مقالات

3.1: المتطابقات الأساسية المثلثية - الرياضيات


حتى الآن نعرف بعض العلاقات بين الدوال المثلثية. على سبيل المثال ، نعرف العلاقات المتبادلة:

  1. ( csc ؛ theta ~ = ~ dfrac {1} { sin ؛ theta} qquad ) عندما ( sin ؛ theta ne 0 )
  2. ( sec ؛ theta ~ = ~ dfrac {1} { cos ؛ theta} qquad ) عندما ( cos ؛ theta ne 0 )
  3. ( cot ؛ theta ~ = ~ dfrac {1} { tan ؛ theta} qquad ) عندما يتم تعريف ( tan ؛ theta ) وليس (0 )
  4. ( sin ؛ theta ~ = ~ dfrac {1} { csc ؛ theta} qquad ) عندما يتم تعريف ( csc ؛ theta ) وليس (0 )
  5. ( cos ؛ theta ~ = ~ dfrac {1} { sec ؛ theta} qquad ) عندما يتم تعريف ( sec ؛ theta ) وليس (0 )
  6. ( tan ؛ theta ~ = ~ dfrac {1} { cot ؛ theta} qquad ) عندما يتم تعريف ( cot ؛ theta ) وليس (0 )

لاحظ أن كل من هذه المعادلات صحيحة لـ الكل الزوايا التي يتم تعريف طرفي المعادلة من أجلها. تسمى هذه المعادلات المتطابقات، وفي هذا القسم سنناقش عدة الهويات المثلثية، أي الهويات التي تنطوي على الدوال المثلثية. غالبًا ما تُستخدم هذه المطابقات لتبسيط التعبيرات أو المعادلات المعقدة. على سبيل المثال ، أحد أكثر الهويات المثلثية فائدة هي ما يلي:

[ tan ؛ theta ~ = ~ frac { sin ؛ theta} { cos ؛ theta} qquad text {when} cos ؛ theta ne 0 label {3.1} ]

لإثبات هذه الهوية ، اختر نقطة ((س ، ص) ) على الجانب النهائي من ( ثيتا ) مسافة (r> 0 ) من الأصل ، وافترض أن ( كوس ؛ theta ne 0 ). ثم (x ne 0 ) (منذ ( cos ؛ theta = frac {x} {r} )) ، لذلك حسب التعريف

[لا يوجد رقم
frac { sin ؛ theta} { cos ؛ theta} ~ = ~ dfrac {~ dfrac {y} {r} ~} {~ dfrac {x} {r} ~} ~ = ~ frac {y} {x} ~ = ~
tan ؛ ثيتا ~.
]

لاحظ كيف أثبتنا الهوية من خلال توسيع أحد جوانبها ( ( frac { sin ؛ theta} { cos ؛ theta} )) حتى حصلنا على تعبير يساوي الجانب الآخر ( ( تان ؛ ثيتا )). ربما يكون هذا هو الأسلوب الأكثر شيوعًا لإثبات الهويات. أخذ المعاملة بالمثل في الهوية أعلاه يعطي:

[ cot ؛ theta ~ = ~ frac { cos ؛ theta} { sin ؛ theta} qquad text {when} sin ؛ theta ne 0 label {3.2} ]

سنشتق الآن واحدة من أهم المتطابقات المثلثية. دع ( ثيتا ) أي زاوية بها نقطة ((س ، ص) ) على جانبها النهائي مسافة (r> 0 ) من الأصل. وفقًا لنظرية فيثاغورس ، (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) (وبالتالي (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )). على سبيل المثال ، إذا كان ( theta ) في QIII كما في الشكل 3.1.1 ، فإن أرجل المثلث الأيمن المكونة من الزاوية المرجعية لها أطوال (| x | ) و (| y | ) ( نستخدم القيم المطلقة لأن (x ) و (y ) سالبة في QIII). تنطبق نفس الوسيطة إذا كان ( theta ) في الأرباع الأخرى أو على أي من المحورين. هكذا،

[لا يوجد رقم
r ^ 2 ~ = ~ | {x} | ^ 2 ~ + ~ | {y} | ^ 2 ~ = ~ x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 ~ ،
]
لذا فإن قسمة طرفي المعادلة على (r ^ 2 ) (وهو ما يمكننا فعله منذ (r> 0 )) يعطي

[لا يوجد رقم
frac {r ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~ frac {x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~ frac {x ^ 2} {r ^ 2} ~ + ~ frac {y ^ 2} {r ^ 2} ~ = ~
يسار ( frac {x} {r} right) ^ 2 ~ + ~ left ( frac {y} {r} right) ^ 2 ~.
]

منذ ( frac {r ^ 2} {r ^ 2} = 1 ) ، ( frac {x} {r} = cos ؛ theta ) ، و ( frac {y} {r } = sin ؛ theta ) ، يمكننا إعادة كتابة هذا على النحو التالي:

[ cos ^ 2 ؛ theta ~ + ~ sin ^ 2 ؛ theta ~ = ~ 1 label {3.3} ]

يمكنك التفكير في هذا على أنه نوع من المتغير المثلثي لنظرية فيثاغورس. لاحظ أننا نستخدم الترميز ( sin ^ 2 ؛ theta ) للدلالة على (( sin ؛ theta) ^ 2 ) ، وبالمثل لجيب التمام والدوال المثلثية الأخرى. سنستخدم نفس الترميز للقوى الأخرى إلى جانب (2 ).

من الهوية المذكورة أعلاه يمكننا استنباط المزيد من الهويات. على سبيل المثال:

[ sin ^ 2 ؛ theta ~ = ~ 1 ~ - ~ cos ^ 2 ؛ theta label {3.4} ]
[ cos ^ 2 ؛ theta ~ = ~ 1 ~ - ~ sin ^ 2 ؛ theta label {3.5} ]

الذي نحصل منه (بعد أخذ الجذور التربيعية):

[ sin ؛ theta ~ = ~ pm ، sqrt {1 ~ - ~ cos ^ 2 ؛ theta} label {3.6} ]
[ cos ؛ theta ~ = ~ pm ، sqrt {1 ~ - ~ sin ^ 2 ؛ theta} label {3.7} ]

أيضًا من المتباينات (0 le sin ^ 2 ؛ theta = 1 ~ - ~ cos ^ 2 ؛ theta le 1 ) و (0 le cos ^ 2 ؛ theta = 1 ~ - ~ sin ^ 2 ؛ theta le 1 ) ، أخذ الجذور التربيعية يعطينا الحدود التالية للجيب وجيب التمام:

[-1 ~ le ~ sin ؛ theta ~ le ~ 1 label {3.8} ]
[- 1 ~ le ~ cos ؛ theta ~ le ~ 1 label {3.9} ]

إن التفاوتات المذكورة أعلاه ليست هويات (لأنها ليست معادلات) ، لكنها توفر فحوصات مفيدة على الحسابات. تذكر أننا اشتقنا تلك التفاوتات من تعريف الجيب وجيب التمام في القسم 1.4.

في المعادلة المرجع {3.3} ، ينتج عن قسمة جانبي الهوية على ( cos ^ 2 ؛ theta )

[لا يوجد رقم
frac { cos ^ 2 ؛ theta} { cos ^ 2 ؛ theta} ~ + ~ frac { sin ^ 2 ؛ theta} { cos ^ 2 ؛ theta} ~ = ~
frac {1} { cos ^ 2 ؛ theta} ~~،
]

لذلك منذ ( tan ؛ theta = frac { sin ؛ theta} { cos ؛ theta} ) و ( sec ؛ theta = frac {1} { cos ؛ theta} ) ، نحصل على:

[1 ~ + ~ tan ^ 2 ؛ theta ~ = ~ sec ^ 2 ؛ theta label {3.10} ]

وبالمثل ، فإن قسمة طرفي المعادلة ref {3.3} على ( sin ^ 2 ؛ theta ) يعطي

[لا يوجد رقم
frac { cos ^ 2 ؛ theta} { sin ^ 2 ؛ theta} ~ + ~ frac { sin ^ 2 ؛ theta} { sin ^ 2 ؛ theta} ~ = ~
frac {1} { sin ^ 2 ؛ theta} ~~،
]

لذلك منذ ( cot ؛ theta = frac { cos ؛ theta} { sin ؛ theta} ) و ( csc ؛ theta = frac {1} { sin ؛ theta} ) ، نحصل على:

[ cot ^ 2 ؛ theta ~ + ~ 1 ~ = ~ csc ^ 2 ؛ theta label {3.11} ]

مثال 3.1

بسّط (؛ cos ^ 2 ؛ theta ~ tan ^ 2 ؛ theta ؛ ).

حل

يمكننا استخدام المعادلة المرجع {3.5} للتبسيط:

[ عدد ابدأ {محاذاة *}
cos ^ 2 ؛ ثيتا ~ تان ^ 2 ؛ ثيتا ~ & = ~ كوس ^ 2 ؛ ثيتا ~ cdot ~
frac { sin ^ 2 ؛ theta} { cos ^ 2 ؛ theta} nonumber
& = ~ sin ^ 2 ؛ ثيتا
النهاية {محاذاة *} ]

مثال 3.2

بسّط (؛ 5 sin ^ 2 ؛ theta ~ + ~ 4 cos ^ 2 ؛ theta ؛ ).

حل

يمكننا استخدام المعادلة المرجع {3.1} للتبسيط:
[ عدد ابدأ {محاذاة *}
5 الخطيئة ^ 2 ؛ ثيتا ~ + ~ 4 كوس ^ 2 ؛ ثيتا ~ & = ~ 5 الخطيئة ^ 2 ؛ ثيتا ~ + ~
4 يسار (1 ~ - ~ sin ^ 2 ؛ ثيتا يمين) عدد
& = 5 sin ^ 2 ؛ theta ~ + ~ 4 ~ - ~ 4 sin ^ 2 ؛ theta nonumber
& = ~ الخطيئة ^ 2 ؛ ثيتا ~ + ~ 4
النهاية {محاذاة *} ]

مثال 3.3

اثبت أن (؛ tan ؛ theta ~ + ~ cot ؛ theta ~ = ~ sec ؛ theta ~ csc ؛ theta ؛ ).

حل

سنقوم بفك الطرف الأيسر ونوضح أنه يساوي الجانب الأيمن:

[ nonumber begin {alignat *} {3}
tan ؛ theta + cot ؛ theta ~ & = ~ frac { sin ؛ theta} { cos ؛ theta} ~ + ~
frac { cos ؛ theta} { sin ؛ theta} & {} qquad & text {(بواسطة ref {3.1} و
المرجع {3.2})} nonumber
& = ~ frac { sin ؛ theta} { cos ؛ theta} ؛ cdot ؛ frac { sin ؛ theta} { sin ؛ theta} ~ + ~
frac { cos ؛ theta} { sin ؛ theta} ؛ cdot ؛ frac { cos ؛ theta} { cos ؛ theta}
& {} qquad & text {(اضرب كلا الكسرين في (1 ))} nonumber
& = ~ frac { sin ^ 2 ؛ theta ~ + ~ cos ^ 2 ؛ theta} { cos ؛ theta ~ sin ؛ theta} & {} qquad
& text {(بعد الحصول على القاسم المشترك)} nonumber
& = ~ frac {1} { cos ؛ theta ~ sin ؛ theta} & {} qquad & text {(بواسطة ref {3.3})} nonumber
& = ~ frac {1} { cos ؛ theta} ~ cdot ~ frac {1} { sin ؛ theta} nonumber
& = ~ sec ؛ ثيتا ~ csc ؛ ثيتا
نهاية {محاذاة *} ]

في المثال أعلاه ، كيف عرفنا أن نقوم بفك الجانب الأيسر بدلاً من الجانب الأيمن؟ بشكل عام ، على الرغم من أن هذه التقنية لا تعمل دائمًا ، فمن المرجح أن يكون توسيع الجانب الأكثر تعقيدًا للهوية أسهل. والسبب هو أنه ، من خلال تعقيدها ، سيكون هناك المزيد من الأشياء التي يمكنك فعلها بهذا التعبير. على سبيل المثال ، إذا طُلب منك إثبات ذلك

[لا يوجد رقم
ثانية ؛ ثيتا ~ - ~ الخطيئة ؛ ثيتا ~ تان ؛ ثيتا ~ = ~ كوس ؛ ثيتا ~ ،
]

لن يكون هناك الكثير مما يمكنك فعله بالجانب الصحيح من تلك الهوية ؛ يتكون من مصطلح واحد ( ( cos ؛ theta )) لا يقدم أي وسيلة واضحة للتوسع.

مثال 3.4

أثبت أن (؛ dfrac {1 ~ + ~ cot ^ 2 ؛ theta} { sec ؛ theta} ~ = ~ csc ؛ theta ~ cot ؛ theta ؛ ) .

حل

من الجانبين ، يبدو الجانب الأيسر أكثر تعقيدًا ، لذلك سنقوم بتوسيع ذلك:

[ nonumber begin {alignat *} {3}
frac {1 ~ + ~ cot ^ 2 ؛ theta} { sec ؛ theta} ~ & = ~ frac { csc ^ 2 ؛ theta} { sec ؛ theta}
& {} qquad & text {(بواسطة المرجع {3.11})} nonumber
& = ~ dfrac { csc ؛ theta ~ cdot ~ dfrac {1} { sin ؛ theta}} { dfrac {1} { cos ؛ theta}} & {}
& {} [2mm] nonumber
& = ~ csc ؛ theta ~ cdot ~ frac { cos ؛ theta} { sin ؛ theta} & {} & {} nonumber
& = ~ csc ؛ theta ~ cot ؛ theta & {} qquad & text {(بواسطة ref {3.2})}
نهاية {محاذاة *} ]

عند محاولة إثبات هوية حيث يكون جانب واحد على الأقل هو نسبة التعبيرات ، التكاثر التبادلي يمكن أن تكون تقنية فعالة:

[لا يوجد رقم
frac {a} {b} ~ = ~ frac {c} {d} quad text {if and only if} quad ad ~ = ~ bc
]

مثال 3.6

أثبت أن (؛ dfrac {1 ~ + ~ sin ؛ theta} { cos ؛ theta} ~ = ~ dfrac { cos ؛ theta} {1 ~ - ~ sin ؛ ثيتا} ؛ ).

حل

الضرب التبادلي وخفض كلا الجانبين حتى يتضح أنهما متساويان:

[ عدد ابدأ {محاذاة *}
(1 ~ + ~ sin ؛ theta) (1 ~ - ~ sin ؛ theta) ~ & = ~ cos ؛ theta ~ cdot ~ cos ؛ theta nonumber
1 ~ - ~ sin ^ 2 ؛ theta ~ & = ~ cos ^ 2 ؛ ثيتا
النهاية {محاذاة *} ]

بواسطة ref {3.5} كلا طرفي المعادلة الأخيرة متساويان بالفعل. وهكذا ، فإن الهوية الأصلية تحمل.

مثال 3.7

افترض أن ( ؛ أ كوس ؛ ثيتا = ب ؛ ) و ( ؛ ج ، الخطيئة ؛ ثيتا = د ؛ ) لبعض الزاوية ( ثيتا ) وبعض الثوابت (أ ) و (ب ) و (ج ) و (د ). أظهر أن (؛ a ^ 2 c ^ 2 = b ^ 2 c ^ 2 + a ^ 2 d ^ 2 ).

حل

اضرب طرفي المعادلة الأولى في (ج ) والمعادلة الثانية بـ (أ ):
[ عدد ابدأ {محاذاة *}
ac ، cos ؛ theta ~ & = ~ bc nonumber
ac ، sin ؛ theta ~ & = ~ إعلان
النهاية {محاذاة *} ]

الآن قم بتربيع كل من المعادلات أعلاه ثم اجمعها معًا للحصول على:

[ عدد ابدأ {محاذاة *}
(ac ، cos ؛ theta) ^ 2 ~ + ~ (ac ، sin ؛ theta) ^ 2 ~ & = ~ (bc) ^ 2 ~ + ~ (ad) ^ 2 nonumber
(ac) ^ 2 left ( cos ^ 2 ؛ theta ~ + ~ sin ^ 2 ؛ theta right) ~ & = ~ b ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ a ^ 2 d ^ 2 لا يوجد رقم
a ^ 2 c ^ 2 ~ & = ~ b ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ a ^ 2 d ^ 2 qquad text {(بواسطة ref {3.3})}
النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ كيف أن ( theta ) لا يظهر في النتيجة النهائية. كانت الحيلة هي الحصول على معامل مشترك ( (ac )) لـ ( ؛ كوس ؛ ثيتا ؛ ) و ( ؛ الخطيئة ؛ ثيتا ؛ ) حتى نتمكن من استخدام ( ؛ cos ^ 2 ؛ ثيتا + الخطيئة ^ 2 ؛ ثيتا = 1 ). هذه تقنية شائعة لاستبعاد الدوال المثلثية من أنظمة المعادلات.


ترتبط العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات بالدوال المثلثية. هناك طريقتان رئيسيتان يتم من خلالهما مناقشة الدوال المثلثية: من حيث المثلثات القائمة ومن حيث دائرة الوحدة. غالبًا ما يكون تعريف المثلث القائم الزاوية للوظائف المثلثية كما هو موضح أدناه هو كيفية تقديمها.

تعريف المثلث الأيمن

ناتج الدالة المثلثية هو نسبة أطوال ضلعي مثلث قائم الزاوية. المصطلحات المستخدمة لوصف أضلاع المثلث القائم الزاوية هي الوتر والضلع المجاور والضلع المقابل ، كما هو موضح في الشكل أدناه.

يشار إلى أضلاع المثلث الأيمن كما يلي:

  • المجاور: الجانب المجاور لـ & ثيتا ليس الوتر
  • المقابل: الضلع المقابل وثيتا.
  • الوتر: الضلع الأطول في المثلث المقابل للزاوية القائمة.

يتم تحديد الدوال المثلثية بناءً على نسب ضلعي المثلث الأيمن. هناك ست دوال مثلثية: الجيب ، وجيب التمام ، والظل ، وقاطع التمام ، والقاطع ، والظل. غالبًا ما يتم اختصار هذه الوظائف كـ sin و cos و tan و csc و sec و cot. وترد تعريفاتهم أدناه.

الجيب وجيب التمام والظل هي أكثر الدوال المثلثية استخدامًا. قاطع التمام ، القاطع ، ظل التمام هي مقلوب الجيب وجيب التمام والظل ، على التوالي. على هذا النحو ، طالما أننا نتذكر تعريفات الجيب ، وجيب التمام ، والظل ، فيمكننا أخذ المعادلات لتحديد تعريفات قاطع التمام ، والقاطع ، والظل.

ما هي قيمة الخطيئة (45 درجة) ، وجيب التمام (45 درجة) ، والظل (45 درجة)؟

مشى بوب 300 متر بشكل مستقيم على تل 30 درجة ، ما هو ارتفاع بوب الذي تسلق؟

الارتفاع = مشى مسافة & # 215 خطيئة (30 درجة)
= 300 × 0.5
= 150 م

وهكذا ، وصل بوب إلى ارتفاع 150 مترًا بعد السير لمسافة 300 متر فوق منحدر التل.


3.1: المتطابقات المثلثية الأساسية - الرياضيات

تأتي الهويات المثلثية الأساسية في عدة أنواع. وتشمل هذه الهويات المتبادلة وهويات النسبة وهويات فيثاغورس والهويات المتماثلة وهويات الوظيفة المشتركة. كل من هذه الهويات تتبع مباشرة من التعريف.

نظرية الهويات المتبادلة

الهويات التالية صحيحة لجميع القيم التي تم تعريفها من أجلها:

$ sin t = dfrac <1> < csc t> $ $ tan t = dfrac <1> < cot t> $ $ ثانية t = dfrac <1> < cos t> $
$ cos t = dfrac <1> < sec t> $ $ cot t = dfrac <1> < tan t> $ $ csc t = dfrac <1> < sin t> $

دليل: من تعريف دائرة الوحدة ، لدينا $ csc t = dfrac <1>= dfrac <1> < sin t> $. البراهين على الهويات الخمس الأخرى متشابهة. & # 9830

نظرية الهويات النسبية

الهويات التالية صحيحة لجميع القيم التي تم تعريفها من أجلها:

$ sin t = dfrac < cos t> < cot t> $ $ tan t = dfrac < sin t> < cos t> $ $ sec t = dfrac < tan t> < sin t> $
$ sin t = dfrac < tan t> < sec t> $ $ tan t = dfrac < sec t> < csc t> $ $ sec t = dfrac < csc t> < cot t> $
$ cos t = dfrac < sin t> < tan t> $ $ cot t = dfrac < cos t> < sin t> $ $ csc t = dfrac < cot t> < cos t> $
$ cos t = dfrac < cot t> < csc t> $ $ cot t = dfrac < csc t> < sec t> $ $ csc t = dfrac < sec t> < tan t> $

دليل: من تعريف دائرة الوحدة ، لدينا $ tan t = dfrac= dfrac < sin t> < cos t> $. البراهين على الهويات الإحدى عشرة الأخرى متشابهة & # 9830

من بين هويات النسبة الاثني عشر المعطاة ، يتم الاستشهاد باثنتين فقط بشكل شائع ، وهما تلك التي تتضمن نسب الجيب وجيب التمام. إلى جانب هذه النسب الاثنتي عشرة ، يمكن إنتاج نسب أخرى وتبسيطها ، لكنها إما ستساوي الثابت 1 ، أو تكون ناتجًا عن دوال حساب المثلثات.

نظرية الهويات فيثاغورس

الهويات التالية صحيحة لجميع القيم التي تم تعريفها من أجلها:

$ sin ^ 2 t + cos ^ 2 t = 1 $
$ 1 + tan ^ 2 t = sec ^ 2 t $
$ 1 + cot ^ 2 t = csc ^ 2 t $

دليل: معادلة دائرة الوحدة هي $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $. بالتعويض باستخدام تعريفات دائرة الوحدة ، نحصل على أول متطابقات ثلاث. يمكن الحصول على الهويتين الأخريين بقسمة كل جانب من جوانب المعادلة على عامل مناسب & # 9830

لاحظ أن متطابقات فيثاغورس توفر طريقة للتعبير عن مربع كل دالة مثلثية في شكل بديل.

نظرية الهويات المتماثلة

الهويات التالية صحيحة لجميع القيم التي تم تعريفها من أجلها:

$ sin (-t) = - sin t $ $ tan (-t) = - tan t $ $ ثانية (-t) = + ثانية t $
$ cos (-t) = + cos t $ $ cot (-t) = - cot t $ $ csc (-t) = - csc t $

دليل: دع النقطة $ A $ على دائرة الوحدة لها إحداثيات $ (x، y) $ وطول القوس $ t $ ، مقاسة بعكس اتجاه عقارب الساعة من النقطة $ (1،0) $. حدد النقطة $ B $ لتكون النقطة على دائرة الوحدة التي يبلغ طول قوسها $ t $ ، وتقاس في اتجاه عقارب الساعة من النقطة $ (1،0) $. بمعنى آخر ، عند القياس بعكس اتجاه عقارب الساعة ، يكون طول القوس $ -t $. بعد ذلك ، من خلال التناظر عبر المحور $ x $ ، تكون إحداثيات النقطة $ B $ هي $ (x، -y) $. لذلك ، لدينا $ sin (-t) = - y = - sin t $.

إثبات هوية جيب التمام مشابه. بالنسبة لمطابقة الظل ، لدينا $ tan (-t) = dfrac < sin (-t)> < cos (-t)> = dfrac <- sin t> <+ cos t> = - tan t $.

البراهين على آخر ثلاث هويات مثلثية مماثلة لإثبات هوية الظل. & # 9830

نظرية الوظيفة المشتركة

الهويات التالية صحيحة لجميع القيم التي تم تعريفها من أجلها:

$ sin t = cos left ( dfrac < pi> <2> -t right) $ $ cos t = sin left ( dfrac < pi> <2> -t right) $
$ tan t = cot left ( dfrac < pi> <2> -t right) $ $ cot t = tan left ( dfrac < pi> <2> -t right) $
$ ثانية t = csc left ( dfrac < pi> <2> -t right) $ $ csc t = ثانية يسار ( dfrac < pi> <2> -t right) $

دليل: دع النقطة $ A $ على دائرة الوحدة لها إحداثيات $ (x، y) $ وطول القوس $ t $ ، مقاسة بعكس اتجاه عقارب الساعة من النقطة $ (1،0) $. حدد النقطة $ B $ لتكون النقطة على دائرة الوحدة التي يبلغ طول قوسها $ dfrac < pi> <2> -t $ ، مقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة من نفس النقطة. إذن ، إحداثيات النقطة $ B $ هي $ (y، x) $. لذلك ، لدينا $ cos left ( dfrac < pi> <2> -t right) = y = sin t $.


هويات الحاصل

قادتنا تعريفات وظائف حساب المثلثات إلى الهويات المتبادلة ، والتي يمكن رؤيتها في المفهوم حول هذا الموضوع. إنها تقودنا أيضًا إلى مجموعة أخرى من الهويات ، الهويات خارج القسمة.

ضع في اعتبارك أولاً دوال الجيب وجيب التمام والظل. بالنسبة لزوايا الدوران (ليس بالضرورة في دائرة الوحدة) ، يتم تحديد هذه الوظائف على النحو التالي:

بالنظر إلى هذه التعريفات ، يمكننا إظهار أن ( tan theta = dfrac < sin theta> < cos theta> ) ، طالما ( cos theta neq 0 ):

المعادلة ( tan theta = dfrac < sin theta> < cos theta> ) هي بالتالي هوية يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة دالة الظل ، بالنظر إلى قيمة الجيب وجيب التمام. .

لنلقِ نظرة على بعض المشكلات التي تتضمن متطابقات خارج القسمة.

1. أوجد قيمة ( tan theta )؟

إذا ( cos theta = dfrac <5> <13> ) و ( sin theta = dfrac <12> <13> ) ، ما قيمة ( tan theta ) ؟

3. ما هي قيمة ( cot theta )؟

إذا ( cos theta = dfrac <7> <25> ) و ( sin theta = dfrac <24> <25> ) ، ما قيمة ( cot theta ) ؟

تم سؤالك سابقًا عما إذا كان بإمكانك مساعدة صديقك في العثور على الإجابة.

يمكنك استخدام هذه المعرفة لمساعدة صديقك بقيم الجيب وجيب التمام التي قمت بقياسها لنفسك مسبقًا:

إذا ( cos theta = dfrac <17> <145> ) و ( sin theta = dfrac <144> <145> ) ، ما قيمة ( tan theta ) ؟

( tan theta = dfrac <144> <17> ). يمكننا أن نرى هذا من خلال علاقة دالة الظل:

إذا ( sin theta = dfrac <63> <65> ) و ( cos theta = dfrac <16> <65> ) ، ما قيمة ( tan theta ) ؟

( tan theta = dfrac <63> <16> ). يمكننا أن نرى هذا من خلال علاقة دالة الظل:

إذا ( tan theta = dfrac <40> <9> ) و ( cos theta = dfrac <9> <41> ) ، فما قيمة ( sin theta ) ؟

( sin theta = dfrac <40> <41> ). يمكننا أن نرى هذا من خلال علاقة دالة الظل:


تتضمن حلول Balbharati للرياضيات والإحصاء 1 (الآداب والعلوم) الفصل الثاني عشر من مجلس ولاية ماهاراشترا HSC القياسي الثالث (الدوال المثلثية) جميع الأسئلة مع شرح الحل والتفصيل. سيؤدي ذلك إلى إزالة شكوك الطلاب حول أي سؤال وتحسين مهارات التطبيق أثناء التحضير لامتحانات المجلس. ستساعدك الحلول التفصيلية خطوة بخطوة على فهم المفاهيم بشكل أفضل وتوضيح ارتباكاتك ، إن وجدت. موقع Shaalaa.com لديه حلول مجلس ولاية ماهاراشترا للرياضيات والإحصاء 1 (الآداب والعلوم) المعيار الثاني عشر HSC ولاية ماهاراشترا بطريقة تساعد الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية بشكل أفضل وأسرع.

علاوة على ذلك ، نحن في Shaalaa.com نقدم مثل هذه الحلول حتى يتمكن الطلاب من الاستعداد للامتحانات الكتابية يمكن أن تكون حلول الكتب المدرسية من Balbharati مساعدة أساسية للدراسة الذاتية وتعمل كدليل مثالي للمساعدة الذاتية للطلاب.

المفاهيم المغطاة في الرياضيات والإحصاء 1 (الآداب والعلوم) المعيار الثاني عشر لمجلس ولاية ماهاراشترا HSC الفصل 3 الدوال المثلثية هي المعادلات المثلثية وحلولها ، حلول المثلث ، الدوال المثلثية المعكوسة.

يعد استخدام حلول اختبار المجلس الثاني عشر من Balbharati تمرين الدوال المثلثية من قبل الطلاب طريقة سهلة للتحضير للامتحانات ، حيث إنها تتضمن حلولًا مرتبة حسب الفصل أيضًا. الأسئلة التي يتضمنها Balbharati Solutions هي أسئلة مهمة يمكن طرحها في الاختبار النهائي. يفضل طلاب الحد الأقصى لامتحان المجلس الثاني عشر لمجلس ولاية ماهاراشترا حلول Balbharati Textbook Solutions للحصول على درجات أكثر في الامتحان.


الدوال المثلثية الأساسية

تربط الدوال المثلثية بين زوايا المثلث القائم ونسب الأضلاع. بالنظر إلى المثلث التالي:

يتم تعريف الدوال المثلثية الأساسية لـ 0 & lt θ & lt π 2 0 & lt theta & lt frac < pi> <2> 0 & lt θ & lt 2 as

sin ⁡ θ = الوتر المقابل ، cos ⁡ θ = الوتر المجاور ، tan ⁡ θ = المجاور المقابل. يبدأ& amp sin theta = frac < text> < نص> ، & amp cos theta = frac < text> < نص> ، & amp tan theta = frac < text> < نص>. نهاية sin θ = الوتر المقابل ، cos θ = الضلع المجاور ، tan θ = المقابل المجاور.

لمراجعة التحويل بين الدرجات والراديان ، راجع الدرجات والراديان. ومع ذلك ، يأتي تعريف أكثر فائدة من دائرة الوحدة. إذا اعتبرنا دائرة نصف قطرها وحدة واحدة ، تتمركز في الأصل ، فإن الزاوية θ ثيتا θ داخل الدائرة تصف مثلثًا قائمًا عندما نضع عموديًا على المحور x x x من نقطة التقاطع مع الدائرة.

دائرة الوحدة

لاحظ أن المثلث القائم الزاوية الموصوف على هذا النحو له وتر يساوي نصف قطر الدائرة ، والضلع المجاور يساوي xxx - تنسيق النقطة (x ، y) ، (x ، y) ، (x ، y) ، و الضلع المقابل يساوي yyy-coordinate. يؤدي هذا بطبيعة الحال إلى ظهور التعريفات المكررة التالية:

تتميز هذه التعريفات بأنها متوافقة مع تعريف المثلث أعلاه ، فضلاً عن السماح بتقييم الزوايا المقابلة لأي رقم حقيقي.

هناك قيم معينة لهذه الوظائف والتي من المفيد تذكرها. هم انهم:


هل تحتاج إلى دورة رياضيات مخصصة؟
K12 | الكلية | اختبار الإعدادية

الهويات الأساسية والفيثاغورس

لاحظ كيف أن النسبة المثلثية "co- (شيء ما)" هي دائمًا متبادلة لبعض النسبة "non-co". يمكنك استخدام هذه الحقيقة لمساعدتك في الحفاظ على استقامة قاطع التمام هذا مع الجيب والقاطع مع جيب التمام.

يُطلق على ما يلي (خاصةً الأول من الثلاثة أدناه) & quot؛ Phythagorean & quot هويات.

لاحظ أن المطابقات الثلاثة قبل كل شيء تتضمن التربيع والرقم 1. يمكنك أن ترى العلاقة بين فيثاغورس وتوجد بوضوح إذا نظرت إلى دائرة الوحدة ، حيث توجد الزاوية ر، الضلع & quot المقابل & quot هو الخطيئة (ر) = ذ، الضلع & quotadjacent & quot هو cos (ر) = x ، والوتر هو 1.

لدينا هويات إضافية تتعلق بالوضع الوظيفي لنسب المثلثات:

لاحظ على وجه الخصوص أن الجيب والظل هما دالتان فرديتان ، متماثلان حول الأصل ، بينما جيب التمام هو دالة زوجية ، كونه متماثلًا حول ذ -محور. يمكن أن تكون حقيقة أنه يمكنك أخذ علامة الوسيطة & quotminus & quot للخارج (للجيب والظل) أو حذفها تمامًا (لجيب التمام) مفيدة عند التعامل مع التعبيرات المعقدة.

متطابقات الزاوية-الجمع والفرق

بالمناسبة ، في الهويات أعلاه ، يتم الإشارة إلى الزوايا بأحرف يونانية. يُطلق على الحرف من النوع "& alpha" اسم "alpha" ، ويُنطق "AL-fuh". يُطلق على الحرف من النوع "& beta" اسم "beta" ، ويُنطق "BAY-tuh".


علم المثلثات - Sin، Cos، Tan، Cot

الخطيئة: R -> R.
جميع الدوال المثلثية دورية. فترة الخطيئة هي 2 $ pi $.
نطاق الوظيفة هو [-1،1].

دالة جيب التمام

كوس: R -> R.
فترة الخطيئة هي 2 $ pi $.
نطاق الوظيفة هو [-1،1].

دالة الظل

تان: R -> R.
نطاق الوظيفة هو R. الآن ، الفترة هي $ pi $ والدالة غير محددة عند x = ($ pi $ / 2) + k $ pi $، k = 0،1،2.
الرسم البياني لوظيفة الظل في الفترة 0 - $ pi $

دالة ظل التمام

سرير: R -> R.
نطاق الوظيفة هو R. الفترة هي $ pi $ وأن الوظيفة غير معرّفة عند x = k $ pi $، k = 0،1،2.

قيم sin، cos، tan، cot بزوايا 0 & deg، 30 & deg، 60 & deg، 90 & deg، 120 & deg، 135 & deg، 150 & deg، 180 & deg، 210 & deg، 225 & deg، 240 & deg، 270 & deg، 300 & deg، 315 & deg، 330 & deg، 360 & deg

$ A ^ o $ ^ س دولار 30 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 45 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 60 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 90 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 120 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 135 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 150 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 180 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 210 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 225 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 240 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 270 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 300 دولار ^ o $ 315 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 330 دولارًا أمريكيًا ^ o $ 360 دولارًا ^ o $
$ A rad $ $ $ frac < pi> <6> $ $ frac < pi> <4> $ $ frac < pi> <3> $ $ frac < pi> <2> $ $ frac <2 pi> <3> $ $ frac <3 pi> <4> $ $ frac <5 pi> <6> $ $ pi $ $ frac <7 pi> <6> $ $ frac <5 pi> <4> $ $ frac <4 pi> <3> $ $ frac <3 pi> <2> $ $ frac <5 pi> <3> $ $ frac <7 pi> <4> $ $ frac <11 pi> <6> $ 2 دولار pi $
$ sin A $ $ $ frac <1> <2> $ $ فارك < sqrt <2>> <2> $ $ فارك < sqrt <3>> <2> $ $1$ $ فارك < sqrt <3>> <2> $ $ فارك < sqrt <2>> <2> $ $ frac <1> <2> $ $ $ - frac <1> <2> $ $ - فارك < sqrt <2>> <2> $ $ - فارك < sqrt <3>> <2> $ $-1$ $ - فارك < sqrt <3>> <2> $ $ - فارك < sqrt <2>> <2> $ $ - frac <1> <2> $ $
$ cos A $ $1$ $ فارك < sqrt <3>> <2> $ $ فارك < sqrt <2>> <2> $ $ frac <1> <2> $ $ $ - frac <1> <2> $ $ - فارك < sqrt <2>> <2> $ $ - فارك < sqrt <3>> <2> $ $-1$ $ - فارك < sqrt <3>> <2> $ $ - فارك < sqrt <2>> <2> $ $ - frac <1> <2> $ $ $ frac <1> <2> $ $ فارك < sqrt <2>> <2> $ $ فارك < sqrt <3>> <2> $ $1$
$ tan $ $ $ فارك < sqrt <3>> <3> $ $1$ $ sqrt <3> $ $-$ $ - sqrt <3> $ $-1$ $ - فارك < sqrt <3>> <3> $ $ $ فارك < sqrt <3>> <3> $ $1$ $ sqrt <3> $ $-$ $ - sqrt <3> $ $-1$ $ - فارك < sqrt <3>> <3> $ $
$ سرير A $ $-$ $ sqrt <3> $ $1$ $ فارك < sqrt <3>> <3> $ $ $ - فارك < sqrt <3>> <3> $ $-1$ $ - sqrt <3> $ $-$ $ sqrt <3> $ $1$ $ فارك < sqrt <3>> <3> $ $ $ - فارك < sqrt <3>> <3> $ $-1$ $ - sqrt <3> $ $-$

ال أسهل طريقة لتذكر القيم الأساسية للخطيئة وجيب التمام بزاوية 0 درجة ، 30 درجة ، 60 درجة ، 90 درجة:
الخطيئة ([0 ، 30 ، 45 ، 60 ، 90]) = cos ([90 ، 60 ، 45 ، 30 ، 0]) = الجذر التربيعي ([0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4] / 4)

المتطابقات الأساسية المثلثية

لكل زاوية A تقابل بالضبط نقطة واحدة P (cos (A)، sin (A)) على دائرة الوحدة.


معادلة مهمة للغاية:

$ تبدأ &اللون<1>: sin alpha = sin beta & color<2>: cos alpha = cos beta Rightarrow alpha = beta + 2k pi or & hspace <4.5cm> alpha = - beta + 2k pi & اللون<3>: tan alpha = tan beta Rightarrow alpha = beta + k pi end $

المعادلات المثلثية الأساسية:

الحل: نعلم أن $ sin frac < pi> <6> = frac <1> <2> $ وبالتالي

الحل: نعلم أن $ cos ( frac < pi> <4>) = frac < sqrt 2> <2> $ وبالتالي

الحل: نعلم أن $ tan <3>> = sqrt <3> $ وبالتالي

المعادلات المثلثية المتقدمة

الخطوة 1: لحل مشكلة $ x $ ، يجب عليك أولاً عزل مصطلح الجيب.

$ تبدأ 2 sin (2x) - 1 & = 0 2 sin (2x) & = 1 sin (2x) & = frac <1> <2> end $

الخطوة 2: نعلم أن $ sin ( frac < pi> <6>) = frac <1> <2> $ وبالتالي

$ تبدأ sin (2x) = sin ( frac < pi> <6>) mathop to limits ^ < color> & 2x = frac < pi> <6> + k pi hspace <0.5cm> text hspace <0.5cm> to x = frac < pi> <12> + k pi hspace <0.5cm> text & 2x = frac <5 pi> <6> + 2k pi hspace <1.7cm> x = frac <5 pi> <12> + k pi end $

الخطوة 1: لحل قيمة $ x $ ، عليك أولاً عزل مصطلح الظل.

الخطوة 2: نعلم أن $ tan ( frac < pi> <6>) = frac < sqrt <3>> <3> $ and $ tan (- frac < pi> <6>) = - frac < sqrt <3>> <3> $ ، لذلك

$ تبدأ tan (x) = tan ( frac < pi> <6>) & Rightarrow x = frac < pi> <6> + k pi text tan (x) = tan (- frac < pi> <6>) & Rightarrow x = - frac < pi> <6> + k pi end $

الخطوة 1: لحل قيمة $ x $ ، يجب أولاً عزل مصطلح جيب التمام.

الخطوة 2: نعلم أن $ cos ( frac < pi> <3>) = frac <1> <2> $ ، لذلك

$ تبدأ cos (2x - frac < pi> <3>) = cos ( frac < pi> <3>) mathop to limits ^ < color> & 2x - frac < pi> <3> + 2k pi text to 2x = frac < pi> <6> + 2k pi text to x = frac < pi> <12> + k pi text & 2x - frac < pi> <3> = - frac < pi> <3> + 2k pi hspace <1cm> 2x = 0 + 2k pi hspace <1cm> x = k pi نهاية $


الأرباع في علم المثلثات

تختلف علامات الدوال المثلثية الأساسية الثلاثة ، وهي الخطيئة وجيب التمام والظل ، بناءً على الربع الذي توجد فيه. ويمكن تحديد علامة كل دالة مثلثية في كل ربع باستخدام علامات الإحداثيات جنبًا إلى جنب مع العلاقات المثلثية الأساسية. يوضح الرسم البياني أدناه علامات هذه الوظائف في الأرباع المختلفة.


هل كنت تعلم؟

الجزء الأول من كلمة "رباعي" مشتق من جذر لاتيني يعني أربعة.

الاسم الشائع لمركبة لجميع التضاريس (ATV) هو "رباعي" ، سمي بإطاراتها الأربعة الكبيرة.

تشمل الكلمات الأخرى المستندة إلى نفس الجذر: رباعي ، رباعي توائم ، كوادريليون.


شاهد الفيديو: Goniometrie - Goniometrische vergelijkingen deel I HAVO wiskunde B (شهر اكتوبر 2021).