مقالات

7.1: القطع الناقص


إذا سألت شخصًا عشوائيًا "ما هي الدائرة؟" سيكون الرد المعتاد هو ركل العلبة على الطريق: "شيء ما هذا دائري". هناك تعريف بسيط:

وبالمثل ، فإن السؤال "ما هو القطع الناقص؟" من المحتمل أن يتم الرد بـ "شكل بيضاوي" أو "شيء على شكل بيضة" أو "دائرة مضغوطة". التعريف الدقيق سيكون:

يوضح الشكل [شكل: دائرة دائرية] التعريفات أعلاه ، مع وجود نقطة (P ) تتحرك على طول كل منحنى.

على طول القطع الناقص ، يظل مجموع (d_1 + d_2 ) المسافات من (P ) إلى البؤر ثابتًا. يجعل تعريف الدائرة من السهل تخيل شكلها ، خاصة لأي شخص رسم دائرة بالبوصلة. من ناحية أخرى ، قد لا يشير تعريف القطع الناقص إلى شكل "بيضاوي" على الفور. يصبح شكله واضحًا عند إنشاء شكل بيضاوي يدويًا ، باستخدام التعريف فقط. ألصق دبابيس في لوحة واربط طرفي قطعة من الخيط بالمسامير ، بحيث يكون الخيط طويلًا بدرجة كافية بحيث يكون هناك بعض التراخي (انظر الشكل [شكل: رسم الرسم البياني] (أ)). ستكون الدبابيس بؤرة القطع الناقص.

شد الخيط بقلم رصاص تلامس نقطته السبورة ، ثم حرك القلم الرصاص قدر الإمكان على جميع جوانب الدبابيس. سيكون الشكل المرسوم بيضاويًا ، كما في الشكل [شكل: رسم رسم بيضاوي] (ب). طول السلسلة هو المجموع الثابت (d_1 + d_2 ) للمسافات من النقاط الموجودة على القطع الناقص إلى البؤر. تناسق القطع الناقص واضح.

هناك بعض المصطلحات المرتبطة بالحذف. ال محور الرئيسية هو الخط الذي يحتوي على البؤر ، و المركز في منتصف المسافة بين البؤر ، كما في الشكل [شكل: قطع القطع الناقصة]:

ال الرؤوس هي النقاط التي يتقاطع فيها القطع الناقص مع المحور الرئيسي. ال المحور الرئيسي هو الوتر الذي ينضم إلى الرؤوس ، و محور صغير هو الوتر عبر المركز المتعامد مع المحور الرئيسي. الاثنان محاور شبه رئيسية هي نصفي المحور الرئيسي الذي يربط المركز بالرؤوس ( ( overline {CV_1} ) و ( overline {CV_2} ) في الشكل [fig: ellipseparts]). وبالمثل محاور شبه طفيفة هما نصفي المحور الثانوي. الوتر عبر المركز هو أ قطر الدائرة. لاحظ أن الدائرة هي الحالة الخاصة للقطع الناقص ببؤر متطابقة (أي أن البؤر والمركز هما نفس النقطة). تظهر القطع الناقصة في الطبيعة (مثل مدارات الكواكب حول الشمس) وفي العديد من التطبيقات. كان الإغريق القدماء قادرين على اشتقاق العديد من خصائص القطع الناقص من تعريفه الهندسي البحت.1 في الوقت الحاضر ، تُشتق هذه الخصائص عادةً باستخدام طرق من الهندسة التحليلية- دراسة الأجسام الهندسية في سياق أنظمة الإحداثيات.2 لقد رأيت بالفعل معادلة القطع الناقص في (xy ) - المستوى المتمركز في الأصل: ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (أ> ب> 0 ) ، مع محور (س ) - كمحور رئيسي. يمكن اشتقاق المعادلة مباشرة من تعريف القطع الناقص.

في المستوى (xy ) ، اجعل بؤر القطع الناقص هي النقاط (( pm c، 0) ) بالنسبة للبعض (c> 0 ) ، بحيث يكون المركز هو الأصل (( 0،0) ) والمحور (س ) هو المحور الرئيسي ، كما في الشكل على اليمين. قم بالإشارة إلى (2 أ ) المجموع الثابت (د_1 + د_2 ) للمسافات من النقاط ((س ، ص) ) على القطع الناقص إلى البؤر ، مع (أ> 0 ). لاحظ أن (a> c ) ، لأن المسافة (2c ) بين البؤرتين يجب أن تكون أقل من (d_1 + d_2 = 2a ). ثم بصيغة المسافة ،

[ start {align} d_1 ~ + ~ d_2 ~ & = ~ 2a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ + ~ sqrt {(xc) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ 2a left ( sqrt {(xc) ^ 2 + y ^ 2} right) ^ 2 ~ & = ~ left (2a ~ - ~ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} right) ^ 2 (xc) ^ 2 ~ + ~ إلغاء {y ^ 2} ~ & = ~ 4a ^ 2 ~ - ~ 4a ، sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ + ~ (x + c) ^ 2 ~ + ~ إلغاء {y ^ 2} 4a ، sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ 4a ^ 2 ~ + ~ (x + c) ^ 2 ~ - ~ (xc) ^ 2 Cancel {4} a ، sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ إلغاء {4} a ^ 2 ~ + ~ إلغاء {4} xc sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ a ~ + ~ tfrac {c} {a} x x ^ 2 ~ + ~ إلغاء {2cx} ~ + ~ c ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ + ~ إلغاء {2cx} ~ + ~ tfrac {c ^ 2} { أ ^ 2} س ^ 2 يسار (1 - tfrac {c ^ 2} {a ^ 2} right) ، x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ - ~ ج ^ 2

[4pt] frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2 - c ^ 2} ~ & = ~ 1

[4pt] frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} ~ & = ~ 1 quad text {حيث $ b ^ 2 = a ^ 2 - c ^ 2 $ (وهكذا $ a> b> 0 $)} quad checkmark end {align} ] الرسم البياني للقطع الناقص الناتج ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac { y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) والبؤر في (( pm c، 0) ) موضحة في الشكل [الشكل: ellipab]. نظرًا لأن المحور (x ) - هو المحور الرئيسي ، يتم العثور على الرؤوس عن طريق ضبط (y = 0 ): (x = pm a ). وبالتالي ، فإن الرؤوس هي (( pm a ، 0) ) ، لذلك ينتقل المحور الرئيسي من ((- a ، 0) ) إلى ((a ، 0) ) ويبلغ طوله (2a ) (أي أن المحور شبه الرئيسي له طول (أ )). وبالمثل ، يُظهر الإعداد (x = 0 ) أن المحور الثانوي ينتقل من ((0 ، -b) ) إلى ((0 ، ب) ) ، (أي أن المحور شبه الثانوي له طول (ب ) )). منذ (أ> ب> 0 ) و (ب ^ 2 = أ ^ 2 - ج ^ 2 ) ،
ثم (c = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ). وهكذا ، ل أي القطع الناقص للنموذج ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) ، ستكون البؤر في (( pm c، 0) ) ، حيث (c = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ). يمكن استخدام البؤر لتحديد خاصية هندسية مهمة للقطع الناقص:

الانحراف (e ) هو مقياس لمدى "البيضاوي" في القطع الناقص ، مع (0

مدار الأرض الإهليلجي حول الشمس دائري تقريبًا: الانحراف هو 0.017. فقط مداري كوكب الزهرة ونبتون (كلاهما عند 0.007) لهما انحراف أقل بين الكواكب التسعة في النظام الشمسي ، بينما يمتلك بلوتو (0.252) أعلى انحراف.

يُترك كتمرين لإظهار أن القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) يمكن كتابتها من حيث اللامركزية (هـ ):

[ label {eqn: ellipe} y ^ 2 ~ = ~ (1 - e ^ 2) ، (a ^ 2 - x ^ 2) ]

مثال ( PageIndex {1} ): elliparea

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد المنطقة داخل القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).

حل: بالتناظر ، ستكون المساحة أربعة أضعاف المساحة في الربع الأول. يعطي حل (ص ) في معادلة القطع الناقص

[y ^ 2 ~ = ~ b ^ 2 ~ - ~ frac {b ^ 2 x ^ 2} {a ^ 2} quad Rightarrow quad y ~ = ~ b ، sqrt {1 - frac { x ^ 2} {a ^ 2}} ~ = ~ frac {b} {a} ، sqrt {a ^ 2 - x ^ 2} ] لنصف الكرة العلوي. هكذا،

[ start {align} text {Area} ~ & = ~ 4 ، int_0 ^ ay ~ dx ~ = ~ frac {4b} {a} ، int_0 ^ a sqrt {a ^ 2 - س ^ 2} ~ dx

[6pt] & = ~ frac {4b} {a} ، left ( frac {a ^ 2} {2} ، sin ^ {- 1} left ( frac {x} {a} right) ~ + ~ frac {1} {2} ، x ، sqrt {a ^ 2 - x ^ 2} ~ Biggr | _0 ^ a right) quad text {(بالصيغة ( المرجع {eqn: sqrta2u2sin}) في القسم 6.3)}

[6pt] & = ~ frac {4b} {a} ، left ( frac {a ^ 2} {2} ، frac { pi} {2} ~ + ~ 0 ~ - ~ (0 ~ + ~ 0) صحيح)

[6pt] & = ~ pi ، ab end {align} ]

السمة الرائعة للقطع الناقص هي خاصية الانعكاس: سوف ينعكس الضوء الساطع من تركيز واحد إلى أي نقطة على القطع الناقص على التركيز الآخر. يوضح الشكل [شكل: انعكاس القطع الناقص] الضوء المنبعث من البؤرة (F_1 ) ويعكس نقطة (P ) على القطع الناقص إلى البؤرة الأخرى (F_2 ). مبدأ فيرما من المثال

مثال ( PageIndex {1} ): minmax4

أضف نصًا هنا.

حل

في القسم 4.1 أظهر أن الزاوية الواردة ( theta_1 ) (زاوية السقوط) للضوء من النقطة A ستساوي الزاوية الصادرة ( theta_2 ) (زاوية الانعكاس) للنقطة B للضوء المنعكس عن عاكس مسطح السطح عند النقطة (P ) ، كما في الشكل [الشكل: fermat2] (أ). ينطبق مبدأ فيرمات أيضًا على الأسطح المنحنية - على سبيل المثال. القطع الناقص - مع قياس الزوايا بالنسبة إلى الخط المماس للمنحنى عند نقطة الانعكاس ، كما في الشكل [fig: fermat2] (b).

لاحظ أن مبدأ فيرما يكافئ القول بأن الزوايا ( alpha_1 ) و ( alpha_2 ) التي يصنعها مسار الضوء مع الخط الطبيعي عبر نقطة الانعكاس متساوية ، لأن كل زاوية تساوي (90 ) الدرجات - theta ) ، كما في الشكل [الشكل: fermat3] (أ):

وبالتالي ، لإثبات خاصية الانعكاس ، يكفي إثبات أن الخط العادي (n ) للقطع الناقص عند (P ) يشطر الزاوية ( زاوية F_1PF_2 ) في الشكل [الشكل: fermat3] (ب) —هذا سيجعل ( alpha_1 = alpha_2 ) ، بحيث يلبي المسار المشار إليه من (F_1 ) إلى (P ) إلى (F_2 ) مبدأ فيرما. أولاً ، دع (P = (x_0، y_0) ) يكون نقطة على القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، مع (أ> ب> 0 ). افترض أن (P ) ليس رأسًا (أي (y_0 ne 0 )) ، وإلا فإن خاصية الانعكاس تبقى تافهة. من خلال التمرين [exer: elliptan] في القسم 3.4 ، تكون معادلة الخط المماس للقطع الناقص عند (P = (x_0، y_0) ) هي

[ label {eqn: elliptan} frac {x x_0} {a ^ 2} ~ + ~ frac {y y_0} {b ^ 2} ~ = ~ 1 ~، ] بحيث يكون ميلها (- frac {b ^ 2 x_0} {a ^ 2 y_0} ). ومن ثم ، فإن المعادل السلبي ( frac {a ^ 2 y_0} {b ^ 2 x_0} ) هو ميل الخط العادي (n ) ، الذي تكون معادلته صالحة حتى عندما (x_0 = 0 ) ( أي عندما (y_0 = pm ب )) - ثم

[ label {eqn: ellipnormal} b ^ 2 x_0 ، (y - y_0) ~ = ~ a ^ 2 y_0 ، (x - x_0) ~. ] الإعداد (y = 0 ) وحل من أجل (x ) يظهر (x ) - تقاطع (n ) عند

[x ~ = ~ frac {(a ^ 2 - b ^ 2) ، x_0 y_0} {a ^ 2 y_0} ~ = ~ frac {c ^ 2} {a ^ 2} ، x_0 ~ = ~ e ^ 2 ، x_0 ] دع (N = (e ^ 2 x_0،0) ) يكون هذا (x ) - اعتراض ، كما في الشكل [fig: fermat3] (b). المسافة (F_1N ) من التركيز (F_1 = (- ج ، 0) = (- عصام ، 0) ) إلى (N ) هي إذن

[F_1N ~ = ~ e ^ 2 ، x_0 ~ - ~ (-ea) ~ = ~ e ، (a + ex_0) ] بينما المسافة (F_2N ) من التركيز (F_2 = (c، 0) = (إي ، 0) ) إلى (N ) هو

[F_2N ~ = ~ ea ~ - ~ e ^ 2 ، x_0 ~ = ~ e ، (a - ex_0) ~. ] لذلك ،

[ frac {F_1N} {F_2N} ~ = ~ frac {e ، (a + ex_0)} {e ، (a - ex_0)} ~ = ~ frac {a + ex_0} {a - ex_0} ~. ] بصيغة المسافة ، تُعطى المسافة (F_1P ) من (F_1 = (- ea ، 0) ) إلى (P = (x_0، y_0) ) بواسطة

[ start {align} (F_1P) ^ 2 ~ & = ~ (x_0 + ea) ^ 2 ~ + ~ y_0 ^ 2 & = ~ x_0 ^ 2 ~ + ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2a ^ 2 ~ + ~ (1-e ^ 2) ، (a ^ 2 - x_0 ^ 2) quad text {(بالصيغة ( ref {eqn: ellipe}))} (F_1P) ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ + ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2x_0 ^ 2 ~ = ~ (a + ex_0) ^ 2 F_1P ~ & = ~ a + ex_0 ~. end {align} ] بالمثل ، المسافة ( F_2P ) from (F_2 = (ea، 0) ) إلى (P = (x_0، y_0) ) من خلال

[ start {align} (F_2P) ^ 2 ~ & = ~ (x_0 - ea) ^ 2 ~ + ~ y_0 ^ 2 ~ = ~ x_0 ^ 2 ~ - ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2a ^ 2 ~ + ~ (1-e ^ 2) ، (a ^ 2 - x_0 ^ 2) (F_2P) ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ - ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2x_0 ^ 2 ~ = ~ (a - ex_0) ^ 2 F_2P ~ & = ~ a - ex_0 ~. end {align} ]

هكذا،

[ frac {F_1P} {F_2P} ~ = ~ frac {a + ex_0} {a - ex_0} ~ = ~ frac {F_1N} {F_2N} ~ ، ] مما يعني أن ( alpha_1 = alpha_2 ):3 بموجب قانون الجيب ، ومع ( ثيتا = الزاوية F_2NP ) كما في الشكل على اليمين ،

[ frac { sin ، alpha_2} {F_2N} ~ = ~ frac { sin ، theta} {F_2P} ~ = ~ frac { sin ، (180 Degrees - theta)} {F_2P} ~ = ~ frac { sin ، (180 Degrees - theta)} {F_1P} ، cdot ، frac {F_1P} {F_2P} ~ = ~ frac { sin ، alpha_1} {F_1N} ، cdot ، frac {F_1N} {F_2N} ~ = ~ frac { sin ، alpha_1} {F_2N} ] وبالتالي ( sin ، alpha_2 = sin ، alpha_1 )، بحيث ( alpha_2 = alpha_1 ) (منذ (0 Degrees < alpha_1، ، alpha_2 <90 Degrees )). ( رباعي علامة اختيار )

قطع ناقص للنموذج

[ frac {x ^ 2} {b ^ 2} ~ + ~ frac {y ^ 2} {a ^ 2} ~ = ~ 1 ] مع (a> b> 0 ) يبدل أدوار (س ) و (ص ) في الأمثلة السابقة: المحور الرئيسي الآن هو المحور (ص ) - البؤر في ((0 ، مساء ج) ) ، حيث (ج) = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ) ، والرؤوس موجودة عند ((0، pm a) ) ، كما في الشكل [الشكل: ellipba].

وبالتالي ، فإن المقام الأكبر في الجانب الأيسر من المعادلة بالصيغة ( frac {x ^ 2} { square ^ 2} + frac {y ^ 2} { square ^ 2} = 1 ) يخبرك أي محور هو المحور الرئيسي. على سبيل المثال ، المحور الرئيسي للقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {16} = 1 ) هو المحور (x ) - (منذ (25) > 16 )) ، في حين أن القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) يحتوي على المحور (y ) - كمحوره الأساسي ( منذ (9> 4 )). [sec7dot1]

أنشئ شكلًا بيضاويًا باستخدام الإجراء الموضح في الشكل [شكل: رسم بيضاوي]. ضع الدبابيس على مسافة 7 بوصات واستخدم خيطًا بطول 10 بوصات.

بالنسبة للتدريبات 2-6 ، قم برسم الرسم البياني للقطع الناقص المحدد ، وحدد المحاور الرئيسية والثانوية والمواقع الدقيقة للبؤر والرؤوس ، وابحث عن الانحراف (e ). [[1.]]

5

( dfrac {x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {16} = 1 )

( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 )

( dfrac {4x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 )

(x ^ 2 + 4y ^ 2 = 1 vphantom { dfrac {x ^ 2} {15}} )

(25x ^ 2 + 9y ^ 2 = 225 vphantom { dfrac {x ^ 2} {15}} )

أظهر ذلك لـ (a> b> 0 ) القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع الانحراف (e ) يمكن كتابتها كـ (y ^ 2 = (1-e ^ 2) (a ^ 2 - x ^ 2) ).

استخدم المثال

مثال ( PageIndex {1} ): elliparea

أضف نصًا هنا.

حل

لإظهار المنطقة داخل القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع الانحراف (e ) هو ( pi أ ^ 2 ، sqrt {1-e ^ 2} ).

بالنسبة إلى جميع (a> b> 0 ) ، ابحث عن نقاط تقاطع الأشكال البيضاوية ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) و ( frac {x ^ 2} {b ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ).

أظهر أن الرؤوس هي أقرب وأبعد نقطة على القطع الناقص لأي تركيز. [[1.]]

أظهر أن أي خط منحدر (m ) مماس للقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) يجب أن يكون النموذج

[y ~ = ~ mx ~ pm ~ sqrt {a ^ 2 m ^ 2 ؛ + ؛ ب ^ 2} ~. ]

[exer: ellipladder] سلم بطول 10 أقدام بعلامة 3 أقدام من أعلى يستقر على الحائط. إذا انزلق الجزء العلوي من السلم إلى أسفل الحائط ، مع انزلاق قدم السلم بعيدًا عن الحائط على الأرض ، كما في الشكل [شكل: سلم بيضاوي] ، فقم بإظهار تحرك العلامة على طول جزء من القطع الناقص.

[exer: ellipdirectrix] تعريف آخر للقطع الناقص هو مجموعة النقاط (P ) التي نسبة المسافة من (P ) إلى نقطة ثابتة (F ) (تركيز) إلى المسافة من (P ) إلى خط ثابت (D ) (the الدليل) ثابت (e <1 ) (الانحراف): ( frac {PF} {PG} = e ) ، كما في الشكل [الشكل: ellipdirectrix]. استخدم هذا التعريف لتوضيح أن معادلة القطع الناقص مع التركيز ((c، 0) ) يمكن كتابتها كـ ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) لبعض (أ> ب> 0 ). أوجد معادلة الدليل.

[exer: ellipdircle] أظهر أن مجموعة نقاط التقاطع لجميع خطوط التماس العمودية على القطع الناقص تشكل دائرة ، كما في الشكل [شكل: دائرة بيضاوية] (يُظهر خطين مماسين من هذا القبيل (T_1 perp T_2 )).

[exer: elliplatus] الوتر من القطع الناقص الذي يمر عبر البؤرة ويكون عموديًا على المحور الرئيسي هو المستقيم العريض. أظهر ذلك للقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) طول كل منها طول المستقيم هو ( frac {2b ^ 2} {a} ).

افترض أن الخط الطبيعي في أحد طرفي المستقيم العريض للقطع الناقص يمر عبر نهاية المحور الثانوي. بيّن أن الانحراف المركزي (e ) هو أصل المعادلة (e ^ 4 + e ^ 2 - 1 = 0 ) ، ثم ابحث عن (e ).

بيّن أن مجموعة جميع نقاط المنتصف لعائلة من الأوتار المتوازية في القطع الناقص تقع على قطر. (تلميح: استخدم التناظر مع أوتار المنحدر (م ني 0 ).)


  1. الكلمة الشكل البيضاوي يرجع في الواقع إلى عالم الفلك اليوناني والقياس الجغرافي أبولونيوس من بيرجا (262-190 قبل الميلاد) ، والذي يبدو أنه تحسن عن اسم "ثيريوس" الذي أعطاه إقليدس الشكل (حوالي 360-300 قبل الميلاد).
  2. رائد من قبل عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت (1596-1650) ، ديكارتي يسمى نظام الإحداثيات. الاقتراح "أنا أفكر ، إذن أنا موجود" (كوجيتو ، إرغو سوم) بسبب ديكارت
  3. هذا يتبع مباشرة من الاقتراح 3 في الكتاب السادس من إقليدس عناصر. انظر البرهان الهندسي البحت في الصفحات 125-126 في إقليدس ، عناصر، (ترجمة توماس إل هيث) ، سانتا في ، نيو مكسيكو: مطبعة الأسد الأخضر ، 2002.↩
  4. الانحراف (e ) للقطع المكافئ 1 يعني عدم وجود قمة ثانية ، على عكس القطع الناقص (حيث (e <1 ) قسري وجود رأسين في التعريف البديل) .↩
  5. سيتم مناقشة هذا بمزيد من التفصيل في القسم 7.4.↩
  6. انظر الصفحات 159-161 في Smith، CE، الميكانيكا التطبيقية: احصائيات، نيويورك: John Wiley & Sons ، Inc. ، 1976.↩
  7. يمكن أن يمتد الدليل إلى الأقماع المزدوجة المائلة. انظر §364 في Salmon، GS، رسالة في الأقسام المخروطية، لندن: Longmans ، Green and Co. ، 1929.↩
  8. الحالة التي ينتج فيها ( alpha = 0 Degrees ) دائرة ، والتي لا تعتبر عادةً قسمًا مخروطيًا.
  9. لا يشير الرمز الأولي ( (')) إلى التمايز - فهو يعمل فقط لتمييز المحاور الجديدة.
  10. للحصول على دليل ، انظر القسم 6.8 في Protter، M.H. و C.B. Morrey ، الهندسة التحليلية، الطبعة الثانية ، ريدينج ، ماجستير: شركة أديسون ويسلي للنشر ، 1975.↩
  11. سبب استخدام المنطقة مرتين هو مجرد الحصول على نتيجة نهائية "أكثر نظافة" تتضمن (أ ) بدلاً من (2 أ ). ↩
  12. انظر الصفحات من 25 إلى 29 في Shervatov، V.G. وظائف الزائدية، بوسطن: DC Heath and Company ، 1963.
  13. تم تطويره وشهره في الستينيات من قبل مهندسين ، بيير بيزير وبول دي كاستيلجاو ، لنمذجة هيكل السيارة في مصنعي السيارات الفرنسيين رينو وستروين ، على التوالي.
  14. تم حلها لأول مرة في عام 1696 من قبل الفيزيائي السويسري وعالم الرياضيات يوهان برنولي (1667-1748).
  15. انظر الصفحات 60-62 في Clegg، J.C.، حساب الاختلافات، إدنبرة: Oliver & Boyd، Ltd. ، 1968. للحصول على دليل برنولي ، انظر الصفحات من 644 إلى 655 في Smith، D.E.، كتاب مصدر في الرياضيات، نيويورك: منشورات دوفر ، 1959.↩
  16. أنشأها عالم الرياضيات الفلمنكي جريجوار دي سانت فنسنت (1584-1667) وعالم الرياضيات الإيطالي بونافينتورا كافالييري (1598-1647) في 17العاشر قرن ، استخدمه نيوتن لاحقًا في كتابه طريقة التدفق (1671).↩
  17. هناك الكثير من منحنيات الطائرة الممتعة لتغطيتها هنا. للحصول على مجموعة شاملة ، انظر Lawrence، J.D.، كتالوج منحنيات المستوى الخاص، New York: Dover Publications، Inc.، 1972. انظر أيضًا Seggern، D.H. von، كتيب CRC للمنحنيات والأسطح الرياضية، بوكا راتون ، فلوريدا: CRC Press ، Inc. ، 1990.↩
  18. الصيغة ( tfrac {1} {2} ، bc ، sin ، A ) لمساحة المثلث ( مثلث ABC ) مشتقة في معظم نصوص علم المثلثات. على سبيل المثال ، انظر ص 54 في Corral، M.، علم المثلثات، http://mecmath.net/trig/، 2009.↩
  19. مستوحى من خطوط القوة وخطوط الجهد المتساوي لثنائي القطب الكهربائي. انظر الصفحات 55-56 في ستراتون ، ج. النظرية الكهرومغناطيسية، نيويورك: شركة McGraw-Hill Book ، Inc. ، 1941.↩

الصوت المحيط 5.1 مقابل 7.1: أيهما أفضل؟

ستفعل ذلك أخيرًا. لقد كنت تدخر ، والآن ستحصل على نظام المسرح المنزلي الذي تحلم به. ومع ذلك ، كانت أحلامك غامضة بعض الشيء وتركتك تتساءل عن نوع نظام الصوت الذي يجب أن تحصل عليه بالضبط. على وجه الخصوص ، لا يمكنك الاختيار بين 5.1 و 7.1 من الصوت المحيطي.

يتكون نظام الصوت المحيطي 5.1 من مكبرات صوت أمامية يسرى ، وأمامية أمامية ، وأمامية مركزية ، ومكبرات صوت تحيط باليمين واليسار مع مضخم صوت. نظام الصوت المحيطي 7.1 هو نفس نظام 5.1 ، باستثناء أنه يحتوي على مجموعة إضافية من مكبرات الصوت المحيطية الخلفية.

إذن أيهما أفضل؟ الجواب المختصر ، للأسف ، هو "يعتمد". يعتمد ما إذا كان نظام 5.1 أو 7.1 مناسبًا لك على عدد من المتغيرات المختلفة. سيعتمد بعضها على الغرفة التي تقوم بإعدادها ، وسيعتمد البعض الآخر على التفضيلات الشخصية.

ستؤثر أشياء مثل حجم الغرفة والمفروشات وموضع الاستماع على إعداد الصوت المناسب لك. في هذه المقالة ، سنناقش الاختلافات بين الصوت 5.1 و 7.1 والعوامل التي تؤثر على ما إذا كنت تريد استخدام نظام صوت 5.1 أو 7.1.


ماذا تعني الأرقام في قنوات المتحدث؟

الرقم الأول (على سبيل المثال: "5" في 5.1)

يحدد الرقم الأول لتكوين نظام مكبرات الصوت عدد السماعات الرئيسية في الإعداد. عندما يتعلق الأمر بالسماعات الرئيسية ، فإننا نشير إلى السماعات الأمامية اليسرى ، واليمين الأمامي ، والوسطى ، ومكبرات الصوت المحيطية المختلفة.

الرقم الثاني (على سبيل المثال: "1" في 5.1)

يشير الرقم الثاني لتكوين نظام السماعات إلى عدد مضخمات الصوت في إعداد الصوت المحيط. من الشائع رؤية 1 ، مما يعني وجود مضخم صوت واحد في الإعداد ، ولكن قد تصادف 2 بين الحين والآخر. بينما تعمل معظم أنظمة الصوت المحيط بشكل رائع مع مضخم صوت واحد فقط ، يفضل بعض الأشخاص صوت اثنين من أجل غرفهم واحتياجاتهم الفريدة.

الرقم الثالث (على سبيل المثال: "2" في 7.1.2)

يشير الرقم الثالث من تكوين نظام السماعات إلى عدد مكبرات الصوت "الارتفاع" أو "التي تطلق من الأعلى".

كما لو أن رقمين غير كافيين ، فقد تصادف أرقامًا مثل 7.1.2 أو 9.1.2 في البحث عن منتج المسرح المنزلي. في حين أن هذه الأرقام تبدو معقدة جدًا ، إلا أنها ببساطة تفسح المجال لتحديد مكبرات الصوت "الارتفاع" في نظام الصوت المحيط بالمسرح المنزلي. عادة ما توجد مكبرات الصوت المرتفعة في سقف غرفة المسرح المنزلي ، ولكنها قد تكون أيضًا مكبرات صوت صاعدة.


7.1 قوانين كبلر لحركة الكواكب

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على القيام بما يلي:

  • اشرح قوانين كبلر الثلاثة لحركة الكواكب
  • تطبيق قوانين كبلر لحساب خصائص المدارات

دعم المعلم

دعم المعلم

ستساعد أهداف التعلم في هذا القسم طلابك على إتقان المعايير التالية:

  • (4) مفاهيم العلوم. يعرف الطالب ويطبق القوانين التي تحكم الحركة في مجموعة متنوعة من المواقف. يتوقع من الطالب:
    • (ج) تحليل ووصف الحركة المتسارعة في بعدين باستخدام المعادلات ، بما في ذلك الأمثلة المقذوفة والدائرية.

    في هذا القسم ، سيطبق الطلاب قوانين كبلر لحركة الكواكب على الأجسام الموجودة في النظام الشمسي.

    [BL] [OL] ناقش البيئة التاريخية التي عمل فيها كيبلر. لا يزال معظم الناس يعتقدون أن الأرض هي مركز الكون ، ومع ذلك لم يكن كيبلر يعلم فقط أن الكواكب تدور حول الشمس ، بل وجد أنماطًا في المسارات التي تتبعها. كيف سيكون الأمر أن تكون متقدمًا جدًا على الجميع تقريبًا؟ ويرد وصف رائع لهذا في البرنامج كوزموس مع كارل ساجان (الحلقة 3 ، تناغم العالمين).

    [AL] اشرح أن قوانين كبلر كانت قوانين وليست نظريات. تصف القوانين أنماطًا في الطبيعة تكرر نفسها دائمًا في ظل نفس مجموعة الشروط. تقدم النظريات تفسيرًا للأنماط. لم يقدم كبلر أي تفسير.

    شروط القسم الرئيسية

    المفاهيم المتعلقة بقوانين كبلر لحركة الكواكب

    أمثلة المدارات كثيرة. مئات الأقمار الصناعية تدور حول الأرض مع آلاف القطع من الحطام. أثار مدار القمر حول الأرض اهتمام البشر منذ الأزل. مدارات الكواكب والكويكبات والنيازك والمذنبات حول الشمس ليست أقل إثارة للاهتمام. إذا نظرنا أبعد ، فإننا نرى أعدادًا لا يمكن تصورها تقريبًا من النجوم والمجرات والأجرام السماوية الأخرى التي تدور حول بعضها البعض وتتفاعل من خلال الجاذبية.

    كل هذه الحركات تحكمها قوة الجاذبية. الحركات المدارية للأجسام في نظامنا الشمسي بسيطة بما يكفي لوصفها ببعض القوانين البسيطة إلى حد ما. تستوفي مدارات الكواكب والأقمار الشرطين التاليين:

    • كتلة الجسم المداري ، م، صغيرة مقارنة بكتلة الجسم الذي يدور حوله ، م.
    • النظام معزول عن الأجسام الضخمة الأخرى.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    [OL] اطلب من الطلاب شرح المعايير لمعرفة ما إذا كانوا يفهمون الكتلة النسبية والأنظمة المعزولة.

    بناءً على حركة الكواكب حول الشمس ، ابتكر كبلر مجموعة من ثلاثة قوانين كلاسيكية ، تسمى قوانين كبلر لحركة الكواكب ، والتي تصف مدارات جميع الأجسام التي تفي بهذين الشرطين:

    1. مدار كل كوكب حول الشمس عبارة عن قطع ناقص مع الشمس في بؤرة واحدة.
    2. يتحرك كل كوكب بحيث يقطع خط وهمي مرسوم من الشمس إلى الكوكب مناطق متساوية في أوقات متساوية.
    3. نسبة مربعات فترات أي كوكبين حول الشمس تساوي نسبة المكعبات لمتوسط ​​مسافاتهما من الشمس.

    تمت تسمية هذه القوانين الوصفية على اسم عالم الفلك الألماني يوهانس كيبلر (1571–1630). لقد ابتكرها بعد دراسة متأنية (على مدى 20 عامًا) لكمية كبيرة من الملاحظات المسجلة بدقة لحركة الكواكب التي قام بها تايكو براهي (1546-1601). مثل هذا الجمع الدقيق والتسجيل المفصل للأساليب والبيانات هي السمات المميزة للعلم الجيد. تشكل البيانات الدليل الذي يمكن من خلاله بناء تفسيرات ومعاني جديدة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كل من هذه القوانين.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    [BL] ربط المدار بالسنة والدوران اليوم. تأكد من أن الطلاب يعرفون أن كائنًا ما يدور حول محوره ويدور حول جسم أصلي أثناء تتبعه في مداره.

    [OL] تعرف على عدد مستويات الحركة المدارية التي يعرفها الطلاب واملأ المستويات التي لا يعرفونها. على سبيل المثال ، تدور الأقمار حول الكواكب حول الكواكب حول النجوم حول مركز المجرة ، إلخ.

    [AL] من وجهة نظر الأرض ، أي الأجسام تظهر (بشكل غير صحيح) على أنها تدور حول الأرض (النجوم والشمس والمجرات) والتي يمكن رؤيتها على أنها تدور حول أجسام أم (القمر وأقمار الكواكب الأخرى والنجوم في المجرات الأخرى)؟

    قانون كبلر الأول

    إن مدار كل كوكب حول الشمس عبارة عن قطع ناقص مع الشمس عند بؤرة واحدة ، كما هو موضح في الشكل 7.2. يُطلق على أقرب اقتراب للكوكب من الشمس اسم الأوج وأبعد مسافة عن الشمس تسمى الحضيض الشمسي.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    [AL] اسأل عن تعريف للكوكب. استعد لمناقشة خفض رتبة بلوتو إذا حدث ذلك. ناقش المعيار الأول من حيث مركز دوران نظام كوكب القمر. اشرح أنه بالنسبة لجميع أنظمة الكواكب والقمر في النظام الشمسي ، يكون مركز الدوران داخل الكوكب. هذا ليس صحيحًا بالنسبة لبلوتو وأكبر أقماره ، شارون ، لأن كتلتهما متشابهة بدرجة كافية بحيث تدور حول نقطة في الفضاء بينهما.

    إذا كنت تعرف الأوج (صأ) والحضيض الشمسي (صص) المسافات ، ثم يمكنك حساب المحور شبه الرئيسي (أ) والمحور شبه الصغير (ب).

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    [AL] إذا كان أي من الطلاب مهتمًا ومهتمًا بالجبر والهندسة ، فاطلب منهم استنباط صيغة تربط طول السلسلة والمسافة بين الدبابيس بالمحاور الرئيسية والثانوية للقطع الناقص. اشرح أن هذه مشكلة حقيقية في العالم للعمال الذين يصممون أسطحًا ومرايا بيضاوية الشكل.

    [BL] [OL] أبهر الطلاب أن كبلر كان عليه أن يعالج كمية هائلة من البيانات وأن جميع حساباته يجب أن تتم يدويًا. اطلب من الطلاب التفكير في مشاريع مماثلة حيث وجد العلماء ترتيبًا في كمية هائلة من البيانات (الجدول الدوري ، بنية الحمض النووي ، النماذج المناخية ، إلخ).

    مظاهرة المعلم

    قم بتوضيح طريقة الدبابيس والأوتار لرسم شكل بيضاوي ، كما هو موضح في الشكل 7.3 ، أو اجعل الطلاب يجربونها في المنزل أو في الفصل.

    اسأل الطلاب: لماذا تنشئ طريقة السلسلة والدبوس شكلاً يتوافق مع قانون كبلر الثاني؟ هذا هو ، لماذا الشكل القطع الناقص؟

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    اشرح أن الدبابيس هي البؤر واشرح ما يمثله كل قسم من الأقسام الثلاثة في السلسلة. لاحظ أن القلم يمثل كوكبًا وأن أحد الدبابيس يمثل الشمس.

    قانون كبلر الثاني

    يتحرك كل كوكب بحيث يمسح خط وهمي مرسوم من الشمس إلى الكوكب مناطق متساوية في أوقات متساوية ، كما هو موضح في الشكل 7.4.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    اطلب من الطلاب تخيل مدى تعقيد وصف حركة الكواكب رياضيًا ، إذا افترضنا أن الأرض ثابتة. ومع ذلك ، حاول الناس القيام بذلك لمئات السنين ، بينما أغفلوا التفسير البسيط القائل بأن جميع الكواكب تدور حول الشمس.

    [OL] اطلب من الطلاب استخدام هذا الشكل لفهم سبب انتقال الكواكب والمذنبات بشكل أسرع عندما تكون قريبة من الشمس. اشرح أن الفواصل الزمنية والمساحات ثابتة ، ولكن تختلف السرعة والمسافة من الشمس.

    نصائح للنجاح

    لاحظ أنه على الرغم من أن قوانين كبلر ، لأسباب تاريخية ، منصوص عليها للكواكب التي تدور حول الشمس ، إلا أنها في الواقع صالحة لجميع الأجسام التي تفي بالشرطين المذكورين سابقًا.

    قانون كبلر الثالث

    نسبة الفترات التربيعية لأي كوكبين حول الشمس تساوي نسبة متوسط ​​مسافاتهم من الشمس إلى مكعب. في شكل معادلة ، هذا هو

    أين تي هي الفترة (الوقت لمدار واحد) و ص هو متوسط ​​المسافة (يسمى أيضًا نصف القطر المداري). هذه المعادلة صالحة فقط لمقارنة كتلتين صغيرتين تدوران حول كتلة واحدة كبيرة. الأهم من ذلك ، هذه مجرد معادلة وصفية لا تقدم أي معلومات حول سبب المساواة.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    [BL] تحقق مما إذا كان بإمكان الطلاب إعادة ترتيب هذه المعادلة لحل أي من المتغيرات عند معرفة الثلاثة الأخرى.

    [AL] اعرض حلاً لإحدى الفترات تي أو نصف قطر ص واطلب من الطلاب تفسير القوى الكسرية على الجانب الأيمن من المعادلة.

    [OL] شدد على أن هذا النهج لا يصلح إلا لقمرين صناعيين يدوران حول نفس الجسم الأم. يجب أن يكون الجسم الأصلي هو نفسه لأن r 2 / T 2 = G M / (4 π 2) r 2 / T 2 = G M / (4 π 2) و م هي كتلة الجسم الأم. إذا م التغييرات النسبة ص 3 /تي 2 يتغير أيضا.

    روابط للفيزياء

    التاريخ: بطليموس ضد كوبرنيكوس

    قبل اكتشافات كبلر وكوبرنيكوس وجاليليو ونيوتن وآخرين ، كان يُعتقد أن النظام الشمسي يدور حول الأرض كما هو موضح في الشكل 7.5 (أ). وهذا ما يسمى بالنموذج البطلمي ، الذي سمي على اسم الفيلسوف اليوناني بطليموس الذي عاش في القرن الثاني الميلادي. يتميز النموذج البطلمي بقائمة من الحقائق لحركة الكواكب ، دون تفسير للسبب والنتيجة. كانت هناك قاعدة مختلفة لكل جسد سماوي ونقص عام في البساطة.

    الشكل 7.5 (ب) يمثل النموذج الحديث أو النموذج الكوبرنيكي. في هذا النموذج ، تشرح مجموعة صغيرة من القواعد وقوة أساسية واحدة ليس فقط كل حركة الكواكب في النظام الشمسي ، ولكن أيضًا جميع المواقف الأخرى التي تنطوي على الجاذبية. إن اتساع وبساطة قوانين الفيزياء مقنعان.

    كان لدى نيكولاس كوبرنيكوس (1473-1543) لأول مرة فكرة أن الكواكب تدور حول الشمس في حوالي عام 1514. وقد استغرق الأمر 20 عامًا تقريبًا لوضع التفاصيل الرياضية لنموذجه. انتظر 10 سنوات أخرى أو نحو ذلك لنشر عمله. يُعتقد أنه تردد لأنه كان يخشى أن يسخر الناس من نظريته. في الواقع ، كان رد فعل الكثير من الناس هو الخوف والغضب. شعر الكثير من الناس أن النموذج الكوبرنيكي يهدد نظام معتقداتهم الأساسي. بعد حوالي 100 عام ، تم وضع عالم الفلك جاليليو قيد الإقامة الجبرية لتقديمه أدلة على أن الكواكب ، بما في ذلك الأرض ، تدور حول الشمس. إجمالاً ، استغرق الأمر ما يقرب من 300 عام حتى يعترف الجميع بأن كوبرنيكوس كان على حق طوال الوقت.

    تحقق من الفهم

    اشرح لماذا يبدو أن الأرض في الواقع هي مركز النظام الشمسي.

    1. يبدو أن الأرض هي مركز النظام الشمسي لأن الأرض تقع في مركز الكون ، وكل شيء يدور حولها في مدار دائري.
    2. يبدو أن الأرض هي مركز النظام الشمسي لأنه ، في الإطار المرجعي للأرض ، يبدو أن الشمس والقمر والكواكب تتحرك عبر السماء كما لو كانت تدور حول الأرض.
    3. يبدو أن الأرض تقع في مركز النظام الشمسي لأن الأرض تقع في مركز النظام الشمسي وجميع الأجرام السماوية تدور حولها.
    4. يبدو أن الأرض تقع في مركز النظام الشمسي لأن الأرض تقع في إحدى بؤر المدار الإهليلجي للشمس والقمر والكواكب الأخرى.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    قدم الجدل التاريخي حول مركزية الأرض مقابل وجهة نظر مركزية الشمس للكون. شدد على مدى إثارة الجدل في ذلك الوقت. اشرح أن هذا كان مهمًا للناس لأن نظرتهم للعالم ومعتقداتهم الثقافية كانت على المحك.

    الفيزياء الافتراضية

    التسريع

    تتيح لك هذه المحاكاة إنشاء نظامك الشمسي الخاص بك بحيث يمكنك أن ترى كيف يحدد تغيير المسافات والكتل مدارات الكواكب. انقر مساعدة للحصول على تعليمات.

    تحقق من الفهم

    1. يتحرك الجسم المداري بشكل أسرع عندما يكون أقرب إلى الجسم المركزي وأبطأ عندما يكون بعيدًا.
    2. يتحرك الجسم المداري بشكل أبطأ عندما يكون أقرب إلى الجسم المركزي وأسرع عندما يكون بعيدًا.
    3. The orbiting object moves with the same speed at every point on the circumference of the elliptical orbit.
    4. There is no relationship between the speed of the object and the location of the planet on the circumference of the orbit.

    Teacher Support

    Teacher Support

    Give the students ample time to manipulate this animation. It may take some time to get the parameters adjusted so that they can see how mass and eccentricity affect the orbit. Initially, the planet is likely to disappear off the screen or crash into the sun.

    Calculations Related to Kepler’s Laws of Planetary Motion

    Kepler’s First Law

    Kepler’s Second Law

    Refer back to Figure 7.4. The second law says that the segments have equal area and that it takes equal time to sweep through each segment. That is, the time it takes to travel from A to B equals the time it takes to travel from C to D, and so forth. Velocity v equals distance d divided by time ر: v = d / t v = d / t . Then, t = d / v t = d / v , so distance divided by velocity is also a constant. For example, if we know the average velocity of Earth on June 21 and December 21, we can compare the distance Earth travels on those days.

    The degree of elongation of an elliptical orbit is called its eccentricity (ه). Eccentricity is calculated by dividing the distance F from the center of an ellipse to one of the foci by half the long axis a.

    Teacher Support

    Teacher Support

    [OL] Review the definitions of major and minor axes, semi-major and semi-minor axes, and distance F. The major axis is the length of the ellipse and passes through both foci. The minor axis is the width of the ellipse and is perpendicular to the major axis. The semi-major and semi-minor axes are half of the major and minor axes, respectively.

    Worked Example

    Kepler’s First Law

    At its closest approach, a moon comes within 200,000 km of the planet it orbits. At that point, the moon is 300,000 km from the other focus of its orbit, F2. The planet is focus F1 of the moon’s elliptical orbit. How far is the moon from the planet when it is 260,000 km from F2?

    Strategy

    Show and label the ellipse that is the orbit in your solution. Picture the triangle F1mF2 collapsed along the major axis and add up the lengths of the three sides. Find the length of the unknown side of the triangle when the moon is 260,000 km from F2.

    Perimeter of f 1 m f 2 = 200 , 000 km + 100,000 km + 300,000 km = 600,000 km. f 1 m f 2 = 200 , 000 km + 100,000 km + 300,000 km = 600,000 km.

    m f 1 = 600,000 km − ( 100,000 km + 260,000 km ) = 240,000 km. m f 1 = 600,000 km − ( 100,000 km + 260,000 km ) = 240,000 km.

    The perimeter of triangle F1mf2 must be constant because the distance between the foci does not change and Kepler’s first law says the orbit is an ellipse. For any ellipse, the sum of the two sides of the triangle, which are F1m و mf2, is constant.

    Teacher Support

    Teacher Support

    Walk the students through the process of mentally collapsing the F1mf2 at the end of the major axis to reveal what the three sides of the triangle F1mf2 are equal to. Picture the sections of the string as the pencil approaches the major axis. This distance F1F2 remains constant, F1m is the distance from F1 to the end of the major axis, and mf2 هو F1m + F1F2.

    [OL] Have students relate eccentricity, distance between foci, and shape of orbit.

    [AL] Ask for examples of orbits with high eccentricity (comets, Pluto) and low eccentricity (moon, Earth).

    Worked Example

    Kepler’s Second Law

    Figure 7.6 shows the major and minor axes of an ellipse. The semi-major and semi-minor axes are half of these, respectively.

    Earth’s orbit is slightly elliptical, with a semi-major axis of 152 million km and a semi-minor axis of 147 million km. If Earth’s period is 365.26 days, what area does an Earth-to-sun line sweep past in one day?

    Strategy

    Each day, Earth sweeps past an equal-sized area, so we divide the total area by the number of days in a year to find the area swept past in one day. For total area use A = π a b A = π a b . احسب A, the area inside Earth’s orbit and divide by the number of days in a year (i.e., its period).

    The area swept out in one day is thus 1.92 × 10 14 km 2 1.92 × 10 14 km 2 .

    The answer is based on Kepler’s law, which states that a line from a planet to the sun sweeps out equal areas in equal times.

    Teacher Support

    Teacher Support

    [BL] Have the students memorized the value of π ? π ?

    [OL] [AL] What is the formula when a = b؟ Is the formula familiar?

    [OL] Can the student verify this statement by rearranging the equation?

    Kepler’s Third Law

    Kepler’s third law states that the ratio of the squares of the periods of any two planets (T1, T2) is equal to the ratio of the cubes of their average orbital distance from the sun (r1, r2). Mathematically, this is represented by

    From this equation, it follows that the ratio r 3 /T 2 is the same for all planets in the solar system. Later we will see how the work of Newton leads to a value for this constant.


    SOLUTION: write an equation for the ellipse with end points of the major axis at (7,1) and (-7,1) and end points of the minor axis at (0,5) and (0,-3). plz explain step by step. thnx

    You can put this solution on YOUR website!
    The general form of the equation for an ellipse is:
    for horizontally oriented ellipses
    أو
    for vertically oriented ellipses
    where
    (h, k) is the center of the ellipse
    a = the distance from the center to a vertex on the major axis
    b = the distance from the center to a vertex on the minor axis

    Since the vertices on the major axis, (7,1) and (-7,1), are on the same horizontal line, this is a horizontally oriented ellipse. So we will use the first general form.

    The center of an ellipse is the midpoint between the vertices on either the major or minor axis. The midpoint between (7,1) and (-7,1) (or between (0, 5) and (0, -3)) is (0, 1). So the center is (0, 1) and h = 0 and k = 1.

    From the center, (0, 1), to either vertex on the major axis ((7, 1) or (-7, 0)) is 7. So a = 7.

    From the center, (0, 1), to either vertex on the minor axis ((0, 5) or (0, -3)) is 4. So b = 4.


    1 Answer 1

    It is ellipsis because the three dots (. . .) are considered a single punctuation mark. The Cambridge Guide to English Usage says this:

    Both grammarians and editors make use of this term. In grammar, ellipsis means the omission of a word or words which would complete or clarify the sentence. In punctuation practice, ellipsis refers to the mark, usually a set of three dots (. . .), which shows where something has been consciously omitted from a quotation.

    Edit: You might say 'the ellipsis mark is in the wrong location' to avoid any ambiguity.


    iloc is for integer-based indexing and passing ["1", "3"] to it as the column indexer part is the reason why it fails. You can get the integer indexes i.e., positions of ["1", "3"] in your frame's columns and pass that:

    There is also loc which looks for label-based indexing instead of integers. It seems that your row indexes are 0..N-1 so loc can work here, too:

    But please note that loc can be an alternative for iloc only when the index entries are integers (which seems so in your case). Otherwise, the first approach is more generic, less error-prone & clarifies the intent more.


    Type a name. By default, it is automatically and sequentially specified from "Oval1". You can use alphanumeric characters, Kana, Kanji, and underscores (_). Do not use a number for the first character of the name. The maximum length of the name depends on the setting in Preferences .

    Set the X coordinate of the center point of the ellipse.

    Set the Y coordinate of the center point of the ellipse.

    Specify the width of the ellipse in dots.

    Specify the height of the ellipse in dots.

    Specify the rotation angle of the ellipse. Set the rotation angle with the horizontal axis as "0" degrees. You can specify a value within the range of -360 to 360. The ellipse arc rotates counter-clockwise when you specify a positive value, and clockwise when you specify a negative value.

    If you select Free(dot) , you can freely set the line width in Line width(dot) .

    Set the line width in dots if you have selected Free(dot) in Line width .

    Restriction

    The line width may not be accurately displayed when the window display is not "400%".

    Restriction

    The printer's default line type is used if the specified line type is not supported by the printer.

    Specify the fill pattern of the line.

    Specify the tile pattern if you have selected Hatching in Line color pattern .

    Set the hatching line width if you have selected Hatching in Line color pattern .

    Hatching line interval(dot)

    Set the hatching line interval if you have selected Hatching in Line color pattern .

    Specify the direction of the gradation from the start color to the end color if you have selected Gradation2 in Line color pattern .

    The gradation changes depending on the end color and the type.

    Specify the line color if you have selected Hatching in Line color pattern .

    Specify the start color of the gradation if you have selected Gradation2 in Line color pattern .

    Specify the tile line color if you have selected Hatching in Line color pattern .

    Specify the end color of the gradation if you have selected Gradation2 in Line color pattern .


    Concepts Related to Kepler’s Laws of Planetary Motion

    Examples of orbits abound. Hundreds of artificial satellites orbit Earth together with thousands of pieces of debris. The moon’s orbit around Earth has intrigued humans from time immemorial. The orbits of planets, asteroids, meteors, and comets around the sun are no less interesting. If we look farther, we see almost unimaginable numbers of stars, galaxies, and other celestial objects orbiting one another and interacting through gravity.

    All these motions are governed by gravitational force. The orbital motions of objects in our own solar system are simple enough to describe with a few fairly simple laws. The orbits of planets and moons satisfy the following two conditions:

    • The mass of the orbiting object, m, is small compared to the mass of the object it orbits, م.
    • The system is isolated from other massive objects.

    Based on the motion of the planets about the sun, Kepler devised a set of three classical laws, called Kepler’s laws of planetary motion , that describe the orbits of all bodies satisfying these two conditions:

    1. The orbit of each planet around the sun is an ellipse with the sun at one focus.
    2. Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times.
    3. The ratio of the squares of the periods of any two planets about the sun is equal to the ratio of the cubes of their average distances from the sun.

    These descriptive laws are named for the German astronomer Johannes Kepler (1571–1630). He devised them after careful study (over some 20 years) of a large amount of meticulously recorded observations of planetary motion done by Tycho Brahe (1546–1601). Such careful collection and detailed recording of methods and data are hallmarks of good science. Data constitute the evidence from which new interpretations and meanings can be constructed. Let’s look closer at each of these laws.

    Kepler’s First Law

    The orbit of each planet about the sun is an ellipse with the sun at one focus, as shown in Figure 7.2. The planet’s closest approach to the sun is called perihelion and its farthest distance from the sun is called aphelion.

    If you know the aphelion (ra) and perihelion (rص) distances, then you can calculate the semi-major axis (a) and semi-minor axis (b).

    Kepler’s Second Law

    Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times, as shown in Figure 7.4.

    Tips For Success

    Note that while, for historical reasons, Kepler’s laws are stated for planets orbiting the sun, they are actually valid for all bodies satisfying the two previously stated conditions.

    Kepler’s Third Law

    The ratio of the periods squared of any two planets around the sun is equal to the ratio of their average distances from the sun cubed. In equation form, this is

    where T is the period (time for one orbit) and r is the average distance (also called orbital radius). This equation is valid only for comparing two small masses orbiting a single large mass. Most importantly, this is only a descriptive equation it gives no information about the cause of the equality.

    Links To Physics

    History: Ptolemy vs. Copernicus

    Before the discoveries of Kepler, Copernicus, Galileo, Newton, and others, the solar system was thought to revolve around Earth as shown in Figure 7.5 (a). This is called the Ptolemaic model , named for the Greek philosopher Ptolemy who lived in the second century AD. The Ptolemaic model is characterized by a list of facts for the motions of planets, with no explanation of cause and effect. There tended to be a different rule for each heavenly body and a general lack of simplicity.

    Figure 7.5 (b) represents the modern or Copernican model . In this model, a small set of rules and a single underlying force explain not only all planetary motion in the solar system, but also all other situations involving gravity. The breadth and simplicity of the laws of physics are compelling.

    Nicolaus Copernicus (1473–1543) first had the idea that the planets circle the sun, in about 1514. It took him almost 20 years to work out the mathematical details for his model. He waited another 10 years or so to publish his work. It is thought he hesitated because he was afraid people would make fun of his theory. Actually, the reaction of many people was more one of fear and anger. Many people felt the Copernican model threatened their basic belief system. About 100 years later, the astronomer Galileo was put under house arrest for providing evidence that planets, including Earth, orbited the sun. In all, it took almost 300 years for everyone to admit that Copernicus had been right all along.

    Explain why Earth does actually appear to be the center of the solar system.

    1. Earth appears to be the center of the solar system because Earth is at the center of the universe, and everything revolves around it in a circular orbit.
    2. Earth appears to be the center of the solar system because, in the reference frame of Earth, the sun, moon, and planets all appear to move across the sky as if they were circling Earth.
    3. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is at the center of the solar system and all the heavenly bodies revolve around it.
    4. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is located at one of the foci of the elliptical orbit of the sun, moon, and other planets.

    Virtual Physics

    Acceleration

    This simulation allows you to create your own solar system so that you can see how changing distances and masses determines the orbits of planets. Click Help for instructions.


    An iterator is any construction that allows you to iterate over the elements of a collection. In Lua, we typically represent iterators by functions: Each time we call that function, it returns a "next" element from the collection.

    Any iterator needs to keep some state between successive calls, so that it knows where it is and how to proceed from there. Closures provide an excellent mechanism for that task. Remember that a closure is a function that accesses one or more local variables from its enclosing function. Those variables keep their values across successive calls to the closure, allowing the closure to remember where it is along a traversal. Of course, to create a new closure we must also create its external local variables. Therefore, a closure construction typically involves two functions: the closure itself and a factory, the function that creates the closure.

    As a simple example, let us write a simple iterator for a list. Unlike ipairs , this iterator does not return the index of each element, only the value: In this example, list_iter is the factory. Each time we call it, it creates a new closure (the iterator itself). That closure keeps its state in its external variables ( t , i , and n ) so that, each time we call it, it returns a next value from the list t . When there are no more values in the list, the iterator returns nil .

    We can use such iterator with a while: However, it is easier to use the generic for. After all, it was designed for that kind of iteration: The generic for does all the bookkeeping from an iteration loop: It calls the iterator factory keeps the iterator function internally, so we do not need the iter variable calls the iterator at each new iteration and stops the loop when the iterator returns nil . (Later we will see that the generic for actually does more than that.)


    شاهد الفيديو: طريقة التأكد من مواصفات قطع كمبيوترك! (شهر اكتوبر 2021).