مقالات

1.2: النسب المثلثية


هناك ستة نسب مثلثية شائعة تربط جوانب المثلث القائم الزاوية بالزوايا داخل المثلث. الثلاثة الآخرون (قاطع التمام ، القاطع ، ظل التمام) هم مقلوب الجيب وجيب التمام والظل وغالبًا ما يتم اختصارهم csc و sec و cot.

بالنظر إلى الزاوية الواقعة في مثلث قائم الزاوية ، يتم تعريف دالة الجيب على أنها نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الوتر ، ويتم تعريف جيب التمام على أنه نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الوتر ويتم تعريف الظل على أنه نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور للزاوية.
[ ابدأ {محاذاة}
sin theta & = frac {o p} {h y p}
cos theta & = frac {a d j} {h y p}
tan theta & = frac {o p p} {a d j}
نهاية {محاذاة}
] الجهاز الرئوي الشائع للمساعدة في تذكر هذه العلاقات هو
-SOHCAHTOA- الذي يحدد الخطيئة كـ Opp على Hyp Cos كـ Adj على Hyp و Tan كـ Opp على Adj.

الزاوية الحادة الموضوعة في الموضع الآخر لمثلث قائم الزاوية سيكون لها جوانب متقابلة ومجاورة مختلفة على الرغم من أن الوتر سيظل كما هو.

أمثلة: النسب المثلثية
ابحث عن ( sin theta، cos theta ) و ( tan theta ) للزاوية المعطاة ( theta )

لإيجاد خطيئة وجيب الزاوية ( theta ) ، يجب أولاً إيجاد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس ( left (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2) }حق))

نظرًا لأننا نعرف أرجل المثلث ، يمكننا استبدال هذه القيم بـ (أ ) و (ب ) في نظرية فيثاغورس:
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
3 ^ {2} + 5 ^ {2} = c ^ {2}
9 + 25 = ج ^ {2}
34 = ج ^ {2}
الجذر التربيعي {34} = ج
نهاية {مجموعة}
] الآن بعد أن عرفنا الوتر (( sqrt {34}) ، ) يمكننا تحديد sin و cos و tan للزاوية ( theta )
[ ابدأ {محاذاة}
sin theta & = frac {3} { sqrt {34}}
cos theta & = frac {5} { sqrt {34}}
tan theta & = frac {3} {5}
نهاية {محاذاة}
] ابحث عن ( sin theta، cos theta ) و ( tan theta ) للزاوية المحددة ( theta )

مرة أخرى ، لإيجاد الجيب وجيب التمام والظل للزاوية ( theta، ) ، علينا إيجاد الضلع المفقود من المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس. نظرًا لأنه ، في هذه الحالة ، نعرف الوتر وأحد الساقين ، يجب استبدال قيمة الوتر بـ (c ) ويمكن استبدال طول الساق المعطاة بأي منهما
(ا او ب)

[ ابدأ {مجموعة} {ج}
4 ^ {2} + ب ^ {2} = 9 ^ {2}
16 + ب ^ {2} = 81
ب ^ {2} = 65
ب = sqrt {65}
نهاية {مجموعة}
] الآن بعد أن عرفنا طول الضلع الآخر للمثلث (( sqrt {65}) ، ) يمكننا تحديد sin و cos و tan للزاوية ( theta )
[ ابدأ {محاذاة}
sin theta & = frac { sqrt {65}} {9}
cos theta & = frac {4} {9}
tan theta & = frac { sqrt {65}} {4}
نهاية {محاذاة}
] بالإضافة إلى الأمثلة أعلاه ، إذا أعطيت لنا قيمة إحدى النسب المثلثية ، فيمكننا إيجاد قيمة النسبتين الأخريين.
مثال
بالنظر إلى أن ( cos theta = frac {1} {3} ، ) ابحث عن ( sin theta ) و ( tan theta )
بالنظر إلى المعلومات حول جيب تمام الزاوية ( theta، ) يمكننا إنشاء مثلث يسمح لنا بالعثور على ( sin theta ) و ( tan theta )

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا إيجاد الضلع المفقود من المثلث:
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
أ ^ {2} + 1 ^ {2} = 3 ^ {2}
أ ^ {2} + 1 = 9
نهاية {مجموعة}
] (أ ^ {2} = 8 )
(أ = الجذر التربيعي {8} = 2 الجذر التربيعي {2} )
ثم ( sin theta = frac { sqrt {8}} {3} ) و ( tan theta = frac { sqrt {8}} {1} = sqrt {8} )
قد تقول لنفسك ، "انتظر دقيقة ، فقط لأن جيب التمام للزاوية ( theta ) هو ( frac {1} {3} ، ) هذا لا يعني بالضرورة أن جانبي المثلث هي 1 و (3 ، ) يمكن أن تكون 2 و (6 ، ) أو 3 و 9 أو أي قيم (n ) و (3 n. ")

هذا صحيح ، وإذا تم التعبير عن الأضلاع كـ (n ) و (3 n ، ) فسيكون الجانب المفقود (n sqrt {8} ، ) بحيث عندما نجد نسبة مثلثي ، سيتم إلغاء (n ^ { prime} ) ، لذلك نتركهم لنبدأ وندعو الجانبين 1 و 3
مثال
بالنظر إلى أن ( tan theta = frac { sqrt {5}} {7} ، ) ابحث عن ( sin theta ) و ( cos theta )
سنأخذ أولاً المعلومات حول المماس ونستخدمها لرسم مثلث.

ثم استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المفقود من المثلث:
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
sqrt {5} ^ {2} + 7 ^ {2} = c ^ {2}
5 + 49 = ج ^ {2}
54 = ج ^ {2}
sqrt {54} = 3 sqrt {6} = ج
نهاية {مجموعة}
]وماذا بعد:
[ sin theta = frac { sqrt {5}} { sqrt {54}} = sqrt { frac {5} {54}}
] [ cos theta = frac {7} { sqrt {54}} = frac {7} {3 sqrt {6}}
]

تمارين 1.2
ابحث عن ( sin theta، cos theta ) و ( tan theta ) للمثلثات المحددة.

استخدم المعلومات المعطاة لإيجاد النسبتين المثلثيتين الأخريين.
11. ( quad tan theta = frac {1} {2} )
12. ( quad sin theta = frac {3} {4} )
13. ( quad cos theta = frac {3} { sqrt {20}} )
14. ( رباعي تان ثيتا = 2 )
15. ( sin theta = frac {5} { sqrt {40}} )
16. ( sin theta = frac {7} {10} )
17. ( cos theta = frac {9} {40} )
18. ( quad tan theta = sqrt {3} )
19. ( cos theta = frac {1} {2} )
20. ( cos theta = frac {3} {7} )
21. ( sin theta = frac { sqrt {5}} {7} )
22. ( رباعي تان ثيتا = 1.5 )


المثلث 30 و 60 و 90 درجة

هناك نوعان من المثلثات الخاصة في علم المثلثات. واحد هو المثلث 30 & deg-60 & deg-90 & deg. الآخر هو مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. إنها خاصة لأنه ، مع هندسة بسيطة ، يمكننا معرفة نسب أضلاعها.

نظرية. في المثلث 30 & deg-60 & deg-90 & deg ، تكون الجوانب بنسبة 1: 2:.

(لتعريف قياس الزوايا حسب "الدرجات" ، انظر موضوع 12.)

لاحظ أن أصغر ضلع ، 1 ، يقابل أصغر زاوية ، 30 درجة بينما الضلع الأكبر ، 2 ، يقابل الزاوية الأكبر ، 90 درجة. (نظرية 6). (بالنسبة إلى ، 2 أكبر من. أيضًا ، بينما تتوافق 1:: 2 بشكل صحيح مع الجوانب المقابلة 30 & deg-60 & deg-90 & deg ، يجد الكثيرون التسلسل 1: 2: أسهل في التذكر.)

النظريات المذكورة مأخوذة من الملحق ، بعض نظريات الهندسة المستوية.

فيما يلي أمثلة على كيفية الاستفادة من معرفة هذه النسب. أولاً ، يمكننا تقييم وظائف 60 درجة و 30 درجة.

إجابه . لأي مشكلة تتعلق بمثلث 30 درجة و 60 درجة و 90 درجة ، يجب على الطالب عدم استخدام جدول. يجب على الطالب رسم المثلث ووضع أرقام النسبة.

نظرًا لأن جيب التمام هو نسبة الضلع المجاور إلى الوتر ، يمكنك أن ترى أن cos 60 & deg = & frac12.

مثال 2. احسب قيمة sin 30 & deg.

إجابه . وفقًا لخاصية الوظائف المشتركة (الموضوع 3) ، فإن sin 30 & deg يساوي cos 60 & deg. الخطيئة 30 درجة = & frac12.

يمكنك أن ترى ذلك مباشرة في الشكل أعلاه.

المشكلة 1. تقييم الخطيئة 60 درجة والسمرة 60 درجة.

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").

الجيب هو نسبة الضلع المقابل على الوتر.

الظل هو نسبة الضلع المقابل للمجاور.

المشكلة الثانية: تقييم سرير الطفل 30 درجة وجيب التمام 30 درجة.

ظل التمام هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل.

لذلك ، عند فحص الشكل أعلاه ، cot 30 & deg =
1

أو ، ببساطة أكثر ، cot 30 & deg = tan 60 & deg.

أما بالنسبة لجيب التمام ، فهو نسبة الضلع المجاور إلى الوتر. لذلك،

قبل أن ننتقل إلى المثال التالي ، إليك كيفية ربط أضلاع وزوايا المثلث:

إذا تم تسمية الزاوية بحرف A ، فسيتم تسمية الجانب المقابل بالحرف a صغير. وبالمثل بالنسبة للزاوية ب والضلع ب والزاوية ج والضلع ج.

مثال 3. حل المثلث القائم الزاوية ABC إذا كانت الزاوية A تساوي 60 درجة ، والجانب c يساوي 10 سم.

المحلول. يعني حل المثلث معرفة الأضلاع الثلاثة وجميع الزوايا الثلاث. بما أن هذا مثلث قائم الزاوية ، والزاوية A تساوي 60 درجة ، فإن الزاوية B المتبقية هي مكملها ، 30 درجة.

الآن في كل مثلث 30 درجة و 60 درجة و 90 درجة ، تكون الجوانب بنسبة 1: 2: ، كما هو موضح على اليمين. كلما عرفنا نسب الأضلاع ، يمكننا حل المثلث بطريقة الأشكال المتشابهة.

وهكذا في المثلث ABC ، ​​ضُرب الضلع المقابل لـ 2 في 5. لذلك سيتم ضرب كل ضلع في 5. سيكون الضلع b 5 × 1 ، أو 5 سم فقط ، والضلع a سيكون 5 سم.

بدلاً من ذلك ، يمكننا القول إن الضلع المجاور للزاوية 60 & deg دائمًا ما يكون نصف طول الوتر. إذن ، الضلع ب يساوي 5 سم. الآن ، الضلع b هو الضلع الذي يقابل 1. وقد تم ضربه في 5. لذلك ، يجب أيضًا ضرب الضلع nI> a في 5. سيكون 5 سم.

عندما نعرف أرقام النسبة ، يجب على الطالب استخدام هذه الطريقة للأرقام المتشابهة لحل المثلث ، وليس الجدول المثلثي.

(في الموضوع 6 ، سنحل المثلثات القائمة التي لا نعرف نسب أضلاعها.)

المشكلة 3. في المثلث الأيمن DFE ، الزاوية D تساوي 30 درجة ، والجانب DF هو 3 بوصات. ما هي مدة الجانبين د و و؟

يجب أن يرسم الطالب مثلثًا مشابهًا في نفس الاتجاه. ثم لاحظ أن الضلع المقابل قد تم ضربه في.

لذلك ، سيتم ضرب كل جانب في. سيكون الجانب d 1 =. سيكون الجانب و 2.

المشكلة 4. في المثلث الأيمن PQR ، الزاوية P تساوي 30 درجة ، والضلع r 1 سم. كم طول الجانبين p و q؟

تم تقسيم الضلع المقابل لـ 2 على 2. لذلك ، يجب تقسيم كل جانب على 2. الجانب p سيكون & frac12 ، والجانب q سيكون & frac12.

المسألة 5. حل المثلث القائم الزاوية ABC إذا كانت الزاوية A تساوي 60 درجة ، والوتر 18.6 سم.

الضلع المجاور للزاوية 60 & deg دائمًا ما يكون نصف طول الوتر - وبالتالي ، فإن الضلع b يساوي 9.3 cm.
ولكن هذا هو الضلع الذي يقابل 1. وقد تم ضربه في 9.3. لذلك ، سيتم ضرب الضلع أ في 9.3.
سيكون طوله 9.3 سم.

مثال 4. ABC مثلث متساوي الأضلاع ارتفاعه AD 4 سم.

أوجد طول الضلع س.

الحل 1. نظرًا لأن المثلث متساوي الأضلاع ، فهو أيضًا متساوي الزوايا ، وبالتالي فإن الزاوية B تساوي 60 درجة

ارتفاع المثلث هو الخط المستقيم المرسوم من الرأس بزوايا قائمة على القاعدة. لذلك ، فإن المثلث ADB هو مثلث 30-60-90.

بالنسبة لهذه المشكلة ، سيكون من المناسب تكوين التناسب بالرموز الكسرية:

على أن يكون ما يقرب من 1. 732 ،

الضلع المقابل لـ تم ضربه ليصبح 4. كيف تم مضاعفته؟

وهو ، مرة أخرى ، حوالي 4. 619 سم.

المشكلة 6. افحص قيم 30 & deg ، و 60 & deg ، و 45 & deg - أي انظر إلى المثلثين -

- وفي كل معادلة ، حدد أي من هذه الزوايا يمثل قيمة x.

أ) sin x = cos x. س = 45 درجة. ب) تان س = 1. س = 45 درجة.
ج) الخطيئة س = & frac12. س = 30 درجة د) كوس س = & frac12. س = 60 درجة.
ه) الخطيئة س = & frac12. س = 60 درجة F) كوس س = & frac12. س = 45 درجة.
س = 30 درجة. ح) csc x = 2. x = 30 درجة.

مثال 5. حل هذه المعادلة للزاوية x:

2 الخطيئة (س & ناقص 10 درجة) & سالب = 0.
المحلول. 2 الخطيئة (س & ناقص 10 درجة) & سالب = 0
يدل
الخطيئة (س & ناقص 10 درجة) = & frac12.

الآن ، جيب ما هي الزاوية & frac12؟

الخطيئة 60 درجة = & frac12.
لذلك،
س & ناقص 10 درجة = 60 درجة
x = 70 درجة

المشكلة 7. حل هذه المعادلة للزاوية x:

3 سم مكعب (2 × + 6 درجة) & ناقص 6 = 0.
3 سم مكعب (2 × + 6 درجة) & ناقص 6 = 0
يدل
CSC (2 × + 6 درجة) = 2.
2 × + 6 درجة = 30 درجة
س + 3 درجة = 15 درجة
x = 12 درجة

المشكلة 8. برهن: المساحة أ في مثلث متساوي الأضلاع ضلعه s هي

المساحة أ في أي مثلث تساوي نصف جيب أي زاوية في حاصل ضرب الضلعين اللذين يصنعان الزاوية. (الموضوع 2 ، المشكلة 6.)

في مثلث متساوي الأضلاع كل ضلع هو s وكل زاوية 60 درجة. لذلك،

المسألة 9. برهن: المساحة أ لمثلث متساوي الأضلاع مرسوم في دائرة نصف قطرها ص هي

تقسم أنصاف الأقطار الثلاثة المثلث إلى ثلاثة مثلثات متطابقة.

ومن ثم يقسم كل نصف قطر كل رأس إلى زاويتين 30 درجة.
إذا قمنا بتمديد نصف القطر AO ، فإن AD هو المنصف العمودي للضلع CB.

وبالتالي فإن Triangle OBD هو مثلث 30-60-90.
إذا أطلقنا على كل جانب من المثلث متساوي الأضلاع s ، ثم في المثلث الأيمن OBD ،

الآن ، المساحة أ في مثلث متساوي الأضلاع هي

A = & frac14 s 2 = & frac14 & middot 3 r 2 = 3
4
ص 2.

هذا ما أردنا إثباته.

المشكلة 10. البرهان: تلتقي منصفات الزوايا لمثلث متساوي الأضلاع عند نقطة تمثل ثلثي المسافة من رأس المثلث إلى القاعدة.

لنفترض أن ABC مثلث متساوي الأضلاع ، لنفترض أن AD و BF و CE هي منصفات الزوايا A و B و C على التوالي ، ثم تلتقي منصفات الزوايا هذه عند النقطة P بحيث تكون AP تساوي ثلثي AD.

أولاً ، المثلثات BPD و APE متطابقتان.

نظرًا لأن المثلث متساوي الأضلاع و BF ، فإن AD هي منصف الزاوية ، ثم الزوايا PBD و PAE متساوية وكل منهما 30 درجة
والضلع BD يساوي الضلع AE ، لأنه في مثلث متساوي الأضلاع يكون منصف الزاوية هو المنصف العمودي للقاعدة.

الزوايا PDB و AEP هي الزوايا القائمة والمتساوية.

المثلثات BPD و APE متطابقتان.

لكن AP = BP ، لأن المثلثات APE و BPD متقاربة ، وتلك هي الأضلاع المقابلة للزوايا المتساوية.
لذلك ، AP = 2PD.
لذلك فإن AP تساوي ثلثي مجمل AD.
وهو ما أردنا إثباته.

هذا هو الدليل على أنه في مثلث 30 & deg-60 & deg-90 & deg ، تكون الجوانب بنسبة 1: 2:. يعتمد على حقيقة أن المثلث 30 & deg-60 & deg-90 & deg هو نصف مثلث متساوي الأضلاع.

ارسم المثلث المتساوي الأضلاع ABC. ثم كل من زواياها المتساوية 60 درجة. (النظريات 3 و 9)

ارسم الخط المستقيم AD مقسمًا الزاوية عند A إلى زاويتين 30 درجة.
ثم AD هو المنصف العمودي لـ BC (نظرية 2). وبالتالي فإن المثلث ABD هو مثلث 30 درجة و 60 درجة و 90 درجة.

الآن ، بما أن BD يساوي DC ، إذن BD يساوي نصف BC.

هذا يعني أن BD تساوي أيضًا نصف AB ، لأن AB يساوي BC. هذا هو،

من نظرية فيثاغورس ، يمكننا إيجاد الضلع الثالث AD:

م 2 + 1 2 = 2 2
م 2 = 4 ناقص 1 = 3
ميلادي = .

لذلك في المثلث 30 & deg-60 & deg-90 & deg ، تكون الجوانب في النسبة 1: 2: وهو ما شرعنا في إثباته.

اللازمة - النتيجة. المربع المرسوم على ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع هو ثلاثة أرباع المربع المرسوم على الجانب.

يرجى التبرع لإبقاء TheMathPage على الإنترنت.
حتى دولار واحد سيساعد.


النسب المثلثية مجموعة الأسئلة والأجوبة 1

مرحبا الطلاب ، مرحبا بكم في مدونات آمان للرياضيات (AMB) . في هذا المنشور ، ستحصل على مجموعة أسئلة وإجابات النسب المثلثية 1 وهي عبارة عن مجموعة من بعض الأسئلة المهمة. تدرب على هذه الأسئلة لامتحانات SSC CGL CHSL CAT NTSE وما إلى ذلك. وسوف تساعدك على ممارسة الأسئلة حول موضوعات الأسئلة القائمة على النسب المثلثية مع الإجابات.

النسب المثلثية مجموعة الأسئلة والأجوبة 1: السؤال رقم 1

إذا كانت x زاوية حادة وكانت tan x = 5 ، فإن القيمة الدقيقة لـ (sin x + cos x) هي

النسب المثلثية مجموعة الأسئلة والأجوبة 1: السؤال رقم 2

مثلث متساوي الساقين له زاوية قاعدية 30 o وطول قاعدته 10√3 cm. ارتفاع هذا المثلث

النسب المثلثية مجموعة أسئلة وأجوبة 1: السؤال رقم 3

إذا كانت tan A = 4/3 ، فإن قيمة (3sinA + 2cosA) / (3sinA - 2cosA) هي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 4

إذا كانت sinx = 3/5 ، فإن قيمة (1 + tan 2 x) / (1 - tan 2 x) هي

النسب المثلثية مجموعة أسئلة وأجوبة 1: السؤال رقم 5

إذا كانت (sec A + tan A) / (sec A - tan A) = 5/3 ، فإن قيمة sin A هي

النسب المثلثية مجموعة أسئلة وأجوبة 1: السؤال رقم 6

إذا كان 1 + tan 2 A = 625/29 ، فإن قيمة ، حيث A زاوية حادة ، هي

النسب المثلثية مجموعة أسئلة وأجوبة 1: السؤال رقم 7

إذا كانت sinx = a / Root (a 2 + b 2) ، فإن قيمة cotx هي

النسب المثلثية مجموعة أسئلة وأجوبة 1: السؤال رقم 8

إذا كانت tan θ = 3/4 و 0 & lt θ & lt Pi / 2 و 25 xsin 2 θcosθ = tan 2 ، فإن قيمة x هي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 9

إذا كانت tan θ = 3/4 و 0 & lt θ & lt Pi / 2 ، فإن قيمة cosec θ هي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 10

إذا كان 7tan θ = 4 ، فإن قيمة (7sin θ - 3cosθ) / (7sinθ + 3cosθ) هي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 11

إذا كانت الثانية A = 17/8 ، أظهر أن (3-4sin ²A) / (4 cos² A - 3) هي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 12

إذا كانت cos 2 A - sin 2 A = tan 2 B ، فإن قيمة cos 2 B - sin 2 B تساوي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 13

إذا كانت 2sinA / (1 + cosA + sinA) = y ، فإن قيمة (1 - cosA + sinA) / (1 + sinA) بدلالة y هي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 14

(secA - cosecA) (1 + tanA + cotA) تساوي

مجموعة أسئلة وأجوبة حساب المثلثات 1: السؤال رقم 15


مثال على المشاكل

إذا كان طول الوتر والعكس المقابل هما c = 5 c = 5 c = 5 و b = 3 b = 3 b = 3 على التوالي في المثلث الأيمن أدناه ، فما هو cos ⁡ θ؟ كوس ثيتا؟ كوس θ؟

بما أن طول الوتر هو 5 وطول المقابل هو 3 ، فمن نظرية فيثاغورس يكون طول الضلع المجاور

(الوتر) 2 = (المقابل) 2 + (المجاور) 2 5 2 = 3 2 + (المجاور) 2 ⇒ (المجاور) = 4. ابدأ (نص) ^ 2 & amp = ( text) ^ 2 + ( text) ^ 2 5 ^ 2 & amp = 3 ^ 2 + ( text) ^ 2 Rightarrow ( text) & amp = 4. النهاية (الوتر) 2 5 2 ⇒ (المجاور) = (المقابل) 2 + (المجاور) 2 = 3 2 + (المجاور) 2 = 4.

ومن ثم ، cos ⁡ θ = (المجاور) (الوتر) = 4 5. □ cos theta = dfrac <( text)> <( text)> = فارك <4> <5>. _ مربع كوس θ = (الوتر) (المجاور) = 5 4. □

ما قيمة tan ⁡ 18 0 ∘؟ tan 180 ^ دائرة؟ تان 1 8 0 ∘؟

إذا كان tan ⁡ θ + cot ⁡ θ = 2، tan theta + cot theta = 2، tan θ + cot θ = 2 ، فما الخطيئة ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ؟ sin theta cdot cos theta؟ الخطيئة θ ⋅ كوس θ؟

نحن لدينا

tan ⁡ θ + cot ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ + cos ⁡ sin ⁡ θ = sin ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡. (1) ابدأ tan theta + cot theta & amp = frac < sin theta> < cos theta> + frac < cos theta> < sin theta> & amp = frac < sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta> < sin theta cdot cos theta>. qquad (1) النهاية tan θ + cot θ = cos θ sin θ + sin θ cos θ = sin θ cos θ sin 2 θ + cos 2 θ. (1)

لاحظ أيضًا أنه يمكن الحصول على قيمة الخطيئة ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta sin 2 θ + cos 2 على النحو التالي:

sin ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ = (الوتر المقابل) 2 + (الوتر المجاور) 2 = (المقابل) 2 + (المجاور) 2 (الوتر) 2 = (الوتر) 2 (الوتر) 2 = 1. (2) يبدأ sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta & amp = left ( frac < text> < نص> right) ^ 2 + left ( frac < text> < نص> right) ^ 2 & amp = frac <( text) ^ 2 + ( text) ^ 2> <( text) ^ 2> & amp = frac <( text) ^ 2> <( text) ^ 2> = 1. qquad (2) النهاية sin 2 θ + cos 2 θ = (الوتر المجاور) 2 + (الوتر المجاور) 2 = (الوتر) 2 (المقابل) 2 + (المجاور) 2 = (الوتر) 2 (الوتر) 2 = 1. (2)

ثم من (1) (1) (1) و (2) ، (2) ، (2) ، يمكن الحصول على الخطيئة ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ sin theta cdot cos theta sin θ ⋅ cos θ يتبع:

tan ⁡ θ + cot ⁡ θ = sin ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ 2 = 1 sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ ⇒ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ = 1 2. □ ابدأ tan theta + cot theta & amp = frac < sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta> < sin theta cdot cos theta> 2 & amp = frac <1> < sin theta cdot cos theta> Rightarrow sin theta cdot cos theta & amp = frac <1> <2>. _ مربع نهاية tan θ + cot θ 2 ⇒ sin θ ⋅ cos θ = sin θ ⋅ cos θ sin 2 θ + cos 2 θ = sin θ cos θ 1 = 2 1. □


دليل الرياضيات

تشتمل الزوايا الخاصة على القيم المثلثية التي يمكن اعتبارها بالضبط. يمكن حساب قيم الزاوية الخاصة باستخدام النسب المثلثية. على وجه التحديد ، زوايا 0 ، 30 ، 45 ، 60 ، 90 درجة هي الزوايا الخاصة. تشمل الزوايا القائمة قياس 90 درجة. يتكون المثلث القائم الزاوية من إحدى زواياه الثلاث. المثلثات القائمة تتكون من مثلثين خاصين 30-60-90 مثلث قائم الزاوية و45-45-90 مثلث قائم الزاوية. دعونا نرى عن جدول النسبة المثلثية.


النسب المثلثية: التعريف ، الصيغ ، التطبيقات

النسب المثلثية: كلمة & # 8220Trigonometry & # 8221 مشتقة من الكلمات اليونانية & # 8216trigonon & # 8217 و & # 8216metron & # 8217. معنى كلمة & # 8216trigonon & # 8217 مثلث وكلمة & # 8216metron & # 8217 تعني قياس. ومن ثم ، فإن علم المثلثات يعني علم قياس المثلثات. يتعامل علم المثلثات مع قياس أضلاع وزوايا المثلث ومسائل النسب المثلثية المرتبطة بالزوايا.

يتمثل الجزء الأساسي من حساب المثلثات في إيجاد الأضلاع والزوايا المتبقية للمثلث عند إعطاء بعض جوانبه وزواياه. يتم حل هذه المشكلة باستخدام أي نسبة مناسبة لضلع المثلث بالنسبة إلى زاويته الحادة. تسمى نسب الزوايا الحادة بالنسب المثلثية للزوايا.

ما هي نسب حساب المثلثات؟

تسمى نسب أضلاع المثلث القائم بالنسبة إلى زواياه الحادة بالنسب المثلثية للزاوية.

هناك ستة نسب مثلثية أساسية: الجيب ، وجيب التمام ، والظل ، والظل ، والقاطع ، وقاطع التمام

ما هي صيغ النسب المثلثية؟

يحتوي الرسم البياني أعلاه على زاوية حادة ( زاوية YAX = ثيتا ) مع الجانب الأولي (AX ) والجانب النهائي (AY. ) ارسم (م ) عموديًا من (ف ) على (AX ) للحصول على الزاوية اليمنى ( Delta AMP ) حيث ( angle PAM = theta. )

في الزاوية اليمنى ( Delta AMP ) Base (= AM ، = x ، ) عمودي (= PM = y ) و Hypotenuse (AP ، = ، ، r. )

نحدد النسب المثلثية الست التالية:

ملحوظة: الخطيئة ثيتا هو اختصار لـ & # 8220sine للزاوية ثيتا & # 8221 ليس نتاج الخطيئة وثيتا. نفس الشيء هو الحال بالنسبة للنسب المثلثية الأخرى.

هل هناك أي فن تذكار لتذكر هذه النسب المثلثية؟

نعم ، هناك ذاكرة تذكر هذه النسب المثلثية.

هذا يعني أن بعض الناس لديهم شعر أسود مجعد من خلال الفرشاة المناسبة.

سome صالناس حave هو لـ (< mathop < rm Sin> nolimits> ، ، theta = frac <<< rm <عمودي >>>> <<< rm >>> )

جبولي بقلة حالهواء لـ (< mathop < rm Cos> nolimits> ، ، theta = frac <<< rm >>> <<< rm >>> )

تيمن خلال صروبر بالتسريع من أجل (< mathop < rm Tan> nolimits> ، theta = frac <<< rm <عمودي >>>> <<< rm >>> )

استخدام كلمة & # 8216sine & # 8217 ، بالطريقة التي نستخدمها بها اليوم ، كان في عمل Aryabhatiyam بواسطة Aryabhata ، (500 ، AD. ) استخدم أرياباتا كلمة عرض (نصف) -جيا (وتر) للنصف- الوتر الذي تم استخدامه كـ jya أو jiva في الوقت المناسب. عندما تُرجمت أرياباتيام إلى العربية ، تم الإبقاء على كلمة جيفا كما هي. تمت ترجمة كلمة جيفا إلى كلمة sinus ، والتي تعني منحنى ، عندما تمت ترجمة النسخة العربية إلى اللاتينية. سرعان ما أصبحت كلمة sinus ، التي تُستخدم أيضًا كـ sine ، شائعة في النصوص الرياضية في جميع أنحاء أوروبا. اختصر أستاذ علم الفلك الإنجليزي إدموند غونتر التدوين أولاً (& # 8216 sin & # 8216. )

تاريخ (< rm>) و (< rm>)

أصل المصطلحات (< rm> ) و (< rm> ) إلى دائرة الضوء في وقت لاحق. إن (< rm> ) تأتي إلينا وظيفة من الحاجة لحساب (< rm> ) للزاوية التكميلية. أرياباتا دعاها kotijya الاسم (< rm> ) نشأت مع إدموند غونتر. في (< rm <1674>>> ) استخدم عالم الرياضيات الإنجليزي السير جوناس مور لأول مرة التدوين المختصر (& # 8216 cos & # 8216. )

جدول النسب المثلثية

اسم الدالة المثلثيةاختصار للدالة المثلثيةنسبة الدالة المثلثية
(< rm> ) من ( الزاوية أ ) ( الخطيئة أ ) ( sin A = frac <<< rm>>> <<< rm <الوتر >>>> )
(< rm> ) من ( الزاوية أ ) ( كوس أ ) ( cos A = frac <<< rm >>> <<< rm >>> )
(< rm> ) من ( الزاوية أ ) ( تان أ ) ( tan A = frac <<< rm>>> <<< rm >>> )
(< rm> ) من ( الزاوية أ ) (< rm> ، أ ) (< mathop < rm cosec> nolimits> ، A = frac <<< rm>>> <<< rm <عمودي >>>> )
(< rm> ) من ( الزاوية أ ) (< mathop < rm sec> nolimits> ، A ) ( sec A = frac <<< rm>>> <<< rm >>> )
(< rm> ) من ( الزاوية أ ) (سرير أ ) ( cot A = frac <<< rm >>> <<< rm <عمودي >>>> )

العلاقات بين النسب المثلثية

ترتبط النسب المثلثية الأساسية الثلاثة ( sin theta، cos theta ) و ( tan theta ) للزاوية ( theta ) ارتباطًا وثيقًا بالعلاقات. وبالتالي ، إذا تم معرفة أي من النسبتين ، فيمكن حساب النسبتين الأخريين بسهولة.

في النسب المثلثية ، لدينا لأي زاوية حادة ( ثيتا )

النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة

في الهندسة ، نحن على دراية ببناء الزوايا (30 ^ circ و 45 ^ circ و 60 ^ circ ) و (90 ^ circ ). قيم النسب المثلثية لهذه الزوايا و (0 ^ circ ) أيضًا.

( الزاوية أ ) (<0 ^ circ> ) (<30 ^ circ> ) (<45 ^ circ> ) (<60 ^ circ> ) (<90 ^ circ> )
( الخطيئة ، أ )(0) ( فارك <1> <2> ) ( فارك <1> << sqrt 2 >> ) ( فارك << sqrt 3 >> <2> )(1)
( كوس ، أ )(1) ( فارك << sqrt 3 >> <2> ) ( فارك <1> << sqrt 2 >> ) ( فارك <1> <2> )(0)
( تان ، أ )(0) ( فارك <1> << sqrt 3 >> )(1) ( مربع 3 )غير معرف
(< rm> أ )غير معرف(2) ( مربع 2 ) ( فارك <2> << sqrt 3 >> )(1)
( ثانية ، أ )(1) ( فارك <2> << sqrt 3 >> ) ( مربع 2 )(2)غير معرف
( سرير ، أ )غير معرف ( مربع 3 )(1) ( فارك <1> << sqrt 3 >> )(0)

ملحوظة: من الجدول ، يمكننا ملاحظة أنه كلما زادت ( زاوية أ ) من (<0 ^ circ> ) إلى (<90 ^ circ> ) ، ( sin A ) من ( 0 ) إلى (1 cos A ) ينخفض ​​من (1 ) إلى (0 ) ويزيد ( تان أ ) من (0 ) إلى قيمة عالية جدًا غير محددة .

البديهيات للنسب المثلثية من ( )

البديهيات للنسب المثلثية من ( )

ملحوظة: لم يتم تعريف ( tan ، <90 ^ circ> ) و ( sec ، ، <90 ^ circ> ).

ما هي النسب المثلثية في المثلثات القائمة؟

في المثلث الأيمن (ABC ، ​​ زاوية CAB ) زاوية حادة. لاحظ موضع الضلع (BC ) بالنسبة للزاوية (A ). يواجه ( الزاوية أ ) نسميه الضلع المتعامد على الزاوية (أ ). (AC ) هو وتر المثلث القائم الزاوية ، والضلع (AB ) جزء من ( الزاوية أ ) لذلك ، نسميها القاعدة الجانبية لـ ( الزاوية أ. )

النسب المثلثية في المثلثات القائمة:

ملحوظة: لا تختلف قيمة النسبة المثلثية لزاوية مع طول ضلع المثلث إذا بقيت الزاوية كما هي.

ما هي النسب المثلثية للزوايا المتحالفة؟

يقال إن زاويتين متحالفتين عندما يكون مجموع الزوايا أو اختلاف الزوايا إما صفرًا أو مضاعف (<90 ^ < rm>>. ) على سبيل المثال ، الزوايا (<90 ^ circ> ، pm ، ، theta، ، <180 ^ circ> ، pm ، theta، <270 ^ الدوائر> ، + ، ثيتا ، <360 ^ circ> ، & # 8211 ، ثيتا ) وما إلى ذلك ، هي زوايا متحالفة مع الزاوية ( ثيتا ، ) إذا ( ثيتا ، ) بالدرجات.

ما هي النسب المثلثية للزوايا التكميلية؟

زاويتان متكاملتان إذا كان مجموعهما يساوي (<90 ^ circ> )

وبالتالي ، فإن ( theta ) و (<90 ^ circ> & # 8211 theta ) زاويتان متكاملتان.

ما هي تطبيقات نسب حساب المثلثات؟

استخدمه علماء الفلك الأوائل لمعرفة مسافات النجوم والكواكب عن الأرض. تعتمد معظم الأساليب المتقدمة تقنيًا المستخدمة في الهندسة والعلوم الفيزيائية على المفاهيم المثلثية.

أمثلة محلولة & # 8211 النسب المثلثية

س 1. معطى (15 سرير أ = 8 < جمهورية مقدونيا <، >> ) تجد ( الخطيئة أ )
الجواب:
معطى (15 سرير أ = 8 )
( Rightarrow cot A = frac <8> <<15>> = frac <<< rm >>> <<< rm <عمودي >>>> )
بتطبيق نظرية فيثاغورس على ( Delta ABC ). نحن نحصل
(AC = sqrt <>+ ب> Rightarrow AC = sqrt << 8 ^ 2> + <<15> ^ 2 >> )
( Rightarrow AC = sqrt <289> = 17 < rm > )

س 5. في ( Delta ، ABC ) ، الزاوية اليمنى عند (B ، ) (AB ، = ، 5 ، < rm> ) و ( زاوية ACB = <30 ​​^ circ> ) حدد أطوال الجوانب (BC )

ملخص

في هذه المقالة ، تعرفنا على تعريف النسب المثلثية ، صيغ النسب المثلثية ، جدول النسب المثلثية ، النسب المثلثية للزوايا الخاصة ، النسب المثلثية في المثلثات القائمة ، النسب المثلثية للزوايا المتحالفة ، النسب المثلثية للزوايا التكميلية ، تطبيقات النسب المثلثية.

الأسئلة المتداولة (FAQ) & # 8211 النسب المثلثية

س 2. كيف تحل النسب المثلثية?
الجواب: (أ) اختر إما عن طريق تحديد الجانب الذي تعرفه والجانب الذي تبحث عنه.
(ب) استبدل معلوماتك بالنسب المثلثية.
(ج) حل المعادلات الناتجة لإيجاد أطوال الأضلاع.

س 3. يمكن أن يكون هناك (< rm <8>> ) النسب المثلثية؟
الجواب:توجد ستة نسب مثلثية أساسية ، (< rm> ) و (< rm> ) من هذه النسب الأساسية الست يمكن للمرء أن يشتق العديد من النسب الأخرى.

العلاقات بين النسب المثلثية:

النسب المثلثية للزوايا التكميلية:

س 5. ما هي النسب الست المثلثية؟
الجواب: الجدول المثلثي:

اسم الدالة المثلثيةاختصار للدالة المثلثيةنسبة الدالة المثلثية
(< rm> ، الزاوية أ ) ( الخطيئة أ ) ( sin A = frac <<< rm>>> <<< rm <الوتر >>>> )
(< rm> ، الزاوية أ ) ( كوس أ ) ( cos A = frac <<< rm >>> <<< rm >>> )
(< rm> ، الزاوية أ ) ( تان أ ) ( tan A = frac <<< rm>>> <<< rm >>> )
(< rm> ، الزاوية أ ) (< rm> ، أ ) (< mathop < rm cosec> nolimits> ، A = frac <<< rm>>> <<< rm <عمودي >>>> )
(< rm> ، الزاوية أ ) (< mathop < rm sec> nolimits> ، A ) ( sec A = frac <<< rm>>> <<< rm >>> )
(< rm> ، الزاوية أ ) (سرير أ ) ( cot A = frac <<< rm >>> <<< rm <عمودي >>>> )

يتم توفير بعض المقالات المفيدة الأخرى بواسطة Embibe أدناه:

مفاهيم التأسيسالصيغ الرياضية من الدرجة الأولى
HCF و LCMصيغ الرياضيات للفئة 6
صيغ الجبرصيغ الرياضيات للفئة 7
قاعدة بودماسصيغ الرياضيات للفئة 8
خصائص المثلثاتصيغ الرياضيات للفئة 9
صيغ حساب المثلثاتصيغ الرياضيات للفصل 10
صيغ القياسصيغ الرياضيات للفصل 11
صيغ التفاضلصيغ الرياضيات للفصل 12

نأمل أن تكون هذه المقالة حول النسب المثلثية قد قدمت قيمة كبيرة لمعرفتك. إذا كان لديك أي استفسارات أو اقتراحات ، فلا تتردد في كتابتها في قسم التعليقات أدناه. سنحب أن نسمع منك. Embibe تتمنى لكم كل التوفيق!


النسبة المثلثية أسئلة وأجوبة

لكننا نأخذ ( Large cos frac < theta> <2> = - frac <1> < sqrt <5>> ) بما أن ( Large theta ) يقع في الربع الثالث ، ثم ( كبير فارك < ثيتا> <2> ) سيكون في الربع الثاني.

( كبير cos 1 ^ < circ> cos 2 ^ < circ> cos 3 ^ < circ>. cos 90 ^ < circ>. cos 100 ^ < circ> )

= ( كبير cos 1 ^ < circ> cos 2 ^ < circ> cos 3 ^ < circ>. 0. cos 100 ^ < circ> = 0 )

( كبير [ لأن cos 90 ^ < circ> = 0] )

تعليقات عرض الإبلاغ عن خطأ

الإجابة الصحيحة: ( كبير فارك <1> <8> )

الآن ، ( Large sin 12 ^ < circ> sin 48 ^ < circ> sin 54 ^ < circ> )

( كبير = فارك <1> <2> يسار ( cos 36 ^ < circ> - cos 60 ^ < circ> right) cos 36 ^ < circ> )

الإجابة الصحيحة: ( Large 16 cos ^ <3> x sin ^ <2> x )

( كبير 2 cos x - cos 3x - cos 5x = 2 cos x - 2 cos x cos 4x )

= ( كبير 2 cos x يسار (1- cos 4x right) = 2 cos x 2 sin ^ <2> 2x )

= ( كبير 4 cos x يسار (2 sin x cos x right) ^ <2> = 16 sin ^ <2> x cos ^ <3> x )

الإجابة الصحيحة: ( كبير كوس 2 ثيتا )

بالنظر إلى أن ( Large cos theta = frac <1> <2> left (x + frac <1> right) = & gt x + frac <1>= 2 كوس ثيتا )

نحن نعلم أن ( كبير x ^ <2> + فارك <1>> = يسار (x + frac <1> حق) ^ <2> -2 )

= ( كبير يسار (2 كوس ثيتا يمين) ^ <2> -2 = 4 كوس ^ <2> ثيتا -2 )

= ( كبير 2 كوس 2 ثيتا ) .. من (ط)

لذلك ، ( كبير فارك <1> <2> يسار (س ^ <2> + فارك <1>> right) = frac <1> <2> times 2 cos theta = cos 2 theta )

دع ( كبير f يسار (x يمين) = sqrt <3> cos x + sin x )

=> ( كبير f يسار (x يمين) = 2 يسار ( frac < sqrt <3>> <2> cos x + frac <1> <2> sin x right) = 2 الخطيئة اليسار (x + فارك < pi> <3> يمين) )

منذ ذلك الحين ( كبير -1 لو خطيئة يسار (س + فارك < بي> <3> يمين) لو 1 )

ومن ثم ، ( كبير و يسار (س يمين) هو الحد الأقصى إذا س + فارك < بي> <3> = فارك < بي> <2> )


1.2: النسب المثلثية

معكوسات النسب المثلثية

لقد تعلمت كيفية استخدام النسب المثلثية لحل المثلثات القائمة ، وإيجاد أطوال أضلاع المثلثات. لكن ماذا لو كان لديك جوانب وتريد إيجاد الزوايا؟ تعلم أنه يمكنك أخذ أطوال الأضلاع وإيجاد النسب المثلثية ، وتعلم أنه يمكنك إيجاد النسب المثلثية (في الآلة الحاسبة) للزوايا. ما ينقصنا هو طريقة للعودة من النسب إلى الزوايا الأصلية. وهذا ما تدور حوله & quotinverse & quot؛ قيم المثلثات & quot.

If you look at your calculator, you should see, right above the "SIN", "COS", "TAN" buttons, notations along the lines of "SIN –1 ", "COS –1 ", and "TAN –1 ", or possibly "ASIN", "ACOS", and "ATAN". These are what you'll use to find angles from ratios.

The first set of notations, with the "minus one" exponent, lists the inverse sine, the inverse cosine, and the inverse tangent. The second set of notations, with the "A" before each name, lists the arcsine, arccosine, and arctangent. These are two notations for exactly the same thing.

Grab your calculator, and take the sine of some angle value between zero and ninety degrees. Whatever result you get, do the inverse sine ("SIN –1 ") or the arcsine ("ASIN") of that value, and you should get the value you started with. That's what the inverses of trig ratios do: they give you the angle that goes with that trig ratio.

They've given me the opposite side from α and the hypotenuse, so I can form the sine ratio:

Plugging 0.9 into SIN –1 in my calculator, I get α = 64.15806724.

They've given me the lengths of the side opposite β (being 8 ) and the side adjacent to β (being 9 ). Since the tangent is opposite over adjacent, I can form the tangent ratio with what they've given me:


I won't use the decimal for 8/9 , because that could introduce round-off error. Instead, I'll work with the "exact" fraction, and plug TAN –1 (8/9) into my calculator directly. The result is β = 41.63353934.

  • Find the length of sideصand the measure of anglem, as shown on the diagram. Give each answer correct to the nearest whole number or degree.

How on earth am I supposed to find m و ص when I only have one number for that triangle? All I have is the hypotenuse! Oh, wait. Copyright © Elizabeth Stapel 2010-2011 All Rights Reserved

I can use the angle and hypotenuse on the left-hand triangle to find the height ص , and this will give me two numbers for the right-hand triangle. With that, I can find m .

The left-hand triangle has "opposite", hypotenuse, and angle, so I'll work with the sine ratio:

ص/15 = sin(47°)
ص = 15×sin(47°) = 10.97030552.

Now that I know ص = 11 , I can find the measure of angle m :

11/18 = sin(m°)
سفي –1 (11/18) = m° = 37.66988696.

ص = 11 و m° = 38°

  • A 5-m ladder is leaning against a building, with the base of the ladder being two meters from the side of the building. What angle does the ladder form with the ground?

As usual, I start with a picture. It doesn't need to be "exact" or "to scale" I just need enough of a picture to be able to keep track of what I'm doing.

With respect to the angle they want me to find, I have "adjacent" and the hypotenuse, so I'll use the cosine ratio.

2/5 = cos(θ)
cos –1 (2/5) = θ = 66.42182152.

The ladder forms an angle of about 66.4° .

Any time you have two sides of a triangle and need an angle, figure out the trig ratio that uses those two sides, and use the appropriate inverse button to find the angle that goes with that ratio. And remember to put the "degree" sign on your answer.


Trigonometric ratios of 45º

Let us now obtain the value of the trigonometric ratios of 45º. We begin with the sine and cosine, which in principle we do not know their value:

If we put aside the triangle formed by the radius of the circumference and the vertical and horizontal segments, we have a right triangle whose acute angles measure 45º:

At the same time, it is an isosceles triangle, whose base is 1 and whose two equal sides we do not know, which we have called x:

Bearing in mind that it is a right triangle and that its two legs measure the same, we will use Pythagoras to calculate how much each of these sides measure:

At this point, we rationalize the root and we are left with it:

So we already know the value of both sides:

These values therefore correspond to the sine of 45º and the cosine of 45º:

Once we know the sine of 45º and the cosine of 45º, we can calculate the tangent of 45º:

And knowing the tangent of 45º, we can calculate the cotangent of 45º:

These are the trigonometric ratios for 45º:


Trigonometric ratios of 0°, 90°, 180° and 270°

Angle 0°

Consider triangle OPQ, with respect to angle QOP, OP is the adjacent, OQ the hypotenuse and QP the opposite side.

As angle QOP decreases, QP becomes smaller and smaller and OP becomes bigger and bigger. When angle QOP is zero, OP and OQ become equal and on the same line and QP becomes zero.

When angle QOP = 0°, opposite side QP = 0 units, adjacent side OP = hypotenuse OQ = 1

Angle 180°

Consider triangle OSR, with respect to angle SOR, OS is the adjacent, OR the hypotenuse and SR the opposite side.

To find the trigonometric ratio of ROP, we find the trigonometric ratios of angle SOR while considering the distance of a point to the positive or negative point of the origin.

As angle SOR decreases, SR becomes smaller and smaller and OS becomes bigger and bigger. When angle SOR is zero, OS and OR become equal and on the same line, and SR becomes zero.

Thus, when angle SOR = 0°, angle ROP = 180°, opposite side, SR = 0 units, adjacent side, OS = hypotenuse, OR = -1

Taking the hypotenuse, the radius of the circle to be zero, we have the following

Angle 90° and 270°

Using the same argument for angles 90° and 270°, we have the following results


شاهد الفيديو: 1- النسب المثلثيه في المثلثات القائمه للصف العاشر المتقدم والحادي عشر العام (شهر اكتوبر 2021).