مقالات

8.4: وظيفة خطوة الوحدة


في القسم التالي سننظر في مشاكل القيمة الأولية

[ay '' + بواسطة '+ cy = f (t)، quad y (0) = k_0، quad y' (0) = k_1، nonumber ]

حيث (أ ) و (ب ) و (ج ) هي ثوابت و (و ) متواصلة. في هذا القسم ، سنطور إجراءات لاستخدام جدول تحويلات لابلاس للعثور على تحويلات لابلاس للدوال متعددة التعريف المتواصلة ، وللعثور على الانعكاسات المستمرة متعددة التعريفات لتحويلات لابلاس.

مثال ( PageIndex {1} )

استخدم جدول تحويلات لابلاس لإيجاد تحويل لابلاس لـ

[ label {eq: 8.4.1} f (t) = left { begin {array} {cl} 2t + 1، & 0 le t <2، [4pt] 3t، & t ge2 نهاية {مجموعة} يمين. ]

(الشكل ( PageIndex {1} )).

المحلول

نظرًا لأن صيغة (f ) تتغير عند (t = 2 ) ، نكتب

[ label {eq: 8.4.2} begin {array} {ll} { cal L} (f) & = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) ، dt { } & = int_0 ^ 2 e ^ {- st} (2t + 1) ، dt + int_2 ^ infty e ^ {- st} (3t) ، dt. نهاية {مجموعة} ]

لربط المصطلح الأول بتحويل لابلاس ، نقوم بالجمع والطرح

[ int_2 ^ infty e ^ {- st} (2t + 1) ، dt nonumber ]

في المعادلة المرجع {eq: 8.4.2} للحصول عليها

[ label {eq: 8.4.3} begin {array} {ll} { cal L} (f) & {= int_0 ^ infty e ^ {- st} (2t + 1) ، dt + int_2 ^ infty e ^ {- st} (3t-2t-1) ، dt} {} & = int_0 ^ infty e ^ {- st} (2t + 1) ، dt + int_2 ^ infty e ^ {- st} (t-1) ، dt {} & {= { cal L} (2t + 1) + int_2 ^ infty e ^ {- st} (t-1) ، دت.} نهاية {مجموعة} ]

لربط آخر جزء لا يتجزأ من تحويل لابلاس ، نقوم بتغيير المتغير (x = t-2 ) ونعيد كتابة التكامل كـ

[ start {align} int_2 ^ infty e ^ {- st} (t-1) ، dt & = int_0 ^ infty e ^ {- s (x + 2)} (x + 1) ، dx [4pt] & = e ^ {- 2s} int_0 ^ infty e ^ {- sx} (x + 1) ، dx. end {align} nonumber ]

نظرًا لأن الرمز المستخدم لمتغير التكامل ليس له أي تأثير على قيمة التكامل المحدد ، يمكننا الآن استبدال (x ) بالمعيار الأكثر (t ) والكتابة

[ int_2 ^ infty e ^ {- st} (t-1) ، dt = e ^ {- 2s} int_0 ^ infty e ^ {- st} (t + 1) ، dt = e ^ {-2s} { cal L} (t + 1). nonumber ]

تشير هذه والمعادلة المرجع {eq: 8.4.3} إلى ذلك

[{ cal L} (f) = { cal L} (2t + 1) + e ^ {- 2s} { cal L} (t + 1). nonumber ]

يمكننا الآن استخدام جدول تحويلات لابلاس لإيجاد ذلك

[{ cal L} (f) = {2 over s ^ 2} + {1 over s} + e ^ {- 2s} left ({1 over s ^ 2} + {1 over s } حق). nonumber ]

تحويلات لابلاس للوظائف المتقطعة المتواصلة

سنقوم الآن بتطوير طريقة المثال ( PageIndex {1} ) إلى طريقة منهجية للعثور على تحويل لابلاس لدالة متعددة الأجزاء متصلة. من الملائم تقديم ملف وظيفة خطوة الوحدة، معرف ك

[ label {eq: 8.4.4} u (t) = left { begin {array} {rl} 0، & t <0 1، & t ge0. نهاية {مجموعة} يمين. ]

وهكذا ، (u (t) ) "الخطوات" من القيمة الثابتة (0 ) إلى القيمة الثابتة (1 ) في (t = 0 ). إذا استبدلنا (t ) بـ (t- tau ) في المعادلة المرجع {eq: 8.4.4} ، إذن

[u (t- tau) = left { start {array} {rl} 0، & t < tau، 1، & t ge tau end {array} right .؛ لا يوجد رقم]

أي أن الخطوة تحدث الآن في (t = tau ) (الشكل ( PageIndex {2} )).

تمكّننا وظيفة الخطوة من تمثيل وظائف مستمرة متعددة التعريف بشكل ملائم. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة

[ label {eq: 8.4.5} f (t) = left { begin {array} {rl} f_0 (t)، & 0 le t

حيث نفترض أن (f_0 ) و (f_1 ) معرفان في ([0 ، infty) ) ، على الرغم من أنهما متساويان (f ) فقط في الفواصل الزمنية المشار إليها. يتيح لنا هذا الافتراض إعادة كتابة المعادلة المرجع {eq: 8.4.5} كـ

[ label {eq: 8.4.6} f (t) = f_0 (t) + u (t-t_1) left (f_1 (t) -f_0 (t) right). ]

للتحقق من ذلك ، لاحظ أنه إذا (t

[f (t) = f_0 (t) + (0) يسار (f_1 (t) -f_0 (t) right) = f_0 (t). لا يوجد رقم]

إذا (t ge t_1 ) ثم (u (t-t_1) = 1 ) وتصبح المعادلة المرجع {eq: 8.4.6}

[f (t) = f_0 (t) + (1) يسار (f_1 (t) -f_0 (t) right) = f_1 (t). لا يوجد رقم]

نحتاج إلى النظرية التالية لتوضيح كيف يمكن استخدام المعادلة ref {eq: 8.4.6} لإيجاد ({ cal L} (f) ).

نظرية ( PageIndex {1} )

لنفترض (g ) في ([0، infty). ) افترض ( tau ge0 ) و ({ cal L} left (g (t + tau) right) ) موجود لـ (s> s_0. ) ثم ({ cal L} left (u (t- tau) g (t) right) ) موجود لـ (s> s_0 ) ، و

[{ cal L} (u (t- tau) g (t)) = e ^ {- s tau} { cal L} left (g (t + tau) right). nonumber ]

دليل - إثبات

حسب التعريف،

[{ cal L} left (u (t- tau) g (t) right) = int_0 ^ infty e ^ {- st} u (t- tau) g (t) ، dt .لا يوجد رقم]

من هذا وتعريف (u (t- tau) ) ،

[{ cal L} left (u (t- tau) g (t) right) = int_0 ^ tau e ^ {- st} (0) ، dt + int _ { tau} ^ infty e ^ {- st} g (t) ، dt. nonumber ]

التكامل الأول على اليمين يساوي صفرًا. إدخال المتغير الجديد للتكامل (x = t- tau ) في الناتج المتكامل الثاني

[{ cal L} left (u (t- tau) g (t) right) = int_0 ^ infty e ^ {- s (x + tau)} g (x + tau) ، dx = e ^ {- s tau} int_0 ^ infty e ^ {- sx} g (x + tau) ، dx. nonumber ]

ينتج عن تغيير اسم متغير التكامل في التكامل الأخير من (x ) إلى (t )

[{ cal L} left (u (t- tau) g (t) right) = e ^ {- s tau} int_0 ^ infty e ^ {- st} g (t + tau) ، dt = e ^ {- s tau} { cal L} (g (t + tau)). nonumber ]

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن [{ cal L} left (u (t-1) (t ^ 2 + 1) right). nonumber ]

المحلول

هنا ( tau = 1 ) و (g (t) = t ^ 2 + 1 ) ، لذلك

[g (t + 1) = (t + 1) ^ 2 + 1 = t ^ 2 + 2t + 2. non number ]

منذ

[{ cal L} left (g (t + 1) right) = {2 over s ^ 3} + {2 over s ^ 2} + {2 over s}، nonumber ]

تدل نظرية ( PageIndex {1} ) على ذلك

[{ cal L} left (u (t-1) (t ^ 2 + 1) right) = e ^ {- s} left ({2 over s ^ 3} + {2 over s ^ 2} + {2 over s} right). nonumber ]

مثال ( PageIndex {3} )

استخدم Theorem ( PageIndex {1} ) للعثور على تحويل لابلاس للدالة

[f (t) = left { start {array} {cl} 2t + 1، & 0 le t <2، [4pt] 3t، & t ge2، end {array} right. لا يوجد رقم]

من مثال ( PageIndex {1} ).

المحلول

نكتب أولاً (f ) في شكل المعادلة المرجع {eq: 8.4.6} على النحو التالي

[f (t) = 2t + 1 + u (t-2) (t-1). لا يوجد رقم]

وبالتالي

[ start {align} { cal L} (f) & = { cal L} (2t + 1) + { cal L} left (u (t-2) (t-1) right) & = { cal L} (2t + 1) + e ^ {- 2s} { cal L} (t + 1) quad mbox {(from Theorem} PageIndex {1}) & = {2 over s ^ 2} + {1 over s} + e ^ {- 2s} left ({1 over s ^ 2} + {1 over s} right) ، end {align} لا يوجد رقم]

وهي النتيجة التي تم الحصول عليها في مثال ( PageIndex {1} ).

يمكن تمديد معادلة الصيغة المرجع {eq: 8.4.6} إلى دوال متعددة التعريف أكثر عمومية. على سبيل المثال ، يمكننا الكتابة

[f (t) = left { start {array} {rl} f_0 (t)، & 0 le t

كما

[f (t) = f_0 (t) + u (t-t_1) يسار (f_1 (t) -f_0 (t) يمين) + u (t-t_2) يسار (f_2 (t) -f_1 ( t) right) nonumber ]

إذا تم تعريف (f_0 ) و (f_1 ) و (f_2 ) في ([0 ، infty) ).

مثال ( PageIndex {4} )

أوجد تحويل لابلاس لـ

[ label {eq: 8.4.7} f (t) = left { begin {array} {cl} 1، & 0 le t <2، [4pt] -2t + 1، & 2 le t <3، [4pt] 3t، & 3 le t <5، [4pt] t-1، & t ge5 end {array} right. ]

(الشكل ( PageIndex {3} )).

المحلول

من حيث وظائف الخطوة ،

[ start {align} f (t) & = 1 + u (t-2) (- 2t + 1-1) + u (t-3) (3t + 2t-1) & = + u ( t-5) (t-1-3t)، end {align} nonumber ]

أو

[f (t) = 1-2u (t-2) t + u (t-3) (5t-1) -u (t-5) (2t + 1). لا يوجد رقم]

الآن تشير النظرية ( PageIndex {1} ) إلى ذلك

[ start {align} { cal L} (f) & = { cal L} (1) -2e ^ {- 2s} { cal L} (t + 2) + e ^ {- 3s} { cal L} left (5 (t + 3) -1 right) -e ^ {- 5s} { cal L} left (2 (t + 5) +1 right) [4pt] & = { cal L} (1) -2e ^ {- 2s} { cal L} (t + 2) + e ^ {- 3s} { cal L} (5t + 14) -e ^ {- 5s} { cal L} (2t + 11) [4pt] & = {1 over s} -2e ^ {- 2s} left ({1 over s ^ 2} + {2 over s} right ) + e ^ {- 3s} left ({5 over s ^ 2} + {14 over s} right) -e ^ {- 5s} left ({2 over s ^ 2} + {11 أكثر من s} يمين). نهاية {محاذاة} غير رقم ]

الهويات المثلثية

[ label {eq: 8.4.8} sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ]

[ label {eq: 8.4.9} cos (A + B) = cos A cos B- sin A sin B ]

مفيدة في المسائل التي تنطوي على تبديل حجج الدوال المثلثية. سنستخدم هذه الهويات في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {5} )

أوجد تحويل لابلاس لـ

[ label {eq: 8.4.10} f (t) = left { begin {array} {cl} { sin t،} & {0 leq t < frac { pi} {2} } { cos t-3 sin t،} & { frac { pi} {2} leq t < pi} {3 cos t،} & {t geq pi} نهاية {مجموعة} يمين. ]

(الشكل ( PageIndex {4} )).

المحلول

من حيث وظائف الخطوة ،

[f (t) = sin t + u (t- pi / 2) ( cos t-4 sin t) + u (t- pi) (2 cos t + 3 sin t). لا يوجد رقم]

الآن تشير النظرية ( PageIndex {1} ) إلى ذلك

[ label {eq: 8.4.11} start {array} {ccl} { cal L} (f) & = & { cal L} ( sin t) + e ^ {- { pi over 2} s} { cal L} left ( cos left (t + { pi over2} right) -4 sin left (t + { pi over2} right) right) [ 4pt] && qquad + e ^ {- pi s} { cal L} left (2 cos (t + pi) +3 sin (t + pi) right). نهاية {مجموعة} ]

منذ

[ cos left (t + { pi over 2} right) -4 sin left (t + { pi over 2} right) = - sin t-4 cos t nonumber ]

و

[2 cos (t + pi) +3 sin (t + pi) = - 2 cos t-3 sin t، nonumber ]

نرى من المعادلة المرجع {eq: 8.4.11} أن

[ start {align *} { cal L} (f) & = { cal L} ( sin t) -e ^ {- pi s / 2} { cal L} ( sin t + 4 cos t) -e ^ {- pi s} { cal L} (2 cos t + 3 sin t) [4pt] & = {1 over s ^ 2 + 1} -e ^ { - { pi over 2} s} left ({1 + 4s over s ^ 2 + 1} right) -e ^ {- pi s} left ({3 + 2s over s ^ 2 + 1} حق). نهاية {محاذاة *} غير رقم ]

نظرية التحول الثانية

يؤدي استبدال (g (t) ) بـ (g (t- tau) ) في النظرية ( PageIndex {1} ) إلى الحصول على النظرية التالية.

Theorem ( PageIndex {2} ): نظرية التحول الثانية

إذا كان ( tau ge0 ) و ({ cal L} (g) ) موجودًا لـ (s> s_0 ) إذن ({ cal L} left (u (t- tau) g (t- tau) right) ) موجود لـ (s> s_0 ) و

[{ cal L} (u (t- tau) g (t- tau)) = e ^ {- s tau} { cal L} (g (t))، nonumber ]

أو مكافئ،

[ label {eq: 8.4.12} mbox {if} g (t) leftrightarrow G (s)، mbox {then} u (t- tau) g (t- tau) leftrightarrow e ^ {-s tau} G (s). ]

ملحوظة

تذكر أن نظرية التحول الأولى (النظرية 8.1.3 تنص على أن ضرب دالة في (e ^ {at} ) يتوافق مع تحويل وسيطة تحويلها بوحدات. تنص النظرية ( PageIndex {2} ) على أن إن ضرب تحويل لابلاس في الأسي (e ^ {- tau s} ) يتوافق مع تحويل وسيطة التحويل العكسي بوحدات ( tau ).

مثال ( PageIndex {6} )

استخدم المعادلة المرجع {eq: 8.4.12} للبحث

[{ cal L} ^ {- 1} left (e ^ {- 2s} over s ^ 2 right). لا يوجد رقم]

المحلول

لتطبيق المعادلة المرجع {eq: 8.4.12} دعونا ( tau = 2 ) و (G (s) = 1 / s ^ 2 ). ثم (g (t) = t ) والمعادلة ref {eq: 8.4.12} تدل على ذلك

[{ cal L} ^ {- 1} left (e ^ {- 2s} over s ^ 2 right) = u (t-2) (t-2). nonumber ]

مثال ( PageIndex {7} )

أوجد معكوس تحويل لابلاس (h ) لـ

[H (s) = {1 over s ^ 2} -e ^ {- s} left ({1 over s ^ 2} + {2 over s} right) + e ^ {- 4s} يسار ({4 أكثر s ^ 3} + {1 أكثر s} يمين) ، غير رقم ]

وابحث عن صيغ مميزة لـ (ح ) على فترات زمنية مناسبة.

المحلول

يترك

[G_0 (s) = {1 over s ^ 2}، quad G_1 (s) = {1 over s ^ 2} + {2 over s}، quad G_2 (s) = {4 over s ^ 3} + {1 over s}. nonumber ]

ثم

[g_0 (t) = t ، ؛ g_1 (t) = t + 2 ، ؛ g_2 (t) = 2t ^ 2 + 1. non number ]

ومن ثم ، فإن المعادلة المرجع {eq: 8.4.12} وخطية ({ cal L} ^ {- 1} ) تدلان على ذلك

[ begin {align} h (t) & = { cal L} ^ {- 1} left (G_0 (s) right) - { cal L} ^ {- 1} left (e ^ { -s} G_1 (s) right) + { cal L} ^ {- 1} left (e ^ {- 4s} G_2 (s) right) [4pt] & = tu (t-1) يسار [(t-1) +2 يمين] + u (t-4) يسار [2 (t-4) ^ 2 + 1 right] [4pt] & = tu (t-1) ( t + 1) + u (t-4) (2t ^ 2-16t + 33)، end {align} nonumber ]

والتي يمكن كتابتها أيضًا باسم

[h (t) = left { start {array} {cl} t، & 0 le t <1، [4pt] -1، & 1 le t <4، [4pt] 2t ^ 2-16 طن + 32 ، & t ge4. نهاية {مجموعة} صحيح. عدد ]

مثال ( PageIndex {8} )

أوجد التحويل العكسي لـ

[H (s) = {2s over s ^ 2 + 4} -e ^ {- { pi over 2} s} {3s + 1 over s ^ 2 + 9} + e ^ {- pi s} {s + 1 over s ^ 2 + 6s + 10}. لا يوجد رقم]

المحلول

يترك

[G_0 (s) = {2s over s ^ 2 + 4}، quad G_1 (s) = - {(3s + 1) over s ^ 2 + 9}، nonumber ]

و

[G_2 (s) = {s + 1 over s ^ 2 + 6s + 10} = {(s + 3) -2 over (s + 3) ^ 2 + 1}. nonumber ]

ثم

[g_0 (t) = 2 cos 2t، quad g_1 (t) = - 3 cos 3t- {1 over 3} sin 3t، nonumber ]

و

[g_2 (t) = e ^ {- 3t} ( cos t-2 sin t). nonumber ]

لذلك المعادلة المرجع {eq: 8.4.12} وخطية ({ cal L} ^ {- 1} ) تدل على ذلك

[ start {align} h (t) & = 2 cos 2t-u (t- pi / 2) left [3 cos 3 (t- pi / 2) + {1 over 3} الخطيئة 3 left (t - { pi over 2} right) right] [4pt] & = + u (t- pi) e ^ {- 3 (t- pi)} left [ cos (t- pi) -2 sin (t- pi) right]. end {align} nonumber ]

باستخدام معادلة المتطابقات المثلثية المرجع {eq: 8.4.8} والمعادلة المرجع {eq: 8.4.9} ، يمكننا إعادة كتابة هذا على النحو التالي

[ label {eq: 8.4.13} start {align} h (t) & = 2 cos 2t + u (t- pi / 2) left (3 sin 3t- {1 over 3} cos 3t right) [4pt] & = -u (t- pi) e ^ {- 3 (t- pi)} ( cos t-2 sin t) end {align} ]

(الشكل ( PageIndex {5} )).


معالجة المدخلات والمخرجات في وظائف الخطوة

يتلقى تنفيذ وظائف الخطوة نص JSON كمدخلات ويمرر هذا الإدخال إلى الحالة الأولى في سير العمل. تستقبل الحالات الفردية JSON كمدخلات وعادة ما تمرر JSON كإخراج إلى الحالة التالية. يعد فهم كيفية تدفق هذه المعلومات من دولة إلى أخرى ، وتعلم كيفية تصفية هذه البيانات ومعالجتها ، أمرًا أساسيًا لتصميم مهام سير العمل وتنفيذها بشكل فعال في وظائف خطوات AWS.

في لغة Amazon States ، تقوم هذه الحقول بتصفية والتحكم في تدفق JSON من حالة إلى أخرى:

يوضح الرسم التخطيطي التالي كيف تتحرك معلومات JSON خلال حالة المهمة. يحدد InputPath أي أجزاء من إدخال JSON لتمريرها إلى مهمة حالة المهمة (على سبيل المثال ، وظيفة AWS Lambda). ثم يحدد ResultPath أي مجموعة من مدخلات الحالة ونتائج المهمة لتمريرها إلى الإخراج. يمكن لـ OutputPath تصفية إخراج JSON للحد بشكل أكبر من المعلومات التي يتم تمريرها إلى الإخراج.

يتعامل كل من InputPath و Parameters و ResultSelector و ResultPath و OutputPath مع JSON أثناء انتقاله عبر كل حالة في سير العمل.

يمكن لكل منها استخدام المسارات لتحديد أجزاء من JSON من الإدخال أو النتيجة. المسار عبارة عن سلسلة تبدأ بالحرف $ ، وهي تحدد العقد داخل نص JSON. تستخدم مسارات وظائف الخطوة صيغة JsonPath.


وظائف خطوة AWS

AWS الخطوة وظائف - это средство оркестрации бессерверных функций، которое облегчает создание последовательностей функций AWS امدا и различных сервисов AWS для приложений، критически важных для деятельности компании. С помощью визуального интерфейса можно создавать и запускать рабочие процессы с контрольными точками или управлением событиями для сохранения состояния приложения. ыходные данные одного ага становятся входными данными следующего шага. аждый шаг в приложении ожидаемым образом выполняется في указанном порядке согласно заданойсизно заданойс.

Оркестрация нескольких бессерверных приложений، управление повторами и отладка могут быть связаны с определенными трудностями. о мере того как распределенные приложения более сложными، управление ими также усо. Благодаря встроенным средствам управления الخطوة وظائف управляет последовательностями، обработкой ошибок، алгоритмом повтора и состоянием، что позволяет снять значительную часть операционной нагрузки с команды разработчиков.

Создание рабочего процесса за 10 минут

هل تريد الحصول على وظائف خطوات AWS و AWS Lambda؟ одробнее.


8.4.1. أهمية كم و الخامسالأعلى قيم

الرؤى المفاهيمية ، حركية إنزيم الحالة المستقرة

تعلم كيف المعلمات الحركية K.م و V.الأعلى يمكن تحديدها بشكل تجريبي باستخدام محاكاة معمل حركية الإنزيم في وحدة الوسائط هذه.

ثابت ميكايليس ، كم، والمعدل الأقصى ، الخامسالأعلى، يمكن اشتقاقها بسهولة من معدلات الحفز المقاسة في مجموعة متنوعة من تركيزات الركيزة إذا كان الإنزيم يعمل وفقًا للمخطط البسيط الوارد في المعادلة 23. اشتقاق كم و الخامسالأعلى يتم تحقيقه بشكل أكثر شيوعًا باستخدام برامج ملائمة المنحنيات على جهاز كمبيوتر (انظر ملحق هذا الفصل لمعرفة الوسائل البديلة لتحديد كم و الخامسالأعلى). ال كم تتراوح قيم الإنزيمات على نطاق واسع (الجدول 8.5). بالنسبة لمعظم الإنزيمات ، كم تقع بين 10-1 و 10 -7 M. كم تعتمد قيمة الإنزيم على ركيزة معينة وعلى الظروف البيئية مثل الأس الهيدروجيني ودرجة الحرارة والقوة الأيونية. ثابت ميكايليس ، كمله معنيين. أولا، كم هو تركيز الركيزة التي يتم فيها ملء نصف المواقع النشطة. هكذا، كم يوفر مقياسًا لتركيز الركيزة المطلوب لحدوث تحفيز كبير. في الواقع ، بالنسبة للعديد من الإنزيمات ، تشير الأدلة التجريبية إلى ذلك كم يوفر تقريبًا لتركيز الركيزة في الجسم الحي. عندما كم من المعروف أن جزء المواقع مملوء ، FES، في أي ركيزة يمكن حساب تركيزها من

الجدول 8.5

كم قيم بعض الانزيمات.

ثانية، كم يرتبط بثوابت المعدل للخطوات الفردية في المخطط التحفيزي الوارد في المعادلة 9. في المعادلة 15 ، كم يعرف ب (ك-1 + ك2)/ك1. النظر في حالة مقيدة فيها ك-1 أكبر بكثير من ك2. في ظل هذه الظروف ، ينفصل المركب ES إلى E و S بسرعة أكبر بكثير من تكوين المنتج. في ظل هذه الظروف (ك-1 & # x0003e & # x0003e ك2),

يتم إعطاء ثابت تفكك المركب ES بواسطة

بمعنى آخر ، Kم يساوي ثابت تفكك المركب ES إذا ك2 أصغر بكثير من ك-1. عندما يتم استيفاء هذا الشرط ، كم هو مقياس لقوة المركب ES: مرتفع كم يشير إلى ارتباط ضعيف منخفض كم يشير إلى ارتباط قوي. يجب التأكيد على ذلك كم يشير إلى تقارب مجمع ES فقط عندما ك-1 أكبر بكثير من ك2.

المعدل الأقصى ، الخامسالأعلى، يكشف عن عدد دوران من الانزيم ، وهو عدد جزيئات الركيزة المحولة إلى منتج بواسطة جزيء إنزيم في وحدة زمنية عندما يكون الإنزيم مشبعًا تمامًا بالركيزة. إنه يساوي الثابت الحركي ك2، وهو ما يسمى أيضًا كقط. المعدل الأقصى ، الخامسالأعلى، يكشف عن رقم دوران الإنزيم إذا كان تركيز المواقع النشطة [E]تي معروف ، لأن

على سبيل المثال ، يحفز محلول 10 -6 M من الأنهيدراز الكربوني تكوين 0.6 MH2كو3 في الثانية عندما تكون مشبعة بالكامل بالركيزة. بالتالي، ك2 هو 6 & # x000d7 10 5 s -1. رقم التداول هذا هو واحد من أكبر الأرقام المعروفة. يحدث كل تفاعل محفز في وقت يساوي 1 /ك2، وهو 1.7 & # x003bcs للأنهيدراز الكربوني. تقع أعداد دوران معظم الإنزيمات بركائزها الفسيولوجية في النطاق من 1 إلى 10 4 في الثانية (الجدول 8.6).

الجدول 8.6

الحد الأقصى لأعداد دوران بعض الإنزيمات.


محتويات

على الرغم من أن جميع المرشحات الإلكترونية التناظرية تقريبًا هي IIR ، إلا أن المرشحات الرقمية قد تكون إما IIR أو FIR. إن وجود ردود الفعل في طوبولوجيا مرشح الوقت المنفصل (مثل مخطط الكتلة الموضح أدناه) يخلق بشكل عام استجابة IIR. تحتوي وظيفة نقل المجال z لمرشح IIR على مقام غير تافه ، يصف شروط التغذية الراجعة هذه. من ناحية أخرى ، تحتوي وظيفة النقل لمرشح FIR على بسط فقط كما هو معبر عنه في الشكل العام المشتق أدناه. كل من أ < displaystyle a_> المعاملات مع i & gt 0 < displaystyle i & gt0> (شروط التغذية الراجعة) هي صفر ولا يحتوي المرشح على أقطاب محدودة.

تمت دراسة وظائف النقل المتعلقة بالفلاتر الإلكترونية التناظرية IIR على نطاق واسع وتحسينها من حيث السعة وخصائص المرحلة. تم وصف وظائف مرشح الوقت المستمر هذه في مجال لابلاس. يمكن نقل الحلول المرغوبة إلى حالة مرشحات الوقت المنفصل التي يتم التعبير عن وظائف النقل الخاصة بها في المجال z ، من خلال استخدام تقنيات رياضية معينة مثل التحويل الثنائي الخطي ، أو ثبات النبضة ، أو طريقة المطابقة بين القطب والصفر. وبالتالي يمكن أن تستند مرشحات IIR الرقمية إلى حلول معروفة جيدًا لمرشحات تمثيلية مثل مرشح Chebyshev ومرشح Butterworth والمرشح الإهليلجي ، مما يورث خصائص تلك الحلول.

غالبًا ما يتم وصف المرشحات الرقمية وتنفيذها من حيث معادلة الفرق التي تحدد كيفية ارتباط إشارة الخرج بإشارة الإدخال:

الشكل الأكثر تكثيفًا لمعادلة الفرق هو:

والتي ، عند إعادة ترتيبها ، تصبح:

للعثور على وظيفة النقل للمرشح ، نأخذ أولاً تحويل Z لكل جانب من المعادلة أعلاه ، حيث نستخدم خاصية إزاحة الوقت للحصول على:

نحدد وظيفة النقل لتكون:

تسمح وظيفة النقل للفرد بالحكم على ما إذا كان النظام مقيدًا بمدخلات ومخرجات محدودة (BIBO) مستقرًا أم لا. لكي تكون محددًا ، يتطلب معيار استقرار BIBO أن تتضمن ROC للنظام دائرة الوحدة. على سبيل المثال ، بالنسبة للنظام السببي ، يجب أن يكون لجميع أقطاب دالة النقل قيمة مطلقة أصغر من واحد. بمعنى آخر ، يجب وضع جميع الأعمدة داخل دائرة وحدة في z < displaystyle z> -plane.

يُفضل أحيانًا استخدام مرشحات IIR على مرشحات FIR لأن مرشح IIR يمكن أن يحقق انتقالًا أكثر حدة لمنطقة انتقال من مرشح FIR من نفس الترتيب.

دع وظيفة النقل H (z) لمرشح الوقت المنفصل تعطى بواسطة:

الميزة الرئيسية لمرشحات IIR الرقمية التي تتفوق على مرشحات FIR هي كفاءتها في التنفيذ ، من أجل تلبية المواصفات من حيث نطاق التمرير و / أو نطاق التوقف و / أو التموج و / أو التدحرج. يمكن تحقيق هذه المجموعة من المواصفات بترتيب أقل (س في الصيغ أعلاه) مرشح IIR مما هو مطلوب لمرشح FIR الذي يلبي نفس المتطلبات. إذا تم تنفيذه في معالج إشارة ، فإن هذا يعني ضمناً عددًا أقل من العمليات الحسابية لكل خطوة زمنية ، غالبًا ما تكون المدخرات الحسابية عاملاً كبيرًا إلى حد ما.

من ناحية أخرى ، يمكن أن يكون تصميم مرشحات FIR أسهل ، على سبيل المثال ، لمطابقة متطلبات استجابة تردد معينة. هذا صحيح بشكل خاص عندما لا يكون المتطلب من الحالات المعتادة (تمرير عالي ، تمرير منخفض ، درجة ، إلخ) التي تمت دراستها وتحسينها للفلاتر التناظرية. يمكن أيضًا إجراء مرشحات FIR بسهولة لتكون طورًا خطيًا (تأخر مجموعة ثابت مقابل تردد) - خاصية لا يمكن تلبيتها بسهولة باستخدام مرشحات IIR وبعد ذلك فقط كتقريب (على سبيل المثال مع مرشح Bessel). هناك مشكلة أخرى تتعلق بمرشحات IIR الرقمية وهي إمكانية سلوك دورة الحد عند الخمول ، بسبب نظام التغذية المرتدة بالتزامن مع التكميم.

تحرير الثوابت الدافعة

الثبات النبضي عبارة عن تقنية لتصميم مرشحات الاستجابة للاندفاع اللانهائي ذات الوقت المنفصل من مرشحات الوقت المستمر التي يتم فيها أخذ عينات من الاستجابة النبضية لنظام الوقت المستمر لإنتاج الاستجابة النبضية لنظام الوقت المنفصل. الثبات النبضي هو أحد الأساليب الشائعة الاستخدام لتلبية المطلبين الأساسيين لرسم الخرائط من المستوى s إلى المستوى z. يتم الحصول على ذلك عن طريق حل T (z) التي لها نفس قيمة الإخراج في نفس وقت أخذ العينات مثل المرشح التناظري ، وهي قابلة للتطبيق فقط عندما تكون المدخلات في نبضة.
لاحظ أن جميع مدخلات المرشح الرقمي الناتجة عن هذه الطريقة هي قيم تقريبية ، باستثناء مدخلات النبض الدقيقة للغاية. هذه هي أبسط طريقة لتصميم مرشح IIR. وهي الأكثر دقة عند الترددات المنخفضة ، لذا فهي تستخدم عادةً في مرشحات الترددات المنخفضة.

بالنسبة إلى تحويل لابلاس أو تحويل z ، يكون الإخراج بعد التحويل مجرد الإدخال مضروبًا في دالة التحويل المقابلة ، T (s) أو T (z). Y (s) و Y (z) هما الناتج المحول للمدخلات X (s) والمدخلات X (z) ، على التوالي.

عند تطبيق تحويل لابلاس أو تحويل z على نبضة الوحدة ، تكون النتيجة 1. وبالتالي ، تكون نتائج الإخراج بعد التحويل

الآن ناتج المرشح التناظري هو مجرد تحويل لابلاس العكسي في المجال الزمني.

إذا استخدمنا nT بدلاً من t ، فيمكننا الحصول على الناتج y (nT) المشتق من النبضة في وقت أخذ العينات. يمكن أيضًا التعبير عنها كـ y (n)

يمكن تطبيق إشارة الوقت المنفصلة هذه على تحويل z للحصول على T (z)

تصف المعادلة الأخيرة ، في الرياضيات ، أن مرشح IIR الرقمي هو إجراء تحويل z على الإشارة التناظرية التي تم أخذ عينات منها وتحويلها إلى T (s) بواسطة Laplace ، والتي عادة ما يتم تبسيطها إلى

انتبه إلى حقيقة أن هناك مُضاعِف T يظهر في الصيغة. هذا لأنه حتى لو كان تحويل لابلاس والتحويل z لنبضة الوحدة 1 ، فإن النبضة نفسها ليست بالضرورة نفسها. بالنسبة للإشارات التناظرية ، فإن النبضة لها قيمة لا نهائية ولكن المنطقة تساوي 1 عند t = 0 ، لكنها 1 عند نبضة الزمن المنفصل t = 0 ، لذا فإن وجود المضاعف T مطلوب.

الخطوة الثابته تحرير

ثبات الخطوة هو أسلوب تصميم أفضل من ثبات النبضة. يحتوي المرشح الرقمي على عدة مقاطع إدخال ذات ثوابت مختلفة عند أخذ العينات ، والتي تتكون من خطوات منفصلة. يكون مرشح IIR المتغير الخطوة أقل دقة من نفس إشارة خطوة الإدخال إلى ADC. ومع ذلك ، فهو تقريب أفضل لأي إدخال من ثابت النبضة.
يحل متغير الخطوة مشكلة نفس قيم العينة عندما يكون كل من T (z) و T (s) مدخلات خطوة. الإدخال إلى المرشح الرقمي هو u (n) ، والمدخل إلى المرشح التناظري هو u (t). قم بتطبيق تحويل z وتحويل لابلاس على هذين المدخلين للحصول على إشارة الخرج المحولة.
قم بإجراء تحويل z عند إدخال الخطوة Z [u (n)] = z z - 1 >>
الناتج المحول بعد تحويل z Y (z) = T (z) U (z) = T (z) zz - 1 >>
قم بإجراء تحويل لابلاس عند إدخال الخطوة L [u (t)] = 1 s >>
الناتج المحول بعد تحويل لابلاس Y (s) = T (s) U (s) = T (s) s >>
ناتج المرشح التناظري هو y (t) ، وهو تحويل لابلاس العكسي لـ Y (s). إذا تم أخذ عينات كل T ثانية ، فسيكون y (n) ، وهو التحويل العكسي لـ Y (z). تُستخدم هذه الإشارات لحل المرشح الرقمي والمرشح التناظري ويكون لها نفس الإخراج في وقت أخذ العينات.
تشير المعادلة التالية إلى حل T (z) ، وهي الصيغة التقريبية للمرشح التناظري.

تحرير تحويل خطي

معكوس هذا التعيين (والتقريب الثنائي الخطي من الدرجة الأولى) هو

تُستخدم هذه العلاقة في وظيفة نقل لابلاس لأي مرشح تناظري أو مرشح الاستجابة النبضية الرقمية اللانهائية (IIR) T (z) للمرشح التناظري.
يستخدم التحويل الخطي بشكل أساسي هذا التقريب والبدائل من الدرجة الأولى في وظيفة نقل الوقت المستمر ، H a (s)

والتي تُستخدم لحساب مرشح IIR الرقمي ، بدءًا من وظيفة النقل Laplace للمرشح التناظري.


الخطية

توضح خصائص الجمع والضرب العددية المجمعة في الجدول أعلاه الخاصية الأساسية للخطية. ما يجب أن تراه هو أنه إذا أخذ المرء تحويل فورييه لمجموعة خطية من الإشارات ، فسيكون نفس التركيبة الخطية من تحويلات فورييه لكل من الإشارات الفردية. هذا أمر بالغ الأهمية عند استخدام جدول (القسم 8.3) من التحويلات للعثور على تحويل إشارة أكثر تعقيدًا.

سنبدأ بالإشارة التالية:

الآن ، بعد أن نأخذ تحويل فورييه ، الموضح في المعادلة أدناه ، لاحظ أن التركيبة الخطية للمصطلحات لا تتأثر بالتحويل.

تناظر

التناظر هو خاصية يمكن أن تجعل الحياة سهلة للغاية عند حل المشكلات التي تنطوي على تحويلات فورييه. ما تقوله هذه الخاصية أساسًا هو أنه نظرًا لأن الدالة المستطيلة في الوقت المناسب هي دالة صادقة في التردد ، فإن دالة سينت في الوقت المناسب ستكون دالة مستطيلة في التردد. هذه نتيجة مباشرة للتشابه بين CTFT الأمامي و CTFT العكسي. الاختلاف الوحيد هو القياس بواسطة (2 pi ) وانعكاس التردد.

تحجيم الوقت

تتناول هذه الخاصية التأثير على تمثيل مجال التردد لإشارة إذا تم تغيير متغير الوقت. إن أهم مفهوم يجب فهمه لخاصية قياس الوقت هو أن الإشارات الضيقة في الوقت المناسب ستكون واسعة في التردد والعكس صحيح. أبسط مثال على ذلك هو دالة دلتا ، وحدة نبضة مع a جدا مدة صغيرة ، في الوقت الذي يصبح دالة ثابتة ذات طول لانهائي في التردد.

يوضح الجدول أعلاه هذه الفكرة للتحول العام من المجال الزمني إلى مجال التردد للإشارة. يجب أن تكون قادرًا على ملاحظة أن هذه المعادلات توضح العلاقة المذكورة سابقًا: إذا زاد متغير الوقت ، فسيتم تقليل نطاق التردد.

تغيير الوقت

يوضح التحول الزمني أن التحول في الوقت يعادل تحول الطور الخطي في التردد. نظرًا لأن محتوى التردد يعتمد فقط على شكل الإشارة ، والذي لم يتغير في التحول الزمني ، فسيتم تغيير طيف الطور فقط. تم إثبات هذه الخاصية أدناه:

سنبدأ بترك (z (t) = f (t & minus tau) ). الآن دعونا نأخذ تحويل فورييه بالتعبير السابق الذي تم استبداله بـ (z (t) ).

لنقم الآن بتغيير بسيط في المتغيرات ، حيث ( sigma = t- tau ). من خلال العمليات الحسابية أدناه ، يمكنك أن ترى أن المتغير الأسي فقط هو الذي يتم تغييره وبالتالي فقط تغيير المرحلة في مجال التردد.

التفاف

يعد الالتواء أحد الأسباب الرئيسية لتحويل الإشارات إلى مجال التردد ، حيث يصبح الالتواء في الوقت المناسب مضاعفة في التردد. هذه الخاصية هي أيضًا مثال ممتاز آخر على التناظر بين الوقت والتردد. كما يوضح أنه قد يكون هناك القليل من الكسب من خلال التغيير إلى مجال التردد عندما يتعلق الأمر بالضرب في الوقت المناسب.

سنقدم تكامل الالتفاف هنا ، ولكن إذا لم تكن قد رأيت هذا من قبل أو كنت بحاجة إلى تحديث ذاكرتك ، فابحث عن وحدة التفاف الوقت المستمر (القسم 3.3) للحصول على شرح واشتقاق أكثر تعمقًا.

تمايز الوقت

نظرًا لأنه يمكن تمثيل أنظمة LTI (القسم 2.1) من حيث المعادلات التفاضلية ، فمن الواضح بهذه الخاصية أن التحويل إلى مجال التردد قد يسمح لنا بتحويل هذه المعادلات التفاضلية المعقدة إلى معادلات أبسط تتضمن الضرب والإضافة. غالبًا ما يتم النظر إلى هذا بمزيد من التفصيل أثناء دراسة تحويل لابلاس (القسم 11.1).

علاقة بارسيفال

تخبرنا علاقة بارسيفال أن طاقة الإشارة تساوي طاقة تحويل فورييه.

التحوير (تغيير التردد)

يعد التعديل أمرًا ضروريًا تمامًا لتطبيقات الاتصالات. القدرة على تحويل إشارة إلى تردد مختلف ، يسمح لنا بالاستفادة من أجزاء مختلفة من الطيف الكهرومغناطيسي هو ما يسمح لنا بنقل التلفزيون والراديو والتطبيقات الأخرى عبر نفس المساحة دون تدخل كبير.

إن إثبات خاصية إزاحة التردد مشابه جدًا لتلك الخاصة بإزاحة الوقت ، ولكن هنا سنستخدم معكوس تحويل فورييه بدلاً من تحويل فورييه. نظرًا لأننا مررنا بالخطوات السابقة ، إثبات التحول الزمني ، سنعرض أدناه الخطوة الأولى والأخيرة فقط لهذا الدليل:

الآن يمكننا ببساطة تقليل هذه المعادلة من خلال تغيير آخر في المتغيرات وتبسيط الحدود. ثم نثبت الملكية الواردة في الجدول أعلاه:


وظيفة خطوة الوحدة ودوائر القيادة RL / RC

إذا كانت t0 = 0 ، فإن قيمة الوظيفة هي A ، دائمًا بعد 0 ثانية.

إذا كانت الدوال هي Au (-t) ، فإن قيمتها تكون A فقط على الجانب السلبي لمحور t.

لذلك ، أولاً أنا عالق قليلاً. كيفية تفسير 2u (1 - t). في هذه الحالة t0 = 1؟ أو


هنا هو التمرين الثاني حيث أحتاج إلى المساعدة: مصدر الجهد 60-40u (t) متصل بالتسلسل مع a

10 أوم المقاوم ، 50 مللي أمبير مغو. ابحث عن تيار المحرِّض والجهد عند t يساوي: أ) 0- ، ب)

حسنًا ، تقول لي -40u (t) أنه بعد 0 ثانية تكون قيمة هذه الوظيفة -40 ، لذلك. 60 - 40 =

لذلك في حالة أ) 0- ، يكون الوقت قبل 0. عند هذه الدالة المحيطة بالبيئة يكون 0 ، ثم 60 - 0 =

والتيار 60v / 10 ohm = 6A هذه هي الإجابة الصحيحة. لكن في الجواب يكتبون

هنا الجواب على هذا التمرين: a)6A, 0v b) 6A, 40v c) 2A, 0v d) 20A, 22v

could u help me with these exercises please, and explain. thanks

Aryajur

Advanced Member level 3

The definition of a unit step function is:

2u(1-t) = 2 for 1-t>=0 or t<=1
= 0 for 1-t<0 or t>1

So the functions value at t =2 becomes:
0 - 3 - 4 = -7

The second problem at 0- is a 60V source with a 10 ohm resistor and 50 mH Inductor. This is the at steady state for t=0- so a current of 60/10 = 6A is flowing and since the inductor is ideal no voltage is drop across it, therefore voltage is 0V.
At 0+ voltage is steps from 60 to 20 volt. But the inductor will not allow instantaneous current change. So 6A needs to flow in the resistor. So the voltage at the inductor will go down by 40V to keep the voltage across the resistor the same = 60V so the voltage across the inductor now will be -40V.
At infinity we again have steady state for a voltage of 20V so now a current of 2A is flowing and there is again no drop across the inductor.
For the 3ms case you have to solve the circuit using Laplace or differential equations. But I think the answer is wrong since the current will always be between 6A and 2A.

Advanced Member level 5

Regarding the second exercise: you are asked to calculate the INDUCTOR voltage.
Since the inductor has zero resistance, the voltage across it is zero at 0-. The current is as you said, 6A.

b) the voltage applied is a negative-going step, of amplitude 40V, from 60V to 20V. Since the inductor current cannot change instantaneously, the inductor current at 0+ is 6A. Since the current does not change, it follows that the voltage across the resistor does not change, so the entire voltage step will be found across the inductor. It really should read -40V, since its direction is opposite that of the current.

c) At infinity, the current is, of course, the remaining voltage / resistance, that is 2A. The inductor voltage is again zero, since its resistance is zero.

d) The inductor current decays exponentially from 6A to 2A, in accord with:
i(t)=i(0+)-(i(0+)-i(∞))*(1-e^(-t/τ)), where τ=L/R=5ms

Hence, the resistor voltage is 41.95V, so the inductor voltage is:
Vind=u(3ms)-R*i(3ms)=20-41.95V=-21.95V

The sign is just a matter of convention, but it tells you the voltage is opposite the direction of the current flow.

So I guess the book was wrong on the last point. Or, it's a typo, where the current was supposed to read 4.20A and then the voltage would have been 22V.

Note that the equation should provide the correct answers for any time t. My explanations were meant to give you guidance in quickly checking the results and providing some understanding of what was happening.


Quantum Effects

As expected, the quantum picture is different. Pieter Zeeman was one of the first to observe the splittings of spectral lines in a magnetic field caused by this interaction. Consequently, such splittings are known as the Zeeman effect. Let&rsquos now use our current knowledge to predict what the Zeeman effect for the 2p to 1s transition in hydrogen would look like, and then compare this prediction with a more complete theory. To understand the Zeeman effect, which uses a magnetic field to remove the degeneracy of different angular momentum states, we need to examine how an electron in a hydrogen atom interacts with an external magnetic field, (vec). Since magnetism results from the circular motion of charged particles, we should look for a relationship between the angular momentum (vec) and the magnetic dipole moment (vec _m).

The relationship between the magnetic dipole moment (vec _m) (also referred to simply as the magnetic moment) and the angular momentum (vec) of a particle with mass m and charge (q) is given by

For an electron, this equation becomes

where the specific charge and mass of the electron have been substituted for (q) and (m). The magnetic moment for the electron is a vector pointing in the direction opposite to (vec), both of which classically are perpendicular to the plane of the rotational motion.

Will an electron in the ground state of hydrogen have a magnetic moment? Why or why not?

The relationship between the angular momentum of a particle and its magnetic moment is commonly expressed as a ratio, called the gyromagnetic ratio, (gamma). Gyro is Greek for turn so gyromagnetic simply relates turning (angular momentum) to magnetism. Now you also know why the Greek sandwiches made with meat cut from a spit turning over a fire are called gyros.

In the specific case of an electron,

Calculate the magnitude of the gyromagnetic ratio for an electron.

To determine the energy of a hydrogen atom in a magnetic field we need to include the operator form of the hydrogen atom Hamiltonian. The Hamiltonian always consists of all the energy terms that are relevant to the problem at hand.

where (hat ^0) is the Hamiltonian operator in the absence of the field and (hat _m) is written using the operator forms of Equations ( ef<8.4.1>) and ( ef<8.4.3>)),

[ hat _m = - hat cdot vec = dfrac <2m_e>hat cdot B label <8.4.7>]

[ hat cdot vec = hat _x B_x + hat _y B_y + hat _z B_z label <8.4.8>]

simplifies if the z-axis is defined as the direction of the external field because then (B_x) and (B_y) are automatically 0, and Equation ef <8.4.6>becomes

where (B_z) is the magnitude of the magnetic field, which is along the z-axis.

We now can ask, &ldquoWhat is the effect of a magnetic field on the energy of the hydrogen atom orbitals?&rdquo To answer this question, we will not solve the Schrödinger equation again we simply calculate the expectation value of the energy, (left langle E ight angle ), using the existing hydrogen atom wavefunctions and the new Hamiltonian operator.

[ left langle E ight angle = left langle hat ^0 ight angle + dfrac <2m_e>left langle hat _z ight angle label <8.4.10>]

[left langle hat ^0 ight angle = int psi ^*_ hat ^0 psi _ d au = E_n label <8.4.11>]

[left langle hat _z ight angle = int psi ^*_ hat _z psi _ d au = m_l hbar label <8.4.12>]

Show that the expectation value (left langle hat _z ight angle = m_l hbar).

The expectation value approach provides an exact result in this case because the hydrogen atom wavefunctions are eigenfunctions of both (hat ^0) and (hat _z). If the wavefunctions were not eigenfunctions of the operator associated with the magnetic field, then this approach would provide a first-order estimate of the energy. First and higher order estimates of the energy are part of a general approach to developing approximate solutions to the Schrödinger equation. This approach, called perturbation theory, is discussed in the next chapter.

The expectation value calculated for the total energy in this case is the sum of the energy in the absence of the field, (E_n), plus the Zeeman energy, (dfrac <2m_e>)

[egin left langle E ight angle &= E_n + dfrac <2m_e>[4pt] &= E_n + mu _B B_z m_l label <8.4.13>end]

[ dfrac <2m_e>= - gamma _e hbar = mu _B label <8.4.14>]

defines the constant (mu _B), called the Bohr magneton, which is taken to be the fundamental magnetic moment. It has units of (9.2732 imes 10^<-21>) erg/Gauss or (9.2732 imes 10^<-24>) Joule/Tesla. This factor will help you to relate magnetic fields, measured in Gauss or Tesla, to energies, measured in ergs or Joules, for any particle with a charge and mass the same as an electron.

Equation ef <8.4.13>shows that the (m_l) quantum number degeneracy of the hydrogen atom is removed by the magnetic field. For example, the three states (psi _<211>) , (psi _<21-1>), and (psi _<210>), which are degenerate in zero field, have different energies in a magnetic field, as shown in Figure (PageIndex<3>).

Figure (PageIndex<3>): The Zeeman effect. Emission when an electron switches from a 2p orbital to a 1s orbital occurs at only one energy in the absence of a magnetic field, but can occur at three different energies in the presence of a magnetic field.

The (m_l = 0) state, for which the component of angular momentum and hence also the magnetic moment in the external field direction is zero, experiences no interaction with the magnetic field. The (m_l = +1) state, for which the angular momentum in the z-direction is +ħ and the magnetic moment is in the opposite direction, against the field, experiences a raising of energy in the presence of a field. Maintaining the magnetic dipole against the external field direction is like holding a small bar magnet with its poles aligned exactly opposite to the poles of a large magnet (Figure (PageIndex<5>)). It is a higher energy situation than when the magnetic moments are aligned with each other.

Figure (PageIndex<4>): The effect of an external magnetic field ((B)) on the energy of a magnetic dipole ((L)) oriented a) with and b) against the applied magnetic field.

Carry out the steps going from Equation ( ef<8.4.10>) to Equation ( ef<8.4.13>).

Consider the effect of changing the magnetic field on the magnitude of the Zeeman splitting. Sketch a diagram where the magnetic field strength is on the x-axis and the energy of the three 2p orbitals is on the y-axis to show the trend in splitting magnitudes with increasing magnetic field. Be quantitative, calculate and plot the exact numerical values using a software package of your choice.

Based on your calculations in Exercise (PageIndex<2>) sketch a luminescence spectrum for the hydrogen atom in the n = 2 level in a magnetic field of 1 Tesla. Provide the numerical value for each of the transition energies. Use cm -1 or electron volts for the energy units.


8.4: The Unit Step Function

and a point P = (u, v) is given in the plane, then the distance from the point to the line is determined by

where n = (A, B) is the vector of the coefficients, normal to the line. || n || is the norm of the vector. If the equation is normalized, i.e., if (2) is simplified:

To see why this is so, observe that (1) tells us that a straight line is a level curve of the linear function

(For any function f of any number of arguments, a level surface is the locus of points where f takes on the same value say. For functions of two arguments, the locii are naturally called level curves .)

For the function (3), the level curves

are all straight lines parallel to the one given by (1) because all of them are perpendicular to the same normal vector

(In the applet below, a straight line is defined by two points, each of which can be dragged independently causing a rotation around the other point. The line can also be dragged parallel to itself at any other point. There is an additional point with the distance to the line indicated in blue. The point can also be dragged. Note: the applet gives you a precision of 0 to 6 digits. The equalities therefore are not quite exact.)

If you are reading this, your browser is not set to run Java applets. Try IE11 or Safari and declare the site https://www.cut-the-knot.org as trusted in the Java setup.

The distance from a point to a line (or to any set, for that matter) is defined as the minimum distance between the given point and the points on the line:

over all r = (x, y) belong to line L . The minimum always exists for a straight line, but may not exist for other sets. For a straight line, the minimum is achieved at the foot of the perpendicular from the given point to the line. It is noteworthy that all points on one of the level lines have the same distance to any other level line, because the lines are parallel and the distances are measured via the perpendiculars. This is how the normal to the line comes into the play.

The function does not change its value along the level lines. All the change comes along the direction of the normal Assume m = n /|| n || is the unit vector normal to the level lines of the given function:

Pick a point (x0, y0) and define What is the difference between and Since the function f is linear we have

f(x1, y1) - f(x0, y0)= (Ax1 + By1 + C) - (Ax0 + By0 + C)
= A·A/|| n || + B·B/|| n ||
= A 2 /|| n || + B 2 /|| n ||
= (A 2 + B 2 )/|| n ||
= || n || 2 / || n ||
= || n ||.

That is, every step by one unit in the direction normal to the line change the value of the function by the norm of its normal vector? This is true for any linear function and for any form of its equation. In particular, if the equation is normalized to start with, a unit step in the direction normal to the line changes its value by exactly 1!. With every unit step, the values on the level lines grow by 1 in the direction of the normal, but they decrease by 1 in the opposite direction. The line (1) divides the plane into two halves. In one, which is pointed to by the normal f takes on positive values in the other f is negative throughout.

Once this simple behavior has been observed, let

where we choose the sign "+" if P lies in the "positive half-plane". We choose "-" otherwise. Since d is the distance from P = (u, v) to the line, and the distance from a point to the line is measured along the normal, i.e. m , the point in (4) lies on the line: This entails a sequence of steps:

0= f(x, y)
= A(u - d·(±A/|| n ||)) + B(v - d·(±B/|| n ||)) + C
= (Au + Bv + C) - d·[±(A 2 /|| n || + B 2 /|| n ||)]
= f(u, v) - [±d|| n ||].

where the sign is chosen so as to make ± f(u, v) positive. If d is considered the signed distance , i.e., if d comes with a sign minus if is negative, the formula is simplified to

In any event, we can conclude that (2) is indeed true.

If a straight line is given by an implicit equation we can similarly set

for r not necessarily on the line. Then the distance d from a point P to the line can be found from


Add Pole to Transfer Function

One method is to use the “conv” command, which will multiply two polynomials by performing a discrete convolution of the row vectors containing their coefficients. In this example, we want to multiply the denominator of G(s) by the polynomial s, which in MATLAB is represented by the row vector [1 0]. To do this, we enter denstep= conv (denG,[1 0]).

The other method is to append a 0 to the row vector denG with the statement denstep = [denG 0]. The numerator of the transform of the step response is the same as that of G(s), so we write numstep = numG. Having obtained the transform of the unit step response in terms of the row vectors numstep and denstep, we use the impulse command to get the inverse transform, which is the step response shown in Figure 1. Alternatively, we could have used the transfer function G(s) as expressed by the polynomials numG و denG و ال step command to generate the same plot. The calculation of the DC gain gives a value of 2.0, which agrees with G (0) as obtained by letting s = 0 in (1). These commands are contained in Script 5.

Matlab Code to Calculate and Plot Step Response

Fig.1: Step Response using Matlab Transfer Function

Note: As mentioned in the text, both IMPULSE and STEP commands produce the same plot. This can be checked by commenting one command at a time and obtain the response plot.

If yس(t) denotes the system’s unit step response, we can see from figure 1 that yس(0+)=0 and yس(∞)=2. To verify these values analytically, we write the Laplace transform of the step response as

The initial-value theorem gives

And the final-value theorem gives

As an option, you can delegate your assignment to experts and get MATLAB homework help online here – at AssignmentCore.


شاهد الفيديو: Creating Functions with Parameters Lesson Tutorial with Answers CS Principles (شهر اكتوبر 2021).