل الزمني ((- ∞ ، ∞) ).

4. ( left ( dfrac {f} {g} right) (x) = dfrac {2x − 3} {x ^ 2−1} ).

مجال هذه الوظيفة هو ( {x ، | ، x ≠ ± 1 }. )

تمرين ( PageIndex {6} )

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ 2 + 3 ) و (g (x) = 2x − 5 ) ، ابحث عن ((f / g) (x) ) وحدد مجالها.

تلميح

الوظيفة الجديدة ((f / g) (x) ) هي حاصل قسمة وظيفتين. ما هي قيم (س ) المقام صفر؟

إجابه

( left ( dfrac {f} {g} right) (x) = frac {x ^ 2 + 3} {2x − 5}. ) المجال هو ( {x ، | ، x ≠ frac {5} {2} }. )

تكوين الوظيفة

عندما نؤلف وظائف ، نأخذ دالة دالة. على سبيل المثال ، افترض أن درجة الحرارة (T ) في يوم معين موصوفة كدالة للوقت (t ) (تقاس بالساعات بعد منتصف الليل) كما في الجدول. افترض أن تكلفة (C ) لتدفئة أو تبريد مبنى لمدة ساعة واحدة يمكن وصفها بأنها دالة لدرجة الحرارة (T ). بدمج هاتين الوظيفتين ، يمكننا وصف تكلفة تدفئة أو تبريد المبنى كدالة زمنية من خلال تقييم (C (T (t)) ). لقد حددنا وظيفة جديدة ، يشار إليها (C∘T ) ، والتي تم تعريفها على هذا النحو ((C∘T) (t) = C (T (t)) ) للجميع (t ) في مجال (T ). هذه الوظيفة الجديدة تسمى الوظيفة المركبة. نلاحظ أنه نظرًا لأن التكلفة هي دالة لدرجة الحرارة ودرجة الحرارة هي دالة للوقت ، فمن المنطقي تحديد هذه الوظيفة الجديدة ((C∘T) (t) ). ليس من المنطقي التفكير في ((T∘C) (t) ) ، لأن درجة الحرارة ليست دالة على التكلفة.

التعريف: وظائف مركبة

ضع في اعتبارك الوظيفة (f ) مع المجال (A ) والنطاق (B ) والوظيفة (g ) مع المجال (D ) والنطاق (E ). إذا كان (B ) مجموعة فرعية من (D ) ، فإن الوظيفة المركبة ((g∘f) (x) ) هي الوظيفة مع المجال (A ) بحيث

[(g∘f) (x) = g (f (x)) ]

يمكن عرض دالة مركبة (g∘f ) على خطوتين. أولاً ، تقوم الوظيفة (f ) بتعيين كل إدخال (x ) في مجال (f ) إلى إخراجها (f (x) ) في نطاق (f ). ثانيًا ، نظرًا لأن نطاق (f ) هو مجموعة فرعية من مجال (g ) ، فإن الإخراج (f (x) ) هو عنصر في مجال (g ) ، وبالتالي فهو يتم تعيينه إلى إخراج (g (f (x)) ) في النطاق (g ). في الشكل ( PageIndex {11} ) ، نرى صورة مرئية لدالة مركبة.

مثال ( PageIndex {7} ): تركيبات الدوال المعرفة بالصيغ

ضع في اعتبارك الدوال (f (x) = x ^ 2 + 1 ) و (g (x) = 1 / x ).

  1. ابحث عن ((g∘f) (x) ) واذكر المجال والمدى.
  2. أوجد ((g∘f) (4)، ) ((g∘f) (- 1/2) ).
  3. ابحث عن ((f∘g) (x) ) واذكر المجال والمدى.
  4. أوجد ((f∘g) (4) ، ) ((f∘g) (- 1/2) ).

حل

1. يمكننا إيجاد صيغة ((g∘f) (x) ) بطريقتين مختلفتين. يمكننا الكتابة

((g∘f) (x) = g (f (x)) = g (x ^ 2 + 1) = dfrac {1} {x ^ 2 + 1} ).

بدلا من ذلك ، يمكننا الكتابة

((g∘f) (x) = g (f (x)) = dfrac {1} {f (x)} = dfrac {1} {x ^ 2 + 1}. )

بما أن (x ^ 2 + 1 ≠ 0 ) لجميع الأعداد الحقيقية (x، ) مجال ((g∘f) (x) ) هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية. بما أن (0 <1 / (x ^ 2 + 1) ≤1 ) ، فإن النطاق ، على الأكثر ، هو الفاصل الزمني ((0،1] ). لإظهار أن النطاق هو هذا الفاصل بأكمله ، ندع (y = 1 / (x ^ 2 + 1) ) وحل هذه المعادلة من أجل (x ) لإظهار أنه بالنسبة لجميع (y ) في الفاصل ((0،1] ) ، يوجد رقم حقيقي (x ) مثل (y = 1 / (x ^ 2 + 1) ). حل هذه المعادلة لـ (x، ) نرى أن (x ^ 2 + 1 = 1 / y )، مما يعني أن

(س = ± sqrt { فارك {1} {y} −1} )

إذا كان (y ) في الفاصل ((0،1] ) ، فإن التعبير الموجود أسفل الجذر غير سالب ، وبالتالي يوجد رقم حقيقي (x ) مثل (1 / (x ^ 2) +1) = y ) نستنتج أن نطاق (g∘f ) هو الفاصل ((0،1]. )

2. ((g∘f) (4) = g (f (4)) = g (4 ^ 2 + 1) = g (17) = frac {1} {17} )

((g∘f) (- frac {1} {2}) = g (f (- frac {1} {2})) = g ((- frac {1} {2}) ^ 2 +1) = g ( frac {5} {4}) = frac {4} {5} )

3. يمكننا إيجاد صيغة لـ ((f∘g) (x) ) بطريقتين. أولا ، يمكننا أن نكتب

((f∘g) (x) = f (g (x)) = f ( frac {1} {x}) = ( frac {1} {x}) ^ 2 + 1. )

بدلا من ذلك ، يمكننا الكتابة

((f∘g) (x) = f (g (x)) = (g (x)) ^ 2 + 1 = ( frac {1} {x}) ^ 2 + 1. )

مجال (f∘g ) هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية (x ) مثل (x ≠ 0 ). للعثور على نطاق (f ، ) نحتاج إلى إيجاد جميع القيم (y ) التي يوجد لها رقم حقيقي (x ≠ 0 ) بحيث

( left ( dfrac {1} {x} right) ^ 2 + 1 = y. )

حل هذه المعادلة من أجل (س ، ) نرى أننا بحاجة إلى (س ) للوفاء

( left ( dfrac {1} {x} right) ^ 2 = y − 1، )

الذي يبسط إلى

( dfrac {1} {x} = ± sqrt {y − 1} )

أخيرًا ، نحصل على

(x = ± dfrac {1} { sqrt {y − 1}}. )

نظرًا لأن (1 / sqrt {y − 1} ) هو رقم حقيقي إذا وفقط إذا كان (y> 1، ) نطاق (f ) هو المجموعة ( {y ، | ، y≥1 }. )

4. ((f∘g) (4) = f (g (4)) = f ( frac {1} {4}) = ( frac {1} {4}) ^ 2 + 1 = frac {17} {16} )

((f∘g) (- frac {1} {2}) = f (g (- frac {1} {2})) = f (−2) = (- 2) ^ 2 + 1 = 5 )

في المثال ، يمكننا أن نرى ذلك ((f∘g) (x) ≠ (g∘f) (x) ). يخبرنا هذا ، بشكل عام ، أن الترتيب الذي نؤلف به الوظائف مهم.

تمرين ( PageIndex {7} )

دع (f (x) = 2−5x ). دع (g (x) = sqrt {x}. ) ابحث عن ((f∘g) (x) ).

حل

((f∘g) (x) = 2−5 sqrt {x}. )

مثال ( PageIndex {8} ): تكوين الدوال المعرفة بالجداول

ضع في اعتبارك الدالات (f ) و (g ) الموصوفة بواسطة

(س )-3-2-101234
(و (س) )0424-20-24
(س )-4-2024
(ز (س) )10305
  1. أوجد ((g∘f) (3) )، ((g∘f) (0) ).
  2. حدد مجال ونطاق ((g∘f) (x) ).
  3. أوجد ((f∘f) (3) ) ، ((f∘f) (1) ).
  4. حدد مجال ونطاق ((f∘f) (x) ).

حل:

1. ((g∘f) (3) = g (f (3)) = g (−2) = 0 )

((g∘f) (0) = ز (4) = 5 )

2- مجال (g∘f ) هو المجموعة ( {- 3، −2، −1،0،1،2،3،4 }. ) بما أن نطاق (f ) هي المجموعة ( {- 2،0،2،4 }، ) نطاق (g∘f ) هو المجموعة ( {0،3،5 }. )

3. ((f∘f) (3) = f (f (3)) = f (−2) = 4 )

((f∘f) (1) = f (f (1)) = f (−2) = 4 )

4 مجال (f∘f ) هو المجموعة ( {- 3، −2، −1،0،1،2،3،4 }. ) منذ نطاق (f ) هي المجموعة ( {- 2،0،2،4 }، ) نطاق (f∘f ) هو المجموعة ( {0،4 }. )

مثال ( PageIndex {9} ): تطبيق يتضمن دالة مركبة

يعلن متجر عن بيع بخصم 20٪ على جميع البضائع. لدى كارولين قسيمة تمنحها خصمًا إضافيًا بنسبة 15٪ على أي عنصر ، بما في ذلك بيع البضائع. إذا قررت كارولين شراء عنصر بسعر أصلي قدره (س ) دولار ، فكم ستدفع في النهاية إذا طبقت قسيمتها على سعر البيع؟ حل هذه المشكلة باستخدام دالة مركبة.

حل

نظرًا لأن سعر البيع هو 20٪ من السعر الأصلي ، إذا كان العنصر (x ) دولارًا ، فسيتم تحديد سعر البيع من خلال (f (x) = 0.80x ). نظرًا لأن القسيمة تخول الفرد بخصم 15٪ من سعر أي عنصر ، إذا كان العنصر (ص ) دولار ، فإن السعر ، بعد تطبيق القسيمة ، يُعطى بواسطة g (y) = 0.85y. لذلك ، إذا كان السعر في الأصل (x ) دولار ، فسيكون سعر البيع (f (x) = 0.80x ) ثم سيكون سعره النهائي بعد القسيمة (g (f (x)) = 0.85 (0.80x) = 0.68x ).

تمرين ( PageIndex {9} )

إذا كانت العناصر معروضة للبيع بخصم 10٪ من سعرها الأصلي ، وكان لدى العميل قسيمة بخصم إضافي بنسبة 30٪ ، فما هو السعر النهائي للسلعة التي تكون في الأصل (x ) دولارًا ، بعد تطبيق القسيمة على سعر البيع؟

تلميح

سعر بيع عنصر بسعر أصلي (x ) دولار هو (f (x) = 0.90x ). سعر القسيمة لعنصر (y ) دولار هو (g (y) = 0.70y ).

حل

((g∘f) (x) = 0.63x )

تناظر الوظائف

الرسوم البيانية لوظائف معينة لها خصائص تناظر تساعدنا على فهم وظيفة وشكل الرسم البياني الخاص بها. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 4−2x ^ 2−3 ) الموضحة في الشكل ( PageIndex {12a} ). إذا أخذنا الجزء من المنحنى الذي يقع على يمين المحور (y ) - وقمنا بقلبه على (y ) - المحور ، فإنه يوضع بالضبط أعلى المنحنى على يسار ( ص ) - المحور. في هذه الحالة ، نقول أن الوظيفة لها التناظر حول المحور (ص ). من ناحية أخرى ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 3−4x ) الموضحة في الشكل ( PageIndex {12b} ). إذا أخذنا الرسم البياني وقمنا بتدويره (180 درجة ) حول الأصل ، فسيبدو الرسم البياني الجديد كما هو تمامًا. في هذه الحالة ، نقول أن الوظيفة لها التماثل حول الأصل.

إذا أعطينا الرسم البياني للدالة ، فمن السهل أن نرى ما إذا كان الرسم البياني له إحدى خصائص التناظر هذه. لكن بدون رسم بياني ، كيف يمكننا تحديد جبريًا ما إذا كانت الدالة (f ) لها تناظر؟ بالنظر إلى الشكل مرة أخرى ، نرى أنه نظرًا لأن (f ) متماثل حول (y ) - المحور ، إذا كانت النقطة ((x ، y) ) على الرسم البياني ، فإن النقطة ((- x ، y) ) على الرسم البياني. بمعنى آخر ، (f (−x) = f (x) ). إذا كانت الوظيفة (f ) لها هذه الخاصية ، فإننا نقول إن (f ) دالة زوجية ، لها تناظر حول محور (ص ). على سبيل المثال ، (f (x) = x ^ 2 ) حتى لأن

(و (−x) = (- س) ^ 2 = س ^ 2 = و (س). )

في المقابل ، عند النظر إلى الشكل مرة أخرى ، إذا كانت الدالة (f ) متماثلة حول الأصل ، فعندئذ عندما تكون النقطة ((x ، y) ) على الرسم البياني ، فإن النقطة ((- x ، −y ) ) موجود أيضًا على الرسم البياني. بمعنى آخر ، (f (−x) = - f (x) ). إذا كان (f ) لديه هذه الخاصية ، فإننا نقول إن (f ) دالة فردية ، لها تناظر حول الأصل. على سبيل المثال ، (f (x) = x ^ 3 ) غريب لأن

(f (−x) = (- x) ^ 3 = x ^ 3 = −f (x). )

التعريف: الدوال الزوجية والفردية

  • إذا (f (x) = f (−x) ) للجميع (x ) في مجال (f ) ، إذن (f ) هو حتى في وظيفة. الدالة الزوجية متماثلة حول المحور (ص ).
  • إذا (f (−x) = - f (x) ) للجميع (x ) في مجال (f ) ، إذن (f ) هو الفردية وظيفة. الدالة الفردية متماثلة حول الأصل.

مثال ( PageIndex {10} ): الدالات الزوجية والفردية

حدد ما إذا كانت كل دالة من الوظائف التالية زوجية أم فردية أم لا.

  1. (و (س) = - 5 س ^ 4 + 7 س ^ 2−2 )
  2. (و (س) = 2 س ^ 5−4 س + 5 )
  3. (f (x) = frac {3x} {x ^ 2 + 1} )

حل

لتحديد ما إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية ، نقوم بتقييم (f (−x) ) ومقارنتها بـ (f (x) ) و (- f (x) ).

1. (f (−x) = - 5 (x) ^ 4 + 7 (−x) ^ 2−2 = −5x ^ 4 + 7x ^ 2−2 = f (x). ) لذلك ، (f ) زوجي.

2. (f (−x) = 2 (x) ^ 5−4 (−x) + 5 = −2x ^ 5 + 4x + 5. ) الآن ، (f (−x) ≠ f (x ). ) علاوة على ذلك ، مع ملاحظة أن (- f (x) = - 2x ^ 5 + 4x − 5 ) ، نرى ذلك (f (−x) ≠ −f (x) ). لذلك ، (f ) ليس زوجيًا ولا فرديًا.

3. (f (−x) = 3 (x) / ((- x) 2 + 1) ) (= - 3x / (x ^ 2 + 1) = ) (- [3x / ( x ^ 2 + 1)] = - f (x). ) لذلك ، (f ) غريب.

تمرين ( PageIndex {10} )

حدد ما إذا كان (f (x) = 4x ^ 3−5x ) زوجي أم فردي أم لا.

تلميح

قارن (f (−x) ) مع (f (x) ) و (- f (x) ).

إجابه

(f (x) ) غريب.

إحدى الوظائف المتماثلة التي تظهر بشكل متكرر هي دالة القيمة المطلقة، مكتوب كـ (| x | ). يتم تعريف دالة القيمة المطلقة على أنها

[f (x) = begin {cases} -x، & text {if} x <0 x، & text {if} x≥0 end {cases} ]

يصف بعض الطلاب هذه الوظيفة بالقول إنها "تجعل كل شيء إيجابيًا". من خلال تعريف دالة القيمة المطلقة ، نرى أنه إذا (x <0 ) ، ثم (| x | = −x> 0 ، ) وإذا (x> 0 ) ، ثم (| x | = x> 0. ) ومع ذلك ، بالنسبة لـ (x = 0 ، ) (| x | = 0. ) لذلك ، من الأدق القول أنه بالنسبة لجميع المدخلات غير الصفرية ، يكون الإخراج إيجابيًا ، ولكن إذا (x=0), the output (|x|=0). We conclude that the range of the absolute value function is ({y,|,y≥0}.) In Figure (PageIndex{13}), we see that the absolute value function is symmetric about the (y)-axis and is therefore an even function.

Example (PageIndex{11}): Working with the Absolute Value Function

Find the domain and range of the function (f(x)=2|x−3|+4).

حل

Since the absolute value function is defined for all real numbers, the domain of this function is ((−∞,∞)). Since (|x−3|≥0) for all (x), the function (f(x)=2|x−3|+4≥4). Therefore, the range is, at most, the set ({y,|,y≥4}.) To see that the range is, in fact, this whole set, we need to show that for (y≥4) there exists a real number (x) such that

(2|x−3|+4=y)

A real number (x) satisfies this equation as long as

(|x−3|=frac{1}{2}(y−4))

Since (y≥4), we know (y−4≥0), and thus the right-hand side of the equation is nonnegative, so it is possible that there is a solution. Furthermore,

(|x−3|=egin{cases} −(x−3), & ext{if } x<3x−3, & ext{if } x≥3end{cases})

Therefore, we see there are two solutions:

(x=±frac{1}{2}(y−4)+3).

The range of this function is ({y,|,y≥4}.)

Exercise (PageIndex{11}): Domain and Range

For the function (f(x)=|x+2|−4), find the domain and range.

تلميح

(|x+2|≥0) for all real numbers (x).

إجابه

Domain = ((−∞,∞)), range = ({y,|,y≥−4}.)

المفاهيم الرئيسية

  • A function is a mapping from a set of inputs to a set of outputs with exactly one output for each input.
  • If no domain is stated for a function (y=f(x),) the domain is considered to be the set of all real numbers (x) for which the function is defined.
  • When sketching the graph of a function (f,) each vertical line may intersect the graph, at most, once.
  • A function may have any number of zeros, but it has, at most, one (y)-intercept.
  • To define the composition (g∘f), the range of (f) must be contained in the domain of (g).
  • Even functions are symmetric about the (y)-axis whereas odd functions are symmetric about the origin.

المعادلات الرئيسية

  • Composition of two functions

((g∘f)(x)=gig(f(x)ig))

  • Absolute value function

(f(x)=egin{cases}−x, & ext{if } x<0x, & ext{if } x≥0end{cases})

قائمة المصطلحات

absolute value function
(f(x)=egin{cases}−x, & ext{if } x<0x, & ext{if } x≥0end{cases})
composite function
given two functions (f) and (g), a new function, denoted (g∘f), such that ((g∘f)(x)=g(f(x)))
decreasing on the interval (I)
a function decreasing on the interval (I) if, for all (x_1,,x_2∈I,;f(x_1)≥f(x_2)) if (x_1
dependent variable
the output variable for a function
domain
the set of inputs for a function
دالة زوجية
a function is even if (f(−x)=f(x)) for all (x) in the domain of (f)
function
a set of inputs, a set of outputs, and a rule for mapping each input to exactly one output
graph of a function
the set of points ((x,y)) such that (x) is in the domain of (f) and (y=f(x))
increasing on the interval (I)
a function increasing on the interval (I) if for all (x_1,,x_2∈I,;f(x_1)≤f(x_2)) if (x_1
independent variable
the input variable for a function
odd function
a function is odd if (f(−x)=−f(x)) for all (x) in the domain of (f)
range
the set of outputs for a function
symmetry about the origin
the graph of a function (f) is symmetric about the origin if ((−x,−y)) is on the graph of (f) whenever ((x,y)) is on the graph
symmetry about the (y)-axis
the graph of a function (f) is symmetric about the (y)-axis if ((−x,y)) is on the graph of (f) whenever ((x,y)) is on the graph
table of values
a table containing a list of inputs and their corresponding outputs
vertical line test
given the graph of a function, every vertical line intersects the graph, at most, once
zeros of a function
when a real number (x) is a zero of a function (f,;f(x)=0)


شاهد الفيديو: Graad 10: Funksies (شهر اكتوبر 2021).