مقالات

8.5: تطبيقات في الفيزياء والإحصاء - الرياضيات


يختتم هذا الفصل ببعض التطبيقات التي توضح كيف يمكن استبدال بعض المجاميع المنفصلة المألوفة بالتكاملات ، والتي هي في الأساس مجاميع مستمرة.

افترض أن قضيبًا موحدًا رفيعًا به (n> 1 ) كتل (m_1 ، ldots ، m_n ) متصلة ، مع (m_1 ) و (m_n ) في نهاياتها. ال مركز الجاذبية من الكتل هي النقطة التي - بسبب جاذبية الأرض - سيتم موازنة القضيب إذا تم وضع نقطة ارتكاز هناك (انظر الشكل [شكل: m1m2rod] (أ)). تخيل أن القضيب جزء من المحور (x ) والأوزان ككتل نقطية - مع كل كتلة (m_k ) عند (x_k ) - واجعل مركز الثقل عند ( بار {س) } ) ، كما في الشكل [الشكل: m1m2rod] (ب).

يكون القضيب متوازنًا إذا لم تقم الكتل بتدوير القضيب ، أي الإجمالي عزم الدوران هو صفر. يُعرَّف عزم الدوران هنا على أنه موضع مرات القوة بالنسبة إلى ( شريط {x} ). تطبق كل كتلة (m_k ) قوة (m_kg ) على القضيب — حيث (g ) هو التسارع (لأسفل) بسبب جاذبية الأرض — في الموضع ((x_x- bar {x}) ) نسبة إلى ( شريط {x} ). وبالتالي فإن إجمالي عزم الدوران هو صفر إذا

[(m_1g) ، (x_1- bar {x}) ~ + ~ (m_2g) ، (x_2- bar {x}) ~ + ~ cdots ~ + ~ (m_ng) ، (x_n- الشريط {x}) ~ = ~ 0 ] بحيث ينتج عن حل ( bar {x} ):

[ label {eqn: cogdiscrete} bar {x} ~ = ~ frac {m_1gx_1 + cdots + m_ngx_n} {m_1g + cdots + m_ng} ~ = ~ frac {m_1x_1 + cdots + m_nx_n} {m_1 + cdots + m_n} ~ = ~ frac { sum_ {k = 1} ^ n ؛ m_kx_k} { sum_ {k = 1} ^ n ؛ m_k} ] كل كمية (m_kx_k ) تسمى ال الوقت الحاضر من الكتلة (m_k ). وبالتالي ، ( bar {x} ) هو مجموع اللحظات مقسومًا على الكتلة الكلية. يمكن أن تمتد هذه الفكرة إلى مناطق في المستوى (س ص ) ، باستخدام تكامل سلسلة متصلة من اللحظات بدلاً من مجموع محدود. ال مركز الجاذبية من منطقة مستوية يتم تعريفها على أنها نقطة بحيث لا ينتج عن أي قوة على طول خط عبر تلك النقطة أي دوران للمنطقة حول هذا الخط.8 وبالتالي يجب أن يكون هناك عزم دوران صفري في كلا الاتجاهين (x ) و (y ) ، لذا فإن الفكرة هي تطبيق الصيغة ([eqn: cogdiscrete]) في كلا الاتجاهين للحصول على مركز ثقل المنطقة (( شريط {x} ، شريط {y}) ). يمكن اعتبار المنطقة كملف الصفيحة- صفيحة رقيقة ذات كثافة منتظمة. خذ مساحة المنطقة على أنها كتلتها ، وهذا أمر منطقي بالنظر إلى الكثافة المنتظمة. للمنطقة الواقعة بين منحنيين (y = f_1 (x) ) و (y = f_2 (x) ) فوق ( ival {a} {b} ) ، مع (f_1 (x) ge f_2 (x) ) ، خذ شريحة عرض عمودية ( dx ) عند بعض (x ) ، كما في الشكل [fig: cogregion] (a). باستخدام نفس الوسيطات المستخدمة في القسم 8.4 ، تأتي كل المساحة من هذا الشريط من مستطيل الارتفاع (f_1 (x) -f_2 (x) ) والعرض ( dx ) (انظر المستطيل المظلل في الشكل [ التين: cogregion] (ب)).

بافتراض الكثافة المنتظمة ، من الواضح أن مركز ثقل هذا المستطيل هو المركز الهندسي ، وإحداثياته ​​هي ( left (x + frac {1} {2} dx، frac {1} {2} (f_1 (x) + f_2 (x)) right) ). يمكن معالجة كتلة الشريط بالكامل كما لو كانت مركزة في تلك المرحلة. ال الوقت الحاضر (m_x ) للشريط حول (س ) - المحور هو كتلته مضروبة في موضع مركز جاذبيته بالنسبة إلى محور (س ) - (أي إحداثياته ​​ (ص )):

[m_x ~ = ~ (f_1 (x) -f_2 (x)) ، dx ، cdot ، ( tfrac {1} {2} ، (f_1 (x) + f_2 (x))) ~ = ~ tfrac {1} {2} ، ((f_1 (x)) ^ 2 - (f_2 (x)) ^ 2) ، dx ] وبالمثل اللحظة (m_y ) من الشريط حول المحور (ص ) - كتلته مضروبة في إحداثي (س ) لمركز جاذبيته:

[ start {align} m_y ~ & = ~ (f_1 (x) -f_2 (x)) ، dx ، cdot ، (x + tfrac {1} {2} dx) ~ = ~ x ، (f_1 (x) -f_2 (x)) ، dx ~ + ~ tfrac {1} {2} (f_1 (x) -f_2 (x)) ، ( dx) ^ 2 ~ & = ~ x ، (f_1 (x) -f_2 (x)) ، dx end {align} ] اللحظات (M_x ) و (M_y ) للمنطقة بأكملها حول (x ) - يتم تعريف المحور و (ص ) - المحور ، على التوالي ، على أنه مجموع اللحظات ذات الصلة (m_x ) و (m_y ) لجميع الشرائط على ( ival {a} {b} ):

[M_x ؛ = ؛ int_a ^ b m_x ~ = ~ int_a ^ b tfrac {1} {2} ، ((f_1 (x)) ^ 2 - (f_2 (x)) ^ 2) ؛ dx enskip text { و} enskip M_y ؛ = ؛ int_a ^ b m_y ~ = ~ int_a ^ bx ، (f_1 (x) -f_2 (x)) ؛ dx ] لاحظ في الصيغة ([eqn: cogdiscrete]) أن المقام هو مجموع كل الجماهير في النظام. بالنسبة للمنطقة فإن الكتلة الكلية ستكون ببساطة مساحتها (م ):

[M ~ = ~ int_a ^ b (f_1 (x) -f_2 (x)) ~ dx ] تقسيم اللحظات (M_x ) adn (M_y ) على (M ) ينتج عنه صيغة مركز الثقل:

مثال ( PageIndex {1} ): cogregion1

أضف نصًا هنا.

حل

ابحث عن مركز ثقل المنطقة التي يحدها المنحنى (y = x ^ 2 ) والمحور (x ) - لـ (0 le x le 1 ).

حل: المنطقة مظللة في الشكل على اليمين. ينتج عن استخدام (y = f_1 (x) = x ^ 2 ) و (y = f_2 (x) = 0 ) في الصيغة ([eqn: cogregion])

[ start {align} M_x ~ & = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} ، (f_1 (x)) ^ 2 ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} { 2} ، x ^ 4 ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {10} ، x ^ 5 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {10} M_y ~ & = ~ int_0 ^ 1 x ، f_1 (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 x ^ 3 ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {4} ، x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {4} M ~ & = ~ int_0 ^ 1 f_1 (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 x ^ 2 ~ dx ~ = ~ tfrac {1 } {3} ، x ^ 3 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {3} end {align} ] بحيث يكون مركز الثقل (( bar {x}، الشريط {y}) ) هو:

[ bar {x} ~ = ~ frac {M_y} {M} ~ = ~ frac {1/4} {1/3} ~ = ~ frac {3} {4} quad text {and } رباعي بار {y} ~ = ~ frac {M_x} {M} ~ = ~ frac {1/10} {1/3} ~ = ~ frac {3} {10} ]

مثال ( PageIndex {1} ): cogregion2

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد مركز الثقل للمنطقة التي يحدها المنحنيات (y = x ) و (y = x ^ 2 ).

حل: المنطقة مظللة في الشكل على اليمين. ينتج عن استخدام (y = f_1 (x) = x ) و (y = f_2 (x) = x ^ 2 ) في الصيغة ([eqn: cogregion])

[ start {align} M_x ~ & = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} ، ((f_1 (x)) ^ 2- (f_2 (x)) ^ 2) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} ، (x ^ 2-x ^ 4) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {6} ، x ^ 3 - tfrac {1} { 10} ، x ^ 5 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {15} M_y ~ & = ~ int_0 ^ 1 x ، (f_1 (x) -f_2 (x)) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 (x ^ 2 - x ^ 3) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {3} ، x ^ 3 - tfrac {1} {4} ، x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {12} M ~ & = ~ int_0 ^ 1 (f_1 (x) - f_2 (x)) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 (xx ^ 2) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {2} ، x ^ 2 - tfrac {1} {3} ، x ^ 3 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {6} end {align} ] بحيث يكون مركز الثقل (( bar {x}، bar {y}) ) هو:

[ bar {x} ~ = ~ frac {M_y} {M} ~ = ~ frac {1/12} {1/6} ~ = ~ frac {1} {2} quad text {and } رباعي بار {y} ~ = ~ frac {M_x} {M} ~ = ~ frac {1/15} {1/6} ~ = ~ frac {2} {5} ]

افترض أن قوة ثابتة تزيح جسمًا على طول خط في نفس الاتجاه الذي يتم تطبيق القوة فيه. ال الشغل تُفعل بالقوة على أنها القوة مضروبة في الإزاحة. على سبيل المثال ، إذا حركت القوة الثابتة (F ) كائنًا من الموضع (x = a ) إلى (x = b ) على المحور (x ) - ، كما في الشكل [الشكل: العمل] (أ) ، فإن العمل (W ) الذي تقوم به القوة هو:

[W ~ = ~ text {force} ، times ، text {مسافة الإزاحة} ~ = ~ text {force} ، times ، text {(final position $ - $ initial position)} ~ = ~ F ، cdot ، (با) ]

افترض الآن أن القوة (F ) هي دالة للموضع (x ) فوق ( ival {a} {b} ): (F = F (x) ). بواسطة خاصية Microstraightness ، على مدى فاصل متناهي الصغر ( ival {x} {x + dx} ) يكون المنحنى (y = F (x) ) خطًا مستقيمًا ، كما في الشكل [الشكل: العمل] (ب ). كيف يجب تحديد العمل (d ! W ) الذي يؤديه (F ) خلال هذه الفترة اللامتناهية في الصغر؟ بعد كل شيء ، (F ) ليس ثابتًا على ( ival {x} {x + dx} ) - يأخذ كل قيمة بين (F (x) ) و (F (x + dx) ). يتم تركه كتمرين لإظهار ذلك أي يمكن استخدام القيمة الموجودة في هذا النطاق - ينتج عنها جميعًا نفس المقدار (F (x) ، dx ) للعمل المنجز.9

على سبيل المثال ، لنفترض أنك تستخدم القيمة في منتصف المسافة بين (F (x) ) و (F (x + dx) ) كقيمة (F ): ( frac {1} {2} ، (F (x) + F (x + dx)) ). ثم الشغل (d ! W ) كقوة مضروبة في الإزاحة هو:

[ start {align} d ! W ~ & = ~ frac {1} {2} ، (F (x) + F (x + dx)) ~ dx ~ = ~ frac {1} { 2} ، (F (x) + F (x) + F '(x) ، dx) ~ dx

[4pt] & = ~ F (x) ، dx ~ + ~ frac {1} {2} ، F '(x) ، cancellto {0} {( dx) ^ 2} & = ~ F (x) ، dx end {align} ] حدد إجمالي العمل (W ) على ( ival {a} {b} ) كمجموع لكل (d ! W ):

قبل المتابعة ، يجب إزالة بعض الالتباس المحتمل. أولاً ، القوة دائمًا أ المتجه—لديها مقدار واتجاه. بالنسبة للقوى المدروسة هنا ، والتي تعمل في بُعد واحد (على سبيل المثال على طول (x ) - المحور) ، يُشار إلى اتجاه القوة من خلال علامتها: موجبة في الاتجاه نحو (+ infty ) ، سلبي في الاتجاه نحو (- infty ). لذا فإن قوة (3 ) N تعمل في الاتجاه المعاكس كقوة مقدارها (- 3 ) N ، لكن لها نفس المقدار ( abs {3} = 3 ).

ثانيًا ، العمل ليس ناقلًا - إنه ملف العددية، مما يعني أن له مقدارًا ولكن بلا اتجاه. ومع ذلك ، يمكن أن يكون لهذا الحجم أي علامة. يكون الشغل موجبًا إذا تم إزاحة الجسم في نفس اتجاه القوة ، ولكنه يكون سالبًا إذا كانت الإزاحة في الاتجاه المعاكس للقوة. على سبيل المثال ، إذا رفعت جسمًا من الأرض بشكل مستقيم ، فهذا يعني أنك قمت بعمل إيجابي - يتحرك الجسم في نفس اتجاه القوة التي استخدمتها. ومع ذلك ، فإن قوة الجاذبية أثرت سلبيًا على الجسم أثناء رفعه ، لأن الجاذبية تعمل لأسفل ولكن الجسم يتحرك لأعلى.

أخيرًا ، صفر يتم القيام به بواسطة القوة إذا لم تحدث إزاحة في اتجاهها. على وجه الخصوص ، لا تؤدي القوى التي تعمل بشكل عمودي على خط الإزاحة أي عمل. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك كائنًا ذا كتلة (م ) على سطح طاولة أفقي مسطح كما في الشكل على اليمين. إذا قمت بدفع هذا الكائن إلى اليمين بقوة (F ) (أداء عمل إيجابي) ، فإن كلا من قوة الجاذبية الهابطة (- مجم ) والقوة الطبيعية الصاعدة (N ) التي يمارسها الجدول تؤديان صفر العمل على الكائن. تؤدي قوة الاحتكاك (F _ { mu} ) من سطح الطاولة عملًا سالبًا ، لأنها تعارض القوة (F ). كمثال آخر ، لا يتم تنفيذ أي عمل من خلال الاحتفاظ بجسم (100 ) رطل ثابتًا وفوق الأرض.

قانون هوك تنص على أن الزنبرك الملفوف له مرونة استعادة القوة (F = -kx ) ، حيث (x ) هو إزاحة نهاية الربيع من موضع توازنه حيث يتم شد أو ضغط الزنبرك ، و (k> 0 ) هو ثابت الربيع-أو معامل الصلابة- خاص بالربيع. تحاول هذه القوة دائمًا إعادة الزنبرك إلى موضع توازنه ، ولا يسري القانون إلا على نطاق محدود من (س ). بالنسبة إلى الربيع الذي يتم وضعه أفقيًا ، تخيل أنه يقع على محور (س ) مع وضع التوازن عند (س = 0 ) ، كما في الشكل الموجود على اليمين.

  1. أوجد ثابت الزنبرك (ك ) إذا كانت قوة مقدارها 2 نيوتن تمد الزنبرك بمقدار 4 سم.
  2. استخدم الجزء (أ) لإيجاد الشغل المنجز بضغط الزنبرك 3 سم.

حل: (أ) القوة المطلوبة لتمديد الزنبرك بمقدار (x ) هي (F = kx ) ، حيث يجب أن تواجه هذه القوة قوة الاستعادة. وبالتالي ، (k = frac {F} {x} = frac {2 text {N}} {4 text {cm}} = frac {2 text {N}} {0.04 text {m }} = 50 ) ن / م.
(ب) بالجزء (أ) القوة المطلوبة لضغط السلسلة إلى الموضع (x ) هي (F (x) = kx = 50x ) ، حيث يجب أن تواجه قوة الاستعادة مرة أخرى. وبالتالي ، بما أن (3 ) سم (0.03 ) م ، فإن العمل (W ) المنجز هو:

[W ~ = ~ int_0 ^ {- 0.03} ف (س) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ {- 0.03} 50x ~ dx ~ = ~ 25x ^ 2 ~ Biggr | _0 ^ {- 0.03} ~ = ~ 25 ، (- 0.03) ^ 2 ~ - ~ 0 ~ = ~ 0.0225 ~ نص {Nm} ]

لنفترض أنك قلبت بنسين متوازنين بشكل متساوٍ واجعل (X ) هو عدد الرؤوس في النتيجة. ثم (X ) هو أ المتغير العشوائي المنفصل- منفصل لأنه يمكن أن يأخذ فقط مجموعة منفصلة من القيم (0 ، 1 و 2) ؛ عشوائي لأن قيمتها متروكة للصدفة. ال احتمالا أن العملة المقلوبة للرؤوس هي (50 ٪ = frac {1} {2} ) ، أي أن هذا هو الاحتمال النظري نظرًا لأن احتمالية ظهور الرؤوس وذيولها متساوية. ال فضاء العينة (S ) من جميع النتائج المحتملة هي المجموعة (S = lbrace TT ، TH ، HT ، HH r قوس ) ، حيث (H ) عبارة عن رؤوس و (T ) هي ذيول (على سبيل المثال ( HT ) يعني أن البنس الأول ظهر على شكل وجه والثاني ظهر ذيول). يوضح الشكل [الشكل: الاحتمال] (أ) مخططًا شريطيًا للاحتمالات - كأرقام بين 0 و 1 - مع (P (X = x) ) للدلالة على احتمال حدث أن (X ) يساوي الرقم (س ). لاحظ أن مجموع الاحتمالات هو 1 و (P (X = x) = 0 ) إذا كان (x ) ليس 0 أو 1 أو 2.

الفكرة وراء أ متغير عشوائي مستمر (X ) هو ملء تلك الفجوات بين الأعمدة في الشكل [الشكل: الاحتمال] (أ) ، بحيث يمثل (X ) كمية مستمرة ، على سبيل المثال الوقت والمسافة ودرجة الحرارة. بدلاً من إيجاد (P (X = x) ) ، ستجد احتمال أن (X ) في سلسلة متصلة مثل الفاصل الزمني ، على سبيل المثال (P (a

لاحظ أنه منذ (P (X = a) = 0 ) ثم (P (a le X ) و ( جي )). في الجزء المتبقي من هذا القسم ، سيتم افتراض أن جميع المتغيرات العشوائية متصلة ، حيث تكون مساحة العينة عادةً كل ( Reals ) أو بعض الفواصل الزمنية ، محدودة أو غير محدودة (على سبيل المثال ((0 ، infty) )).

مثال ( PageIndex {1} ): expdist

أضف نصًا هنا.

حل

لنفترض أن (X ) يكون مدى الحياة ، أي وقت فشل أحد المكونات الإلكترونية. إذا كان متوسط ​​عمر المكون هو 700 يوم ، فإن دالة كثافة الاحتمال (f (x) ) للمتغير العشوائي (X ) هي

[ label {eqn: expdist} f (x) ~ = ~ begin {cases} ~ lambda ، e ^ {- lambda x} & text {if $ ~ x ge 0 $،} ~ 0 & text {if $ ~ x <0 $} end {cases} ] حيث ( lambda = frac {1} {700} ) و (x ) هو عدد الأيام. في هذه الحالة ، يُقال أن (X ) يمتلك الامتداد التوزيع الأسي مع المعلمة ( لامدا ). أوجد احتمال أن يكون عمر المكون:

  1. بين 600 و 800 يوم
  2. أكثر من 700 يوم

حل: (أ) الاحتمال هو:

[P (600

(ب) الاحتمال هو:

[P (X> 700) ~ = ~ int_ {700} ^ { infty} f (x) ~ dx ~ = ~ int_ {700} ^ { infty} tfrac {1} {700} ، e ^ {- frac {x} {700}} ~ dx ~ = ~ -e ^ {- frac {x} {700}} ~ Biggr | _ {700} ^ { infty} ~ = ~ 0 ~ + ~ e ^ {- 1} ~ تقريبًا ~ 0.3679 ]

[sec8dot5]

بالنسبة للتمرينات 1-3 ، أوجد مركز الجاذبية للمنطقة التي يحدها المنحنيات المعطاة خلال الفترة المحددة.

3

(ص = س ^ 3 ) و (ص = 0 ) ؛ (0 لو س لو 1 )

(ص = -س + 1 ) و (ص = 0 ) ؛ (0 لو س لو 1 )

(ص = س ^ 2 ) و (ص = س ^ 3 ) ؛ (0 لو س لو 1 )

أوجد مركز الثقل للمنطقة داخل الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) وفوق المحور (x ).

أوجد مركز ثقل المنطقة داخل الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) في الربع الأول.

أوجد مركز ثقل المنطقة داخل القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) وفوق (x ) -محور.

أوجد مركز ثقل المنطقة الواقعة بين الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) والقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {4} + y ^ 2 = 1 ) أعلى (x ) - المحور.

هل ستتغير صيغة ([eqn: cogregion]) لمركز الثقل إذا كانت كتلة المنطقة متناسبة - ولكنها غير متساوية - مع مساحتها ، على سبيل المثال ، بنسبة موجبة ثابتة ( delta ne 1 )؟ يشرح.

إذا احتاج الزنبرك إلى 3 نيوتن من القوة ليتم ضغطه بمقدار 5 سم ، فما مقدار الشغل الذي سيتم إجراؤه لتمديد الزنبرك بمقدار 8 سم؟

قوة الجاذبية (F (x) ) التي تمارسها الأرض على جسم كتلته (م ) على مسافة (س ) من مركز الأرض هي

[F (x) ~ = ~ - frac {mgr_e ^ 2} {x ^ 2} ] حيث (r_e ) هو نصف قطر الأرض. إذا تم تحرير الجسم من السكون على مسافة (r_o ) من مركز الأرض ، فابحث عن العمل الذي تؤديه الجاذبية في إحضار الجسم إلى سطح الأرض.

تذكر أن قانون الغاز المثالي ينص على أن (PV = RT ) ، حيث (R ) ثابت ، (P ) هو الضغط ، (V ) هو الحجم ، و (T ) هي درجة الحرارة. يمكن إثبات أن العمل (W ) المنجز بواسطة غاز مثالي في توسيع الحجم من (V_a ) إلى (V_b ) هو

[W ~ = ~ int_ {V_a} ^ {V_b} P ~ d ! V ~. ] احسب (W ).

تحقق من أن (~ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) ~ dx = 1 ~ ) للوظيفة (f (x) ) في الصيغة ([eqn: expdist] ) في المثال

مثال ( PageIndex {1} ): expdist

أضف نصًا هنا.

حل

للجميع ( لامدا> 0 ).

ابحث عن (P (X <300) ) في المثال

مثال ( PageIndex {1} ): expdist

أضف نصًا هنا.

حل

.

ال دالة التوزيع (F (x) ) لمتغير عشوائي (X ) يتم تعريفه على أنه (F (x) = P (X le x) ) للجميع (x ). أظهر أن (F '(x) = f (x) ) ، حيث (f (x) ) هي دالة كثافة الاحتمال لـ (X ). [[1.]]

يمكن أن تمتد الصيغة ([eqn: cogregion]) إلى مناطق على مدى فترة لانهائية ، بشرط أن تكون المنطقة محدودة. استخدم هذه الحقيقة لإيجاد مركز ثقل المنطقة الواقعة بين (y = e ^ {- x} ) والمحور (x ) - لـ (0 le x < infty ).

ال القيمة المتوقعة (أو يعني) (E lbrack X rbrack ) لمتغير عشوائي (X ) بوظيفة كثافة الاحتمال (f (x) ) هو

[E lbrack X rbrack ~ = ~ int _ {- infty} ^ { infty} x ؛ f (x) ~ dx ~. ] أظهر أن (E lbrack X rbrack = frac {1} { lambda} ) إذا كان (X ) به التوزيع الأسي بالمعامل ( lambda> 0 ).
ملاحظة: يمكن اعتبار القيمة المتوقعة على أنها المتوسط ​​المرجح لجميع القيم الممكنة لـ (X ) ، مع تحديد الأوزان بالاحتمالية. إنه مشابه لفكرة مركز الثقل.

[exer: normdist] المتغير العشوائي (X ) يقال أنه يحتوي على التوزيع الطبيعي إذا كانت دالة كثافة الاحتمال الخاصة بها (f (x) ) هي

[f (x) ~ = ~ frac {1} { sigma ، sqrt {2 pi}} ، e ^ { frac {(x- mu) ^ 2} {2 sigma ^ 2 }} quad text {for all $ x $} ] حيث ( sigma> 0 ) و ( mu ) ثوابت. هذا هو "منحنى الجرس" الشهير في الإحصاء.

  1. تحقق من (~ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) ~ dx = 1 ). (تلميح: استخدم مثال

    مثال ( PageIndex {1} ): intexpx2

    أضف نصًا هنا.

    حل

    واستبدال.)
  2. أظهر أن (E lbrack X rbrack = mu ).
  3. استخدم التكامل العددي لإظهار ذلك (P (-1

المتغير العشوائي (X ) له الامتداد توزيع بيتا إذا كانت دالة كثافة الاحتمال الخاصة بها (f (x) ) هي

[f (x) ~ = ~ begin {cases} ~ frac {1} {B (a، b)} ، x ^ {a-1} ، (1-x) ^ {b-1} & text {if $ ~ 0 le x le 1 $} ~ 0 & text {anywhere} end {cases} ] للثوابت الموجبة (a ) و (b ) ، أين (B (a، b) ) هي دالة بيتا. أظهر أن (E lbrack X rbrack = frac {a} {a + b} ).

بيّن أن أي قيمة بين (F (x) ) و (F (x + dx) ) للقوة التي تزيد عن ( ival {x} {x + dx} ) تعطي نفس الصيغة (d ! W = F (x) ، ، dx ) للعمل المنجز خلال تلك الفترة الزمنية. (تلميح: ضع في اعتبارك (F (x + alpha ، dx) ) من أجل (0 le alpha le 1 ).)

تنطلق قطرة ماء من الكتلة (M ) من السكون على ارتفاع كافٍ لتبخر القطرة تمامًا ، وتفقد الكتلة (م ) كل ثانية (أي بمعدل ثابت). تجاهل مقاومة الهواء ، وضح أن العمل المنجز بالجاذبية على القطرة لإكمال التبخر هو ( frac {g ^ 2 M ^ 2} {6 m ^ 2} ).

يرتبط هذا التمرين بقانون أينشتاين الشهير (E = mc ^ 2 ). ال الزخم النسبي (ع ) لجسيم الكتلة (م ) يتحرك بسرعة (ت ) على طول خط مستقيم (على سبيل المثال ، المحور (س )) هو

[p ~ = ~ dfrac {mv} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ~، ] حيث (c ) هي سرعة الضوء. ال القوة النسبية على الجسيم على طول هذا الخط

[F ~ = ~ dfrac {d ! p} { dt} ~ ، ] وهي نفس الصيغة مثل قانون نيوتن الثاني للحركة في الميكانيكا الكلاسيكية. افترض أن الجسيم يبدأ في وضع السكون (x_1 ) وينتهي عند الموضع (x_2 ) على طول (x ) - المحور. الشغل الذي تقوم به القوة (F ) على الجسيم هو:

[W ~ = ~ displaystyle int_ {x_1} ^ {x_2} ~ F ~ dx ~ = ~ displaystyle int_ {x_1} ^ {x_2} ~ dfrac {d ! p} { dt} ~ dx ]

  1. اظهر ذلك

    [ dfrac {d ! p} { dv} ~ = ~ dfrac {m} { left (1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2} right) ^ {3/2}} ~. ]

  2. استخدم صيغة قاعدة السلسلة

    [ dfrac {d ! p} { dt} ~ = ~ dfrac {d ! p} { dv} ؛ dfrac { dv} { dx} ؛ dfrac { dx} { dt} ] لإظهار ذلك

    [F ؛ dx ~ = ~ v ؛ dfrac {d ! p} { dv} ؛ dv ~. ]

  3. استخدم الجزأين (أ) و (ب) لإظهار ذلك

    [W ~ = ~ displaystyle int_ {0} ^ {v} ~ dfrac {d ! p} { dv} ؛ v ~ dv ~ = ~ displaystyle int_ {0} ^ {v} ~ dfrac {mv} { left (1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2} right) ^ {3/2}} ~ dv ~~. ]

  4. استخدم الجزء (ج) لإظهار ذلك

    [W ~ = ~ dfrac {mc ^ 2} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ؛ - ؛ mc ^ 2 ~. ]

  5. تحديد الطاقة الحركية النسبية (K ) من الجسيم ليكون (K = W ) ، وحدد إجمالي الطاقة (E ) ليكون

    [E = dfrac {mc ^ 2} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ~. ] لذا حسب الجزء (د) ، (K = E - mc ^ 2 ). اظهر ذلك

    [E ^ 2 ~ = ~ p ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ (mc ^ 2) ^ 2 ~. ] (تلميح: قم بتوسيع الجانب الأيمن من تلك المعادلة.)

  6. ما هو (E ) عندما يكون الجسيم في حالة سكون؟

أ الوسيط المثلث هو قطعة مستقيمة من الرأس إلى منتصف الضلع المقابل ، وتتقاطع المتوسطات الثلاثة عند نقطة مشتركة. أظهر أن هذه النقطة هي مركز ثقل المثلث.


في الرياضيات التطبيقيةوالإحصاء

الحدود في الرياضيات التطبيقية والإحصاء تنشر أبحاثًا خاضعة لاستعراض الأقران بدقة في المجالات متعددة التخصصات لكل من الرياضيات والإحصاءات التطبيقية والقابلة للتطبيق. بقيادة البروفيسور تشارلز ك.تشوي من جامعة هونغ كونغ المعمدانية وبدعم من هيئة تحرير بارزة من الباحثين الدوليين ، تعد هذه المجلة متعددة التخصصات ذات الوصول المفتوح في طليعة نشر ونقل المعرفة العلمية والاكتشافات المؤثرة إلى الأكاديميين والصناعة والجمهور في جميع أنحاء العالم.

مفهرسة في Web of Science: Emerging Sources Citation Index (ESCI) و Scopus.

اقرأ أكثر

تأثيرك مهم

تعكس أحدث مقاييس التأثير لدينا قوة البحث المفتوح للجميع. بفضل المؤلفين والمراجعين والمحررين لدينا لتسريع الاكتشاف العلمي وتطوير الحلول التي نحتاجها لحياة صحية على كوكب صحي.

مجلس التحرير

هذه المجلة ليس لها رؤساء تحرير.

مواضيع البحث


التخصصات

الرياضيات

  • الأتمتة الخلوية والأنظمة الديناميكية المنفصلة والشبكات المعقدة
  • الطرق الحسابية لحل النظم الجبرية والتفاضلية
  • التشفير
  • نظرية الرسم البياني ونظرية اللعبة الخوارزمية
  • نظرية المجموعة والحلقة
  • حوسبة موازية عالية الأداء
  • نظرية الموسيقى الرياضية
  • الفيزياء الرياضية والنسبية العامة
  • تعليم الرياضيات
  • التحليل الوظيفي غير الخطي وتطبيقات التحسين ،
    نظرية الألعاب والاقتصاد الرياضي والأنظمة التفاضلية
  • نظرية الاحتمالية والقياس
  • Solitons وتكامل المعادلات التفاضلية الجزئية
  • تطبيق تحليل التماثل والجبر الحاسوبي على اللاخطية
    المعادلات التفاضلية

الإحصاء (يشمل أيضًا علم البيانات)

  • طرق الاستدلال الإحصائي والتطبيقات
  • الأساليب والتطبيقات الحسابية على النماذج العشوائية
  • تقارب وكفاءة خوارزميات سلسلة ماركوف مونت كارلو
  • التعلم الالي
  • علم الأحياء / علم البيئة التنبؤي

الرياضيات والإحصاء

يقدم هذا القسم متطلبات البرامج في:

  • الرياضيات ب. الرياضيات. مرتبة الشرف
  • الرياضيات مع التركيز في Stochastics B. الرياضيات. مرتبة الشرف
  • الرياضيات الحسابية والتطبيقية والإحصاء مع التركيز ب. الرياضيات. مرتبة الشرف
  • التركيز في التحليل التطبيقي
  • التركيز في الإحصاء التطبيقي والاحتمالية
  • التركيز في الرياضيات المتقطعة
  • الإحصاء ب. الرياضيات. مرتبة الشرف
  • الإحصاء مع التركيز في العلوم الاكتوارية ب. الرياضيات. مرتبة الشرف
  • الرياضيات ب. الرياضيات.
  • الرياضيات الحاسوبية ب. الرياضيات.
  • الإحصاء ب. الرياضيات.
  • علوم الحاسب والرياضيات: التركيز في نظرية الحوسبة والطرق العددية B. الرياضيات. درجات الشرف المجمعة
  • علوم الحاسب والرياضيات: التركيز في الإحصاء والحوسبة B. الرياضيات. درجات الشرف المجمعة
  • الرياضيات والفيزياء بكالوريوس. مرتبة الشرف المزدوجة
  • الاقتصاد والرياضيات ب. الرياضيات. درجات الشرف المجمعة
  • الاقتصاد والإحصاء ب. الرياضيات. درجات الشرف المجمعة
  • الرياضيات (ماجستير في الرياضيات / ماجستير) ب.
  • الإحصاء (بكالوريوس رياضيات مجمعة / ماجستير).
  • ثانوي في الرياضيات
  • ثانوي في الإحصاء

متطلبات البرنامج

متطلبات الدورة

الدورات التالية مركزية ل B.Math. البرامج لها متطلبات درجات في متطلباتها المسبقة:

  • تتطلب MATH 2000 C + in (MATH 1002 (لم تعد متوفرة) أو MATH 2052) ، أو B + in (MATH 2007 أو MATH 1005) ، و C + in (MATH 1102 (لم تعد متوفرة) أو MATH 2152) ، أو B + in (MATH 1107 أو رياضيات 1104).
  • تتطلب MATH 2100 C + in (MATH 1102 (لم تعد متوفرة) أو MATH 2152) ، أو B + في MATH 2107.
  • تتطلب MATH 2454 C + in (MATH 1002 (لم تعد متوفرة) أو MATH 2052 أو MATH 2007 أو MATH 1005) ، و C + in (MATH 1102 (لم تعد متوفرة) أو MATH 2152 أو MATH 2107).
  • تتطلب STAT 2655 C + in (MATH 1002 (لم تعد متوفرة) أو MATH 2052 أو MATH 2007 أو MATH 1005) ، و C + in (MATH 1102 (لم تعد متوفرة) أو MATH 2152 أو MATH 1107 أو MATH 1104).
  • تتطلب MATH 2007 رياضيات 1004 أو C- in (MATH 1007 أو MATH 1009).
  • تتطلب الرياضيات 2107 رياضيات 1104 أو ج- في رياضيات 1107

فئات الدورة لـ B.Math. البرامج

الدورات المحظورة والمقيدة

  1. يمكن احتساب MATH 1805 / COMP 1805 فقط على أنها مادة اختيارية مجانية بنصف رصيد في برامج الرياضيات والإحصاء.
  2. قد لا يتم احتساب الدورات التالية للحصول على ائتمان أكاديمي (حتى كمواد اختيارية مجانية) في أي برنامج تقدمه مدرسة الرياضيات والإحصاء: BIOL 3604 ، COMS 3001 ، CRCJ 3001 ، ECON 1401 ، ECON 1402 ، ECON 2201 (لم يعد معروضًا) ، ECON 2202 (لم تعد متوفرة)، ECON 2210، ECON 2220، ECON 2400 (لم تعد متوفرة)، ECON 3001، ECON 4001، ECON 4002، ECON 4004، ECON 4025، ECON 4706، ECON 4707، ECON 4713، ECOR 2606، GEOG 2006، GEOG 3003، NEUR 2001، NEUR 2002، NEUR 3001، NEUR 3002، PSCI 2702، PSYC 2001، PSYC 2002، PSYC 3000 [1.0]، SOCI 3000، SOCI 3002، SOCI 4009، SOWK 3001، SYSC 2510.
    الطلاب الذين أكملوا ECON 2201 (لم يعد معروضًا) و ECON 2202 (لم يعد متاحًا) ويدخلوا B.Math. يمكن إعفاء البرنامج من أخذ STAT 2507 و STAT 2509 فقط بإذن من مدرسة الرياضيات والإحصاء ، بشرط أن تكون الدرجة في ECON 2201 (لم تعد متوفرة) و ECON 2202 (لم تعد متوفرة) هي B- أو أعلى في كل منهما.
  3. قد لا يتم احتساب BUSI 1402 و BUSI 2402 و COMP 1001 في برنامج B.Math أو علوم الكمبيوتر والرياضيات B.Math Combined Honours programme ، حتى لو كانت اختيارية مجانية.
  4. يمكن حساب واحدة فقط من MATH 3806 أو COMP 3806 (لم تعد متوفرة) أو COMP 3800 (لم تعد متوفرة) أو MATH 3800 للحصول على رصيد في B.Math. برنامج.

الرياضيات ب. الرياضيات. مرتبة الشرف (20.0 ساعة معتمدة)

الرياضيات مع التركيز في الاستوكاستك ب. الرياضيات. مرتبة الشرف (20.0 ساعة معتمدة)

يتم استبدال العناصر 3 و 4 و 5 و 6 في متطلبات درجة الرياضيات بما يلي:

الرياضيات الحسابية والتطبيقية والإحصاء مع التركيز ب- الرياضيات. مرتبة الشرف (20.0 ساعة معتمدة)

التركيز في التحليل التطبيقي (6.5 ساعة معتمدة)

التركيز في الإحصاء التطبيقي والاحتمالات (6.5 ساعة معتمدة)

التركيز في الرياضيات المتقطعة (6.5 ساعة معتمدة)

إحصائيات ب. الرياضيات. مرتبة الشرف (20.0 ساعة معتمدة)

الإحصاء مع التركيز في العلوم الاكتوارية ب. الرياضيات. مرتبة الشرف (20.0 ساعة معتمدة)

الرياضيات ب. الرياضيات. (15.0 ساعة معتمدة)

رياضيات الحاسوب ب. الرياضيات. (15.0 ساعة معتمدة)

إحصائيات ب. الرياضيات. (15.0 ساعة معتمدة)

علوم الحاسب والرياضيات: التركيز في نظرية الحوسبة والطرق العددية ب. الرياضيات. درجات الشرف المجمعة (20.0 ساعة معتمدة)

علوم الحاسب والرياضيات: التخصص في الإحصاء والحوسبة ب. الرياضيات. درجات الشرف المجمعة (20.0 ساعة معتمدة)

الرياضيات والفيزياء بكالوريوس. مرتبة الشرف المزدوجة (21.5 ساعة معتمدة)

لاحظ أن الدورات التالية لها حد أدنى من متطلبات الدرجات في متطلباتها الأساسية. راجع قسم متطلبات الدورة التدريبية ضمن أقسام برامج الرياضيات والإحصاء في التقويم.
MATH 2000 [1.0]التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وأساسيات التحليل
رياضيات 2100 [1.0]الجبر
MATH 2454 [0.5]المعادلات التفاضلية العادية (مع مرتبة الشرف)
STAT 2655 [0.5]مقدمة في الاحتمالية مع التطبيقات (مع مرتبة الشرف)
أ. الاعتمادات المدرجة في المعدل التراكمي الرئيسي (17.0 ساعة معتمدة)
1. 7.5 أرصدة في:7.5

الاقتصاد والرياضيات ب- الرياضيات. درجات الشرف المجمعة (20.0 ساعة معتمدة)

  1. يمكن كتابة مقال مرتبة الشرف (ECON 4908 [1.0]) من قبل الطلاب الحاصلين على CGPAS الكلي والرائد 9.50 أو أعلى. في الحالات التي يتم فيها الحصول على درجة B- أو أعلى في هذا المقال ، قد يتم احتسابها للحصول على 1.0 نقطة في ECON على مستوى 4000. يجب على الطلاب المؤهلين الذين يختارون متابعة خيار مقال مرتبة الشرف إكمال أولاً نشرة مقال مرتبة الشرف بما يرضي كل من مستشارهم والمشرف الجامعي في قسم الاقتصاد.
  2. لا يتم احتساب الدورات التالية للحصول على رصيد في هذا البرنامج: ECON 1401 ، ECON 1402 ، ECON 2201 (لم تعد متوفرة) ، ECON 2202 (لم تعد متوفرة) ، ECON 2210 ، ECON 2220 ، ECON 2400 (لم تعد متوفرة) ، ECON 3001 و ECON 4001 و ECON 4002 و ECON 4004 و ECON 4025 و ECON 4706 و ECON 4707 و ECON 4713.

الاقتصاد والإحصاء ب- الرياضيات. درجات الشرف المجمعة (20.0 ساعة معتمدة)

  1. يمكن كتابة مقال مع مرتبة الشرف ECON 4908 [1.0] من قبل الطلاب الحاصلين على معدل تراكمي عام وكبير 9.50 أو أعلى. في الحالات التي يتم فيها الحصول على درجة B- أو أعلى في هذا المقال ، قد يتم احتسابها للحصول على 1.0 نقطة في ECON على مستوى 4000. يجب على الطلاب المؤهلين الذين يختارون متابعة خيار مقال مرتبة الشرف إكمال أولاً نشرة مقال مرتبة الشرف بما يرضي كل من مستشارهم والمشرف الجامعي في قسم الاقتصاد.
  2. قد تحل MATH 2100 [1.0] محل MATH 3107 و 0.5 رصيد في المواد الاختيارية المجانية في هذا البرنامج.

متطلبات برنامج بكالوريوس الرياضيات المشتركة / ماجستير.

يجمع برنامج & quotfast-track & quot هذا بين متطلبات بكالوريوس الرياضيات في الرياضيات أو الإحصاء ، وماجستير العلوم في الرياضيات ، في تسلسل سيمكن الطلاب المتفوقين من إكمال الدراسة في أربع سنوات.

يتطلب الدخول إلى هذا البرنامج مباشرة من مدرسة ثانوية في أونتاريو كلا الأمرين التاليين:

  1. بمعدل 90 في المائة أو أفضل في الرياضيات للصف الثاني عشر: الوظائف المتقدمة والرياضيات للصف الثاني عشر: حساب التفاضل والتكامل والمتجهات
  2. بمعدل 85 في المائة أو أكثر من ستة اعتمادات في دورات الصف 12 من الجامعة أو الجامعة / الكلية.

يتطلب القبول والاستمرار والتخرج من الجزء الجامعي من البرنامج الحصول على معدل تراكمي رئيسي قدره 11.0 أو أفضل ، ومعدل تراكمي إجمالي 10.00 أو أفضل

قبل الالتحاق بالسنة الرابعة من هذا البرنامج ، يجب على الطلاب: الحصول على توصية من كلية الرياضيات والإحصاء للمتابعة ، والتقدم للتخرج بدرجة B.Math. في نهاية شهر يناير من عامهم الثالث ، وتقديم طلب للدراسات العليا إلى المدرسة بحلول منتصف فبراير.

جزء البكالوريوس

يمكن للطلاب التقدم للقبول إما في إصدارات الرياضيات أو الإحصاء من البرنامج.

الرياضيات (بكالوريوس رياضيات مجمعة / ماجستير) ب- الرياضيات. (15.0 ساعة معتمدة)

يجوز للطلاب الراغبين في التخصص في Stochastics ، بإذن من المدرسة ، استبدال الاعتمادات المدرجة في CGPA الرئيسية نسخة الرياضيات مع:

الإحصاء (بكالوريوس رياضيات مجمعة / ماجستير) ب- الرياضيات. (15.0 ساعة معتمدة)

جزء الخريجين - ماجستير.

خلال جزء التخرج من برنامج & quotfast-track & quot ، يتم تسجيل الطالب كطالب دراسات عليا ويتم تغطيته بموجب لوائح كلية الدراسات العليا.

ثانوي في الرياضيات (4.0 ساعات معتمدة)

هذا القاصر مفتوح للطلاب في جميع برامج البكالوريوس باستثناء برامج كلية الرياضيات والإحصاء.

ملاحظة: كشرط أساسي ، يفتح MATH 1800 المزيد من الخيارات عند مستوى 2000 وما فوق. من المستحسن أن يقوم الطلاب الذين يدرسون MATH 1800 بذلك في أقرب وقت ممكن.

ثانوي في الإحصاء (4.0 ساعات معتمدة)

هذا القاصر مفتوح للطلاب في جميع برامج البكالوريوس باستثناء برامج كلية الرياضيات والإحصاء.

دورات الرياضيات (MATH)

• راجع أيضًا قوائم الدورات التدريبية ضمن الإحصائيات (STAT) في هذا التقويم.

المتطلبات الأساسية لدورات السنة الأولى في الرياضيات ب. البرامج

يمكن للطلاب الذين ليس لديهم دورات الرياضيات المطلوبة للصف الثاني عشر في أونتاريو أو ما يعادلها أن يأخذوا الرياضيات التمهيدية رقم 0005: الدوال والرسوم البيانية و MATH 0006 Precalculus: الدوال المثلثية والأرقام المركبة بدلاً من الوظائف المتقدمة ، و MATH 0107 الجبر والهندسة بدلاً من مكون الجبر حساب التفاضل والتكامل والمتجهات. تعد دورات الرياضيات هذه ذات المستوى 0000 بمثابة متطلبات مسبقة بديلة للرياضيات 1052 حساب التفاضل والتكامل والتحليل التمهيدي 1 ورياضيات الجبر التمهيدي 1152. These courses would be in addition to the minimum 15.0 credits required for B.Math programs, or 20.0 credits required for B.Math Honours programs.

Includes: Experiential Learning Activity
Prerequisite(s): registration in the Co-operative Education Option of an Honours program offered by the School of Mathematics and Statistics, and permission of the School.

Includes: Experiential Learning Activity
Prerequisite(s): B.Math.(Honours) students only.

Prerequisite(s): B.Math.(Honours) students only.

Statistics (STAT) Courses

STAT� [0.5 credit]
Directed Studies (Honours)

Available only to Honours students whose program requires a 0.5 credit not offered by the School of Mathematics and Statistics.

STAT� [0.5 credit]
Directed Studies

Available only to students whose program requires a 0.5 credit not offered by the School of Mathematics and Statistics.

Summer session: some of the courses listed in this Calendar are offered during the summer. Hours and scheduling for summer session courses will differ significantly from those reported in the fall/winter Calendar. To determine the scheduling and hours for summer session classes, consult the class schedule at central.carleton.ca

Not all courses listed are offered in a given year. For an up-to-date statement of course offerings for the current session and to determine the term of offering, consult the class schedule at central.carleton.ca

Regulations

In addition to the program requirements described here and academic performance evaluation requirements listed below, students must satisfy the University regulations common to all undergraduate students (see the Academic Regulations section of this Calendar).

Students should consult with the School of Mathematics and Statistics when planning their program and selecting courses.

Academic Performance Evaluation for Bachelor of Mathematics

The standard procedures for Academic Performance Evaluation are followed with the following additions:

Good Standing at any Academic Performance Evaluation requires that the CGPA over the following courses be at least 7.00 for Honours programs and at least 5.00 for General programs:

MATH 1007 [0.5]Elementary Calculus I
or MATH 1004 [0.5] Calculus for Engineering or Physics
MATH 1107 [0.5]Linear Algebra I
or MATH 1104 [0.5] Linear Algebra for Engineering or Science
MATH 2007 [0.5]Elementary Calculus II
or MATH 1005 [0.5] Differential Equations and Infinite Series for Engineering or Physics
MATH 2107 [0.5]Linear Algebra II

B.Sc. Regulations

The regulations presented in this section apply to all Bachelor of Science programs. In addition to the requirements presented here, students must satisfy the University regulations common to all undergraduate students including the process of Academic Performance Evaluation (see the Academic Regulations of the University section of this Calendar).

Breadth Requirement for the B.Sc.

Students in a Bachelor of Science program must present the following credits at graduation:

  1. 2.0 credits in Science Continuation courses not in the major discipline students completing a double major are considered to have completed this requirement providing they have 2.0 credits in science continuation courses in each of the two majors
  2. 2.0 credits in courses outside of the faculties of Science and Engineering and Design (but may include NSCI 1000)

In most cases, the requirements for individual B.Sc. programs, as stated in this Calendar, contain these requirements, explicitly or implicitly.

Students admitted to B.Sc. programs by transfer from another institution must present at graduation (whether taken at Carleton or elsewhere):

  1. 2.0 credits in courses outside of the faculties of Science and Engineering and Design (but may include NSCI 1000) if, on transfer, the student received credit for fewer than 10.0 credits.
  2. 1.0 credit in courses outside of the faculties of Science and Engineering and Design (but may include NSCI 1000) if, on transfer, the student received credit for 10.0 or more credits.

Declared and Undeclared Students

Students who are registered in a program within the degree are called Declared students. Most students designate a program of study when they first apply for admission and so begin their studies as Declared students. Students may also choose to begin their studies within the B.Sc. degree without being registered in a program. These students are referred to as Undeclared students. The recommended course pattern for Undeclared students is provided in the Undeclared entry of the Programs section of this Calendar. Undeclared students normally must apply to enter a program before beginning their second year of study. The Science Student Success Centre (SSSC) provides Undeclared students guidance to the appropriate support services in making this decision.

Change of Program within the B.Sc. Degree

Students may transfer to a program within the B.Sc. degree if upon entry to the new program they would be in good academic standing.

Other applications for change of program will be considered on their merits students may be accepted in the new program in Good Standing or on Academic Warning.

Applications to declare or change their program within the B.Sc. Degree must be made online through Carleton Central by completing a Change of Program Elements (COPE) application form within the published deadlines. Acceptance into a program or into a program element or option is subject to any enrolment, and/or specific program, program element or option requirements as published in the relevant Calendar entry.

Minors, Concentrations and Specializations

Students may add a minor, concentration or specialization by completing a Change of Program Elements (COPE) application form online through Carleton Central. Acceptance into a minor, concentration or specialization requires that the student be in Good Standing and is subject to any specific requirements of the intended Minor, Concentration or Specialization as published in the relevant Calendar entry.

Experimental Science Requirement

Students in a B.Sc. degree program must present at graduation at least two full credits of experimental science chosen from two different departments or institutes from the list below:

Course Categories for B.Sc. Programs

Co-operative Education

For more information about how to apply for the Co-op program and how the Co-op program works please visit the Co-op website.

All students participating in the Co-op program are governed by the Undergraduate Co-operative Education Policy.

Undergraduate Co-operative Education Policy

متطلبات القبول

Students can apply to co-op in one of two ways directly from high school or after beginning a degree program at Carleton.

If a student is admitted to co-op from high school, their grades will be reviewed two terms to one year prior to their first work term to ensure they continue to meet the academic requirements after their 1st or 2nd year of study. The time at which evaluation takes place depends on the program of study. Students will automatically be notified via their Carleton email account if they are permitted to continue.

Students not admitted to Carleton University with the co-op option on their degree can apply for admission via the co-operative education program website. To view application deadlines, visit carleton.ca/co-op.

Admission to the co-op option is based on the completion of 5.0 or more credits at Carleton University, the CGPA requirement for the students' academic program as well as any course prerequisites. The articulated CGPA for each program is the normal standard for assessment. Please see the specific degree program sections for the unique admission and continuation requirements for each academic program.

Participation Requirements

COOP 1000

Once a student has been given admission or continuation confirmation to the co-op option s/he must complete and pass COOP 1000 (a mandatory online 0.0 credit course). Students will have access to this course a minimum of two terms prior to their first work term and will be notified when to register.

Communication with the Co-op Office

Students must maintain contact with the co-op office during their job search and while on a work term. All email communication will be conducted via the students' Carleton email account.

Employment

Although every effort is made to ensure a sufficient number of job postings for all students enrolled in the co-op option of their degree program, no guarantee of employment can be made. Carleton's co-op program operates a competitive job search process and is dependent upon current market conditions. Academic performance, skills, motivation, maturity, attitude and potential will determine whether a student is offered a job. It is the student's responsibility to actively conduct a job search in addition to participation in the job search process operated by the co-op office. Once a student accepts a co-op job offer (verbally or written), his/her job search will end and access to co-op jobs will be removed for that term. Students that do not successfully obtain a co-op work term are expected to continue with their academic studies. The summer term is the exception to this rule. Students should also note that hiring priority is given to Canadian citizens for co-op positions in the Federal Government of Canada.

Registering in Co-op Courses

Students will be registered in a Co-op Work Term course while at work. The number of Co-op Work Term courses that a student is registered in is dependent upon the number of four-month work terms that a student accepts.

While on a co-op work term students may take a maximum of 0.5 credit throughout each four-month co-op work term. Courses must be scheduled outside of regular working hours.

Students must be registered as full-time before they begin their co-op job search (2.0 credits). All co-op work terms must be completed before the beginning of the final academic term. Students may not finish their degree on a co-op work term.

Work Term Assessment and Evaluation

To obtain a Satisfactory grade for the co-op work term students must have:

  1. A satisfactory work term evaluation by the co-op employer
  2. A satisfactory grade on the work term report.

Students must submit a work term report at the completion of each four-month work term. Reports are due on the 16th of April, August, and December and students are notified of due dates through their Carleton email account.

Workplace performance will be assessed by the workplace supervisor. Should a student receive an unsatisfactory rating from their co-op employer, an investigation by the co-op program manager will be undertaken. An unsatisfactory employer evaluation does not preclude a student from achieving an overall satisfactory rating for the work term.

Graduation with the Co-op Designation

In order to graduate with the co-op designation, students must satisfy all requirements for their degree program in addition to the requirements according to each co-op program (i.e. successful completion of three or four work terms).

Note: Participation in the co-op option will add up to one additional year for a student to complete their degree program.

Voluntary Withdrawal from the Co-op Option

Students may withdraw from the co-op option of their degree program during a study term ONLY. Students at work may not withdraw from the work term or the co-op option until s/he has completed the requirements of the work term.

Students are eligible to continue in their regular academic program provided that they meet the academic standards required for continuation.

Involuntary or Required Withdrawal from the Co-op Option

Students may be required to withdraw from the co-op option of their degree program for one or any of the following reasons:

  1. Failure to achieve a grade of SAT in COOP 1000
  2. Failure to pay all co-op related fees
  3. Failure to actively participate in the job search process
  4. Failure to attend all interviews for positions to which the student has applied
  5. Declining more than one job offer during the job search process
  6. Continuing a job search after accepting a co-op position
  7. Dismissal from a work term by the co-op employer
  8. Leaving a work term without approval by the Co-op manager
  9. Receipt of an unsatisfactory work term evaluation
  10. Submission of an unsatisfactory work term report

Standing and Appeals

The Co-op and Career Services office administers the regulations and procedures that are applicable to all co-op program options. All instances of a student's failure during a work term or other issues directly related to their participation in the co-op option will be reported to the academic department.

Any decision made by the Co-op and Career Services office can be appealed via the normal appeal process within the University.

International Students

All International Students are required to possess a Co-op Work Permit issued by Immigration, Refugees and Citizenship Canada before they can begin working. It is illegal to work in Canada without the proper authorization. Students will be provided with a letter of support to accompany their application. Students must submit their application for their permit before being permitted to view and apply for jobs on the Co-op Services database. Confirmation of a position will not be approved until a student can confirm they have received their permit. Students are advised to discuss the application process and requirements with the International Student Services Office.

Bachelor of Mathematics Honours, Combined B.Math./M.Sc.: Co-op Admission and Continuation Requirements

  • Maintain full-time status in each study term (2.0 credits)
  • Be eligible to work in Canada (for off-campus work)
  • Have successfully completed COOP 1000 [0.0]

Students in any of these programs (excluding Biostatistics) must satisfy the following:

  1. Completion of 5.0 or more credits (at least 2.0 in Mathematics/Statistics) at Carleton in any Honours program (excluding Biostatistics), or the Combined B.Math./M.Sc. ("Fast Track") programs, offered by the School of Mathematics and Statistics
  2. A major CGPA of 8.00 or higher and an overall CGPA of 6.50 or higher

Students in the B.Math. (Combined Honours) Biostatistics program must satisfy the following:

  1. Full-time student in the B.Math. Biostatistics program
  2. An overall CGPA of 8.00 or higher
  3. Successfully completed all required first year courses before beginning the first work term
  4. Students must be eligible for third-year standing when they return for a study term after their first work term.


Students in these programs must successfully complete four (4) work terms to obtain the co-op designation.

Co-op Work Term Course: MATH 3999 or STAT 3999

Work/Study Pattern:

Year 1Year 2Year 3Year 4Year 5
مصطلحنمطمصطلحنمطمصطلحنمطمصطلحنمطمصطلحنمط
FallسFallسFallسFall*W/SFallس
WinterسWinterسWinterسWinter*W/SWinterس
Summer**O/WSummer*WSummerO/WSummerO/W

Legend
س
: Study
دبليو: Work
ا: Optional
* indicates recommended work study pattern
** student finds own employer for this work-term.

Admissions Information

Admission Requirements are for the 2021-22 year only, and are based on the Ontario High School System. Holding the minimum admission requirements only establishes eligibility for consideration. The cut-off averages for admission may be considerably higher than the minimum. See also the General Admission and Procedures section of this Calendar. An overall average of at least 70% is normally required to be considered for admission. Some programs may also require specific course prerequisites and prerequisite averages and/or supplementary admission portfolios. Higher averages are required for admission to programs for which the demand for places by qualified applicants exceeds the number of places available. The overall average required for admission is determined each year on a program by program basis. Consult admissions.carleton.ca for further details.

Note: Courses listed as recommended are not mandatory for admission. Students who do not follow the recommendations will not be disadvantaged in the admission process.

Degree

متطلبات القبول

B.Math Honours Program

First Year

The Ontario Secondary School Diploma (OSSD) or equivalent including a minimum of six 4U or M courses. The six 4U or M courses must include two prerequisite courses (Advanced Functions and Calculus and Vectors).

The overall admission cut-off average and/or the prerequisite course average may be considerably higher than the stated minimum requirements for admission to the combined B.Math/M.Sc in Mathematics or Statistics.

Advanced Standing

Applications for admission beyond first year will be assessed on their individual merits. Applicants must normally be in Good Standing (see Undergraduate Calendar Section 3.0 - Academic Regulations for Degree Students) for their year level. Advanced standing will be granted only for those subjects assessed as being appropriate for the program and the stream selected.

B.Math Program

First Year

The Ontario Secondary School Diploma (OSSD) or equivalent including a minimum of six 4U or M courses. The six 4U or M courses must include two prerequisite courses (Advanced Functions and Calculus and Vectors). Equivalent courses may be substituted between the old and new Ontario mathematics curriculum.

Advanced Standing

Applications for admission beyond first year will be assessed on their individual merits. Applicants must normally be in Good Standing (see Undergraduate Calendar Section 3.0 - Academic Regulations for Degree Students) for their year level. Advanced standing will be granted only for those subjects assessed as being appropriate for the program and the stream selected.

Co-op Option

Direct Admission to the First Year of the Co-op Option

  1. meet the required overall admission cut-off average and prerequisite course average. These averages may be higher than the stated minimum requirements
  2. be registered as a full-time student in the Bachelor of Mathematics Honours program
  3. be eligible to work in Canada (for off-campus work placements).

Meeting the above requirements only establishes eligibility for admission to the program. The prevailing job market (and thus the availability of co-op placement) may limit enrolment in the co-op option.

Note: continuation requirements for students previously admitted to the co-op option and admission requirements for the co-op option after beginning the program are described in the Co-operative Education Regulations section of this Calendar.

Admissions Information

Admission Requirements are for the 2021-22 year only, and are based on the Ontario High School System. Holding the minimum admission requirements only establishes eligibility for consideration. The cut-off averages for admission may be considerably higher than the minimum. See also the General Admission and Procedures section of this Calendar. An overall average of at least 70% is normally required to be considered for admission. Some programs may also require specific course prerequisites and prerequisite averages and/or supplementary admission portfolios. Higher averages are required for admission to programs for which the demand for places by qualified applicants exceeds the number of places available. The overall average required for admission is determined each year on a program by program basis. Consult admissions.carleton.ca for further details.

Note: Courses listed as recommended are not mandatory for admission. Students who do not follow the recommendations will not be disadvantaged in the admission process.

درجات

متطلبات القبول

B. Sc. Honours Program

First Year

The Ontario Secondary School Diploma (OSSD) or equivalent including a minimum of six 4U or M courses. For most programs including Biochemistry, Bioinformatics, Biotechnology, Chemistry, Combined Honours in Biology and Physics, Chemistry and Physics, Computational Biochemistry, Food Science, Nanoscience, Neuroscience, Neuroscience and Mental Health, and Psychology, the six 4U or M courses must include Advanced Functions and two of Biology, Chemistry, Earth and Space Sciences or Physics. (Calculus and Vectors is strongly recommended).

Specific Honours Admission Requirements

For the Honours programs in Earth Sciences, Environmental Science, Geomatics, Interdisciplinary Science and Practice, and Physical Geography, Calculus and Vectors may be substituted for Advanced Functions.

For the Honours programs in Physics and Applied Physics and for double Honours in Mathematics and Physics, Calculus and Vectors is required in addition to Advanced Functions and one of 4U Physics Chemistry, Biology, or Earth and Space Sciences. For all programs in Physics, 4U Physics is strongly recommended.

For the Combined Honours program in Chemistry and Computer Science, 4U Chemistry and Calculus and Vectors are strongly recommended.

For Honours in Psychology, a 4U course in English is recommended.

For Honours in Environmental Science, a 4U course in Biology and Chemistry is recommended.

Advanced Standing

For entry to an Honours program after the completion of 5.0 included credits, a student must have a major CGPA of 5.50 or higher, an overall CGPA of 4.50 or higher and the recommendation of the Honours department or committee. A student beginning the final 10.0 credits towards an Honours degree must present a major CGPA of 6.00 or higher, an overall CGPA of 5.00 or higher and the recommendation of the Honours department or committee. A student beginning the final 5.0 credits towards an Honours degree must present a major CGPA of 6.50 or higher and an overall CGPA of 5.00 or higher, as calculated for graduation. Advanced standing will be granted for studies undertaken elsewhere when these are recognized as the equivalent of subjects offered at Carleton University.

B.Sc. Major Program

B.Sc. Program

First Year

The Ontario Secondary School Diploma (OSSD) or equivalent including a minimum of six 4U or M courses. The six 4U or M courses must include Advanced Functions and two of Calculus and Vectors, Biology, Chemistry, Earth and Space Science or Physics (Calculus and Vectors is strongly recommended). For the B.Sc. Major in Physics. 4U Physics is strongly recommended. Equivalent courses may be substituted between the old and new Ontario mathematics curriculum.

Advanced Standing

For entry to a B.Sc. or B.Sc. Major program after the completion of 5.0 included credits, a student must have a major and core CGPA of 3.50 or higher and an overall CGPA of 3.50 or higher. A student beginning the final 5.0 credits towards a B.Sc. or B.Sc. Major degree must present a major and core CGPA of 4.00 or higher and an overall CGPA of 4.00 or higher, as calculated for graduation. Advanced standing will be granted for studies undertaken elsewhere when these are recognized as the equivalent of subjects offered at Carleton University.

Co-op Option

Direct Admission to the First Year of the Co-op Option

  1. meet the required overall admission cut-off average and prerequisite course average. These averages may be higher than the stated minimum requirements
  2. be registered as a full-time student in the Bachelor of Science Honours program
  3. be eligible to work in Canada (for off-campus work placements).

Note that meeting the above requirements only establishes eligibility for admission to the program. The prevailing job market may limit enrolment in the co-op option.

Note: continuation requirements for students previously admitted to the co-op option and admission requirements for the co-op option after beginning the program are described in the Co-operative Education Regulations section of this Calendar.


The project and dissertation is a pivotal element of the Honours year.

Your first task should be to find a supervisor and project you think will suit you.

Most staff work on a first-come-first-served basis, so we recommend you get in early.

While your Honours supervisor is your first contact when you have any issues, your project is ultimately your own responsibility and a degree of independence in your part is expected.

You should clarify early in the year the pattern of contact that you and your supervisor are going to have.

Support from your project supervisor includes:

  • Supervision meetings - student and supervisor usually meet weekly or fortnightly. Frequency of meetings increases as the project submission date approaches.
  • Reading of drafts - your supervisor will read a couple of drafts of your final dissertation providing you provide sufficient time for them - they may need three days to a week to read your draft and make comments.
  • Honours Seminar advice - your supervisor will provide advice for your Honours Seminar presentation in the Scientific Communication course.

Supervisors and project topics:

  • Snezhana Abarzhi: Applied Mathematics - applied analysis, partial differential equations, dynamical systems, data analysis Applied and Theoretical Physics - dynamics of plasmas, fluids, materials. Please see details of available projects here
  • Debora Correa: Music information retrieval with nonlinear time series analysis and complex networks. Please see details of available projects here
  • Neville Fowkes: Modelling industrial and scientific problems. Please see details of available projects here
  • Des Hill: Fluid mechanics, Differential equations, Dynamical systems
  • Jenny Hopwood: Atmospheric modelling
  • Thomas Jungling: Echo-state networks for nonlinear time-series analysis.Please see details of available projects here
  • Miccal Matthews: Theoretical mechanics
  • David Pfefferlé: Mathematical physics: applications of differential geometry, Lagrangian/Hamiltonian dynamics, reduction by symmetry (Lie-Poincaré) Numerical methods: symplectic and structure-preserving integrators, finite-element, particle-in-cell, Monte-Carlo Plasmas: Magneto-hydrodynamics, kinetic theories and collisional fluid closure
  • Leonardo Portes: Unveiling the hidden stories within data: nonlinear time series analysis, complex systems, big data visualisation.
  • Michael Small: Complex systems, dynamical systems, nonlinear time series analysis, complex engineering systems.Please see details of available projects here
  • Thomas Stemler: Complex systems, dynamical systems, nonlinear time series analysis
  • David Walker: Complex systems data analysis, applications of complex networks. Please see details of available projects here
  • Ayham Zaitouny: Positioning,navigating and tracking moving objects. Please see details of available projects here
  • John Bamberg: Please see details of available projects here
  • Alice Devillers: Permutation groups, graphs, geometries
  • Serena Dipierro: Mathematical analysis, partial differential equations, calculus of variations, nonlinear analysis, free boundary problems
  • Michael Giudici: Permutation groups,group theory,graph symmetry. Please see details of available projects here
  • Lyle Noakes: Applications of differential geometry
  • Cheryl Praeger: Group Theory, geometry and combinatorics
  • Gordon Royle: Algebra, geometry, graph theory
  • Phil Schultz: Algebra, history of mathematics
  • Luchezar Stoyanov: Fractal geometry, topological dynamics, differential dynamics and inverse spectral problems
  • Enrico Valdinoci: Partial differential equations, nonlocal equations, free boundary problems, dynamical systems, atom dislocation in crystals, mathematical biology, differential geometry
  • Ed Cripps: Bayesian statistics, computational statistics, mixture models, model uncertainty
  • Nazim Khan: Probability and stochastic processes, Medical and Biological statistics, Mathematics education. Please see details of available projects here
  • John Lau: Bayesian statistics, computational statistics, mixture models, Time series
  • Robin Milne: Stochastic processes, statistical inference, industrial statistics, history of probability and statistics
  • Gopal Nair: Stochastic Modelling, Queuing theory, Spatial point processes, Probability Theory
  • Tony Pakes: Probability and stochastic processes
  • Adriano Polpo: Bayesian methods Functional data analysis Hypothesis test (multi)bivariate data Regression models (Categorical, Longitudina, Nonlinear, Penalised, Quantile) Reliability theory (survival analysis) Semiparametric models Time series
  • Berwin Turlach: Computational statistics, smoothing techniques, model selection

Project and supervisor selected Week 1 of your first semester

Submission of dissertation Week 11 of your second semester (New courses) Seminars in Week 12 or Week 13 of your second semester

FURTHER INFORMATION

In the rare event in which a student perceives there to be a problem with the supervision, consult either the Honours Co-ordinator or the Head of Departement immediately.

HONOURS CO-ORDINATOR


Core Courses

  • APMA E4001: Principles of applied mathematics
  • APMA E4101: Introduction to dynamical systems
  • APMA E4150: Applied functional analysis
  • APMA E4200: Partial differential equations
  • APMA E4204: Functions of a complex variable
  • APMA E4300: Introduction to numerical methods
  • APMA E4301: Numerical methods for partial differential equations
  • APMA E6301: Analytic methods for partial differential equations
  • APMA E6302: Numerical analysis for partial differential equations
  • Students must also take a required Research Seminar course, APMA E6100 x or y

Importance of Statistics in Different Fields

Statistics plays a vital role in every field of human activity. Statistics helps in determining the existing position of per capita income, unemployment, population growth rates, housing, schooling medical facilities, etc., in a country.

Now statistics holds a central position in almost every field, including industry, commerce, trade, physics, chemistry, economics, mathematics, biology, botany, psychology, astronomy, etc., so the application of statistics is very wide. Now we shall discuss some important fields in which statistics is commonly applied.

Statistics plays an important role in business. A successful businessman must be very quick and accurate in decision making. He knows what his customers want he should therefore know what to produce and sell and in what quantities.

Statistics helps businessmen to plan production according to the taste of the customers, and the quality of the products can also be checked more efficiently by using statistical methods. Thus, it can be seen that all business activities are based on statistical information. Businessmen can make correct decisions about the location of business, marketing of the products, financial resources, etc.

(2) Economics

Economics largely depends upon statistics. National income accounts are multipurpose indicators for economists and administrators, and statistical methods are used to prepare these accounts. In economics research, statistical methods are used to collect and analyze the data and test hypotheses. The relationship between supply and demand is studied by statistical methods imports and exports, inflation rates, and per capita income are problems which require a good knowledge of statistics.

(3) Mathematics

Statistics plays a central role in almost all natural and social sciences. The methods used in natural sciences are the most reliable but conclusions drawn from them are only probable because they are based on incomplete evidence.

Statistics helps in describing these measurements more precisely. Statistics is a branch of applied mathematics. A large number of statistical methods like probability averages, dispersions, estimation, etc., is used in mathematics, and different techniques of pure mathematics like integration, differentiation and algebra are used in statistics.

Statistics plays an important role in banking. Banks make use of statistics for a number of purposes. They work on the principle that everyone who deposits their money with the banks does not withdraw it at the same time. The bank earns profits out of these deposits by lending it to others on interest. Bankers use statistical approaches based on probability to estimate the number of deposits and their claims for a certain day.

(5) State Management (Administration)

Statistics is essential to a country. Different governmental policies are based on statistics. Statistical data are now widely used in making all administrative decisions. Suppose if the government wants to revise the pay scales of employees in view of an increase in the cost of living, and statistical methods will be used to determine the rise in the cost of living. The preparation of federal and provincial government budgets mainly depends upon statistics because it helps in estimating the expected expenditures and revenue from different sources. So statistics are the eyes of the administration of the state.

(6) Accounting and Auditing

Accounting is impossible without exactness. But for decision making purposes, so much precision is not essential the decision may be made on the basis of approximation, know as statistics. The correction of the values of current assets is made on the basis of the purchasing power of money or its current value.

In auditing, sampling techniques are commonly used. An auditor determines the sample size to be audited on the basis of error.

(7) Natural and Social Sciences

Statistics plays a vital role in almost all the natural and social sciences. Statistical methods are commonly used for analyzing experiments results, and testing their significance in biology, physics, chemistry, mathematics, meteorology, research, chambers of commerce, sociology, business, public administration, communications and information technology, etc.

(8) Astronomy

Astronomy is one of the oldest branches of statistical study it deals with the measurement of distance, and sizes, masses and densities of heavenly bodies by means of observations. During these measurements errors are unavoidable, so the most probable measurements are found by using statistical methods.

Example: This distance of the moon from the earth is measured. Since history, astronomers have been using statistical methods like method of least squares to find the movements of stars.

3 Comments

sana
February 24 @ 8:42 pm

there is no explanation about role of statistics in botany

Muhammad hamza
August 28 @ 10:17 am

Give a account of the importance of statistics in different fields (10+10)

Gul e Arzoo
March 26 @ 4:01 pm

Applications of statistics in international relations? Can any one please give material to this topic?


E-learning unit

We specialise in researching, developing and implementing e-learning and e-assessment. Most notably we developed Numbas.

Outreach

Our events are aimed at promoting the study of mathematics, statistics and physics at A Level and beyond.

Equality, diversity and inclusion

We're committed to pursuing equality of opportunity. We support all under-represented groups. We promote an inclusive culture that values diversity.


An appeal

As we all know India is passing through one of its darkest hours in recent times. Hundreds of thousands of our fellow citizens are falling prey to a deadly disease every day, and death is knocking at the doors of thousands of households. Desperate families are praying for the lives of their dear ones in every corner of the country. There is hardly a person who is untouched by grief at the loss of a parent, a child, a relative, a neighbour, a colleague, or a friend. Millions are enduring hardship due to loss of livelihood.

This is a time to stand strong and united as a nation, fight this pandemic and help each other overcome this nightmare. This is also a time to be clear about our priorities. The Olympiad programme is important to HBCSE and our colleagues elsewhere, as much as it is an aspiration for thousands of students across the nation. For more than twenty years, HBCSE has nurtured this programme with care, and is aware of the responsibility vested in it in this matter. For us, the topmost priority for the Olympiad programme has been to ensure the integrity, fairness and quality of the selection and training and to offer the best opportunities to the academically most deserving students.

During the past year, no effort has been spared to keep the programme running in the midst of a severe pandemic and consequent lockdown conditions. HBCSE aims to make it possible for deserving students to participate in the international Olympiads of 2021. This effort will continue to the maximum extent possible without endangering the health and safety of all concerned. Several special measures to adapt to the situation have already been taken, and more may be necessary in the coming days. These decisions are being taken after due deliberation at various levels, and are informed by past experience and realistic assessments of the prevailing conditions in the country.

We reiterate that at this time, the overwhelming priority is the safety and health of, first and foremost, the student participants in the Olympiad programme. The Government authorities associated with the Olympiad programme have repeatedly conveyed to us this priority, which we wholeheartedly accept.

We are well aware of the dreams of students regarding the Olympiads, and we are also appreciative of the hard work that they have put in to realise those dreams. At the same time, we cannot set aside the concerns about safety and health, which are paramount. The Olympiads are to be seen in the overall national context, and not merely as an arena for showcasing the talents of young students. It must be borne in mind that academic competitions, for all the glory and the benefits to one’s career they might bring, cannot be of greater importance than human life itself. We cannot compromise on our social responsibilities as citizens of India and compassionate human beings.

The programme will go on, guided strongly by considerations of safety and well-being of all participants. At the same time, the measures that we adopt will be aimed at ensuring integrity and fairness, and an equal opportunity for all students to compete. We appeal to all concerned for cooperation, understanding and trust in the fairness of the decisions taken by HBCSE.


Other Popular Topics

What a Boxplot Can Tell You about a Statistical Da.

Box-and-Whisker Charts for Excel

Business Statistics For Dummies Cheat Sheet

How to Find a Percentile for a Normal Distribution

Statistics For Dummies Cheat Sheet

How to Identify Skew and Symmetry in a Statistical.

How to Interpret a Scatterplot

Creating a Confidence Interval for the Difference.

How to Find Statistical Probabilities in a Normal.

Dummies has always stood for taking on complex concepts and making them easy to understand. تساعد الدمى الجميع على أن يكونوا أكثر دراية وثقة في تطبيق ما يعرفونه. سواء كان ذلك لاجتياز هذا الاختبار الكبير ، أو التأهل لهذا العرض الترويجي الكبير ، أو حتى إتقان أسلوب الطهي الذي يعتمد عليه الأشخاص الذين يعتمدون على الدمى ، يعتمدون عليها لتعلم المهارات الهامة والمعلومات ذات الصلة اللازمة للنجاح.

حقوق النشر © 2021 & Trademark by John Wiley & Sons، Inc. جميع الحقوق محفوظة.


شاهد الفيديو: تطبيق فيزيكا ماستر يساعد على الحل السريع لتمارين الفيزياء (شهر اكتوبر 2021).