مقالات

5.1.1: العوامل التفاضلية الزائفة


تؤدي خصائص تحويل فورييه إلى نظرية عامة عن المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية أو المعادلات التكاملية. في هذا القسم الفرعي نحدد

$$ D_k = frac {1} {i} frac { جزئي} { جزئي x_k} ، k = 1 ، ldots ، n ، ]

ولكل فهرس متعدد ( alpha ) كما في القسم الفرعي 3.5.1

$$ D ^ alpha = D_1 ^ { alpha_1} ldots D_n ^ { alpha_n}. ]

هكذا

$$ D ^ alpha = frac {1} {i ^ {| alpha |}} frac { جزئي ^ {| alpha |}} { جزئي x_1 ^ { alpha_1} ldots جزئي x_n ^ { alpha_n}}. ]

يترك

$$ p (x، D): = sum_ {| alpha | le m} a_ alpha (x) D ^ alpha، ]

يكون تفاضلًا جزئيًا خطيًا للترتيب (م ) ، حيث يتم إعطاء (أ_ ألفا ) وظائف منتظمة بدرجة كافية.

وفقًا لـ Theorem 5.1 و Proposition 5.3 ، لدينا ، على الأقل لـ (u in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ n) ) ،

$$ u (x) = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} widehat {u} ( xi) د الحادي عشر ، ]

مما يوحي

$$ D ^ alpha u (x) = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} xi ^ alpha واسع النطاق {u} ( xi) d xi. ]

بالتالي

ابدأ {المعادلة}
label {pseudo1} tag {5.1.1.1}
p (x، D) u (x) = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} p (x، xi ) واسعة النطاق {u} ( xi) d xi ،
نهاية {المعادلة}

أين

$$ p (x، xi) = sum_ {| alpha | le m} a_ alpha (x) xi ^ alpha. ]

الجانب الأيمن من ( ref {pseudo1}) مناسب أيضًا لوظائف أكثر عمومية (p (x، xi) ) ، ليس فقط لكثيرات الحدود.

تعريف. الوظيفة (p (x، xi) ) تسمى رمز و

$$ (Pu) (x): = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} p (x، xi) واسعة النطاق {u} ( xi) d xi ]

يقال أن يكون عامل التفاضل الكاذب.

فئة مهمة من الرموز التي تم تعريف الجانب الأيمن في هذا التعريف لعامل التفاضل الزائف هي (S ^ m ) وهي مجموعة فرعية من (p (x ، xi) in C ^ infty ( Omega times mathbb {R} ^ n) ) هكذا

$$ | D ^ beta_xD_ xi ^ alpha p (x، xi) | le C_ {K، alpha، beta} (p) left (1+ | xi | right) ^ {m - | ألفا |} ]

لكل مضغوط (ك مجموعة فرعية أوميغا ).

أعلاه رأينا أن العوامل التفاضلية الخطية تحدد فئة من العوامل التفاضلية الزائفة. حتى العوامل المتكاملة يمكن كتابتها (رسميًا) كعوامل تفاضلية زائفة.

يترك

$$ (Pu) (x) = int _ { mathbb {R} ^ n} K (x، y) u (y) dy ]

أن تكون عاملًا متكاملًا. ثم

ابدأ {eqnarray *}
(Pu) (x) & = & {(2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} K (x، y) int _ { mathbb {R} ^ n } e ^ {ix cdot xi} xi ^ alpha widehat {u} ( xi)} d xi
& = & (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} left ( int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {i (yx) cdot xi} K (x، y) dy right) واسع النطاق {u} ( xi).
نهاية {eqnarray *}

ثم الرمز المرتبط بالمشغل المتكامل أعلاه هو

$$ p (x، xi) = int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {i (y-x) cdot xi} K (x، y) dy. ]


شاهد الفيديو: المعادلات التفاضلية الخطية (شهر اكتوبر 2021).