مقالات

8.3: حساب المصفوفة


mfpicnumber {1}

opengraphsfile {MatArithmetic}

setcounter {footnote} {0}

التسمية {MatArithmetic}

setlength { extrarowheight} {0pt}

في القسم المرجع {AugMatrices} ، استخدمنا فئة خاصة من المصفوفات ، المصفوفات المعززة ، لمساعدتنا في حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا القسم ، ندرس المصفوفات ككائنات رياضية من تلقاء نفسها ، منفصلة مؤقتًا عن أنظمة المعادلات الخطية. للقيام بذلك بشكل ملائم يتطلب بعض الترميز. عندما نكتب $ A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} $ ، فإننا نعني أن $ A $ هو $ m $ بواسطة $ n $ مصفوفة حاشية سفلية {Recall هذا يعني أن $ A $ لديه $ m $ rows و $ n $ عمود.} و $ a_ {ij} $ هو الإدخال الموجود في الصف $ i $ th والعمود $ j $ th. من الناحية التخطيطية ، لدينا

رمز ٪ أدناه لإصدار الكتاب الإلكتروني

٪ [ ابدأ {مجموعة} {ccccc}

٪ & & text { begin {tabular} {c} scriptsize { color {red} $ j $} عدد الأعمدة scriptsize من اليسار إلى اليمين end {tabular}} & & & & xrightarrow { hspace {1.25in}} & &

٪ أ & = & اليسار. left [ start {array} {rrrr} a _ { color {blue} mbox { tiny $ 1 $} color {red} mbox { tiny $ 1 $}} & a _ { color {blue} mbox { tiny $ 1 $} color {red} mbox { tiny $ 2 $}} & cdots & a _ { color {blue} mbox { tiny $ 1 $} color {red} mbox { tiny $ n $}} a _ { color {blue} mbox { tiny $ 2 $} color {red} mbox { tiny $ 1 $}} & a _ { color {blue} mbox { tiny $ 2 $ } color {red} mbox { tiny $ 2 $}} & cdots & a _ { color {blue} mbox { tiny $ 2 $} color {red} n} vdots & vdots & & vdots a _ { color {blue} m color {red} mbox { tiny $ 1 $}} & a _ { color {blue} m color {red} mbox { tiny $ 2 $}} & cdots & a _ { color {blue} m color {red} n} end {array} right] right downarrow & text { begin {tabular} {c} scriptsize { color {blue} $ i $} يحسب الصفوف scriptsize من أعلى إلى أسفل end {tabular}} end {array} ]

٪ كود أدناه هو نسخة مطبوعة

[ ابدأ {مجموعة} {ccccc}

& & text { begin {tabular} {c} scriptsize {$ j $} عدد الأعمدة scriptsize من اليسار إلى اليمين end {tabular}} & & & & xrightarrow { hspace {1.25in }} & &

أ & = & اليسار. left [ start {array} {rrrr} a _ { mbox { tiny $ 1 $} mbox { tiny $ 1 $}} & a _ { mbox { tiny $ 1 $} mbox { tiny $ 2 $}} & cdots & a _ { mbox { tiny $ 1 $} mbox { tiny $ n $}} a _ { mbox { tiny $ 2 $} mbox { tiny $ 1 $}} & a _ { mbox { tiny $ 2 $} mbox { tiny $ 2 $}} & cdots & a _ { mbox { tiny $ 2 $} n} vdots & vdots & & vdots a_ {m mbox { tiny $ 1 $}} & a_ {m mbox { tiny $ 2 $}} & cdots & a_ {mn} end {array} right] right downarrow & text { begin {tabular} {c } scriptsize {$ i $} counts rows scriptsize من أعلى إلى أسفل end {tabular}} end {array} ]

باستخدام هذا الترميز الجديد ، يمكننا تحديد معنى أن تكون مصفوفتان متساويتين.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

start {defn} label {matrixequality} textbf {Matrix Equality:} يُقال إن مصفوفتين index {matrix! المساواة} textbf {يساوي} إذا كانت بنفس الحجم والإدخالات المطابقة لها متساوية. بشكل أكثر تحديدًا ، إذا كان $ A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} $ و $ B = left [b_ {ij} right] _ {p times r} $ ، نكتب $ A = B $ مقدم

ابدأ {تعداد}

عنصر $ m = p $ و $ n = r $

item $ a_ {ij} = b_ {ij} $ لكل $ 1 leq i leq m $ وجميع $ 1 leq j leq n $.

نهاية {تعداد}

النهاية {defn}

ebm}

smallskip

بشكل أساسي ، مصفوفتان متساويتان إذا كانا بنفس الحجم ولديهما نفس الأرقام في نفس المواضع. حاشية سفلية {قد يتساءل النقاد جيدًا: لماذا لا تتركها على هذا النحو؟ لماذا الحاجة إلى كل الرموز في التعريف المرجع {matrixequality}؟ إنها محاولة المؤلفين لتعريفك بالعالم الرائع من الدقة الرياضية.} على سبيل المثال ، المصفوفتان أدناه 2 $ في 3 $ متساويتان ، على الرغم من المظاهر.

[ left [ start {array} {rrr} 0 & -2 & 9 25 & 117 & -3 end {array} right] = left [ begin {array} {rrr} ln (1) & sqrt [3] {- 8} & e ^ {2 ln (3)} 125 ^ {2/3} & 3 ^ {2} cdot 13 & log (0.001) نهاية {مجموعة} يمين] ]

الآن وقد اتفقنا على فهم ما يعنيه أن تتساوى مصفوفتان ، قد نبدأ في تعريف العمليات الحسابية على المصفوفات. عمليتنا الأولى هي الإضافة.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

ابدأ {defn} label {matrixaddition} index {matrix! إضافة ! تعريف} textbf {إضافة مصفوفة:} بالنظر إلى مصفوفتين من نفس الحجم ، تسمى المصفوفة التي تم الحصول عليها بإضافة المدخلات المقابلة من المصفوفتين الفهرس {matrix! sum} textbf {sum} من المصفوفتين. بشكل أكثر تحديدًا ، إذا كان $ A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} $ و $ B = left [b_ {ij} right] _ {m times n} $ ، نحدد [A + B = left [a_ {ij} right] _ {m times n} + left [b_ {ij} right] _ {m times n} = left [a_ {ij} + ب_ {ij} right] _ {m times n} ]

النهاية {defn}

ebm}

smallskip

كمثال ، ضع في اعتبارك المجموع أدناه.

[ left [ start {array} {rr} 2 & 3 4 & -1 0 & -7 end {array} right] + left [ begin {array} {rr} -1 & 4 -5 & -3 8 & 1 end {array} right] = left [ begin {array} {rr} 2 + (-1) & 3 + 4 4 + (- 5) & (-1) + (- 3) 0 + 8 & (-7) + 1 end {array} right] = left [ start {array} {rr} 1 & 7 -1 & -4 8 & -6 end {array} right] ]

يستحق القارئ وقته في التفكير فيما كان سيحدث لو عكسنا ترتيب الملخصات أعلاه. كما نتوقع ، توصلنا إلى نفس الإجابة. بشكل عام ، $ A + B = B + A $ للمصفوفات $ A $ و $ B $ ، بشرط أن تكون بنفس الحجم بحيث يتم تحديد المجموع في المقام الأول. هذه هي الفهرس {المصفوفة! إضافة ! خاصية تبادلية} مؤشر {خاصية تبادلية! مصفوفة ! بالإضافة} textbf {الخاصية التبادلية} لإضافة المصفوفة. لمعرفة سبب صحة هذا بشكل عام ، نلجأ إلى تعريف إضافة المصفوفة. بالنظر إلى $ A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} $ و $ B = left [b_ {ij} right] _ {m times n} $ ، [A + B = left [a_ {ij} right] _ {m times n} + left [b_ {ij} right] _ {m times n} = left [a_ {ij} + b_ {ij} يمين] _ {m times n} = left [b_ {ij} + a_ {ij} right] _ {m times n} = left [b_ {ij} right] _ {m times n} + left [a_ {ij} right] _ {m times n} = B + A ] حيث تكون المساواة الثانية هي تعريف $ A + B $ ، والمساواة الثالثة تنطبق على القانون التبادلي لإضافة الرقم الحقيقي ، والمساواة الرابعة هي تعريف $ B + A $. بعبارة أخرى ، تعد إضافة المصفوفة تبادلية لأن إضافة العدد الحقيقي هي. حجة مماثلة تظهر الفهرس {matrix! إضافة ! الخاصية الترابطية} مؤشر {الخاصية الترابطية! مصفوفة ! بالإضافة} textbf {الخاصية الترابطية} لإضافة المصفوفة تحمل أيضًا ، موروثة بدورها من القانون الترابطي لإضافة الرقم الحقيقي. على وجه التحديد ، بالنسبة للمصفوفات $ A $ و $ B $ و $ C $ من نفس الحجم ، $ (A + B) + C = A + (B + C) $. بمعنى آخر ، عند إضافة أكثر من مصفوفتين ، لا يهم كيفية تجميعها. هذا يعني أنه يمكننا كتابة $ A + B + C $ بدون أقواس ولا يوجد أي غموض حول ما يعنيه هذا. حاشية سفلية {تفاصيل فنية مفقودة للأسف عند معظم القراء.} يتم تلخيص هذه الخصائص وأكثر في ما يلي نظرية.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

start {thm} label {matrixadditionprops} textbf {خصائص إضافة المصفوفة} الفهرس {matrix! إضافة ! خصائص}

ابدأ {itemize}

item textbf {الخاصية التبادلية:} لجميع المصفوفات $ m times n $ ، $ A + B = B + A $

item textbf {الخاصية الترابطية:} لجميع المصفوفات $ m times n $ ، $ (A + B) + C = A + (B + C) $

item textbf {Identity Property:} إذا كان $ 0_ {m times n} $ هو $ m مرات n $ مصفوفة جميع إدخالاتها $ 0 $ ، فإن $ 0_ {m times n} $ يسمى الفهرس {مصفوفة ! الهوية المضافة} textbf { boldmath $ m times n $ additive Ident} ولكل $ m مرات n $ المصفوفات $ A $ [A + 0_ {m times n} = 0_ {m times n} + أ = أ ] فهرس {هوية! مصفوفة مضافة}

item textbf {Inverse Property:} لكل $ m مرات n $ matrix $ A $ ، هناك مصفوفة فريدة تدل على $ -A $ تسمى index {matrix! المعكوس الجمعي} textbf {المعكوس الجمعي لـ boldmath $ A $} مثل [A + (-A) = (-A) + A = 0_ {m times n} ] index {معكوس! مصفوفة مضافة}

النهاية {itemize}

نهاية {thm}

ebm}

smallskip

يمكن التحقق من خاصية الهوية بسهولة باللجوء إلى تعريف إضافة المصفوفة ؛ مثلما أن الرقم $ 0 $ هو الهوية المضافة للأرقام الحقيقية ، فإن المصفوفة المكونة من جميع المصفوفات $ 0 $ تقوم بنفس المهمة بالنسبة للمصفوفات. لإنشاء الخاصية المعكوسة ، بالنظر إلى المصفوفة $ A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} $ ، فإننا نبحث عن مصفوفة $ B = left [b_ {ij} right] _ {m times n} $ بحيث أن $ A + B = 0_ {m times n} $. من خلال تعريف إضافة المصفوفة ، يجب أن يكون لدينا $ a_ {ij} + b_ {ij} = 0 $ لكل $ i $ و $ j $. لحل هذه المشكلة ، نحصل على $ b_ {ij} = -a_ {ij} $. ومن ثم ، فبالنظر إلى المصفوفة $ A $ ، فإن معكوسها الجمعي ، الذي نسميه $ -A $ ، موجود بالفعل وفريد ​​، علاوة على ذلك ، يتم الحصول عليه من خلال الصيغة: $ -A = left [- a_ {ij} right ] _ {م مرات n} دولار. طويل وقصير هذا هو: للحصول على المعكوس الجمعي لمصفوفة ، خذ معكوسات مضافة لكل من مداخلها. مع مفهوم المقلوب الجمعي في متناول اليد ، يمكننا الآن مناقشة المقصود بطرح المصفوفات. قد تتذكر من الحساب أن $ a - b = a + (- b) $؛ أي ، يُعرَّف الطرح بأنه "إضافة العكس (المعكوس)". نوسع هذا المفهوم إلى المصفوفات. بالنسبة لمصفوفتين $ A $ و $ B $ من نفس الحجم ، نحدد $ A-B = A + (-B) $. على مستوى الإدخالات ، هذا يصل إلى

[AB = A + (-B) = left [a_ {ij} right] _ {m times n} + left [-b_ {ij} right] _ {m times n} = left [a_ {ij} + left (-b_ {ij} right) right] _ {m times n} = left [a_ {ij} - b_ {ij} right] _ {m times n} ]

وبالتالي لطرح مصفوفتين متساويتين في الحجم ، نطرح إدخالاتهما المقابلة. متفاجئ؟

smallskip

مهمتنا التالية هي تحديد معنى ضرب المصفوفة في رقم حقيقي. وبالعودة إلى الحساب ، قد تتذكر أن الضرب ، على الأقل بعدد طبيعي ، يمكن اعتباره "جمع سريع". على سبيل المثال ، $ 2 + 2 + 2 = 3 cdot 2 $. نعلم من الجبر الحاشية السفلية {الخاصية التوزيعية ، على وجه الخصوص.} أن $ 3x = x + x + x $ ، لذلك يبدو من الطبيعي أنه بالنظر إلى المصفوفة $ A $ ، فإننا نحدد $ 3A = A + A + A $. إذا كان $ A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} $ ، لدينا [3A = A + A + A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} + left [a_ {ij} right] _ {m times n} + left [a_ {ij} right] _ {m times n} = left [a_ {ij} + a_ {ij } + a_ {ij} right] _ {m times n} = left [3a_ {ij} right] _ {m times n} ] بعبارة أخرى ، ضرب textit {matrix} بهذه الطريقة في $ 3 $ هو نفسه ضرب textit {كل إدخال} في $ 3. وهذا يقودنا إلى التعريف التالي.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

ابدأ {defn} التسمية {scalarmultmatrix} الفهرس {الضرب القياسي! مصفوفة ! تعريف} الفهرس {مصفوفة! الضرب القياسي ! تعريف} textbf {Scalar footnote {تشير كلمة "scalar" هنا إلى أرقام حقيقية. يعني "الضرب القياسي" في هذا السياق أننا نضرب مصفوفة في رقم حقيقي (عدد قياسي).} الضرب:} نحدد حاصل ضرب عدد حقيقي ومصفوفة لتكون المصفوفة التي تم الحصول عليها بضرب كل مدخل من مدخلاتها في قوله. عدد حقيقي. بشكل أكثر تحديدًا ، إذا كان $ k $ رقمًا حقيقيًا و $ A = left [a_ {ij} right] _ {m times n} $ ، فإننا نحدد [kA = k left [a_ {ij} right ] _ {m times n} = left [ka_ {ij} right] _ {m times n} ]

النهاية {defn}

ebm}

smallskip

قد يتساءل المرء عن سبب استخدام كلمة "عددي" للإشارة إلى "العدد الحقيقي". يتعلق بكل ما يتعلق بعوامل "القياس". الحاشية السفلية {انظر القسم المرجع {التحويلات}.} يمكن تمثيل النقطة $ P (x، y) $ في المستوى بمصفوفة الموقع الخاصة بها ، $ P $:

[(x، y) leftrightarrow P = left [ start {array} {r} x y end {array} right] ]

لنفترض أننا أخذنا النقطة $ (- 2،1) $ وضربنا مصفوفة موضعها في $ 3. لدينا [3P = 3 left [ start {array} {r} -2 1 end {array} right] = left [ begin {array} {r} 3 (-2) 3 (1) end {array} right] = left [ start {array} {r} -6 3 end {array} right] ] الذي يتوافق مع النقطة $ (- 6،3) دولار. يمكننا أن نتخيل أخذ $ (- 2،1) $ إلى $ (- 6،3) $ بهذه الطريقة كتوسيع بمعامل 3 $ في كلا الاتجاهين الأفقي والعمودي. القيام بذلك لجميع النقاط $ (x، y) $ في المستوى له تأثير تكبير (قياس) المستوى بمعامل 3 $.

صفحة جديدة

كما هو الحال مع إضافة المصفوفة ، يرث الضرب القياسي العديد من الخصائص من حساب الأعداد الحقيقية. أدناه نلخص هذه الخصائص.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

start {thm} label {matrixscalarmultprops} textbf {Properties of Scalar Multiplication} index {matrix! الضرب القياسي ! خصائص} الفهرس {الضرب القياسي! مصفوفة ! خصائص}

ابدأ {itemize}

item textbf {خاصية ارتباطية:} فهرس {matrix! الضرب القياسي ! الملكية الترابطية لـ} index {الخاصية الترابطية! مصفوفة ! الضرب القياسي} الفهرس {الضرب القياسي! مصفوفة ! الخاصية الترابطية لـ} لكل $ m مرات n $ matrix $ A $ و scalars $ k $ و $ r $ ، $ (kr) A = k (rA) $.

item textbf {خاصية الهوية:} الفهرس {matrix! الضرب القياسي ! الهوية لـ} لجميع المصفوفات $ m مرات n $ $ A $ ، $ 1A = A $.

item textbf {الخاصية المعكوسة الإضافية:} لجميع $ m مرات n $ المصفوفات $ A $، $ -A = (-1) A $. الفهرس {معكوس! مصفوفة مضافة} فهرس {معكوس! مصفوفة مضافة}

item textbf {خاصية التوزيع لضرب عددي على إضافة عددي:} فهرس {matrix! الضرب القياسي ! خصائص التوزيع} الفهرس {خاصية التوزيع! مصفوفة ! الضرب القياسي} الفهرس {الضرب القياسي! مصفوفة ! خصائص التوزيع} لكل $ m مرات n $ matrix $ A $ و scalars $ k $ و $ r $ ، [(k + r) A = kA + rA ]

item textbf {خاصية التوزيع لضرب عددي عبر إضافة مصفوفة:} لجميع المصفوفات $ m مرات n $ $ A $ و $ B $ scalars $ k $ ، [k (A + B) = kA + kB ]

item textbf {Zero Product Property:} index {matrix! الضرب القياسي ! صفر product property} إذا كانت $ A $ عبارة عن مصفوفة $ m مرات n $ و $ k $ عددية ، إذن

[kA = 0_ {m times n} quad text {if and only if} quad k = 0 quad text {or} quad A = 0_ {m times n} ]

النهاية {itemize}

النهاية {thm}

ebm}

smallskip

كما هو الحال مع النتائج الأخرى في هذا القسم ، يمكن إثبات النظرية المرجع {matrixscalarmultprops} باستخدام تعريفات الضرب القياسي وإضافة المصفوفة. على سبيل المثال ، لإثبات أن $ k (A + B) = kA + kB $ للمصفوفات العددية $ k $ و $ m times n $ المصفوفات $ A $ و $ B $ ، نبدأ بإضافة $ A $ و $ B $ ، ثم الضرب في $ k $ ومعرفة كيف يقارن ذلك بمجموع $ kA $ و $ kB $. [k (A + B) = k left ( left [a_ {ij} right] _ {m times n} + left [b_ {ij} right] _ {m times n} right ) = k left [a_ {ij} + b_ {ij} right] _ {m times n} = left [k left (a_ {ij} + b_ {ij} right) right] _ { m times n} = left [ka_ {ij} + kb_ {ij} right] _ {m times n} ]

أما بالنسبة إلى $ kA + kB $ ، فلدينا

[kA + kB = k left [a_ {ij} right] _ {m times n} + k left [b_ {ij} right] _ {m times n} = left [ka_ {ij } right] _ {m times n} + left [kb_ {ij} right] _ {m times n} = left [ka_ {ij} + kb_ {ij} right] _ {m times n} ، ، علامة اختيار ]

الذي يؤسس الملكية. الخصائص المتبقية متروكة للقارئ. تُنشئ الخصائص في Theorems ref {matrixadditionprops} و ref {matrixscalarmultprops} نظامًا جبريًا يتيح لنا التعامل مع المصفوفات والقياسات بشكل أو بآخر كما نفعل مع الأرقام والمتغيرات الحقيقية ، كما يوضح المثال التالي.

start {ex} label {matrixaddscalarex} حل من أجل المصفوفة $ A $: $ 3A - left ( left [ begin {array} {rr} 2 & -1 3 & 5 end {array } right] + 5A right) = left [ start {array} {rr} -4 & 2 6 & -2 end {array} right] + dfrac {1} {3} left [ start {array} {rr} 9 & 12 -3 & 39 end {array} right] $ باستخدام تعريفات وخصائص حساب المصفوفة.

صفحة جديدة

{ حل bf.} [ ابدأ {مجموعة} {rcl}

3A - left ( left [ begin {array} {rr} 2 & -1 3 & 5 end {array} right] + 5A right) & = & left [ begin {array } {rr} -4 & 2 6 & -2 end {array} right] + dfrac {1} {3} left [ begin {array} {rr} 9 & 12 - 3 و 39 end {array} right] [13pt]

3A + left {- left ( left [ start {array} {rr} 2 & -1 3 & 5 end {array} right] + 5A right) right } & = & left [ start {array} {rr} -4 & 2 6 & -2 end {array} right] + left [ begin {array} {rr} left ( frac {1} {3} right) (9) & left ( frac {1} {3} right) (12) [2pt] left ( frac {1} {3} right) ( -3) & left ( frac {1} {3} right) (39) end {array} right] [13pt]

3A + (-1) left ( left [ start {array} {rr} 2 & -1 3 & 5 end {array} right] + 5A right) & = & left [ start {array} {rr} -4 & 2 6 & -2 end {array} right] + left [ begin {array} {rr} 3 & 4 -1 & 13 نهاية {مجموعة} يمين] [13 نقطة]

3A + left {(-1) left [ start {array} {rr} 2 & -1 3 & 5 end {array} right] + (-1) (5A) right } & = & left [ start {array} {rr} -1 & 6 5 & 11 end {array} right] [13pt]

3A + (-1) left [ start {array} {rr} 2 & -1 3 & 5 end {array} right] + (-1) (5A) & = & left [ ابدأ {مجموعة} {rr} -1 & 6 5 & 11 نهاية {مجموعة} يمين] [13pt]

3A + left [ start {array} {rr} (-1) (2) & (-1) (- 1) (-1) (3) & (-1) (5) end {array} right] + ((-1) (5)) A & = & left [ begin {array} {rr} -1 & 6 5 & 11 end {array} right] [13 نقطة]

3A + left [ start {array} {rr} -2 & 1 -3 & -5 end {array} right] + (-5) A & = & left [ begin {array } {rr} -1 & 6 5 & 11 end {array} right] [13pt]

3A + (-5) A + left [ start {array} {rr} -2 & 1 -3 & -5 end {array} right] & = & left [ begin {array} {rr} -1 & 6 5 & 11 end {array} right] [13pt]

(3+ (-5)) A + left [ start {array} {rr} -2 & 1 -3 & -5 end {array} right] + left (- left [ ابدأ {array} {rr} -2 & 1 -3 & -5 end {array} right] right) & = & left [ begin {array} {rr} -1 & 6 5 & 11 end {array} right] + left (- left [ start {array} {rr} -2 & 1 -3 & -5 end {array} right ] right) [13pt]

(-2) A + 0_ {2 times 2} & = & left [ start {array} {rr} -1 & 6 5 & 11 end {array} right] - left [ ابدأ {مجموعة} {rr} -2 & 1 -3 & -5 end {array} right] [13pt]

(-2) A & = & left [ start {array} {rr} -1 - (-2) & 6 - 1 5 - (-3) & 11 - (-5) end { مجموعة} يمين] [13 نقطة]

(-2) A & = & left [ start {array} {rr} 1 & 5 8 & 16 end {array} right] [13pt]

left (- frac {1} {2} right) left ((- 2) A right) & = & - frac {1} {2} left [ start {array} {rr} 1 & 5 8 & 16 end {array} right] [13pt]

left ( left (- frac {1} {2} right) (- 2) right) A & = & left [ begin {array} {rr} left (- frac {1} { 2} right) (1) & left (- frac {1} {2} right) (5) [2pt] left (- frac {1} {2} right) (8) & يسار (- frac {1} {2} right) (16) end {array} right] [13pt]

1 A & = & left [ begin {array} {rr} - frac {1} {2} & - frac {5} {2} [2pt] -4 & - frac {16} { 2} end {array} right] [13pt]

A & = & left [ begin {array} {rr} - frac {1} {2} & - frac {5} {2} [2pt] -4 & -8 end {array } يمين] [13 نقطة]

نهاية {مجموعة} ]

يتم تشجيع القارئ على التحقق من إجابتنا في المعادلة الأصلية. qed

نهاية {مثال}

في حين أن الحل للمثال السابق مكتوب بتفاصيل مؤلمة ، تم حذف العديد من الخطوات المذكورة أعلاه في الممارسة العملية. لقد أوضحنا كل خطوة في هذا المثال لتشجيع القارئ على تبرير كل خطوة باستخدام التعريفات والخصائص التي أنشأناها حتى الآن لحساب المصفوفة. يتم تشجيع القارئ على حل المعادلة في المثال المرجع {matrixaddscalarex} كما يفعل مع أي معادلة خطية أخرى ، على سبيل المثال: $ 3a- (2 + 5a) = - 4+ frac {1} {3} (9) $ .

smallskip

نوجه انتباهنا الآن إلى textbf {ضرب المصفوفة} - أي ضرب مصفوفة في مصفوفة أخرى. استنادًا إلى اتجاه "عدم وجود مفاجآت" حتى الآن في القسم ، قد تتوقع أنه من أجل مضاعفة مصفوفتين ، يجب أن يكونا من نفس الحجم وأن تعثر على المنتج بضرب الإدخالات المقابلة. بينما يتم استخدام هذا النوع من المنتجات في مجالات أخرى من الرياضيات ، حاشية سفلية {راجع هذه المقالة على href {en.Wikipedia.org/wiki/Matrix _... rline {Hadamard Product}}.} نحدد مضاعفة المصفوفة لخدمة لنا في حل أنظمة المعادلات الخطية. لتحقيق هذه الغاية ، نبدأ بتحديد حاصل ضرب صف وعمود. نحن نحفز التعريف العام بمثال. ضع في اعتبارك المصفوفتين $ A $ و $ B $ أدناه.

[ ابدأ {مجموعة} {cc}

A = left [ begin {array} {rrr} 2 & hphantom {-} 0 & -1 -10 & 3 & 5 end {array} right]

&

B = left [ start {array} {rrrr} 3 & hphantom {-} 1 & 2 & -8 4 & 8 & -5 & 9 5 & 0 & -2 & -12 نهاية {مجموعة} يمين]

نهاية {مجموعة} ]

لنفترض أن $ R1 $ يشير إلى الصف الأول من $ A $ و $ C1 $ يشير إلى العمود الأول من $ B $. للعثور على "المنتج" لـ $ R1 $ مع $ C1 $ ، والمشار إليه $ R1 cdot C1 $ ، نجد أولاً منتج الإدخال الأول في $ R1 $ والمدخل الأول في $ C1 $. بعد ذلك ، نضيف إلى ذلك منتج الإدخال الثاني في $ R1 $ والمدخل الثاني في $ C1 $. أخيرًا ، نأخذ هذا المبلغ ونضيف إليه حاصل ضرب الإدخال الأخير في $ R1 $ وآخر إدخال في $ C1 $. باستخدام تدوين الإدخال ، $ R1 cdot C1 = a _ { mbox { tiny $ 11 $}} b _ { mbox { tiny $ 11 $}} + a _ { mbox { tiny $ 12 $}} b _ { mbox { صغير $ 21 $}} + a _ { mbox { tiny $ 13 $}} ب _ { mbox { tiny $ 31 $}} = (2) (3) + (0) (4) + (-1) (5) = 6 + 0 + (-5) = 1 دولار. يمكننا تصور هذا بشكل تخطيطي على النحو التالي

[ left [ begin {array} {rrr} rowcolor [grey] {0.9} 2 & hphantom {-} 0 & -1 -10 & 3 & 5 end {array} right] left [ begin {array} {> { columncolor [gray] {0.9}} rrrr} 3 & hphantom {-} 1 & 2 & -8 4 & 8 & -5 & 9 5 & 0 & -2 & -12 end {array} right] ]

[ ابدأ {مجموعة} {ccccc}

underbrace { begin {array} {rl} stackrel { xrightarrow { hspace {.75in}}} { begin {array} {ccc} fbox {2} & hphantom {-} 0 & -1 نهاية {مجموعة}} & اليسار. ابدأ {مجموعة} {c} fbox {3} 4 5 end {array} right downarrow end {array}}

&

&

underbrace { begin {array} {rl} stackrel { xrightarrow { hspace {.75in}}} { begin {array} {ccc} 2 & hphantom {-} fbox {0} & -1 نهاية {مجموعة}} & اليسار. ابدأ {مجموعة} {c} 3 fbox {4} 5 end {array} right downarrow end {array}}

&

&

underbrace { begin {array} {rl} stackrel { xrightarrow { hspace {.75in}}} { begin {array} {ccc} 2 & hphantom {-} 0 & fbox {$ - 1 $ } end {array}} & left. ابدأ {مجموعة} {c} 3 4 fbox {5} end {array} right downarrow end {array}}

a _ { mbox { tiny $ 11 $}} b _ { mbox { tiny $ 11 $}} & + & a _ { mbox { tiny $ 12 $}} b _ { mbox { tiny $ 21 $}} & + & أ _ { mbox { tiny $ 13 $}} b _ { mbox { tiny $ 31 $}}

(2)(3) & + &(0)(4)& + & (-1)(5) \

نهاية {مجموعة} ]

للعثور على $ R2 cdot C3 $ حيث يشير $ R2 $ إلى الصف الثاني من $ A $ بينما يشير $ C3 $ إلى العمود الثالث من $ B $ ، فإننا نتابع بشكل مماثل. نبدأ بإيجاد منتج الإدخال الأول بقيمة $ R2 $ مع الإدخال الأول في $ C3 $ ثم نضيف إليه منتج الإدخال الثاني في $ R2 $ مع الإدخال الثاني في $ C3 $ وهكذا. باستخدام تدوين الإدخال ، لدينا $ R2 cdot C3 = a _ { mbox { tiny $ 21 $}} b _ { mbox { tiny $ 13 $}} + a _ { mbox { tiny $ 22 $}} b _ { mbox { tiny $ 23 $}} + a _ { mbox { tiny $ 23 $}} ب _ { mbox { tiny $ 33 $}} = (-10) (2) + (3) (- 5) + (5) (-2) = -45 دولار. تخطيطيا ،

[ left [ begin {array} {rrr} 2 & 0 & -1 rowcolor [grey] {0.9} -10 & hphantom {-} 3 & 5 end {array} right] left [ begin {array} {rr> { columncolor [gray] {0.9}} rr} 3 & hphantom {-} 1 & 2 & -8 4 & 8 & -5 & 9 5 & 0 & -2 & -12 end {array} right] ]

[ ابدأ {مجموعة} {ccccc}

underbrace { begin {array} {rl} stackrel { xrightarrow { hspace {.75in}}} { begin {array} {ccc} fbox {$ - 10 $} & 3 & 5 end {array }} & متبقى. start {array} {c} fbox { hphantom {$ - $} 2} -5 -2 end {array} right downarrow end {array}}

&

&

underbrace { begin {array} {rl} stackrel { xrightarrow { hspace {.75in}}} { begin {array} {ccc} -10 & fbox {3} & 5 end {array}} & متبقى. start {array} {c} hphantom {-} 2 fbox {$ - 5 $} -2 end {array} right downarrow end {array}}

&

&

underbrace { begin {array} {rl} stackrel { xrightarrow { hspace {.75in}}} { begin {array} {ccc} -10 & 3 & fbox {$ 5 $} end {array} } & متبقى. start {array} {c} hphantom {-} 2 -5 fbox {$ - 2 $} end {array} right downarrow end {array}}

أ _ { mbox { tiny $ 21 $}} b _ { mbox { tiny $ 13 $}} = (-10) (2) = -20 & + & a _ { mbox { tiny $ 22 $}} b _ { mbox { tiny $ 23 $}} = (3) (- 5) = -15 & + & a _ { mbox { tiny $ 23 $}} b _ { mbox { tiny $ 33 $}} = (5) (- 2) = -10

نهاية {مجموعة} ]

بتعميم هذه العملية ، لدينا التعريف التالي.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

start {defn} label {rowcolumnproduct} textbf {Product of a Row and a Column:} افترض أن $ A = [a_ {ij}] _ {m times n} $ and $ B = [b_ {ij}] _ {n مرات r} $. دع $ Ri $ يشير إلى الصف $ i $ th من $ A $ ودع $ Cj $ يشير إلى العمود $ j $ th وهو $ B $. الفهرس {matrix! نتاج الصف والعمود} textbf {product of boldmath $ R_ {i} $ and boldmath $ C_ {j} $ ، والمشار إليه $ R_ {i} cdot C_ {j} $} هو الرقم الحقيقي المحدد بواسطة

[Ri cdot Cj = a_ {i mbox { tiny $ 1 $}} b _ { mbox { tiny $ 1 $} j} + a_ {i mbox { tiny $ 2 $}} b _ { mbox { $ 2 $} j} + ldots a_ {in} b_ {nj} ]

النهاية {defn}

ebm}

smallskip

لاحظ أنه من أجل ضرب صف بعمود ، يجب أن يتطابق عدد الإدخالات في الصف مع عدد الإدخالات في العمود. نحن الآن في وضع يسمح لنا بتعريف ضرب المصفوفة.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

ابدأ {defn} label {matrixproduct} textbf {Matrix Multiplication:} افترض أن $ A = [a_ {ij}] _ {m times n} $ and $ B = [b_ {ij}] _ {n times r} $. الفهرس {matrix! ضرب المصفوفة! تعريف} textbf {product of boldmath $ A $ و boldmath $ B $} ، يرمز إليهما $ AB $ ، هي المصفوفة المعرفة بواسطة

[AB = left [Ri cdot Cj right] _ {m times r} ]

هذا هو

[AB = يسار [

ابدأ {مجموعة} {cccc}

R1 cdot C1 & R1 cdot C2 & ldots & R1 cdot Cr

R2 cdot C1 & R2 cdot C2 & ldots & R2 cdot Cr

vdots & vdots & & vdots

Rm cdot C1 & Rm cdot C2 & ldots & Rm cdot Cr end {array} right] ]

النهاية {defn}

ebm}

smallskip

هناك عدد من التفاصيل الدقيقة في التعريف المرجع {matrixproduct} والتي تتطلب فحصًا دقيقًا. أولاً وقبل كل شيء ، يخبرنا التعريف ref {matrixproduct} أن إدخال $ ij $ لمنتج مصفوفة $ AB $ هو الصف $ i $ th من $ A $ مضروبًا في العمود $ j $ th من $ B $. من أجل تحديد هذا ، يجب أن يتطابق عدد الإدخالات في صفوف $ A $ مع عدد الإدخالات في أعمدة $ B $. هذا يعني أن عدد الأعمدة $ A $ يجب أن يتطابق مع الحاشية السفلية {يتم تشجيع القارئ على التفكير في هذا من خلال.} عدد صفوف $ B $. بعبارة أخرى ، لمضاعفة $ A $ في $ B $ ، يجب أن يتطابق البعد الثاني من $ A $ مع البُعد الأول من $ B $ ، وهذا هو السبب في التعريف ref {matrixproduct} ، $ A_ {m times underline {n}} يتم ضرب $ في مصفوفة $ B _ { underline {n} times r} $. علاوة على ذلك ، تحتوي مصفوفة المنتج $ AB $ على عدد من الصفوف مثل $ A $ وعدد من الأعمدة $ B $. نتيجة لذلك ، عند ضرب مصفوفة $ A _ { تسطير {m} times n} $ في مصفوفة $ B_ {n مرات تسطير {r}} $ ، تكون النتيجة هي المصفوفة $ AB _ { تسطير {m } مرات تسطير {r}} $. بالعودة إلى أمثلة المصفوفات أدناه ، نرى أن $ A $ عبارة عن مصفوفة $ 2 times underline {3} $ و $ B $ عبارة عن $ تسطير {3} ضرب 4 $ مصفوفة. هذا يعني أن مصفوفة حاصل الضرب $ AB $ معرّفة وستكون مصفوفة $ 2 ضرب 4 $.

[ ابدأ {مجموعة} {cc}

A = left [ begin {array} {rrr} 2 & hphantom {-} 0 & -1 -10 & 3 & 5 end {array} right]

&

B = left [ start {array} {rrrr} 3 & hphantom {-} 1 & 2 & -8 4 & 8 & -5 & 9 5 & 0 & -2 & -12 نهاية {مجموعة} يمين]

نهاية {مجموعة} ]

باستخدام $ Ri $ للإشارة إلى الصف $ i $ th من $ A $ و $ Cj $ للإشارة إلى العمود $ j $ th من $ B $ ، نشكل $ AB $ وفقًا للتعريف المرجع {matrixproduct}.

[ ابدأ {مجموعة} {rclcl}

AB & = & left [ begin {array} {rrrr} R1 cdot C1 & R1 cdot C2 & R1 cdot C3 & R1 cdot C4 R2 cdot C1 & R2 cdot C2 & R2 cdot C3 & R2 cdot C4 end {array} right] & = & left [ begin {array} {rrrr} 1 & hphantom {-} 2 & 6 & -4 7 & 14 & -45 & 47 end {array} right] end {array} ]

لاحظ أن المنتج $ BA $ لم يتم تعريفه ، حيث أن $ B $ عبارة عن مصفوفة $ 3 times underline {4} $ بينما $ A $ عبارة عن $ underline {2} times 3 $ matrix؛ يحتوي $ B $ على أعمدة أكثر من $ A $ به صفوف ، وبالتالي لا يمكن ضرب صف من $ B $ في عمود $ A $. حتى عندما تكون أبعاد $ A $ و $ B $ متوافقة بحيث يتم تعريف كل من $ AB $ و $ BA $ ، فإن المنتج $ AB $ و $ BA $ ليسا متساويين بالضرورة. نفس الأبعاد. على سبيل المثال ، إذا كان $ A $ عبارة عن مصفوفة $ 2 مرات 3 $ و $ B $ مصفوفة $ 3 مرات 2 $ ، يتم تعريف $ AB $ وهو مصفوفة $ 2 مرات 2 $ بينما يتم تعريف $ BA $ أيضًا ... لكنها مصفوفة 3 $ مرات 3 $!} بعبارة أخرى ، $ AB $ قد لا تساوي $ BA $. على الرغم من عدم وجود خاصية تبادلية لضرب المصفوفة بشكل عام ، فإن العديد من خصائص الأعداد الحقيقية موروثة عن طريق ضرب المصفوفة ، كما هو موضح في نظريتنا التالية.

smallskip

colorbox {ResultColor} { bbm

start {thm} label {matrixmultprops} textbf {خصائص ضرب المصفوفة} الفهرس {matrix! ضرب المصفوفة! خصائص} دع $ A $ و $ B $ و $ C $ تكون مصفوفات بحيث يتم تعريف جميع منتجات المصفوفة أدناه والسماح لـ $ k $ أن يكون رقمًا حقيقيًا.

ابدأ {itemize}

item textbf {الخاصية الترابطية لضرب المصفوفة:} الفهرس {matrix! ضرب المصفوفة! الخاصية الترابطية} $ (AB) C = A (BC) $ index {الخاصية الترابطية! مصفوفة ! ضرب المصفوفة}

item textbf {الخاصية الترابطية مع الضرب القياسي:} $ k (AB) = (kA) B = A (kB) $

item textbf {خاصية الهوية:} الفهرس {matrix! ضرب المصفوفة! هوية لـ} بالنسبة إلى العدد الطبيعي $ k $ ، يتم تعريف textbf { boldmath $ k times k $ Ident matrix} ، المشار إليها $ I_ {k} $ ، بواسطة $ I_ {k} = left [d_ {ij } right] _ {k times k} $ حيث [d_ {ij} = left {start {array} {rl} 1، & text {if $ i = j $} 0، & text {وإلا} end {array} right. ] لجميع المصفوفات $ m times n $ ، $ I_ {m} A = AI_ {n} = A $. فهرس {هوية! مصفوفة مضاعفة}

item textbf {خاصية توزيع مصفوفة ضرب عبر إضافة مصفوفة:} فهرس {مصفوفة! ضرب المصفوفة! خاصية التوزيع} الفهرس {خاصية توزيع! مصفوفة ! ضرب المصفوفة} [A (B pm C) = AB pm AC mbox {and} (A pm B) C = AC pm BC ]

النهاية {itemize}

نهاية {thm}

ebm}

smallskip

الخاصية الوحيدة في Theorem ref {matrixmultprops} التي تتطلب مزيدًا من التحقيق هي بلا شك المتطابقة المضاعفة. label {maindiagonal} المدخلات في المصفوفة حيث $ i = j $ تشتمل على ما يسمى الفهرس {matrix! القطر الرئيسي} الفهرس {القطر الرئيسي} textbf {القطر الرئيسي} للمصفوفة. مصفوفة الهوية بها $ 1 $ على طول القطر الرئيسي و $ 0 $ في كل مكان آخر. فيما يلي بعض الأمثلة على المصفوفة $ I_ {k} $ المذكورة في Theorem ref {matrixmultprops}. يتم تشجيع القارئ على رؤية كيفية مطابقتها لتعريف مصفوفة الهوية المعروضة هناك.

[ ابدأ {مجموعة} {ccccc}

[1] & left [ start {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right] & left [ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right] & left [ start {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {array} right]

أنا _ { mbox { tiny $ 1 $}} & I _ { mbox { tiny $ 2 $}} & I _ { mbox { tiny $ 3 $}} & I _ { mbox { tiny $ 4 $}}

نهاية {مجموعة} ]

مصفوفة الهوية هي مثال لما يسمى الفهرس {matrix! المصفوفة المربعة} الفهرس {المصفوفة المربعة} textbf {المصفوفة المربعة} حيث أنها تحتوي على نفس عدد الصفوف مثل الأعمدة. لاحظ أنه من أجل التحقق من أن مصفوفة الهوية تعمل كهوية مضاعفة ، يجب توخي الحذر اعتمادًا على ترتيب الضرب. على سبيل المثال ، خذ المصفوفة $ 2 مرة 3 $ matrix $ A $ من سابقًا

[A = left [ begin {array} {rrr} 2 & hphantom {-} 0 & -1 -10 & 3 & 5 end {array} right] ]

لكي يتم تعريف المنتج $ I_ {k} A $ ، $ k = 2 $؛ وبالمثل ، لكي يتم تعريف $ AI_ {k} $ ، $ k = 3 $. نترك للقارئ إظهار $ I _ { mbox { tiny $ 2 $}} A = A $ و $ AI _ { mbox { tiny $ 3 $}} = A $. بعبارات أخرى،

[ ابدأ {مجموعة} {rcl}

left [ start {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr} 2 & hphantom {-} 0 & - 1 -10 & 3 & 5 end {array} right] & = & left [ begin {array} {rrr} 2 & hphantom {-} 0 & -1 -10 & 3 & 5 end {array} right] end {array} ]

و

[ ابدأ {مجموعة} {rcl}

left [ begin {array} {rrr} 2 & hphantom {-} 0 & -1 -10 & 3 & 5 end {array} right] left [ begin {array} {rrr } 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right] & = & left [ begin {array} {rrr} 2 & hphantom {- }0 & -1 -10 & 3 & 5 end{array} ight] end{array}]

While the proofs of the properties in Theorem ef{matrixmultprops} are computational in nature, the notation becomes quite involved very quickly, so they are left to a course in Linear Algebra. The following example provides some practice with matrix multiplication and its properties. As usual, some valuable lessons are to be learned.

egin{ex} label{matrixmultex} $~$

egin{enumerate}

item Find $AB$ for $A = left[ egin{array}{rrr} -23 & -1 & 17 46 & 2 & -34 end{array} ight]$ and $B = left[ egin{array}{rr} -3 & 2 1 & 5 -4 & 3 end{array} ight]$

item Find $C^2 -5C + 10I_{mbox{ iny$2$}}$ for $C = left[ egin{array}{rr} 1 & -2 3 & 4 end{array} ight]$

item Suppose $M$ is a $4 imes 4$ matrix. Use Theorem ef{matrixmultprops} to expand $left(M - 2I_{mbox{ iny$4$}} ight)left(M + 3I_{mbox{ iny$4$}} ight)$.

end{enumerate}

{f Solution.}

egin{enumerate}

item We have $AB = left[ egin{array}{rrr} -23 & -1 & 17 46 & 2 & -34 end{array} ight] left[ egin{array}{rr} -3 & 2 1 & 5 -4 & 3 end{array} ight] = left[ egin{array}{rr} 0 & 0 0 & 0 end{array} ight] $

item Just as $x^2$ means $x$ times itself, $C^2$ denotes the matrix $C$ times itself. We get

[ egin{array}{rcl}

C^2 -5C + 10I_{mbox{ iny$2$}} & = & left[ egin{array}{rr} 1 & -2 3 & 4 end{array} ight]^2 - 5 left[ egin{array}{rr} 1 & -2 3 & 4 end{array} ight] + 10 left[ egin{array}{rr} 1 & 0 0 & 1 end{array} ight] [13pt]

& = & left[ egin{array}{rr} 1 & -2 3 & 4 end{array} ight]left[ egin{array}{rr} 1 & -2 3 & 4 end{array} ight] + left[ egin{array}{rr} -5 & 10 -15 & -20 end{array} ight] + left[ egin{array}{rr} 10 & 0 0 & 10 end{array} ight] [13pt]

& = & left[ egin{array}{rr} -5 & -10 15 & 10 end{array} ight] + left[ egin{array}{rr} 5 & 10 -15 & -10 end{array} ight] [13pt]

& = & left[ egin{array}{rr} 0 & 0 0 & 0 end{array} ight]

end{array} ]

item We expand $left(M - 2I_{mbox{ iny$4$}} ight)left(M + 3I_{mbox{ iny$4$}} ight)$ with the same pedantic zeal we showed in Example ef{matrixaddscalarex}. The reader is encouraged to determine which property of matrix arithmetic is used as we proceed from one step to the next.

[egin{array}{rcl}

left(M - 2I_{mbox{ iny$4$}} ight)left(M + 3I_{mbox{ iny$4$}} ight) & = & left(M - 2I_{mbox{ iny$4$}} ight) M + left(M - 2I_{mbox{ iny$4$}} ight)left( 3I_{mbox{ iny$4$}} ight)

& = & MM - left(2I_{mbox{ iny$4$}} ight)M + Mleft( 3I_{mbox{ iny$4$}} ight) - left( 2I_{mbox{ iny$4$}} ight)left( 3I_{mbox{ iny$4$}} ight)

& = & M^2 -2 left(I_{mbox{ iny$4$}}M ight) +3left( M I_{mbox{ iny$4$}} ight) - 2left( I_{mbox{ iny$4$}}left( 3I_{mbox{ iny$4$}} ight) ight)

& = & M^2 - 2M + 3M - 2left(3left( I_{mbox{ iny$4$}}I_{mbox{ iny$4$}} ight) ight)

& = & M^2 +M - 6I_{mbox{ iny$4$}}

نهاية {مجموعة} ]

qed

end{enumerate}

end{ex}

Example ef{matrixmultex} illustrates some interesting features of matrix multiplication. First note that in part 1, neither $A$ nor $B$ is the zero matrix, yet the product $AB$ is the zero matrix. Hence, the the zero product property enjoyed by real numbers and scalar multiplication does not hold for matrix multiplication. Parts 2 and 3 introduce us to polynomials involving matrices. The reader is encouraged to step back and compare our expansion of the matrix product $left(M - 2I_{mbox{ iny$4$}} ight)left(M + 3I_{mbox{ iny$4$}} ight)$ in part 3 with the product $(x-2)(x+3)$ from real number algebra. The exercises explore this kind of parallel further.

smallskip

As we mentioned earlier, a point $P(x,y)$ in the $xy$-plane can be represented as a $2 imes 1$ position matrix. We now show that matrix multiplication can be used to rotate these points, and hence graphs of equations.

egin{ex} label{rotationmatrixex} Let $R = left[ egin{array}{rr} frac{sqrt{2}}{2} & -frac{sqrt{2}}{2} [3pt] frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{array} ight]$.

egin{enumerate}

item Plot $P(2,-2)$, $Q(4,0)$, $S(0,3)$, and $T(-3,-3)$ in the plane as well as the points $RP$, $RQ$, $RS$, and $RT$. Plot the lines $y=x$ and $y=-x$ as guides. What does $R$ appear to be doing to these points?

item If a point $P$ is on the hyperbola $x^2-y^2=4$, show that the point $RP$ is on the curve $y = frac{2}{x}$.

end{enumerate}

{f Solution.} For $P(2,-2)$, the position matrix is $P = left[ egin{array}{r} 2 -2 end{array} ight]$, and

[egin{array}{rcl}

RP & = & left[ egin{array}{rr} frac{sqrt{2}}{2} & -frac{sqrt{2}}{2} [3pt] frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{array} ight]left[ egin{array}{r} 2 [3pt] -2 end{array} ight] [13pt]

& = & left[ egin{array}{r} 2sqrt{2} 0 end{array} ight]

نهاية {مجموعة} ]

We have that $R$ takes $(2,-2)$ to $(2 sqrt{2}, 0)$. Similarly, we find $(4,0)$ is moved to $(2sqrt{2}, 2sqrt{2})$, $(0,3)$ is moved to $left(-frac{3 sqrt{2}}{2}, frac{3 sqrt{2}}{2} ight)$, and $(-3,-3)$ is moved to $(0,-3sqrt{2})$. Plotting these in the coordinate plane along with the lines $y=x$ and $y=-x$, we see that the matrix $R$ is rotating these points counterclockwise by $45^{circ}$.

egin{center}

egin{mfpic}[15]{-5}{5}{-5}{5}

point[3pt]{(2,-2), (2.828,0), (4,0), (2.828, 2.828), (0,3), (-2.121, 2.121), (-3,-3), (0, -4.243)}

arrow dashed arc[s]{(2,-2), (2.828,0),45}

arrow dashed arc[s]{(4,0), (2.828, 2.828),45}

arrow dashed arc[s]{(0,3), (-2.121, 2.121),45}

arrow dashed arc[s]{ (-3,-3), (0, -4.243),45}

dashed polyline{(-4.5, 4.5), (4.5, -4.5)}

dashed polyline{(-4.5, -4.5), (4.5, 4.5)}

axes

label[cc](1.8, -2.5){scriptsize $P$}

label[cc](2.828, 0.5){scriptsize $RP$}

label[cc](4, -0.5){scriptsize $Q$}

label[cc](2.6, 3.3){scriptsize $RQ$}

label[cc](0.5, 3){scriptsize $S$}

label[cc](-2.5, 1.5){scriptsize $RS$}

label[cc](-3, -2.5){scriptsize $T$}

label[cc](0.7, -4.243){scriptsize $RT$}

label[cc](5,-0.5){$x$}

label[cc](0.5,5){$y$}

xmarks{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}

ymarks{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}

lpointsep{5pt}

scriptsize

axislabels {x}{{$-4 hspace{7pt}$} -4, {$-3 hspace{7pt}$} -3, {$-2 hspace{7pt}$} -2, {$-1 hspace{7pt}$} -1, {$1$} 1, {$2$} 2, {$3$} 3}

axislabels {y}{{$-4$} -4, {$-3$} -3, {$-2$} -2, {$-1$} -1, {$1$} 1, {$2$} 2, {$4$} 4}

ormalsize

end{mfpic}

end{center}

item For a generic point $P(x,y)$ on the hyperbola $x^2-y^2=4$, we have

[egin{array}{rcl}

RP & = & left[ egin{array}{rr} frac{sqrt{2}}{2} & -frac{sqrt{2}}{2} [3pt] frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{array} ight]left[ egin{array}{r} x [3pt] y end{array} ight] [13pt]

& = & left[ egin{array}{r} frac{sqrt{2}}{2} x - frac{sqrt{2}}{2} y [3pt] frac{sqrt{2}}{2} x + frac{sqrt{2}}{2} y end{array} ight]

نهاية {مجموعة} ]

which means $R$ takes $(x,y)$ to $left(frac{sqrt{2}}{2} x - frac{sqrt{2}}{2} y, frac{sqrt{2}}{2} x + frac{sqrt{2}}{2} y ight)$. To show that this point is on the curve $y = frac{2}{x}$, we replace $x$ with $frac{sqrt{2}}{2} x - frac{sqrt{2}}{2} y$ and $y$ with $frac{sqrt{2}}{2} x + frac{sqrt{2}}{2} y$ and simplify.

[ egin{array}{rcl}

y & = & frac{2}{x}

frac{sqrt{2}}{2} x + frac{sqrt{2}}{2} y & stackrel{?}{=} & frac{2}{frac{sqrt{2}}{2} x - frac{sqrt{2}}{2} y} [10pt]

left(frac{sqrt{2}}{2} x - frac{sqrt{2}}{2} y ight) left(frac{sqrt{2}}{2} x + frac{sqrt{2}}{2} y ight)& stackrel{?}{=} & left(dfrac{2}{frac{sqrt{2}}{2} x - frac{sqrt{2}}{2} y} ight) left( frac{sqrt{2}}{2} x - frac{sqrt{2}}{2} y ight)

left(frac{sqrt{2}}{2} x ight)^2 - left( frac{sqrt{2}}{2} y ight)^2 & stackrel{?}{=} & 2

frac{x^2}{2} - frac{y^2}{2} & stackrel{?}{=} & 2

x^2 - y^2 & stackrel{checkmark }{=}& 4

end{array} ]

Since $(x,y)$ is on the hyperbola $x^2 - y^2 = 4$, we know that this last equation is true. Since all of our steps are reversible, this last equation is equivalent to our original equation, which establishes the point is, indeed, on the graph of $y = frac{2}{x}$. This means the graph of $y=frac{2}{x}$ is a hyperbola, and it is none other than the hyperbola $x^2-y^2=4$ rotated counterclockwise by $45^{circ}$.footnote{See Section ef{Hyperbolas} for more details.} Below we have the graph of $x^2-y^2=4$ (solid line) and $y = frac{2}{x}$ (dashed line) for comparison.

egin{center}

egin{mfpic}[15]{-5}{5}{-5}{5}

axes

arrow everse arrow parafcn{-1.15,1.15,0.1}{(2*cosh(t),2*sinh(t))}

arrow everse arrow parafcn{-1.15,1.15,0.1}{(-2*cosh(t),2*sinh(t))}

dashed arrow everse arrow otatepath{(0,0), 45} parafcn{-1.15,1.15,0.1}{(2*cosh(t),2*sinh(t))}

dashed arrow everse arrow otatepath{(0,0), 45} parafcn{-1.15,1.15,0.1}{(-2*cosh(t),2*sinh(t))}

label[cc](5,-0.5){scriptsize $x$}

label[cc](0.5,5){scriptsize $y$}

xmarks{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}

ymarks{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}

lpointsep{5pt}

scriptsize

axislabels {x}{{$-3 hspace{7pt}$} -3, {$-1 hspace{7pt}$} -1, {$1$} 1, {$3$} 3, {$4$} 4}

axislabels {y}{{$-3$} -3, {$-2$} -2, {$-1$} -1, {$1$} 1, {$2$} 2, {$3$} 3,{$4$} 4}

ormalsize

end{mfpic}

end{center}

vspace{-10pt}

qed

end{ex}

When we started this section, we mentioned that we would temporarily consider matrices as their own entities, but that the algebra developed here would ultimately allow us to solve systems of linear equations. To that end, consider the system

[left{ egin{array}{rcl} 3x - y + z & = & 8 x + 2y - z & = & 4 2x+ 3y - 4z & = & 10 end{array} ight.]

In Section ef{AugMatrices}, we encoded this system into the augmented matrix

[left[ egin{array}{rrr|r} 3 & -1 & 1 & 8 1 & 2 & -1 & 4 2 & 3 & -4 & 10 end{array} ight]]

phantomsection

label{systemasmatrixeqn}

Recall that the entries to the left of the vertical line come from the coefficients of the variables in the system, while those on the right comprise the associated constants. For that reason, we may form the index{system of equations ! coefficient matrix} extbf{coefficient matrix} $A$, the index{system of equations ! unknowns matrix} extbf{unknowns matrix} $X$ and the index{system of equations ! constant matrix} extbf{constant matrix} $B$ as below

[ egin{array}{ccc}

A = left[ egin{array}{rrr} 3 & -1 & 1 1 & 2 & -1 2 & 3 & -4 end{array} ight]

&

X = left[ egin{array}{r} x y z end{array} ight]

&

B = left[ egin{array}{r} 8 4 10 end{array} ight]

end{array} ]

We now consider the matrix equation $AX = B$.

[ egin{array}{rcl}

AX & = & B [13pt]

left[ egin{array}{rrr} 3 & -1 & 1 1 & 2 & -1 2 & 3 & -4 end{array} ight] left[ egin{array}{r} x y z end{array} ight] & = & left[ egin{array}{r} 8 4 10 end{array} ight] [13pt]

left[ egin{array}{rrr} 3x -y +z x + 2y -z 2x + 3y -4 z end{array} ight] & = & left[ egin{array}{r} 8 4 10 end{array} ight] [13pt]

نهاية {مجموعة} ]

We see that finding a solution $(x,y,z)$ to the original system corresponds to finding a solution $X$ for the matrix equation $AX = B$. If we think about solving the real number equation $ax = b$, we would simply `divide' both sides by $a$. Is it possible to `divide' both sides of the matrix equation $AX = B$ by the matrix $A$? This is the central topic of Section ef{MatMethods}.


The pairSort function can be used to sort two vectors based on the values in the first vector. The sorting operation maintains the pairing between the two vectors during the sort.

The pairSort function returns a matrix containing the pair sorted vectors. The first row in the matrix is the first vector, the second row in the matrix is the second vector.

The individual vectors can then be accessed using the rowAt function.

The example below performs a pair sort of two vectors and returns the matrix containing the sorted vectors.

When this expression is sent to the /stream handler it responds with:


أمثلة

Divide Two Numeric Arrays

Create two numeric arrays, A and B , and divide the second array, B , into the first, A .

Integer Division

Divide an int16 scalar value by each element of an int16 vector.

MATLAB® rounds the results when dividing integer data types.

Divide Scalar by Array

Create an array and divide it into a scalar.

When you specify a scalar value to be divided by an array, the scalar value expands into an array of the same size, then element-by-element division is performed.

Divide Row and Column Vectors

Create a 1-by-2 row vector and 3-by-1 column vector and divide them.

The result is a 3-by-2 matrix, where each (i,j) element in the matrix is equal to a (j) ./ b(i) :

a = [ a 1 a 2 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a . / b = [ a 1 . / b 1 a 2 . / b 1 a 1 . / b 2 a 2 . / b 2 a 1 . / b 3 a 2 . / b 3 ] .


عمليات

This is the main context that we are going to talk about in this article. Matrix operations are the set of operations that we can apply to find some results. The matrix calculator makes your task easy and fast. Also, you can perform these operations with just a few keystrokes. The most common matrix operations are addition, subtraction, multiplication, power, transpose, inverse, and calculating determinant. Let's learn all of them one by one.

Matrix Addition

Matrix addition is only performed if both matrices are the same size. In other words, the matrices to be added should have the exact same number of rows and columns. This means they should have the same dimensions.

Addition Process: When the size/dimensions of the matrices are the same then to find the sum, you need to add the corresponding elements of the matrices.

Here, A and B are the elements of the matrices to be added and C is the resultant matrix.

مثال:

Matrix Subtraction

Matrix subtraction is very much similar to addition. It is also performed if both matrices are the same size. In other words, both matrices should have exact same number of rows and columns.

Subtraction Process: You need to subtract the corresponding elements of the matrices.

Let's understand it from a simple example.

مثال:

Matrix Multiplication

There are two types of matrix multiplication we can perform.

1. Scalar multiplication

In scalar multiplication, each element of the single matrix is multiplied by a scalar value. Let's take an example to understand it.

مثال:

2. Matrix multiplication with other matrix

To multiply two matrices, the number of columns of the first matrix should be equal to the number of rows of the second matrix.

For example, you can multiply 3 × 4 مع 4 × 2. But you can not multiply 3 × 4 مع 2 × 4.

ملحوظة: Matrix multiplication is not a commutative property. It means, it is not necessary that A × B will always be equal to B × A.

Multiplication Process: Two matrices are multiplied by finding the dot product between the corresponding elements of the row of the first matrix and the column of the second matrix.

Here, A and B are the elements of the matrices to be multiplied and c is the resultant matrix.

مثال:

Power of Matrix

Power of matrix meaning is to raise a matrix to a given power.

For example, the given matrix is A. Now calculate matrix A with the power of 2 means: A 2 = A × A.

Most importantly, the power can be raised to only square matrices. Because a non-square matrix can not be multiplied by itself.

مثال:

Matrix Transpose

The transpose of a matrix flips its elements over its diagonal. The row elements become column elements whereas the column elements become row elements. Most importantly, the matrix should not be empty.

Transpose Process: To transpose a matrix just switch the rows and column elements. If the matrix contains 2 rows and 3 columns the matrix will now consist of 3 rows and 2 columns.

Here, T is a matrix containing m rows and n columns that will become n rows and m columns after transpose.

مثال:

Matrix Determinant

The Laplace formula is widely used to calculate the determinant of the matrix of any size. Let's understand the process through this formula and example:

Formula:
مثال:

= 3(1×4 - 5×3) – 5(7×4 – 5×3) + 2(7×3 – 3×1)

Matrix Inverse

Pre-requisites: The matrix should not be empty and you should know the determinant of that matrix. Also, the determinant should not be equal to zero.

Process: To find the inverse of the matrix we use a simple formula where the inverse of the determinant is multiplied with the adjoint of the matrix.

Formula: A -1 = ( 1 / |A| ) × adj(A)

Where, the adjoint of a matrix is the collection of its cofactors which are the determinants of the minor matrices.

استنتاج

This was all about the very useful matrix calculator that solves all matrix-related problems quickly and accurately. It's all in one tool that is a combination of different calculators like matrix multiplication calculator, determinant calculator, matrix inverse calculator, transpose calculator, and much more. Now, it's your time to try it out.


دليل - إثبات.

(a) Prove that the column vectors of every $3 imes 5$ matrix $A$ are linearly dependent.

Note that the column vectors of the matrix $A$ are linearly dependent if the matrix equation
[Amathbf=mathbf<0>] has a nonzero solution $mathbfin R^5$.

The equation is equivalent to a $3 imes 5$ homogeneous system.
As there are more variables than equations, the homogeneous system has infinitely many solutions.

In particular, the equation has a nonzero solution $mathbf$.
Hence the column vectors are linearly dependent.

(b) Prove that the row vectors of every $5 imes 3$ matrix $B$ are linearly dependent.

Observe that the row vectors of the matrix $B$ are the column vectors of the transpose $B^< rans>$. Note that the size of $B^< rans>$ is $3 imes 5$.

In part (a), we showed that the column vectors of any $3 imes 5$ matrix are linearly dependent.
It follows that the column vectors of $B^< rans>$ are linearly dependent.
Hence the row vectors of $B$ are linearly dependent.


Client Server API

Before you can send and receive messages, you must register for an account. If you already have an account, you must login into it.

The aim of registration is to get a user ID and access token which you will need when accessing other APIs:

NB: If a user is not specified, one will be randomly generated for you. If you do not specify a password , you will be unable to login to the account if you forget the access_token .

Implementation note: The matrix specification does not enforce how users register with a server. It just specifies the URL path and absolute minimum keys. The reference homeserver uses a username/password to authenticate user, but other homeservers may use different methods. This is why you need to specify the type of method.

The aim when logging in is to get an access token for your existing user ID:

Implementation note: Different homeservers may implement different methods for logging in to an existing account. In order to check that you know how to login to this homeserver, you must perform a GET first and make sure you recognise the login type. If you do not know how to login, you can GET /login/fallback which will return a basic webpage which you can use to login. The reference homeserver implementation support username/password login, but other homeservers may support different login methods (e.g. OAuth2).

In order to communicate with another user, you must create a room with that user and send a message to that room.

If you want to send a message to someone, you have to be in a room with them. To create a room:

The "room alias" is a human-readable string which can be shared with other users so they can join a room, rather than the room ID which is a randomly generated string. You can have multiple room aliases per room.

You can now send messages to this room:

The event ID returned is a unique ID which identifies this message.

NB: There are no limitations to the types of messages which can be exchanged. The only requirement is that "msgtype" is specified. The Matrix specification outlines the following standard types: m.text , m.image , m.audio , m.video , m.location , m.emote . See the specification for more information on these types.

Each room can be configured to allow or disallow certain rules. In particular, these rules may specify if you require an invitation from someone already in the room in order to join the room. In addition, you may also be able to join a room via a room alias if one was set up.

Inviting a user to a room

You can directly invite a user to a room like so:

This informs @myfriend:localhost of the room ID !CvcvRuDYDzTOzfKKgh:localhost and allows them to join the room.

Joining a room via an invite

If you receive an invite, you can join the room:

NB: Only the person invited ( @myfriend:localhost ) can change the membership state to "join" . Repeatedly joining a room does nothing.

Joining a room via an alias

Alternatively, if you know the room alias for this room and the room config allows it, you can directly join a room via the alias:

You will need to use the room ID when sending messages, not the room alias.

NB: If the room is configured to be an invite-only room, you will still require an invite in order to join the room even though you know the room alias. As a result, it is more common to see a room alias in relation to a public room, which do not require invitations.

An event is some interesting piece of data that a client may be interested in. It can be a message in a room, a room invite, etc. There are many different ways of getting events, depending on what the client already knows.

If the client doesn't know any information on the rooms the user is invited/joined on, they can get all the user's state for all rooms:

This returns all the room information the user is invited/joined on, as well as all of the presences relevant for these rooms. This can be a LOT of data. You may just want the most recent event for each room. This can be achieved by applying a filter that asks for a limit of 1 timeline event per room:

(additionally we have to ask curl not to try to interpret any <> characters in the URL, which is what the --globoff option is for)

In the response to this sync request the server includes a token that can be used to obtain updates since this point under the object key next_batch . To use this token, specify its value as the since parameter to another /sync request.:

By default this request will not wait in the server, always returning a value even if nothing interesting happened. However, by applying the timeout query parameter, which gives a duration in miliseconds, we can ask the server to wait for up to that amount of time before it returns. If no interesting events have happened since then, the response will be relatively empty.:

The following example demonstrates registration and login, live event streaming, creating and joining rooms, sending messages, getting member lists and getting historical messages for a room. This covers most functionality of a messaging application.


Sylvester - Vector and Matrix math for JavaScript

The Matrix class is designed to model real matrices in any number of dimensions. All the elements in a matrix must be real numbers.

Class methods

Matrix.create( elements ) 0.1.0

Creates and returns a new Matrix instance from the array elements . elements should be a nested array: the top level array is the rows, and each row is an array of elements. This means you write out a matrix in code in the same orientation you would on paper.

Every row must have the same number of elements, otherwise the method will return null .

This method is aliased as $M .

Matrix.Diagonal( elements ) 0.1.0

Returns a square matrix whose leading-diagonal elements are the values in the array elements , and whose off-diagonal elements are zero.

Matrix.I( n ) 0.1.0

Returns the n × n identity matrix.

Matrix.Random( n , m ) 0.1.0

Returns a matrix with n rows and m columns, all the elements of which are random numbers between 0 and 1.

Matrix.Rotation( angle [, axis ]) 0.1.0

If called with only one argument, returns the 2×2 matrix for an anticlockwise rotation of angle radians about the origin. That is, vectors are rotated anticlockwise with respect to the coordinate system, not the other way round.

If called with two arguments, returns the 3×3 matrix for a right-handed rotation of angle radians about the axis given by the 3-vector axis , keeping the origin fixed.

Matrix.RotationX( angle ), Matrix.RotationY( angle ), Matrix.RotationZ( angle ) 0.1.0

Each of these return the 3×3 matrix representing a right-handed rotation of points in 3-dimensional space relative to the coordinate system through an angle of angle radians about the x , y and z axes respectively. They are used as a foundation for the more general Matrix.Rotation .

Matrix.Zero( n , m ) 0.1.0

Returns a matrix with n rows and m columns, all the elements of which are zero.

Instance methods

Add( matrix ) 0.1.0

Returns the matrix sum of the receiver and matrix . Thus, A.add(B) is equivalent to أ + ب . Returns null if the matrices are different sizes.

Augment( matrix ) 0.1.0

Returns the result of augmenting the receiver with matrix , that is, appending matrix to the right hand side of the receiver. Both matrices must have the same number of rows for this to work.

matrix can also be a Vector , as long as it has the same number of elements as the receiver has rows. It will be appended to the receiver as an extra column on the right hand side.

CanMultiplyFromLeft( matrix ) 0.1.0

A.canMultiplyFromLeft(B) returns true iff AB is a mathematically valid expression. This is the case iff أ has the same number of columns as B has rows. matrix can also be a Vector , as long as it has the same number of elements as the receiver has rows.

Col( j ) 0.1.0

Returns the j th column of the receiver as a Vector .

Cols() 0.1.0

Returns the number of columns the receiver has.

Det() 0.1.0

Determinant() 0.1.0

If the receiver is square, returns its determinant, otherwise returns null . Note that if the receiver is singular, this method will return exactly zero, with no rounding errors.

Diagonal() 0.1.0

If the receiver is square, returns its leading-diagonal elements as a Vector . Otherwise, returns null .

Dimensions() 0.1.0

Returns an object containing the receiver&rsquos dimensions.

Dup() 0.1.0

Returns a copy of the receiver.

E( i , j ) 0.1.0

A.e(i,j) returns the element أاي جاي of matrix أ, that is the element in the i th row and j th column. Indexes begin at 1, in agreement with mathematical notation.

Eql( matrix ) 0.1.0

Returns true iff matrix has all its elements equal to those of the receiver.

IndexOf( x ) 0.1.0

Reads the receiver&rsquos elements row by row from left to right and returns an object containing the indeces of the first exact match. Returns null if no match is found.

Inspect() 0.1.0

Returns a string representation of the receiver, useful for debugging.

Inv() 0.1.0

Inverse() 0.1.0

Returns the matrix inverse of the receiver, if one exists. If the matrix is singular or not square, then null is returned. The inverse is computed using Gauss-Jordan elimination.

IsSameSizeAs( matrix ) 0.1.0

Returns true iff matrix has the same number of rows and columns as the receiver. matrix can also be a Vector , as long as it has the same number of elements as the receiver has rows.

IsSingular() 0.1.0

Returns true iff the receiver is square and has zero determinant.

IsSquare() 0.1.0

Returns true iff the receiver is square.

Map( iterator ) 0.1.0

Maps the receiver to another matrix by calling iterator on each element of the receiver in turn. iterator receives the row and column index of each element as second and third arguments. Some examples:

Max() 0.1.0

Returns the value of the element of the receiver with the largest absolute value.

Minor( i , j , n , m ) 0.1.0

This method returns a matrix formed from a subset of the receiver&rsquos elements. It selects elements beginning at row i and column j of the receiver, and returns a matrix with n rows and m columns. The selection wraps to the other side of the receiver if n or m is large enough. This is best illustrated by example:

Multiply( object ) 0.1.0

If object is a matrix, then this method returns the result of multiplying the receiver by object in that order: A.multiply(B) means AB. If object is a Vector , then it is converted to a column matrix, multiplied by the receiver, and the result is returned as a Vector (this saves you having to call col(1) on the result). If object is a scalar, then the method returns a copy of the receiver with all its elements multiplied by object .

This method is aliased as x .

Rank() 0.1.0

Returns the receiver&rsquos rank, which is the number of linearly independent rows/columns it contains.

Rk() 0.1.0

Round() 0.1.0

Returns a copy of the receiver with all its elements rounded to the nearest integer.

Row( i ) 0.1.0

Returns the i th row of the receiver as a Vector .

Rows() 0.1.0

Returns the number of rows the receiver has.

SetElements( elements ) 0.1.0

Sets the receiver&rsquos elements from the array elements . The element array&rsquo top-level elements should be the rows, and each row is an array of values reading from left to right across the columns. See Matrix.create .

SnapTo( x ) 0.1.0

Returns a copy of the receiver in which any elements that differ from x by less than the value of Sylvester.precision are set exactly equal to x .

Subtract( matrix ) 0.1.0

Returns the result of subtracting matrix from the receiver. Thus, A.subtract(B) is equivalent to أ &minus ب . Returns null if the matrices are different sizes.

ToRightTriangular() 0.1.0

Returns a copy of the receiver converted to right triangular form. The conversion is done only by adding multiples of rows to other rows, so the determinant (if the matrix is square) is unchanged. This method can be used on non-square matrices, which lets you use it to solve sets of simultaneous equations. For example: solving the system of linear equations

  • 3x + 2ذ &minus ض = 1
  • 2x &minus 2ذ + 4ض = &minus2
  • &minusx + ½ذ &minus ض = 0

ToUpperTriangular() 0.1.0

Tr() 0.1.0

Trace() 0.1.0

Returns the trace for square matrices, which is the sum of their leading-diagonal elements.


8.3: Matrix Arithmetic

1. Introduction to Vectors (3 lectures)
1.1. Vectors and Linear Combinations
1.2. Lengths and Dot Products
1.3. المصفوفات

2. Solving Linear Equations (7 lectures)
2.1. Vectors and Linear Equations
2.2. The Idea of Elimination
2.3 Elimination Using Matrices
2.4. Rules for Matrix Operations
2.5. Inverse Matrices
2.6. Elimination = Factorization: A = LU
2.7. Transposes and Permutations

3. Vector Spaces and Subspaces (6 lectures)
3.1. Spaces of Vectors
3.2الفراغ الصافي لـ A: حل Ax = 0 و Rx = 0
3.3 الحل الكامل للفأس = ب
3.4. الاستقلال والأساس والبعد
3.5 أبعاد الفراغات الأربعة

4. التعامد (5 محاضرات)
4.1 تعامد الفراغات الأربعة
4.2 التوقعات
4.3 تقديرات المربعات الصغرى
- قواعد بديلة
4.4 القواعد المتعامدة وغرام شميدت

5. المحددات (محاضرتان)
5.1 خصائص المحددات
5.2 التباديل والعوامل المساعدة
5.3 قاعدة كرامر ، انعكاسات ، وأحجام

6. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (7 محاضرات)
6.1 مقدمة في القيم الذاتية
6.2 قطري المصفوفة
10.3. مصفوفات ماركوف والسكان والاقتصاد (من الفصل 10)
6.3 نظم المعادلات التفاضلية
6.4. المصفوفات المتماثلة
6.5. المصفوفات الموجبة المحددة

7. تحليل القيمة المفردة (4 محاضرات)
7.1 معالجة الصور بالجبر الخطي
7.2 الأسس والمصفوفات في SVD
7.3 تحليل المكونات الرئيسية (PCA by SVD)
7.4 هندسة SVD

8. التحولات الخطية (3 محاضرات)
8.1 فكرة التحول الخطي
8.2 مصفوفة التحول الخطي
8.3 البحث عن أساس جيد

10. التطبيقات (محاضرتان ، إذا سمح الوقت)
10.1 الرسوم البيانية والشبكات
10.6. رسومات الحاسوب


نبدأ بالمصفوفة A ، ونكتبها بمصفوفة الهوية I بجانبها:


(وهذا ما يسمى & quotAugmented Matrix & quot)

مصفوفة الهوية

& quotIdentity Matrix & quot هي المصفوفة المكافئة للرقم & quot1 & quot:

  • إنه & quotsquare & quot (له نفس عدد الصفوف مثل الأعمدة) ،
  • لديها 1ق على قطري و 0في كل مكان آخر.
  • الرمز هو الحرف الكبير أنا.

الآن نحن نبذل قصارى جهدنا لتحويل & quotA & quot (المصفوفة على اليسار) إلى مصفوفة هوية. الهدف هو جعل Matrix A تمتلك 1ق على قطري و 0في مكان آخر (مصفوفة الهوية). والجانب الأيمن يأتي معه أثناء القيادة ، مع إجراء كل عملية عليه أيضًا.

لكن يمكننا فقط القيام بذلك & quot عمليات الصفوف الأولية & quot:

  • مبادلة، مقايضة صفوف
  • تتضاعف أو قسّم كل عنصر في صف على ثابت
  • استبدل الصف بـ مضيفا أو طرح مضاعف لصف آخر إليه

ويجب علينا أن نفعل ذلك لـ صف كامل، مثله:

أبدا ب أ بجوار أنا

ثم نأخذ 2 من الصف الأول ، ونطرحه من الصف الثاني ،

اضرب الصف الثاني في -1/2 ،

الآن قم بتبديل الصف الثاني والثالث ،

أخيرًا ، اطرح الصف الثالث من الصف الثاني ،

والمصفوفة أ تم تحويله إلى مصفوفة هوية.

. وفي نفس الوقت تم إنشاء مصفوفة الهوية أ -1

فعله! مثل السحر ، ومتعة مثل حل أي لغز.

ولاحظ: لا توجد طريقة & quotright & quot للقيام بذلك ، ما عليك سوى الاستمرار في اللعب حتى ننجح!

(قارن هذه الإجابة بالإجابة التي حصلنا عليها على معكوس المصفوفة باستخدام عوامل ثانوية وعوامل مساعدة ومضارب. هل هي نفسها؟ ما الطريقة التي تفضلها؟)


مثال على الحل

لحساب محدد المصفوفة عن طريق تحلل السطر الأول ، من الضروري ضرب كل عنصر من عناصر السطر المحدد في القاصر المقابل

يتم العثور على العناصر الثانوية المقابلة لعنصر معين عن طريق حذف i-row ، و j-عمود من المصفوفة A ، وبعد ذلك نجد محدد المصفوفة الناتجة
i ، j هي أرقام الصف والعمود ، حيث يوجد عنصر معين

بعد حساب منتجات كل عنصر من عناصر الصف الأول ، في العنصر الثانوي المقابل ، من الضروري جمعها وطرحها
تتغير علامة الجمع والطرح بالترتيب ، بدءًا بعلامة الجمع
بالقرب من المنتج الأول توجد علامة زائد ، بالقرب من الثانية علامة ناقص ، إلخ.

إذن ، نجد العناصر الصغرى لكل عنصر من عناصر الصف الأول.

ابحث عن العنصر الثانوي باستخدام الفهرس 11
للقيام بذلك ، من الضروري استبعاد الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة A ، وبعد ذلك نحصل على المصفوفة التالية:

بعد ذلك ، نحسب محدد هذه المصفوفة.
إنها تساوي -57 ، وهذا هو العنصر الثانوي للعنصر 11.

أوجد العنصر الثانوي باستخدام الفهرس 12
للقيام بذلك ، من الضروري استبعاد الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة A ، وبعد ذلك نحصل على المصفوفة التالية:

بعد ذلك ، نحسب محدد هذه المصفوفة.
إنها تساوي -57 ، وهذا هو العنصر الصغير 12.

ابحث عن العنصر الثانوي باستخدام الفهرس 13
للقيام بذلك ، من الضروري استبعاد الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة A ، وبعد ذلك نحصل على المصفوفة التالية:

بعد ذلك ، نحسب محدد هذه المصفوفة.
إنها تساوي -3 ، وهذا هو العنصر الأصغر للعنصر 13.

ابحث عن العنصر الثانوي باستخدام الفهرس 14
للقيام بذلك ، من الضروري استبعاد الصف الأول والعمود الرابع من المصفوفة A ، وبعد ذلك نحصل على المصفوفة التالية:

بعد ذلك ، نحسب محدد هذه المصفوفة.
إنه يساوي 21 ، هذا هو العنصر الصغرى للعنصر 14.

نحتاج الآن إلى حساب حاصل ضرب العنصر الأول من خلال صغره المقابل.
71 * (-57) = -4047

علاوة على ذلك ، من هذا المنتج ، من الضروري طرح منتج العنصر الثاني بواسطة القاصر المقابل.
-4047 - (8 * (-57)) = -4047 - (-456) = -3591

الآن إلى النتيجة ، تحتاج إلى إضافة منتج العنصر الثالث إلى العنصر الثانوي المقابل.
-3591 (8 * (-3)) = -3591 (-24) = -3615

وأخيرًا ، من النتيجة التي تم الحصول عليها ، من الضروري طرح حاصل ضرب العنصر الرابع بواسطة القاصر المقابل
-3615 - (2 * 21) = -3615 - 42 = -3657


شاهد الفيديو: SKODA ENYAQ 2021 الجديد - اختبار وعرض مظاهرة لمصابيح LED المصفوفة 80 iV (شهر اكتوبر 2021).