مقالات

2.4: تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات قابلة للفصل - الرياضيات


في القسم 2.1 ، وجدنا أن حلول معادلة خطية غير متجانسة

[y '+ p (x) y = f (x) nonumber ]

هي من الشكل (y = uy_1 ) ، حيث (y_1 ) هو حل غير بديهي للمعادلة التكميلية

[ label {eq: 2.4.1} y '+ p (x) y = 0 ]

و (u ) هو حل

[u'y_1 (x) = f (x). nonumber ]

لاحظ أن هذه المعادلة الأخيرة قابلة للفصل ، حيث يمكن إعادة كتابتها كـ

[u '= {f (x) over y_1 (x)}. nonumber ]

في هذا القسم سننظر في المعادلات التفاضلية غير الخطية التي لا يمكن فصلها من البداية ، ولكن يمكن حلها بطريقة مماثلة عن طريق كتابة حلولها بالصيغة (y = uy_1 ) ، حيث (y_1 ) مناسب الوظيفة المعروفة المختارة و (u ) تحقق معادلة قابلة للفصل. سنقول في هذه الحالة أننا تحول المعادلة المعطاة في معادلة قابلة للفصل.

معادلات برنولي

أ معادلة برنولي هي معادلة النموذج

[ label {eq: 2.4.2} y '+ p (x) y = f (x) y ^ r، ]

حيث (r ) يمكن أن يكون أي رقم حقيقي بخلاف (0 ) أو (1 ). (لاحظ أن المعادلة المرجع {eq: 2.4.2} تكون خطية إذا وفقط إذا (r = 0 ) أو (r = 1 ).) يمكننا تحويل المعادلة المرجع {eq: 2.4.2} إلى معادلة قابلة للفصل عن طريق اختلاف المعلمات: إذا كان (y_1 ) حلاً غير بديهي للمعادلة المرجع {eq: 2.4.1} ، واستبدال (y = uy_1 ) في المعادلة المرجع {eq: 2.4.2} العائد

[u'y_1 + u (y_1 '+ p (x) y_1) = f (x) (uy_1) ^ r، nonumber ]

وهو ما يعادل المعادلة القابلة للفصل

[u'y_1 (x) = f (x) left (y_1 (x) right) ^ ru ^ r quad text {or} quad {u ' over u ^ r} = f (x) يسار (y_1 (x) يمين) ^ {r-1} ، غير رقم ]

منذ (y_1 '+ p (x) y_1 = 0 ).

مثال ( PageIndex {1} ):

حل معادلة برنولي

[ label {eq: 2.4.3} y'-y = xy ^ 2. ]

نظرًا لأن (y_1 = e ^ x ) هو حل (y'-y = 0 ) ، فإننا نبحث عن حلول المعادلة ref {eq: 2.4.3} بالصيغة (y = ue ^ x )، أين

[u'e ^ x = xu ^ 2e ^ {2x} quad text {أو ما يعادله} quad u '= xu ^ 2e ^ x. لا يوجد رقم]

ينتج عن فصل المتغيرات

[{u ' over u ^ 2} = xe ^ x، nonumber ]

ودمج الغلة

[- {1 أكثر من u} = (x-1) e ^ x + c. لا يوجد رقم]

لذلك،

[u = - {1 over (x-1) e ^ x + c} non number ]

و

[y = - {1 over x-1 + ce ^ {- x}}. لا يوجد رقم]

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) مجال الاتجاه وبعض منحنيات المعادلة المتكاملة المرجع {eq: 2.4.3}.

المعادلات غير الخطية الأخرى التي يمكن تحويلها إلى معادلات قابلة للفصل

لقد رأينا أنه يمكن تحويل معادلة برنولي غير الخطية إلى معادلة قابلة للفصل عن طريق الاستبدال (y = uy_1 ) إذا تم اختيار (y_1 ) بشكل مناسب. دعنا الآن نكتشف شرطًا كافيًا لمعادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الأولى

[ label {eq: 2.4.4} y '= f (x، y) ]

لتكون قابلة للتحويل إلى معادلة منفصلة بنفس الطريقة. استبدال (y = uy_1 ) في المعادلة المرجع {eq: 2.4.4} ينتج

[u'y_1 (x) + uy_1 '(x) = f (x، uy_1 (x))، nonumber ]

وهو ما يعادل

[ label {eq: 2.4.5} u'y_1 (x) = f (x، uy_1 (x)) - uy_1 '(x). ]

إذا

[f (x، uy_1 (x)) = q (u) y_1 '(x) nonumber ]

بالنسبة لبعض الدوال (q ) ، تصبح المعادلة المرجع {eq: 2.4.5}

[ label {eq: 2.4.6} u'y_1 (x) = (q (u) -u) y_1 '(x)، ]

الذي يمكن فصله. بعد التحقق من الحلول الثابتة (u equiv u_0 ) مثل (q (u_0) = u_0 ) ، يمكننا فصل المتغيرات للحصول على

[{u ' over q (u) -u} = {y_1' (x) over y_1 (x)}. لا يوجد رقم]

معادلات غير خطية متجانسة

في النص ، سننظر فقط في فئة المعادلات التي تمت دراستها على نطاق واسع والتي تعمل بها طريقة الفقرة السابقة. تظهر أنواع أخرى من المعادلات في التمارين ( PageIndex {44} ) - ( PageIndex {51} ).

يُقال أن المعادلة التفاضلية ref {eq: 2.4.4} هي متجانس إذا حدث (س ) و (ص ) في (و ) بطريقة تعتمد (و (س ، ص) ) فقط على النسبة (ص / س ) ؛ أي ، المعادلة المرجع {eq: 2.4.4} يمكن كتابتها كـ

[ label {eq: 2.4.7} y '= q (y / x)، ]

حيث (q = q (u) ) دالة لمتغير واحد. على سبيل المثال،

[y '= {y + xe ^ {- y / x} over x} = {y over x} + e ^ {- y / x} nonumber ]

و

[y '= {y ^ 2 + xy-x ^ 2 over x ^ 2} = left (y over x right) ^ 2 + {y over x} -1 nonumber ]

هي من المعادلة النموذجية المرجع {eq: 2.4.7} ، مع

[q (u) = u + e ^ {- u} quad text {and} quad q (u) = u ^ 2 + u-1، nonumber ]

على التوالى. يمكن تطبيق الطريقة العامة التي تمت مناقشتها أعلاه على المعادلة المرجع {eq: 2.4.7} مع (y_1 = x ) (وبالتالي (y_1 '= 1) ). وبالتالي ، فإن استبدال (y = ux ) في المعادلة المرجع {eq: 2.4.7} ينتج عنه

[u'x + u = q (u)، nonumber ]

وفصل المتغيرات (بعد التحقق من الحلول الثابتة (u equiv u_0 ) بحيث (q (u_0) = u_0 )) ينتج

[{u ' over q (u) -u} = {1 over x}. nonumber ]

قبل الانتقال إلى الأمثلة ، نشير إلى شيء ربما تكون قد لاحظته بالفعل: تعريف معادلة متجانسة المعطى هنا ليس هو نفسه التعريف الوارد في القسم 2.1 ، حيث قلنا أن معادلة خطية للصيغة

[y '+ p (x) y = 0 nonumber ]

متجانسة. نحن لا نعتذر عن هذا التناقض ، لأننا لم نخلقه تاريخيًا ، متجانس تم استخدامه بهاتين الطريقتين غير المتسقتين. العامل الذي له علاقة بالمعادلات الخطية هو الأهم. هذا هو القسم الوحيد من الكتاب حيث ينطبق المعنى المحدد هنا.

نظرًا لأن (y / x ) بشكل عام غير معرف إذا (x = 0 ) ، سننظر في حلول المعادلات غير المتجانسة فقط على فترات مفتوحة لا تحتوي على النقطة (x = 0 ).

مثال ( PageIndex {2} )

يحل

[ label {eq: 2.4.8} y '= {y + xe ^ {- y / x} over x}. ]

استبدال (y = ux ) في المعادلة المرجع {eq: 2.4.8} ينتج

[u'x + u = {ux + xe ^ {- ux / x} over x} = u + e ^ {- u}. لا يوجد رقم]

تبسيط وفصل المتغيرات ينتج

[e ^ uu '= {1 أكثر من x}. لا يوجد رقم]

تكامل العوائد (e ^ u = ln | x | + c ). لذلك (u = ln ( ln | x | + ج) ) و (y = ux = x ln ( ln | x | + c) ).

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) حقل اتجاه ومنحنيات متكاملة للمعادلة المرجع {eq: 2.4.8}.

مثال ( PageIndex {3} )

أ. يحل

[ label {eq: 2.4.9} x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-x ^ 2. ]

ب. حل مشكلة القيمة الأولية

[ label {eq: 2.4.10} x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-x ^ 2، quad y (1) = 2. ]

الحل أ

نجد أولاً حلول المعادلة المرجع {eq: 2.4.9} على فترات زمنية مفتوحة لا تحتوي على (x = 0 ). يمكننا إعادة كتابة المعادلة المرجع {eq: 2.4.9} كـ

[y '= {y ^ 2 + xy-x ^ 2 over x ^ 2} nonumber ]

لـ (س ) في أي فاصل زمني من هذا القبيل. استبدال (y = ux ) ينتج

[u'x + u = {(ux) ^ 2 + x (ux) -x ^ 2 أكثر من x ^ 2} = u ^ 2 + u-1، nonumber ]

وبالتالي

[ التسمية {eq: 2.4.11} u'x = u ^ 2-1. ]

من خلال الفحص ، تحتوي هذه المعادلة على الحلول الثابتة (u equiv1 ) و (u equiv-1 ). لذلك (y = x ) و (y = -x ) هي حلول المعادلة المرجع {eq: 2.4.9}. إذا كان (u ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.4.11} الذي لا يفترض القيم ( pm 1 ) في بعض الفواصل الزمنية ، فإن فصل المتغيرات ينتج

[{u ' over u ^ 2-1} = {1 over x} ، non number ]

أو بعد توسيع جزء جزئي ،

[{1 over 2} left [{1 over u-1} - {1 over u + 1} right] u '= {1 over x}. nonumber ]

الضرب في 2 ودمج الغلات

[ ln يسار | u-1 أكثر من u + 1 يمين | = 2 ln | x | + k، nonumber ]

أو

[ left | {u-1 over u + 1} right | = e ^ kx ^ 2، nonumber ]

الذي يحمل إذا

[ label {eq: 2.4.12} {u-1 over u + 1} = cx ^ 2 ]

حيث (ج ) ثابت اعتباطي. حل لعوائد (u )

[u = {1 + cx ^ 2 over 1-cx ^ 2}. non number ]

لذلك

[ label {eq: 2.4.13} y = ux = {x (1 + cx ^ 2) over 1-cx ^ 2} ]

هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.4.10} لأي اختيار للثابت (ج ). يؤدي ضبط (c = 0 ) في المعادلة المرجع {eq: 2.4.13} إلى الحصول على الحل (y = x ). ومع ذلك ، لا يمكن الحصول على الحل (y = -x ) من المعادلة المرجع {eq: 2.4.13}. وبالتالي ، فإن حلول المعادلة ref {eq: 2.4.9} على فترات زمنية لا تحتوي على (x = 0 ) هي (y = -x ) ووظائف النموذج المعادلة المرجع {eq: 2.4 .13}.

يكون الموقف أكثر تعقيدًا إذا كان (x = 0 ) هو الفاصل الزمني المفتوح. أولاً ، لاحظ أن (y = -x ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 2.4.9} في ((- infty، infty) ). إذا كان (c_1 ) و (c_2 ) ثوابت عشوائية ، فإن الدالة

[ label {eq: 2.4.14} y = left { begin {array} {ll} { frac {x (1 + c_ {1} x ^ {2})} {1-c_ {1 } x ^ {2}}،} & {a

هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.4.9} في ((أ ، ب) ) ، حيث

[a = left { begin {array} {cl} - {1 over sqrt {c_1}} & mbox {if} c_1> 0، - infty & mbox {if} c_1 le 0، end {array} right. quad text {and} quad b = left { begin {array} {cl} {1 over sqrt {c_2}} & mbox {if} c_2> 0، infty & mbox { if} c_2 le 0. end {array} right. nonumber ]

نتركه لك للتحقق من هذا. للقيام بذلك ، لاحظ أنه إذا كان (y ) أي دالة من المعادلة النموذجية المرجع {eq: 2.4.13} ثم (y (0) = 0 ) و (y '(0) = 1 ).

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة للمعادلة المرجع {eq: 2.4.9}.

الحل ب

يمكننا الحصول على (c ) من خلال فرض الشرط الأولي (y (1) = 2 ) في المعادلة المرجع {eq: 2.4.13} ، ثم حل (c ). ومع ذلك ، من الأسهل استخدام المعادلة المرجع {eq: 2.4.12}. بما أن (u = y / x ) ، فإن الشرط الأولي (y (1) = 2 ) يعني أن (u (1) = 2 ). استبدال هذا في المعادلة المرجع {eq: 2.4.12} ينتج (c = 1/3 ). ومن ثم ، فإن حل المعادلة المرجع {eq: 2.4.10} هو

[y = {x (1 + x ^ 2/3) أكثر من 1-x ^ 2/3}. nonumber ]

الفاصل الزمني لصلاحية هذا الحل هو ((- sqrt3 ، sqrt3) ). ومع ذلك ، فإن أكبر فترة زمنية يكون فيها المعادلة ref {eq: 2.4.10} لها حل فريد هي ((0، sqrt3) ). لمشاهدة هذا ، لاحظ من المعادلة المرجع {eq: 2.4.14} أن أي دالة في النموذج

[ label {eq: 2.4.15} y = left { begin {array} {ll} { frac {x (1 + cx ^ {2})} {1-cx ^ {2}} ، } & {a

هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.4.10} في ((a، sqrt3) ) ، حيث (a = -1 / sqrt c ) إذا (c> 0 ) أو ( أ = - infty ) إذا (ج le0 ). لماذا هذا لا يتعارض مع نظرية 2.3.1؟

يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) عدة حلول لمشكلة القيمة الأولية المعادلة المرجع {eq: 2.4.10}. لاحظ أن هذه الحلول تتوافق مع ((0، sqrt {3}) ).

في المثالين الأخيرين ، تمكنا من حل المعادلات المعطاة بوضوح. ومع ذلك ، هذا ليس ممكنًا دائمًا ، كما سترى في التدريبات.


الحلول الوظيفية القابلة للفصل لمعادلات الانتشار والتفاعل اللاخطي ذات المعاملات المتغيرة

تقدم الورقة عددًا من الحلول الوظيفية الجديدة القابلة للفصل للتفاعل غير الخطي - معادلات الانتشار بالصيغة c (x) u t = [a (x) u x] x + b (x) u x + p (x) f (u) ، حيث F(ش) هي وظيفة تعسفية. يتضح أن أي ثلاثة من المعاملات المتغيرة الأربعة أ(x), ب(x), ج(x), ص(x) من هذه المعادلات يمكن اختياره بشكل تعسفي ، ويمكن التعبير عن المعامل المتبقي من خلال المعادلات الأخرى. تم إعطاء أمثلة على معادلات محددة وحلولها الدقيقة. تم تعميم النتائج التي تم الحصول عليها على معادلات تفاعل غير خطية - انتشار أكثر تعقيدًا وذات معاملات متغيرة. أيضًا بعض الحلول الوظيفية القابلة للفصل للتفاعل غير الخطي معادلات الانتشار مع التأخير u t = u x x + a (x) f (u، w)، w = u (x، t - τ) ، حيث τ & gt 0 هو وقت التأخير و F(ش ، ث) هي وظيفة تعسفية من اثنين من الحجج ، يتم الحصول عليها.

من المهم أن نلاحظ أن الحلول الدقيقة لأجهزة PDE غير الخطية وتأخير PDEs التي تحتوي على وظائف تعسفية وبالتالي لها عمومية كافية هي ذات أهمية عملية كبيرة لاختبار وتقييم دقة الطرق العددية والتقريبية المختلفة لحل قيمة الحدود الأولية المقابلة مشاكل.


Ablowitz ، MJ ، Segur ، H: Solitons and the Inverse Scattering Transform. سيام ، فيلادلفيا (1981)

Calogero، F.، Degasperis، A: Solitons and Spectral Transform I. North-Holland، Amsterdam (1982)

Novikov ، S.P. ، Manakov ، S.V. ، Pitaevskii ، L.P. ، Zakharov ، V.E: Theory of Solitons: the Inverse Scattering Method. مكتب الاستشاريين ، نيويورك (1984)

Matveev ، V.B. ، Salle ، MA: Darboux Transformations and Solitons. سبرينغر ، برلين ، هايدلبرغ (1991)

Gu، CH، Hu، HS، Zhou، Z.X: تحولات Darboux في الأنظمة القابلة للتكامل. سبرينغر ، هولندا (2005)

Ma ، WX: تحويلات Darboux لنظام لاكس قابل للتكامل في (2n ) - الأبعاد. بادئة رسالة. رياضيات. فيز. 39(1), (1997) 33–49 (1997)

Ma، W.X: مشاكل Riemann-Hilbert وحلول soliton لنظام mKdV متعدد المكونات وتقليله. رياضيات. ميث. تطبيق علوم. 42(4), 1099–1113 (2019)

Zeng، Y.B.، Ma، W.X.، Shao، Y.J: اثنان من تحولات Darboux الثنائية للتسلسل الهرمي KdV مع مصادر متسقة ذاتيًا. J. الرياضيات. فيز. 42(5), 2113–2128 (2001)

Doktorov ، E.V. ، Leble ، S.B: طريقة خلع الملابس في الفيزياء الرياضية. سبرينغر ، دوردريخت (2007)

Zhang ، H.Q. ، Wang ، Y. ، Ma ، W.X: تحويل ثنائي Darboux لمعادلات Sasa-Satsuma المقترنة. فوضى 27(7), 073102 (2017)

Zhang ، Y. ، Ye ، RS ، Ma ، W.X: تحويل ثنائي Darboux وحلول soliton لمعادلات Korteweg-de Vries المعدلة المعقدة. رياضيات. ميث. تطبيق علوم. 43(2), 613–627 (2020)

Ma، W.X.، Zhou، RG: قيود التناظر المتوافقة مع معادلات AKNS متعددة المكونات. ذقن. آن. رياضيات. سر. ب 23(3), 373–384 (2002)

Ma، W.X.، Dong، HH: نمذجة مسائل ريمان وهيلبرت للحصول على حلول سوليتون. رياضيات. نموذج. تطبيق 6(3), 16–25 (2017)

Ablowitz، M.J.، Kaup، D.J.، Newell، AC، Segur، H: تحليل تحويل فورييه العكسي للمسائل غير الخطية. عشيق. تطبيق رياضيات. 53(4), 249–315 (1974)

ماناكوف ، إس في: حول نظرية التركيز الذاتي الثابت ثنائي الأبعاد للموجات الكهرومغناطيسية. سوف. فيز. JETP 38(2), 248–253 (1974)

تشين ، إس تي ، تشو ، آر جي: تحلل قابل للتكامل لمعادلة ماناكوف. حاسوب. تطبيق رياضيات. 31(1), 1–18 (2012)

Kawata، T: طريقة ريمان الطيفية لمعادلة التطور اللاخطي. في: التقدم في الموجات غير الخطية المجلد. أنا ، 210-225. بيتمان ، بوسطن (1984)

Ma، W.X: الاستطارة العكسية ومحاليل soliton لمعادلات Schr ”أودينجر غير المحلية للزمكان العكسي غير الخطي. ما قبل الطباعة (2019)

Ma، W.X.، Huang، Y.H.، Wang، F.D.، Zhang، Y.، Ding، L.Y: تحويل ثنائي Darboux لمعادلات شرودنجر غير الخطية غير المحلية للفضاء العكسي ، ما قبل الطباعة (2020)

Ablowitz ، M.J. ، Musslimani ، Z.H: معادلة شرودنجر غير الخطية غير المحلية القابلة للتكامل. فيز. القس ليت. 110(6), 064105 (2013)

Gürses، M.، Pekcan، A: معادلات شرودنجر غير المحلية غير الخطية وحلولها soliton. J. الرياضيات. فيز. 59(5), 051501 (2018)

فوكاس ، إيه إس: إصدارات متعددة الأبعاد قابلة للتكامل من معادلة شرودنجر غير المحلية غير الخطية. اللاخطية 29(2), 319–324 (2016)

Song ، C.Q. ، Xiao ، D.M. ، Zhu ، Z.N: Solitons and dynamic for a Integration nonlocal blended non-linear equation schrödinger. كومون. علوم غير خطية. رقم. محاكاة. 45, 13–28 (2017)

Ma، W.X.، Zhou، Y: حلول مقطوعة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية عبر نماذج هيروتا ثنائية الخطوط. J. تختلف. المعادلات 264(4), 2633–2659 (2018)

Batwa، S.، Ma، W.X: دراسة من النوع المقطوع وحلول التفاعل لمعادلة تشبه جيمبو ميوا (3 + 1) الأبعاد. حاسوب. رياضيات. تطبيق 76(7), 1576–1582 (2018)

Ma ، W.X. ، Zhang ، Y.J: تحولات Darboux للوصلات والتطبيقات القابلة للتكامل. القس الرياضيات. فيز 30(2), 1850003 (2018)


6 وظيفة السيني

فيما يلي الوظيفة الخطية التي تحدثنا عنها حتى الآن.

بعد التعرف على الوظيفة الخطية. سنقوم ببناء دالة تنبؤ أكثر قوة بناءً عليها ، الدالة السينية.

نستخدم z لتمثيل الدالة الخطية ونمررها إلى الدالة السينية. ستعطي الدالة السينية احتمالًا لكل عينة بيانات. لدينا صنفان في بياناتنا ، أحدهما 1 والآخر 0.

يمكننا أن نرى النموذج يتنبأ بالعينة بناءً على جزء الوظيفة الخطية.

يمكننا كتابة الكود أدناه


تكرار بيكارد

الآن نرسم هذا التقريب مع الحل الحقيقي باستخدام الرياضيات. أولاً ، لجعل حساباتنا دقيقة ، قمنا بتعيين جميع المعلمات لتكون عددًا صحيحًا ، 1:

حل حقيقي (باللون الأزرق) مع تقريبين y2(x) باللون البرتقالي و y3(x) بالأحمر.

طريقة التحلل Adomian (ADM)

نطبق طريقة التحلل Adomian (ADM) على المشكلة المكتوبة في نموذج المشغل:

نحسب كثيرات الحدود Adomian باستخدام الرياضيات:

طريقة التحلل المعجل

  1. S. Abbasbandy ، حل عددي لمعادلة بلاسيوس بواسطة طريقة تحلل Adomian والمقارنة مع طريقة اضطراب homotopy Chaos Solitons Fractals، 31 (2007)، pp. 257-260
  2. س. أحمد ، إيه إم روهني ، وإي بوب ، "مشاكل بلاسيوس وساكياديس في السوائل النانوية [J] ،" أكتا ميك. 218 ، 195-204 (2011). https://doi.org/10.1007/s00707-010-0414-6
  3. أمينخاه ، حسين ، تقريب تحليلي لحل معادلة التدفق اللزج لبلاسيوس اللاخطي بواسطة LTNHPM ، ISRN Mathematical Analysis Volume 2012 ، معرف المقالة 957473 ، 10 صفحات http://dx.doi.org/10.5402/2012/957473
  4. باتالر ، آر سي ، مقارنات عددية لتدفقات بلاسيوس وساكياديس ، ماتيماتيكا، 2010 ، المجلد 26 ، العدد 2 ، ص 187 - 196.
  5. Blasius ، H. ، Grenzschichten in Fl & uumlssigkeiten mitkleiner Reibung ، Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik (مجلة الرياضيات التطبيقية والفيزياء) ، 56: 137 ، 1908.
  6. حل معادلة بلاسيوس
  7. معادلة بلاسيوس ، ب.برايت ، أ.فروتشارد ، وت.ساري ، 2010.
  8. معادلة بلاسيوس
  9. أ. كاليجاري ، ناخمان ، بعض المعادلات التفاضلية غير الخطية المفردة الناشئة في نظرية الطبقة الحدودية J. Math. شرجي. تطبيق ، 64 (1978) ، ص 96-105
  10. إسماعيلي ، ك. ، راميار ، أ ، علي زاده إي ، وغانجي ، د.د. ، تقريب للحل التحليلي لتدفق جيفري - هامل بطريقة التحلل ، رسائل الفيزياء ، أ, 2008, 372، (19) ، 3434–3439. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2008.02.006
  11. Fazio ، R. ، طرق التحويل لمشكلة Blasius ومتغيراتها الحديثة ، وقائع المؤتمر العالمي للهندسة، 2008 المجلد IIWCE 2008 ، 2-4 يوليو ، 2008 ، لندن ، المملكة المتحدة
  12. Fraenkel، L. E.، Laminar flow في قنوات متناظرة ذات جدران منحنية قليلاً ، I. على حلول Jeffery-Hamel للتدفق بين الجدران المستوية. وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ. العلوم الرياضية والفيزيائية ، 1962 ، 267 (1328) ، 119-138.
  13. Ganapol ، B.D. ، حلول دقيقة للغاية لمعادلات الطبقة الحدودية Blasius و Falkner-Skan عبر تسريع التقارب ، جامعة أريزونا
  14. هامل ، ج. ، سبيرال فورميج بيويجنجن زاهر فلوسيجكيتين ، جاهريسبريخت دير دويتشين الرياضيات. Vereiniguug ، 25 (1916), 34-60.
  15. هو ، J-H ، الحل التحليلي التقريبي لمعادلة بلاسيوس. الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية ، 3 ، 260-263 (1998).
  16. هو ، J-H ، نهج اضطراب بسيط لمعادلة بلاسيوس. الرياضيات والحساب التطبيقي ، 2003 ، المجلد. 140 ، 217-222. https://doi.org/10.1016/s0096-3003(02)00189-3
  17. جيفري ، جي بي ، الحركة الثابتة ثنائية الأبعاد للسائل اللزج ، فيل. ماج ، 29 (1915) ، 455-465.
  18. Liao ، S.J. ، حل تقريبي صريح تحليلي تمامًا لمشاكل التدفق اللزج لبلاسيوس ، المجلة الدولية للميكانيكا غير الخطية، 1999 ، 34 (4). ص 759 - 778.
  19. S. Liao ، "صريح ، حل تقريبي تحليلي تمامًا لمعادلة بلاسيوس [J] ،" Int. J. غير الخطية الميكانيكية. 34 ، 759-778 (1999). https://doi.org/10.1016/s0020-7462(98)00056-0
  20. S.J. لياو مشكلة غير خطية صعبة للتقنيات العددية J. Comput. تطبيق رياضيات ، 181 (2005) ، ص 467-472
  21. لين ، ج. ، حل تكرار تقريبي جديد لمعادلة بلاسيوس. الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية ، 4 ، 91-94 (1999). https://doi.org/10.1016/s1007-5704(99)90017-5
  22. Lu ، Z. and Law ، C.K. ، "حل تكراري لتدفق Blasius مع تغويز السطح [J] ،" Int. ياء نقل الكتلة الحرارية 69 ، 223-229 (2014). https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.10.020
  23. ماتيولي ، فرانكو ، محلول بلاسيوس ، جامعة بولونيا ، إيطاليا.
  24. Parand، K.، Dehghan، M.، and Taghavi، A.، تعديل دالة Laguerre المعممة طريقة تاو لحل التدفق اللزج الصفحي: معادلة بلاسيوس ، مجلة الطرق العددية للحرارة وتدفق السوائل، 2010 ، المجلد. 20 ، العدد 7 ، الصفحات من 728 إلى 743 ، https://doi.org/10.1108/09615531011065539
  25. براند ، ك ، دهغان ، إم ، باهاريفارد ، ف ، "حل معادلة حد رقائقي باستخدام وظائف Gegenbauer المنطقية [J] ،" أب. رياضيات. عصري. 37 ، 851-863 (2013). https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.02.041
  26. Puttkammer ، P.P. ، Boundary Layer over a Flat Plate ، جامعة توينتر ، 2013.
  27. Sakiadis ، B. C. سلوك الطبقة الحدودية على معادلات الطبقة الحدية للأسطح الصلبة المستمرة للتدفق ثنائي الأبعاد والمحور المتماثل ، مجلة AIChE ، 1961 ، المجلد. 7 ، العدد 1 ، ص 26 - 28. https://doi.org/10.1002/aic.690070108
  28. Sakiadis ، B. C. سلوك الطبقة الحدودية على الأسطح الصلبة المستمرة: II. الطبقة الحدودية على سطح مستو مستمر ، مجلة AIChE ، 1961 ، المجلد. 7 ، العدد 2 ، ص 221 - 225. https://doi.org/10.1002/aic.690070211
  29. Sari، M.R.، kezzar، M.، Adjabi، R.، A مقارنة بين طرق Adomian و Adomian المعممة في حل مشكلة التدفق غير الخطية في القنوات المتقاربة المتباعدة ، العلوم الرياضية التطبيقية، 2014 ، المجلد. 8 ، لا. 7 ، ص 321 - 336 http://dx.doi.org/10.12988/ams.2014.39495
  30. شليشتينغ ، هـ ، وجيرستن ، ك. نظرية طبقة الحدود (الطبعة الثامنة المنقحة والموسعة) ، Springer-Verlag ، برلين ، هايدلبرغ (2000)
  31. T & oumlpfer، K.، Bemerkung zu dem Aufsatz von H. Blasius: Grenzschichten in Fl & uumlssigkeiten mit kleinerReibung، Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik (مجلة الرياضيات التطبيقية والفيزياء) ، 60: 397-398 ، 1912
  32. Treve ، Y.M. ، في فئة حلول معادلة بلاسيوس مع التطبيقات ، مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية، 1967 ، المجلد. 15 ، رقم 5 ، 1209-1227. دوى: 10.1137/0115103
  33. Varin، V.P.، A solution of the Blasius Institute، Keldysh Institute، Preprint No. 40، 2013.
  34. Wang ، L. (2004) ، خوارزمية جديدة لحل معادلة بلاسيوس الكلاسيكية ، الرياضيات التطبيقية والحساب، 2004 ، المجلد. 157 رقم 1 ، الصفحات 1-9. https://doi.org/10.1016/j.amc.2003.06.011
  35. Weidman ، PD ، تتدفق الطبقة الحدودية Blasius على حافة أمامية غير منتظمة ، فيزياء السوائل، 9، 1470 (1997) https://doi.org/10.1063/1.869268
  36. ويل ويل ، "حول المعادلات التفاضلية لأبسط مسائل الطبقة الحدودية [J] ،" آن. رياضيات. 43 (2) ، 381-407 (1942). https://doi.org/10.2307/1968875
  37. يو ، ل. and Chen، C.-K.، حل معادلة بلاسيوس بطريقة التحويل التفاضلي ، النمذجة الرياضية والحاسوبية، 1998 ، المجلد. 28 ، ع 1 ، ص 101-111.
  38. ب. ياو وج. تشين ، "فرع حل تحليلي جديد لمعادلة بلاسيوس مع ورقة انكماش [J] ،" أب. رياضيات. شركات 215 ، 1146-1153 (2009). https://doi.org/10.1016/j.amc.2009.06.057
  39. يو ، L.-T. and Chen، C.-K.، حلول معادلة بلاسيوس بطريقة التحويل التفاضلي ، النمذجة الحسابية الرياضية, 28، No. 1، pp.101–111، 1995.
  40. Zheng ، J. ، Han ، X. ، Wang ، Z. ، Li ، C. ، and Zhang ، J. ، حل تحليلي متقارب ومغلق عالميًا لمعادلة بلاسيوس مع تطبيقات مفيدة ، تقدم AIP، المجلد. 7، 065311 (2017) https://doi.org/10.1063/1.4985741

العودة إلى صفحة ماثيماتيكا
العودة إلى الصفحة الرئيسية (APMA0330)
العودة إلى الجزء 1 (التخطيط)
العودة إلى الجزء 2 (ODEs من الدرجة الأولى)
العودة إلى الجزء 3 (الطرق العددية)
العودة إلى الجزء 4 (المعادلات التفاضلية الأخرى ذات الترتيب الثاني والأعلى)
العودة إلى الجزء 5 (السلسلة والتكرارات)
العودة إلى الجزء 6 (تحويل لابلاس)
العودة إلى الجزء 7 (مشاكل قيمة الحدود)


مجلة SIAM للتحليل العددي

تم تقديم فئة جديدة من طرق حل أنظمة المعادلات غير الخطية ، تسمى طرق الموتر. طرق الموتر هي طرق للأغراض العامة مخصصة بشكل خاص للمشكلات التي تكون فيها المصفوفة اليعقوبية في الحل مفردة أو غير مشروطة. يؤسس كل تكرار على نموذج تربيعي للدالة غير الخطية ، النموذج الخطي القياسي المعزز بمصطلح بسيط من الدرجة الثانية. يتم تحديد مصطلح الترتيب الثاني بحيث يقحم النموذج قيم الوظيفة من العديد من التكرارات السابقة ، بالإضافة إلى قيمة الوظيفة الحالية و Jacobian. لا تتطلب طريقة الموتر المزيد من الوظائف والمعلومات المشتقة لكل تكرار وبالكاد تتطلب المزيد من التخزين أو الحساب للتكرار ، أكثر من الطريقة القياسية القائمة على طريقة نيوتن. في الاختبارات الحسابية المكثفة ، تكون خوارزمية الموتر أكثر فاعلية بشكل ملحوظ من خوارزمية مماثلة تعتمد على النموذج الخطي القياسي ، سواء في مسائل الاختبار القياسية غير المنطقية أو في المشكلات التي يكون فيها Jacobian في الحل فريدًا.


مراجع

Ockendon JR، Tayler AB: ديناميكيات نظام تجميع التيار لقاطرة كهربائية. بروك. R. Soc. لوند. سر. أ 1971, 332: 447-468.

Vanani K، Aminataci A: حول الحل العددي للأنظمة التفاضلية المتأخرة. J. أبل. Funct. شرجي. 2010, 5: 169-176.

Kuang Y Mathematics in Science and Engineering 191. In تأخير المعادلات التفاضلية مع التطبيقات في ديناميكيات السكان. المطبعة الأكاديمية ، سان دييغو 1993.

Celik E، Karaduman E، Bayram M: الحل العددي للمعادلات الجبرية التفاضلية الكيميائية. تطبيق رياضيات. حاسوب. 2003 ، 139: 259-264. 10.1016 / S0096-3003 (02) 00178-9

برونر إتش: طرق التجميع لمعادلات فولتيرا التفاضلية التكاملية والوظيفية ذات الصلة. مطبعة جامعة كامبريدج ، كامبريدج 2004.

Brunner H ، Hu QY ، Lin Q: الشبكات الهندسية في طرق التجميع لمعادلات فولتيرا المتكاملة مع التأخيرات النسبية. IMA J. Numer. شرجي. 2001 ، 21: 783-798. 10.1093 / إيمان / 21.4.783

Čermák J: الثبات والخصائص المقاربة لطرق Θ لمعادلة البانتوجراف. IMA J. Numer. شرجي. 2011 ، 31 (4): 1533-1551. 10.1093 / إيمان / drq021

Čermák J: حول معادلة تفاضلية مع معاملات القوة والتأخيرات النسبية. جبل تاترا. رياضيات. سنة النشر. 2007, 38: 57-69.

Čermák J: في معادلة تفاضلية خطية بتأخير نسبي. رياضيات. نشر. 2007 ، 280 (5-6): 495-504. 10.1002 / مانا.200410498

علي الأول ، برونر إتش ، تانغ تي: الطرق الطيفية للمعادلات التفاضلية والتكاملية من نوع المنساخ مع تأخيرات متعددة. أمام. رياضيات. الصين 2009 ، 4: 49-61. 10.1007 / s11464-009-0010-z

Iserles A، Liu YK: حول المعادلات التفاضلية المتكاملة. J. تكامل المساواة. تطبيق 1994 ، 6: 213-237. 10.1216 / جيا / 1181075805

علي الأول: تحليل تقارب الطرق الطيفية للمعادلات التكاملية التفاضلية مع تلاشي التأخيرات النسبية. J. كومبوت. رياضيات. 2011, 29: 49-60.

Brunner H، Hu QY: نتائج التقارب الفائق المثلى لتأخير المعادلات التفاضلية المتكاملة لنوع البانتوجراف. سيام ج. نومر. شرجي. 2007, 45: 986-1004. 10.1137/060660357

Kolmanovskii V، Myshkis A: مقدمة في نظرية وتطبيقات المعادلات التفاضلية الوظيفية. كلوير أكاديمي ، دوردريخت 1999.

تشو كيه: التحول التفاضلي وتطبيقاته على الدوائر الكهربائية. مطبعة جامعة هواتشونغ ، ووهان 1986. (بالصينية)

Arikoglu A، Ozkol I: حل مسائل القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية التكاملية باستخدام طريقة التحويل التفاضلي. تطبيق رياضيات. حاسوب. 2005 ، 168: 1145-1158. 10.1016 / j.amc.2004.10.009

Bert CV، Zeng H: تحليل الاهتزاز المحوري للقضبان المركبة بطريقة التحويل التفاضلي. J. الصوت فيب. 2004 ، 275: 641-647. 10.1016 / j.jsv.2003.06.019

Chen CK ، Chen SS: تطبيق طريقة التحويل التفاضلي على نظام محافظ غير خطي. تطبيق رياضيات. حاسوب. 2004 ، 154: 431-441. 10.1016 / S0096-3003 (03) 00723-9

Kuo BL: مشاكل الطبقة الحدودية الحرارية في لوحة مسطحة شبه لانهائية بواسطة طريقة التحويل التفاضلي. تطبيق رياضيات. حاسوب. 2004 ، 150: 303-320. 10.1016 / S0096-3003 (03) 00233-9

Kuo BL: تحليل انتقال الحرارة لتدفق إسفين Falkner-Skan بطريقة التحويل التفاضلي. كثافة العمليات J. الحرارة نقل الكتلة. 2005 ، 48: 5036-5046. 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2003.10.046

Malik M، Allali M: المعادلات المميزة للصفائح المستطيلة بالتحويل التفاضلي. J. الصوت فيب. 2000 ، 233 (2): 359-366. 10.1006 / jsvi.2000.2828

Arikoglu A، Özkol I: حل المطابقة الداخلي والخارجي لمعادلة Blasius بواسطة DTM. ايركر. م. ايروسب. تكنول. 2005, 77: 298-301. 10.1108/00022660510606367

Khan Y، Svoboda Z، Šmarda Z: حل فئات معينة من معادلات من نوع Lane-Emden باستخدام طريقة التحويل التفاضلي. حال. اختلف. يساوي 2012. ، 2012: معرف المقالة 174 10.1186 / 1687-1847-2012-174

Mukherjee S ، Roy B ، Chaterjee PK: حل معادلة Lane-Emden بطريقة التحويل التفاضلي. كثافة العمليات J. غير الخطية Sci. 2011, 12(4):478-484.

Hetmaniok E، Nowak I، Slota D، Witula R: دراسة تقارب تقدير الخطأ لطريقة اضطراب التماثل المتماثل لمعادلات فولتيرا-فريدهولم التكاملية. تطبيق رياضيات. بادئة رسالة. 2013 ، 26 (1): 165-169. 10.1016 / j.aml.2012.08.005

Jang MJ، Chen CL، Liy YC: حول حل مشاكل القيمة الأولية باستخدام طريقة التحويل التفاضلي. تطبيق رياضيات. حاسوب. 2000 ، 115: 145-160. 10.1016 / S0096-3003 (99) 00137-X

Abazari R، Kilicman A: تطبيق طريقة التحويل التفاضلي على المعادلات التكاملية التفاضلية غير الخطية ذات التأخيرات النسبية. الحوسبة العصبية. تطبيق 2012. 10.1007 / s00521-012-1235-4

Mirzaee F، Lafiti L: الحل العددي لمعادلات تفاضلية التأخير بطريقة التحويل التفاضلي. J. Sci. دين الاسلام. جامعة آزاد. 2011, 20(78/2):83-88.

Evans DJ، Raslan KR: طريقة تحلل Adomian لحل معادلة تفاضل التأخير. كثافة العمليات J. كومبوت. رياضيات. 2005, 82(1):49-54. 10.1080/00207160412331286815

Ghomanjani F، Farahi MH: طريقة بيزير لنقاط التحكم لحل معادلة تفاضلية التأخير. انتل. التحكم الآلي. 2012 ، 3: 188-196. 10.4236 / ica.2012.32021

Saeed RK، Rahman BM: طريقة التحويل التفاضلي لحل معادلة تفاضل التأخير. أوست. J. الأساسية أب. علوم. 2011, 5(4):201-206.

Abazari N ، Abazari R: حل معادلات البانتوجراف اللاخطية من الدرجة الثانية عبر طريقة التحويل التفاضلي. 58. وقائع الأكاديمية العالمية للعلوم والهندسة والتكنولوجيا 2009, 1052-1056.


2.4: تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات قابلة للفصل - الرياضيات

مع ما قدمناه حتى الآن ، فإن مجموعات البيانات التي يمكن فصلها خطيًا (ربما مع استثناءات قليلة أو بعض الضوضاء) يتم التعامل معها بشكل جيد. ولكن ماذا سنفعل إذا كانت مجموعة البيانات لا تسمح فقط بالتصنيف بواسطة مصنف خطي؟ دعونا نلقي نظرة على حالة ذات بعد واحد. تم تصنيف مجموعة البيانات العلوية في الشكل 15.6 بشكل مباشر بواسطة مصنف خطي ولكن مجموعة البيانات الوسطى ليست كذلك. بدلاً من ذلك ، نحتاج إلى أن نكون قادرين على تحديد فترة. تتمثل إحدى طرق حل هذه المشكلة في تعيين البيانات إلى مساحة ذات أبعاد أعلى ثم استخدام المصنف الخطي في مساحة الأبعاد الأعلى. على سبيل المثال ، يوضح الجزء السفلي من الشكل أنه يمكن للفاصل الخطي تصنيف البيانات بسهولة إذا استخدمنا وظيفة تربيعية لتعيين البيانات إلى بعدين (سيكون إسقاط الإحداثيات القطبية احتمالًا آخر). الفكرة العامة هي تعيين مساحة الميزة الأصلية إلى مساحة ميزة ذات أبعاد أعلى حيث يمكن فصل مجموعة التدريب. بالطبع ، نود القيام بذلك بطرق تحافظ على الأبعاد ذات الصلة للارتباط بين نقاط البيانات ، بحيث يظل المصنف الناتج معممًا بشكل جيد.

توفر SVMs ، وكذلك عددًا من المصنفات الخطية الأخرى ، طريقة سهلة وفعالة للقيام بهذا التعيين إلى مساحة ذات أبعاد أعلى ، والتي يشار إليها باسم `` خدعة النواة ''. إنها ليست خدعة حقًا: إنها فقط تستغل الرياضيات التي رأيناها. يعتمد المصنف الخطي SVM على منتج نقطي بين متجهات نقطة البيانات. يترك . ثم المصنف الذي رأيناه حتى الآن هو:

لنفترض الآن أننا قررنا تعيين كل نقطة بيانات في مساحة ذات أبعاد أعلى عبر بعض التحويل. ثم يصبح حاصل الضرب النقطي. إذا اتضح أن هذا المنتج النقطي (الذي هو مجرد رقم حقيقي) يمكن حسابه ببساطة وكفاءة من حيث نقاط البيانات الأصلية ، فلن نضطر بالفعل إلى تعيينه. بدلاً من ذلك ، يمكننا ببساطة حساب الكمية ، ثم استخدام قيمة الوظيفة في المعادلة 172. وظيفة kernel هي وظيفة تتوافق مع منتج نقطي في مساحة ميزة موسعة.

عمل مثال. النواة التربيعية في بعدين. quad-kernel بالنسبة للناقلات ثنائية الأبعاد ، ضع في اعتبارك. نود أن نظهر أن هذه نواة ، أي أنها بالنسبة للبعض. انصح . ثم:

في لغة التحليل الوظيفي ، ما هي أنواع الوظائف التي تعتبر دوال نواة صالحة؟ يُشار أحيانًا إلى وظائف Kernel بشكل أكثر دقة باسم نواة Mercer ، لأنها يجب أن تفي بشرط Mercer: لأي من هذه العمليات المحدودة ، يجب أن يكون لدينا ما يلي:

يجب أن تكون دالة النواة متصلة ومتماثلة ولها مصفوفة جرام محددة موجبة. مثل هذا يعني أن هناك تعيينًا لفضاء هيلبرت النواة المتكاثر (مساحة هيلبرت هي مساحة متجهة مغلقة تحت منتجات نقطية) بحيث يعطي المنتج النقطي هناك نفس قيمة الوظيفة. إذا كانت النواة لا تفي بشرط ميرسر ، فقد لا يكون هناك حل ل QP المقابل. إذا كنت ترغب في فهم هذه المشكلات بشكل أفضل ، يجب عليك الرجوع إلى الكتب الخاصة بآليات الإدارة الافتراضية المذكورة في القسم 15.5. بخلاف ذلك ، يمكنك أن تكتفي بمعرفة أن 90٪ من العمل باستخدام النواة يستخدم واحدة من مجموعتين مباشرتين من وظائف متجهين ، والتي نحددها أدناه ، والتي تحدد النواة الصالحة.

The two commonly used families of kernels are polynomial kernels and radial basis functions. Polynomial kernels are of the form . The case of is a linear kernel, which is what we had before the start of this section (the constant 1 just changing the threshold). The case of gives a quadratic kernel, and is very commonly used. We illustrated the quadratic kernel in quad-kernel.

The most common form of radial basis function is a Gaussian distribution, calculated as:

A radial basis function (rbf) is equivalent to mapping the data into an infinite dimensional Hilbert space, and so we cannot illustrate the radial basis function concretely, as we did a quadratic kernel. Beyond these two families, there has been interesting work developing other kernels, some of which is promising for text applications. In particular, there has been investigation of string kernels (see Section 15.5 ).

The world of SVMs comes with its own language, which is rather different from the language otherwise used in machine learning. The terminology does have deep roots in mathematics, but it's important not to be too awed by that terminology. Really, we are talking about some quite simple things. A polynomial kernel allows us to model feature conjunctions (up to the order of the polynomial). That is, if we want to be able to model occurrences of pairs of words, which give distinctive information about topic classification, not given by the individual words alone, like perhaps operating and system or ethnic and cleansing , then we need to use a quadratic kernel. If occurrences of triples of words give distinctive information, then we need to use a cubic kernel. Simultaneously you also get the powers of the basic features - for most text applications, that probably isn't useful, but just comes along with the math and hopefully doesn't do harm. A radial basis function allows you to have features that pick out circles (hyperspheres) - although the decision boundaries become much more complex as multiple such features interact. A string kernel lets you have features that are character subsequences of terms. All of these are straightforward notions which have also been used in many other places under different names.


© 2015 The Authors. Published by the Royal Society under the terms of the Creative Commons Attribution License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/, which permits unrestricted use, provided the original author and source are credited.

References

. 1988 Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics . J. Appl. Math. Mech. 52, 361–365. (doi:10.1016/0021-8928(88)90090-1) Crossref, Google Scholar

. 1991 On types of nonlinear differential equations with exact solutions . Phys. Lett. A. 155, 269–275. (doi:10.1016/0375-9601(91)90481-M) Crossref, Google Scholar

. 2005 Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations . Chaos Solitons Fractals 24, 1217–1231. (doi:10.1016/j.chaos.2004.09.109) Crossref, Google Scholar

. 2005 Exact solitary waves of the Fisher equations . Phys. Lett. A. 342, 99–106. (doi:10.1016/j.physleta.2005.05.025) Crossref, Google Scholar

Vitanov NK, Dimitrova ZI, Kantz H

. 2010 Modified method of simplest equation and its application to nonlinear PDEs . Appl. Math. Comput. 216, 2587–2595. (doi:10.1016/j.amc.2010.03.102) Google Scholar

Jawad AJM, Petkovic MD, Biswas A

. 2010 Modified simple equation method for nonlinear evolution equations . Appl. Math. Comput. 217, 869–877. (doi:10.1016/j.amc.2010.06.030) Google Scholar

. 2011 Modified method of simplest equation: powerful tool for obtaining exact and approximate traveling-wave solutions of nonlinear PDEs . Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 16, 1176–1185. (doi:10.1016/j.cnsns.2010.06.011) Crossref, Google Scholar

. 2011 On modified method of simplest equation for obtaining exact and approximate solutions of nonlinear PDEs: the role of the simplest equation . Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 16, 4215–4231. (doi:10.1016/j.cnsns.2011.03.035) Crossref, Google Scholar

. 2013 Study of nonlinear evolution equations to construct traveling wave solutions via modified simple equation method . Phys. Rev. Res. Int. 3, 490–503. Google Scholar

. 2013 The modified simple equation method for exact and solitary wave solutions of nonlinear evolution equation: the GZK-BBM equation and right-handed noncommutative Burgers equations . ISRN Math. Phys. 2013, 1–5. (doi:10.1155/2013/146704) Google Scholar

. 2009 Seven common errors in finding exact solutions of nonlinear differential equations . Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 14, 3507–3529. (doi:10.1016/j.cnsns.2009.01.023) Crossref, Google Scholar

. 2010 Meromorphic solutions of nonlinear ordinary differential equations . Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 15, 2778–2790. (doi:10.1016/j.cnsns.2009.11.013) Crossref, Google Scholar

. 2005 The tanh-function method: solitons and periodic solutions for the Dodd-Bullough-Mikhailov and the Tzitzeica-Dodd-Bullough equations . Chaos Solitons Fractals 25, 55–63. (doi:10.1016/j.chaos.2004.09.122) Crossref, Google Scholar

. 2006 Exp-function method for nonlinear wave equations . Chaos Solitons Fractals 30, 700–708. (doi:10.1016/j.chaos.2006.03.020) Crossref, Google Scholar

. 2008 Exact solutions for nonlinear evolution equations using Exp-function method . Phys. Lett. أ 372, 1619–1625. (doi:10.1016/j.physleta.2007.10.018) Crossref, Google Scholar

Akbar MA, Ali NHM, Zayed EME

. 2012 Abundant exact traveling wave solutions of the generalized Bretherton equation via (جي′/جي)-expansion method . Commun. Theor. Phys. 57, 173–178. (doi:10.1088/0253-6102/57/2/01) Crossref, Google Scholar

. 2008 The (جي′/جي)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics . Phys. Lett. A. 372, 417–423. (doi:10.1016/j.physleta.2007.07.051) Crossref, Google Scholar

. 2010 Traveling wave solutions for higher dimensional nonlinear evolution equations using the (جي′/جي)-expansion method . J. Appl. Math. Inform. 28, 383–395. Google Scholar

. 2007 Homotopy perturbation method for solving fourth-order boundary value problems . Math. Prob. Eng. 2007, 1–15. (doi:10.1155/2007/98602) Crossref, Google Scholar

. 2009 Homotopy perturbation method for solving partial differential equations . Z. Naturforsch. 64a, 157–170. Google Scholar

Ebadi G, Krishnan EV, Johnson S, Biswas A

. 2013 Cnoidal wave, snoidal wave, and soliton solutions of the د(م,ن) equation . Arab J. Math. 2, 19–31. (doi:10.1007/s40065-012-0056-8) Crossref, Google Scholar

Ebadi G, Krishnan EV, Johnson S, Biswas A

. 2012 Solitons and cnoidal waves of the Klein– Gordon–Zakharov equation in plasmas . Pramana 79, 185–198. (doi:10.1007/s12043-012-0307-4) Crossref, Google Scholar

. 2013 New solitary wave solutions of nonlinear partial differential equations . Int. J. Sci. Eng. الدقة. 4, 582–586. Google Scholar

. 2013 Traveling wave solutions of nonlinear evolution equations via the enhanced (جي′/جي)-expansion method . J. Egypt. Math. شركة 22, 220–226. (doi:10.1016/j.joems.2013.07.009) Crossref, Google Scholar

. 2013 Exact solutions of the nonlinear generalized shallow water wave equation . World Appl. علوم. J. 27, 1581–1587. (doi:10.5829/idosi.wasj.2013.27.12.1490) Google Scholar

. 2014 Exact traveling wave solutions of Kadomtsev–Petviashvili equation . J. Egypt. Math. شركة 23, 278–281. (doi:10.1016/j.joems.2014.03.010) Crossref, Google Scholar

. 2012 One method for finding exact solutions of nonlinear differential equations . Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 17, 2248–2253. (doi:10.1016/j.cnsns.2011.10.016) Crossref, Google Scholar

. 2011 (جي′/جي)-expansion method for the Drinfel'd-Sokolov-Wilson equation . Comput. Math. Model. 22, 92–97. (doi:1046-283X/11/2201-0092) Crossref, Google Scholar


References

  • [1] D. Iuanenko, Sov. Phys. 13 , 141-149 (1938)
  • [2] H. Weyl, Phys. Rev. 77 , 699-701 (1950)
  • [3] W. Heisenberg, Physica 19 , 897-908 (1953)
  • [4] K. Johnson, Phys. Lett. 78B , 259-262 (1978)
  • [5] P. Mathieu, Phys. Rev. D29 , 2879-2883 (1984)
  • [6] A. F. Ranada, Classical nonlinear Dirac field models of extended particles , In: Quantum theory, groups, fields and particles , edited by A.O.Barut, Amsterdam, Reidel, 1983
  • [7] R. Finkelsten, et al, Phys. Rev. 83(2) , 326-332(1951)
  • [8] M. Soler, Phys. Rev. D1(10) , 2766-2767(1970)
  • [9] Y. Q. Gu, Some Properties of the Spinor Soliton , Adv in Appl. Clif. Alg. 8(1) , 17-29(1998), http://www.clifford-algebras.org/v8/81/gu81.pdf
  • [10] Y. Q. Gu, Characteristic Functions and Typical Values of the Nonlinear Dark Spinor , arXiv:hep-th/0611210
  • [11] Y. Q. Gu, A Cosmological Model with Dark Spinor Source , arXiv:gr-qc/0610147
  • [12] Y. Q. Gu, Accelerating Expansion of the Universe with Nonlinear Spinors ,
    arXiv:gr-qc/0612176
  • [13] T. Cazenave, L. Vazquez, Comm. Math. Phys. 105 , 35-47 (1986)
  • [14] F. Merle, J. Diff. Eq. 74 , 50-68 (1988)
  • [15] M. Balabane, et al, Comm. Math. Phys. 119 , 153-176 (1988)
  • [16] M. Balabane, et al, Comm. Math. Phys. 133 , 53-74 (1990)
  • [17] M. J. Esteban, E. Sere, C. R. Acad. علوم. Pavis, t. 319 , Serie I, 1213-1218 (1994)
  • [18] M. J. Esteban, E. Sere, Comm. Math. Phys. 171 , 323-350(1995)
  • [19] Wilhelm Fushchych, Renat Zhdanov, SYMMETRIES AND EXACT SOLUTIONS OF NONLINEAR DIRAC EQUATIONS , Kyiv Mathematical Ukraina Publisher, Ukraine (1997), arXiv:math-ph/0609052
  • [20] A. Garrett Lisi, A Solution of the Maxwell-Dirac Equations in 3+1 Dimensions , arXiv:hep-th/9410244
  • [21] M. Wakano, Prog. Theor. Phys. 35(6) , 1117-1141(1996)
  • [22] Y. Q. Gu, Spinor Soliton with Electromagnetic Field , Adv in Appl. Clif. Alg. V8(2) , 271-282(1998), http://www.clifford-algebras.org/v8/82/gu82.pdf
  • [23] A. O. Barut and J. Kraus, Found. Physics 13 , 189 (1983)
  • [24] A. O. Barut and J. F. Van Huele, Phys. Rev. A 32 , 3187(1985)
  • [25] Y. Q. Gu, The Electromagnetic Potential Among Nonrelativistic Electrons , Adv in Appl. Clif. Alg. V9(1) , 55-60(1999),
    http://www.clifford-algebras.org/v9/91/gu91.pdf
  • [26] Y. Q. Gu, New Approach to N-body Relativistic Quantum Mechanics ,
    arXiv:hep-th/0610153
  • [27] Y. Q. Gu, Mass Energy Relation of the Nonlinear Spinor , arXiv:hep-th/0701030
  • [28] Y. Q. Gu, A Canonical Form For Relativistic Dynamic Equation , Adv in Appl. Clif. Alg. V7(1) , 13-24(1997),
    http://www.clifford-algebras.org/v7/v71/GU71.pdf, arXiv:hep-th/0610189
  • [29] Y. Q. Gu, Green Functions of Relativistic Field Equations , arXiv:hep-th/0612214
  • [30] A. Gsponer, J.-P. Hurni, quaternions in mathematical physics
    (1): Alphabetical bibliography , arXiv:math-ph/0510059
    (2): Analytical bibliography , arXiv:math-ph/0511092.

Want to hear about new tools we're making? Sign up to our mailing list for occasional updates.

If you find a rendering bug, file an issue on GitHub. Or, have a go at fixing it yourself – the renderer is open source!


شاهد الفيديو: Vergelijking oplossen met pijlenkettingen (شهر اكتوبر 2021).