مقالات

1.5: قاعدة السلسلة - الرياضيات


مما تمت مناقشته حتى الآن ، قد يكون من المغري التفكير في أن مشتق دالة مثل ( sin ، 2x ) هو ببساطة ( cos ، 2x ) ، منذ مشتق ( sin ) ، x ) هو ( cos ، x ). اتضح أن هذا غير صحيح:

[ start {align} ddx ، ( sin ، 2x) ~ & = ~ ddx ، (2 ؛ sin ، x ؛ cos ، x) quad text {(بواسطة صيغة الزاوية المزدوجة للجيب)}

[4pt] & = ~ 2 ؛ ddx ، ( sin ، x ؛ cos ، x) quad text {(بواسطة القاعدة المتعددة الثابتة)}

[4pt] & = ~ 2 ؛ left ( sin ، x cdot ddx ، ( cos ، x) ~ + ~ cos ، x cdot ddx ، ( sin ، x) right) quad text {(بواسطة قاعدة المنتج)}

[4pt] & = ~ 2 ؛ left ( sin ، x cdot (- sin ، x) ~ + ~ cos ، x cdot cos ، x right)

[4pt] & = ~ 2 ؛ left ( cos ^ 2 x ~ - ~ sin ^ 2 x right)

[4pt] & = ~ 2 ؛ cos ، 2x quad text {(بصيغة الزاوية المزدوجة لجيب التمام)} end {align} ] لذا فإن مشتق ( sin ، 2x ) هو (2 ، cos ، 2x ) ، ليس ( cos ، 2x ).

بمعنى آخر ، لا يمكنك ببساطة استبدال (x ) بـ (2x ) في الصيغة المشتقة لـ ( sin ، x ). بدلاً من ذلك ، اعتبر ( sin ، 2x ) كملف تكوين من وظيفتين: وظيفة الجيب والوظيفة (2x ). أي ، دعونا (f (u) = sin ، u ) ، حيث يمثل المتغير (u ) نفسه دالة لمتغير آخر (x ) ، أي (u (x) = 2x ) ). لذلك بما أن (f ) هي دالة لـ (u ) و (u ) هي دالة (x ) ، إذن (f ) هي وظيفة (x ) ، أي : (f (x) = sin ، 2x ). نظرًا لأن (f ) دالة قابلة للتفاضل لـ (u ) و (u ) دالة قابلة للتفاضل لـ (x ) ، إذن ( dfdu ) و ( dudx ) كلاهما موجودان (مع ( dfdu = cos ، u ) و ( dudx = 2 )) ، وضرب المشتقات يوضح أن (f ) دالة تفاضلية لـ (x ):

[ start {align} frac { df} { Cancel { du}} cdot frac { Cancel { du}} { dx} ~ & = ~ dfdx quad text {منذ اللامتناهية في الصغر $ du $ إلغاء ، لذا}

[4pt] ( cos u) cdot 2 ~ & = ~ dfdx quad Rightarrow quad dfdx ~ = ~ 2 ؛ cos ، u ~ = ~ 2 ؛ cos ، 2x end {align} ] الوسيطة أعلاه تنطبق بشكل عام ، وتُعرف باسم حكم السلسلة: لاحظ مدى بساطة الإثبات - إلغاء اللامتناهيات في الصغر ( du ).24

يجب أن تكون قاعدة السلسلة منطقية بشكل حدسي. على سبيل المثال ، إذا ( dfdu = 4 ) فهذا يعني أن (f ) يتزايد 4 مرات أسرع من (u ) ، وإذا كان ( dudx = 3 ) ثم (u ) هو زيادة 3 مرات أسرع من (x ) ، لذلك يجب أن يزداد (f ) بشكل عام (12 = 4 cdot 3 ) أسرع من (x ) ، تمامًا كما تنص قاعدة السلسلة.

مثال ( PageIndex {1} ): sinx2pxp1deriv

أضف نصًا هنا.

المحلول

أوجد مشتق (f (x) = sin ، (x ^ 2 + x + 1) ).

المحلول: الفكرة هي صنع ملف الاستبدال (u = x ^ 2 + x + 1 ) بحيث (f (x) = sin ، u ). حسب قاعدة السلسلة ،

[ ابدأ {محاذاة} dfdx ~ & = ~ dfdu cdot dudx

[4pt] & = ~ ddu ، ( sin ، u) ؛ cdot ؛ ddx ، (س ^ 2 + س + 1)

[4pt] & = ~ ( cos ، u) cdot (2x + 1)

[4pt] & = ~ (2x + 1) ، cos ، (x ^ 2 + x + 1) end {align} ] بعد استبدال (u ) بتعريفها كدالة لـ ( x ) في الخطوة الأخيرة ؛ يجب أن تكون الإجابة النهائية للمشتق من حيث (x ) وليس (u ).

في قاعدة السلسلة ، يمكنك التفكير في الوظيفة المعنية على أنها تكوين وظيفة "خارجية" (f ) ووظيفة "داخلية" (u ) ؛ أولاً ، خذ مشتق الدالة "الخارجية" ثم اضربها في مشتق الدالة "الداخلية". فكر في الوظيفة "الداخلية" كمربع حيث يمكنك وضع أي دالة لـ (x ) ، والوظيفة "الخارجية" هي وظيفة لهذا المربع الفارغ.

على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة (f (x) = sin ، (x ^ 2 + x + 1) ) في المثال السابق ، فكر في الوظيفة "الخارجية" على أنها ( sin ، Box ) ، حيث ( Box = x ^ 2 + x + 1 ) هي الوظيفة "الداخلية" ، لذلك

[ start {align} f (x) ~ & = ~ sin ، (x ^ 2 + x + 1) & = ~ sin ، Box dfdx ~ & = ~ left ( cos ، Box right) ؛ cdot ؛ ddx ، مربع

[4pt] & = ~ left ( cos ، setlength { fboxsep} {2pt} boxed {x ^ 2 + x + 1} right) ؛ cdot ؛ ddx ، setlength { fboxsep} {2pt} boxed {x ^ 2 + x + 1}

[4pt] & = ~ (2x + 1) ، cos ، (x ^ 2 + x + 1) end {align} ]

مثال ( PageIndex {1} ): chainrulepow

أضف نصًا هنا.

المحلول

أوجد مشتق (f (x) = (2x ^ 4 - 3 cos ، x) ^ {10} ).

المحلول: هنا الوظيفة "الخارجية" هي (f ( Box) = Box ^ {10} ) والوظيفة "الداخلية" هي ( Box = u = 2x ^ 4 - 3 cos ، x ):

[ dfdx ~ = ~ dfdu cdot dudx ~ = ~ 10 ، Box ^ 9 ؛ cdot ؛ ddx ، ( Box) ~ = ~ 10 ، (2x ^ 4 - 3 cos ، x) ^ 9 ؛ (8x ^ 3 + 3 sin ، x) ]

تذكر أن تكوين (f circ g ) لوظيفتين (f ) و (g ) معرف على أنه ((f circ g) (x) = f (g (x)) ) . باستخدام الترميز الأولي ، يمكن كتابة قاعدة السلسلة على النحو التالي:

باستخدام قاعدة السلسلة ، يمكن توسيع قاعدة القوة لتشمل الأسس التي هي أرقام منطقية:25 لإثبات ذلك ، دعنا (r = m / n ) ، حيث (m ) و (n ) أعداد صحيحة مع (n ne 0 ). ثم (y = x ^ r = x ^ {m / n} = left (x ^ m right) ^ {1 / n} ) ، بحيث (y ^ n = x ^ m ). الحصول على المشتق بالنسبة إلى (x ) لطرفي هذه المعادلة يعطي

[ start {align} ddx ، left (y ^ n right) ~ & = ~ ddx ، left (x ^ m right) quad text {، لذلك قم بتقييم الجانب الأيسر بواسطة تعطي قاعدة السلسلة}

[4pt] n y ^ {n-1} ؛ cdot ؛ dydx ~ & = ~ م × ^ {م -1}

[4pt] n left (x ^ {m / n} right) ^ {n-1} ؛ cdot ؛ dydx ~ & = ~ م × ^ {م -1}

[4pt] dydx ~ & = ~ frac {mx ^ {m-1}} {nx ^ {m - (m / n)}} ~ = ~ frac {m} {n} ، x ^ { م - 1 - (م - (م / ن))} ~ = ~ فارك {م} {n} ، س ^ {(م / ن) - 1} ~ = ~ r ، س ^ {r-1 } رباعي علامة اختيار نهاية {محاذاة} ]

مثال ( PageIndex {1} ): derivsqrtx

أضف نصًا هنا.

المحلول

أوجد مشتق (f (x) = sqrt {x} ).

المحلول: بما أن ( sqrt {x} = x ^ {1/2} ) ثم بقاعدة القوة:

[ dfdx ~ = ~ ddx ، left (x ^ {1/2} right) ~ = ~ frac {1} {2} ، x ^ {1/2 - 1} ~ = ~ frac {1} {2} ، x ^ {- 1/2} ~ = ~ frac {1} {2 ، sqrt {x}} ]

مثال ( PageIndex {1} ): deriv1oversqrtx

أضف نصًا هنا.

المحلول

أوجد مشتق (f (x) = frac {2} {3 sqrt {x}} ).

[ dfdx ~ = ~ ddx ، left ( frac {2} {3} ، x ^ {- 1/2} right) ~ = ~ frac {2} {3} cdot frac {-1} {2} ، x ^ {- 3/2} ~ = ~ - frac {1} {3 ، x ^ {3/2}} ]

[sec1dot5]

في التدريبات 1-18 ، أوجد مشتق الوظيفة المحددة.

2

(و (س) ~ = ~ (1 ~ - ~ 5 س) ^ 4 )

(و (س) ~ = ~ 5 ، (س ^ 3 ~ + ~ س ~ - ~ 1) ^ 4 )

2

(f (x) ~ = ~ sqrt {1 ~ - ~ 2x} vphantom

ParseError: ")" متوقع (انقر للحصول على التفاصيل)

Callstack: في (Bookshelves / Calculus / Book: _Elementary_Calculus_ (Corral) /01:_The_Derivative/1.05:_The_Chain_Rule) ، / content / body / div / p [87] / span ، سطر 1 ، عمود 5

)

(f (x) ~ = ~ (1 ~ - ~ x ^ 2) ^ { tfrac {3} {2}} )

2

(f (x) ~ = ~ dfrac { sqrt {x}} {x ~ + ~ 1} )

(f (x) ~ = ~ dfrac { sqrt {x} ~ + ~ 1} { sqrt {x} ~ - ~ 1} )

2

(f (t) ~ = ~ left ( dfrac {1 ~ - ~ t} {1 ~ + ~ t} right) ^ 4 vphantom { left ( dfrac {x ^ 2 ~ + ~ 1} {x ~ - ~ 1} right) ^ 6} )

(f (x) ~ = ~ left ( dfrac {x ^ 2 ~ + ~ 1} {x ~ - ~ 1} right) ^ 6 )

2

(و (س) ~ = ~ الخطيئة ^ 2 س )

(f (x) ~ = ~ cos ، left ( sqrt {x} right) )

2

(و (س) ~ = ~ 3 تان ، (5 س) )

(f (x) ~ = ~ A ، cos ، ( omega x ~ + ~ phi) ) ( (A )، ( omega )، ( phi ) هي ثوابت )

2

(f (x) ~ = ~ sec ، (x ^ 2) vphantom { left ( dfrac {1} {1 - x} right)} )

(f (x) ~ = ~ sin ^ 2 left ( dfrac {1} {1 - x} right) ~ + ~ cos ^ 2 left ( dfrac {1} {1 - x} حق))

2

(L ( beta) ~ = ~ dfrac {1} { sqrt {1 ~ - ~ beta ^ 2}} vphantom { left (1 ~ + ~ left ( dfrac {x - l} { s} right) ^ 2 right) ^ {- 1}} )

(f (x) ~ = ~ dfrac {1} { pi s} left (1 ~ + ~ left ( dfrac {x - l} {s} right) ^ 2 right) ^ {- 1} ) ( (ق ) ، (ل ) ثوابت)

2

(و (س) ~ = ~ كوس ، ( كوس ، س) )

(f (x) ~ = ~ sqrt {1 ~ + ~ sqrt {x}} )

[[1.]]

في نوع معين من الدوائر الإلكترونية26 ال المكسب العام (A_v ) بواسطة

[A_v ~ = ~ frac {A_o} {1 ~ - ~ T} ] حيث كسب الحلقة (T ) هي إحدى وظائف كسب الحلقة المفتوحة (A_o ).

  1. اظهر ذلك

    [ frac {d negmedspace A_v} {d ! A_o} ~ = ~ frac {1} {1 ~ - ~ T} ~ - ~ frac {A_o} {(1 ~ - ~ T) ^ 2} frac {d negmedspace (1 - T)} {d ! A_o} ~. ]

  2. في الحالة التي يتناسب فيها (T ) بشكل مباشر مع (A_o ) ، استخدم الجزء (أ) لإظهار ذلك

    [ frac {d negmedspace A_v} {d ! A_o} ~ = ~ frac {1} {(1 ~ - ~ T) ^ 2} ~. ] (تلميح: أظهر أولاً أن (؛ A_o cdot frac {d negmedspace (1 - T)} {d ! A_o} ~ = ~ -T ).)

أظهر أنه يمكن تمديد قاعدة السلسلة إلى 3 وظائف: إذا كانت (u ) دالة قابلة للتفاضل لـ (x ) ، (v ) هي وظيفة قابلة للتفاضل لـ (u ) ، و (f ) ) هي دالة قابلة للتفاضل لـ (v ) ، إذن

[ dfdx ~ = ~ dfdv ؛ cdot ؛ dvdu ؛ cdot ؛ dudx ] بحيث يكون (f ) دالة تفاضلية لـ (x ). لاحظ أن المشتقات الثلاثة مرتبطة ببعضها البعض في سلسلة (ومن هنا جاء اسم القاعدة). يمكن تمديد قاعدة السلسلة إلى أي عدد محدد من الوظائف من خلال التقنية المذكورة أعلاه.

في محرك الاحتراق الداخلي ، عندما يتحرك المكبس لأسفل ، يقوم قضيب التوصيل بتدوير الساعد في اتجاه عقارب الساعة ، كما هو موضح في الشكل [الشكل: الكرنك] أدناه.27

يمكن للنقطة (A ) التحرك عموديًا فقط ، مما يجعل النقطة (B ) تتحرك حول دائرة نصف قطرها (أ ) تتمحور حول النقطة (س ) ، والتي تقع أسفل النقطة مباشرة ( أ ) ولا تتحرك. أثناء تدوير الكرنك ، يصنع زاوية ( theta ) بالخط ( overline {OA} ). دع (l = AB ) و (s = OA ) كما في الصورة. افترض أن جميع الأطوال تقاس بالسنتيمتر ، ودع متغير الوقت يقاس بالدقائق.

  1. أظهر أن (s ~ = ~ a cos ، theta ~ + ~ left (l ^ 2 ~ - ~ a ^ 2 sin ^ 2 theta right) ^ {1/2} ~ ) لـ (0 le theta le pi ).
  2. ال يعني سرعة المكبس هو ( bar {S} _p = 2LN ) ، حيث (L = 2a ) هو تعطل المكبس، و (N ) هو ملف سرعة الدوران الكرنك ، مُقاسًا بعدد الدورات في الدقيقة (rpm). سرعة المكبس اللحظية هي (S_p = dsdt ). دع (R = l / a ). أظهر ذلك لـ (0 le theta le pi ) ،

    [ ABS { frac {S_p} { bar {S} _p}} ~ = ~ frac { pi} {2} ، sin ، theta left [1 ~ + ~ frac { cos ، theta} { left (R ^ 2 - sin ^ 2 theta right) ^ {1/2}} right] ~~. ]


شاهد الفيديو: قاعدة السلسلة (شهر اكتوبر 2021).