مقالات

5: الدوال المثلثية


الدوال المثلثية هي وظائف الزاوية. إنها مهمة في دراسة المثلثات ونمذجة الظواهر الدورية ، من بين العديد من التطبيقات الأخرى.

  • 5.0: مقدمة للدوال المثلثية
    تُعرف الوظيفة التي تكرر قيمها في فترات منتظمة بالوظيفة الدورية. تُظهر الرسوم البيانية لمثل هذه الوظائف شكلاً عامًا يعكس نمطًا يستمر في التكرار. هذا يعني أن الرسم البياني للدالة له نفس المخرجات في نفس المكان تمامًا في كل دورة. وهذا يترجم إلى أن جميع دورات الدالة لها نفس الطول بالضبط.
  • 5.1: الزوايا
    تتكون الزاوية من اتحاد شعاعين ، عن طريق الحفاظ على الجانب الأولي ثابتًا وتدوير الجانب النهائي. يحدد مقدار الدوران قياس الزاوية. تكون الزاوية في الوضع القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الأولي يقع على طول المحور x الموجب. يتم قياس الزاوية الموجبة عكس اتجاه عقارب الساعة من الضلع الأولي والزاوية السالبة في اتجاه عقارب الساعة.
  • 5.2: دائرة الوحدة - وظائف الجيب وجيب التمام
    في هذا القسم ، سنفحص هذا النوع من الحركة الدوارة حول الدائرة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى تحديد نوع الدائرة أولاً ، ثم وضع تلك الدائرة على نظام إحداثيات. ثم يمكننا مناقشة الحركة الدائرية بدلالة أزواج الإحداثيات.
  • 5.3: الدوال المثلثية الأخرى
    تسمح لنا الدوال المثلثية بتحديد أشكال ونسب الكائنات بشكل مستقل عن الأبعاد الدقيقة. لقد حددنا بالفعل وظائف الجيب وجيب التمام لزاوية. على الرغم من أن الجيب وجيب التمام هما الدالتان المثلثيتان الأكثر استخدامًا ، إلا أن هناك أربعة وظائف أخرى. يشكلون معًا مجموعة من ست وظائف مثلثية. في هذا القسم ، سوف نتحرى عن الوظائف المتبقية.
  • 5.4: المثلث القائم الزاوية
    لقد حددنا سابقًا جيب وجيب الزاوية بدلالة إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة يتقاطع معها الضلع النهائي للزاوية. في هذا القسم ، سنرى طريقة أخرى لتعريف الدوال المثلثية باستخدام خصائص المثلثات القائمة.
  • 5.E: الدوال المثلثية (تمارين)
  • 5.R: الدوال المثلثية (مراجعة)
    لقد حددنا سابقًا جيب وجيب زاوية زاوية بدلالة إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة يتقاطع معها الضلع النهائي للزاوية. في هذا القسم ، سنرى طريقة أخرى لتعريف الدوال المثلثية باستخدام خصائص المثلثات القائمة.

5: الدوال المثلثية

لدينا

sec 4 θ & # 8211 sec 2 θ = tan 4 θ + tan 2

أخذ LHS

= ثانية 4 θ & # 8211 ثانية 2 θ



= ثانية 2 θ (ثانية 2 θ & # 8211 1)

باستخدام sec 2 θ = tan 2 θ + 1 ، نحصل على

= (1 + tan 2 θ) tan 2 θ

= تان 2 θ + تان 4 θ

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 2. الخطيئة 6 θ + cos 6 θ = 1 & # 8211 3sin 2 θcos 2

لدينا

الخطيئة 6 θ + cos 6 θ = 1 & # 8211 3sin 2 θcos 2



أخذ LHS

= sin 6 θ + cos 6 θ

= (sin 2 θ) 3 + (cos 2 θ) 3

باستخدام أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 + ب 2 & # 8211 أب) ، نحصل عليها

= (sin 2 θ + cos 2 θ) (sin 4 θ + cos 4 θ & # 8211 sin 2 cos 2 θ)

باستخدام a 2 + b 2 = (a + b) 2 & # 8211 2ab و sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ، نحصل على

= (1) [(sin 2 θ + cos 2 θ) 2 & # 8211 2sin 2 θcos 2 θ & # 8211 sin 2 cos 2 θ]

= (1) [(1) 2 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ]

= 1 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)


السؤال الثالث. (cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ) = 1

لدينا

(cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ) = 1

أخذ LHS

= (cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ)

باستخدام cosecθ = 1 / sinθ و secθ = 1 / cosθ

=

=

=

= 1


سؤال 4. cosecθ (secθ & # 8211 1) & # 8211 cotθ (1 & # 8211 cosθ) = tan & # 8211 sinθ

لدينا

cosecθ (secθ & # 8211 1) & # 8211 cotθ (1 & # 8211 cosθ) = tan & # 8211 sinθ

أخذ LHS

=

=

=

=

=



= />

= />

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 5.

لدينا

أخذ LHS

=

باستخدام 2 & # 8211 b 2 = (a + b) (a & # 8211 b) و a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 ab) ، نحصل على

=



=

=

=

= sinA

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 6.

لدينا

أخذ LHS

=



باستخدام tanA = sinA / cosA و cotA = cosA / sinA ، نحصل على

=

=

=

=

باستخدام a 3 & # 8211 b 3 = (a & # 8211 b) (a 2 + b 2 + ab) ، نحصل على

=

=

=

باستخدام cosecA = 1 / sinA و secA = 1 / cosA ، نحصل على



= secAcosecA + 1

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 7.

لدينا

أخذ LHS

=

باستخدام 3 ± b 3 = (a ± b) (a 2 + b 2 ± ab) ، نحصل على

=

باستخدام sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ، نحصل على

= 1 & # 8211 sinAcosA + 1 + sinAcosA

= 2

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 8 (secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2 = 1

لدينا

(secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2 = 1

أخذ LHS

= (secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2

توسيع المعادلة أعلاه باستخدام الصيغة

(أ + ب) 2 = أ 2 + ب 2 + 2 أب



= (secAsecB) 2 + (tanAtanB) 2 + 2 (secAsecB) (tanAtanB) & # 8211

(secAtanB) 2 & # 8211 (tanAsecB) 2 & # 8211 2 (secAtanB) (tanAsecB)

= sec 2 Asec 2 B + tan 2 Atan 2 B & # 8211 sec 2 Atan 2 B & # 8211 tan 2 Asec 2 B

= sec 2 A (sec 2 B & # 8211 tan 2 B) & # 8211 tan 2 A (sec 2 B & # 8211 tan 2 B)

= sec 2 A & # 8211 tan 2 A - (باستخدام sec 2 θ & # 8211 tan 2 θ = 1)

= 1

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 9.

لدينا

أخذ RHS

=

=

= ×

=

=

=

=

=

=



=

=

=

= ×

=

=

=

=

ومن ثم ، RHS = LHS (مثبت)

السؤال 10.

لدينا

أخذ LHS

=

باستخدام 1 + tan 2 x = sec 2 x و 1 + cot 2 x = cosec 2 x ، نحصل على

=

=

=

=

=

باستخدام 2 + b 2 = (a + b) 2 & # 8211 2ab ، نحصل على

=

=

=

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 11.

لدينا

أخذ LHS

=



باستخدام الصيغ cotθ = cosθ / sinθ و tanθ = sinθ / cosθ ، نحصل على

=

=

=

باستخدام أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 + ب 2 & # 8211 أب) ، نحصل عليها

=

=

= 1 & # 8211 (sin 2 θ + cos 2 θ) + sinθcosθ

= 1 & # 8211 1 + sinθcosθ

= sinθcosθ

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 12.

لدينا

=

أخذ LHS

=

=

=

=

=



=

=

=

=

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)

السؤال 13. (1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2 = sec 2 αsec 2 β

لدينا

(1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2 = ثانية ^ 2αsec 2 β

أخذ LHS

= (1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2

= (1 + tan 2 αtan 2 β + 2tanαtanβ) + (tan 2 α + tan 2 β & # 8211 2tanαtanβ)

= 1 + tan 2 αtan 2 β + tan 2 α + tan 2

= (1 + تان 2 β) + تان 2 α (1 + تان 2 β)

= (1 + تان 2 β) (1 + تان 2 α)

= sec 2 αsec 2 β

ومن ثم ، LHS = RHS (مثبت)


القسم الفرعي 0.5.1 قياس الزوايا بالراديان

الجيب وجيب التمام والظل مفيد جدًا عند دراسة المثلثات. المدخل في كل من هذه الوظائف هو زاوية ، والمخرج يخبرنا بنسبة أطوال أضلاع المثلث. هناك وحدتان شائعتان الاستخدام لقياس الزوايا والدرجات والراديان ، وبالتالي هناك نسختان شائعتان من الدوال المثلثية. يوجد ( sin x ) حيث (x ) بالدرجات ، وهناك ( sin x ) حيث (x ) بالتقدير الدائري. يكون حساب التفاضل والتكامل أسهل كثيرًا إذا قمنا بقياس الزوايا بالراديان ، وهذا ما سنستخدمه خلال هذه الدورة التدريبية. إذا واجهت مشكلة في الحصول على الأرقام الصحيحة من الآلة الحاسبة ، فقد ترغب في التحقق مرة أخرى من أن الآلة الحاسبة في وضع الراديان.

راديان

الراديان هو مقياس للزاوية يتم تحديده بحيث إذا كانت لدينا زاوية بحجم راديان واحد على دائرة وحدة (بنصف قطر (r = 1 )) ، فسيكون طول القوس على طول محيط الدائرة أيضًا تساوي واحدًا ، كما نرى في الشكل 2. لأن محيط الدائرة هو (2 pi r text <،> ) وهذا يعني أنه بالنسبة لدائرة واحدة كاملة ،

وبالمثل نصف دائرة

يبدأ 57.3 ^ circ almost frac <180 ^ circ> < pi> = 1 text . نهاية الشكل 0.5.2 المقاييس الراديان المشتركة.

نظرًا لأننا نحدد الراديان بهذه الطريقة ، فإن هذا يعني أن طول القوس (s ) على طول محيط الدائرة بنصف قطر (r ) على الزاوية ( ثيتا ) يمكن حسابه على أنه (s = r theta ) طالما أن الزاوية ( theta ) تقاس بالراديان.

شكل 0.5.3 طول القوس وزاويته ونصف القطر على الدائرة.


5.6: التحول الطوري للوظائف الجيبية

وظيفة دورية لا تبدأ عند المحور الجيبي أو عند الحد الأقصى أو الحد الأدنى تم إزاحتها أفقيًا. تسمح هذه الحركة الأفقية بنقاط بداية مختلفة لأن الموجة الجيبية ليس لها بداية أو نهاية.

ما هي خمس طرق أخرى لكتابة الوظيفة (f (x) = 2 cdot sin x؟ )

التحول الطوري للوظائف الجيبية

الوظيفة الجيبية العامة هي:

يتحكم الثابت (ج ) في تحول الطور. مرحلة التحول هو التحول الأفقي لليسار أو لليمين للوظائف الدورية. إذا كان (c = frac < pi> <2> ) ، فسيتم إزاحة الموجة الجيبية إلى اليسار بمقدار ( frac < pi> <2> ). إذا كان (c = -3 ) يتم إزاحة الموجة الجيبية إلى اليمين بمقدار (3. ) هذا هو الاتجاه المعاكس مما قد تتوقعه ، لكنه يتوافق مع قواعد التحويلات لجميع الوظائف.

لرسم دالة مثل (f (x) = 3 cdot cos left (x- frac < pi> <2> right) +1، ) ابحث أولاً عن بداية ونهاية فترة واحدة. ثم ارسم فقط ذلك الجزء من المحور الجيبي. أخيرًا ، ارسم النقاط الخمس المهمة لرسم بياني لجيب التمام مع مراعاة السعة. الرسم البياني مبين أدناه.

بشكل عام ، يتم كتابة (ب ) دائمًا ليكون موجبًا. إذا واجهت موقفًا يكون فيه (b ) سالبًا ، فاستخدم معرفتك بالدوال الفردية والزوجية لإعادة كتابة الوظيفة.

أمثلة

في وقت سابق ، طُلب منك كتابة (f (x) = 2 cdot sin x ) بخمس طرق مختلفة. يمكن إعادة كتابة الوظيفة (f (x) = 2 cdot sin x ) بعدد لا نهائي من الطرق.

(
2 cdot sin x = -2 cdot cos left (x + frac < pi> <2> right) = 2 cdot cos left (x- frac < pi> <2> يمين) = - 2 cdot sin (x- pi) = 2 cdot sin (x-8 pi)
)

كل هذا يتوقف على المكان الذي تختاره للبدء وما إذا كنت ترى رسم بياني للجيب أو جيب التمام موجب أو سالب.

بالنظر إلى الرسم البياني التالي ، حدد النماذج الجبرية للجيب وجيب التمام المكافئة.

إما أن تكون هذه دالة جيب تم إزاحتها لليمين بواسطة ( frac < pi> <4> ) أو تحول رسم جيب التمام لليسار ( frac <5 pi> <4> ).

في (t = 5 ) دقائق يصعد ويليام قدمين ليجلس عند أدنى نقطة في عجلة فيريس التي يبلغ قطرها 80 قدمًا. بعد ساعة كاملة ترك عجلة القيادة أخيرًا بعد أن قام بثورة واحدة فقط. خلال تلك الساعة ، تساءل كيف يصمم طوله بمرور الوقت في رسم بياني ومعادلة.

نظرًا لأن الفترة هي 60 والتي تعمل بشكل جيد للغاية مع (360 ^ < circ> ) في دائرة ، سيتم عرض هذه المشكلة بالدرجات.

اختار ويليام أن يرى جيب التمام السالب في الرسم البياني. لقد حدد السعة لتكون 40 قدمًا. يبلغ الانزياح الرأسي للمحور الجيبي 42 قدمًا. التحول الأفقي هو 5 دقائق إلى اليمين

الفترة هي 60 (وليس 65) دقيقة مما يعني (ب = 6 ) عند رسمها بالدرجات.

وبالتالي ستكون إحدى المعادلات:

تشير جداول المد والجزر إلى أوقات وأعماق المد والجزر المنخفضة والعالية. هذا جزء من تقرير المد والجزر من سالم ، ماساتشوستس بتاريخ 19 سبتمبر 2006.

ابحث عن معادلة تتوقع الارتفاع بناءً على الوقت. اختر متى (t = 0 ) بعناية.

هناك مكانان منطقيان لضبطهما (t = 0 ). الأول في منتصف ليل الليلة السابقة والثاني في 10: 15 صباحًا. يوضح الخيار الأول تحول الطور الذي هو محور هذا المفهوم ، لكن الخيار الثاني ينتج معادلة أبسط. اضبط (t = 0 ) على منتصف الليل واختر الوحدات لتكون بالدقائق.

يبدو أن هذه الأرقام تشير إلى منحنى جيب التمام. المطال 4 والانزياح الرأسي 5. الانزياح الأفقي 615 والدوران 720.

استخدم المعادلة من المثال 4 لمعرفة متى سيكون المد بالضبط (8 mathrm) في سبتمبر (19 ^).

تمنحك هذه المشكلة (y ) وتطلب منك العثور على (x ). ستتعلم لاحقًا كيفية حل هذا جبريًا ، ولكن في الوقت الحالي ، استخدم قوة زر التقاطع في الآلة الحاسبة لتقاطع الدالة مع السطر (y = 8 ). تذكر أن تجد جميع قيم (x ) بين 0 و 1440 لحساب 24 ساعة بأكملها.

هناك أربع مرات في غضون 24 ساعة عندما يكون الارتفاع 8 أقدام بالضبط. يمكنك تحويل هذه الأوقات إلى ساعات ودقائق إذا كنت تفضل ذلك.

(t حوالي 532.18 ) (8:52) ، 697.82 (11:34) ، 1252.18 (20:52) ، 1417.82 (23:38)

ارسم كلًا من الوظائف التالية.

اكتب معادلة جيب محتملة واحدة لكل من الرسوم البيانية أدناه.

أعط دالة جيب تمام واحدة لكل من الرسوم البيانية أدناه.

يمكن نمذجة درجة الحرارة على مدى فترة 24 ساعة معينة بوظيفة جيبية. في الساعة 3:00 ، تصل درجة الحرارة لهذه الفترة إلى أدنى مستوى لها (22 ^ < circ> mathrm). عند (15: mathrm) ، تصل درجة الحرارة لهذه الفترة إلى ارتفاع (40 ^ < circ> F )

12. ابحث عن معادلة تتنبأ بدرجة الحرارة بناءً على الوقت بالدقائق. اختر (t = 0 ) ليكون منتصف الليل.

13. استخدم المعادلة رقم 12 للتنبؤ بدرجة الحرارة عند (4:00 mathrm).

14. استخدم المعادلة من رقم 12 للتنبؤ بدرجة الحرارة في الساعة 8:00 صباحًا.

15. استخدم المعادلة من رقم 12 للتنبؤ بالوقت (الأوقات) التي ستكون (32 ^ < circ> mathrm).


5: الدوال المثلثية

ملاحظات الصف

يُستخدم نص McGraw-Hill Ryerson PreCalculus 12 باعتباره المصدر الرئيسي.

تشير الواجبات في خطط دروس Powerpoint إلى الصفحات والأسئلة الموجودة في نص PreCalculus 12.

5.1 الرسم البياني لوظائف الجيب وجيب التمام

5.1 سعة التقييم التكويني والفترة

الموارد الرقمية

5.1 منحنيات Sin و Cos 2

نقطة الرسم البياني على الدائرة

وحدة دائرة الرسم البياني الجيب وجيب التمام

التحولات التربوية: التحول ، الانتقال من التقليدي إلى المتمحور حول الطالب

التحول من الطالب كمتلقي المعرفة إلى الطالب كمستفسر ومنشئ

التحول من الحفظ إلى التفكير عالي المستوى

الرسوم البيانية التفاعلية التي تم إنشاؤها مسبقًا من Desmos لوظائف المثلثات متاحة عبر الإنترنت. اتبع هذا الرابط.

https://www.desmos.com/calculator انقر فوق الأشرطة الموجودة في الزاوية اليسرى العليا لعرض جميع الرسوم البيانية التفاعلية المنشأة مسبقًا.

بناء منحنى جيبي وإجراء اتصالات بدائرة الوحدة.

هذه فكرة جيدة لإجراء اتصالات بين دائرة الوحدة والرسم البياني لوظيفة الجيب. يمكن للطلاب تتبع ارتفاعات المنحنى لبناء نصف فترة من منحنى الجيب. تتضمن أسئلة المتابعة المحتملة "كيف سيبدو النصف الآخر من الرسم البياني؟" يمكن أيضًا إجراء اتصالات لخصائص الرسم البياني لوظيفة الجيب مثل السعة والدورة.


5: الدوال المثلثية

من خلال هذا القسم ، سنبدأ في النظر في مشتقات الوظائف بخلاف كثيرات الحدود أو جذور كثيرات الحدود. سنبدأ هذه العملية بإلقاء نظرة على مشتقات وظائف حساب المثلثات الستة. سيتم اشتقاق اثنين من المشتقات. الأربعة المتبقية متروكة لك وستتبع أدلة مماثلة للاثنين المذكورين هنا.

قبل أن ندخل في الواقع إلى مشتقات الدوال المثلثية ، نحتاج إلى إعطاء حدين يظهران في اشتقاق اثنين من المشتقات.

راجع قسم إثبات حدود المثلث في فصل الإضافات للاطلاع على إثبات هذين الحدين.

قبل الشروع في ملاحظة سريعة. غالبًا ما يسأل الطلاب عن سبب استخدامنا للراديان في فصل التفاضل والتكامل. هذا هو السبب! يتطلب إثبات الصيغة التي تتضمن جيب الزاوية أعلاه أن تكون الزوايا بوحدات الراديان. إذا كانت الزوايا بالدرجات ، فإن الحد الذي يتضمن الجيب ليس 1 وبالتالي فإن الصيغ التي سنشتقها أدناه ستتغير أيضًا. ستلتقط الصيغ أدناه ثابتًا إضافيًا من شأنه أن يعيق عملنا ولذلك نستخدم الراديان لتجنب ذلك. لذلك ، تذكر دائمًا استخدام الراديان في فئة حساب التفاضل والتكامل!

قبل أن نبدأ في تمييز وظائف حساب المثلثات ، فلنعمل على مجموعة سريعة من مشاكل التحديد التي تتيح لنا هذه الحقيقة الآن القيام بها.

  1. ( displaystyle mathop < lim> limits_ < theta to 0> frac << sin theta >> << 6 theta >> )
  2. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sin left (<6x> right) >>)
  3. ( displaystyle mathop < lim> limits_ فارك<< sin left (<7x> right) >> )
  4. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sin left (<3t> right) >> << sin left (<8t> right) >> )
  5. ( displaystyle mathop < lim> limits_ فارك << الخطيئة اليسار ( حق) >> <>)
  6. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << cos left (<2z> right) - 1 >>)

في الحقيقة ليس هناك الكثير من هذا الحد. في الواقع ، إنه هنا فقط للتناقض مع المثال التالي حتى تتمكن من رؤية الاختلاف في كيفية عمل هذه الأشياء. في هذه الحالة ، نظرًا لوجود 6 فقط في المقام ، فسنقوم بتحليل هذا الأمر ثم نستخدم الحقيقة.

الآن ، في هذه الحالة ، لا يمكننا إخراج الرقم 6 من الشرط ، لذلك نحن عالقون فيه وسنحتاج إلى إيجاد طريقة للتعامل معه. للقيام بهذه المسألة علينا أن نلاحظ أن حجة الجيب هي نفسها في المقام (بمعنى آخر. كلاهما ( ثيتا )). إذن ، علينا جعل سعة الجيب والمقام متساويتين. يمكننا فعل ذلك بضرب البسط والمقام في 6 على النحو التالي.

لاحظ أننا حللنا الرقم 6 في البسط خارج النهاية. في هذه المرحلة ، بينما قد لا يبدو الأمر كذلك ، يمكننا استخدام الحقيقة أعلاه لإنهاء الحد.

لنرى أنه يمكننا استخدام الحقيقة على هذا الحد ، فلنفعل تغيير المتغيرات. إن تغيير المتغيرات هو في الحقيقة مجرد إعادة تسمية لأجزاء من المشكلة لجعل الشيء يبدو أشبه بشيء نعرف كيف نتعامل معه. لا يمكن دائمًا القيام بذلك ، ولكن في بعض الأحيان ، مثل هذه الحالة ، يمكنهم تبسيط المشكلة. تغيير المتغيرات هنا هو السماح ( theta = 6x ) ثم نلاحظ أنه كما (x to 0 ) لدينا أيضًا ( theta to 6 left (0 right) = 0 ) . عند إجراء تغيير في المتغيرات في حد ما ، نحتاج إلى تغيير جميع (x ) 's إلى ( theta )' s وهذا يتضمن واحدًا في الحد.

إجراء تغيير المتغيرات على هذا الحد يعطي ،

وها نحن ذا. لاحظ أننا لسنا بحاجة فعلاً إلى إجراء تغيير في المتغيرات هنا. كل ما نحتاج إلى ملاحظته حقًا هو أن سعة الجيب هي نفسها المقام ، ومن ثم يمكننا استخدام الحقيقة. إن تغيير المتغيرات ، في هذه الحالة ، مطلوب حقًا فقط لتوضيح أن الحقيقة تعمل.

في هذه الحالة ، يبدو أن لدينا مشكلة صغيرة تتمثل في أن الوظيفة التي نتخذها الحد هنا مقلوبة مقارنة بتلك الموجودة في الحقيقة. يبدو أن هذه ليست المشكلة بمجرد أن نلاحظ ،

وبعد ذلك كل ما يتعين علينا القيام به هو تذكر خاصية جيدة للحدود تتيح لنا القيام بذلك ،

مع القليل من إعادة الكتابة ، يمكننا أن نرى أننا في الواقع ينتهي بنا الأمر إلى عمل حد مثل الذي فعلناه في الجزء السابق. لذا ، فلنقم بالحد هنا وهذه المرة لن نتعامل مع تغيير المتغير لمساعدتنا. كل ما علينا فعله هو ضرب بسط الكسر في المقام ومقامه في 7 لإعداد الأشياء لاستخدام الحقيقة. هنا العمل لهذا الحد.

لا تبدو هذه النهاية مثل النهاية في الحقيقة ، ومع ذلك يمكن اعتبارها مزيجًا من الجزأين السابقين عن طريق إعادة الكتابة قليلاً. أولاً ، سنقسم الكسر على النحو التالي ،

الآن ، تريد الحقيقة وجود (t ) في مقام الأول وفي البسط الثاني. هذا سهل بما يكفي إذا ضربنا كل شيء في (< textstyle> ) (وهي واحدة فقط في النهاية ولن تغير المشكلة) ثم قم بإعادة الترتيب قليلاً على النحو التالي ،

في هذه المرحلة يمكننا أن نرى أن هذه حدين بالفعل رأيناه من قبل. هذا هو العمل لكل من هؤلاء ولاحظ في الحد الثاني أننا سنعمل عليه بشكل مختلف قليلاً عما فعلناه في الجزء السابق. سنلاحظ هذه المرة أنه لا يهم حقًا ما إذا كان الجيب في البسط أو المقام طالما أن وسيطة الجيب هي نفسها الموجودة في البسط ، فإن النهاية لا تزال واحدة.

هنا العمل لهذا الحد.

يبدو هذا الحد تقريبًا هو نفسه في الحقيقة بمعنى أن حجة الجيب هي نفسها الموجودة في المقام. ومع ذلك ، لاحظ أنه في الحد ، (x ) سيذهب إلى 4 وليس 0 كما تتطلب الحقيقة. ومع ذلك ، مع تغيير المتغيرات يمكننا أن نرى أن هذا الحد تم في الواقع استخدام الحقيقة أعلاه بغض النظر.

لذا ، دعنا ( ثيتا = س - 4 ) ثم لاحظ أنه على النحو (س إلى 4 ) لدينا ( ثيتا إلى 0 ). لذلك ، بعد إجراء تغيير المتغير يصبح الحد ،

استخدمت الأجزاء السابقة من هذا المثال جميعًا الجزء الجيبي من الحقيقة. ومع ذلك ، كان بإمكاننا استخدام جزء جيب التمام بسهولة ، لذا إليك مثال سريع باستخدام جزء جيب التمام لتوضيح ذلك. لن نقدم الكثير من الشرح هنا لأن هذا يعمل بالفعل بنفس الطريقة التي يعمل بها جزء الجيب.

كل ما هو مطلوب لاستخدام الحقيقة هو أن حجة جيب التمام هي نفسها المقام.

حسنًا ، الآن بعد أن حصلنا على هذه المجموعة من أمثلة الحدود بعيدًا عن الطريق ، دعنا نعود إلى النقطة الرئيسية في هذا القسم ، وهي تمييز وظائف حساب المثلثات.

سنبدأ بإيجاد مشتقة دالة الجيب. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى استخدام تعريف المشتق. لقد مر وقت منذ أن اضطررنا إلى استخدام هذا ، ولكن في بعض الأحيان لا يوجد أي شيء يمكننا القيام به حيال ذلك. فيما يلي تعريف مشتق دالة الجيب.

نظرًا لأنه لا يمكننا فقط التعويض (h = 0 ) لتقييم الحد ، فسنحتاج إلى استخدام صيغة المثلث التالية في أول جيب في البسط.

[ الخطيئة اليسار ( right) = sin left (x right) cos left (h right) + cos left (x right) sin left (h right) ]

كما ترون عند استخدام صيغة المثلث ، يمكننا الجمع بين الحد الأول والثالث ثم إخراج الجيب منه. يمكننا بعد ذلك تقسيم الكسر إلى جزأين ، ويمكن التعامل مع كل منهما على حدة.

الآن ، كلا الحدين هنا عبارة عن حدود حيث (h ) تقترب من الصفر. في الحد الأول لدينا ( sin left (x right) ) وفي الحد الثاني لدينا ( cos left (x right) ). كلتا هاتين الدالتين ليست سوى وظائف لـ (س ) فقط وعندما يتحرك (ح ) باتجاه الصفر ، لا يؤثر ذلك على قيمة (س ). لذلك ، فيما يتعلق بالحدود ، هاتان الوظيفتان هما ثوابت ويمكن إخراجهما من حدود كل منهما. القيام بهذا يعطي ،

في هذه المرحلة ، كل ما علينا فعله هو استخدام الحدود الواردة في الحقيقة أعلاه لإنهاء هذه المشكلة.

[ فارك<> يسار (< sin left (x right)> right) = sin left (x right) left (0 right) + cos left (x right) left (1 يمين) = cos يسار (x يمين) ]

يتم التفريق بين جيب التمام بطريقة مماثلة. سيتطلب معادلة حساب مثلثية مختلفة ، لكن بخلاف ذلك يعتبر دليلًا متطابقًا تقريبًا. سيتم ترك التفاصيل لك. عندما تنتهي من الإثبات الذي يجب أن تحصل عليه ،

مع خروج هذين الاثنين من الطريق ، من السهل جدًا الحصول على الأربعة المتبقية. يمكن تعريف جميع وظائف المثلثات الأربعة المتبقية من حيث الجيب وجيب التمام ويمكن استخدام هذه التعريفات ، جنبًا إلى جنب مع قواعد الاشتقاق المناسبة ، للحصول على مشتقاتها.

دعونا نلقي نظرة على الظل. يتم تعريف الظل على أنه ،

والآن بعد أن أصبح لدينا مشتقات الجيب وجيب التمام ، كل ما علينا فعله هو استخدام قاعدة خارج القسمة في هذا الشأن. لنفعل ذلك.

الآن ، تذكر أن (< cos ^ 2> left (x right) + < sin ^ 2> left (x right) = 1 ) وإذا تذكرنا أيضًا تعريف القاطع من حيث جيب التمام نصل إلى ،

الدوال المثلثية الثلاثة المتبقية هي أيضًا حواسم تتضمن الجيب و / أو جيب التمام وبالتالي يمكن تمييزها بطريقة مماثلة. سنترك التفاصيل لك. فيما يلي مشتقات جميع التوابع المثلثية الست.

مشتقات التوابع المثلثية الست

في هذه المرحلة يجب علينا عمل بعض الأمثلة.

  1. (ز يسار (س يمين) = 3 ثانية يسار (س يمين) - 10 سرير يسار (س يمين) )
  2. (ح يسار (ث يمين) = 3> - تان يسار (w يمين) )
  3. (y = 5 sin left (x right) cos left (x right) + 4 csc left (x right) )
  4. (displaystyle P left (t right) = frac << sin left (t right) >> << 3 - 2 cos left (t right) >>)

في الحقيقة ليس هناك الكثير لهذه المشكلة. سنقوم فقط بتمييز كل مصطلح باستخدام الصيغ الواردة أعلاه.

في هذا الجزء ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة الضرب في الحد الثاني ونلاحظ أننا سنحتاج حقًا إلى قاعدة حاصل الضرب هنا. لا توجد طريقة أخرى لعمل هذه المشتقة بخلاف ما رأيناه عندما نظرنا لأول مرة إلى قاعدة حاصل الضرب. عندما نظرنا لأول مرة إلى قاعدة الضرب ، كانت الدوال الوحيدة التي عرفنا كيف نفرقها هي كثيرات الحدود وفي تلك الحالات كل ما نحتاجه حقًا هو ضربها ويمكننا أخذ المشتقة بدون قاعدة حاصل الضرب. لقد وصلنا الآن إلى النقطة التي سنضطر فيها إلى تنفيذ قاعدة المنتج في بعض الأحيان بغض النظر عما إذا كنا نريد ذلك أم لا.

سنحتاج أيضًا إلى توخي الحذر عند استخدام علامة الطرح أمام الحد الثاني والتأكد من التعامل معها بشكل صحيح. هناك طريقتان للتعامل مع هذا. طريقة واحدة للتأكد من أنك تستخدم مجموعة من الأقواس على النحو التالي ،

نظرًا لأنه يتم طرح المصطلح الثاني من المصطلح الأول ، فيجب أيضًا طرح المشتق الكامل للمصطلح الثاني من مشتق المصطلح الأول. الأقواس تجعل هذه الفكرة واضحة.

من المحتمل أن تكون الطريقة الأسهل للقيام بذلك هي التفكير في علامة الطرح كجزء من الوظيفة الأولى في المنتج. أو بعبارة أخرى ، فإن الوظيفتين في المنتج ، باستخدام هذه الفكرة ، هما (- ) و ( تان يسار (ث يمين) ). القيام بهذا يعطي ،

[ح يسار (ث يمين) = - 12> - 2w tan left (w right) - < ثانية ^ 2> يسار (w يمين) ]

لذا ، بغض النظر عن كيفية التعامل مع هذه المشكلة ، ستحصل على نفس المشتق.

كما هو الحال مع الجزء السابق ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة المنتج في المصطلح الأول. سنفكر أيضًا في 5 كجزء من الوظيفة الأولى في المنتج للتأكد من تعاملنا معها بشكل صحيح. بدلاً من ذلك ، يمكنك استخدام مجموعة من الأقواس للتأكد من التعامل مع الخمسة بشكل صحيح. ستنجح كلتا الطريقتين ، لكننا سنلتزم بالتفكير في 5 كجزء من المصطلح الأول في المنتج. إليك مشتق هذه الوظيفة.

في هذا الجزء ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة خارج القسمة لأخذ المشتق.

انتبه للإشارات عند اشتقاق المقام. الإشارة السالبة التي نحصل عليها من اشتقاق جيب التمام ستلغى مقابل الإشارة السالبة الموجودة بالفعل.

يبدو أن هذا قد تم القيام به ، ولكن هناك بالفعل قدر لا بأس به من التبسيط الذي يمكن القيام به. للقيام بذلك ، نحتاج إلى إخراج "-2" من المصطلحين الأخيرين في البسط والاستفادة من حقيقة أن (< cos ^ 2> left ( theta right) + < sin ^ 2> يسار ( ثيتا يمين) = 1 ).

كمشكلة أخيرة هنا ، دعونا لا ننسى أنه لا يزال لدينا تفسيراتنا المعيارية للمشتقات.

حيث (t ) بالسنوات. خلال السنوات العشر الأولى التي يتم فيها فتح الحساب ، متى يزداد مبلغ المال في الحساب؟

لتحديد متى يتزايد مبلغ المال ، نحتاج إلى تحديد متى يكون معدل التغيير موجبًا. بما أننا نعلم أن معدل التغير ناتج عن المشتقة ، فهذا هو أول شيء علينا إيجاده.

[P ' left (t right) = - 100 sin left (t right) - 150 cos left (t right) ]

الآن ، نحتاج إلى تحديد المكان الذي سيكون فيه هذا إيجابيًا في السنوات العشر الأولى. هذا يكافئ السؤال عن المكان الموجود في الفاصل ( left [<0،10> right] ) هو المشتق الموجب. تذكر أن كلا من الجيب وجيب التمام عبارة عن وظائف متصلة ، وبالتالي فإن المشتق هو أيضًا دالة مستمرة. تخبرنا نظرية القيمة المتوسطة بعد ذلك أن المشتق لا يمكنه تغيير الإشارة إلا إذا مر أولاً بصفر.

إذن ، علينا حل المعادلة التالية.

[يبدأ - 100 sin left (t right) - 150 cos left (t right) & = 0 100 sin left (t right) & = - 150 cos left (t right) frac << sin left (t right) >> << cos left (t right) >> & = - 1.5 tan left (t right) & = - 1.5 نهاية]

حل هذه المعادلة هو

[يبدأt = 2.1588 + 2 pi n، & hspace <0.25in> n = 0، pm 1، pm 2، ldots t = 5.3004 + 2 pi n، & hspace <0.25in> n = 0، pm 1، pm 2، ldots end]

إذا كنت لا تتذكر كيفية حل المعادلات المثلثية ، فارجع وألق نظرة على الأقسام الخاصة بحل المعادلات المثلثية في فصل المراجعة.

نحن مهتمون فقط بتلك الحلول التي تقع في النطاق ( left [<0،10> right] ). عند إدخال قيم (n ) في الحلول أعلاه ، نرى أن القيم التي نحتاجها هي ،

لذا ، مثل حل المتباينات كثيرة الحدود ، كل ما علينا فعله هو رسم خط أعداد وإضافة هذه النقاط. ستقسم هذه النقاط خط الأعداد إلى مناطق يجب أن يكون فيها المشتق دائمًا نفس العلامة. كل ما علينا فعله بعد ذلك هو اختيار نقطة اختبار من كل منطقة لتحديد علامة المشتق في تلك المنطقة.

هذا هو خط الأعداد بكل المعلومات الموجودة عليه.

لذلك ، يبدو أن مبلغ المال في الحساب المصرفي سيتزايد خلال الفترات التالية.

[2.1588 & lt t & lt 5.3004 hspace <0.5in> 8.4420 & lt t & lt 10 ]

لاحظ أنه لا يمكننا قول أي شيء عما يحدث بعد (t = 10 ) لأننا لم نقم بأي عمل لـ (t ) بعد هذه النقطة.

رأينا في هذا القسم كيفية التفريق بين وظائف حساب المثلثات. لقد رأينا أيضًا في المثال الأخير أن تفسيراتنا للمشتق لا تزال صالحة ، لذلك لا يمكننا نسيانها.

أيضًا ، من المهم أن نكون قادرين على حل المعادلات المثلثية لأن هذا شيء سيظهر بشكل متقطع في هذه الدورة التدريبية. من المهم أيضًا أن نتمكن من عمل أنواع خطوط الأعداد التي استخدمناها في المثال الأخير لتحديد مكان وجود دالة موجبة وأين تكون الدالة سالبة. هذا شيء سنفعله في بعض الأحيان في هذا الفصل والفصل الذي يليه.


المثلث القائم الزاوية له زوايا حادة أ و ب. إذا و ، ما هو و؟

منذ أ و ب هي الزوايا الحادة في المثلث القائم ، فهي زوايا متكاملة.

بديلا ل ب. استخدم الهوية (الدوال المشتركة متساوية). استبدل القيمة المعطاة.

بديلا ل أ. الدوال المشتركة لأي زوج من الزوايا المكملة متساوية. استبدل القيمة المعطاة.

ما هي قيم و؟

غير صحيح. ربما استخدمت الزاوية الحادة دبليو، ووجد . تذكر أنك تحصل على نسب مختلفة للزاويتين الحادتين ، لذا انتبه جيدًا للزاوية التي تستخدمها. الاجابة الصحيحة هي رقم ج.

غير صحيح. ربما تكون قد استخدمت الزاوية الحادة دبليو وكذلك بدلت جيب التمام وقاطع التمام. تذكر أنك تحصل على نسب مختلفة للزاويتين الحادتين ، لذا انتبه جيدًا للزاوية التي تستخدمها. الاجابة الصحيحة هي رقم ج.

صيح. باستخدام تعريف جيب التمام ،. باستخدام تعريف قاطع التمام ،.

غير صحيح. يبدو أنك بدلت قيمتي جيب التمام وقاطع التمام. الأسماء متشابهة جدًا ، لذا احرص على استخدام التعريف الصحيح. الاجابة الصحيحة هي رقم ج.

العلاقات بين الدوال المثلثية

عادةً ما يُنظر إلى النسب أو الوظائف الست على أنها مجموعتان من ثلاث وظائف. المجموعة الأولى هي:

إحدى الطرق لتذكر هذه التعريفات الثلاثة هي باستخدام جهاز ذاكرة يستخدم الحرف الأول من كل كلمة. يتم تمثيل تعريف الجيب بواسطة سوه (سine يساوي اوضع أكثر حypotenuse). وبالمثل ، يتم تمثيل تعريف جيب التمام بواسطة كاه (جأوسين يساوي أتجاور أكثر حypotenuse)، ويمثل تعريف الظل بواسطة توا (رالزاوي يساوي اوضع أكثر أتجاور). يمنحك وضع هذه الأشياء معًا sohcahtoa.

إذا قارنت هذه النسب الثلاثة بالنسب الثلاثة أعلاه ، فسترى أن هذه الكسور الثلاثة هي مقلوب الكسور الثلاثة فوقها. وهذا يعني أن قاطع التمام هو مقلوب الجيب ، والقاطع هو مقلوب جيب التمام ، وظل التمام هو مقلوب الظل. كتابة هذا يعطي ثلاث هويات أخرى:

اذا تذكرت sohcahtoa بالإضافة إلى هذه المتطابقات الثلاث ، يمكنك إيجاد قيم أي دوال مثلثية ، كما هو موضح في المثال التالي.

للزاوية الحادة أ، و . أوجد قيم النسب المثلثية الأربع الأخرى للزاوية أ.

تعريف الجيب يخبرك بذلك. مثلث به هذه النسبة وسيكون له هذه النسبة.

أنت تعرف ذلك أيضًا. لقد أعطيت ، لذلك.

الآن لديك الأضلاع الثلاثة للمثلث ويمكنك استخدام تعريف المماس.

بعد ذلك ، استخدم الهويات المتبادلة الثلاثة للحصول على النسب الثلاثة الأخرى.

قيمة أي دالة مثلثية هي نسبة أو كسر. تذكر أنه يمكن اختزال الكسور.

للزاوية الحادة أ، و . أوجد قيم و.

تريد مثلثًا قائمًا حيث تكون نسبة الضلع المجاور للزاوية أ فوق الوتر هو. مثلث بأضلاعه ويكون له هذه النسبة.

يمكنك استخدام تعريف الظل لإيجاد الضلع المقابل. عوض بالقيمة المعطاة للماس ثم حل المعادلة.

الآن لديك كل الجوانب الثلاثة. استخدم تعريف الجيب لإيجاد قيمته.

الآن باستخدام المتطابقة المقلوبة ، يمكن إيجاد csc بأخذ مقلوب الخطيئة.

تذكر أن أضلاع المثلث القائم الزاوية تحقق نظرية فيثاغورس. حتى إذا أ و ب هي أطوال الساقين ، و ج هو الوتر ، يجب أن يكون لديك. في المثال الأخير ، كان طول الساقين 2 و 3 ، وكان الوتر ، وهذا صحيح.

أي مما يلي يمكن أن يكون قيم الدوال المثلثية للزاوية نفسها؟

غير صحيح. يمكنك الحصول على قيم الجيب والظل هذه للزاوية نفسها. ومع ذلك ، فإن قيم الجيب وقاطع التمام لنفس الزاوية هي قيم مقلوبة. إذا ، إذن ، لا. والجواب الصحيح هو د.

غير صحيح. إن قيم جيب التمام والقطع هي قيم متبادلة ، كما ينبغي أن تكون. ومع ذلك ، لا يمكنك الحصول على قيم الجيب وجيب التمام المعطاة لنفس الزاوية. إذا كان بإمكانك رسم مثلث قائم الزاوية مع الزاوية المقابلة للساق X بطول 4 وطول طول الوتر 5. إذا كان لديك طول ، فسيكون طول الضلع المجاور 2. ومع ذلك ، فإن الأطوال 2 و 4 و 5 لا تفي بنظرية فيثاغورس. والجواب الصحيح هو د.

غير صحيح. يمكنك رسم مثلث قائم الزاوية مع الضلع المقابل للزاوية ص بطول 12 ، والضلع المجاور بطول 5 ، وطول الوتر 13. وهذا يعطيك. باستخدام تعريف الظل ، , عندها سيكون لديك ، لا. والجواب الصحيح هو د.

صيح. If , then , because they are reciprocals. You can draw a right triangle with both legs having length 1, and the hypotenuse will have length because of the Pythagorean Theorem. Using the definition of cosine, , you will then have .

Using a Calculator to Find the Values of Trigonometric Functions

You know that if you draw similar triangles with angle measures 35°, 55°, and 90°, the ratio of the side opposite 35° to the hypotenuse will be the same for all those triangles. This is . The easiest way to find what this ratio actually equals is with a scientific or graphing calculator.

Looking at a calculator, you will find a key that says SIN on it. You can use this to find the value of . Keep this in mind: you need to know that there are different units for measuring angles. For our purposes, make sure that your calculator is set in the “degree mode.” (The following instructions are generalized, but you may need to refer to your calculator’s instruction manual for how to perform these calculations on your particular calculator.)

If you use a scientific calculator, look in the display and see if it says DEG in small letters above the 0 (as opposed to RAD or GRAD). If it does not, press the DRG key until the display says DEG. Now enter 35, and then press the SIN key. The result is :

If you have a graphing calculator, press the MODE key. The third line of the display will say RADIAN DEGREE. Use the arrows to select DEGREE, then press ENTER, 2ND, QUIT. Now the calculator is in degree mode. On a graphing calculator, you enter things the same way as you would write them. So press the keys to give you sin(35) on the display and then press ENTER. You should now see the value on the next line of the display.

Because sine is a function, given an angle measure X (the input), your calculator will give you the value of (the output). All the right triangles with acute angle measure X will be similar, so the ratio of the opposite side to the hypotenuse will be the same for all of those triangles. Therefore, the ratio depends only on the value of X it does not depend on the triangle.

Likewise, the other five trigonometric ratios are functions. You can use your calculator to find the value of those functions. You will notice that next to the SIN key there are COS and TAN keys, which can be used to find the values of cosine and tangent.

Use your calculator to find the values of and to the nearest thousandth.

On a scientific calculator, enter 35, then press COS. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Remember to look at the ten thousandths place to help you round to the nearest thousandth.

Use the same procedure for tangent.

You may have noticed that your calculator has no keys for csc, sec, or cot. You can still use it to find the values of these functions. You can do this by using the calculator in combination with the reciprocal identities. You must first find the value of sin, cos, or tan, and then find the reciprocal, as this next example shows.

Use your calculator to find the values of and to the nearest thousandth.

First use your calculator to find the value of . Do not round this value until you are writing the final answer.

Press the key that says or . This will give you the value of cosecant.

Now round your final answer to the nearest thousandth.

Find the value of . Then find the reciprocal and round off.

Find the value of . Then find the reciprocal and round off.

What is the value of to the nearest thousandth?

صيح. First use the calculator to find . Find the reciprocal of this: .

Incorrect. You found the value of . Remember that cosecant is the reciprocal of sine (not cosine). The correct answer is 3.420.

Incorrect. You found the value of . You must first find , من ثم find the reciprocal. The correct answer is 3.420.

Incorrect. Your calculator was not set to degrees. Before doing any calculations, make sure that you first have it set on degrees. The correct answer is 3.420.

Using a Calculator to Find Angle Measures

So far you have learned the definitions of the six trigonometric functions. Remember that a function has an input and an output. For each of these functions, the input is the angle measure and the output equals a certain ratio of sides. Your calculator can be used to find the values of these functions. For example, if the angle measures 60°, the cosine of the angle is 0.5. This can be represented as .

Now what if the situation were reversed? What if you knew the value of the ratio and wanted to know the angle that produced it? That is, what if you knew the output of a trigonometric function, and wanted to know the input? For example, you might know that the cosine of some angle is 0.5 and want to find out what the angle is. You can use your calculator to find these values, too.

In general, when you reverse the input and the output of a function, what you get is called an inverse function. Your calculator can find the inverses of sine, cosine, and tangent. In the example above, on a scientific calculator you would enter 0.5, press the 2ND key, then press COS. The display would show 60. (Make sure that your calculator is set on degrees!) This tells you that the angle is 60°. On a graphing calculator, you would press 2ND, then COS, then 0.5, and finally ENTER. (Keep in mind that you may need to refer to your calculator’s instruction manual for how to perform these calculations on your particular calculator.)

Above the SIN, COS, and TAN keys you will see . These are the inverse trigonometric functions, and the way to read them out loud is: arcsine, arccosine، و arctangent. The result mentioned above can be written as or .

If you were given the value of the sine (or tangent) function and wanted to know what angle produced it, you would follow a procedure similar to that described above. So on a scientific calculator, you would enter the value, press the 2ND key, then press SIN (or TAN).

Use your calculator to find the angle, to the nearest degree, whose tangent value is 0.75.

On a scientific calculator, enter 0.75, then press the 2ND key and TAN. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Look at the tenths place to help you round to the nearest degree.

If you are given the expression , for example, you can interpret this as saying, “Find the angle whose cosine equals 0.24.”

Determine to the nearest tenth of a degree.

On a scientific calculator, enter 0.24, then press the 2ND key and COS. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Look at the hundredths place to help you round to the nearest tenth.

Here is a real-world example using an inverse function.

A skateboard ramp is 7 feet long with one end on the ground and the other end 2 feet above the ground. What is the angle of elevation to the nearest tenth of a degree?

The angle of elevation is angle أ. Because you know the opposite side and the hypotenuse, you can use the sine function.

Use the definition of sine. The unknown is the input.

You can rewrite this equation using arcsine. You need to reverse the input and the output.

On a scientific calculator, divide 2 by 7, then press the 2ND key and SIN. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Remember that the sine or cosine function cannot have an output greater than 1. With arcsine and arccosine, you are reversing inputs and outputs. Consequently, the input of these functions cannot be a number bigger than 1. If you try to compute with your calculator, for example, you will get an error message.

If , what is x to the nearest hundredth of a degree?

Incorrect. Instead of finding , you found . The correct answer is 19.47°.

Incorrect. You did not have your calculator set on degrees. Before doing any calculations, make sure that you first have it set on degrees. The correct answer is 19.47°.

صيح. The solution to the equation is given by computing .

Incorrect. Instead of finding , you found . The correct answer is 19.47°.

The six trigonometric functions are defined as ratios of sides in a right triangle. Their values depend only on the angle and not on any particular right triangle. A good way to remember the definitions of sine, cosine, and tangent is with the memory device sohcahtoa. The other three functions—cosecant, secant, and cotangent—are reciprocals of the first three.

You can use a calculator to find the values of these functions or ratios. You can also use a calculator to find the values of the inverse trigonometric functions. That is, given the ratio, you can find the angle that produced it.


RD Sharma Class 11 Solutions Chapter 5 Trigonometric Functions PDF Download

RD Sharma Class 11 Maths Solutions Chapter 5 Trigonometric Functions are been solved by expert teachers of NCERTBooks.Guru. RD Sharma Class 11 Solutions Plays important role in getting good score in Maths for all Engineering and other Entrance Examinations. You can Download RD Sharma Class 11 Maths Chapter 5 Trigonometric Functions PDF from the below given Link to access in offline mode.

Now that you are provided all the necessary information regarding Class 11 Trigonometric Functions RD Sharma Solutions and we hope this detailed RD Sharma Solutions for Class 11 are helpful. Students can also check out NCERT Solutions, NCERT Books, HC Verma Solutions and JEE Study Material for free.


Unit circle radians

If you have your number line marked with radians, this is how it would look:

First, you have a usual unit circle. In one quarter of a circle is $frac<2>$, in one half is $pi$, in three quarters is $frac<3 pi><2>$, and one whole is $2 pi$.

Now what when you start another lap?

You’re again in zero, but now with 2π of the line around the circle. If you add another $frac<2>$ that will lead you into the point where the ‘old’ $frac<2>$ is, but now that value will be $2 pi + frac <2>= frac<5 pi><2>$. If you continue and add another $frac<2>$ you’ll find yourself in a point where the ‘old’ π lies. Now that point will be $frac<5 pi> <2>+ frac <2>= 3 pi$. And you continue like that.

In degrees you can conclude that $frac <2>= 90^$, $pi = 180^$, $frac<3 pi> <2>= 270^$, $ 2 pi = 360^$, $frac<5 pi> <2>= 450^$ and so on.

By dividing radians into smaller and smaller parts we can determine measure of every angle.

Angles that are mostly used are 0, $frac<6>$, $frac<3>$, $frac<2>$ and so on.

Can you see a pattern here? If you only observe first and second quadrant you’ll notice that lines that are perpendicular on y-axis that go through $frac<3>$ and $frac<2 pi><3>$ cut off equal parts of y-axis. The same applies with $frac<3 pi><4>$ and $frac<4>$, and also with $frac<5 pi><6>$ and $frac<6>$.

If you take a look at first and fourth quadrant you’ll notice that lines that are perpendicular of x-axis $frac<6>$ and $frac<11 pi><6>$ cut off equal length of x – axis, and so on with other angles. This can help you in drawing them. For example, if you get a task to draw $frac<5 pi><6>$, you can simply draw $frac<6>$ and translate it to second quadrant. Using this way you’ll only need to remember angles in first quadrant and translate them.

مثال 1: Find following angles on the unit circle

When you have a fraction whose value is greater than two, that means that you’re starting another “lap” around the circle. When you are dealing with these kinds of values, you have to apply a process of finding the right measure of an angle. That means that you have to find an angle that suits given angle but in your first lap. You do that by subtracting with a multiple of 2π.

For example, let’s say you have $frac<5 pi><2>$. $frac<5 pi><2>$ is greater than $2 pi$ by $frac<2>$. That means that you’ll finish first lap and end up in $frac<2>$.

مثال 2: Find following angles on the unit circle

Since we have a minus in front of our values, we start looking from zero but in an opposite way. Whole circle is equal to $2 pi$, which means that $ -frac<4>$ will have the same value as $ 2 pi – frac <4>= frac<7 pi><4>$, $- pi$ as $ pi$, and $ -2 pi$ as 0.


Computing Trigonometric Functions

This is a completely optional page. It is not necessary to know how to compute the trig functions and their inverses in order to use them. Nonetheless, many people are interested in how values of these functions were computed before and after the invention of calculators and computers. If you&rsquore interested, then read on. Otherwise, go on to the next section on oblique triangles.

Before computers: tables

Rather than repeating what he did for chords, let&rsquos look at how to create tables for sines and cosines using his methods. First, based on the Pythagorean theorem and similar triangles, the sines and cosines of certain angles can be computed directly. In particular, you can directly find the sines and cosines for the angles 30°, 45°, and 60° as described in the section on cosines. Ptolemy knew two other angles that could be constructed, namely 36° and 72°. These angles were constructed by Euclid in Proposition IV.10 of his Elements. Like Ptolemy, we can use that construction to compute the trig functions for those angles. At this point we could compute the trig functions for the angles 30°, 36°, 45°, 60°, and 72°, and, of course we know the values for 0° and 90°, too.

Keep in mind that if you know the sine of an angle ثيتا, then you know the cosine of the complementary angle 90° &ndash ثيتا likewise, if you know then cosine of an angle ثيتا then you know the sine of the complementary angle 90° &ndash ثيتا:

So you have the trig functions for 18° and 54°, too.

Next, you can use the half-angle formulas for sines and cosines to compute the values for half of an angle if you know the values for the angle. لو ثيتا is an angle between 0° and 180°, then

Using these, from the values for 18°, 30°, and 54°, you can find the values for 27°, 15°, and 9°, and, therefore, their complements 63°, 75°, and 81°.

With the help of the sum and difference formulas

you can find the sine and cosine for 3° (from 30° and 27°) and then fill in the tables for sine and cosine for angles from 0° though 90° in increments of 3°.

Again, using half-angle formulas, you could produce a table with increments of 1.5° (that is, 1° 30'), then 0.75° (which is 45'), or even of 0.375° (which is 22' 30"). But how do you get a table with 1° increments? Ptolemy recognized that there was no Euclidean construction to trisect an angle of 3° to get an angle of 1°, but since the sine function is almost linear for small angles, you could approximate sin 1° just by interpolating a third of the way beteen the values of sin 0.75° and sin 1.5°. With that step, we can construct trig tables for trig functions with increments of 1°.

Better trig tables have been created throughout the centuries. For instance, Ulugh Beg (15th century) constructed sine and tangent tables for every minute of arc to about nine digits of accuracy!

Incidentally, if you have a table of sines, you can read it in reverse to compute arcsine, so only one table is needed for both.

After computers: power series

In the late 17th century, Newton and other mathematicians developed power series. A power series is like a polynomial of unbounded degree. For the various trig functions, these mathematicians found power series. Here are the power series for sine and cosine (where x is an angle measured in radians):

The three dots . mean that the expression is to go on forever, adding another term, then subtracting a term, etc. The exclamation point ! is to be read &ldquofactorial&rdquo, and it means you multiply together the whole numbers from 1 up through the given number. For example, 5!, &ldquofive factorial&rdquo, equals 1 times 2 times 3 times 4 times 5, which is 120, and so, 6! = 720.

These power series have infinitely many terms, but they get small so very fast that only the first few terms contribute much.

    0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 — 0.78539816 7 /7! +.
    0.78539816 = 0.78539816
    0.70465265 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3!
    0.70714304 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5!
    0.70710647 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5! — 0.78539816 7 /7!
    0.70710678 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5! — 0.78539816 7 /7! + 0.78539816 9 /9!

A little bit of analysis is needed to determine how many terms of the power series are needed to achieve the desired accuracy. Also, certain other tricks can be used to speed up the computations. In any case, the essential idea is to use the first few terms of a power series to compute trig functions.

The power series for the rest of the trig functions and the power series for the inverse trig functions can be found in most books on calculus that discuss power series.


شاهد الفيديو: 5 وحدات بحث دالة مثلثية (شهر اكتوبر 2021).