مقالات

3.1: المعادلات الخطية من الدرجة الثانية


المعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية العامة من الرتبة الثانية هي

$$
F (x ، u ، Du ، D ^ 2u) = 0 ،
$$
حيث (n ) و (u: Omega subset mathbb {R} mapsto mathbb {R} ^ 1 ) و (Du equiv nabla u ) و (u ) لجميع المشتقات الثانية. يتم إعطاء الدالة (F ) ومنتظمة بشكل كافٍ فيما يتعلق بوسائطها (2n + 1 + n ^ 2 ).

في هذا القسم ننظر في القضية
ابدأ {المعادلة}
التسمية {linsecond}
sum_ {i، k = 1} ^ na ^ {ik} (x) u_ {x_ix_k} + f (x، u، nabla u) = 0.
نهاية {المعادلة}
المعادلة خطي لو
$$
f = sum_ {i = 1} ^ nb ^ i (x) u_ {x_i} + c (x) u + d (x).
$$
فيما يتعلق بالتصنيف الجزء الرئيسي
$$
sum_ {i، k = 1} ^ n a ^ {ik} (x) u_ {x_ix_k}
$$
يلعب الدور الأساسي. لنفترض (u in C ^ 2 ) ، إذن يمكننا أن نفترض ، دون قيود العمومية ، أن (a ^ {ik} = a ^ {ki} ) ، منذ ذلك الحين
$$
sum_ {i، k = 1} ^ n a ^ {ik} u_ {x_ix_k} = sum_ {i، k = 1} ^ n (a ^ {ik}) ^ star u_ {x_ix_k} ،
$$
أين
$$
(a ^ {ik}) ^ star = frac {1} {2} (a ^ {ik} + a ^ {ki}).
$$
ضع في اعتبارك السطح الفائق ( mathcal {S} ) في (n ) معرّف ضمنيًا بواسطة ( chi (x) = 0 ) ، ( nabla chi not = 0 ) ، انظر الشكل 3.1. 1

الشكل 3.1.1: المشعب الأولي ( mathcal {S} )

افترض أنه تم إعطاء (u ) و ( nabla u ) في ( mathcal {S} ).

مشكلة: هل يمكننا حساب جميع المشتقات الأخرى لـ (u ) في ( mathcal {S} ) باستخدام المعادلة التفاضلية ( المرجع {linsecond} ) والبيانات المقدمة؟

سنجد إجابة إذا عيّننا ( mathcal {S} ) على مستوى فائق ( mathcal {S} _0 ) عن طريق تعيين
ابدأ {eqnarray *}
lambda_n & = & تشي (x_1، ldots، x_n)
lambda_i & = & lambda_i (x_1 ، ldots ، x_n) ، i = 1 ، ldots ، n-1 ،
نهاية {eqnarray *}
للوظائف ( lambda_i ) مثل ذلك
$$
det frac { جزئي ( lambda_1، ldots، lambda_n)} { جزئي (x_1، ldots، x_n)} not = 0
$$
خمارة). من المفترض أن (i ) و (i ) منتظمان بدرجة كافية. مثل هذا التعيين ( lambda = lambda (x) ) موجود ، انظر التمرين.

خرائط التحويل أعلاه ( mathcal {S} ) إلى مجموعة فرعية من المستوي الفائق المحدد بواسطة ( lambda_n = 0 ) ، انظر الشكل 3.1.2.

الشكل 3.1.2: تحويل متعدد مسطح ( mathcal {S} )

سنكتب المعادلة التفاضلية في هذه الإحداثيات الجديدة. هنا نستخدم اصطلاح أينشتاين ، أي أننا نضيف مصطلحات بمؤشرات متكررة. منذ
$$
u (x) = u (x ( lambda)) =: v ( lambda) = v ( lambda (x)) ،
$$
حيث (x = (x_1، ldots، x_n) ) و ( lambda = ( lambda_1، ldots، lambda_n) ) ، نحصل على
ابدأ {eqnarray}
تسمية {معروف}
u_ {x_j} & = & v _ { lambda_i} frac { جزئي lambda_i} { جزئي x_j} ،
u_ {x_jx_k} & = & v _ { lambda_i lambda_l} frac { جزئي lambda_i} { جزئي x_j} frac { جزئي lambda_l} { جزئي x_k} + v _ { lambda_i} frac { جزئي ^ 2 lambda_i} { جزئية x_j جزئية x_k}. غير رقم
نهاية {eqnarray}
ثم يتم إعطاء المعادلة التفاضلية ( ref {linsecond}) في الإحداثيات الجديدة بواسطة
$$
a ^ {jk} (x) frac { جزئي lambda_i} { mathcal {S} _0 = 0.
$$
بما أن (v _ { lambda_k} ( lambda_1، ldots، lambda_ {n-1}، 0) ) ، (n ) ، معروفة ، انظر ( المرجع {معروف}) ، يتبع ذلك (v _ { lambda_k lambda_l} ) ، (l = 1 ، ldots ، n-1 ) ، معروفة في ( mathcal {S} _0 ). وهكذا نعرف جميع المشتقات الثانية (v _ { lambda_i lambda_j} ) على ( mathcal {S} _0 ) باستثناء الوحيد (v _ { lambda_n lambda_n} ).

نتذكر أنه شريطة أن يكون (v ) منتظمًا بدرجة كافية ،
$$
v _ { lambda_k lambda_l} ( lambda_1، ldots، lambda_ {n-1}، 0)
$$
هو حد
$$
frac {v _ { lambda_k} ( lambda_1، ldots، lambda_l + h، lambda_ {l + 1}، ldots، lambda_ {n-1}، 0) -
v _ { lambda_k} ( lambda_1، ldots، lambda_l، lambda_ {l + 1}، ldots، lambda_ {n-1}، 0)} {h}
$$
مثل (ح إلى 0 ).

ثم يمكن كتابة المعادلة التفاضلية كـ
$$
sum_ {j، k = 1} ^ na ^ {jk} (x) frac { جزئي lambda_n} { جزئي x_j} frac { جزئي lambda_n} { جزئي x_k} v _ { lambda_n lambda_n } = mbox {terms known on} mathcal {S} _0.
$$
ويترتب على ذلك أنه يمكننا حساب (v _ { lambda_n lambda_n} ) إذا
ابدأ {المعادلة}
تسمية {nonchar}
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x) chi_ {x_i} chi_ {x_j} not = 0
نهاية {المعادلة}

على ( mathcal {S} ). هذا شرط للمعادلة المحددة وللسطح المحدد ( mathcal {S} ).

تعريف. المعادلة التفاضلية
$$
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x) chi_ {x_i} chi_ {x_j} = 0
$$
يطلق عليه معادلة تفاضلية مميزة المرتبطة بالمعادلة التفاضلية المحددة ( المرجع {linsecond}).

إذا كان ( chi ) ، ( nabla chi not = 0 ) ، هو حل المعادلة التفاضلية المميزة ، فإن السطح المحدد بواسطة ( chi = 0 ) يسمى سطح مميز.

ملاحظة. الشرط ( ref {nonchar}) مُرضي لكل ( chi ) مع ( nabla chi not = 0 ) إذا كانت المصفوفة التربيعية ((a ^ {ij} (x)) ) هو تعريف موجب أو سالب لكل (x in Omega ) ، وهو ما يعادل خاصية أن جميع القيم الذاتية تختلف عن الصفر ولها نفس العلامة. يتبع ذلك نظرًا لوجود ( lambda (x)> 0 ) بحيث ، في حالة أن المصفوفة ((a ^ {ij}) ) محددة ،
$$
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x) zeta_i zeta_j ge lambda (x) | zeta | ^ 2
$$
للجميع ( zeta in mathbb {R} ). هنا وفي ما يلي نفترض أن المصفوفة ((a ^ {ij}) ) حقيقية ومتماثلة.

يتبع توصيف المعادلة التفاضلية ( المرجع {linsecond}) من علامات القيم الذاتية لـ ((a ^ {ij} (x)) ).

تعريف. يُقال أن المعادلة التفاضلية ( ref {linsecond}) من اكتب (( alpha، beta، gamma) ) في (x in Omega ) إذا كانت ( alpha ) قيم eigenvalues ​​لـ ((a ^ {ij}) (x) ) موجبة ، ( beta ) قيم eigenvalues ​​سلبية و ( gamma ) قيم eigenvalues ​​هي صفر ( ( alpha + بيتا + جاما = n )).
على وجه الخصوص ، تسمى المعادلة

بيضاوي الشكل إذا كان من النوع ((n ، 0،0) ) أو من النوع ((0 ، n ، 0) ) ، أي أن جميع قيم eigenvalues ​​مختلفة عن الصفر ولها نفس العلامة ،
قطع مكافئ إذا كانت من النوع ((n-1،0،1) ) أو من النوع ((0، n-1،1) ) ، أي أن قيمة eigenvalue هي صفر وكل الآخرين يختلفون عن الصفر ولها نفس العلامة ،
القطعي إذا كان من النوع ((n-1،1،0) ) أو من النوع ((1، n-1،0) ) ، أي أن جميع قيم eigenvalues ​​مختلفة عن الصفر وقيمة eigenvalue لها علامة أخرى من كل الآخرين.

ملاحظات:

1. وفقًا لهذا التعريف ، هناك أنواع أخرى بخلاف المعادلات الإهليلجية أو القطع المكافئ أو الزائدي.

2. التصنيف يعتمد بشكل عام على (x in Omega ). مثال على ذلك معادلة تريكومي التي تظهر في نظرية التدفقات العابرة للصوت ،
$$
yu_ {xx} + u_ {yy} = 0.
$$
هذه المعادلة ناقصة الشكل إذا (y> 0 ) ، ومكافئ إذا (y = 0 ) وزائدي لـ (y <0 ).

أمثلة:

المثال 3.1.1:

ال معادلة لابلاس في ( mathbb {R} ^ 3 ) هو ( مثلث u = 0 ) ، حيث
$$
مثلث u: = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz}.
$$
هذه المعادلة ناقصة لأن لكل متنوع ( mathcal {S} ) معطى بواسطة ( {(x، y، z): chi (x، y، z) = 0 } ) ، حيث ( chi ) هي وظيفة اعتباطية منتظمة بدرجة كافية مثل ( nabla chi not = 0 ) ، جميع مشتقات (u ) معروفة في ( mathcal {S} ) ، بشرط ( u ) و ( nabla u ) معروفان في ( mathcal {S} ).

المثال 3.1.2:

ال معادلة الموجة (u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz} ) ، حيث (u = u (x، y، z، t) ) قطعي. مثل هذا النوع يصف تذبذبات الهياكل الميكانيكية ، على سبيل المثال.

المثال 3.1.3:

ال معادلة حرارية (u_t = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz} ) ، حيث (u = u (x، y، z، t) ) هو
قطع مكافئ. يصف ، على سبيل المثال ، انتشار الحرارة في مجال.

المثال 3.1.4:

ضع في اعتبارك أن المعاملات (الحقيقية) (a ^ {ij} ) في المعادلة ( ref {linsecond}) هي { it ثابت}. نتذكر أن المصفوفة (A = (a ^ {ij}) ) متماثلة ، أي (A ^ T = A ). في هذه الحالة ، يؤدي التحويل إلى المحور الأساسي إلى شكل طبيعي يكون من خلاله تصنيف المعادلة واضحًا. دع (U ) تكون المصفوفة المتعامدة المرتبطة ، إذن
$$
U ^ TAU = left ( start {array} {llcl}
lambda_1 & 0 & cdots & 0
0 & lambda_2 & cdots & 0
... & ... & ...\
0 & 0 & cdots & lambda_n
نهاية {مجموعة} يمين).
$$
هنا (U = (z_1، ldots، z_n) ) ، حيث (z_l ) ، (l = 1 ، ldots ، n ) ، هو نظام متعامد من المتجهات الذاتية إلى القيم الذاتية ( lambda_l ).

اضبط (y = U ^ Tx ) و (v (y) = u (Uy) ) ، ثم
ابدأ {المعادلة}
التسمية {hauptachs}
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} u_ {x_ix_j} = sum_ {i = 1} ^ n lambda_iv_ {y_iy_j}.
نهاية {المعادلة}


شاهد الفيديو: معادلات الدرجة الثانية في مجهول واحد. الجزء الأول. الباب الرابع (شهر اكتوبر 2021).