مقالات

3.2: تكاملات مزدوجة على منطقة عامة


في القسم السابق ، حصلنا على فكرة عما يمثله التكامل المزدوج على المستطيل. يمكننا الآن تحديد التكامل المزدوج للدالة ذات القيمة الحقيقية (f (x، y) ) على مناطق أكثر عمومية في ( mathbb {R} ^ 2 ).

افترض أن لدينا منطقة (R ) في (xy ) - المستوى الذي يحده جهة اليسار بالخط العمودي (x = a ) ، يحده جهة اليمين بالخط العمودي (x = ب ) (حيث (أ <ب )) ، يحده أدناه منحنى (y = g_1 (x) ) ، ويحده أعلاه منحنى (y = g_2 (x) ) ، كما في الشكل 3.2.1 (أ). سنفترض أن (g_1 (x) text {and} g_2 (x) ) لا يتقاطعان في الفاصل الزمني المفتوح ((a، b) ) (يمكن أن يتقاطعوا عند نقاط النهاية (x = a ) نص {and} x = b ) ، رغم ذلك).

ثم باستخدام طريقة الشريحة من القسم السابق ، التكامل المزدوج للدالة ذات القيمة الحقيقية (f (x ، y) ) فوق المنطقة (R ) ، يُشار إليها بـ ( iint limits_R f (x، y) d A ) ، بواسطة

[ iint limits_R f (x، y) d A = int_a ^ b left [ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x، y) dy right] dx label {مكافئ 3.4} ]

هذا يعني أننا نأخذ شرائح عمودية في المنطقة (R ) بين المنحنيات (y = g_1 (x) text {and} y = g_2 (x) ). يُطلق على الرمز (د أ ) أحيانًا اسم عنصر المنطقة أو متناهي الصغر، مع منطقة الدلالة (A ). لاحظ أن (f (x، y) ) يتكامل أولاً مع (y ) ، مع وظائف (x ) كحدود للتكامل. هذا منطقي لأن نتيجة أول تكامل متكرر يجب أن تكون دالة لـ (x ) وحدها ، مما يسمح لنا بعد ذلك بأخذ التكامل المتكرر الثاني فيما يتعلق (x ).

وبالمثل ، إذا كانت لدينا منطقة (R ) في (xy ) - المستوى الذي يحده منحنى على اليسار (x = h_1 (y) ) ، يحده على اليمين منحنى ( x = h_2 (y) ) ، يحدها من الأسفل الخط الأفقي (y = c ) ، ويحدها من الأعلى بالخط الأفقي (y = d ) (حيث (c

[ iint limits_R f (x، y) d A = int_c ^ d left [ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x، y) dx right] dy label {مكافئ 3.5} ]

لاحظ أن هذه التعريفات تشمل الحالة عندما تكون المنطقة (R ) مستطيلاً. أيضًا ، إذا (f (x، y) ge 0 ) للجميع ((x، y) ) في المنطقة (R ) ، إذن ( iint limits_R f (x، y) d A ) هو الحجم الموجود تحت السطح (z = f (x، y) text {over the region} R ).

مثال 3.4

ابحث عن الحجم (V ) أسفل المستوى (z = 8x + 6y ) فوق المنطقة (R = {(x، y): 0 ≤ x ≤ 1، 0 ≤ y ≤ 2x ^ 2} ) .

المنطقة (R ) موضحة في الشكل 3.2.2. باستخدام الشرائح العمودية نحصل على:

[ nonumber begin {align} V & = iint limits_R (8x + 6y) d A [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left [ int_0 ^ {2x ^ 2} (8x + 6y) dy right] dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left (8x y + 3y ^ 2 big | _ {y = 0} ^ {y = 2x ^ 2} right) dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 (16x ^ 3 + 12x ^ 4) dx [4pt] nonumber & = 4x ^ 4 + dfrac {12} {5} x ^ 5 Big | _0 ^ 1 = 4 + dfrac {12} {5} = dfrac {32} {5} = 6.4 end {align} ]

نحصل على نفس الإجابة باستخدام الشرائح الأفقية (انظر الشكل 3.2.3):

[ nonumber begin {align} V & = iint limits_R (8x + 6y) d A [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left [ int _ { sqrt {y / 2}} ^ {1} (8x + 6y) dx right] dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left (4x ^ 2 + 6x y big | _ {x = sqrt {y / 2} } ^ {x = 1} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 (4 + 6y - (2y + dfrac {6} { sqrt {2}} y sqrt {y} )) dy = int_0 ^ 2 (4 + 4y-3 sqrt {2} y ^ {3/2}) dy [4pt] nonumber & = 4y + 2y ^ 2 - dfrac {6 sqrt { 2}} {5} ص ^ {5/2} big | _0 ^ 2 = 8 + 8- dfrac {6 sqrt {2} sqrt {32}} {5} = 16- dfrac {48} {5} = dfrac {32} {5} = 6.4 end {align} ]

مثال 3.5

أوجد حجم (V ) الصلب الذي يحده مستويات الإحداثيات الثلاثة والمستوى (2x + y + 4z = 4 ).

حل

يظهر الشكل الصلب في الشكل 3.2.4 (أ) مع شريحة رأسية نموذجية. الحجم (V ) مُعطى بواسطة ( iint limits_R f (x، y) d A ) ، حيث (f (x، y) = z = dfrac {1} {4} (4− 2x - y) ) والمنطقة (R ) ، الموضحة في الشكل 3.2.4 (b) ، هي (R = {(x، y): 0 ≤ x ≤ 2، 0 ≤ y ≤ −2x + 4} ). استخدام الشرائح الرأسية في (R ) يعطي

[ nonumber begin {align} V & = iint limits_R dfrac {1} {4} (4−2x− y) d A [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left [ int_0 ^ {- 2x + 4} dfrac {1} {4} (4−2x− y) dy right] dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left (- dfrac {1} {8} (4−2x− y) ^ 2 big | _ {y = 0} ^ {y = -2x + 4} right) dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 dfrac { 1} {8} (4-2x) ^ 2 dx [4pt] nonumber & = - dfrac {1} {48} (4-2x) ^ 3 big | _0 ^ 2 = dfrac {64} {48} = dfrac {4} {3} end {align} ]

بالنسبة للمنطقة العامة (R ) ، والتي قد لا تكون أحد أنواع المناطق التي درسناها حتى الآن ، يتم تعريف التكامل المزدوج ( iint limits_R f (x ، y) d A ) على النحو التالي. افترض أن (f (x، y) ) دالة غير سالبة ذات قيمة حقيقية وأن (R ) منطقة محدودة في ( mathbb {R} ^ 2 ) ، لذلك يمكن تضمينها في بعض المستطيل ([أ ، ب] مرات [ج ، د] ). ثم قسّم هذا المستطيل إلى شبكة من المستطيلات الفرعية. ضع في اعتبارك فقط المستطيلات الفرعية المحاطة بالكامل داخل المنطقة (R ) ، كما هو موضح في المستطيلات الفرعية المظللة في الشكل 3.2.5 (أ). في أي مستطيل فرعي ([x_i، x_ {i + 1}] times [y_j، y_ {j + 1}] ) ، اختر نقطة ((x_ {i ∗}، y_ {j ∗}) ). ثم يكون الحجم الموجود أسفل السطح (z = f (x، y) ) فوق هذا المستطيل الفرعي تقريبًا (f (x_ {i ∗}، y_ {j ∗}) Delta x_i Delta y_j ) ، حيث ( Delta x_i = x_ {i + 1} - x_i، Delta y_j = y_ {j + 1} - y_j، text {and} f (x_ {i ∗}، y_ {j ∗}) ) هو الارتفاع و ( Delta x_i Delta y_j ) هي المساحة الأساسية لخط متوازي ، كما هو موضح في الشكل 3.2.5 (ب). ثم يكون الحجم الإجمالي تحت السطح تقريبًا مجموع أحجام كل هذه الخطوط المتوازية ، أي

[ sum limits_j sum limits_i f (x_ {i ∗}، y_ {j ∗}) Delta x_i Delta y_j label {Eq3.6} ]

حيث يحدث الجمع على مؤشرات المستطيلات الفرعية داخل (R ). إذا أخذنا مستطيلات فرعية أصغر وأصغر ، بحيث يذهب طول أكبر قطري من المستطيلات الفرعية إلى 0 ، فإن المستطيلات الفرعية تبدأ في ملء المزيد والمزيد من المنطقة (R ) ، وبالتالي فإن المجموع أعلاه يقترب من الحجم الفعلي تحت السطح (ض = و (س ، ص) ) فوق المنطقة (ص ). ثم نحن حدد ( iint limits_R f (x، y) d A ) كحد لهذا الجمع المزدوج (يتم أخذ الحد على جميع التقسيمات الفرعية للمستطيل ([a، b] times [c، d] ) حيث أن أكبر قطري من المستطيلات الفرعية يذهب إلى 0).

يمكن وضع تعريف مشابه لوظيفة (f (x، y) ) ليست بالضرورة غير سالبة دائمًا: فقط استبدل كل ذكر للحجم بالحجم السالب في الوصف أعلاه عندما (f (x، y) < 0 ). في حالة منطقة من النوع الموضح في الشكل 3.2.1 ، باستخدام تعريف تكامل ريمان من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، فإن تعريفنا ( iint limits_R f (x ، y) d A ) يقلل إلى سلسلة من اثنين من التكاملات المتكررة.

أخيرًا ، لا يلزم تقييد المنطقة (R ). يمكننا التقييم غير مناسب التكاملات المزدوجة (على سبيل المثال فوق منطقة غير محدودة ، أو فوق منطقة تحتوي على نقاط حيث لم يتم تعريف الوظيفة (f (x ، y) )) كسلسلة من التكاملات غير الصحيحة ذات المتغير الفردي.

مثال 3.6

تقييم ( int_1 ^ { infty} int_0 ^ {1 / x ^ 2} 2y d y ، dx )

حل

[ nonumber begin {align} int_1 ^ { infty} int_0 ^ {1 / x ^ 2} 2ydy ، dx & = int_1 ^ { infty} left (y ^ 2 Big | _ { y = 0} ^ {y = 1 / x ^ 2} right) dx [4pt] nonumber & = int_1 ^ { infty} x ^ {- 4} dx = - dfrac {1} {3 } x ^ {- 3} Big | _1 ^ { infty} = 0 - (- dfrac {1} {3}) = dfrac {1} {3} end {align} ]


3.2: تكاملات مزدوجة على منطقة عامة

نحدد التكامل الثلاثي من حيث حد مجموع ريمان الثلاثي ، كما فعلنا مع التكامل المزدوج بدلالة مجموع ريمان المزدوج.

يتم تعريف التكامل الثلاثي للدالة f (x ، y ، z) f (x ، y ، z) فوق مربع مستطيل B B على أنه

الآن وقد طورنا مفهوم التكامل الثلاثي ، نحتاج إلى معرفة كيفية حسابه. تمامًا كما في حالة التكامل المزدوج ، يمكن أن يكون لدينا تكامل ثلاثي متكرر ، وبالتالي ، توجد نسخة من Fubini & # 8217s للتكاملات الثلاثية.

هذا التكامل يساوي أيضًا أيًا من الطلبات الخمسة الأخرى الممكنة للتكامل الثلاثي المتكرر.

بالنسبة للمربع المستطيل ، لا يُحدث ترتيب التكامل أي فرق كبير في مستوى الصعوبة في الحساب. نحسب التكاملات الثلاثية باستخدام نظرية Fubini & # 8217s بدلاً من استخدام تعريف Riemann sum. نتبع ترتيب التكامل بنفس الطريقة التي اتبعناها مع التكاملات المزدوجة (أي من الداخل إلى الخارج).

احسب التكامل الثلاثي & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8747 y = 2 y = 4 & # 8747 x = & # 87221 x = 5 (x + y z 2) d x d y d z. & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8747 y = 2 y = 4 & # 8747 x = & # 87221 x = 5 (x + y z 2) d x d y d z.

تم تحديد ترتيب التكامل في المسألة ، لذا تكامل بالنسبة إلى x x أولاً ، ثم ذ، ثم z. ض.

حساب التكامل الثلاثي على مربع مستطيل معين.

لم يتم تحديد الترتيب ، ولكن يمكننا استخدام التكامل المتكرر بأي ترتيب دون تغيير مستوى الصعوبة. اختر ، على سبيل المثال ، للتكامل ذ أولا ثم x، وثم ض.

حاول الآن التكامل بترتيب مختلف لترى أننا حصلنا على نفس الإجابة. اختر التكامل بالنسبة إلى x x أولًا ثم z ثم z ثم y. ذ.

اتبع الخطوات المذكورة في المثال السابق.

التكاملات الثلاثية على منطقة عامة محدودة

التكامل الثلاثي للدالة المستمرة f (x ، y ، z) f (x ، y ، z) على منطقة عامة ثلاثية الأبعاد

ثم يصبح التكامل الثلاثي

ثم يصبح التكامل الثلاثي

يمكننا وصف المنطقة الصلبة الرباعية السطوح

ومن ثم ، فإن التكامل الثلاثي هو

لتبسيط الحساب ، أوجد أولًا التكامل & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8722 x & # 8722 y (5 x & # 8722 3 y) d z. & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8722 x & # 8722 y (5 x & # 8722 3 y) d z. نحن لدينا

بتجميعها معًا ، لدينا

إيجاد حجم هرم قاعدته مربعة.

ومن ثم ، فإن حجم الهرم يساوي 4 3 4 3 وحدات مكعبة.

اتبع الخطوات المذكورة في المثال السابق. استخدم التناظر.

تغيير ترتيب التكامل

كما رأينا بالفعل في التكاملات المزدوجة على المناطق العامة المحدودة ، يتم تغيير ترتيب التكامل في كثير من الأحيان لتبسيط الحساب. مع التكامل الثلاثي على المربع المستطيل ، لا يغير ترتيب التكامل مستوى صعوبة الحساب. ومع ذلك ، مع وجود تكامل ثلاثي على منطقة عامة محدودة ، فإن اختيار ترتيب مناسب للتكامل يمكن أن يبسط عملية الحساب إلى حد ما. في بعض الأحيان ، يمكن أن يكون إجراء التغيير على الإحداثيات القطبية مفيدًا جدًا أيضًا. نعرض مثالين هنا.

ضع في اعتبارك التكامل المتكرر

ترتيب التكامل هنا هو الأول من حيث ض، ومن بعد ذ، وثم x. عبر عن هذا التكامل بتغيير ترتيب التكامل ليكون الأول فيما يتعلق بـ x، ومن بعد ض، ثم ص. ذ. تحقق من أن قيمة التكامل هي نفسها إذا سمحنا لـ f (x، y، z) = x y z. و (س ، ص ، ض) = س ص ع.

نحتاج إلى التعبير عن هذا التكامل الثلاثي كـ

المقاطع العرضية الثلاثة لـ E E على مستويات الإحداثيات الثلاثة.

اكتب خمسة تكاملات متكررة مختلفة تساوي التكامل المحدد

دمج تكامل ثلاثي على مكافئ.

المقطع العرضي في المستوي x y x y للمكافئ في [الرابط].

يصبح التكامل الثلاثي

متوسط ​​قيمة دالة من ثلاثة متغيرات

تذكر أننا وجدنا متوسط ​​قيمة دالة لمتغيرين عن طريق حساب التكامل المزدوج على منطقة على المستوى ثم القسمة على مساحة المنطقة. وبالمثل ، يمكننا إيجاد متوسط ​​قيمة دالة في ثلاثة متغيرات عن طريق تقييم التكامل الثلاثي على منطقة صلبة ثم القسمة على حجم المادة الصلبة.

لاحظ أن الحجم V (E) = & # 8749 E 1 d V. الخامس (ه) = & # 8749 ه 1 د الخامس.

استخدم النظرية الواردة أعلاه والتكامل الثلاثي لإيجاد البسط والمقام. ثم قم بالقسمة. لاحظ أن المستوى x + y + z = 1 x + y + z = 1 به تقاطعات (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0) ، (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0 ) و (0 ، 0 ، 1). (0 ، 0 ، 1). تبدو المنطقة E E

ومن ثم فإن التكامل الثلاثي لدرجة الحرارة هو

ومن ثم فإن متوسط ​​القيمة هو T ave = 147/40 1/6 = 6 (147) 40 = 441 20 T ave = 147/40 1/6 = 6 (147) 40 = 441 20 درجة مئوية.


هذه حزمة C بسيطة لـ تكامل متعدد الأبعاد على التكيف (التكعيب) من تكامل ذات قيمة متجهية على المكعبات المفرطةكتبه ستيفن ج. جونسون. أي أنه يحسب تكاملات النموذج:

(بالطبع ، يمكنه التعامل مع عمليات التكامل العددية كحالة خاصة حيث تكون f متجهًا أحادي البعد: أبعادا f و x مستقلة.) يمكن تقييم التكامل و مجموعة من النقاط دفعة واحدة لتمكين موازاة سهلة. الكود الذي يتم توزيعه على شكل البرمجيات الحرة بموجب شروط رخصة جنو العمومية العامة (الإصدار 2 أو ما بعده) ، تنفذ خوارزميتين للتكامل التكيفي.

الأول، ح- التكامل التكيفي (التقسيم المتكرر لمجال التكامل إلى نطاقات فرعية أصغر ، وتطبيق نفس قاعدة التكامل على كل منها ، حتى يتحقق التقارب) ، يعتمد على الخوارزميات الموضحة في:

  • A. C. Genz و A. A. A. Malik ، "خوارزمية تكيفية للتكامل الرقمي على منطقة مستطيلة ذات أبعاد N ،" J. كومبوت. تطبيق رياضيات.6 (4), 295–302 (1980).
  • J. Berntsen و T. O. Espelid و A. Genz ، "خوارزمية تكيفية لحساب تقريبي للتكاملات المتعددة ،" ACM Trans. رياضيات. ناعم.17 (4), 437–451 (1991).

هذه الخوارزمية الأنسب لعدد معتدل من الأبعاد (على سبيل المثال ، العلامة & lt 7) ، ويتم استبداله بالتكاملات عالية الأبعاد بطرق أخرى (مثل متغيرات مونت كارلو أو الشبكات المتفرقة).

(لاحظ أننا نقوم بذلك ليس استخدم أيًا من أكواد DCUHRE الأصلية من Genz ، والتي لا تخضع لترخيص مجاني / مفتوح المصدر.) يعتمد الكود الخاص بنا جزئيًا على رمز مستعار من مكتبة التكامل الرقمي لـ HIntLib بواسطة Rudolf Schürer ومن التعليمات البرمجية لـ Gauss-Kronrod quadrature (للتكاملات 1d) من مكتبة GNU العلمية ، وكلاهما برنامج مجاني تحت GNU GPL. (مكتبة أخرى للتكامل متعدد الأبعاد ذات برمجيات حرة ، لا علاقة لها بالكود الخاص بنا هنا ولكنها تطبق أيضًا خوارزمية Genz – Malik من بين تقنيات أخرى ، وهي كوبا.)

الثاني، ص-التكامل التكيفي (مضاعفة درجة قواعد التربيع بشكل متكرر حتى يتم تحقيق التقارب) ، يعتمد على منتج موتر لقواعد تربيع كلينشو-كورتيس. غالبًا ما تكون هذه الخوارزمية متفوقة على ح- تكامل متكيف للتكامل السلس في أبعاد قليلة (≤ 3) ، ولكنه خيار ضعيف في أبعاد أعلى أو لعمليات تكامل غير سلسة.

بالنسبة للجزء الأكبر ، فإن ص- الإجراءات المتكيفة أدناه هي بدائل سهلة الاستخدام لـ ح- إجراءات تكيفية ، مع نفس الحجج إلى آخره ، حتى تتمكن من التجربة لمعرفة أيها يعمل بشكل أفضل لمشكلتك. اختلاف واحد: ح- إجراءات التكيف تفعل ليس أوجد التكامل على حدود حجم التكامل ، بينما ص- إجراءات التكيف فعل احسب التكامل عند الحدود. هذا يعني أن ملف ص تتطلب الإجراءات التكيفية مزيدًا من العناية في الحالات التي توجد فيها تفردات على الحدود.

كما أنني ممتن لـ Dmitry Turbiner (dturbiner ατ alum.mit.edu) ، الذي طبق نموذجًا أوليًا للوظيفة "الموجهة" (انظر أدناه) لتقييم مجموعة من النقاط في مكالمة واحدة ، مما يسهل موازاة التقييم المتكامل .

يمكن تنزيل الإصدار الحالي من الكود من مستودع github ، ويمكن الحصول على أحدث إصدار "رسمي" من:

في كلتا الحالتين ، تحصل على دليل يحتوي على ملفات hcubature.c و pcubature.c قائمة بذاتها (إلى جانب ملفين من ملفات الرأس الخاصة) يمكنك تجميعها وربطها ببرنامجك للتكامل h-adaptive و p-adaptive ، على التوالي ، وملف رأس cubature.h الذي # تتضمنه ، كما هو موضح أدناه.

يحتوي ملف test.c على برنامج اختبار صغير يتم إنتاجه إذا قمت بترجمة هذا الملف باستخدام -DHCUBATURE أو -DPCUBATURE والارتباط بـ hcubature.c أو pcubature.c ، على التوالي ، كما هو موضح أدناه.

كتب ب. Narasimhan واجهة GNU R ، والتي يمكن تنزيلها من هنا: http://cran.r-project.org/web/packages/cubature/index.html. قام جوناثان شيلينغ بنقل الكود إلى جافا: https://github.com/jonathanschilling/Cubature

يمكن الحصول على واجهة Julia من Cubature.jl. تتوفر أيضًا واجهة Python cubature.py التي كتبها Saullo Castro.

يجب عليك ترجمة hcubature.c و / أو pcubature.c وربطه ببرنامجك ، و # تضمين ملف الرأس cubature.h.

الروتين الفرعي المركزي الذي ستطالب به من أجل التكعيب التكيفي هو:

أو pcubature (نفس الوسيطات) لـ p-adaptive cubature. (انظر أيضًا الواجهة الموجهة أدناه.)

هذا يدمج دالة F (x) ، ويعيد متجهًا لتكامل FDIM ، حيث x عبارة عن متجه DIM ذو أبعاد تتراوح من XMIN إلى XMAX (أي في hypercube XMINᵢ ᵢ xᵢ ≤ XMAXᵢ).

تحدد MAXEVAL الحد الأقصى لعدد تقييمات الوظائف (0 لعدم وجود حد). (ملاحظة: قد يتجاوز العدد الفعلي للتقييمات إلى حد ما MAXEVAL: يتم تقريب MAXEVAL إلى عدد صحيح من تقييمات المناطق الفرعية.) وإلا ، يتوقف التكامل عند الخطأ | المقدّر | أقل من REQABSERROR (الخطأ المطلق المطلوب) أو عندما يقدر | الخطأ | أقل من REQRELERROR × | قيمة تكاملية | (طلب الخطأ النسبي). (يمكن تعيين أي من تفاوتات الأخطاء على صفر لتجاهلها هو - هي.)

بالنسبة لعمليات التكامل ذات القيمة المتجهة (FDIM & gt 1) ، تحدد NORM المعيار المستخدم لقياس الخطأ وتحديد خصائص التقارب. (الوسيطة NORM غير ملائمة لـ FDIM ≤ 1 ويتم تجاهلها) الخامس و ه من التكاملات والأخطاء المقدرة فيه ، على التوالي ، تأخذ الوسيطة NORM إحدى القيم الثابتة التي تم تعدادها التالية:

ERROR_L1، ERROR_L2، ERROR_LINF: يتم قياس الخطأ المطلق على أنه | e | والخطأ النسبي كـ | e | / | v | ، أين |. | هي L₁ أو L₂ أو L∞ على التوالي. (| x | في معيار L₁ هو مجموع القيم المطلقة للمكونات ، وفي المعيار L₂ هو جذر متوسط ​​مربع المكونات ، وفي معيار L∞ هو أقصى قيمة مطلقة للمكونات)

ERROR_INDIVIDUAL: يتحقق التقارب فقط عندما يفي كل عنصر متكامل (كل مكون من مكونات v و ​​e) بشكل فردي بتفاوتات الخطأ المطلوبة.

ERROR_PAIRED: مثل ERROR_INDIVIDUAL ، فيما عدا أنه تم تجميع التكامل في أزواج متتالية ، مع تطبيق تفاوت الخطأ بمعنى L₂ لكل زوج. هذا الخيار مفيد بشكل أساسي لدمج متجهات الأرقام المركبة ، حيث يكون كل زوج متتالي من التكامل الحقيقي هو الأجزاء الحقيقية والخيالية لتكامل معقد واحد ، ولا تهتم إلا بالخطأ في المستوى المعقد بدلاً من الخطأ في الحقيقي و أجزاء خيالية بشكل منفصل.

VAL و ERR عبارة عن مصفوفتين بطول FDIM ، والتي عند الإرجاع هي القيم التكاملية المحسوبة والأخطاء المقدرة ، على التوالي. (تستند الأخطاء المقدرة إلى قاعدة التكعيب المضمنة ذات الترتيب الأدنى للوظائف السلسة ، وعادة ما يكون هذا التقدير متحفظًا.)

القيمة المرجعة لـ hcubature و pcubature هي 0 عند النجاح وغير صفرية إذا كان هناك خطأ (بشكل أساسي فقط حالات نفاد الذاكرة أو إذا كانت علامة Integrand تشير إلى خطأ). بالنسبة لقيمة إرجاع غير صفرية ، تكون محتويات صفيفات VAL و ERR غير معرفة.

يجب أن تكون دالة التكامل و F دالة في النموذج:

هنا ، المدخلات عبارة عن صفيف X بطول NDIM (النقطة المراد تقييمها) ، الإخراج عبارة عن مصفوفة FVAL بطول FDIM (متجه قيم الدالة عند النقطة X). يجب أن تكون القيمة المرجعة 0 عند النجاح أو قيمة غير صفرية إذا حدث خطأ وأن يتم إنهاء التكامل على الفور (سيعيد hcubature رمز خطأ غير صفري).

إن وسيطة FDATA لـ F تساوي وسيطة FDATA التي تم تمريرها إلى hcubature - يمكن استخدام هذه الوسيطة من قبل المتصل لتمرير أي معلومات إضافية عبر F حسب الحاجة (بدلاً من استخدام المتغيرات العامة ، والتي لم يتم إعادة إدخالها). إذا لم يكن F بحاجة إلى أي بيانات إضافية ، فيمكنك فقط تمرير FDATA = NULL وتجاهل وسيطة FDATA إلى F.

تقوم خوارزميات التكامل هذه في الواقع بتقييم التكامل و "دفعات" لعدة نقاط في وقت واحد. غالبًا ما يكون من المفيد أن يكون لديك وصول إلى هذه المعلومات بحيث لا يتم استدعاء دالة Integrand الخاصة بك لنقطة واحدة في كل مرة ، ولكن بدلاً من ذلك من أجل "ناقل" كامل للعديد من النقاط في وقت واحد. على سبيل المثال ، قد ترغب في تقييم التكامل والتوازي عند نقاط مختلفة. هذه الوظيفة متاحة عن طريق الاتصال بـ:

(وبالمثل لـ pcubature_v). جميع الوسيطات وقيمة الإرجاع متطابقة مع hcubature أعلاه ، فيما عدا أن التكامل و F الآن من النوع Integrand_v ، والذي يتوافق مع وظيفة ذات شكل مختلف. يجب أن تكون الوظيفة F الآن دالة في النموذج:

الآن ، X ليست نقطة واحدة ، ولكن مجموعة من نقاط NPTS (طول NPTS × NDIM) ، وعند إرجاع قيم جميع تكامل FDIM في جميع نقاط NPTS يجب تخزينها في FVAL (طول NPTS × FDIM). على وجه الخصوص ، x [i * ndim + j] هو الإحداثي j -th للنقطة i -th (i & ltnpts و j & ltndim) ، ويتم إرجاع تقييم الدالة k -th (k & ltfdim) للنقطة i -th في fval [ ط * فديم + ك]. (ملحوظة: تم تغيير فهرسة fval مقارنة بواجهة adapt_integrate_v في الإصدارات السابقة.)

مرة أخرى ، يجب أن تكون قيمة الإرجاع 0 عند النجاح أو غير الصفري لإنهاء التكامل على الفور (على سبيل المثال ، في حالة حدوث خطأ).

سيختلف حجم NPTS باختلاف أبعاد المشكلة سيكون للمشكلات ذات الأبعاد الأعلى (أسيًا) أكبر NPTS ، مما يسمح بإمكانية المزيد من التوازي. حاليًا ، بالنسبة لـ hcubature_v ، يبدأ NPTS عند 15 في 1d ، و 17 في 2d ، و 33 في 3d ، ولكن كما تستدعي adapt_integrate_v تكاملتك ، وستنمو قيمة NPTS أكثر وأكثر. على سبيل المثال إذا انتهى بك الأمر إلى طلب عدة آلاف من النقاط إجمالاً ، فقد ينمو NPTS إلى عدة مئات. نحن نستخدم خوارزمية من:

  • جلادويل ، "تحويل رموز تربيعية ذات بعد واحد ،" ص 230-238 بوصة تكامل رقمي. أحدث التطورات والبرامج والتطبيقاتFairweather and P.M Keast، eds.، الناتو ASI Series C203، Dordrecht (1987).

كما هو موضح في مقالة "الخوارزميات التكيفية الموازية عالميًا للتكامل متعدد الأبعاد" بقلم بول وفريمان (1994).

كمثال بسيط ، ضع في اعتبارك التكامل الغاوسي للدالة العددية f (x) = exp (-sigma | x | ²) فوق المكعب المفرط [-2،2] في 3 أبعاد. يمكنك حساب هذا التكامل عبر رمز يشبه:

ثم لاحقًا في البرنامج حيث نسمي hcubature:

هنا ، حددنا تفاوتًا نسبيًا للخطأ قدره $ 10 ^ <-4> $ (ولا يوجد تفاوت مطلق للخطأ أو الحد الأقصى لعدد تقييمات الوظائف). لاحظ أيضًا أنه لإثبات معلمة fdata ، استخدمناها لتمرير قيمة إلى وظيفتنا (بدلاً من ترميز قيمة σ في f أو استخدام متغير عالمي).

لاحظ أن المقدرة نسبيا الخطأ هو 0.00136919 / 13.69609043 = 9.9969 × 10⁻⁵ ، ضمن التفاوت المطلوب 10. ال فعلي خطأ في القيمة المتكاملة ، كما يمكن تحديده على سبيل المثال من خلال تشغيل التكامل بتفاوت أقل بكثير ، يكون أصغر بكثير: يكون التكامل صغيرًا جدًا بحوالي 0.00002 ، لخطأ نسبي فعلي يبلغ حوالي 1.4 × 10. كما هو مذكور أعلاه ، بالنسبة لعمليات الدمج السلس ، يكون الخطأ المقدر دائمًا متحفظًا (مما يعني ، لسوء الحظ ، أن عامل التكامل عادة ما يقوم بتقييمات وظيفية أكثر مما يحتاج إليه).

باستخدام الواجهة الموجهة hcubature_v ، قد يستخدم المرء بدلاً من ذلك:

التكاملات على فترات لانهائية أو شبه لانهائية ممكنة بتغيير المتغيرات. من الأفضل توضيح ذلك في بُعد واحد.

لحساب تكامل على فترة شبه لانهائية ، يمكنك إجراء تغيير المتغيرات x = a + t / (1-t):

بالنسبة للفاصل الزمني اللانهائي ، يمكنك إجراء تغيير المتغيرات x = t / (1-t²):

لاحظ تكاثر العوامل اليعقوبية F(⋅⋅⋅) في كلا التكاملات ، وكذلك أن حدود ر التكاملات مختلفة في الحالتين.

في أبعاد متعددة ، يقوم المرء ببساطة بإجراء هذا التغيير في المتغيرات على كل بُعد على حدة ، حسب الرغبة ، بضرب التكامل بالعامل اليعقوبي المقابل لكل بُعد يتم تحويله.

تتباعد العوامل اليعقوبية مع اقتراب نقاط النهاية. ومع ذلك ، إذا انتقلت f (x) إلى الصفر على الأقل بسرعة 1 / x² ، فإن حد التكامل (بما في ذلك العامل اليعقوبي) محدود عند نقاط النهاية. إذا اختفت f (x) بشكل أبطأ من 1 / x² ولكن لا تزال أسرع من 1 / x ، فإن التكامل ينفجر عند نقاط النهاية ولكن التكامل لا يزال محدودًا (وهو تفرد قابل للتكامل) ، لذا ستعمل الشفرة (على الرغم من قد يستغرق الأمر العديد من تقييمات الوظائف لتتقارب). إذا اختفت f (x) الخاصة بك فقط كـ 1 / x ، فلن تكون متقاربة تمامًا وهناك حاجة إلى مزيد من العناية حتى لتحديد ما تحاول حسابه. (على أي حال ، فإن قواعد التربيع / التكعيب h-adaptive المستخدمة حاليًا في cubature.c لا تقيّم التكاملاند عند نقاط النهاية ، لذلك لا تحتاج إلى تنفيذ معالجة خاصة لـ | t | = 1.)

لتجميع برامج الاختبار ، ما عليك سوى تجميع hcubature.c و / أو pcubature.c جنبًا إلى جنب مع اختبار برنامج الاختبار. (على نظام Unix أو GNU / Linux) عبر:

حيث & ltdim & gt = #dimensions، & lttol & gt = التسامح النسبي & ltintegrand & gt هي 0-7 لواحد من ثمانية تكاملات اختبار محتملة (انظر أدناه) و ltmaxeval & gt هو الحد الأقصى لعدد تقييمات الوظائف (0 لا شيء ، الافتراضي). وبالمثل بالنسبة لـ ptest (الذي يختبر وظيفة pcubature).

تكامل الاختبار المختلفة هي:

  • 0: منتج وظائف جيب التمام
  • 1: تكامل Gaussian من exp (-x²) ، معاد تعيينه إلى حدود [0، ∞)
  • 2: حجم الكرة الزائدة (دمج وظيفة غير متصلة!)
  • 3: كثير حدود بسيط (منتج الإحداثيات)
  • 4: غاوسي متمركز في منتصف حجم التكامل
  • 5: مجموع اثنين من Gaussians
  • 6: دالة كمثال بواسطة Tsuda ، منتج مصطلحات ذات أقطاب قريبة
  • 7: اختبار متكامل بواسطة Morokoff and Caflisch ، منتج بسيط من الجذور القاتمة للإحداثيات (مفرد ضعيف عند الحد)

يدمج الدالة Gaussian (4) مع تفاوت الخطأ النسبي المطلوب 10 ^ –5 ^ في 3 أبعاد. الخرج هو:

لاحظ أنه يجد التكامل بعد تقييمات دالة 82203 مع خطأ تقديري يبلغ حوالي 10 about ، لكن الخطأ الحقيقي (مقارنة بالنتيجة الدقيقة) أصغر بكثير (2.5 × 10⁻⁸): تقدير الخطأ عادةً متحفظ عند تطبيقه لتسهيل وظائف مثل هذه.


ستساعدك الآلة الحاسبة في حساب التكامل المزدوج عبر الإنترنت. التكامل المزدوج هو تعميم لمفهوم التكامل المحدد للحالة ثنائية الأبعاد. التكامل المزدوج للدالة f (x ، y) على المجال D هو حد المجموع المتكامل lim S (d → 0) ، إذا كان موجودًا. بالمعنى الهندسي ، التكامل المزدوج يساوي عدديًا حجم جسم أسطواني رأسي مبني على القاعدة ومحدود من الأعلى بقطعة السطح المقابلة.

للحصول على حل التكاملات المزدوجة ، تحتاج إلى إدخال بيانات الإدخال الضرورية في الخلايا المناسبة. أدخل الحدين العلوي والسفلي لمنطقة التكامل والتكامل. إذا لم تكن هناك وظيفة تكامل ، أدخل 1.

ستساعدك حاسبة التكاملات عبر الإنترنت مع حل مفصل في حساب التكاملات والمشتقات العكسية للوظائف عبر الإنترنت - مجانًا! استخدام الآلة الحاسبة سهل.


تتيح لك الآلة الحاسبة عبر الإنترنت حساب التكامل الثلاثي. التكامل الثلاثي هو تعميم لمفهوم التكامل المحدد للمستوى ثلاثي الأبعاد. التكاملات الثلاثية لها نفس خصائص التكاملات المزدوجة. الاختلاف الوحيد هو أنه في حالة التكاملات الثلاثية ، لن نتحدث بعد الآن عن المنطقة ، بل عن الحجم. يتم تقليل حساب التكامل الثلاثي إلى الحساب المتسلسل لثلاثة تكاملات محددة. أدخل الحدين العلوي والسفلي لمنطقة التكامل والتكامل الثلاثي للتكامل الثلاثي.

ستساعدك حاسبة التكاملات عبر الإنترنت مع حل مفصل في حساب التكاملات والمشتقات العكسية للوظائف عبر الإنترنت - مجانًا! استخدام الآلة الحاسبة سهل.


السببية والاستقرار

لكي يكون النظام سببيًا ، يجب أن تكون جميع أقطاب وظيفة النقل الخاصة به هي النصف الأيمن من المستوى s.

يقال إن النظام يكون مستقرًا عندما تقع جميع أقطاب وظيفة النقل الخاصة به على النصف الأيسر من المستوى s.

يقال إن النظام غير مستقر عندما يتم إزاحة قطب واحد على الأقل من وظيفة النقل الخاصة به إلى النصف الأيمن من المستوى s.

يقال إن النظام مستقر بشكل هامشي عندما يقع قطب واحد على الأقل من وظيفة النقل على محور j & omega للطائرة s.


الملخص

تم فحص سلوك الكلال والكسر لعروات القص المزدوجة المعرضة للتحميل المحوري. ينصب التركيز على أشكال محددة ، ما يسمى العروات المخصرة أو العنق. هذه المكونات الهيكلية المستخدمة في داخل الطائرة عرضة لأحمال التعب. تم اختبار ثلاثة أحجام مختلفة من العروات ذات القص المزدوج المعنق من الألمنيوم عالي القوة 2024-T351 والصلب 17-4 PH باستخدام الأحمال الدورية ذات الاتساع الثابت مع نسبة تحميل ر = 0.01. تُستخدم بيانات القياس لتحديد عدد دورات بدء الكراك والكسر النهائي. تظهر اختبارات التعب أن الشقوق تبدأ إما على السطح الداخلي أو الخارجي للعروات العنق. ومع ذلك ، لا يمكن العثور على اعتماد واضح على سعة الحمولة وحجم العروة والمواد. يتم إجراء عمليات المحاكاة العددية باستخدام كل من طريقة العناصر المحدودة التقليدية (FEM) وطريقة العناصر المحدودة الممتدة (XFEM) لحساب عوامل شدة الإجهاد (SIFs) لأطوال الشقوق المتعددة من العروات المزدوجة القص المستقيمة والعنق. تتناسب عوامل شدة الإجهاد المحسوبة للعروات المستقيمة جيدًا مع عوامل شدة الإجهاد المذكورة في الأدبيات. منحنيات عامل شدة الإجهاد للشقوق الداخلية والخارجية للعروات المخططة فيما يتعلق بطول الشق ، تتقاطع مع بعضها البعض ، مما قد يكون له تأثير على سلوك الكسر الذي لوحظ في اختبارات التعب.


العبء الأمريكي لمرض الزهايمر ، والخرف المرتبط به يتضاعف بحلول عام 2060

نسبة البالغين الذين تبلغ أعمارهم 65 عامًا فأكثر المصابون بمرض الزهايمر حسب العرق والعرق

سيتضاعف العبء الأمريكي لمرض الزهايمر ورسكووس والخرف المرتبط به (ADRD) بحلول عام 2060 ، وفقًا لدراسة جديدة من مراكز السيطرة على الأمراض والوقاية منها.

الدراسة ، التي نشرت على الإنترنت في Alzheimer & rsquos & amp dementia: The Journal of the Alzheimer & rsquos Association الرمز الخارجي ، هو أول من توقع مرض الزهايمر ورسكووس حسب العرق والعرق. يتوقع باحثو مركز السيطرة على الأمراض أن الأمريكيين من أصل إسباني سيكون لديهم أكبر زيادة متوقعة بسبب النمو السكاني خلال فترة الإسقاط ، على الرغم من أنه بسبب الحجم النسبي للسكان ، سيظل البيض غير اللاتينيين لديهم أكبر عدد إجمالي من حالات الزهايمر و rsquos.

كان عبء مرض الزهايمر ورسكووس والخرف المرتبط به في عام 2014 هو 5 ملايين شخص ، وهو ما يمثل 1.6 في المائة من سكان الولايات المتحدة في عام 2014 و [مدش] 319 مليون شخص. ومن المتوقع أن ينمو هذا العبء إلى 13.9 مليون ، أي ما يقرب من 3.3 في المائة من السكان في عام 2060 - 417 مليون شخص.

تظهر هذه الدراسة أنه مع زيادة عدد سكان الولايات المتحدة ، فإن عدد الأشخاص المصابين بمرض الزهايمر ومرض rsquos والخرف المرتبط به سيرتفع ، خاصة بين الأقليات ، وقال مدير مركز السيطرة على الأمراض روبرت ر. مع فقدان الذاكرة ، وتصفح نظام الرعاية الصحية ، والتخطيط لرعايتهم في المستقبل. & rdquo

التباينات العرقية في العبء المستقبلي لمرض الزهايمر و rsquos

يعد مرض الزهايمر وداء الرسكوس خامس أكثر أسباب الوفاة شيوعًا بين الأمريكيين الذين تبلغ أعمارهم 65 عامًا فما فوق. It is an irreversible, progressive brain disorder that slowly destroys memory and, eventually, a person&rsquos ability to perform even the simplest tasks, such as bathing, feeding, and dressing.

CDC researchers estimated the number of people with Alzheimer&rsquos by age, sex, race and ethnicity in 2014 and 2060 based on population projections from the U.S. Census Bureau and percentages of Medicare Fee-for-Service beneficiaries ages 65 years and older with Alzheimer&rsquos disease and related dementias from the Centers for Medicare & Medicaid Services.

Key findings

Among people ages 65 and older, African Americans have the highest prevalence of Alzheimer&rsquos disease and related dementias (13.8 percent), followed by Hispanics (12.2 percent), and non-Hispanic whites (10.3 percent), American Indian and Alaska Natives (9.1 percent), and Asian and Pacific Islanders (8.4 percent).

By 2060, the researchers estimate there will be 3.2 million Hispanics and 2.2 million African Americans with Alzheimer&rsquos disease and related dementias. The increases are a result of fewer people dying from other chronic diseases and surviving into older adulthood when the risk for Alzheimer&rsquos disease and related dementias increases.

Caregivers of people living with Alzheimer&rsquos and related dementias need support

The report also addresses the need to provide support to caregivers of persons living with Alzheimer&rsquos and related dementias because an early diagnosis can help caregivers plan for the life-changing experience of caring for a friend or family member with these conditions, which can also impact the caregiver&rsquos health and well-being.

&ldquoIt is important for people who think their daily lives are impacted by memory loss to discuss these concerns with a health care provider. An early assessment and diagnosis is key to planning for their health care needs, including long-term services and supports, as the disease progresses,&rdquo said Kevin Matthews, Ph.D., health geographer and lead author of the study with the CDC&rsquos Division of Population Health within the National Center for Chronic Disease Prevention and Health Promotion.

CDC works to understand and improve the lives of people with Alzheimer&rsquos and related dementias, and their families, by:


US Regions and States: How Do They Differ?

In a country that covers over 9 million square kilometers, it is not surprising to learn that regions that are separated by large distances will be noticeably different. Not only are there great differences in climate and landscape, but also in the people who live in each of these regions. The fifty states that make up the United States can be divided into six distinctive regions which are described below.

The Northeast (Maine, New Hampshire, Vermont, Massachusetts, Connecticut, and Rhode Island)

The first immigrants (or settlers) to the United States came to the Northeast region in the 17th century. These were mostly English Protestants, looking for freedom to practice their religion and political reform. Because the winters are cold and harsh, and the land not very flat or fertile, this region is not well suited for farming. Eventually manufacturing and trade became the most important contributors to the regional economy. This region is well known for its culture (with excellent theaters and museums) as well as its educational system (with some of the most highly rated and respect universities in the country). This region is also known for its mix of ethnic groups, including Irish, Italian, and many eastern Europeans.

The Middle Atlantic (New York, New Jersey, Pennsylvania, Delaware, Washington, DC, and Maryland)

The first settlers in this region were more diverse than in the Northeast. Not only were English Protestants included, but also English Catholics, Dutch, and Swedes. Although the weather is not quite as cold, farming was still difficult, so manufacturing and shipping became the dominant industries. Some of the most highly populated American cities (including the largest, New York city) are located in the Mid Atlantic, as is the nation's capital (Washington, DC). Today finance, communications, and pharmaceuticals are some of the most important industries in the region.

The South (Virginia, West Virginia, Kentucky, Tennessee, North Carolina, South Carolina, Georgia, Florida, Alabama, Mississippi, Arkansas, Louisiana, and parts of Missouri, Texas and Oklahoma)

The first southerners were English Protestants, like the northeasterners, but they were less independent and revolutionary in their nature. With temperate weather and sprawling lands, the south was very conducive to farming and soon agriculture became the primary industry. Southerners are probably the most distinctive of all American regional groups, with more relaxed attitudes and traditional ways than their neighbors to the north. They are known for their hospitality. The climate and the landscape have led this region to become popular with American tourists, and also with retirees. Today farming has become less prominent, and manufacturing and tourism have contributed greatly to the economy.

The Midwest (Ohio, Michigan, Indiana, Wisconsin, Illinois, Minnesota, Iowa, parts of Missouri, North Dakota, South Dakota, Kansas, Nebraska and eastern Colorado)

The Midwest is the largest of the regions, with the most variation in weather. However, the land is almost entirely flat, and also very fertile, making it ideal for farming. The region is known as the nation's "breadbasket" because of its abundant production of oats, wheat, and corn. The first immigrants were Americans from the east coast, as well as Europeans from Sweden, Norway, and Germany. Midwesterners are known for being honest, straightforward people of traditional values. The area is not densely populated, with fewer big cities than its neighbors to the east. The largest city is Chicago, known for its port, and for being a connection (through railroad lines and airline hubs) between the eastern and western United States.

The Southwest (western Texas, parts of Oklahoma, New Mexico, Arizona, and Nevada)

This region has had the least influence by European immigrants. Much of its culture has been defined by native Americans (also known as American Indians) and by the Spanish (most of the Southwest previously belonged to Mexico). The land is generally flat and dry, and the weather is very hot. The region has many deserts. The nation's greatest natural wonder, the Grand Canyon, is located in this region. Also located here is Las Vegas, one of the world's premier gambling centers.

The West (western Colorado, Wyoming, Montana, Utah, California, Nevada, Idaho, Oregon, Washington, Alaska, and Hawaii)

The first settlers in the West were the Spanish who established Catholic missions along the coast. This region has probably the most variation in landscape and climate. Mountain chains run from north to south, creating temperate, wet areas to the west, and harsher, drier areas to the east. This region contains much undeveloped land which is enjoyed by the locals for recreation. The west has the most varied mixture of immigrants of all the other regions. In some areas, Mexican and Asian influences are dominant over European influences. Westerners are known as the least traditional of Americans, and the most tolerant of change and differences. California is the nation's most populous state, and is famous for its movie and high-technology industries.


When a fire occurs and the alarm is raised, we expect the fire service to respond and arrive quickly. The emergency services need three main conditions to be satisfied to successfully deal with a fire in a house:

  • Fire engines must be able to get close to the building
  • Firefighters and their equipment must be able to reach the fire&rsquos location in the building
  • An adequate supply of water, maintained at sufficient pressure, must be available to fight the fire.

As houses are usually classed as small buildings (that is, up to 2,000m2 floor area with a top storey less than 11m high), only access to within 45m of every point of the building, or to 15% of its perimeter, is needed.

A wide range of fire engines are in use throughout the UK. They vary in height, length and weight and, as such, require varying degrees of access. To ensure that these requirements are met, building control bodies and local fire safety authorities should be consulted early on when designing a new home to check that there are no restrictions to access.

Long, narrow access tracks or drives in rural areas can often be a problem. Access roads usually need:

  • To be at least 3.7m wide
  • Surfaced and capable of carrying 12.5 tonnes
  • With gates at least 3.1m wide
  • With passing areas or turning points every 20m. A hammerhead or a turning circular With 16.8m turning circle diameter is required if the drive or track is over 20m in length.

If this is not possible, some alternative considerations may be agreed to compensate.

Remote self bu­­­ild projects could include their own fire hydrant. Extended from the water mains, they would provide a means by which fire fighters could connect hoses to a standpipe. Private hydrants should be positioned not more than 90m (hose length) from the external door.

External hydrants are usually &lsquowet&rsquo (permanently filled with water) rather than &lsquodry&rsquo (kept empty and filled by the fire brigade when they attend an incident).


شاهد الفيديو: Double Integrals (شهر اكتوبر 2021).