مقالات

4.E: تطبيقات المشتقات (تمارين) - رياضيات


هذه هي تمارين الواجبات المنزلية لمرافقة "حساب التفاضل والتكامل" Textmap لـ OpenStax.

4.1: الأسعار ذات الصلة

للتمرينات التالية ، أوجد كميات المعادلة المحددة.

1) ابحث عن ( frac {dy} {dt} ) في (x = 1 ) و (y = x ^ 2 + 3 ) إذا ( frac {dx} {dt} = 4. )

الحل: (8 )

2) ابحث عن ( frac {dx} {dt} ) عند (x = −2 ) و (y = 2x ^ 2 + 1 ) إذا ( frac {dy} {dt} = - 1 . )

3) ابحث عن ( frac {dz} {dt} ) في ((x، y) = (1،3) ) و (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) إذا ( frac {dx} {dt} = 4 ) و ( frac {dy} {dt} = 3 ).

الحل: ( frac {13} { sqrt {10}} )

بالنسبة للتمارين التالية ، قم برسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم المعدلات ذات الصلة لحل الكميات.

4) [T] إذا تم توصيل مقاومين كهربائيين على التوازي ، فإن المقاومة الإجمالية (مقاسة بالأوم ، والمشار إليها بالحرف اليوناني الكبير أوميغا ، (Ω )) تُعطى بالمعادلة ( frac {1} {R } = frac {1} {R_1} + frac {1} {R_2}. ) إذا كان (R_1 ) يتزايد بمعدل (0.5Ω / دقيقة ) و (R_2 ) ينخفض ​​عند معدل (1.1Ω / دقيقة ) ، بأي معدل تتغير المقاومة الكلية عند (R_1 = 20Ω ) و (R_2 = 50Ω / دقيقة )؟

5) سلم طوله 10 أقدام يتكئ على الحائط. إذا انزلق الجزء العلوي من السلم إلى أسفل الحائط بمعدل 2 قدم / ثانية ، فما مدى سرعة تحرك الجزء السفلي على طول الأرض عندما يكون الجزء السفلي من السلم على بعد 5 أقدام من الحائط؟

الحل: (2 sqrt {3} قدم / ثانية )

6) سلم بطول 25 قدمًا يتكئ على الحائط. إذا دفعنا السلم نحو الحائط بمعدل 1 قدم / ثانية ، وكان قاع السلم في البداية (20 قدمًا ) بعيدًا عن الحائط ، فما مدى سرعة تحرك السلم لأعلى الحائط (5 ثوانٍ ) بعد نبدأ في الدفع؟

7) طائرتان تحلقان في الهواء على نفس الارتفاع: الطائرة A تطير شرقًا بسرعة 250 ميل / ساعة والطائرة B تحلق شمالًا عند (300 ميل / ساعة. ) إذا كان كلاهما متجهًا إلى نفس المطار ، 30 ميلاً شرق الطائرة "أ" و 40 ميلاً شمال الطائرة "ب" ، بأي معدل تتغير المسافة بين الطائرات؟

الحل: تتناقص المسافة عند (390 ميل / ساعة )

8) تركب أنت وصديقك دراجتك إلى مطعم تعتقد أنه شرق ؛ يعتقد صديقك أن المطعم في الشمال. كلاكما يغادران من نفس النقطة ، مع ركوبك بسرعة 16 ميلاً في الساعة شرقاً وصديقك يركب / (12 ميلاً في الساعة) شمالاً. بعد السفر (4 ميل ، ) بأي معدل تغير المسافة بينكما؟

9) تسير حافلتان على طول طريق سريع متوازي يفصل بينهما (5 أمتار ) ، أحدهما يتجه شرقا والآخر يتجه غربا بافتراض أن كل ناقل يقود بشكل ثابت (55 ميلاً في الساعة ) ، ابحث عن المعدل الذي تتغير به المسافة بين الحافلات عندما تكون (13 ميلًا ) جزءًا ، متجهة نحو بعضها البعض.

الحل: المسافة بينهما تتقلص بمعدل ( frac {1320} {13} ≈101.5mph. )

10) شخص يبلغ ارتفاعه 6 أقدام يبتعد عن عمود إنارة طوله 10 أقدام بمعدل ثابت (3 أقدام / ثانية ) ما هو معدل تحرك طرف الظل بعيدًا عن العمود عندما يكون الشخص 10 أقدام بعيدا عن القطب؟

باستخدام المسألة السابقة ، ما هو المعدل الذي يتحرك عنده طرف الظل بعيدًا عن الشخص عندما يكون الشخص على بعد 10 أقدام من القطب؟

الحل: ( frac {9} {2} قدم / ثانية )

11) شخص يبلغ طوله 5 أقدام يسير باتجاه الحائط بمعدل 2 قدم / ثانية. يوجد ضوء موضعي على الأرض على بعد 40 قدمًا من الحائط. ما مدى سرعة تغير ارتفاع ظل الشخص على الحائط عندما يكون الشخص على بُعد 10 أقدام من الحائط؟

12) باستخدام المسألة السابقة ، ما هو معدل تغير الظل عندما يكون الشخص على بعد 10 أقدام من الحائط ، إذا كان الشخص يبتعد عن الحائط بمعدل 2 قدم / ثانية؟

الحل: ينمو بمعدل ( frac {4} {9} ) قدم / ثانية

13) طائرة هليكوبتر تبدأ من الأرض ترتفع مباشرة في الهواء بمعدل 25 قدم / ثانية. أنت تجري على الأرض بدءًا من أسفل المروحية مباشرة بمعدل 10 قدم / ثانية. أوجد معدل تغير المسافة بينك وبين المروحية بعد 5 ثوان.

الحل: تزداد المسافة عند (( frac {135 sqrt {26})} {26} ) قدم / ثانية

14) بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

يزيد جانب المكعب بمعدل ( frac {1} {2} ) م / ثانية. أوجد المعدل الذي يزداد عنده حجم المكعب عندما يكون ضلع المكعب 4 أمتار.

يقل حجم المكعب بمعدل (10 ​​) م / ثانية. أوجد المعدل الذي يتغير به جانب المكعب عندما يكون ضلع المكعب 2 م.

Slution: (- frac {5} {6} ) م / ثانية

15) يزيد نصف قطر الدائرة بمعدل (2 ) م / ثانية. أوجد المعدل الذي تزداد به مساحة الدائرة عندما يكون نصف القطر 5 م.

16) يتناقص نصف قطر الكرة بمعدل (3 ) م / ثانية. أوجد معدل تناقص مساحة السطح عندما يكون نصف القطر 10 م.

الحل: (240π م ^ 2 / ثانية )

17) يزيد نصف قطر الكرة بمعدل 1 متر / ثانية. أوجد المعدل الذي يزداد فيه الحجم عندما يكون نصف القطر (20 ) م.

18) يزداد نصف قطر الكرة بمعدل 9 سم / ثانية. أوجد نصف قطر الكرة عندما يتزايد حجم ونصف قطر الكرة بنفس المعدل العددي.

الحل: ( frac {1} {2 sqrt {π}} ) سم

19) تتقلص قاعدة المثلث بمعدل 1 سم / دقيقة ويزداد ارتفاع المثلث بمعدل 5 سم / دقيقة. أوجد المعدل الذي تتغير به مساحة المثلث عندما يكون الارتفاع 22 سم والقاعدة 10 سم.

20) المثلث له ضلعان ثابتان طولهما 3 أقدام و 5 أقدام ، وتزداد الزاوية بين هذين الضلعين بمعدل 0.1 راد / ثانية. أوجد المعدل الذي تتغير به مساحة المثلث عندما تكون الزاوية بين الضلعين (π / 6. )

الحل: تتزايد المساحة بمعدل ( frac {(3 sqrt {3})} {8} ft_2 / sec. )

21) مثلث له ارتفاع يتزايد بمعدل 2 سم / ثانية ومساحته تتزايد بمعدل 4 (سم ^ 2 / ثانية ). أوجد المعدل الذي تتغير به قاعدة المثلث عندما يكون ارتفاع المثلث 4 سم والمساحة 20 (سم ^ 2 ).

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك المخروط الأيمن الذي يسرب الماء. يبلغ ارتفاع الخزان المخروطي 16 قدمًا ونصف قطره 5 أقدام.

22) ما مدى سرعة تغير عمق الماء عندما يكون ارتفاع الماء 10 أقدام إذا تسرب المخروط للماء بمعدل 10 (قدم ^ 3 / دقيقة )؟

الحل: ينخفض ​​عمق الماء بمعدل ( frac {128} {125π} ) قدم / دقيقة.

23) أوجد المعدل الذي تتغير به مساحة سطح الماء عندما يكون ارتفاع الماء 10 أقدام إذا تسرب المخروط للماء بمعدل 10 (قدم ^ 3 / دقيقة ).

24) إذا كان مستوى الماء ينخفض ​​بمعدل 3 بوصات / دقيقة عندما يكون عمق الماء 8 أقدام ، حدد معدل تسرب الماء من المخروط.

الحل: الحجم يتناقص بمعدل ( frac {(25π)} {16} قدم ^ 3 / دقيقة. )

25) تقوم أسطوانة عمودية بتسريب الماء بمعدل 1 (قدم ^ 3 / ثانية ). إذا كان ارتفاع الأسطوانة 10 أقدام ونصف قطرها قدمًا واحدًا ، فما معدل تغير ارتفاع الماء عندما يكون الارتفاع 6 أقدام؟

26) تسريب أسطوانة من الماء لكنك غير قادر على تحديد المعدل. ارتفاع الأسطوانة 2 م ونصف قطرها 2 م. أوجد معدل تسريب الماء خارج الأسطوانة إذا كان المعدل الذي يتناقص عنده الارتفاع 10 سم / دقيقة عندما يكون الارتفاع 1 م.

الحل: يتدفق الماء بمعدل ( frac {(2π)} {5} m_3 / min. )

27) حوض له نهايات على شكل مثلثات متساوية الساقين ، بعرض 3 م وارتفاع 4 م ، وطول الحوض 10 م. يتم ضخ المياه في الحوض بمعدل (5 م ^ 3 / دقيقة ). بأي معدل يتغير ارتفاع الماء عندما يكون عمق الماء مترًا واحدًا؟

28) الخزان على شكل هرم مربع مقلوب ، قاعدته 4 م في 4 م وارتفاعه 12 م (انظر الشكل التالي). ما مدى سرعة زيادة الارتفاع عندما يكون الماء بعمق 2 متر إذا تم ضخ المياه بمعدل ( frac {2} {3} ) م / ثانية؟

الحل: ( frac {3} {2} م / ثانية )

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك حوض سباحة على شكل النصف السفلي من الكرة ، يتم ملؤه بمعدل 25 (قدم ^ 3 ) / دقيقة. يبلغ نصف قطر المسبح 10 أقدام.

29) أوجد المعدل الذي يتغير عنده عمق الماء عندما يصل عمق الماء إلى 5 أقدام.

30) أوجد المعدل الذي يتغير عنده عمق الماء عندما يصل عمق الماء إلى قدم واحد.

الحل: ( frac {25} {19π} قدم / دقيقة )

31) إذا كان الارتفاع يتزايد بمعدل 1 بوصة / ثانية عندما يكون عمق الماء قدمين ، فأوجد معدل ضخ المياه.

32) يتم تفريغ الحصى من شاحنة ويسقط في كومة على شكل مخروط بمعدل 10 (قدم ^ 3 / دقيقة ). نصف قطر القاعدة المخروطية يساوي ثلاثة أضعاف ارتفاع المخروط. أوجد المعدل الذي يتغير عنده ارتفاع الحصى عندما يبلغ ارتفاع الكومة 5 أقدام.

الحل: ( frac {2} {45π} قدم / دقيقة )

33) باستخدام إعداد مشابه من المشكلة السابقة ، ابحث عن معدل تفريغ الحصى إذا كان ارتفاع الكومة 5 أقدام والارتفاع يتزايد بمعدل 4 بوصات / دقيقة.

للتمارين التالية ، ارسم المواقف وحل المشكلات ذات الصلة.

34) أنت ثابت على الأرض وتراقب طائرًا يطير أفقيًا بمعدل (10 ​​) م / ثانية. يقع الطائر على ارتفاع 40 مترًا فوق رأسك. ما مدى سرعة تغير زاوية الارتفاع عندما تكون المسافة الأفقية بينك وبين الطائر 9 أمتار؟

الحل: تقل الزاوية عند ( frac {400} {1681} راديان / ثانية. )

35) أنت تقف 40 قدمًا من زجاجة صاروخ على الأرض وتشاهدها وهي تقلع عموديًا في الهواء بمعدل 20 قدمًا / ثانية. أوجد المعدل الذي تتغير عنده زاوية الارتفاع عندما يصبح الصاروخ 30 قدمًا في الهواء.

36) تقع المنارة L على جزيرة تبعد 4 أميال عن أقرب نقطة P على الشاطئ (انظر الصورة التالية). إذا كان ضوء المنارة يدور في اتجاه عقارب الساعة بمعدل ثابت قدره 10 دورات / دقيقة ، فما السرعة التي يتحرك بها شعاع الضوء عبر الشاطئ على بعد ميلين من أقرب نقطة على الشاطئ؟

الحل: (100π / دقيقة )

37) باستخدام نفس الإعداد مثل المشكلة السابقة ، حدد السرعة التي يتحرك بها شعاع الضوء عبر الشاطئ على بعد ميل واحد من أقرب نقطة على الشاطئ.

38) أنت تمشي إلى محطة الباص في الزاوية اليمنى. أنت تتحرك شمالًا بمعدل 2 م / ثانية و 20 م جنوب التقاطع. تتحرك الحافلة غربًا بمعدل 10 م / ثانية بعيدًا عن التقاطع - لقد فاتتك الحافلة! ما معدل تغير الزاوية بينك وبين الحافلة عندما تكون 20 مترًا جنوب التقاطع والحافلة 10 مترًا غرب التقاطع؟

الحل: تتغير الزاوية بمعدل ( frac {21} {25} rad / sec ).

للتمارين التالية ، يرجى الرجوع إلى الشكل الماسي للبيسبول ، الذي يبلغ طول جوانبه 90 قدمًا.

39) [T] يضرب الضارب كرة باتجاه القاعدة الثالثة بسرعة 75 قدم / ثانية ويركض نحو القاعدة الأولى بمعدل 24 قدم / ثانية. بأي معدل تتغير المسافة بين الكرة والضرب بعد مرور 2 ثانية؟

40) [T] يضرب الضارب كرة باتجاه القاعدة الثانية بسرعة 80 قدمًا / ثانية ويركض نحو القاعدة الأولى بمعدل 30 قدمًا / ثانية. بأي معدل تتغير المسافة بين الكرة والضرب عندما قطع العداء ثلث المسافة إلى القاعدة الأولى؟ (تلميح: استرجع قانون جيب التمام.)

الحل: تتزايد المسافة بمعدل (62.50 ) قدم / ثانية.

41) [T] يضرب الضارب الكرة ويركض نحو القاعدة الأولى بسرعة 22 قدم / ثانية. بأي معدل تتغير المسافة بين العداء والقاعدة الثانية عندما يجري العداء 30 قدمًا؟

42) [T] المتسابقون يبدأون من القاعدة الأولى والثانية. عندما يتم ضرب كرة البيسبول ، يركض العداء في القاعدة الأولى بسرعة 18 قدمًا / ثانية نحو القاعدة الثانية ويتسابق العداء في القاعدة الثانية بسرعة 20 قدمًا / ثانية باتجاه القاعدة الثالثة. ما مدى سرعة تغيير المسافة بين العدائين بعد ثانية واحدة من ضرب الكرة؟

الحل: المسافة تتناقص بمعدل (11.99 ) قدم / ثانية.

4.2: التقريبات والتفاضلات الخطية

1) ما هو التقريب الخطي لأي دالة خطية عامة (y = mx + b )؟

2) تحديد الشروط اللازمة بحيث تكون دالة التقريب الخطي ثابتة. استخدم الرسم البياني لإثبات نتيجتك.

الحل: (f ′ (a) = 0 )

3) اشرح لماذا يصبح التقريب الخطي أقل دقة كلما زادت المسافة بين (س ) و (أ ). استخدم الرسم البياني لإثبات حجتك.

4) متى يكون التقريب الخطي دقيقًا؟

الحل: التقريب الخطي الدقيق عندما يكون (y = f (x) ) خطيًا أو ثابتًا.

للتدريبات التالية ، ابحث عن التقريب الخطي (L (x) ) إلى (y = f (x) ) بالقرب من (x = a ) للوظيفة.

5) [T] (f (x) = x + x ^ 4، a = 0 )

6) [T] (f (x) = frac {1} {x}، a = 2 )

الحل: (L (x) = frac {1} {2} - frac {1} {4} (x − 2) )

7) [T] (f (x) = tanx، a = frac {π} {4} )

8) [T] (f (x) = sinx، a = frac {π} {2} )

الحل: (L (x) = 1 )

9) [T] (f (x) = xsinx، a = 2π )

10) [T] (f (x) = sin ^ 2x، a = 0 )

الحل: (L (x) = 0 )

بالنسبة للتدريبات التالية ، احسب القيم المعطاة ضمن 0.01 من خلال تحديد (f (x) ) و (a ) المناسبين ، وتقييم (L (x) = f (a) + f ′ (a) (س − أ). ) تحقق من إجابتك باستخدام الآلة الحاسبة.

11) [T] ((2.001) ^ 6 )

12) [T] (الخطيئة (0.02) )

الحل: (0.02 )

13) [T] (كوس (0.03) )

14) [T] ((15.99) ^ {1/4} )

الحل: (1.9996875 )

15) [T] ( frac {1} {0.98} )

16) [T] (الخطيئة (3.14) )

الحل: (0.001593 )

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد (f (x) ) و (a ) المناسب ، وقم بتقييم (L (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a). ) احسب الخطأ العددي في التقريبات الخطية التالية.

17) ((1.01)^3)

18) (كوس (0.01) )

الحل: (1؛ ) خطأ (~ 0.00005 )

19) ((الخطيئة (0.01)) ^ 2 )

20) ((1.01)^{−3})

الحل: (0.97؛ ) خطأ (~ 0.0006 )

21) ((1+ frac {1} {10}) ^ {10} )

22) ( sqrt {8.99} )

الحل: (3− frac {1} {600}؛ ) خطأ ، (~ 4.632 × 10 ^ {- 7} )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن تفاضل الوظيفة.

23) (ص = 3 س ^ 4 + س ^ 2−2x + 1 )

24) (ص = xcosx )

الحل: (dy = (cosx − xsinx) dx )

25) (y = sqrt {1 + x} )

26) (y = frac {x ^ 2 + 2} {x − 1} )

الحل: (dy = ( frac {x ^ 2−2x − 2} {(x − 1) ^ 2}) dx )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن التفاضل وقم بتقييم المعطى (x ) و (dx ).

27) (ص = 3 س ^ 2 − س + 6 ، س = 2 ، دكس = 0.1 )

28) (y = frac {1} {x + 1}، x = 1، dx = 0.25 )

الحل: (dy = - frac {1} {(x + 1) ^ 2} dx، - frac {1} {16} )

29) (y = tanx، x = 0، dx = frac {π} {10} )

30) (y = frac {3x ^ 2 + 2} { sqrt {x + 1}} ) ، x = 0 ، dx = 0.1 )

الحل: (dy = frac {9x ^ 2 + 12x − 2} {2 (x + 1) ^ {3/2}} dx، −0.1 )

31) (y = frac {sin (2x)} {x} ، x = π ، dx = 0.25 )

32) (y = x ^ 3 + 2x + frac {1} {x}، x = 1، dx = 0.05 )

الحل: (dy = (3x ^ 2 + 2− frac {1} {x ^ 2}) dx، 0.2 )

للتمارين التالية ، ابحث عن التغيير في الحجم (dV ) أو في مساحة السطح (dA. )

33) (dV ) إذا تغيرت جوانب المكعب من 10 إلى 10.1.

34) (dA ) إذا تغيرت جوانب المكعب من (x ) إلى (x + dx ).

الحل: (12xdx )

35) (dA ) إذا تغير نصف قطر الكرة من (r ) بواسطة (د. )

36) (dV ) إذا تغير نصف قطر الكرة من (r ) بواسطة (د ).

الحل: (4πr ^ 2dr )

37) (dV ) إذا تغير ارتفاع الأسطوانة الدائرية (r = 2 ) من 3 سم إلى (3.05 سم )

38) (dV ) إذا تغير ارتفاع الأسطوانة الدائرية 3 من (r = 2 ) إلى (r = 1.9 سم. )

الحل: (- 1.2πcm ^ 3 )

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم الفروق لتقدير الحد الأقصى والخطأ النسبي عند حساب مساحة السطح أو الحجم.

39) يتم قياس كرة الجولف الكروية بنصف قطر (5 مم ، ) مع وجود خطأ قياس محتمل قدره (0.1 مم ) ما هو التغيير المحتمل في الحجم؟

40) لحوض السباحة قاعدة مستطيلة طولها 10 أقدام في 20 قدمًا وعمقها 6 أقدام ، ما هو التغير في الحجم إذا قمت بملئها حتى 5.5 قدم فقط؟

الحل: (- 100 قدم ^ 3 )

41) ارتفاع مخروط الآيس كريم 4 بوصة ونصف قطره 1 بوصة. إذا كان سمك المخروط 0.1 بوصة ، فما الفرق بين حجم المخروط ، بما في ذلك القشرة ، وحجم الآيس كريم الذي يمكنك ملاءمته داخل القشرة

بالنسبة للتدريبات التالية ، تأكد من التقديرات التقريبية باستخدام التقريب الخطي في (x = 0. )

42) ( sqrt {1 − x} ≈1− frac {1} {2} x )

43) ( frac {1} { sqrt {1 − x ^ 2}} ≈1 )

44) ( sqrt {c ^ 2 + x ^ 2} ≈c )

4.3: الحد الأقصى والحد الأدنى

1) في حساب التفاضل والتكامل ، تعلمت صيغة لموضع الحد الأقصى أو الحد الأدنى للمعادلة التربيعية (y = ax ^ 2 + bx + c ) ، والتي كانت (m = - frac {b} {(2a )} ). برهن على هذه الصيغة باستخدام التفاضل والتكامل.

2) إذا كنت تعثر على حد أدنى مطلق خلال فترة ([أ ، ب] ، ) فلماذا تحتاج إلى التحقق من نقاط النهاية؟ ارسم رسمًا بيانيًا يدعم فرضيتك.

الحل: قد تختلف الإجابات

3) إذا كنت تفحص دالة خلال فترة ((أ ، ب) ، ) من أجل (أ ) و (ب ) محدودة ، فهل من الممكن ألا يكون لديك حد أقصى مطلق أو حد أدنى مطلق؟

4) عند التحقق من النقاط الحرجة ، اشرح لماذا تحتاج أيضًا إلى تحديد النقاط التي يكون فيها (f (x) ) غير معرّف. ارسم رسمًا بيانيًا لدعم تفسيرك.

الحل: ستختلف الإجابات

5) هل يمكنك الحصول على حد أقصى مطلق لـ (y = ax ^ 2 + bx + c ) over ((- ∞، ∞) )؟ اشرح لماذا أو لماذا لا تستخدم الحجج الرسومية.

6) هل يمكنك الحصول على حد أقصى مطلق لـ (y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) over ((- ∞، ∞) ) بافتراض أن a غير صفري؟ اشرح لماذا أو لماذا لا تستخدم الحجج الرسومية.

الحل: لا ؛ الأجوبة ستختلف

7) دع (م ) هو رقم الحدود الدنيا المحلية و (م ) يكون رقم الحد الأقصى المحلي. هل يمكنك إنشاء دالة حيث (M> m + 2 )؟ ارسم رسمًا بيانيًا لدعم تفسيرك.

8) هل من الممكن الحصول على أكثر من حد أقصى مطلق؟ استخدم حجة رسومية لإثبات فرضيتك.

الحل: بما أن الحد الأقصى المطلق هو قيمة الوظيفة (المخرجات) بدلاً من قيمة x ، فإن الإجابة هي لا ؛ الأجوبة ستختلف

9) هل من الممكن ألا يكون هناك حد أدنى أو أقصى مطلق لوظيفة ما؟ إذا كان الأمر كذلك ، فقم بإنشاء مثل هذه الوظيفة. إذا لم يكن كذلك ، اشرح لماذا هذا غير ممكن.

10) [T] ارسم الدالة (y = e ^ {ax}. ) لأي قيم (a ) ، في أي مجال غير محدود ، هل سيكون لديك حد أدنى وأقصى مطلق؟

الحل: متى (أ = 0 )

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد مكان الحد الأقصى والحد الأدنى المحلي والمطلق على الرسم البياني المعطى. افترض المجالات هي فترات مغلقة ما لم ينص على خلاف ذلك.

11)

12)

الحل: الحد الأدنى المطلق عند 3 ؛ الحد الأقصى المطلق عند −2.2 ؛ الحد الأدنى المحلي عند −2 ، 1 ؛ الحد الأقصى المحلي عند −1 ، 2

13)

14)

الحل: حد أدنى مطلق عند −2 ، 2 ؛ الحد الأقصى المطلق عند −2.5 ، 2.5 ؛ الحد الأدنى المحلي عند 0 ؛ الحد الأقصى المحلي عند −1 ، 1

بالنسبة للمسائل التالية ، ارسم رسومات بيانية لـ (f (x)، ) وهي متصلة ، على الفاصل ([- 4،4] ) بالخصائص التالية:

15) الحد الأقصى المطلق عند (س = 2 ) والحد الأدنى المطلق عند (س = ± 3 )

16) الحد الأدنى المطلق عند (س = 1 ) والحد الأقصى المطلق عند (س = 2 )

الحل: قد تختلف الإجابات.

17) الحد الأقصى المطلق عند (س = 4 ، ) الحد الأدنى المطلق عند (س = −1 ، ) الحد الأقصى المحلي عند (س = −2 ، ) ونقطة حرجة ليست الحد الأقصى أو الحد الأدنى عند (س = 2 )

18) الحد الأقصى المطلق عند (س = 2 ) و (س = −3 ) ، الحد الأدنى المحلي عند (س = 1 ) ، والحد الأدنى المطلق عند (س = 4 )

الحل: قد تختلف الإجابات.

للتمارين التالية ، ابحث عن النقاط الحرجة في مجالات الوظائف التالية.

19) (ص = 4x ^ 3−3x )

20) (y = 4 sqrt {x} −x ^ 2 )

الحل: (س = 1 )

21) (y = frac {1} {x − 1} )

22) (y = ln (x − 2) )

الحل: لا يوجد

23) (ص = تان (س) )

24) (y = sqrt {4 − x ^ 2} )

الحل: (س = 0 )

25) (y = x ^ {3/2} −3x ^ {5/2} )

26) (y = frac {x ^ 2−1} {x ^ 2 + 2x − 3} )

الحل: لا يوجد

27) (ص = الخطيئة ^ 2 (س) )

28) (y = x + frac {1} {x} )

الحل: (x = −1،1 )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن الحد الأقصى المحلي و / أو المطلق للوظائف الموجودة في المجال المحدد.

29) (f (x) = x2 ^ + 3 ) over ([- 1،4] )

30) (y = x ^ 2 + frac {2} {x} ) على ([1،4] )

الحل: الحد الأقصى المطلق: (x = 4، y = frac {33} {2} )؛ الحد الأدنى المطلق: (س = 1 ، ص = 3 )

31) (y = (x − x ^ 2) ^ 2 ) على ([- 1،1] )

32) (y = frac {1} {(x − x ^ 2)} ) على ([0،1] )

الحل: الحد الأدنى المطلق: (x = frac {1} {2} ، y = 4 )

33) (y = sqrt {9 − x} ) فوق ([1،9] )

34) (y = x + sin (x) ) over ([0،2π] )

الحل: الحد الأقصى المطلق: (س = 2π ، ص = 2π ؛ ) الحد الأدنى المطلق: (س = 0 ، ص = 0 )

35) (y = frac {x} {1 + x} ) فوق ([0،100] )

36) (y = | x + 1 | + | x − 1 | ) أكثر من ([- 3،2] )

الحل: الحد الأقصى المطلق: (x = −3 ؛ ) الحد الأدنى المطلق: (- 1≤x≤1 ، y = 2 )

37) (y = sqrt {x} - sqrt {x ^ 3} ) فوق ([0،4] )

38) (y = sinx + cosx ) على ([0،2π] )

الحل: الحد الأقصى المطلق: (x = frac {π} {4}، y = sqrt {2} )؛ الحد الأدنى المطلق: (x = frac {5π} {4} ، y = - sqrt {2} )

39) (y = 4sinθ − 3cosθ ) على ([0،2π] )

للتمارين التالية ، أوجد الحد الأدنى المحلي والمطلق والحد الأقصى للوظائف التي تزيد عن ((- ∞، ∞). )

40) (ص = س ^ 2 + 4x + 5 )

الحل: الحد الأدنى المطلق: (س = −2 ، ص = 1 )

41) (ص = س ^ 3−12 س )

42) (ص = 3 س ^ 4 + 8 س ^ 3−18 × ^ 2 )

الحل: الحد الأدنى المطلق: (س = −3 ، ص = −135 ؛ ) الحد الأقصى المحلي: (س = 0 ، ص = 0 ) ؛ الحد الأدنى المحلي: (س = 1 ، ص = −7 )

43) (ص = س ^ 3 (1 − س) ^ 6 )

44) (y = frac {x ^ 2 + x + 6} {x − 1} )

الحل: الحد الأقصى المحلي: (x = 1−2 sqrt {2}، y = 3−4 sqrt {2} )؛ الحد الأدنى المحلي: (x = 1 + 2 sqrt {2}، y = 3 + 4 sqrt {2} )

45) (y = frac {x ^ 2−1} {x − 1} )

بالنسبة للوظائف التالية ، استخدم آلة حاسبة لرسم بياني للدالة ولتقدير الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق والمحلي. ثم حل لهم صراحة.

46) [T] (y = 3x sqrt {1 − x ^ 2} )

الحل: الحد الأقصى المطلق: (x = frac { sqrt {2}} {2}، y = frac {3} {2}؛ ) الحد الأدنى المطلق: (x = - frac { sqrt {2 }} {2} ، y = - frac {3} {2} )

47) [T] (y = x + sin (x) )

48) [T] (y = 12x ^ 5 + 45x ^ 4 + 20x ^ 3−90x ^ 2−120x + 3 )

الحل: الحد الأقصى المحلي: (س = −2 ، ص = 59 ) ؛ الحد الأدنى المحلي: (س = 1 ، ص = -130 )

49) [T] (y = frac {x ^ 3 + 6x ^ 2 − x − 30} {x − 2} )

50) [T] (y = frac { sqrt {4 − x ^ 2}} { sqrt {4 + x ^ 2}} )

الحل: الحد الأقصى المطلق: (س = 0 ، ص = 1 ؛ ) الحد الأدنى المطلق: (س = −2،2 ، ص = 0 )

51) الشركة التي تنتج الهواتف المحمولة لها دالة تكلفة تبلغ (C = x ^ 2−1200x + 36،400، ) حيث (C ) تكلف بالدولار و (x ) هو عدد الهواتف المحمولة المنتجة ( بالآلاف). كم عدد وحدات الهاتف الخلوي (بالآلاف) التي تقلل وظيفة التكلفة هذه؟

52) أُلقيت كرة في الهواء وتم تحديد موضعها من خلال (h (t) = - 4.9t ^ 2 + 60t + 5m. ) أوجد الارتفاع الذي تتوقف عنده الكرة عن الصعود. كم من الوقت بعد رميها يحدث هذا؟

الحل: (h = frac {9245} {49} m، t = frac {300} {49} s )

بالنسبة للتدريبات التالية ، ضع في اعتبارك إنتاج الذهب أثناء اندفاع الذهب في كاليفورنيا (1848-1888). يمكن نمذجة إنتاج الذهب بواسطة (G (t) = frac {(25t)} {(t ^ 2 + 16)} ) ، حيث t هو عدد السنوات منذ بدء الاندفاع ((0≤ t≤40) ) و (G ) هو أوقية الذهب المنتج (بالملايين). ويرد ملخص للبيانات في الشكل التالي.

53) اكتشف وقت حدوث الحد الأقصى (المحلي والعالمي) لإنتاج الذهب ، وكمية الذهب التي تم إنتاجها خلال هذا الحد الأقصى.

54) اكتشف وقت حدوث الحد الأدنى (المحلي والعالمي) لإنتاج الذهب. ما هي كمية الذهب التي تم إنتاجها خلال هذا الحد الأدنى؟

الحل: كان الحد الأدنى العالمي في عام 1848 ، عندما لم يتم إنتاج الذهب.

أوجد النقاط الحرجة ، والنقاط القصوى ، والصغرى للدوال متعددة التعريف التالية.

55) (y = begin {cases} x ^ 2−4x & 0≤x≤1 // x ^ 2−4 & 1

56) (y = begin {cases} x ^ 2 + 1 & x≤1 // x ^ 2−4x + 5 & x> 1 end {cases} )

الحل: الصغرى المطلقة: (س = 0 ، س = 2 ، ص = 1 ) ؛ الحد الأقصى المحلي عند (س = 1 ، ص = 2 )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن النقاط الحرجة للوظائف العامة التالية. هل هي الحد الأقصى أم الصغرى أم لا؟ اذكر الشروط اللازمة.

57) (ص = فأس ^ 2 + ب س + ج ، ) بالنظر إلى (أ> 0 )

58) (y = (x − 1) ^ a ) ، بالنظر إلى أن (a> 1 )

الحل: لا يوجد حد أقصى / حد أدنى إذا كان (a ) فرديًا ، والحد الأدنى عند (x = 1 ) إذا كان (a ) زوجيًا

4.4: نظرية القيمة المتوسطة

1) لماذا تحتاج إلى الاستمرارية لتطبيق نظرية القيمة المتوسطة؟ قم ببناء مثال مضاد.

2) لماذا تحتاج إلى التفاضل لتطبيق نظرية القيمة المتوسطة؟ ابحث عن مثال مضاد.

الحل: أحد الأمثلة هو (f (x) = | x | + 3، −2≤x≤2 )

3) متى تتكافأ نظرية رول ونظرية القيمة المتوسطة؟

4) إذا كانت لديك وظيفة بها انقطاع ، فهل لا يزال من الممكن أن يكون لديك (f ′ (c) (b − a) = f (b) −f (a)؟ ) ارسم مثل هذا المثال أو أثبت لماذا لا .

الحل: نعم ، لكن نظرية القيمة المتوسطة ما زالت غير سارية

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد الفترات الزمنية (إن وجدت) التي تنطبق عليها نظرية القيمة المتوسطة. برر جوابك.

5) (ص = الخطيئة (πx) )

6) (y = frac {1} {x ^ 3} )

الحل: ((- ∞، 0)، (0، ∞) )

7) (y = sqrt {4 x ^ 2} )

8) (y = sqrt {x ^ 2−4} )

الحل: ((- ∞، −2)، (2، ∞) )

9) (y = ln (3x − 5) )

للتمارين التالية ، قم برسم الوظائف على الآلة الحاسبة وارسم الخط القاطع الذي يربط بين نقاط النهاية. قدر عدد النقاط (ج ) بحيث (f ′ (c) (b − a) = f (b) −f (a). )

10) [T] (y = 3x ^ 3 + 2x + 1 ) أكثر ([- 1،1] )

الحل: 2 نقطة

11) [T] (y = tan ( frac {π} {4} x) ) فوق ([- frac {3} {2} ، frac {3} {2}] )

12) [T] (y = x ^ 2cos (πx) ) over ([- 2،2] )

الحل: 5 نقاط

13) [T] (y = x ^ 6− frac {3} {4} x ^ 5− frac {9} {8} x ^ 4 + frac {15} {16} x ^ 3 + frac {3} {32} x ^ 2 + frac {3} {16} x + frac {1} {32} ) over ([- 1،1] )

للتدريبات التالية ، استخدم نظرية القيمة المتوسطة وابحث عن جميع النقاط (0

14) (و (س) = س ^ 3 )

الحل: (c = frac {2 sqrt {3}} {3} )

15) (f (x) = الخطيئة (πx) )

16) (f (x) = cos (2πx) )

الحل: (c = frac {1} {2}، 1، frac {3} {2} )

17) (و (س) = 1 + س + س ^ 2 )

18) (و (س) = (س − 1) ^ {10} )

الحل: (ج = 1 )

19) (و (س) = (س − 1) ^ 9 )

بالنسبة للتمارين التالية ، أظهر عدم وجود (c ) مثل (f (1) −f (−1) = f ′ (c) (2) ). اشرح سبب عدم تطبيق نظرية القيمة المتوسطة على الفاصل ([- 1،1]. )

20) (f (x) = ∣x− frac {1} {2} ∣ )

الحل: غير قابل للتفاضل

21) (f (x) = frac {1} {x ^ 2} )

22) (f (x) = sqrt {| x |} )

الحل: غير قابل للتفاضل

23) (f (x) = [x] ) (تلميح: تسمى هذه وظيفة الكلمة ويتم تعريفها بحيث يكون (f (x) ) أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي (x ) ).)

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كانت نظرية القيمة المتوسطة تنطبق على الوظائف خلال الفترة الزمنية المحددة (([a، b] . قم بضبط إجابتك.

24) (y = e ^ x ) فوق ([0،1] )

الحل: نعم

25) (y = ln (2x + 3) ) فوق ([- frac {3} {2}، 0] )

26) (f (x) = تان (2πx) ) على ([0،2] )

الحل: لا تنطبق نظرية القيمة المتوسطة لأن الوظيفة غير متصلة في (x = frac {1} {4} ، frac {3} {4} ، frac {5} {4} ، frac {7 } {4}. )

27) (y = sqrt {9 − x ^ 2} ) أكثر ([- 3،3] )

28) (y = frac {1} {| x + 1 |} ) فوق ([0،3] )

الحل: نعم

29) (y = x ^ 3 + 2x + 1 ) فوق ([0،6] )

30) (y = frac {x ^ 2 + 3x + 2} {x} ) على ([- 1،1] )

الحل: لا تنطبق نظرية القيمة المتوسطة ؛ غير مستمر عند (س = 0. )

31) (y = frac {x} {sin (πx) +1} ) على ([0،1] )

32) (y = ln (x + 1) ) فوق ([0، e − 1] )

نعم

33) (y = xsin (πx) ) على ([0،2] )

34) (ص = 5 + | س | ) فوق ([- 1،1] )

الحل: لا تنطبق نظرية القيمة المتوسطة ؛ غير قابل للتفاضل عند (س = 0 ).

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك جذور المعادلة.

35) أظهر أن المعادلة (y = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 16 ) لها جذر حقيقي واحد بالضبط. ما هذا؟

36) أوجد الشروط لجذر واحد بالضبط (جذر مزدوج) للمعادلة (y = x ^ 2 + bx + c )

الحل: (b = ± 2 sqrt {c} )

37) أوجد الشروط لـ (y = e ^ x − b ) للحصول على جذر واحد. هل من الممكن أن يكون لها أكثر من جذر؟

للتدريبات التالية ، استخدم آلة حاسبة لرسم بياني للوظيفة على الفاصل ([a، b] ) ورسم خط القاطع من (a ) إلى (b ). استخدم الآلة الحاسبة لتقدير جميع قيم (ج ) على النحو الذي تضمنه نظرية القيمة المتوسطة. ثم ابحث عن القيمة الدقيقة لـ (ج ) ، إن أمكن ، أو اكتب المعادلة النهائية واستخدم الآلة الحاسبة لتقديرها إلى أربعة أرقام.

38) [T] (y = tan (πx) ) over ([- frac {1} {4}، frac {1} {4}] )

الحل: (c = ± frac {1} {π} cos ^ {- 1} ( frac { sqrt {π}} {2}) ، c = ± 0.1533 )

39) [T] (y = frac {1} { sqrt {x + 1}} ) فوق ([0،3] )

40) [T] (y = ∣x ^ 2 + 2x − 4∣ ) على ([- 4،0] )

الحل: لا تنطبق نظرية القيمة المتوسطة.

41) [T] (y = x + frac {1} {x} ) فوق ([ frac {1} {2}، 4] )

42) [T] (y = sqrt {x + 1} + frac {1} {x ^ 2} ) على ([3،8] )

الحل: ( frac {1} {2 sqrt {c + 1}} - frac {2} {c ^ 3} = frac {521} {2880}؛ c = 3.133،5.867 )

43) في الساعة 10:17 صباحًا ، تمر بسيارة شرطة بسرعة 55 ميلاً في الساعة متوقفة على الطريق السريع. تمر بسيارة شرطة ثانية بسرعة 55 ميلاً في الساعة في 10:53 صباحاً ، والتي تقع على بعد 39 ميلاً من أول سيارة شرطة. إذا كان الحد الأقصى للسرعة 60 ميلاً في الساعة ، فهل يمكن للشرطة أن تستشهد بك لتجاوز السرعة؟

44) تسير سيارتان من ضوء موضعي إلى آخر ، تغادران في نفس الوقت وتصلان في نفس الوقت. هل هناك وقت يذهبون فيه بنفس السرعة؟ إثبات أو دحض.

الحل: نعم

45) أظهر أن (y = sec ^ 2x ) و (y = tan ^ 2x ) لهما نفس المشتق. ماذا يمكنك أن تقول عن (y = sec ^ 2x − tan ^ 2x )؟

46) أظهر أن (y = csc ^ 2x ) و (y = cot ^ 2x ) لهما نفس المشتق. ماذا يمكنك أن تقول عن (y = csc ^ 2x − cot ^ 2x )؟

الحل: ثابت.

4.5: المشتقات وشكل الرسم البياني

1) إذا كانت c نقطة حرجة في (f (x) ) ، فمتى لا يوجد حد أقصى أو أدنى محلي عند (c )؟ يشرح.

2) بالنسبة للدالة (y = x ^ 3 ) ، هل (x = 0 ) نقطة انعطاف وحد ​​أقصى / أدنى محلي؟

الحل: إنه ليس حدًا أقصى / أدنى محلي لأن (f ′ ) لا يغير العلامة

3) بالنسبة للدالة (y = x ^ 3 ) ، هل (x = 0 ) نقطة انعطاف؟

4) هل من الممكن أن تكون النقطة (ج ) نقطة انعطاف ونقطة قصوى محلية لدالة قابلة للاشتقاق مرتين؟

الحل: لا

6) لماذا تحتاج إلى استمرارية أول اختبار مشتق؟ تعال مع مثال.

7) اشرح ما إذا كانت الدالة المقعرة يجب أن تتخطى (y = 0 ) لبعض قيمة (x ).

الحل: خطأ ؛ على سبيل المثال ، (y = sqrt {x} ).

8) اشرح ما إذا كانت كثيرة الحدود من الدرجة (2 ) يمكن أن تحتوي على نقطة انعطاف.

للتمارين التالية ، قم بتحليل الرسوم البيانية لـ (f ′ ) ، ثم قم بإدراج جميع الفواصل الزمنية التي يتزايد فيها f أو يتناقص.

9)

الحل: زيادة لـ (- 2 2 ) ؛ تناقص لـ (x <2 ) و (- 1

10)

11)

الحل: التناقص لـ (x <1 ) ، زيادة لـ (x> 1 )

12)

13)

الحل: التناقص لـ (- 2 2 )

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتحليل الرسوم البيانية لـ (f ′، ) ثم قم بإدراج جميع الفواصل الزمنية حيث

أ. (f ) يتزايد ويتناقص و

ب. تقع الحدود الدنيا والحد الأقصى.

14)

15)

الحل: أ. زيادة على (- 2 2 ) ، التناقص على (x <−2، −1

16)

17)

الحل: أ. زيادة على (س> 0 ) ، تناقص (س <0 ؛ ) ب. الحد الأدنى في (س = 0 )

18)

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتحليل الرسوم البيانية لـ (f ′ ) ، ثم قم بإدراج جميع نقاط الانعطاف والفواصل الزمنية (f ) المقعرة لأعلى والمقعرة للأسفل.

19)

الحل: مقعر على جميع (س ) ، لا توجد نقاط انعطاف

20)

21)

الحل: مقعر على الكل ، لا توجد نقاط انعطاف

22)

23)

الحل: مقعر لأعلى لـ (x <0 ) و (x> 1 ) ، مقعر لأسفل لـ (0

للتمارين التالية ، ارسم رسمًا بيانيًا يلبي المواصفات المحددة للمجال (x = [- 3،3]. ) ليس من الضروري أن تكون الوظيفة مستمرة أو قابلة للتفاضل.

24) (f (x)> 0، f ′ (x)> 0 ) over (x> 1، −3

25) (f ′ (x)> 0 ) over (x> 2، −3

الحل: ستختلف الإجابة

26) (f '' (x) <0 ) over (- 1 0، −3

27) يوجد حد أقصى محلي عند (x = 2، ) الحد الأدنى المحلي عند (x = 1، ) والرسم البياني ليس مقعرًا لأعلى أو لأسفل.

الحل: ستختلف الإجابات

28) هناك حد أقصى محلي عند (x = ± 1، ) الوظيفة مقعرة للجميع (x ) ، وتبقى الوظيفة موجبة للجميع (x. )

للتمارين التالية ، حدد

أ. الفواصل الزمنية حيث (f ) يتزايد أو يتناقص و

ب. الحد الأدنى المحلي والحد الأقصى لـ (f ).

29) (f (x) = sinx + sin ^ 3x ) على −π

المحلول:

أ. زيادة على (- frac {π} {2} frac { } {2} )

ب. الحد الأقصى المحلي عند (x = frac {π} {2} ) ؛ الحد الأدنى المحلي عند (x = - frac {π} {2} )

28) (و (س) = س ^ 2 + كوسكس )

للتمارين التالية ، حدد أ. الفترات التي يكون فيها (f ) مقعرًا لأعلى أو لأسفل ، و ب. نقاط انعطاف (و ).

29) (f (x) = x ^ 3−4x ^ 2 + x + 2 )

المحلول:

أ. تقعر لأعلى لـ (x> frac {4} {3}، ) مقعر لأسفل لـ (x < frac {34} {3} )

ب. نقطة الانقلاب عند (x = frac {4} {3} )

للتمارين التالية ، حدد

أ. فترات زمنية حيث (f ) يتزايد أو يتناقص ،

ب. الحد الأدنى المحلي والحد الأقصى لـ (f ) ،

ج. الفترات التي يكون فيها (f ) مقعرًا لأعلى ومتعرجًا لأسفل ، و

د. نقاط انعطاف (و. )

30) (و (س) = س ^ 2−6x )

31) (و (س) = س ^ 3−6x ^ 2 )

الحل: أ. زيادة على (x <0 ) و (x> 4، ) تناقص (0 2 ) ، مقعر لأسفل لـ (x <2 ) د. نقطة الإصابة عند (س = 2 )

32) (و (س) = س ^ 4−6x ^ 3 )

33) (f (x) = x ^ {11} −6x ^ {10} )

الحل: أ. الزيادة على (x <0 ) و (x> frac {60} {11} ) ، التناقص بمقدار (0 frac {54} {11} ) د. نقطة الانقلاب عند (x = frac {54} {11} )

34) (و (س) = س + س ^ 2 − س ^ 3 )

35) (و (س) = س ^ 2 + س + 1 )

الحل: أ. زيادة على (x> - frac {1} {2} ) ، التناقص أكثر من (x <- frac {1} {2} ) ب. الحد الأدنى عند (x = - frac {1} {2} ) ج. مقعر للجميع (س ) د. لا توجد نقاط انعطاف

36) (و (س) = س ^ 3 + س ^ 4 )

للتمارين التالية ، حدد

أ. الحد الأدنى المحلي والحد الأقصى لـ (f ، )

ج. نقاط انعطاف (f. ) ارسم المنحنى ، ثم استخدم الآلة الحاسبة لمقارنة إجابتك. إذا لم تتمكن من تحديد الإجابة الدقيقة بشكل تحليلي ، فاستخدم الآلة الحاسبة.

37) [T] (f (x) = الخطيئة (πx) −cos (πx) ) over (x = [- 1،1] )

الحل: أ. الزيادات التي تزيد عن (- frac {1} {4} frac {3} {4} ) و (x <- ) frac {1} {4} ) ب. الحد الأدنى عند (x = - frac {1} {4} ) ، والحد الأقصى عند (x = frac {3} {4} ) ج. تقعر لأعلى لـ (- frac {3} {4} frac {1} {4} ) د. نقاط الانعطاف عند (x = - frac {3} {4}، x = frac {1} {4} )

38) [T] (f (x) = x + sin (2x) ) over (x = [- frac {π} {2}، frac {π} {2}] )

39) [T] (f (x) = sinx + tanx ) over ((- frac {π} {2}، frac {π} {2}) )

الحل: أ. زيادة للجميع (س ) ب. لا يوجد حد أدنى محلي أو أقصى ج. مقعر لأعلى لـ (x> 0 ) ، مقعر لأسفل لـ (x <0 ) د. نقطة الانعطاف عند (س = 0 )

40) [T] (f (x) = (x − 2) ^ 2 (x − 4) ^ 2 )

41) [T] (f (x) = frac {1} {1 − x}، x ≠ 1 )

الحل: أ. زيادة للجميع (س ) حيث تم تعريفها ب. لا يوجد حد أدنى محلي أو حد أقصى ج. مقعر لأعلى لـ (x <1 ) ؛ مقعر لأسفل لـ (x> 1 ) د. لا توجد نقاط انعطاف في المجال

42) [T] (f (x) = frac {sinx} {x} ) over (x = [- 2π، 2π] [2π، 0) ∪ (0،2π] )

43) (f (x) = sin (x) e ^ x ) over (x = [- π، π] )

الحل: أ. زيادة فوق (- frac {π} {4} frac {3π} {4} ، x <- frac {π} {4} ) ب. الحد الأدنى عند (x = - frac {π} {4} ) ، الحد الأقصى عند (x = frac {3π} {4} ) ج. مقعر لأعلى لـ (- frac {π} {2} frac { π} {2} ) د. نقاط الإصابة عند (x = ± frac {π} {2} )

44) (f (x) = lnx sqrt {x}، x> 0 )

45) (f (x) = frac {1} {4} sqrt {x} + frac {1} {x}، x> 0 )

الحل: أ. زيادة على (x> 4، ) تناقص (0 8 sqrt [3] {2} ) د. نقطة الانقلاب عند (x = 8 sqrt [3] {2} )

46) (f (x) = frac {e ^ x} {x}، x ≠ 0 )

بالنسبة للتمارين التالية ، فسر الجمل من حيث (f، f ′، ) و (f ". )

47) ينمو السكان بشكل أبطأ. هنا (و ) هو عدد السكان.

الحل: (f> 0، f ′> 0، f '' <0 )

48) الدراجة تتسارع بشكل أسرع لكن السيارة تسير بشكل أسرع. هنا (f = ) موضع الدراجة مطروحًا منه موقع السيارة.

49) هبوط الطائرة بشكل سلس. هنا (f ) هو ارتفاع الطائرة.

الحل: (f> 0، f ′ <0، f '' <0 )

50) أسعار الأسهم في ذروتها. هنا (f ) هو سعر السهم.

51) الاقتصاد يتسارع. هنا (f ) هو مقياس للاقتصاد ، مثل الناتج المحلي الإجمالي.

الحل: (f> 0، f ′> 0، f ''> 0 )

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك كثير الحدود من الدرجة الثالثة (f (x) ، ) التي لها الخصائص f ′ (1) = 0 ، f ′ (3) = 0.

حدد ما إذا كانت العبارات التالية صحيحة أم خاطئة. برر جوابك.

52) (و (س) = 0 ) لبعض (1≤x≤3 )

53) (f '(x) = 0 ) لبعض (1≤x≤3 )

Soltuion: صحيح ، من خلال نظرية القيمة المتوسطة

54) لا يوجد حد أقصى مطلق عند (س = 3 )

55) إذا كان (f (x) ) له ثلاثة جذور ، فإنه يحتوي على (1 ) نقطة انعطاف.

الحل: صحيح ، افحص المشتق

56) إذا كان (f (x) ) له نقطة انعطاف واحدة ، فإن له ثلاثة جذور حقيقية.

4.6: حدود اللانهاية والخطوط المقاربة

للتمارين التالية ، قم بفحص الرسوم البيانية. حدد مكان الخطوط المقاربة العمودية.

1)

الحل: (س = 1 )

2)

3)

الحل: (س = -1 ، س = 2 )

4)

5)

الحل: (س = 0 )

بالنسبة للوظائف التالية (f (x) ) ، حدد ما إذا كان هناك خط مقارب عند (x = a ). برر إجابتك بدون رسم بياني على الآلة الحاسبة.

6) (f (x) = frac {x + 1} {x ^ 2 + 5x + 4}، a = −1 )

7) (f (x) = frac {x} {x − 2}، a = 2 )

الحل: نعم ، هناك خط مقارب عمودي

8) (و (س) = (س + 2) ^ {3/2} ، أ = −2 )

9) (و (س) = (س − 1) ^ {- 1/3} ، أ = 1 )

الحل: نعم ، يوجد خط مقارب عمودي

10) (و (س) = 1 + س ^ {- 2/5} ، أ = 1 )

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتقييم الحد.

11) (lim_ {x → ∞} frac {1} {3x + 6} )

الحل: (0 )

12) (lim_ {x → ∞} frac {2x − 5} {4x} )

13) (lim_ {x → ∞} frac {x ^ 2−2x + 5} {x + 2} )

الحل: (∞ )

14) (lim_ {x → −∞} frac {3x ^ 3−2x} {x ^ 2 + 2x + 8} )

15) (lim_ {x → −∞} frac {x ^ 4−4x ^ 3 + 1} {2−2x ^ 2−7x ^ 4} )

الحل: (- frac {1} {7} )

16) (lim_ {x → ∞} frac {3x} { sqrt {x ^ 2 + 1}} )

17) (lim_ {x → −∞} frac { sqrt {4x2−1}} {x + 2} )

الحل: (- 2 )

18) (lim_ {x → ∞} frac {4x} { sqrt {x2−1}} )

19) (lim_ {x → −∞} frac {4x} { sqrt {x2−1}} )

الحل: (- 4 )

20) (lim_ {x → ∞} frac {2 sqrt {x}} {x− sqrt {x} +1} )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية.

21) (f (x) = x− frac {9} {x} )

الحل: أفقي: لا شيء ، عمودي: (س = 0 )

22) (f (x) = frac {1} {1 − x ^ 2} )

23) (f (x) = frac {x ^ 3} {4 − x ^ 2} )

الحل: أفقي: لا شيء ، عمودي: (س = ± 2 )

24) (f (x) = frac {x ^ 2 +} {3x ^ 2 + 1} )

25) (f (x) = sin (x) sin (2x) )

الحل: أفقي: لا شيء ، عمودي: لا شيء

26) (f (x) = cosx + cos (3x) + cos (5x) )

27) (f (x) = frac {xsin (x)} {x ^ 2−1} )

الحل: أفقي: (ص = 0 ، ) عمودي: (س = ± 1 )

28) (f (x) = frac {x} {sin (x)} )

29) (f (x) = ( frac {1} {x ^ 3 + x ^ 2} )

الحل: أفقي: (y = 0 ، ) عمودي: (x = 0 ) و (x = −1 )

30) (f (x) = frac {1} {x − 1} −2x )

31) (f (x) = frac {x ^ 3 + 1} {x ^ 3−1} )

الحل: أفقي: (ص = 1 ، ) عمودي: (س = 1 )

32) (f (x) = frac {sinx + cosx} {sinx − cosx} )

33) (f (x) = x − sinx )

الحل: أفقي: لا شيء ، عمودي: لا شيء

34) (f (x) = frac {1} {x} - sqrt {x} )

بالنسبة للتمارين التالية ، أنشئ دالة (f (x) ) تحتوي على الخطوط المقاربة المحددة.

35) (س = 1 ) و (ص = 2 )

الحل: ستختلف الإجابات ، على سبيل المثال: (y = frac {2x} {x − 1} )

36) (س = 1 ) و (ص = 0 )

37) (ص = 4 ، س = -1 )

الحل: ستختلف الإجابات ، على سبيل المثال: (y = frac {4x} {x + 1} )

38) (س = 0)

للتمارين التالية ، قم برسم الوظيفة على آلة حاسبة بيانية في النافذة (x = [- 5،5] ) وقم بتقدير الخط المقارب الأفقي أو الحد. ثم احسب خط التقارب الأفقي الفعلي أو الحد.

39) [T] (f (x) = frac {1} {x + 10} )

الحل: (ص = 0 )

40) [T] (f (x) = frac {x + 1} {x ^ 2 + 7x + 6} )

41) [T] (lim_ {x → −∞} x ^ 2 + 10x + 25 )

الحل: (∞ )

42) [T] (lim_ {x → −∞} frac {x + 2} {x ^ 2 + 7x + 6} )

43) [T] (lim_ {x → ∞} frac (3x + 2} {x + 5} )

الحل: (ص = 3 )

للتمارين التالية ، ارسم رسمًا بيانيًا للوظائف بدون استخدام الآلة الحاسبة. تأكد من ملاحظة جميع السمات المهمة للرسم البياني: الحدود القصوى والصغرى المحلية ، ونقاط الانعطاف ، والسلوك المقارب.

44) (ص = 3 س ^ 2 + 2 س + 4 )

45) (ص = س ^ 3−3x ^ 2 + 4 )

المحلول:

46) (y = frac {2x + 1} {x ^ 2 + 6x + 5} )

47) (y = frac {x ^ 3 + 4x ^ 2 + 3x} {3x + 9} )

المحلول:

48) (y = frac {x ^ 2 + x − 2} {x ^ 2−3x − 4} )

49) (y = sqrt {x ^ 2−5x + 4} )

المحلول:

50) (y = 2x sqrt {16 − x ^ 2} )

51) (y = frac {cosx} {x} ) ، في (x = [- 2π، 2π] )

المحلول:

52) (y = e ^ x − x ^ 3 ) )

53) (y = xtanx، x = [- π، π] )

المحلول:

54) (ص = xln (س) ، س> 0 )

55) (y = x ^ 2sin (x) ، x = [- 2π، 2π] )

المحلول:

56) بالنسبة لـ (f (x) = frac {P (x)} {Q (x)} ) للحصول على خط مقارب عند (y = 2 ) ثم كثيرات الحدود (P (x) ) و (س (س) ) يجب أن يكون لها علاقة؟

57) بالنسبة لـ (f (x) = frac {P (x)} {Q (x)} ) للحصول على خط مقارب عند (x = 0 ) ، ثم كثيرات الحدود (P (x) ) و (س (س). ) يجب أن يكون لها علاقة؟

الحل: يجب أن يحتوي (Q (x). ) على (x ^ {k + 1} ) كعامل ، حيث يكون (P (x) ) (x ^ k ) عاملاً.

58) إذا كان (f ′ (x) ) به خطوط مقاربة عند (y = 3 ) و (x = 1 ) ، إذن ما هي الخطوط المقاربة (f (x) )؟

59) كلاهما (f (x) = frac {1} {(x − 1)} ) و (g (x) = frac {1} {(x − 1) ^ 2} ) لهما خطوط مقاربة في (x = 1 ) و (y = 0. ) ما هو الفرق الأكثر وضوحًا بين هاتين الوظيفتين؟

الحل: (lim_ {x → 1 ^ −f (x) andlimx → 1 − g (x)

صح أم خطأ: كل نسبة من كثيرات الحدود لها خطوط مقاربة عمودية.

4.7: مشكلات التحسين التطبيقية

بالنسبة للتمارين التالية ، أجب بإثبات أو مثال مضاد أو شرح.

1) عندما تجد الحد الأقصى لمشكلة التحسين ، لماذا تحتاج إلى التحقق من علامة المشتق حول النقاط الحرجة؟

الحل: يمكن أن تكون النقاط الحرجة هي الحد الأدنى أو الحد الأقصى أو لا شيء.

2) لماذا تحتاج إلى التحقق من نقاط النهاية لمشكلات التحسين؟

3) صح أم خطأ. لكل دالة غير خطية مستمرة ، يمكنك إيجاد القيمة (x ) التي تزيد من حجم الدالة.

الحل: خطأ ؛ (y = −x ^ 2 ) له حد أدنى فقط

4) صح أم خطأ. لكل دالة مستمرة غير ثابتة في مجال مغلق ومحدود ، يوجد (x ) واحد على الأقل يقوم بتصغير الوظيفة أو تكبيرها.

للتمارين التالية ، قم بإعداد وتقييم كل مشكلة من مشكلات التحسين.

5) لحمل حقيبة على متن طائرة ، يجب أن يكون طول (+ عرض + ) ارتفاع الصندوق أقل من أو يساوي (62 بوصة ). بافتراض أن الارتفاع ثابت ، أوضح أن الحد الأقصى للحجم هو (V = h (31 - ( frac {1} {2}) h) ^ 2. ) ما هو الارتفاع الذي يسمح لك بالحصول على أكبر حجم؟

الحل: (h = frac {62} {3} ) بوصة.

6) تقوم بإنشاء صندوق من الورق المقوى بأبعاد (2 م × 4 م. ) ثم تقوم بقص مربعات متساوية الحجم من كل زاوية حتى تتمكن من طي الحواف. ما هي أبعاد الصندوق الأكبر حجمًا؟

7) أوجد العدد الصحيح الموجب الذي يصغر مجموع الرقم ومقلوبه.

الحل: (1 )

8) ابحث عن عددين موجبين بحيث يكون مجموعهما (10 ​​) ، وقم بتصغير وتعظيم مجموع مربعاتهما.

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك إنشاء قلم لإحاطة منطقة.

9) لديك (400 قدم ) سياج لبناء قلم مستطيل للماشية. ما هي أبعاد القلم التي تزيد المساحة؟

الحل: (100 قدم × 100 قدم )

10) لديك (800 قدم ) سياج لصنع قلم للخنازير. إذا كان لديك نهر على جانب واحد من عقارك ، فما هو أبعاد القلم المستطيل الذي يزيد من المساحة؟

11) تحتاج إلى بناء سياج حول مساحة (1600 قدم ) ما هي أبعاد القلم المستطيل لتقليل كمية المواد المطلوبة؟

الحل: (40 قدمًا في 40 قدمًا )

12) يتم توصيل قطبين بسلك متصل أيضًا بالأرض. العمود الأول بطول / (20 قدمًا) والقطب الثاني / (10 قدمًا). هناك مسافة (30 قدم ) بين القطبين. أين يجب تثبيت السلك على الأرض لتقليل كمية الأسلاك المطلوبة؟

13) [T] أنت تنتقل إلى شقة جديدة وتلاحظ أن هناك ركنًا يضيق فيه الرواق من (8 أقدام إلى 6 أقدام ). ما هو طول أطول عنصر يمكن حمله أفقيًا بالقرب من الزاوية؟

الحل: 19.73 قدم

14) يقيس نبض المريض (70 نبضة في الدقيقة ، 80 نبضة في الدقيقة ) ، ثم (120 نبضة في الدقيقة. ) لتحديد قياس دقيق للنبض ، يريد الطبيب معرفة القيمة التي تقلل من التعبير ((x − 70) ^ 2+ (x − 80) ^ 2 + (x − 120) ^ 2 )؟ ما هي القيمة التي تقلل منه؟

15) في المشكلة السابقة ، افترض أن المريض كان متوترًا أثناء القياس الثالث ، لذلك نحن نزن فقط نصف قيمة الآخرين. ما القيمة التي تصغر ((x − 70) ^ 2 + (x − 80) ^ 2 + frac {1} {2} (x − 120) ^ 2؟ )

الحل: (84 نبضة في الدقيقة )

16) يمكنك الجري بسرعة (6 ) ميلا في الساعة والسباحة بسرعة (3 ) ميلا في الساعة وتقع على الشاطئ ، (4 ) ميلا شرق جزيرة (1 ) ) ميل شمال الخط الساحلي. إلى أي مدى يجب أن تجري غربًا لتقليل الوقت اللازم للوصول إلى الجزيرة؟

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك عامل إنقاذ في بركة دائرية بقطر (40 م. ) يجب أن يصل إلى شخص يغرق على الجانب المقابل تمامًا من المسبح ، في الموضع (ج ). يسبح المنقذ بسرعة (v ) ويركض حول المسبح بسرعة (ث = 3 فولت )

17) ابحث عن وظيفة تقيس إجمالي الوقت المستغرق للوصول إلى الشخص الغارق كدالة لزاوية السباحة ، (θ ).

الحل: (T (θ) = frac {40θ} {3v} + frac {40cosθ} {v} )

18) ابحث عن الزاوية التي يجب أن يسبح فيها المنقذ للوصول إلى الشخص الغارق في أقل وقت ممكن.

19) تستخدم الشاحنة الغاز كـ (g (v) = av + frac {b} {v} ) ، حيث يمثل (v ) سرعة الشاحنة و (g ) يمثل جالون الوقود لكل ميل. بأي سرعة يتم تقليل استهلاك الوقود؟

الحل: (v = sqrt { frac {b} {a}} )

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك سيارة ليموزين تحصل على (m (v) = frac {(120−2v)} {5} ميل / غال ) بسرعة (v ) ، وتكاليف السائق ($ 15 / h ) والغاز هو ($ 3.5 / جالون )

20) أوجد التكلفة لكل ميل بسرعة (v. )

21) ابحث عن أرخص سرعة قيادة.

الحل: تقريبًا (34.02 ميل في الساعة )

بالنسبة للتدريبات التالية ، ضع في اعتبارك مطعم بيتزا يبيع البيتزا بإيرادات (R (x) = ax ) والتكاليف (C (x) = b + cx + dx ^ 2 ) ، حيث (x ) يمثل عدد البيتزا.

22) أوجد دالة الربح لعدد البيتزا. كم عدد البيتزا التي تحقق أكبر ربح لكل بيتزا؟

23) افترض أن (R (x) = 10x ) و (C (x) = 2x + x ^ 2 ) كم عدد البيتزا المباعة يزيد الربح إلى أقصى حد؟

الحل: (4 )

24) افترض أن (R (x) = 15x، ) و (C (x) = 60 + 3x + frac {1} {2} x ^ 2 ). كم عدد البيتزا المباعة يزيد الربح إلى أقصى حد؟

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك سلكًا بطول 4 أقدام مقطوعًا إلى قطعتين.قطعة واحدة تشكل دائرة نصف قطرها r والأخرى تشكل مربع جانب (x ).

25) اختر (س ) لتكبير مجموع مساحاتهم.

الحل: (0 )

26) اختر (س ) لتقليل مجموع مساحاتهم.

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك رقمين غير سالبين (س ) و (ص ) مثل (س + ص = 10 ). تعظيم وتقليل الكميات.

27) (س ص)

الحل: الحد الأقصى: (س = 5 ، ص = 5 ؛ ) الحد الأدنى: (س = 0 ، ص = 10 ) و (ص = 0 ، س = 10 )

28 (س ^ 2 ص ^ 2 )

29) (y− فارك {1} {x} )

الحل: الحد الأقصى: (س = 1 ، ص = 9 ؛ ) الحد الأدنى: لا شيء

30) (س ^ 2 − ص )

للتمارين التالية ، ارسم مشكلة التحسين المحددة وحلها.

31) أوجد حجم أكبر أسطوانة دائرية قائمة تناسب كرة نصف قطرها (1 ).

الحل: ( frac {4π} {3 sqrt {3}} )

32) أوجد حجم أكبر مخروط قائم يناسب كرة نصف قطرها (1 ).

33) أوجد مساحة المستطيل الأكبر الذي يلائم المثلث ذي الأضلاع (x = 0، y = 0 ) و ( frac {x} {4} + frac {y} {6} = 1. )

الحل: (6 )

34) ابحث عن أكبر حجم للأسطوانة يتناسب مع مخروط له نصف قطر قاعدته (ص ) وارتفاع (ح ).

35) أوجد أبعاد حجم الأسطوانة المغلقة (V = 16π ) الذي يحتوي على أقل مساحة سطح.

الحل: (r = 2، h = 4 )

36) أوجد أبعاد المخروط الأيمن بمساحة السطح (S = 4π ) الذي يحتوي على أكبر حجم.

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك النقاط الموجودة على الرسوم البيانية المحددة. استخدم آلة حاسبة لرسم بياني للوظائف.

37) [T] أين السطر (y = 5−2x ) الأقرب إلى الأصل؟

الحل: ((2،1) )

38) [T] أين الخط (y = 5−2x ) الأقرب للنقطة ((1،1) )؟

39) [T] أين القطع المكافئ (y = x ^ 2 ) الأقرب للنقطة ((2،0) )؟

الحل: ((0.8351،0.6974) )

40) [T] أين القطع المكافئ (y = x ^ 2 ) الأقرب للنقطة ((0،3) )؟

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بإعداد كل مشكلة من مشكلات التحسين ، ولكن لا تقم بتقييمها.

41) تتكون النافذة من نصف دائرة توضع فوق مستطيل. إذا كان لديك (20 قدمًا ) من مواد إطارات النوافذ للإطار الخارجي ، فما هو الحد الأقصى لحجم النافذة التي يمكنك إنشاؤها؟ استخدم r لتمثيل نصف قطر نصف الدائرة.

الحل: (A = 20r − 2r ^ 2− frac {1} {2} πr ^ 2 )

42) لديك صف حديقة مكون من (20 ) نبات بطيخ ينتج متوسط ​​ (30 ) بطيخ للقطعة الواحدة. بالنسبة لأي نباتات بطيخ إضافية مزروعة ، ينخفض ​​الناتج لكل نبات بطيخ بمقدار بطيخ واحد. كم عدد نباتات البطيخ الإضافية التي يجب أن تزرعها؟

43) أنت تبني صندوقًا لتنام فيه قطتك. تكلف المادة القطيفة للقاع المربع من الصندوق (5 دولارات / قدم ^ 2 ) وتكاليف المواد الجانبية (2 دولار / قدم ^ 2 ) . أنت بحاجة إلى صندوق بحجم (4 قدم ^ 2 ). ابحث عن أبعاد الصندوق التي تقلل التكلفة. استخدم (x ) لتمثيل طول جانب المربع.

الحل: (C (x) = 5x ^ 2 + frac {32} {x} )

44) تقوم ببناء خمسة أقلام متطابقة متجاورة مع بعضها بمساحة إجمالية (1000 م ^ 2 ) ، كما هو موضح في الشكل التالي. ما هي الأبعاد التي يجب أن تستخدمها لتقليل كمية السياج؟

قائمة المصطلحات

مشاكل التحسين

المشكلات التي يتم حلها من خلال إيجاد الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة دالة

45) أنت مدير مجمع سكني به (50 ) وحدة. عندما تحدد قيمة الإيجار (800 دولار / شهر ، ) يتم تأجير جميع الشقق. مع زيادة الإيجار بمقدار ($ 25 / شهر ) ، يتم تأجير شقة أقل. تشغيل تكاليف الصيانة (50 دولار / شهر) لكل وحدة مشغولة. ما هو الإيجار الذي يزيد إجمالي الربح؟

الحل: (P (x) = (50 − x) (800 + 25x − 50) )

4.8: قاعدة L’Hôpital

بالنسبة للتدريبات من 1 إلى 6 ، قم بتقييم الحد.

1) احسب قيمة الحد ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {e ^ x} {x} ).

2) احسب قيمة الحد ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {e ^ x} {x ^ k} ).

إجابه
( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {e ^ x} {x ^ k} quad = quad ∞ )

3) احسب قيمة الحد ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac { ln x} {x ^ k} ).

4) احسب قيمة الحد ( displaystyle lim_ {x → a} frac {x − a} {x ^ 2 − a ^ 2} ).

إجابه
( displaystyle lim_ {x → a} frac {x − a} {x ^ 2 − a ^ 2} quad = quad frac {1} {2a} )

5. أوجد قيمة الحد ( displaystyle lim_ {x → a} frac {x − a} {x ^ 3 − a ^ 3} ).

6. قم بتقييم الحد ( displaystyle lim_ {x → a} frac {x − a} {x ^ n − a ^ n} ).

إجابه
( displaystyle lim_ {x → a} frac {x − a} {x ^ n − a ^ n} quad = quad frac {1} {na ^ {n − 1}} )

بالنسبة للتمارين من 7 إلى 11 ، حدد ما إذا كان يمكنك تطبيق قاعدة L’Hôpital مباشرة. اشرح لماذا ولماذا لا. بعد ذلك ، وضح ما إذا كانت هناك طريقة ما يمكنك من خلالها تغيير الحد بحيث يمكنك تطبيق قاعدة L’Hôpital.

7) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ^ 2 ln x )

8) ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ {1 / x} )

إجابه
لا يمكن التقديم مباشرة ؛ استخدم اللوغاريتمات

9) ( displaystyle lim_ {x → 0} x ^ {2 / x} )

10) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {x ^ 2} {1 / x} )

إجابه
لا يمكن التقديم مباشرة ؛ أعد الكتابة كـ ( displaystyle lim_ {x → 0} x ^ 3 )

11) ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {e ^ x} {x} )

بالنسبة للتدريبات من 12 إلى 40 ، قم بتقييم الحدود إما باستخدام قاعدة L’Hôpital أو الأساليب التي تم تعلمها مسبقًا.

12) ( displaystyle lim_ {x → 3} frac {x ^ 2−9} {x − 3} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 3} frac {x ^ 2−9} {x − 3} quad = quad 6 )

13) ( displaystyle lim_ {x → 3} frac {x ^ 2−9} {x + 3} )

14) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {(1 + x) ^ {- 2} −1} {x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0} frac {(1 + x) ^ {- 2} −1} {x} quad = quad -2 )

15) ( displaystyle lim_ {x → π / 2} frac { cos x} { frac {π} {2} −x} )

16) ( displaystyle lim_ {x → π} frac {x − π} { sin x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → π} frac {x − π} { sin x} quad = quad -1 )

17) ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {x − 1} { sin x} )

18) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {(1 + x) ^ n − 1} {x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0} frac {(1 + x) ^ n − 1} {x} quad = quad n )

19) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {(1 + x) ^ n − 1 − nx} {x ^ 2} )

20) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac { sin x− tan x} {x ^ 3} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0} frac { sin x− tan x} {x ^ 3} quad = quad - frac {1} {2} )

21) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac { sqrt {1 + x} - sqrt {1 − x}} {x} )

22) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {e ^ x − x − 1} {x ^ 2} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0} frac {e ^ x − x − 1} {x ^ 2} quad = quad frac {1} {2} )

23) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac { tan x} { sqrt {x}} )

24) ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {x-1} { ln x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 1} frac {x-1} { ln x} quad = quad 1 )

25) ( displaystyle lim_ {x → 0} ، (x + 1) ^ {1 / x} )

26) ( displaystyle lim_ {x → 1} frac { sqrt {x} - sqrt [3] {x}} {x − 1} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 1} frac { sqrt {x} - sqrt [3] {x}} {x − 1} quad = quad frac {1} {6} )

27) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ^ {2x} )

28) ( displaystyle lim_ {x → ∞} x sin left ( tfrac {1} {x} right))

إجابه
( displaystyle lim_ {x → ∞} x sin left ( tfrac {1} {x} right) quad = quad 1 )

29) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac { sin x − x} {x ^ 2} )

30) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ln left (x ^ 4 right))

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ln left (x ^ 4 right) quad = quad 0 )

31) (displaystyle lim_ {x → ∞} (x − e ^ x))

32) ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 2e ^ {- x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 2e ^ {- x} quad = quad 0 )

33) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {3 ^ x − 2 ^ x} {x} )

34) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {1 + 1 / x} {1−1 / x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0} frac {1 + 1 / x} {1−1 / x} quad = quad -1 )

35) ( displaystyle lim_ {x → π / 4} (1− tan x) cot x )

36) ( displaystyle lim_ {x → ∞} xe ^ {1 / x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → ∞} xe ^ {1 / x} quad = quad ∞ )

37) ( displaystyle lim_ {x → 0} x ^ {1 / cos x} )

38) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ {+}} x ^ {1 / x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0 ^ {+}} x ^ {1 / x} quad = quad 0 )

39) ( displaystyle lim_ {x → 0} left (1− frac {1} {x} right) ^ x )

40) ( displaystyle lim_ {x → ∞} left (1− frac {1} {x} right) ^ x )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → ∞} left (1− frac {1} {x} right) ^ x quad = quad frac {1} {e} )

بالنسبة للتمارين من 41 إلى 50 ، استخدم آلة حاسبة لرسم بياني للدالة وتقدير قيمة الحد ، ثم استخدم قاعدة L’Hôpital لإيجاد الحد مباشرةً.

41) [T] ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {e ^ x − 1} {x} )

42) [T] ( displaystyle lim_ {x → 0} x sin left ( tfrac {1} {x} right) )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0} x sin left ( tfrac {1} {x} right) quad = quad 0 )

43) [T] ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {x − 1} {1− cos (πx)} )

44) [T] ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {e ^ {x − 1} −1} {x − 1} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 1} frac {e ^ {x − 1} −1} {x − 1} quad = quad 1 )

45) [T] ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {(x − 1) ^ 2} { ln x} )

46) [T] ( displaystyle lim_ {x → π} frac {1+ cos x} { sin x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → π} frac {1+ cos x} { sin x} quad = quad 0 )

47) [T] ( displaystyle lim_ {x → 0} left ( csc x− frac {1} {x} right))

48) [T] ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} tan left (x ^ x right) )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} tan left (x ^ x right) quad = quad tan 1 )

49) [T] ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} frac { ln x} { sin x} )

50) [T] ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {e ^ x − e ^ {- x}} {x} )

إجابه
( displaystyle lim_ {x → 0} frac {e ^ x − e ^ {- x}} {x} quad = quad 2 )

4.9: طريقة نيوتن

للتمارين التالية ، اكتب صيغة نيوتن على النحو التالي (x_ {n + 1} = F (x_n) ) لحل (f (x) = 0 ).

1) (و (س) = س ^ 2 + 1 )

2) (و (س) = س ^ 3 + 2 س + 1 )

الحل: (F (x_n) = x_n− frac {x_n ^ 3 + 2x_n + 1} {3x_n ^ 2 + 2} )

3) (f (x) = sinx )

4) (و (س) = ه ^ س )

الحل: (F (x_n) = x_n− frac {e ^ {x_n}} {e ^ {x_n}} )

5) (f (x) = x ^ 3 + 3xe ^ x )

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بحل (f (x) = 0 ) باستخدام التكرار (x_ {n + 1} = x_ {n − c} f (x_n) ) ، والتي تختلف قليلاً عن طريقة نيوتن. ابحث عن c يعمل و (c ) الذي يفشل في التقارب ، باستثناء (c = 0. )

6) (f (x) = x ^ 2−4، ) مع (x_0 = 0 )

الحل: فشل (| c |> 0.5 ) ، يعمل (| c | ≤0.5 )

7) (f (x) = x ^ 2−4x + 3، ) مع (x_0 = 2 )

8) ما قيمة ("c" ) لطريقة نيوتن؟

الحل: (c = frac {1} {f ′ (x_n)} )

للتمارين التالية ، ابدأ من

أ. (x_0 = 0.6 ) و

ب. (x_0 = 2. )

احسب (x_1 ) و (x_2 ) باستخدام الطريقة التكرارية المحددة.

9) (x_ {n + 1} = x_n ^ 2− frac {1} {2} )

10) (x_ {n + 1} = 2x_n (1 − x_n) )

الحل: (a. x_1 = frac {12} {25}، x_2 = frac {312} {625}؛ b. x_1 = −4، x_2 = −40 )

11) (x_ {n + 1} = sqrt {x_n} )

12) (x_ {n + 1} = فارك {1} { sqrt {x_n}} )

الحل: (a. x_1 = 1.291، x_2 = 0.8801؛ b. x_1 = 0.7071، x_2 = 1.189 )

13) (x_ {n + 1} = 3x_n (1 − x_n) )

14) (x_ {n + 1} = x_n ^ 2 + x_ {n − 2} )

الحل: (a. x_1 = - frac {26} {25}، x_2 = - frac {1224} {625}؛ b. x_1 = 4، x_2 = 18 )

15) (x_ {n + 1} = فارك {1} {2} x_n − 1 )

16) (x_ {n + 1} = | x_n | )

الحل: (a. x_1 = frac {6} {10}، x_2 = frac {6} {10}؛ b. x_1 = 2، x_2 = 2 )

للتمارين التالية ، حل لأقرب أربع منازل عشرية باستخدام طريقة نيوتن وجهاز كمبيوتر أو آلة حاسبة. اختر أي تخمين أولي (x_0 ) ليس هو الجذر الدقيق.

17) (س ^ 2−10 = 0 )

18) (س ^ 4−100 = 0 )

الحل: (3.1623 أو − 3.1623 )

19) (س ^ 2 − س = 0 )

20) (س ^ 3 − س = 0 )

الحل: (0 ، −1 أو 1 )

21) (س + 5 كوز (س) = 0 )

22) (x + tan (x) = 0، ) اختر (x_0∈ (- frac {π} {2}، frac {π} {2}) )

الحل: (0 )

23) ( فارك {1} {1 − س} = 2 )

24) (1 + س + س ^ 2 + س ^ 3 + س ^ 4 = 2 )

الحل: (0.5188 ) أو (- 1.2906 )

25) (س ^ 3 + (س + 1) ^ 3 = 10 ^ 3 )

26) (س = sin2 ^ (س) )

الحل: (0 )

للتمارين التالية ، استخدم طريقة نيوتن لإيجاد النقاط الثابتة للدالة حيث (f (x) = x )؛ تقريب إلى ثلاثة أرقام عشرية.

27) (sinx )

28) (tan (x) ) في (x = ( frac {π} {2}، frac {3π} {2}) )

الحل: (4.493 )

29) (ه ^ س − 2 )

30) (ln (x) +2 )

الحل: (0.159،3.146 )

31) يمكن استخدام طريقة نيوتن لإيجاد الدوال العظمى والصغرى بالإضافة إلى الجذور. في هذه الحالة ، قم بتطبيق طريقة نيوتن على الدالة المشتقة (f ′ (x) ) لإيجاد جذورها ، بدلاً من الوظيفة الأصلية. للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك صياغة الطريقة.

للعثور على مرشحين للحد الأقصى والحد الأدنى ، نحتاج إلى إيجاد النقاط الحرجة (f ′ (x) = 0. ) أظهر أنه لحل النقاط الحرجة للدالة (f (x) ) ، طريقة نيوتن هي مُعطى بواسطة (x_ {n + 1} = x_n− frac {f ′ (x_n)} {f '(x_n)} ).

ما هي القيود الإضافية اللازمة للوظيفة (و )؟

الحل: نحتاج إلى (f ) أن نكون قابلين للتفاضل مرتين بشكل مستمر.

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم طريقة نيوتن للعثور على موقع الحدود الدنيا المحلية و / أو الحد الأقصى للوظائف التالية ؛ تقريب إلى ثلاثة أرقام عشرية.

32) الحد الأدنى (f (x) = x ^ 2 + 2x + 4 )

33) الحد الأدنى (f (x) = 3x ^ 3 + 2x ^ 2−16 )

الحل: (س = 0 )

34) الحد الأدنى (f (x) = x ^ 2e ^ x )

35) الحد الأقصى (f (x) = x + frac {1} {x} )

الحل: (x = −1 )

36) الحد الأقصى (f (x) = x ^ 3 + 10x ^ 2 + 15x − 2 )

37) الحد الأقصى (f (x) = frac { sqrt {x} - sqrt [3] {x}} {x} )

الحل: (x = 5.619 )

38) الحد الأدنى (f (x) = x ^ 2sinx ، ) أقرب حد أدنى غير صفري لـ (x = 0 )

39) الحد الأدنى (f (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + 3x ^ 2 + 12x + 6 )

الحل: (x = −1.326 )

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم الطريقة المحددة لحل المعادلة. إذا لم يعمل ، فشرح سبب عدم نجاحه.

40) طريقة نيوتن ، (س ^ 2 + 2 = 0 )

41) طريقة نيوتن ، (0 = e ^ x )

الحل: لا يوجد حل للمعادلة.

42) طريقة نيوتن ، (0 = 1 + x ^ 2 ) بدءًا من (x_0 = 0 )

43) حل (x_ {n + 1} = - x_n ^ 3 ) بدءًا من (x_0 = −1 )

الحل: يدخل في دورة.

للتمارين التالية ، استخدم طريقة قاطعة طريقة تكرارية بديلة لطريقة نيوتن. الصيغة معطاة من قبل

(x_n = x_ {n − 1} −f (x_ {n − 1}) frac {x_ {n − 1} −x_ {n − 2}} {f (x_ {n − 1}) - f ( x_ {n − 2})}. )

44) جذر لـ (0 = x ^ 2 − x − 3 ) دقيق لأقرب ثلاث منازل عشرية.

45) أوجد جذرًا حتى (0 = sinx + 3x ) دقيقًا لأقرب أربع منازل عشرية.

الحل: (0 )

46) أوجد جذرًا لـ (0 = e ^ x − 2 ) دقيقًا لأقرب أربع منازل عشرية.

47) أوجد جذرًا لـ (ln (x + 2) = frac {1} {2} ) دقيقًا لأربع منازل عشرية.

الحل: (- 0.3513 )

48) لماذا تستخدم طريقة القاطع على طريقة نيوتن؟ ما هي القيود الضرورية على (و )؟

للتمارين التالية ، استخدم طريقة نيوتن وطريقة القاطع لحساب جذر المعادلات التالية. استخدم الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر لحساب عدد التكرارات اللازمة لكل منها للوصول إلى ثلاثة منازل عشرية للإجابة الدقيقة. بالنسبة للطريقة القاطعة ، استخدم التخمين الأول من طريقة نيوتن.

49) (و (س) = س ^ 2 + 2 س + 1 ، س_0 = 1 )

الحل: نيوتن: (11 ) تكرارات ، قاطع: (16 ) تكرارات

50) (و (س) = س ^ 2 ، س_0 = 1 )

51) (f (x) = sinx ، x_0 = 1 )

الحل: نيوتن: ثلاث تكرارات ، القاطع: ستة تكرارات

52) (f (x) = e ^ x − 1، x_0 = 2 )

53) (و (س) = س ^ 3 + 2 س + 4 ، س_0 = 0 )

الحل: نيوتن: خمس تكرارات ، قاطع: ثماني تكرارات

في التدريبات التالية ، ضع في اعتبارك معادلة كبلر بخصوص مدارات الكواكب ، (M = E − εsin (E) ) ، حيث (M ) هو الشذوذ المتوسط ​​، (E ) هو شذوذ غريب الأطوار ، و and يقيس الانحراف.

54) استخدم طريقة نيوتن لحل الانحراف اللامركزي (E ) عندما يكون متوسط ​​الانحراف (M = frac {π} {3} ) وانحراف المدار (ε = 0.25؛ ) التقريب إلى ثلاثة كسور عشرية.

55) استخدم طريقة نيوتن لحل الانحراف اللامركزي (E ) عندما يكون متوسط ​​الانحراف (M = frac {3π} {2} ) وانحراف المدار (ε = 0.8 ؛ ) التقريب إلى ثلاثة كسور عشرية.

الحل: (E = 4.071 )

التمرينين التاليين يعتبران استثمارًا بنكيًا. الاستثمار الأولي هو ($ 10،000 ). بعد (25 ) سنة ، تضاعف الاستثمار ثلاث مرات ليصبح (30.000 دولار ).

56) استخدم طريقة نيوتن لتحديد معدل الفائدة إذا كانت الفائدة تتضاعف سنويًا.

57) استخدم طريقة نيوتن لتحديد معدل الفائدة إذا كانت الفائدة تتضاعف باستمرار.

الحل: (4.394٪ )

58) يمكن تحديد تكلفة طباعة كتاب من خلال المعادلة (C (x) = 1000 + 12x + ( frac {1} {2}) x ^ {2/3} ). استخدم طريقة نيوتن لإيجاد نقطة التعادل إذا كانت الطابعة تبيع كل كتاب مقابل (20 دولارًا )

4.10: المشتقات العكسية

بالنسبة للتمارين التالية ، أظهر أن (F (x) ) هي مشتقات عكسية لـ (f (x) ).

1) (F (x) = 5x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x + 1، f (x) = 15x ^ 2 + 4x + 3 )

الحل: (F ′ (x) = 15x ^ 2 + 4x + 3 )

2) (و (س) = س ^ 2 + 4x + 1 ، و (س) = 2 س + 4 )

3) (F (x) = x ^ 2e ^ x، f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x) )

الحل: (F ′ (x) = 2xe ^ x + x ^ 2e ^ x )

4) (F (x) = cosx، f (x) = - sinx )

5) (F (x) = e ^ x، f (x) = e ^ x )

الحل: (F ′ (x) = e ^ x )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن المشتق العكسي للدالة.

6) (f (x) = frac {1} {x ^ 2} + x )

7) (f (x) = e ^ x − 3x ^ 2 + sinx )

الحل: (F (x) = e ^ x − x ^ 3 − cos (x) + C )

8) (و (س) = ه ^ س + 3 س − س ^ 2 )

9) (f (x) = x − 1 + 4sin (2x) )

الحل: (F (x) = frac {x ^ 2} {2} −x − 2cos (2x) + C )

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن المشتق العكسي (F (x) ) لكل دالة (f (x). )

10) (f (x) = 5x ^ 4 + 4x ^ 5 )

11) (و (س) = س + 12 س ^ 2 )

الحل: (F (x) = frac {1} {2} x ^ 2 + 4x ^ 3 + C )

12) (f (x) = frac {1} { sqrt {x}} )

13) (f (x) = ( sqrt {x}) ^ 3 )

الحل: (F (x) = frac {2} {5} ( sqrt {x}) ^ 5 + C )

14) (f (x) = x ^ {1/3} + (2x) ^ {1/3} )

15) (f (x) = frac {x ^ {1/3}} {x ^ {2/3}} )

الحل: ((F (x) = frac {3} {2} x ^ {2/3} + C )

16) (f (x) = 2sin (x) + sin (2x) )

17) (و (س) = ثانية ^ 2 (س) +1 )

الحل: (F (x) = x + tan (x) + C )

18) (و (س) = sinxcosx )

19) (f (x) = sin ^ 2 (x) cos (x) )

الحل: (F (x) = frac {1} {3} sin ^ 3 (x) + C )

20) (و (س) = 0 )

21) (f (x) = frac {1} {2} csc ^ 2 (x) + frac {1} {x ^ 2} )

الحل: (F (x) = - frac {1} {2} cot (x) - frac {1} {x} + C )

22) (f (x) = cscxcotx + 3x )

23) (f (x) = 4cscxcotx − secxtanx )

الحل: (F (x) = - secx − 4cscx + C )

24) (f (x) = 8 ثوانٍ (secx tan 4tanx) )

25) (f (x) = frac {1} {2} e ^ {- 4x} + sinx )

الحل: (F (x) = - frac {1} {8} e ^ {- 4x} −cosx + C )

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم التكامل.

26) (∫ (−1) DX )

27) (∫sinxdx )

الحل: (- cosx + C )

28) (∫ (4x + sqrt {x}) dx )

29) (∫ frac {3x ^ 2 + 2} {x ^ 2} dx )

الحل: (3x− frac {2} {x} + C )

30) (∫ (secxtanx + 4x) dx )

31) (∫ (4 sqrt {x} + sqrt [4] {x}) dx )

الحل: ( frac {8} {3} x ^ {3/2} + frac {4} {5} x ^ {5/4} + C )

32) (∫ (x ^ {- 1/3} −x ^ {2/3}) dx )

33) (∫ frac {14x ^ 3 + 2x + 1} {x ^ 3} dx )

الحل: (14x− frac {2} {x} - frac {1} {2x ^ 2} + C )

34) (∫ (e ^ x + e ^ {- x}) dx )

بالنسبة للتمارين التالية ، حل مشكلة القيمة الأولية.

35) (و ′ (س) = س ^ {- 3} ، و (1) = 1 )

الحل: (f (x) = - frac {1} {2x ^ 2} + frac {3} {2} )

36) (f ′ (x) = sqrt {x} + x ^ 2، f (0) = 2 )

37) (f ′ (x) = cosx + sec ^ 2 (x)، f ( frac {π} {4}) = 2+ frac { sqrt {2}} {2} )

الحل: (f (x) = sinx + tanx + 1 )

38) (و ′ (س) = س ^ 3−8x ^ 2 + 16x + 1 ، و (0) = 0 )

39) (f ′ (x) = frac {2} {x ^ 2} - frac {x ^ 2} {2}، f (1) = 0 )

الحل: (f (x) = - frac {1} {6} x ^ 3− frac {2} {x} + frac {13} {6} )

للتمرينات التالية ، أوجد وظيفتين محتملتين (f ) في حالة المشتقات من الدرجة الثانية أو الثالثة

40) (و '' (س) = س ^ 2 + 2 )

41) (f '' (x) = e ^ {- x} )

الحل: قد تختلف الإجابات ؛ إجابة واحدة محتملة هي (f (x) = e ^ {- x} )

42) (و '' (س) = 1 + س )

43) (f '' '(x) = cosx )

الحل: قد تختلف الإجابات ؛ إجابة واحدة محتملة هي (f (x) = - sinx )

44) (f '' (x) = 8e ^ {- 2x} −sinx )

45) قيادة السيارة بمعدل (40 ) ميل في الساعة عند الضغط على الفرامل. تتباطأ السيارة بمعدل ثابت (10 ​​) قدم / ثانية 2. كم من الوقت قبل أن تتوقف السيارة؟

الحل: (5.867 ) ثانية

46) في المسألة السابقة ، احسب المسافة التي تقطعها السيارة في الوقت الذي تستغرقه للتوقف.

47) أنت تندمج في الطريق السريع ، وتسارع بمعدل ثابت (12 ) قدم / ثانية 2. ما هو الوقت الذي تستغرقه للوصول إلى سرعة الدمج عند (60 ) ميل في الساعة؟

الحل: (7.333 ) ثانية

48) بناءً على المشكلة السابقة ، ما المسافة التي تقطعها السيارة للوصول إلى سرعة الاندماج؟

49) تريد شركة سيارات التأكد من أن أحدث طراز لها يمكن أن يتوقف في (8 ) ثانية عند السفر بسرعة (75 ) ميل في الساعة. إذا افترضنا تباطؤًا ثابتًا ، فابحث عن قيمة التباطؤ الذي يحقق ذلك.

الحل: (13.75 قدم / ثانية ^ 2 )

50) تريد شركة سيارات ضمان توقف أحدث طراز لها في أقل من (450 ) قدم عند السفر بسرعة (60 ) ميل في الساعة. إذا افترضنا تباطؤًا ثابتًا ، فابحث عن قيمة التباطؤ الذي يحقق ذلك.

بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد المشتقة العكسية للدالة ، بافتراض (F (0) = 0. )

51) [T] (f (x) = x ^ 2 + 2 )

الحل: (F (x) = frac {1} {3} x ^ 3 + 2x )

52) [T] (f (x) = 4x− sqrt {x} )

53) [T] (f (x) = sinx + 2x )

الحل: (F (x) = x ^ 2 − cosx + 1 )

54) ([T] f (x) = e ^ x )

55) ([T] f (x) = frac {1} {(x + 1) ^ 2} )

الحل: (F (x) = - frac {1} {(x + 1)} + 1 )

56) [T] (f (x) = e ^ {- 2x} + 3x ^ 2 )

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة. إما إثبات صحتها أو العثور على مثال مضاد إذا كان خاطئًا.

57) إذا كان (f (x) ) هو المشتق العكسي لـ (v (x) ) ، فإن (2f (x) ) هو المشتق العكسي لـ (2v (x). )

الحل: صحيح

58) إذا كان (f (x) ) هو المشتق العكسي لـ (v (x) ) ، فإن (f (2x) ) هو المشتق العكسي لـ (v (2x). )

59) إذا كان (f (x) ) هو المشتق العكسي لـ (v (x)، ) فإن (f (x) +1 ) هو المشتق العكسي لـ (v (x) +1. )

الحل: خطأ

60) إذا كان (f (x) ) هو المشتق العكسي لـ (v (x) ) ، فإن ((f (x)) ^ 2 ) هو المشتق العكسي لـ ((v (x)) ^ 2. )

تمارين مراجعة الفصل

صحيحة أو خاطئة؟ برر إجابتك بإثبات أو مثال مضاد. افترض أن (f (x) ) مستمر وقابل للتفاضل ما لم ينص على خلاف ذلك.

1) إذا (f (−1) = - 6 ) و (f (1) = 2 ) ، إذن توجد نقطة واحدة على الأقل (x∈ [−1،1] ) بحيث ( و ′ (س) = 4. )

الحل: صحيح ، من خلال نظرية القيمة المتوسطة

2) إذا (f ′ (c) = 0، ) يوجد حد أقصى أو أدنى عند (x = c. )

3) هناك وظيفة مثل (f (x) <0، f ′ (x)> 0، ) و (f '(x) <0. ) (يُقبل "إثبات" رسومي لـ هذا الجواب.)

الحل: صحيح

4) هناك وظيفة مثل نقطة انعطاف ونقطة حرجة لبعض القيمة (س = أ. )

5) بالنظر إلى الرسم البياني (f ′ ) ، حدد أين يتزايد أو يتناقص (f ).

الحل: زيادة: ((- 2،0) ∪ (4، ∞) ) ، متناقص: ((- ∞، −2) ∪ (0،4) )

6) الرسم البياني لـ (f ) موضح أدناه. ارسم (و ′ ).

7) أوجد التقريب الخطي (L (x) ) إلى (y = x ^ 2 + tan (πx) ) بالقرب من (x = frac {1} {4}. )

الحل: (L (x) = frac {17} {16} + frac {1} {2} (1 + 4π) (x− frac {1} {4}) )

8) أوجد تفاضل (y = x ^ 2−5x − 6 ) واحسب قيمة (x = 2 ) مع (dx = 0.1. )

أوجد النقاط الحرجة والقيمة القصوى المحلية والمطلقة للدوال التالية في الفترة المحددة.

9) (f (x) = x + sin ^ 2 (x) ) على ([0، π] )

الحل: النقطة الحرجة: (x = frac {3π} {4}، ) الحد الأدنى المطلق: (x = 0، ) الحد الأقصى المطلق: (x = π )

10) (f (x) = 3x ^ 4−4x ^ 3−12x ^ 2 + 6 ) على ([- 3،3] )

حدد الفواصل الزمنية التي تتزايد خلالها الوظائف التالية وتتناقص وتتقعر لأعلى وتتقعر لأسفل.

11) (x (t) = 3t ^ 4−8t ^ 3−18t ^ 2 )

الحل: زيادة: ((- 1،0) ∪ (3، ∞)، ) تناقص: ((- ∞، −1) ∪ (0،3)، ) مقعر: ((- ∞، frac {1} {3} (2− sqrt {13})) ∪ ( frac {1} {3} (2+ sqrt {13}) ، ∞) ) ، مقعر لأسفل: (( frac {1} {3} (2− sqrt {13}) ، frac {1} {3} (2+ sqrt {13})) )

12) (ص = س + خطيئة (π س) )

13) (g (x) = x− sqrt {x} )

الحل: زيادة: (( frac {1} {4}، ∞)، ) متناقص: ((0، frac {1} {4}) ) ، التقعر لأعلى: ((0، ∞) ، ) مقعر لأسفل: لا مكان

14) (و (θ) = الخطيئة (3θ) )

قم بتقييم الحدود التالية.

15) (lim_ {x → ∞} frac {3x sqrt {x ^ 2 + 1}} { sqrt {x4−1}} )

الحل: (3 )

16) (lim_ {x → ∞} cos ( frac {1} {x}) )

17) (lim_ {x → 1} frac {x − 1} {sin (πx)} )

الحل: (- frac {1} {π} )

18) (lim_ {x → ∞} (3x) ^ {1 / x} )

استخدم طريقة نيوتن لإيجاد التكرارات الأولين ، مع الأخذ في الاعتبار نقطة البداية.

19) (ص = س ^ 3 + 1 ، س_0 = 0.5 )

الحل: (x_1 = ،1، x_2 = −1 )

20) ( frac {1} {x + 1} = frac {1} {2}، x_0 = 0 )

أوجد المشتقات العكسية (F (x) ) للوظائف التالية.

21) (g (x) = sqrt {x} - frac {1} {x ^ 2} )

الحل:] (F (x) = frac {2x ^ {3/2}} {3} + frac {1} {x} + C )

22) (f (x) = 2x + 6cosx، F (π) = π ^ 2 + 2 )

ارسم الوظائف التالية باليد. تأكد من تسمية نقاط الانعطاف والنقاط الحرجة والأصفار والخطوط المقاربة.

23) (y = frac {1} {x (x + 1) ^ 2} )

المحلول:

نقاط الانعطاف: لا شيء ؛ النقاط الحرجة: (x = - frac {1} {3} ) ؛ الأصفار: لا شيء ؛ الخطوط المقاربة العمودية: (س = -1 ، س = 0 ) ؛ خط مقارب أفقي: (ص = 0 )

24) (y = x− sqrt {4 − x ^ 2} )

25) يتم ضغط السيارة في شكل مستطيل مصمت. الحجم يتناقص بمعدل (2 م ^ 3 / ثانية ). طول وعرض الضاغطة مربعان ، لكن الارتفاع ليس بنفس الطول والعرض. إذا تحركت جدران الطول والعرض تجاه بعضها البعض بمعدل (0.25 ) م / ثانية ، فأوجد المعدل الذي يتغير به الارتفاع عندما يكون الطول والعرض (2 ) م والارتفاع ( 1.5 ) م.

الحل: الارتفاع يتناقص بمعدل (0.125 ) م / ثانية

26) إطلاق صاروخ في الفضاء. تعطى طاقتها الحركية بواسطة (K (t) = ( frac {1} {2}) m (t) v (t) ^ 2 ) ، حيث (K ) هي الطاقة الحركية بالجول ، (m ) كتلة الصاروخ بالكيلوجرام ، و (v ) هي سرعة الصاروخ بالأمتار / الثانية. افترض أن السرعة تتزايد بمعدل (15 م / ثانية ^ 2 ) وأن الكتلة تتناقص بمعدل (10 ​​) كجم / ثانية بسبب حرق الوقود. بأي معدل تتغير الطاقة الحركية للصاروخ عندما تكون الكتلة (2000 ) كجم والسرعة (5000 ) م / ثانية؟ اكتب إجابتك في mega-Joules (MJ) ، والتي تعادل (10 ​​^ 6 ) J.

27) المشهور مشكلة Regiomontanus تم اقتراح تكبير الزاوية خلال (15 ) القرن. لوحة معلقة على الحائط مع أسفل اللوحة مسافة (أ ) قدم فوق مستوى العين ، والجزء العلوي (ب ) قدم فوق مستوى العين. ما المسافة × (بالقدم) من الحائط التي يجب أن يقف المشاهد عليها لزيادة الزاوية التي تقابلها اللوحة ، (θ )؟

الحل: (x = sqrt {ab} ) قدم

28) شركة طيران تبيع تذاكر من طوكيو إلى ديترويت مقابل ($ 1200. ) هناك (500 ) مقعد متاح وكتب طيران نموذجية (350 ) مقعدًا. مقابل كل (10 ​​دولارات ) انخفاض في السعر ، تلاحظ شركة الطيران بيع خمسة مقاعد إضافية. ماذا يجب أن تكون الأجرة لتعظيم الربح؟ كم عدد الركاب الذين سيكونون على متن الطائرة؟


الصف الثاني عشر هو وقت مضطرب لكل طالب بعد أن أصبح الفصل 12 إلزاميًا بعد أن نكمل التسجيل. إنه العام الذي ننتهي فيه بالإنفاق من البداية إلى النهاية مع الآباء والمعلمين الذين يذكروننا باستمرار بأن لدينا امتحانات مجلس الإدارة. "لديك لوحاتك ، يجب أن تدرس ،" عبارة مألوفة يسمعها كل طالب في المرة الثانية التي يدخلون فيها الصف 12. من التوجيه في اليوم الأول من المدرسة حتى اليوم الذي ننتهي فيه من اختبارات المجلس النهائية ، كل ذلك أي شخص يفكر عندما يرى طالبًا في الصف 12 هو تذكيرهم بالامتحانات المهمة جدًا التي تكمن في طريق انتقالهم إلى بقية حياتهم.

وبالتالي ، فإن الضغط الذي يمارس على الطلاب في بداية الفصل 12 يكون مرتفعًا بشكل لا يصدق. ما قد يخفف من هذا الضغط إلى حد كبير هو المساعدة الخارجية للقيام بعمل جيد في المجالس المهمة للغاية. هنا يأتي دور حلول NCERT للصف 12. ولإضافة ضغط الأداء الجيد ، قد يجد الكثير من الطلاب الذين اتخذوا الرياضيات كموضوع صعوبة في التركيز والقيام بعمل جيد. تعد حلول NCERT للرياضيات للصف 12 مفيدة في مثل هذه الحالات ، لتزويد الطلاب ببعض التوجيهات حول كيفية متابعة الدراسة وأيضًا لتقديم حلول للأسئلة عندما يكون الطلاب أنفسهم عالقين ولا يمكنهم إيجاد طريقهم للتغلب عليها.


أهلا بك!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


تطبيق المشتقات CBSE Class 12th NCERT Solution

احصل على حلول مفصلة لأسئلة فصل تطبيق المشتقات من كتب الرياضيات للصف الثاني عشر من NCERT.

احصل على حلول مفصلة للأسئلة الواردة في فصل "تطبيق المشتقات من الكتب المدرسية لـ NCERT". الهدف من ذلك هو مساعدة الطلاب فيما يتعلق بنمط الإجابة على السؤال وفقًا لأحدث نظام تصحيح cbse. قدم لك موقع Cbse.jagranjosh.com حلول NCERT للفصول الدراسية الثانية عشر في الرياضيات والعلوم.

س. يزداد حجم المكعب بمعدل 8 سم 3 / ثانية. ما مدى سرعة زيادة مساحة السطح عندما يكون طول الحافة 12 سم؟

س. يزداد نصف قطر الدائرة بشكل منتظم بمعدل 3 cm / s. أوجد المعدل الذي تتزايد به مساحة الدائرة عندما يكون نصف القطر 10 سم.

س. تتزايد حافة المكعب المتغير بمعدل 3 سم / ثانية. ما مدى سرعة زيادة حجم المكعب عندما يبلغ طول الحافة 10 سم؟


Multiquadrics - مخطط تقريبي للبيانات المتناثرة مع تطبيقات لديناميكا الموائع الحسابية - حلول II للمعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة والقطع الزائد والقطع الناقص

هذه الورقة هي الثانية في سلسلة من التحقيقات في فوائد القياس المتعدد (MQ). MQ عبارة عن بيانات مبعثرة حقيقية ، مخطط تقريب مكاني متعدد الأبعاد. في الورقة السابقة ، رأينا أن MQ كان مخطط تقريب دقيق للغاية للاستيفاء وتقديرات المشتقة الجزئية لمجموعة متنوعة من الوظائف ثنائية الأبعاد على كل من البيانات الشبكية والمبعثرة.تظهر نظرية Madych و Nelson لمساحة جميع الوظائف المحددة الإيجابية المشروطة التي تنتمي إليها MQ ، يوجد شبه معيار يتم تصغيره بواسطة هذه الوظائف.

في هذا البحث ، تم استخدام MQ كمخطط تقريب مكاني لمعادلة Poisson & # x27s القطع المكافئ والقطعي والقطع الناقص. نظهر أن MQ ليست دقيقة بشكل استثنائي فحسب ، بل هي أكثر كفاءة من أنظمة الفروق المحدودة التي تتطلب العديد من العمليات لتحقيق نفس الدرجة من الدقة.


ما هي النقطة؟

لماذا نتحدث عن التقريبات؟ قد يكون من الصعب التعامل مع الوظائف ذات الصيغ الأكثر تعقيدًا وغالبًا ما يكون من الممكن تقريبها بشيء أجمل في ظل ظروف خاضعة للرقابة. وبالتالي يمكن للمرء في بعض الأحيان استبدال الدوال من خلال تقريب كثيرات الحدود على سبيل المثال في حدود أو في تكاملات. بينما تعد معادلات تايلور متعددة الحدود مهمة بالتأكيد في الاعتبارات النظرية ، ربما تكون الحاجة الأكثر وضوحًا هي عندما يتعلق الأمر بالتقييم الفعلي.

العمليات التي يمكننا (البشر) القيام بها تقتصر على الجمع والطرح والضرب والقسمة. كيف نعرف إذن ما هو ، قل ، ماذا عنه ه 1.5 ، 3 0.13 أو جذر 5؟ لا يمكن حساب هذه الأرقام بدقة باستخدام العمليات الجبرية الأربع فقط ، ومع ذلك احتاج الناس إلى أشياء من هذا القبيل لمئات السنين. الفكرة الواضحة هي استبدال الوظائف المستعصية بالصيغ التي تتميز فقط بالعمليات الأربع التي يمكننا القيام بها ، أي مع كثيرات الحدود. لا يمكن القيام بذلك بالضبط ، لكن هذه ليست مشكلة لأننا في الممارسة العملية نعمل فقط ضمن دقة (معروفة) معينة. تعد كثير حدود تايلور طريقة لتقييم شيء لا يمكننا القيام به بطريقة أخرى. لمئات السنين ، جلس الأشخاص الذين يطلق عليهم اسم & # 34 الكمبيوتر & # 34 في غرفهم وملأوا الأوراق على أوراق بحسابات طويلة ومملة ، مما زودنا بمخططات لقيم الوظائف الأولية. وهكذا تميل الحسابات العلمية (والهندسية) إلى أن تكون طويلة وتعتمد بشكل كبير على التقريبات الجيدة ، حيث كان أي مهندس مختص يعرف الكثير منها عن ظهر قلب.

أدى ظهور أجهزة الكمبيوتر القابلة للبرمجة (مثل الآلات الحاسبة) إلى إخفاء ذلك عن مستخدم عادي ، ولكن في الواقع تظل المشكلة كما هي ، نظرًا لأن معالج الكمبيوتر يمكنه فقط القيام بنفس العمليات الجبرية مثل عقل الكمبيوتر البشري. عندما نضغط على الزر المسمى & # 34ln & # 34 على الآلة الحاسبة ، تحدث الكثير من الأشياء ، وبالتحديد تقوم الآلة الحاسبة بتقييم خوارزمية تقريبية بسرعة. في حين أن معادلات تايلور متعددة الحدود هي بداية جيدة ، إلا أنها تتطلب العديد من العمليات. هذا أمر غير سار ، وكان أكثر من ذلك في أيام أجهزة الكمبيوتر البشرية. تم إجراء الكثير من الأبحاث حول طرق التقريب & # 34 Fast & # 34 (بمعنى & # 34 الذي يتطلب أقل عدد من العمليات & # 34) وكانت النتائج مفيدة عندما بدأ الناس في تصميم الآلات الحاسبة.

نختتم هذا القسم بالملاحظة التالية. ضع في اعتبارك وظيفة F الذي يحتوي على جميع المشتقات في كل مكان ، حدد نقطة أ. الآن يمكننا إنشاء تيلور متعدد الحدود مع هذا المركز من كل درجة. افترض أن الوظيفة هي & # 34 نيس & # 34 بمعنى أنه لكل x يذهب الباقي إلى الصفر كما ناقشنا للتو. هذا يعني ذلك لكل x يمكننا التقريب بدقة عشوائية باستخدام كثيرات الحدود لتايلور ، فنحن ببساطة نأخذ وقتًا كافيًا في كثير الحدود. يبدو أن الأمور جميلة ، لكن هناك مشكلة صغيرة. لا توجد درجة عالمية من تين هذا من شأنه أن يعمل بشكل جيد لجميع الأرقام x. لمزيد من x انه من أ، فكلما طال طول كثير الحدود للحصول على دقة معينة ، وإذا قمنا بإصلاح دقة معينة وبدأنا في التحرك x إلى ما لا نهاية ، فإن درجات كثيرات الحدود الضرورية تذهب أيضًا إلى ما لا نهاية. هذه في بعض الأحيان مشكلة خطيرة إلى حد ما. يقترح الحل نفسه: نأخذ & # 34 متعدد الحدود اللانهائي & # 34. هل يوجد شيء من هذا القبيل على الإطلاق؟ الإجابة إيجابية ، لكنها تتطلب قدرًا كبيرًا من النظرية ، في الواقع هذا له فصل خاص به هنا في مدرس الرياضيات. من أجل & # 34 infinite Taylor متعدد الحدود & # 34 انظر سلسلة تايلور في السلسلة - النظرية - سلسلة الطاقة. نتحدث أيضًا أكثر عن بعض تطبيقات تيلور متعدد الحدود.


ما هي النقطة؟

لماذا نتحدث عن التقريبات؟ قد يكون من الصعب التعامل مع الوظائف ذات الصيغ الأكثر تعقيدًا وغالبًا ما يكون من الممكن تقريبها بشيء أجمل في ظل ظروف خاضعة للرقابة. وبالتالي يمكن للمرء في بعض الأحيان استبدال الدوال عن طريق تقريب كثيرات الحدود على سبيل المثال في حدود أو في تكاملات. بينما تعد معادلات تايلور متعددة الحدود مهمة بالتأكيد في الاعتبارات النظرية ، ربما تكون الحاجة الأكثر وضوحًا هي عندما يتعلق الأمر بالتقييم الفعلي.

العمليات التي يمكننا (البشر) القيام بها تقتصر على الجمع والطرح والضرب والقسمة. كيف نعرف إذن ما هو ، قل ، ماذا عنه ه 1.5 ، 3 0.13 أم جذر 5؟ لا يمكن حساب هذه الأرقام بدقة باستخدام العمليات الجبرية الأربع فقط ، ومع ذلك احتاج الناس إلى أشياء من هذا القبيل لمئات السنين. الفكرة الواضحة هي استبدال الوظائف المستعصية بالصيغ التي تتميز فقط بالعمليات الأربع التي يمكننا القيام بها ، أي مع كثيرات الحدود. لا يمكن القيام بذلك بالضبط ، لكن هذه ليست مشكلة لأننا في الممارسة العملية نعمل فقط ضمن دقة (معروفة) معينة. تعد كثير حدود تايلور طريقة لتقييم شيء لا يمكننا القيام به بطريقة أخرى. لمئات السنين ، جلس الأشخاص الذين يطلق عليهم اسم & # 34 الكمبيوتر & # 34 في غرفهم وملأوا الأوراق على أوراق بحسابات طويلة ومملة ، مما زودنا بمخططات لقيم الوظائف الأولية. وهكذا تميل الحسابات العلمية (والهندسية) إلى أن تكون طويلة وتعتمد بشكل كبير على التقريبات الجيدة ، حيث كان أي مهندس مختص يعرف الكثير منها عن ظهر قلب.

أدى ظهور أجهزة الكمبيوتر القابلة للبرمجة (مثل الآلات الحاسبة) إلى إخفاء ذلك عن مستخدم عادي ، ولكن في الواقع تظل المشكلة كما هي ، نظرًا لأن معالج الكمبيوتر يمكنه فقط القيام بنفس العمليات الجبرية مثل عقل الكمبيوتر البشري. عندما نضغط على الزر المسمى & # 34ln & # 34 على الآلة الحاسبة ، تحدث الكثير من الأشياء ، وبالتحديد تقوم الآلة الحاسبة بتقييم خوارزمية تقريبية بسرعة. بينما تعد معادلات تايلور متعددة الحدود بداية جيدة ، إلا أنها تتطلب العديد من العمليات. هذا أمر غير سار ، وكان أكثر من ذلك في أيام أجهزة الكمبيوتر البشرية. تم إجراء الكثير من الأبحاث في طرق التقريب & # 34 Fast & # 34 (بمعنى & # 34 الذي يتطلب أقل عدد من العمليات & # 34) وكانت النتائج مفيدة عندما بدأ الناس في تصميم الآلات الحاسبة.

نختتم هذا القسم بالملاحظة التالية. ضع في اعتبارك وظيفة F الذي يحتوي على جميع المشتقات في كل مكان ، حدد نقطة أ. الآن يمكننا إنشاء تيلور متعدد الحدود مع هذا المركز من كل درجة. افترض أن الوظيفة هي & # 34 نيس & # 34 بمعنى أنه لكل x يذهب الباقي إلى الصفر كما ناقشنا للتو. هذا يعني ذلك لكل x يمكننا التقريب بدقة تعسفية باستخدام كثيرات الحدود لتايلور ، فنحن ببساطة نأخذ وقتًا كافيًا في كثير الحدود. يبدو أن الأمور جميلة ، لكن هناك مشكلة صغيرة. لا توجد درجة عالمية من تين هذا من شأنه أن يعمل بشكل جيد لجميع الأرقام x. لمزيد من x انه من أ، فكلما طال طول كثير الحدود للحصول على دقة معينة ، وإذا حددنا دقة معينة وبدأنا في التحرك x إلى ما لا نهاية ، فإن درجات كثيرات الحدود الضرورية تذهب أيضًا إلى ما لا نهاية. هذه في بعض الأحيان مشكلة خطيرة إلى حد ما. يقترح الحل نفسه: نأخذ & # 34 متعدد الحدود اللانهائي & # 34. هل يوجد شيء من هذا القبيل على الإطلاق؟ الإجابة إيجابية ، لكنها تتطلب قدرًا كبيرًا من النظرية ، في الواقع هذا له فصل خاص به هنا في مدرس الرياضيات. من أجل & # 34 infinite Taylor متعدد الحدود & # 34 انظر سلسلة تايلور في السلسلة - النظرية - سلسلة الطاقة. نتحدث أيضًا أكثر عن بعض تطبيقات تيلور متعدد الحدود.


رابط سريع لجميع قواعد التفاضل لأوراق عمل حساب التفاضل والتكامل

انقر فوق الصورة التي سيتم نقلها إلى قواعد التمايز لأوراق عمل حساب التفاضل والتكامل.

جداول التمايز أوراق عمل

متوسط ​​معدل التغيير أوراق عمل

تعريف المشتق أوراق عمل

قواعد القوة والثابت والجمع أوراق عمل

أوراق عمل قاعدة المنتج

أوراق عمل قاعدة الحاصل

أوراق عمل قاعدة السلسلة

حكم السلسلة مع علم المثلثات أوراق عمل

حكم السلسلة مع معكوس الدوال المثلثية أوراق عمل

المشتقات ذات الترتيب الأعلى أوراق عمل

الاشتقاق الضمني أوراق عمل

لحظية ومتوسط ​​السعر من أوراق عمل التغيير

التفاضل اللوغاريتمي أوراق عمل

مشتقات الدوال المعكوسة بواسطة الحساب المباشر أوراق عمل

مشتقات الدوال المعكوسة أوراق عمل


أهداف وغايات تعلم الرياضيات

1. هدف التعلم: ستعمل تخصصات الرياضيات على تطوير المهارات الحسابية في حساب التفاضل والتكامل في السنة الأولى اللازمة لمزيد من الدورات التدريبية القائمة على حساب التفاضل والتكامل.

  1. تقييم المشتقات للوظائف الأولية المعقدة
  2. تقييم التكاملات المحددة وغير المحددة و
  3. تقييم الحدود باستخدام تقنيات جبرية وهندسية وتحليلية.

2. هدف التعلم: ستتعلم تخصصات الرياضيات المعرفة الأساسية وتحتفظ بها في الفروع الأساسية للرياضيات.

أهداف: سيقوم الطلاب خلال سنتهم الأخيرة بما يلي:

  1. إثبات الكفاءة في حساب التفاضل والتكامل
  2. إثبات الكفاءة في الجبر الخطي و
  3. إثبات الكفاءة في الجبر.

3. هدف التعلم: ستتمكن تخصصات الرياضيات من تعلم الرياضيات وشرحها بمفردها.

  1. قراءة مقال في مجلة الرياضيات واشرحها ، شفهيًا أو كتابيًا ، لجمهور من تخصصات الرياضيات و
  2. بعد التخرج ، أن يكونوا قادرين على إتقان الرياضيات الجديدة اللازمة لتوظيفهم.

4. هدف التعلم: ستكون تخصصات الرياضيات قادرة على قراءة وبناء براهين صارمة.

  1. بناء البراهين المكتوبة بوضوح والتي تستخدم المصطلحات الصحيحة وتستشهد بالنظريات السابقة
  2. بناء البراهين باستخدام الاستقراء الرياضي
  3. بناء البراهين بالتناقض و
  4. الحكم على ما إذا كان الدليل سليمًا ، وتحديد الأخطاء في الإثبات المعيب.

5. هدف التعلم: ستتمكن تخصصات الرياضيات من الحصول على عمل في مجال اهتماماتهم الرياضية أو الحصول على القبول في برنامج الدراسات العليا في الرياضيات.

  1. تسعى للقبول في كليات الدراسات العليا في الرياضيات ستنجح في الحصول على القبول ، والأداء الكافي في هذه البرامج
  2. تسعى للحصول على عمل مبتدئ في المجالات المتعلقة بالرياضيات
  3. متخصصون في العلوم الاكتوارية سيحصلون على عمل مبتدئ كخبراء اكتواريين ، إذا سعوا إليه
  4. التخصص في التعليم الثانوي سيظهر الكفاءة في الرياضيات اللازمة للحصول على الشهادة الأولية في ولاية نيويورك أو
  5. البحث عن وظائف في التعليم الثانوي أو الابتدائي سيحصل على وظائف في مستوى الصف المناسب.

6. هدف التعلم: سيتعرف طلاب Master & # 8217s على الروابط بين فروع الرياضيات المختلفة.

أهداف التعلم: الطلاب سوف:

  1. دمج أمثلة محددة من فرع من فروع الرياضيات بشكل صحيح في دراستهم لفرع آخر من الرياضيات (على سبيل المثال ، Lp-space كمثال في الجبر الخطي) و
  2. تحديد وشرح الحالات التي تعتمد فيها النتائج الرئيسية لأحد فروع الرياضيات بشكل غير بديهي على النتائج من فرع آخر (على سبيل المثال ، تطبيق الجبر الخطي لحل أنظمة المعادلات التفاضلية).

7. هدف التعلم: سيتمكن طلاب درجة الماجستير المتخرجين و # 8217s من الحصول على عمل في مجال اهتمامهم الرياضي أو الحصول على القبول في برنامج الدكتوراه في الرياضيات.


246B ، ملاحظات 3: الوظائف الإهليلجية والنماذج المعيارية

المجموعة السابقة من الملاحظات: ملاحظات 2. المجموعة التالية من الملاحظات: ملاحظات 4.

على الخط الحقيقي ، فإن الأمثلة الجوهرية للوظيفة الدورية هي وظائف الجيب وجيب التمام (المقيسة) ، وهي - دورية بمعنى أن

من خلال أخذ مجموعات متعددة الحدود من العديد من المعادلات المثلثية العامة ونحصل عليها - بشكل دوري ، وتخبرنا نظرية سلسلة فورييه أن جميع الوظائف الدورية الأخرى (مع ظروف تكامل معقولة) يمكن تقريبها في حواس مختلفة من خلال مثل هذه التوليفات متعددة الحدود. باستخدام هوية Euler & # 8217s ، يمكن للمرء استخدام وبدلاً من وكوظائف توليد أساسية هنا ، بشرط بالطبع أن يكون المرء على استعداد لاستخدام معاملات معقدة بدلاً من المعاملات الحقيقية. بالطبع ، من خلال إعادة القياس يمكن للمرء أيضًا الإدلاء ببيانات مماثلة لفترات أخرى غير. - يمكن أيضًا تحديد الوظائف الدورية (عن طريق إساءة استخدام الترميز) مع وظائف في فضاء الحاصل (المعروف باسم المضافة -الطور أو دائرة الوحدة المضافة) ، أو مع وظائف على المجال الأساسي (حتى الحد) لمساحة حاصل القسمة مع شرط الحدود الدورية. تحدد الخريطة أيضًا دائرة الوحدة المضافة بامتداد دائرة الوحدة الهندسية ، ويرجع الفضل في ذلك إلى حد كبير إلى الهوية المثلثية الأساسية التي يمكن تحديدها أيضًا مع دائرة وحدة الضرب . (عادة بإساءة استخدام الترميز نشير إلى كل هذه المجموعات الثلاث في وقت واحد على أنها & # 8220 دائرة وحدة & # 8221.) متعددات الحدود المثلثية على دائرة الوحدة المضافة ثم تتوافق مع كثيرات الحدود العادية للمعاملات الحقيقية لدائرة الوحدة الهندسية ، أو متعدد حدود لوران من المتغير المركب.

ماذا عن الدوال الدورية على المستوى المعقد؟ يمكننا أن نبدأ بـ وظائف دورية منفردة التي تخضع لعلاقة دورية للجميع في المجال وبعض الفترات الزمنية ، يمكن أيضًا عرض هذه الوظائف كوظائف على & # 8220 الأسطوانة الإضافية & # 8221 (أو ما يعادلها). يمكننا إعادة البيع كما كان من قبل. بالنسبة للوظائف ذات الشكل الشكلي ، لدينا الخصائص التالية:

  • (1) كل دالة - دورية لها توسع متقارب تمامًا حيث يكون nome ، والمعاملات المعقدة على العكس من ذلك ، كل تسلسل لا نهائي مضاعفًا للمعاملات التي تخضع (2) يؤدي إلى دالة كاملة دورية عبر الصيغة (1) ).
  • (2) كل دالة كاملة الشكل دورية محدودة في النصف العلوي من المستوى لها توسع حيث تكون المعاملات المعقدة على العكس من ذلك ، كل تسلسل لا نهائي يطيع (4) يؤدي إلى دالة كاملة الشكل دورية محدودة بعيدًا عن المحور الحقيقي (أي مقيد لكل واحد).

دليل - إثبات: إذا كانت - دورية ، فيمكن التعبير عنها بالنسبة لبعض الوظائف على الأسطوانة & # 8220multiplicative & # 8221 ، نظرًا لأن ألياف الخريطة عبارة عن مجموعات من الأعداد الصحيحة ، والتي تكون ثابتة من خلال الفرضية. نظرًا لأن الخريطة عبارة عن خريطة تغطية من إلى ، فإننا نرى أنها ستكون كاملة الشكل إذا وفقط إذا كانت كذلك. وبالتالي يجب أن يكون لديك توسع في سلسلة Laurent مع مراعاة المعاملات (2) ، والتي تعطي (1) ، وتتبع صيغة الانعكاس (5) من صيغة تكامل الكنتور المعتادة لمعاملات سلسلة Laurent. يتبع الاتجاه المعاكس لـ (i) أيضًا عن طريق عكس الحجج المذكورة أعلاه.

بالنسبة للجزء (2) ، نلاحظ أن الخريطة هي أيضًا خريطة تغطية من القرص المثقوب ، لذلك يمكننا أن نجادل كما كان من قبل باستثناء أن الآن وظيفة هولومورفيك محدودة على القرص المثقوب. من خلال نظرية إزالة التفرد Riemann (التمرين 35 من 246A ، الملاحظات 3) تمتد إلى أن تكون كاملة الشكل في كل شيء ، وبالتالي لديها توسع تايلور لبعض المعاملات التي تخضع للطاعة (4). يستمر النقاش الآن كما هو الحال مع الجزء (ط).

يمكن تحديد كل من الأسطوانة المضافة والأسطوانة المضاعفة (على مستوى المشعبات الملساء ، على الأقل) بالأسطوانة الهندسية ، لكننا لن نستخدم هذا التعريف هنا.

الآن دعونا ننتقل إلى مضاعفة الدورية وظائف متغير معقد ، أي الوظائف التي تخضع لعلاقات دورية

لجميع الفترات وبعض الفترات ، والتي لتجنب الانحطاط ، سنفترض أنها مستقلة خطيًا على القيم الحقيقية (وبالتالي فهي غير صفرية والنسبة ليست حقيقية). يمكن للمرء إعادة القياس بواسطة عامل تحجيم مشترك لتطبيع أي منهما أو ، لكن أحدهما بالطبع لا يمكنه تطبيع كلا المعلمتين في نفس الوقت بهذه الطريقة. كما هو الحال في الحالة الدورية المفردة ، يمكن أيضًا تحديد هذه الوظائف مع الوظائف الموجودة على الدائرة المضافة ، حيث توجد الشبكة ، أو بوظائف على متوازي الأضلاع الصلب يحدها المحيط (مجال أساسي يصل إلى حدود هذا الطارة) ، والطاعة شروط دورية الحدود

في عالم الدوال المتشابهة ، يعد جمع الوظائف الدورية المضاعفة أمرًا مملًا:

في لغة سطوح ريمان ، يؤكد هذا الافتراض أن الحلقة هي سطح ريمان غير زائدي لا يمكن تعيينه بشكل كامل بشكل غير تافه في مجموعة فرعية محدودة من المستوى المعقد.

دليل - إثبات: النطاق الأساسي (حتى الحد) المحاط بـ مضغوط ، ومن ثم فهو مقيد في هذا المجال ، وبالتالي يحده جميعًا الدوري المزدوج. المطالبة الآن تتبع من نظرية Liouville & # 8217s. (يمكن للمرء أن يجادل هنا بدلاً من ذلك باستخدام انضغاط الحلقة.

للحصول على أمثلة أكثر إثارة للاهتمام للوظائف الدورية المزدوجة ، يجب على المرء أن يلجأ إلى عالم وظائف مرومورفيك & # 8211 أو ما يعادلها ، دوال متشابهة في كرة ريمان. كما اتضح ، فإن المثال الأساسي بشكل خاص لمثل هذه الوظيفة هو وظيفة Weierstrass الإهليلجية

للجميع (تجنب الأقطاب) وبعض الأعداد المركبة التي تعتمد على الشبكة. في الواقع ، بقدر ما تخلق الخريطة تباينًا بين دائرة الوحدة المضافة إلى دائرة الوحدة الهندسية ، يتبين أن الخريطة تباين معقد بين الطارة والمنحنى البيضاوي

مع الاتفاقية التي تحدد أصل الحلقة إلى النقطة اللانهائية. (في الواقع ، يمكن للمرء أن يرى المنحنيات الإهليلجية كـ & # 8220multiplicative tori & # 8221 ، ويمكن التعرف على كل من توري المضاعف والإضافي على أنهما متشعبان سلسان مع الطارة الهندسية الأكثر شيوعًا ، لكننا لن نستخدم مثل هذا التعريف هنا.) هذا التعريف الأساسي مع المنحنيات الإهليلجية والتوري تحفز العديد من الخصائص الرائعة الأخرى للمنحنيات الإهليلجية على سبيل المثال ، حقيقة أن توري من الواضح أنها مجموعة أبيلية تؤدي إلى قانون مجموعة أبلي على المنحنيات الناقصية (ويمكن تفسير هذا القانون على أنه تناظرية للمثلثية) مجموع الهويات لـ). يساعد وصف الوظائف ذات الشكل المختلف على الحلقة أيضًا في تحفيز نظرية ريمان-روش الأكثر عمومية والتي تعد قانونًا أساسيًا يحكم وظائف الشكل على سطوح ريمان المدمجة الأخرى (وتمت مناقشتها بمزيد من التفصيل في هذه الملاحظات 246C). لقد ركزنا حتى الآن على دراسة طارة واحدة. ومع ذلك ، هناك موضوع رياضي مهم آخر للدراسة هو مساحة الكل هذا هو مثال أساسي لمساحة المعيارية ، والمعروفة باسم المنحنى المعياري (الكلاسيكي ، المستوى الأول). يمكن وصف هذا المنحنى بعدة طرق.من ناحية أخرى ، يمكن اعتباره نصف المستوى العلوي الذي تم تقسيمه من قبل المجموعة المنفصلة من ناحية أخرى ، باستخدام المتغير -invariant ، يمكن تحديده مع المستوى المعقد بدلاً من ذلك ، يمكن للمرء ضغط المنحنى المعياري وتحديد هذا الدمج مع كرة ريمان. (هذا التعريف ، بالمناسبة ، ينتج دليلًا قصيرًا جدًا على نظريات Picard الصغيرة والعظيمة ، والتي أثبتناها في 246A Notes 4.) يمكن اعتبار الوظائف على المنحنى المعياري (مثل -invariant) على أنها - وظائف مختلفة على ، وتشمل فئة مهمة من الوظائف المعيارية التي تعممها بشكل طبيعي على فئة أكبر من الأشكال المعيارية (الضعيفة) ، والتي هي وظائف تتحول بطريقة محددة للغاية إلى العمل ، والتي تكون منتشرة في كل مكان في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الأعداد . تتضمن الأمثلة الأساسية للأشكال المعيارية سلسلة آيزنشتاين ، والتي تعد أيضًا معاملات لوران لوظائف Weierstrass الإهليلجية. المزيد من الأمثلة النظرية للأرقام للنماذج المعيارية تتضمن (صلاحيات مناسبة لـ) وظائف ثيتا ، والمميز النمطي. الأشكال المعيارية هي - وظائف دورية على نصف المستوى ، وبالتالي من خلال الاقتراح 1 تأتي مع معاملات فورييه ، غالبًا ما تتحول هذه المعاملات إلى ترميز كمية مدهشة من المعلومات النظرية العددية. تم استخدام هذه الحالة) من بين أشياء أخرى لتأسيس نظرية فيرما الأخيرة. يمكن تعميم الأشكال المعيارية على مجموعات منفصلة أخرى غير (مثل مجموعات التطابق) ومجالات أخرى غير نصف المستوى ، مما يؤدي إلى فئة أكبر مهمة من الأشكال ذات الشكل الآلي ، والتي لها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد ونظرية التمثيل ، ولكن خارج نطاق هذه الدورة للمناقشة.


شاهد الفيديو: تطبيقات علي المشتقة - تمارين 14 كتاب المعاصر (شهر اكتوبر 2021).