مقالات

5.5E: تمارين للقسم 5.5 - الرياضيات


1) لماذا (u ) - يشار إلى الاستبدال باسم أ تغيير المتغير?

2) إذا (f = g∘h ) ، عند عكس قاعدة السلسلة ، ( dfrac {d} {dx} (g∘h) (x) = g ′ (h (x)) h ′ (x ) ) ، هل يجب أن تأخذ (u = g (x) ) أو (u = h (x)؟ )

إجابه
(ش = ح (س) )

في التدريبات من 3 إلى 7 ، تحقق من كل هوية باستخدام التمايز. بعد ذلك ، باستخدام الاستبدال المشار إليه ، حدد (f) بحيث يأخذ التكامل الشكل (displaystyle∫f (u) du.)

3) ( displaystyle ∫x sqrt {x + 1} ، dx = frac {2} {15} (x + 1) ^ {3/2} (3x − 2) + C؛ quad u = س + 1 )

4) ( displaystyle∫ frac {x ^ 2} { sqrt {x − 1}} ، dx = frac {2} {15} sqrt {x − 1} (3x ^ 2 + 4x + 8 ) + C، quad (x> 1)؛ quad u = x − 1 )

إجابه
(f (u) = dfrac {(u + 1) ^ 2} { sqrt {u}} )

5) ( displaystyle∫x sqrt {4x ^ 2 + 9} ، dx = frac {1} {12} (4x ^ 2 + 9) ^ {3/2} + C؛ quad u = 4x ^ 2 + 9 )

6) ( displaystyle∫ frac {x} { sqrt {4x ^ 2 + 9}} ، dx = frac {1} {4} sqrt {4x ^ 2 + 9} + C؛ quad u = 4x ​​^ 2 + 9 )

إجابه
(du = 8x ، dx؛ quad f (u) = frac {1} {8 sqrt {u}} )

7) ( displaystyle∫ frac {x} {(4x ^ 2 + 9) ^ 2} ، dx = - frac {1} {8 (4x ^ 2 + 9)} + C؛ quad u = 4x ^ 2 + 9 )

في التمارين 8 - 17 ، أوجد المشتق العكسي باستخدام التعويض المشار إليه.

8) (displaystyle∫ (x + 1) ^ 4، dx؛ quad u = x + 1)

إجابه
( displaystyle∫ (x + 1) ^ 4 ، dx = frac {1} {5} (x + 1) ^ 5 + C )

9) (displaystyle∫ (x − 1) ^ 5، dx؛ quad u = x − 1)

10) ( displaystyle∫ (2x − 3) ^ {- 7} ، dx؛ quad u = 2x − 3 )

إجابه
( displaystyle∫ (2x − 3) ^ {- 7} ، dx = - frac {1} {12 (2x − 3) ^ 6} + C )

11) ( displaystyle∫ (3x − 2) ^ {- 11} ، dx؛ quad u = 3x − 2 )

12) ( displaystyle∫ frac {x} { sqrt {x ^ 2 + 1}} ، dx؛ quad u = x ^ 2 + 1 )

إجابه
( displaystyle∫ frac {x} { sqrt {x ^ 2 + 1}} ، dx = sqrt {x ^ 2 + 1} + C )

13) ( displaystyle∫ frac {x} { sqrt {1 − x ^ 2}} ، dx؛ quad u = 1 − x ^ 2 )

14) ( displaystyle∫ (x − 1) (x ^ 2−2x) ^ 3 ، dx؛ quad u = x ^ 22x )

إجابه
( displaystyle∫ (x − 1) (x ^ 2−2x) ^ 3 ، dx = frac {1} {8} (x ^ 2−2x) ^ 4 + C )

15) ( displaystyle∫ (x ^ 2−2x) (x ^ 3−3x ^ 2) ^ 2 ، dx؛ quad u = x ^ 3 = 3x ^ 2 )

16) (displaystyle∫ cos ^ 3 θ، dθ؛ quad u = sin θ) (تلميح: (cos ^ 2 θ = 1− sin ^ 2 θ))

إجابه
( displaystyle∫ cos ^ 3 θ ، dθ = sin θ− dfrac { sin ^ 3 θ} {3} + C )

17) (displaystyle ∫ sin ^ 3 θ، dθ؛ quad u = cos θ) (تلميح: (sin ^ 2 θ = 1− cos ^ 2θ))

في التدريبات 18 - 34 ، استخدم تغييرًا مناسبًا للمتغيرات لتحديد التكامل غير المحدد.

18) ( displaystyle∫x (1 − x) ^ {99} ، dx )

إجابه
( begin {align *} displaystyle∫x (1 − x) ^ {99} ، dx & = frac {(1 − x) ^ {101}} {101} - frac {(1 − x ) ^ {100}} {100} + C [4pt]
& = - frac {(1-x) ^ {100}} {10100} big [100x + 1 big] + C end {align *} )

19) ( displaystyle∫t (1 − t ^ 2) ^ {10} dt )

20) ( displaystyle∫ (11x − 7) ^ {- 3} ، dx )

إجابه
( displaystyle∫ (11x − 7) ^ {- 3} ، dx = - frac {1} {22 (11x − 7) ^ 2} + C )

21) (displaystyle∫ (7x − 11) ^ 4 ، dx)

22) (displaystyle∫ cos ^ 3 θ sin θ، dθ)

إجابه
( displaystyle∫ cos ^ 3 θ sin θ ، dθ = - frac { cos ^ 4 θ} {4} + C )

23) (displaystyle∫ sin ^ 7 θ cos θ، dθ)

24) (displaystyle∫ cos ^ 2 (πt) sin (πt) ، dt)

إجابه
( displaystyle∫ cos ^ 2 (πt) sin (t) ، dt = - frac {cos ^ 3 (πt)} {3π} + C )

25) ( displaystyle∫ sin ^ 2 x cos ^ 3 x ، dx ) (تلميح: ( sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 ))

26) (displaystyle∫t sin (t ^ 2) cos (t ^ 2) ، dt)

إجابه
( displaystyle∫t sin (t ^ 2) cos (t ^ 2) ، dt = - frac {1} {4} cos ^ 2 (t ^ 2) + C )

27) ( displaystyle∫t ^ 2 cos ^ 2 (t ^ 3) sin (t ^ 3) ، dt )

28) ( displaystyle∫ frac {x ^ 2} {(x ^ 3−3) ^ 2} ، dx )

إجابه
( displaystyle∫ frac {x ^ 2} {(x ^ 3−3) ^ 2} ، dx = - frac {1} {3 (x ^ 3−3)} + C )

29) ( displaystyle∫ frac {x ^ 3} { sqrt {1 − x ^ 2}} ، dx )

30) ( displaystyle∫ frac {y ^ 5} {(1 − y ^ 3) ^ {3/2}} ، dy )

إجابه
( displaystyle∫ frac {y ^ 5} {(1 − y ^ 3) ^ {3/2}} ، dy = - frac {2 (y ^ 3−2)} {3 sqrt {1 −y ^ 3}} + C )

31) ( displaystyle∫ cos θ (1− cos θ) ^ {99} sin θ ، dθ )

32) ( displaystyle∫ (1 ^ cos ^ 3 θ) ^ {10} cos ^ 2 θ sin θ ، dθ )

إجابه
( displaystyle∫ (1− cos ^ 3 θ) ^ {10} cos ^ 2 θ sin θ ، dθ = frac {1} {33} (1− cos ^ 3 θ) ^ {11 } + C )

33) (displaystyle∫ (cos θ − 1) (cos ^ 2 θ − 2 cos θ) ^ 3 sin θ، dθ)

34) ( displaystyle∫ ( sin ^ 2 θ − 2 sin θ) ( sin ^ 3 θ − 3 sin ^ 2 θ) ^ 3 cos θ ، dθ )

إجابه
( displaystyle∫ ( sin ^ 2 θ − 2 sin θ) ( sin ^ 3 θ − 3 sin ^ 2 θ) ^ 3 cos θ ، dθ = frac {1} {12} ( الخطيئة ^ 3 θ − 3 sin ^ 2 θ) ^ 4 + C )

في التدريبات 35 - 38 ، استخدم الآلة الحاسبة لتقدير المساحة الواقعة أسفل المنحنى باستخدام مجموع ريمان الأيسر مع 50 حدًا ، ثم استخدم التعويض لإيجاد الإجابة الدقيقة.

35) [T] (y = 3 (1 − x) ^ 2 ) على ([0،2] )

36) [T] (y = x (1 − x ^ 2) ^ 3 ) على ([- 1،2] )

إجابه
(L_ {50} = - 8.5779. ) المنطقة الدقيقة هي ( frac {−81} {8} ) وحدة (^ 2 ).

37) [T] (y = sin x (1− cos x) ^ 2 ) over ([0، π] )

38) [T] (y = dfrac {x} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} ) على ([- 1،1] )

إجابه
(L_ {50} = - 0.006399 ). المنطقة بالضبط هي 0.

في التدريبات 39 - 44 ، استخدم تغيير المتغيرات لتقويم التكامل المحدد.

39) ( displaystyle∫ ^ 1_0x sqrt {1 − x ^ 2} ، dx )

40) ( displaystyle∫ ^ 1_0 frac {x} { sqrt {1 + x ^ 2}} ، dx )

إجابه
( displaystyle u = 1 + x ^ 2، quad du = 2x ، dx، quad _ ^ 1_0 frac {x} { sqrt {1 + x ^ 2}} ، dx = frac {1 } {2} ∫ ^ 2_1u ^ {- 1/2} du = sqrt {2} −1 )

41) ( displaystyle∫ ^ 2_0 frac {t} { sqrt {5 + t ^ 2}} ، dt )

42) ( displaystyle∫ ^ 1_0 frac {t ^ 2} { sqrt {1 + t ^ 3}} ، dt )

إجابه
( displaystyle u = 1 + t ^ 3، quad du = 3t ^ 2، quad ∫ ^ 1_0 frac {t ^ 2} { sqrt {1 + t ^ 3}} ، dt = frac { 1} {3} ∫ ^ 2_1u ^ {- 1/2} du = frac {2} {3} ( sqrt {2} −1) )

43) ( displaystyle∫ ^ {π / 4} _0 sec ^ 2 θ tan θ ، dθ )

44) ( displaystyle∫ ^ {π / 4} _0 frac { sin θ} { cos ^ 4 θ} ، dθ )

إجابه
( displaystyle u = cos θ، quad du = - sin θ ، dθ، quad int ^ {π / 4} _0 frac { sin θ} { cos ^ 4 θ} ، dθ = -∫_1 ^ { sqrt {2} / 2} u ^ {- 4} ، du = ∫ ^ 1 _ { sqrt {2} / 2} u ^ {- 4} ، du = frac {1 } {3} (2 sqrt {2} −1) )

في التدريبات 45-50 ، احسب التكامل غير المحدد ( displaystyle ∫f (x) ، dx ) مع ثابت (C = 0 ) باستخدام (u) - الاستبدال. بعد ذلك ، ارسم الدالة والمشتقات العكسية بيانيًا خلال الفترة المشار إليها. إن أمكن ، قم بتقدير قيمة (C ) التي يجب إضافتها إلى المشتق العكسي لجعلها مساوية للتكامل المحدد ( displaystyle F (x) = ∫ ^ x_af (t) ، dt ) ، بنقطة النهاية اليسرى للفاصل الزمني المحدد.

45) [T] ( displaystyle∫ (2x + 1) e ^ {x ^ 2 + x − 6} ، dx ) over ([- 3،2] )

46) [T] ( displaystyle∫ frac { cos ( ln (2x))} {x} ، dx ) on ([0،2] )

إجابه

المشتق العكسي هو (y = sin ( ln (2x)) ). نظرًا لأن المشتق العكسي ليس مستمرًا عند (x = 0 ) ، لا يمكن للمرء العثور على قيمة C التي تجعل (y = sin ( ln (2x)) - C ) يعمل كتكامل محدد.

47) [T] ( displaystyle ∫ frac {3x ^ 2 + 2x + 1} { sqrt {x ^ 3 + x ^ 2 + x + 4}} ، dx ) over ([- 1، 2] )

48) [T] ( displaystyle ∫ frac { sin x} { cos ^ 3x} ، dx ) over ( left [- frac {π} {3}، frac {π} { 3} حق] )

إجابه

المشتق العكسي هو (y = frac {1} {2} sec ^ 2 x ). يجب أن تأخذ (C = −2 ) بحيث (F (- frac {π} {3}) = 0. )

49) [T] ( displaystyle ∫ (x + 2) e ^ {- x ^ 2−4x + 3} ، dx ) over ([- 5،1] )

50) [T] ( displaystyle ∫3x ^ 2 sqrt {2x ^ 3 + 1} ، dx ) over ([0،1] )

إجابه

المشتق العكسي هو (y = frac {1} {3} (2x ^ 3 + 1) ^ {3/2} ). يجب على المرء أن يأخذ (C = - frac {1} {3} ).

51) إذا (h (a) = h (b)) in ( displaystyle ∫ ^ b_ag '(h (x)) h (x) ، dx ، ) ماذا يمكنك أن تقول عن قيمة متكامل؟

52) هل التعويض (u = 1 − x ^ 2 ) في التكامل المحدد ( displaystyle ∫ ^ 2_0 frac {x} {1 − x ^ 2} ، dx ) مقبول؟ إذا لم يكن كذلك ، فلماذا؟

إجابه
لا ، لأن المُتكامل غير مستمر عند (x = 1 ).

في التدريبات من 53 إلى 59 ، استخدم تغيير المتغيرات لتوضيح أن كل تكامل محدد يساوي صفرًا.

53) (displaystyle ∫ ^ π_0 cos ^ 2 (2θ) sin (2θ) ، dθ)

54) (displaystyle ∫ ^ sqrt {π} _0t cos (t ^ 2) sin (t ^ 2) ، dt)

إجابه
(u = sin (t ^ 2)؛ ) يصبح التكامل ( displaystyle frac {1} {2} ∫ ^ 0_0u ، du. )

55) (displaystyle ∫ ^ 1_0 (1−2t) ، dt)

56) ( displaystyle ∫ ^ 1_0 frac {1−2t} {1+ (t− frac {1} {2}) ^ 2} ، dt )

إجابه
(u = 1 + (t− frac {1} {2}) ^ 2؛) يصبح التكامل ( displaystyle −∫ ^ {5/4} _ {5/4} frac {1} { u} ، du ).

57) ( displaystyle ∫ ^ π_0 sin left ( left (t− tfrac {π} {2} right) ^ 3 right) cos left (t− tfrac {π} {2} حق) ، دت )

58) (displaystyle ∫ ^ 2_0 (1 − t) cos (πt) ، dt)

إجابه
(u = 1 − t؛ ) بما أن التكامل فردي ، يصبح التكامل
[∫ ^ {- 1} _1u cos big (π (1 − u) big) ، du = ∫ ^ {- 1} _1u [ cos π cos u− sin π sin u] ، du = −∫ ^ {- 1} _1u cos u ، du = ∫ _ {- 1} ^ 1u cos u ، du = 0 nonumber ]

59) ( displaystyle ∫ ^ {3π / 4} _ {π / 4} sin ^ 2 t cos t ، dt )

60) أظهر أن متوسط ​​قيمة (f (x) ) خلال فترة ([a، b] ) هو نفس متوسط ​​قيمة (f (cx) ) خلال الفترة ( يسار [ frac {a} {c} ، frac {b} {c} right] ) لـ (c> 0. )

إجابه
الإعداد (u = cx ) و (du = c ، dx ) يجعلك ( displaystyle frac {1} { frac {b} {c} - frac {a} {c}} ∫ ^ {b / c} _ {a / c} f (cx) ، dx = frac {c} {b − a} ∫ ^ {u = b} _ {u = a} f (u) frac { du} {c} = frac {1} {b − a} ∫ ^ b_af (u) ، du. )

61) ابحث عن المنطقة أسفل الرسم البياني (f (t) = dfrac {t} {(1 + t ^ 2) ^ a} ) بين (t = 0 ) و (t = x ) حيث (a> 0 ) و (a ≠ 1 ) ثابت ، وتقييم الحد كـ (x → ∞ ).

62) ابحث عن المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني (g (t) = dfrac {t} {(1 − t ^ 2) ^ a} ) بين (t = 0 ) و (t = x ) ، حيث تم إصلاح (0 0 ). احسب النهاية كـ (x → 1 ).

إجابه
( displaystyle ∫ ^ x_0g (t) ، dt = frac {1} {2} ∫ ^ 1_ {u = 1 − x ^ 2} frac {du} {u ^ a} = frac {1} {2 (1 − a)} u ^ {1 − a} ∣1u = frac {1} {2 (1 − a)} (1− (1 − x ^ 2) ^ {1 − a}) ) نظرًا لأن (x → 1 ) فإن الحد هو ( dfrac {1} {2 (1 − a)} ) إذا (a <1 ) ، ويتباعد الحد إلى (+ ∞ ) إذا (أ> 1 ).

63) يمكن التعبير عن مساحة نصف دائرة نصف قطر (1 ) بالصيغة ( displaystyle ∫ ^ 1 _ {- 1} sqrt {1 − x ^ 2} ، dx ). استخدم التعويض (x = cos t ) للتعبير عن مساحة نصف دائرة على أنها جزء لا يتجزأ من دالة مثلثية. لا تحتاج لحساب التكامل.

64) مساحة النصف العلوي من القطع الناقص مع محور رئيسي هو (س ) - المحور من (س = −1 ) إلى أ ومحور ثانوي هو (ص ) - يمكن كتابة المحور من (y = −b ) إلى (y = b ) كـ ( displaystyle ∫ ^ a _ {- a} b sqrt {1− frac {x ^ 2} {a ^ 2 }} ، dx ). استخدم التعويض (x = a cos t ) للتعبير عن هذه المنطقة من حيث تكامل الدالة المثلثية. لا تحتاج لحساب التكامل.

إجابه
( displaystyle ∫ ^ {t = 0} _ {t = π} ب sqrt {1− cos ^ 2 t} × (−a sin t) ، dt = ∫ ^ {t = π} _ { ر = 0} أب الخطيئة ^ 2 t ، دت )

65) [T] الرسم البياني التالي هو دالة على الشكل (f (t) = a sin (nt) + b sin (mt) ). تقدير المعاملات (أ ) و (ب ) ومعلمات التردد (n ) و (م ). استخدم هذه التقديرات لتقريب ( displaystyle ∫ ^ π_0f (t) ، dt ).

66) [T] الرسم البياني التالي هو دالة على الشكل (f (x) = a cos (nt) + b cos (mt) ). استخدم هذه التقديرات لتقريب ( displaystyle ∫ ^ π_0f (t) ، dt. )

إجابه
(f (t) = 2 cos (3t) - cos (2t)؛ quad displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 (2 cos (3t) - cos (2t)) dt = - frac {2} {3} )

أسئلة ممارسة SAT - الهندسة

بالإضافة إلى الأسئلة في قلب الجبر وحل المشكلات وتحليل البيانات وجواز السفر إلى الرياضيات المتقدمة ، سيحتوي اختبار SAT للرياضيات على أسئلة من مجالات الهندسة وعلم المثلثات والأرقام المركبة.

ستوضح لك مقاطع الفيديو والحلول التالية كيفية حل مجموعة متنوعة من المشكلات الهندسية لـ SAT المعاد تصميمه الجديد.

الهندسة
هذه بعض المجالات في الهندسة التي ستحتاج إلى معرفتها من أجل اختبار SAT للرياضيات.

الخطوط والزوايا: الأطوال ونقاط المنتصف ، الزوايا الرأسية ، الزوايا المستقيمة ومجموع الزوايا حول نقطة ، خصائص الخطوط المتوازية والزوايا المتكونة من المستعرض ، خصائص الخطوط المتعامدة.

المثلثات والمضلعات الأخرى: المثلثات اليمنى ، المثلثات فيثاغورس ونظرية فيثاغورس ، خصائص المثلثات متساوية الأضلاع والمتساوية الساقين ، خصائص المثلثات 30 & deg-60 & deg-90 & deg ، مثلثات 45 & deg-45 & deg-90 & deg ، مثلثات متطابقة وأرقام أخرى متطابقة ، مثلثات مماثلة وأرقام أخرى مماثلة ، المثلث ، الأشكال الرباعية ، المضلعات المنتظمة.

الدوائر: نصف القطر ، القطر والمحيط ، قياس الزوايا المركزية والزوايا المنقوشة ، طول القوس ومساحة القطاعات ، الظلال والأوتار.

المواد الصلبة: المساحة ومساحة السطح والحجم

  • الزوايا ، أطوال القوس
  • الزوايا ، أطوال القوس
  • مثلث قائم
  • مثلث قائم
  • التطابق والتشابه
  • التطابق والتشابه
  • التطابق والتشابه
  • الدوائر
  • نظريات الدائرة
  • نظريات الدائرة
  • منطقة المثلث
  • منطقة
  • مقدار
  • مقدار
  • مقدار
  • مقدار

المواد اللاحقة تتعلق SAT قبل مارس 2016.
جرب الأسئلة الهندسية التالية لمساعدتك على التحضير لامتحانات SAT أو ACT أو اختبارات أخرى مماثلة.

  • أسئلة ممارسة SAT - الهندسة:
  • س 1
  • س 2
  • س 3
  • س 4
  • س 5
  • س 6
  • س 7
  • س 8
  • س 9
  • س 10

(ملاحظة: قد تحتاج إلى تمكين JavaScript في المستعرض الخاص بك حتى تظهر التلميحات والحلول بشكل صحيح.)


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


قواعد الجمع بين الأرقام الموقعة

الأهداف

عند الانتهاء من هذا القسم ، يجب أن تكون قادرًا على استخدام القواعد الخاصة بجمع الأرقام الموقعة.

في القسم السابق ، استخدمنا معنى الرقم الموقّع وخط الأرقام لحل المشكلات التي تجمع بين الأرقام الموقعة. نحن الآن جاهزون لوضع قواعد لإجراء هذه العملية.

أولاً نقدم الملاحظات التالية من المناقشة وأمثلة من القسم السابق.

1. تؤثر العلامة (زائد أو ناقص) فقط على التعبير الرقمي الموجود على يمينها.

مثال 1 في +6 - 7 تؤثر العلامة + فقط على الرقم 6 و - تؤثر العلامة على الرقم 7 فقط.

2. تؤثر الإشارة التي تسبق الأقواس على جميع الحدود الموجودة داخل الأقواس.

مثال 2 في - (+ 6-8) تؤثر العلامة - قبل الأقواس على كل من +6 و -8.

تذكر أنه إذا أزلنا الأقواس ، فسنحصل على - (+ 6-8) = -6 + 8.

3. نحن نجمع عددين فقط في كل مرة.

مثال 3 اجمع: +6 + 4 + 3

نجمع أولاً +6 + 4 لنحصل على +10. ثم نجمع +10 + 3 لنحصل على +13.

يمكننا أيضًا أن نجمع أولاً + 4 + 3 لنحصل على + 7 ، ثم نجمع + 6 + 7 معًا + 13. هذا بسبب الخاصية الترابطية للإضافة التي تنص على
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)

توضح الملاحظة 3 أننا نحتاج فقط إلى قواعد لدمج رقمين موقعين.

لدمج رقمين بنفس العلامة أضف الأرقام وأرفق العلامة المشتركة.

مثال 4 +6 + 8 = +14. نضيف 6 و 8 للحصول على 14 ثم نعلق علامة + المشتركة بين كل من 6 و 8.

مثال 5 - 6-8 = -14. نجمع 6 و 8 لنحصل على 14 ثم نعلق علامة - المشتركة بين كل من 6 و 8.

الجمع بين عددين بعلامات غير متشابهة اطرح الرقم الأصغر (بغض النظر عن التوقيع) من الرقم الأكبر (بغض النظر عن التوقيع) وأرفق علامة الرقم الأكبر.

إذا تحركت إلى اليمين أكثر من اليسار ، فإنك تتوقع أن ينتهي بك الأمر إلى اليمين. ومن ثم ، استخدم علامة الرقم الأكبر.

مثال 6 - 7 + 11 = +4. نطرح 7 من 11 ونستخدم علامة + لأن 11 أكبر من 7.

مثال 7 +7 -11 = -4. نطرح 7 من 11 ونستخدم علامة - لأن 11 هي أكبر عددين.

حاول العمل على هذه الأمثلة باستخدام خط الأعداد للتحقق من الإجابات.

المثال 8 -14 + 8 = -6. نطرح 8 من 14 ونستخدم علامة - 14.

لاحظ مرة أخرى أن قواعد تجميع الأرقام الموقعة تنطبق على رقمين فقط في كل مرة. إذا كان التعبير يحتوي على عدة أرقام ، فيجب علينا تطبيق القواعد أكثر من مرة.

نظرًا لأنه يمكن إضافة أو طرح رقمين فقط في كل مرة ، فإن هذه العمليات تسمى العمليات الثنائية.

نظرًا لأن ترتيب تجميع الأرقام لن يغير الإجابة (الخاصية التبادلية) ، يمكننا ، في المثال 9 ، المضي قدمًا بطريقة مختلفة.

يجب ممارسة كلا الطريقتين بحيث يمكنك اختيار الطريقة الأسهل لمشكلة معينة.

في مشكلة مثل هذه ، يحب العديد من الطلاب الجمع بين جميع الأرقام السالبة معًا وجميع الأرقام الموجبة معًا ثم الجمع بين الرقمين الناتج عن ذلك باستخدام علامات مختلفة.

افعل المثال من خلال الجمع بين الأرقام بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

لاحظ في هذا المثال الأخير أن هذا الترتيب يوفر تركيبات أسهل من الجمع من اليسار إلى اليمين. يُترك اختيار الترتيب للطالب ، حيث ستكون الإجابة هي نفسها في كلتا الحالتين.

في القسم 1-2 تعلمنا قواعد إزالة رموز التجميع. عند دمج الأعداد ، يجب أن نتأكد من أن كل مصطلح معني به العلامة الصحيحة. لا ينبغي أبدًا دمج المصطلح الموجود خارج رمز التجميع مع مصطلح داخل الرمز ، ومع ذلك ، يجب دمج المصطلحات الموجودة في رمز التجميع قبل إزالة الرمز.

تذكر أنه عند إزالة رموز التجميع المسبوقة بعلامة الطرح ، قم بتغيير كل العلامات. عند إزالة رموز التجميع المسبوقة بعلامة الجمع ، لا تغير أي علامة.

تذكر أنه عندما نبسط تعبيرًا يحتوي على رموز مجمعة داخل رموز التجميع ، فإننا نزيل المجموعة الداخلية من الرموز أولاً.

قم بإجراء عملية واحدة في كل مرة.


5.5E: تمارين للقسم 5.5 - الرياضيات

رأينا أن مساحة الشكل لا تزيد عن مجموع مربعات الوحدة في الشكل. بالنسبة لمساحة سطح المادة الصلبة ، يوجد تعريف مشابه ، لكنه ينطبق على الأسطح الخارجية للمادة الصلبة. تعريف مساحة السطح هو مجموع كل مربعات الوحدة التي تناسب السطح الخارجي لمادة صلبة.

هذا هو أفضل رقم نبدأ به عند فحص مساحة السطح. إنه الشكل الأكثر بساطة بين جميع المواد الصلبة. إنه أيضًا شخصية يتمتع بها معظم الناس بتجربة شخصية بسبب تغليف الهدايا أو فتحها.

جميع أسطح المنشور مستطيلة. هذا يجعل من السهل جدًا حساب مساحات هذه الأسطح. تمت مناقشة منطقة المستطيلات في قسم آخر ، وهو متاح للمراجعة قبل المتابعة ، إذا لزم الأمر.

كما يوضح الرسم البياني أدناه ، هناك ستة أسطح للمنشور المستطيل. يوجد واجهة أمامية وخلفية وأعلى وأسفل ويسار ويمين لكل منشور مستطيل. السطح المنشور ليس أكثر من مجموع كل مناطق هذه المستطيلات.

باستخدام تسمية مخطط المنشور العام أعلاه ، يمكن إنشاء صيغة للتعامل مع مساحة سطح المنشور. دعونا نحسب مساحة كل سطح.

صيغة مساحة سطح المنشور
قمة: lw
أسفل: lw
أمامي: hl
عودة: hl
متبقى: hw
حق: hw
مجموع: lw + lw + hl + hl + hw + hw
: 2lw + 2hl + 2hw
: 2 (lw + hl + hw)

مثال 1: إذا كانت l = 4 ياردة ، و = 2 ياردة ، و ع = 5 ياردة ، فإن مساحة السطح ستكون.

مثال 2: إذا كان الطول = 6 مم ، العرض = 9 مم ، ع = 8 مم ، فإن مساحة السطح ستكون.

تتكون الأسطوانة من ثلاثة أسطح: أعلى وأسفل ووسط. من السهل تصور الجزء العلوي والسفلي ، وهما دوائر.

مساحة الدائرة هي & pir 2. إذن ، مساحة دائرتين ستكون & pir 2 + & pir 2 = 2 & pir 2.

السطح الثالث ، مساحة السطح الجانبية ، يصعب تخيله لأغراض حساب مساحته ، خاصة أنه لا يبدو في شكل يناسب مساحة معروفة مثل المثلث أو متوازي الأضلاع. السطح المشار إليه هو الجدار المنحني للأسطوانة.

يمكننا التلاعب بالجدار المنحني للأسطوانة لإنتاج شكل يمكن التعرف عليه. تخيل أنك تبدأ بأسطوانة ، مثل العلبة النموذجية ، ثم تقطع العلبة إلى جدارها. من أسفل إلى أعلى العلبة ، يتم قطع. انظر المقطع المتقطع في الخطوة الأولى من الرسم التخطيطي إلى اليمين.

الآن ، من الحافة المقطوعة حديثًا ، سيتم نشر جدار الأسطوانة مفتوحًا. تقريبًا مثل فتح أبواب مزدوجة لمنزل فاخر ، تتباعد الجدران. انظر الخطوة الثانية من نفس الرسم التخطيطي.

عندما يكون جدار الأسطوانة مفتوحًا تمامًا ، فإنه يأخذ الشكل الأساسي الذي يسهل التعرف عليه. إنه مستطيل. لحسن الحظ ، من السهل حساب مساحة المستطيل. لكن علينا العودة إلى الأسطوانة الأصلية للحظة قبل أن نحسب مساحة المستطيل. الجزء العلوي من الأسطوانة الأصلية عبارة عن دائرة. نعلم أن المسافة حول الدائرة تسمى محيطها ، C = 2 & pir. تم وضع علامة على المحيط باللون الأحمر.

عندما يكون جدار الأسطوانة مفتوحًا تمامًا ، نرى أن محيط الدائرة يصبح طول المستطيل النهائي. أبعاد المستطيل هي المحيط ، C = 2 & pir ، وارتفاع الأسطوانة ، h. إذن ، مساحة المستطيل هي A = l x w = C x h = 2 & pir x h = 2 & pirh.

أخيرًا ، إذا قمنا بتجميع الأسطح الثلاثة معًا ، فيمكننا الوصول إلى صيغة مساحة السطح الكاملة للأسطوانة. يحدد الجزء العلوي والسفلي والجدران للأسطوانة (مساحة السطح الجانبية) إجمالي مساحة السطح. هذه القيم هي & pir 2 + & pir 2 + 2 & pirh = 2 & pir 2 + 2 & pirh. في بعض الأحيان يتم كتابة هذا التعبير كـ 2 & pir (r + h) في نصوص هندسية معينة. [هل يمكنك أن ترى كيف أن 2 & pir 2 + 2 & pirh يساوي 2 & pir (r + h) بواسطة خاصية التوزيع؟]

مثال 1: إذا كانت r = 6 أقدام و h = 4 أقدام ، فإن مساحة السطح ستكون.

مثال 2: إذا كانت r = 5 cm و h = 2 cm ، فإن مساحة السطح ستكون.

الأهرامات التي لها قاعدة مربعة تتكون من خمسة أسطح. لتحديد أشكال تلك الأسطح ، سنبدأ بالهرم من الخطوة الأولى أدناه. إذا قطعنا الحواف الجانبية للهرم ، يمكننا السماح للشكل بالتسطح في الخطوة الثانية أدناه. من الخطوة الثانية ، يمكن التعرف بسهولة على الأشكال الفردية كمربع وأربعة مثلثات.

يمكننا استخدام معادلات المساحة للمستطيل والمثلث لتحديد الصيغة الكاملة لمساحة سطح الهرم. يحتوي المربع (أو قاعدة المادة الصلبة) على مساحة يمكن حسابها بضرب طولها في عرضها. نظرًا لأن هذه الأبعاد متساوية ، فإن المساحة هي s x s = s 2.

الآن نحن بحاجة لحساب مساحة الأسطح المتبقية. تصادف الأسطح المتبقية لتشكيل مساحة السطح الجانبية للهرم ، وهي مثلثات. صيغة مساحة المثلث هي قاعدته مضروبة في ارتفاعه مقسومة على اثنين. في حالة أحد المثلثات أعلاه ، سيكون s x l والقسمة 2. ومع ذلك ، هناك أربعة مثلثات. هذا سيجعل مساحة السطح الجانبي الكلية تساوي أربعة أضعاف مساحة مثلث واحد ، أو 4 x s x l وقسمة 2. عند تبسيط التعبير ، نحصل على 2sl.

المساحة الكلية للهرم تساوي مساحة القاعدة زائد مساحة السطح الجانبية أو s 2 + 2sl. لذلك ، نظرًا لطول قاعدة الهرم ، s ، وارتفاعه المائل ، l ، فإن إجمالي مساحة السطح ليست عملية حسابية صعبة. ومع ذلك ، عندما يتم توفير أبعاد الهرم ، نادرًا ما يتم تزويد المرء بالارتفاع المائل ، l. بدلاً من ذلك ، يتم إعطاء ارتفاع الهرم. هذا فرق مهم ، لأن أحدهما دائمًا أكبر من الآخر.

عدم معرفة الارتفاع المائل يجعل حساب قيمته هو الهدف الأول لإيجاد المساحة الجانبية للهرم. سيوفر الرسم البياني الموجود إلى اليمين نظرة ثاقبة لإيجاد علاقة لحساب الارتفاع المائل.

تم إبراز مثلث قائم الزاوية يقع داخليًا داخل الهرم. الوتر (الضلع الأطول) هو الارتفاع المائل للهرم ، ل. هذا هو الطول الذي نحتاج إلى معرفته لحساب مساحة سطح الهرم. ارتفاع الهرم أحد ضلوع المثلث القائم. قاعدة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف طول حافة قاعدة الهرم ، s. في هذه المرحلة ، سنستخدم نظرية فيثاغورس لحساب الارتفاع المائل.

قال فيثاغورس أن الساق 2 + الساق 2 = وتر المثلث 2. في حالة المثلث القائم ، سنحصل على (1/2 ث) 2 + س 2 = ل 2. سيعتمد حل الارتفاع المائل عندئذٍ على قدرتنا على استخدام نظرية فيثاغورس.

لمراجعة العملية ، يوجد مخطط للخطوات التي يجب اتخاذها:

  1. أوجد ارتفاع هرم معطى ، h ، وحافة القاعدة ، s. تأكد من أن قيمها بنفس وحدة القياس (قدم ، سم ،.).
  2. استخدم نظرية فيثاغورس لحساب الارتفاع المائل للهرم.
  3. احسب مساحة القاعدة s 2.
  4. احسب مساحة السطح الجانبية 2sl.
  5. احسب إجمالي مساحة السطح بإضافة مساحة القاعدة إلى المنطقة الجانبية s 2 + 2sl.
  6. اذكر القيمة النهائية لمساحة السطح باستخدام الوحدات المربعة.

فيما يلي مثالان يوضحان كيفية حساب المساحة الإجمالية للهرم.

مثال 1: معطى: s = 8 m و h = 3 m.

نحسب أولًا الارتفاع المائل باستخدام نظرية فيثاغورس ونصف طول القاعدة.
3 2 + 4 2 = ل 2
9 + 16 = ل 2
25 = ل 2
ل = 5 م

ثم تتطلب مساحة السطح استخدام الصيغة.
SA = s 2 + 2sl
SA = (8 م) 2 + 2 (8 م) (5 م)
ص = 64 م 2 + 80 م 2
SA = 144 م 2

مثال 2: معطى: s = 7 in و h = 6 in.

نحسب أولًا الارتفاع المائل باستخدام نظرية فيثاغورس ونصف طول القاعدة.
(3.5) 2 + 6 2 = لتر 2
12.25 + 36 = لتر 2
48.25 = لتر 2
لتر = 6.95 بوصة

ثم تتطلب مساحة السطح استخدام الصيغة.
SA = s 2 + 2sl
SA = (7 بوصة) 2 + 2 (7 بوصة) (6.95 بوصة)
SA = 49 في 2 + 97.3 في 2
SA = 146.3 في 2

مثال 1: معطى r = 4 m و h = 3 m.

أولًا ، علينا حساب الارتفاع المائل باستخدام نظرية فيثاغورس.
(4 م) 2 + (3 م) 2 = ل 2
16 م 2 + 9 م 2 = لتر 2
25 م 2 = ل 2
ل = 5 م

ثم تتطلب مساحة السطح استخدام الصيغة.
SA = & pir 2 + & pirl
SA = (& بي) (4 م) 2 + (& بي) (4 م) (5 م)
SA = (16 م 2) (& بي) + (20 م 2) (& بي)
SA = 36 & pi m 2 (من حيث & pi) أو
SA = 36 (3.14159) م 2
SA = 113.09724 م 2
SA = 113.1 م 2 (مقربًا لأقرب جزء من عشرة)

مثال 2: معطى r = 7 in و h = 10 in.

أولًا ، علينا حساب الارتفاع المائل باستخدام نظرية فيثاغورس
(7 بوصة) 2 + (10 بوصة) 2 = لتر 2
49 في 2 + 100 في 2 = لتر 2
149 في 2 = ل 2
ل = 12.21 بوصة

ثم تتطلب مساحة السطح استخدام الصيغة.
SA = & pir 2 + & pirl
SA = (& pi) (7 بوصة) 2 + (& pi) (7 بوصة) (12.21 بوصة)
SA = (49 في 2) (& بي) + (85.47 في 2) (& بي)
SA = 134.47 (& بي) في 2
SA = 134.47 (3.14159) في 2
SA = 422.44961 بوصة 2
SA = 422.4 في 2 (مقربًا لأقرب جزء من عشرة)


التمرين 3

حدد قيم x و ذ في الشكل أدناه.

نريد أولا أن نلاحظ ذلك ؟ BCA و ؟ بى سى دى مكملة.
تذكر أن هذا يعني أن مجموع مقاييس درجتهم هو 180.
وبالتالي سنحاول تحديد مقياس ؟ BCA:

بواسطة نظرية مجموع زاوية المثلث، نعلم أن مجموع ؟أ,
؟ب، و ؟ BCA يكون 180°، لذلك سنحاول
تحديد قيم x و ذ من خلال معرفة ماذا
مجموع ؟أ و ؟ب يجب ان يكون.

معا، ؟أ و ؟ب يجب أن يكون لها مقياس 124.

& # 8217s ننظر إلى الرسم التخطيطي مرة أخرى. لاحظ هذا المقطع تيار متردد مطابق
لتقسيم قبل الميلاد. لذلك ، من خلال نظرية المثلث متساوي الساقين، نعلم
الذي - التي ؟أ هو متطابق مع ؟ب (لأنها الزوايا
مقابل الأضلاع المتطابقة). لذلك ، يمكننا قسمة ما تبقى من
قياسات زاوية المثلث ، 124، بزاويتين متطابقتين ل
تحديد قياس كل زاوية. عندما نفعل هذا ، فإننا نرى ذلك
؟أ و ؟ب يجب أن يخرج إلى 62° كل.

لحل ل x، لدينا

لحل ل ذ، لدينا

اذا لدينا س = 31 و ص = 4.


مسح موجز لفرز التطبيقات.

تمارين

المحلول: تجنب المقارنة المباشرة بين الشخصيات الفردية إذا س و ر هي إشارات إلى نفس السلسلة.

المحلول: ينتهك قابلة للمقارنة عقد. من الممكن أن a.compareTo (ب) و b.compareTo (ج) كلاهما 0 ، لكن a.compareTo (ج) موجب (أو سلبي).

المحلول. يتبادل العناصر غير المتجاورة. في المثال أدناه ، يتم تبديل الحرف B الأول إلى يمين الثاني B.

مشاكل إبداعية

تمارين الويب

  1. نوع بيانات العداد. قم بتعديل Counter.java بحيث يقوم بتنفيذ ملف قابلة للمقارنة واجهة ، مقارنة العدادات من خلال العد.
  2. نوع بيانات التقدير. اكتب برنامج Grade.java لتمثيل نوع بيانات للدرجات (A ، B + ، إلخ). يجب أن تنفذ قابلة للمقارنة واجهة باستخدام الترتيب الطبيعي على الدرجات حسب المعدل التراكمي.
  3. نوع بيانات الطالب. اكتب نوع بيانات Student.java يمثل طالبًا في مقرر جامعي. يجب أن يكون لكل طالب تسجيل دخول (سلسلة) ورقم قسم (عدد صحيح) ودرجة (تقدير).
  4. أمر غير حساس لحالة الأحرف. اكتب جزءًا من التعليمات البرمجية لقراءته في سلسلة من السلاسل وقم بفرزها بترتيب تصاعدي ، مع تجاهل الحالة.

تلميح: استخدم Java's java.text.Collator API. على سبيل المثال في UNICODE ، ريكو يحدث معجميا من قبل R & استئصال الجلدولكن بالفرنسية R & استئصال الجلد يحدث أولاً.

  • اقرأ في قاموس الكلمات في مجموعة من السلاسل.
  • اعكس الحروف في كل كلمة ، على سبيل المثال ، حيرة يصبح dnuofnoc.
  • فرز مجموعة الكلمات الناتجة.
  • اعكس الحروف في كل كلمة إلى حالتها الأصلية.

الآن الكلمة حيرة سيكون بجانب كلمات مثل الذهول و مجمع. اكتب برنامج Rhymer.java يقرأ في سلسلة من الكلمات من الإدخال القياسي ويطبعها بالترتيب المحدد أعلاه.

  • قسّم العناصر في المنتصف: a [l..m-1] ، a [m] ، a [m + 1..r]
  • احسب بشكل متكرر الفاصل الزمني الأمثل بالكامل في النصف الأيسر
  • احسب بشكل متكرر الفاصل الزمني الأمثل بالكامل في النصف الأيمن
  • احسب الفاصل الزمني الأمثل الذي يحتوي على [m]
  • قم بإرجاع أفضل الفترات الثلاث

الحل 1. فرق تسد: ابحث عن الحد الأدنى والحد الأقصى في كل نصف (2T (N / 2) يقارن) ، وإرجاع الحد الأدنى 2 والحد الأقصى 2 (مقارنة 2). T (1) = 0، T (2) = 1، T (N) = 2T (N / 2) + 2. حل التكرار: T (N) = ceil (3N / 2) - 2.

المحلول. قم بفرز الفواصل الزمنية حسب وقت البدء ، أدخل الفواصل الزمنية في PQ بهذا الترتيب ، ولكن باستخدام وقت الانتهاء كمفتاح. قبل إدخال الفاصل الزمني التالي ، قارن وقت البدء الخاص به بوقت انتهاء الحد الأدنى للفاصل الزمني على PQ: إذا كان أكبر ، فاحذف الحد الأدنى للفاصل الزمني في PQ. تتبع دائمًا النطاق الترددي التراكمي على PQ.

المحلول. استخدم Quickselect للعثور على أكبر قيمة تحقق N / 10th إذا كانت سائدة إذا لم تكن كذلك ، كرر في المصفوفة الفرعية بقيم 9N / 10.

تم إجراء آخر تعديل في 18 آذار (مارس) 2018.

حقوق النشر ونسخ 2000 و ndash2019 روبرت سيدجويك وكيفن واين. كل الحقوق محفوظة.


5.5E: تمارين للقسم 5.5 - الرياضيات

شروط الاستخدام جهة الاتصال: دونا روبرتس



الاعتراضات هي المواقع (النقاط) حيث يتقاطع (أو يلامس) الرسم البياني إما x-محور أو ذ-محور.

• لتجد ال ذ-تقاطع، تعيين x = 0 ، وحل من أجل ذ.
تذكر ذ- التقاطع سيكون له x-تنسيق 0.
ص = و (x) = -2x + 2
ذ = -2(0) + 2 ذ = 2 ذ- التقاطع: (0،2)
(نعم ، يمكنك أيضًا قراءة ملف ذ-تقاطع، ب، من معادلة الوظيفة
إذا كان في ص = م س + ب شكل.)

• لتجد ال x-تقاطع ، تعيين ذ = 0 ، وحل من أجل x.
تذكر x- التقاطع سيكون له ذ-تنسيق 0.
ص = و (x) = -2x + 2
0 = -2x + 2 2x = 2 x = 1 x- التقاطع: (1،0)

x-يمكن الإشارة إلى المفاهيم أيضًا باسم & quotroots & quot أو & quotzeros & quot
لأنهم أين F (x) = 0.

قيم y موجبة
أو
قيم ص سالبة

• The negative regions of a function are those intervals where the function is below the x-axis .
It is where the ذ-values are negative (not zero).

ذ-values that are on the x-axis are neither positive nor negative. ال x-axis is where ذ = 0.

Some functions are positive over their entire domain
(All y-values above the x-axis.)

Some functions are negative over their entire domain.
(All y-values below the x-axis.)

The discussion on this page will refer to "strictly" increasing and "strictly" decreasing.

When looking for sections of a graph that are increasing or decreasing, be sure to look at (or "read") the graph from left to right.

• Increasing: A function is increasing, if as x increases (reading from left to right), y also increases . In plain English, as you look at the graph, from left to right, the graph goes up-hill. The graph has a positive slope.

Example: The function (graph) at the right is increasing from the point (-5,-3) to the point (-2,1), which is described as increasing when -5 < x < -2 .
Using interval notation, it is described as increasing on the interval (-5,-2).


• Decreasing: A function is decreasing, if as x increases (reading from left to right), y decreases. In plain English, as you look at the graph, from left to right, the graph goes down-hill. The graph has a negative slope.

Example: The graph shown above is decreasing from the point (3,4) to the point (5,-5), described as decreasing when 3 < x < 5.
Using interval notation, it is described as decreasing on the interval (3,5).

• Constant: A function is constant, if as x increases (reading from left to right), y stays the same. In plain English, as you look at the graph, from left to right, the graph goes flat (horizontal). The graph has a slope of zero.

Example: The graph shown above is constant from the point (-2,1) to the point (1,1), described as constant when -2 < x < 1 . ال ذ-values of all points in this interval are "one".
Using interval notation, it is described as constant on the interval (-2,1).

Take a look at the point (2,4) in the graph at the right. Does that point belong to the increasing interval? The decreasing interval? Both intervals? Neither interval?

Well, the answer may be both, neither, or a combination, depending upon the convention you are following. You may see "increasing on the interval (-5,2) or the interval [-5,2], or the interval (-5,2], or the interval [-5,2). Just be consistent with the convention you are using.

Functions increase on intervals, not at points. The graph is neither increasing nor decreasing at the point (2,4). However, i f a function increases on an "open" interval, then adding the endpoints will not change this fact (as long as the endpoints are in the domain).

This site will be using "open" interval notation to represent intervals of increasing and decreasing. Ask your teacher which notation convention is preferred in your classroom.

For maximum/minimum, symmetry, and end-behavior, see More Function Features.
For continuous, roots, and multiplicity of roots, see Factoring and Graphing Polynomials.


YoungMinds Printable Handwriting Lessons

My handwriting section has several small handwriting sets, one large handwriting set, and one extraordinarily large set. This section also contains notebook filler and handwriting paper in several sizes and types. I also have handwriting animations in both manuscript and cursive.

Usage Summary

If you are teaching one child or a group of children (or adults) you may print the files to use in your class for your students. I do not restrict how many copies that you may print, as long as you are printing them for your students. If others want to use the resources, please send them to this web site. The full: Terms of Use


Coefficient of Variation Example

This worksheet may help you how to calculate coefficient of variation for the given data. The coefficient of variance is a dimensionless number.

Definition:
Coefficient of Variation is the percentage variation in mean, standard deviation being considered as the total variation in the mean. If we wish to compare the variability of two or more series, we can use the coefficient of variation. The series of data for which the coefficient of variation is large indicates that the group is more variable and it is less stable or less uniform. If a coefficient of variation is small it indicates that the group is less variable and it is more stable or more uniform.
Formula for Coefficient of Variance
Coefficient of Variation CV = Standard Deviation / Mean
In other words coefficient of variation is defined ratio of the Standard Deviation to the Mean. The value of CV is calculated only for non-zero mean. You can know more about Standard deviation from this Standard Deviation Worksheet

Coefficient of Variance Example:
1. Find CV of <13,35,56,35,77>
المحلول:
Number of terms (N) = 5
Mean:
Xbar = (13+35+56+35+77)/5
= 216/5 = 43.2
Standard Deviation (SD):
Formula to find SD is

=&radic (1/(5-1)((13-43.2) 2 +(35-43.2) 2 +(56-43.2) 2 +(35-43.2) 2 +(77-43.2) 2 ))

=&radic (1/4((-30.2) 2 +(-8.2) 2 +(12.9) 2 +(-8.2) 2 +(33.8) 2 ))

Coefficient of variation (CV)
CV = Standard Deviation / Mean
= 24.2528/43.2
= 0.5614
Hence the required Coefficient of Variation is 0.5614

2. A company has two sections with 40 and 65 employees respectively. Their average weekly wages are $450 and $350. The standard deviation are 7 and 9. (i) Which section has a larger wage bill?. (ii) Which section has larger variability in wages?
المحلول:
(i) Wage bill for section A = 40 x 450 = 18000
Wage bill for section B = 65 x 350 = 22750
Section B is larger in wage bill.
(ii) Coefficient of variance for Section A = 7/450 x 100 =1.56 %
Coefficient of variance for Section B = 9/350 x 100 = 2.57%
Section B is more consistent so there is greater variability in the wages of section A.

Practice Problems:
1. Calculate the coefficient of variance of the marks secured by a student in the exam as given : 82, 95, 75, 78, 87

2. The standard deviation and the mean of 16 values are 15.6 and 20.5. Find the coefficient of variation

3. A group of 80 candidates have their average height is 145.8 cm with coefficient of variance 2.5%. What is the standard deviation of their height?

When you try this calculation on your own, use this coefficient of variation Calculator to verify your answers.


شاهد الفيديو: شرح طريقة حساب النسبة المئوية بالاكسل 2007 (شهر اكتوبر 2021).