مقالات

8.2: متوسط ​​قيمة دالة - الرياضيات


وفقًا لقوانين كبلر لحركة الكواكب ، يتبع الكوكب الذي يدور حول الشمس مدارًا إهليلجيًا ، مع الشمس في نقطة واحدة من القطع الناقص ، كما في الشكل [الشكل: المدار]. كيف تجد ال معدل المسافة بين الكوكب والشمس على مدار واحد كامل؟ الفكرة هي تعميم المفهوم المعتاد لمتوسط ​​الأرقام.

تذكر ذلك من أجل (n ) الأرقام (x_1 ) ، (x_2 ) ، ( ldots ) ​​، (x_n ) معدل، المشار إليها بـ ( bar {x} ) ، هي ببساطة مجموع الأرقام مقسومًا على عدد الأرقام الموجودة ، أي

[ bar {x} ~ = ~ frac {x_1 ~ + ~ x_2 ~ + ~ cdots ~ + ~ x_n} {n} ~. ] في الإحصائيات ( bar {x} ) يسمى يعني من (x_1 ) ، (x_2 ) ، ( ldots ) ​​، (x_n ). هذا التعريف منطقي لمجموعة محدودة من الأرقام ، ولكن في حالة كوكب يدور حول الشمس ، هناك عدد لا حصر له من المسافات بين الكوكب والشمس ، مما يجعل التعريف أعلاه مستحيل الاستخدام. هناك حاجة إلى طريقة لأخذ مجموع عبر سلسلة متصلة لا نهائية من القيم بدلاً من ذلك. لقد تم بالفعل اكتشاف مثل هذه الطريقة: التكامل المحدد ، وهو مجرد مجموع لسلسلة من الكميات اللامتناهية في الصغر.

لتحفيز تعريف متوسط ​​قيمة دالة (f ) عبر فاصل زمني مغلق ( ival {a} {b} ) ، يُشار إليه بـ ( avg {f} ) ، ضع في اعتبارك قسمًا

[P ~ = ~ lbrace a = x_0

[ avg {f} ~ almost ~ frac {f (x_1) ~ + ~ f (x_2) ~ + ~ cdots ~ + ~ f (x_n)} {n} ~ = ~ sum_ {i = 1 } ^ n frac {f (x_i)} {n} ] حسب خصائص الجمع ، اقسم المجموع بأكمله على الثابت (ba ) واضرب كل حد في المجموع في (ba ) للحصول على:

[ avg {f} ~ almost ~ frac {1} {ba} ، sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) ، cdot ، frac {ba} {n} ~ = ~ frac {1} {ba} ، sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) ، Delta x_i ] لاحظ أن آخر جمع على اليمين هو مجرد مجموع Riemann للتكامل المحدد ( int_a ^ bf (x) ، dx ) ، مع اختيار النقاط (x_i ^ * ) لتكون نقاط النهاية الصحيحة للفترات ( ival {x_ {i-1}} {x_i} ) لـ (أنا = 1 ) إلى (n ). وبالتالي ، فإن أخذ حد هذا المجموع على أنه (n to infty ) (مما يعني تضمين المزيد والمزيد من قيم الوظائف في المتوسط) ينتج عنه التعريف التالي:

مثال ( PageIndex {1} ): avg1

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد متوسط ​​قيمة (f (x) = x ^ 2 ) على ( ival {0} {1} ).

حل: حسب التعريف ، مع (أ = 0 ) و (ب = 1 ) ،

[ avg {f} ~ = ~ frac {1} {1-0} ، int_0 ^ 1 ، f (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 ، x ^ 2 ~ dx ~ = ~ frac {x ^ 3} {3} ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ frac {1 ^ 3} {3} ~ - ~ frac {0 ^ 3} {3} ~ = ~ frac {1} {3} ] لاحظ أن هذا يشير إلى أنك إذا أخذت كل الأرقام بين 0 و 1 وقمت بتربيعها ، فإن متوسط ​​هذه المربعات سيكون 1/3.

مثال ( PageIndex {1} ): avg2

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد متوسط ​​قيمة (f (x) = x ^ 2 ) over ( ival {-1} {1} ).

حل: حسب التعريف ، مع (أ = -1 ) و (ب = 1 ) ،

[ avg {f} ~ = ~ frac {1} {1 - (- 1)} ، int _ {- 1} ^ 1 ، f (x) ~ dx ~ = ~ frac {1} {2} ، int _ {- 1} ^ 1 ، x ^ 2 ~ dx ~ = ~ frac {x ^ 3} {6} ~ Biggr | _ {- 1} ^ 1 ~ = ~ frac {1 ^ 3} {6} ~ - ~ frac {(- 1) ^ 3} {6} ~ = ~ frac {1} {3} ] لاحظ أن هذا هو نفس المتوسط ​​ ( ival {0} {1} ) ، كما هو موضح في المثال السابق. يجب أن يكون هذا منطقيًا ، نظرًا لأن الوظيفة (f (x) = x ^ 2 ) متماثلة حول محور (y ) - ، لذا فإن قيم (f (x) ) من ( ival { -1} {0} ) هي نفسها تلك الموجودة في ( ival {0} {1} ). القيم من ( ival {-1} {1} ) تكرر فقط القيم من ( ival {0} {1} ) وبالتالي لا تغير المتوسط.

مثال ( PageIndex {1} ): متوسط ​​3

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد متوسط ​​قيمة (f (x) = sin ، x ) over ( ival {0} { pi} ).

حل: حسب التعريف ، مع (أ = 0 ) و (ب = بي ) ،

[ avg {f} ~ = ~ frac {1} { pi-0} ، int_0 ^ { pi} ، f (x) ~ dx ~ = ~ frac {1} { pi } int_0 ^ { pi} ، sin ، x ~ dx ~ = ~ - frac {1} { pi} ، cos ، x ~ Biggr | _0 ^ { pi} ~ = ~ - frac {1} { pi} ، ( cos ، pi ~ - ~ cos ، 0) ~ = ~ - frac {1} { pi} ، (- 1 - 1) ~ = ~ فارك {2} { بي} ]

مثال ( PageIndex {1} ): متوسط ​​4

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد متوسط ​​المسافة من القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) إلى النقطة ((4،0) ).

حل: لنفترض أن (d ) يمثل المسافة من أي نقطة ((x، y) ) على القطع الناقص إلى النقطة ((4،0) ) ، كما في الشكل [fig: avgellipse]. إذا كان ((x، y) ) على القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) ثم (y ^ 2 = 9 ( 1 - frac {x ^ 2} {25}) = frac {9} {25} (25-x ^ 2) ). إذن ، من خلال صيغة المسافة ، يتم إعطاء (d ) بواسطة

[ start {align} d ^ 2 ~ & = ~ (x-4) ^ 2 ~ + ~ (y-0) ^ 2 ~ = ~ (x-4) ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 & = ~ (x-4) ^ 2 ~ + ~ frac {9} {25} (25-x ^ 2)

[6pt] & = ~ frac {25 (x-4) ^ 2 ~ + ~ 9 (25-x) ^ 2} {25} ~ = ~ frac {25x ^ 2 ~ - ~ 200x ~ + ~ 400 ~ + ~ 225 ~ - ~ 9x ^ 2} {25}

[6pt] & = ~ frac {16x ^ 2 ~ - ~ 200x ~ + ~ 625} {25}

[6pt] d ^ 2 ~ & = ~ frac {(4x - 25) ^ 2} {25} quad text {، وبالتالي فإن أخذ الجذور التربيعية يعطي}

[6pt] d ~ & = ~ pm ، frac {4x - 25} {5} ~ = ~ - frac {4x - 25} {5} ~ = ~ frac {25 - 4x} {5} نهاية {محاذاة} ]

لـ (- 5 le x le 5 ) ، بما أن (d = (4x-25) / 5 <0 ) في ( ival {-5} {5} ) ولا يمكن أن تكون المسافة سالبة . لاحظ أنه من خلال تناظر الشكل البيضاوي حول المحور (س ) ، لا يلزم سوى النصف العلوي من القطع الناقص لمتوسط ​​المسافة ، لأن النصف السفلي يكرر المسافات فقط. ومن ثم ، فإن متوسط ​​المسافة

[ avg {d} ~ = ~ frac {1} {5 - (-5)} ، int _ {- 5} ^ 5 ، frac {25 - 4x} {5} ~ dx ~ = ~ frac {1} {50} ، (25x - 2x ^ 2) ~ Biggr | _ {- 5} ^ 5 ~ = ~ frac {1} {50} ، (125 - 50 ~ - ~ ( -125 - 50)) ~ = ~ 5 ~. ] لاحظ أن النقطة ((4،0) ) هي بؤرة القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) (لماذا؟) ، وهو ما يجعل حساب متوسط ​​المسافة بسيطًا إلى حد ما.

ماذا لو أردت متوسط ​​قيمة دالة (f ) لا يمكن تكاملها بسهولة؟ أحد البدائل لتقنيات التكامل العددي هو طريقة مونت كارلو. الفكرة من وراء ذلك بسيطة: ارجع إلى التعريف المعتاد للمتوسط ​​، بأخذ عدد كبير (N ) من الأرقام العشوائية (x_1 ) ، (x_2 ) ، ( ldots ) ​​، (x_N ) في ( ival {a} {b} ) ثم استخدام التقريب

[ avg {f} ~ almost ~ frac {f (x_1) ~ + ~ f (x_2) ~ + ~ cdots ~ + ~ f (x_N)} {N} ~. ] قد يبدو هذا وكأنه أخذ خطوة إلى الوراء من حساب التفاضل والتكامل ، وهي كذلك ، لكنها مفيدة بشكل مدهش ، فضلاً عن سهولة تنفيذها باستخدام الكمبيوتر. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن إظهار أنه كلما زاد عدد النقاط العشوائية في ( ival {a} {b} ) ، تتقارب التقديرات مع المتوسط ​​الفعلي.

مثال ( PageIndex {1} ): avgoctave

أضف نصًا هنا.

حل

طريقة مونت كارلو سهلة التنفيذ في Octave / MATLAB. عادة ما تكون هناك حاجة إلى "خط واحد" فقط ، بسبب أوكتاف التوجيه-بمعنى آخر. القدرة على إجراء عمليات حسابية على مصفوفات كائنات كاملة دفعة واحدة.

على سبيل المثال ، أذكر من المثال

مثال ( PageIndex {1} ): avg1

أضف نصًا هنا.

حل

أن متوسط ​​قيمة (f (x) = x ^ 2 ) over ( ival {0} {1} ) هو (1/3 = 0.33333 ldots ، ). تقريب متوسط ​​القيمة باستخدام مصفوفة من 100 مليون ( (10 ​​^ 8 )) رقم عشوائي في ( ival {0} {1} ):
octave> يعني (راند (1،1e8). ^ 2) الجواب = 0.3333292094741531

النقطة الموجودة فيراند (1،1e8) ^ 2يطبق الأمر عملية التربيع (^2) لكل من (10 ​​^ 8 ) الأرقام العشوائية في المصفوفة التي تم إرجاعها بواسطةراند (1،1e8)أمر. الإجماليعنيدالة ثم تحسب متوسط ​​المصفوفة. يمكن تطبيق الدوال المثلثية والأسية وغيرها على المصفوفات ، مع قيام الوظيفة بتقييم كل عنصر من عناصر المصفوفة على حدة. بشكل عام الأمر(ب-أ). * راند (1 ، ن) + أسيعود مصفوفة مننأرقام عشوائية في الفاصل ((أ ، ب) ).

على سبيل المثال ، لا يمكن دمج الوظيفة (f (x) = sin ، (x ^ 2) ) في شكل مغلق ، لكن متوسط ​​قيمتها على ( ival { pi} {2 pi} ) يمكن تقريبه بسهولة في Octave (المتوسط ​​الفعلي = -0.04154374531416104):

octave> يعني (sin ((pi. * rand (1،1e8) + pi). ^ 2)) ans = -0.04153426177596753

[sec8dot2]

بالنسبة للتمارين 1-9 ، أوجد متوسط ​​قيمة الوظيفة (f (x) ) خلال الفترة الزمنية المحددة.

3

(f (x) = 1 ) ، فوق ( ival {0} {3} )

(f (x) = x ) ، فوق ( ival {0} {1} )

(f (x) = x ^ 2 ) ، فوق ( ival {0} {2} )

3

(f (x) = x ^ 3 ) ، فوق ( ival {0} {2} )

(f (x) = sin ، 2x )، فوق ( ival {0} { pi / 2} )

(f (x) = e ^ x ) ، فوق ( ival {-1} {4} )

3

(f (x) = x ^ 3 ) ، فوق ( ival {-1} {1} vphantom { dfrac {1} {x}} )

(f (x) = sin ، x ) ، أكثر من ( ival {- pi / 2} { pi / 2} vphantom { dfrac {1} {x}} )

(f (x) = dfrac {1} {x} ) ، فوق ( ival {1} ​​{3} )

يتم تمثيل الإشارات الكهربائية بشكل عام بواسطة a شكل موجة دوري (x (t) ) ، وهي دالة للوقت (t ) ولها فترة (T ) (أي (T ) هي أصغر رقم موجب مثل (x (t + T) = x (t) ) للجميع (t )). ال متوسط ​​القوة من شكل الموجة يتم تعريفه على أنه متوسط ​​قيمة مربعه خلال فترة واحدة:

[ Avg {x ^ 2 (t)} ~ = ~ frac {1} {T} ، int_0 ^ T ، x ^ 2 (t) ~ dt ~. ]

  1. أوجد متوسط ​​قوة الشكل الموجي (x (t) = A cos ( omega t + phi) ) ، حيث (A> 0 ) و ( omega> 0 ) و ( phi ) كلها ثوابت.
  2. ال معدل الجذر التربيعي لشكل موجة ، يتم اختصاره كـ جذر متوسط ​​التربيع، هو الجذر التربيعي للقوة المتوسطة. احسب جذر متوسط ​​التربيع لشكل الموجة من الجزء (أ). اكتب إجابتك في صورة عشرية كنسبة مئوية من السعة (A ).

دائرة كهربائية بجهد مزود (القوة الدافعة الكهربائية) (E ) ، مكثف بسعة (C ) ، ومقاوم بمقاومة (R ) ، تظهر في الصورة على اليمين. عندما يتم فتح مفتاح (s ) في الدائرة في الوقت (t = 0 ) يبدأ التيار (I ) عبر الدائرة في الانخفاض بشكل كبير كدالة للوقت (t ) (يقاس بالثواني بعد فتح المفتاح) ، التي قدمها

[I ~ = ~ frac {E} {R} ، e ^ {- t / RC} ] لـ (t ge 0 ).

  1. ارسم رسمًا بيانيًا تقريبيًا لـ (I ) كدالة لـ (t ).
  2. لاحظ أنه في الوقت (t = 0 ) التيار هو (I = frac {E} {R} ) (يقاس بالأمبير) ، وهي الصيغة المألوفة من قانون أوم. هذه هي قيمة الذروة لـ (I ). ما هو (I ) الحالي في الوقت (t = 5RC )؟ اكتب إجابتك بالصيغة العشرية كنسبة مئوية من تيار الذروة ( frac {E} {R} ) (على سبيل المثال (0.42 frac {E} {R} ) ، والذي سيكون (42 ٪ ) ) من تيار الذروة).
  3. أوجد متوسط ​​التيار في الدائرة خلال الفاصل الزمني ( ival {0} {5RC} ). اكتب إجابتك في صورة عشرية كنسبة مئوية من تيار الذروة.

[[1.]]

يربط زنبرك به ثابت زنبركي (ك ) وثابت التخميد ( nu ) جسيمتين نقطيتين بالكتلة (م ) في كاشف موجات الجاذبية. تمر موجة الجاذبية عبر الكاشف في الوقت (t = 0 ) وتحث على التذبذب في الربيع ، مع فترة (2 pi / Omega ) وطاقة (E ) في الوقت (t ) ge 0 ) التي قدمها

[E (t) ~ = ~ frac {1} {4} mR ^ 2 ، left ( Omega ^ 2 ، sin ^ 2 ، ( Omega t + phi) ~ + ~ omega_0 ^ 2 ، cos ^ 2 ، ( Omega t + phi) right) ~، ] حيث ( omega_0 ^ 2 = 2k / m )، ( phi = tan ^ {- 1 } ، (2 nu Omega / (m ( omega_0 ^ 2 - Omega ^ 2)) ) ، و (R ) ثابت.

  1. وضح أن متوسط ​​الطاقة ( متوسط ​​{E} ) خلال فترة واحدة ( ival {0} {2 pi / Omega} ) للتذبذب هو

    [ avg {E} ~ = ~ frac {1} {8} mR ^ 2 ، ( omega_0 ^ 2 ~ + ~ Omega ^ 2) ~. ]

  2. لنفترض أن عددًا كبيرًا من أجهزة الكشف المتطابقة من هذا النوع موزعة بشكل موحد في مصفوفة مستوية بكثافة ( سيجما ) مكشافات لكل وحدة مساحة. الطاقة (E_ sigma (t) ) الممنوحة لكل كاشف في الوقت (t ge 0 ) بواسطة موجة الجاذبية هي

    [E_ sigma (t) ~ = ~ nu Omega ^ 2 R ^ 2 ، sin ^ 2 ، ( Omega t + phi) ~. ] أظهر أن متوسط ​​الطاقة ( avg { E_ sigma} ) خلال فترة واحدة ( يفال {0} {2 pi / Omega} ) من التذبذب هو

    [ avg {E_ sigma} ~ = ~ frac {1} {2} nu Omega ^ 2 R ^ 2 ~. ]

[[1.]]

بالنسبة إلى القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، مع (a> b> 0 ) ، البؤر هي النقاط ((c، 0) ) و ((- c، 0) ) حيث (c = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ). أوجد متوسط ​​المسافة من القطع الناقص إلى أي من بؤرته من حيث الثوابت (أ ) و (ب ) و (ج ).

اكتب برنامج كمبيوتر لاستخدام طريقة مونت كارلو بمليون نقطة عشوائية لتقريب متوسط ​​المسافة من القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) إلى النقطة ((0،0) ). استخدم التناظر لاختيار أصغر فاصل زمني للنقاط. هل يمكنك استخدام الصيغة ([eqn: avgvalue]) بدلاً من ذلك؟ يشرح.


شاهد الفيديو: الدوال - رياضيات الصف الثاني متوسط الفصل الثاني (شهر اكتوبر 2021).