مقالات

3.2E: طريقة أويلر المحسنة والطرق ذات الصلة (تمارين) - الرياضيات


تتضمن معظم التمارين العددية التالية مشاكل القيمة الأولية التي تم أخذها في الاعتبار في التمارين الواردة في القسم 3.1. ستجد أنه من المفيد مقارنة النتائج التي تحصل عليها هنا مع النتائج المقابلة التي حصلت عليها في القسم 3.1.

Q3.2.1

في تمارين 3.2.1 - 3.2.5 استخدم طريقة أويلر المحسّنة للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية المعطاة عند النقاط (x_i = x_0 + ih ) ، حيث (x_0 ) هي النقطة التي يتم فيها فرض الشرط الأولي و (i = 1 ) ، (2 ) ، (3 ).

1. (y '= 2x ^ 2 + 3y ^ 2-2، quad y (2) = 1؛ quad h = 0.05 )

2. (y '= y + sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، quad y (0) = 1؛ quad h = 0.1 )

3. (y '+ 3y = x ^ 2-3xy + y ^ 2، quad y (0) = 2؛ quad h = 0.05 )

4. (y '= {1 + x over1-y ^ 2}، quad y (2) = 3؛ quad h = 0.1 )

5. (y '+ x ^ 2y = sin xy، quad y (1) = pi؛ quad h = 0.2 )

Q3.2.2

6. استخدم طريقة أويلر المحسّنة مع أحجام الخطوات (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، و (h = 0.025 ) للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية [y ' + 3y = 7e ^ {4x}، quad y (0) = 2 nonumber ] at (x = 0 )، (0.1 )، (0.2 )، (0.3 )،…، (1.0 ). قارن هذه القيم التقريبية بقيم الحل الدقيق (y = e ^ {4x} + e ^ {- 3x} ) ، والتي يمكن الحصول عليها بطريقة القسم 2.1. اعرض نتائجك في جدول مثل الجدول 3.2.2.

7. استخدم طريقة أويلر المحسّنة مع أحجام الخطوات (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، و (h = 0.025 ) للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية [y ' + {2 على x} ص = {3 على x ^ 3} +1 ، quad y (1) = 1 nonumber ] في (x = 1.0 ) ، (1.1 ) ، (1.2 ) ، (1.3 ) ، ... ، (2.0 ). قارن هذه القيم التقريبية بقيم الحل الدقيق [y = {1 over3x ^ 2} (9 ln x + x ^ 3 + 2) nonumber ] التي يمكن الحصول عليها بطريقة القسم 2.1. اعرض نتائجك في جدول مثل الجدول 3.2.2.

8. استخدم طريقة أويلر المحسّنة مع أحجام الخطوات (h = 0.05 ) ، (h = 0.025 ) ، و (h = 0.0125 ) للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية [y ' = {y ^ 2 + xy-x ^ 2 over x ^ 2}، quad y (1) = 2، nonumber ] at (x = 1.0 )، (1.05 )، (1.10 ) ، (1.15 ) ، ... ، (1.5 ). قارن هذه القيم التقريبية مع قيم الحل الدقيق [y = {x (1 + x ^ 2/3) over1-x ^ 2/3} nonumber ] التي تم الحصول عليها في المثال [مثال: 2.4.3}. اعرض نتائجك في جدول مثل الجدول 3.2.2.

9. في المثال [example: 3.2.2} تبين أن [y ^ 5 + y = x ^ 2 + x-4 nonumber ] هو حل ضمني لمشكلة القيمة الأولية [y '= {2x +1 over5y ^ 4 + 1}، quad y (2) = 1. tag {A} ] استخدم طريقة أويلر المحسّنة مع أحجام الخطوات (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، و (h = 0.025 ) للعثور على القيم التقريبية لحل (أ) في (س = 2.0 ) ، (2.1 ) ، (2.2 ) ، (2.3 ) ، ... ، (3.0 ). قدم نتائجك في شكل جدول. للتحقق من الخطأ في هذه القيم التقريبية ، أنشئ جدولًا آخر لقيم القيم المتبقية [R (x، y) = y ^ 5 + yx ^ 2-x + 4 nonumber ] لكل قيمة ((x، y) ) الظاهر في الجدول الأول.

10. يمكنك أن ترى من مثال 2.5.1 أن [x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy = 4 nonumber ] هو حل ضمني لمشكلة القيمة الأولية [y '= - {4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y أكثر من 3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x} ، quad y (1) = 1. tag {A} ] استخدم طريقة أويلر المحسّنة مع أحجام الخطوات (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، و (h = 0.025 ) للعثور على القيم التقريبية لحل (أ) في (س = 1.0 ) ، (1.14 ) ، (1.2 ) ، (1.3 ) ، ... ، (2.0 ). للتحقق من الخطأ في هذه القيم التقريبية ، أنشئ جدولاً آخر لقيم القيم المتبقية [R (x، y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy-4 nonumber ] لكل قيمة ((x، y) ) تظهر في الجدول الأول.

11. استخدم طريقة أويلر المحسّنة مع أحجام الخطوات (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، و (h = 0.025 ) للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية [(3y ^ 2 + 4y) y '+ 2x + cos x = 0، quad y (0) = 1 quad text {(التمرين 2.2.13)} ] at (x = 0 )، (0.1 ) ، (0.2 ) ، (0.3 ) ، ... ، (1.0 ).

12. استخدم طريقة أويلر المحسّنة مع أحجام الخطوات (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، و (h = 0.025 ) للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية [y ' + {(y + 1) (y-1) (y-2) over x + 1} = 0، quad y (1) = 0 quad text {(التمرين 2.2.14)} ] at (س = 1.0 ) ، (1.1 ) ، (1.2 ) ، (1.3 ) ، ... ، (2.0 ).

13. استخدم طريقة أويلر المحسّنة وطريقة أويلر السلالية المحسّنة بأحجام الخطوات (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، و (h = 0.025 ) للعثور على القيم التقريبية للحل الأولي. مشكلة في القيمة [y '+ 3y = e ^ {- 3x} (1-2x) ، quad y (0) = 2 ، nonumber ] في (x = 0 ) ، (0.1 ) ، (0.2 ) ، (0.3 ) ، ... ، (1.0 ). قارن هذه القيم التقريبية بقيم الحل الدقيق (y = e ^ {- 3x} (2 + x-x ^ 2) ) ، والتي يمكن الحصول عليها بطريقة القسم 2.1. هل لاحظت أي شيء مميز بخصوص النتائج؟ يشرح.

Q3.2.3

مشاكل القيمة الأولية الخطية في تمارين 3.2.14-3.2.19 لا يمكن حلها بالضبط من حيث الوظائف الأولية المعروفة. في كل تمرين ، استخدم طرق أويلر المحسّنة وأساليب أويلر الخطية المحسّنة مع أحجام الخطوات المشار إليها للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية المعطاة عند 11 نقطة متباعدة بشكل متساوٍ (بما في ذلك نقاط النهاية) في الفاصل الزمني.

14. (y'-2y = {1 over1 + x ^ 2}، quad y (2) = 2 )؛ (ح = 0.1،0.05،0.025 ) في ([2،3] )

15. (ص '+ 2 س ص = س ^ 2 ، رباعي ص (0) = 3 ) ؛ (h = 0.2،0.1،0.05 ) في ([0،2] ) (تمرين 2.1.38)

16. ({y '+ {1 over x} y = { sin x over x ^ 2}، quad y (1) = 2} )، (h = 0.2،0.1،0.05 ) على ([1،3] ) (تمرين 2.1.39)

17. ({y '+ y = {e ^ {- x} tan x over x}، quad y (1) = 0} )؛ (h = 0.05،0.025،0.0125 ) في ([1،1.5] ) (تمرين 2.1.40),

18. ({y '+ {2x over 1 + x ^ 2} y = {e ^ x over (1 + x ^ 2) ^ 2}، quad y (0) = 1} )؛ (h = 0.2،0.1،0.05 ) في ([0،2] ) (تمرين 2.1.41)

19. (xy '+ (x + 1) y = e ^ {x ^ 2}، quad y (1) = 2 )؛ (h = 0.05،0.025،0.0125 ) في ([1،1.5] ) (تمرين 2.1.42)

Q3.2.4

في تمارين 3.2.20-3.2.22 استخدم طريقة أويلر المحسّنة وطريقة أويلر الخطية المحسّنة مع أحجام الخطوات المشار إليها للعثور على القيم التقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية المحددة عند 11 نقطة متباعدة بشكل متساوٍ (بما في ذلك نقاط النهاية) في الفاصل الزمني.

20. (y '+ 3y = xy ^ 2 (y + 1) ، quad y (0) = 1 ) ؛ (ح = 0.1،0.05،0.025 ) في ([0،1] )

21. ({y'-4y = {x over y ^ 2 (y + 1)}، quad y (0) = 1} )؛ (ح = 0.1،0.05،0.025 ) في ([0،1] )

22. ({y '+ 2y = {x ^ 2 over1 + y ^ 2}، quad y (2) = 1} )؛ (ح = 0.1،0.05،0.025 ) في ([2،3] )

Q3.2.5

23. قم بالتمرين ( PageIndex {7} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسّنة" بـ "طريقة النقطة الوسطى".

24. قم بالتمرين ( PageIndex {7} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسّنة" بعبارة "طريقة Heun’s."

25. قم بالتمرين ( PageIndex {8} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسّنة" بـ "طريقة النقطة الوسطى".

26. قم بالتمرين ( PageIndex {8} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسنة" بعبارة "طريقة Heun’s."

27. قم بالتمرين ( PageIndex {11} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسّنة" بـ "طريقة النقطة الوسطى".

28. قم بالتمرين ( PageIndex {11} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسنة" بعبارة "طريقة Heun’s."

29. قم بالتمرين ( PageIndex {12} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسّنة" بـ "طريقة النقطة الوسطى".

30. قم بالتمرين ( PageIndex {12} ) مع استبدال "طريقة أويلر المحسنة" بعبارة "طريقة Heun’s."

31. أظهر أنه إذا (f ) ، (f_x ) ، (f_y ) ، (f_ {xx} ) ، (f_ {yy} ) ، و (f_ {xy} ) تكون متصلة ومحدودة للجميع ((x، y) ) و (y ) هو حل مشكلة القيمة الأولية [y '= f (x، y)، quad y (x_0) = y_0، nonumber ] ثم (y '' ) و (y '' ') مقيدان.

32. التربيع العددي (انظر تمرين 3.1.23).

  1. اشتق معادلة التربيع [ int_a ^ bf (x) ، dx حوالي 0.5 ساعة (f (a) + f (b)) + h sum_ {i = 1} ^ {n-1} f (a + ih) tag {A} nonumber ] (حيث (h = (ba) / n) ) من خلال تطبيق طريقة أويلر المحسّنة على مشكلة القيمة الأولية [y '= f (x)، quad y ( أ) = 0. nonumber ]
  2. تسمى الصيغة التربيعية (أ) القاعدة شبه المنحرفة. ارسم شكلاً يبرر هذا المصطلح.
  3. بالنسبة للعديد من الاختيارات من (أ ) و (ب ) و (أ ) و (ب ) ، قم بتطبيق (أ) على (و (س) = أ + ب س ) ، مع ( ن = 10،20،40،80،160،320 ). قارن نتائجك بالإجابات الدقيقة واشرح ما تجده.
  4. بالنسبة للعديد من الاختيارات من (a ) و (b ) و (A ) و (B ) و (C ) ، قم بتطبيق (A) على (f (x) = A + Bx + Cx ^ 2 ) ، مع (n = 10 ) ، (20 ) ، (40 ) ، (80 ) ، (160 ) ، (320 ). قارن نتائجك بالإجابات الدقيقة واشرح ما تجده.

3.2E: طريقة أويلر المحسنة والطرق ذات الصلة (تمارين) - الرياضيات

منسق الدورة: الدكتورة جوديث بندر

الجدول الزمني للدورة

يمكن الوصول إلى الجدول الزمني الكامل لجميع الأنشطة الخاصة بهذه الدورة التدريبية من مخطط الدورة التدريبية.

مخرجات التعلم بالطبع
1 أظهر فهمًا للطرق العددية الشائعة وكيفية استخدامها للحصول على حلول تقريبية للمسائل الرياضية المستعصية على الحل.
2 تطبيق الطرق العددية للحصول على حلول تقريبية للمسائل الرياضية.
3 اشتقاق طرق عددية لمختلف العمليات والمهام الرياضية ، مثل الاستيفاء ، والتفاضل ، والتكامل ، وحل المعادلات الخطية وغير الخطية ، وحل المعادلات التفاضلية.
4 تحليل وتقييم دقة الطرق العددية الشائعة.
5 تطبيق الطرق العددية في مطلاب.
6 اكتب كود Matlab الفعال والموثق جيدًا وقدم النتائج الرقمية بطريقة إعلامية.
سمات خريجي الجامعة

ستوفر هذه الدورة للطلاب فرصة لتطوير سمة (سمات) الخريجين المحددة أدناه:

  • على علم ومبهر بأحدث الأبحاث ، مدعمة بالسقالات في جميع أنحاء برنامج دراساتهم
  • المكتسبة من التفاعل الشخصي مع المعلمين النشطين الباحثين ، من السنة الأولى
  • معتمدة أو مصدق عليها وفقًا للمعايير الوطنية أو الدولية (للبرامج ذات الصلة)
  • غارق في أساليب البحث والصرامة
  • بناء على الأدلة التجريبية والنهج العلمي لتنمية المعرفة
  • أظهر من خلال التقييم المناسب وذات الصلة
الموارد المطلوبة
الموارد الموصى بها
تعليم على الانترنت
وسائط التعلم والتدريس

تستخدم هذه الدورة مجموعة متنوعة من الأساليب لتوصيل مادة الدورة.

يتم تقديم بعض مواد المحاضرات باستخدام لقطات الشاشة عبر الإنترنت جنبًا إلى جنب مع تمارين واختبارات Maple TA التفاعلية. يتم تسليم مواد المحاضرات الأخرى في شكل محاضرة تقليدية وجهاً لوجه.

تعقد الدروس كل أسبوعين. في هذه الفصول الدراسية ، ستعمل على حل المشكلات التعليمية التي تهدف إلى تعزيز فهمك لمادة المحاضرة والقدرة على حل المشكلات النظرية. نشجعك على محاولة حل المشكلات قبل البرنامج التعليمي وإكمال جميع المشكلات المتبقية بعد ذلك.

تعقد الدورات العملية كل أسبوعين ، بالتناوب مع الدروس. في هذه الفصول ، سوف تستخدم Matlab لتنفيذ الخوارزميات العددية التي تم تطويرها في المحاضرات. يجب تقديم عمل عملي لإثبات أنك قد أكملت الجلسة.

يتم تعيين الواجبات كل أسبوعين. في الواجبات ، يُطلب منك عادةً كتابة برنامج Matlab لحل مشكلة رياضية وتقديم نتائجك في تقرير مكتوب. يمكن أيضًا طرح أسئلة حول الجوانب النظرية للمشكلة.

عبء العمل

يتم توفير المعلومات أدناه كدليل لمساعدة الطلاب في المشاركة بشكل مناسب مع متطلبات الدورة.

نشاط كمية ساعات العمل
محاضرة 24 72
دروس 5 20
تعيينات 5 40
عملي 6 24
المجاميع 156
ملخص أنشطة التعلم
جدول
الأسبوع 1 مراجعة Matlab ، vectorisation.
الأسبوع 2 الاستيفاء متعدد الحدود. عملي 1: Matlab و Vectorisation.
الأسبوع الثالث التفاضل والتكامل العددي. الدرس 1: الاستيفاء متعدد الحدود.
الأسبوع الرابع الخطوط الخطية والمكعبة في بعد واحد. عملي 2: التكامل والتفاضل العددي.
الأسبوع الخامس شعاعي وظيفة الأساس الشعاعي في أبعاد متعددة. الدرس 2: التكامل والتفاضل العددي.
الأسبوع السادس عوامل LU و QR والتطبيقات. عملي 3: المفاتيح.
الأسبوع السابع القواعد والأرقام الشرطية. طريقة جاكوبي. البرنامج التعليمي 3: تحليل عوامل LU و QR.
الأسبوع الثامن تكرار النقطة الثابتة ، طريقة نيوتن. عملي 4: الجبر الخطي العددي.
الأسبوع التاسع طريقة أويلر ، طريقة أويلر المحسنة ، مشاكل القيمة الأولية. الدرس 4: طريقة جاكوبي وتكرار النقطة الثابتة وطريقة نيوتن.
الأسبوع العاشر طرق Runge Kutta ، قيود الخطوة الزمنية ، حلول Matlab ODE. عملي 5: طريقة نيوتن والمعادلات التفاضلية العادية.
الأسبوع 11 مشاكل القيمة الحدية. المعادلات التفاضلية الجزئية. طرق مونت كارلو. البرنامج التعليمي 5: المعادلات التفاضلية العادية.
الأسبوع الثاني عشر طرق مونت كارلو. إعادة النظر عملي 6: المعادلات التفاضلية الجزئية وتكامل مونت كارلو
X
  1. يجب أن يشجع التقييم ويعزز التعلم.
  2. يجب أن يتيح التقييم إصدار أحكام قوية وعادلة حول أداء الطلاب.
  3. يجب أن تكون ممارسات التقييم عادلة ومنصفة للطلاب وأن تمنحهم الفرصة لإثبات ما تعلموه.
  4. يجب أن يحافظ التقييم على المعايير الأكاديمية.
ملخص التقييم
مكون ترجيح تقييم الهدف
الامتحان (3 ساعات) 65% الجميع
تعيينات 25% الجميع
عملي 6% الجميع
مسابقات / MapleTA 4% الجميع
المتطلبات المتعلقة بالتقييم
تفاصيل التقييم
بند التقييم وزعت تاريخ الاستحقاق ترجيح
ورقة عمل 1 الأسبوع 2 الأسبوع 4 5%
التكليف 2 الأسبوع الرابع الأسبوع السادس 5%
التنازل 3 الأسبوع السادس الأسبوع الثامن 5%
التنازل 4 الأسبوع الثامن الأسبوع العاشر 5%
التنازل 5 الأسبوع العاشر الأسبوع الثاني عشر 5%

سيتم تحديد اختبارات البرنامج التعليمي وتمارين MapleTA طوال الدورة التدريبية. هم متساوون في الوزن.
خضوع

ستحتاج إلى إرسال المكونات الإلكترونية والمطبوعة لكل مهمة. يجب تقديم المكون الإلكتروني حسب تعليمات التنازل. سيتم وضع علامة عليها إلكترونيًا وإضافة النتيجة إلى علامتك المطبوعة. يجب تقديم مكون النسخة المطبوعة إلى الصناديق المخصصة للتسليم داخل كلية العلوم الرياضية مع إرفاق ورقة غلاف موقعة.

لن يتم قبول التخصيصات المتأخرة. قد يتم إعفاء الطلاب من مهمة لأسباب طبية أو عطوفة. التوثيق مطلوب ويجب إخطار المحاضر في أسرع وقت ممكن.

سيكون للواجبات فترة زمنية مدتها أسبوعان لتقديم الملاحظات للطلاب.

تقدير الدورة

سيتم منح الدرجات الخاصة بأدائك في هذه الدورة وفقًا للنظام التالي:

M10 (مخطط علامة الدورات الدراسية)
رتبة علامة وصف
FNS فشل عدم التقديم
F 1-49 يفشل
ص 50-64 يمر
ج 65-74 الإئتمان
د 75-84 امتياز
عالية الدقة 85-100 تمييز عالي
CN استمرار
NFE لا يوجد فحص رسمي
RP النتيجة معلقة

يمكن الحصول على مزيد من التفاصيل حول الدرجات / النتائج من الاختبارات.

تتوفر واصفات الدرجات والتي توفر دليلاً عامًا لمعيار العمل المتوقع في كل مستوى صف. مزيد من المعلومات في التقييم لبرامج الدورات الدراسية.

سيتم توفير النتائج النهائية لهذه الدورة من خلال Access Adelaide.

تولي الجامعة أولوية عالية لأساليب التعلم والتدريس التي تعزز تجربة الطلاب. يتم طلب التعليقات من الطلاب بطرق متنوعة بما في ذلك المشاركة المستمرة مع الموظفين ، واستخدام لوحات المناقشة عبر الإنترنت واستخدام استطلاعات تجربة الطلاب في التعلم والتعليم (SELT) بالإضافة إلى استطلاعات GOS ومراجعات البرامج.

تعد اختبارات SELT مصدرًا مهمًا للمعلومات لإعلام ممارسة التدريس الفردية ، والقرارات المتعلقة بواجبات التدريس ، وتصميم المناهج الدراسية والبرامج. إنها تمكن الجامعة من تقييم مدى فعالية بيئات التعلم وممارسات التدريس في تسهيل مشاركة الطلاب ونتائج التعلم. بموجب سياسة SELT الحالية (http://www.adelaide.edu.au/policies/101/) ، فإن اختبارات SELT الخاصة بالدورة التدريبية إلزامية ويجب إجراؤها في نهاية كل فصل دراسي / فصل دراسي / فصل دراسي لكل عرض دورة. تتاح التعليقات على القضايا التي أثيرت من خلال استطلاعات SELT للطلاب المسجلين من خلال موارد مختلفة (مثل MyUni). بالإضافة إلى ذلك ، تتوفر بيانات SELT المجمعة للدورة التدريبية.

يحتوي هذا القسم على روابط للسياسات والإرشادات ذات الصلة بالتقييم - جميع سياسات الجامعة.

يتم تذكير الطلاب أنه من أجل الحفاظ على النزاهة الأكاديمية لجميع البرامج والدورات ، فإن الجامعة لديها نهج عدم التسامح مطلقًا مع الطلاب الذين يقدمون أموالًا أو سلعًا أو خدمات ذات قيمة كبيرة لأي موظف مشارك في التدريس أو التقييم. الطلاب الذين يقدمون للمحاضرين أو المعلمين أو الموظفين المحترفين أي شيء أكثر من مجرد علامة تقدير صغيرة أمر غير مقبول تمامًا ، في أي ظرف من الظروف. يلتزم الموظفون بالإبلاغ عن جميع هذه الحوادث إلى مشرفهم / مديرهم ، الذي سيحيلهم لاتخاذ إجراء بموجب الإجراءات التأديبية للطالب بالجامعة.

تلتزم جامعة Adelaide بإجراء مراجعات منتظمة للدورات والبرامج التي تقدمها للطلاب. لذلك تحتفظ جامعة Adelaide بالحق في إيقاف أو تغيير البرامج والدورات دون إشعار. يرجى قراءة المعلومات الهامة الواردة في هذا العقد.


3.2E: طريقة أويلر المحسنة والطرق ذات الصلة (تمارين) - الرياضيات

إذا وجدت خطأ أو سهوًا أو ما إلى ذلك ، فيرجى إبلاغي بذلك عبر البريد الإلكتروني.

تحدد الكرة البرتقالية موقعنا الحالي في الدورة.

للحصول على شرح لنمط الخلفية ، انتقل إلى نهاية الصفحة. 31 يناير: plan.pdf و intro.pdf: الإدارة والفلسفة / أمثلة

شهادة CA للرياضيات 259 هي Jeechul Woo ، طالبة دراسات عليا في قسم الرياضيات. التخمين الطبيعي لعنوانه صحيح.

له أقسام سيأخذ مكان الخميس 6 - 7 مساءً في القاعة 109 بمركز العلوم.

2 فبراير: elem.pdf: الطرق الأولية 1: الاختلافات في إقليدس
الواجب المنزلي = تمارين 2 ، 5 ، 6. (تمارين 2.6 تصحيح 4،5 فبراير ، بفضل جيه وو و س شاه على التوالي.)

5 فبراير: euler.pdf: الطرق الأولية II: منتج أويلر لـ s> 1 والعواقب
(تصحيح 5 فبراير ، لإصلاح الخطأ المطبعي في الصفحة 1 [رقم معادلة خاطئ لوظيفة زيتا ، بفضل C.Davis] ، ولإصلاح خطأ مطبعي سخيف [`` خطي غير خطي ''] في الصفحة 6 ومرة ​​أخرى 8 فبراير لتحسين التمرين 2)
الواجب المنزلي = تمارين 2 ، 3 ، 4 ، 7.

7 فبراير و 9 فبراير: dirichlet.pdf: أحرف Dirichlet ونظرية L-series Dirichlet تحت فرضية أن L-series لا تختفي عند s = 1
(تمارين 1،2،3 تصحيح 8/9 فبراير [الأخطاء المطبعية S لـ P في رقم 1 ، `` L-series '' تغيرت إلى `` Dirichlet series '' في # 2 ، توضيح رقم 3] ، بفضل S.Kominers ، J.Lesieutre ، S شاه ، وإي أودوفينا ، خطأان مطبعيان طفيفان بالقرب من منتصف الصفحة 5 تم إصلاحهما في 13 فبراير ، وذلك بفضل N. Wage)
الواجب المنزلي 9 فبراير = التدريبات 1 ، 3 ، 7.
الواجب المنزلي 16 فبراير = التدريبات 5 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11.

21 فبراير: chebi.pdf: مقدمة طريقة سيبيسيف لتقريب ستيرلنغ ، ووظيفة فون مانجولدت Lambda (n) ومجموعها psi (x)
(تصحيح 21 فبراير لإصلاح أخطاء التسجيل في الصفحة 2 [المشتق الثاني من السجل (y) هو -1 / y 2 ، وليس 1 / y 2 - لحسن الحظ ، يؤثر هذا فقط على قيمة C] ، وذلك بفضل J.Woo و Feb .22 لإعطاء المرجع وبعض المعلومات الأساسية لنظرية Diamond-Erdos المذكورة في التمرين 2 ، وذلك بفضل Jeff Lagarias للمؤشر)
الواجب المنزلي = التدريبات 1 ، 4 ، 5 ، 7.

23 فبراير: psi.pdf: تحليل معقد يدخل الصورة عبر صيغة تكامل الكنتور لـ psi (x) ومجاميع مماثلة
(تصحيح 1 مارس لإصلاح خطأ لاحظه N.Wage: التقدير الموجود أسفل الصفحة 2 [والنص اللاحق بناءً عليه ، بما في ذلك التمرين 1] أهمل مصطلح خطأ - أوه!)
الواجب المنزلي = التدريبات 1 ، 2 ، 3.

26 فبراير: zeta1.pdf: المعادلة الوظيفية لوظيفة Riemann zeta باستخدام انعكاس Poisson في سلسلة ثيتا الحقائق الأساسية حول Gamma (س) كدالة لمتغير معقد س
(تمرين 6 و 9 تصحيح 28 شباط (فبراير) و 7 آذار (مارس) [عامل زائف لـ sqrt (Pi) في (8) ، عامل مفقود من 1 / i في المثال 9] ، بفضل صيغة E.Udovina (1) تصحيح 10 مارس - لاحظ جيه وو أن المبلغ انتهى جص كانت بداية غير صحيحة! فورمولا (8) تصحيح 15 مارس - لاحظ سيلاس ريشلسون أن الأس الأخير يجب ألا يكون pi w 2 u)
الواجب المنزلي = التدريبات 1 ، 2 ، 7 (26 فبراير) 8 ، 9 ، 10 (28 فبراير).

2 مارس: gamma.pdf: المزيد حول Gamma (س) كدالة لمتغير معقد س: صيغة المنتج ، وتقريب "ستيرلنغ" ، وبعض النتائج
الواجب المنزلي = التدريبات 1 ، 4 ، 6

5 مارس: prod.pdf: دوال النظام المحدود: صيغة منتج Hadamard ومشتقاتها اللوغاريتمية
(تصحيح 10 مارس لإصلاح خطأ مطبعي لاحظه جيه وو: F0، ليس F، في RHS للصيغة (3))
الواجب المنزلي = تمارين 1، 2، 3، 4

7 مارس: zeta2.pdf: منتجات Hadamard للتوزيع الرأسي xi (s) و zeta (s) لأصفار zeta (s).
(تصحيح 20-21 مارس لإصلاح الأخطاء التي لاحظها J.Woo و T.Oey في السطر الأول من الشاشة أعلى الصفحة 5)
الواجب المنزلي = تمارين 1 ، 2

ظهرت هذه الصورة دون تفسير على صفحة ويب خاصة بجون ديربيشاير رئيس هوس. هو مخطط لدالة ريمان زيتا على حدود المستطيل [0.4،0.6] + [0،14.5]أنا في المستوى المعقد. منذ كفاف الرياح حول الأصل مرة واحدة (ولا تحتوي على النقطة س= 1 ، وهو القطب الفريد من زيتا (س)) ، دالة زيتا لها صفر فريد داخل هذا المستطيل. بما أن الأصفار المعقدة معروفة بأنها متماثلة حول الخط Re (س) = 1/2 ، يجب أن يحتوي هذا الصفر على جزء حقيقي يساوي 1/2 تمامًا ، وفقًا لفرضية ريمان.

من المعروف أن هذا أول `` صفر غير بديهي '' من زيتا (س) يحدث في س=1/2+هو - هي إلى عن على ر= 14.13472514. القطب في س= 1 يمثل النطاق الواسع في الربع الثالث ، والذي يتوافق مع س من الجزء التخيلي أقل من 1.

هذه صورة مشابهة لـ L (س، تشي4) في [0.4،0.6] + [0،11]أنا. بدون عمود في الحي ، هذه الصورة أقل إثارة للاهتمام بصريًا. نرى أول صفرين غير بديلين ، بأجزاء تخيلية 6.0209489. و 10.2437703.

لمزيد من الصور على طول هذه الأسطر ، انظر مخطوطة خوان أرياس دي رينا `` X-Ray لوظيفة ريمان زيتا '' ، الجزء 1 والجزء 2.

9 مارس: free.pdf: عدم طلاء زيتا (ق) على الحافة سيجما = 1 من الشريط الحرج ، والمنطقة الكلاسيكية الخالية من الصفر لـ
الواجب المنزلي = التمرين 1

12 مارس: pnt.pdf: اختتام برهان نظرية الأعداد الأولية بالخطأ المرتبط بفرضية ريمان ، وبعض نتائجها وما يقابلها من عبارات.
الواجب المنزلي = تمارين 1 ، 2 ، 3

إليك ورقة توضيحية بقلم ب. كونري حول فرضية ريمان ، والتي تتضمن عددًا من الصور الموحية الأخرى التي تتضمن دالة زيتا ريمان وأصفارها وتوزيع الأعداد الأولية.

ها هي ورقة روبنشتاين-سارناك "تحيز تشيبيشيف" (في PostScript ، من المجلة الرياضيات التجريبية حيث ظهرت الورقة عام 1994).

فيما يلي قائمة ببليوغرافيا للحسابات السريعة لـ pi (x).

[14 آذار / مارس: إغلاق الصورة تحت زيتا لخط عمودي لجزء حقيقي أكبر من 1 تطبيق: حد | زيتا | على مثل هذا الخط ، والسمة العليا (= 1.0339080723629239.) للأجزاء الحقيقية من الخطوط التي تأخذ زيتا عليها قيمًا حقيقية سالبة.]

16 مارس: lsx.pdf: L (s ، chi) كدالة كاملة (حيث chi عبارة عن حرف بدائي غير بديهي mod q) مجموع Gauss ، والمعادلة الوظيفية المتعلقة L (s ، chi) مع L (1- ق ، بار تشي)
(تمرين 2 تصحيح 21 مارس لإصلاح خطأ لاحظه E.Udovina ، لا يمكننا بالتأكيد أن نتوقع الحصول على وظيفة تحليلية بشكل عام على مغلق نصف مستوي ، لأنه حتى لو تقارب هناك فلا داعي لأن يلتقي في أي حي. )
الواجب المنزلي = التدريبات 1 ، 2 ، 3 (16 مارس) 4 ، 5 ، 12 (19 مارس)

21 مارس: pnt_q.pdf: صيغة المنتج لـ L (s ، chi) ، وما يترتب على ذلك من تحلل جزئي لمشتقها اللوغاريتمي ، وهي منطقة خالية من الصفر (سيئة!) لـ L (s ، chi) ، والتقديرات الناتجة عن psi (x، chi) وبالتالي على psi (x، a mod q) و pi (x، a mod q). فرضية ريمان الموسعة وعواقبها.
الواجب المنزلي = التدريبات 1 ، 2 ، 3

[23 مارس: علامة مجاميع Gauss التربيعية ، عبر المصفوفة المنفصلة لـ Fourier تحول بعض الوصلات المألوفة والأقل شيوعًا بين مجموع Gauss التربيعي والمعاملة التربيعية]


السياسات العامة والمعلومات

تنطبق المعلومات الواردة في هذا القسم على جميع الدورات التي يقدمها القسم

الطلاب ذوي الإعاقة

إذا كنت طالبًا من ذوي الإعاقة وتعتقد أنك ستحتاج إلى أماكن إقامة لهذا الفصل ، فمن مسؤوليتك الاتصال بمركز نجاح قدرات الطلاب على (619) 594-6473. لتجنب أي تأخير في استلام أماكن الإقامة الخاصة بك ، يجب عليك الاتصال بمركز نجاح قدرات الطلاب في أقرب وقت ممكن. يرجى ملاحظة أن أماكن الإقامة ليست بأثر رجعي ، وأنني لا أستطيع توفير تسهيلات بناءً على الإعاقة حتى أتلقى خطاب إقامة من مركز نجاح قدرات الطلاب. هو محل تقدير تعاونكم.

خصوصية الطلاب والملكية الفكرية

يفرض قانون الخصوصية والحقوق التعليمية للأسرة (FERPA) حماية معلومات الطلاب ، بما في ذلك معلومات الاتصال والدرجات والواجبات المصنفة. لن أنشر الدرجات أو أترك واجبات تم تقديرها في الأماكن العامة. سيتم إخطار الطلاب في وقت المهمة إذا كان سيتم الاحتفاظ بنسخ من عمل الطلاب بعد نهاية الفصل الدراسي أو استخدامها كأمثلة للطلاب المستقبليين أو للجمهور الأوسع. يحتفظ الطلاب بحقوق الملكية الفكرية لمنتجات العمل التي يقومون بإنشائها كجزء من هذه الدورة التدريبية ما لم يتم إخطارهم رسميًا بخلاف ذلك.

مركز تعلم الرياضيات والإحصاء

يقع مركز SDSU Math & amp Stat التعليمي في مكتبة الحب ، الغرفة LL-328. "مركز تعلم الرياضيات والإحصاءات مفتوح لدعم الطلاب في جميع دورات الرياضيات في الأقسام الدنيا في SDSU. لدينا مدرسون متاحون للمساعدة خلال جميع ساعات العمل. كما يشغل TAs للرياضيات 141 و 150 و 151 و 252 مكاتبهم هناك ساعات هناك. يرجى الاطلاع على الجدول الزمني لوقت وجود TAs لصفك في المركز من خلال الانتقال إلى موقعنا على الويب: mlc.sdsu.edu. يتم دعم MLC من خلال رسوم نجاح الطالب الخاص بك. نحن نشجعك بشدة على استخدام هذا الرائع ، مورد مجاني. يعتقد بعض الطلاب أنه لا ينبغي عليهم طلب المساعدة. ولكن ، أظهرت الأبحاث أن متوسط ​​الدرجة للطلاب الذين يحضرون MLC أعلى بمقدار نصف درجة من أولئك الذين لا يسعون للحصول على مثل هذا الدعم. "

إذا كنت مسجلاً في فصل دراسي لا يحتوي على دعم مستهدف ، فلا يزال بإمكان MLC العمل كمكان دراسة / اجتماع رياضي رائع ، وإذا كنت مهتمًا بأن تصبح مدرسًا في المركز ، فراقب صفحة الويب الخاصة بالمركز لإعلانات التوظيف .

الغش والانتحال

يتم تشجيع الطلاب بشكل عام على الدراسة معًا والعمل معًا لحل التمارين. النهائيات ، ونصف المدة ، والاختبارات ، والمشروع ، والأخرى المعينة "العمل الفردي" يجب إكمال الأنشطة دون مساعدة. سيتم الإبلاغ عن جميع الانتهاكات إلى مركز حقوق الطلاب ومسؤولياتهم وستؤدي أيضًا إلى تخفيض درجات / درجات وفقًا لتقدير الأستاذ. يرجى مراجعة سياسة SDSU الكاملة بشأن الصدق الأكاديمي.

  • النسخ ، جزئيًا أو كليًا ، من اختبار آخر أو فحص آخر
  • الحصول على نسخ من اختبار أو امتحان أو أي مادة دراسية أخرى دون الحصول على إذن من المعلم
  • التعاون مع الآخرين أو الآخرين في العمل ليتم تقديمها دون إذن من المدرب
  • تزوير السجلات أو العمل المخبري أو بيانات الدورة التدريبية الأخرى
  • تقديم عمل سبق تقديمه في مقرر آخر إذا كان مخالفًا لقواعد الدورة
  • تعديل أو التدخل في إجراءات الدرجات
  • مساعدة طالب آخر في أي مما سبق
  • استخدام المصادر حرفيًا أو إعادة الصياغة دون إعطاء الإسناد المناسب (يمكن أن يشمل ذلك العبارات والجمل والفقرات و / أو صفحات العمل)
  • نسخ العمل ولصقه من مصدر متصل أو غير متصل مباشرة وتسميته بنفسك
  • باستخدام المعلومات التي تجدها من مصدر متصل أو غير متصل بالإنترنت دون منح المؤلف الائتمان
  • استبدال كلمات أو عبارات من مصدر آخر وإدخال كلماتك أو عباراتك

الاحتفالات الدينية

وفقًا لملف سياسة الجامعة ، يجب على الطلاب إخطار المدرسين بالدورات المتأثرة بالغياب المخطط لها للاحتفالات الدينية بحلول نهاية الأسبوع الثاني من الفصول الدراسية.

الغيابات الطبية

يُطلب من الطلاب الاتصال بأستاذهم / مدرسهم في حالة احتياجهم لتغيب عن الفصل ، وما إلى ذلك بسبب مرض أو إصابة أو حالة طوارئ. جميع القرارات المتعلقة بتأثير الغياب ، وكذلك أي ترتيبات لتعويض العمل ، تقع على عاتق المدربين. لا تقدم خدمات صحة الطلاب (SHS) أعذارًا طبية للغياب قصير الأمد بسبب المرض أو الإصابة. عندما يستمر الغياب لأسباب طبية لأكثر من خمسة أيام ، ستعمل SHS مع الطلاب لتقديم الوثائق المناسبة. عندما يكون الطالب في المستشفى أو يعاني من مرض أو إصابة خطيرة ومستمرة ، ستقوم SHS ، بناءً على طلب الطالب وبموافقة الطالب ، بالتواصل مع معلمي الطالب عبر نائب الرئيس لشؤون الطلاب ويمكنها التواصل مع مساعد العميد للطالب و / أو مركز نجاح قدرة الطالب

العنف الجنسي / الإبلاغ المفوض من الباب التاسع

جميع مدربي SDSU هم مراسلين مفوضين ، وبالتالي يُطلب منهم مشاركة المعلومات المتعلقة بالعنف الجنسي في حرم SDSU مع منسق العنوان التاسع ، جيسيكا رينتو 619-594-6017. يتمتع منسق العنوان التاسع بإمكانية الوصول إلى أماكن الإقامة وخدمات الدعم في SDSU ، وإمكانيات محاسبة الشخص الذي أساء إليك. لست مطالبًا بمشاركة المعلومات التي لا ترغب في الكشف عنها وسيكون مستوى مشاركتك وفقًا لتقديرك. إذا كنت لا تريد إخطار موظف Title IX ، فبدلاً من الكشف عن هذه المعلومات لمدرسك ، يمكنك التحدث بسرية مع الأشخاص التاليين في الحرم الجامعي وفي المجتمع: محامي ضحايا العنف الجنسي 619-594-0210 أو الاستشارة والخدمات النفسية 619-594-5220، [email & # 160protected] يمكنهم توصيلك بخدمات الدعم ومناقشة الخيارات لمتابعة تحقيق جامعي أو جنائي. لمزيد من المعلومات حول حقوقك الجامعية وخياراتك بصفتك أحد الناجين من سوء السلوك الجنسي أو العنف الجنسي ، يرجى زيارة العنوان titleix.sdsu.edu.

إفادة Kumeyaay Land

منذ آلاف السنين ، كان شعب كومياي جزءًا من هذه الأرض. لقد غذتهم هذه الأرض وشفائهم وحمايتهم واحتضنتهم لأجيال عديدة في علاقة من التوازن والتناغم. بصفتنا أعضاء في مجتمع ولاية سان دييغو ، فإننا نعترف بهذا الإرث. نحن نعزز هذا التوازن والتناغم. نجد الإلهام من هذه الأرض أرض كومياي.


حساب ثابت أويلر (هـ)

رقم أويلر ، المكتوب على هذا النحو ، هو على الأرجح ثاني أشهر ثابت رياضي بعد Pi. ولكن ما هو رقم أويلر ، وكيف نحسبه؟ في الحقيقة ، لماذا ه أصبحت مشهورة جدًا ، ولماذا تستحق مكانًا على آلاتنا الحاسبة وفي قاعة الشهرة الرياضية الثابتة؟

ما هو رقم أويلر (ه) ومن أين أتى؟

قيمة رقم أويلر هي 2.718 ... ، ولكن مثل Pi ، فهو رقم غير منطقي ، مما يعني أنه لا يمكن كتابته في صورة كسر وأن له توسعًا عشريًا سيستمر إلى الأبد دون تكرار. رقم أويلر ه أصبح مشهورًا لسببين رئيسيين: أولاً ، يتم استخدامه في الكثير من مواقف الحياة الواقعية المهمة ، وثانيًا أنه يحتوي على العديد من الخصائص الرياضية المثيرة للاهتمام. يشكل هذا رقمًا رائعًا ومفيدًا للعلماء والمهندسين وعلماء الرياضيات على حدٍ سواء.

رقم أويلر ه والفائدة المركبة

تم اكتشاف رقم أويلر لأول مرة بواسطة جاكوب برنولي في القرن السابع عشر عندما درس مشكلة الفائدة المركبة.

تخيل أن لديك جنيهًا إسترلينيًا واحدًا وأنك تحصل على فائدة مرتين سنويًا بمعدل 50٪.

في نهاية العام ، ستحصل على 1 جنيه إسترليني = 2.25 جنيه إسترليني

تخيل الآن أن لديك جنيهًا إسترلينيًا واحدًا وتحصل على فائدة 12 مرة في السنة ، أو كل شهر بمعدل (8.3٪)

في نهاية العام ، ستحصل على £ 1 £ 2.61303529

تخيل الآن أن لديك جنيهًا إسترلينيًا واحدًا وتحصل على فائدة 365 مرة في السنة ، أو كل يوم بمعدل (0.2739 & # 8230.٪)

في نهاية العام ، ستحصل على £ 1 £ 2.714567482

طرح جاكوب برنولي سؤالاً هامًا: ماذا سيحدث إذا تلقيت اهتمامًا كثيرًا لدرجة أنك تلقيته باستمرار؟

في الواقع ، ما هي قيمة n تتجه نحو اللانهاية؟

ربما تكون قد خمنت الإجابة بالفعل ، بمجرد النظر إلى مثالنا حيث n = 365 ، والذي يقترب بالفعل من ذلك. يقودنا هذا إلى الطريقة الأكثر شهرة في الحساب:

حساب قيمة رقم أويلر ه كحد:

(استمر في وضع قيم أكبر وأكبر لـ ، حتى تقترب حقًا من القيمة الحقيقية لـ.)

Unfortunately, Jacob Bernoulli didn’t have a computer at his disposal and was only able to say that the value was between 2 and 3. Some years later Leonhard Euler, one of the greatest mathematicians in history managed to calculate the value of , correct to 18 decimal places. Euler had also discovered the following:

Calculating the value of Euler’s Number ه using an infinite series:

(In case you are wondering, 5! يعني and is the factorial function)

The more terms you calculate, the closer you will get to the true value of . You will only arrive at the exact value of if you carry on adding up the sequence forever.

Nobody knows exactly how Euler calculated to 18 decimal places, however the best guess is that he used the sequence above. It was also Euler who named the constant ‘’. Surprisingly, historians are fairly certain that he didn’t name it after himself, but that it was a pure coincidence that he chose the first letter of his surname.

Continued Fractions and ه

Euler was also able to represent in the form of a “continued fraction”. There are lots of different ways to represent ه as an infinite continued fraction. Here is one of them:

Calculating the value of Euler’s Number e as a continued fraction:

Other ways to calculate ه

The three main ways of calculating have been listed above. There are however many other lesser known representations of such as:

If you visit the Wolfram Mathworld page on ه, you can browse through a huge collection of different ways of calculating, some of which are very complicated indeed. This same page also lists a collection of mnemonics to help you remember the digits of . A favourite has to be:

“It enables a numskull to memorize a quantity of numerals” (10 digits)

Count the letters in each word and you will have: 2.718281828

Where is Euler’s Number ه used in the real world?

Compound Interest is not the only practical use for . In fact, Euler’s number , the function , and the natural logarithm with base appear a lot in real-life processes. The main reason for this is that the exponential function can be used to describe growth and decay.

  • How populations grow
  • How temperature changes as materials heat up or cool down
  • Radioactive decay of particles

Unique mathematical property of

The function has a special mathematical property which has important consequences for calculations involving , making the mathematics involved work much more easily than with many other functions. It is one of the reasons that is used so frequently to model the real world.

The function is the only function where it is equal to its derivative ( stands for any number, and this just means that the property also holds for multiples of ). When you differentiate , it remains unchanged: . This also means that when you integrate it will remain unchanged apart from the constant of integration. This unique property simplifies many calculations involving

Don’t forget about

No discussion about Euler’s Number ه would be complete without mentioning one of the most famous equations in mathematics called Euler’s Equation:

(If you aren’t sure what stands for – it is equal to the square root of minus 1 and is called an imaginary number.)

Euler’s Equation shows that both and are connected to one another. This is really surprising, given that comes from looking at the properties of a circle, and arises from situations which have nothing to do with circles such as compound interest. Euler’s Equation shows that is more than just a useful number which can be used by scientists to model the real world – it is a fascinating number in its own mathematical right.

Leonhard_Euler by Jakob Emanuel Handmann [Public domain], via Wikimedia Commons
Radioactive by [email protected]
Jacob Bernoulli By Niklaus Bernoulli (1662-1716) ([2] [3]) [Public domain], via Wikimedia Commons


Math class methods

Min() , max()

Let's start with the simple methods Both functions take two numbers of any data type as parameters. Min() returns the smallest number, max() returns the greatest one.

Round() , ceil() , floor()

All three functions are related to rounding. Round() takes a decimal number as parameter and returns the rounded number of the double data type in the way we learned in school (from 0.5 it rounds upwards, otherwise downwards). Ceil() upwards and floor() rounds downwards no matter what.

We'll certainly be using round() very often. I practically used the other functions e.g. in determining the number of pages of a guestbook. When we've 33 comments and we print only 10 comments per page, they'll, therefore, occupy 3.3 pages. The result must be rounded up since there will be actually 4 pages.

Abs() and signum()

Both methods take a number of any type as a parameter. Abs() returns its absolute value and signum() returns a number based on its sign, -1 , 0 or 1 (for a negative number, zero and a positive number).

Sin() , cos() , tan()

Classic trigonometric functions, all take an angle as a double , which has to be entered in radians (not degrees if your country uses them). To convert degrees to radians we multiply them by * (Math.PI / 180) . The return value is also a double .

Acos() , asin() , atan()

Inverse trigonometric (arcus, sometimes cyclometric) functions, which return the original angle according to the trigonometric value. The parameter is a double and the returned angle is in radians (also as double ). If we wish to have an angle in degrees, we have to divide the radians by / (180 / Math.PI) .

Pow() and sqrt()

Pow() takes two double parameters. The first is the base of the power and the second is the exponent. If we wanted to calculate eg. 2^3 , the code would be as following:

Sqrt is an abbreviation of SQuare RooT, which returns the square root of the number given as a double . Both functions return a double as the result.

Exp() , log() , log10()

Exp() returns the Euler's number raised to a given exponent. Log() returns the natural logarithm of a given number. Log10() returns the decadic logarithm of a number.

Hopefully, you noticed that the method list lacks any general root function. We, however, can calculate it using the functions the Math class provides.

We know that roots work like this: 3rd root of 8 = 8^(1/3). So we can write:

It's very important to write at least one number with a decimal point when we are dividing, otherwise, Java will assume that we want it to apply whole-number division, and the result would have been 8 ^ 0 = 1 in this case.


شرح الكتاب

Modelling with Ordinary Differential Equations integrates standard material from an elementary course on ordinary differential equations with the skills of mathematical modeling in a number of diverse real-world situations. Each situation highlights a different aspect of the theory or modeling. Carefully selected exercises and projects present excellent opportunities for tutorial sessions and self-study.
This text/reference addresses common types of first order ordinary differential equations and the basic theory of linear second order equations with constant coefficients. It also explores the elementary theory of systems of differential equations, Laplace transforms, and numerical solutions. Theorems on the existence and uniqueness of solutions are a central feature. Topics such as curve fitting, time-delay equations, and phase plane diagrams are introduced. The book includes algorithms for computer programs as an integral part of the answer-finding process. Professionals and students in the social and biological sciences, as well as those in physics and mathematics will find this text/reference indispensable for self-study.


2 إجابات 2

Before trying to speed up the interpreted code, you should care to get a correct solution at all. That there is still something amiss is visible in the time computations to+i*h that are only valid for a fixed step size. I'll explain the adaptive method from first principles.

The error estimation by Richardson extrapolation

uses the approximation that the numerical solution at time t computed with step size h relates to the exact solution in first order as

gives that the advancement in one and two steps of half size has the errors

is an estimator of the local error at step size h/2 . We know that the local errors in first order add to the global error (in a better approximation there is some compounding with the Lipschitz constant as "annual" interest rate). Thus in the reverse direction we desire to get that the local error is a h sized part of the global error. Divide all local error quantities by h to get values that directly compare to the global error.

The adaptive step size controller

now tries to keep that local error estimate local_err = norm(y(hh)-y(h/2h))/h = norm(C)*h/2 inside some corridor [tol/100, tol] where ´tol´ stands for the desired global error. The ideal step size from the current data is thus computed as

In the algorithm one would compute these integration steps and error estimates and then accept the steps and advance the computation if inside the tolerance bounds, then adapt the step size by above formula go to the next iteration of the loop. Instead of using the computed ideal step size one could also modify the step size by constant factors in the direction of the ideal step size. In general this will only increase the number of rejected steps to still reach the ideal step size.

To avoid oscillations and too abrupt changes in the tried and used step sizes, introduce some kind of moving average, dampen the change factor in direction 1 like in

In code this could look like

The practical application of this method gives the following plot.

In the top the solution curves are depicted. One sees a higher density at the curved or rapidly changing parts and a lower density where the solution curve is more straight. In the lower part the error against the solution of lowest tolerance is displayed. The difference is scaled by the tolerance of the solution, so that all share the same scale. As one can see, the output traces the tolerance demanded at input closely.


INDUCTIVE METHOD:

The inductive method is to move from specific examples to generalization and the deductive method is to move from generalization to specific examples.

Merits of the inductive method:

  • Scientific Method
  • The content becomes crystal clear to students.
  • Based on Actual Observation and Experimentation.
  • Thinking is Logical
  • Suitable for beginners
  • Increases Pupil – Teacher Relationship
  • Home Work is reduced

Demerits of the method

  • Not suitable for all topics
  • Time-Consuming Method
  • Laborious Method
  • Not Suitable for all types of students

DEDUCTIVE METHOD

  • It is a method of reasoning by which concrete applications or consequences are deducted from general principles or theorems are deduced from definitions and postulates.
  • أنه proceeding from Abstract to Concrete, General to Particular, and Formula to Exampleس.
  • Students are given formula/rules/laws/principles directly.

Merits of this method

  1. Time-Saving Method
  2. Suitable for all topics
  3. Suitable to all Students
  4. Glorifies Memory
  5. Useful at Revision Stage
  6. Speed and efficiency
  7. Mostly Used at Higher Stage level

Demerits of this method

  • Not a psychological Method
  • No Originality and Creativity
  • Blind Memorization
  • Educationally Unsound
  • Students are Passive Learners
  • The reasoning is not clear

ANALYTIC METHOD

It proceeds from unknown to known, ’Analysis’ means ‘breaking up’ of the problem in hand so that it ultimately gets connected with something obvious or already known.

It is the process of unfolding of the problem or of conducting its operation to know its hidden aspects.

SYNTHETIC METHOD

  • It is the opposite of the analytic method. Here one proceeds from known to unknown.
  • In practice, synthesis is the complement of analysis.
  • To synthesis is to place together things that are apart.
  • It starts with something already known and connects that with the unknown part of the statement.
  • It starts with the data available or known and connects the same with the conclusion.
  • It is the process of putting together known bits of information to reach the point where unknown information becomes obvious and true.

PROBLEM-SOLVING METHOD

The problem-solving method is one, which involves the use of the process of problem-solving or reflective thinking or reasoning. The problem-solving method, as the name indicated, begins with the statement of a problem that challenges the students to find a solution.

Procedure for Problem-solving

  1. Identifying and defining the problem
  2. Analyzing the problem
  3. Formulating tentative hypothesis
  4. Testing the hypothesis
  5. Verifying of the result of checking the result

LABORATORY METHOD

  • The laboratory method is based on the maxim “learning by doing.”
  • This is an activity method and it leads the students to discover mathematics facts.
  • In it, we proceed from concrete to abstract.

The laboratory method is a procedure for stimulating the activities of the students and to encourage them to make discoveries.

  • هذه الطريقة needs a laboratory in which equipment and other useful teaching aids related to mathematics are available.
  • For example, equipment’s related to geometry, mathematical model, chart, balance, various figures, and shapes made up of wood or hardboards, graph paper, etc.

The procedure of Laboratory method

  • Aim of The Practical Work
  • Provided materials and instruments
  • Provide clear instructions
  • Carry out the experiment
  • Draw the conclusions

PROJECT METHOD

The project method is of American origin and is an outcome of Dewey’s philosophy of pragmatism. However, this method is developed and advocated by Dr. Kilpatrick.

Steps involved in Project Method

  1. Providing /creating the situations
  2. Proposing and choosing the project
  3. Planning the project
  4. Execution of the project
  5. Evaluation of the project
  6. Recording of the project

3.2E: The Improved Euler Method and Related Methods (Exercises) - Mathematics

Nonlinear dynamics and chaos

Day and time of course: Mon, Wed, Fri, 10:00-11:00. Location: Pierce 307

Teaching notes كتب مدرسية Syllabus متطلبات

What's the point about optional/ extra credit problems: apart from the fun of doing them, they will count against homework problems in which you may have missed an answer. . .

  • ( St ) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering by Steven H. Strogatz
  • ( Sc ) Deterministic Chaos: An Introduction Heinz Georg Schuster, [VCH, 2nd edition, 1989]
  • ( Ott ) Chaos in dynamical systems , 1993. Edward Ott, Cambridge University Press.
  • ( GH ) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields , Guckenheimer, J and P. Holmes, Springer-Verlag, 1983.
  • ( W ) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Stephen Wiggins, 1990. (Texts in Applied Mathematics, Vol 2).
  • ( JS ) Classical Dynamics, a contemporary approach. Jorge V. Jose and Eugene J. Saletan. 1993 Cambridge University Press .
  • ( G ) Classical Mechanics , Herbert Goldstein, 2nd edition, 1981. Addison Wesley.

The course will introduce the students to the basic concepts of nonlinear physics, dynamical system theory, and chaos. These concepts will be demonstrated using simple fundamental model systems based on ordinary differential equations and some discrete maps. Additional examples will be given from physics, engineering, biology and major earth systems. The aim of this course is to provide the students with analytical methods, concrete approaches and examples, and geometrical intuition so as to provide them with working ability with non-linear systems.

  • A bit of history (Lorentz and the ``butterfly effect'')
  • Modeling - defining phase space, dimension, parameters, deterministic versus stochastic modeling finite vs infinite dimensional (PDE's, integral eq.) models, linear vs non-linear, autonomous vs non-autonomous systems
  • Examples: population dynamics, pendulum, Lorenz eq., .
  • The geometric approach to dynamical systems
  • Fixed points, linearization, and stability
  • Non-dimensionalization, the Buckingham Pi theorem (see notes here), small parameters, scales.
  • Dynamical systems - continuous vs discrete time (ODEs vs maps St 348), conservative vs dissipative ( St 312).
  • Existence, uniqueness and smooth dependence of solutions of ODE's on initial conditions and parameters.
  • The role of computers in nonlinear dynamics, a simple example of a numerical solution method for ODEs (improved Euler scheme).
  • Outline of rest of course.
  • What's a bifurcation, local vs global bifurcations ( GH ډ.1). Implicit function theorem, classification of bifurcations by number and type (real/ complex) eigenvalues that cross the imaginary axis.
  • saddle-node bifurcation ( St ډ.1 GH ډ.4)
  • Transcritical bifurcation, super critical and sub critical ( St ډ.2 GH ډ.4).
  • Pitchfork, super-critical and sub-critical. bead on a rotating hoop, higher order nonlinear terms and hysteresis ( St § 3.4 GH ډ.4)
  • Some generalities: center manifold and normal form. ( GH ډ.2-3.3).
  • Role of symmetry and symmetry breaking (imperfect bifurcations), relation to catastrophes and sudden transitions. ( St ډ.6)
  • Flows on a circle - oscillators, synchronization (fireflies flashing, Josephson junctions) ( St ڊ)

  • Linear systems: classifications, fixed points, stable and unstable spaces ( St ڋ)
  • Non-linear systems: phase portrait ( St ڌ.1), fixed points and linearization( St ڌ.3), stable and unstable manifolds ( St ڌ.4), conservative systems ( St ڌ.5), reversible systems ( St ڌ.6), Solution of the (fully non-linear) damped pendulum equation ( St ڌ.7), index theory ( St ڌ.8).
  • Limit cycles: Ruling out and finding out closed orbits (Lyapunov functions, Poincare Bendixon theorem) ( St ڍ.2 and ڍ.3)
  • relaxation oscillations (relation to glacial cycles) ( St ڍ.5), weakly non-linear oscillators (Duffing eq) ( St ڍ.6), Averaging method and two time-scales ( St ڍ.6)
  • Hopf bifurcation and oscillating chemical reactions ( St ڎ.2),
  • Global bifurcations of cycles: saddle-node infinite period, and homoclinic bifurcations, examples in Josephson Junction and driven pendulum in 2D ( St ڎ.4 andڎ.5)
  • Quasi periodicity, coupled oscillators, nonlinear resonance/ frequency locking (Frequency locking of glacial cycles to earth orbital variations), ( St ڎ.6)

The Lorentz model as an introduction to chaotic systems (examples briefly motivating it from atmospheric dynamics and as a model of Magnetic field reversals of the Earth) and then a more systematic characterization of chaotic systems (examples from fluid dynamics and mantle convection) ( St ڏ). Some preliminaries: Poincare maps.

  • Period doubling: logistic map, chaos, periodic windows, renormalization, quantitative and qualitative universality. ( Sc ډ)
  • Intermittency: in Lorenz system, in logistic map. Length of laminar intervals from renormalization and simpler approaches. Categories of intermittency (types I,II,III), ( Sc ڊ).
  • Quasi-periodicity/ 1-2-chaos/ Ruelle-Takens-Newhouse breakdown of 2d torus in experimental systems 1D circle map and overlapping of resonances reconstructed circle map from a time series damped-forced pendulum and El Nino's chaos ( Sc ڌ)
  • Characterizing chaotic systems: Delay coordinates, embedding, Lyapunov exponents (Ott ڊ.4 p. 129) Kolmogorov entropy ( Sc Appendix F and p 113 Greiner, Neise and Stocker `` thermodynamics and statistical mechanics '', p. 150) fractals and fractal dimensions, dimension spectrum ( St § 11, p. 398-412 Ott ډ, p69-71, 78-79, 89-92) Multi-fractals: dissipation in a turbulent flow, relation to dimension spectrum. ( Ott ڏ, p 305-309).
  • The horseshoe map and symbolic dynamics ( Ott 108-114) Heteroclinic and homoclinic tangles and creation of a horseshoe from a homoclinic intersection ( Ott ڊ.3). Shilnilov's phenomenon and chaos due to a 3d homoclinic orbit (GH, ڌ.5, p 318-323 and p 12-14 in Vered Rom-Kedar's notes).
  • Examples (Pendulum, The n-body problem)
  • Basics: Hamiltonian systems Liouville theorem/ symplectic condition ( Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Motivation: the kicked rotor and chaos in the standard map ( Ott , p 216-217, 235-237 JS ڍ.5.1 p. 453-459).
  • More Basics: integrable vs non-integrable Hamiltonian systems motion of integrable on N-torus Canonical change of coordinates and generating functions ( G , ڏ-1, p. 378-385, Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Perturbations to integrable systems averaging resonant and non-resonant tori ( G , 䅇-5, p 519-523) destruction of resonance tori and arising of chaos, KAM theory ( Ott § 7.2).
  • ``diffusion'' ( Ott ڍ.3.3), fluid mixing ( Ott p 246-249).

Homeworks will be given throughout the course. The best 80% of the assignments will constitute 50% of the final grade. A final take home exam will constitute another 50%.