مقالات

5.3.3E: نقاط على الدوائر باستخدام الجيب وجيب التمام (تمارين) - الرياضيات


القسم 5.3 تمرين

1. ابحث عن الربع الذي تقع فيه النقطة النهائية المحددة بواسطة (t ) إذا كان

أ. ( الخطيئة (t) <0 ) و ( cos (t) <0 )
ب. ( sin (t)> 0 ) و ( cos (t) <0 )

2. ( ( sin (t) <0 ) و ( cos (t)> 0 )
ب. ( sin (t)> 0 ) و ( cos (t)> 0 )

3. النقطة (P ) على دائرة الوحدة. إذا كان (y ) - إحداثي (P ) هو ( dfrac {3} {5} ) ، و (P ) في الربع الثاني ، فابحث عن إحداثي (س ).

4. إذا كان (x ) - إحداثي (P ) هو ( dfrac {1} {5} ) ، و (P ) في الربع الرابع ، فابحث عن إحداثي (y ) .

5. إذا كان ({ rm cos} left ( theta right) = dfrac {1} {7} ) و ( theta ) في 4 ({} ^ {th} ) الربع ، ابحث عن ({ rm sin} left ( theta right) ).

6. إذا كان ({ rm cos} left ( theta right) = dfrac {2} {9} ) و ( theta ) في 1 ({} ^ {st} ) الربع ، ابحث عن ({ rm sin} left ( theta right) ).

7. إذا كان ({ rm sin} left ( theta right) = dfrac {3} {8} ) و ( theta ) في 2 ({} ^ {nd} ) الربع ، ابحث عن ({ rm cos} left ( theta right) ).

8. إذا كان ({ rm sin} left ( theta right) = - dfrac {1} {4} ) و ( theta ) في 3 ({} ^ {rd} ) رباعي ، ابحث عن ( cos left ( theta right) ).

9. لكل زاوية من الزوايا التالية ، أوجد الزاوية المرجعية والربع الذي تقع فيه الزاوية. ثم احسب جيب الزاوية وجيب التمام للزاوية.

أ. 225 ( mathrm {{} ^ circ} )
ب. 300 ( mathrm {{} ^ circ} )
ج. 135 ( mathrm {{} ^ circ} )
د. 210 ( mathrm {{} ^ circ} )

10. 120 ( mathrm {{} ^ circ} )
ب. 315 ( mathrm {{} ^ circ} )
ج. 250 ( mathrm {{} ^ circ} )
د. 150 ( mathrm {{} ^ circ} )

11. ( dfrac {5 pi} {4} )
ب. ( dfrac {7 pi} {6} )
ج. ( dfrac {5 pi} {3} )
د. ( dfrac {3 pi} {4} )

12. ( dfrac {4 pi} {3} )
ب. ( dfrac {2 pi} {3} )
ج. ( dfrac {5 pi} {6} )
د. ( dfrac {7 pi} {4} )

13. أعط القيم الدقيقة لـ ({ rm sin} left ( theta right) ) و ({ rm cos} left ( theta right) ) لكل زاوية من هذه الزوايا.

أ. (- dfrac {3 pi} {4} )
ب. ( dfrac {23 pi} {6} )
ج. (- dfrac { pi} {2} )
د. (5 بي )

14. (- dfrac {2 pi} {3} )
ب. ( dfrac {17 pi} {4} )
ج. (- dfrac { pi} {6} )
د. (10 ​​ بي )

15. جد زاوية ( ثيتا ) مع (0 < theta <360 {} ^ circ ) أو (0 < theta <2 pi ) التي لها نفس قيمة الجيب مثل:

أ. ( dfrac { pi} {3} )
ب. 80 ( mathrm {{} ^ circ} )
ج. 140 ( mathrm {{} ^ circ} )
د. ( dfrac {4 pi} {3} )
ه. 305 ( mathrm {{} ^ circ} )

16. ( dfrac { pi} {4} )
ب. 15 ( mathrm {{} ^ circ} )
ج. 160 ( mathrm {{} ^ circ} )
د. ( dfrac {7 pi} {6} )
ه. 340 ( mathrm {{} ^ circ} )

17. جد زاوية ( ثيتا ) مع (0 < theta <360 {} ^ circ ) أو (0 < theta <2 pi ) التي لها نفس قيمة جيب التمام مثل:

أ. 305 ( mathrm {{} ^ circ} )

18. 340 ( mathrm {{} ^ circ} )

19. أوجد إحداثيات النقطة على دائرة نصف قطرها 15 يقابل زاوية 220 ( mathrm {{} ^ circ} ).

20. أوجد إحداثيات النقطة على دائرة نصف قطرها 20 يقابل زاوية 280 ( mathrm {{} ^ circ} ).

21. تسير مارلا في اتجاه عقارب الساعة حول مسار دائري. تجري بسرعة ثابتة تبلغ 3 أمتار في الثانية. تستغرق 46 ثانية لإكمال لفة واحدة من المضمار. من نقطة البداية ، تستغرق 12 ثانية للوصول إلى أقصى نقطة شمالية للمضمار. افرض نظام إحداثيات مع مركز المسار في الأصل ، والنقطة الشمالية على المحور الموجب (ص ). [UW]

أ. أعط إحداثيات مارلا عند نقطة البداية.
ب. أعط إحداثيات مارلا عندما كانت تعمل لمدة 10 ثوانٍ.
ج. أعط إحداثيات مارلا عندما كانت تعمل لمدة 901.3 ثانية.

إجابه

1. أ. ثالثا
ب. II

3. (- dfrac {4} {5} )

5. (- dfrac {4 sqrt {3}} {7} )

7. (- dfrac { sqrt {55}} {8} )

9. المرجع: (45 ^ { circ} ). الربع الثالث. الخطيئة ( (225 ^ { circ} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} ). cos ( (225 ^ { circ} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} )
ب. المرجع: (60 ^ { circ} ). الربع الرابع. الخطيئة ( (300 ^ { circ} )) = (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). cos ( (300 ^ { circ} )) = ( dfrac {1} {2} )
ج. الربع الثاني. الخطيئة ( (135 ^ { circ} )) = ( dfrac { sqrt {2}} {2} ). cos ( (135 ^ { circ} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} )
د. المرجع: (30 ^ { circ} ). الخطيئة ( (210 ^ { circ} )) = (- dfrac {1} {2} ). cos ( (210 ^ { circ} )) = (- dfrac { sqrt {3}} {2} )

11. المرجع: ( dfrac { pi} {4} ). الخطيئة ( ( dfrac {5 pi} {4} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} ). cos ( ( dfrac {5 pi} {4} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} )
ب. المرجع: ( dfrac { pi} {6} ). الخطيئة ( ( dfrac {7 pi} {6} )) = (- dfrac {1} {2} ). cos ( ( dfrac {7 pi} {6} )) = (- dfrac { sqrt {3}} {2} )
ج. المرجع: ( dfrac { pi} {3} ). الخطيئة ( ( dfrac {5 pi} {3} )) = (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). cos ( ( dfrac {5 pi} {3} )) = ( dfrac {1} {2} )
د. الخطيئة ( dfrac {3 pi} {4} )) = ( dfrac { sqrt {2}} {2} ). cos ( ( dfrac {3 pi} {4} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} )

13. الخطيئة ( (- dfrac {3 pi} {4} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} ) cos ( (- dfrac {3 pi} {4} )) = (- dfrac { sqrt {2}} {2} )
ب. الخطيئة ( ( dfrac {23 pi} {6} )) = (- dfrac {1} {2} ) cos ( ( dfrac {23 pi} {6} )) = ( dfrac { sqrt {3}} {2} )
ج. الخطيئة ( (- dfrac { pi} {2} )) = -1 cos ( (- dfrac { pi} {2} )) = 0
د. الخطيئة ((5 بي) ) = 0 كوس ((5 بي) ) = -1

15. ( dfrac {2 pi} {3} )
ب. (100 ^ { circ} )
ج. (40 ^ { circ} )
د. ( dfrac {5 pi} {3} )
ه. (235 ^ { circ} )

17. ( dfrac {5 pi} {3} )
ب. (280 ^ { circ} )
ج. (220 ^ { circ} )
د. ( dfrac {2 pi} {3} )
ه. (55 ^ { circ} )

19. (-11.491, -9.642)


منطقة ( مثلث ABC ) = ( فارك <1> <2> مرات نقاط مرات AC )

( خطيئة قبعة = ldots ) ​​و (تيار متردد = نقاط مرات نقاط )

لذلك المنطقة ( مثلث ABC ) = ( ldots times ldots times ldots times ldots )

كيف يختلف ( مثلث A'B'C ') عن ( مثلث ABC )؟

احسب المساحة ( المثلث A'B'C ').

استخدم نتائجك لكتابة معادلة عامة لتحديد مساحة ( مثلث PQR ):

لأي ( مثلث ABC ) مع (AB = c ، BC = a ) و (AC = b ) ، يمكننا بناء ارتفاع عمودي ( (h )) من الرأس (A ) إلى السطر (BC ):

يبدأ خطيئة قبعة& أمبير = فارك وبالتالي h & amp = c sin hat نهاية

يبدأ نص مثلث ABC & amp = frac <1> <2> times a times h & amp = frac <1> <2> times a times c sin hat لذلك نص مثلث ABC & amp = frac <1> <2> ac sin hat نهاية

بدلا من ذلك ، يمكننا كتابة ذلك

يبدأ خطيئة قبعة& أمبير = فارك وبالتالي h & amp = b sin hat نهاية

وبعد ذلك سيكون لدينا ذلك

يبدأ نص مثلث ABC & amp = frac <1> <2> times a times h & amp = frac <1> <2> ab sin hat نهاية

وبالمثل ، من خلال إنشاء ارتفاع عمودي من قمة الرأس (B ) إلى الخط (AC ) ، يمكننا أيضًا إظهار تلك المنطقة ( مثلث ABC = frac <1> <2> bc sin hat ) .

حكم المنطقة


الجزء 2: كيف يعمل نظام الإحداثيات Touhou Danmakufu ph3؟

كما هو مذكور في الدرس 6 ، فإن نظام إحداثيات Danmakufu ليس هو نفسه الذي يتم تدريسه في معظم دورات الرياضيات. نظرًا لأن الأصل (لأولويات التجسيد بين 0.20 و 0.80) يقع في الزاوية اليسرى العليا ، يزداد اتجاه x كلما تحركت إلى اليمين بينما يزداد اتجاه y كلما تحركت لأسفل. باستخدام نفس النظام ، تزداد الزوايا من 0 إلى 360 بدءًا من اليمين مباشرةً وتزداد في اتجاه عقارب الساعة بحيث تكون 90 درجة لأسفل مباشرةً ، و 180 درجة لليسار مباشرةً ، و 270 درجة لأعلى بشكل مستقيم.

في هذا الدرس ، سنحتاج إلى مراعاة العوامل الثلاثة عندما نتعامل مع الزوايا وأنظمة الإحداثيات.

كما هو موضح في الدروس السابقة ، يمكننا إنشاء رمز نقطي 10 بكسل على يسار الرئيس و 5 بكسل فوق الرئيس عن طريق تعيين المعلمة x الخاصة بـ CreateShot إلى ObjMove_GetX (objBoss) -10 وعن طريق تعيين المعلمة y على ObjMove_GetY (objBoss) -5. سوف نستخدم هذا في الجزء التالي.


PCC SLC Math Resources

الرسم البياني للوظيفة (y = sin (t) ).

على الرغم من أن قيم دالة الجيب تعتمد على الرسم البياني لدائرة الوحدة ، يمكن رسم الوظيفة نفسها. على سبيل المثال ، لأن ( sin left ( frac < pi> <2> right) = 1 ) ستكون نقطة واحدة على الرسم البياني (y = sin (t) ) ستكون ( يسار ( frac < pi> <2>، 1 right) text <.> )

يظهر رسم بياني لـ (y = sin (t) ) في الشكل 16.4.1. سنقوم بتطوير هذا الرسم البياني ، لكنني أريد أولاً مساعدتك على فهم العلاقة بين (y ) - إحداثيات النقطة على دائرة الوحدة والنقطة المقابلة على الرسم البياني (y = sin (t) ) text <> ) العلاقة هي أنهما متماثلان! انطلق واسحب شريط التمرير. لاحظ أنه بينما تدور النقطة على دائرة الوحدة بشكل دائري ، يتم تتبع الرسم البياني لـ (y = sin (t) ) وفي جميع الأوقات (y ) - الإحداثيات على دائرة الوحدة و (y = sin (t) ) هي نفسها.

الاستكشاف 16.4.1.

عدة أزواج من الرسوم البيانية على وشك أن تقدم. من المهم أن تدرك حقيقة أن المتغيرات على المحاور الأفقية في الرسوم البيانية لدائرة الوحدة هي (س ) بينما المتغيرات الموجودة على المحاور الأفقية في الرسوم البيانية (ص = الخطيئة (t) ) هي (t نص <.> )

في الشكل 16.4.2 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من (0 ) إلى ( frac < pi> <2> text <،> ) (y ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة يزداد باطراد من (0 ) إلى (1 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني (y = sin (t) text <،> ) حيث (t ) يزيد من (0 ) إلى ( frac < pi> <2> text <،> ) قيمة الوظيفة ( (y )) سوف زيادة مطردة من (0 ) إلى (1 نص <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.3.

في الشكل 16.4.4 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من ( frac < pi> <2> ) إلى ( pi text <،> ) (y ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة يتناقص بثبات من (1 ) إلى (0 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني (y = sin (t) ) text <،> ) as (t ) يزيد من ( frac < pi> <2> ) إلى ( pi text <،> ) قيمة الوظيفة ( (y ) ) سينخفض ​​أيضًا بثبات من (1 ) إلى (0 نص <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.5.

في الشكل 16.4.6 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من ( pi ) إلى ( frac <3 pi> <2> text <،> ) (y ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة يتناقص بثبات من (0 ) إلى (- 1 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني (y = الخطيئة (t) text <،> ) حيث يزيد (t ) من ( pi ) إلى ( frac <3 pi> <2> text <،> ) قيمة الوظيفة ( ( y )) ستنخفض بشكل مطرد من (0 ) إلى (- 1 نص <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.7.

في الشكل 16.4.8 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من ( frac <3 pi> <2> ) إلى (2 pi text <، > ) (y ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة يزداد باطراد من (- 1 ) إلى (0 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني (y = ) الخطيئة (t) text <،> ) حيث يزيد (t ) من ( frac <3 pi> <2> ) إلى (2 pi text <،> ) قيمة الوظيفة ( (y )) ستزيد بشكل مطرد من (- 1 ) إلى (0 نص <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.9.

الرسم البياني للوظيفة (y = cos (t) ).

كما هو الحال مع دالة الجيب ، بينما تعتمد قيم دالة جيب التمام على الرسم البياني لدائرة الوحدة ، فإن الوظيفة نفسها تنتج الرسم البياني الخاص بها.

في الشكل 16.4.10 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من (0 ) إلى ( frac < pi> <2> text <،> ) (x ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة يتناقص بثبات من (1 ) إلى (0 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني لـ (y = cos (t) text <،> ) حيث (t ) يزيد من (0 ) إلى ( frac < pi> <2> text <،> ) قيمة الوظيفة ( (y )) سوف ينخفض ​​أيضًا بثبات من (1 ) إلى (0 نص <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.11.

في الشكل 16.4.12 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من ( frac < pi> <2> ) إلى ( pi text <،> ) (x ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة يتناقص بثبات من (0 ) إلى (- 1 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني لـ (y = cos ( t) text <،> ) حيث (t ) يزيد من ( frac < pi> <2> ) إلى ( pi text <،> ) قيمة الوظيفة ( (y ) )) سينخفض ​​بثبات من (0 ) إلى (- 1 نص <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.13.

في الشكل 16.4.14 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من ( pi ) إلى ( frac <3 pi> <2> text <،> ) (x ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة يزداد باطراد من (- 1 ) إلى (0 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني (y = cos (t) text <،> ) حيث يزيد (t ) من ( pi ) إلى ( frac <3 pi> <2> text <،> ) قيمة الوظيفة ( ( y )) ستزيد بشكل مطرد من (- 1 ) إلى (0 text <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.15.

في الشكل 16.4.16 ، نرى أنه عند السفر حول دائرة الوحدة ، حيث تزيد قيمة (t ) من ( frac <3 pi> <2> ) إلى (2 pi text <، > ) (x ) - يزداد تنسيق النقطة على دائرة الوحدة بشكل مطرد من (0 ) إلى (1 نص <.> ) وهذا يعني أنه على الرسم البياني لـ (y = cos (t) text <،> ) حيث (t ) يزيد من ( frac <3 pi> <2> ) إلى (2 pi text <،> ) قيمة الوظيفة ( (y )) ستزيد بشكل مطرد من (0 ) إلى (1 text <.> ) وهذا موضح في الشكل 16.4.17.

نعلم أننا نوجه انتباهنا إلى اللغة الخاصة بالوظائف المثلثية.

الوظائف الدورية / الخصائص الأساسية للرسوم البيانية لوظائف الجيب وجيب التمام.

يقال إن دالة غير ثابتة ، (f text <،> ) إذا كان هناك ثابت غير صفري ، (k text <،> ) مع الخاصية التي (f (t + k ) = f (t) ) لجميع قيم (t text <.> )

إذا كانت الدالة (f ) دورية ، فإن أصغر قيمة موجبة ، (p text <،> ) تفي (f (t + p) = f (t) ) لجميع قيم ( يتم تعريف t ) على أنه الوظيفة (f text <.> )

فترتا (y = sin (t) ) و (y = cos (t) ) كلاهما (2 pi text <.> ) هذا في الغالب بديهي إذا فكرت في كيفية يتم تحديد وظيفتين من حيث إحداثيات النقاط على طول دائرة الوحدة. في كل مرة (t ) ينتقل (2 pi ) حول دائرة الوحدة ، يعود إلى النقطة التي بدأت عندها ، وبالتالي فإن قيم كل من ( sin (t) ) و ( cos (t) ) تعود أيضًا إلى القيم التي بدأت عندها.

يوضح الشكل 16.4.18 ما يزيد قليلاً عن ثلاث فترات كاملة للدالة (y = sin (t) ) ويوضح الشكل 16.4.19 ما يزيد قليلاً عن ثلاث فترات للوظيفة (y = cos (t) ) نص <.> )

أحد الأشياء المثيرة للاهتمام التي يجب ملاحظتها حول الرسوم البيانية هو أنك إذا أثرت على تحول يسار لـ ( frac < pi> <2> ) على الرسم البياني (y = sin (t) text <،> ) المنحنى الناتج هو (y = cos (t) text <.> ) وبالمثل ، يتأثر التحول إلى اليمين لـ ( frac < pi> <2> ) على الرسم البياني لـ (y = cos (t) ) ينتج عن المنحنى (y = sin (t) text <.> ) هاتان الحقيقتان تؤديان إلى الهويتين التاليتين.

من المهم أن نفهم تمامًا أن هذا السلوك الدوري المتكرر لكل من وظائف الجيب وجيب التمام يستمر إلى الأبد في كلا الاتجاهين. هذا مهم بشكل خاص في العلوم ، وعلى الأخص في الفيزياء.تنتقل العديد من الجسيمات على طول المسارات ، أي المسارات التي يمكن نمذجتها باستخدام دالة الجيب (المعدلة). الفوتونات (الجسيمات التي تولد الضوء) هي أحد هذه الجسيمات. بدون الاستمرارية الأبدية للموجة الجيبية ، لن يصل إلينا ضوء الشمس - النجوم البعيدة كثيرًا -. لنكون صادقين ، يمكن أن تختلف فترة مسار الفوتون بمرور الوقت ، لكن السلامة الأساسية للموجة الجيبية تظل سليمة حتى يمتص الفوتون بواسطة جسم ما (عينك؟).

من الناحية التخطيطية ، نعتقد أن مصطلح "فترة" يمثل نموذجًا متكررًا يشبه الموجة في الرسوم البيانية لوظائف الجيب وجيب التمام. في الشكل 16.4.20 ، تم تمييز فترتين من الدالة (y = sin (x) ). الفترتان لهما أشكال مختلفة تمامًا ، لكن كل منهما تحدث على مدى فاصل من الطول (2 pi text <،> ) بحيث يعيدنا كل منهما إلى جزء الشكل الموجي الذي نشأت منه.

بعد قولي هذا كله ، نربط بين دالتَي الجيب وجيب التمام. هذه هي الفترات التي تبدأ في (t = 0 text <،> ) بافتراض عدم تأثر أي انزياح أفقي على الوظيفة الأساسية. هناك أربع فترات قياسية مرتبطة بوظائف الجيب وجيب التمام التي يجب عليك حفظها: الفترات القياسية للوظائف (y = sin (t) text <،> ) (y = cos (t) text < ،> ) (y = - sin (t) text <،> ) و (y = - cos (t) text <.> )

عند مناقشة الفترات القياسية ، سأستخدم المصطلح "min" لتمثيل أدنى (y ) - تنسيق على المنحنى ، ومصطلح "max" لتمثيل أعلى (y ) - تنسيق على المنحنى ، و مصطلح "خط الوسط" لتمثيل (ص ) - الإحداثيات التي تحدث في منتصف المسافة بين أدنى وأعلى (ص ) - إحداثيات على المنحنى. سأستخدم عبارة "القيم الحرجة لـ (t )" "للإشارة إلى (t ) - إحداثيات النقاط التي تحتوي فيها الوظائف على إحداثيات الحد الأدنى أو الأقصى أو الخط الأوسط (ص ). على سبيل المثال ، (y ) - إحداثيات الفترة القياسية للوظيفة (y = sin (t) ) التي تبدأ عند (t = 0 ) اتبع نمط خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط ، min، mid-line عند القيم الحرجة التالية لـ (t text <:> ) (0، ، frac < pi> <2>، ، pi، ، frac <3 pi> <2>، ، 2 pi text <.> )

توضح الأشكال 16.4.21-16.4.24 الفترات القياسية التي تبدأ عند (t = 0 ) للوظائف (y = sin (t) text <،> ) (y = cos (t) text <،> ) (y = - sin (t) text <،> ) و (y = - cos (t) text <.> )

نوجه انتباهنا الآن إلى التحولات الرسومية وتأثيراتها المحددة على وظائف الجيب وجيب التمام.

السعة والانزياح العمودي لوظيفة الجيب أو جيب التمام.

في هذا القسم ، سننظر في وظائف النماذج (y = A sin (t) + k ) و (y = A cos (t) + k text <.> )

كما هو الحال مع أي دالة ، فإن إضافة ثابت ، (k text <،> ) بعد صيغة دالة ينتج عنه تحول رأسي. عندما يكون (k ) موجبًا ، يتم إزاحة الوظيفة لأعلى من موضعها الأصلي وعندما تكون (k ) سلبية ، يتم إزاحة الوظيفة للأسفل من موضعها الأصلي. في السياق الحالي ، نحدد (y = k text <.> ) يقع خط الوسط في منتصف الطريق بين القيم الدنيا والقصوى للوظيفة ويتوافق مع (x ) - محور un- تحول الرسم البياني الجيب أو جيب التمام.

مثال 16.4.25.

ارسم فترتين للدالة (y = 4 cos (t) -1 text <،> ) واحدة على يسار محور (y ) والأخرى على يمين (y) )-محور

اتساع الوظيفة (4 ) والخط الوسط (y = -1 نص <،> ) وبالتالي فإن الحد الأدنى (y ) - الإحداثيات هو (- 5 ) والحد الأقصى (y ) - الإحداثيات هي (3 نص <.> ) لأننا نرسم بيانيًا دالة جيب التمام الموجب ، بين (- 2 pi ) و (2 pi ) (فترتان قياسيتان ) ، (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) ستتبع مرتين النمط الأقصى ، والخط الوسط ، والدقيقة ، والخط الوسطي ، والحد الأقصى. يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.26.

فترة دالة الجيب أو جيب التمام.

في هذا القسم ، سننظر في وظائف النماذج (y = sin ( omega t) ) و (y = cos ( omega t) text <،> ) ( omega neq 0 text <.> ) ( omega ) هو حرف يوناني يُنطق "omega".

كما تمت مناقشته سابقًا ، فإن الدالة الدورية ، (f text <،> ) هي أصغر قيمة موجبة ، (p text <،> ) مع الخاصية التي (f (t + p) = f (t) ) لجميع قيم (t text <.> ) بافتراض أن ( omega ) موجبة ، فإن الدوال (y = sin ( omega t) ) و (y = cos ( omega t) ) سيكمل الفترة التي تبدأ في (t = 0 ) عندما ( omega t = 2 pi text <،> ) مما يعطينا (t = frac < 2 pi> < omega> text <.> )

نظرًا لعدم وجود قيود على ( omega ) لا يمكن أن تكون سالبة ، بشكل عام فترات الدوال (y = sin ( omega t) ) و (y = cos ( omega t) ) كلاهما ( frac <2 pi> < abs < omega >> text <.> )

مثال 16.4.27.

ارسم فترتين للدالة (y = sin (3t) text <،> ) واحدة مباشرة على يسار (y ) - والأخرى على يمين (y ) - محور.

قيمة ( omega ) هي (3 text <،> ) لذا فإن فترة هذه الوظيفة هي ( frac <2 pi> <3> text <.> ) الفترة التي سنقوم بها رسم على يسار (ص ) - يحدث المحور عبر الفاصل ( يسار (- فارك <2 بي> <3> ، 0 يمين) نص <.> ) ربع النقطة هي ( frac < pi> <6> text <.> ) تبدأ بـ (- frac <2 pi> <3> ) وتكرر إضافة ( frac < pi> <6 > ) حتى نصل إلى (0 text <.> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) خلال هذه الفترة هي (- frac <2 pi> <3> ، ، - frac < pi> <2> ، ، - frac < pi> <3> ، ، - frac < pi> <6> ، text ،، 0 text <.> ) وبالمثل ، فإن القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة التي تحدث خلال الفاصل ( left (0، frac <2 pi> <3> right) ) هي (0، ، frac < pi> <6>، ، frac < pi> <3>، ، frac < pi> <2>، ، text، فارك <2 بي> <3> نص <.> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة جيب موجب ، بين (- frac <2 pi> <3> ) و ( frac <2 pi> <3> ) (فترتان قياسيتان) ، و ( y ) - ستتبع الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) مرتين نمط خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط ، الحد الأدنى ، خط الوسط. يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.28.

مثال 16.4.29.

ارسم فترتين من الدالة (y = - cos (4 pi t) text <،> ) واحدة على يسار محور (y ) - وواحدة على يمين ( ص ) - المحور.

قيمة ( omega ) هي (4 pi text <.> ) تم اشتقاق فترة هذه الوظيفة أدناه.

الفترة التي سنقوم برسمها على يسار (y ) - يحدث المحور عبر الفاصل ( left (- frac <1> <2>، 0 right) text <.> ) ربع واحد الفترة هي ( frac <1> <8> text <.> ) تبدأ بـ (- frac <1> <2> ) وتكرر إضافة ( frac <1> <8> ) حتى نصل إلى (0 text <.> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) فوق ( يسار (- فارك <1> <2> ، 0 يمين) ) هي (- فارك <1> <2> ، ، - فارك <3> <8> ، ، - فارك <1> <4> ، ، - فارك <1> <8> ، نص، 0 text <.> ) وبالمثل ، فإن القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة التي تحدث خلال الفاصل ( left (0، frac <1> <2> right) ) هي (0، ، frac <1> <8>، ، frac <1> <4>، ، frac <3> <8>، ، text ، فارك <1> <2> نص <.> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة جيب التمام السالب ، بين (- frac <1> <2> ) و ( frac <1> <2> ) (فترتان قياسيتان) ، خلال كل فترة من الفواصل الزمنية (y ) - ستتبع الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) النمط min، mid line، max، mid line، min. يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.30.

إنزياح الطور والانزياح الأفقي لوظيفة الجيب أو جيب التمام.

في هذا القسم ، سننظر في وظائف النماذج (y = sin ( omega t + phi) ) و (y = cos ( omega t + phi) text <.> ) ( phi ) هو حرف يوناني يُنطق "phi".

في هذا السياق ، يمثل ( phi ) دالة الجيب أو دالة جيب التمام. في حين أن هذه القيمة ليس لها تأثير مباشر على الرسم البياني للوظيفة (ما لم يكن ( omega = 1 )) ، إلا أنها تتمتع باستيراد هائل في التطبيقات الأخرى ، خاصة في الفيزياء. السبب الوحيد الذي يجعلني أقوم بتعريف المصطلح هنا هو أن العديد من المصادر تساوي بشكل غير صحيح تحول الطور مع التحول الأفقي ، وأنا بحاجة إلى معالجة حقيقة أنهما ليسا نفس الشيء. الفرق هائل. لسبب واحد ، فإن انزياح الطور هو قيمة (أو في حالة الفيزياء ، كمية) بينما التحول الأفقي هو تحويل رسومي. لشيء آخر ، مقدار التحول يساوي ( abs < phi> ) إذا وفقط إذا ( omega = 1 نص <.> )

تعمل بنفس طريقة الدوال المثلثية كما تفعل مع أي وظيفة أخرى. كل من الدالتين (y = sin ( omega (t-h)) ) و (y = cos ( omega (t-h)) ) هما تحول أفقي بمقدار (h ) من وظائفهما الأم. عندما يكون (h ) موجبًا ، يكون التحول إلى اليمين وعندما يكون (h ) سالبًا ، يكون التحول إلى اليسار. على سبيل المثال ، ينتج عن (y = cos (3 (t- pi)) ) تحول إلى اليمين بمقدار ( pi ) للوظيفة (y = cos (3t) ) بينما (y = cos (3 (t + pi)) ) ينتج عنه تحول لليسار بواسطة ( pi ) للوظيفة (y = cos (3t) text <.> )

مثال 16.4.31.

حدد كلاً من إزاحة الطور والانزياح الأفقي للوظيفة (y = sin (2t + pi) text <.> )

يمكننا أن نرى على الفور أن تحول الطور هو ( pi text <.> ) من أجل تحديد التحول الأفقي ، نحتاج أولاً إلى تحليل (2 ) بعيدًا عن كل من (t ) و ( pi text <.> ) يتم ذلك أدناه.

يمكننا الآن أن نرى أن الوظيفة هي تحول لليسار بواسطة ( frac < pi> <2> ) للوظيفة (y = sin (2t) text <.> )

مثال 16.4.32.

حدد كلاً من إزاحة الطور والانزياح الأفقي للوظيفة (y = cos left (4 left (t- frac <2 pi> <5> right) right) text <.> )

يمكننا أن نرى على الفور أن الوظيفة هي تحول إلى اليمين بواسطة ( frac <2 pi> <5> ) للوظيفة (y = sin (4t) text <.> ) من أجل تحديد إنزياح الطور ، نحتاج إلى توزيع (4 ) على الحدين داخل الأقواس الداخلية. يتم ذلك أدناه.

يمكننا الآن أن نرى أن تحول الطور هو (- frac <8 pi> <5> text <.> )

مثال 16.4.33.

حدد كلاً من إزاحة الطور والانزياح الأفقي للوظيفة (y = cos left (t + frac < pi> <3> right) text <.> )

يمكننا أن نرى على الفور أن تحول الطور هو ( frac < pi> <3> text <.> ) يمكننا أيضًا أن نرى على الفور أن الوظيفة هي تحول إلى اليسار بواسطة ( frac < pi> <3 > ) للدالة (y = sin (t) text <.> )

مثال 16.4.34.

ارسم فترتين للدالة (y = cos (3 (t- pi)) text <،> ) واحدة على يسار (t = pi ) وواحدة على يمين (t = pi text <.> )

فترة الوظيفة هي ( frac <2 pi> <3> ) والوظيفة إذا كان التحول إلى اليمين بواسطة ( pi ) للوظيفة (y = cos (t) text <. > )

الفترة القياسية التي تحدث على ( left (- frac <2 pi> <3> ، 0 right) ) على الرسم البياني لـ (y = cos (3t) ) تتحول إلى ( يسار (- frac <2 pi> <3> + pi، 0 + pi right) ) والذي يبسط إلى (( frac < pi> <3>، pi) text <.> ) الفترة القياسية التي تحدث خلال ( left (0، frac <2 pi> <3> right) ) على الرسم البياني لـ (y = cos (3t) ) تتحول إلى ( ( pi، frac <5 pi> <3>) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <6> text <.> ) يبدأ بـ ( frac < pi> <3> ) ويضيف بشكل متكرر ( frac < pi > <6> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) عبر الفاصل ( left ( frac < pi> <3>، pi right) ) هي ( frac < pi> <3> ، ، frac < pi> <2> ، ، frac <2 pi> <3> ، ، frac <5 pi> <6> ، نص، pi text <.> ) وبالمثل ، عبر الفاصل الزمني ( left ( pi، frac <5 pi> <3> right) ) القيم الحرجة لـ (t ) هي ( pi، ، frac <7 pi> <6>، ، frac <4 pi> <3>، ، frac <3 pi> <2>، text، فارك <5 بي> <3> نص <.> )

نظرًا لأننا نقوم بتقطيع دالة جيب التمام الموجب ، خلال كل فترة من الفترات ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) ستتبع النمط الأقصى ، والخط الوسط ، والدقيقة ، والخط الوسطي ، الأعلى.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.35.

مثال 16.4.36.

ارسم فترتين للدالة (y = - sin left ( frac <3> <2> t + pi right) text <،> ) واحدة على يسار قيمة (t ) ) التي يتم إزاحة (t = 0 ) إليها وواحد على الفور إلى يمين قيمة (t ) التي تم تحويل (t = 0 ) إليها.

يمكننا حساب الفترة على الفور ، ويتم ذلك أدناه.

من أجل تحديد الانزياح الأفقي ، نحتاج إلى تحليل ( frac <3> <2> ) بعيدًا عن كل من (t ) و ( pi text <.> ) وهذا موضح أدناه.

نرى الآن أن هناك تحولًا إلى اليسار في ( frac <2 pi> <3> text <.> )

الفترة التي تقع مباشرة على يسار (- frac <2 pi> <3> ) ستحدث خلال الفاصل ( left (- frac <2 pi> <3> - frac <4 ) pi> <3>، - frac <2 pi> <3> right) ) الذي يبسط إلى ( left (-2 pi، - frac <2 pi> <3> right) نص <.> ) الفترة الواقعة مباشرة على يمين (- frac <2 pi> <3> ) تحدث خلال الفاصل الزمني ( left (- frac <2 pi> <3>، - frac <2 pi> <3> + frac <4 pi> <3> right) ) الذي يبسط إلى ( left (- frac <2 pi> <3>، frac <2 pi> <3> right) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <3> text <.> ) بدءًا من (- 2 pi ) وإضافة ( frac < pi> <3> ) حتى نصل إلى (- frac <2 pi> <3> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) التي تحدث خلال الفاصل ( left (-2 pi) ، - frac <2 pi> <3> right) ) هي (- 2 pi، ، - frac <5 pi> <3>، ، - frac <4 pi> < 3> ، ، - بي ، ، نص، - frac <2 pi> <3> text <.> ) وبالمثل ، القيم الحرجة لـ (t ) التي تحدث خلال الفاصل ( left (- frac <2 pi> < 3>، frac <2 pi> <3> right) ) هي (- frac <2 pi> <3>، ، - frac < pi> <3>، ، 0، ، فارك < pi> <3> ، ، نص، فارك <2 بي> <3> نص <.> )

نظرًا لأننا نقوم بتقطيع دالة الجيب السالب ، خلال كل فترة من الفترات ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) ستتبع خط الوسط ، دقيقة ، خط الوسط ، الحد الأقصى ، منتصف الخط.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.37.

تمارين تمارين

لكل دالة مذكورة ، صف الطريقة التي يختلف بها الرسم البياني للوظيفة عن وظيفتها الأصلية (( sin (t) ، ، cos (t) ، ، - sin (t) ، ، نص، - cos (t)) text <.> ) ثم رسم فترتين كاملتين - واحدة على يسار الانزياح الأفقي والأخرى على يمين التحول الأفقي. إذا لم يكن هناك إزاحة أفقية ، فقم برسم فترة واحدة مباشرة على يسار محور (ص ) وفترة واحدة على يمين المحور (ص ) مباشرة.

لم تتغير الفترة ولا يوجد تحول أفقي. السعة (3 ) والخط الوسط (ص = -2 نص <،> ) لذا فإن الحد الأدنى (ص ) - الإحداثيات هو (- 5 ) والحد الأقصى (ص ) - التنسيق هو (1 نص <.> ) لأننا نرسم وظيفة الجيب الموجب ، بين (- 2 pi ) و (2 pi ) (فترتان قياسيتان) ، (y ) - ستتبع الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) مرتين نمط خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط ، الحد الأدنى ، خط الوسط.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.38.

لم تتغير الفترة ولا يوجد تحول أفقي. السعة هي (1 ) والخط الوسط (ص = 3 نص <،> ) لذا فإن الحد الأدنى (ص ) - الإحداثيات هو (2 ) والحد الأقصى (ص ) - التنسيق هو (4 نص <.> ) لأننا نرسم بيانيًا دالة جيب التمام السالب ، بين (- 2 pi ) و (2 pi ) (فترتان قياسيتان) ، ال ( y ) - ستتبع الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) مرتين النمط min، mid line، max، mid line، min.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.39.

لا توجد تغييرات في الاتجاه العمودي ولا يوجد تحول أفقي. تم تقصير الفترة إلى ( frac <2 pi> <5> text <.> ) الفترة التي سنرسمها على يسار المحور (y ) - تحدث خلال الفاصل ( اليسار (- frac <2 pi> <5>، 0 right) ) والفترة التي سنرسمها على يمين المحور (y ) - تحدث خلال الفاصل ( left (0، frac) <2pi> <3> right) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <10> text <.> ) بدءًا من (- frac <2 pi> <5> ) وإضافة ( frac < pi> <10> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) للفترة على يسار محور (y ) - هي (- frac <2 pi> <5>، ، - frac <3 pi> <10>، ، - frac < pi> <5>، ، - frac < pi> <10>، ، text ، 0 ) والقيم الحرجة لـ (t ) للفترة على يمين المحور (ص ) مباشرة هي (0 ، ، فارك < بي> <10> ، ، frac < pi> <5>، ، frac <3 pi> <10>، ، text، frac <2 pi> <5> text <.> )

نظرًا لأننا نقوم برسم دالة سالبة الجيب ، بين (- frac <2 pi> <5> ) و ( frac <2 pi> <5> ) (فترتان قياسيتان) ، فإن (y ) - ستتبع الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) مرتين نمط خط الوسط ، دقيقة ، خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.40.

لا توجد تغييرات في الاتجاه العمودي ولا يوجد تحول أفقي. تم تغيير الفترة. الفترة الجديدة مشتقة أدناه.

تحدث الفترتان اللتان سنرسمهما على الفترات ((- 3 pi ، 0) ) و ((0،3 pi) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac <3 pi> <4> text <.> ) بدءًا من (- 3 pi ) وإضافة ( frac <3 pi> <4 > text <.> ) نرى أن القيم الحرجة للفترة على يسار المحور (y ) مباشرة هي (- 3 pi ، ، - frac <9 pi> <4 >، ، - frac <3 pi> <2>، ، - frac <3 pi> <4>، ، text ، 0 ) والقيم الحرجة لـ (t ) للفترة على يمين المحور (ص ) مباشرة هي (0 ، ، فارك <3 بي> <4> ، ، frac <3 pi> <2>، ، frac <9 pi> <4>، ، text، 3 pi text <.> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة جيب التمام الموجب ، بين (- 3 pi ) و (3 pi ) (فترتان قياسيتان) ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) سيتبع النمط (max، mid-line، min، mid line، max.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.41.

لا توجد تغييرات في الاتجاه العمودي ولا يوجد تغيير في الفترة. يوجد تحول يسار لـ ( frac < pi> <3> text <،> ) لذلك سيكون لدينا فترة قياسية واحدة على الفاصل ((- 2 pi- frac < pi> <3 >، 0- frac <3 pi> <3>) ) وآخر على الفاصل ((0- frac < pi> <3>، 2 pi- frac < pi> <3> ) text <.> ) هذه الفواصل تبسط ، على التوالي ، مثل ((- frac <7 pi> <3> ، - frac < pi> <3>) ) و ((- frac <3>،frac<5pi> <3>) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <2> text <.> ) بدءًا من (- frac <7 pi> <3> ) وتكرار الإضافة ( frac < pi> <2> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة للفترة مباشرة على يسار (- frac < pi> <3> ) هي (- frac <7 ) pi> <3>، ، - frac <11 pi> <6>، ، - frac <4 pi> <3>، ، - frac <5 pi> <6>، ، نص، - frac < pi> <3> ) والقيم الحرجة لـ (t ) للفترة مباشرة على يمين (- frac < pi> <3> ) هي ( - frac < pi> <3> ، ، frac < pi> <6> ، ، frac <2 pi> <3> ، ، frac <7 pi> <6> ، ،نص، فارك <5 بي> <3> نص <.> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة جيب التمام الموجب ، بين (- frac <2 pi> <5> ) و ( frac <2 pi> <5> ) (فترتان قياسيتان) ، فإن (y ) - ستتبع الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) مرتين الحد الأقصى للنمط ، والخط الوسط ، والدقيقة ، والخط الوسطي ، والحد الأقصى.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.42.

لا توجد تغييرات في الاتجاه العمودي ولا يوجد تغيير في الفترة. يوجد تحول يمين لـ ( pi text <،> ) لذلك سيكون لدينا فترة قياسية واحدة على الفاصل ((- pi، pi) ) وأخرى على الفاصل (( pi، 3 بي) نص <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <2> text <.> ) بدءًا من (- pi ) وإضافة ( frac < pi> <2> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة للفترة الواقعة على يسار ( pi ) هي (- pi، ، - frac < pi> <2>، ، 0، ، frac < pi> <2>، ، text، pi ) والقيم الحرجة لـ (t ) للفترة على يمين ( pi ) هي ( pi ، ، frac <3 pi> <2> ، ، 2 pi، ، frac <5 pi> <2>، ، text، 3 pi text <.> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة جيب التمام السالب ، بين (- pi ) و (3 pi ) (فترتان قياسيتان) ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) ) مرتين يتبع النمط min، mid-line، max، mid line، min.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.43.

لا توجد تغييرات في الاتجاه العمودي. يوجد تحول يسار لـ ( frac < pi> <8> ) وتم تقصير الفترة إلى ( frac <2 pi> <8> ) مما يبسط إلى ( frac < pi > <4> text <.> ) سيكون لدينا فترة قياسية واحدة على الفاصل ((- frac < pi> <4> - frac < pi> <8>، 0- frac < pi> <8>) ) وآخر عبر الفاصل الزمني ((0- frac < pi> <8> ، frac < pi> <4> - frac < pi> <8>) text <.> ) هذه الفواصل تبسط ، على التوالي ، مثل ((- frac <3 pi> <8> ، - frac < pi> <8>) ) و ((- frac < pi > <8>، frac < pi> <8>) text <.> ) ربع الفترة هو ( frac < pi> <16> text <.> )

بدءًا من (- frac <3 pi> <8> ) وإضافة ( frac < pi> <16> text <،> ) بشكل متكرر ، نرى أن القيم الحرجة للفترة على الفور إلى يسار (- frac < pi> <8> ) هي (- frac <3 pi> <8> ، ، - frac <5 pi> <16> ، ، - frac <4>،-frac<3pi> <16> ، ، text، - frac < pi> <8> ) والقيم الحرجة لـ (t ) للفترة مباشرة على يمين (- frac < pi> <8> ) هي ( - frac < pi> <8>، ، - frac < pi> <16>، ، 0، ، frac < pi> <16>، ، text، فارك < pi> <8> نص <.> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة جيب موجب ، بين (- frac <3 pi> <8> ) و ( frac < pi> <8> ) (نقطتان قياسيتان) ، the ( y ) - ستتبع الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) مرتين نمط خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط ، الحد الأدنى ، خط الوسط.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.44.

لا توجد تغييرات في الاتجاه العمودي. قبل مناقشة التغييرات في الاتجاه الأفقي ، دعنا نأخذ في الحسبان (4 pi ) من التعبير الموجود داخل الأقواس.

يمكننا الآن أن نرى أن هناك تحولًا يمينًا لـ ( frac <1> <4> ) وتم تغيير الفترة إلى ( frac <2 pi> <4 pi> ) مما يسهل إلى ( frac <1> <2> text <.> ) سيكون لدينا فترة قياسية واحدة على الفاصل ((- frac <1> <2> + frac <1> <4>، 0 + frac <1> <4>) ) وآخر على الفاصل ((0+ frac <1> <4>، frac <1> <2> + frac <1> <4>) text < .> ) هذه الفواصل تبسط ، على التوالي ، مثل ((- frac <1> <4> ، frac <1> <4>) ) و (( frac <1> <4> ، frac <3> <4>) نص <.> )

ربع الفترة هو ( frac <1> <8> text <.> ) بدءًا من (- frac <1> <4> ) وإضافة ( frac <1> < 8> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة للفترة على يسار ( frac <1> <4> ) هي (- frac <1> <4>، ، - فارك <1> <8> ، ، 0 ، ، فارك <1> <8> ، ، نص، frac <1> <4> ) والقيم الحرجة لـ (t ) للفترة مباشرة على يمين ( frac <1> <4> ) هي ( frac <1> <4>،،frac<3><8>،،frac<1><4> ، ،frac<3> <8> ، ، نص، frac <3> <4> text <.> ) لأننا نرسم دالة الجيب السالب بين (- frac <1> <8> ) و ( frac <3> <4> ) (فترتان قياسيتان) ، (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) ستتبع مرتين خط الوسط ، دقيقة ، خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط.

يتم عرض فترتين من الوظيفة في الشكل 16.4.45.

لكل وظيفة مذكورة ، قم بإنشاء وإكمال جدول يوضح قيم (A text <،> ) ( omega text <،> ) ( phi text <،> ) و ( ك ) حيث إما (y = A sin ( omega t + phi) + k ) أو (y = A cos ( omega + phi) + k text <.> ) ثم حدد و اذكر السعة ، والدورة ، وانزياح الطور ، والانزياح الأفقي ، والخط الأوسط لرسم بياني للوظيفة.

قبل عمل الجدول ، دعنا نوسع التعبير داخل دالة الجيب لتحديد قيمة ( phi text <.> )

عامل قيمة
(أ) (1.5)
( أوميغا ) (3)
( phi ) (3 بي )
(ك) (0)
الشكل 16.4.46. متغيرات الرسوم البيانية

إن تحول الطور هو ( phi text <،> ) وهو في هذه الحالة (3 pi text <.> ) من العبارة الأصلية للوظيفة ، نرى أن التحول الأفقي هو اليسار ( pi text <.> ) الخط الأوسط هو (y = 0 )

عامل قيمة
(أ) (-1)
( أوميغا ) (2 بي )
( phi ) (- 3 بي )
(ك) (4)
الشكل 16.4.47. متغيرات الرسوم البيانية

إن إنزياح الطور هو ( phi text <،> ) وهو في هذه الحالة (- 3 pi text <.> ) لتحديد التحول الأفقي ، نحتاج إلى إعادة كتابة صيغة الوظيفة على النحو التالي.

التحول الأفقي صحيح ( frac <3> <2> نص <.> ) خط الوسط هو (y = 4 )

قبل عمل الجدول ، دعنا نوسع التعبير داخل دالة الجيب لتحديد قيمة ( phi text <.> )

عامل قيمة
(أ) (-3)
( أوميغا ) ( بي )
( phi ) (- 2 بي )
(ك) (-2.5)
الشكل 16.4.48. متغيرات الرسوم البيانية

إن تحول الطور هو ( phi text <،> ) وهو في هذه الحالة (- 2 pi text <.> ) من العبارة الأصلية للوظيفة نرى أن التحول الأفقي صحيح ( 2 نص <.> ) خط الوسط (ص = -2.5 )

عامل قيمة
(أ) (1)
( أوميغا ) (2)
( phi ) ( فارك < بي> <3> )
(ك) (0)
الشكل 16.4.49. متغيرات الرسوم البيانية

إن تحول الطور هو ( phi text <،> ) وهو في هذه الحالة ( frac < pi> <3> text <.> ) لتحديد التحول الأفقي ، نحتاج إلى إعادة كتابة الوظيفة الصيغة على النحو التالي.

الإزاحة الأفقية لليسار ( frac < pi> <6> text <.> ) الخط الأوسط (y = 0 )

رسم فترة واحدة لكل وظيفة في مجموعة التمرين السابقة.

الانزياح الأفقي يسار ( pi ) والنقطة هي ( frac <2 pi> <3> text <،> ) لذلك ستكون هناك فترة قياسية واحدة على الفاصل ( يسار (- pi، - pi + frac <2 pi> <3> right) ) الذي يبسط إلى ( left (- pi، - frac < pi> <3> right) text <. > )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <6> text <.> ) بدءًا من (- pi ) وإضافة ( frac < pi> <6> ) حتى نصل إلى (- frac < pi> <3> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة الأولية التي سنرسمها هي (- pi ، ، - frac <5 pi> <6>، ، - frac <2 pi> <3>.، ، - frac < pi> <2>، ، - frac < pi > <6> ، ، نص، 0 نص <.> )

لأن خط الوسط هو (y = 0 ) والسعة هي (1.5 نص <،> ) قيم الدالتين الدنيا والقصوى هي ، على التوالي ، (- 1.5 ) و (1.5 نص < .> )

نظرًا لأن الوظيفة هي دالة جيب التمام الموجب ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة القياسية تتبع النمط الأقصى ، والخط الوسط ، والدقيقة ، والخط الوسط ، والحد الأقصى.

يتم عرض فترة قياسية واحدة في الشكل 16.4.50.

يكون التحول الأفقي صحيحًا ( frac <3> <2> ) والفترة هي (1 نص <،> ) لذا فإن الفترة الأولية التي سنرسمها تقع على الفاصل ((1.5 ، 2.5) نص <.> )

ربع الفترة هو (0.25 نص <.> ) بدءًا من (1.5 ) وإضافة (0.25 ) بشكل متكرر حتى نصل إلى (2.5 نص <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة الأولية التي سنرسمها هي (1.5 ، ، 1.75 ، ، 2 ، ، 2.25 ، نص ، 2.5 نص <.> )

نظرًا لأن خط الوسط هو (y = 4 ) والسعة هي (1 نص <،> ) القيم الدنيا والقصوى للدالة هي ، على التوالي ، (3 ) و (5 نص <. > )

نظرًا لأن الوظيفة عبارة عن دالة جيب التمام السالب ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة القياسية تتبع النمط min، line-line، max، mid line، min.

يتم عرض فترة قياسية واحدة في الشكل 16.4.51.

يكون التحول الأفقي صحيحًا (2 ) والفترة هي (2 نص <،> ) لذا فإن الفترة الأولية التي سنرسمها تحدث عبر الفاصل ((2،4) نص <.> )

ربع الفترة هو (0.5 نص <.> ) بدءًا من (2 ) وإضافة (0.5 ) بشكل متكرر حتى نصل إلى (4 نص <،> ) نرى أن القيم الحرجة من (t ) للفترة الأولية التي سنقوم برسمها هي (2 ، ، 2.5 ، ، 3 ، ، 3.5 ، ، نص، 4 نص <.> )

نظرًا لأن خط الوسط هو (y = -2.5 ) والسعة هي (3 نص <،> ) القيم الدنيا والقصوى للدالة هي ، على التوالي ، (- 5.5 ) و (0.5 نص <.> )

نظرًا لأن الوظيفة عبارة عن دالة سالبة الجيب ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة القياسية تتبع نمط خط الوسط ، دقيقة ، خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط .

يتم عرض فترة قياسية واحدة في الشكل 16.4.52.

الانزياح الأفقي يسار ( frac < pi> <6> ) والنقطة هي ( pi text <،> ) لذلك ستكون هناك فترة قياسية واحدة على الفاصل ( يسار (- ) frac < pi> <6>، - frac < pi> <6> + pi right) ) الذي يبسط إلى ( left (- frac < pi> <6>، frac <5 pi> <6> right) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <4> text <.> ) بدءًا من (- frac < pi> <6> ) وإضافة ( frac <) بشكل متكرر pi> <4> ) حتى نصل إلى ( frac <5 pi> <6> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة الأولية التي سنرسمها هي (- frac < pi> <6> ، ، frac < pi> <12> ، ، frac < pi> <3> ، ، frac <7 pi> <12> ، ،نص ، فارك <5 بي> <6> نص <.> )

لأن خط الوسط هو (y = 0 ) والسعة هي (1 نص <،> ) القيم الدنيا والقصوى للدالة هي ، على التوالي ، (- 1 ) و (1 نص < .> )

نظرًا لأن الوظيفة عبارة عن دالة جيب موجب ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) خلال الفترة القياسية تتبع نمط خط الوسط ، الحد الأقصى ، خط الوسط ، الحد الأدنى ، خط الوسط .


المثلثات وعلم المثلثات قواعد الجيب وجيب التمام

هل ما زلت تتذكر السعي للعثور على أعلى جبل على وجه الأرض من المقدمة؟ مع علم المثلثات ، لدينا أخيرًا الأدوات للقيام بذلك!

قام المساحون في الهند بقياس زاوية قمة الجبل من موقعين مختلفين ، على بعد 5 كيلومترات. كانت النتائج 23 درجة و 29 درجة.

نظرًا لأن الزاوية α هي زاوية تكميلية ، فنحن نعلم أنها يجب أن تكون °. يمكننا الآن استخدام مجموع الزوايا الداخلية للمثلث لإيجاد أن الزاوية ° هي °.

الآن نعرف الزوايا الثلاث للمثلث ، بالإضافة إلى أحد أضلاعه. وهذا يكفي لاستخدام قاعدة جيب التمام لإيجاد المسافة د :

الخطيئة 151 ° د 5 6 ° 5 د
د 151 ° × 5 sin 6 °
23.2 كم

هناك خطوة أخيرة: دعونا نلقي نظرة على المثلث الكبير القائم الزاوية. نعلم بالفعل طول الوتر ، لكن ما نحتاجه حقًا هو الضلع المقابل المجاور. يمكننا العثور عليها باستخدام تعريف الخطيئة:

الخطيئة 23 ° ارتفاع 23 23 ارتفاع
ارتفاع 23° × 23
8.987 كم

وهذا قريب جدًا من الارتفاع الفعلي لجبل إيفرست ، أعلى جبل على وجه الأرض: 8848 مترًا.

هذا التفسير يبسط إلى حد كبير العمل غير العادي الذي قام به علماء الرياضيات والجغرافيا الذين يعملون في المسح المثلثي العظيم. لقد بدأوا من مستوى سطح البحر على الشاطئ ، وقاسوا مسافة آلاف الكيلومترات ، وقاموا ببناء أبراج مسح في جميع أنحاء البلاد ، وحتى أنهم قاموا بحساب انحناء الأرض.

للكشف عن المزيد من المحتوى ، عليك إكمال جميع الأنشطة والتمارين المذكورة أعلاه.
أنت تمسك؟ تخطي إلى الخطوة التالية أو كشف كل الخطوات


10.2: التجول والتنقل (20 دقيقة)

نشاط

الغرض من هذا النشاط هو أن يفهم الطلاب النقاط الموضحة على الرسوم البيانية لجيب التمام والجيب لأنها تتعلق بسياق بسيط: نقطة في نهاية شفرة طاحونة أثناء دورانها عكس اتجاه عقارب الساعة. في درس سابق ، استخدم الطلاب جيب التمام والجيب لتحديد النقاط على الدوائر. الآن بعد أن تم "تفكيك" هاتين الوظيفتين ، يقوم الطلاب بربط النقاط على كل رسم بياني بموضع نقطة (P ) على إحدى شفرات طاحونة الهواء.

أثناء النشاط ، من المهم أن يقوم الطلاب بتدوين تواتر جيب التمام والجيب. على سبيل المثال ، يحددون الزوايا التي تكون فيها النقطة (P ) في أعلى نقطة لها في دورانها ويلاحظون أن هذا الموقع يحدث كل (2 pi ) راديان. في الدروس المستقبلية ، سينظر الطلاب في كيفية تحويل جيب التمام والجيب إلى فترات مختلفة لمطابقة أنواع مختلفة من العلاقات الدورية.

إطلاق

رتب الطلاب في مجموعات من 2. اعرض صورة لطاحونة هوائية ليراها الجميع ، مثل تلك المعروضة هنا ، واتركها طوال النشاط.

قم بتوسيع الصورة

أخبر الطلاب أنهم سيجيبون على أسئلة حول نقطة (P ) ، والتي تقع في نهاية النصل الذي يبدأ في الإشارة مباشرة إلى يمين مركز الطاحونة الهوائية (0 راديان).

مركز الطاحونة هو ((0،0) ) ولها 5 ريش طول كل منها 1 متر. النقطة (P ) في نهاية النصل والتي تشير مباشرة إلى يمين المركز. فيما يلي رسوم بيانية توضح المسافات الأفقية والعمودية للنقطة (P ) بالنسبة إلى مركز الطاحونة الهوائية حيث تدور الشفرات عكس اتجاه عقارب الساعة.

قم بتوسيع الصورة

وصف: & ltp & gtA الرسم البياني. المحور الأفقي ، ثيتا ، مقياس من 0 إلى 5 بي ، بواسطة باي فوق 4. المحور الرأسي ، ص ، سالب 1 إلى 1 ، بمقدار 0.5 درجة. يتم رسم منحنى مكتوب عليه y يساوي جيب التمام ثيتا. & lt / p & gt

قم بتوسيع الصورة

وصف: & ltp & gtA الرسم البياني. المحور الأفقي ، ثيتا ، مقياس من 0 إلى 5 بي ، بواسطة باي فوق 4. المحور الرأسي ، ص ، سالب 1 إلى 1 ، بمقدار 0.5 درجة. يتم رسم منحنى مكتوب عليه y يساوي جيب ثيتا. & lt / p & gt

  1. كم عدد الدورات الكاملة التي تظهرها الرسوم البيانية؟ اشرح كيف تعرف.
  2. ماذا تعني قيم الرسوم البيانية في ( theta = 3 pi ) في هذا السياق؟
  3. ضع قائمة ببعض زوايا الدوران المختلفة التي تجعل (P ) يصل إلى أعلى نقطة في دائرة دورانه. ماذا تلاحظ في هذه الزوايا؟
  4. كم عدد الزوايا التي تظهر نقطة (P ) على ارتفاع 0.71 متر؟ اشرح أو أظهر أسبابك.

استجابة الطالب

يمكن للمعلمين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى رد الطلاب.

المفاهيم الخاطئة المتوقعة

قد يواجه الطلاب صعوبة في التفكير في نقطة تدور في دائرة ، والموقع الأفقي للنقطة ، والموقع الرأسي للنقطة ، كل ذلك في نفس الوقت. شجع هؤلاء الطلاب على البدء بالتركيز فقط على الموقع الأفقي أو الموقع الرأسي. قد يجد الطلاب أنه من المفيد رسم دائرة وحدة والتتبع ببطء حولها (بدءًا من 0 راديان) أثناء تتبع الشكل الشبيه بالموجة لإحدى الدوال المثلثية في نفس الوقت.

توليف النشاط

اعرض الرسمين البيانيين من النشاط ليراها الجميع والرجوع إليها خلال المناقشة. ابدأ المناقشة بدعوة الطلاب إلى تحديد الزوايا التي تصل (P ) إلى أعلى نقطة في دائرة الدوران. بينما لا يحتاج الطلاب إلى التعميم على تعبير مثل ( frac < pi> <2> +2 pi boldcdot k ) ، يجب أن يفهموا أن إضافة أي مضاعفات (2 pi ) إلى ( frac < pi> <2> ) ستعطي زاوية حيث يشير النصل (P ) إلى أعلى مباشرة.

بعد ذلك ، حدد 2-3 طلاب لمشاركة أسبابهم لعدد الزوايا التي تظهر (P ) على ارتفاع 0.71 متر. إذا لم يقترح الطلاب رسم الخط (y = 0.71 ) لمعرفة مكان تقاطع الرسم البياني لـ (y = sin ( theta) ) ، افعل ذلك واطلب من الطلاب تفسير معنى نقاط التقاطع.


الدوائر واللوالب وعباد الشمس

في حين أن هذه المعادلات مفيدة ، إلا أنها ليست ضرورية لرسم دائرة. سنستخدمها بطريقة مفاجئة أدناه.

لرسم دائرة أو أي شيء ، سنحتاج إلى إطار عمل رسومي. سأستخدم Processing.js. هناك إصدار آخر من هذا البرنامج التعليمي يستخدم HTML5 Canvas مباشرةً ، بدون معالجة. يستخدم Processing.js واجهات برمجة تطبيقات HTML5 Canvas تحت الغطاء. لذلك ، إذا كنت تستخدم متصفح ويب أقدم ، مثل IE 8 أو أقدم ، فلن ترى أي شيء!

  • cx، cy - الإحداثيات المركزية للدائرة التي ترسمها.
  • العرض والارتفاع - أبعاد الدائرة التي ترسمها. بالنسبة للدوائر (على عكس الأشكال البيضاوية) ، فإن هذين الرقمين متماثلان ، ويتوافقان مع قطر الدائرة.

في هذه المرحلة ، أود أن أقترح ، كتمرين عملي ، أن تنشئ نموذجًا لصفحة ويب ترسم دائرة باستخدام Processing.js. يمكنك استخدام رمز "المثال 3" الخاص بي كنقطة بداية - انقر فوق أحد الأمثلة وقم بإجراء "عرض المصدر" لمعرفة ما يحدث. بعد ذلك ، خذ قسطًا من الراحة وعد عندما تشعر بالانتعاش!

الشعور بالانتعاش؟ رائعة. قد تكون مهتمًا بكيفية رسم النقاط في هذه الدوائر.

هذه هي المعادلات الكلاسيكية للتحويل من الإحداثيات القطبية (الزاوية والمسافة من نقطة مركزية ما) إلى الإحداثيات الديكارتية (x و y). في هذه المعادلات ، cx و cy هما النقطة المركزية للدائرة ، R هي نصف قطر الدائرة ، وثيتا (& ثيتا) تمثل الزاوية التي تدور حول الدائرة. في الكود ، عادة ما تقدم الزاوية بالتقدير الدائري ، وليس بالدرجات. تنتقل الدرجات الأكثر شيوعًا من 0 إلى 360. ينتقل الراديان من 0 إلى 2 & pi. لتحويل رقم من الدرجات إلى الراديان ، اضربه في ثابت القياس (& pi / 180) ، أو استخدم فقط وظيفة الراديان () المضمنة في المعالجة. لاحظ أن قيمة الزاوية التي تمررها إلى الخطيئة وجيب التمام لا يجب أن تكون مقيدة بـ 0 إلى 2 & pi - يمكنك الاستمرار في الدوران حول الدائرة في أي اتجاه. سينتج sin (& theta) قيمًا متطابقة لأي رقمين يفصل بينهما 2 & pi. النمط الناتج عن هذه الوظائف هو موجات جيبية وموجات جيب التمام (موجات جيب التمام هي في الأساس موجات جيبية تخرج عن الطور بمقدار 90 درجة).

في Processing.js ، استخدم هذه المعادلات في حلقة ، لرسم كل نقطة على الدائرة ، كما يلي:

في هذا الكود ، lg_rad هو نصف قطر الحلقة الكبيرة ، و sm_diam هو قطر الدوائر الأصغر التي أرسمها في الحلقة. من أجل جعل الدوائر كبيرة بما يكفي للمس ، قمت بحساب محيط الدائرة الكبيرة ، ثم قسمتها على عدد الدوائر في الحلقة. هذا هو قطر الدوائر الأصغر.

أثناء أخذ قسط من الراحة ، ضع في اعتبارك كيف يمكن تعديل هذا الرمز لرسم حلزوني بدلاً من دائرة.

هل عرفت ما هو؟ الفكرة الأساسية هي أن تقوم بتغيير قيمة نصف القطر الأكبر (ما كنت أسميه lg_rad) أثناء رسم كل نقطة. ألق نظرة على سطور التعليمات البرمجية ذات الصلة في المثال 6. في هذا المثال ، حيث يتم رسم كل نقطة ، في نصف قطر متزايد باستمرار ، أقوم أيضًا بزيادة الزاوية بمقدار درجتين فقط.

يمكننا شد اللولب عن طريق تغيير المقدار الذي نزيد فيه الزاوية أثناء كل خطوة ، كما في المثال 7. اضغط على زر التشغيل لرؤية التأثير. في هذا المثال ، نبدأ بزيادة درجتين ، ثم نزيد الزاوية بمقدار درجة واحدة في الثانية (نظرًا لوجود 100 نقطة ، تنتقل النقطة الخارجية بمعدل 100 × 1 درجة أو 100 درجة في الثانية).


شاهد الرسوم المتحركة أعلاه لبضع دقائق: تحدث أشياء مثيرة !. ستلاحظ بعد حوالي 25 ثانية ، عندما يتم إحكام اللولب ، تشكل النقاط نمطًا شبيهًا بنجمة أو نجم البحر. ثم يتم طي الذراعين ، وتشكل النقاط تكوينًا يشبه الوردة. ثم تستقيم الذراعين مرة أخرى ، وترى نجم بحر آخر. يستمر هذا في الحدوث. عندما يكون لنجم البحر أربعة أذرع ، تكون الزيادة في الزاوية 90 درجة ، أو بعض مضاعفات 90 درجة مثل 270 درجة. أصغر زاوية تمنحك 4 أذرع هي 360/4 أو 90 درجة. وبالمثل ، فإن أصغر زاوية تحصل عليها من 5 أذرع هي 360/5 أو 72 درجة. 360/6 يمنحك ستة أذرع ، 360/7 يمنحك سبعة أذرع وهكذا. بعبارة أخرى ، للحصول على أنماط نجم البحر هذه ، يجب أن تكون الزيادة في الزاوية a معقول كسر أو (أو "انتقل بالتساوي إلى") الدائرة الكاملة (حتى يتمكنوا من الاصطفاف لتشكيل الذراعين).

بين نجم البحر ، الذي يتم إنتاجه بواسطة كسور منطقية من الدائرة ، تحصل على أنماط تشبه الوردة ، حيث لا تشكل النقاط مكبرات صوت مستقيمة. تحصل على أنماط الورود هذه عندما تكون الزيادة في الزاوية غير منطقي جزء من الدائرة الكاملة. أظهر علماء الرياضيات أن هناك أعدادًا غير منطقية أكثر من تلك المنطقية ، وبديهي ، يمكنك أن ترى أن هناك ورودًا أكثر من نجم البحر في الرسوم المتحركة.

هناك عدد من الزوايا غير المنطقية التي تبدو لطيفة بشكل خاص (جرب الجذر التربيعي 2 مرات & pi أو 4.442). تلك التي تنتج أفضل تعبئة ، وتتوافق مع ترتيب عباد الشمس المألوف هي زاوية تقارب 222.5 درجة (أو 137.5 في الاتجاه الآخر). هذه هي الزاوية الذهبية ، وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بـ & (phi) ، النسبة الذهبية.

في المثال أعلاه ، ربما لاحظت أن النقاط ضيقة نوعًا ما في المركز ، ثم تتباعد بشكل تدريجي مع خروجها. هذا لأن الزيادة الشعاعية ثابتة أو خطية. سيكون رائعًا إذا تمكنا من معرفة كيفية حملها على حزمها بإحكام ، مثل بذور عباد الشمس. اتضح ، لدينا بالفعل الأدوات الرياضية لتحقيق ذلك!

فكر في دائرة كبيرة تتكون من مجموعة من الدوائر الصغيرة المعبأة بإحكام - دوائر معبأة بإحكام بحيث لا توجد مساحة متبقية. إذا كانت كل هذه الدوائر الصغيرة بنفس الحجم ، وكانت مساحة الدائرة الكبيرة هي A ، فإن مساحة الدوائر الصغيرة ، B = A / N ، حيث N هو عدد الدوائر الصغيرة.

عندما ننمي لولبًا لولبيًا ، في كل خطوة M من 1 إلى N ، نصنع شيئًا يشبه إلى حد بعيد دائرة مكونة من دوائر صغيرة M. مساحة تلك الدائرة هي B * M. نظرًا لأننا نعلم أن المنطقة = & pi R 2 ، يمكننا استنتاج نصف القطر المطلوب من المنطقة. R = sqrt (المنطقة / & pi)

يمكننا استخدام هذه التقنية لمعرفة (بالنظر إلى عدد الدوائر التي نرغب في رسمها ، وحجم الدائرة الخارجية) حجم الدوائر الصغيرة ، ومدى رسم كل واحدة منها. الرياضيات الخاصة بحساب أنصاف الأقطار المتوسعة ليست مثالية ، نظرًا لوجود مساحة صغيرة متبقية بعد تجميع الدوائر معًا. للتعويض عن ذلك ، نستخدم عامل الفدج الذي يمنع الدوائر من التداخل من خلال رسمها بشكل أصغر قليلاً. أجد أن الرسم 87٪ من الحجم المثالي يعمل بشكل جيد. ينتج هذا الرقم.

للاقتراب أكثر من عباد الشمس ، يمكننا جعل الدوائر تنمو بشكل أكبر مع نموها للخارج. تتمثل إحدى طرق تحقيق ذلك بسهولة في جعل الدوائر الخارجية تنمو بنفس المقدار تمامًا مع تقلص الدوائر الداخلية ، بحيث تظل مساحة الدوائر كما هي بشكل تراكمي. هنا مثال.

أخيرًا ، يمكننا استخدام متغير المعالجة الإطار لإنتاج بعض تأثيرات الرسوم المتحركة الرائعة باستخدام هذه الأنماط. انقر وانتقل إلى الجزء السفلي من المثال 11 للحصول على مزيد من المعلومات حول كيفية القيام بدورة الألوان. استمتع!

البرنامج التعليمي التالي في هذه السلسلة هو Double Rainbow All The Way !.

بالمناسبة ، إذا كنت في منطقة لوس أنجلوس ، فسوف أقوم بتدريس بضع ورش عمل عن برمجة الرسومات والموسيقى في Culver City ، باستخدام لغة المعالجة ، في الأسابيع القليلة القادمة. مزيد من المعلومات هنا.


مقدمة نشطة لحساب التفاضل والتكامل

ما هي دالتا الجيب وجيب التمام وكيف تنشأ من نقطة تعبر دائرة الوحدة؟

ما هي الخصائص المهمة التي تشترك فيها دالتا الجيب وجيب التمام؟

كيف نحسب قيم ( sin (t) ) و ( cos (t) text <،> ) إما بشكل دقيق أو تقريبي؟

في القسم 2.1 ، رأينا كيف أن تتبع ارتفاع نقطة تعبر دائرة يولد وظيفة دورية ، كما في الشكل 2.1.10. بعد ذلك ، في القسم 2.2 ، حددنا مجموعة من (16 ) نقاط خاصة على دائرة الوحدة ، كما هو موضح في الشكل 2.3.1.

يمكنك أيضًا استخدام ملف ديسموس ملف في http://gvsu.edu/s/0xt لمراجعة ودراسة النقاط الخاصة بدائرة الوحدة.

معاينة النشاط 2.3.1.

إذا أخذنا في الاعتبار دائرة الوحدة في الشكل 2.3.1 ، فابدأ من (t = 0 text <،> ) واجتاز الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة ، فقد نرى ارتفاع (h text <،> ) نقطة العبور كدالة للزاوية ، (t text <،> ) بالتقدير الدائري. من هناك ، يمكننا رسم أزواج مرتبة ((t، h) ) الناتجة وربطها لتوليد الوظيفة الدائرية المصورة في الشكل 2.3.2.

ما هي القيمة الدقيقة لـ (f ( frac < pi> <4>) text <؟> ) لـ (f ( frac < pi> <3>) text <؟> )

أكمل الجدول التالي بقيم (h ) التي تتوافق مع المدخلات المذكورة.

ما هي القيمة الدقيقة لـ (f ( frac <11 pi> <4>) text <؟> ) لـ (f ( frac <14 pi> <3>) text <؟> )

أعط أربع قيم مختلفة لـ (t ) والتي (f (t) = - frac < sqrt <3>> <2> text <.> )

القسم الفرعي 2.3.1 تعريف دالة الجيب

تعتبر الوظيفة الدائرية التي تتعقب ارتفاع نقطة على دائرة الوحدة التي تعبر عكس اتجاه عقارب الساعة من ((1،0) ) كدالة للزاوية المركزية المقابلة (بالراديان) واحدة من أهم الوظائف في الرياضيات. على هذا النحو ، نعطي الوظيفة اسمًا: الوظيفة.

التعريف 2.3.4.

إعطاء زاوية مركزية في دائرة الوحدة تقيس (t ) راديان وتتقاطع مع الدائرة عند كل من ((1،0) ) و ((أ ، ب) نص <،> ) كما هو موضح في الشكل 2.3.5 ، نحدد ، المشار إليه ( sin (t) text <،> ) بالقاعدة

بسبب التطابق بين قياس زاوية الراديان والمسافة المقطوعة على دائرة الوحدة ، يمكننا أيضًا التفكير في ( sin (t) ) على أنه تحديد (y ) - إحداثيات النقطة بعد انتقالها (t ) الوحدات عكس اتجاه عقارب الساعة على طول الدائرة من ((1،0) text <.> ) لاحظ بشكل خاص أنه يمكننا النظر في جيب المدخلات السالبة: على سبيل المثال ، ( sin (- frac < pi> < 2>) = -1 نص <.> )

بناءً على عملنا السابق مع دائرة الوحدة ، نعرف العديد من القيم الدقيقة المختلفة لدالة الجيب ، ونلخصها في الجدول 2.3.6.

الجدول 2.3.6. قيم (h (t) = sin (t) ) عند نقاط خاصة على دائرة الوحدة.

(ر ) (0) ( فارك < بي> <6> ) ( فارك < بي> <4> ) ( فارك < بي> <3> ) ( فارك < بي> <2> ) ( فارك <2 بي> <3> ) ( فارك <3 بي> <4> ) ( فارك <5 بي> <6> ) ( بي )
( الخطيئة (ر) ) (0) ( فارك <1> <2> ) ( فارك < الجذر التربيعي <2>> <2> ) ( فارك < الجذر التربيعي <3>> <2> ) (1) ( فارك < الجذر التربيعي <3>> <2> ) ( فارك < الجذر التربيعي <2>> <2> ) ( فارك <1> <2> ) (0)
(ر ) ( بي ) ( فارك <7 بي> <6> ) ( فارك <5 بي> <4> ) ( فارك <4 بي> <3> ) ( فارك <3 بي> <2> ) ( فارك <5 بي> <3> ) ( فارك <7 بي> <4> ) ( فارك <11 بي> <6> ) (2 بي )
( الخطيئة (ر) ) (0) (- فارك <1> <2> ) (- فارك < الجذر التربيعي <2>> <2> ) (- فارك < الجذر التربيعي <3>> <2> ) (-1) (- فارك < الجذر التربيعي <3>> <2> ) (- فارك < الجذر التربيعي <2>> <2> ) (- فارك <1> <2> ) (0)

علاوة على ذلك ، إذا قمنا الآن برسم هذه النقاط بالطريقة المعتادة ، كما فعلنا في معاينة النشاط 2.3.1 ، فإننا نحصل على دالة الموجة الدائرية المألوفة التي تأتي من تتبع ارتفاع نقطة تعبر دائرة. غالبًا ما نطلق على الرسم البياني في الشكل 2.3.7 اسم موجة جيبية.

القسم الفرعي 2.3.2 تعريف دالة جيب التمام

بالنظر إلى أي زاوية مركزية للقياس الراديان (t ) في دائرة الوحدة مع مرور جانب واحد عبر النقطة ((1،0) نص <،> ) ، تولد الزاوية نقطة فريدة ((أ ، ب) ) التي تقع على الدائرة. تمامًا كما يمكننا عرض (y ) - الإحداثيات كدالة (t text <،> ) (x ) - الإحداثيات هي بالمثل وظيفة (t text <.> ) لذلك نقوم بالتعريف التالي.

التعريف 2.3.8.

إعطاء زاوية مركزية في دائرة الوحدة تقيس (t ) راديان وتتقاطع مع الدائرة عند كل من ((1،0) ) و ((أ ، ب) نص <،> ) كما هو موضح في الشكل 2.3.9 ، نحدد ، المشار إليه ( cos (t) text <،> ) بالقاعدة

مرة أخرى بسبب التطابق بين قياس الراديان لزاوية وطول القوس على طول دائرة الوحدة ، يمكننا عرض قيمة ( cos (t) ) كتتبع (x ) - إحداثيات نقطة تعبر دائرة الوحدة في اتجاه عقارب الساعة مسافة (t ) وحدات على طول الدائرة من ((1،0) نص <.> ) نستخدم الآن البيانات والمعلومات التي طورناها حول دائرة الوحدة لبناء جدول قيم من ( cos (t) ) بالإضافة إلى رسم بياني للمنحنى الذي تولده.

النشاط 2.3.2.

دع (k = g (t) ) هي الوظيفة التي تتعقب (x ) - إحداثيات نقطة تعبر دائرة الوحدة عكس اتجاه عقارب الساعة من ((1،0) text <.> ) أي ، (g (t) = cos (t) text <.> ) استخدم المعلومات التي نعرفها عن دائرة الوحدة التي تم تلخيصها في الشكل 2.3.1 للرد على الأسئلة التالية.

ما هي القيمة الدقيقة لـ ( cos ( frac < pi> <6>) text <؟> ) لـ ( cos ( frac <5 pi> <6>) text <؟> ) ( cos (- frac < pi> <3>) نص <؟> )

أكمل الجدول التالي بالقيم الدقيقة لـ (ك ) التي تتوافق مع المدخلات المذكورة.

على المحاور الواردة في الشكل 2.3.11 ، ارسم رسمًا بيانيًا دقيقًا لـ (k = cos (t) text <.> ) قم بتسمية الموقع الدقيق لعدة نقاط رئيسية على المنحنى.

ما هي القيمة الدقيقة لـ ( cos ( frac <11 pi> <4>) text <؟> ) لـ ( cos ( frac <14 pi> <3>) text <؟ > )

أعط أربع قيم مختلفة لـ (t ) والتي ( cos (t) = - frac < sqrt <3>> <2> text <.> )

كيف يختلف الرسم البياني لـ (k = cos (t) ) عن الرسم البياني (h = sin (t) text <؟> ) كيف تتشابه الرسوم البيانية؟

عندما نعمل مع دالتَي الجيب وجيب التمام ، من المفيد دائمًا تذكر تعريفاتهما من حيث دائرة الوحدة وحركة النقطة التي تعبر الدائرة. في http://gvsu.edu/s/0xe يمكنك استكشاف والتحقيق في ملف ديسموس الرسوم المتحركة التي توضح كيف أن هذه الحركة حول الدائرة تولد كل من الرسوم البيانية ذات الصلة.

القسم الفرعي 2.3.3 خصائص دالات الجيب وجيب التمام

نظرًا لأن دالة الجيب تنتج عن تتبع (y ) - إحداثي نقطة تعبر دائرة الوحدة ووظيفة جيب التمام من الإحداثي (x ) - فإن الوظيفتين لهما العديد من الخصائص المشتركة للوظائف الدائرية.

خصائص دوال الجيب وجيب التمام.

لكل من (f (t) = sin (t) ) و (g (t) = cos (t) text <،> )

مجال الوظيفة هو جميع الأعداد الحقيقية

نطاق الوظيفة ([- 1،1] text <> )

خط الوسط للوظيفة هو (y = 0 text <> )

سعة الوظيفة (أ = 1 نص <> )

فترة الوظيفة هي (p = 2 pi text <.> )

من المفيد أيضًا وضع الرسوم البيانية لوظائف الجيب وجيب التمام جنبًا إلى جنب على نفس محاور الإحداثيات. عندما نفعل ذلك ، كما هو موضح في الشكل 2.3.12 ، نرى أنه يمكن رؤية المنحنيات على أنها ترجمات أفقية لبعضها البعض.

على وجه الخصوص ، نظرًا لأنه يمكن عرض الرسم البياني للجيب على أنه تم إزاحة الرسم البياني لجيب التمام ( frac < pi> <2> ) إلى اليمين ، فإنه يتبع ذلك لأي قيمة (t text <،> )

وبالمثل ، نظرًا لأنه يمكن عرض الرسم البياني لجيب التمام حيث تم إزاحة الرسم البياني للجيب إلى اليسار ،

نظرًا لأن كل من المعادلتين السابقتين تحمل كل قيمة من (t text <،> ) غالبًا ما يشار إليها باسم المتطابقات.

في ضوء تعريفات دوال الجيب وجيب التمام ، يمكننا الآن عرض أي نقطة ((س ، ص) ) على دائرة الوحدة على أنها من النموذج (( cos (t) ، الخطيئة (t) ) text <،> ) حيث (t ) هو قياس الزاوية التي تكون رؤوسها ((1،0) text <،> ) ((0،0) text <،> ) و ((x، y) text <.> ) لاحظ بشكل خاص أنه بما أن (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 text <،> ) صحيح أيضًا أن ( cos ^ 2 ( t) + sin ^ 2 (t) = 1 text <.> ) نسمي هذه الحقيقة الهوية المثلثية الأساسية.

الهوية الأساسية المثلثية.

لأي رقم حقيقي (t text <،> )

هناك اتجاهات وأنماط إضافية في الرسوم البيانية للوظيفتين التي نستكشفها أكثر في النشاط التالي.

النشاط 2.3.3.

استخدم الشكل 2.3.12 للمساعدة في الإجابة على الأسئلة التالية.

أعط مثالاً على أكبر فاصل زمني يمكنك أن تجد فيه (f (t) = sin (t) ) يتناقص.

أعط مثالاً على أكبر فاصل زمني يمكنك أن تجد فيه (f (t) = sin (t) ) يتناقص ويتقعر لأسفل.

أعط مثالاً على أكبر فاصل زمني يمكنك أن تجد فيه (g (t) = cos (t) ) يتزايد.

أعط مثالاً على أكبر فاصل زمني يمكنك أن تجد فيه (g (t) = cos (t) ) يتزايد ويتقعر لأعلى.

بدون إجراء أي حساب ، يكون الفاصل الزمني هو متوسط ​​معدل التغيير (g (t) = cos (t) ) أكبر: ([ pi ، pi + 0.1] ) أو ([ frac <3pi> <2>، frac <3 pi> <2> + 0.1] text <؟> ) لماذا؟

بشكل عام ، كيف يمكنك تمييز المواقع على الرسوم البيانية للجيب وجيب التمام حيث تتزايد الدوال أو تتناقص بسرعة أكبر؟

التفكير من منظور دائرة الوحدة ، حيث تكون أرباع المستوى (x ) - (y ) ( cos (t) ) سلبية للزاوية (t ) الموجودة في هذا الربع ؟

القسم الفرعي 2.3.4 استخدام تقنية الحوسبة

لقد أثبتنا أننا نعرف القيمة الدقيقة لـ ( sin (t) ) و ( cos (t) ) لأي من (t ) - القيم في الجدول 2.3.6 ، وكذلك لـ أي (t pm 2j pi text <،> ) حيث (j ) هو عدد صحيح ، بسبب دورية الوظائف. ولكن ماذا لو أردنا معرفة ( sin (1.35) ) أو ( cos ( frac < pi> <5>) ) أو قيم المدخلات الأخرى غير الموجودة في الجدول؟

أي جهاز حسابي قياسي مثل الآلة الحاسبة العلمية ، ديسموس, جيوجبرا، أو ولفرام ألفا، لديه القدرة على تقييم وظائف الجيب وجيب التمام في أي مدخلات نرغب فيها. نظرًا لأن الإدخال يُنظر إليه كزاوية ، فإن كل جهاز كمبيوتر لديه خيار النظر في الزاوية بالتقدير الدائري أو الدرجات. من الضروري دائمًا أن تكون متأكدًا من نوع الإدخال الذي يتوقعه جهازك. الجهاز الحسابي المفضل لدينا هو ديسموس. في ديسموس، يمكنك تغيير نوع الإدخال بين الراديان والدرجات بالنقر فوق رمز مفتاح الربط في أعلى اليمين واختيار الوحدات المطلوبة. مقياس الراديان هو الافتراضي.

يتطلب الأمر رياضيات كبيرة ومعقدة لتمكين جهاز حسابي من تقييم وظائف الجيب وجيب التمام بأي قيمة نريدها تتضمن الخوارزميات فكرة من حساب التفاضل والتكامل تُعرف باسم سلسلة لانهائية على الرغم من أن جهازك الحسابي قوي ، إلا أنه من المفيد والمهم فهم معنى هذه القيم في دائرة الوحدة وتذكر النقاط الخاصة التي نعرف عنها مخرجات وظائف الجيب وجيب التمام بالضبط.

النشاط 2.3.4.

أجب عن الأسئلة التالية بالضبط حيثما أمكن ذلك. إذا قمت بتقدير قيمة ، فقم بذلك حتى (5 ) منازل عشرية على الأقل من الدقة.

إحداثي (x ) للنقطة على دائرة الوحدة التي تقع في الربع الثالث والتي يكون إحداثياتها (y ) - (y = - frac <3> <4> text <.> )

(y ) - تنسيق النقطة على دائرة الوحدة الناتجة عن زاوية مركزية في الوضع القياسي الذي يقيس (t = 2 ) راديان.

(x ) - إحداثيات النقطة على دائرة الوحدة الناتجة عن زاوية مركزية في الوضع القياسي الذي يقيس (t = -3.05 ) راديان.

قيمة ( cos (t) ) حيث (t ) هي زاوية في الربع الثاني ترضي ( sin (t) = frac <1> <2> text <.> )

قيمة ( sin (t) ) حيث (t ) هي زاوية في الربع الثالث والتي ( cos (t) = -0.7 text <.> )

متوسط ​​معدل التغيير (f (t) = sin (t) ) على الفواصل الزمنية ([0.1،0.2] ) و ([0.8،0.9] text <.> )

متوسط ​​معدل التغيير (g (t) = cos (t) ) على الفواصل الزمنية ([0.1،0.2] ) و ([0.8،0.9] text <.> )

ملخص القسم الفرعي 2.3.5

تنجم دالتا الجيب وجيب التمام عن تتبع إحداثيات (y ) - و (x ) - لنقطة تعبر دائرة الوحدة عكس اتجاه عقارب الساعة من ((1،0) text <.> ) قيمة ( sin (t) ) هو (y ) - إحداثي نقطة اجتازت (t ) وحدات على طول الدائرة من ((1،0) ) (أو مكافئ يتوافق مع زاوية من (t ) راديان) ، بينما قيمة ( cos (t) ) هي (س ) - إحداثي نفس النقطة.

دالتا الجيب وجيب التمام هي وظائف دورية تشترك في نفس المجال (مجموعة جميع الأرقام الحقيقية) ، النطاق (الفاصل ([- 1،1] )) ، خط الوسط ( (y = 0 )) ، السعة ( (a = 1 )) ، والدورة ( (P = 2 pi )). بالإضافة إلى ذلك ، فإن وظيفة الجيب هي التحول الأفقي لوظيفة جيب التمام من خلال وحدات ( frac < pi> <2> ) إلى اليمين ، لذلك ( sin (t) = cos (t- frac < pi> <2>) ) لأي قيمة من (t text <.> )

إذا كان (t ) يتوافق مع إحدى الزوايا الخاصة التي نعرفها في دائرة الوحدة (كما في الشكل 2.3.1) ، فيمكننا حساب قيم ( sin (t) ) و ( cos ( ر) ) بالضبط. بالنسبة إلى القيم الأخرى لـ (t text <،> ) ، يمكننا استخدام جهاز حسابي لتقدير قيمة أي من الوظيفتين عند إدخال معين عندما نفعل ذلك ، يجب أن نحرص على معرفة ما إذا كنا نحسب من حيث الراديان أو درجات.

تمارين 2.3.6 تمارين

بدون استخدام جهاز حسابي ، حدد القيمة الدقيقة لكل من الكميات التالية.

(t ) في الربع الثالث مثل ( cos (t) = - فارك < sqrt <3>> <2> )

(t ) في الربع الرابع مثل ( sin (t) = - فارك < sqrt <3>> <2> )

نحن نعرف الآن ثلاث هويات مختلفة تتضمن وظائف الجيب وجيب التمام: ( sin (t + frac < pi> <2>) = cos (t) text <،> ) ( cos (t- ) frac < pi> <2>) = sin (t) text <،> ) و ( cos ^ 2 (t) + sin ^ 2 (t) = 1 text <.> ) المتابعة هي عدة هويات مقترحة. لكل منها ، مهمتك هي أن تقرر ما إذا كانت الهوية صحيحة أم خاطئة. إذا كان هذا صحيحًا ، قدم حجة مقنعة عن سبب كونه صحيحًا إذا كان خطأ ، أعط مثالاً على (t ) - القيمة التي فشلت المعادلة في الاحتفاظ بها.


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

في القسم السابق ، حددنا وظائف جيب التمام والجيب من حيث إحداثيات (س ) و (ص ) على دائرة الوحدة. حددنا أيضًا جيب التمام وجيب الزاوية كنسب لأضلاع المثلث القائم. بما أن المثلث له 3 جوانب ، فهناك 6 مجموعات ممكنة لنسب أطوال الأضلاع. في حين أن جيب التمام والجيب هما النسبتان البارزتان اللتان يمكن تكوينهما ، إلا أن هناك أربعة أخرى ، وهما معًا يحددان الوظائف المثلثية الست.

القسم الفرعي وظيفة الظل

تعريف الظل

بالنظر إلى الزاوية ( theta ) (إما بالدرجات أو الراديان) وإحداثيات ((س ، ص) ) للنقطة المقابلة في دائرة الوحدة ، فإننا نعرّف الظل على أنه

الظل هو الذي يأخذ الزوايا كمدخلات ، تمامًا مثل الجيب وجيب التمام.

لاحظ أنه منذ ( sin ( theta) = y ) و ( cos ( theta) = x text <،> ) يمكننا أيضًا تعريف الظل على أنه

يمكننا إيجاد قيم المماس للزوايا المشتركة على دائرة الوحدة باستخدام قيم الجيب وجيب التمام للزوايا (أو إحداثيات (y ) و (x ) المقابلة).

المثال 35

نظرًا لأننا نعرف قيم الجيب وجيب التمام لـ (45 ^ circ text <،> ) فمن المنطقي ربط قيمة الظل مرة أخرى بقيم الجيب وجيب التمام.

من تعريف الظل ، لدينا هذا (، displaystyle tan ( theta) = frac < sin ( theta)> < cos ( theta)> ،) لذا

المثال 36

من تعريف الظل ، نحصل على ذلك

كما فعلنا مع الجيب وجيب التمام ، يمكننا أيضًا تحديد تعريف مكافئ ، ولكن أكثر عمومية للماس باستخدام مثلث قائم الزاوية.

إعطاء مثلث قائم الزاوية بزاوية ( theta text <،> ) نحدد المماس كـ

يشكل Tangent جزء "Toa" من ذاكري Soh-Cah-Toa ، والذي يرمز إلى "Tangent هو عكس المجاور".

لاحظ أن تعريف الظل هذا يعادل التعريف أعلاه منذ ذلك الحين

المثال 37

لإيجاد ارتفاع الشجرة ، يمشي الشخص إلى نقطة 30 قدمًا من قاعدة الشجرة ، ويقيس الزاوية من الأرض إلى قمة الشجرة لتكون 57 درجة. أوجد ارتفاع الشجرة.

لنبدأ برسم صورة للموقف وتسمية المعلومات المعروفة.

يمكننا تقديم متغير ، (h text <،> ) لتمثيل ارتفاع الشجرة. إن ضلعي المثلث الأهم بالنسبة لنا هما الضلع المقابل لزاوية (57 ^ circ ) ، وهو ارتفاع الشجرة الذي نبحث عنه ، والضلع المجاور له مسافة 30 قدما.

الدالة المثلثية التي تربط الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها هي دالة الظل. باستخدام هذه الوظيفة ، يمكننا إعداد معادلة وحلها لإيجاد (h text <.> )

يبلغ طول الشجرة حوالي 46.2 قدمًا.

الحذر 38

نظرًا لأن دالة الظل يتم تعريفها بواسطة حاصل القسمة ، فإن لها مجالًا مقيدًا. تكون وظيفة الظل غير معرّفة إذا كان المقام صفراً ، وهو ما يحدث بالضبط عندما ( cos ( theta) = 0 text <.> ) على الفاصل ([0،2 pi] text <،> ) ( cos ( theta) = 0 ) عندما ( theta = frac < pi> <2> ) أو ( theta = frac <3 pi> <2> text <. > ) هذا يعني أن ( frac<2> ) و ( frac <3 pi> <2> ) ليسا في مجال وظيفة الظل. إذا أخذنا في الاعتبار وظيفة الظل على فاصل زمني أكبر من ([0،2 pi] text <،> ) فقد يتم استبعاد المزيد من القيم من المجال.

القسم الفرعي الرسم البياني لوظيفة الظل

تمامًا كما فعلنا مع دالتَي الجيب وجيب التمام في القسم السابق ، يمكننا رسم رسم بياني لوظيفة الظل عن طريق إنشاء جدول لقيم الإدخال والإخراج ورسم هذه النقاط على مستوى. يوجد أدناه جدول قيم لـ (f ( theta) = tan ( theta) ) والرسم البياني المقابل لها.

لاحظ أن قيم مخرجات الظل تتكرر على فترة زمنية منتظمة ، لذلك (f ( theta) = tan ( theta) ) هي وظيفة دورية. لأي زاوية ، توجد زاوية ثانية في المنتصف حول دائرة الوحدة بنفس قيمة الظل. لذلك ، فترة الظل هي ( pi text <.> ) يمكننا أن نرى دورة واحدة متصلة من (- pi / 2 ) إلى ( pi / 2 text <،> ) قبل الرسم البياني يقفز ويعيد نفسه.

الملاحظة 39

لا يحتوي الرسم البياني للماس على قيمة قصوى أو أدنى قيمة. لذلك ، كما قد تتذكر من Note5 ، فإن الظل هو مثال على وظيفة دورية بدون خط وسط أو سعة.

المثال 40

اشرح كيف ترتبط وظيفة الظل بميل خط يمر عبر الأصل والنقطة ((x ، y) ) على دائرة الوحدة.

إحدى الطرق التي يمكننا بها التفكير في التمثيل البياني للماس هي ربط دالة الظل بميل خط يمر عبر الأصل والنقطة ((x ، y) ) على دائرة الوحدة. أعلاه ، قمنا بتعريف الظل على أنه

حيث (x ) و (y ) هما إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة المقابلة لزاوية معينة ( theta text <.> ) الآن ، لاحظ أن (y / x ) يتوافق إلى منحدر خط عبر الأصل. لذلك ، ظل الزاوية ، ( theta text <،> ) هو ميل الخط الذي يمر عبر الأصل مما يجعل زاوية ( ثيتا ) مع المحور الموجب (س ) -.

يمكننا أيضًا ربط هذا المفهوم بمخطط المماس. بزاوية 0 ، سيكون الخط أفقيًا وميله صفر. هذا يتوافق مع قيمة ( tan (0) = 0 text <،> ) أو حيث يمر الرسم البياني للماس عبر الأصل. كلما زادت الزاوية باتجاه ( pi / 2 text <،> ) يزداد ميل الخط أكثر فأكثر. بزاوية ( pi / 2 text <،> ) سيكون الخط عموديًا وسيكون الميل غير محدد. بعد ( pi / 2 text <،> ) على الفور ، سيكون للخط انحدار سلبي حاد ، يتوافق مع قيمة سالبة كبيرة للظل. يتوافق المنحدر غير المحدد عند ( pi / 2 ) مع خط مقارب عمودي على الرسم البياني ، حيث تقفز قيمة الظل من قيمة موجبة كبيرة إلى قيمة سالبة كبيرة.

قسم الدوال المثلثية المقلوبة

هناك أوقات يمكن أن يكون من المفيد فيها التفكير في وظائف مثل (1 / sin ( theta) ) أو (1 / cos ( theta) text <.> ) هذا يحدث غالبًا بما يكفي لأن علماء الرياضيات قد ابتكروا أسماء خاصة لهذه الأنواع من الوظائف. بشكل عام ، تسمى هذه الوظائف ، ويمكن تعريفها من حيث وظائف الجيب وجيب التمام والظل.


سلسلة فورييه والتكاملات

تمارين

استخدم سلسلة Fourier sine لـ f (x) = (π - x) / 2، 0 & lt x ≤ π ، من المثال 12.16 وأثبت

تلميح: قم بإنشاء سلسلة Fourier cosine من f (x) = π - x، 0 & lt x ≤ π.

أنشئ سلسلة فورييه لجيب التمام من sin x ، 0 ≤ x ≤ π ، وأثبت ذلك

قم بإنشاء سلسلة جيب فورييه من f (x) = x (π - x) ، 0 ≤ x ≤ π ، واستنتج

إثبات عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي وشوارتز في مساحة المنتج الداخلية.

تلميح: اتبع إثبات النظرية 4.7.

إثبات عدم مساواة المثلث في مساحة المنتج الداخلية.

أثبت أن قاعدة الفضاء المعياري E يمكن تعريفها من خلال المنتج الداخلي إذا كانت ترضي متوازي الأضلاع

(نظرية فيثاغورس المعممة) أثبت أنه إذا كانت p q في فضاء ناتج داخلي ، فإن ∥ p + q ∥ 2 = ∥ p ∥ 2 + ∥ q ∥ 2.

إثبات أن كل نظام متعامد

في مساحة المنتج الداخلية مستقل خطيًا.

تلميح: احسب الجانب الأيسر من ∑ i = 1 n a i p i 2 = 0 واستخدم ∥ p i ∥ & gt 0 لجميع i = 1،…، n.

أثبت أنه في فضاء باناخ ، تكون كل سلسلة متقاربة تمامًا متقاربة. قدم مثالاً مضادًا يوضح أن هذه الحقيقة لا تنطبق على المساحات المعيارية.

تحقق من أن النظرية 12.50 يمكن الحصول عليها من نظرية 6.25.

تلميح: حدد f ∈ C (- π، π) ، مرضية f (- π) = f (π) ، مع وظيفة على دائرة الوحدة S واستخدم انضغاط S.

أثبت أنه إذا كان معاملا فورييه a n و b n للدالة يلبيان n ≤ 1 / n 2 و b n ≤ 1 / n 2 ، فإن سلسلة فورييه لهذه الدالة تتقارب بشكل موحد.

طبِّق هوية بارسيفال على f (x) = x 2 ، - π ≤ x ≤ π ، واستنتج

لنفترض أن سلسلة من المصطلحات الموجبة. حدد

تلميح: استخدم التلخيص Cesàro.

(تكامل فورييه الجيب) لنفترض أن f قابلة للتكامل تمامًا في [0 ،) ومتجانسة على كل نطاق على كل فاصل زمني محدد من [0 ، ∞). اثبت ذلك

(تكامل فورييه لجيب التمام) لنفترض أن f قابلة للتكامل تمامًا في [0 ، and) ومتجانسة متعددة التعريف على كل فاصل زمني محدد من [0 ، ∞). اثبت ذلك


5.3.3E: نقاط على الدوائر باستخدام الجيب وجيب التمام (تمارين) - الرياضيات

يمكن دمج الدوال التي تتكون من نواتج الجيب وجيب التمام باستخدام مطابقات الاستبدال والمثلثية. قد تكون هذه في بعض الأحيان مملة ، لكن التقنية واضحة ومباشرة. بعض الأمثلة تكفي لشرح النهج.

مثال 10.1.1 قم بتقييم $ ds int sin ^ 5 x ، dx $. أعد كتابة الوظيفة: $ int sin ^ 5 x ، dx = int sin x sin ^ 4 x ، dx = int sin x ( sin ^ 2 x) ^ 2 ، dx = int sin x (1- cos ^ 2 x) ^ 2 dx. $ الآن استخدم $ u = cos x $، $ du = - sin x ، dx $: $ eqalign < int sin x (1- cos ^ 2 x) ^ 2 ، dx & = int - (1-u ^ 2) ^ 2 ، du cr & = int - (1-2u ^ 2 + u ^ 4) ، du cr & = - u + <2 over3> u ^ 3- <1 over5> u ^ 5 + C cr & = - cos x + <2 over3> cos ^ 3 x- <1 over5> cos ^ 5x + C. cr> $

مثال 10.1.2 قم بتقييم $ ds int sin ^ 6 x ، dx $. استخدم $ ds sin ^ 2x = (1- cos (2x)) / 2 $ لإعادة كتابة الوظيفة: $ eqalign < int sin ^ 6 x ، dx = int ( sin ^ 2 x) ^ 3 ، dx & = int <(1- cos 2x) ^ 3 over 8> ، dx cr & = <1 over 8> int 1-3 cos 2x + 3 cos ^ 2 2x - cos ^ 3 2x ، dx. cr> $ الآن لدينا أربعة تكاملات للتقييم: $ int 1 ، dx = x $ و $ int -3 cos 2x ، dx = - <3 over 2> الخطيئة 2x $ سهلة. التكامل $ ds cos ^ 3 2x $ مثل المثال السابق: $ eqalign < int - cos ^ 3 2x ، dx & = int - cos 2x cos ^ 2 2x ، dx cr & = int - cos 2x (1- sin ^ 2 2x) ، dx cr & = int - <1 over 2> (1-u ^ 2) ، du cr & = - <1 أكثر من 2> اليسار (u- right) cr & = - <1 over 2> left ( sin 2x - < sin ^ 3 2x over 3> right).> $ وأخيراً نستخدم هوية مثلثية أخرى ، $ ds cos ^ 2x = (1+ cos (2x)) / 2 $: $ int 3 cos ^ 2 2x ، dx = 3 int <1+ cos 4x over 2> ، dx = <3 over 2> يسار (x + < sin 4x over 4> right). $ لذا أخيرًا نحصل على $ int sin ^ 6 x ، dx = - <3 over 16> sin 2x - <1 over 16> left ( sin 2x - < sin ^ 3 2x over 3> right) + <3 over 16> left (x + < الخطيئة 4x أكثر من 4> right) + C. $

مثال 10.1.3 قم بتقييم $ ds int ! sin ^ 2x cos ^ 2x ، dx $. استخدم الصيغ $ ds sin ^ 2x = (1- cos (2x)) / 2 $ و $ ds cos ^ 2x = (1+ cos (2x)) / 2 $ لتحصل على: $ int sin ^ 2x cos ^ 2x ، dx = int <1- cos (2x) over2> cdot <1+ cos (2x) over2> ، dx. - يُترك الباقي كتمرين.


شاهد الفيديو: جيب تمام الزاوية الحادة (شهر اكتوبر 2021).