مقالات

11.3: قانون جيب التمام - الرياضيات


في القسم 11.2 ، قمنا بتطوير قانون الجيب (Theorem ref {lawofsines}) لتمكيننا من حل المثلثات في "Angle-Angle-Side" (AAS) و "Angle-Side-Angle" (ASA) و حالات غامضة "جانب الزاوية" (ASS). في هذا القسم ، نطور قانون جيب التمام الذي يتعامل مع حل المثلثات في index {Side-Angle-Side triangle} 'Side-Angle-Side' (SAS) و index {Side-Side-Side triangle} 'Side- حالات Side-Side (SSS). حاشية سفلية {هنا ، تعني "Side-Angle-Side" أننا حصلنا على جانبين والزاوية "المضمنة" - أي أن الزاوية المعطاة مجاورة لكلا الجانبين المحددين. } نذكر ونثبت النظرية أدناه.

Theorem ( PageIndex {1} ): قانون جيب التمام

بالنظر إلى مثلث به أزواج متقابلة من جانب الزاوية (( alpha، a) )، (( beta، b) ) و (( gamma، c) ) ، فإن المعادلات التالية تصمد

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cos ( alpha) qquad b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac cos ( beta) qquad c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos ( gamma) label {lawofcosines} ]

أو إيجاد جيب التمام في كل معادلة لدينا

[ cos ( alpha) = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} qquad cos ( beta) = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 - b ^ 2 } {2ac} qquad cos ( gamma) = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab} ]

لإثبات النظرية ، نعتبر المثلث العام برأس الزاوية ( ألفا ) في الأصل مع الجانب (ب ) على طول المحور الموجب (س ) -.

من هذا الإعداد ، وجدنا على الفور أن إحداثيات (A ) و (C ) هي (A (0،0) ) و (C (ب ، 0) ). من النظرية المرجع {cosinesinecircle} ، نعلم أنه بما أن النقطة (B (x، y) ) تقع على دائرة نصف قطرها (c ) ، فإن إحداثيات (B ) هي (B (x) ، y) = B (c cos ( alpha)، c sin ( alpha)) ). (سيكون هذا صحيحًا حتى لو كانت ( alpha ) زاوية منفرجة أو قائمة ، لذا على الرغم من أننا رسمنا الحالة عندما يكون ( alpha ) حادًا ، فإن الحسابات التالية تثبت لأي زاوية ( alpha ) مرسومة في الوضع القياسي حيث (0 < alpha <180 ^ { circ} ).) نلاحظ أن المسافة بين النقطتين (B ) و (C ) ليست سوى طول الضلع ( أ). باستخدام صيغة المسافة ، المعادلة المرجع {مسافة} ، نحصل على

[ start {array} {rclr} a & = & sqrt {(c cos ( alpha) - b) ^ {2} + (c sin ( alpha) - 0) ^ 2} & a ^ {2} & = & left ( sqrt {(c cos ( alpha) - b) ^ {2} + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha)} right) ^ 2 & a ^ 2 & = & (c cos ( alpha) - b) ^ {2} + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 cos ^ 2 ( alpha) - 2bc cos ( alpha) + b ^ 2 + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 left ( cos ^ 2 ( alpha) + sin ^ 2 ( alpha) right) + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 (1) + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha ) & text {منذ ( cos ^ 2 ( alpha) + sin ^ 2 ( alpha) = 1 )} a ^ 2 & = & c ^ 2 + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha) & end {array} ]

يمكن إظهار الصيغ المتبقية الواردة في النظرية ( PageIndex {1} ) ببساطة عن طريق إعادة توجيه المثلث لوضع رأس مختلف في الأصل. نترك هذه التفاصيل للقارئ. المهم بخصوص (a ) و ( alpha ) في الدليل أعلاه هو أن (( alpha، a) ) هو زوج مقابل جانب الزاوية و (b ) و (c ) هي الأضلاع المجاورة لـ ( alpha ) - يمكن قول الشيء نفسه عن أي زوج آخر من جوانب الزاوية المقابلة في المثلث. لاحظ أن إثبات قانون جيب التمام يعتمد على صيغة المسافة التي لها جذورها في نظرية فيثاغورس. ومع ذلك ، يمكن اعتبار قانون جيب التمام على أنه تعميم لنظرية فيثاغورس. إذا كان لدينا مثلث فيه ( gamma = 90 ^ { circ} ) ، إذن ( cos ( gamma) = cos left (90 ^ { circ} right) = 0 ) لذا نحصل على العلاقة المألوفة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). ما يعنيه هذا هو أنه بالمعنى الرياضي الأكبر ، فإن قانون جيب التمام ونظرية فيثاغورس يصلان إلى نفس الشيء إلى حد كبير. حاشية سفلية {لا ينبغي أن يكون هذا بمثابة صدمة كبيرة. يمكن إرجاع جميع النظريات في علم المثلثات في النهاية إلى تعريف الوظائف الدائرية إلى جانب صيغة المسافة ، وبالتالي ، نظرية فيثاغورس.}

مثال ( PageIndex {1} ):

حل المثلثات التالية. أعط إجابات دقيقة وتقريبًا عشريًا (تقريبًا إلى أجزاء من المئات) وارسم المثلث.

  1. ( beta = 50 ^ { circ} label {locsas} ) ، (a = 7 ) وحدة ، (c = 2 ) وحدة
  2. (أ = 4 تسمية {locsss} ) وحدات ، (ب = 7 ) وحدات ، (ج = 5 ) وحدات

المحلول

  1. لدينا أطوال ضلعين ، (a = 7 ) و (c = 2 ) ، وقياس الزاوية المضمنة ، ( beta = 50 ^ { circ} ). مع عدم وجود زوج معاكس لضلع الزاوية لاستخدامه ، نطبق قانون جيب التمام. نحصل على (b ^ 2 = 7 ^ 2 + 2 ^ 2 - 2 (7) (2) cos left (50 ^ { circ} right) ) والذي ينتج (b = sqrt {53- 28 cos left (50 ^ { circ} right)} حوالي 5.92 ) وحدة. من أجل تحديد قياسات الزوايا المتبقية ( alpha ) و ( gamma ) ، نحن مضطرون إلى استخدام القيمة المشتقة لـ (b ). هناك طريقتان للمضي قدما في هذه المرحلة. يمكننا استخدام قانون جيب التمام مرة أخرى ، أو يمكننا استخدام قانون الجيب نظرًا لأن لدينا الضلع المقابل للزاوية (( beta، b) ). ميزة استخدام قانون جيب التمام على قانون الجيب في مثل هذه الحالات هي أنه على عكس دالة الجيب ، فإن دالة جيب التمام تميز بين الزوايا الحادة والمنفرجة. جيب التمام للزاوية الحادة موجب ، بينما جيب التمام للزاوية المنفرجة سالب. نظرًا لأن جيب كل من الزوايا الحادة والمنفرجة موجبة ، فإن جيب الزاوية وحده لا يكفي لتحديد ما إذا كانت الزاوية المعنية حادة أم منفرجة. نظرًا لأن كلا مؤلفي الكتاب المدرسي يفضلان قانون جيب التمام ، فإننا نتابع بهذه الطريقة أولاً. عند استخدام قانون جيب التمام ، من الأفضل دائمًا إيجاد قياس أكبر زاوية مجهولة أولاً ، لأن هذا سيعطينا الزاوية المنفرجة للمثلث إذا كان هناك واحدًا. بما أن الزاوية الأكبر تقابل الضلع الأطول ، فإننا نختار إيجاد ( alpha ) أولاً. لتحقيق هذه الغاية ، نستخدم الصيغة ( cos ( alpha) = frac {b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2} {2bc} ) ونستبدل (a = 7 ) ، (b = sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)} ) و (c = 2 ). حصلنا على حاشية سفلية {بعد تبسيط ldots} [ cos ( alpha) = frac {2-7 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos يسار (50 ^ { circ} right)}} ] بما أن ( alpha ) زاوية في مثلث ، نعلم أن قياس الراديان لـ ( alpha ) يجب أن يقع بين (0 ) و ( pi ) راديان. يتطابق هذا مع نطاق دالة arccosine ، لذلك لدينا [ alpha = arccos left ( frac {2-7 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)}} right) ، text {radians} ، almost 114.99 ^ { circ} ] في هذه المرحلة ، يمكننا إيجاد ( gamma ) باستخدام ( gamma = 180 ^ { circ} - alpha - beta almost 180 ^ { circ} - 114.99 ^ { circ} - 50 ^ { circ} = 15.01 ^ { circ} ) ، هذا إذا كنا نثق في تقريبنا لـ ( alpha ). لتقليل انتشار الخطأ ، ومع ذلك ، يمكننا استخدام قانون جيب التمام مرة أخرى ، حاشية سفلية {سيخبرك مدرسك بالإجراء الذي يجب استخدامه. يتلخص الأمر كله في مدى ثقتك في الآلة الحاسبة.} في هذه الحالة باستخدام ( cos ( gamma) = frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab} ). بالتوصيل (a = 7 ) ، (b = sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)} ) و (c = 2 ) ، نحصل على ( gamma = arccos left ( frac {7-2 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right) }} right) ) راديان ( حوالي 15.01 ^ { circ} ). نرسم المثلث أدناه.

كما ذكرنا سابقًا ، بمجرد أن نحدد (ب ) يمكن استخدام قانون الجيب لإيجاد الزوايا المتبقية. هنا ، ومع ذلك ، يجب أن نتقدم بحذر كما نحن في حالة الغموض (ASS). يُنصح أولاً بالعثور على textit {الأصغر} من الزوايا المجهولة ، حيث إننا نضمن أنها ستكون حادة. حاشية سفلية {يمكن أن يكون هناك زاوية واحدة textit {منفرجة} في المثلث ، وإذا كانت هناك زاوية واحدة ، يجب أن يكون الأكبر.} في هذه الحالة ، سنجد ( gamma ) لأن الضلع المقابل ( gamma ) أصغر من الضلع المقابل للزاوية الأخرى غير المعروفة ، ( alpha ). باستخدام الزوج المقابل للزاوية (( beta، b) ) ، نحصل على ( frac { sin ( gamma)} {2} = frac { sin (50 ^ { circ})} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)}} ). تنتج الحسابات المعتادة ( gamma حوالي 15.01 ^ { circ} ) و ( alpha = 180 ^ { circ} - beta - gamma almost 180 ^ { circ} - 50 ^ { circ} } - 15.01 ^ { circ} = 114.99 ^ { circ} ).

  1. نظرًا لعدم إعطاء الأضلاع الثلاثة والزوايا ، فنحن مضطرون إلى استخدام قانون جيب التمام. بعد مناقشتنا في المسألة السابقة ، نجد ( beta ) أولاً ، لأنه عكس الجانب الأطول ، (ب ). نحصل على ( cos ( beta) = frac {a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2} {2ac} = - frac {1} {5} ) ، لذلك نحصل على ( beta = arccos left (- frac {1} {5} right) ) راديان ( حوالي 101.54 ^ { circ} ). كما في المسألة السابقة ، بعد أن حصلنا على زوج معاكس من جانب الزاوية (( beta ، b) ) ، يمكننا المضي قدمًا باستخدام قانون الجيب. ومع ذلك ، فإن قانون جيب التمام يوفر لنا فرصة نادرة للعثور على الزوايا المتبقية باستخدام textit {only} البيانات المعطاة لنا في بيان المشكلة. باستخدام هذا ، نحصل على ( gamma = arccos left ( frac {5} {7} right) ) راديان ( حوالي 44.42 ^ { circ} ) و ( alpha = arccos يسار ( frac {29} {35} right) ) راديان ( حوالي 34.05 ^ { circ} ).

نلاحظ أنه بناءً على عدد المنازل العشرية المنقولة من خلال الحسابات المتتالية ، واعتمادًا على الطريقة المستخدمة لحل المشكلة ، قد تختلف الإجابات التقريبية التي تحصل عليها قليلاً عن تلك التي حصل عليها المؤلفون في الأمثلة والتمارين. مثال رائع على ذلك هو الرقم المرجع {locsss} في المثال المرجع {locex} ، حيث مجموع قيم textit {التقريبي} الذي نسجله لمقاييس الزوايا هو (180.01 ^ { circ} ) ، والتي مستحيل هندسيًا. بعد ذلك ، لدينا تطبيق لقانون جيب التمام.

مثال ( PageIndex {2} ): locapplication

يرغب الباحث في تحديد عرض البركة الربيعية كما هو موضح أدناه. من نقطة (P ) ، وجد المسافة إلى أقصى نقطة من الشرق من البركة لتكون (950 ) قدمًا ، بينما المسافة إلى أقصى نقطة في الغرب من البركة من (P ) هي (1000 ) قدم. إذا كانت الزاوية بين خطي الرؤية (60 ^ { circ} ) ، فأوجد عرض البركة.

المحلول

لدينا طولا ضلعين وقياس زاوية محصورة ، لذا يمكننا تطبيق قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع المفقود المقابل للزاوية المعطاة. عند استدعاء هذا الطول (w ) (لـ textit {width}) ، نحصل على (w ^ 2 = 950 ^ 2 + 1000 ^ 2 - 2 (950) (1000) cos left (60 ^ { circ } right) = 952500 ) ومنه نحصل على (w = sqrt {952500} حوالي 976 ) قدم.

في القسم 11.2 ، استخدمنا إثبات قانون الجيب لتطوير النظرية المرجع {areaformulasine} كصيغة بديلة للمنطقة المحاطة بالمثلث. في هذا القسم ، نستخدم قانون جيب التمام لاشتقاق صيغة أخرى من هذا القبيل - صيغة هيرون.

ملاحظة: صيغة هيرون

افترض أن (أ ) و (ب ) و (ج ) تدل على أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث. لنفترض أن (s ) هو نصف مقياس المثلث ، أي دعونا (s = frac {1} {2} (a + b + c) ). ثم يتم إعطاء المنطقة (A ) المحاطة بالمثلث بواسطة

[A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} label {HeronsFormula} ]

أثبتنا النظرية المرجع {HeronsFormula} باستخدام النظرية المرجع {areaformulasine}. باستخدام اصطلاح أن الزاوية ( gamma ) مقابل الضلع (c ) ، لدينا (A = frac {1} {2} ab sin ( gamma) ) من Theorem ref { صيغة المنطقة}. لتبسيط العمليات الحسابية ، نبدأ بمعالجة تعبير (A ^ 2 ).

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & left ( dfrac {1} {2} ab sin ( gamma) right) ^ 2 & & = & dfrac {1} {4} a ^ 2 b ^ 2 sin ^ {2} ( gamma) & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left (1 - cos ^ {2} ( جاما) right) & text {منذ ( sin ^ 2 ( gamma) = 1 - cos ^ {2} ( gamma) ).} end {array} ]

يخبرنا قانون جيب التمام ( cos ( gamma) = frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab} ) ، لذلك نستبدل هذا في معادلتنا لـ (A ^ 2 ) يعطي

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left (1 - cos ^ {2} ( gamma) right) & text { hphantom {ثلاثيات مربعة مثالية.}} & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left [1 - left ( dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} { 2ab} right) ^ 2 right] & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left [1 - dfrac { left (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2} {4a ^ 2b ^ 2} right] & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left [ dfrac {4a ^ 2 b ^ 2 - left ( a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2} {4a ^ 2b ^ 2} right] & & = & dfrac {4a ^ 2 b ^ 2 - left (a ^ 2 + ب ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2} {16} & & = & dfrac {(2ab) ^ 2 - left (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2 } {16} & & = & dfrac { left (2ab - left [a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right] right) left (2ab + left [a ^ 2 + ب ^ 2 - c ^ 2 right] right)} {16} & text {فرق المربعات.} & = & dfrac { left (c ^ 2 - a ^ 2 + 2ab - b ^ 2 right) left (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2- c ^ 2 right)} {16} & end {array} ]

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac { left (c ^ 2 - left [a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 right] right) left ( left [ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 right] - c ^ 2 right)} {16} & & = & dfrac { left (c ^ 2 - (ab) ^ 2 right) left ( (a + b) ^ 2- c ^ 2 right)} {16} & text {ثلاثي الحدود التربيعية.} & = & dfrac {(c- (ab)) (c + (ab)) (( a + b) -c) ((a + b) + c)} {16} & text {اختلاف المربعات.} & = & dfrac {(b + ca) (a + cb) (a + bc) (a + b + c)} {16} & & = & dfrac {(b + ca)} {2} cdot dfrac {(a + cb)} {2} cdot dfrac { (a + bc)} {2} cdot dfrac {(a + b + c)} {2} & end {array} ]

في هذه المرحلة ، ندرك أن العامل الأخير هو نصف متر، (s = frac {1} {2} (a + b + c) = frac {a + b + c} {2} ). لإكمال الإثبات ، نلاحظ ذلك

[(s - a) = dfrac {a + b + c} {2} - a = dfrac {a + b + c-2a} {2} = dfrac {b + c-a} {2} ]

وبالمثل ، نجد ((s-b) = frac {a + c-b} {2} ) و ((s-c) = frac {a + b-c} {2} ). ومن ثم نحصل

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac {(b + ca)} {2} cdot dfrac {(a + cb)} {2} cdot dfrac {(a + bc)} {2} cdot dfrac {(a + b + c)} {2} & & = & (sa) (sb) (sc) s & end {array} ]

بحيث (A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} ) كما هو مطلوب.

نختتم بمثال على صيغة هيرون.

مثال ( PageIndex {3} ): heronex

أوجد المنطقة المحاطة بالمثلث في مثال ref {locex} number ref {locsss}.

المحلول

لدينا (أ = 4 ) ، (ب = 7 ) و (ج = 5 ). باستخدام هذه القيم ، نجد (s = frac {1} {2} (4 + 7 + 5) = 8 ) ، ((s - a) = 8-4 = 4 ) ، ((sb ) = 8-7 = 1 ) و ((sc) = 8-5 = 3 ). باستخدام صيغة هيرون ، نحصل على (A = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = sqrt {(8) (4) (1) (3)} = sqrt {96} = 4 sqrt {6} حوالي 9.80 ) وحدة مربعة. qed


II.A قياس أفقي

ربما تكون العملية الأساسية في المسح هي قياس مسافات أفقية . بالإضافة إلى قياس المسافات الأفقية ببساطة ، يمكن حساب الزوايا الأفقية عن طريق قياس ثلاثة مسافات أفقية واستخدام قانون جيب التمام. وبالتالي ، يمكن إجراء قدر كبير من المسح باستخدام جهاز قياس المسافة الأفقي فقط.

كما هو مرتبط في القسم الأول ، يتم عرض المسافات الأفقية على مستوى أفقي في مسح المستوى. يتم تحليل وتقييم قطعة من الأرض ، بغض النظر عن تضاريسها ، كما لو تم إسقاطها على مستوى أفقي. وفقًا لذلك ، كلما تمت الإشارة إلى المسافة الخطية بين أي نقطتين على سطح الأرض & # x27 ثانية ، فمن المفهوم أنها المسافة الأفقية بين النقطتين ، بغض النظر عن ارتفاعات نقاط نهاية الخط ، ما لم ينص على خلاف ذلك. لذلك ، عند قياس المسافة بين نقطتين (مثل طول جانب الكثير) ، إما أن يتم القياس على طول خط أفقي بين النقطتين أو يتم القياس على طول خط مائل بين النقطتين ، مع الأفقي المسافة المحسوبة والمسجلة. إذا تم استخدام الطريقة الأولى ، فقد يتعين إسقاط موضع إحدى نقطتي النهاية أو كلتيهما عموديًا لأعلى إلى خط القياس الأفقي. يمكن تحقيق ذلك في بعض الحالات عن طريق الشاقول.

يمكن تحديد المسافات الأفقية بعدة طرق. بعض الوسائل الشائعة هي السرعة ، والملاعب ، والشريط ، والقياس الإلكتروني.

سرعة هي وسيلة بدائية لإيجاد مسافات أفقية ، ولكنها قد تكون مفيدة إذا كانت القيم التقريبية للمسافات مقبولة. الخطوة الأولى في السرعة هي معايرة وتيرة واحدة & # x27s (خطوة). تتراوح وتيرة البالغين النموذجية & # x27s من حوالي 2 1 2 إلى 3 أقدام. بمجرد تحديد السرعة ، يمكن تقدير المسافة ببساطة عن طريق المشي على طول الخط ، وحساب عدد الخطوات (الخطوات) ، وضرب هذا الرقم في الطول بوتيرة واحدة. يجب أن يكون جهاز pacer المتمرس قادرًا على تحديد قيمة مسافة 100 قدم في 2 أو 3 أقدام في كلتا الحالتين.

ستاديا هي وسيلة لتحديد المسافات الأفقية التي تكون أكثر دقة من السرعة ، على الرغم من أنها ليست دقيقة بما يكفي لبعض الأغراض. يتم تنفيذ Stadia من خلال عرض قضيب التسوية من خلال تلسكوب عبور & # x27s. يبدو أن اثنين من الشعيرات المتصالبة في التلسكوب يتقاطعان مع القضيب عند نقطتين مختلفتين ، والمسافة بين هاتين النقطتين على القضيب تتناسب طرديًا مع المسافة من العبور إلى القضيب. ومن ثم ، من خلال ملاحظة مكان تقاطع الشعيرات المتصالبة مع القضيب ، وتحديد المسافة بين هذه النقاط ، وإجراء الحسابات المناسبة ، يمكن للمرء تقييم المسافة الأفقية. الملاعب دقيقة بشكل عام لأقرب قدم.

التسجيل هي وسيلة شائعة لتحديد المسافات الأفقية. الإجراء العام ، المعروف جيدًا للأشخاص العاديين ، هو مد شريط معاير على طول الخط ليتم قياسه وقراءة قيمة المسافة بعيدًا عن الشريط. على الرغم من أن هذا إجراء بسيط يمكن لأي شخص القيام به ، إلا أنه يجب مراعاة عدة نقاط من أجل تحقيق الدقة المطلوبة بشكل عام في المسح.

لتبدأ ، كما نوقش سابقًا ، في قياس المسافة بين نقطتين ، إما أن يتم القياس على طول خط أفقي بين النقطتين أو يتم القياس على طول خط مائل بين النقاط ، مع حساب المسافة الأفقية وتسجيلها. إذا تم إجراء قياس على طول سطح أفقي مستقيم ، فلا توجد مشكلة في إبقاء الشريط أفقيًا ، حيث يمكن شده بإحكام على طول السطح الأفقي. في حالات أخرى ، يمكن تحقيق محاذاة أفقية للشريط ، على الأقل تقريبًا ، باستخدام شاقول في أحد طرفي الشريط أو كلاهما وتمديد الشريط بإحكام.

هناك نقطة أخرى يجب مراعاتها وهي أنه يجب شد الشريط في خط مستقيم بين نقاط نهاية الخط. على الرغم من أن هذا قد يبدو أمرًا بسيطًا ، إلا أنه قد يكون صعبًا في بعض الحالات ، مثل قياس المسافات من خلال الشجيرات الثقيلة. يجب على المرء أيضًا توخي الحذر عند قياس مسافات أطول من طول شريط واحد. عند حدوث ذلك ، يجب وضع علامة على النقاط المؤقتة كنقاط نهاية متتالية للشريط ، وكل علامة من هذا القبيل تقدم فرصة لتحمل الخطأ.

إذا كان يجب إجراء قياس دقيق للغاية عن طريق التسجيل ، فقد يكون من الضروري حساب تصحيحات لظواهر مختلفة وتطبيقها على طول تم قياسه للحصول على الطول الصحيح. على سبيل المثال ، قد يكون شريطًا معينًا قصيرًا جدًا أو طويلًا جدًا نتيجة التصنيع غير الكامل والتآكل وما إلى ذلك. من الواضح أن المسافة التي يتم قياسها بشريط قصير جدًا أو طويل جدًا ستعطي قيمة خاطئة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن المسافة المقاسة عرضة للخطأ الناجم عن تمدد وانكماش الشريط نتيجة للتغير في درجة الحرارة. ينتج الخطأ في القياس أيضًا عندما يتم سحب الشريط إما بإحكام شديد أو غير محكم بدرجة كافية. أخيرًا ، يحدث خطأ في القياس إذا كان الشريط يتدلى عندما يكون مدعومًا فقط عند نقاط نهايته.

في كل حالة من هذه الحالات ، يكون مقدار الخطأ الفعلي في القيمة المقاسة صغيرًا جدًا في العادة وغالبًا ما يتم إهماله. ومع ذلك ، إذا كان القياس الدقيق للغاية مطلوبًا ، تتوفر الصيغ لتصحيحات الحساب لكل حالة ، ويمكن تطبيق التصحيح الكلي على المسافة المقاسة لتحديد القيمة الصحيحة.

تُعرف الأجهزة المطورة حديثًا لقياس المسافات باسم قياس المسافة الإلكترونية (EDM) الأجهزة. يجدون أطوالًا بناءً على تغيرات الطور التي تحدث عندما يتم إرسال الطاقة الكهرومغناطيسية ("إشارة") من نقطة إلى نقطة ثانية والعودة إلى النقطة الأولى. مع معرفة الطول الموجي وطول وقت السفر ، يمكن حساب المسافة بين النقطتين. في الممارسة العملية ، يتم وضع جهاز EDM ، الذي يظهر مثال له في الشكل 1 ، فوق نقطة واحدة ويتم وضع هدف عاكس فوق النقطة الأخرى. يتم إرسال الإشارة والوقت المسجل والمسافة المحسوبة. (يجب أن يكون مفهوما أن هذا الوصف لتشغيل جهاز EDM مفرط في التبسيط.)

شكل 1 . جهاز إلكتروني لقياس المسافة.

في أجهزة EDM الأولى ، كانت "الإشارة" عبارة عن شعاع ضوئي. في وقت لاحق ، تم استخدام الموجات الدقيقة والليزر عالية التردد. جعلت التطورات الحديثة الأجهزة أصغر حجمًا وأخف وزنًا وأسهل في الاستخدام وقادرة على إعطاء قراءة مباشرة للمسافة.

يمكن استخدام أجهزة EDM لقياس المسافات الطويلة جدًا مع إعطاء نتائج دقيقة للغاية - بترتيب 50 ميل ± 2.6 قدم (80 كم ± 0.80 م). إنها مفيدة للغاية في قياس المسافات الطويلة والأخرى التي يصعب قياسها بطريقة أخرى (مثل المسافة عبر بحيرة كبيرة).


قانون جيب التمام: دليل بدون كلمات

أحاول إثبات قانون جيب التمام باستخدام الرسم التخطيطي التالي المأخوذ من طبعة توماس حساب التفاضل والتكامل الحادي عشر.

لدي إجابة ، لكنني أعتقد أنه يجب أن تكون هناك طريقة أبسط أو أفضل للقيام بذلك. ها هي جوابي:

قم ببناء نظام إحداثيات بحيث يقع $ (0،0) $ في الركن الأيمن السفلي من المثلث المصور. ثم يتقاطع الخط الأحمر مع الوتر عند $ (- a، 0) $ وساق عند $ (- b cos theta، b sin theta) $. وبالتالي فإن تربيع المسافة $ c $ من $ (- a، 0) $ إلى $ (- b cos theta، b sin theta) $ هي start c ^ 2 & amp = (- b cos theta - (- a)) ^ 2 + (b sin theta) ^ 2 & amp = a ^ 2-2ab cos theta + b ^ 2 cos ^ 2 theta + b ^ 2 sin ^ 2 theta & amp = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos theta. نهاية

أشعر أنه يجب أن تكون هناك طريقة أبسط ، لأن دليلي يتجاهل بشكل أساسي المثلث القائم الزاوية ، والدائرة ، وما إلى ذلك. إذا تمكن شخص ما من إظهار دليل آخر لي ، فسيكون ذلك رائعًا. شكرا.

تحديث: يبدو أنني كنت بحاجة إلى نظرية الأوتار المتقاطعة من الهندسة لكتابة $ (a + c) (a-c) = (2a cos theta-b) (b) $.


قانون جيب التمام - مشاكل الرياضيات


    يقع قاربان من ارتفاع 150 مترًا فوق سطح البحيرة بزاوية عمق 57 درجة و 39 درجة. أوجد مسافة القاربين إذا كان جهاز الرؤية وكلتا السفينتين في مستوى عمودي على سطح البحيرة.
    في △ ABC a = 2 ، b = 4 و & angle C = 100 & deg. احسب طول الضلع c.
    احسب طول أضلاع المثلث ABC ، ​​إذا كانت vأ= 5 سم ، الخامسب= 7 سم والجانب ب 5 سم أقصر من الضلع أ.
    من أي قانون يتبع مباشرة صحة نظرية فيثاغورس في المثلث الأيمن؟ .
    احسب الضلع المفقود في المثلث ذي الأضلاع 17 و 34 والمساحة 275.
    احسب مساحة المثلث ومحيطه ، إذا كان طول ضلعيه 51 سم وطوله 110 سم وكانت الزاوية المثبتة بهما 130 درجة.
    حل المثلث: أ = 50 درجة ، ب = 13 ، ج = 6
    تعمل القوى الثلاث التي لها اتساع بنسبة 9:10:17 في المستوى عند نقطة واحدة لتحقيق التوازن. حدد زوايا كل قوتين.
    في شبه المنحرف ABCD هو | AB | = 73.6 ملم | قبل الميلاد | = 57 ملم | قرص مضغوط | = 60 ملم | ميلادي | = 58.6 ملم. احسب حجم زواياه الداخلية.
    AC = 40 سم ، الزاوية DAB = 38 ، الزاوية DCB = 58 ، الزاوية DBC = 90 ، DB عمودي على AC ، أوجد BD و AD
    رصدت المركبة الفضائية جهازًا رادارًا بزاوية ارتفاع ألفا = 34 درجة و 37 دقيقة ، وكانت على مسافة ش = 615 كم من نقطة مراقبة الأرض. احسب المسافة d للمركبة الفضائية من الأرض لحظة الرصد. تعتبر الأرض
    احسب محيط ومحتوى وقياسات الزوايا المتبقية للمثلث ABC ، ​​معطى: a = 8.4 β = 105 ° 35 'ومتوسط ​​ta = 12.5.
    من النقطة على الدائرة التي يبلغ قطرها 8 سم ، يقود وتران متطابقان ، والتي تشكل زاوية 60 درجة. احسب طول هذه الأوتار.
    ما هو حجم المنشور الرباعي المائل مع حواف القاعدة بطول أ = 1 م ، ب = 1.1 م ، ج = 1.2 م ، د = 0.7 م ، إذا كانت حافة جانبية بطول ع = 3.9 م لها انحراف عن قاعدة 20 ° 35 'والحواف أ ، ب تشكل زاوية 50.5 درجة.
    تم إعطاء هرم رباعي منتظم ABCDV ، حيث الحافة AB = a = 4 cm والارتفاع v = 8 cm. دع S يكون مركز السيرة الذاتية. أوجد مسافة النقطتين A و S.
    تعمل قوتان متساويتان مقدارهما 30 نيوتن على نقطة كتلة. أوجد مقدار القوة المحصلة إذا كانت هذه القوى تشكل زاوية قياسها 42 درجة.
    المتجهات ش = (1 3 -4) ، v = (0 1 1) معطاة. أوجد حجم هذه المتجهات ، وحساب زاوية المتجهات ، والمسافة بين المتجهات.
    ستغادر طائرتان من المطار في نفس الوقت ، الأولى بمسار 30 درجة والأخرى بمسار 86 درجة. كلاهما يطير بسرعة 330 كم / ساعة. كم ستكون المسافة بينهما في 45 دقيقة من الرحلة؟
    في المثلث ABC ، ​​الأطوال المعطاة لمتوسطه tc = 9 ، ta = 6. لنفترض أن T هو تقاطع المتوسطات (النقطه الوسطى للمثلث) والنقطة هي S مركز الضلع BC. حجم زاوية CTS هو 60 درجة. احسب طول الضلع BC حتى 2 d
    في المثلث ABC ، ​​احسب مقاسات جميع الارتفاعات والزوايا والمحيط ومساحتها ، إذا أعطيت a-40cm، b-57cm، c-59cm

قانون جيب التمام والعثور على المتطرف بإكمال المربع

في $ displaystyle Delta ABC $ ، $ displaystyle AB = (5-x) $ cm ، $ displaystyle BC = (4 + x) $ cm ، $ displaystyle angle AsBC = 120 <> ^ circ $ و $ displaystyle AC = y $ cm.

(أ) أظهر أن $ displaystyle <^<2>>=<^ <2>> -x + 61 دولار.

(ب) أوجد الحد الأدنى لقيمة $ displaystyle <^ <2>> $ ، وأعط قيمة $ displaystyle x $ التي يحدث هذا من أجلها.

المحلول

$ displaystyle AB = (5-x) $ cm ،
$ displaystyle BC = (4 + x) $ cm ،
$ displaystyle angle ABC = 120 <> ^ circ $
$ displaystyle AC = y $ cm.

لذلك ، <^ <2>> = << يسار ( <2>> right)> ^ <2>> + 60.75 $

منذ $ displaystyle << left ( <2>> right)> ^ <2>> ge 0 $ للجميع $ displaystyle x in R $،

displaystyle $ << left ( <2>> right)> ^ <2>> +60.75 ge 60.75 $

لذلك ، <^ <2>> ge 60.75 دولار.

لذلك فإن الحد الأدنى لقيمة $ displaystyle <^ <2>> $ is $ displaystyle 60.75 $ وتحدث هذه القيمة عندما $ displaystyle x = frac <1> <2> $.


قانون جيب التمام

في أي مثلث ، يكون مربع أي جانب مساويًا لمجموع مربع الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين وجيب التمام بينهما.

يمكننا كتابة القانون أيضًا بالشكل:
a² = b² + c² & # 8211 2bc⋅cosA
b² = a² + c² & # 8211 2ac⋅cosB

يمكننا استخدام قانون جيب التمام عندما نعرف ضلعين والزاوية بين هذين الضلعين ، لكن يمكننا أيضًا استخدامه لإيجاد الزاوية بين ضلعين عندما نعرف جميع الأضلاع.

أيضًا عندما نريد إيجاد الزوايا:

مثال 2: لدينا أ = 5 سم ، ب = 12 سم ، ج = 60 درجة. أوجد حرف c.

الحل: نظرًا لأن لدينا طولين للزاوية والزاوية بينهما ، يمكننا استخدام قانون جيب التمام لإيجاد الضلع المفقود.

$ displaystyle <^ <2>> = 25 + 144-120 cdot frac <1> <2> $

المثال 3: يقف جون على تل على مسافة 15 مترًا من المروحية. تراقب السفينة المروحية بزاوية 60 درجة وعلى مسافة 10 أمتار. اكتشف كم يبعد يوحنا عن السفينة؟

المحلول: استنادًا إلى الشكل أعلاه لمعرفة المسافة التي يبعدها John عن السفينة ، يمكننا استخدام ملف قانون جيب التمام:

x² = 15² + 10² & # 8211 2 ⋅ 15 ⋅ 10 cos60 درجة

س² = 225 + 100 & # 8211300 ⋅ $ displaystyle frac <1> <2> $

x $ displaystyle almost 13.2 $

جون هو حوالي 13.2 متر من السفينة


قانون جيب التمام - مشاكل الرياضيات


    يرى المراقب سياجًا مستقيمًا طوله 60 مترًا بزاوية رؤية 30 درجة. تبعد 102 م عن أحد طرفي السياج. ما هو بعد المراقب عن الطرف الآخر من العلبة؟
    أوجد زاوية الرؤية التي يرى فيها المراقب قضيبًا طوله 16 مترًا عندما يكون على بعد 18 مترًا من أحد الطرفين و 27 مترًا من الطرف الآخر.
    اثنين من البساتين A ، B مفصولة بغابة ، وكلاهما مرئي من بستان الصيد C ، المرتبط بكليهما بالطرق المباشرة. كم سيكون طول الطريق المسقط من A إلى B ، إذا كان AC = 5004 m ، BC = 2600 m والزاوية ABC = 53 ° 45 '؟
    تربط السكة الحديدية النقاط A و B و C في قوس دائري بمسافاتها | AB | = 30 كم ، AC = 95 كم ، قبل الميلاد | = 70 كم. ما هي المدة التي سيستغرقها المسار من A إلى C؟
    طول أضلاع المعين 10 cm ، والزاوية المحصورة بين ضلعين متجاورين 76 درجة. أوجد طول القطر الأطول للمعين.
    طول ضلعي متوازي الأضلاع 8 سم و 6 سم وزاوية الأقطار 60 درجة. ما هي مساحتها؟
    الملعب على شكل شبه منحرف ، ويبلغ طول الأضلاع المتوازية 36 م و 21 م. طول الجانبين المتبقيين 14 مترًا وطوله 16 مترًا. أوجد حجم الزوايا شبه المنحرفة الداخلية.
    احسب أكبر زاوية في المثلث الذي يبلغ ضلعه 5.2 سم و 3.6 سم و 2.1 سم
    يمكننا رؤية البركة بزاوية 65 درجة 37 '. تقع نهايته على بعد 155 مترًا و 177 مترًا من المراقب. ما هو عرض البركة؟
    احسب أكبر زاوية في المثلث الذي أحجام أضلاعه: 2 أ ، 3/2 أ ، 3 أ
    الزوايا الداخلية للمثلث هي 30 درجة و 45 درجة و 105 درجة وأطول ضلع له 10 سم. احسب طول الضلع الأقصر ، واكتب الناتج بالسنتيمتر حتى منزلتين عشريتين.
    احسب حجم زوايا المثلث ABC ، ​​إذا كان المعطى من خلال: أ = 3 سم ب = 5 سم ج = 7 سم (استخدم نظرية الجيب وجيب التمام).
    المثلث متساوي الساقين له قاعدة ABC | AB | = 16 سم وذراع طويل 10 سم. ما هو طول المتوسطات؟
    المثلث ABC له أطوال أضلاعه m-1 و m-2 و m-3. ما الذي يجب أن يكون م ليكون مثلثًا أ) مستطيلًا ب) ذو زاوية حادة؟
    في المعين أ = 160 سم ، ألفا = 60 درجة. احسب أطوال الأقطار.
    أوجد مساحة المثلث بالقياسات المعطاة. قرب المحلول لأقرب جزء من مائة إذا لزم الأمر. أ = 50 درجة ، ب = 30 قدمًا ، ج = 14 قدمًا
    حجم المتجه u يساوي 12 وحجم المتجه v يساوي 8. الزاوية بين المتجهين هي 61 درجة. ما مقدار المتجه u + v؟
    احسب طول قطري المعين إذا كان طول ضلعه 5 وإحدى زواياه الداخلية 80 درجة.
    إحداثيات الرءوس المستوية: K [11، -10] L [10، 12] M [1، 3] تعطي المثلث KLM. احسب مساحتها وزواياها الداخلية.
    احسب أكبر زاوية مثلث مع أضلاعه 197 ، 208 ، 299.

إثبات قانون جيب التمام

الرياضيات في المدرسة الثانوية بناءً على الموضوعات المطلوبة لامتحان Regents الذي أجرته NYSED.

ما هو قانون جيب التمام؟
يمكننا استخدام قانون جيب التمام لإيجاد طول ضلع أو حجم زاوية.
بالنسبة لمثلث به جوانب أ ، ب ، ج وزوايا أ ، ب ، ج ، يمكن كتابة قانون جيب التمام على النحو التالي:
للعثور على الجانب:
[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc Cos A ]
يمكننا إعادة ترتيب الصيغة أعلاه لإيجاد الزاوية:
[ cos A = frac <<+ - >> <<2bc>> ]

كيف تشتق قانون جيب التمام؟

علم المثلثات - اشتقاق قانون جيب التمام

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


إشراك الطلاب: قانون جيب التمام

في صفي التخرجي لمعلمي الرياضيات في المرحلة الثانوية في المستقبل ، أطلب من طلابي التفكير في أفكار الانخراط طلابهم بمواضيع مختلفة في منهج الرياضيات الثانوي. بعبارة أخرى ، كان الهدف من المهمة هو عدم وضع خطة درس كاملة حول هذا الموضوع. بدلاً من ذلك ، طلبت من طلابي التفكير في ثلاث طرق مختلفة لجذب اهتمام طلابهم بالموضوع في المقام الأول.

أخطط لمشاركة بعض من أفضل هذه الأفكار على هذه المدونة (بعد أن طلبت إذنًا من طلابي & # 8217 بالطبع).

جاء تقديم الطالب هذا من تلميذي السابق أليسون ميتلزلر. موضوعها ، من Precalculus: قانون جيب التمام.

ما هي المشكلات الكلامية المثيرة للاهتمام (أي التي لم تتم مناقشتها) باستخدام هذا الموضوع والتي يمكن للطلاب القيام بها الآن؟

تعتبر مشاكل الكلمات في العالم الحقيقي مشاركة فعالة لأن الطلاب يمكنهم فعلاً الارتباط بالأحداث التي تحدث في المشكلة. فيما يلي مشكلتان من الكلمات حيث يتعامل أحدهما مع آثار أقدام الحيوانات والآخر يتحدث عن فناني الأرجوحة.
1. يمكن للعلماء استخدام مجموعة من آثار الأقدام لحساب زاوية خطوة الكائن الحي ، وهي مقياس لكفاءة المشي. كلما اقتربت زاوية الخطوة من 180 درجة ، زادت كفاءة سير الكائن الحي. بناءً على الرسم التخطيطي لآثار أقدام الديناصورات ، ابحث عن زاوية الخطوة B.
2. The diagram shows the paths of two trapeze artists who are both 5 feet tall when hanging by their knees. The “flyer” on the left bar is preparing to make hand-to-hand contact with the “catcher” on the right bar. At what angle (theta) will the two meet?
The problems were obtained from http://www.muhsd.k12.ca.us/cms/lib5/CA01001051/Centricity/Domain/547/Trig/13-6%20Law%20of%20Cosines.pdf.

How could you as a teacher create an activity or project that involves your topic?

Activities are a great way to engage students. They require the students to explore the topic and make new discoveries. It can also benefit students who learn best by doing hands-on work. The activity, http://hilbertshotel.wordpress.com/2013/01/10/law-of-sinescosines-mapquest/ involves the law of sines, the law of cosines, and MapQuest. You will need a map of your school or just one of your school’s buildings. The students will then create triangles to figure out the length of different parts of the school. In order to do this, the students will have to use the law of cosines and sines. They will be able to measure the angles of the triangles using protractors. Then they can calculate the lengths of the sides of the triangles. You can then relate this activity to the real world job of surveyors. You would also need to point out to the students that because they are rounding their calculations of the distances and angles, there is a loss of accuracy. Also, you should note that in real life, surveyors would compute the distances using a different method in order to be completely accurate. This activity is very interesting and helps the students get a good understanding of the law of cosines.

How can technology (YouTube, Khan Academy [khanacademy.org], Vi Hart, Geometers Sketchpad, graphing calculators, etc.) be used to effectively engage students with this topic?

A video is a great way to engage students because it’s visual and auditory which helps student understand concepts better. The video below uses Vanilla Ice’s song, Ice, Ice Baby, to introduce the law of cosines. I would play it from the start until1:51. At 1:51, the video starts introducing the idea of the law of sine. Besides just introducing the general idea of the law of cosines, it also shows how it’s derived from the Pythagorean Theorem. The video also clearly states that the Pythagorean Theorem only works with right triangles so that’s why we need the law of cosines- to help solve all triangles. It points out that you cannot only solve for a side of the triangle, but also the angles of the triangle. Another reason this video is engaging is that it is a well-known song that is catchy. Thus, the students will be able to remember the connection between the video and the concept of the law of cosines.


شاهد الفيديو: إثبات قانون جيب التمام. الرياضيات. المثلث قائم الزاوية وعلم المثلثات (شهر اكتوبر 2021).