مقالات

7.2: صيغة التمثيل


في ما يلي نفترض أن ( Omega ) ، الوظيفة ( phi ) التي تظهر في تعريف الحل الأساسي والوظيفة المحتملة (u ) تعتبر منتظمة بدرجة كافية بحيث تكون الحسابات التالية منطقية ، انظر [6] للتعميمات. هذا هو الحال إذا كان ( Omega ) مقيدًا ، ( جزئي أوميغا ) في (C ^ 1 ) ، ( phi in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) لكل ثابت (y in Omega ) و (u in C ^ 2 ( overline { Omega}) ).


الشكل 7.2.1: تدوينات هوية جرين

نظرية 7.1. لنكن (u ) وظيفة محتملة و ( جاما ) حل أساسي ، ثم لكل ثابت (y in Omega )
$$
u (y) = int _ { جزئي Omega} يسار ( gamma (x، y) frac { جزئي u (x)} { جزئي n_x} -u (x) frac { جزئي جاما (س ، ص)} { جزئي n_x} يمين) dS_x.
$$

دليل. دع (B_ rho (y) المجموعة الفرعية Omega ) كرة. اضبط ( Omega_ rho (y) = Omega setminus B_ rho (y) ). انظر الشكل 7.2.2 للحصول على الترميزات.

الشكل 7.2.2: تدوينات النظرية 7.1

من صيغة Green ، لـ (u، v in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) ،
$$
int _ { Omega_ rho (y)} (v triangle uu triangle v) dx = int _ { جزئي Omega_ rho (y)} left (v frac { جزئي u} { جزئي n} -u frac { جزئي v} { جزئي n} يمين) dS
$$
نحصل عليه ، إذا كان (v ) حلاً أساسيًا و (u ) وظيفة محتملة ،
$$
int _ { جزئي Omega_ rho (y)} يسار (v frac { جزئي u} { جزئي n} -u frac { جزئي v} { جزئي n} يمين) dS = 0.
$$
وبالتالي علينا أن ننظر
ابدأ {eqnarray *}
int _ { جزئي أوميغا _ { rho} (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS & = & int _ { جزئي Omega} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS + int _ { جزئي B_ rho (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS
int _ { جزئي أوميغا _ { rho} (y)} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS & = & int _ { جزئي Omega} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS + int _ { جزئي B_ rho (y)} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS.
نهاية {eqnarray *}
نحن نقدر التكاملات على ( جزئي B_ rho (y) ):

(أنا)
ابدأ {eqnarray *}
يسار | int _ { جزئي B_ rho (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS يمين | & le & M int _ { جزئي B_ rho (y)} | ت | dS
& le & M يسار ( int _ { جزئي B_ rho (y)} s ( rho) dS + C omega_n rho ^ {n-1} right) ،
نهاية {eqnarray *}
أين
ابدأ {eqnarray *}
M & = & M (y) = sup_ {B _ { rho_0} (y)} | جزئي u / جزئي n | ، rho le rho_0 ،
C & = & C (y) = sup_ {x in B _ { rho_0} (y)} | phi (x، y) |.
نهاية {eqnarray *}
من تعريف (s ( rho) ) نحصل على التقدير كـ ( rho to 0 )
ابدأ {المعادلة}
التسمية {ell1}
int _ { part B_ rho (y)} v frac { جزئي u} { جزئي n} dS = يسار { start {array} {r @ { quad: quad} l}
O ( rho | ln rho |) & n = 2
O ( rho) & n ge3.
نهاية {مجموعة} صحيح.
نهاية {المعادلة}

(ii) ضع في اعتبارك الحالة (n ge3 ) ، إذن
ابدأ {eqnarray *}
int _ { جزئي B_ rho (y)} u frac { جزئي v} { جزئي n} dS & = &
frac {1} { omega_n} int _ { part B_ rho (y)} u frac {1} { rho ^ {n-1}} dS + int _ { part B_ rho (y )} u frac { جزئي phi} { جزئي n} dS
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { جزئي B_ rho (y)} u dS + O ( rho ^ {n-1})
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} u (x_0) int _ { جزئي B_ rho (y)} dS + O ( rho ^ {n-1}) ، & = & u (x_0) + O ( rho ^ {n-1}).
نهاية {eqnarray *}
من أجل (x_0 in جزئي B_ rho (y) ).

بدمج هذا التقدير و ( ref {ell1}) ، نحصل على صيغة التمثيل للنظرية.

(صندوق)

اللازمة - النتيجة. عيّن ( phi equiv 0 ) و (r = | x-y | ) في صيغة التمثيل للنظرية 7.1 ، ثم
ابدأ {eqnarray}
التسمية {ell2}
u (y) & = & frac {1} {2 pi} int _ { جزئي Omega} يسار ( ln r frac { جزئي u} { جزئي n_x} -u frac { جزئي ( ln r)} { جزئي n_x} يمين) dS_x ، n = 2 ،
التسمية {ell3}
u (y) & = & frac {1} {(n-2) omega_n} int _ { جزئي Omega} left ( frac {1} {r ^ {n-2}} frac { جزئي u} { جزئي n_x} -u frac { جزئي (r ^ {2-n})} { جزئي n_x} يمين) dS_x ، n ge3.
نهاية {eqnarray}


الحل: اكتب صيغة صريحة للتسلسل 7 ، 2 ، -3 ، -8 ، -13. ثم ابحث عن a_14 http://prntscr.com/sob4im

هناك العديد من الحلول (أكثر من حل واحد) لهذا الطلب ، مع إعطاء قيم مختلفة لـ a_14.

من فضلك توقف عن نشر الهراء في هذا المنتدى. . .


-----------------
تعليق من الطالب: شكرًا لك مرة أخرى على التعليقات التي لا تسهم في شيء ولا طائل من ورائها!
لم تساعدني مرة واحدة في الأسئلة التي نشرتها والتي كافحت معها. :)
إذا كنت تعتقد أنني بحاجة إلى مساعدة حقيقية هو هراء ، فالرجاء التوقف والاحتفاظ بأفكارك لنفسك!
-----------------


إجابتي: لماذا يجب أن أحتفظ بأفكاري لنفسي ، وهي صحيحة وجميلة جدًا؟

هل صحيح أنك أتيت إلى هذا المنتدى لتتعلم من المعلمين؟

ثم تعلم مني ، بعد هذه الفرصة السعيدة. . .

أم أنك ، بالمقابل ، جئت لتعلمني؟ - لكنني لم أسألك عن ذلك. . .

أنت حقا بحاجة للمساعدة. لكن هذه المساعدة ليست في إيجاد الرقم التالي هناك ، حيث يكون غير منطقي.

المساعدة الحقيقية التي تحتاجها هي إقناعك بأن الأعداد الصحيحة لا تدين لك بأي شيء.

إذا كنت تفكر بشكل مختلف ، فجمع دولارًا واحدًا على الأقل من كل رقم طبيعي.

سوف تصبح صاحب عدة مليارات (أو حتى عدة تريليونات) بعد ذلك ، المدير على جميع الأرقام الطبيعية / الدولارات.


عندئذٍ ستكون قادرًا على تخصيص أي رقم ليكون التالي ، بموجب القانون ، الصادر عنك ، بنفسك ، شخصيًا.

في الشكل المختصر ، لا تأتي أبدًا إلى هذا المنتدى بمثل هذه الأسئلة / "المشكلات" غير المنطقية.

وبعد ذلك سيكون كل شيء على ما يرام ، باللون الأرجواني.

يمكنك وضع هذا الحل على موقع الويب الخاص بك!

, , ,,
كما ترى ، إذا طرحت من الفصل الدراسي الأول تحصل على الفصل الثاني ،
إذا طرحت من الفصل الثاني تحصل على مصطلح ثالث وهكذا
لذا ، فإن الاختلاف المشترك هو
الصيغة العامة للمصطلح التاسع هي:
. منذ و


لاحظ أن الفرق المشترك بين كل حد متتالي هو 5 ، وينخفض ​​لكل حد. الأول هو 7.


7.2: تقدير عينة صغيرة لمتوسط ​​السكان

تعتمد معادلات فاصل الثقة في القسم السابق على نظرية الحدود المركزية ، وهي العبارة التي تشير إلى أنه بالنسبة للعينات الكبيرة ( overline) يتم توزيعها بشكل طبيعي مع المتوسط ​​ ( mu ) والانحراف المعياري ( سيغما / مربع )). عندما يتم تقدير متوسط ​​عدد السكان ( mu ) بعينة صغيرة ( (n & lt30 )) ، لا تنطبق نظرية الحد المركزية. من أجل المضي قدمًا ، نفترض أن المجتمع العددي الذي تم أخذ العينة منه له توزيع طبيعي للبدء به. إذا تم استيفاء هذا الشرط ، فعندئذٍ عندما يُعرف الانحراف المعياري للسكان ( سيغما ) بالصيغة القديمة ( شريط pm z _ < alpha / 2> ( sigma / sqrt) ) لا يزال من الممكن استخدامها لإنشاء فاصل ثقة (100 (1- alpha) ٪ ) لـ ( mu ).

إذا كان الانحراف المعياري للمجموعة غير معروف وكان حجم العينة (n ) صغيرًا ، فعند استبدال نموذج الانحراف المعياري ( s ) لـ ( سيغما ) ، لم يعد التقريب الطبيعي صالحًا. الحل هو استخدام توزيع مختلف ، يسمى Student & rsquos (t ) - التوزيع مع (n-1 ) درجات الحرية. Student & rsquos (t ) - يشبه التوزيع إلى حد كبير التوزيع الطبيعي القياسي من حيث أنه يتمركز عند (0 ) وله نفس شكل الجرس النوعي ، ولكن له ذيول أثقل من التوزيع الطبيعي القياسي ، كما هو موضح بواسطة الشكل ( PageIndex <1> ) ، حيث يكون المنحنى (باللون البني) الذي يلتقي بالخط العمودي المتقطع عند أدنى نقطة هو (t ) - التوزيع بدرجتين من الحرية ، المنحنى التالي (باللون الأزرق ) هو (t ) - التوزيع بخمس درجات حرية ، والمنحنى الرفيع (باللون الأحمر) هو التوزيع الطبيعي القياسي. كما يشير الشكل أيضًا ، كلما زاد حجم العينة (n ) ، أصبح توزيع Student & rsquos (t ) - أقرب إلى التوزيع العادي القياسي. على الرغم من وجود توزيع مختلف (t ) - لكل قيمة (n ) ، بمجرد أن يكون حجم العينة (30 ) أو أكثر ، من المقبول عادةً استخدام التوزيع العادي القياسي بدلاً من ذلك ، كما سنقوم دائمًا في هذا النص.

الشكل ( PageIndex <1> ): Student & rsquos (t )-توزيع

مثلما يشير الرمز (z_c ) إلى القيمة التي تقطع الذيل الأيمن للمنطقة (ج ) في التوزيع الطبيعي القياسي ، فإن الرمز (t_c ) يرمز إلى القيمة التي تقطع الذيل الأيمن من المساحة (ج ) في التوزيع الطبيعي القياسي. هذا يعطينا صيغ فترة الثقة التالية.

عينة صغيرة (100 (1 & ناقص & ألفا) ٪ ) فترة الثقة لمتوسط ​​عدد السكان

بدرجات الحرية (df = n & minus1 ).

يجب توزيع السكان بشكل طبيعي وتعتبر العينة صغيرة عند (n & lt 30 ).

لاستخدام الصيغة الجديدة ، نستخدم الخط في الشكل 7.1.6 الذي يتوافق مع حجم العينة ذي الصلة.

عينة الحجم (15 ) المأخوذة من السكان الموزعين بشكل طبيعي لها متوسط ​​العينة (35 ) ونموذج الانحراف المعياري (14 ). بناء (95 ٪ ) فاصل ثقة لوسط المحتوى وتفسير معناه.

نظرًا لتوزيع السكان بشكل طبيعي ، فإن العينة صغيرة ، والانحراف المعياري للمحتوى غير معروف ، فإن الصيغة التي تنطبق هي المعادلة المرجع.

مستوى الثقة (95 ٪ ) يعني ذلك

لذلك (& alpha / 2 = 0.025 ). نظرًا لأن حجم العينة (n = 15 ) ، فهناك (n & minus1 = 14 ) درجة حرية. حسب الشكل 7.1.6 (t_ <0.025> = 2.145 ). هكذا

قد يكون المرء (95 ٪ ) واثقًا من أن القيمة الحقيقية لـ (& مو ) موجودة في الفاصل الزمني

عينة عشوائية من (12 ) طالب من جامعة كبيرة تنتج متوسط ​​المعدل التراكمي (2.71 ) مع عينة الانحراف المعياري (0.51 ). إنشاء فاصل ثقة (90 ٪ ) لمتوسط ​​المعدل التراكمي لجميع الطلاب في الجامعة. افترض أن السكان العدديين لمعدلات المعدل التراكمي التي تم أخذ العينة منها له توزيع طبيعي.

نظرًا لتوزيع السكان بشكل طبيعي ، فإن العينة صغيرة ، والانحراف المعياري للمحتوى غير معروف ، فإن الصيغة التي تنطبق هي المعادلة المرجع

مستوى الثقة (90 ٪ ) يعني ذلك

لذلك (& alpha / 2 = 0.05 ). نظرًا لأن حجم العينة (n = 12 ) ، فهناك (n & minus1 = 11 ) درجة حرية. بالشكل 7.1.6 (t_ <0.05> = 1.796 ). هكذا

قد يكون المرء على ثقة من (90 ٪ ) أن المعدل التراكمي الحقيقي لجميع الطلاب في الجامعة موجود في الفترة الزمنية

قارن & quot المثال 4 & quot في القسم 7.1 و & quot المثال 6 & quot في القسم 7.1. الإحصائيات الموجزة في العينتين هي نفسها ، لكن فاصل الثقة (90 ٪ ) لمتوسط ​​المعدل التراكمي لجميع الطلاب في الجامعة في & quot المثال 4 & quot في القسم 7.1 ، ((2.63،2.79) ) ، هو أقصر من (90 ٪ ) فاصل الثقة ((2.45،2.97) ) ، في & quot المثال 6 & quot في القسم 7.1. هذا جزئيًا لأنه في & quot المثال 4 & quot في القسم 7.1 ، يكون حجم العينة أكبر ، وهناك المزيد من المعلومات المتعلقة بالقيمة الحقيقية لـ ( mu ) في مجموعة البيانات الكبيرة عنها في المجموعة الصغيرة.


صيغة Euler-Poincar & eacute

جزء من المعلومات المسجلة في B-rep هو طوبولوجي (أي علاقات الجوار). قد يتم إنشاء المواد الصلبة غير الصالحة إذا لم يتم إنشاء التمثيل بعناية. تتمثل إحدى طرق التحقق من هذا الخطأ الطوبولوجي في استخدام صيغة Euler-Poincar & eacute. إذا لم تكن قيمته صفرًا ، فنحن على يقين من وجود خطأ ما في التمثيل. ومع ذلك ، هذا مجرد اختبار من جانب واحد. بتعبير أدق ، لا تعني القيمة الصفرية لصيغة Euler-Poincar & eacute أن المادة الصلبة صالحة.

يحتوي الشكل أعلاه على مربع وورقة إضافية وهي مجرد مستطيل. يحتوي هذا الكائن على 10 رؤوس ، و 15 حافة ، و 7 وجوه ، وقذيفة واحدة ، ولا يوجد ثقب. رقم الحلقة الخاص به يساوي عدد الوجوه. قيمة صيغة Euler-Poincar & eacute هي صفر كما هو موضح أدناه ،

لكن هذا ليس صلبًا صالحًا! لذلك ، إذا كانت قيمة صيغة Euler-Poincar & eacute غير صفرية ، فإن التمثيل بالتأكيد ليس صلبًا صالحًا. ومع ذلك ، فإن قيمة صيغة Euler-Poincar & eacute التي تساوي صفرًا لا تضمن أن التمثيل سينتج عنه مادة صلبة صالحة.

كيف نحسب الجنس بشكل صحيح؟

ليس من السهل دائمًا حساب الجنس G بشكل صحيح. على سبيل المثال ، افترض أن لدينا كرة مثقوبة بثلاثة أنفاق كما هو موضح أدناه. يظهر الكائن الأيسر المظهر الخارجي. يُظهر الجزء الأيمن الداخل بقطع نصف الكرة. ما هي قيمة الجنس G؟ نحن نعلم أن قيمة الجنس تحسب عدد الثقوب المخترقة. لكنه في هذا المثال غامض إلى حد ما. في الواقع ، من خلال الجمع بين أي نفقين في المنتصف ، سيكون لدينا ثلاثة ثقوب اختراق. ومع ذلك ، هذا غير صحيح!

تصف صيغة Euler-Poincar & Ecute رؤوس مقدار الخاصية الطوبولوجية ، والحواف ، والوجوه ، والحلقات ، والأصداف ، والجنس. أي تحويل طوبولوجي مطبق على النموذج لن يغير هذه العلاقة. حدسيًا ، يعني تطبيق التحولات الطوبولوجية أنه يمكننا تحريف النموذج وتمديده وسحقه ولكن لا يمكننا قطع بعض الأجزاء أو لصق بعض الأجزاء معًا. دعونا نطبق بعض التحولات الطوبولوجية البديهية على هذا النموذج لحساب الجنس. يمكننا دفع "الجدران" المحيطة بالأنفاق الثلاثة بحيث يصبح الجزء الداخلي من النموذج قشرة رقيقة. هذا موضح في الصورة أدناه.

شد الفتحة العلوية بحيث تكون كبيرة بدرجة كافية (أسفل اليسار). ثم قم بطي الجزء العلوي لتسطيح النموذج. هذا موضح في النموذج الصحيح أدناه. كم عدد الثقوب المخترقة الموجودة؟ اثنين! لذلك ، G تساوي 2.

في بعض الأحيان ، قد تظهر الثقوب المخترقة في موقف غير محتمل. ضع في اعتبارك النموذج التالي الذي تم الحصول عليه عن طريق إخراج طارة وأنبوب من داخل الكرة. ما هو جنس هذا النموذج؟ لا يبدو أن هناك ثقب اختراق. إذن ، هل الجنس يساوي 0؟ في الواقع ، G = 1! اكتشفها بنفسك. قم ببعض الالتواء والتمدد والضغط.


الحجم والضغط: قانون Boyle & rsquos

إذا قمنا بملء حقنة محكمة الإغلاق بالهواء جزئيًا ، فإن الحقنة تحتوي على كمية محددة من الهواء عند درجة حرارة ثابتة ، على سبيل المثال 25 درجة مئوية. إذا دفعنا المكبس ببطء مع الحفاظ على ثبات درجة الحرارة ، يتم ضغط الغاز الموجود في المحقنة إلى حجم أصغر ويزداد ضغطه إذا سحبنا المكبس ، ويزداد الحجم ويقل الضغط. هذا المثال لتأثير الحجم على ضغط كمية معينة من الغاز المحصور صحيح بشكل عام. سيؤدي تقليل حجم الغاز المحتوي إلى زيادة ضغطه وزيادة حجمه سيقلل من ضغطه. في الواقع ، إذا زاد الحجم بعامل معين ، فإن الضغط ينخفض ​​بنفس العامل ، والعكس صحيح. بيانات الحجم والضغط لعينة الهواء في درجة حرارة الغرفة موضحة في الشكل ( فهرس الصفحة <6> ).

الشكل ( PageIndex <6> ): عندما يحتل الغاز حجمًا أصغر ، فإنه يمارس ضغطًا أعلى عندما يحتل حجمًا أكبر ، فإنه يمارس ضغطًا أقل (بافتراض عدم تغير كمية الغاز ودرجة الحرارة). نظرًا لأن P و V متناسبان عكسياً ، فإن رسم بياني لـ مقابل V خطي.

على عكس بي تي و V-T العلاقات والضغط والحجم لا يتناسبان بشكل مباشر مع بعضهما البعض. في حين أن، ص و الخامس تظهر التناسب العكسي: تؤدي زيادة الضغط إلى انخفاض حجم الغاز. رياضيا يمكن كتابة هذا:

مع ك كونها ثابتة. بيانياً ، تظهر هذه العلاقة بالخط المستقيم الذي ينتج عند رسم معكوس الضغط مقابل الحجم (الخامس) ، أو معكوس الحجم ( يسار ( dfrac <1> right) ) مقابل الضغط (ص). يصعب قراءة الرسوم البيانية ذات الخطوط المنحنية بدقة عند القيم المنخفضة أو العالية للمتغيرات ، كما أن استخدامها أكثر صعوبة في ملاءمة المعادلات والمعلمات النظرية للبيانات التجريبية. لهذه الأسباب ، يحاول العلماء غالبًا إيجاد طريقة ل & ldquolinearize & rdquo بياناتهم. إذا رسمنا ص ضد الخامس، نحصل على القطع الزائد (الشكل ( فهرس الصفحة <7> )).

الشكل ( PageIndex <7> ): العلاقة بين الضغط والحجم متناسبة عكسيا. (أ) الرسم البياني لـ P مقابل V عبارة عن قطع زائد ، بينما (ب) الرسم البياني لـ مقابل V خطي.

تم نشر العلاقة بين حجم وضغط كمية معينة من الغاز عند درجة حرارة ثابتة لأول مرة من قبل الفيلسوف الطبيعي الإنجليزي روبرت بويل منذ أكثر من 300 عام. تم تلخيصه في البيان المعروف الآن باسم قانون Boyle & rsquos: يتناسب حجم كمية معينة من الغاز المحتفظ بها عند درجة حرارة ثابتة عكسياً مع الضغط الذي يتم قياسه تحته.

الشكل ( PageIndex <7> ): رسم توضيحي لقانون بويل ، يوضح أنه كلما انخفض الحجم ، زاد الضغط ، والعكس صحيح. هذا الملف موجود في المجال العام لأنه تم إنشاؤه بواسطة ناسا. تنص سياسة حقوق النشر الخاصة بناسا على أن & quot؛ مواد NASA ليست محمية بحقوق الطبع والنشر ما لم ينص على خلاف ذلك & مثل. ( سياسة حقوق النشر الخاصة بوكالة ناسا و سياسة استخدام الصور في مختبر الدفع النفاث ).

مثال ( PageIndex <4> ): حجم عينة غاز

يبلغ حجم عينة الغاز 15.0 مل عند ضغط 13.0 رطل لكل بوصة مربعة. حدد ضغط الغاز بحجم 7.5 مل باستخدام:

  1. ال ص-الخامس الرسم البياني في الشكل ( فهرس الصفحة <6>)
  2. في مقابل. الخامس الرسم البياني في الشكل ( PageIndex <6b> )
  3. معادلة قانون Boyle & rsquos

علق على الدقة المحتملة لكل طريقة.

  1. يقدر من ص-الخامس يعطي الرسم البياني قيمة لـ ص في مكان ما حوالي 27 رطل / بوصة مربعة.
  2. تقدير من مقابل الخامس يعطي الرسم البياني قيمة حوالي 26 رطل لكل بوصة مربعة.
  3. من قانون Boyle & rsquos نعلم أن ناتج الضغط والحجم (PV) لعينة معينة من الغاز عند درجة حرارة ثابتة تساوي دائمًا نفس القيمة. لذلك لدينا ص1الخامس1 = ك و ص2الخامس2 = ك مما يعنى ص1الخامس1 = ص2الخامس2.

استخدام ص1 و الخامس1 مثل القيم المعروفة 13.0 رطل لكل بوصة مربعة و 15.0 مل ، ص2 مثل الضغط الذي يكون الحجم غير معروف فيه ، و الخامس2 كمجلد غير معروف ، لدينا:

كان من الصعب تقدير بشكل جيد من ص-الخامس الرسم البياني ، لذلك من المحتمل أن تكون (أ) غير دقيقة أكثر من (ب) أو (ج). سيكون الحساب دقيقًا بقدر ما تسمح به المعادلة والقياسات.

يبلغ حجم عينة الغاز 30.0 مل عند ضغط 6.5 رطل لكل بوصة مربعة. حدد حجم الغاز عند ضغط 11.0 رطل / بوصة مربعة باستخدام:

  1. ال ص-الخامس الرسم البياني في الشكل ( فهرس الصفحة <6>)
  2. في مقابل. الخامس الرسم البياني في الشكل ( PageIndex <6b> )
  3. معادلة قانون Boyle & rsquos

علق على الدقة المحتملة لكل طريقة.

17.7 مل كان من الصعب تقديره جيدًا من ص-الخامس الرسم البياني ، لذلك (أ) من المحتمل أن يكون غير دقيق أكثر من (ب) سيكون الحساب دقيقًا بقدر ما تسمح به المعادلة والقياسات

يسهل تذكر قانون الغاز المثالي وتطبيقه في حل المشكلات, طالما تحصل على القيم الصحيحة ووحدات ثابت الغاز ، R.

الكيمياء في الحياة اليومية: قانون التنفس و Boyle & rsquos

ماذا تفعل حوالي 20 مرة في الدقيقة طوال حياتك ، دون انقطاع ، وفي كثير من الأحيان دون أن تدرك ذلك؟ الجواب بالطبع هو التنفس أو التنفس. كيف يعمل؟ اتضح أن قوانين الغاز تنطبق هنا. تمتص الرئتان الغازات التي يحتاجها جسمك (الأكسجين) وتتخلص من الغازات العادمة (ثاني أكسيد الكربون). تتكون الرئتان من أنسجة إسفنجية قابلة للتمدد تتوسع وتتقلص أثناء التنفس. عندما تستنشق ، ينقبض الحجاب الحاجز والعضلات الوربية (العضلات بين الضلوع) ، مما يؤدي إلى توسيع تجويف صدرك وزيادة حجم رئتيك. تؤدي الزيادة في الحجم إلى انخفاض الضغط (قانون Boyle & rsquos). يؤدي هذا إلى تدفق الهواء إلى الرئتين (من الضغط العالي إلى الضغط المنخفض). عند الزفير ، تنعكس العملية: تسترخي عضلات الحجاب الحاجز والأضلاع ، وينقبض تجويف صدرك ، ويقل حجم رئتيك ، مما يؤدي إلى زيادة الضغط (قانون Boyle & rsquos مرة أخرى) ، ويتدفق الهواء من الرئتين (من الضغط العالي إلى المنخفض الضغط). ثم تقوم بالشهيق والزفير مرارًا وتكرارًا ، وتكرار دورة قانون Boyle & rsquos لبقية حياتك (الشكل ( فهرس الصفحة <8> )).

الشكل ( PageIndex <8> ): يحدث التنفس لأن زيادة حجم الرئة وتقلصها يخلق اختلافات صغيرة في الضغط بين رئتيك ومحيطك ، مما يتسبب في سحب الهواء إلى رئتيك وإجباره على الخروج منها.


محتويات

اللوح الطيني البابلي YBC 7289 (حوالي 1800-1600 قبل الميلاد) يعطي تقريب of 2 في أربعة أرقام ستينية ، 1 24 51 10 ، وهو دقيق لحوالي ستة أرقام عشرية ، [5] وهو أقرب ثلاثة خانات ممكنة التمثيل الستيني لـ √ 2:

يتم إعطاء تقريب مبكر آخر في النصوص الرياضية الهندية القديمة ، Sulbasutras (حوالي 800-200 قبل الميلاد) ، على النحو التالي: قم بزيادة طول [الضلع] بمقدار الثلث والثالث بمقدار الربع الخاص به مطروحًا من الجزء الرابع والثلاثين من الجزء الرابع. [6] وهذا هو ،

هذا التقريب هو السابع في سلسلة من التقريبات المتزايدة الدقة بناءً على تسلسل أرقام Pell ، والتي يمكن اشتقاقها من التوسع الكسر المستمر لـ √ 2. على الرغم من وجود مقام أصغر ، إلا أنه أقل دقة بقليل من التقريب البابلي.

اكتشف فيثاغورس أن قطر المربع غير قابل للقياس مع ضلعه ، أو في اللغة الحديثة ، أن الجذر التربيعي لاثنين غير منطقي. لا يُعرف الكثير على وجه اليقين عن وقت أو ظروف هذا الاكتشاف ، ولكن غالبًا ما يتم ذكر اسم Hippasus of Metapontum. لفترة من الوقت ، تعامل الفيثاغوريون مع اكتشاف أن الجذر التربيعي لاثنين غير منطقي ، ووفقًا للأسطورة ، قُتل هيباسوس لإفشاءه. [2] [7] [8] [9] أحيانًا ما يسمى الجذر التربيعي لاثنين رقم فيثاغورس أو ثابت فيثاغورس، على سبيل المثال بواسطة Conway & amp Guy (1996). [10]

العمارة الرومانية القديمة تحرير

في العمارة الرومانية القديمة ، يصف فيتروفيوس استخدام الجذر التربيعي لتقدمين أو التربيعي تقنية. وهي تتكون أساسًا من طريقة هندسية ، وليست حسابية ، لمضاعفة مربع ، حيث يكون قطر المربع الأصلي مساويًا لجانب المربع الناتج. ينسب فيتروفيوس الفكرة إلى أفلاطون. تم استخدام النظام لبناء الأرصفة عن طريق إنشاء ظل مربع لزوايا المربع الأصلي عند 45 درجة منه. تم استخدام النسبة أيضًا لتصميم الأذين من خلال منحهم طولًا مساويًا لقطر مأخوذ من مربع ، تكون جوانبه مساوية لعرض الأذين المقصود. [11]

تحرير خوارزميات الحساب

هناك عدد من الخوارزميات لتقريب 2 كنسبة أعداد صحيحة أو كعدد عشري. الخوارزمية الأكثر شيوعًا لهذا ، والتي تُستخدم كأساس في العديد من أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة ، هي الطريقة البابلية [12] لحساب الجذور التربيعية ، وهي إحدى طرق حساب الجذور التربيعية. يذهب على النحو التالي:

أولاً ، اختر تخمينًا ، أ0 & gt 0 تؤثر قيمة التخمين فقط على عدد التكرارات المطلوبة للوصول إلى تقدير تقريبي لدقة معينة. ثم ، باستخدام هذا التخمين ، كرر العملية الحسابية العودية التالية:

كلما زاد عدد التكرارات من خلال الخوارزمية (أي ، زاد عدد الحسابات التي يتم إجراؤها وكلما زاد " ن ") ، كان التقريب أفضل. كل تكرار يضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة. بدءًا من أ0 = 1 نتائج الخوارزمية كالتالي:

  • 1 ( أ0 )
  • 3 / 2 = 1.5 ( أ1 )
  • 17 / 12 = 1.416. ( أ2 )
  • 577 / 408 = 1.414215. ( أ3 )
  • 665857 / 470832 = 1.4142135623746. ( أ4 )

تقريبية عقلانية تحرير

السجلات في تحرير الحساب

في عام 1997 ، تم حساب قيمة √ 2 إلى 137،438،953،444 منزلًا عشريًا بواسطة فريق Yasumasa Kanada. في فبراير 2006 ، تم كسر الرقم القياسي لحساب √ 2 باستخدام الكمبيوتر المنزلي. قام Shigeru Kondo بحساب 1 تريليون منزل عشري في عام 2010. [13] من بين الثوابت الرياضية ذات التوسعات العشرية الصعبة حسابياً ، تم حساب π فقط بشكل أكثر دقة. [14] تهدف هذه الحسابات إلى التحقق تجريبيًا مما إذا كانت هذه الأرقام طبيعية.

هذا جدول بالتسجيلات الحديثة في حساب أرقام 2. [15]

تاريخ اسم عدد الخانات
28 يونيو 2016 رون واتكينز 10 تريليون
3 أبريل 2016 رون واتكينز 5 تريليون
9 فبراير 2012 الكسندر يي 2 تريليون
22 مارس 2010 شيجيرو كوندو 1 تريليون

يمكن الحصول على دليل قصير على اللاعقلانية لـ √ 2 من نظرية الجذر المنطقي ، أي إذا ص(x) هو متعدد الحدود أحادي مع معاملات عدد صحيح ، ثم أي جذر منطقي لـ ص(x) هو بالضرورة عدد صحيح. تطبيق هذا على كثير الحدود ص(x) = x 2 - 2 ، يترتب على ذلك أن either 2 إما عدد صحيح أو غير منطقي. لأن √ 2 ليس عددًا صحيحًا (2 ليس مربعًا كاملًا) ، لذلك يجب أن تكون √ 2 غير منطقية. يمكن تعميم هذا الدليل لتوضيح أن أي جذر تربيعي لأي عدد طبيعي لا يمثل مربع عدد طبيعي هو غير منطقي.

لإثبات أن الجذر التربيعي لأي عدد طبيعي غير مربع هو غير منطقي ، انظر تربيعيًا غير منطقي أو أصل لانهائي.

إثبات النسب اللانهائي تحرير

أحد الأدلة على لاعقلانية الرقم هو الدليل التالي بالنسب اللانهائي. وهو أيضًا إثبات بالتناقض ، يُعرف أيضًا باسم الدليل غير المباشر ، حيث يتم إثبات الاقتراح من خلال افتراض أن عكس الاقتراح صحيح ويظهر أن هذا الافتراض خاطئ ، مما يعني ضمنيًا أن الاقتراح يجب أن يكون صحيحًا.

  1. افترض أن √ 2 عدد منطقي ، مما يعني وجود زوج من الأعداد الصحيحة نسبته بالضبط √ 2.
  2. إذا كان هناك عامل مشترك بين العددين الصحيحين ، فيمكن إزالته باستخدام الخوارزمية الإقليدية.
  3. ثم يمكن كتابة √ 2 ككسر غير قابل للاختزال
  4. أ / ب مثل ذلك أ و ب هي أعداد صحيحة coprime (ليس لها عامل مشترك) مما يعني بالإضافة إلى ذلك أن واحدًا على الأقل من أ أو ب يجب أن يكون غريبًا.
  5. إنه يتبع هذا
  6. أ 2 / ب 2 = 2 و أ 2 = 2ب 2 . ( (
  7. أ / ب ) ن =
  8. أن / بن ) ( أ 2 و ب 2هي أعداد صحيحة)
  9. لذلك، أ 2 زوجي لأنها تساوي 2ب 2 . ( 2ب 2 هو بالضرورة زوجي لأنه 2 في عدد صحيح آخر ومضاعفات 2 زوجية.)
  10. إنه يتبع هذا أ يجب أن يكون زوجيًا (لأن مربعات الأعداد الصحيحة الفردية ليست زوجية أبدًا).
  11. لأن أ حتى ، يوجد عدد صحيح ك الذي يحقق: أ = 2ك .
  12. استبدال 2ك من الخطوة 7 من أجل أ في المعادلة الثانية للخطوة 4: 2ب 2 = (2ك) 2 تعادل 2ب 2 = 4ك 2 ، أي ما يعادل ب 2 = 2ك 2 .
  13. لأن 2ك 2 يقبل القسمة على اثنين وبالتالي حتى ، ولأن 2ك 2 = ب 2 ، يتبع ذلك ب 2 هو أيضًا مما يعني ذلك ب بل هو.
  14. بالخطوات 5 و 8 أ و ب كلاهما حتى ، وهو ما يتعارض مع ذلك
  15. أ / ب غير قابل للاختزال كما هو مذكور في الخطوة 3.

نظرًا لوجود تناقض ، يجب أن يكون الافتراض (1) بأن a 2 رقمًا منطقيًا خطأً. هذا يعني أن √ 2 ليس عددًا نسبيًا. وهذا يعني أن √ 2 غير منطقي.

تم التلميح إلى هذا الدليل من قبل أرسطو في كتابه أناليتيكا بريورا، §I.23. [16] ظهرت أولاً كدليل كامل في إقليدس عناصر، كاقتراح 117 من الكتاب العاشر. ومع ذلك ، منذ أوائل القرن التاسع عشر ، اتفق المؤرخون على أن هذا الدليل هو استيفاء ولا يُنسب إلى إقليدس. [17]

إثبات بواسطة تحرير عامل فريد

كما هو الحال مع إثبات النسب اللانهائي ، نحصل على 2 = 2 ب 2 < displaystyle a ^ <2> = 2b ^ <2>>. نظرًا لكونه بنفس الكمية ، فإن كل جانب له نفس العامل الأولي بواسطة النظرية الحسابية الأساسية ، وعلى وجه الخصوص ، يجب أن يحدث العامل 2 بنفس عدد المرات. ومع ذلك ، يظهر العامل 2 عددًا فرديًا من المرات على اليمين ، ولكنه يظهر عددًا زوجيًا من المرات على اليسار - وهو تناقض.

تحرير الدليل الهندسي

يُنسب جون هورتون كونواي دليلًا بسيطًا إلى ستانلي تينينباوم عندما كان الأخير طالبًا في أوائل الخمسينيات [18] وكان آخر ظهور له في مقال بقلم نوسون يانوفسكي في عدد مايو ويونيو 2016 من عالم أمريكي. [19] بإعطاء مربعين مع أضلاع صحيحة على التوالي أ و ب، التي تبلغ مساحة إحداهما ضعف مساحة الأخرى ، ضع نسختين من المربع الأصغر في المربع الأكبر كما هو موضح في الشكل 1. منطقة تداخل المربع في المنتصف ((2بأ) 2) يجب أن يساوي مجموع المربعين غير المكشوفين (2 (أب) 2). ومع ذلك ، فإن هذه المربعات على القطر لها جوانب صحيحة موجبة أصغر من المربعات الأصلية. بتكرار هذه العملية ، هناك مربعات صغيرة عشوائية واحدة ضعف مساحة الأخرى ، ولكن كلاهما له جوانب عدد صحيح موجب ، وهو أمر مستحيل لأن الأعداد الصحيحة الموجبة لا يمكن أن تقل عن 1.

ظهرت حجة أخرى للتخفيض الهندسي تظهر أن √ 2 غير منطقي في عام 2000 في مجلة الرياضيات الشهرية الأمريكية. [20] وهو أيضًا مثال على الإثبات بالنسب اللانهائي. إنه يستخدم البوصلة الكلاسيكية والبناء المستقيم ، مما يثبت النظرية بطريقة مشابهة لتلك المستخدمة في المقاييس الهندسية اليونانية القديمة. إنه في الأساس نفس الدليل الجبري كما في الفقرة السابقة ، ويُنظر إليه هندسيًا بطريقة أخرى.

ارسم الأقواس BD و م مع المركز أ . انضم DE . إنه يتبع هذا AB = ميلادي , تيار متردد = AE و ∠باك و ∠دبي لصناعات الطيران تزامن. إذن ، المثلثات ABC و ADE متطابقة مع SAS.

لأن ∠EBF هي الزاوية اليمنى وBEF نصف زاوية قائمة ، △BEF هو أيضًا مثلث متساوي الساقين قائم. لذلك يكون = من يدل فرنك بلجيكي = من . بالتناظر ، مدافع = من و △FDC هو أيضًا مثلث متساوي الساقين قائم. كما يلي ذلك FC = ن − (من) = 2نم .

ومن ثم ، يوجد مثلث أصغر متساوي الساقين بطول وتر المثلث 2نم والأرجل من . هذه القيم هي حتى أصغر من م و ن وبنفس النسبة تناقض الفرضية القائلة م:ن في أدنى الشروط. لذلك، م و ن لا يمكن أن يكون كلاهما عددًا صحيحًا ، وبالتالي فإن √ 2 غير منطقي.

تحرير الإثبات البناء

في النهج البناء ، يميز المرء بين عدم كونه عقلانيًا من ناحية ، ومن ناحية أخرى كونه غير عقلاني (أي كونه بعيدًا عن كل عقلاني بشكل كمي) ، فالأخير خاصية أقوى. بالنظر إلى الأعداد الصحيحة الموجبة أ و ب ، لأن التقييم (أي أعلى قوة لـ 2 قسمة رقم) لـ 2ب 2 غريب ، في حين أن تقييم أ 2 زوجي ، لذا يجب أن يكونا أعداد صحيحة مميزة | 2ب 2 − أ 2 | ≥ 1. ثم [21]

إثبات بواسطة معادلات ديوفانتين تحرير

س ، ص ض
كلاهما حتى حتى في مستحيل. معادلة ديوفانتين المعطاة بدائية وبالتالي لا تحتوي على عوامل مشتركة طوال الوقت.
كلاهما غريب الفردية مستحيل. مجموع عددين فرديين لا ينتج عنه رقم فردي.
كلاهما حتى الفردية مستحيل. مجموع رقمين زوجي لا ينتج عنه رقم فردي.
واحد حتى ، آخر غريب حتى في مستحيل. مجموع العدد الزوجي والرقم الفردي لا ينتج عنه رقم زوجي.
كلاهما غريب حتى في ممكن
واحد حتى ، آخر غريب الفردية ممكن

وهو مستحيل. لذلك ، يتم أيضًا استبعاد الاحتمال الخامس ، مما يجعل الخيار السادس هو التركيبة الوحيدة الممكنة التي تحتوي على حلول ، إن وجدت.

امتداد هذا lemma هو نتيجة أنه لا يمكن أبدًا إضافة مربعين متطابقين للأرقام الصحيحة لإنتاج مربع آخر للأرقام الكاملة ، حتى عندما لا تكون المعادلة في أبسط أشكالها.

لكن lemma يثبت أن مجموع مربعين متطابقين من الأعداد الصحيحة لا يمكن أن ينتج مربع عدد صحيح آخر.

نصف √ 2 ، وهو أيضًا مقلوب √ 2 ، هو كمية شائعة في الهندسة وعلم المثلثات لأن متجه الوحدة الذي يصنع زاوية 45 درجة مع المحاور في المستوى له إحداثيات

خاصية مثيرة للاهتمام لـ √ 2 هي

هذا مرتبط بخاصية نسب الفضة.

يمكن أيضًا التعبير عن √ 2 من حيث نسخ الوحدة التخيلية أنا باستخدام الجذر التربيعي والعمليات الحسابية فقط ، إذا تم تفسير رمز الجذر التربيعي بشكل مناسب للأعداد المركبة أنا و -أنا :

√ 2 هو أيضًا الرقم الحقيقي الوحيد بخلاف 1 الذي تساوي فيه tetrate اللانهائية (أي البرج الأسي اللانهائي) مربعها. بمعنى آخر: if for c & gt 1 ، x1 = ج و xن+1 = ج xن ل ن & GT 1 ، الحد الأقصى xن سوف يطلق عليه ن → ∞ (إذا كان هذا الحد موجودًا) F(ج). إذن √ 2 هو الرقم الوحيد ج & GT 1 لذلك F(ج) = ج 2. أو بشكل رمزي:

ل م الجذور التربيعية وعلامة ناقص واحدة فقط. [23]

متشابه في المظهر ولكن مع عدد محدود من المصطلحات ، يظهر √ 2 في ثوابت مثلثية مختلفة: [24]

من غير المعروف ما إذا كان √ 2 رقمًا عاديًا ، أو خاصية أقوى من اللاعقلانية ، لكن التحليلات الإحصائية لتوسيعه الثنائي تتوافق مع الفرضية القائلة بأنه من الطبيعي أن يكون الأساس الثاني. [25]

السلسلة وتحرير المنتج

سلسلة تايلور √ 1 + x مع x = 1 وباستخدام العامل المزدوج ن!! يعطي

يمكن تسريع تقارب هذه السلسلة من خلال تحويل أويلر الناتج

من غير المعروف ما إذا كان يمكن تمثيل √ 2 بصيغة BBP. تُعرف الصيغ من نوع BBP بـ π √ 2 و √ 2 ln (1+ √ 2) ، ومع ذلك. [26]

يمكن تمثيل الرقم بسلسلة لا نهائية من الكسور المصرية ، مع تحديد القواسم من خلال 2 n من الحدود من علاقة تكرار تشبه فيبوناتشي a (n) = 34a (n-1) -a (n-2) ، a (0 ) = 0 ، أ (1) = 6. [27]

استمرار الكسر تحرير

الجذر التربيعي لاثنين له تمثيل الكسر المستمر التالي:

مربع متداخل تحرير

تتقارب التعبيرات المربعة المتداخلة التالية مع √ 2:

تحرير حجم الورق

في عام 1786 ، وجد أستاذ الفيزياء الألماني جورج ليشتنبرغ [28] أن أي ورقة طول حافتها الطويلة بمقدار ضعف حافتها القصيرة يمكن طيها إلى النصف ومحاذاة جانبها الأقصر لإنتاج ورقة بنفس النسب تمامًا مثل الأصلي. This ratio of lengths of the longer over the shorter side guarantees that cutting a sheet in half along a line results in the smaller sheets having the same (approximate) ratio as the original sheet. When Germany standardised paper sizes at the beginning of the 20th century, they used Lichtenberg's ratio to create the "A" series of paper sizes. [28] Today, the (approximate) aspect ratio of paper sizes under ISO 216 (A4, A0, etc.) is 1: √ 2 .

Physical sciences Edit

There are some interesting properties involving the square root of 2 in the physical sciences:


In statistics, the term “standard error” of a statistic refers to the estimate of the standard deviation of the sample mean from the true population mean. To put it simply, just as standard deviation measures each individual’s dispersion value from the sample mean, the standard error of mean measures the dispersion of all the sample means around the population mean.

تنزيل تقييم الشركات ، والخدمات المصرفية الاستثمارية ، والمحاسبة ، وحاسبة المحللين الماليين المعتمدين وغيرها

The formula for standard error can be derived by dividing the sample standard deviation by the square root of the sample size. Although population standard deviation should be used in the computation, it is seldom available, and as such a sample, the standard deviation is used as a proxy for population standard deviation. Mathematically, it is represented as,

  • س: √Σ n أنا(xأنا-x̄) 2 / n-1
  • xأنا: i th Random Variable
  • : Sample Mean
  • ن: Sample Size

Examples of Standard Error Formula (With Excel Template)

Let’s take an example to understand the calculation of Coupon Bond in a better manner.

Standard Error Formula – Example #1

Let us take the example of a survey where 100 respondents were asked to provide their feedback on the recently concluded college fest. They were asked to rate the fest on a scale of 1 to 5, with 5 being the best. Now, a random sampling method was used to build a sample of 5 responses out of the 100 responses. The selected responses are – 3, 2, 5, 3 and 4. Calculate the standard error of the statistic based on the selected responses.

Sample Mean ( x̄ ) is calculated using the formula given below

Similarly Calculated as below

Standard Deviation (s) is calculated using the formula given below

s = √Σ n أنا(xأنا-x̄) 2 / n-1

Standard Error is calculated using the formula given below

Standard Error = s / √n

Therefore, the standard error of the sample mean is 0.51.

Standard Error Formula – Example #2

Let us take the example of a survey conducted at an office in New York where around 1,000 employees were asked how much they liked the work that they were doing in their current profile. They were to rate on a scale of 1 to 10, with 10 being the best. Then a sample of 10 responses was selected, and the responses are – 4, 5, 8, 10, 9, 5, 9, 8, 9 and 7. Calculate the standard error of the statistic based on the selected responses.

Sample Mean ( x̄ ) is calculated using the formula given below

  • Sample Mean ( x̄ ) = (4 + 5 + 8 + 10 + 9 + 5 + 9 + 8 + 9 + 7) / 10
  • Sample Mean ( x̄ )= 7.2

Similarly Calculated as below

Standard Deviation (s) is calculated using the formula given below

s = √Σ n أنا(xأنا-x̄) 2 / n-1

Standard Error is calculated using the formula given below

Standard Error = s / √n

Therefore, the standard error of the sample mean is 0.77.

تفسير

The formula for standard error can be derived by using the following steps:

الخطوة 1: Firstly, collect the sample variables from the population-based on a certain sampling method. The sample variables are denoted by x such that xأنا refers to the i th variable of the sample.

الخطوة 2: Next, determine the sample size, which is the total number of variables in the sample. It is denoted by n.

الخطوه 3: Next, compute the sample mean, which can be derived by dividing the summation of all the variables in the sample (step 1) by the sample size (step 2). It is denoted by, and mathematically it is represented as,

الخطوة الرابعة: Next, compute the sample standard deviation (s), which involves a complex calculation that uses each sample variable (step 1), sample mean (step 3) and sample size (step 2) as shown below.

s = √Σ n أنا(xأنا-x̄) 2 / n-1

Step 5: Finally, the formula for standard error can be derived by dividing the sample standard deviation (step 4) by the square root of the sample size (step 2), as shown below.

Standard Error = s / √n

Relevance and Use of Standard Error Formula

It is very important to understand the concept of standard error as it predominantly used by statisticians as it allows them to measure the precision of their sampling method. Statisticians usually use the sample from a large pool of data as it is difficult to process such a huge data set, and as such, sampling makes the task a lot easier. So, standard error helps estimate how far the sample mean from the true population means.

In the case of finite population standard deviation, an increase in sample size will eventually reduce the standard error of the sample mean to zero as the population’s estimation will improve. Additionally, the sample standard deviation will also become approximately equal to the population standard deviation with the increase in sample size.

In the normally distributed sampling distribution, the sample mean, quantiles of the normal distribution and standard error can be used in the calculation of the population mean’s confidence intervals.**

Standard Error Formula Calculator

You can use the following Standard Error Formula Calculator

مقالات مقترحة

This is a guide to Standard Error Formula. Here we discuss how to calculate Standard Error along with practical examples and a downloadable excel template. You may also look at the following articles to learn more –


Holladay 1 Formula

Each of the two tables listed below assume an average pre-refractive surgery corneal power of 43 D and implantation of an Alcon SA60AT intraocular lens.

After MYOPIC Keratorefractive Surgery
IOL Power Adjustment Table for Holladay 1 Formula

ADD TO: Based on the Aramberri "Double K" method, the numbers in each row of the MYOPIC refractive correction represent the amount in diopters that must be added to the calculated IOL power when using the Holladay 1 Formula.

MYOPIC Axial Length (mm)
Refractive
Correction
(D)
20 22 24 26 28 30
2 0.5 0.5 0.5 0.4 0.3 0.1
3 0.7 0.7 0.7 0.7 0.4 0.2
4 0.9 1.0 1.0 0.9 0.6 0.4
5 1.2 1.2 1.3 1.2 0.8 0.5
6 1.4 1.5 1.6 1.5 1.0 0.7
7 1.6 1.7 1.8 1.7 1.2 0.9
8 1.9 2.0 2.1 2.0 1.5 1.0
9 2.1 2.2 2.4 2.3 1.7 1.2
10 2.4 2.5 2.7 2.6 1.9 1.4

After HYPEROPIC Keratorefractive Surgery
IOL Power Adjustment Table for Holladay 1 Formula

SUBTRACT FROM: Based on the Aramberri "Double K" method, the numbers in each row of the HYPEROPIC refractive correction represent the amount in diopters that must be subtracted from the calculated IOL power when using the Holladay 1 Formula. If no number appears, it means that the formula is not applicable for that combination of axial length and refractive correction.

HYPEROPIC Axial Length (mm)
Refractive
Correction
(D)
20 22 24 26 28 30
2 0.4 0.4 0.5 0.4 0.2 0.0
3 0.6 0.7 0.7 0.5 0.2 --
4 0.9 0.9 0.9 0.6 0.4 --
5 1.1 1.0 1.0 0.7 -- --
6 1.1 1.1 1.1 0.7 ----

The above two tables were adopted from the following:

Aramberri J. Intraocular lens power calculation after corneal refractive surgery: Double K method. J Cataract Refract Surg 2003 29(11): 2063-2068.

Koch, D., Wang I. Calculating IOL power in eyes that have had refractive surgery. J Cataract Refract Surg 2003 29(11) 2039-2042.

East Valley Ophthalmology
5620 East Broadway Road
Mesa, Arizona 85206

Tel: +1-480-981-6111
FAX: +1-480-985-2426

Arizona's Top Eye Doctors - East Valley Ophthalmology provides this online information for educational and communication purposes only and it should not be construed as personal medical advice. Information published on this website is not intended to replace, supplant, or augment a consultation with an eye care professional regarding the viewer/user's own medical care. East Valley Ophthalmology's disclaims any and all liability for injury or other damages that could result from use of the information obtained from this site. Please read our full Terms, Privacy, Infringement


Mean is a point in a data set which is the average of all the data point we have in a set. It is basically arithmetic average of the data set and can be calculated by taking a sum of all the data points and then dividing it by the number of data points we have in data set. In statistics, mean is the most common method to measure the center of a data set. It’s a very basic yet important part of the statistical analysis of data. If we calculate the average value of the population set, then it is called the population mean. But sometimes what happens is that population data is very huge and we cannot perform analysis on that data set. So in that case, we take a sample out of it and take an average. That sample basically represents the population set and mean is called a sample mean. Mean value is the average value which will fall between the maximum and minimum value in data set but it will not be the number in the data set.

تنزيل تقييم الشركات ، والخدمات المصرفية الاستثمارية ، والمحاسبة ، وحاسبة المحللين الماليين المعتمدين وغيرها

A formula for Mean is given by:

There is another way of calculating mean which is not very commonly used. It is called Assumed mean method. In that method, a random value is selected from the data set and assumed to be mean. Then the deviation of the data points from this value is calculated. So mean is given by:

Examples of Mean Formula (With Excel Template)

Let’s take an example to understand the calculation of Mean formula in a better manner.

Mean Formula – Example #1

Let say you have a data set with 10 data points and we want to calculate mean for that.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Sum of All Data Points / Number of Data Points

Let’s use Assumed Mean method to find mean in the same example.

Let’s assume that the mean for the given data set is 40. So Deviations will be calculated as:

For 1st data point, 4 – 40 = -36

The result will be as given below.

Similarly, We have to calculate deviation for all the data points.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Assumed Mean + (Sum of All Deviations / Number of Data Points)

  • Mean = 40 + (-36 -34-32-31-18+43+58+5+47-30) / 10
  • Mean = 40 + (-28) / 10
  • Mean = 40 + (-2.8)
  • Mean = 37.2

Mean Formula – Example #2

Let us take IBM stock and we will take its historical prices from the last 10 months and will calculate the annual return for 10 months.

Mean is calculated using the formula given below

Mean = Sum of All Data Points / Number of Data Points

  • Mean = (3.74% + 1.07% +4.34% + (-23.66)% + 7.66% + (-7.36)% + 18.25% + 2.76% + 1.48% + 0.00%) / 10
  • Mean = 8.28% / 10
  • Mean = 0.83%

So if you see here, in the last 10 months, IBM return has fluctuated very much.

Overall, in the last 10 months, the average return is only 0.83%

تفسير

Mean is basically a simple average of the data points we have in a data set and it helps us to understand the average point of the data set. But there are certain limitations of using mean. Mean value is easily distorted by extreme values/outliers. These extreme values can be a very small or very large value which can distort the mean. For example: Let say we have returns of stock for the last 5 years given by 5%, 2%, 1%, 5%, -30%. Mean for these values is -3.4% ((5+2+1+5-30)/5). So although the stock has provided a positive return for the first 4 years, on an average we have a negative mean of 3.4%. Similarly, if we have a project for which we are analyzing the cash flow for the next 5 years. Let say the cash flows are: -100, -100, -100, -100, +1000.

Mean is 600 / 5 = 120. Although we have a positive mean, we are only getting money in last year of the project and it can happen that if we incorporate time value of money, this project will not look as lucrative as it is now.

Relevance and Uses of Mean Formula

Mean is very simple yet one of the crucial elements of statistics. It is the basic foundation of statistical analysis of data. It is very easy to calculate and easy to understand also. If we have data set with data points which are scattered all over the place, mean helps us to see what is the average of that data point. For example : If a stock X has returns from last 5 years as 20%, -10%, 3%, -7%, 30%. If you see all the years have different returns. Mean for this is 7.2% ((20-10+3-7+30)/5). So we can now simply say that on an average, the stock has given us the yearly return of 7.2%.

But if we see mean in a silo, it has relatively less significance because of the flaws discussed above and it is more of a theoretical number. So we should use mean value very carefully and should not analyze the data only based on the mean.

Mean Formula Calculator

You can use the following Mean Calculator

مقالات مقترحة

This has been a guide to Mean Formula. Here we discuss how to calculate Mean along with practical examples. We also provide Mean calculator with downloadable excel template. You may also look at the following articles to learn more –


7.2 Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem

The information presented in this section supports the following AP® learning objectives and science practices:

  • 3.E.1.1 The student is able to make predictions about the changes in kinetic energy of an object based on considerations of the direction of the net force on the object as the object moves. (S.P. 6.4, 7.2)
  • 3.E.1.2 The student is able to use net force and velocity vectors to determine qualitatively whether kinetic energy of an object would increase, decrease, or remain unchanged. (S.P. 1.4)
  • 3.E.1.3 The student is able to use force and velocity vectors to determine qualitatively or quantitatively the net force exerted on an object and qualitatively whether kinetic energy of that object would increase, decrease, or remain unchanged. (S.P. 1.4, 2.2)
  • 3.E.1.4 The student is able to apply mathematical routines to determine the change in kinetic energy of an object given the forces on the object and the displacement of the object. (S.P. 2.2)
  • 4.C.1.1 The student is able to calculate the total energy of a system and justify the mathematical routines used in the calculation of component types of energy within the system whose sum is the total energy. (S.P. 1.4, 2.1, 2.2)
  • 4.C.2.1 The student is able to make predictions about the changes in the mechanical energy of a system when a component of an external force acts parallel or antiparallel to the direction of the displacement of the center of mass. (S.P. 6.4)
  • 4.C.2.2 The student is able to apply the concepts of conservation of energy and the work-energy theorem to determine qualitatively and/or quantitatively that work done on a two-object system in linear motion will change the kinetic energy of the center of mass of the system, the potential energy of the systems, and/or the internal energy of the system. (S.P. 1.4, 2.2, 7.2)
  • 5.B.5.3 The student is able to predict and calculate from graphical data the energy transfer to or work done on an object or system from information about a force exerted on the object or system through a distance. (S.P. 1.5, 2.2, 6.4)

Work Transfers Energy

What happens to the work done on a system? Energy is transferred into the system, but in what form? Does it remain in the system or move on? The answers depend on the situation. For example, if the lawn mower in Figure 7.2(a) is pushed just hard enough to keep it going at a constant speed, then energy put into the mower by the person is removed continuously by friction, and eventually leaves the system in the form of heat transfer. In contrast, work done on the briefcase by the person carrying it up stairs in Figure 7.2(d) is stored in the briefcase-Earth system and can be recovered at any time, as shown in Figure 7.2(e). In fact, the building of the pyramids in ancient Egypt is an example of storing energy in a system by doing work on the system. Some of the energy imparted to the stone blocks in lifting them during construction of the pyramids remains in the stone-Earth system and has the potential to do work.

In this section we begin the study of various types of work and forms of energy. We will find that some types of work leave the energy of a system constant, for example, whereas others change the system in some way, such as making it move. We will also develop definitions of important forms of energy, such as the energy of motion.

Net Work and the Work-Energy Theorem

We know from the study of Newton’s laws in Dynamics: Force and Newton's Laws of Motion that net force causes acceleration. We will see in this section that work done by the net force gives a system energy of motion, and in the process we will also find an expression for the energy of motion.

Let us start by considering the total, or net, work done on a system. Net work is defined to be the sum of work done on an object. The net work can be written in terms of the net force on an object. F net F net size 12 > > <> In equation form, this is W net = F net d cos θ W net = F net d cos θ size 12 > =F rSub < size 8<"net">> d"cos"θ> <> where θ θ size 12 <θ><> is the angle between the force vector and the displacement vector.

Real World Connections: Work and Direction

Consider driving in a car. While moving, you have forward velocity and therefore kinetic energy. When you hit the brakes, they exert a force opposite to your direction of motion (acting through the wheels). The brakes do work on your car and reduce the kinetic energy. Similarly, when you accelerate, the engine (acting through the wheels) exerts a force in the direction of motion. The engine does work on your car, and increases the kinetic energy. Finally, if you go around a corner at a constant speed, you have the same kinetic energy both before and after the corner. The force exerted by the engine was perpendicular to the direction of motion, and therefore did no work and did not change the kinetic energy.

Net work will be simpler to examine if we consider a one-dimensional situation where a force is used to accelerate an object in a direction parallel to its initial velocity. Such a situation occurs for the package on the roller belt conveyor system shown in Figure 7.4.

The force of gravity and the normal force acting on the package are perpendicular to the displacement and do no work. Moreover, they are also equal in magnitude and opposite in direction so they cancel in calculating the net force. The net force arises solely from the horizontal applied force F app F app and the horizontal friction force f f . Thus, as expected, the net force is parallel to the displacement, so that θ = 0º θ = 0º and cos θ = 1 cos θ = 1 size 12 <"cos"q=1><> , and the net work is given by


Advances in Quantum Chemistry

C Weyl's Theory and the Spectrum

In this addendum, we will derive the spectral function from Weyl's theory and in particular demonstrate the relationship between the imaginary part of the Weyl–Titchmarsh م-function, مI, and the concept of spectral concentration. For simplicity we will restrict the discussion to the spherical symmetric case with the radial coordinate defined on the real half-line. تذكر ذلك م could be defined via the Sturm–Liouville problem on the radial interval [0,b] (if zero is a singular point, the interval [أ,ب], ب & GT أ > 0), and the boundary condition at the left boundary is given by [commensurate with Eq. (5) ]

أين α could be chosen so that ψ is regular at origin (see Ref. [46] for details regarding this determination in practical applications) and the requirement that χ defined by

satisfies a real boundary condition at ب, i.e.,

The connection with Weyl's theory comes from the condition that χ should remain square integrable as the right boundary ب “moves to infinity” with the parameter λ = E + i ε kept nonreal until the end, see more below, before the approach to the real axis is made. Equation (C.3) describes م as a meromorphic function of λ which, when cot β varies on the real line, lies on a circle جب defined by (remember imposing the real boundary condition (C.3) at ب)

with the center مب and the radius صب معطى بواسطة

Using the standard Green's formula

it is straightforward to see that points م are on جب if and only if

As b → ∞ , Weyl proved, see Ref. [32] , that جب converges to either a limit circle ج or to a limit point م. In the first situation, all solutions are square integrable and in the latter case the only unique square integrable solution (at the singular point here being ∞) is

If R ( λ ) = E equals a Sturm–Liouville eigenvalue هك then the normalized eigenfunction شك(ص) must be proportional to ψ k ( E k , r ) (note that the dependence on the right-hand boundary is not explicitly indicated in u k and E k ) , i.e.,

From Eq. (C.2) we conclude that the square integrable solution χ contains the independent solution ϕ, hence م(λ) exhibits a (simple) pole at the eigenvalue هك. The fundamental importance of the coefficients دbk is obvious since they define the spectral function ρ(ه) to be used in the completeness relation and the eigenfunction expansion. The former gives

Green's formula Eqs. (C.6) and (C.10) yields

Summarizing, ψ k ( E k , r ) (proportional to شك) is the Sturm–Liouville solution of the differential equation

on the interval [أ,ب] fulfilling boundary conditions at أ و ب, see Eqs. (C.1) and (C.3) . The coefficients دbk are the proportionality factors that relates ψك مع شك. لاحظ أن χ is a solution of Eq. (1) , defines through Eqs. (C.1)–(C.4) and most importantly with λ = E + i ε ε ≠ 0 . As the next step, we take the limit b → ∞ , assuming the limit point case obtaining uniquely م و ρ (the limits exist also in the limit circle case, but not uniquely).

For the case of a point spectrum, σص, the spectral function, ρ, is a constant function of ه, with discrete steps d ∞ k 2 at each point eigenvalue هك. For the continuous spectrum, σAC, one obtains


شاهد الفيديو: AP Biology Sec u0026 - Intro to Photosynthesis (شهر اكتوبر 2021).