مقالات

2.3: النمذجة بالوظائف الخطية


عند نمذجة السيناريوهات باستخدام دالة خطية وحل المشكلات التي تتضمن تغيير الكميات خطيًا ، فإننا نتبع عادةً نفس استراتيجيات حل المشكلات التي قد نستخدمها لأي نوع من الوظائف:

استراتيجية حل المشكلات

  1. تحديد الكميات المتغيرة ، ثم تحديد المتغيرات الوصفية بعناية ووضوح لتمثيل تلك الكميات. عند الاقتضاء ، ارسم صورة أو حدد نظام إحداثيات.
  2. اقرأ المشكلة بعناية لتحديد المعلومات المهمة. ابحث عن المعلومات التي تعطي قيمًا للمتغيرات ، أو قيمًا لأجزاء من النموذج الوظيفي ، مثل الميل والقيمة الأولية.
  3. اقرأ المشكلة بعناية لتحديد ما نحاول إيجاده أو تحديده أو حله أو تفسيره.
  4. حدد مسار الحل من المعلومات المقدمة إلى ما نحاول إيجاده. غالبًا ما يتضمن ذلك فحص الوحدات وتتبعها أو بناء جدول أو حتى إيجاد صيغة للدالة المستخدمة لنمذجة المشكلة.
  5. عند الحاجة ، ابحث عن صيغة للدالة.
  6. حل أو قيم باستخدام الصيغة التي وجدتها للكميات المرغوبة.
  7. فكر فيما إذا كانت إجابتك معقولة بالنسبة للموقف المعين وما إذا كانت منطقية من الناحية الحسابية.
  8. انقل نتيجتك بوضوح باستخدام الوحدات المناسبة ، وأجب بجمل كاملة عندما يكون ذلك مناسبًا.

مثال ( PageIndex {1} )

وفرت إميلي ما يصل إلى 3500 دولار لزيارتها الصيفية إلى سياتل. تتوقع إنفاق 400 دولار كل أسبوع على الإيجار والطعام والمرح. البحث عن التقاطع الأفقي وتفسيره وتحديد مجال ومدى معقول لهذه الوظيفة.

المحلول

في المشكلة ، هناك نوعان من الكميات المتغيرة: الوقت والمال. يعتمد مبلغ المال المتبقي لها أثناء الإجازة على مدة بقائها. يمكننا تحديد متغيراتنا ، بما في ذلك الوحدات.

الناتج: (م ) الأموال المتبقية بالدولار

الإدخال: (t ) ، الوقت ، بالأسابيع

عند قراءة المشكلة ، نحدد قيمتين مهمتين. الأول ، 3500 دولار ، هو القيمة الأولية لـ (M ). يبدو أن القيمة الأخرى هي معدل التغيير - وحدات الدولارات في الأسبوع تتطابق مع وحدات متغير المخرجات مقسومة على متغير المدخلات. إنها تنفق المال كل أسبوع ، لذا يجب أن تدرك أن المبلغ المتبقي يتناقص كل أسبوع وأن المنحدر سلبي.

للإجابة على السؤال الأول ، البحث عن التقاطع الأفقي ، سيكون من المفيد الحصول على معادلة تمثل هذا السيناريو. باستخدام التقاطع والميل المتوفر في المسألة ، يمكننا كتابة المعادلة: [M (t) = 3500-400t nonumber ]

لإيجاد التقاطع الأفقي ، قمنا بتعيين الإخراج على صفر ، ثم حللنا من أجل الإدخال:

[ start {array} {rcl} {0} & = & {3500 - 400t} {t} & = & { dfrac {3500} {400} = 8.75} end {array} nonumber ]

التقاطع الأفقي 8.75 أسبوع. نظرًا لأن هذا يمثل قيمة الإدخال حيث سيكون الناتج صفرًا ، عند تفسير ذلك ، يمكننا القول: لن يتبقى لدى إميلي أي أموال بعد 8.75 أسبوعًا.

عند نمذجة أي سيناريو من الحياة الواقعية بوظائف ، عادة ما يكون هناك مجال محدود يكون هذا النموذج صالحًا عليه - تقريبًا لا يستمر أي اتجاه إلى أجل غير مسمى. في هذه الحالة ، ليس من المنطقي بالتأكيد التحدث عن قيم إدخال أقل من الصفر. من المحتمل أيضًا أن هذا النموذج غير صالح بعد التقاطع الأفقي (إلا إذا كانت إميلي ستبدأ في استخدام بطاقة ائتمان وتذهب في الديون).

يمثل المجال مجموعة قيم الإدخال وبالتالي فإن المجال المعقول لهذه الوظيفة هو (0 le t le 8.75 ).

ومع ذلك ، في سيناريو العالم الحقيقي ، قد يكون الإيجار أسبوعيًا أو ليلاً. قد لا تتمكن من البقاء أسبوعًا جزئيًا ولذلك ينبغي النظر في جميع الخيارات. يمكن أن تبقى إميلي في سياتل من 0 إلى 8 أسابيع كاملة (ويومين) ، ولكن سيتعين عليها أن تدين للبقاء 9 أسابيع كاملة ، لذلك يقتصر على أسابيع كاملة ، سيكون المجال المعقول دون الخوض في الديون هو ( 0 le t le 8 ) ، أو (0 le t le 9 ) إذا تورطت في الديون لتنتهي الأسبوع الماضي.

يمثل النطاق مجموعة قيم المخرجات ويبدأ بـ 3500 دولار وينتهي بـ 0 دولار بعد 8.75 أسبوعًا ، لذا فإن النطاق المقابل هو (0 le M (t) le 3500 ). ومع ذلك ، إذا قصرنا الإيجار على أسابيع كاملة ، فسيتغير النطاق. إذا غادرت بعد 8 أسابيع لأنها لم يكن لديها ما يكفي للبقاء لمدة 9 أسابيع كاملة ، سيكون لديها (M (8) = 3500-400 (8) = 300 دولار ) متبقية بعد 8 أسابيع ، مع إعطاء نطاق من (300 le M (t) le 3500 ). إذا أرادت البقاء لمدة 9 أسابيع كاملة ، فستكون مدينًا بمبلغ 100 دولار ، مما يعطي نطاقًا من (- 100 لو م (t) جنيه 3500 ).

الأهم من ذلك تذكر أن المجال والنطاق مرتبطان ببعضهما البعض ، وأي شيء تقرره هو الأنسب للمجال (المتغير المستقل) سيحدد متطلبات النطاق (المتغير التابع).

تمرين ( PageIndex {1} )

يقوم مدير قاعدة البيانات بتحميل جدول كبير من النسخ الاحتياطية. نفد صبرها ، لاحظت أنه تم تحميل 1.2 مليون صف. بعد عشر دقائق ، تم تحميل 2.5 مليون صف. ما المدة التي سيتعين عليها انتظار تحميل جميع الصفوف البالغ عددها 80 مليونًا؟

إجابه

مع ترك (t ) عدد الدقائق منذ أن نفد صبرها ، و N هو عدد الصفوف التي تم تحميلها ، بالملايين ، لدينا نقطتان: (0 ، 1.2) و (10 ، 2.5).

المنحدر (m = dfrac {2.5-1.2} {10-0} = dfrac {1.3} {10} = 0.13 ) مليون صف في الدقيقة.

نحن نعلم التقاطع (N ) ، حتى نتمكن من كتابة المعادلة:

[N = 0.13t + 1.2 nonumber ]

لتحديد المدة التي ستنتظرها ، نحتاج إلى تحديد متى (N = 80 ).

[N = 0.13t + 1.2 = 80 بلا رقم ]

[0.13 طن = 78.8 بلا رقم ]

[t = dfrac {78.8} {0.13} = 606 nonumber ]. سيتعين عليها الانتظار 606 دقائق أخرى ، حوالي 10 ساعات.

مثال ( PageIndex {2} )

جمال يختار بين شركتين متحركتين. الأول ، U-Haul ، يتقاضى رسمًا مقدمًا قدره 20 دولارًا ، ثم 59 سنتًا للميل. الثانية ، الميزانية ، تتقاضى رسومًا مقدمة قدرها 16 دولارًا ، ثم 63 سنتًا للميل (تم استرداد الأسعار في 2 أغسطس 2010 من www.budgettruck.com و http://www.uhaul.com/). متى سيكون U-Haul الخيار الأفضل لجمال؟

المحلول

الكميتان المهمتان في هذه المشكلة هما التكلفة وعدد الأميال المقطوعة. نظرًا لأن لدينا شركتين يجب مراعاتهما ، فسنحدد وظيفتين:

الإدخال: (م ) ، أميال مدفوعة

المخرجات:

(Y (m) ): التكلفة بالدولار للتأجير من U-Haul

(B (m) ): التكلفة بالدولار للتأجير من الميزانية

عند قراءة المشكلة بعناية ، يبدو أننا حصلنا على تكلفة أولية ومعدل تغيير لكل شركة. نظرًا لأن مخرجاتنا تقاس بالدولار ولكن التكاليف لكل ميل الواردة في المشكلة بالسنتات ، فسنحتاج إلى تحويل هذه الكميات لتتناسب مع الوحدات التي نريدها: 0.59 دولار للميل لـ U-Haul و 0.63 دولار للميل للميزانية.

بالنظر إلى ما نحاول العثور عليه ، نريد أن نعرف متى سيكون U-Haul هو الخيار الأفضل. نظرًا لأن كل ما يتعين علينا اتخاذ هذا القرار من خلاله هو التكاليف ، فإننا نبحث عن الوقت الذي ستكلف فيه U-Haul أقل ، أو متى (Y (m)

[ص (م) = 20 + 0.59 م غير رقم ]
[B (م) = 16 + 0.63 م غير رقم ]

يتم رسم هذه الرسوم البيانية إلى اليمين ، مع رسم Y (م) متقطع.

لإيجاد التقاطع ، نساوي المعادلات ونحل:

[ start {array} {rcl} {Y (m)} & = & {B (m)} {20 + 0.59m} & = & {16 + 0.63m} {4} & = & {0.04 م} {m} & = & {100} end {array} nonumber ]

يخبرنا هذا أن التكلفة من الشركتين ستكون هي نفسها إذا تم قيادة 100 ميل. إما من خلال النظر إلى الرسم البياني ، أو ملاحظة أن (Y (m) ) ينمو بمعدل أبطأ ، يمكننا أن نستنتج أن U-Haul سيكون السعر الأرخص عندما يتم القيادة لأكثر من 100 ميل.

مثال ( PageIndex {3} )

يتزايد عدد سكان البلدة بشكل خطي. في عام 2004 كان عدد السكان 6200. بحلول عام 2009 ، نما عدد السكان إلى 8100. إذا استمر هذا الاتجاه ،

  1. توقع عدد السكان في عام 2013
  2. متى سيصل عدد السكان إلى 15000؟

المحلول

الكميتان المتغيرتان هما عدد السكان والوقت. بينما يمكننا استخدام قيمة السنة الفعلية كمدخلات ، فإن القيام بذلك يؤدي إلى معادلات قبيحة للغاية ، حيث أن التقاطع الرأسي سيتوافق مع العام 0 ، منذ أكثر من 2000 عام!

لجعل الأمور أجمل قليلاً ، ولجعل حياتنا أسهل أيضًا ، سنحدد مدخلاتنا على أنها سنوات منذ عام 2004:

المدخلات: (t ) ، منذ عام 2004

الناتج: (P (t) ) ، عدد سكان البلدة

تعطينا المسألة زوجين من المدخلات والمخرجات. تحويلها لتتناسب مع المتغيرات المحددة لدينا ، فإن عام 2004 يتوافق مع (t = 0 ) ، مع إعطاء النقطة (0 ، 6200). لاحظ أنه من خلال اختيارنا الذكي للتعريف المتغير ، فقد "أعطينا" أنفسنا التقاطع الرأسي للوظيفة. سوف يتوافق عام 2009 مع (t = 5 ) ، مع إعطاء النقطة (5 ، 8100).

للتنبؤ بالتعداد السكاني في عام 2013 ( (t = 9 )) ، سنحتاج إلى معادلة للسكان. وبالمثل ، لإيجاد الوقت الذي سيصل فيه عدد السكان إلى 15000 ، سنحتاج إلى إيجاد المدخل الذي سيوفر ناتجًا قدره 15000. وفي كلتا الحالتين ، نحتاج إلى معادلة. للعثور عليه ، نبدأ بحساب معدل التغيير:

[m = dfrac {8100-6200} {5-0} = dfrac {1900} {5} = 380 text {شخصًا في السنة} nonumber ]

نظرًا لأننا نعرف بالفعل التقاطع الرأسي للخط ، فيمكننا كتابة المعادلة على الفور:

[P (t) = 6200 + 380t nonumber ]

للتنبؤ بالسكان في عام 2013 ، نقوم بتقييم وظيفتنا على (t = 9 )

[P (9) = 6200 + 380 (9) = 9620 بدون رقم ]

إذا استمر هذا الاتجاه ، يتوقع نموذجنا أن يبلغ عدد السكان 9620 نسمة في عام 2013.

لمعرفة متى سيصل عدد السكان إلى 15000 ، يمكننا تعيين (P (t) = 15000 ) وإيجاد (t ).

[ start {array} {rcl} {15000} & = & {6200 + 380t} {8800} & = & {380t} {t} & almost & {23.158} end {array} لا يوجد رقم ]

يتوقع نموذجنا أن يصل عدد السكان إلى 15000 في أكثر من 23 عامًا بقليل بعد 2004 ، أو في مكان ما في حوالي عام 2027.

مثال ( PageIndex {4} )

تبدأ آنا وإيمانويل من نفس التقاطع. تمشي آنا شرقا بسرعة 4 أميال في الساعة بينما يسير إيمانويل جنوبا بسرعة 3 أميال في الساعة. إنهم يتواصلون مع راديو ثنائي الاتجاه بمدى ميلين. كم من الوقت بعد بدء المشي سوف ينقطع الاتصال اللاسلكي؟

المحلول

في الأساس ، يمكننا الإجابة جزئيًا على هذا السؤال بالقول إنهم سينقطعون عن الاتصال اللاسلكي عندما يكونون على بعد ميلين ، مما يقودنا إلى طرح سؤال جديد: كم من الوقت سيستغرقون المسافة بينهما ميلين؟

في هذه المشكلة ، الكميات المتغيرة هي الوقت وموقف الشعبين ، لكن في النهاية نحتاج إلى معرفة المدة التي سيستغرقها كل منهما على بعد ميلين. يمكننا أن نرى أن الوقت سيكون متغير الإدخال لدينا ، لذلك سنحدد

الإدخال: (t ) ، الوقت بالساعات.

نظرًا لأنه ليس من الواضح كيفية تحديد متغيرات الإخراج لدينا ، فسنبدأ برسم صورة.

بسبب تعقيد هذا السؤال ، قد يكون من المفيد تقديم بعض المتغيرات الوسيطة. هذه كميات لا نهتم بها بشكل مباشر ، لكنها تبدو مهمة بالنسبة للمشكلة. بالنسبة لهذه المشكلة ، تبدو مسافات آنا وإيمانويل عن نقطة البداية مهمة. للإشارة إلى ذلك ، سنقوم بتعريف نظام إحداثيات ، ووضع "نقطة البداية" عند التقاطع حيث بدأ كلاهما ، ثم سنقدم متغيرًا ، (A ) ، لتمثيل موضع آنا ، وتحديد أن يكون قياسًا من نقطة البداية في اتجاه الشرق. وبالمثل ، سنقدم متغيرًا ، (E ) ، لتمثيل موقع إيمانويل ، مقيسًا من نقطة البداية في الاتجاه الجنوبي. لاحظ أنه عند تحديد نظام الإحداثيات ، حددنا كلاً من أصل أو نقطة البداية للقياس ، فضلاً عن اتجاه القياس.

أثناء قيامنا بذلك ، سنحدد متغيرًا ثالثًا ، (D ) ، ليكون قياس المسافة بين آنا وإيمانويل. غالبًا ما يكون عرض المتغيرات في الصورة مفيدًا:

بالنظر إلى المتغيرات في الصورة ، نتذكر أننا بحاجة إلى معرفة الوقت الذي يستغرقه (D ) ، المسافة بينهما ، لتساوي ميلين.

عند رؤية هذه الصورة ، نتذكر أنه لإيجاد المسافة بين الاثنين ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس ، وهي خاصية للمثلثات القائمة.

من هنا ، يمكننا الآن إلقاء نظرة على المشكلة للحصول على المعلومات ذات الصلة. تمشي آنا مسافة 4 أميال في الساعة ، ويمشي إيمانويل 3 أميال في الساعة ، وهي معدلات التغيير. باستخدام هؤلاء ، يمكننا كتابة الصيغ للمسافة التي قطعها كل منا.

كلاهما يبدأ من نفس التقاطع ، وهكذا عندما (t = 0 ) ، يجب أن تكون المسافة التي يقطعها كل شخص أيضًا 0 ، لذلك بالنظر إلى المعدل لكل منهما ، والقيمة الأولية لكل منهما ، نحصل على:

[A (t) = 4t nonumber ]
[E (t) = 3t nonumber ]

باستخدام نظرية فيثاغورس نحصل على:

[D (t) ^ {2} = A (t) ^ {2} + E (t) ^ {2} nonumber ] بديل في صيغ الدالة

[D (t) ^ {2} = (4t) ^ {2} + (3t) ^ {2} = 16t ^ {2} + 9t ^ {2} = 25t ^ {2} nonumber ] تم حلها من أجل (D (t) ) باستخدام الجذر التربيعي

[D (t) = pm sqrt {25t ^ {2}} = pm 5 | t | nonumber ]

نظرًا لأننا في هذا السيناريو نفكر فقط في القيم الإيجابية لـ t وستكون المسافة (D (t) ) إيجابية دائمًا ، يمكننا تبسيط هذه الإجابة إلى (D (t) = 5t )

ومن المثير للاهتمام أن المسافة بينهما هي أيضًا دالة خطية. باستخدامه ، يمكننا الآن الإجابة على سؤال متى ستصل المسافة بينهما إلى ميلين:

[ start {array} {rcl} {D (t)} & = & {2} {5t} & = & {2} {t} & = & { dfrac {2} {5} = 0.4} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

سوف يسقطون من الاتصال اللاسلكي في 0.4 ساعة ، أو 24 دقيقة.

مثال ( PageIndex {5} )

يوجد حاليًا طريق مستقيم يؤدي من بلدة ويستبورو إلى بلدة تبعد 30 ميلاً شرقاً و 10 أميال شمالاً. في جزء من هذا الطريق ، يتقاطع مع طريق ثان ، متعامد مع الأول ، يؤدي إلى مدينة إيستبورو. إذا كانت بلدة إيستبورو تقع على بعد 20 ميلاً شرق مدينة ويستبورو مباشرةً ، فما بعد تقاطع الطريق من ويستبورو؟

المحلول

قد يكون من المفيد هنا رسم صورة للوضع. سيكون من المفيد بعد ذلك تقديم نظام إحداثيات. بينما يمكننا وضع الأصل في أي مكان ، يبدو وضعه في Westborough مناسبًا. هذا يضع البلدة الأخرى في الإحداثيات (30 ، 10) ، وإيستبورو عند (20 ، 0).

باستخدام هذه النقطة مع نقطة الأصل ، يمكننا إيجاد منحدر الخط الممتد من ويستبورو إلى البلدة الأخرى: (m = dfrac {10-0} {30-0} = dfrac {1} {3} ) . يعطي هذا معادلة الطريق من Westborough إلى المدينة الأخرى لتكون (W (x) = dfrac {1} {3} x ).

من هذا ، يمكننا تحديد الطريق العمودي إلى إيستبورو الذي سيكون له منحدر (م = -3 ). نظرًا لأن مدينة إيستبورو تقع عند النقطة (20 ، 0) ، فيمكننا إيجاد المعادلة:

[E (x) = -3x + b nonumber ] أدخل النقطة (20، 0)
[0 = -3 (20) + ب بلا رقم ]
[ب = 60 بلا رقم ]
[E (x) = -3x + 60 nonumber ]

يمكننا الآن إيجاد إحداثيات ملتقى الطرق بإيجاد تقاطع هذين المستقيمين. جعلهم متساوين ،

[ dfrac {1} {3} x = -3x + 60 nonumber ]
[ dfrac {10} {3} x = 60 nonumber ]
[10x = 180 غير رقم ]
[x = 18 nonumber ] استبدال هذا مرة أخرى في (W (x) )
[y = W (18) = dfrac {1} {3} (18) = 6 nonumber ]

تتقاطع الطرق عند النقطة (18 ، 6). باستخدام صيغة المسافة ، يمكننا الآن إيجاد المسافة من ويستبورو إلى التقاطع:

[dist = sqrt {(18-0) ^ {2} + (6-0) ^ {2}} حوالي 18.934 text {miles} nonumber ]

موضوعات مهمة في هذا القسم

عملية حل المشكلة

  1. تحديد الكميات المتغيرة ، ثم تحديد المتغيرات الوصفية بعناية ووضوح لتمثيل تلك الكميات. غالبًا ما يتضمن ذلك فحص الوحدات وتتبعها أو بناء جدول أو حتى إيجاد صيغة للدالة المستخدمة لنمذجة المشكلة.
  2. ابحث عن صيغة للدالة عند الحاجة.
  3. حل أو قيم باستخدام الصيغة التي وجدتها للكميات المرغوبة.
  4. فكر فيما إذا كانت إجابتك معقولة بالنسبة للموقف المعين وما إذا كانت منطقية من الناحية الحسابية.
  5. انقل نتيجتك بوضوح باستخدام الوحدات المناسبة ، وأجب بجمل كاملة عند الاقتضاء.

2.3.3: المعادلات ذات الخطوتين مع الجمع والضرب

تمر الفرقة الموسيقية في مدرسة Floyd Middle School ببعض التغييرات. لديهم حاليًا 140 طالبًا ، بالإضافة إلى تخصص الطبلة ، وسوف يضيفون أربعة طلاب جدد هذا العام. هذا يعني أنهم سيحتاجون إلى إعادة تشكيلهم للنهاية الكبيرة إلى ثمانية صفوف زوجية. أعلنت عضوة الفرقة أنيكا أنها تستطيع معرفة عدد الطلاب في كل صف بمعادلة.

في هذا المفهوم ، ستحل المعادلات التي تتضمن الخصائص العكسية للجمع والضرب.

الخواص المعكوسة للجمع والضرب

ان معادلة عبارة عن بيان بعلامة تساوي حيث تكون الكمية الموجودة على أحد طرفي المعادلات مماثلة للكمية الموجودة على الجانب الآخر من المعادلات.

هذه معادلة بسيطة:

لديك معادلة بمتغير حيث x هي الكمية غير المعروفة. لحل هذا إجراء عملية عكسية أو عملية عكسية. يمكنك طرح 11 من 15 لتعطيك 4. هذه هي قيمة المتغير.

في معظم الأحيان ، لا تفكر حتى في إجراء عملية عكسية ، فإن عقلك يحل المشكلة بشكل طبيعي بهذه الطريقة.

عندما يكون لديك معادلة ذات متغير واحد ، فإنها تسمى أ معادلة من خطوة واحدة. لا يستغرق الأمر سوى عملية واحدة أو عملية عكسية واحدة لحلها.

لحل أ معادلة من خطوتين، سوف تحتاج إلى استخدام أكثر من عملية عكسية. عند إجراء عمليات عكسية لإيجاد قيمة متغير ، فإنك تعمل على الحصول على المتغير بمفرده على جانب واحد من علامة التساوي. هذا يسمي عزل المتغير. إنها استراتيجية واحدة لحل المعادلات. يمكنك استخدام عزل المتغير سواء كنت تحل معادلات من خطوة واحدة أو خطوتين.

يمكنك تسمية كل جزء من المعادلة بمصطلح. يوجد مصطلح ذو متغير وهناك مصطلح بدون متغير. لاحظ أن هناك حدين في الجانب الأيسر من المعادلة ، 3 أ و 12.

أولاً ، استخدم العمليات العكسية للحصول على المصطلح الذي يتضمن متغيرًا ، 3 أ ، في حد ذاته على جانب واحد من علامة التساوي. في المعادلات ، ستترك دائمًا المصطلح الذي يحمل المتغير حتى النهاية لعزل المتغير. لذلك ، في المعادلة أعلاه ، يضاف 12 إلى 3 أ. يمكنك استخدام معكوس الجمع ، وهو الطرح كخطوتك الأولى. يمكننا طرح 12 من طرفي المعادلة.

بعد ذلك ، استخدم العمليات العكسية للحصول على a في حد ذاته. بما أن 3a تعني 3 & timesa ، يمكنك استخدام معكوس الضرب ، وهو القسمة. يمكنك قسمة طرفي المعادلة على 3 لعزل المتغير.

لنراجع & rsquos خطواتك لحل هذه المعادلة المكونة من خطوتين. هدفك هو عزل المتغير الخاص بك ، لذلك تحتاج أولاً إلى الحصول على هذا المصطلح المتغير بمفرده على جانب واحد من علامة التساوي.

أمثلة

في وقت سابق ، حصلت على مشكلة بشأن التكوين الجديد لفرقة المسيرة.

أولاً ، دع & rsquos نلقي نظرة على المعلومات المقدمة.

تضم الفرقة 144 طالبًا. هناك أيضًا طبل رئيسي واحد. يحتاج الطلاب إلى التنظيم في ثمانية صفوف زوجية.

لاحظ أنه لم يتم تضمين تخصص الطبلة. لم يتم تضمين الأسطوانة الرئيسية في السطور حيث أن الطبلة الرئيسية في الصدارة.

بعد ذلك ، لديك معادلة من خطوة واحدة فقط.

سيكون هناك 18 طالبًا في كل صف.

يتقاضى بستاني 20 دولارًا عن كل وظيفة بستنة بالإضافة إلى 15 دولارًا لكل ساعة عمل. لقد دفع 80 دولارًا مقابل وظيفة بستنة قام بها بالأمس.

  1. اكتب معادلة جبرية لتمثيل h ، وهو عدد الساعات التي عمل فيها البستاني في هذه الوظيفة البالغة 80 دولارًا.
  2. أوجد عدد الساعات التي عمل فيها البستاني في تلك الوظيفة البالغة 80 دولارًا.

أولاً ، لحل الجزء أ ، عليك كتابة معادلة. في هذه المشكلة ، أنت تبحث عن عدد الساعات ، لذا دع h = عدد الساعات.

استخدم رقمًا أو علامة عملية أو متغيرًا أو علامة يساوي لتمثيل كل جزء من المشكلة. ربح البستاني 15 دولارًا عن كل ساعة عمل في تلك الوظيفة ، لذا يمكنك مضاعفة 15 دولارًا في h ، وهو عدد ساعات العمل ، لمعرفة المبلغ الذي دفعه البستاني مقابل وقت عمله.

إذن ، المعادلة التي يجب استخدامها لهذه المشكلة هي:

بعد ذلك ، حل الجزء ب. تحتاج إلى استخدام المعادلة الخاصة بك من part & lsquoa & rsquo للعثور على عدد ساعات عمل البستاني في هذه الوظيفة.

بعد ذلك ، بما أن العدد 15 مضروبًا في المتغير h ، يمكنك استخدام معكوس الضرب وهو القسمة. اقسم كلا الجانبين على 15.

عمل البستاني أربع ساعات.

أولاً ، استخدم العمليات العكسية (الطرح) للحصول على المصطلح الذي يتضمن متغيرًا ، 4x ، في حد ذاته على جانب واحد من علامة التساوي.

بعد ذلك ، استخدم العمليات العكسية (القسمة) للحصول على x في حد ذاته.

أولاً ، استخدم العمليات العكسية (الطرح) للحصول على المصطلح الذي يتضمن متغيرًا ، 3y ، في حد ذاته على جانب واحد من علامة التساوي.

بعد ذلك ، استخدم العمليات العكسية (القسمة) للحصول على & lsquoy & rsquo بمفردها.

أولاً ، استخدم العمليات العكسية (الطرح) للحصول على المصطلح الذي يتضمن متغيرًا ، 6x ، في حد ذاته على جانب واحد من علامة التساوي.

بعد ذلك ، استخدم العمليات العكسية (القسمة) للحصول على & lsquox & rsquo بمفردها.

إعادة النظر

حل المعادلات التالية المكونة من خطوتين والتي تتضمن عمليات جمع وضرب.

  1. 3 س + 4 = 22
  2. 4 س + 3 = 15
  3. 6 س + 5 = 35
  4. 7 س + 2 = 16
  5. 9 ص + 8 ​​= 80
  6. 12 س + 15 = 51
  7. 14 س + 2 = 30
  8. 7 ص + 5 = 40
  9. 2 س + 4 = 48
  10. 6 س + 3 = 39
  11. 8 س + 2 = 10
  12. 8 س + 7 = 95
  13. 9 س + 9 = 90
  14. 3 س + 5 = 50
  15. 7 س + 12 = 61

مراجعة (الإجابات)

للاطلاع على إجابات المراجعة ، افتح ملف PDF وابحث عن القسم 3.1.

مصادر إضافية

PLIX: العب ، تعلم ، تفاعل ، اكتشف: معادلة القميص

ممارسة: المعادلات ذات الخطوتين مع الجمع والضرب


أجب على هذا السؤال

مساعدة الرياضيات والتحقق

أي نوع من الوظائف يمثل أفضل نموذج لمجموعة نقاط البيانات (–1 ، 22) ، (0 ، 6) ، (1 ، –10) ، (2 ، –26) ، (3 ، –42)؟ الخطي **** التربيعي الأسي لا شيء مما سبق 2. أي نوع من الوظائف يمثل أفضل نموذج لمجموعة نقاط البيانات

ما قبل الجبر

توضح البيانات الواردة في الجدول وظيفة خطية. x | –3 ، 0 ، 3 ، 6 سنوات | –6، –2، 2، 6 ما هو ميل الدالة الخطية؟ أي رسم بياني يمثل البيانات؟

ما قبل الجبر

أي قاعدة دالة تمثل البيانات في الجدول X | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 ص | 1 | -2 | -5 | -8 | -11 أ. ص = -3 س -8 ب. ص = 1/3x-8 ***؟ ج ص = 1/3 س + 8 د ص = -3 س + 8

12. أي وظيفة هي دالة تربيعية؟ أ. y = 3x ^ 2 + x B. y = 2x-1 C. y = 3 / x D. y = - | x | أي قاعدة دالة تمثل البيانات في الجدول؟ س -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ص 1 ، -2 ، -5 ، -8 ، -11 أ. ص = -3 س -8 ب. ص = 1/3 س -8 ج. ص = 1 / 3 س + 8 د ص = 3 س + 8

جين تنظم حملة لجمع التبرعات لشراء طاولة بينج بونج لمركز المجتمع. الجدول يكلف 500.00 دولار. تطلب جين من المساهمين دفع حصة متساوية من تكلفة الجدول. لديها بالفعل خمسة مساهمين اصطفوا

يوضح الجدول المخرجات y لمدخلات مختلفة x: الإدخال (x) 3 7 11 15 الإخراج (y) 4 6 8 10 الجزء أ: هل البيانات في هذا الجدول تمثل دالة؟ برر جوابك. (3 نقاط) الجزء ب: قارن البيانات الموجودة في الجدول مع

الجبر

تستخدم Myra دالة التباين العكسي لنمذجة البيانات للأزواج المرتبة أدناه. (2 ، 30) ، (3 ، 20) ، (4 ، 15) ، (5 ، 12) ، (6 ، 10) ما هو أفضل بيان يوضح ما إذا كانت دالة التباين العكسي هي أفضل نموذج للبيانات؟

الجبر

أي نوع من الدالة أفضل النماذج تستخدم البيانات في الجدول الاختلافات أو النسب x y 0، 1.3 1، 7.8 2، 46.8 3، 280.8 4، 1684.8 A) الخطي B) التربيعي C) الأسي D) لا شيء مما سبق

الرياضيات أحتاج إلى مساعدة في أسرع وقت ممكن!

1) تحديد قاعدة الوظيفة الموضحة في الجدول. جدول الوظائف ن - 3 ، 4 ، 5 ، 6 ص - 2 ، 1 ، 0 ، -1 أ. ص = 2 + ن ب. ص = 5 ن ج. ص = 5 - ن د. لا توجد معلومات كافية ** 2) ما هي قيم الدالة y = -2x - 4 لـ x = 0،1،2 and

الجبر

نوع الدالة أفضل نماذج البيانات المستخدمة في الجدول للاختلافات أو النسب 0 0.6 1 4.2 2 29.4 3 205.8 4 1440.6

الجبر 1

هل البيانات الواردة في الجدول تمثل اختلافًا مباشرًا أم معكوسًا؟ اكتب معادلة تمثل البيانات في الجدول. X | 1 | 3 | 5 | 10 ص | 4 | 12 | 20 | 40 أ) التباين المباشر y = 4x B) التباين المباشر y = 1 / 4x C) معكوس

الجبر

مستوى الماء ، بالقدم ، في نهر بعد عاصفة ممطرة هو دالة للوقت ، بالساعات ، منذ بدء العاصفة. يوضح الجدول أدناه قراءات مستوى المياه التي تم جمعها في أوقات مختلفة. عدد الساعات منذ بدء العاصفة (ر)


2.3 عدم الجدوى في التحسين الخطي¶

في هذا القسم نناقش النظرية الأساسية لشهادات عدم الجدوى الأولية للمسائل الخطية. سيتم تطوير هذه الأفكار بشكل أكبر بعد أن نقدم الازدواجية في القسم التالي.

إحدى المشكلات الأولى التي يواجهها المرء عند تقديمه لمشكلة تحسين هي ما إذا كان لديه أي حلول على الإطلاق. كما ناقشنا سابقًا ، لمشكلة تحسين خطية

هو بوليتوب محدب. نقول أن المشكلة هي قابليه إذا (< cal F> _p neq emptyset ) و غير ممكن غير ذلك.

ضع في اعتبارك مشكلة التحسين:

هذه المشكلة غير قابلة للتنفيذ. نراه من خلال أخذ مجموعة خطية من القيود ذات المعاملات (y = (1،2 ، -1) ^ T ):

هذا يثبت بوضوح عدم جدواه: الجانب الأيسر سلبي والجانب الأيمن موجب ، وهو أمر مستحيل.

2.3.1 فركاس لمة

في المثال الأخير ، أثبتنا عدم جدوى النظام الخطي من خلال عرض مجموعة خطية صريحة من المعادلات ، بحيث يكون الجانب الأيمن (ثابت) موجبًا بينما في الجانب الأيسر جميع المعاملات سالبة أو صفرية. في تدوين المصفوفة ، يتم إعطاء هذه التركيبة الخطية بواسطة متجه (y ) بحيث (A ^ Ty leq 0 ) و (b ^ Ty & gt0 ). تظهر اللمة التالية عدم جدوى (2.11) ما يعادل لوجود مثل هذا المتجه.

بالنظر إلى (A ) و (b ) كما في (2.11) ، فإن إحدى العبارتين بالضبط صحيحة:

يوجد (x geq 0 ) مثل (Ax = b ).

يوجد (y ) مثل (A ^ T y leq 0 ) و (b ^ T y & gt 0 ).

لنفترض أن (a_1، ldots، a_n ) تكون أعمدة (A ). مجموعة () هو مخروط محدب مغلق يمتد بـ (a_1، ldots، a_n ). إذا كان هذا المخروط يحتوي على (ب ) ، فلدينا البديل الأول. بخلاف ذلك ، يمكن فصل المخروط عن النقطة (b ) بواسطة مستوي مفرط يمر عبر (0 ) ، أي يوجد (y ) مثل (y ^ Tb & gt0 ) و (y ^ Ta_i leq 0 ) للجميع (ط ). هذا يعادل البديل الثاني. أخيرًا ، 1. و 2. متنافيان ، وإلا لكان لدينا

يشير lemma Farkas إلى أن إما أن المشكلة (2.11) ممكنة أو أن هناك شهادة عدم الجدوى (ص ). بعبارة أخرى ، في كل مرة نصنف فيها النموذج على أنه غير ممكن ، يمكننا إثبات هذه الحقيقة من خلال توفير (y ) مناسب ، كما في المثال 2.3.

2.3.2 تحديد عدم الجدوى ¶

كما ناقشنا سابقًا ، تعطي شهادة عدم الجدوى (ص ) معاملات تركيبة خطية من القيود التي لا يمكن تحقيقها "بطريقة واضحة" ، وهذا إيجابي من جانب وسالب من الجانب الآخر. في بعض الحالات ، قد يكون (y ) متناثرًا جدًا ، أي أنه قد يحتوي على عدد قليل جدًا من nonzeros ، مما يعني أن مجموعة فرعية صغيرة جدًا من القيود هي السبب الجذري لعدم الجدوى. قد يكون هذا مثيرًا للاهتمام ، على سبيل المثال ، إذا كنا نصحح أخطاء نموذجًا كبيرًا كنا نتوقع أن يكون ممكنًا وكانت عدم الجدوى ناتجة عن خطأ في صياغة المشكلة. ثم علينا فقط النظر في المشكلة الفرعية التي تشكلت بسبب قيود مع مجموعة الفهرس () .

كملاحظة تحذيرية النظر في القيود

أي مشكلة مع هذه القيود غير مجدية ، ولكن إسقاط أي من عدم المساواة يخلق مشكلة فرعية ممكنة.


درس فيديو

أضف البيانات في مخطط مبعثر وحدد ما إذا كان هناك ارتباط أم لا بين x و y

x 1 4 5 7 9
ذ 14 34 27 40 38


9.1 النمذجة الصحيحة¶

مشكلة التحسين المخروطي المختلط العامة لها الشكل

حيث (K ) مخروط و (< cal I> subseteq <1، dots، n > ) يشير إلى مجموعة المتغيرات المقيدة لتكون أعدادًا صحيحة.

هناك طريقتان رئيسيتان نموذجيتان لتحسين عدد صحيح مختلط. الأول هو استخدام المتغيرات الثنائية، المعروف أيضًا باسم متغيرات المؤشر، التي تأخذ القيمتين 0 و 1 فقط ، وتشير إلى غياب أو وجود حدث أو اختيار معين. يمكن بالطبع نمذجة هذا القيد في النموذج (9.1) عن طريق الكتابة:

الآخر ، المعروف باسم كبير- م، يشير إلى حقيقة أنه لا يمكن نمذجة بعض العلاقات خطيًا إلا إذا افترض المرء بعض الحدود الثابتة (M ) على الكميات المعنية ، ويدخل هذا الثابت في صياغة النموذج. يمكن أن يؤثر اختيار (M ) على أداء النموذج ، انظر مثال 7.8.

9.1.1 مدلولات الإيجابية

غالبًا ما يكون لدينا متغير حقيقي القيمة (x in R ) مرضٍ (0 leq x & lt M ) للحد الأعلى المعروف (M ) ، ونرغب في نمذجة المعنى الضمني

جعل (z ) متغيرًا ثنائيًا يمكننا كتابته (9.2) كمتباينة خطية

في الواقع (x & gt0 ) يستبعد إمكانية (z = 0 ) ، وبالتالي القوى (z = 1 ). منذ البداية (x leq M ) ، لا يوجد خطر من أن القيد يجعل المشكلة غير مجدية عن طريق الخطأ. الاستخدام النموذجي لهذه الخدعة هو تصميم نموذج لتكاليف الإعداد الثابتة.

افترض أن إنتاج عنصر معين (i ) يكلف (u_i ) لكل وحدة ، ولكن هناك رسوم ثابتة إضافية بقيمة (w_i ) إذا قمنا بإنتاج عنصر (i ) على الإطلاق. على سبيل المثال ، يمكن أن تكون (w_i ) هي تكلفة إنشاء مصنع إنتاج ، والتكلفة الأولية للمعدات وما إلى ذلك. ثم يتم تحديد تكلفة إنتاج (x_i ) وحدات المنتج (i ) من خلال الوظيفة غير المستمرة

إذا سمحنا (M ) بالإشارة إلى الحد الأعلى للكميات التي يمكننا إنتاجها ، فيمكننا حينئذٍ تقليل إجمالي تكلفة الإنتاج (n ) المنتجات في ظل بعض القيود الأفينية (Ax = b ) باستخدام

وهي مشكلة تحسين خطية مختلطة عدد صحيح. لاحظ أنه من خلال تقليل تكلفة الإنتاج ، فإننا نقود (z_i ) إلى 0 عندما (x_i = 0 ) ، لذلك يتم تضمين تكاليف الإعداد فقط للمنتجات التي تحتوي على (x_i & gt0 ).

الشكل 9.1 تكلفة الإنتاج بتكلفة إعداد ثابتة (w_i ). ¶

9.1.2 المتغيرات شبه المستمرة¶

يمكننا أيضا أن نمذجة شبه استمرارية لمتغير (س في حقيقي ) ،

حيث (0 & lta leq b ) باستخدام متباينة مزدوجة

9.1.3 قيود المؤشر¶

لنفترض أننا نريد أن نصمم حقيقة أنه يجب استيفاء متباينة خطية معينة عند حدوث حدث آخر. بعبارة أخرى ، بالنسبة للمتغير الثنائي (z ) نريد نمذجة المعنى الضمني

لنفترض أننا نعرف مسبقًا الحد الأعلى (a ^ Tx-b leq M ). ثم يمكننا كتابة ما سبق في صورة متباينة خطية

الآن إذا كان (z = 1 ) ثم أجبرنا (a ^ Tx leq b ) ، بينما بالنسبة لـ (z = 0 ) كانت عدم المساواة راضية تمامًا ولا تفرض أي قيد إضافي على (x ) .

9.1.4 القيود المنفصلة¶

مع القيد المنفصل ، نطلب أن يتم استيفاء واحد على الأقل من القيود الخطية المعينة ، أي

تقديم المتغيرات الثنائية (z_1 ، ldots ، z_k ) ، يمكننا استخدام Sec. 9.1.3 (قيود المؤشر) لكتابة نموذج خطي

لاحظ أن (z_j = 1 ) يعني أن القيد (j ) -th مستوفى ، لكن ليس العكس. يتم وصف تحقيق هذا التأثير في القسم التالي.

9.1.5 الرضا المقيد ¶

لنفترض أننا نريد تحديد نموذج التحسين الذي سيتصرف بشكل مختلف اعتمادًا على أي من المتباينات

راضي. لنفترض أن لدينا حدودًا سفلية وعلوية لـ (a ^ Tx-b ) على شكل (m leq a ^ Tx-b leq M ). ثم يمكننا كتابة نموذج

لاحظ الآن أن (z = 0 ) يتضمن (b leq a ^ Tx leq b + M ) ، والتي تكون فيها عدم المساواة اليمنى زائدة عن الحاجة ، أي راضٍ دائمًا. وبالمثل ، يشير (z = 1 ) إلى (b + m leq a ^ Tx leq b ). بمعنى آخر (z ) هو مؤشر على ما إذا كان (a ^ Tx leq b ).

من الناحية العملية ، سنقوم بتخفيف متباينة واحدة باستخدام مقدار صغير من الركود ، أي ،

لتجنب مشاكل تصنيف المساواة (a ^ Tx = b ).

9.1.6 القيمة المطلقة الدقيقة¶

في ثانية. 2.2.2 (القيمة المطلقة) أظهرنا كيفية نمذجة (| x | leq t ) كمتراجعين خطيين. افترض الآن أننا بحاجة إلى نموذج مساواة دقيقة

إنها تحدد مجموعة غير محدبة ، وبالتالي فهي ليست مخروطية قابلة للتمثيل. إذا قسمنا (x ) إلى جزء موجب وسالب (x = x ^ + - x ^ - ) ، حيث (x ^ + ، x ^ - geq 0 ) ، ثم (| x | = x ^ ++ x ^ - ) طالما (x ^ + = 0 ) أو (x ^ - = 0 ). يمكن نمذجة هذا البديل الأخير باستخدام متغير ثنائي ، ونحصل على نموذج (9.7):

حيث يكون الثابت (M ) حدًا علويًا معروفًا مسبقًا على (| x | ) في المشكلة.

9.1.7 1-عادي Ex

يمكننا استخدام الأسلوب أعلاه لنمذجة بالضبط ( ell_1 ) - قيد المساواة الطبيعي

حيث (x in real ^ n ) متغير قرار و (c ) ثابت. تنشأ مثل هذه القيود على سبيل المثال في مستثمرة بالكامل سيناريوهات تحسين المحفظة (مع البيع على المكشوف). As before, we split (x) into a positive and negative part, using a sequence of binary variables to guarantee that at most one of them is nonzero:

9.1.8 Maximum¶

The exact equality (t=max) can be expressed by introducing a sequence of mutually exclusive indicator variables (z_1,ldots,z_n) , with the intention that (z_i=1) picks the variable (x_i) which actually achieves maximum. Choosing a safe bound (M) we get a model:

9.1.9 Boolean operators¶

Typically an indicator variable (zin<0,1>) represents a boolean value (true/false). In this case the standard boolean operators can be implemented as linear inequalities. In the table below we assume all variables are binary.

Table 9.1 Boolean operators ¶

At most one of (z_1,ldots,z_n) holds (SOS1, set-packing)

Exactly one of (z_1,ldots,z_n) holds (set-partitioning)

At least one of (z_1,ldots,z_n) holds (set-covering)

At most (k) of (z_1,ldots,z_n) holds (cardinality)

9.1.10 Fixed set of values¶

We can restrict a variable (x) to take on only values from a specified finite set () by writing

In (9.12) we essentially defined (z_i) to be the indicator variable of whether (x=a_i) . In some circumstances there may be more efficient representations of a restricted set of values, for example:

(modulo) (xin <1,4,7,10>iff x=3z+1, 0leq zleq 3, zinintegral) ,

(fraction) (xin <0,1/3,2/3,1>iff 3x=z, 0leq zleq 3, zinintegral) ,

(gap) (xin(-infty,a]cup[b,infty)iff b-M(1-z)leq xleq a+Mz, zin<0,1>) for sufficiently large (M) .

In a very similar fashion we can restrict a variable (x) to a finite union of intervals (igcup_i [a_i,b_i]) :

9.1.11 Alternative as a bilinear equality¶

In the literature one often finds models containing a bilinear constraint

This constraint is just an algebraic formulation of the alternative (x=0) or (y=0) and therefore it can be written as a mixed-integer linear problem:

for a suitable constant (M) . The absolute value can be omitted if both (x,y) are nonnegative. Otherwise it can be modeled as in Sec. 2.2.2 (Absolute value) .

9.1.12 Equal signs¶

Suppose we want to say that the variables (x_1,ldots,x_n) must either be all nonnegative or all nonpositive. This can be achieved by introducing a single binary variable (zin<0,1>) which picks one of these two alternatives:

Indeed, if (z=0) then we have (-Mleq x_ileq 0) and if (z=1) then (0leq x_ileq M) .

9.1.13 Continuous piecewise-linear functions¶

Consider a continuous, univariate, piecewise-linear, non-convex function (f:[alpha_1,alpha_5] mapsto R) shown in Fig. 9.2 . At the interval ([alpha_j,alpha_]) , (j=1,2,3,4) we can describe the function as

where (lambda_jalpha_j+lambda_alpha_=x) and (lambda_j+lambda_=1) . If we add a constraint that only two (adjacent) variables (lambda_, lambda_) can be nonzero, we can characterize every value (f(x)) over the entire interval ([alpha_1,alpha_5]) as some convex combination,

Fig. 9.2 A univariate piecewise-linear non-convex function. ¶

The condition that only two adjacent variables can be nonzero is sometimes called an SOS2 constraint. If we introduce indicator variables (z_i) for each pair of adjacent variables ((lambda_i,lambda_)) , we can model an SOS2 constraint as:

so that we have (z_j=1implies lambda_i=0, i eq) . Collectively, we can then model the epigraph (f(x)leq t) as

for a piecewise-linear function (f(x)) with (n) terms. This approach is often called the lambda-method.

For the function in Fig. 9.2 we can reduce the number of integer variables by using a Gray encoding

of the intervals ([alpha_j,alpha_]) and an indicator variable (yin <0,1>^2) to represent the four different values of Gray code. We can then describe the constraints on (lambda) using only two indicator variables,

which leads to a more efficient characterization of the epigraph (f(x)leq t) ,

The lambda-method can also be used to model multivariate continuous piecewise-linear non-convex functions, specified on a set of polyhedra (P_k) . For example, for the function shown in Fig. 9.3 we can model the epigraph (f(x)leq t) as

Note, for example, that (z_2=1) implies that (lambda_2=lambda_5=lambda_6=0) and (x=lambda_1 v_1 + lambda_3 v_3 + lambda_4 v_4) .

Fig. 9.3 A multivariate continuous piecewise-linear non-convex function. ¶

9.1.14 Lower semicontinuous piecewise-linear functions¶

The ideas in Sec. 9.1.13 (Continuous piecewise-linear functions) can be applied to lower semicontinuous piecewise-linear functions as well. For example, consider the function shown in Fig. 9.4 . If we denote the one-sided limits by (f_<->(c):=lim_f(x)) and (f_<+>(c):=lim_f(x)) , respectively, the one-sided limits, then we can describe the epigraph (f(x)leq t) for the function in Fig. 9.4 as

where we have a different decision variable for the intervals ([alpha_1,alpha_2)) , ([alpha_2,alpha_2]) , and ((alpha_2,alpha_3]) . As a special case this gives us an alternative characterization of fixed charge models considered in Sec. 9.1.1 (Implication of positivity) .

Fig. 9.4 A univariate lower semicontinuous piecewise-linear function. ¶


Cost Function of Linear Regression

Basics of Machine Learning Series

الانحدارالخطي

Linear regression is an approach for modeling the relationship between a scalar dependent variable y and one or more explanatory variables (أو independent variables) denoted X. The case of one explanatory variable is called simple linear regression أو univariate linear regression. For more than one explanatory variable, the process is called multiple linear regression. In linear regression, the relationships are modeled using linear predictor functions whose unknown model parameters are estimated from the data. تسمى هذه النماذج النماذج الخطية.

فرضية

The hypothesis for a univariate linear regression model is given by,

  • أين
    • (h_ heta (x)) is the hypothesis function, also denoted as (h(x)) sometimes
    • (x) is the independent variable
    • ( heta_0) and ( heta_1) are the parameters of the linear regression that need to be learnt

    Parameters of the Hypothesis

    In the above case of the hypothesis, ( heta_0) and ( heta_1) are the parameters of the hypothesis. In case of a univariate linear regression, ( heta_0) is the y-intercept and ( heta_1) is the ميل of the line.

    Different values for these parameters will give different hypothesis function based on the values of slope and intercepts.

    Cost Function of Linear Regression

    Assume we are given a dataset as plotted by the ‘x’ marks in the plot above. The aim of the linear regression is to find a line similar to the blue line in the plot above that fits the given set of training example best. Internally this line is a result of the parameters ( heta_0) and ( heta_1). So the objective of the learning algorithm is to find the best parameters to fit the dataset i.e. choose ( heta_0) and ( heta_1) so that (h_ heta (x)) is close to y for the training examples (x, y). This can be mathematically represented as,

    • أين
      • (h_ heta(x^<(i)>) = heta_0 + heta_1,x^ <(i)>)
      • ((x^<(i)>,y^<(i)>)) is the (i^
  • m is the number of training example
  • (<1 over 2>) is a constant that helps cancel 2 in derivative of the function when doing calculations for gradient descent
  • وبالتالي، دالة التكلفه is defined as follows,

    which is basically ( <1 over 2>ar) where (ar) is the mean of squares of (h_ heta(x^<(i)>) - y^<(i)>), or the difference between the predicted value and the actual value.

    و learning objective is to minimize the cost function بمعنى آخر.

    This cost function is also called the squared error function because of obvious reasons. It is the most commonly used cost function for linear regression as it is simple and performs well.

    Understanding Cost Function

    Cost function and Hypthesis are two different concepts and are often mixed up. Some of the key differences to remember are,

    ) training data
    Hypothesis (h_ heta(x)) Cost Function (J( heta_1))
    For a fixed value of ( heta_1), function of x Function of parameter ( heta_1)
    Each value of ( heta_1) corresponds to a different hypothesis as it is the slope of the line For any such value of ( heta_1), (J( heta_1)) can be calculated using (3) by setting ( heta_0 = 0)
    It is a linear line or a hyperplane Squared error cost function given in (3) is convex in nature

    Consider a simple case of hypothesis by setting ( heta_0 = 0), then (1) becomes

    which corresponds to different lines passing through the origin as shown in plots below as y-intercept i.e. ( heta_0) is nulled out.

    For the given training data, i.e. x’s marked on the graph, one can calculate cost function at different values of ( heta_1) using (3) which can be expressed in the following form using (5),

    On plotting points like this further, one gets the following graph for the cost function which is dependent on parameter ( heta_1).

    In the above plot each value of ( heta_1) corresponds to a different hypothesis. ال optimization objective was to minimize the value of (J( heta_1)) from (4), and it can be seen that the hypothesis correponding to the minimum (J( heta_1)) would be the best fitting straight line through the dataset.

    The issue lies in the fact that we cannot always find the optimum global minima of the plot manually because as the number of dimensions increase, these plots would be much more difficult to visualize and interpret. So there is a need of an automated algorithm that can help achieve this objective.


    شكوى DMCA

    إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

    قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

    يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

    الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

    يجب عليك تضمين ما يلي:

    توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

    أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

    تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
    101 طريق هانلي ، جناح 300
    سانت لويس ، مو 63105


    Respond to this Question

    Math help and check

    Which kind of function best models the set of data points (–1, 22), (0, 6), (1, –10), (2, –26), and (3, –42)? linear **** quadratic exponential none of the above 2. Which kind of function best models the set of data points

    Pre Algebra

    The data in the table illustrate a linear function. x | –3, 0, 3, 6 y| –6, –2, 2, 6 What is the slope of the linear function? Which graph represents the data?

    Pre algebra

    Which function rule represents the data in the table X|-3|-2|-1|0 |1 Y|1 |-2|-5|-8|-11 A. Y=-3x-8 B. Y=1/3x-8***? C. Y=1/3x+8 D. Y=-3x+8

    12. Which function is a quadratic function? A. y=3x^2+x B. y=2x-1 C. y=3/x D. y= -|x| Which function rule represents the data in the table? x -3, -2, -1, 0, 1 y 1, -2, -5, -8, -11 A. y=-3x-8 B. y=1/3x -8 C. y=1/3x+8 D. y=3x+8

    Jane is organizing a fundraiser to buy a ping-pong table for the community center. The table costs $500.00. Jane is asking contributors to pay for an equal share of the cost of the table. She already has five contributors lined

    The table shows the outputs y for different inputs x: Input (x) 3 7 11 15 Output (y) 4 6 8 10 Part A: Do the data in this table represent a function? برر جوابك. (3 points) Part B: Compare the data in the table with the

    الجبر

    Myra uses an inverse variation function to model the data for the ordered pairs below. (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) Which statement best explains whether an inverse variation function is the best model for the data?

    الجبر

    which kind of function best models the data in the table use differences or ratios x y 0, 1.3 1, 7.8 2, 46.8 3, 280.8 4, 1684.8 A) linear B) quadratic C) exponential D) none of the above

    Math I need help ASAP!

    1) Identify the function rule shown in the table. Function Table n - 3, 4, 5, 6 y - 2, 1, 0, -1 a. y = 2 + n b. y = 5n c. y = 5 - n d. not enough information ** 2) What is the values of the function y = -2x - 4 for x = 0,1,2 and

    الجبر

    kind of function best models the data on the table used to differences or ratios 0 0.6 1 4.2 2 29.4 3 205.8 4 1440.6

    Algebra 1

    Does the data in the table represent a direct or inverse variation? Write an equation that models the data in the table. X | 1 | 3 | 5 | 10 Y | 4 | 12| 20| 40 A) direct variation y=4x B) direct variation y=1/4x C) inverse

    الجبر

    The water level, w, in feet, of a river after a rainstorm is a function of the time, t, in hours, since the storm began. The table below shows the water level readings collected at different times. Hours Since Storm Began (t)


    2.3: Modeling with Linear Functions

    3x + 2ذ &ndash 5ض = 8.

    In fact, any linear equation can be put in the form

    أين ن is the number of variables, the variables are x1, x2, . , xن، و ج0, ج1, . , جن are constants.

    أ system is just a collection of such linear equations, and to solve a system look for the values of the variables which make all the equations true simultaneously. For instance, if x و ذ are the variables, then an example system of linear equations is

    5x & - 2ذ= 4
    x + 2ذ= 8

    There are various ways of solving this system, and they lead to the unique solution where x = 2 and ذ = 3. We&rsquoll look next at a common algorithm for solving systems of simultaneous equations called elimination.

    Elimination: the first example

      There are three classes of corn, of which three bundles of the first class, two of the second and one of the third make 39 measures. Two of the first, three of the second and one of the third make 34 measures. And one of the first, two of the second and three of the third make 26 measures. How many measures of grain are contained in one bundle of each class?

    3x+ 2ذ + ض= 39
    2x+ 3ذ + ض= 34
    x+ 2ذ + 3ض= 26

      Rule. Arrange the 3, 2, and 1 bundles of the three classes and the 39 measures of the grains at the right. Arrange other conditions in the middle and at the left.

    Putting the numbers in rows rather than columns, and starting at the top instead of the right, we get the matrix of coefficients of the system of simultaneous linear equations that appears above.

    This matrix contains all the information of the system of equations so long as we remember what the rows and columns mean. But we don&rsquot have to write down all the variables, so it&rsquos more concise.

      Of the quantities that do not vanish, make the first the divisor and the next the dividend, that is, of the third class.
      To find the second class, with the divisor multiply the measure in the middle row and leave out from it the dividends for the third and second classes. The remainder being divided by the number of bundles of the first class gives the dividend for the first class.
      To find the first class, also with the divisor multiply the measures in the first row and leave out from it the dividends for the third and second classes. The remainder being divided by the number of bundles of the first class gives the dividend for the first class.

    A second example

      There are three kinds of corn. The grains contained in two, three and four bundles, respectively, of these classes of corn, are not sufficient to make a whole measure. If however we add to them one bundle of the second, third, and first classes, respectively, then the grains would become full one measure in each case. How many measures of grain does then each one bundle of the different classes contain?

    2x+ ذ = 1
    3ذ + ض= 1
    x + 4ض= 1

    As a matrix this looks like

    First, we&rsquoll put it in echelon form. There already is a 0 at the beginning of the second row. We need to get a 0 at the beginning of the third row. For this example, let&rsquos follow the ancient Chinese method that avoids fractions as long as possible. Double the third row to get 2 0 8 2, and subtract the first row from it.

    You might wonder how the ancient Chinese dealt with negative numbers like the ם that appears in the third row. They had no problem with them. According to Lui Hui (c. 263 C.E.) who wrote about the Jiuzhang suanshu, red rods were used for positive numbers and black rods for negative numbers. He also explained how to add and subtract positive and negative numbers.

    For this problem, we can continue by tripling the third row to get 0 &ndash3 24 3, and then adding the second row to it.

    The matrix is now in echelon form. We know ض = 4/25. We can continue to avoid fractions if we multiply the second row by 25 to get 0 75 25 25 and subtracting the third from it.

    We now have ذ = 21/75 = 7/25. Multiply the first row by 25 to get 50 25 0 25, and subtract the second row 0 25 0 7 from it.

    وبالتالي، x = 18/50 = 9/25. We&rsquove solved the problem. The solution is: one bundle of the first class contains x = 9/25 measures of grain, one bundle of the second class contains ذ = 7/25 measures of grain, and one bundle of the third class contains ض = 4/25 measures of grain.

    Fractions earlier in the method

    2x+ 5ذ& - 13 ض= 1000
    3x&ndash 9ذ + 3ض= 0
    &ndash5x+ 6ذ + 8ض= &ndash600

    As a matrix this looks like

    We can begin by putting a 1 at the beginning of the first row by dividing that row by 2.

    Now subtract 3 times the first row from the second, and add 5 times the first row to the third. That will make the first entries in the second and third rows both 0.

    12.5&ndash6.5500
    0&ndash16.522.5&ndash1500
    018.5&ndash24.51900

    Next, divide the second row by &ndash16.5 to put a 1 in its first nonzero entry. We can wait on the third row until later.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    018.5&ndash24.51900

    (Note that we&rsquove only kept five significant figures. You would think that would be enough, but we&rsquoll see how that small roundoff error makes a larger error in the final answer.)

    Now subtract 18.5 times the second row from the third.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    00.7266218.18

    (The error is building up. The .7266 should be .727272. )

    Divide the third row by .7266 so its leading nonzero entry becomes 1.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    001300.275

    (The correct entry in the last row is 300, not 300.275.)

    The matrix is now in echelon form where the first nonzero entry in each row is a 1. We know what ض is, 300.275. We can back substitute. Add 1.3636 times the third row to the second row, and add 6.5 times the third row to the first row.

    12.502451.79
    010500.364
    001300.275

    Subtract 2.5 times the second row from the first row.

    1001200.88
    010500.364
    001300.275

    Thus, the solution is that x = 1200.88, ذ = 500.364, and ض = 300.275.

    The fractions are due to roundoff error. The actual solution is x = 1200, ذ = 500, and ض = 300. Even though our computations were done with five significant figures, our final answer is only correct to three significant figures. Typical modern calculators keep a couple extra digits of accuracy to hide the roundoff error. Usually that&rsquos enough, but not always. Perhaps the original method which delays division to the end of the algorithm is a better method.

    Summary of the method, and wrinkles

    Of course, there are shortcuts and exceptions. The order of the rows in the matrix is irrelevant, so you can decide which one goes first. If there&rsquos a 1 as the first entry of some row other than the first, you might just as well make that row the first and save yourself some division. For example, in the matrix

    start off by making the third row the first. You don&rsquot actually have to exchange the rows it&rsquos enough to treat the third row as the first. You can do something similar with the columns, but you can get pretty confused if you do that. (You must remember which column refers to which variable.)

    One time when you have to treat some other row as the first is when the first leads off with a 0. For instance, in the matrix

    you have to make either the second or the third row into the first row.

    Now a wrinkle. In many applications, there is a unique solution, that is, there is only one way to assign values to the variables so that the equations are simultaneously true. But not in all applications. Sometimes, there are no solutions at all, and sometimes there are infinitely many solutions. Here&rsquos a coefficient matrix for a system of linear equations that has no solution.

    Note that if you sum the first two rows, then you get 5 &ndash1 10 13. That says 5xذ + 10ض = 13. But the third row says 5xذ + 10ض = 4. Since 13 does not equal 4, there is no solution. If you were to go through the algorithm of elimination, you end up with the matrix

    The important thing to notice is that the last row is a contradiction. It says 0 = 1. There are no values of x, y, و ض to make that true. So, there are no solutions to the system. When one of the rows has all zeros in it except the final number, that means the system has no solutions.

    Next, let&rsquos look at a system where there are infinitely many solutions. Take the last example, but change the last entry in the last row to 13.

    Note now how the third row is the sum of the previous two. If you follow through the method of elimination, you end up with the matrix

    The last row says 0 = 0, and that is no condition whatsoever on the values of x, y, و ض. The question is: what do you do at this point? The second row says ذ = 㪦/13, and the first row says x מض = 31/13, that is to say, x = 2ض + 31/13. Those are the conditions on x و ذ, but there are no conditions on ض. That means you can take any value of ض you want, set ذ to &ndash14/13, and set x إلى 2ض + 31/13, and you get a solution to the system of equations. هناك عدد لا نهائي من الحلول. When the solutions are described that way, we say that they are parameterized بواسطة ض.


    شاهد الفيديو: Linear and Quadratic Function Modeling (شهر اكتوبر 2021).