مقالات

1: ODEs من الدرجة الأولى


1: ODEs من الدرجة الأولى

الفصل 1: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى - عرض PowerPoint PPT

. التفاضل من الدرجة الأولى. إذا أكلنا معادلة تفاضلية من المعروف أن لها حل. من معادلات الدرجة الأولى لها تطبيقات رائعة. & ndash عرض PowerPoint PPT

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة لعروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح مع أعلى التصنيفات. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمه لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


1: ODEs من الدرجة الأولى

оличество зарегистрированных учащихся: 43 тыс.

تتناول هذه الدورة المعادلات التفاضلية وتغطي المواد التي يجب على جميع المهندسين معرفتها. يتم تدريس كل من النظرية والتطبيقات الأساسية. في الأسابيع الخمسة الأولى سنتعرف على المعادلات التفاضلية العادية ، وفي الأسبوع الأخير ، سنتعرف على المعادلات التفاضلية الجزئية. تتكون الدورة من 56 مقطع فيديو محاضرة قصيرة ، مع بعض المشاكل البسيطة لحلها بعد كل محاضرة. وبعد كل موضوع جوهري ، هناك اختبار تدريب قصير. يمكن العثور على حلول للمشكلات واختبارات الممارسة في ملاحظات المحاضرات التي يقدمها المعلم. هناك إجمالي ستة أسابيع في الدورة التدريبية ، وفي نهاية كل أسبوع يوجد اختبار تم تقييمه. قم بتنزيل ملاحظات المحاضرة: http://www.math.ust.hk/

machas / differential-equations-for-engineering.pdf شاهد الفيديو الترويجي: https://youtu.be/eSty7oo09ZI

Получаемые навыки

معادلة تفاضلية عادية ، معادلة تفاضلية جزئية (PDE) ، رياضيات هندسية

Рецензии

أفضل مسار. شرح الجوانب النظرية والعملية للمعادلات التفاضلية وفي نفس الوقت قام بتغطية جزء كبير من الموضوع بطريقة سهلة وتعليمية للغاية.

أعتقد أن هذه الدورة مناسبة جدًا لأي عقل فضولي. يمكنك تعلم مفاهيم مهمة وضرورية للغاية من خلال هذه الدورة. n n الدورات التي يدرسها الأستاذ الدكتور شاسنوف ممتازة.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية هي معادلة لدالة لها واحد أو أكثر من مشتقاتها. نقدم المعادلات التفاضلية ونصنفها. نتعرف بعد ذلك على طريقة أويلر لحل معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى (قصيدة) عدديًا. ثم نتعلم الطرق التحليلية لحل القصائد الخطية والقابلة للفصل من الدرجة الأولى. يتبع تفسير النظرية حلول توضيحية لبعض القصائد البسيطة. أخيرًا ، نتعرف على ثلاثة أمثلة من العالم الحقيقي للقواعد من الدرجة الأولى: الفائدة المركبة ، والسرعة النهائية للكتلة الساقطة ، والدائرة الكهربائية للمقاوم والمكثف.

Реподаватели

جيفري ر.شاسنوف

Екст видео

مرحبا بكم في المقرر الدراسي الخاص بي في المعادلات التفاضلية في هذا الفيديو ، أود أن أخبركم ببعض المصطلحات المرتبطة بالمعادلات التفاضلية. لقد كتبت هنا ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية على السبورة. المعادلة الأولى هي معادلة دائرة RLC في الهندسة الكهربائية. ثم المعادلة الثانية هي معادلة حركة البندول ، وهي كتلة تتأرجح ذهابًا وإيابًا. المعادلة الثالثة هي معادلة الانتشار التي تتحكم في قول الحركة لتشتت التلوث في الهواء. هذه كلها ما يسمى بالمعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، لأن ترتيب المعادلة التفاضلية يتحدد بترتيب المشتق الأعلى. إذن ، المعادلة الأولى لها مشتق ثانٍ من q بالنسبة إلى الوقت. المعادلة الثانية ، المشتق الأعلى رتبة هو المشتق الثاني من ثيتا فيما يتعلق بالوقت. المعادلة الأخيرة لدينا u تربيع جزئي بالنسبة إلى x تربيع وآخرون وهي أيضًا مشتقات من الدرجة الثانية. ستلاحظ أيضًا أن أول معادلتين لهما مشتق عادي لأن هناك متغيرًا واحدًا مستقلًا هنا وهو t. إذن ، q هي مجرد دالة لـ t ، q هي شحنة المكثف في الدائرة. ثيتا هي مجرد دالة لـ t ، ثيتا هي الزاوية التي يصنعها البندول مع الوضع الرأسي. لكن في المعادلة الثالثة ، u وهو تركيز التلوث في الهواء ، دالة لكل من الموضع x و y و z وأيضًا t. لذا ، فإن المعادلتين الأوليين هما ما نسميه المعادلات التفاضلية العادية أو المعادلات التفاضلية. المعادلة التفاضلية الثالثة هي ما نسميه المعادلات التفاضلية الجزئية أو PDEs. في هذه الدورة ، نقضي & # x27ll معظم وقتنا في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية ولكن في النهاية & # x27ll نعالج PDE الذي سيكون نسخة مبسطة من معادلة الانتشار هذه. هناك انقسام آخر لهذه المعادلات ، وهو النوع الخطي أو غير الخطي للمعادلة. في هذه الدورة ، سنركز على المعادلات الخطية لأن تلك هي المعادلات التي لها حلول تحليلية. هذا ما & # x27 سنفعله في هذه الدورة ، هو إيجاد حلول تحليلية. لكن المعادلات غير الخطية مهمة جدًا أيضًا لنمذجة المشكلات في الهندسة والفيزياء والمجالات الأخرى. إذن ماذا عن هذه المعادلات الثلاث؟ المعادلة الأولى هي معادلة خطية. نعني الخطي في q لذا ، هناك & # x27s أينما تدخل q ، فإنها تدخل من تلقاء نفسها. إذن ، هناك d تربيع q و dt تربيع و a dq و dt و a q. لا يوجد أبدًا q تربيعًا ، ولا توجد أبدًا دالة لـ q لها حدود في سلسلة تايلور أعلى من q. في هذه الحالة ، ثم & # x27s يسمى الخطي. يمكن أن تكون المعاملات دوال زمنية في معادلة خطية ، لكن يجب أن يكون لديك q فقط. المعادلة الثالثة هي أيضًا معادلة خطية. هنا & # x27s خطي في u ، لذلك لا يوجد حد u تربيع في هذه المعادلة أيضًا. ومع ذلك ، فإن المعادلة الثانية هي معادلة غير خطية. يوجد d تربيع ثيتا ، dt تربيع. هناك & # x27s a d Theta ، dt. هذان المصطلحان خطيان ولكن هناك & # x27s هذا المصطلح هنا ، وهو شرط ثيتا. لذا فإن شرط جيب ثيتا لديه سلسلة تايلور من ثيتا ناقص ثيتا تكعيبًا على ثلاثة مضروب. لذلك ، لديها شروط قوى ثيتا الأعلى فيها وهذا ما يسمى مصطلح غير خطي في هذه المعادلة. لذلك ، يعتبر هذا المصطلح معادلة غير خطية. حسنًا ، في هذه الدورة التدريبية ، سنجري معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى ، معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية. المعادلات الخطية بشكل أساسي ، نركز على المعادلات الخطية. & # x27ll نقوم بشكل أساسي بإجراء المعادلات التفاضلية العادية باستثناء الموضوع الأخير من هذه الدورة التدريبية ، حيث & # x27ll نعالج حل المعادلة التفاضلية الجزئية. لذا ، أعتقد أنه في هذه المحاضرة الأولى ، يجب علي على الأقل حل معادلة تفاضلية. هناك معادلة تفاضلية بسيطة للغاية يمكنك حلها بالفعل باستخدام حساب التفاضل والتكامل. هذه & # x27 هي معادلة كتلة تقع تحت الجاذبية بدون أي مقاومة للهواء ، فإن هذه المعادلة ستأخذ شكل d تربيع x ، dt تربيع يساوي ناقص g. تنص هذه المعادلة على أن عجلة هذه الكتلة ثابتة وفي الاتجاه الهبوطي g هو 9.8 متر لكل ثانية تربيع المعروفة. لذا ، فإن هذا النوع من المعادلة نظرًا لعدم وجود اعتماد آخر على x إلى جانب المصطلح المشتق ولا يوجد اعتماد على t في هذه المعادلة ، يعني أنه يمكنك حل هذه المعادلة بمجرد التكامل. لذا ، إذا قمت بدمج هذه المعادلة مرتين ، فسينتهي بك الأمر بحل يمكنني تدوينه قد يكون مألوفًا لكثير منكم. X لـ t يساوي الموضع الابتدائي للكتلة زائد السرعة الابتدائية للكتلة مضروبة في t ناقص 1.5 gt تربيع. حسنًا ، هذا & # x27s فقط من خلال دمج هذه المعادلة مرتين. يمكنك أن ترى أن المشتقة الأولى من وضع t يساوي 0 وهذه المعادلة تعطيك س صفرًا. هذا & # x27s يسمى الشرط الأولي. إذن ، الشروط الأولية هنا ، & # x27 سنرى أن المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية تحتاج إلى شرطين أوليين. الشروط الأولية هنا هي ببساطة أن x0 يساوي x لا شيء. ثم إذا أخذت المشتقة الأولى من هذه المعادلة ، لديك dx ، dt عند 0 يساوي u صفرًا ، فهذه ستكون السرعة الابتدائية لهذه الكتلة. إذن ، فإن ناقص 1.5 gt تربيع كافٍ للتأكد من أن المشتق الثاني لـ x يساوي ناقص g ، حسنًا. اسمحوا لي أن ألخص ، أنا & # x27m تقديم بعض المصطلحات المرتبطة بالمعادلات التفاضلية. ترتيب المعادلة هو ترتيب المشتق الأعلى في المعادلة. لديك معادلات تفاضلية عادية أو معادلات تفاضلية جزئية أو معادلات تفاضلية جزئية. لديك معادلات تفاضلية خطية وغير خطية. في هذه الدورة التدريبية & # x27ll ، نركز على المعادلات الخطية لأنها المعادلات التي يمكنك حلها باستخدام الطرق التحليلية. أخيرًا ، قمت بحل معادلة تفاضلية يجب أن يتمكن الجميع من حلها من دورة حساب التفاضل والتكامل وهذا هو القول بأن العجلة ثابتة. & # x27m شكرا Jeff Chasnov على المشاهدة وأنا & # x27ll أراك في الفيديو التالي


معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى والدرجة الأولى

تستدعي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى والدرجة الأولى x و y ولذا يمكن وضعها في أي من الأشكال التالية:

حيث من الواضح أن f (x ، y) و g (x ، y) هي دالة x ، y

التفسير الهندسي للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى والدرجة الأولى

الشكل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى والدرجة الأولى هو

نحن نعلم أن ظل اتجاه المنحنى في الإحداثيات المستطيلة الديكارتية في أي نقطة معطاة لذلك يمكن أن تُعرف المعادلة في (i) على أنها معادلة تحدد العلاقة بين إحداثيات نقطة ومنحدر المماس أي. ، إلى منحنى التكامل عند تلك النقطة.

يعني حل المعادلة التفاضلية المعطاة بواسطة (i) إيجاد تلك المنحنيات التي يتطابق اتجاه المماس عند كل نقطة مع اتجاه المجال. جميع المنحنيات التي يمثلها الحل العام عند أخذها معًا ستعطي موضع المعادلة التفاضلية. نظرًا لوجود ثابت تعسفي واحد في الحل العام لمعادلة الدرجة الأولى ، يمكن القول أن موضع المعادلة يتكون من منحنيات لا نهاية لها.

حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى والدرجة الأولى

كما نوقش سابقًا ، يمكن كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى والدرجة الأولى كـ

حيث من الواضح أن f (x ، y) و g (x ، y) هي وظائف x و y.

ليس من الممكن دائمًا حل هذا النوع من المعادلات. هذا الحل لهذا النوع من المعادلات التفاضلية. حل بعض النماذج القياسية وطرق الحصول على حلولها.

طرق حل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

سنناقش في هذا القسم عدة تقنيات للحصول على حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التفاضلية.

النوع I المعادلات التفاضلية من النوع

لحل هذا النوع من المعادلات التفاضلية نقوم بدمج كلا الجانبين للحصول على الحل العام كما هو موضح أدناه:

تكامل الجانبين ، نحصل عليه

مثال

دمج الجانبين ، نحصل عليه

هذا هو الحل المطلوب.

النوع الثاني المعادلات التفاضلية من النوع

لحل هذا النوع من المعادلات التفاضلية ، نقوم بدمج كلا الجانبين للحصول على الحل العام كما هو موضح أدناه:

تكامل الجانبين ، نحصل عليه

مثال

تكامل الجانبين نحصل عليه

هذا هو الحل المطلوب.

النوع الثالث المعادلة في شكل متغير قابل للفصل

إذا كان من الممكن وضع المعادلة التفاضلية في الشكل f (x) dx = g (y) dy ، فإننا نقول إن المتغير قابل للفصل ويمكن حل هذه المعادلة من خلال التكامل على كلا الجانبين ، يتم إعطاء المعادلة بواسطة

حيث C ثابت تعسفي.

ليست هناك حاجة لإدخال ثوابت اعتباطية على كلا الجانبين حيث يمكن دمجها معًا لإعطاء ثابت تعسفي واحد فقط.

مثال

دمج الجانبين ، نحصل عليه

وهو الحل المطلوب.

النوع الرابع معادلة قابلة للاختزال إلى شكل متغير قابل للفصل

يمكن اختزال المعادلات التفاضلية للنموذج إلى شكل متغير قابل للفصل عن طريق الاستبدال ax + by + c = v

مثال

لذلك ، تصبح المعادلة المعطاة

دمج الجانبين ، نحصل عليه

وهو الحل المطلوب

اكتب V معادلة تفاضلية متجانسة

تسمى الوظيفة f (x ، y) وظيفة متجانسة من الدرجة n إذا

على سبيل المثال هي درجة دالة متجانسة 2 لأن

يمكن دائمًا كتابة دالة متجانسة f (x، y) من الدرجة n كـ

إذا كانت المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى من الدرجة الأولى قابلة للتعبير عنها في النموذج

يمكن اختزال هذا النوع من المعادلات إلى شكل متغير قابل للفصل عن طريق الاستبدال y = vx كما هو موضح أدناه:

يمكن كتابة المعادلة التفاضلية كـ

إذا كانت y = vx ، فعندئذٍ نحصل على استبدال قيم x هذه ،

حيث C هو ثابت تكامل تعسفي.

بعد التكامل ، سيتم استبدال v بـ v / x للحصول على الحل الكامل.

خوارزمية لحل المعادلة التفاضلية المتجانسة

الخطوة الأولى ضع المعادلة التفاضلية في الصورة

الخطوة الثانية ضع y = vx وفي المعادلة الخطوة الأولى ونلغي x من الجهة اليمنى. المعادلة تصغر إلى الشكل

الخطوة الثالثة انقل v على RHS وافصل بين المتغيرين v و x.

الخطوة الرابعة ادمج كلا الطرفين للحصول على الحل بدلالة v و x.

الخطوة الخامسة استبدل v بـ في الحل الذي تم الحصول عليه في الخطوة الرابعة للحصول على الحل من حيث x و y

مثال

حل المعادلة التفاضلية إذا كان y = 1 عندما x = 1

المعادلة التفاضلية المعطاة هي

نظرًا لأن كل وظيفة هي دالة متجانسة من الدرجة 2 ، فإن المعادلة (i) هي معادلة متجانسة.


أول طلب ODE-Notes بقلم أ. سينغ

المعنى الهندسي للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى: K 1. المعادلات التفاضلية القابلة للفصل: K 1. المعادلات التفاضلية الدقيقة ، عوامل التكامل: K 1. المعادلة التفاضلية الخطية ومعادلة برنولي التفاضلية: K 1. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية والعالية الخطية المتجانسة معادلات من الدرجة الثانية: K 2. معادلات متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة: K 2. معادلة Euler-Cauchy: K 2. نظرية الوجود والتفرد ، Wronskian: K 2. المعادلات غير المتجانسة: K 2. طريقة اختلاف المعلمات : K 2. أمثلة على ODE الخطي ذو الرتبة الأعلى: K 3.1-3. طريقة سلسلة الطاقة: K 5. معادلة Legendre ، Legendre Polynomials: K 5. معادلة Rodrigue ، دالة التوليد ، صيغة العودية ، سلسلة Orthogonality وسلسلة Legendre: K 5.2 (المشاكل 12،14) طريقة Frobenius: K 5.3، J 8. معادلة Bessel ، دالة Bessel من النوع الأول: K 5. دالة Bessel من النوع الثاني ، الحل العام لمعادلة Bessel: K 5. وظيفة التوليد لوظائف Bessel من النوع الأول: J 8. مشاكل Sturm-Liouville: J 8.10، K 11 تعامد دوال بيسل ونظرية توسع بيسل: K 11.5-11. معادلات تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى [طريقة لاغرانج فقط]: جي 18. تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية: ي 18.5-18. معادلة الموجة- حل D'Alembert ، مشكلة السلسلة شبه اللانهائية ، طريقة فصل المتغيرات للفاصل المحدود: K 12.2-12. معادلة الحرارة: K 12. معادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية والقطبية: K 12. التدفق الحراري في الألواح المستطيلة والدائرية: J 18.

النصوص: J. Alan Jeffrey، Advanced Engineering Mathematics، Harcourt / Academic Press، 2002. K. Erwin Kreyszig، Advanced Engineering Mathematics، 10th Ed.، John Wiley & ampamp Sons، Inc. 2011.

المراجع: 1. W.E. بويس و أر سي. ديبريما ، معادلات تفاضلية أولية ، الطبعة السابعة ، جون ويلي وأولاده أمبير ، 2002.

أول طلب ODE

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن مشتقات متغير يعتمد على متغيرات مستقلة أخرى. على سبيل المثال،

هي معادلات تفاضلية ، حيث من المفترض أن يكون المتغير هو المتغير الذي يعتمد على المتغير المستقل x. عندما تتضمن المعادلة متغيرًا مستقلاً واحدًا فقط ، يُقال أن المعادلة هي معادلة تفاضلية عادية ، AnODE. ترتيب ODE هو ترتيب المشتق الأعلى للمتغير التابع. في المعادلات أعلاه ، يكون الأول من الدرجة الأولى والثاني من الدرجة الثالثة. حل المعادلة هو دالة عند استبدال المتغير التابع ، يُرى أن المعادلة محققة. إذا كان المتغير التابع هو والمتغير المستقل هو x في ODE للأمر ، فإن حل مثل هذه المعادلة هو y = y (x) الذي يكون قابلاً للتفاضل والذي يلبي المعادلة المحددة. على سبيل المثال ، y (x) = 2 sinx− 13 cos (2 x) هو أحد حلول ODE

(نكتب أيضًا y′fordy / dx، y (n) fordny / dxnetc.) تم التحقق من هذا الادعاء على النحو التالي:

غالبًا ما يأتي ODE مع تقييد أن المتغير المستقل يختلف في مجموعة فرعية معينة من R. في هذه الحالة ، يُفترض أن يكون مجال المتغير التابع هو تلك المجموعة الفرعية. على سبيل المثال ، في ODE

من المفترض أن المجال ofy = y (x) isR <0>. في هذه الحالة ، الدالة y (x) = 1 / xis هي حل. سبب:

من السهل أن نرى أن y (x) = c / x for anyc∈Ris أيضًا حل. في مثل هذه الحالة ، نقول هذا هو ثابت اعتباطي. هل توجد أنواع أخرى من الحلول لهذه المعادلة؟ حسنًا ، افترض أن y (x) هو حل xy ′ + y = 0. اكتب (س) = س ص. ثم

أي أن أي حل لـ xy ′ + y = 0 يكون بالصيغة = c / xforx ، 0. لاحظ أن حل ODE لا يلزم أن يكون فريدًا. ومع ذلك ، إذا كان لدينا شرط آخر على الوظيفة (x) مثل y (1) = 1 ، ثم استبدال x = 1 في الحل الخاص بنا = c / x ، لدينا

الشرط (1) = 1 يسمى الشرط الأولي لـ ODE. في الواقع ، عندما يتم إعطاء شرط على المتغير التابع عن طريق تحديد قيمته عند نقطة واحدة ، فإنه يسمى الشرط الأولي. يُطلق على ODE مع شرط أولي معين مشكلة القيمة الأولية ، anIVP. يتبع ذلك y = c / x = 1 / x هو الحل الوحيد لمشكلة القيمة الأولية

يمكن إعطاء ODE عام من الدرجة الأولى بواسطة معادلة تستخدم x ، y ، y ′ ، والتي ستبدو بعد ذلك مثل h (x ، y ، y ′) = 0

لبعض التعبيرات المحددة h (· ، · ، ·). من أجل التبسيط ، قد نفكر فقط في المعادلات التي يمكن حلها فورًا أي ، ODE بالشكل:

مع مجال معين ، مجموعة فرعية من R ، حيث يختلف. هندسيًا ، انظر إلى المستوى xy. في نقطة معينة (مع قيمة x مقبولة) ، على سبيل المثال (x 0 ، y 0) ، يعطي ODE قيمة y ′. أي ، y ′ (x 0) = g (x 0، y 0) هو رقم يمثل ميل لعبة الظل = y (x) atx = x 0. عن طريق تغيير x في جميع أنحاء مجالها ومع جميع القيم الممكنة لـ y ، يحدد ODE المنحدرات عند كل نقطة مسموح بها. تسمى مجموعة كل هذه المنحدرات بمجال الاتجاه لـ ODE. من خلال الانضمام إلى هذه المنحدرات هندسيًا ، قد نحصل على العديد من منحنيات الحل = y (x) إلى ODE. بشكل عام ، نقبل المنحنيات المستمرة في الحلول xy-planeas لـ

الحالة ، التي قد نفكر في حلها هي عندما تكون g (x ، y) دالة لـ xalone. لذلك ، فإننا نعتبر ODE في النموذج

بالطبع ، لا يمكننا حتى حل جميع المعادلات بهذه الصورة. على سبيل المثال ، لا نعرف كيفية حل y ′ = ex

نظرًا لأن قاعدة البيانات الخاصة بنا لدمج التعبيرات الجبرية لا تتضمن مثل هذه الوظيفة. بمعرفة هذه الحقيقة جيدًا ، سنحاول حل معادلات التطوير الحاسوبية من الدرجة الأولى في الواقع ، أيًا كان ما نستطيع. بشكل عام ، إذا عرفنا كيفية دمج الدالة f (x) ، فيمكننا الحصول على حل لـ ODE. في الحقيقة،


  1. ذ & رئيس = F (ذ). معادلة مستقلة.
  2. ذ & رئيس = F (x) ز (ذ). معادلة منفصلة.
  3. ز(x) ذ & رئيس = F1(x) ذ + F0(x). معادلة خط مستقيم.
  4. ز(x) ذ & رئيس = F1(x) ذ + Fن(x) ذن . معادلة برنولي.
  5. ذ & رئيس = F (ذ/x). معادلة متجانسة
  6. ذ & رئيس = ay 2 + bxن . معادلة ريكاتي الخاصة.
  7. ذ & رئيس = ذ 2 + F (x) ذ &ناقص أ 2 & ناقص af (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 1.
  8. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 + ay &ناقص أب &ناقص ب 2 F (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 2.
  9. ذ & رئيس = ذ 2 + xf (x) ذ + F (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 3.
  10. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 & ناقص فأسنF (x) ذ + قلقن& ناقص 1. معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 4.
  11. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 + قلقن& ناقص 1 & ناقص أ 2 x 2نF (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 5.
  12. ذ & رئيس = & ناقص (ن + 1) xنذ 2 + xن+1 F (x) ذ &ناقص F (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 6.
  13. xذ & رئيس = F (x) ذ 2 + نيويورك + فأس 2نF (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 7.
  14. xذ & رئيس = x 2نF (x) ذ 2 + [فأسنF (x) &ناقص ن] ذ + فرنك بلجيكي (x). معادلة Riccati ، حالة خاصة 8.
  15. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 + ز(x) ذ &ناقص أ 2 F (x) &ناقص اي جي(x). معادلة Riccati ، حالة خاصة 9.
  16. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 + ز(x) ذ + قلقن& ناقص 1 & ناقص أ 2 x 2نF (x) &ناقص فأسنز(x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 10.
  17. ذ & رئيس = ae& لامداكسذ 2 + ae& لامداكسF (x) ذ + & لامداF (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 11.
  18. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 & ناقص ae& لامداكسF (x) ذ + & lambdae& لامداكس . معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 12.
  19. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 + & lambdae& لامداكس &ناقص أ 2 ه 2& لامداكسF (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 13.
  20. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 + & lambday + ae 2& لامداكسF (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 14.
  21. ذ & رئيس = ذ 2 & ناقص F 2 (x) + F & رئيس (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 15.
  22. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 & ناقص F (x) ز(x) ذ + ز & رئيس (x). معادلة ريكاتي ، حالة خاصة 16.
  23. ذ & رئيس = F (x) ذ 2 + ز(x) ذ + ح(x). معادلة ريكاتي العامة.
  24. س ص & رئيس = ذ + F (x). معادلة هابيل من النوع الثاني في الشكل المتعارف عليه.
  25. س ص & رئيس = F (x) ذ + ز(x). معادلة هابيل من النوع الثاني.
  26. س ص & رئيس = F (x) ذ 2 + ز(x) ذ + ح(x). معادلة هابيل من النوع الثاني.
  27. ذ & رئيس = F (فأس + بواسطة + ج).
  28. ذ & رئيس = F (ذ + فأسن + ب) &ناقص قلقن& ناقص 1.
  29. ذ & رئيس = (ذ/x) F (xنذم ). معادلة متجانسة معممة.
  30. ذ & رئيس = & ناقص (ن/م)(ذ/x) + ذكF (x) ز (xنذم ).
  31. ذ & رئيس = F ( (فأس + بواسطة + ج)/(& alphax + & betay + وجاما) ) .
  32. ذ & رئيس = xن& ناقص 1 ذ 1 & ناقصمF (فأسن + بواسطةم ).
  33. [xنF (ذ) + xg(ذ)] ذ & رئيس = ح(ذ).
  34. x[ F (xنذم ) + مxكز(xنذم )] ذ & رئيس = ذ[ح(xنذم ) &ناقص نxكز(xنذم )].
  35. x[ F (xنذم ) + مذكز(xنذم )] ذ & رئيس = ذ[ح(xنذم ) &ناقص نذكز(xنذم )].
  36. x[ سادس (xنذم ) &ناقص ملغ(xكذس )] ذ & رئيس = ذ[نانوغرام(xكذس ) &ناقص ك (xنذم )].
  37. [ F (ذ) + amxنذم& ناقص 1] ذ & رئيس + ز(x) + قلقن& ناقص 1 ذم = 0.
  38. ذ & رئيس = ه &ناقص& لامداكسF (ه& لامداكسذ).
  39. ذ & رئيس = ه& lambdayF (ه& lambdayx).
  40. ذ & رئيس = ص (ه& alphaxذم ).
  41. ذ & رئيس = x & ناقص 1 F (xنه& ألفا ).
  42. ذ & رئيس = F (x) ه& lambday + ز(x).
  43. ذ & رئيس = & ناقصnx & ناقص 1 + F (x) ز (xنهذ ).
  44. ذ & رئيس = & ناقص (&ألفا/م) ذ + ذكF (x) ز (ه& alphaxذم ).
  45. ذ & رئيس = ه& alphax&ناقص& betayF (ae& alphax + يكون& betay ).
  46. [ه& alphaxF (ذ) + أ & بيتا] ذ & رئيس + ه& betayز(x) + أ & ألفا = 0.
  47. x[ F (xنه& ألفا ) + & alphayg(xنه& ألفا )] ذ & رئيس = ح(xنه& ألفا ) &ناقص نيج(xنه& ألفا ).
  48. [ F (ه& alphaxذم ) + مكس(ه& alphaxذم )] ذ & رئيس = ذ[ح(ه& alphaxذم ) &ناقص & alphaxg(ه& alphaxذم )].

يقدم موقع EqWorld معلومات شاملة عن حلول لفئات مختلفة من المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التكاملية والمعادلات الوظيفية والمعادلات الرياضية الأخرى.


1: ODEs من الدرجة الأولى

الطرق الخطية للرياضيات التطبيقية

إيفانز إم هاريل الثاني وجيمس ف.هيرود *

* (ج) حقوق النشر لعام 1994 ، 1995 ، 1996 بواسطة Evans M. Harrell II and James V. Herod. كل الحقوق محفوظة.

تمت ترجمة هذا القسم إلى اللغة البيلاروسية بعد الحصول على إذن. نسخة 1 يونيو 1996

إيجاد التوابع الخضراء للمعادلات التفاضلية العادية.

نبدأ بحالة بديل فريدهولم الأول. إذا كانت المعادلة في هذه الحالة ، فنحن نضمن أن لها حلًا فريدًا - ولكن كيف نجدها؟

تتمثل طريقتنا في حل معادلة تفاضلية غير متجانسة في إيجاد عامل متكامل ينتج حلاً يلبي جميع شروط الحدود المحددة. المشغل المتكامل له نواة تسمى وظيفة خضراء& # 160 ، وعادة ما يشار إليها G (t ، x). يتم ضرب هذا في المصطلح غير المتجانس ويتم دمجه بأحد المتغيرات.

هناك عدة طرق لإنشاء وظائف خضراء. الشخص الذي سنقدمه أولاً ، ونؤكده ، هو الذي يبدو أن الطلاب يفضلونه. ربما يكون هذا بسبب سهولة تذكره وله بساطة متأصلة. سيتم تضمين طرق أخرى في هذه الملاحظات للمقارنة. هناك أفكار مهمة تستخدمها الطرق الأخرى.

كما في السابق ، نفترض شكلاً معينًا للمشغل التفاضلي L:

نفترض أن أن(x) ليس صفراً في [0،1] وأن كل حد من المتتالية أص(x) ، p = 0. n ، له على الأقل مشتقات متصلة n. نناقش إنشاء الوظيفة الخضراء في ثلاث حالات اعتمادًا على طبيعة شروط الحدود. حتى إشعار آخر ، نفترض تعليق البديل الأول وسنكرر هذا التحذير للتأكيد. ما زلنا نشير إلى M و M * على أنهما الفتحات المرتبطة بـ و ، على التوالى.

في معظم الأمثلة ، وفي غالبية التطبيقات ، تكون المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية. في النهاية ، ينشأ هذا من قانون القوة لنيوتن ، F = m a ، وهو من الدرجة الثانية ، لأن التسارع هو مشتق ثان.

لنبدأ بوصف خوارزمية بناء G لمشاكل من الدرجة الثانية. سنناقش لماذا يعمل هذا أدناه

تعتمد الدالة G على متغيرين ولها الخصائص التالية: إذا كانت t في (0،1) ، إذن

موجودة لـ 0 & lt x & lt t و t & lt x & lt 1. افترض أيضًا أن هذه المشتقات لها امتداد مستمر إلى المنطقة المثلثية 0 & lt = x & lt = t و t & lt = x & lt = 1. تأثير هذا الامتداد هو الذي - التي

عند الحدود ، يجب أن نصر على أن يكون G (x ، t) مستمرًا. بالنسبة إلى G الجزئيxومع ذلك ، فإننا نطلب توقفًا خاصًا للقفز على النحو التالي:

إليك ما يحدث إذا كانت هناك مشتقات من أوامر أعلى:

يجب إنشاء الدالة G على [0،1] x [0،1] للحصول على الخصائص التالية: إذا كان t في (0،1) و 0 & lt ص & lt ن ثم

في هذه المرحلة ، كل ما طلبناه من G هو أنه يجب أن يحتوي على n أجزاء متصلة على المثلثات المغلقة 0 & lt x & lt t و t & lt x & lt 1. الشرط على طول الحدود هو أن p & lt = n-2 ، لدينا الاستمرارية. على سبيل المثال عند p = 0 ، يكون التأثير هو أن G (t +، t) = G (t -، t). في الواقع ، G (t +، t) = G (t، t -) = G (t، t +) = G (t -، t). ويحدث هذا بالنسبة لأجزاء p th حتى p = n-2. بالنسبة للجزء (n-1) ، نسمح بانقطاع الانتقال كما هو موضح في الملخص أدناه:

قبل توضيح أن الوصفة أعلاه توفر بالفعل حلولًا لمعادلة الترتيب رقم n ، سيكون من الأفضل لبعض الأمثلة ، بدءًا من مشكلة نموذجية:

مثال (البديل الأول ، الشروط الأولية): ها هي المشكلة: بالنظر إلى f المستمر على [0،1] ، قم ببناء y على هذا النحو

y '' + 3y '+ 2y = f مع y (0) = y' (0) = 0.

دعنا نحدد الأجزاء المهمة هنا.

L (y) = y '' + 3y '+ 2y ، B1 (y) = y (0) ، B2 (y) = y' (0) ،

نحن في البديل الأول بسبب هذا النظام L (y) = 0 ، B1 (y) = B2 (y) = 0 له حل واحد فقط وهو صفر. نقوم ببناء G خطوة بخطوة من الاتجاهات المذكورة أعلاه.

لاتباع توجيهات الخطوة (أ) نحتاج إلى الحل العام للمعادلة المتجانسة L (y) = 0 ، أي أننا بحاجة إلى الحل العام للمعادلة المتجانسة

ليس من الصعب أن نرى أن الحلول المستقلة خطيًا لهذه المعادلة هي e -2x و e -x. (في هذا العصر ، إذا كنت تفضل ذلك ، يمكنك العثور على هذه الحلول باستخدام Maple ، باستخدام الأمر dsolve أو Mathematica ، باستخدام DSolve.) وبالتالي ، تفي G بالخطوة (أ) إذا

لاحظ أن A و B و C و D ثابتة في x ، لكنها قد تتغير مع t. نحدد المجهول الأربعة من شروط الاستمرارية والقفز.

لاتباع توجيهات الخطوة (ب) التي تتطلب أن يكون G (. ، t) في M ، نحتاج

الآثار المترتبة على ذلك

هذا يعني أن A = 0 و B = 0.

لاتباع توجيهات الخطوة (ج) التي تتطلب أن G (t +، t) = G (t -، t) ، نحتاج

لاتباع توجيهات الخطوة (د) التي تتطلب ذلك

هذا يعطينا معادلتين ، مجهولين في C و D. الحل هو

حاول الحصول على عرض شامل لهذا المثال: بعد إيجاد حلين مستقلين خطيًا للمعادلة من الدرجة الثانية L (y) = 0 ، سنعرف G بشرط حلها من أجل A و B و C و D. وأعطى د أربع معادلات في هذه المجاهيل الأربعة. مكتوبة في شكل مصفوفة ،

تم اختزال المشكلة إلى معادلة مصفوفة! لقد حللنا المعادلات لإيجاد A = 0 و B = 0 و c = -e 2t و d = e t. النتيجة النهائية هي:

نحن على ثقة من أنه إذا كانت f مستمرة فإن المعادلة y = جيتقدم f حلاً لـ L (y) = f بسبب التمرين 3 من المقدمة.

تحقق مباشر من أن هذه الطريقة تقدم حلولاً لمعادلات الترتيب الثاني

افترض أن L (y) (x) = a2 (x) y '' (x) + a1 (x) y '(x) + a0 (x) y (x). يترك

نظرًا لأن G (، t) في M ، فإن u في M. يبقى أن نرى أن L (u) = f. لاحظ أن

هذه المساواة الأخيرة قائمة بسبب افتراض أن G (x، x -) = G (x، x +).

تستخدم هذه المساواة الأخيرة الشرط Gx(س ، س -)) - زx(س ، س +)) = 1 / أ2(خ). أخيرًا ، نستخدم حقيقة أن G (x ، t) ، كدالة في x ، ترضي L (y) = 0 في [0 ، x] وعلى [x ، 1] لنحصل على L (u) = f.

مثال(أول بديل غير مختلط ، شرطان حد نقطتين):

سنقوم ببناء الوظيفة الخضراء للمشكلة

y '+ 3y' + 2y = f مع y (0) = 0 و y (1) = 0.

فيما يلي الأجزاء المهمة:

هناك القليل من العمل الذي يتعين القيام به للتحقق من أننا في البديل الأول. إذا كانت L (y) = 0 ، فهناك رقمان أ و ب على هذا النحو

للمطالبة بأن B 1 (y) = 0 و B2(ص) = 0 يتطلب ذلك

الحل الوحيد لهذا الزوج من المعادلات هو أ = 0 = ب ، مما يؤكد أننا في البديل الأول.

بناء G كما كان من قبل:

شرطان الحدان وشروط الاستمرارية تؤديان إلى المعادلات 0 = A + B

بالتأكيد ، يمكن حل هذه المعادلات ، على الرغم من أن التفاصيل مملة. هذه فكرة أفضل. بدلاً من اختيار e -2t و e -t كحلول مستقلة خطيًا للمعادلة L (y) = 0 ، اختر زوجًا آخر له هذه الخصائص:

(في هذا المثال ، u1(t) = e -2t - e -t and u2(t) = e -2 (t-1) - e - (t-1).]

تطبيق شروط الحدود:

0 = بو2(0) ، مما يعني أن B = 0 ،

و 0 = نحاس1(1) ، مما يعني أن C = 0.

تعطي شروط الاستمرارية المعادلتين

من هذه المعادلات نحصل عليها

يسمى من u0 و أنت1.

هناك معلومة أخرى مهمة سوف تتعلمها أو يتم تذكيرك بها ، إذا عملنا على كلا الجزأين من الصيغة لـ G. تذكر ذلك

u1 (t) = e -2t - e -t و u2 (t) = e -2 (t-1) - e - (t-1).

والآن ، لحساب w (t). يبدو العمل الروتيني لهذا الحساب مملاً للغاية بحيث لا يكون ممتعًا. لا تقلق! ابحث عن "Wronskian" هو بعض جيد كتاب المعادلات التفاضلية في السنة الثانية وستجد صيغة ملائمة:

لاحظ أن هذا يكون بسيطًا بشكل خاص إذا كان 1 = 0 ، كما يحدث غالبًا: يكون Wronskian ثابتًا.

الآن الحساب سهل:

لقد حصلنا من هذا المثال على أكثر من الإجابة: لقد حصلنا أيضًا على الطريقة السريعة التالية التي تعمل مع هذا النوع من المشكلات.

طريقة مخصصة لإنشاء وظائف خضراء للأمر الثاني ، أو البديل الأول ، أو غير محدد ، أو شرطين حدوديين

مثال (أول بديل مختلط ، شروط حد نقطتين):

L (y) = y '' ، B 1 (y) = y (0) + y (1) ، و B 2 (y) = y '(0) + y' (1).

أولاً ، نتحقق من أن لدينا البديل الأول ب2 نفترض ذلك

L(y) = 0 and B 1 (y) = B 2 (y) = 0.

Then y(x) = a + bx , for constants a and b. Since

These two equations imply that a = b = 0. We now begin the construction of the Green function.

We have four constants to determine here are four equations:

0 = G(t + ,t) - G(t - ,t) = (C - A) + (D - B) t,

The solution for these four equations is A= (2t - 1)/4, B = -1/2,

An understanding of the equation L(y) = delta(x - t).

By now you should believe that except for arithmetic details, you can work any of these problems. We have come to the place where we need to get this problem into perspective.

We know that the requirements of Chapter XIV give the Kronecker delta symbol,

Thus A G = Id in components becomes

When trying to solve differential equations, we might hope to find G(.,t) as a solution to the equation L(G(.,t)) = delta(.,t). Some understanding of this equation is in order for the right side is not a function in the ordinary sense. As has already been pointed out, it is a "generalized function". The analogy with the matrix problem is pretty close: The delta function in essence gives the continuous coordinates of the identity operator:

for any a,b with a < x < b. Recall that the integral is a sort of continuous sum, so this is appropriate.

We present here, not a proof, but an understanding that

The ideas should be examined and re-examined in later courses as a theory for generalized functions is developed:

and that equation (15.2) holds. Intuition is a guide:

If one were asked to solve the equation L(y) = f, where L is a reasonable second order operator, in the context of a sophomore differential equations course, one would think of the variations of parameter formula. In that setting, and for second order problems with u0 and u1 linearly independent solutions of the homogeneous equation,

This suggests an interpretation for "solution" of the second order equation:

Namely, G (.,t) is the continuous function given by

As above, the distribution equations should have solution

THEOREM. If, for each t, G(.,t) is in M and L(G(.,t))(x) = d(x,t) then G satisfies the four equations of Chapter XIV.

Proof. We hope to recognize the four equations which we used to define G for second order problems as arising from the above requirements for G. Two of those equations come from asking that G(.,t) should satisfy the two boundary equations. One other, G(t + ,t) - G(t - ,t) = 0, comes from the requirement that G(.,t) should be continuous. To derive the equation

This last equality follows from (b). To find

Hence, the inverse of the differential operator L on the set M is obtained by finding the function G( ,t) in M which satisfies (15.2),

The second alternative

We now discuss the problems where the Second Alternative holds. The supposition is that there is a nontrivial solution for L(y) = 0, B1(y) = B2(y) = 0. The Fredholm Theorems assure us that, if f is continuous, then there is a solution for L(y) = f, with B1(y) = B2(y) = 0 provided

for all solutions w of the equation L*(w) = 0, B1*(w) = B2*(w) = 0. As before, we will construct Green functions G such that, in case f satisfies the above requirement, then

provides a solution for L(y) = f.

In this second alternative, there may be many solutions for the equation L(y) = f. Consequently, we expect there may be many Green functions. In the technique developed below, G( ,t) is always in

This is not necessarily true for Green functions constructed by other methods: see for example the construction found by Don Jones while a graduate research assistant at GEORGIA TECH and given in an appendix.

We again divide the problems into three cases according to the nature of the boundary conditions. We shall illustrate methods of construction.

The first case to consider is where the boundary conditions arise as initial conditions. This case is not pertinent for the initial value problem has a unique solution. Thus, case one is always in the first alternative.

EXAMPLE:(Second Alternative,unmixed, two point boundary conditions)

Suppose that L(y) = y'' + y' - 2y, B1(y) = y(0) - y'(0), and B2(y) = y(1) - y'(1). It is the purpose of this example to show that there is no function G such that L(G(.,t))(x) = d(x,t). Note that L*(z) = z'' - z' -2z and M* = . Nontrivial functions in the nullspace of 1*, B2*> are multiples of e 2t . Hence, we are in the second alternative. The Fredholm Alternative theorem suggests that there will be no function G such that, if t is in (0,1), then the distribution equation L(G( ,t)) (x) = d(x,t) holds unless

Of course, the value of this integral is not zero.

For this situation, we must modify the construction of the Green function.

CONSTRUCTION OF G IN THE SECOND ALTERNATIVE, n th ORDER

Step (1) Find the nullspace of

Step (2) Find an orthonormal basis for this nullspace. Call this basis v1,v2. vm, m & lt n.

Step (3) Construct up such that L(uص) = vص, p = 1, 2, . n.

Step (4) Construct G such that

THEOREM If 0 < t < 1, then there is G(.,t) such that

INDICATION OF PROOF. By the Fredholm Alternative Theorems, there will be such a function G provided

for all w in the nullspace of L*. This can be verified by writing w in terms of this orthonormal basis ,

and evaluating the dot product.

HOW TO CONSTRUCT G SUCH THAT

First, find linearly independent solutions yص, p=1. n, of the homogeneous equation L(y) = 0. Then, find solutions uص, p=1. m < n, for the equations L(uص, p=1. )(x) = vص, p=1. (x). It is not required that these solutions should satisfy any special boundary conditions.

The problem of finding G is now a problem of finding constants Cص and Dص such that

The constants Cص and Dص are determined by these 2n equations:

CONTINUATION OF THE PREVIOUS EXAMPLE

Recall that L(y) = y'' +y' -2y, B1(y) = y(0) - y'(0), and B2(y) = y(1) - y'(1). Linearly independent solutions for L(y) = 0 are e -2x and e x . A normalized basis for the one-dimensional nullspace of <>1*,B2*> is alpha e 2x where alpha is the positive number given by

A solution u for the equation y'' +y' -2y = alpha e 2x is u(x) = alpha e 2x /4.

The four constants - A,B,C, and D - can be solved by these four equations:

(1) 0 = B1(G( ,t)) = G(0,t) - Gx(0,t) = 3A + [[alpha]] 2 e t /4

(2) 0 = B2(G( ,t)) = G(1,t) - Gx(1,t) = 3Ce -2 + a 2 e 2(1+t) /4,

(3) 0 = G(t + ,t) - G(t - ,t) = (C-A)e -2t + (D-B)e t , and

Upon solving this system of four equations and four unknowns, an infinity of solutions will be found determined by these three equations:

A = - alpha 2 e 2t /12, C = Ae 4 , D-B = e -t /3.

EXERCISE: FOR EACH OF THE FOLLOWING, GIVE L*,B1*, B2*, and G.

(a) L(y) = y'' +y' -2y, B 1 (y) = y(0)-y'(0),B 2 (y) = y(1) - y'(1).

(b) L(y) =4y'' - y, B 1 (y) = y(0) - 2y'(0), B 2 (y) = y(1) - 2y'(1).

(c) L(y) = y'' - 2y' - 3y, B 1 (y) = 3y(0) - y'(0), B 2 (y) = 3y(1) - y'(1).

EXAMPLE(Second Alternative, mixed, two point boundary conditions.)

Suppose that L(y) = y'', B 1 (y) = y(0) + y(1), B 2 (y) = y'(0) - y'(1). Then L*(z) = z'', B 1 *(z) = z(0)- z(1), B 2 *(z) = z'(0) + z'(1). All solutions of are multiples of 2x - 1 . A nontrivial solution of [L*,B 1 *, B 2 *> is the constant function 1. Also, the function V(x) = 1 forms a basis for the null space of 0 = L*(z) in M*. The function u(x) = x 2 /2 satisfies L(u) = 1. Thus

We have four unknowns we have the following four equations:

(1) 0 = G(0,t) +G(1,t) = A + C + D - 1/2

(2) 0 = dG(x,t)/dx|x=0 - dG(x,t)/dx|x=1 = B - (D-1)

(3) 0 = G(t + ,t) - G(t - ,t) = C-A + (D-B)t

(4) 1 = dG(x,t)/dx|x=t+ - dG(x,t)/dx|x=t- = D-B.

As expected, there is an infinity of solutions to these equations which may be found by choosing D and then

(Review the general method or ad hoc method for constructing Green functions.) XV.1.    Find a Green function such that if f is continuous, then the equation y = Gf provides a solution for L(y) = f, y(0) = y'(0) = 0, where L is as defined below. In each case, first give L* and M* and verify that the first alternative holds.

XV.2.    (Ad hoc method) Suppose that u is a function on [0,1] which

satisfies L(u) = 0, u(0) = 0, and u'(0) = 1/a2(t). Let H(x,t) = 0 if x < t and = u(x-t) if t < x. Show that H is a Green function for the problem .

XV.3.    (Equivalent integral equation) Let G(x,t) be the Green function for problem I(a) above. Suppose that b and f are continuous functions. Let h be the function given by

and H(x,t) be the function given by H(x,t) = G(x,t) b(t) (Note: Here H is not the Heaviside function). Show these are equivalent:

(a) y''(x) - b(x)y(x) = f(x), y(0) = y'(0) = 0, and

XV.4.    Construct L*, B*, and G for the following :

(a) L(y) = y'', B 1 (y) = y(0), B 2 (y) = y(1),

(b) L(y) = y'', B 1 (y) = y(0) + y'(0), B 2 (y) = y(1) + y'(1).

(c) L(y) = y'', B 1 (y) = y(0) + y'(0), B 2 (y) = y(1) - y'(1),

(d) L(y) = y'' + 4 pi 2 y, B 1 (y) = y(0) + y'(0), B 2 (y) = y(1) - y'(1).

(e) L(y) = 2y''+ y'- y, B 1 (y) = y(0) + y'(0), B 2 (y) = y(1) - y'(1).

(f) L(y)(x) = (e x y'(x))', B 1 (y) = y(0) + y'(0), B 2 (y) = y(1) - y'(1).

XV.5.    So that you will remember why we are constructing Green functions, use the above result to provide a solution for the equation y''(x) = x 2 , y(0) + y(1) = 0, and y'(0) + y'(1) = 0.

XV.6.   Give a formal argument, by interchanging limits and integrals, why if G satisfies (15.2), then

Notice that the integral is the same as <G(x,t),f(t)>, if the inner product is calculated with t as the integration variable.

XV.7.   Give a formal argument to show that d(x) is an even function, in the sense that d(-x) = d(x). (Use a change of variables.)

XV.8.   Let G 1 (x,t) and G 2 (x,t) be two Green functions for the differential equation

Since the boundary conditions have not been specified, there will be many Green function for the differential equation

(a) Classify G(x,t) as an integral kernel as in Chapter XII. Is it separable? Is it small (in either sense)?

(b) Discuss how one could solve the integral equation

with the methods of Chapter XII. To what differential equation is it equivalent?

XV.10.    Verify that each of these problems is second alternative and find L*,B 1 *, B 2 *,and G.

(a) L(y) = y'', B 1 (y) = y(0) - y(1), B 2 (y) = y'(0) - y'(1),

(b) L(y) = y'' + 9[[pi]] 2 y, B 1 (y) = y(0) - y(1), B 2 (y) = y'(0) + y'(1),

(c) L(y) = y'' + y' - 2y, B 1 (y) = e y(0) - y(1), B 2 (y) = e y'(0) - y'(1).

XV.11.    Construct L*, B* and G for each of the following L's and with periodic boundary conditions y(0) = y(1), y'(0) = y'(1):

XV.12.    (NONHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS)

To solve the equations L(y) = f, B 1 (y) = alpha, B 2 (y) = eta, first construct G for the problem L(y) = f, B 1 (y)= 0, B 2 (y) = 0. Then construct functions z1 and z2 such that B 1 (z1) = 0, B 2 (z1) != 0, and B 1 (z2) != 0, B 2 (z2) = 0. The solution for the original problem is

XV.13.    Find a formula for u if u'' = f and

XV.14.    Find a formula for u if u'' + 9u = f and

XV.15.    Find a formula for u if (x u'(x))' = f and u(1) = 0, u(2) = 5.

(a) Find conditions on f in order that u'' + 4 pi 2 u = f, u(0)=u(1), u'(0) = u'(1) should have a solution.

(b) Give the Green function for this problem.

(c) By finding the Green function for the problem L(y) = y'', y(0) = y(1), y'(0) = y'(1), re-write this equation as an integral equation such as was studied in the previous chapter.

XV.17.    Here is a linear differential operator with boundary conditions:

(a) Show that (e x y')' z - y (e x z')' = [ e x (z y' - z' y)]'.

(c) Give the Green function for the problem L(y) = f with B1(y) = B2(y) = 0.

(d) Rewrite the problem (e x y')' + sin(x) y(x) = f(x) , y(0) = y'(0) = 0 as an integral equation in the form

Be sure to identify K and F carefully.

XV.18.    Consider the differential equation: f is continuous on [0, pi ] and

(a) In the context of this course, what is the appropriate space and linear operator L?

(b) What is the adjoint of L in this space? Explain your answer.

(c) Is this problem 1 st or 2 nd alternative?

(d) If possible, solve this problem with f(x) = x. If it is not possible, explain why not.


Changing variables

  1. change units
  2. make variables dimensionless
  3. reduce the number of constants, or simplify constants

T=internal temperature, م=constant external temperature

Direct substitution and indirect substitution

we can get linear equation then.

Homogeneous ODE

Invariant under the operation zoom:

The light try to track a boat on the sea and the boat travels at a angle of 45° with the light, as figured below, what is the travel path of the boat, assuming the initial point is (left( ight)).

Exponential spiral: (r=c<^< heta >>)


Cambridge University Press

This video introduces contact kinematics, the study of the feasible motions of bodies in contact. The analysis is first-order, meaning it considers the contact locations and the contact normal directions, but not the local contact curvature.

Contact kinematics is the study of the motion constraints due to contact between bodies. For example, if these two bodies are in contact, I could ask what motions of the bodies will keep them in contact and what motions will cause breaking contact.

Let's say that q_1 and q_2 are coordinate representations of the rigid-body configurations, q is the combined configuration, and d of q is the distance between the two bodies. We can create a table of possibilities governing whether the two bodies are in contact depending on their trajectories q_1 of t and q_2 of t. If d is greater than zero, the two bodies are not in contact. If d is less than zero, the two bodies are in penetration, and therefore the combined configuration is not allowed. If d is equal to zero, the bodies are currently in contact, but if d-dot is greater than zero, this contact is about to break. If d-dot is less than zero, the bodies are about to penetrate, so the trajectories q_1 of t and q_2 of t are not allowed. If d and d-dot are zero, the bodies are in contact, but if d-double-dot is greater than zero, the contact is about to break. We could continue this analysis for increasing derivatives of d. The bodies only remain in contact if all time derivatives of d are equal to zero.

If we assume the bodies are initially in contact, we can express the time derivative of the distance between two bodies as d-dot equals the vector of partial derivatives of d with respect to q times q-dot. The acceleration of d is d-double-dot, which is the sum of the partial derivatives times q-double-dot and a velocity-product term depending on the matrix of second derivatives of d with respect to q. The vector of partial derivatives carries first-order information about the contact geometry, called the contact normal, which I'll define shortly. The matrix of second derivatives carries second-order information about the contact geometry, namely the curvature at the contact. For simplicity, in this chapter we assume that the second-order and higher-order information on the contact geometry is not available, and we focus on first-order contact geometry. I will highlight cases where the effect of this decision has consequences.

Consider this planar disk contacted by a stationary constraint. This constraint could be a robot finger, a workpiece fixture, or some other part of the robot or the environment. We define the contact tangent line to be the line tangent to the bodies at the contact. We also define the contact normal n to be a unit vector orthogonal to the tangent line. The contact normal could be defined either upward or downward.

Now imagine the disk is in contact with a constraint with a different curvature. The contact normal is the same relative to the disk, and by our first-order analysis, which ignores curvature, the constraints on the disk's motion are identical.

If the movable body is a spatial body contacted by another spatial body, the unit normal is orthogonal to the tangent plane. Again, because we ignore curvature, this pencil provides the same motion constraints on the movable body.

In this chapter we assume contacts between rigid bodies can be modeled as a finite set of point contacts. A planar contact that looks like this is modeled as two contacts, one on each edge adjacent to the vertex, with these contact normals. A line segment contact is modeled as a contact at each end of the line segment. A planar patch contact is modeled as a set of contacts at the vertices of the planar patch. A degnerate contact like this is not allowed, as there is no uniquely defined tangent plane or contact normal.

In the next video we will derive the constraints on the twists of bodies in contact and we will categorize contacts as breaking, sliding, or rolling.


1: First order ODEs

First-order concepts refer to percepts that refer to objects from this reference they derive their semantic value.

There are two types of sentences: sentences about the world and sentences about language. Unfortunately, these types of sentence are sometimes confused with one another. [99]

To understand the need for two types of sentences, let us examine when concepts can and cannot be defined in terms of other concepts. Suppose you pick up a dictionary in order to find the definition of a certain word. It is certainly possible that the definition of the word itself contains a word that you do not know. If you are insufficiently learned (or quite unlucky), you might encounter this problem repeatedly, spending hours trying to find the definition of a single word. If you did not know the definition of any words to begin with, the circularity would be complete you necessarily cannot learn the meaning of any word.

To illustrate the way this vicious cycle is broken, imagine trying to define an “ apple ” to a child:

Us: “ A fruit is a sweet red thing. ”

Child: “ What is a red thing? ”

Us: [Hmm. ] “ A red thing is a. ” [what is a red thing, anyway?] “ A red thing is a thing that is not blue, green, or yellow. ”

Child: “ What is not blue, green, or yellow? ”

Us: [pointing] “ That thing is an apple. Look. Here. ”

If we cannot convey the information necessary to define a word using other words, we must point to an actual red thing. In other words, if we are unable to describe a concept with concepts that the child already comprehends, we encourage the child to create a concept based directly on percepts. We could say “ Look, that is a red thing ” , pointing to a red shirt, “ that is a red thing ” , pointing to a stop sign: in this way, the child learns what a red thing is. The child forms a set of experiences in which two things repeatedly co-occur: the percept of a red thing, and someone saying “ red thing ” .

To learn what “ apple ” is, as a first-order concept, we must have direct experience of an apple and some motivation to learn. If this happens a number of times, we generalize from the set of experiences in which the apple appears. If we enjoy the experience of eating an apple, we might learn that “ apple ” is a good thing: the concept “ apple ” comes to be associated with the pleasant eating experience. Perhaps we will learn to speak the word “ apple ” , particularly if that behavior is rewarded: in order to do so, it is not necessary to equate the word with the object.

At some point, however, the word “ apple ” may become more than just a behavior that is performed in order to get apples. This first-order concept may be named: the utterance “ apple ” may become a symbol , which is capable of evoking the concept of an apple (instead of eliciting a subsequent behavior). This process of using percepts to represent concepts gives rise to a new possibility: language, the calculus of symbols. By performing basic manipulations on concepts using their symbolic representations, we enable the expression of novel concepts (as well as facilitating their formation). These concepts may in turn be given new names, recursively.

To illustrate how sentences are of exclusively two kinds, those that define words and those about events, here are several examples of sentences about events:

1. The apples fell to the ground.

2. Leibniz tossed an apple in the direction of Sir Isaac.

3. You should eat an apple a day.

The first two sentences clearly correspond to events in the world. The correspondence of the third sentence to an event in the world is less obvious. However, given that possibility is a dimension of linguistic reality (at the very least), we may interpret this sentence as a recommendation of a particular five-dimensional event (which may be construed as a six-dimensional event, where the additional dimension indicates some valuation or goodness).

Some types of sentences, such as questions, are difficult to categorize as either events or definitions. On one hand, a question may be viewed as the definition of a word which is intended to be supplied by the answerer. On the other, questions may be understood as sentences about high-dimensional events which vary along a modal dimension that spans all possibilities (for more information, see the section called “Constructing Dimensions”). In either case, questions have a part of their specification missing (that part is supplied by the answer to the question). This missing part of speech is indicated with a placeholder such as “ what ” or “ where ” . The interrogative nature of questions requires the answer to specify a position on that undetermined dimension. For example, “ Is it going to rain tomorrow ” requires selecting either the true or false coordinate on the dimension of possibility. [100]