مقالات

4.7: مشكلات التحسين التطبيقية


أهداف التعلم

  • قم بإعداد وحل مشكلات التحسين في العديد من المجالات التطبيقية.

أحد التطبيقات الشائعة لحساب التفاضل والتكامل هو حساب الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمة الدالة. في التصنيع ، غالبًا ما يكون من المرغوب فيه تقليل كمية المواد المستخدمة في تغليف منتج بحجم معين. في هذا القسم ، نوضح كيفية إعداد هذه الأنواع من مشاكل التصغير والتعظيم وحلها باستخدام الأدوات التي تم تطويرها في هذا الفصل.

حل مشاكل التحسين خلال فاصل زمني مغلق ومحدود

الفكرة الأساسية لمشاكل التحسين التالية هي نفسها. لدينا كمية معينة نهتم بتعظيمها أو تصغيرها. ومع ذلك ، لدينا أيضًا بعض الشروط الإضافية التي يجب تلبيتها. على سبيل المثال ، في مثال ( PageIndex {1} ) ، نحن مهتمون بتكبير مساحة الحديقة المستطيلة. بالتأكيد ، إذا واصلنا جعل الأطوال الجانبية للحديقة أكبر ، فستستمر المساحة في التزايد. ومع ذلك ، ماذا لو كان لدينا بعض القيود على مقدار السياج الذي يمكننا استخدامه للمحيط؟ في هذه الحالة ، لا يمكننا جعل الحديقة كبيرة كما نحب. دعونا نلقي نظرة على كيفية تعظيم مساحة المستطيل الخاضع لبعض القيود على المحيط.

مثال ( PageIndex {1} ): تكبير مساحة الحديقة

يتم إنشاء حديقة مستطيلة باستخدام جدار صخري كجانب واحد من الحديقة وسياج سلكي للجوانب الثلاثة الأخرى (الشكل ( PageIndex {1} )). بالنظر إلى (100 ، text {ft} ) من السياج السلكي ، حدد الأبعاد التي من شأنها إنشاء حديقة ذات أقصى مساحة. ما هي أقصى مساحة؟

حل

دع (س ) يشير إلى طول جانب الحديقة بشكل عمودي على الجدار الصخري و (ص ) يشير إلى طول الجانب الموازي للجدار الصخري. ثم مساحة الحديقة

(A = x⋅y. )

نريد إيجاد أقصى مساحة ممكنة تخضع لقيود أن إجمالي السياج هو (100 ، نص {قدم} ). من الشكل ( PageIndex {1} ) ، سيكون المبلغ الإجمالي للسياج المستخدم (2x + y. ) لذلك ، فإن معادلة القيد هي

(2 س + ص = 100. )

حل هذه المعادلة لـ (y ) ، لدينا (y = 100−2x. ) وبالتالي ، يمكننا كتابة المنطقة على النحو التالي

(A (x) = x⋅ (100−2x) = 100x − 2x ^ 2. )

قبل محاولة تعظيم دالة المنطقة (A (x) = 100x − 2x ^ 2، ) نحتاج إلى تحديد المجال قيد الدراسة. لبناء حديقة مستطيلة ، نحتاج بالتأكيد إلى أن تكون أطوال الجانبين موجبة. لذلك ، نحتاج إلى (x> 0 ) و (y> 0 ). بما أن (y = 100−2x ) ، إذا (y> 0 ) ، إذن (x <50 ). لذلك ، نحاول تحديد الحد الأقصى لقيمة (A (x) ) لـ (x ) خلال الفاصل الزمني المفتوح ((0،50) ). لا نعلم أن الوظيفة لها بالضرورة قيمة قصوى خلال فترة مفتوحة. ومع ذلك ، فإننا نعلم أن الدالة المستمرة لها حد أقصى مطلق (وأدنى حد مطلق) خلال فترة مغلقة. لذلك ، دعنا نفكر في الوظيفة (A (x) = 100x − 2x ^ 2 ) خلال الفترة المغلقة ([0،50] ). إذا حدثت القيمة القصوى عند نقطة داخلية ، فقد وجدنا القيمة (x ) في الفاصل الزمني المفتوح ((0،50) ) التي تزيد من مساحة الحديقة.

لذلك فإننا نعتبر المشكلة التالية:

تكبير (A (x) = 100x − 2x ^ 2 ) خلال الفاصل ([0،50]. )

كما ذكرنا سابقًا ، نظرًا لأن (A ) هي دالة مستمرة على فاصل مغلق ومحدود ، بواسطة نظرية القيمة القصوى ، لها حد أقصى وحد أدنى. تحدث هذه القيم القصوى إما عند نقاط النهاية أو النقاط الحرجة. عند نقاط النهاية ، (A (x) = 0 ). نظرًا لأن المنطقة موجبة للجميع (س ) في الفاصل الزمني المفتوح ((0،50) ) ، يجب أن يحدث الحد الأقصى عند نقطة حرجة. التفريق بين الوظيفة (A (x) ) نحصل عليها

(أ ′ (س) = 100−4 س. )

لذلك ، فإن النقطة الحرجة الوحيدة هي (x = 25 ) (الشكل ( PageIndex {2} )). نستنتج أن الحد الأقصى للمنطقة يجب أن يحدث عندما (س = 25 ).

ثم لدينا (y = 100−2x = 100−2 (25) = 50. ) لتكبير مساحة الحديقة ، دعنا (x = 25 ، text {ft} ) و (y = 50 ، نص {قدم} ). تبلغ مساحة هذه الحديقة (1250 ، text {ft} ^ 2 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حدد الحد الأقصى للمساحة إذا أردنا إنشاء نفس الحديقة المستطيلة كما في الشكل ( PageIndex {2} ) ، ولكن لدينا (200 ، نص {قدم} ) من السياج.

تلميح

نحتاج إلى تكبير الدالة (A (x) = 200x − 2x ^ 2 ) خلال الفترة ([0،100]. )

إجابه

أقصى مساحة هي (5000 ، text {ft} ^ 2 ).

دعنا الآن نلقي نظرة على إستراتيجية عامة لحل مشاكل التحسين المشابهة للمثال.

إستراتيجية حل المشكلات: حل مشكلات التحسين

  1. قدم جميع المتغيرات. إذا كان ذلك ممكنًا ، ارسم شكلًا وقم بتسمية جميع المتغيرات.
  2. حدد الكمية التي سيتم تكبيرها أو تصغيرها ، ولأي نطاق من قيم المتغيرات الأخرى (إذا كان من الممكن تحديد ذلك في هذا الوقت).
  3. اكتب صيغة للكمية المطلوب تكبيرها أو تصغيرها من حيث المتغيرات. قد تتضمن هذه الصيغة أكثر من متغير واحد.
  4. اكتب أي معادلات تتعلق بالمتغيرات المستقلة في الصيغة من الخطوة (3 ). استخدم هذه المعادلات لكتابة الكمية المطلوب تكبيرها أو تصغيرها كدالة لمتغير واحد.
  5. حدد مجال النظر للوظيفة في الخطوة (4 ) بناءً على المشكلة المادية المراد حلها.
  6. حدد موقع القيمة القصوى أو الدنيا للدالة من الخطوة (4. ) تتضمن هذه الخطوة عادةً البحث عن النقاط الحرجة وتقييم دالة عند نقاط النهاية.

دعنا الآن نطبق هذه الإستراتيجية لزيادة حجم الصندوق المفتوح إلى أقصى حد نظرًا لقيود على كمية المواد التي سيتم استخدامها.

مثال ( PageIndex {2} ): تكبير حجم صندوق

يجب إنشاء صندوق مفتوح من قطعة (24 ، نص {في.} ) بقطعة (36 ، نص {في.} ) من خلال إزالة مربع من كل ركن من أركان مربع وطي اللوحات على كل جانب. ما هو حجم المربع الذي يجب قطعه من كل زاوية للحصول على صندوق بأقصى حجم؟

حل

الخطوة 1: لنفترض أن (x ) هو طول جانب المربع المراد إزالته من كل زاوية (الشكل ( PageIndex {3} )). بعد ذلك ، يمكن طي اللوحات الأربع المتبقية لتشكيل صندوق مفتوح من أعلى. دع (V ) يكون حجم الصندوق الناتج.

الخطوة 2: نحن نحاول زيادة حجم الصندوق. لذلك ، تكمن المشكلة في تكبير (V ).

الخطوة 3: كما هو مذكور في الخطوة 2 ، تحاول زيادة حجم الصندوق. حجم الصندوق هو

[V = L⋅W⋅H بدون رقم ، ]

حيث (L، ، W، ) و (H ) هي الطول والعرض والارتفاع على التوالي.

الخطوة 4: من الشكل ( PageIndex {3} ) ، نرى أن ارتفاع الصندوق هو (x ) بوصة ، والطول (36−2x ) بوصة ، والعرض هو (24) −2x ) بوصة. لذلك ، فإن حجم الصندوق هو

[ begin {align *} V (x) & = (36−2x) (24−2x) x [4pt] & = 4x ^ 3−120x ^ 2 + 864x end {align *}. ]

الخطوة 5: لتحديد مجال الاعتبار ، دعنا نفحص الشكل ( PageIndex {3} ). بالتأكيد ، نحتاج إلى (x> 0. ) علاوة على ذلك ، لا يمكن أن يكون طول ضلع المربع أكبر من أو يساوي نصف طول الضلع الأقصر ، (24 ، text {in.} )؛ خلاف ذلك ، سيتم قطع إحدى اللوحات تمامًا. لذلك ، نحاول تحديد ما إذا كان هناك حجم أقصى للمربع لـ (x ) عبر الفاصل الزمني المفتوح ((0،12). ) نظرًا لأن (V ) هي وظيفة مستمرة خلال الفترة المغلقة ([0،12] ) ، نعلم أن (V ) سيكون له حد أقصى مطلق خلال الفترة المغلقة. لذلك ، فإننا نأخذ في الاعتبار (V ) خلال الفترة المغلقة ([0،12] ) ونتحقق مما إذا كان الحد الأقصى المطلق يحدث في نقطة داخلية.

الخطوة 6: نظرًا لأن (V (x) ) هي دالة مستمرة على الفاصل الزمني المغلق والمحدود ([0،12] ) ، يجب أن يكون (V ) حدًا أقصى مطلقًا (وحد أدنى مطلق). بما أن (V (x) = 0 ) عند نقاط النهاية و (V (x)> 0 ) لـ (0

(V ′ (x) = 12x ^ 2−240x + 864. )

لإيجاد النقاط الحرجة ، علينا حل المعادلة

(12x ^ 2−240x + 864 = 0. )

بقسمة طرفي هذه المعادلة على (12 ) ، يتم تبسيط المسألة لحل المعادلة

(س ^ 2−20 س + 72 = 0. )

باستخدام الصيغة التربيعية ، نجد أن النقاط الحرجة هي

[ begin {align *} x & = dfrac {20 ± sqrt {(- 20) ^ 2−4 (1) (72)}} {2} [4pt] & = dfrac {20 ± sqrt {112}} {2} [4pt] & = dfrac {20 ± 4 sqrt {7}} {2} [4pt] & = 10 ± 2 sqrt {7} end {align *}. ]

نظرًا لأن (10 ​​+ 2 sqrt {7} ) ليس في مجال الاهتمام ، فإن النقطة الحرجة الوحيدة التي نحتاج إلى مراعاتها هي (10−2 sqrt {7} ). لذلك ، يتم تكبير الحجم إذا سمحنا (x = 10−2 sqrt {7} ، text {in.} ) أن الحد الأقصى للحجم هو

[V (10−2 sqrt {7}) = 640 + 448 sqrt {7} ≈1825 ، text {in} ^ 3. لا يوجد رقم ]

كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

تمرين ( PageIndex {2} )

افترض أن أبعاد الورق المقوى في المثال ( PageIndex {2} ) هي (20 ، text {in.} ) بواسطة (30 ، text {in.} ) Let (x ) ) يكون طول ضلع كل مربع واكتب حجم المربع المفتوح كدالة في (س ). حدد مجال النظر لـ (x ).

تلميح

حجم الصندوق هو (L⋅W⋅H. )

إجابه

(V (x) = x (20−2x) (30−2x). ) المجال هو ([0،10] ).

مثال ( PageIndex {3} ): تقليل وقت السفر

تقع الجزيرة على مسافة (2 ) ميل شمال أقرب نقطة لها على طول خط ساحلي مستقيم. زائر يقيم في كابينة على الشاطئ تبعد (6 ) ميل غرب تلك النقطة. الزائر يخطط للذهاب من المقصورة إلى الجزيرة. لنفترض أن الزائر يجري بمعدل (8 ) ميل في الساعة ويسبح بمعدل (3 ) ميل في الساعة. ما المسافة التي يجب أن يركضها الزائر قبل السباحة لتقليل الوقت المستغرق للوصول إلى الجزيرة؟

حل

الخطوة 1: لنفترض أن (x ) هي المسافة التي يجريها الجري ، واجعل (y ) هي مسافة السباحة (الشكل ( PageIndex {5} )). دع (T ) هو الوقت المستغرق للوصول من المقصورة إلى الجزيرة.

الخطوة 2: المشكلة هي تقليل (T ).

الخطوة 3: لمعرفة الوقت الذي تقضيه في السفر من المقصورة إلى الجزيرة ، أضف الوقت الذي يقضيه الجري والوقت الذي يقضيه في السباحة بما أن المسافة = المعدل × الوقت ((D = R × T) ، ) الوقت الذي يقضيه الجري هو

(T_ {running} = dfrac {D_ {running}} {R_ {running}} = dfrac {x} {8} ) ،

والوقت الذي يقضيه في السباحة

(T_ {swim} = dfrac {D_ {Swimming}} {R_ {Swimming}} = dfrac {y} {3} ).

لذلك ، فإن إجمالي الوقت الذي يقضيه السفر هو

(T = dfrac {x} {8} + dfrac {y} {3} ).

الخطوة 4: من الشكل ( PageIndex {5} ) ، يشكل مقطع الخط من (y ) ميلًا وتر المثلث الأيمن بأرجل بطول (2 ) ميل و (6 − س ) ميل. لذلك ، من خلال نظرية فيثاغورس ، (2 ^ 2 + (6 − x) ^ 2 = y ^ 2 ) ، ونحصل على (y = sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4} ). وبالتالي ، فإن إجمالي الوقت المستغرق في السفر يتم تحديده بواسطة الوظيفة

(T (x) = dfrac {x} {8} + dfrac { sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4}} {3} ).

الخطوة 5: من الشكل ( PageIndex {5} ) ، نرى ذلك (0≤x≤6 ). لذلك ، ([0،6] ) هو مجال النظر.

الخطوة 6: نظرًا لأن (T (x) ) هي دالة مستمرة على فاصل زمني مغلق ومحدود ، فلها حد أقصى وحد أدنى. لنبدأ بالبحث عن أي نقاط حرجة لـ (T ) خلال الفترة ([0،6]. ) المشتق هو

[ begin {align *} T ′ (x) & = dfrac {1} {8} - dfrac {1} {2} dfrac {[(6 − x) ^ 2 + 4] ^ {- 1 / 2}} {3} ⋅2 (6 − x) [4pt] & = dfrac {1} {8} - dfrac {(6 − x)} {3 sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4}} end {align *} ]

إذا (T ′ (x) = 0 ، ) ، إذن

[ dfrac {1} {8} = dfrac {6 − x} {3 sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4}} label {ex3eq1} ]

لذلك،

[3 sqrt {(6 − x) ^ 2 + 4} = 8 (6 − x). التسمية {ex3eq2} ]

بتربيع طرفي هذه المعادلة ، نرى أنه إذا كان (س ) يلبي هذه المعادلة ، فيجب أن يرضي (س )

[9 [(6 − x) ^ 2 + 4] = 64 (6 − x) ^ 2، nonumber ]

مما يوحي

[55 (6 − س) ^ 2 = 36. لا يوجد رقم]

نستنتج أنه إذا كانت (س ) نقطة حرجة ، فإن (س ) يرضي

[(x − 6) ^ 2 = dfrac {36} {55}. لا يوجد رقم]

لذلك ، فإن احتمالات النقاط الحرجة هي

[x = 6 ± dfrac {6} { sqrt {55}}. nonumber ]

بما أن (x = 6 + 6 / sqrt {55} ) ليس في المجال ، فليس هناك احتمال لنقطة حرجة. من ناحية أخرى ، (x = 6−6 / sqrt {55} ) موجود في المجال. نظرًا لأننا قمنا بتربيع طرفي المعادلة المرجع {ex3eq2} للوصول إلى النقاط الحرجة المحتملة ، يبقى التحقق من أن (x = 6−6 / sqrt {55} ) يفي بالمعادلة المرجع {ex3eq1}. نظرًا لأن (x = 6−6 / sqrt {55} ) يفي بهذه المعادلة ، فإننا نستنتج أن (x = 6−6 / sqrt {55} ) نقطة حرجة ، وهي الوحيدة . لتبرير تقليل الوقت لهذه القيمة (x ) ، نحتاج فقط إلى التحقق من قيم (T (x) ) عند نقاط النهاية (x = 0 ) و (x = 6 ) ) ، وقارنها بقيمة (T (x) ) عند النقطة الحرجة (x = 6−6 / sqrt {55} ). نجد أن (T (0) ≈2.108 ، text {h} ) و (T (6) ≈1.417 ، text {h} ) ، بينما

[T (6−6 / sqrt {55}) ≈1.368 ، text {h}. لا يوجد رقم]

لذلك ، نستنتج أن (T ) له حد أدنى محلي عند (x≈5.19 ) ميل.

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أن الجزيرة تبعد (1 ) ميل عن الشاطئ ، وأن المسافة من المقصورة إلى النقطة على الشاطئ الأقرب للجزيرة هي (15 ) ميل. لنفترض أن زائرًا يسبح بمعدل (2.5 ) ميل في الساعة ويعمل بمعدل (6 ) ميل في الساعة. دع (x ) يشير إلى المسافة التي سيجريها الزائر قبل السباحة ، وابحث عن وظيفة للوقت الذي يستغرقه الزائر للوصول من المقصورة إلى الجزيرة.

تلميح

الوقت (T = T_ {تشغيل} + T_ {سباحة}. )

إجابه

(T (x) = dfrac {x} {6} + dfrac { sqrt {(15 − x) ^ 2 + 1}} {2.5} )

في الأعمال التجارية ، تهتم الشركات بـ تعظيم الإيرادات. في المثال التالي ، نعتبر سيناريو قامت فيه الشركة بجمع بيانات حول عدد السيارات التي يمكنها استئجارها ، اعتمادًا على السعر الذي تفرضه على عملائها لاستئجار سيارة. دعنا نستخدم هذه البيانات لتحديد السعر الذي يجب أن تفرضه الشركة لتعظيم مقدار الأموال التي تجلبها.

مثال ( PageIndex {4} ): تعظيم الإيرادات

قرر مالكو شركة تأجير السيارات أنهم في حالة تحصيل رسوم من العملاء (ع ) دولارًا يوميًا لاستئجار سيارة ، حيث (50≤p≤200 ) ، عدد السيارات (n ) التي يستأجرونها يوميًا يمكن نمذجتها بالدالة الخطية (n (p) = 1000−5p ). إذا كانوا يتقاضون (50 دولارًا ) في اليوم أو أقل ، فسيؤجرون جميع سياراتهم. إذا كانوا يتقاضون (200 دولار ) في اليوم أو أكثر ، فلن يستأجروا أي سيارات. بافتراض أن المالكين يخططون لفرض رسوم على العملاء تتراوح بين (50 دولارًا ) في اليوم و (200 دولارًا أمريكيًا) في اليوم لاستئجار سيارة ، ما المبلغ الذي يجب أن يتقاضوه لتعظيم إيراداتهم؟

حل

الخطوة 1: دع (p ) هو السعر الذي يتم تحصيله لكل سيارة في اليوم ودع n يكون عدد السيارات المستأجرة في اليوم. دع (R ) يكون العائد اليومي.

الخطوة 2: تكمن المشكلة في تكبير (R. )

الخطوة 3: العائد (في اليوم) يساوي عدد السيارات المستأجرة في اليوم مضروبًا في السعر الذي يتم تحصيله لكل سيارة في اليوم - أي (R = n × p. )

الخطوة 4: نظرًا لأن عدد السيارات المستأجرة يوميًا يتم تحديده من خلال الدالة الخطية (n (p) = 1000−5p ، ) يمكن تمثيل الإيرادات (R ) بواسطة الوظيفة

[ start {align *} R (p) & = n × p [4pt] & = (1000−5p) p [4pt] & = - 5p ^ 2 + 1000p. end {align *} ]

الخطوة 5: نظرًا لأن المالكين يخططون لشحن ما بين ($ 50 ) لكل سيارة في اليوم و ($ 200 ) لكل سيارة في اليوم ، فإن المشكلة تكمن في العثور على الحد الأقصى للإيرادات (R (p) ) لـ (p ) في الفترة المغلقة ([50200] ).

الخطوة 6: بما أن (R ) دالة مستمرة على الفاصل الزمني المغلق والمحدود ([50،200] ) ، فلها حد أقصى مطلق (وحد أدنى مطلق) في تلك الفترة. للعثور على القيمة القصوى ، ابحث عن النقاط الحرجة. المشتق هو (R ′ (p) = - 10p + 1000. ) لذلك ، فإن النقطة الحرجة هي (p = 100 ) عندما (p = 100 ، R (100) = 50000 دولار ) متى ( ص = 50 ، ص (ع) = 37500 دولار ). عندما (p = 200، R (p) = $ 0 ).

لذلك ، الحد الأقصى المطلق يحدث عند (p = $ 100 ). يجب أن تتقاضى شركة تأجير السيارات (100 دولارًا ) يوميًا لكل سيارة لزيادة الإيرادات إلى أقصى حد كما هو موضح في الشكل التالي.

تمرين ( PageIndex {4} )

تتقاضى شركة تأجير السيارات من عملائها (ع ) دولارًا في اليوم ، حيث (60≤p≤150 ). لقد وجدت أن عدد السيارات المستأجرة في اليوم يمكن نمذجة بالدالة الخطية (n (p) = 750−5p. ) ما المبلغ الذي يجب أن تفرضه الشركة على كل عميل لزيادة الإيرادات إلى أقصى حد؟

تلميح

(R (p) = n × p، ) حيث (n ) هو عدد السيارات المستأجرة و (p ) هو السعر الذي يتم دفعه لكل سيارة.

إجابه

يجب أن تتقاضى الشركة (75 دولارًا ) لكل سيارة في اليوم.

مثال ( PageIndex {5} ): تكبير مساحة المستطيل المحيط

يجب كتابة المستطيل في القطع الناقص

[ dfrac {x ^ 2} {4} + y ^ 2 = 1. لا يوجد رقم ]

ماذا يجب أن تكون أبعاد المستطيل لتكبير مساحته؟ ما هي أقصى مساحة؟

حل

الخطوة 1: لكي يُدرج المستطيل في القطع الناقص ، يجب أن تكون جوانب المستطيل موازية للمحاور. دع (L ) يكون طول المستطيل و (W ) يكون عرضه. دع (A ) تكون مساحة المستطيل.

الخطوة 2: المشكلة هي تكبير (A ).

الخطوة 3: مساحة المستطيل هي (A = LW. )

الخطوة 4: لنكن ((x، y) ) ركن المستطيل الذي يقع في الربع الأول ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {7} ). يمكننا كتابة length (L = 2x ) و width (W = 2y ). منذ ( dfrac {x ^ 2} {4 + y ^ 2 = 1} ) و (y> 0 ) ، لدينا (y = sqrt { dfrac {1 − x ^ 2} {4 }} ). لذلك ، فإن المنطقة

(A = LW = (2x) (2y) = 4x sqrt { dfrac {1 − x ^ 2} {4}} = 2x sqrt {4 − x ^ 2} )

الخطوة 5: من الشكل ( PageIndex {7} ) ، نرى أنه لإدراج مستطيل في القطع الناقص ، يجب أن يفي (x ) - إحداثي الزاوية في الربع الأول (0

الخطوة 6: كما ذكرنا سابقًا ، (A (x) ) هي دالة مستمرة على الفاصل الزمني المغلق والمحدود ([0،2] ). لذلك ، لديها حد أقصى مطلق (وأدنى حد مطلق). عند نقاط النهاية (x = 0 ) و (x = 2 ) ، (A (x) = 0. ) من أجل (0 0 ).

لذلك ، يجب أن يحدث الحد الأقصى عند نقطة حرجة. أخذ مشتق (A (x) ) نحصل عليه

[ begin {align *} A '(x) & = 2 sqrt {4 − x ^ 2} + 2x⋅ dfrac {1} {2 sqrt {4 − x ^ 2}} (- 2x) [4pt] & = 2 sqrt {4 − x ^ 2} - dfrac {2x ^ 2} { sqrt {4 − x ^ 2}} [4pt] & = dfrac {8−4x ^ 2 } { sqrt {4 − x ^ 2}}. النهاية {محاذاة *} ]

للعثور على النقاط الحرجة ، نحتاج إلى إيجاد أين (A '(x) = 0. ) يمكننا أن نرى أنه إذا كان (x ) هو حل لـ

[ dfrac {8−4x ^ 2} { sqrt {4 − x ^ 2}} = 0 ، label {ex5eq1} ]

ثم يجب أن يرضي (س )

[8−4x ^ 2 = 0. لا يوجد رقم]

لذلك ، (x ^ 2 = 2. ) وبالتالي ، فإن (x = ± sqrt {2} ) هي الحلول الممكنة للمعادلة المرجع {ex5eq1}. نظرًا لأننا نفكر في (x ) خلال الفترة ([0،2] ) ، فإن (x = sqrt {2} ) هو احتمال لنقطة حرجة ، لكن (x = - sqrt { 2} ) ليس كذلك. لذلك ، نتحقق مما إذا كان ( sqrt {2} ) هو حل المعادلة المرجع {ex5eq1}. نظرًا لأن (x = sqrt {2} ) هو حل المعادلة المرجع {ex5eq1} ، فإننا نستنتج أن ( sqrt {2} ) هو النقطة الحرجة الوحيدة لـ (A (x) ) في الفاصل ([0،2] ).

لذلك ، يجب أن يكون (A (x) ) حدًا أقصى مطلق عند النقطة الحرجة (x = sqrt {2} ). لتحديد أبعاد المستطيل ، نحتاج إلى إيجاد الطول (L ) والعرض (W ). إذا (x = sqrt {2} ) إذن

[y = sqrt {1− dfrac {( sqrt {2}) ^ 2} {4}} = sqrt {1− dfrac {1} {2}} = dfrac {1} { sqrt {2}}. nonumber ]

لذلك ، أبعاد المستطيل هي (L = 2x = 2 sqrt {2} ) و (W = 2y = dfrac {2} { sqrt {2}} = sqrt {2} ). مساحة هذا المستطيل هي (A = LW = (2 sqrt {2}) ( sqrt {2}) = 4. )

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بتعديل دالة المساحة (A ) إذا كان سيتم إدراج المستطيل في دائرة الوحدة (x ^ 2 + y2 ^ = 1 ). ما هو مجال النظر؟

تلميح

إذا كان ((x، y) ) هو رأس المربع الذي يقع في الربع الأول ، فإن مساحة المربع هي (A = (2x) (2y) = 4xy. )

إجابه

(A (x) = 4x sqrt {1 − x ^ 2}. ) مجال الاعتبار هو ([0،1] ).

حل مشاكل التحسين عندما لا يكون الفاصل الزمني مغلقًا أو غير مقيد

في الأمثلة السابقة ، درسنا الوظائف في المجالات المغلقة والمحدودة. وبالتالي ، من خلال نظرية القيمة القصوى ، تأكدنا من أن الدوال لها قيمة قصوى مطلقة. دعنا الآن نفكر في الوظائف التي لا يكون المجال مغلقًا أو مقيدًا.

لا تزال العديد من الوظائف تحتوي على قيمة قصوى مطلقة واحدة على الأقل ، حتى إذا لم يكن المجال مغلقًا أو كان المجال غير مقيد. على سبيل المثال ، الدالة (f (x) = x ^ 2 + 4 ) over ((- ∞، ∞) ) لها حد أدنى مطلق من (4 ) عند (x = 0 ). لذلك ، لا يزال بإمكاننا النظر في الدوال على المجالات غير المحدودة أو الفواصل الزمنية المفتوحة وتحديد ما إذا كانت تحتوي على أي قيم قصوى مطلقة. في المثال التالي ، نحاول تصغير دالة على مجال غير محدود. سنرى أنه على الرغم من أن مجال النظر هو ((0 ، ∞) ، ) فإن الوظيفة لها حد أدنى مطلق.

في المثال التالي ، ننظر إلى إنشاء صندوق أقل مساحة سطحية بحجم محدد. ليس من الصعب إثبات أنه بالنسبة للصندوق المغلق ، من خلال التناظر ، من بين جميع الصناديق ذات الحجم المحدد ، سيكون للمكعب أصغر مساحة سطح. وبالتالي ، فإننا نأخذ في الاعتبار المشكلة المعدلة المتمثلة في تحديد الصندوق المفتوح القمة ذو الحجم المحدد الذي يحتوي على أصغر مساحة سطحية.

مثال ( PageIndex {6} ): تقليل مساحة السطح

سيتم إنشاء مربع مستطيل بقاعدة مربعة ، وغطاء مفتوح ، وحجم (216 ، نص {in} ^ 3 ). ماذا يجب أن تكون أبعاد الصندوق لتقليل مساحة سطح الصندوق؟ ما هو الحد الأدنى من مساحة السطح؟

حل

الخطوة 1: ارسم مربعًا مستطيلًا وأدخل المتغير (س ) لتمثيل طول كل جانب من جوانب القاعدة المربعة ؛ دع (ص ) يمثل ارتفاع الصندوق. دع (S ) يشير إلى مساحة سطح الصندوق المفتوح.

الخطوة 2: نحن بحاجة لتقليل مساحة السطح. لذلك ، نحتاج إلى تقليل (S ).

الخطوة 3: نظرًا لأن الصندوق به قمة مفتوحة ، نحتاج فقط إلى تحديد مساحة الجوانب الرأسية الأربعة والقاعدة. مساحة كل جانب من الجوانب العمودية الأربعة هي (x⋅y. ) مساحة القاعدة (x ^ 2 ). لذلك ، فإن مساحة سطح الصندوق هي

(S = 4xy + x ^ 2 ).

الخطوة 4: نظرًا لأن حجم هذا المربع هو (x ^ 2y ) ووحدة التخزين معطاة كـ (216 ، text {in} ^ 3 ) ، فإن معادلة القيد هي

(س ^ 2 ص = 216 ).

حل معادلة القيد لـ (y ) لدينا (y = dfrac {216} {x ^ 2} ). لذلك ، يمكننا كتابة مساحة السطح كدالة لـ (س ) فقط:

[S (x) = 4x left ( dfrac {216} {x ^ 2} right) + x ^ 2. nonumber ]

لذلك ، (S (x) = dfrac {864} {x} + x ^ 2 ).

الخطوة 5: نظرًا لأننا نطلب ذلك (x ^ 2y = 216 ) ، فلا يمكننا الحصول على (x = 0 ). لذلك ، نحتاج إلى (x> 0 ). من ناحية أخرى ، يُسمح لـ (x ) أن يكون لها أي قيمة موجبة. لاحظ أنه عندما يصبح (x ) كبيرًا ، يصبح ارتفاع المربع (y ) صغيرًا بالمقابل بحيث (x ^ 2y = 216 ). وبالمثل ، عندما يصبح (x ) صغيراً ، يصبح ارتفاع الصندوق كبيرًا بالمقابل. نستنتج أن المجال هو الفاصل الزمني المفتوح غير المحدود ((0 ، ∞) ). لاحظ أنه ، على عكس الأمثلة السابقة ، لا يمكننا اختزال مشكلتنا في البحث عن حد أقصى مطلق أو أدنى حد مطلق خلال فترة مغلقة محدودة. ومع ذلك ، في الخطوة التالية ، نكتشف لماذا يجب أن يكون لهذه الوظيفة حد أدنى مطلق خلال الفاصل ((0 ، ∞). )

الخطوة 6: لاحظ أنه (x → 0 ^ + ، ، S (x) → ∞. ) أيضًا ، مثل (x → ∞ ، ، S (x) → ∞ ). نظرًا لأن (S ) دالة مستمرة تقترب من اللانهاية في النهايات ، يجب أن يكون لها حد أدنى مطلق عند بعض (x∈ (0 ، ∞) ). يجب أن يحدث هذا الحد الأدنى عند نقطة حرجة من (S ). المشتق هو

[S ′ ​​(x) = - dfrac {864} {x ^ 2} + 2x. nonumber ]

لذلك ، (S ′ (x) = 0 ) عندما (2x = dfrac {864} {x ^ 2} ). حل هذه المعادلة لـ (x ) ، نحصل على (x ^ 3 = 432 ) ، لذلك (x = sqrt [3] {432} = 6 sqrt [3] {2}. ) منذ ذلك هي النقطة الحرجة الوحيدة في (S ) ، يجب أن يحدث الحد الأدنى المطلق عند (x = 6 sqrt [3] {2} ) (انظر الشكل ( PageIndex {9} )).

عندما (x = 6 sqrt [3] {2} ) ، (y = dfrac {216} {(6 sqrt [3] {2}) ^ 2} = 3 sqrt [3] {2 } ، text {in.} ) لذلك يجب أن تكون أبعاد الصندوق (x = 6 sqrt [3] {2} ، text {in.} ) و (y = 3 sqrt [3] {2} ، text {in.} ) بهذه الأبعاد ، تكون مساحة السطح

[S (6 sqrt [3] {2}) = dfrac {864} {6 sqrt [3] {2}} + (6 sqrt [3] {2}) ^ 2 = 108 sqrt [ 3] {4} ، text {in} ^ 2 nonumber ]

تمرين ( PageIndex {6} )

ضع في اعتبارك نفس المربع المفتوح ، والذي يجب أن يحتوي على وحدة تخزين (216 ، نص {in} ^ 3 ). لنفترض أن تكلفة المادة الأساسية هي (20 ¢ / text {in} ^ 2 ) وتكلفة المواد للأطراف هي (30 ¢ / text {in} ^ 2 ) ونحن تحاول تقليل تكلفة هذا المربع. اكتب التكلفة كدالة في أطوال أضلاع القاعدة. (دع (س ) يكون طول جانب القاعدة و (ص ) يكون ارتفاع الصندوق.)

تلميح

إذا كانت تكلفة أحد الجانبين (30 ¢ / text {in} ^ 2، ) فإن تكلفة ذلك الجانب (0.30xy ) دولار.

إجابه

(c (x) = dfrac {259.2} {x} + 0.2x ^ 2 ) دولار

المفاهيم الرئيسية

  • لحل مشكلة التحسين ، ابدأ برسم صورة وتقديم المتغيرات.
  • ابحث عن معادلة تتعلق بالمتغيرات.
  • ابحث عن دالة لمتغير واحد لوصف الكمية المراد تصغيرها أو تكبيرها.
  • ابحث عن النقاط الحرجة لتحديد المنطقة القصوى المحلية.

قائمة المصطلحات

مشاكل التحسين
المشكلات التي يتم حلها من خلال إيجاد الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة دالة

برمجة العدد الصحيح التطبيقي: النمذجة والحل

من أجل الفهم الكامل للخوارزميات المرتبطة ببرمجة الأعداد الصحيحة ، من المهم أن نفهم ليس فقط كيف تعمل الخوارزميات ، ولكن أيضًا لماذا هم يعملون. البرمجة الصحيحة التطبيقية يتميز بتركيز فريد على هذه النقطة ، مع التركيز على نمذجة المشكلة والحل باستخدام البرامج التجارية. من خلال اتباع نهج موجه نحو التطبيق ، يتناول هذا الكتاب فن وعلم النمذجة الرياضية المتعلقة بإطار عمل برمجة الأعداد الصحيحة المختلطة (MIP) ويناقش الخوارزميات والممارسات المرتبطة التي تمكن من حل هذه النماذج بشكل أكثر كفاءة.

يبدأ الكتاب بتغطية التطبيقات الناجحة وإجراءات النمذجة المنهجية وأنواع النماذج النموذجية وتحويل النماذج غير MIP ونماذج مشكلة التحسين الاندماجي والمعالجة المسبقة التلقائية للحصول على صياغة أفضل. تقدم الفصول اللاحقة مفاهيم أساسية جبرية وهندسية لنظرية البرمجة الخطية وتدفقات الشبكة اللازمة لفهم برمجة الأعداد الصحيحة. أخيرًا ، يختتم الكتاب بمناهج الحلول الكلاسيكية والحديثة بالإضافة إلى المكونات الرئيسية لبناء نظام برمجي متكامل قادر على حل مشاكل البرمجة الصحيحة واسعة النطاق والتحسين التوافقي.

في جميع أنحاء الكتاب ، أظهر المؤلفون المفاهيم الأساسية من خلال العديد من الأمثلة والأشكال. كل مفهوم أو خوارزمية جديدة مصحوبة بمثال عددي ، وعند الاقتضاء ، تُستخدم الرسومات لتجميع المشكلات أو الأساليب المتنوعة معًا في كل موحد. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تحديد ميزات نهج الحلول الموجودة في البرامج التجارية اليوم في جميع أنحاء الكتاب.

تم اختباره بدقة في الفصل الدراسي ، البرمجة الصحيحة التطبيقية هو كتاب ممتاز لدورات البرمجة الصحيحة في المرحلة الجامعية العليا ومستويات الدراسات العليا. كما أنه يعمل كمرجع منظم جيدًا للمهنيين ومطوري البرامج والمحللين الذين يعملون في مجالات الرياضيات التطبيقية وعلوم الكمبيوتر وبحوث العمليات وعلوم الإدارة والهندسة ويستخدمون تقنيات برمجة الأعداد الصحيحة لنمذجة وحل العالم الحقيقي مشاكل التحسين.


حل مشاكل التحسين خلال فترة زمنية مغلقة محدودة

الفكرة الأساسية لمشاكل التحسين التالية هي نفسها. لدينا كمية معينة نهتم بتعظيمها أو تصغيرها. ومع ذلك ، لدينا أيضًا بعض الشروط الإضافية التي يجب تلبيتها. على سبيل المثال ، في [link] ، نحن مهتمون بتعظيم مساحة حديقة مستطيلة. بالتأكيد ، إذا واصلنا جعل الأطوال الجانبية للحديقة أكبر ، فستستمر المساحة في التزايد. ومع ذلك ، ماذا لو كان لدينا بعض القيود على مقدار السياج الذي يمكننا استخدامه للمحيط؟ في هذه الحالة ، لا يمكننا جعل الحديقة كبيرة كما نحب. دعونا ننظر في كيفية تعظيم مساحة المستطيل الخاضع لبعض القيود على المحيط.


إمتحان نهائي

عادةً ما يتم منح الدرجة Fx مقابل 20 أو 21 نقطة في الاختبار النهائي. يمكن تحويل درجة Fx إلى درجة E من خلال إكمال تمرينين إضافيين بنجاح ، يجب على الطالب إكمالهما بشكل مستقل. تمرين واحد من بين التمارين النظرية التي يتم توزيعها خلال الدورة ، وتمرين آخر مشابه لتمرين واحد للامتحان. يتم اختيار هذه التمارين من قبل المدرب ، على حدة لكل طالب. يجب تسليم الحلول إلى المدرب وكذلك شرحها شفهيًا في غضون ثلاثة أسابيع من تاريخ الإخطار بالدرجات.

الامتحان النهائي يوم الجمعة 8 مارس 2019 ، 8.00-13.00.


4.7 مشاكل التحسين التطبيقية (صفحة 7/8)

يقيس نبض المريض و rsquos 70 نبضة في الدقيقة ، و 80 نبضة في الدقيقة ، ثم 120 نبضة في الدقيقة. لتحديد قياس دقيق للنبض ، يريد الطبيب معرفة القيمة التي تقلل من التعبير (س & ناقص 70) 2 + (س & ناقص 80) 2 + (س & ناقص 120) 2؟ ما هي القيمة التي تقلل منه؟

في المشكلة السابقة ، افترض أن المريض كان متوترًا أثناء القياس الثالث ، لذلك نحن فقط نزن نصف قيمة الآخرين. ما هي القيمة التي تصغر (س & ناقص 70) 2 + (س & ناقص 80) 2 + 1 2 (س & ناقص 120) 2؟

يمكنك الركض بسرعة 6 أميال في الساعة والسباحة بسرعة 3 أميال في الساعة وتقع على الشاطئ ، على بعد 4 أميال شرق جزيرة على بعد ميل واحد شمال الخط الساحلي. إلى أي مدى يجب أن تجري غربًا لتقليل الوقت اللازم للوصول إلى الجزيرة؟

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك عامل إنقاذ في بركة دائرية قطرها 40 مترًا. يجب أن يصل إلى شخص يغرق على الجانب الآخر من المسبح بالضبط ، في الموضع ج. يسبح المنقذ بسرعة v ويسير حول البركة بسرعة w = 3 v.

ابحث عن دالة تقيس إجمالي الوقت المستغرق للوصول إلى الشخص الغارق كدالة لزاوية السباحة ، وثيتا.

اكتشف الزاوية التي يجب أن يسبح بها المنقذ وثيتا للوصول إلى الشخص الغارق في أقل وقت ممكن.

تستخدم الشاحنة الغاز مثل g (v) = a v + b v ، حيث تمثل v سرعة الشاحنة وتمثل g جالونات الوقود لكل ميل. بأي سرعة يتم تقليل استهلاك الوقود؟

بالنسبة للتدريبات التالية ، ضع في اعتبارك سيارة ليموزين تحصل على m (v) = (120 & 2 v) 5 ميل / جالون بسرعة v ، وتكلفة السائق 15 دولارًا في الساعة ، والغاز 3.5 دولارًا / جالونًا.

أوجد التكلفة لكل ميل بسرعة v.

اعثر على أرخص سرعة قيادة.

بالنسبة للتدريبات التالية ، ضع في اعتبارك مطعم بيتزا يبيع البيتزا بإيرادات R (x) = a x والتكاليف C (x) = b + c x + d x 2 ، حيث يمثل x عدد البيتزا.

أوجد دالة الربح لعدد البيتزا. كم عدد البيتزا التي تحقق أكبر ربح لكل بيتزا؟

افترض أن R (x) = 10 x و C (x) = 2 x + x 2. كم عدد البيتزا المباعة يزيد الربح إلى أقصى حد؟

افترض أن R (x) = 15 x و C (x) = 60 + 3 x + 1 2 x 2. كم عدد البيتزا المباعة يزيد الربح إلى أقصى حد؟

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك سلكًا طوله 4 أقدام مقطوعًا إلى قطعتين. تشكل إحدى القطع دائرة نصف قطرها r والأخرى تشكل مربعًا للضلع x.

اختر x لتعظيم مجموع مناطقهم.

اختر x لتقليل مجموع مساحاتهم.

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك رقمين غير سالبين x و y بحيث x + y = 10. تعظيم وتقليل الكميات.

الحد الأقصى: x = 5 ، y = 5 الحد الأدنى: x = 0 ، y = 10 ، y = 0 ، x = 10

الحد الأقصى: س = 1 ، ص = 9 الحد الأدنى: لا شيء

للتمارين التالية ، ارسم مشكلة التحسين المحددة وحلها.

أوجد حجم أكبر أسطوانة دائرية قائمة تناسب كرة نصف قطرها 1.

أوجد حجم أكبر مخروط قائم يناسب كرة نصف قطرها 1.

أوجد مساحة المستطيل الأكبر الذي يلائم المثلث حيث أضلاعه x = 0 و y = 0 و x 4 + y 6 = 1.

أوجد أكبر حجم لأسطوانة يتناسب مع مخروط نصف قطر قاعدته R وارتفاعه h.

أوجد أبعاد حجم الأسطوانة المغلقة V = 16 & pi الذي يحتوي على أقل مساحة من السطح.

أوجد أبعاد المخروط الأيمن بمساحة السطح S = 4 & pi الذي يحتوي على أكبر حجم.

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك النقاط الموجودة على الرسوم البيانية المحددة. استخدم آلة حاسبة لرسم بياني للوظائف.

[T] أين الخط y = 5 & ناقص 2 x الأقرب إلى الأصل؟

[T] أين الخط y = 5 & ناقص 2 x الأقرب للنقطة (1 ، 1)؟

[T] أين القطع المكافئ y = x 2 الأقرب للنقطة (2 ، 0)؟

[T] أين القطع المكافئ y = x 2 الأقرب للنقطة (0 ، 3)؟

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بإعداد كل مشكلة من مشكلات التحسين ، ولكن لا تقم بتقييمها.

تتكون النافذة من نصف دائرة موضوعة فوق مستطيل. إذا كان لديك 20 قدمًا من مواد إطارات النوافذ للإطار الخارجي ، فما هو الحد الأقصى لحجم النافذة التي يمكنك إنشاؤها؟ استخدم r لتمثيل نصف قطر نصف الدائرة.

لديك صف حديقة مكون من 20 نبتة بطيخ تنتج ما معدله 30 بطيخة لكل قطعة. بالنسبة لأي نباتات بطيخ إضافية مزروعة ، ينخفض ​​الناتج لكل نبات بطيخ بمقدار بطيخ واحد. كم عدد نباتات البطيخ الإضافية التي يجب أن تزرعها؟

أنت تصنع صندوقًا لتنام فيه قطتك. تبلغ تكلفة المادة القطيفة للقاع المربع من الصندوق 5 دولارات / قدم 2 ، وتبلغ تكلفة مادة الجوانب 2 دولار / قدم 2. أنت بحاجة إلى صندوق بحجم 4 قدم 2. ابحث عن أبعاد الصندوق التي تقلل التكلفة. استخدم x لتمثيل طول جانب المربع.

أنت تقوم ببناء خمسة أقلام متطابقة متجاورة مع بعضها بمساحة إجمالية قدرها 1000 م 2 ، كما هو موضح في الشكل التالي. ما هي الأبعاد التي يجب أن تستخدمها لتقليل كمية السياج؟

أنت مدير مجمع سكني مكون من 50 وحدة. عندما تحدد مبلغ الإيجار 800 دولار شهريًا ، يتم تأجير جميع الشقق. كلما زادت الإيجار بمقدار 25 دولارًا في الشهر ، يتم تأجير شقة أقل. تبلغ تكاليف الصيانة 50 دولارًا شهريًا لكل وحدة مشغولة. ما هو الإيجار الذي يزيد إجمالي الربح إلى أقصى حد؟


SD-WAN مع تحسين WAN الموحد

Silver Peak Unity Boost & # x2122 عبارة عن حزمة أداء برنامج تحسين WAN اختيارية موحدة مع منصة Unity EdgeConnect & # x2122 SD-WAN edge. وهي مضمنة في نفس صورة برنامج EdgeConnect ، وهي ليست وظيفة شبكة افتراضية منفصلة ومتسلسلة بالخدمة أو جهازًا ماديًا. يتم تسليمها عند الطلب بنقرة فأرة من Unity Orchestrator & # x2122 GUI ، لإنشاء نظام أساسي واحد موحد تمامًا ، وبالتالي تقليل التكلفة وزيادة أداء التطبيق وتقديم أعلى جودة من الخبرة للمستخدمين النهائيين. يوفر الحل أيضًا رؤية حول التطبيقات التي تم تحسينها ومقدارها.

بالنسبة لمؤسسات مثل Solis Mammography ، وهي شركة وطنية رائدة في خدمات التصوير الشعاعي للثدي والتصوير ، أصبح Boost جزءًا مهمًا من البنية التحتية لشبكة WAN لتسريع نقل الملفات الكبيرة عبر مزيج من اتصالات MPLS والنطاق العريض. تم تقليل وقت الجلب المسبق للصورة ليلاً من 13 ساعة إلى 4.5 ساعة. يمكن للخبراء الطبيين في موقع معين الآن تحليل الصور من مواقع متعددة لتوفير التشخيص بشكل أسرع ، وتقديم رعاية عالية الجودة من خلال البقاء في مكان واحد بدلاً من الاضطرار إلى إضاعة الوقت في السفر إلى مواقع متعددة.


نموذج أمثل متعدد الأهداف لمشكلة تخصيص بوابة المطار

الغرض من هذه الورقة هو تقديم حلول مجدية وسريعة لمشكلة تخصيص بوابة المطار متعددة الأغراض (AGAP) مع الأخذ في الاعتبار كل من الأهداف الموجهة للمسافرين والموجهة نحو شركات الطيران ، وهي المسافة الإجمالية سيرا على الأقدام من البوابة إلى عربات الأمتعة (TWD) و إجمالي استهلاك وقود الطائرات أثناء عمليات التاكسي (TFC). بالإضافة إلى ذلك ، فإن الحصول على حلول مجدية وشبه مثالية في وقت قصير يقلل من وقت تخطيط البوابة الذي سيقضيه مراقبو الحركة الجوية.

التصميم / المنهجية / النهج

يتم تنفيذ نهج البرمجة الخطية المختلطة (MILP) لحل AGAP متعدد الأهداف. تم تطبيق تقنية نهج المجموع الموزون في النموذج للحصول على حلول غير خاضعة للسيطرة. بسبب تعقيد المشكلة ، تم استخدام خوارزمية التلدين المحاكى (SA) للنموذج المقترح. تمت مقارنة النتائج مع نتائج خط الأساس ، والتي تم الحصول عليها من الخوارزمية باستخدام أسرع مجموعات تخصيص البوابة ومجموعة الأمتعة الدوارة دون حدوث أي تعارض عند تعيينات البوابة.

الموجودات

خفض النموذج المقترح بشكل ملحوظ كلا من TWD و TFC. تغير تحسين TWD و TFC من 22.8٪ إلى 46.9٪ ومن 4.7٪ إلى 7.1٪ على التوالي ، وفقًا لأولويات الأهداف. بالإضافة إلى ذلك ، تم حساب متوسط ​​عدد الحلول غير المسيطرة على أنه 6.94 ، والذي يقدم العديد من الحلول الممكنة لمراقبي الحركة الجوية لإدارة حركة المرور الأرضية مع مراعاة أهداف شركات الطيران والركاب.

نواتج عملية

يتضمن نموذج MILP المقترح أهداف أصحاب المصلحة المختلفين: مراقبو الحركة الجوية والركاب وشركات الطيران. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أن يوفر النموذج المقترح تخصيصات بوابة وأمتعة دائرية مجدية معًا في وقت قصير. لذلك ، يخلق النموذج مرونة لمراقبي الحركة الجوية لإعادة ترتيب التخصيصات في حالة حدوث أي مواقف غير متوقعة.

الأصالة / القيمة

يجمع نموذج MILP المقترح بين TWD و TFC معًا من أجل مشكلة AGAP باستخدام SA. علاوة على ذلك ، يدمج النموذج المقترح الأهداف الموجهة للركاب والموجهة نحو شركات الطيران معًا ويكشف العلاقات بين الأهداف في وقت قصير فقط.


تأتي كلمة الاستدلال من اليونانية (heur & iacuteskein) وتعني البحث أو الاكتشاف. تجد التقنيات الاستكشافية حلولًا تجعل من الممكن حل المشكلات التي يصعب حلها باستخدام تقنيات أخرى ، مثل البرمجة الخطية وغير الخطية والبرمجة الصحيحة والبرمجة الديناميكية. تم تطوير العديد من الأساليب الاستدلالية بعضها مستوحى من الطبيعة ، مثل الخوارزميات التطورية. Others use different methodologies in order to discover good solutions in an efficient way. They have been successfully applied to solve a wide range of real‐world and complex engineering problems during the last few decades. One characteristic of these techniques is that they do not ensure that the solutions they provide are the best possible and that the necessary computational time is reasonable.

The topics of interest in this Special Issue include heuristic techniques applied to any field related to power systems, such as energy generation, distribution, and transmission networks smart grids energy storage renewable energy integration electric vehicles electricity markets electricity demands etc.

Heuristic techniques of interest for this Special Issue include, but are not limited to, the following:

  • Genetic algorithms
  • Evolution strategies
  • Evolutionary programming
  • Differential evolution
  • Particle swarm optimization
  • Ant colony algorithm
  • Tabu Search
  • Simulated annealing
  • Pareto multi-objective optimization
  • Pattern search.

Prof. Dr. José L. Bernal-Agustín
Prof. Dr. Rodolfo Dufo-López
Guest Editors

Manuscript Submission Information

Manuscripts should be submitted online at www.mdpi.com by registering and logging in to this website. Once you are registered, click here to go to the submission form. Manuscripts can be submitted until the deadline. All papers will be peer-reviewed. Accepted papers will be published continuously in the journal (as soon as accepted) and will be listed together on the special issue website. Research articles, review articles as well as short communications are invited. For planned papers, a title and short abstract (about 100 words) can be sent to the Editorial Office for announcement on this website.

Submitted manuscripts should not have been published previously, nor be under consideration for publication elsewhere (except conference proceedings papers). All manuscripts are thoroughly refereed through a single-blind peer-review process. A guide for authors and other relevant information for submission of manuscripts is available on the Instructions for Authors page. Energies is an international peer-reviewed open access semimonthly journal published by MDPI.

Please visit the Instructions for Authors page before submitting a manuscript. The Article Processing Charge (APC) for publication in this open access journal is 2000 CHF (Swiss Francs). Submitted papers should be well formatted and use good English. Authors may use MDPI's English editing service prior to publication or during author revisions.


Constrained minimization of multivariate scalar functions ( minimize )¶

The minimize function provides algorithms for constrained minimization, namely 'trust-constr' , 'SLSQP' and 'COBYLA' . They require the constraints to be defined using slightly different structures. The method 'trust-constr' requires the constraints to be defined as a sequence of objects LinearConstraint and NonlinearConstraint . Methods 'SLSQP' and 'COBYLA' , on the other hand, require constraints to be defined as a sequence of dictionaries, with keys type , fun and jac .

As an example let us consider the constrained minimization of the Rosenbrock function:

100left(x_<1>-x_<0>^<2> ight)^<2>+left(1-x_<0> ight)^ <2>& ext & x_0 + 2 x_1 leq 1 & & x_0^2 + x_1 leq 1 & & x_0^2 - x_1 leq 1 & & 2 x_0 + x_1 = 1 & & 0 leq x_0 leq 1 & & -0.5 leq x_1 leq 2.0. & end

This optimization problem has the unique solution ([x_0, x_1] = [0.4149,

0.1701]) , for which only the first and fourth constraints are active.

Trust-Region Constrained Algorithm ( method='trust-constr' )¶

The trust-region constrained method deals with constrained minimization problems of the form:

c^l leq c(x) leq c^u, & & x^l leq x leq x^u. & end

When (c^l_j = c^u_j) the method reads the (j) -th constraint as an equality constraint and deals with it accordingly. Besides that, one-sided constraint can be specified by setting the upper or lower bound to np.inf with the appropriate sign.

The implementation is based on [EQSQP] for equality-constraint problems and on [TRIP] for problems with inequality constraints. Both are trust-region type algorithms suitable for large-scale problems.

Defining Bounds Constraints:¶

The bound constraints (0 leq x_0 leq 1) and (-0.5 leq x_1 leq 2.0) are defined using a Bounds object.

Defining Linear Constraints:¶

The constraints (x_0 + 2 x_1 leq 1) and (2 x_0 + x_1 = 1) can be written in the linear constraint standard format:

and defined using a LinearConstraint object.

Defining Nonlinear Constraints:¶

and linear combination of the Hessians:

is defined using a NonlinearConstraint object.

Alternatively, it is also possible to define the Hessian (H(x, v)) as a sparse matrix,

When the evaluation of the Hessian (H(x, v)) is difficult to implement or computationally infeasible, one may use HessianUpdateStrategy . Currently available strategies are BFGS and SR1 .

Alternatively, the Hessian may be approximated using finite differences.

The Jacobian of the constraints can be approximated by finite differences as well. In this case, however, the Hessian cannot be computed with finite differences and needs to be provided by the user or defined using HessianUpdateStrategy .

Solving the Optimization Problem:¶

The optimization problem is solved using:

When needed, the objective function Hessian can be defined using a LinearOperator object,

or a Hessian-vector product through the parameter hessp .

Alternatively, the first and second derivatives of the objective function can be approximated. For instance, the Hessian can be approximated with SR1 quasi-Newton approximation and the gradient with finite differences.

Byrd, Richard H., Mary E. Hribar, and Jorge Nocedal. 1999. An interior point algorithm for large-scale nonlinear programming. SIAM Journal on Optimization 9.4: 877-900.

Lalee, Marucha, Jorge Nocedal, and Todd Plantega. 1998. On the implementation of an algorithm for large-scale equality constrained optimization. SIAM Journal on Optimization 8.3: 682-706.

Sequential Least SQuares Programming (SLSQP) Algorithm ( method='SLSQP' )¶

The SLSQP method deals with constrained minimization problems of the form:

Where (mathcal) or (mathcal) are sets of indices containing equality and inequality constraints.

Both linear and nonlinear constraints are defined as dictionaries with keys type , fun and jac .

And the optimization problem is solved with:

Most of the options available for the method 'trust-constr' are not available for 'SLSQP' .


Methods

QUBO mapping of TF–DNA binding problem

After processing the experimental data sets of ن sequences of fixed length إل and a measure of the binding affinity, we obtained the restricted data sets to which we applied six different machine learning strategies. Data sets were formulated as (left < ight)> ight>_^N) , where (vec phi _n equiv left( , ldots ,phi _> ight)^) is the transformed feature vector, and ذ ن is the binding affinity. Solving for the simplest model is equivalent to finding a vector of binary weights (vec w = left( > ight)) , where ث أنا ∈ <0, 1>, such that the quantity

is minimized. The problem can then be specified as finding a (vec w_<>>) such that

أين λ is a regularization (penalty) term included to prevent overfitting and (left| ight|_1 = mathop olimits_m w_m) is the number of non-zero weights. To represent the above as an Ising problem, note that we can rewrite Eq. (4) as follows:

Constants that do not affect the optimization are dropped in the latter step. This procedure demonstrates that the problem of TF-DNA binding can be formulated as a QUBO problem, which in turn can easily be transformed into an Ising Hamiltonian of the form in Eq. (1) and passed to DW. The data normalization procedure is described in Supplementary Material, Sec. SIC.

Technical details of algorithms

In order to solve practical problems of interest on DW, an embedding procedure must be used (see Supplementary Material, Sec. SIA). Some additional preprocessing was also performed for DW and SA to ensure that all response values were feasible (see Supplementary Material, Sec. SIC). DW, SA, SQA, MLR, Lasso and XGB were run on the same set of instances for assessment of the quantum annealer on the chosen problem. The experimental quantum processor, DW2X, was designed and built by D-Wave Systems, Inc. For each instance a total of 10,000 anneals ('runs') were collected from the processor, run with an annealing time of 20 μs. SA and SQA are classical analogs of QA that perform annealing on a classical and path integral Monte Carlo simulation of the Ising spin glass, respectively. SA and SQA were run with 10,000 sweeps (each sweep is an update of all spins) per repetition (or 'anneals') with an initial inverse temperature of 0.1 and a final inverse temperature of 3, for a total of 10,000 repetitions. The SA code was adapted from ref. 49 , and an in-house version of SQA was used. MLR is a widely used technique to minimize the loss function shown in Eq. (4), with the convex penalty term (lambda left| ight|_2^2) instead of the linear penalty term. Lasso has the linear penalty term 51 XGB uses boosted trees. 52 The weights (vec w) returned by MLR, Lasso and XGB are real-valued, whereas the weights returned by DW, SA and SQA (which solve a QUBO/Ising problem) are binary. In addition, DW, SA and SQA are probabilistic, meaning that a distribution of weights with different energies [the value of حص in Eq. (1)] are returned. Up to 20 of the lowest energy weights were included for both DW, SA and SQA (see Supplementary Material, Sec. SID for more details). The lower the energy, the better the particular solution is at minimizing Eq. (4). In contrast, MLR, Lasso and XGB are deterministic and return a single solution.

In the calibration phase, only one hyper-parameter, λ was tuned for DW, SA, SQA, MLR and Lasso. All five methods were tuned separately for both classification and ranking tasks, resulting in different optimal λ for each method (see Supplementary Material Tables S2 and S3 for final values of λ). With an older data set we varied both the number of sweeps for SA and the value of λ but results were not significantly different hence, here we only vary λ for SA. SA also has various other parameters that are related to the algorithm itself, including number of runs, initial and final temperature, and the cooling schedule, all of which affect the optimization performance. These parameters were not tuned. Similar additional parameters for DW, including annealing time and number of runs, were not tuned either. XGB’s performance depends on several hyper-parameters, and more careful tuning was necessary in order to give competitive performance. XGB parameters 52 that were considered include γ, the max_depth, and min_child_weight (all of which control model complexity), subsample, colsample_bytree, (which add randomness to make training robust to noise), as well as learning rate, η. Rather than doing a full grid search over all these parameters, parameters were tuned sequentially i.e., one value of η was fixed, then the best value of max_depth and min_child_weight were found. The optimal γ for those values was then found and finally subsample and colsample_bytree tuned. η was then varied and the process repeated. η was varied from 0.05 to 0.3, max_depth from 3 to 20, min_child_weight from 1 to 20, γ from 0 to 1, and subsample and colsample_bytree both from 0.6 to 1.

In the testing phase, we evaluated performance based on two metrics: the AUPRC for classification performance and Kendall’s τ for ranking performance. For the AUPRC, we reported mean values with standard deviations as error bars, whereas for Kendall’s τ the median value was presented.

Data processing and availability

Original probes for the gcPBM 40 data contained 16,000–18,000 sequences of 36 bp in length with the fluorescence intensity as a measure of binding affinity. The same data is used in 44 and may be downloaded from GEO (https://www.ncbi.nlm.nih.gov/geo/) under accession number GSE59845. Because of current limitations of the architecture of the DW device that limit the number of features that may be used, the data was truncated to the central 10 bp. For each sequence of 10 bp, we calculated its average gcPBM signal. In other words, all sequences in the data sets were unique. The final Mad, Max, and Myc data sets consisted of 1655, 1642, and 1584 sequences, respectively, of length 10 bp, and the logarithm base 2 with fluorescence intensities was used. The HT-SELEX data came from mammalian TFs 42 that was re-sequenced with on average 10-fold increase in sequencing depth. 47 The sequencing data is available at the European Nucleotide Archive (ENA—https://www.ebi.ac.uk/ena study identifier PRJEB14744) and was pre-processed following the protocol in ref. 47 After this first step of pre-processing, the Max and TCF4 data sets consisted of 3209 and 15,556 sequences of length 12 and 14 bp, respectively. The Max data set did not require further truncation, but one bp on the left and right flanks were trimmed for the TCF4 data set, giving a modified data set of 1826 sequences of length 12 bp. As with the gcPBM data, the relative affinity was averaged for each truncated sequence.


شاهد الفيديو: Applied Optimization Problems (شهر اكتوبر 2021).