مقالات

5.1: مشاكل Sturm-Liouville


5.1.1 مشاكل القيمة الحدية

لقد واجهنا العديد من مشاكل القيمة الذاتية المختلفة مثل:

[X '' (x) + lambda X (x) = 0 ]

بشروط حدية مختلفة

(X (0) = 0 ~~~~~ X (L) = 0 ~~~~~ { rm {(Dirichlet) ~ أو ،}} )

(X '(0) = 0 ~~~~~ X' (L) = 0 ~~~~~ { rm {(Neumann) ~ أو ،}} )

(X '(0) = 0 ~~~~~ X (L) = 0 ~~~~~ { rm {(مختلط) ~ أو ،}} )

(X (0) = 0 ~~~~~ X '(L) = 0 ~~~~~ { rm {(مختلط) ، ...}} )

على سبيل المثال ، بالنسبة للسلك المعزول ، تتوافق شروط Dirichlet مع تطبيق درجة حرارة صفرية في النهايات ، وتعني Neumann عزل الأطراف ، إلخ .... تنشأ أيضًا أنواع أخرى من شروط نقطة النهاية بشكل طبيعي ، مثل شروط حدود Robin

[hX (0) -X '(0) = 0 ~~~~~ hX (L) + X' (L) = 0، ]

لبعض الثوابت (ح ). تظهر هذه الظروف عندما تكون الأطراف مغمورة في وسط ما.

ظهرت مشاكل الحدود في دراسة معادلة الحرارة (u_t = ku_ {xx} ) عندما كنا نحاول حل المعادلة بطريقة فصل المتغيرات. في الحساب واجهنا مشكلة معينة في القيمة الذاتية ووجدنا الدالة الذاتية (X_n (x) ). ثم وجدنا تحلل الوظيفة الذاتية لدرجة الحرارة الأولية (f (x) = u (x ، 0) ) من حيث الوظائف الذاتية

[f (x) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_nX_n (x). ]

بمجرد حصولنا على هذا التحلل ووجدنا مناسبًا (T_n (t) ) بحيث يكون (T_n (0) = 1 ) و (T_n (t) X (x) ) حلين ، حل المشكلة الأصلية بما في ذلك الحالة الأولية يمكن كتابتها كـ

[u (x، t) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_nT_n (t) X_n (x). ]

سنحاول حل مشاكل أكثر عمومية باستخدام هذه الطريقة. أولاً ، سوف ندرس المعادلات الخطية من الدرجة الثانية للصيغة

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0. ]

بشكل أساسي ، يمكن كتابة أي معادلة خطية من الدرجة الثانية بالصيغة (a (x) y '' + b (x) y '+ c (x) y + lambda d (x) y = 0 ) كـ (5.1.5 ) بعد الضرب بعامل مناسب.

مثال ( PageIndex {1} ): مشكلة Sturm-Liouville

ضع المعادلة التالية بالصيغة (5.1.5):

[x ^ 2y '' + xy '+ ( lambda x ^ 2-n ^ 2) y = 0. ]

اضرب كلا الجانبين في ( frac {1} {x} ) للحصول على

[ frac {1} {x} (x ^ 2y '' + xy '+ ( lambda x ^ 2-n ^ 2) y) = xy' '+ y' + left ( lambda x - frac {n ^ 2} {x} right) y = frac {d} {dx} left (x frac {dy} {dx} right) - frac {n ^ 2} {x} y + lambda س ص = 0. ]

ما يسمى بمشكلة شتورم ليوفيل1 هو البحث عن حلول غير بديهية ل

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0، ~~~~~ a

على وجه الخصوص ، نسعى إلى ( lambda ) التي تسمح بحلول غير بديهية. تسمى ( lambda ) التي تعترف بالحلول غير البسيطة بـ eigenvalues ​​والحلول غير الأساسية المقابلة لها تسمى eigenfunctions. يجب ألا يكون كل من الثوابت ( alpha_1 ) و ( alpha_2 ) صفرًا ، كما هو الحال مع ( beta_1 ) و ( beta_2 ).

نظرية 5.1.1. افترض أن (p (x) و p '(x) و q (x) ) و (r (x) ) متواصلة على ([a، b] ) وافترض (p (x)> 0 ) و (r (x)> 0 ) لجميع (س ) في ([أ ، ب] ). ثم فإن مشكلة Sturm-Liouville (5.1.8) لها تسلسل متزايد من قيم eigenvalues

[ lambda_1 < lambda_2 < lambda_3 < cdots ]

مثل ذلك

[ lim_ {n rightarrow infty} lambda_n = + infty ]

وهذا يعني أن لكل ( lambda_n ) (حتى مضاعف ثابت) دالة ذاتية واحدة (y_n (x) ).

علاوة على ذلك ، إذا (q (x) geq 0 ) و ( alpha_1، alpha_2، beta_1، beta_2 geq 0 ) ، إذن ( lambda_n geq 0 ) للجميع (n ).

تسمى المشكلات التي تفي بفرضية النظرية مشاكل Sturm-Liouville العادية وسننظر فقط في مثل هذه المشكلات هنا. أي أن المشكلة العادية هي التي تكون (p (x) و p '(x) و q (x) ) و (r (x) ) مستمرة ، (p (x)> 0 ) ، (r (x)> 0 ) ، (q (x) geq 0 ) ، و ( alpha_1 ، alpha_2 ، beta_1 ، beta_2 geq 0 ). ملاحظة: كن حذرا بشأن العلامات. كن حذرًا أيضًا بشأن عدم المساواة في (r ) و (ع ) ، يجب أن تكون صارمة للجميع (س )!

عندما يكون الصفر قيمة ذاتية ، نبدأ عادةً في تسمية قيم eigenvalues ​​عند (0 ) بدلاً من (1 ) للراحة.

مثال ( PageIndex {2} ):

المشكلة (y '' + lambda y ، 0 0 ) و (r (x) 1> 0 ) ). قيم eigenvalues ​​هي ( lambda_n = frac {n ^ 2 pi ^ 2} {L ^ 2} ) والوظائف الذاتية هي (y_n (x) = sin ( frac {n pi} {L} x ) ). جميع قيم eigenvalues ​​غير سالبة كما تنبأت النظرية.

تمرين ( PageIndex {1} ):

ابحث عن قيم eigenvalues ​​و eigenfunctions لـ

[y '' + lambda y = 0، ~~~~~ y '(0) = 0، ~~~~~ y' (1) = 0. ]

حدد (p، q، r، alpha_j، beta_j ). هل يمكنك استخدام النظرية لتسهيل البحث عن قيم eigenvalues؟ (تلميح: ضع في اعتبارك الحالة (- y '(0) = 0 ))

مثال ( PageIndex {3} ):

ابحث عن القيم الذاتية والوظائف الذاتية للمشكلة

[y '' + lambda y = 0، ~~~~~ 0 0. ]

تعطي هذه المعادلات مسألة شتورم-ليوفيل العادية.

تمرين ( PageIndex {2} ):

حدد (p، q، r، alpha_j، beta_j ) في المثال أعلاه.

لاحظ أولاً أن ( lambda geq 0 ) بواسطة Theorem 5.1.1. لذلك ، الحل العام (بدون شروط حدودية)

[y (x) = A cos ( sqrt { lambda} x) + B sin ( sqrt { lambda} x) ~~~~~~ rm {if ~} lambda> 0 ، ]

[y (x) = Ax + B ~~~~~~~~~~~~~~~ rm {if ~} lambda = 0. ]

دعونا نرى ما إذا كانت ( lambda = 0 ) هي قيمة ذاتية: يجب أن نلبي (0 = hB-A ) و (A = 0 ) ، وبالتالي (B = 0 ) (مثل (ح > 0 )) ، لذلك ، (0 ) ليست قيمة ذاتية (لا يوجد حل غير صفري ، لذلك لا توجد دالة ذاتية).

الآن دعونا نحاول (h> 0 ). نعوض في شروط الحدود.

[0 = hA- sqrt { lambda} ب، 0 = -A sqrt { lambda} sin ( sqrt { lambda}) + B sqrt { lambda} cos ( sqrt { لامدا}). ]

إذا كان (A = 0 ) ، إذن (B = 0 ) والعكس صحيح ، فكلاهما ليس صفريًا. لذا (B = frac {hA} { sqrt { lambda}} ) و (0 = -A sqrt { lambda} sin ( sqrt { lambda}) + frac {hA} { sqrt { lambda}} sqrt { lambda} cos ( sqrt { lambda}) ). كما (A neq 0 ) نحصل عليها

[0 = - sqrt { lambda} sin ( sqrt { lambda}) + h cos ( sqrt { lambda})، ]

أو

[ frac {h} { sqrt { lambda}} = tan sqrt { lambda}. ]

الآن استخدم الكمبيوتر للعثور على ( lambda_n ). هناك جداول متاحة ، على الرغم من أن استخدام الكمبيوتر أو آلة حاسبة الرسوم البيانية هو أكثر ملاءمة في الوقت الحاضر. أسهل طريقة هي رسم الدوالتين ( frac {h} {x} ) و ( tan (x) ) ومعرفة أيهما يتقاطعون. يوجد عدد لا حصر له من التقاطعات. يُرمز ب ( sqrt { lambda_1} ) التقاطع الأول ، من خلال ( sqrt { lambda_2} ) التقاطع الثاني ، إلخ…. على سبيل المثال ، عندما (h = 1 ) ، نحصل على ( sqrt { lambda_1} حوالي 0.86 ، sqrt { lambda_2} حوالي 3.43 ، ... ). هذا هو (y_1 حوالي 0.74 ، y_2 حوالي 11.73 ، ... ) ،…. تم إعطاء مؤامرة لـ (ح = 1 ) في الشكل 5.1. دالة eigenfunction المناسبة (let (A = 1 ) للملاءمة ، إذن (B = frac {h} { sqrt { lambda}} )) هي

[y_n (x) = cos ( sqrt { lambda_n} x) + frac {h} { sqrt { lambda_n}} sin ( sqrt { lambda_n} x). ]

عندما (ح = 1 ) نحصل (تقريبًا)

[y_1 (x) almost cos (0.86x) + frac {1} {0.86} sin (0.86x)، ~~~~~ y_2 (x) almost cos (3.43x) + frac {1} {3.43} sin (3.43x) ، ~~~~~ .... ]

الشكل 5.1: قطعة أرض ( frac {1} {x} ) و ( tan x ).

5.1.2 التعامد

لقد رأينا فكرة التعامد من قبل. على سبيل المثال ، أظهرنا أن ( sin (nx) ) متعامد من أجل مميز (n ) في ([0، pi] ). بالنسبة لمشاكل Sturm-Liouville العامة ، سنحتاج إلى إعداد أكثر عمومية. لنفترض (r (x) ) أن تكون دالة وزن (أي وظيفة ، على الرغم من أننا سنفترض عمومًا أنها إيجابية) في ([أ ، ب] ). يقال إن وظيفتين (f (x) ) ، (g (x) ) متعامدتان فيما يتعلق بوظيفة الوزن (r (x) ) عندما

[ int_a ^ bf (x) g (x) r (x) dx = 0. ]

في هذا الإعداد ، نحدد المنتج الداخلي على أنه

[ langle f، g rangle overet { rm {def}} = int_a ^ bf (x) g (x) r (x) dx، ]

ثم قل (f ) و (g ) متعامدين كلما ( langle f ، g rangle = 0 ). النتائج والمفاهيم مماثلة مرة أخرى للجبر الخطي ذي الأبعاد المحدودة.

فكرة المنتج الداخلي المعطى هي أن (x ) حيث (r (x) ) أكبر يكون لها وزن أكبر. غير بديهية (غير ثابتة) (r (x) ) تنشأ بشكل طبيعي ، على سبيل المثال من تغيير المتغيرات. ومن ثم ، يمكنك التفكير في تغيير المتغيرات مثل (d xi = r (x) dx ).

لدينا خاصية التعامد التالية للوظائف الذاتية لمشكلة Sturm-Liouville العادية.

نظرية 5.1.2. لنفترض أن لدينا مشكلة Sturm-Liouville منتظمة

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0، alpha_1y (a ) - alpha_2y '(a) = 0، beta_1y (b) + beta_2y' (b) = 0. ]

لنفترض أن (y_j ) و (y_k ) هما وظيفتان متماثلتان متميزتان لقيمتين متماثلتين متميزتين ( lambda_j ) و ( lambda_k ). ثم

[ int_a ^ by_j (x) y_k (x) r (x) dx = 0، ]

أي ، (y_j ) و (y_k ) متعامدين فيما يتعلق بوظيفة الوزن (r ).

الإثبات مشابه جدًا للنظرية المماثلة الواردة في الفقرة 4.1. يمكن العثور عليها أيضًا في العديد من الكتب بما في ذلك ، على سبيل المثال ، Edwards and Penney [EP].

5.1.3 بديل فريدهولم

لدينا أيضًا نظرية فريدهولم البديلة التي تحدثنا عنها من قبل لجميع مشاكل Sturm-Liouville العادية. نذكرها هنا للاكتمال.

نظرية 5.1.3 (بديل فريدهولم). افترض أن لدينا مشكلة Sturm-Liouville منتظمة. ثم اما

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0، alpha_1y (a ) - alpha_2y '(a) = 0، beta_1y (b) + beta_2y' (b) = 0، ]

يحتوي على حل غير صفري ، أو

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = f (x)، alpha_1y (a) - alpha_2y '(a) = 0، beta_1y (b) + beta_2y' (b) = 0، ]

لديه حل فريد لأي (f (x) ) مستمر على ([a، b] ).

تُستخدم هذه النظرية بنفس الطريقة التي استخدمناها سابقًا في الفقرة 4.4. يتم استخدامه عند حل مشاكل القيمة الحدية غير المتجانسة الأكثر عمومية. لا تساعدنا النظرية في حل المشكلة ، لكنها تخبرنا بوجود حل فريد ، حتى نعرف متى نقضي الوقت في البحث عنه. لحل المشكلة ، نفكك (f (x) ) و (y (x) ) من حيث الدوال الذاتية للمسألة المتجانسة ، ثم نحل معاملات السلسلة لـ (y (x) ) ).

5.1.4 سلسلة Eigenfunction

ما نريد فعله مع الدوال الذاتية بمجرد أن نحصل عليها هو حساب تحلل الوظيفة الذاتية لوظيفة عشوائية (f (x) ). هذا هو ، نود أن نكتب

[f (x) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_ny_n (x) ، ]

حيث (y_n (x) ) الدوال الذاتية. نرغب في معرفة ما إذا كان بإمكاننا تمثيل أي دالة (f (x) ) بهذه الطريقة ، وإذا كان الأمر كذلك ، فنحن نرغب في الحساب (وبالطبع نريد معرفة ما إذا كان المجموع يتقارب). حسنًا ، تخيل أنه يمكننا كتابة (f (x) ) بالشكل (5.1.24). سنفترض التقارب والقدرة على دمج مصطلح السلسلة بمصطلح. بسبب التعامد لدينا

[ langle f، y_m rangle = int_a ^ bf (x) y_m (x) r (x) dx = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_n int_a ^ by_n (x) y_m (x) r (x) dx = c_m int_a ^ by_m (x) y_m (x) r (x) dx = c_m langle y_m ، y_m rangle. ]

بالتالي،

[c_m = frac { langle f، y_m rangle} { langle y_m، y_m rangle} = frac { int_a ^ bf (x) y_m (x) r (x) dx} { int_a ^ b (y_m (x)) ^ 2r (x) dx}. ]

لاحظ أن (y_m ) معروف حتى مضاعف ثابت ، لذلك كان بإمكاننا اختيار مضاعف عددي لوظيفة eigenfunction مثل ( langle y_m، y_m rangle = 1 ) (إذا كان لدينا دالة eigen عشوائية ( tilde {y} _m ) ، قسّمها على ( sqrt { langle tilde {y} _m، tilde {y} _m rangle} )). عندما ( langle y_m ، y_m rangle = 1 ) لدينا الشكل الأبسط (c_m = langle f ، y_m rangle ) كما فعلنا مع سلسلة فورييه. تنطبق النظرية التالية بشكل عام ، لكن البيان المعطى كافٍ لأغراضنا.

نظرية 5.1.4. لنفترض أن (f ) دالة متعددة التعريف ومتواصلة على . إذا كانت (y_1، y_2، ldots ) ​​هي الدوال الذاتية لمسألة Sturm-Liouville العادية ، فهناك ثوابت حقيقية (c_1، c_2، ldots ) ​​مُعطاة بواسطة (5.1.26) بحيث (5.1.24) ) يتقارب ويحافظ على (a

مثال ( PageIndex {4} ):

خذ على سبيل المثال مشكلة Sturm-Liouville البسيطة

[y '' + lambda y = 0 ، ~~~~~ 0

ما سبق هو مشكلة عادية ، وعلاوة على ذلك نعلم من النظرية 5.1.1 أن ( lambda geq 0 ).

افترض ( lambda = 0 ) ، ثم الحل العام هو (y (x) Ax + B ) ، سنقوم بالتوصيل بالشروط الأولية للحصول على (0 = y (0) = B ) ، و (0 = y '( pi / 2) = A ) ، وبالتالي فإن ( lambda = 0 ) ليست قيمة ذاتية. وبالتالي فإن الحل العام هو

[y (x) = A cos ( sqrt { lambda} x) + B sin ( sqrt { lambda} x). ]

بإدخال شروط الحدود نحصل على (0 = y (0) = A ) و (0 = y '( pi / 2) = sqrt { lambda} B cos ( sqrt { lambda} frac { pi} {2}) ). (B ) لا يمكن أن يكون صفراً ومن ثم ( cos ( sqrt { lambda} frac { pi} {2} = 0) ). هذا يعني أن ( sqrt { lambda} frac { pi} {2} ) يجب أن يكون مضاعفًا تكامليًا فرديًا لـ ( frac { pi} {2} ) ، أي ((2n-1 ) frac { pi} {2} = sqrt { lambda_n} frac { pi} {2} ). بالتالي

[ lambda_n = (2n-1) ^ 2. ]

يمكننا أن نأخذ (ب = 1 ). ومن ثم فإن وظائفنا الذاتية هي

[y_n (x) = sin ((2n-1) x). ]

أخيرًا نحسب

[ int_0 ^ { frac { pi} {2}} ( sin ((2n-1) x)) ^ 2dx = frac { pi} {4}. ]

لذلك يمكن كتابة أي دالة سلسة متعددة التعريف في ([0، pi / 2] ) كـ

[f (x) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_n sin ((2n-1) x) ، ]

أين

[c_n = frac { langle f، y_n rangle} { langle y_n، y_n rangle} = frac { int_0 ^ { frac { pi} {2}} sin ((2n-1) x) dx} { int_0 ^ { frac { pi} {2}} ( sin ((2n-1) x)) ^ 2dx} = frac {4} { pi} int f (x) الخطيئة ((2n-1) x) dx. ]

لاحظ أن السلسلة تتقارب إلى (2 pi ) - دوري (ليس ( pi )-دوري!) امتداد (f (x) ).

تمرين ( PageIndex {3} )

في المثال أعلاه ، تم تعريف الوظيفة على (0

1سميت على اسم عالم الرياضيات الفرنسيين جاك تشارلز فرانسوا ستورم (1803-1855) وجوزيف ليوفيل (1809-1882).


نظرية شتورم ليوفيل

في الرياضيات وتطبيقاتها ، الكلاسيكية نظرية شتورم ليوفيل هي نظرية المعادلات التفاضلية العادية الخطية من الدرجة الثانية الحقيقية للشكل:

لوظائف المعامل المحددة ص(x) , ف(x) ، و ث(x) ودالة غير معروفة y للمتغير الحر x. الوظيفة ث(x) ، يشار إليها أحيانًا ص(x) ، يسمى وزن أو كثافة وظيفة. يمكن اختزال جميع المعادلات التفاضلية العادية الخطية من الدرجة الثانية إلى هذه الصورة.

في أبسط الحالات حيث تكون جميع المعاملات متصلة في الفترة المغلقة المحددة [أ,ب] و p لها مشتق مستمر ، والدالة y تسمى a المحلول إذا كان قابلاً للتفاضل بشكل مستمر على (أ,ب) ويفي بالمعادلة (1) في كل نقطة في (أ,ب). (في حالة أكثر عمومية ص(x) , ف(x) , ث(x) ، يجب فهم الحلول بمعنى ضعيف.) بالإضافة إلى ذلك ، عادةً ما تكون y مطلوبة لتلبية بعض الشروط الحدودية في a و b. كل معادلة من هذا القبيل (1) مع شروط حدودها يشكل أ مشكلة Sturm-Liouville (S-L).

لم يتم تحديد قيمة λ في المعادلة: العثور على which التي يوجد لها حل غير تافه هو جزء من مشكلة S-L المعطاة. تسمى هذه القيم لـ when ، عند وجودها ، بـ القيم الذاتية المشكلة ، والحلول المقابلة لها هي وظائف eigenfunctions المرتبطة بكل λ. هذا المصطلح لأن الحلول تتوافق مع قيم eigenvalues ​​و eigenfunctions لعامل تفاضلي Hermitian في مساحة وظيفية مناسبة. تدرس نظرية Sturm – Liouville وجود وسلوك مقارب للقيم الذاتية ، والنظرية النوعية المقابلة للوظائف الذاتية واكتمالها في مساحة الوظيفة.

هذه النظرية مهمة في الرياضيات التطبيقية ، حيث تحدث مشاكل S-L بشكل متكرر ، خاصة عند التعامل مع المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية القابلة للفصل. على سبيل المثال ، في ميكانيكا الكم ، فإن معادلة شرودنغر أحادية البعد المستقلة عن الزمن هي مشكلة S-L.

يقال إن مشكلة شتورم-ليوفيل كذلك عادي لو ص(x) , ث(x) & gt 0 و ص(x) , ص′(x) , ف(x) , ث(x) هي وظائف مستمرة خلال الفترة المحدودة [أ,ب] ، وقد فصلت المشكلة شروط حدود النموذج:


5.1: مشاكل Sturm-Liouville

11.5 - 리우 빌 문제. 직교 함수 (مشاكل Sturm-Liouville.وظائف متعامدة)

11.5 مشاكل Sturm-Liouville. وظائف متعامدة
11.5 절 에서는 갑자기 من الدرجة الثانية ODE الخطي 를 푸는데 이것을 푸는 목적 은 مجموعة متعامدة
을 얻는 것이다. 11.1 절 에서 배운 سلسلة فورييه 는 주기 가 인 함수 를 다음
مجموعة متعامدة 의 원소 들을 이용 해서 표현한 것이다.

따라서 를 다른 مجموعة متعامدة 의 원소 들을 이용 해서 표현 할수 있는지 없는지 관심 을
가질수 있고 교재 에서는 이것을 11.5 절 과 11.6 에서 소개 한다.

공학 수학 (3) 에서 مصفوفة 의 مصفوفة معكوسة 가 존재할 필요 충분 조건 은
을 만족 하는 것이고 의 معكوس المصفوفة 가 존재 하면 연립 일차 방정식
해 는 로 유일 하다는 것을 배웠다. 지금 부터 الفصل 12 까지 이것을
특별한 언급 없이 사용할 것이다.

المشكلة 11.5.1 다음 ODE 가 주어져 있다고 하자.

위 ODE 가 Sturm-Liouville 형태 를 만족함 을 보이고 Eigenvalue ، Eigenfunction 을 구하고
التعامد 를 확인 하시오.
sol) 로 놓으면

로 택 하면 등식 이 성립 한다. 그리고 이면
이므로 주어진 ODE Sturm-Liouville 형태 를 만족 한다.

ODE المعادلة المميزة 은 이고 판별 식은 이다.

حالة 1)
경우 해 는 이고 초기 조건 을 대입 하면

이때 이므로 مصفوفة معامل 의 محدد 는

이다. 따라서 연립 방정식 의 해 는 حل تافه 만 갖는다.

حالة 2)
경우 해 는 이고 초기 조건 을 대입 하면

이다. 이때 로 택 하면 이므로 حل غير بديهي 이 존재 한다. 따라서
القيمة الذاتية 는 ، الوظيفة الذاتية 은 이다.

حالة 3)
경우 해 는 이고 초기 조건 을 대입 하면

이때 مصفوفة معامل 의 محدد 는

이다. 만약 이면 연립 방정식 의 해 는 이므로 حل تافه
만 갖는다. 따라서 الوظيفة الذاتية 을 얻으 려면 을 만족 해야 하고 이므로
자연수 에 대하여 이다. 따라서 이다.

그러므로 القيمة الذاتية 는 이고 도
주어진 ODE 를 만족 하므로 الوظيفة الذاتية 은 다음 과 같다.

이고 은 자연수 이므로 삼각 함수 의 التعامد 에 의하면

임을 쉽게 알수 있고 직접 계산 하면 다음 이 성립 한다는 것도 쉽게 알수 있다.

따라서 الوظيفة الذاتية 은 التعامد 를 만족 한다. ■

المشكلة 11.5.2 다음 ODE 가 주어져 있다고 하자.

위 ODE 가 Sturm-Liouville 형태 를 만족함 을 보이고 Eigenvalue ، Eigenfunction 을 구하고
التعامد 를 확인 하시오.
sol) 먼저 Sturm-Liouville 형태 를 만족 하는지 확인 하자. 조건 이
شتورم ليوفيل 형태 를 만족함 은 명백 하다.

따라서 에서 이므로
는 상수 함수 이다. 그러므로 즉 ، 로 택하자. 그러면
이고 에서 이다. 따라서 주어진
ODE 는 Sturm-Liouville 형태 를 만족 한다.

주어진 ODE معادلة أويلر-كوشي 이므로 معادلة مميزة 은

이고 판별 식은 이다.

حالة 1)
경우 해 는 이고 초기 조건 을 대입 하면 다음 을 얻는다.

이때 이므로 مصفوفة معامل 의 محدد 는

이다. 따라서 연립 방정식 의 해 는 حل تافه 만 갖는다.

حالة 2)
경우 해 는 이고 초기 조건 을 대입 하면 다음 을 얻는다.

이므로 연립 방정식 의 해 는 이다. 따라서 حل تافه 만 갖는다.

حالة 3)
경우 해 는 이고 초기 조건 을 대입 하면

이므로 이다. حل غير بديهي 을 가지 려면 이어야 하고
따라서 자연수 에 대하여 이므로 이다. 이때 해 는
이다.

그러므로 القيمة الذاتية 는 이고 الوظيفة الذاتية 은 로 놓은
이다. 이므로 이면 치환 과
삼각 함수 의 التعامد 에 의해

을 만족 한다. 따라서 الوظيفة الذاتية 은 التعامد 를 만족 한다. ■

교재 11.5 절 연습 문제 14 번 에서 다음 2 개의 Chebyshev كثير الحدود 을 정의 하는데

이름 은 متعدد الحدود 이지만 형태 는 متعدد الحدود 과 거리 가 멀어 보인다. 따라서 이 음 이 아닌 정수일 때 위에서 실제로 가 다항식 으로 표현 된다는 것을
증명 하려고 한다. 일 때 임을 이용 하면
일 때 이므로 다항식 임이 명백 하다.

이 자연수 일 때 가 위에서 다항식 으로
표현 된다는 것을 증명 하면 충분 하다.

المشكلة 11.5.3 이 자연수 일 때 위에서 정의한 가 위에서
다항식 으로 표현됨 을 증명 하시오.
سول) 1)
일 때 다음 이 성립 한다.

2 번째 등식 은 미적분 (1) 또는 공학 수학 (1) 에서 유도 해봤을 것이다. 따라서 다음 을 얻는다.

이고 다항식 을 미분 한 것도 다항식 이므로 유도 한 관계식 에 의하면 는
다항식 임을 쉽게 알수 있다. 몇 개만 구해 보면 다음 과 같다.

따라서 일 때 가 성립 하고 1) 에서 는
다항식 임을 증명 했다. 그러므로 도 다항식 이다. ■

이제 를 이용 해서 일 때 성립 하는 다음 등식 을 증명 하려고 한다.

의 차수 를 이라고 하고 최고 차항 의 계수 를 이라고 하자. 그러면

이므로 이고 이므로 이다. 따라서 이고
관계식 에서 우변 의 최고 차항 의 계수 는 이다. 그러므로 관계식 에서
의 차수 는 이고 우변 의 차수 는 이다.

따라서 이고 이므로 이다. 그러므로 이고
는 차 다항식 임을 알수 있다. 그리고 이므로 도
다항식 이고 최고 차항 의 계수 도 이다.

이면 이므로 이고
이므로 이다. 따라서 을 얻는다.
즉 ، 은 을 만족 하는 자연수 이고 이때 을 얻는다.
에 대하여 는 방정식 의 해 가
되는데 는 차 다항식 이므로 방정식 의 해 의 개수 는 을 초과 할수
없다. 이 방정식 의 모든 해 가 되고 는
차항 의 계수 가 인 차 이므로 근 과 계수 의 관계 의하면 다음 을 얻는다.


우변 의 식 을 조금 더 간단 하게 표현 해보자. 이 짝수 이면 이므로
이고 이 홀수 이면 이므로
이다. 그러므로 이면 다음 을 만족 한다.


إطلاق الدواء في الأنسجة البيولوجية

فيليبو دي مونتي. سيد بيكر ، النقل في وسائل الإعلام البيولوجية ، 2013

3.6.3.1 الوصف الفسيولوجي والرياضي العام

تشكل البرانية والأنسجة المحيطة بها الطبقة الخارجية للجدار ولها مدى كبير بما يكفي لاعتبارها شبه لانهائية. تؤدي طريقة SOV الكلاسيكية إلى مشكلة Sturm-Liouville مع معاملات متقطعة واختلالات طيفية شديدة. يتم إعطاء تركيز الدواء في كل طبقة في أوقات مختلفة في شكل سلسلة فورييه باستخدام معلمات بدون أبعاد تتحكم في آلية النقل عبر الجدار ذي الطبقات. بشكل عام ، تم تطوير المشكلة بحيث يكون هناك أي عدد من طبقات الأنسجة الشريانية.

أولاً ، ضع في اعتبارك طبقة رقيقة (بسمك l 0) من الجل تحتوي على دواء يغطي دعامة مدمجة في جدار الشرايين [44]. مرة أخرى ، نقصر دراستنا على نموذج مبسط 1-D وننظر فقط في النقل من الدعامة إلى الجدار الشرياني الجانبي العرضي. وبهذه الطريقة ، يتم النظر في سلوك الدواء على طول خط التأشير الخارجي الذي يعبر الدعامة المعدنية والطلاء وطبقات جدار الشرايين. في إطار عام 1-D ، دعونا نفكر في مجموعة من الفواصل الزمنية [xi - 1، xi] لـ i = 0 ، 1 ، 2 ، ... ، n لكل منها سماكة li = xi - xi - 1 بحيث يكون الغلاف (الطبقة 0) وطبقات الجدار (الطبقات i = 1 ، 2 ، ... ، n) ممثلة من الناحية المفاهيمية كما في الشكل 3.20 حيث ، بدون فقدان العمومية ، يُفترض أن x 0 = 0 هي السطح البيني لجدار الطلاء.

الشكل 3.20. رسم تخطيطي للجدار ذي الطبقات. يتم تعريف نموذج الجدار أحادي الأبعاد على طول الخط العادي لسطح الدعامة ويمتد بتسلسل ن الطبقات المتجاورة [x i - 1 x i] ، i = 1 ، 2 ، ... ، n من واجهة طلاء البوليمر x 0 = 0 حتى الجدار المحدود x n المقدرة بمسافة الاختراق d ∗. يشير ST إلى الدعامة المعدنية التي تحمل الطلاء (الشكل ليس في نطاق).

في الوقت الأولي (ر = 0) ، يتم احتواء الدواء فقط في بلازما الطلاء ويتم توزيعه بحد أقصى ، وربما غير منتظم ، بتركيز C 0 · F 0 (x) ، مع 0 F 0 (x) ≤ 1. نظرًا لأن الدعامة المعدنية غير منفذة للدواء ، فلا يمر أي تدفق جماعي عبر السطح الحدودي x = - l 0. يتم وصف ديناميكيات الدواء في الطلاء (الطبقة 0) بمعادلة الانتشار 1-D ، والشروط ذات الصلة بالحدود الأولية ، على النحو المحدد بواسطة Eqs. (3.68) ، حيث يكون الشرط الأولي فقط مختلفًا الآن ، كونه غير منتظم.

كما ورد في [50] ، تكون مصطلحات تفاعل الحمل الحراري ذات صلة فقط في طبقة الوسائط ، بينما في الطبقات الأخرى يمكن إهمال هذه التأثيرات. ومع ذلك ، فقد تبين في القسم 3.6.2 أن نموذجًا أكثر عمومية يتضمن شروط تفاعل الحمل الحراري يمكن اختزاله إلى نظام منتشر خالص عن طريق تحويل متغير ، أي المعادلة. (3.85). لهذا السبب ، داخل طبقات i = 1 ، 2 ، ... ، n لجدار الشرايين ، يتم وصف ديناميكيات الدواء بمعادلة الانتشار التالية والحالة الأولية ذات الصلة:

حيث D i هو الانتشار الفعال للدواء في بلازما الطبقة الأولى من جدار الشرايين و c i هو أناتركيز الدواء ال.

في السطوح البينية بين طبقات جدار الشرايين ، ترتبط استمرارية التدفق واستمرارية التركيز بين حلول طبقات i = 1 ، 2 ، ... ، n ببعضها البعض:

كما في الأمثلة السابقة ، يتم استخدام المعطف الخفيف على الطلاء لإبطاء إطلاق الدواء في جدار الشرايين. يظهر هذا التأثير في ظروف الواجهة بين الغلاف (الطبقة 0) وطبقة الأنسجة الأولى لجدار الشرايين (الطبقة 1) ، كما هو موضح بواسطة المعادلات. (3.70 أ) و (3.70 ب).

أخيرًا ، يتم فرض شرط حد عند حدود طبقة النسيج الخارجية للبرانية ، x n. يحدث بعض الجدل عند قياس هذا الجدار. في الواقع ، تم إعطاء قيم مختلفة للسمك في الأدبيات ، اعتمادًا على حجم الشرايين ، تقع هذه القيم عمومًا في النطاق من 100 إلى 200 ميكرومتر لشريان متوسط ​​الحجم [39،40،45،50]. في الواقع ، بما أن جدار الشرايين مضمن في الأنسجة المحيطة ، فإن نقل الدواء لا يتوقف فجأة عند الحد الخارجي للبرانية ولكنه يتقدم للأمام في الأنسجة الخارجية ، ويخترق إلى عمق يعتمد على الوقت الذي تتم فيه العملية لاحظ. من حيث المبدأ ، لا يمكن تقدير النطاق الدقيق للمجال الذي يشمل عملية الانتشار بداهة ، وأي اقتطاع للمجال تعسفي إلى حد ما ، إذا تم بناءً على اعتبارات فسيولوجية فقط.في واقع الأمر ، بدلاً من التخمين التعسفي لسماكة الجدار الصحيحة التي يتلاشى عندها التركيز وتدفق الكتلة بشكل مقارب ، يمكن اتباع نهج أكثر صرامة. يتم ذلك عن طريق نمذجة الحدود الخارجية كوسيط شبه لانهائي يكون على اتصال تام بالوسائط الشريانية وله خصائص موحدة (مساوية لخصائص الطبقة الأخيرة ، أي البرانية) بحيث x n → ∞. التركيز وتدفق الكتلة مثل x → منتهيان (حالة الحدود من النوع 0 أو من نوع Beck ، انظر الفصل 2 من المرجع [30]):

للأغراض الحسابية ، من الممكن تصميم الطبقة الخارجية داخل مجال محدود بدلاً من ذلك. هذا ، في الواقع ، هو ما تم اقتراحه في [61] ، باستخدام مفهوم الاختراق مسافة د ∗. من الواضح أن قيمة d تزداد بمرور الوقت ، وفي حالة نظام الطبقات المركبة ، يعتمد عمق الاختراق على سمك وانتشار كل طبقة من طبقات جدار الشرايين. كما أنه يزيد من الدقة المطلوبة ، على سبيل المثال 10 - p ، مع p = 1 ، 2 ، ... ، 10. لتقدير مسافة الاختراق التي يمكن من خلالها تحديد الحد الخارجي لطبقة جدار الشرايين الخارجية (بأخطاء أقل من 10 - ع) ، x n ، يتم توفير التقدير التالي في [60] على النحو التالي:

أين δ ij هي دلتا كرونيكر.

وبالتالي ، دون فقدان أي دقة كبيرة ، يمكن اقتطاع الطبقة شبه اللانهائية من مسافة الاختراق ، x n = d ∗ ، ويتم استبدال شروط الحد من النوع 0 (3.95) بما يلي:

ضمن دقة 10 - ص. بعبارة أخرى ، يضمن ضبط الشرط (3.97) اختفاء التركيز وتدفق الكتلة عند d ∗ مع خسارة في الكتلة يمكن مقارنتها بـ 10 - p في وقت معين. في الطبقة n الخارجية ، كلتا الحالتين المذكورتين أعلاه صحيحة ، ولكن من المتوقع أن تكون حالة الامتصاص c n = 0 أكثر واقعية ، حيث يتم تجديد الأوعية الدموية في البرانية باستمرار بدم جديد وتزيل أي دواء متبقي [45].


جدول المحتويات

1.2 اشتقاق توصيل الحرارة في قضيب أحادي البعد

1.4 توزيع درجة حرارة التوازن

1.4.1 درجة الحرارة المحددة

1.5 اشتقاق معادلة الحرارة في بعدين أو ثلاثة أبعاد

2. طريقة فصل المتغيرات

2.3 معادلة الحرارة مع درجات حرارة صفرية عند نهايات محدودة

2.3.2 فصل المتغيرات

2.3.3 معادلة تعتمد على الوقت

2.3.4 مشكلة القيمة الحدية

2.3.5 حلول المنتج ومبدأ التراكب

2.3.6 تعامد الجيب

2.3.7 صياغة وحل وتفسير مثال

2.4 الأمثلة العملية مع المعادلة الحرارية: مشاكل القيمة الحدودية الأخرى

2.4.1 التوصيل الحراري في قضيب بنهايات معزولة

2.4.2 التوصيل الحراري في حلقة دائرية رفيعة

2.4.3 ملخص مشاكل القيمة الحدية

2.5 معادلة لابلاس ورسكووس: الحلول والخصائص النوعية

2.5.1 معادلة لابلاس ورسكووس داخل مستطيل

2.5.2 معادلة لابلاس & # 39 ثانية للقرص الدائري

2.5.3 تدفق السوائل بعد أسطوانة دائرية (رفع)

2.5.4 الخصائص النوعية لمعادلة لابلاس & # 39 ثانية

3.2 بيان نظرية التقارب

3.3 سلسلة فورييه جيب التمام والجيب

3.3.2 سلسلة فورييه كوسين

3.3.3 التمثيل و (خ) بواسطة كل من سلسلة الجيب وجيب التمام

3.3.5 سلسلة فورييه المستمرة

3.4 تمايز متسلسلة فورييه مصطلحًا تلو الآخر

3.5 تكامل سلسلة فورييه مصطلحًا تلو الآخر

3.6 الشكل المعقد لسلسلة فورييه

4. معادلة الموجة: تذبذب الأوتار والأغشية

4.2 اشتقاق سلسلة تهتز عموديًا

4.4 سلسلة تهتز بنهايات ثابتة

4.6 انعكاس وانكسار الموجات الكهرومغناطيسية (الضوئية) والصوتية (الصوتية)

4.6.1 قانون الانكسار Snell & # 39s

4.6.2 شدة (سعة) الموجات المنعكسة والمنكسرة

4.6.3 الانعكاس الداخلي الكلي

5. مشاكل Sturm-Liouville Eigenvalue

5.2.1 التدفق الحراري في قضيب غير منتظم

5.2.2 التدفق الحراري المتماثل دائريًا

5.3 مشاكل Sturm-Liouville Eigenvalue

5.3.1 التصنيف العام

5.3.2 مشكلة القيمة الذاتية Sturm-Liouville العادية

5.3.3 مثال وتوضيح للنظريات

5.4 مثال عملي: التدفق الحراري في قضيب غير منتظم بدون مصادر

5.5 المشغلون المتعاونون ذاتيًا ومشكلات القيمة الذاتية لشتورم ليوفيل

5.7 مثال عملي: اهتزازات سلسلة غير منتظمة

5.8 شروط الحدود من النوع الثالث

5.9 القيم الذاتية الكبيرة (السلوك المقارب)

5.10 خصائص التقريب

6. طرق الفروق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية

6.2 الاختلافات المحدودة وسلسلة تايلور المبتورة

6.3.2 معادلة الفروق الجزئية

6.3.4 تحليل استقرار فورييه فون نيومان

6.3.5 فصل المتغيرات عن معادلات الفروق الجزئية والحلول التحليلية لمعادلات الفروق العادية

6.3.7 مشاكل غير متجانسة

6.3.8 مخططات عددية أخرى

6.3.9 أنواع أخرى من شروط الحدود

6.4 معادلة حرارية ثنائية الأبعاد

6.7.1 التقريب بوظائف غير متعامدة (صيغة ضعيفة للمعادلة التفاضلية الجزئية)

6.7.2 أبسط العناصر المنتهية المثلثية

7. المعادلات التفاضلية الجزئية ذات الأبعاد الأعلى

7.2 فصل متغير الوقت

7.2.1 غشاء اهتزازي: أي شكل

7.2.2 التوصيل الحراري: أي منطقة

7.3 غشاء مستطيل يهتز

7.4 البيانات والرسوم التوضيحية للنظريات الخاصة بمشكلة القيمة الذاتية 2 φ + λφ = 0

7.5 المعادلة الخضراء و # 39s ، عوامل التشغيل المرتبطة ذاتيًا ومشكلات القيمة الذاتية متعددة الأبعاد

7.6 معادلة حاصل رايلي ولابلاس & # 39 ثانية

7.6.2 معادلة الحرارة المعتمدة على الوقت ومعادلة لابلاس & # 39 ثانية

7.7 وظائف الغشاء الدائري الاهتزازي و Bessel

7.7.2 فصل المتغيرات

7.7.3 مشاكل القيمة الذاتية (بعد واحد)

7.7.4 معادلة Bessel & # 39s التفاضلية

7.7.5 النقاط المفردة ومعادلة بيسل التفاضلية

7.7.6 وظائف Bessel وخصائصها المقاربة (قريب ض = 0)

7.7.7 مشكلة القيمة الذاتية التي تنطوي على وظائف Bessel

7.7.8 مشكلة القيمة الأولية لغشاء دائري مهتز

7.7.9 حالة متناظرة دائريًا

7.8 المزيد عن وظائف بيسيل

7.8.1 الخصائص النوعية لوظائف بيسيل

7.8.2 الصيغ المقاربة للقيم الذاتية

7.8.3 أصفار وظائف Bessel والمنحنيات العقدية

7.8.4 تمثيل سلسلة وظائف Bessel

7.9 معادلة لابلاس ورسكووس في أسطوانة دائرية

7.9.2 فصل المتغيرات

7.9.3 درجة حرارة صفرية على الجوانب الجانبية وفي الأسفل أو الأعلى

7.9.4 درجة حرارة الصفر في الأعلى والأسفل

7.9.5 وظائف Bessel المعدلة

7.10 مسائل كروية ومتعددة الحدود الأسطورية

7.10.2 فصل المتغيرات ومشكلات القيمة الذاتية أحادية البعد

7.10.3 وظائف الأسطورة المرتبطة ومتعددة الحدود الأسطورية

7.10.4 مشاكل القيمة الذاتية الشعاعية

7.10.5 حلول المنتج وأنماط الاهتزاز ومشكلة القيمة الأولية

7.10.6 معادلة لابلاس & # 39 s داخل تجويف كروي

8. مشاكل غير متجانسة

8.2 التدفق الحراري مع المصادر وظروف الحدود غير المتجانسة

8.3 طريقة توسيع الوظيفة الذاتية مع شروط حدية متجانسة (تمييز سلسلة الوظائف الذاتية)

8.4 طريقة توسيع الوظيفة الذاتية باستخدام صيغة Green & rsquos (مع أو بدون شروط حدية متجانسة)

8.5 أغشية الاهتزاز القسري والرنين

9. وظائف Green & rsquos لمشاكل مستقلة عن الوقت

9.2 معادلة الحرارة أحادية البعد

9.3 دالات Green & rsquos لمشكلات القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية العادية

9.3.1 معادلة الحرارة الثابتة أحادية البعد

9.3.2 طريقة اختلاف المعلمات

9.3.3 طريقة توسيع الوظيفة الذاتية لوظائف Green & # 39 s

9.3.4 دالة دلتا ديراك وعلاقتها بوظائف Green & # 39 s

9.3.5 شروط الحدود غير المتجانسة

9.4 وظائف Fredholm البديلة والمعممة Green & rsquos

9.4.3 وظائف Green & # 39s المعممة

9.5 وظائف Green & rsquos لمعادلة Poisson & rsquos

9.5.2 وظيفة ديراك دلتا متعددة الأبعاد ووظائف Green & # 39 s

9.5.3 وظائف Green & # 39s من خلال طريقة توسيع الوظيفة الذاتية وبديل فريدهولم

9.5.4 الحل المباشر لوظائف Green & # 39 s (وظائف ذاتية أحادية البعد)

9.5.5 استخدام وظائف Green & # 39 s للمشكلات ذات الشروط الحدودية غير المتجانسة

9.5.6 وظائف الفضاء اللانهائي الأخضر & # 39 s

9.5.7 وظائف Green & # 39s للنطاقات المحدودة باستخدام وظائف Space Green & # 39s اللانهائية

9.5.8 وظائف خضراء و 39 ثانية لطائرة شبه لانهائية (ذ & gt 0) استخدام وظائف Infinite Space Green & # 39s: طريقة الصور

9.5.9 وظائف Green & # 39 s للدائرة: طريقة الصور

9.6 مشاكل القيمة الذاتية المضطربة

9.6.3 غشاء اهتزازي دائري تقريبًا

10. مشاكل المجال اللانهائي: حلول تحويل فورييه للمعادلات التفاضلية الجزئية

10.2 معادلة الحرارة على مجال لانهائي

10.3 زوج تحويل فورييه

10.3.1 الدافع من هوية سلسلة فورييه

10.3.3 تحويل فورييه المعكوس لشكل جاوس

10.4 تحويل فورييه ومعادلة الحرارة

10.4.2 فورييه تحويل معادلة الحرارة: تحويلات المشتقات

10.4.4 ملخص خصائص تحويل فورييه

10.5 تحويلات فورييه الجيب وجيب التمام: معادلة الحرارة على فترات شبه لانهائية

10.5.2 معادلة الحرارة على فاصل زمني شبه لانهائي

10.5.3 تحويلات فورييه الجيب وجيب التمام

10.5.4 تحولات المشتقات

10.5.5 معادلة الحرارة على فاصل زمني شبه لانهائي II

10.5.6 جداول تحويلات فورييه الجيب وجيب التمام

10.6 الأمثلة العملية باستخدام التحويلات

10.6.1 معادلة موجية أحادية البعد في فترة لانهائية

10.6.2 معادلة لابلاس & # 39 ثانية في قطاع شبه لانهائي

10.6.3 معادلة لابلاس & # 39 ثانية في نصف مستوى

10.6.4 معادلة لابلاس & # 39 ثانية في ربع مستوى

10.6.5 معادلة الحرارة في مستوى (تحويلات فورييه ثنائية الأبعاد)

10.6.6 جدول تحويلات فورييه المزدوج

10.7 التشتت والعكس

11. وظائف Green & rsquos لمعادلات الموجة والحرارة

11.2 دالات Green & rsquos لمعادلة الموجة

11.2.4 استخدام وظيفة Green & # 39 s

11.2.5 وظيفة Green & # 39s لمعادلة الموجة

11.2.6 معادلة تفاضلية بديلة لوظيفة Green & # 39 s

11.2.7 وظيفة Infinite Space Green & # 39s لمعادلة الموجة أحادية البعد وحل d & rsquoAlembert & # 39s

11.2.8 وظيفة Infinite Space Green & # 39s لمعادلة الموجة ثلاثية الأبعاد (مبدأ Huygens & rsquo)

11.2.9 وظيفة ثنائية الأبعاد لانهائية الفضاء الأخضر & # 39 s

11.3 دالتا Green & rsquos لمعادلة الحرارة

11.3.2 طبيعة غير ذاتية التكافؤ لمعادلة الحرارة

11.3.4 وظيفة Adjoint Green & # 39 s

11.3.6 تمثيل الحل باستخدام وظائف Green & # 39s

11.3.7 معادلة تفاضلية بديلة لوظيفة Green & # 39 s

11.3.8 وظيفة Infinite Space Green & # 39s لمعادلة الانتشار

11.3.9 وظيفة Green & # 39s لمعادلة الحرارة (المجال شبه اللانهائي)

11.3.10 وظيفة Green & # 39s لمعادلة الحرارة (على منطقة محدودة)

12. طريقة خصائص معادلات الموجة الخطية وشبه الخطية

12.2 خصائص معادلات الموجة من الدرجة الأولى

12.2.2 طريقة الخصائص للمعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى

12.3 طريقة الخصائص لمعادلة الموجة أحادية البعد

12.3.2 مشكلة القيمة الأولية (المجال اللانهائي)

12.4 سلاسل وانعكاسات شبه لانهائية

12.5 طريقة الخصائص لسلسلة اهتزازية بطول ثابت

12.6 طريقة الخصائص للمعادلات التفاضلية الجزئية شبه الخطية

12.6.1 طريقة الخصائص

12.6.3 طريقة الخصائص (س=0)

12.7 معادلات تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الأولى

12.7.1 معادلة إيكونال مشتقة من معادلة الموجة

12.7.2 حل معادلة إيكونال في الوسائط الموحدة والأمواج المنعكسة

12.7.3 معادلات تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الأولى

13. حل لابلاس لتحويل المعادلات التفاضلية الجزئية

13.2 خصائص تحويل لابلاس

13.2.2 تفردات تحويل لابلاس

13.2.3 تحولات المشتقات

13.3 دالات Green & rsquos لمشكلات القيمة الأولية للمعادلات التفاضلية العادية

13.4 مشكلة إشارة لمعادلة الموجة

13.5 مشكلة إشارة لسلسلة اهتزازية بطول محدود

13.6 معادلة الموجة ودالتها الخضراء و rsquos

13.7 انعكاس تحويلات لابلاس باستخدام تكاملات الكنتور في المستوى المركب

13.8 حل معادلة الموجة باستخدام تحويلات لابلاس (بمتغيرات معقدة)

14. الموجات المشتتة: الاختلافات البطيئة ، الاستقرار ، اللاخطية ، وطرق الاضطراب

14.2 الموجات المشتتة وسرعة المجموعة

14.2.1 الموجات المتحركة وعلاقة التشتت

14.3.1 الاستجابة للمصادر الدورية المركزة مع التردد & # 969f

14.3.2 وظيفة Green & # 39 s في حالة انتشار الوضع

14.3.3 وظيفة Green & # 39s في حالة عدم انتشار الوضع

14.3.4 اعتبارات التصميم

14.5 سرعة المجموعة II وطريقة المرحلة الثابتة

14.5.1 طريقة المرحلة الثابتة

14.5.2 التطبيق على الموجات المشتتة الخطية

14.6 الموجات المشتتة المتغيرة ببطء (سرعة المجموعة والمواد الكاوية)

14.6.1 الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية المشتتة

14.6.2 تكوين مادة كاوية

14.7 معادلات الظرف الموجي (رقم الموجة المركزة)

14.7.2 معادلة Korteweg-de Vries الخطية

14.7.3 الموجات المشتتة غير الخطية: معادلة Korteweg-deVries

14.7.4 سولتون ونثر عكسي

14.7.5 معادلة Schr و oumldinger اللاخطية

14.8 الاستقرار وعدم الاستقرار

14.8.1 معادلات تفاضلية عادية وجيزة ونظرية التشعب

14.8.2 مثال أولي للتوازن المستقر لمعادلة تفاضلية جزئية

14.8.3 التوازن النموذجي غير المستقر للمعادلة التفاضلية الجزئية وتشكيل النمط

14.8.5 الموجات المشتتة غير المستقرة قليلاً ومعادلة جينزبورغ-لانداو المعقدة الخطية

14.8.6 معادلة جينزبورغ-لانداو المركبة غير الخطية

14.8.7 عدم استقرار الموجة الطويلة

14.8.8 تشكيل النموذج لمعادلات الانتشار والتفاعل وعدم استقرار تورينج

14.9 طرق الاضطراب الفردي: مقاييس متعددة

14.9.1 معادلة تفاضلية عادية: مذبذب ضعيف غير خطي

14.9.2 معادلة تفاضلية عادية: مذبذب متغير ببطء

14.9.3 معادلة تفاضلية جزئية غير مستقرة قليلاً في المجال المكاني الثابت

14.9.4 متوسط ​​متغير ببطء لمعادلة الموجة

14.9.5 الموجات المشتتة الخطية المتغيرة ببطء (بما في ذلك التأثيرات غير الخطية الضعيفة)

14.10 طرق الاضطراب الفردي: طريقة الطبقات الحدودية للتوسعات المقاربة المتطابقة

14.10.1 طبقة حدية في معادلة تفاضلية عادية

14.10.2 انتشار ملوث يسيطر عليه الحمل الحراري

إجابات على التدريبات المميزة بنجمة


Scipy.integrate.solve_bvp¶

تحل هذه الوظيفة عدديًا نظام من الدرجة الأولى لـ ODEs تخضع لشروط حد نقطتين:

هنا x متغير مستقل 1-D ، y (x) هي دالة ذات قيمة متجه N-D و p متجه k-D لمعلمات غير معروفة يمكن العثور عليها مع y (x). لكي يتم تحديد المشكلة ، يجب أن تكون هناك شروط حدية n + k ، أي يجب أن تكون bc دالة (n + k) -D.

المصطلح الأخير المفرد على الجانب الأيمن من النظام اختياري. يتم تعريفه بواسطة مصفوفة n-by-n S ، بحيث يجب أن يفي الحل S y (a) = 0. سيتم فرض هذا الشرط أثناء التكرارات ، لذلك يجب ألا يتعارض مع شروط الحدود. انظر [2] لمعرفة كيفية التعامل مع هذا المصطلح عند حل قيم BVP عدديًا.

يمكن أيضًا حل المشكلات في المجال المعقد. في هذه الحالة ، تعتبر y و p معقدة ، ويفترض أن تكون f و bc دالات ذات قيمة معقدة ، لكن x تظل حقيقية. لاحظ أن f و bc يجب أن يكونا قابلين للتفاضل معقدًا (تحقق معادلات Cauchy-Riemann [4]) ، وإلا عليك إعادة كتابة مشكلتك للأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل. لحل مشكلة في مجال معقد ، مرر تخمينًا أوليًا لـ y بنوع بيانات معقد (انظر أدناه).

حدود مرح قابل للاستدعاء

الجانب الأيمن من النظام. توقيع الاستدعاء ممتع (س ، ص) ، أو ممتع (س ، ص ، ع) إذا كانت المعلمات موجودة. جميع الوسيطات هي ndarray: x بالشكل (m ،) ، y بالشكل (n ، m) ، مما يعني أن y [:، i] يتوافق مع x [i] ، و p بالشكل (k ،). يجب أن تكون قيمة الإرجاع مصفوفة ذات شكل (n ، m) وبنفس تخطيط y.

قبل الميلاد قابل للاستدعاء

وظيفة تقييم المخلفات من شروط الحدود. توقيع الاستدعاء هو bc (ya، yb) أو bc (ya، yb، p) إذا كانت المعلمات موجودة. جميع الوسائط هي ndarray: ya و yb بالشكل (n ،) ، و p بالشكل (k ،). يجب أن تكون قيمة الإرجاع مصفوفة ذات شكل (n + k).

x صفيف_مثل ، شكل (م ،)

الشبكة الأولية. يجب أن تكون سلسلة متزايدة بشكل صارم من الأعداد الحقيقية مع x [0] = a و x [-1] = b.

ذ صفيف_مثل ، شكل (ن ، م)

التخمين الأولي لقيم الوظيفة في العقد الشبكية ، العمود ith يتوافق مع x [i]. للمشاكل في تمرير المجال المعقد ذ بنوع بيانات معقد (حتى لو كان التخمين الأولي حقيقيًا تمامًا).

ص array_like مع الشكل (k ،) أو لا شيء ، اختياري

التخمين الأولي للمعلمات غير المعروفة. في حالة عدم وجود (افتراضي) ، فمن المفترض أن المشكلة لا تعتمد على أي معلمات.

س array_like مع الشكل (n ، n) أو لا شيء

مصفوفة تحدد المصطلح المفرد. في حالة عدم وجود (افتراضي) ، يتم حل المشكلة بدون المصطلح المفرد.

fun_jac قابل للاستدعاء أو لا شيء ، اختياري

المشتقات الحسابية الوظيفية للدالة f بالنسبة إلى y و p. توقيع الاستدعاء هو fun_jac (x ، y) ، أو fun_jac (x ، y ، p) إذا كانت المعلمات موجودة. يجب أن يحتوي الإرجاع على عنصر واحد أو عنصرين بالترتيب التالي:

  • df_dy: array_like مع الشكل (n ، n ، m) ، حيث العنصر (i، j، q) يساوي d f_i (x_q، y_q، p) / d (y_q) _j.

  • df_dp: array_like مع الشكل (n، k، m) ، حيث العنصر (i، j، q) يساوي d f_i (x_q، y_q، p) / d p_j.

هنا q عدد العقد التي يتم فيها تعريف x و y ، بينما مكونات متجه رقم i و j. إذا تم حل المشكلة بدون معلمات غير معروفة ، فلا يجب إرجاع df_dp.

لو fun_jac لا شيء (افتراضي) ، سيتم تقدير المشتقات من خلال الفروق المحدودة الآجلة.

bc_jac قابل للاستدعاء أو لا شيء ، اختياري

مشتقات حساب دالة لـ bc بالنسبة لـ ya و yb و p. توقيع الاستدعاء هو bc_jac (ya، yb) أو bc_jac (ya، yb، p) إذا كانت المعلمات موجودة. يجب أن يحتوي الإرجاع على 2 أو 3 عناصر بالترتيب التالي:

  • dbc_dya: array_like بالشكل (n، n) ، حيث العنصر (i، j) يساوي d bc_i (ya، yb، p) / d ya_j.

  • dbc_dyb: array_like مع الشكل (n، n) ، حيث العنصر (i، j) يساوي d bc_i (ya، yb، p) / d yb_j.

  • dbc_dp: array_like مع الشكل (n، k) ، حيث العنصر (i، j) يساوي d bc_i (ya، yb، p) / d p_j.

إذا تم حل المشكلة بدون معلمات غير معروفة ، فلا يجب إرجاع dbc_dp.

لو bc_jac لا شيء (افتراضي) ، سيتم تقدير المشتقات من خلال الفروق المحدودة الآجلة.

tol تعويم اختياري

التسامح المطلوب من الحل. إذا حددنا r = y '- f (x ، y) ، حيث y هو الحل الذي تم العثور عليه ، فسيحاول المحلل تحقيقه على كل معيار فاصل شبكي (r / (1 + abs (f)) & lt tol ، حيث القاعدة هي مقدرة بالمعنى الجذر التربيعي (باستخدام الصيغة العددية التربيعية). الافتراضي هو 1e-3.

max_nodes int ، اختياري

العدد الأقصى المسموح به لعقد الشبكة. إذا تم تجاوزها ، تنتهي الخوارزمية. الافتراضي هو 1000.

مطول <0 ، 1 ، 2> ، اختياري

مستوى إسهاب الخوارزمية:

  • 0 (افتراضي): العمل بصمت.

  • 1: عرض تقرير الإنهاء.

  • 2: عرض التقدم أثناء التكرارات.

التسامح المطلق المطلوب لبقايا حالة الحدود: قبل الميلاد يجب أن تلبي القيمة abs (bc) & lt bc_tol-wise. يساوي tol بشكل افتراضي. يُسمح بما يصل إلى 10 تكرارات لتحقيق هذا التسامح.

يُرجع كائن Bunch مع الحقول التالية المحددة: سول PPoly

تم العثور على حل لـ y كـ scipy.interpolate.PPoly ، شريحة مكعبة مستمرة C1.

ص ndarray أو لا شيء ، شكل (ك ،)

تم العثور على المعلمات. لا شيء ، إذا لم تكن المعلمات موجودة في المشكلة.

x ndarray ، الشكل (م ،)

ذ ndarray ، شكل (n ، m)

قيم الحل في العقد الشبكية.

نعم ndarray ، شكل (n ، m)

مشتقات الحل عند العقد الشبكية.

rms_residuals ndarray ، الشكل (م - 1 ،)

قيم RMS للمخلفات النسبية على كل فترة شبكة (انظر وصف tol معامل).

عدد التكرارات المكتملة.

الحالة int

سبب إنهاء الخوارزمية:

  • 0: تقاربت الخوارزمية إلى الدقة المطلوبة.

  • 1: تم تجاوز الحد الأقصى لعدد العقد المتداخلة.

  • 2: يعقوبي مفرد واجهته عند حل نظام التجميع.

الوصف اللفظي لسبب الإنهاء.

النجاح منطقي

صحيح إذا تقاربت الخوارزمية إلى الدقة المطلوبة (الحالة = 0).

تنفذ هذه الوظيفة خوارزمية التجميع من الدرجة الرابعة مع التحكم في المخلفات المشابهة لـ [1]. يتم حل نظام التجميع عن طريق طريقة نيوتن المخمد مع وظيفة معيار غير متغير كما هو موصوف في [3].

لاحظ أنه في [1] يتم تعريف القيم المتبقية دون التطبيع بواسطة أطوال الفترات. لذلك ، يختلف تعريفهم بمضاعف h ** 0.5 (h طول الفاصل) عن التعريف المستخدم هنا.

J. Kierzenka، L. F. Shampine، "A BVP Solver Based on Residual Control and Maltab PSE"، ACM Trans. رياضيات. Softw. ، المجلد. 27، Number 3، pp.299-316، 2001.

LF Shampine ، P. H. Muir and H. Xu ، “A User-Friendly Fortran BVP Solver”.

يو آشر ، ر. ماثيج ، ر. راسل "الحل العددي لمشاكل القيمة الحدودية للمعادلات التفاضلية العادية".

في المثال الأول ، نحل مشكلة براتو:

نعيد كتابة المعادلة كنظام من الدرجة الأولى وننفذ تقييمها الأيمن:

تنفيذ تقييم مخلفات حالة الحدود:

حدد الشبكة الأولية بـ 5 عقد:

من المعروف أن هذه المشكلة لها حلين. للحصول على كلاهما ، نستخدم تخمينين أوليين مختلفين لـ y. نشير إليها بالرقمين a و b.

الآن نحن جاهزون لتشغيل الحل.

دعونا نرسم الحلين الموجودين. نحن نستفيد من وجود الحل في شكل خدد لإنتاج قطعة أرض سلسة.

نرى أن الحلين لهما شكل متشابه ، لكنهما يختلفان في الحجم بشكل كبير.

في المثال الثاني ، نحل مشكلة Sturm-Liouville البسيطة:

من المعروف أن الحل غير التافه y = A * sin (k * x) ممكن لـ k = pi * n ، حيث n عدد صحيح. لإنشاء ثابت التطبيع A = 1 نضيف شرطًا حدوديًا:

مرة أخرى ، نعيد كتابة معادلتنا كنظام من الدرجة الأولى وننفذ تقييم الجانب الأيمن:

لاحظ أن المعلمات p يتم تمريرها كمتجه (مع عنصر واحد في حالتنا).

تنفيذ شروط الحدود:

قم بإعداد الشبكة الأولية والتخمين لـ y. نهدف إلى إيجاد الحل لـ k = 2 * pi ، لتحقيق ذلك قمنا بتعيين قيم y لتتبع الخطيئة تقريبًا (2 * pi * x):


5.1: مشاكل Sturm-Liouville

ملاحظة *: لم أقم بإجراء تغييرات على هذا الرمز منذ نهاية شهادة الدكتوراه (ديسمبر 2016). لا توجد ضمانات.

الغرض من حزمة Julia هذه هو توفير حزمة حلول فعالة لقيم eigenvalue التفاضلية ذات الأغراض العامة السريعة ، ودعم الفاصل المتعارف عليه ، والمجالات شبه اللانهائية واللانهائية لمشاكل Sturm-Liouville. تستخدم الخوارزمية التالية طريقة التجميع المزدوج الأسي. تسمح هذه الحزمة للمستخدم بالنظر في المجالات الأخرى عن طريق إعلان مثيل جديد من نوع SincFun المجال.

تحسب الوظيفة الأساسية لهذه الوحدة القيم الذاتية لمشكلة Sturm-Liouville العامة بالشكل:

في هذه الخوارزمية ، نستخدم التحويل الذي طوره Eggert et al. في المرجع [1]. ينتج عن هذا التحول مشكلة القيمة الذاتية المعممة المتماثلة والتي يتم تعريفها على النحو التالي:

انظر المرجع [2] لمزيد من التفاصيل عن شكل qtilde (x) و ρtilde (x).

يتم استخدام مجال النوع للاختيار من الخرائط المطابقة اعتمادًا على مجال المشكلة ومعدل الانحلال لحل P1.

بالنسبة لمشكلات S-L في مجال محدود ، أنا = (أ ، ب) مع الاضمحلال الجبري عند نقاط النهاية: المجال = منتهي (أ ، ب).

لمشكلات S-L في مجال لانهائي I = (- ∞، ∞) مع الاضمحلال الجبري عند نقاط النهاية: المجال = لانهائي 1() .

بالنسبة لمشكلات S-L على مجال لا نهائي ، أنا = (- ∞ ، ∞) مع انحلال أسي واحد عند نقاط النهاية: المجال = اللانهائي 2() .

بالنسبة لمشكلات S-L في مجال شبه لانهائي I = (0، ∞) مع تسوس أسي واحد عند اللانهاية والانحلال الجبري عند 0: المجال = SemiInfinite1() .

لاستخدام هذه الحزمة ، يكتب بمجرد ما يلي:

الوظيفة الرئيسية لهذه الحزمة هي SincEigen. تحسب هذه الوظيفة القيم الذاتية لـ Sturm-Liouville (P1) باستخدام طريقة Sinc-Collocation المزدوجة. للحصول على أفضل النتائج ، يجدر إجراء تحليل مقارب لمحلول P2. سيؤدي التحليل الناتج إلى الحدود التالية للثوابت βL و βR و γL و R و gt0:

يتم استخدام المعلمات βL ، βR ، L ، γR في حساب حجم الشبكة ، h ، لـ DESCM.

معلمة مهمة أخرى تشارك في حسابات حجم الشبكة لـ DESCM هي عرض ، d ، للشريط D_ . دع S تشير إلى مجموعة التفردات المعقدة للوظائف qtilde (x) و ρtilde (x): S = دعنا نشير إلى الجزء التخيلي الإيجابي من أقرب تفرد إلى المحور الحقيقي: s = min | انا | ، ثم d = min ، ق>.

النتيجة من استخدام الوظيفة الرئيسية SincEigen هي كائن DESincEig.SincResults يحتوي على خمسة مكونات مختلفة.

لنفترض أننا مهتمون بحساب القيم الذاتية لمعادلة لاجير:

نستخدم وظيفة الحزمة SincEigen لحساب قيم eigenvalues:

لنفترض أننا مهتمون بحساب القيم الذاتية للطاقة E لمعادلة شرودنغر:


على البنية الذاتية لمشكلة Sturm-Liouville مع شرط حد المعاوقة.

تمت دراسة الخصائص الهيكلية للقيم الذاتية والوظائف الذاتية لمشكلة Sturm-Liouville مع حالة حد مقاومة هنا. يستلزم هذا شرط حد Robin مع معلمة حد معقدة. يتم توفير فحوى التحقيق الحالي من خلال تعيين مشاكل Neumann إلى Dirichlet eigen التي يتم الحصول عليها نظرًا لأن معلمة الحدود المعقدة تختلف من صفر إلى نقطة عند اللانهاية على طول اتجاه ثابت في المستوى المعقد. يتم استكشاف خصائص مختلفة من وظائف الطيف والوظائف النمطية.

تصنيف موضوع AMS: 34B24 ، 34L05 ، 34M25. الكلمات المفتاحية: مشكلة Sturm-Liouville ، شرط حد المعاوقة ، مشكلة قيمة حد غير ذاتية.

هنا ، نستكشف البنية الذاتية لمشكلة قيمة حدود Sturm-Liouville (SL-BVP) مع شرط حد المعاوقة (IBC)

u "(x) + [lambda] xu (x) = 0، 0 & lt x & lt L، u '(0) - [sigma] xu (0) = 0، u' (L) + [sigma] xu (L ) = 0. (1.1)

معلمة الحدود المعقدة [sigma] = [[sigma] .sub.R] + [؟؟] x [[sigma] .sub.I] يفترض أن لها نفس القيمة في كلا طرفي الفترة J = [0 ، لام]. سيقتصر الاهتمام على هذه الحالة لأنها الأكثر صلة بامتداد نتائج البنية الذاتية للمثلث متساوي الأضلاع [4 ، 5] من القيم الحقيقية إلى المعقدة لـ [سيجما] والتي توفر الدافع للمثلث الحالي- دراسة الأبعاد.

يوضح الشكل 1 مشكلة الدليل الموجي المتوازي للوحة التي تؤدي إلى SL-BVP ، المعادلة (1.1). إما موجة صوتية [8 ، ص 485-496] أو موجة كهرومغناطيسية [3 ، ص 81-84] موجة توافقية زمنية للتردد الزاوي [أوميغا] تنتشر في الاتجاه z بدون تغيير مجال في الاتجاه y. معلمة المواد المعقدة [سيغما] مرتبطة بمقاومة الجدار التي تمثل اختراق المجال في جدران الدليل الموجي. بعد حل SL-BVP للقيمة الذاتية [lambda] والوظيفة الذاتية المقابلة (الوضع) u (x) ، يمكن إعادة بناء المجال المادي الحقيقي

نشأ نفس SL-BVP في دراسة الوتر المهتز مع إزاحة جانبية للدعامات الطرفية [6 ، ص 133-134].

يهتم الكثير من الأدبيات الرياضية الحالية المكرسة لـ SL-BVPs بشكل أساسي بالحالة الذاتية [1 ، 10]. ومع ذلك ، فإن SL-BVP الموصوفة في المعادلة (1.1) غير ذاتي الالتفاف للقيم المعقدة لـ [سيجما]. لحسن الحظ ، يتم توفير مرجع كلاسيكي حول الحالة غير المرتبطة بذاتها بواسطة [2 ، ص 298-305] حيث يتضح أن هذه المشكلة تختزل في دراسة حلول معادلة متعالية مفردة.

فيما يلي سنشتق هذه المعادلة المتعالية وندرسها بشكل شامل. سيكون التركيز الأساسي على ما يحدث للبنية الذاتية لمشكلة نيومان ([سيجما] = 0) حيث تتقدم [سيجما] على طول الأشعة المنبثقة من الأصل باتجاه النقطة اللانهائية في المستوى المعقد. سنجد ، في الغالب ، أن هناك تماثلًا طبيعيًا يربط بين أوضاع نيومان وأنماط مشكلة ديريتشليت المقابلة (أوضاع IBC-Dirichlet). ومع ذلك ، سوف نظهر أنه في ظل الظروف المناسبة ، سيكون هناك قيمتان من قيم نيومان الذاتية التي ليس لها نظير ديريتشليت. إن تحديد الطبيعة الدقيقة لهذه القيم الذاتية الأخيرة جنبًا إلى جنب مع تلك الخاصة بوظائفها الذاتية المقابلة ("الأنماط المفقودة") هو الشغل الشاغل لهذا التحقيق.

2. حل مشكلة شتورم-ليوفيل

بتجاهل شروط الحدود ، يكون الحل العام للمعادلة (1.1) هو

u (x) = cos (v [pi] x / L - [دلتا]) ، [لامدا] = [(v [pi] / L). sup.2]. (2.1)

تطبيق شرط الحدود عند x = 0 ينتج عنه

في حين أن فرض شرط الحدود عند x = L ينتج عنه

تان (v [pi] - [دلتا]) = [سيجما] L / v [باي]. (2.3)

يمكن دمج المعادلتين (2.2) و (2.3) لإنتاج المعادلة التجاوزية

(2 [دلتا] + ن [باي]) تان ([دلتا]) = [سيجما] L ، v = 2 [دلتا] / [باي] + ن (2.4)

لاحظ أنه في المعادلة (1.1) عندما [سيغما] [السهم الأيمن] 0 نستعيد مشكلة نيومان ، u '(0) = 0 = u' (L) ، التي حلها ، u (x) = [N.sub.n ] (x): = cos (n [pi] x / L) ، يتم الحصول عليها من المعادلة (2.4) مع [دلتا] = 0 [؟؟] v = n. وبالتالي ، قد ننظر إلى [سيجما] بشكل مربح كمعامل استمراري يوفر تماثلًا يمتد من هذه المشكلة المفهومة جيدًا إلى حالة حدود الممانعة. خلال التطوير اللاحق سنستفيد من هذه الملاحظة المهمة.

علاوة على ذلك ، لاحظ أنه إذا ظل المشتق العادي مقيدًا ، فإن [سيجما] [السهم الأيمن] [اللانهاية] ينتج عنه مشكلة ديريتشليت ، u (0) = 0 = u (L) ، التي حلها ، u (x) = [+ أو - ] [D. فرعية. [n [+ أو -] 1] (x): = [+ أو -] الخطيئة ((n [+ أو -] 1) [pi] x / L) ، يتم الحصول عليها من المعادلة (2.4 ) مع [delta] = [+ أو -] [pi] 2) v = n [+ أو -] 1. في هذه الحالة ، قد يتم تمديد التماثل ليقود من وضع Neumann إلى وضع Dirichlet المقابل. كما سيتم توضيحه لاحقًا ، بالنسبة لشرط حدود الممانعة ، يكون هذا عادةً ، على الرغم من أنه ليس دائمًا بأي حال من الأحوال.

إدخال z: = [دلتا] + n [pi] / 2 في المعادلة (2.4) يقللها إلى

إذا كان n غريبًا. يمكن بعد ذلك دراسة هاتين الحالتين بشكل منفصل عن التمثيل الرسومي للتحولات المعقدة الخاصة بكل منهما [8 ، ص. 909].

ومع ذلك ، في حالة المثلث متساوي الأضلاع [4 ، 5] وهو هدفنا النهائي ، فإن هذا التخفيض غير متاح. وبالتالي ، سيتم تقريب المعادلة (2.4) نفسها عدديًا باستخدام MATLAB. سيسمح لنا هذا بتتبع المسارات في المستوى المعقد [دلتا] أو ، على نحو مكافئ ، في المستوى المعقد على شكل v نظرًا لتنوع معلمة الحدود المعقدة [سيغما].

كما هو موضح في الشكل 2 ، بدءًا من [سيجما] = 0 (مشكلة نيومان) ، سنسمح لـ [سيجما] بالتحرك على طول شعاع مائل بزاوية [ثيتا] إلى الأفقي باتجاه النقطة عند اللانهاية. يمكننا بعد ذلك تتبع مسار كل قيمة ذاتية لـ Neumann من أجل تحديد ما إذا كانت تقترب في النهاية من قيمة Dirichlet eigenvalue (في هذه الحالة ستسمى وضع IBC-Dirichlet) أو تهاجر إلى ما لا نهاية (وفي هذه الحالة سيتم تسميتها "مفقودة" وضع"). سنجد في النهاية أن هذين هما النوعان الوحيدان المحتملان للسلوك المقارب.

3. خصائص حل SL-BVP / IBC

قبل إنشاء تصنيف للطبيعة المقاربة للبنية الذاتية لـ SL-BVP مع IBC مثل [سيغما] [السهم الأيمن] [اللانهاية] (في ذلك الوقت ، ستصبح الرموز الغامضة في الشكل 2 مفهومة) ، يتعين علينا الفهرس الأول لبعض الخصائص المهمة للقيم الذاتية والوظائف الذاتية للمعادلة (1.1).

نبدأ بملاحظة أنه بدون فقدان العمومية ، قد نقتصر انتباهنا على الحالة Im ([sigma]) [أكبر من أو يساوي] 0 لأنه ، من خلال أخذ اقترانات معقدة في المعادلة (2.4) ، نجد أن [ سيجما] [؟؟] [بار. [سيجما]] [؟؟] [دلتا] [؟؟] [بار. [دلتا]] [؟؟] v [؟؟] [bar.v]. وبالتالي ، في حالة وجود Im ([sigma]) & lt 0 ، فيمكننا الحصول على مسارات في مستوى [دلتا] أو مستوى v عن طريق الانعكاس حول المحور الحقيقي للمسارات المقابلة لـ [شريط. [سيغما]].

علاوة على ذلك ، فإن أخذ الاتحادات المعقدة في المعادلة (1.1) نفسها يكشف أن [سيجما] [؟؟] [بار. [سيجما]] [؟؟] [لامدا] [؟؟] [بار. [لامدا]] =: [مو] ، u (x) [؟؟] [bar.u] (x) =: v (x) حيث تشكل [mu] و v (x) الحل لمشكلة القيمة الحدية المجاورة

نظرًا لأن SL-BVP غير مساعد ذاتيًا لـ [سيجما] المعقدة ، يمكن أن تكون القيم الذاتية والوظائف الذاتية معقدة ، والأهم من ذلك ، أن الوظائف الذاتية المقابلة لقيم ذاتية مميزة ليست بالضرورة متعامدة فيما يتعلق بالمنتج الداخلي المعقد & lt f (x) g (x) & gt: = [[integ.sup.L.sub.0] f (x) [bar.g] (x) dx. ومع ذلك ، لدينا علاقة التعامد الحيوي التي تتضمن الدوال الذاتية لمشكلة القيمة الحدودية ، المعادلة (1.1) ، وتلك الخاصة بمشكلة القيمة الحدية المصاحبة ، المعادلة (3.1) ،

& lt [u.sub.p] (x)، [v.sub.q] (x) & gt: = [[تكامل] .sup.L.sub.0] [u.sub.p] (x) [[ bar.v] .sub.q] (x) dx = 0. (3.2)

في المقابل ، هذا يوفر لنا توسع eigenfunction

f (x) = [[infinity] .summation over (k = 1)] & lt f (x)، [v.sub.k] (x) & gt [u.sub.k] (x)، (3.3)

حيث تتقارب المتسلسلة في متوسط ​​f (x) [عضو في] [L.sup.2] (0، L) [2، pp. 310-312].

لقد رأينا بالفعل عبر المعادلتين (2.5) و (2.6) أن الأوضاع تقسم بشكل طبيعي وفقًا لتكافؤ n. هذه الحقيقة تم تأكيدها من قبل

النظرية 1 إن أوضاع الأرقام الزوجية / الفردية متماثلة / غير متماثلة ، على التوالي ، على الفاصل الزمني [0 ، L] لجميع قيم [سيجما].

دليل - إثبات. يمكن إعادة صياغة المعادلة (3) كـ [u.sub.n] (x) = cos (v [pi] / L (x - L / 2) + n [pi / 2). وبالتالي ، إذا كان n زوجي / فردي ، فإن [u.sub.n] (x) هو جيب تمام / جيب ، على التوالي ، متمركز عند x = L / 2.

في حالة [سيجما] الحقيقي ، تمت معالجة البنية الذاتية لـ SL-BVP مع IBC المحددة بواسطة المعادلة (1.1) بشكل شامل في [9 ، ص 90-98]. كنقطة انطلاق لدراسة حالة المركب [سيجما] في القسم التالي ، نراجع هنا أبرز تلك النتائج.

عندما تكون [سيجما] حقيقية ، تكون المشكلة ذاتية المعايرة بحيث تكون القيم الذاتية حقيقية ويمكن أيضًا اختيار وظائف eigen لتكون حقيقية. علاوة على ذلك ، فإن الدوال الذاتية المتوافقة مع القيم الذاتية المتميزة متعامدة فيما يتعلق بالمنتج الداخلي الحقيقي & lt f (x) g (x) & gt: = [[integ.sup.L.sub.0] f (x) g (x) dx. نظرًا لسلوكياتهم المختلفة جدًا ، فإننا نتعامل مع الحالات [سيجما] [أكبر من أو تساوي] 0 و [سيجما] & lt 0 بشكل منفصل. سنرى في النهاية أنها ، مجتمعة ، تعرض السلوكيات المميزة المعروضة في الحالة العامة لـ [سيجما] المعقدة.

في ما يلي ، نشير إلى اعتماد القيم الذاتية والوظائف الذاتية على [سيجما] بواسطة [[لامدا]. sub.n] ([سيجما]) = [(v ([سيغما]) [باي] / L). sup. 2] و un (x [sigma]) ، على التوالي ، لـ n = 0 ، 1 ،. يتم اختيار الرمز n بحيث يتم تقليل القيم المقابلة لمسألة Neumann عند [sigma] = 0 ، [d.sub.n] (0) = 0 [؟؟] [v.sub.n] (0) = n و [u.sub.n] (x 0) = [N.sub.n] (x): = cos (n [pi] x / L). أيضا ، مشكلة ديريتشليت لها نفس القيم الذاتية [[lambda] .sub.n] (0) ولكن مع القيد n = 1، 2،. ويتم الإشارة إلى وظائفها الذاتية المقابلة بواسطة un (x 0) = [D.sub.n] (x): = sin (n [pi] x / L).

4.1 الحالة [سيجما] [أكبر من أو تساوي] 0

حالة حدود الإشعاع ([sigma] & gt 0) هي الأبسط إلى حد بعيد من حيث أن القيم الذاتية ليست حقيقية فقط ولكنها في الواقع كلها إيجابية. علاوة على ذلك ، n & lt [[upsilon] .sub.n] ([سيجما]) & lt n + 1. كما أنها تمتلك أبسط سلوك مقارب في ذلك

[التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.].(4.1)

هذا هو ، وضع نيومان [N.sub.n] (x) "يتحول" بشكل تحليلي إلى وضع Dirichlet [D.sub.n + 1] (x) مثل [سيجما] يتراوح من 0 إلى [ما لا نهاية]. هذا موضح في الشكل 3 الذي يعرض هذا التناظر بين الأوضاع الأساسية (n = 0) للصفر [أقل من أو يساوي] [سيجما] [أقل من أو يساوي] - [اللانهاية].

حالة حالة حدود الامتصاص ([سيجما] & lt 0) أكثر تعقيدًا من حيث أن القيم الذاتية بينما لا تزال حقيقية لم تعد جميعها إيجابية. ومع ذلك ، بالنسبة إلى n = 2 ، 3 ،. لدينا n - 1 & lt [v.sub.n] ([sigma]) & lt n. تمتلك هذه الأنماط المزعومة IBC-Dirichlet السلوك المقارب البسيط الذي وصفه

[التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.]. (4.2)

هذا هو ، وضع نيومان [N.sub.n] (x) "يتحول" بشكل تحليلي إلى وضع Dirichlet - [D.sub.n-1] (x) مثل [سيجما] يتراوح من 0 إلى - [ما لا نهاية]. هذا موضح في الشكل 4 الذي يعرض هذا التماثل بين [N.sub.2] (x) و - [D.sub.1] (x) لـ 0 [أكبر من أو يساوي] [سيجما] [أكبر من أو يساوي إلى ما لا نهاية].

هذا يترك حالة "الأوضاع المفقودة" مفتوحة n = 0 ، 1. نظرًا لعدم وجود أوضاع Dirichlet لـ n = -1 ، من الواضح أننا لا نملك السلوك المقارب البسيط الموصوف في المعادلة (4.2). وهكذا نواجه السؤال التالي: "ماذا يحدث للوضع المفقود n = 0 ، 1 مثل [سيجما] [السهم الأيمن] - [اللانهاية]؟". يتحلل حل لغز الأوضاع المفقودة بشكل طبيعي إلى حالتين خاصتين نستكشف كل منهما الآن بشكل منفصل.

بالنسبة إلى n = 0 ، يكون [v.sub.0] ([سيجما]) وهميًا تمامًا ، وبالتالي ، فإن [[lambda]. sub.0] ([سيجما]) سلبي. على وجه التحديد ، لـ [سيجما] [السهم الأيمن] - [اللانهاية] ،

[[دلتا]. sub.0] ([سيجما]) [يساوي تقريبًا] - [سيجما] L / 2 x [؟؟] [v.sub.0] ([سيجما]) [يساوي تقريبًا] - [ سيجما] L / [pi] x [؟؟] [؟؟] [u.sub.0] (x [سيجما]) [يساوي تقريبًا] كوش (- [سيجما] x + [سيجما] L / 2). (4.3)

هذا التعبير المقارب لـ [u.sub.0] (x [سيجما]) يصبح غير مقيد مثل [سيجما] [السهم الأيمن] - [اللانهاية]. ومع ذلك ، إذا قمنا أولاً بقياس قيمته عند نقطة نهاية ، cosh ([sigma] L / 2) ، فسنجد أن هذا الوضع العادي يقترب من 1 عند نقطتي النهاية و 0 في مكان آخر. مثل هذا السلوك المقيد المفرد ، الضروري نظرًا لأن هذا لا يقترب من وضع Dirichlet ، يظهر بشكل بارز في الشكل 5.

بالنسبة إلى n = 1 ، يتناقص [[nu]. sub.1] ([sigma]) مبدئيًا مع [سيجما] حتى يختفي عندما [سيجما] = - 2 / لتر. خاصة،

[التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] (4.4)

ومع ذلك ، إذا قمنا أولاً بقياس [u.sub.1] (x [سيجما]) بقيمته عند نقطة النهاية x = 0 ، cos ([دلتا]) ، نجد أن هذا الوضع المقيس يقترب من الخط المستقيم [u.sub .1] (x -2 / L) = 1-2 / L x x.

مع استمرار [سيجما] في الانخفاض ، لدينا ، بالنسبة إلى [سيغما] & lt - 2 / L ، تخيلية خالصة [[دلتا]. الفرع 1] ([سيجما]) + [باي] / 2 وبالتالي إنتاج [v.sub. 1] ([سيجما]) وهو أيضًا وهمي خالص ، وبالتالي ، [[لامدا]. الفرع 1] ([سيجما]) يصبح سالبًا. على وجه التحديد ، لـ [سيجما] [السهم الأيمن] - [اللانهاية] ،

[[دلتا]. sub.1] ([سيجما]) [يساوي تقريبًا] - [بي] / 2 - [سيجما] L / 2 [؟؟] [؟؟] x [v.sub.1] ([ سيجما]) [يساوي تقريبًا] - [سيجما] L / [pi] x [؟؟] [u.sub.1] (x) [يساوي تقريبًا] [؟؟] x sinh ([sigma] x - [ سيجما] L / 2). (4.5)

هذا التعبير المقارب لـ [u.sub.1] (x [سيجما]) يصبح غير مقيد مثل [سيجما] [السهم الأيمن] - [اللانهاية]. ومع ذلك ، إذا قمنا أولاً بقياس قيمته عند نقطة النهاية x = 0 ، [؟؟] x sinh (- [سيجما] L / 2) ، نجد أن هذا الوضع العادي يقترب من [+ أو -] 1 على اليسار- / نقطة النهاية اليمنى ، على التوالي ، و 0 في أي مكان آخر. المشتق الناتج غير المحدود ، الضروري لأن هذا لا يقترب من وضع Dirichlet ، واضح في الشكل 6.

5. حالة المركب [سيجما]

في حالة المركب [سيجما] ، كما لوحظ سابقًا ، فإن SL-BVP المحدد بواسطة المعادلة (1.1) هو غير قابل للالتفاف الذاتي وبالتالي فإن البنية الذاتية معقدة. تحديد الوظيفة المتبقية للمعادلة (2.4) على أنها

[[rho] .sub.n] ([دلتا] [سيجما]) = | (2 [دلتا] + ن [باي]) تان ([دلتا]) - [سيجما] L | (5.1)

نلاحظ أن قيم eigenvalues ​​المرغوبة يتم تحديدها من خلال الحدود الدنيا المحلية. بعد ذلك ، حدد

[sigma] = r x [e.sup.x [ثيتا]] مع [ثيتا] ثابت و 0 [أقل من أو يساوي] r [أقل من أو يساوي] + [ما لا نهاية]. (5.2)

الشكل 7 ، وهو مخطط كفاف لـ [[rho] .sub.n] ، يعرض المسار الناتج في طائرة [دلتا] لـ n = 0 حيث أن r يختلف مع [ثيتا] = [باي] / 4. كما حدث في الحالة الحقيقية مع [سيجما] [أكبر من أو يساوي] 0 ، [دلتا] تختلف من 0 إلى [pi] / 2 الآن فقط تقوم برحلة إلى المستوى المعقد بدلاً من السفر على طول المحور الحقيقي. يتم توضيح الوضع المعقد المصاحب الذي يتحول من [N.sub.0] (x) إلى [D.sub.1] (x) من خلال الشكل 8.

يعرض الشكل 9 المسارات المقابلة ، هذه المرة في المستوى [nu] ، للأوضاع الأربعة الأولى عبر النطاق الكامل للقيم 0 [أقل من أو يساوي] [ثيتا] [أقل من أو يساوي] [باي] . كما هو واضح من كل من هذه المؤامرات ، بالنسبة لبعض قيم وضع [ثيتا] تحدث ، على سبيل المثال [[lambda] .sub.n] ([سيجما]) [السهم الأيمن] [[lambda] .sub.n [+ أو -] 1] (0) ، (أوضاع IBC-Dirichlet) بينما للقيم الأخرى لـ [ثيتا] نلاحظ | [[lambda] .sub.n] ([سيجما]) | [السهم الأيمن] [اللانهاية] (أوضاع مفقودة). سنكرس جهودنا المتبقية لتوضيح هذا السلوك المقارب.

من أجل تحقيق ذلك ، سنطلب معرفة تفصيلية بخصائص المسارات في المستوى الخامس. نبدأ مع

النظرية 2 1. لنفترض [[delta] .sub.n] (r) = [[delta] .sup.R.sub.n] (r) + [؟؟] x [[delta] .sup.I.sub .n] (r) و [v.sub.n] (r) = [v.sup.R.sub.n] (r) + [؟؟] x [v.sup.I.sub.n] ( ص). ثم المساران [[دلتا]. sub.n] (ص) و [v.sub.n] (ص) لهما نفس المنحدر.

(أ) إذا كان n [لا يساوي] 0 ، فإن المسار [v.sub.n] (r) يصنع زاوية [ثيتا] تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الحقيقي عند [v.sub.n] (0) = n.

(ب) إذا كان n = 0 فإن المسار [v.sub.0] (r) يصنع زاوية [ثيتا] / 2 تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الحقيقي عند [v.sub.0] (0) = 0.

2. مثل r [السهم الأيمن] [اللانهاية] ، إما [v.sub.n] (r) [السهم الأيمن] n [+ أو -] 1 أو | [v.sub.n] (r) | [السهم الأيمن] [اللانهاية].

(أ) إذا كان [v.sub.n] (r) [السهم الأيمن] n [+ أو -] 1 فإن المسار [v.sub.n] (r) يصنع زاوية [pi] - [ثيتا] تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الحقيقي في [v.sub.n] (1) = n [+ أو -] 1.

(ب) إذا | [v.sub.n] (r) | [السهم الأيمن] [اللانهاية] ثم المسار [v.sub.n] (r) ينطلق إلى اللانهاية بزاوية [ثيتا] - [باي] / 2 مقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الحقيقي مثل r [السهم الأيمن] [اللانهاية ].

1. بما أن [v'.sub.n] (r) = 2 / [pi] x [[delta] '. sub.n] (r) ، فإن كلا المسارين لهما ميل [[دلتا]. sup.I'.sub .n] (r) = [[دلتا]. sup.R'.sub.n] (r).

(أ) r = 0 [؟؟] [سيجما] = 0 بحيث تنتج المعادلة (2.4) [[delta] .sub.n] (0) = 0) [[nu] .sub.n] (0) = ن. استبدال المعادلة (5.2) في المعادلة (5.3) مع التمايز اللاحق فيما يتعلق بعوائد r

وهكذا ، [[دلتا] '. sub.n] (0) = [Le.sup. [؟؟] [ثيتا]] / n [pi] [؟؟] tan [مجموعة فارغة]: = [[دلتا]. sup.I'.sub.n] (0) / [[delta] .sup.R'.sub.n] (0) = tan [ثيتا] [؟؟] [مجموعة فارغة] = [ثيتا].

(ب) بالنسبة لـ n = 0 ، تنتج المعادلة (5.3) [[delta] '. sub.0] (0) = [اللانهاية] بحيث يكون المنحدر tan [مجموعة فارغة]: = [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] غير محدد. ومع ذلك ، من خلال المعادلة (5.3) ،

[التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.].

وبالتالي ، tan [مجموعة فارغة] = tan ([ثيتا] - [مجموعة فارغة]) [؟؟] [مجموعة فارغة] = [ثيتا] / 2.

2. كـ r = | [سيجما] | [السهم الأيمن] [اللانهاية] ، المعادلة (2.4) تشير بوضوح إلى أن إما [[دلتا]. sub.n] (r) [السهم الأيمن] [+ أو -] [pi] / 2 ، في هذه الحالة [v.sub .n] (r) [السهم الأيمن] n [+ أو -] [اللانهاية] ، أو | [[دلتا]. sub.n] (r) | [السهم الأيمن] [اللانهاية] ، في هذه الحالة | [v.sub.n] (r) | [السهم الأيمن] [اللانهاية].

(أ) إذا [[delta] .sub.n] (r) [السهم الأيمن] [+ أو -] [pi] / 2 ثم [[nu] .sub.n] (r) [السهم الأيمن] n [+ أو -] 1 و [[دلتا] '. sub.n] (r) [السهم الأيمن] 0 بواسطة المعادلتين (2.4) و (5.3) ، على التوالي. وهكذا ، مثل r [السهم الأيمن] [اللانهاية] ، [[دلتا] '. sub.n] (r) [السهم الأيمن] [[epsilon]. sub.1] [e.sup. [؟؟] [مجموعة فارغة ]] و [[delta] .sub.n] (r) [السهم الأيمن] [+ أو -] [pi] / 2 [+ أو -] [[epsilon] .sub.2] [e.sup. [؟ ؟] [مجموعة فارغة]] حيث [[مجموعة فارغة]. sub.1] ، [[epsilon]. sub.2] [سهم لليمين] 0. تكشف المقارنة بين وسيطات جانبي المعادلة (5.3) أن [فارغ مجموعة] = [ثيتا] + 2 [مجموعة فارغة] [؟؟] [مجموعة فارغة] = - [ثيتا].

(ب) إذا | [[دلتا]. sub.n] (ص) | [السهم الأيمن] [اللانهاية] ثم تان ([[دلتا]. sub.n] (ص)) [السهم الأيمن] [؟؟]. يؤدي إدخال هذا في المعادلة (2.4) ومساواة الأجزاء الحقيقية والخيالية إلى إنتاج 2 [[دلتا]. sup.R.sub.n] [السهم الأيمن] rL sin ([ثيتا]) و -2 [[دلتا]. sup.I .sub.n] [السهم الأيمن] rL cos ([ثيتا]). وهكذا ، [[delta] .sup.I.sub.n] (r) / [[delta] .sup.R.sub.n] (r) [السهم الأيمن] -cot ([ثيتا]) = تان (ثيتا ] - [فاي] / 2).

بالعودة الآن إلى الشكل 9 ، لاحظ الميزات الهيكلية المهمة التالية. بالنسبة للوضعين n = 0 و n = 1 ، توجد زاوية حرجة [[ثيتا]. sup .-. sub.n] مثل تلك الخاصة بـ [ثيتا] & lt [[ثيتا]. sup .-. sub.n] لدينا الوضع يتحول [N.sub.n] (x) [؟؟] [D.sub.n + 1] (x) بينما ، لـ [ثيتا] & gt [[ثيتا]. sup .-. sub.n] ، الوضع n مفقود بالمعنى المحدد مسبقًا مثل r [السهم الأيمن] 1. لجميع الأوضاع الأخرى n [أقل من أو يساوي] 2 ، هناك زاويتان حرجتان [[ثيتا]. sup .-. sub.n] و [[ثيتا]. sup. +. sub.n]. بالنسبة إلى [ثيتا] & lt [[ثيتا]. sup .-. sub.n] لدينا الوضع الذي يتحول [N.sub.n] (x) [؟؟] [D.sub.n + 1] (x) و لـ [ثيتا] & gt [[ثيتا]. sup. +. sub.n] لدينا الوضع الذي يتحول [N.sub.n] (x) [؟؟] - [D.sub.n-1] (x) مثل r [السهم الأيمن] [اللانهاية]. في النظام الوسيط [[ثيتا]. sup .-. sub.n] & lt [ثيتا] & lt [[ثيتا]. sup. +. sub.n] ، الوضع n مفقود مثل r [السهم الأيمن] [اللانهاية].

تتعلق نتيجتنا التالية بالمسارات عند هذه الزوايا الحرجة.

النظرية 3 1. تمتلك جميع المسارات الحرجة ركنًا يقع في مستوى [دلتا] في جذور الوظيفة

[[tau] .sub.n] ([دلتا]): = الخطيئة (2 [دلتا]) + 2 [دلتا] + n [باي]: (5.4)

أصغر جذر مع Re ([[دلتا]. sup .-. sub.n]) & gt 0 يتوافق مع [[ثيتا]. sup .-. sub.n] وأصغر جذر مع Re ([[دلتا]. sup. . +. sub.n]) & lt 0 يتوافق مع [[ثيتا]. sup. +. sub.n].

2. كل هذه الزوايا من المسارات الحرجة 90 [دلتا].

3. في الحالة الخاصة ، [ثيتا] = - [باي] ، ن = 1 ، تقع الزاوية عند [دلتا] = [باي] / 2 مع [سيغما] = - 2 / لتر.

1. من الواضح أنه لا يمكن أن يكون هناك انتقال من مسار تحويل الوضع المحدود إلى المسار غير المحدود لنمط مفقود دون إظهار التفرد زاوية. في مثل هذه الزاوية ، يجب أن يختفي المشتق [[دلتا] '. sub.n] (r) أو يصبح غير محدود. يكشف فحص المعادلة (5.3) أن المشتق لا يتلاشى منذ Im ([[delta] .sub.n] (r) & gt 0) لـ r & gt 0. ويظهر الإطلاع الإضافي على المعادلة (5.3) أن المشتق يصبح غير مقيد إذا وفقط إذا كانت [[delta] .sub.n] (r) تقع عند صفر المقام ، أي عند جذر المعادلة (5.4). تحدث هذه القيم الحرجة [[دلتا]. sup. [+ أو -]. sub.n] عند نقاط التفرع [7، pp. 404-408] من المعادلة (2.5) إذا كان n زوجي والمعادلة (2.6) إذا كان n أمر غريب. لاحظ أنه بمجرد معرفة [[دلتا]. sup. [+ أو -]. sub.n] ، يمكن استخدام المعادلة (2.4) لإيجاد الزاوية الحرجة والمعامل من [[سيجما]. sup. [+ أو -] .sub.n] = [r.sup. [+ أو -]. sub.n] [e.sup. [؟؟] [[ثيتا]. sup. [+ أو -]. sub.n]].

2. ستكون الزاوية 90 [دلتا] إذا وفقط إذا كان [التعبير الرياضي غير قابل لإعادة التشكيل في ASCII.] تخيليًا خالصًا ، لأنه في هذه الحالة فقط ، يتم ضرب متجه المماس بواسطة تخيل خالص ونحن نمر عبر الزاوية وبذلك ينتج الاستدارة المفترضة بمقدار [+ أو -] 90 [دلتا]. ولكن،

[التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] ،

بواسطة l'Hopital's Rule. وهكذا ، [L.sup.2] = -1 [؟؟] L = [+ أو -] [؟؟].

3. اضبط [ثيتا] = - [باي] ون = 1. بعد ذلك ، نظرًا لأن القيمة الذاتية حقيقية ، تحدث الزاوية في المسار الحرج أثناء مرورها عبر [v.sub.1] = 0 [؟؟] [[ دلتا]. sub.1] = - [pi] / 2. وبالتالي ، [التعبير الرياضي غير قابل لإعادة التشكيل في ASCII.] بواسطة قاعدة l'Hopital.

بالعودة مرة أخرى إلى الشكل 9 ، لاحظ أن الزاوية في المسار الحرج المطابق لـ [[ثيتا]. sup. [+ أو -]. sub.n] هي نقطة تشعب حيث يؤدي أحد المسارات إلى n "1 والآخر ينحرف إيقاف التشغيل إلى اللانهاية بزاوية [[ثيتا]. sup. [+ أو -]. sub.n] - [pi] / 2 (النظرية 2 ، الجزء 2 ب). لفت الانتباه إلى الشكل 10 وهو مزيج من الشكل 9 ، الإطار العلوي للأوضاع المرقمة الزوجية والإطار السفلي للأوضاع المرقمة الفردية ، لاحظ أن حدود المناطق النموذجية المتجاورة التي تشكلت من هذه المسارات المتفرعة محاذاة ، والنتيجة في كلتا الحالتين تكون قسمًا مناظرًا للطائرة [nu] .

علاوة على ذلك ، فإن المسارات المقابلة للأنماط المجاورة تتداخل ولكنها لا تتقاطع بمعنى أنها لا تتلامس أبدًا مع نفس قيمة [سيجما]. على وجه التحديد لدينا ما يلي

النظرية 4 1. المسار المنبثق من n لا يتقاطع أبدًا مع المسار المنبثق من n [+ أو -] 1 لنفس قيمة [sigma].

2. يتقاطع المسار المنبثق من n مع مسار ينبعث من n [+ أو -] 2 لنفس قيمة [sigma] فقط عند نقطة التفرع المشترك (التشعب). في الواقع ، [[دلتا]. sup. +. sub.n] = [[دلتا]. sup .-. sub.n-2] - [pi] و [[ثيتا]. sup. +. sub.n] = [[ثيتا]. sup .-. sub.n-2]. عند نقطة التفرع المشتركة يوجد عيب شكلي وعلى طول المسار المتشعب يوجد غموض مشروط.

1. وفقًا للمعادلة (2.4) ، [v.sub.n] = [v.sub.n + 1] إذا وفقط إذا [[delta] .sub.n] = [[delta] .sub.n + 1 ] + [pi] / 2 و tan ([[delta] .sub.n + 1] + [pi] / 2) = تان ([[دلتا]. sub.n + 1]). لكن هذا يتطلب أن - cot ([[delta] .sub.n + 1]) = tan ([[delta] .sub.n + 1]) وهو أمر مستحيل.

2. من المعادلة (5.4) لدينا

[[tau] .sub.n-2] ([دلتا]) = الخطيئة (2 ([دلتا] - [باي])) + 2 ([دلتا] - [باي]) + n [باي] = [[تاو ] .sub.n] ([دلتا] - [باي]) ، (5.5)

مما يعني أن جذور [[tau] .sub.n] ([دلتا]) هي جذور [[تاو]. sub.n-2] ([دلتا]) انتقلت إلى اليسار بواسطة [باي]. وهكذا ، [[دلتا]. sup. +. sub.n] = [[دلتا]. sup .-. sub.n-2] - [pi] و [[ثيتا]. sup. +. sub.n = [ [ثيتا]. sup .-. sub.n-2]. الآن ، المعادلة (5.3) تعني ذلك

[التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] ، (5.6)

بحيث تفي [[دلتا]. sub.n] (ص) و [[دلتا]. sub.n-2] (ص) - [باي] تفي بنفس المعادلة التفاضلية بشروط أولية مختلفة. من خلال نظرية الوجود والتفرد الأساسية للمعادلات التفاضلية العادية [2 ، ص 1-11] ، يمكن أن تتقاطع فقط عند التفرد وهذا التقاطع يعادل [v.sub.n-2] (r) = [v .sub.n] (r). عند نقطة التفرع المشتركة هذه ، تتحد النمذجة n - 2 و n ، مما ينتج عنه عجز مشروط. ما وراء نقطة التفرع ، هناك غموض شكلي من حيث أنه ليس من الواضح أي وضع يتم ربطه بأي فرع تشعب.

يجب أن يؤخذ النقص النموذجي والغموض المحدد في النظرية السابقة في الاعتبار عند استخدام توسيع eigenfunction في المعادلة (3.3). أيضًا ، تخفف هذه النظرية من الحاجة إلى حساب [[دلتا]. sup. +. sub.n] و [[ثيتا]. sup. +. sub.n] حيث يمكن الحصول عليها من [[دلتا]. sup.-. sub.n-2] و [[ثيتا]. sup .-. sub.n-2] ، على التوالي.

يوضح الشكل 11 منحنيات مستوى | [[tau]. sub.0] ([دلتا]) | (راجع المعادلة (5.4)) حيث تكون نقطة الفرع [[دلتا]. sup .-. sub.0] معروضة بشكل بارز. ندرس بعد ذلك [[دلتا]. sup .-. sub.n] حيث يختلف n.

النظرية 5 1. As n [السهم الأيمن] 1 ، [[sigma] .sup.-n] [السهم الأيمن] [-ln ((3 + 2n) [pi]) + [؟؟] x (n + 3 / 2) [pi]] = L.

2. بالنسبة إلى 0 [أقل من أو يساوي] [ثيتا] [أقل من أو يساوي] [pi] / 2 ، فإن جميع الأوضاع هي أوضاع IBC-Dirichlet (أي لا توجد أوضاع مفقودة).

1. كـ n [السهم الأيمن] 1 ، Re ([[دلتا]. sup .-. sub.n]) [السهم الأيمن] [(3 [؟؟] / 4). sup.-] و [[دلتا] .sup. [I.sup .-. sub.n]]: = Im ([[دلتا]. sup .-. sub.n]) [سهم لليمين] + [ما لا نهاية]. وهكذا ، تان ([[دلتا]. sup. [I.sup .-. sub.n]]) [السهم الأيمن] [؟؟] ومن [[tau] .sub.n] ([[دلتا]. sup .-. sub.n]) = 0 ، [[دلتا]. sup. [I.sup .-. sub.n]] [السهم الأيمن] 1/2 ln ((3 + 2n) [pi]). يؤدي حل [[سيجما]. sup .-. sub.n] في المعادلة (2.4) إلى إنتاج [[سيجما]. sup .-. sub.n] [السهم الأيمن] [-ln ((3 + 2n) [باي] ) + [؟؟] x (n + 3 = 2) [pi]] / L.

2. منذ [[ثيتا]. sup .-. sub.n]: = arg [[سيجما]. sup .-. sub.n] ، لدينا [[ثيتا]. sup .-. sub.n] = [ tan.sup.-1] [- (n + 3/2) [pi] = ln ((3 + 2n) [pi])] [السهم الأيمن] [tan.sup.-1] (- [اللانهاية]) = [([pi] / 2). sup. +]. لذلك ، تقع جميع الزوايا الحرجة في النطاق [pi] / 2 & lt [[ثيتا]. sup .-. sub.n] [أقل من أو يساوي] [باي].

5.1 الحالة Re ([سيجما]) [أكبر من أو تساوي] 0

بسبب الجزء الثاني من النظرية 5 ، فإن السلوك المقارب لـ Re ([sigma]) [أكبر من أو يساوي] 0 بسيط بشكل خاص. بالإشارة إلى الشكل 12 ، هناك تجانس مشروط كامل من كل من أوضاع نيومان إلى وضع ديريتشليت المقابل. على وجه التحديد ، [N.sub.n] (x) [؟؟] [D.sub.n + 1] (x) لكل n. هذا السلوك المقارب ، الموضح في الشكل 8 لـ n = 0 و [theta] = [pi] = 4 ، مشابه بشكل مباشر لحالة [سيجما] الحقيقي والإيجابي فيما عدا أنه الآن يمر التماثل عبر المستوى المعقد.

السلوك المقارب لـ Re ([sigma]) & lt 0 ، مشابه بشكل مباشر لحالة [سيجما] الحقيقية والسلبية من حيث أنه يوجد دائمًا وضعان مفقودان والباقي هو أوضاع IBC-Dirichlet. ومع ذلك ، يتم تحديد الأوضاع المفقودة الآن من خلال قيمة [ثيتا]. على وجه التحديد ، إذا كانت [[ثيتا] .sup .-. sub.n] & lt [ثيتا] & lt [[ثيتا]. sup .-. sub.n-1] ، فسيتم فقد الوضعين n و n + 1. يظهر هذا بيانياً في الشكل 13. يسرد الجدول 1 العديد من نقاط الفروع [[دلتا]. sup .-. sub.n] مع الزوايا الحرجة المقابلة لها [[ثيتا]. sup .-. sub.n].

إذا كانت [ثيتا] & lt [[ثيتا]. sup .-. sub.n] ثم [N.sub.n] (x) [؟؟] [D.sub.n + 1] (x) مشابه لحالة الوضع الذي يتم عرضه في حالة Re ([سيجما]) [أكبر من أو يساوي] 0.ومع ذلك ، إذا كانت [ثيتا] & gt [[ثيتا]. sup. +. sub.n] = [[ثيتا]. sup .-. sub.n-2] ثم [N.sub.n] (x) [؟؟ ] - [D.sub.n-1] (x) سمة من سمات وضع التحول المعروض في حالة [سيجما] الحقيقي والسلبي. يظهر سلوك تحويل الوضع الأخير هذا في الشكل 14 لـ n = 2 و [ثيتا] = 3 [pi] = 4.

إذا [[ثيتا]. sup .-. sub.n] & lt [ثيتا] & lt [[ثيتا]. sup. +. sub.n] = [[ثيتا]. sup .-. sub.n-2] ثم الوضع ن مفقود. يظهر الموكب المتجه لليمين الناتج عن الأوضاع المفقودة مثل [ثيتا] من [pi] إلى [pi] / 2 في الشكل 15. تعرض الأوضاع المفقودة لـ [pi] = 2 & lt [ثيتا] & lt [pi] مفردًا غريبًا السلوك مثل r = | [سيجما] | [السهم الأيمن] [اللانهاية].

النظرية 6 بالنسبة إلى [pi] / 2 & lt [ثيتا] & lt [pi] ، تتأرجح جميع الأوضاع المفقودة بين [+ أو -] 1 عند نقاط النهاية وتقترب من الصفر في مكان آخر.

دليل. ببساطة دع | [دلتا] = [[دلتا]. sub.R] + [؟؟] x [[دلتا]. sub.I] | [السهم الأيمن] [اللانهاية] في المعادلة (2.1). في نقاط النهاية ، [u.sub.n] [السهم الأيمن] [+ أو -] ([e.sup. [[delta] .sub.I]] / 2) x [cos ([[delta] .sub. R]) - [؟؟] x sin ([[delta] .sub.R])] والتطبيع بواسطة [e.sup. [[delta] .sub.I]] / 2 يكشف السلوك التذبذب عند نقاط النهاية كما حسنًا ، الاقتراب من الصفر للنقاط الداخلية.

يظهر هذا السلوك المفرد التذبذب في الشكلين 16 (أوضاع الأرقام الزوجية) و 17 (أوضاع الأرقام الفردية).

تم تخصيص الجزء الأكبر من هذه الورقة لاستكشاف الطبيعة المقاربة للبنية الذاتية لـ SL-BVP مع IBC ، المعادلة (1.1) ، مثل [سيجما] [السهم الأيمن] 1. يمكن تلخيص نتائجنا الرئيسية على النحو التالي (انظر الشكل 2):

النظرية 7 (السلوك المقارب لـ SL-BVP / IBC Eigenstructure) ضع في اعتبارك SL-BVP مع IBC الموصوف بواسطة المعادلة (1.1) مع [سيجما] (ص) = [re.sup. [؟؟] [ثيتا]] [ثيتا] و 0 [أقل من أو يساوي] ص [أقل من أو يساوي] [ما لا نهاية].

1. إذا كان 0 [أقل من أو يساوي] [ثيتا] [أقل من أو يساوي] [pi] / 2 فإن [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] و [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] لجميع n.

2. إذا كانت [pi] / 2 & lt [ثيتا] [أقل من أو يساوي] [pi] ، فيوجد n ([ثيتا]) مثل

(أ) [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] و [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] لـ k & lt n ([ثيتا]) - 1 ،

(ب) [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] و [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] لـ k & gt n ([ثيتا]) ،

(ج) و [التعبير الرياضي غير قابل للاستنساخ في ASCII.] لـ k = n ([ثيتا]) - 1 ، n ([ثيتا]).

هذه الملاحظات قابلة للتطبيق مباشرة على الدليل الموجي المستطيل [8 ، ص 503-509].

علاوة على ذلك ، تؤدي هذه النتائج بشكل طبيعي إلى مسألة الطبيعة المقاربة المقابلة للبنية الذاتية لللابلاسيان على مثلث متساوي الأضلاع مع حالة حد مقاومة. الحالات الخاصة لشرط حدود الإشعاع [4] وحالة حدود الامتصاص [5] قد تلقت بالفعل معالجة شاملة. يبدو أن النتائج أحادية البعد لهذه الورقة تشير إلى أن هاتين الحالتين الخاصتين تعرضان الطيف الكامل للسلوك المقارب المحتمل مثل [سيجما] [السهم الأيمن] [اللانهاية]. ستتناول الدفعة الأخيرة من هذه السلسلة من الأوراق ، البنية الذاتية للمثلث المتساوي الأضلاع ، الجزء الخامس: حالة حدود الممانعة ، هذه المشكلة.

يشكر المؤلف السيدة باربرا أ. مكارتن لمساعدتها التي لا غنى عنها في تكوين الأشكال. هذه الورقة مخصصة لإحياء ذكرى والدتنا الحبيبة ، دوروثي فرانسيس (كيلي) مكارتن ، في الذكرى الخامسة والعشرين لرحيلها عن عائلتها. ذهب ولكن لم ينس!

[1] Amrein W. O.، Hinz A. M. and Pearson D.B، Sturm-Liouville Theory: Past and Present، Birkhauser، Basel، 2005.

[2] كودينجتون إي إيه وليفينسون إن ، نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، ماكجرو هيل ، نيويورك ، نيويورك ، 1955.

[3] محمود س. ف. ، الأدلة الموجية الكهرومغناطيسية: النظرية والتطبيقات ، بيتر بيريجرينوس المحدودة ، لندن ، المملكة المتحدة ، 1991.

[4] مكارتن بي جيه ، 2004 ، البنية الذاتية للمثلث المتساوي الأضلاع ، الجزء الثالث: مشكلة روبن ، المجلة الدولية للرياضيات والعلوم الرياضية ، المجلد. 2004 (16) ، ص 807-825.

[5] مكارتن بي جيه ، 2007 ، البنية الذاتية للمثلث المتساوي الأضلاع ، الجزء الرابع: حالة الحدود الممتصة ، المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية ، المجلد 37 (3).

[6] Morse P. M.، Vibration and Sound، Acoustical Society of America، Melville، NY، 1976.

[7] مورس بي إم وفيشباخ هـ. ، طرق الفيزياء النظرية ، الجزء الأول ، ماكجرو هيل ، نيويورك ، نيويورك ، 1953.

[8] Morse P. M. and Ingard K.U.، Theoretical Acoustics، McGraw-Hill، New York، NY، 1968.

[9] شتراوس دبليو إيه ، المعادلات التفاضلية الجزئية: مقدمة ، وايلي ، نيويورك ، نيويورك ، 1992.

[10] Zettl A.، Sturm-Liouville Theory، American Mathematical Society، Providence، RI، 2005.


5.1: مشاكل Sturm-Liouville

جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI متاحة على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من قبل المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة ويعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


جدول المحتويات

1.1 بعض مجالات التوجيه للنماذج الرياضية الأساسية 1

1.2 حلول بعض المعادلات التفاضلية 9

1.3 تصنيف المعادلات التفاضلية 16

2 معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى 24

2.1 المعادلات التفاضلية الخطية طريقة تكامل العوامل 24

2.2 المعادلات التفاضلية القابلة للفصل 33

2.3 النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى 39

2.4 الاختلافات بين المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية 51

2.5 المعادلات التفاضلية المستقلة وديناميكيات السكان 58

2.6 المعادلات التفاضلية الدقيقة وعوامل التكامل 70

2.7 التقديرات العددية: طريقة أويلر ورسكووس 76

2.8 نظرية الوجود والتفرد 83

2.9 معادلات الفروق من الدرجة الأولى 91

3 معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الثانية 103

3.1 المعادلات التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة 103

3.2 حلول المعادلات الخطية المتجانسة في Wronskian 110

3.3 الجذور المركبة للمعادلة المميزة 120

3.4 تخفيض الجذور المتكرر للطلب 127

3.5 المعادلات غير المتجانسة طريقة المعاملات غير المحددة 133

3.6 تباين المعلمات 142

3.7 الاهتزازات الميكانيكية والكهربائية 147

3.8 الاهتزازات الدورية القسرية 159

4 معادلات تفاضلية خطية عالية الترتيب 169

4.1 النظرية العامة للمعادلات التفاضلية الخطية ذات الترتيب رقم 169

4.2 المعادلات التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة 174

4.3 طريقة المعاملات غير المحددة 181

4.4 طريقة اختلاف المعلمات 185

5 حلول متسلسلة للمعادلات الخطية من الدرجة الثانية 189

5.1 مراجعة Power Series 189

5.2 سلسلة الحلول بالقرب من نقطة عادية ، الجزء الأول 195

5.3 سلسلة الحلول بالقرب من نقطة عادية ، الجزء الثاني 205

5.4 معادلات أويلر النقاط المفردة العادية 211

5.5 سلسلة حلول بالقرب من نقطة مفردة عادية ، الجزء الأول 219

5.6 حلول متسلسلة بالقرب من نقطة مفردة عادية ، الجزء الثاني 224

6 تحويل لابلاس 241

6.1 تعريف تحويل لابلاس 241

6.2 حل مشاكل القيمة الأولية 248

6.4 المعادلات التفاضلية ذات دوال التأثير المتقطع 264

6.6 التواء لا يتجزأ 275

7 أنظمة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى 281

7.3 أنظمة المعادلات الجبرية الخطية الاستقلال الخطي ، القيم الذاتية ، المتجهات الذاتية 295

7.4 النظرية الأساسية لأنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الأولى 304

7.5 الأنظمة الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة 309

7.6 القيم الذاتية المعقدة ذات القيمة 319

7.7 المصفوفات الأساسية 329

7.8 القيم الذاتية المتكررة 337

7.9 الأنظمة الخطية غير المتجانسة 345

8 الطرق العددية 354

8.1 طريقة أويلر أو خط الظل 354

8.2 تحسينات على طريقة أويلر 363

8.3 طريقة رونج-كوتا 367

8.5 أنظمة معادلات الدرجة الأولى 376

8.6 المزيد عن استقرار الأخطاء 378

9 المعادلات التفاضلية غير الخطية والاستقرار 388

9.1 مستوى المرحلة: الأنظمة الخطية 388

9.2 الأنظمة الذاتية والاستقرار 398

9.3 الأنظمة الخطية محليا 407

9.5 معادلات المفترس والفريسة 428

9.6 Liapunov & rsquos الطريقة الثانية 435

9.7 الحلول الدورية ودورات الحد 444

9.8 الفوضى والجاذبات الغريبة: معادلات لورينز 454

10 معادلات تفاضلية جزئية وسلسلة فورييه 463

10.1 مسائل قيمة الحدود ذات النقطتين 463

10.3 نظرية تقارب فورييه 477

10.4 الوظائف الزوجية والفردية 482

10.5 فصل متغيرات التوصيل الحراري في قضيب 488

10.6 مشاكل التوصيل الحراري الأخرى 496

10.7 معادلة الموجة: اهتزازات سلسلة مرنة 504

10.8 معادلة لابلاس 514

11 مشاكل قيمة الحدود ونظرية شتورم-ليوفيل 529

11.1 حدوث مشاكل قيمة الحدود ذات النقطتين 529

11.2 مشاكل قيمة الحدود Sturm-Liouville 535

11.3 مشاكل قيمة الحدود غير المتجانسة 545

11.4 مسائل شتورم وليوفيل المنفردة 556

11.5 ملاحظات إضافية حول طريقة فصل المتغيرات: توسعة سلسلة Bessel 562


5.1: مشاكل Sturm-Liouville

تحتاج طريقة فصل المتغيرات إلى شروط حدية متجانسة. بتعبير أدق ، يجب أن يكون للوظائف الذاتية شروط حدية متجانسة. (حتى إذا كانت كل وظيفة في مجموعة من الوظائف تفي بشروط الحدود غير المتجانسة ، فإن مجموعة منها لن تفعل ذلك بشكل عام.)

في المثال السابق ، يمكن التحايل على هذه المشكلة عن طريق الاختيار بدلاً من أن تكون متغيرًا للوظائف الذاتية. على سبيل المثال في هذا القسم ، هذا لا يعمل.

5. 6. 1 المشكلة الجسدية

تكمن المشكلة في العثور على التوزيع غير المستقر لدرجة الحرارة في شريط لأي موضع ووقت تعسفيين. التوزيع الأولي لدرجة الحرارة في الوقت صفر يساوي دالة معينة. تدفق الحرارة من الطرف الأيسر يساوي دالة معينة ، ودرجة حرارة الطرف الأيمن دالة معينة. تتم إضافة الحرارة إلى الشريط من مصدر خارجي بمعدل موصوف بواسطة وظيفة معينة.

5. 6. 2 المشكلة الرياضية

  • مجال محدود:
  • درجة حرارة غير معروفة
  • ثابت ، لذلك معامل خطي ثابت المعادلة التفاضلية الجزئية.
  • مكافئ
  • لامتجانس
  • شرط أولي واحد
  • شرط حد نيومان واحد
  • شرط حد Dirichlet واحد
  • يتم إعطاء جميع و و و وظائف.

5. 6. 3 الخطوط العريضة للإجراء

نود استخدام فصل المتغيرات لكتابة الحل بالصيغة التي تشبه تقريبًا:

هنا ستكون الوظائف الذاتية.

لا يمكن أن تكون وظائف ذاتية لأن محور الوقت شبه لانهائي. أيضًا ، تتطلب مشاكل Sturm-Liouville شروطًا حدودية عند كلا الطرفين ، وليس شروطًا أولية.

لسوء الحظ ، يجب أن يكون للوظائف الذاتية شروط حدية متجانسة. لذلك إذا تمت كتابتها ببساطة كمجموع من الوظائف الذاتية ، فلن تتمكن من تلبية شروط الحدود غير المتجانسة.

لحسن الحظ ، يمكننا تطبيق خدعة للتغلب على هذه المشكلة. الحيلة هي أن تكتب كمجموع دالة تفي بشروط الحدود غير المتجانسة بالإضافة إلى الباقي:

نظرًا لأنه ينتج المصطلح غير المتجانس في شروط الحدود ، فإن الباقي يلبي شروط الحدود المتجانسة. لذلك يمكن كتابتها كـ

باستخدام فصل المتغيرات. أضف لتحصل على.

5. 6. 4 الخطوة 0: تحديد شروط الحدود

أول شيء يجب فعله هو إيجاد دالة تحقق نفس الشروط الحدية. على وجه الخصوص ، يجب أن تفي بما يلي:

ليس من الضروري أن تفي الوظيفة بالمعادلة التفاضلية الجزئية أو الشرط الأولي. هذا يسمح لك بأخذ شيء بسيط لذلك. الاختيار ليس فريدًا ، لكنك تريد تحديد شيء بسيط.

دالة خطية في ،

هو بالتأكيد أبسط خيار ممكن. في هذا المثال ، يعمل بشكل جيد أيضًا.

أدخل هذا التعبير عن في الشروط الحدودية لـ ،

التي تنتج المتطلبات

الحل هو و. لذلك لدينا هو

تتبع ما نعرفه وما لا نعرفه. نظرًا لأننا (من المفترض) قد حصلنا على وظائف ، أصبحت الوظيفة من الآن فصاعدًا تعتبر كمية معروفة ، كما هو مذكور أعلاه.

يمكنك استخدام شيء أكثر تعقيدًا من دالة خطية إذا كنت ترغب في جعل الأمور صعبة على نفسك. انطلق واستخدم إذا كنت تحب حقًا دمج وظائف الخطأ ووظائف Bessel. سوف تعمل. لكني أفضل وظيفة خطية بنفسي. (بالنسبة لبعض المشاكل ، قد تحتاج إلى دالة تربيعية بدلاً من دالة خطية.)

في ظل ظروف معينة ، قد يكون هناك خيار أفضل من متعدد الحدود ذي الترتيب المنخفض في. إذا كانت المشكلة ذات شروط حدية ثابتة وحل ثابت بسيط ، فاستمر في اتخاذ هذا الحل الثابت. سوف يعمل بشكل رائع. ومع ذلك ، في المثال هنا ، الشروط الحدودية ليست ثابتة نحن نفترض ذلك وهي وظائف تعسفية معطاة للوقت.

بعد ذلك ، بعد أن وجدت ، حدد مجهولًا جديدًا مثل الباقي عند طرحه من:

نحل المشكلة الآن من خلال إيجاد. عندما نعثر ، نضيف ببساطة ، المعروف بالفعل ، مرة أخرى للحصول على.

للقيام بذلك ، أولاً ، بالطبع ، نحتاج إلى حل المشكلة. نحصل عليه من المشكلة من خلال استبداله في كل مكان. دعنا نلتقط صورة المشكلة أمامنا ونبدأ في التحويل.

أولاً ، خذ شروط الحدود في و:

ولكن منذ البناء و ،

لاحظ الشيء الكبير: في حين أن شروط الحدود مشابهة لتلك الخاصة بها ، فهي متجانسة. سوف نحصل على مشكلة Sturm-Liouville في الاتجاه الذي لم نصل إليه. هذا ما يفعله لنا.

نستمر في العثور على بقية المشكلة لـ. نستبدل بـ في المعادلة التفاضلية الجزئية ،

وخذ كل المصطلحات إلى الجانب الأيمن:

ومن ثم أصبحت الآن وظيفة معروفة ، تمامًا مثل.

الجزء الأخير من المشكلة الذي لم نتحول فيه بعد هو الشرط الأولي. نستبدل بـ in ،

وانطلق إلى الجانب الآخر:

مرة أخرى ، هي الآن وظيفة معروفة.

مشكلة الآن هي نفسها مشكلة لـ ، باستثناء أن الشروط الحدية متجانسة ووظائف وقد تغيرت إلى دوال و.

باستخدام فصل المتغيرات ، يمكننا إيجاد حل للصيغة:

نحن نعلم بالفعل كيف نفعل ذلك! (لا تقلق ، سننتقل إلى الخطوات على أي حال.) بعد العثور عليها ، سنضيف ببساطة للعثور على درجة الحرارة المطلوبة.

5. 6. 5 الخطوة 1: ابحث عن وظائف eigenfunctions

للعثور على الدوال الذاتية ، استبدل الحل التجريبي في الجزء المتجانس من المعادلة التفاضلية الجزئية. تذكر: تجاهل الجزء غير المتجانس عند إيجاد الدوال الذاتية. وضع في الإنتاج:

كما هو الحال دائمًا ، لا يمكن الاعتماد عليه نظرًا لأن الجانب الأيسر لا يفعل ذلك. أيضا ، لا يمكن الاعتماد عليها لأن الوسط لا. لذلك يجب أن يكون ثابتًا.

ثم نحصل على مشكلة Sturm-Liouville التالية لأي وظائف ذاتية:

المعادلتان الأخيرتان هما الشروط الحدودية التي جعلناها متجانسة.

هذه هي نفس مشكلة القيمة الذاتية التي واجهناها في مثال سابق ، لذا يمكنني أخذ الحل من هناك. الوظائف الذاتية هي:

5. 6. 6 الخطوة 2: حل المشكلة

نتوسع في المسألة في سلسلة فورييه:

نظرًا لأننا ودالات معروفة ، يمكننا العثور على معاملات فورييه الخاصة بهم من التعامد:

أو مع وظائف eigenfunctions مكتوبة

التكاملات في الأسفل متساوية.

لذا فإن معاملات فورييه هي الآن ثوابت معروفة ، ووظائفها معروفة الآن. رغم أنه في التطبيق الفعلي ، قد تكون هناك حاجة إلى التكامل العددي للعثور عليهم. خلال النهائيات ، عادةً ما أقوم بعمل الوظائف ، وبسيطة بما يكفي لتتمكن من إجراء التكاملات بشكل تحليلي.

اكتب الآن المعادلة التفاضلية الجزئية باستخدام سلسلة فورييه:

بالنظر إلى القسم السابق ، كانت معادلة Sturm-Liouville كذلك ، لذا فإن المعادلة التفاضلية الجزئية تبسط إلى:

سوف تبسط دائما أو أنك ارتكبت خطأ.

لكي تكون المبالغ متساوية لأيٍّ من المعاملات ، يجب أن تتوازن معاملات كل دالة ذاتية فردية. لذلك نحصل

لقد حصلنا على معادلة تفاضلية عادية لكل منهما. إنه معامل ثابت مرة أخرى ، لكنه غير متجانس.

حل المعادلة المتجانسة أولاً. كثير الحدود المميز هو

لذلك الحل المتجانس

بالنسبة للمعادلة غير المتجانسة ، الثوابت غير المحددة ليست احتمالية لأننا لا نعرف الشكل الفعلي للوظائف. لذلك نستخدم اختلاف المعلمة:

ينتج عن إدخال المعادلة التفاضلية العادية

نتكامل مع هذه المعادلة لإيجاد. يمكنني كتابة الحل باستخدام تكامل غير محدد:

ولكن هناك مشكلة تتمثل في عدم إظهار ثابت التكامل بشكل صريح. هذا يجعل من المستحيل تطبيق الشرط الأولي. من الأفضل كتابة مضاد المشتقة باستخدام تكامل مع حدود بالإضافة إلى ثابت تكامل صريح على النحو التالي:

يمكنك التحقق باستخدام قاعدة لايبنيز لاشتقاق التكاملات (أو في الواقع ، النظرية الأساسية فقط في التفاضل والتكامل) من أن المشتق هو بالضبط ما ينبغي أن يكون. (أيضًا ، لا يجب أن يكون الحد الأدنى صفرًا ، يمكنك بدء التكامل من 1 ، إذا كان سيكون أبسط. الشيء المهم هو أن الحد الأعلى هو المتغير المستقل.)

وضع الحل الذي تم العثور عليه في

ما زلنا بحاجة إلى إيجاد ثابت التكامل. للقيام بذلك ، اكتب الشرط الأولي باستخدام سلسلة فورييه:

هذا يعطينا شروطًا أولية لـ:

الأخير من فوق ، وبالتالي

أو كتابة قيمة eigenvalue:

لدينا من حيث الكميات المعروفة ، لذلك انتهينا.

5. 6. 7 ملخص الحل

بجمع كل الصيغ المعبأة معًا ، يتم العثور على الحل عن طريق حساب المعاملات أولاً من:


شاهد الفيديو: MCQs of Sturm-Liouville Problems (شهر اكتوبر 2021).