مقالات

1.4.4E: تكوين الوظائف - الرياضيات


القسم 1.4 تمرين

بالنظر إلى كل زوج من الوظائف ، احسب (f (g (0)) ) و (g (f (0)) ).

1. (f (x) = 4x + 8، g (x) = 7 - x ^ {2} )

2. (f (x) = 5x + 7، g (x) = 4 - 2x ^ {2} )

3. (f (x) = sqrt {x + 4}، g (x) = 12 - x ^ {3} )

4. (f (x) = dfrac {1} {x + 2}، g (x) = 4x + 3 )

استخدم جدول القيم لتقييم كل تعبير

5. (و (ز (8)) )

6. (و (ز (5)) )

7. (ز (و (5)) )

8. (ز (و (3)) )

9. (و (و (4)) )

10. (و (و (1)) )

11. (ز (ز (2)) )

12. (ز (ز (6)) )

استخدم الرسوم البيانية لتقييم التعبيرات أدناه.

13. (و (ز (3)) )

14. (و (ز (1)) )

15. (ز (و (1)) )

16. (ز (و (0)) )

17. (و (و (5)) )

18. (و (و (4)) )

19. (ز (ز (2)) )

20. (ز (ز (0)) )

لكل زوج من الوظائف ، ابحث عن (f (g (x)) ) و (g (f (x)) ). تبسيط إجاباتك.

21. (f (x) = dfrac {1} {x - 6}، g (x) = dfrac {7} {x} + 6 )

22. (f (x) = dfrac {1} {x-4}، g (x) = dfrac {2} {x} + 4 )

23. (f (x) = x ^ {2} + 1، g (x) = sqrt {x + 2} )

24. (f (x) = sqrt {x} +2، g (x) = x ^ {2} +3 )

25. (f (x) = | x | ، g (x) = 5x + 1 )

26. (f (x) = sqrt [{3}] {x}، g (x) = dfrac {x + 1} {x ^ {3}} )

27. إذا (f (x) = x ^ {4} +6 )، (g (x) = x - 6 ) و (h (x) = sqrt {x} ) ، ابحث عن (و (ز (ح (خ))) )

28. إذا (f (x) = x ^ {2} +1 ) ، (g (x) = dfrac {1} {x} ) و (h (x) = x + 3 ) ، ابحث عن (f (g (h (x))) )

29. تعطي الوظيفة (D (p) ) عدد العناصر التي سيتم طلبها عندما يكون السعر (p ). تكلفة الإنتاج (C (x) ) هي تكلفة إنتاج (x ) أصناف. لتحديد تكلفة الإنتاج عندما يكون السعر 6 دولارات ، يمكنك القيام بأي مما يلي:

أ. تقييم (D (C (6)) )
ب. تقييم (C (D (6)) )
ج. حل (د (ج (س)) = 6 )
د. حل (ج (د (ع)) = 6 )

20. الوظيفة (A (d) ) تعطي مستوى الألم على مقياس من 0-10 الذي يعاني منه المريض مع (d ) ملليغرام من دواء تخفيف الألم في نظامهم. مليغرام من المخدرات في نظام المريض بعد ر الدقائق على غرار (m (t) ). لتحديد متى سيكون المريض عند مستوى الألم 4 ، ستحتاج إلى:

أ. تقييم (A (م (4)) )
ب. تقييم (م (أ (4)) )
ج. حل (أ (م (ر) = 4 )
د. حل (م (أ (د)) = 4 )

31. نصف قطر (r ) ، بالبوصة ، للبالون الكروي مرتبط بالحجم ، (V ) ، من خلال (r (V) = sqrt [{3}] { dfrac {3V} {4 pi}} ). يتم ضخ الهواء في البالون ، وبالتالي يتم إعطاء الحجم بعد (t ) ثانية بواسطة (V (t) = 10 + 20t ).

أ. ابحث عن الوظيفة المركبة (r (V (t)) )

ب. أوجد نصف القطر بعد 20 ثانية

32. عدد البكتيريا في منتج غذائي مبرد يتم الحصول عليه من خلال (N (T) = 23T ^ {2} - 56T + 1 ) ، (3 ر هو الوقت بالساعات.

أ. ابحث عن الوظيفة المركبة (N left (T left (t right) right) )
ب. ابحث عن عدد البكتيريا بعد 4 ساعات

33. إذا كان (p (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} ) و (m (x) = x ^ {2} -4 ) ، فأوجد مجال (m ( ع (خ) ).

34. إذا كان (p (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} ) و (m (x) = 9 - x ^ {2} ) ، فأوجد مجال (m ( ع (خ)) ).

35. عند إعطاء (f (x) = dfrac {1} {x + 3} ) و (g (x) = dfrac {2} {x - 1} ) ، أوجد مجال (f (ز (خ)) ).

36. إذا كان (f (x) = dfrac {x} {x + 1} ) و (g (x) = dfrac {4} {x} ) ، فأوجد مجال (f (g (خ)) ).

37. عند إعطاء (f (x) = sqrt {x-2} ) و (g (x) = dfrac {2} {x ^ {2} -3} ) ، أوجد مجال ( ز (و (س)) ).

38. بالنظر إلى (f (x) = sqrt {4-x} ) و (g (x) = dfrac {1} {x ^ {2} -2} ) ، أوجد مجال ( ز (و (س)) ).

ابحث عن الدالات (f (x) ) و (g (x) ) بحيث يمكن التعبير عن الوظيفة المعطاة كـ (h (x) = f (g (x)) ).

39. (ح (س) = (س + 2) ^ {2} )

40. ((x) = (x-5) ^ {3} )

41. ((x) = dfrac {3} {x-5} )

42. (h (x) = dfrac {4} {(x + 2) ^ {2}} )

43. (h (x) = 3 + sqrt {x-2} )

44. (h (x) = 4 + sqrt [{3}] {x} )

45. لنكن (f (x) ) دالة خطية ، مع الشكل (f (x) = ax + b ) للثوابت (a ) و (b ). [UW]

أ. أظهر أن (f left (f left (x right) right) ) دالة خطية
ب. ابحث عن دالة (g (x) ) مثل (g left (g left (x right) right) = 6x-8 )

46. ​​دع (f (x) = dfrac {1} {2} x + 3 ) [UW]

أ. ارسم الرسوم البيانية (f (x) ) ، (f (f (x)) ) ، (f (f (x))) ) على الفاصل (- 2 le x ) جنيه 10 )
ب. يجب أن تتقاطع جميع الرسوم البيانية الخاصة بك عند النقطة (6 ، 6). تسمى القيمة x = 6 نقطة ثابتة للدالة (f (x) ) منذ (f (6) = 6 ) ؛ أي أن الرقم 6 ثابت - لا يتحرك عند تطبيق (f ) عليه. قدِّم شرحًا لسبب كون 6 نقطة ثابتة لأي دالة (f (f (... f (x) ...))) ).
ج. يمكن أن تحتوي الدوال الخطية (باستثناء (f (x) = x )) على نقطة ثابتة واحدة على الأكثر. يمكن أن تحتوي الدوال التربيعية على اثنين على الأكثر. أوجد النقاط الثابتة للدالة (g (x) = x ^ {2} -2 ).
د. أعط دالة تربيعية تكون نقاطها الثابتة (x = -2 ) و (x = 3 ).

47. سيارة تغادر سياتل متجهة شرقا. يتم الحصول على سرعة السيارة م / س بعد (م ) دقيقة من خلال الوظيفة (C (m) = dfrac {70m ^ {2}} {10 + m ^ {2}} ). ابحث عن دالة (m = f (s) ) تحول الثواني (s ) إلى دقائق (m ). اكتب صيغة الدالة الجديدة (C (f (s)) ) ؛ ماذا تحسب هذه الوظيفة؟
ب. ابحث عن دالة (m = g (h )) تحول الساعات (h ) إلى دقائق (m ). اكتب صيغة الدالة الجديدة (C (g (h)) ) ؛ ماذا تحسب هذه الوظيفة؟
ج. ابحث عن دالة (z = v (s) ) التي تحول mph (s ) إلى ft / sec (z ). اكتب صيغة الدالة الجديدة (v (C (m) ) ؛ ما الذي تحسبه هذه الدالة؟

إجابه

1. (و (ج (0)) = 36 ). (ز (و (0)) = -57 )

3. (و (ز (0)) = 4 ). (ز (و (0)) = 4 )

5. 4

7. 9

11. 7

13. 0

15. 4

17. 3

19. 2

21. (f (g (x)) = dfrac {x} {7} ) (g (f (x)) = 7x - 36 )

23. (f (g (x)) = x + 3 ) (g (f (x)) = sqrt {x ^ 2 + 3} )

25. (f (g (x)) = | 5x + 1 | ) (g (f (x)) = 5 | x | + 1 )

27. (f (g (h (x))) = ( sqrt {x} - 6) ^ 4 + 6 )

29. ب

31. أ. (r (V (t)) = sqrt [3] { dfrac {3 (10 + 20t)} {4 pi}} )
ب. 4.609 بوصة

33. ((0، infty) )

35. ((- infty، dfrac {1} {3}) كوب ( dfrac {1} {3}، 1) كوب (1، infty) )

37. ([2، 5) كوب (5، infty) )

39. (ز (س) = س + 2 ) ، (و (س) = س ^ 2 )

41. (f (x) = dfrac {3} {x} ) ، (g (x) = x - 5 )

43. (f (x) = 3 + sqrt {x} ) ، (g (x) = x - 2 ) ، أو (f (x) = 3 + x ) ، (g ( س) = الجذر التربيعي {س - 2} )

45. (و (و (س)) = أ (فأس + ب) + ب = (أ ^ 2) س + (أب + ب) )
ب. (g (x) = sqrt {6} x - dfrac {8} { sqrt {6} + 1} ) أو (g (x) = - sqrt {6} x - dfrac {8 } {1 - sqrt {6}} )

47. (C (f (s)) = dfrac {70 ( dfrac {s} {60}) ^ 2} {10 + ( dfrac {s} {60}) ^ 2} )
ب. (C (g (h)) = dfrac {70 (60 ساعة) ^ 2} {10 + (60 ساعة) ^ 2} )
ج. (v (C (m)) = dfrac {5280} {3600} ( dfrac {70m ^ 2} {10 + m ^ 2}) )


الوظائف المركبة - الشرح وأمثلة أمبير

في الرياضيات ، الوظيفة هي قاعدة تربط مجموعة معينة من المدخلات بمجموعة من المخرجات المحتملة. النقطة المهمة التي يجب ملاحظتها حول الوظيفة هي أن كل إدخال مرتبط بمخرج واحد بالضبط.

تُعرف عملية تسمية الوظائف باسم تدوين الوظيفة. تتضمن رموز الترميز الوظيفية الأكثر شيوعًا: & # 8220f (x) = & # 8230 "،" g (x) = & # 8230 "، & # 8220h (x) = & # 8230 ، & # 8221 إلخ.

في هذه المقالة سوف نتعلم ما هي الدوال المركبة وكيفية حلها.


1.4 تكوين الوظائف

لنفترض أننا نريد حساب تكلفة تدفئة المنزل في يوم معين من العام. تعتمد تكلفة تدفئة المنزل على متوسط ​​درجة الحرارة اليومية ، وبالتالي يعتمد متوسط ​​درجة الحرارة اليومية على يوم معين من السنة. لاحظ كيف حددنا للتو علاقتين: التكلفة تعتمد على درجة الحرارة ، ودرجة الحرارة تعتمد على اليوم.

من خلال الجمع بين هاتين العلاقتين في وظيفة واحدة ، قمنا بتكوين الوظيفة ، وهو محور هذا القسم.

الجمع بين الوظائف باستخدام العمليات الجبرية

تكوين الوظيفة هو طريقة واحدة فقط لدمج الوظائف الحالية. هناك طريقة أخرى وهي إجراء العمليات الجبرية المعتادة على الوظائف ، مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. نقوم بذلك عن طريق إجراء العمليات مع مخرجات الوظيفة ، وتحديد النتيجة على أنها ناتج وظيفتنا الجديدة.

لنفترض أننا بحاجة إلى إضافة عمودين من الأرقام التي تمثل الدخل السنوي المنفصل للزوج والزوجة على مدى فترة من السنوات ، والنتيجة هي إجمالي دخل الأسرة. نريد القيام بذلك لكل عام ، بإضافة مداخيل تلك السنة فقط ثم جمع كل البيانات في عمود جديد. إذا كان w (y) w (y) هو دخل الزوجة و h (y) h (y) هو دخل الزوج في السنة y ، y ، ونريد أن يمثل T T إجمالي الدخل ، فيمكننا تحديد وظيفة جديدة.

إذا كان هذا صحيحًا لكل عام ، فيمكننا التركيز على العلاقة بين الوظائف دون الرجوع إلى عام والكتابة

تمامًا كما هو الحال بالنسبة لمجموع وظيفتين ، يمكننا تحديد وظائف الاختلاف والمنتج والنسبة لأي زوج من الوظائف التي لها نفس أنواع المدخلات (وليس بالضرورة أرقامًا) وأيضًا نفس أنواع المخرجات (التي يجب أن تكون أرقامًا بحيث يمكن تطبيق العمليات الجبرية المعتادة عليها ، والتي يجب أن تحتوي أيضًا على نفس الوحدات أو لا تحتوي على وحدات عند الجمع والطرح). بهذه الطريقة ، يمكننا التفكير في الجمع والطرح والضرب والقسمة.


4 إجابات 4

عادةً ، عندما يكون $ f Colon X to Y $ و $ g colon Y to Z $ خرائط ، تتم كتابة تكوينها $ g circ f $ ، بدلاً من $ f circ g $: بهذه الطريقة تكتب $ g circ f (x) = g (f (x)) $ حسب التعريف.

يبدو أنك تخلط بين المجال المشترك والمدى. النطاق ، أو الصورة ، $ f $ هو مجموعة فرعية من المجال المشترك $ Y $ الذي يتألف من العناصر $ f (x) $ ، لـ $ x in X $. النطاق ليس له دور على الإطلاق عند النظر في تكوين الخرائط. على الأقل ، عندما يُفترض أن يتم تعريف الخرائط على النطاق بأكمله كما هو الحال عند الحديث عن التخبطية أو النزعة الحيوية.

الترابط شبه واضح. إذا كانت لديك دالة أخرى $ h Colon Z to W $ ، فلديك ، حسب التعريف، هذا $ g circ f Colon X to Z $ و $ h circ g colon Y to W $. وبالتالي يمكن للمرء أيضًا أن يأخذ في الاعتبار التركيبات $ h circ (g circ f) qquad text qquad (h circ g) circ f $ وكلاهما خرائط $ X إلى W $ ، لذلك من المنطقي أن نسأل عما إذا كانا متساويين. هم ، لأن لكل دولار x في X $ لدينا $ h circ (g circ f) (x) = h (g circ f (x)) = h (g (f (x)) = h circ g (f (x)) = (h circ g) circ f (x). $ إذا لم تتمكن من تحليل هذا ، فقم فقط بتعيين $ y = f (x) $، $ z = g (y) $ ، $ F = g circ f $ و $ G = h circ g $ ، بحيث أن $ F (x) = g (f (x)) = g (y) = z $. ثم $ h circ ( g circ f) (x) = h circ F (x) = h (F (x)) = h (z) $ و $ (h circ g) circ f (x) = G circ f ( x) = G (y) = h circ g (y) = h (g (y)) = h (z) $ لذا فإن العنصرين متماثلان.

لديك $ (f circ g) circ h (x) = f circ g (h (x)) = f (g (h (x)) و $ و $ f circ (g circ h (x) )) = f (g circ h (x)) = f (g (h (x)) $ الارتباط الذي تبحث عنه الآن هو التالي.

لقد وجدت أنه من الأسهل التفكير في التركيب باستخدام الرموز والتعاريف التالية.

تدوين اللاحم للوظائف

$ (x، y) in f left rightarrow x space boldsymbol f space y $ والسماح $ (x، b) in f wedge (b، y) in g leftrightarrow x space boldsymbol f space b space boldsymbol g مسافة y $ ثم

تعريف $ (g circ f) $

إذا كانت $ f، g $ دالات ، فإن $ (g circ f) $ هو علاقة $ (x، y) in (g circ f) leftrightarrow موجود ب: x space boldsymbol f space b space boldsymbol g space y $

التركيب ($ circ $) ترابطي

إذا كانت $ h ، g ، f $ هي وظائف ، فإن $ (h circ g) circ f = h circ (g circ f) $ دليل - إثبات. $ (x، y) in (h circ g) circ f leftrightarrow موجود ب: x space boldsymbol f space b space boldsymbol ( boldsymbol h boldsymbol circ boldsymbol g boldsymbol) مساحة y $. حيث $ b space boldsymbol ( boldsymbol h boldsymbol circ boldsymbol g boldsymbol) space y leftrightarrow (b ، y) in (h circ g) leftrightarrow موجود ب ': b space boldsymbol g space b ' space boldsymbol h space y. $ ثم تصبح قاعدة العضوية $ (x، y) in (h circ g) circ f leftrightarrow موجود b، b': x space boldsymbol f space b space boldsymbol g مسافة ب ' space boldsymbol h space y $ الاتجاه الآخر هو مرة أخرى تطبيقان لتعريف التركيب. $ (x، y) in h circ (g circ f) leftrightarrow موجود ب: x space boldsymbol ( boldsymbol g boldsymbol circ boldsymbol f boldsymbol) space b space boldsymbol h مساحة y $. لكن $ x space boldsymbol ( boldsymbol g boldsymbol circ boldsymbol f boldsymbol) space b leftrightarrow (x ، b) in (g circ f) leftrightarrow موجود ب ': x space boldsymbol f space b ' space boldsymbol g space b $. وبالتالي ، $ (x، y) in h circ (g circ f) leftrightarrow موجود ب، b ': x space boldsymbol f space b' space boldsymbol g space b space boldsymbol h space y $ وهكذا ، $ (x، y) in (h circ g) circ f leftrightarrow (x، y) in h circ (g circ f) $ مما يدل على $ (h Circ g) circ f = h circ (g circ f) $

ربما يكون من الأسهل (أكثر وضوحًا؟) التفكير في بناء أكثر عمومية (مع الإلهام الكبير من كل من تعريف الفئة ، والإجابة الممتازة لـ mcg256 ، والتعليق المفيد لميلانو)؟

يمكننا عرض العلاقة R (A ، B) كمجموعة من المسارات بحيث يكون لكل مسار نقطة أولية فريدة في المجموعة A ونقطة طرفية فريدة في المجموعة B.

في الحالة الخاصة للعلاقة ، يتم تحديد المسار من خلال نقاط النهاية الخاصة به ، ولكن هذا ليس افتراضًا ضروريًا.

وبالتالي ، لتحديد التركيب بشكل أكثر عمومية ، يمكننا عرض بيانات البداية كمجموعتين من الأسهم M (A ، B) و M (B ، C) ، كل سهم في M (X ، Y) له مصدر في X وهدف في Y ، ويمكننا إعداد مجموعة ثالثة من الأسهم M (A ، B) * M (B ، C) = M (A ، B ، C) عبر الإلغاء ، يمكننا الجمع بين سهمين على وجه التحديد إذا كان الهدف الأول هو المصدر من الثانية.

للتحقق من الارتباط ، بالنظر إلى بيانات البداية M (A ، B) M (B ، C) و M (C ، D) ، يجب أن نظهر أن M (A ، B ، C) * M (C ، D) `` = م (أ ، ب) * م (ب ، ج ، د). نحن معرضون لخطر وجود تماثل قانوني بدلاً من المساواة ، وبالتالي علامات الاقتباس حول الرمز =.

مطلوب نفس المدخلات بالضبط لتصنيع سهم نموذجي في كل جانب من المعادلة السابقة.

الصور التي يمكن للمرء رسمها لتوضيح سهم نموذجي في الحسابات المعنية هي

وبالتالي ، إذا حددنا M (A ، B ، C ، D) على أنها مجموعة من جميع المخططات A- & gtB - & gtC --- & gtD ، (بحيث يكون هدف - & gt هو مصدر - & gt إلخ .. ) فإن المجموعات الثلاث الموجودة في متناول اليد كلها متشابهة بشكل قانوني.

هل أظهرنا أن التركيب الترابطي؟

ربما وصلنا على الأقل إلى لب الموضوع ، وأسسنا إحساسًا دقيقًا تتشابه فيه 3 أشياء مختلفة رسميًا.

من المغري القول أنه في الحالة الخاصة للوظائف والعلاقات ، فإن الأشياء الثلاثة المختلفة الشكلية هي نفسها تمامًا ، ولكن حتى هنا ربما يجب أن نكون حذرين ، لأننا ربما نعتمد على التماثلات الكنسية بين منتجات المجموعات المحدودة:

(AxB) xC متماثل قانونيًا لـ Ax (BxC) والذي بدوره متماثل قانونيًا لمجموعة كل الثلاثيات المرتبة (أ ، ب ، ج) من العوامل ذات الصلة.

من المغري أيضًا أن نقول إنه في الممارسة العملية ، لا يوجد أي ارتباك ، إذا كانت أكبر جرائمنا هي الخلط بين الأشياء المتشابهة بشكل قانوني.

ومع ذلك ، فإن المتجه (أ ، ب ، ج) يذكرني بإثبات مزعوم لتخمين مشهور جدًا في نظرية الأعداد ، والذي وفقًا لإدراك المشاة الشديد لرأي الخبراء ، ربما يكون مشكلة ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى الخلط بين: الشيء مقابل شيء يصل إلى تماثل الشكل أو ربما نسخة متشابهة من الشيء.

محاولة تلخيص الوظيفة قيد البحث: تماثل المرشح من الأنواع (xذ)ض و سz) هو في الواقع تماثل ، مما يجعل المعنى الذي فيه xذz لا لبس فيه.

أنا غير راضٍ عن المنشور الذي في متناول اليد. من الواضح أن تكوين الوظيفة هو / (يجب أن يكون) ترابطيًا ، لكن محاولات التعميم المتواضع ، تجعلني أتساءل أين ، إذا كان في أي مكان ، قد يكون هناك القليل من خفة اليد.

سيكون من الممتع إجراء مناقشة طويلة مدروسة تؤدي إلى الاتفاق على أن جميع الأمور في الواقع واضحة بشكل تافه ، ومن الواضح أنها تافهة ، وأنه لم يكن هناك أي خفة يد بعد كل شيء.


التمرين 1.5: تكوين الوظائف

(ثالثا) F (x) = ز ( x ) = 3 – x

(رابعا) F (x) = 3 + x, ز(x) = x – 4

(الخامس) F (x) = 4x 2 − 1, ز(x) = 1 + x



2. أوجد قيمة ك، مثل ذلك F ا ز = ز ا F

(أنا) F (x) = 3x + 2, ز(x) = 6xك

(ثانيا) F (x) = 2xك, ز(x) = 4x + 5


3. إذا F (x) = 2x − 1, ز(x) = [x+1] / 2 أظهر ذلك F ا ز = ز ا F = x


4. (ط) إذا F (x) = x 2 − 1, ز(x) = x - 2 تجد أ، لو ز ا F (أ) = 1.

(2) البحث ك، لو F (ك) = 2ك - 1 و F ا F (ك) = 5 .


5. اسمحوا أ, ب,ج ⊆ N ودالة F : أب يتم تعريفها بواسطة F (x) = 2x + 1 و ز : بج يتم تعريفها بواسطة ز(x) = x 2. أوجد مدى F ا ز و ز ا F .


6. اسمحوا F (x) = x 2-1. ابحث عن (i) F ا F (ثانيا) F ا F ا F


7. إذا F : R → R و ز : R → R يتم تعريفها بواسطة F (x) = x 5 و ز(x) = x 4 ثم تحقق مما إذا كان F, ز واحد واحد و F ا ز هو واحد؟


8. النظر في الوظائف F (x), ز(x), ح(x) على النحو الوارد أدناه. اظهر ذلك

(F ا ز) س ح = F س (ز ا ح) في كل حالة.

(أنا) F (x) = x − 1, ز(x) = 3x + 1 و ح(x) = x 2

(ثانيا) F (x) = x 2 , ز(x) = 2x و ح(x) = x + 4

(ثالثا) F (x) = x − 4, ز(x) = x 2 و ح(x) = 3x – 5


9. اسمحوا F = <(- 1 ، 3) ، (0 ، −1) ، (2 ، −9)> تكون دالة خطية من Z إلى Z. تجد F (x).


10. في نظرية الدائرة الكهربائية ، الدائرة ج(ر) تسمى دائرة خطية إذا كانت تفي بمبدأ التراكب الذي قدمه ج (في 1 + BT 2 ) = تيار متردد (ر 1 ) + قبل الميلاد(ر 2) أين أ,ب ثوابت. تبين أن الدائرة ج (ر) = 3ر خطي.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


القاعدة العامة لتكوين الوظيفة

لنفترض أن الوظيفتين المعينتين هما f و g ، فإن تكوين f circ g تم تعريفه بواسطة

أيضًا ، يتم تحديد تكوين g circ f بواسطة

ملاحظات قليلة حول الرمز & # 8220 Formula & # 8221 أعلاه:

  • الترتيب في تكوين الوظيفة مهم! أنت دائما تؤلف وظائف من اليمين إلى اليسار. لذلك ، نظرًا للدالة ، يكون الإدخال دائمًا هو الموجود في جانبها الأيمن. بمعنى آخر ، تدخل الوظيفة اليمنى داخل الدالة اليسرى.

  • إشعار في f circ g = f left [ right] ، المدخلات أو & # 8220 دالة داخلية & # 8221 هي الوظيفة g لأنها على يمين الوظيفة f وهي الوظيفة الرئيسية أو & # 8220outer & # 8221.
  • من حيث ترتيب التكوين ، هل ترى نفس النمط في g circ f = g left [ حق] ؟ هذا صحيح & # 8217s! الوظيفة f هي الوظيفة الداخلية للدالة الخارجية g.

دعونا نستعرض بعض الأمثلة لنرى كيف يعمل تكوين الوظيفة. ستدرك لاحقًا أنها مجرد تمرين للتبديل الجبري والتبسيط.

أمثلة على كيفية تكوين الوظائف

مثال 1: قم بإجراء تكوين الوظيفة المشار إليه:

ترتيب التكوين مهم. لاحظ أنه في f circ g ، نريد أن تكون الوظيفة g left (x right) هي إدخال الوظيفة الرئيسية .

أبدأ بكتابة الوظيفة الرئيسية أو الخارجية f left (x right) ، وفي كل حالة لـ x ، سأستبدل القيمة الكاملة لـ g left (x right).

بعد ذلك ، سأفعل كل ما هو مطلوب لتبسيط التعبيرات مثل تربيع ذات الحدين ، وتطبيق خاصية التوزيع ، والجمع بين الحدود المتشابهة. بخلاف ذلك ، لم يكن هناك الكثير في الحقيقة.

اسمحوا لي أن أريكم ما قصدته بذلك.

مثال 2: قم بإجراء تكوين الوظيفة المشار إليه:

أحتاج إلى إيجاد الدالة المركبة g circ f مما يعني أن الوظيفة f هي مدخلات الدالة g.

مثال 3: قم بإجراء تكوين الوظيفة المشار إليه:

هذا مثال لتكوين الوظيفة حيث يكون الإدخال أ دالة الجذر التربيعي. دعونا & # 8217s نرى كيف يعمل.

مرة أخرى ، في f circ g نريد أن نعوض بالدالة g في الدالة f.

مثال 4: قم بإجراء تكوين الوظيفة المشار إليه:

هذه الوظيفة مثيرة للاهتمام للغاية. آمل أن ترى أنه سيكون لدينا موقف حيث تنتقل دالة الجذر التربيعي داخل دالة أخرى للجذر التربيعي.

المفتاح لتكوين هذه الوظيفة بشكل صحيح هو إدراك أن رمز الجذر التربيعي يمكن التعبير عنه كتعبير أسي مع أس كسري يساوي .

مثال 5: قم بإجراء تكوين الوظيفة المشار إليه:

حتى الآن في الأمثلة السابقة ، أجرينا تراكيب الوظائف باستخدام وظيفتين متميزتين. ومع ذلك ، من الممكن أيضًا تكوين دالة مع نفسها.

مثال 6: قم بإجراء تكوين الوظيفة المشار إليه:

دعنا نضع مثالًا لتكوين دالة يتعامل مع وظائف عقلانية. الجبر المتضمن شاق بعض الشيء ، ومع ذلك ، يجب أن تكون بخير طالما أنك حريص في تبسيط التعابير في كل خطوة على الطريق.

في هذا المثال ، سوف تقوم بتطبيق الإجراءات الخاصة بكيفية جمع أو طرح التعبيرات المنطقية ، وكذلك كيفية ضرب التعبيرات المنطقية.

مثال 7: قم بإجراء تكوين الوظيفة المشار إليه:

إذا كنت تعتقد أن مثالنا الأخير لتكوين الدالة المنطقية كان فوضويًا ، فانتظر حتى ترى هذا المثال التالي. يمكن أن يكون الأمر أكثر فوضوية بعض الشيء ولكن لا يزال من السهل إدارته. لذلك لا تأكل # 8217t! احرص دائمًا على التركيز على & # 8220laser & # 8221 في كل عملية تبسيط من أجل العمل بنجاح بشكل صحيح.

سيتم استبدال دالة الإدخال f في كل x من الوظيفة الرئيسية g.

لمزيد من الممارسة ، أقترح أن تحاول عكس ترتيب تكوين الوظيفة. بمعنى آخر ، ابحث عن f circ g.

إذا كانت هذه & # 8217s هي الحالة حيث g circ f = f circ g = x ، فإننا نستنتج أن الدالتين g و f هما معكوسان لبعضهما البعض. لدي برنامج تعليمي منفصل حول كيفية إثبات أو التحقق من وجود وظيفتين معكوستين.

المثال 8: أوجد الوظيفة المركبة:

في هذا المثال ، سنقوم بتكوين ثلاث وظائف. من خلال مراقبة تدوين الوظيفة المركبة المرغوبة f circ g circ h ، سنعمل على الخروج منها من اليمين الى اليسار.

أحتاج أولًا إلى التعويض بالدالة h في الدالة g ثم التبسيط للحصول على دالة جديدة.

سيتم استبدال ناتج الخطوة السابقة في الوظيفة الرئيسية f للحصول على الإجابة النهائية. من الناحية الرمزية ، يبدو هذا & # 8230

سأبدأ بإيجاد التركيبة g circ h = g left (h right).

نتيجة g left (h right) = < Large <+ 1 >>>> يصبح مدخلات الوظيفة f


دليل خطوة بخطوة لحل تكوين الوظائف

  • المصطلح & # 8220composition of function & # 8221 هو ببساطة مزيج من وظيفتين أو أكثر حيث يصبح الناتج من وظيفة واحدة هو المدخل للوظيفة التالية.
  • الترميز المستخدم للتكوين هو: ( color<(f o g) (x) = f (g (x))> )

تكوين الوظائف & # 8211 مثال 1:

باستخدام (f (x) = x-2 ) و (g (x) = x ) ، ابحث عن: (f (g (2)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
ثم: ((f o g) (x) = f (g (x)) = f (x) = x-2 )
استبدل (x ) بـ (2: (f o g) (2) = 2-2 = 0 )

تكوين الوظائف & # 8211 مثال 2:

باستخدام (f (x) = x + 8 ) و (g (x) = x-2 ) ، ابحث عن: (g (f (4)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
ثم: ((g o f) (x) = g (f (x)) = g (x + 8) ) ، استبدل الآن (x ) في (f (x) ) بواسطة (س + 8 ). ثم: (g (x + 8) = (x + 8) -2 = x + 8-2 = x + 6 )
استبدل (x ) بـ (4: (g o f) (4) = g (f (x)) = 4 + 6 = 10 )

تكوين الوظائف & # 8211 مثال 3:

باستخدام (f (x) = x + 2 ) و (g (x) = 4x ) ، ابحث عن: (f (g (1)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
ثم: ((f o g) (x) = f (g (x)) = f (4x) = 4x + 2 )
استبدل (x ) بـ (1: (f o g) (1) = 4 + 2 = 6 )

تكوين الوظائف & # 8211 مثال 4:

باستخدام (f (x) = 5x + 4 ) و (g (x) = x-3 ) ، ابحث عن: (g (f (3)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
ثم: ((f o g) (x) = g (f (x)) = g (5x + 4) ) ، استبدل الآن (x ) في (g (x) ) بواسطة (5x + 4 ). ثم: (g (5x + 4) = (5x + 4) -3 = 5x + 4-3 = 5x + 1 )
عوّض (x ) بـ (3: (g o f) (x) = g (f (x)) = 5x + 1 = 5 (3) + 1 = 15 = 1 = 16 )


عند العمل مع الوظائف المعطاة كجداول ، نقرأ قيم المدخلات والمخرجات من إدخالات الجدول ونعمل دائمًا من الداخل إلى الخارج. نقوم بتقييم الدالة الداخلية أولاً ثم نستخدم ناتج الدالة الداخلية كمدخل للدالة الخارجية.

مثال 5: استخدام جدول لتقييم دالة مركبة

باستخدام الجدول أدناه ، قم بتقييم [اللاتكس] f left (g left (3 right) right) [/ latex] و [latex] g left (f left (3 right) right) [/ latex ].

[لاتكس] x [/ لاتكس] [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] [اللاتكس] g left (x right) [/ latex]
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7

لتقييم [اللاتكس] f left (g left (3 right) right) [/ latex] ، نبدأ من الداخل بقيمة الإدخال 3. ثم نقوم بتقييم التعبير الداخلي [اللاتكس] g left (3 right) [/ latex] باستخدام الجدول الذي يحدد الوظيفة [اللاتكس] g: [/ latex] [اللاتكس] g left (3 right) = 2 [/ latex]. يمكننا بعد ذلك استخدام هذه النتيجة كمدخل للوظيفة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] ، لذلك يتم استبدال [اللاتكس] g left (3 right) [/ latex] بالرقم 2 ونحصل على [اللاتكس] f اليسار (2 حق) [/ لاتكس]. بعد ذلك ، باستخدام الجدول الذي يحدد الوظيفة [اللاتكس] f [/ latex] ، نجد أن [اللاتكس] f left (2 right) = 8 [/ latex].

لتقييم [اللاتكس] g left (f left (3 right) right) [/ latex] ، نقوم أولاً بتقييم التعبير الداخلي [latex] f left (3 right) [/ latex] باستخدام الجدول الأول : [لاتكس] و يسار (3 يمين) = 3 [/ لاتكس]. ثم ، باستخدام جدول [اللاتكس] g [/ اللاتكس] يمكننا التقييم

يوضح الجدول أدناه الوظائف المركبة [اللاتكس] f circ g [/ latex] و [اللاتكس] g circ f [/ latex] كجداول.

[لاتكس] x [/ لاتكس] [اللاتكس] g left (x right) [/ latex] [اللاتكس] f left (g left (x right) right) [/ latex] [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] [اللاتكس] g left (f left (x right) right) [/ latex]
3 2 8 3 2

جربها

باستخدام الجدول أدناه ، قم بتقييم [اللاتكس] f left (g left (1 right) right) [/ latex] و [latex] g left (f left (4 right) right) [/ latex ].

[لاتكس] x [/ لاتكس] [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] [اللاتكس] g left (x right) [/ latex]
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7

[اللاتكس] f left (g left (1 right) right) = f left (3 right) = 3 [/ latex] و [latex] g left (f left (4 right) يمين) = ز يسار (1 يمين) = 3 [/ لاتكس]

جربه 4


1.4.4E: تكوين الوظائف - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نناقش تركيبات الوظائف.

يمكن اعتبار تكوين الوظائف على أنه وضع وظيفة داخل أخرى. نحن نستخدم الترميز

ابحث عن المجال واذكره.

لنجرب الآن مثالاً مع نطاق أكثر تقييدًا.

ابحث عن المجال واذكره.

هذا يعني أن مجال هو. بعد ذلك ، نعوض عن كل مثيل موجود في وهكذا

يمكننا تلخيص نتائجنا كدالة متعددة التعريفات ، والتي تبدو مثيرة للاهتمام إلى حد ما:

ابحث عن المجال واذكره.

قارن وقارن بين المثالين السابقين. استخدمنا نفس الوظائف لكل مثال ، لكننا قمنا بتكوينها بطرق مختلفة. التركيبات الناتجة ليست مختلفة فقط ، بل لها مجالات مختلفة!


مشاكل محلولة

انقر أو اضغط على مشكلة لرؤية الحل.

مثال 1

مثال 2

مثال 3

مثال 4

مثال 5

مثال 6

مثال 1.

ارسم مخطط السهم لتكوين الوظائف (f circ g: )

يتبع من الرسم التخطيطي:

ومن ثم ، يتم إعطاء الوظيفة المركبة (f circ g ) بواسطة

[f circ g = left << left (<5،1> right) ، left (<7،7> right) ، left (<9،1> right) ، left (<2،1> right)> right >. ]

مجال (f circ g ) هو المجموعة ( left <5،7،9،2> right > ، ) والنطاق هو المجموعة ( اليسار <<7 ، 1> right >. )

مثال 2.

حسب التعريف ، ( left ( يمين) يسار (س يمين) = f يسار ( حق).)

الوظيفة الداخلية) مُعرَّف للجميع (x ) باستثناء (x = large < frac <5> <4>> normalsize. ) ومن ثم ، النقطة (x = large < frac <5> < يجب استبعاد 4 >> normalsize ) من مجال التكوين (f circ g. )

الوظيفة الخارجية () مُعرَّف للجميع (س ) باستثناء (x = كبير < فارك <4> <3>> normalsize. ) لذلك ، نحتاج أيضًا إلى استبعاد قيم (س ) التي من أجلها الوظيفة الداخلية () يساوي ( large < frac <4> <3>> normalsize. ) حدد هذه القيم.

وبالتالي ، فإن مجال (f circ g ) يتكون من جميع القيم الحقيقية لـ (x ) باستثناء النقاط (x = large < frac <5> <4>> normalsize، large <) frac <29> <16>> normalsize. ) يمكن كتابة هذا في النموذج

مثال 3.

  1. تتم كتابة الوظيفة المركبة ( left (f circ g right) left (x right) ) بالشكل (f left ( right). ) نأخذ الوظيفة الخارجية (f left (x right) ) ونستبدل الوظيفة الداخلية () لـ (x: ) [< left (f circ g right) left (x right) = f left ( حق)> = < يسار (x يمين) + 2 جرام يسار (x يمين)> = <<يسار (<& # 8211 x> right) ^ 2> + 2 left (<& # 8211 x> right)> = < color& # 8211 اللون<2> + اللون+ اللون<2> - اللون<2x>> = < color-اللون<2> + اللون<3> & # 8211 color<2x>.> ]
  2. احسب التكوين (g circ f: ) [< left (g circ f right) left (x right) = g left ( حق)> = < يسار (س يمين) & # 8211 و يسار (س يمين) = < يسار (<+ 2x> right) ^ 2> & # 8211 left (<+ 2x> right)> = < color+ اللون<4> + اللون<4> & # 8211 color& # 8211 اللون<2x>> = < color+ اللون<4> + اللون<3> & # 8211 color<2x>.> ] لاحظ أن (f circ g ne g circ f، ) الذي يمثل تكوين الوظائف ليس تبادليًا.
  3. يتم إعطاء تكوين الوظائف (f circ f ) بواسطة [< left (f circ f right) left (x right) = f left ( حق)> = < يسار (x يمين) + 2f يسار (x يمين)> = <<يسار (<+ 2x> right) ^ 2> + 2 left (<+ 2x> right)> = < color+ اللون<4> + اللون<4> + اللون<2> + اللون<4x>> = < اللون+ اللون<4> + اللون<6> + اللون<4x>.> ]
  4. وبالمثل نحدد الوظيفة (g circ g: ) [ تتطلب< left (g circ g right) left (x right) = g left ( حق)> = < يسار (س يمين) & # 8211 جم يسار (س يمين)> = <<يسار (<& # 8211 x> right) ^ 2> & # 8211 left (<& # 8211 x> right)> = < color& # 8211 اللون<2> + إلغاء < color> & # 8211 إلغاء < اللون> + اللون> = < اللون& # 8211 اللون<2> + اللون.>]

مثال 4.

  1. العثور على الوظيفة المركبة (f circ f circ f، ) نحدد أولاً تكوين الوظائف الداخلية (g circ f: ) [< left (g circ f right) left ( س يمين) = ز يسار ( right)> = + 1> right)> = < sqrt <+ 1>.> ] بعد ذلك ، باستخدام قانون الترابط ، يتم إعطاء التكوين الثلاثي بواسطة [< left (f circ g circ f right) left (x right) = left (f circ متبقى( يمين) يمين) يسار (س يمين) = و يسار [ right)> right]> = + 1>> right)> = <<يسار (< sqrt <+ 1>> right) ^ 2> + 1> = < + 1 + 1 >= < + 2.>]
  2. هنا نجد أولاً التكوين (f circ g: ) [< left (f circ g right) left (x right) = f left ( right)> = right)> = < right) ^ 2> + 1> = ] وبالتالي ، [< left (g circ f circ f right) left (x right) = left (g circ left ( right) right) left (x right)> = right)> right]> = يمين)> = < sqrt .>]
  3. احسب تكوين الوظائف (g circ f circ f ) باستخدام نفس الأسلوب. منذ [< left (f circ f right) left (x right) = f left ( right)> = + 1> right)> = <<يسار (<+ 1> right) ^ 2> + 1> = < + 2 + 1 + 1 >= < + 2 + 2,>] the triple composition (g circ f circ f) is given by [ ight) ight)left(x ight) >= < gleft[ ight)> ight] >= < gleft( <+ 2 + 2> ight) >= < sqrt <+ 2 + 2> .>]

Example 5.

Find the inverse function (f^<-1>) by solving the equation (y = sqrt <+ 1>) for (x:)

To calculate the composition of functions (f^ <-1>circ f,) we substitute (y = sqrt <+ 1>) in the equation (x = sqrt[3] <<– 1>>.) For any (x) in the domain of (f,) we have

Thus, (> circ f = I,) where (I) is the identity function in the domain of (f.)


شاهد الفيديو: انا جواد الفقيه متفوق بمادة الرياضيات بأذن الله سوف ابدأ شرح مادة الرياضيات لصف الثامن الجزء الثاني (شهر اكتوبر 2021).