مقالات

2.7: حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. اكتب كمتباينة: x 30 على الأقل.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.7.34.
  2. حل (8−3y <41 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.7.22.

حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

تتطلب منا العديد من مواقف الحياة الواقعية حل عدم المساواة. على سبيل المثال ، كم جالونًا من الغاز يمكن وضعه في السيارة مقابل 20 دولارًا؟ هل إيجار الشقة ميسور التكلفة؟ هل هناك وقت كاف قبل الحصة للذهاب لتناول الغداء وتناوله والعودة؟ ما المبلغ الذي يجب أن تتكلفه هدية العيد لكل فرد من أفراد الأسرة دون تجاوز الميزانية؟

الطريقة التي سنستخدمها لحل التطبيقات ذات المتباينات الخطية تشبه إلى حد كبير الطريقة التي استخدمناها عندما حللنا التطبيقات بالمعادلات. سنقرأ المشكلة ونتأكد من فهم كل الكلمات. بعد ذلك ، سوف نحدد ما نبحث عنه ونخصص متغيرًا لتمثيله. سنعيد صياغة المشكلة في جملة واحدة لنجعل من السهل ترجمتها إلى متباينة. ثم نحل المتباينة.

تمرين ( PageIndex {1} )

حصلت إيما على وظيفة جديدة وسيتعين عليها الانتقال. سيكون دخلها الشهري 5265 دولارًا. للتأهل لاستئجار شقة ، يجب أن يكون الدخل الشهري لـ Emma على الأقل ثلاثة أضعاف الإيجار. ما هو أعلى إيجار ستتأهل له إيما؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة 1. اقرأ} text {the problem.}} & {} { textbf {الخطوة الثانية. حدد} text {ما نبحث عنه. }} & { text {أعلى إيجار تتأهل إيما لـ}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} النص {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text { دع r = rent}} { text {اختر متغيرًا لتمثيل هذه الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجم} text {إلى متباينة.}} & {} {} & { text {يجب أن يكون الدخل الشهري لـ Emma على الأقل}} { text {اكتب أولاً جملة تعطي المعلومات}} & { text {ثلاثة أضعاف الإيجار.}} { text { للعثور عليه.}} & {} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {5265 geq 3r} { text {Remember،} a> x النص {له نفس المعنى}} & {1755 geq r} { text {as} x

تمرين ( PageIndex {2} )

يقوم آلان بتحميل منصة نقالة بصناديق تزن كل منها 45 رطلاً. يمكن أن تحمل البليت بأمان ما لا يزيد عن 900 رطل. كم عدد الصناديق التي يمكنه تحميلها بأمان على البليت؟

إجابه

لا يمكن أن يكون هناك أكثر من 20 صندوقًا.

تمرين ( PageIndex {3} )

يوجد في المصعد في مبنى شقق يهير لافتة تشير إلى أن الحد الأقصى للوزن هو 2100 رطل. إذا كان متوسط ​​وزن شخص واحد 150 رطلاً ، فكم عدد الأشخاص الذين يمكنهم ركوب المصعد بأمان؟

إجابه

يمكن لـ 14 شخصًا كحد أقصى الركوب بأمان في المصعد.

يتطلب التطبيق أحيانًا أن يكون الحل عددًا صحيحًا ، لكن الحل الجبري للمتباينة ليس عددًا صحيحًا. في هذه الحالة ، يجب تقريب الحل الجبري إلى عدد صحيح. سيحدد سياق التطبيق ما إذا كنا نقرب لأعلى أو لأسفل. للتحقق من تطبيقات مثل هذه ، سنقرب إجابتنا إلى رقم يسهل حسابه ونتأكد من أن هذا الرقم يجعل المتباينة صحيحة.

تمرين ( PageIndex {4} )

فازت Dawn بمنحة صغيرة قدرها 4000 دولار لشراء أجهزة كمبيوتر لوحي لفصلها الدراسي. تبلغ تكلفة الأجهزة اللوحية التي ترغب في شرائها 254.12 دولارًا لكل منها ، بما في ذلك الضرائب والتسليم. ما هو الحد الأقصى لعدد الأجهزة اللوحية التي يمكن أن تشتريها Dawn؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة 1. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {الحد الأقصى لعدد الأجهزة اللوحية يمكن لـ Dawn buy}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} text {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text {Let n = عدد الأجهزة اللوحية.}} { text {اختر متغيرًا لتمثيله تلك الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {كتابة جملة}} & {} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & {254.12 دولار text {مرات عدد الأجهزة اللوحية لا}} {} & { text {أكثر من $ 4000.}} { text {ترجم إلى عدم المساواة.}} & {254.12n leq 4000} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {n leq 15.74} { text {لكن n يجب أن يكون عددًا صحيحًا من الأجهزة اللوحية ،}} & {} { أرسل {so round to 15.}} & {n leq 15} { textbf {الخطوة 6. تحقق} text {the answer in the problem}} & {} { text {and make تأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {تقريب السعر إلى $ 250،}} & {} { text {15 tablet $ 3750، while}} & {} { text {16 tablet سيكون $ 4000. لذا a}} & {} { text {بحد أقصى 15 جهازًا لوحيًا في $ 254.12}} & {} { text {يبدو معقولًا.}} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {the answer in the problem} } & { text {the question with a}} { text {complete wholesale.}} & { text {Dawn can buy بحد أقصى 15 جهازًا لوحيًا.}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {5} )

إنجي لديها 20 دولارًا لتنفقها على علب العصير في نزهة ابنها في مرحلة ما قبل المدرسة. كل علبة من علب العصير تكلف 2.63 دولار. ما هو الحد الأقصى لعدد الباقات التي يمكن أن تشتريها؟

إجابه

سبع علب

تمرين ( PageIndex {6} )

يريد دانيال مفاجأة صديقته بحفلة عيد ميلاد في مطعمها المفضل. سيكلف 42.75 دولارًا للشخص الواحد لتناول العشاء ، بما في ذلك الإكرامية والضرائب. ميزانيته للحزب 500 دولار. ما هو الحد الأقصى لعدد الأشخاص الذين يمكن أن يستضيفهم دانيال في الحفلة؟

إجابه

11 شخصا

تمرين ( PageIndex {7} )

بيت يعمل في متجر كمبيوتر. سيكون أجره الأسبوعي إما مبلغًا ثابتًا ، 925 دولارًا ، أو 500 دولارًا بالإضافة إلى 12٪ من إجمالي مبيعاته. كم يجب أن يكون إجمالي مبيعاته لخيار الدفع المتغير الخاص به لتتجاوز المبلغ الثابت البالغ 925 دولارًا؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {إجمالي المبيعات المطلوبة لدفعه المتغير}} {} & { text {خيار يتجاوز المبلغ الثابت $ 925}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} النص {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text {دعنا s = إجمالي المبيعات.}} { text {اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {اكتب جملة}} & { } { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & {$ 500 text {بالإضافة إلى 12٪ من إجمالي المبيعات أكثر من $ 925.}} { text {ترجم إلى عدم مساواة. تذكر أن} } & {500 + 0.12s> 925} { text {تحويل النسبة المئوية إلى رقم عشري.}} & {} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {0.12s> 425} {} & {s> 3541. overline {66}} { textbf {الخطوة 6. تحقق من} text {the answer in the problem}} & {} { text {وتأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {تقريب السعر إلى $ 250،}} & {} { text {15 الأجهزة اللوحية سيكلف 3750 دولارًا ، while}} & {} { text {إذا قمنا بالتقريب e إجمالي المبيعات حتى}} & {} { text { $ 4000 ، نرى ذلك}} & {} { text {500 + 0.12 (4000) = 980 ، وهو أكثر}} & {} { text {than $ 925.}} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يجب أن يكون إجمالي المبيعات أكثر من $ 3541.67}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {8} )

تخرجت تيفاني للتو من الكلية وستدفع لها وظيفتها الجديدة 20000 دولار سنويًا بالإضافة إلى 2٪ من إجمالي المبيعات. إنها تريد أن تكسب ما لا يقل عن 100000 دولار في السنة. ما إجمالي المبيعات التي ستتمكن من تحقيق هدفها؟

إجابه

ما لا يقل عن 4000000 دولار

تمرين ( PageIndex {9} )

عُرض على كريستيان وظيفة جديدة تدفع 24000 دولار سنويًا بالإضافة إلى 3٪ من المبيعات. ما إجمالي المبيعات التي ستدفعها هذه الوظيفة الجديدة أكثر من وظيفته الحالية التي تدفع 60000 دولار؟

إجابه

1200000 دولار على الأقل

تمرين ( PageIndex {10} )

لدى سيرجيو وليزيث ميزانية إجازة ضيقة للغاية. يخططون لاستئجار سيارة من شركة تتقاضى 75 دولارًا في الأسبوع بالإضافة إلى 0.25 دولار للميل. كم عدد الأميال التي يمكنهم السفر إليها وما زالوا يحتفظون بها في حدود ميزانيتهم ​​البالغة 200 دولار؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {عدد الأميال التي يمكن أن يسافر بها سيرجيو وليزيث}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} text {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text {Let m = عدد الأميال.}} { text {اختر متغيرًا لـ تمثل هذه الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {اكتب جملة that}} & { text { $ 75 بالإضافة إلى 0.25 ضعف عدد الأميال}} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & { text {أقل من أو يساوي $ 200.}} { text {ترجم إلى متباينة.}} & {75 + 25m leq 200} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {0.25m leq 125} {} & {m leq 500 text {miles}} { textbf {الخطوة 6. تحقق من} text {الإجابة في المشكلة}} & {} { text {وتأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {نعم ، 75 + 0.25 (500) = 200.}} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يستطيع سيرجيو وليزيث السفر 500 ميل}} {} & { text {ولا تزال قائمة على الميزانية.}} نهاية {مجموعة} )

تمرين ( PageIndex {11} )

تكلف خطة هاتف طليشا 28.80 دولارًا شهريًا بالإضافة إلى 0.20 دولارًا لكل رسالة نصية. كم عدد الرسائل النصية التي يمكنها استخدامها والاحتفاظ بفاتورة هاتفها الشهرية لا تزيد عن 50 دولارًا؟

إجابه

ما لا يزيد عن 106 رسائل نصية

تمرين ( PageIndex {12} )

تبلغ فاتورة التدفئة الخاصة برامين 5.42 دولار شهريًا بالإضافة إلى 1.08 دولار لكل حرارة. كم حراري يمكن لرامين أن يستخدمه إذا أراد أن تكون فاتورة التدفئة بحد أقصى 87.50 دولار؟

إجابه

ما لا يزيد عن 76 درجة حرارة

الهدف المشترك لمعظم الشركات هو تحقيق ربح. ربح هو المال المتبقي عند طرح المصروفات من الأموال المكتسبة. في المثال التالي ، سنجد عدد الوظائف التي يتعين على رجل الأعمال الصغير القيام بها كل شهر من أجل تحقيق قدر معين من ربح.

تمرين ( PageIndex {13} )

إليوت لديها أعمال صيانة المناظر الطبيعية. نفقاته الشهرية هي 1100 دولار. إذا كان يتقاضى 60 دولارًا لكل وظيفة ، فكم عدد الوظائف التي يجب أن يقوم بها لكسب ربح لا يقل عن 4000 دولار شهريًا؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {عدد الوظائف التي يحتاجها إليوت}} { textbf {الخطوة 3. Name} text {ما نبحث عنه.}} & {} { text {اختر متغيرًا لتمثيله}} & { text {Let j = عدد الوظائف.}} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {اكتب جملة that}} & { text { $ 60 ضعف عدد الوظائف ناقص $ 1،100 على الأقل $ 4،000.}} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & { text {أقل من أو يساوي $ 200.}} { text {ترجم إلى متباينة.}} & {60j - 1100 geq 4000} { textbf {الخطوة الخامسة. حل} text {عدم المساواة.}} & {60j geq 5100} {} & {j geq 85 text {jobs}} { textbf {الخطوة 6. تحقق} text {the answer in the problem}} & {} { text {وتأكد من أنها منطقية.}} & {} { text {إذا كان إليوت قد أدى 90 وظيفة ، فسيكون ربحه}} & {} { text {60 (90) −1100 ، أو 4،300 دولار. هذا هو}} & {} { text {more than $ 4،000.}} & {} { textbf {الخطوة 7 . الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يجب أن يعمل إليوت 85 مهمة على الأقل.}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {14} )

كاليب لديه عمل رعاية الحيوانات الأليفة. يتقاضى 32 دولارًا في الساعة. مصاريفه الشهرية 2272 دولار. كم عدد الساعات التي يجب أن يعمل بها حتى يربح 800 دولار على الأقل شهريًا؟

إجابه

96 ساعة على الأقل

تمرين ( PageIndex {15} )

تعمل فيليسيتي في فن الخط. تتقاضى 2.50 دولارًا لكل دعوة زفاف. مصاريفها الشهرية 650 دولار. كم عدد الدعوات التي يجب أن تكتبها لكسب ربح لا يقل عن 2800 دولار شهريًا؟

إجابه

1380 دعوة على الأقل

في بعض الأحيان تصبح الحياة معقدة! هناك العديد من المواقف التي تساهم فيها كميات متعددة في إجمالي المصروفات. يجب أن نتأكد من حساب جميع النفقات الفردية عندما نحل مشاكل مثل هذه.

تمرين ( PageIndex {16} )

أفضل صديق لبريندا هو إقامة حفل زفاف في وجهة وسيستمر الحدث لمدة 3 أيام. تمتلك بريندا 500 دولار في المدخرات ويمكنها أن تكسب 15 دولارًا في الساعة لخدمة مجالسة الأطفال. وتتوقع أن تدفع 350 دولارًا للسفر جواً ، و 375 دولارًا للطعام والترفيه ، و 60 دولارًا في الليلة لنصيبها في غرفة الفندق. كم عدد الساعات التي يجب عليها مجالسة الأطفال للحصول على ما يكفي من المال لدفع تكاليف الرحلة؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {عدد الساعات التي يجب على بريندا رعايتها رعاية الطفل}} { textbf { الخطوة الثالثة. الاسم} text {ما نبحث عنه.}} & {} { text {اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.}} & { text {Let h = عدد الساعات.}} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {كتابة جملة}} & {} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & {} {} & { text {يجب أن تكون النفقات أقل من أو تساوي}} {} & { text {الدخل. تكلفة السفر بالطائرة بالإضافة إلى} {} & { text {تكلفة الطعام والترفيه و the}} {} & { text {يجب أن تكون فاتورة الفندق أقل من أو تساوي المدخرات}} {} & { text {بالإضافة إلى المبلغ المكتسب مجالسة الأطفال.}} { text {الترجمة إلى عدم المساواة. }} & { $ 350 + $ 375 + $ 60 (3) leq $ 500 + $ 15h} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {905 leq 500 + 15 ساعة} {} & {405 leq 15h} {} & {27 leq h} {} & {h geq 27} { textbf {الخطوة 6. تحقق} text {the answer in the problem}} & {} { tex t {وتأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {استبدلنا 27 في عدم المساواة.}} & {} {905 leq 500 + 15h} & {} {905 leq 500 + 15 (27)} & {} {905 leq 905} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يجب على بريندا أن ترعى 27 ساعة على الأقل.}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {17} )

يخطط مالك لرحلة إجازة الصيف لمدة 6 أيام. لديه مدخرات تبلغ 840 دولارًا ، ويكسب 45 دولارًا في الساعة للدروس الخصوصية. ستكلفه الرحلة 525 دولارًا للسفر جواً ، و 780 دولارًا للطعام ومشاهدة المعالم السياحية ، و 95 دولارًا في الليلة للفندق. كم عدد الساعات التي يجب أن يقوم بتدريسها للحصول على ما يكفي من المال لدفع تكاليف الرحلة؟

إجابه

23 ساعة على الأقل

تمرين ( PageIndex {18} )

يريد Josue الذهاب في رحلة برية لمدة 10 أيام في الربيع المقبل. سيكلفه 180 دولارًا للغاز و 450 دولارًا للطعام و 49 دولارًا في الليلة للفندق. لديه مدخرات تبلغ 520 دولارًا ويمكنه كسب 30 دولارًا لكل ممر تجريف الثلج. كم عدد الممرات التي يجب أن يجرفها ليحصل على نقود كافية لدفع تكاليف الرحلة؟

إجابه

20 ممرًا على الأقل

المفاهيم الرئيسية

  • حل عدم المساواة
    1. يقرأ المشكلة.
    2. تحديد ما نبحث عنه.
    3. اسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
    4. يترجم. اكتب جملة تعطي المعلومات لإيجادها. ترجم إلى عدم المساواة.
    5. يحل عدم المساواة.
    6. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

ورقة العمل 16: حل المتباينات الخطية [القسم 2.7] أخبرني جدي ذات مرة أن هناك نوعين من الأشخاص: أولئك الذين يقومون بالعمل وأولئك الذين طلب مني أن أحاول أن أكون في المجموعة الأولى كانت المنافسة أقل بكثير. -إنديرا غاندي يشير هذا الرمز إلى التمارين التي تركز على المفاهيم التي غالبًا ما تكون مصادر للأخطاء. سوف تساعدك هذه المفاهيم في تجنب الأخطاء الشائعة. المفاهيم الأساسية 1. اختر الخيار الذي ينتج بيانًا صحيحًا. أ. في تدوين الفاصل ، تُستخدم دائمًا مع -e أو o. أنا. الأقواس الثاني. الأقواس المربعة ب. في تدوين الفاصل الزمني ، يتم وضع الأرقام دائمًا أولاً. ثانيا. إيجابي أنا. ثالثا سلبي. أصغر عند حل متباينة ، تحصل على بيان خاطئ مثل 1 & gt 2 ، والحل هو i. (-2،7) ج. ثانيا. 0 ثالثا. المجموعة الفارغة أو Ø د. عند حل متباينة ، تحصل على جملة صحيحة مثل 2 1 ، الحل هو i. (4،2) ثانيا. 0 ثالثا. المجموعة الفارغة أو C 2. لكل رسم بياني (الأشكال من الأول إلى السادس) ، اختر تدوين الفاصل الزمني الصحيح (a-g). تدوين فاصل الرسم البياني الشكل الأول: د. لا. ب)

help_outline

نسخ الصورةقريب

ورقة العمل 16: حل المتباينات الخطية [القسم 2.7] أخبرني جدي ذات مرة أن هناك نوعين من الأشخاص: أولئك الذين يقومون بالعمل وأولئك الذين طلب مني أن أحاول أن أكون في المجموعة الأولى كانت المنافسة أقل بكثير. -إنديرا غاندي يشير هذا الرمز إلى التمارين التي تركز على المفاهيم التي غالبًا ما تكون مصادر للأخطاء. سوف تساعدك هذه المفاهيم في تجنب الأخطاء الشائعة. المفاهيم الأساسية 1. اختر الخيار الذي ينتج بيانًا صحيحًا. أ. في تدوين الفاصل ، تُستخدم دائمًا مع -e أو o. أنا. الأقواس الثاني. الأقواس المربعة ب. في تدوين الفاصل الزمني ، يتم وضع الأرقام دائمًا أولاً. ثانيا. إيجابي أنا. ثالثا سلبي. أصغر عند حل متباينة ، تحصل على بيان خاطئ مثل 1 & gt 2 ، والحل هو i. (-2،7) ج. ثانيا. 0 ثالثا. المجموعة الفارغة أو Ø د. عند حل متباينة ، تحصل على جملة صحيحة مثل 2 1 ، الحل هو i. (4،2) ثانيا. 0 ثالثا. المجموعة الفارغة أو C 2. لكل رسم بياني (الأشكال من الأول إلى السادس) ، اختر تدوين الفاصل الزمني الصحيح (a-g). تدوين فاصل الرسم البياني الشكل الأول: د. لا. ب)


4.2 حل التطبيقات باستخدام أنظمة المعادلات

مجموع ضعف عدد وتسعة هو 31. أوجد العدد.
إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.15.

حصل التوأمان جون ورون معًا على 96000 دولار العام الماضي. ربح رون 8000 دولار أكثر من ثلاثة أضعاف ما كسبه جون. كم كسب كل من التوائم؟
إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.19.

يغادر قطار سريع وقطار محلي بيتسبرغ للسفر إلى واشنطن العاصمة.يمكن للقطار السريع القيام بالرحلة في غضون أربع ساعات ويستغرق القطار المحلي خمس ساعات للرحلة. سرعة القطار السريع أسرع بـ 12 ميلاً في الساعة من سرعة القطار المحلي. أوجد سرعة كلا القطارين.
إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.43.

حل تطبيقات الترجمة المباشرة

أنظمة المعادلات الخطية مفيدة جدًا لحل التطبيقات. يجد بعض الأشخاص أن إعداد مسائل الكلمات باستخدام متغيرين أسهل من إعدادها بمتغير واحد فقط. لحل أحد التطبيقات ، سنقوم أولاً بترجمة الكلمات إلى نظام معادلات خطية. ثم سنقرر الطريقة الأكثر ملاءمة للاستخدام ، ثم نحل النظام.

كيف

حل التطبيقات باستخدام أنظمة المعادلات.

  1. الخطوة 1. يقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. الخطوه 3. اسم ما نبحث عنه. اختر المتغيرات لتمثيل تلك الكميات.
  4. الخطوة 4. يترجم في نظام المعادلات.
  5. الخطوة الخامسة. يحل نظام المعادلات باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. الخطوة 6. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. الخطوة 7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

لقد حللنا مشاكل العدد مع متغير واحد في وقت سابق. دعونا نرى كيف يعمل بشكل مختلف باستخدام متغيرين.

المثال 4.14

مجموع رقمين هو صفر. رقم واحد أصغر بتسعة من الآخر. أوجد الأرقام.

حل

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن رقمين.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع n = n = الرقم الأول.
م = م = الرقم الثاني
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. مجموع رقمين هو صفر.
رقم واحد أصغر بتسعة من الآخر.
النظام هو:
الخطوة 5. حل نظام
المعادلات. سوف نستخدم الاستبدال
منذ حل المعادلة الثانية
ل ن.
استبدل م - 9 من أجل ن في المعادلة الأولى.
حل من أجل م.
عوّض m = 9 2 m = 9 2 في المعادلة الثانية
ثم حلها ن.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة. هل هذه الأرقام منطقية في
المشكلة؟ سنترك هذا ل
أنت!
الخطوة 7. الإجابة السؤال. الأعداد 9 2 9 2 و - 9 2. - 9 2.

مجموع رقمين هو 10. أحدهما أصغر بأربعة من الآخر. أوجد الأرقام.

المثال 4.15

عُرض على هيذر خياران لراتبها كمدربة في صالة الألعاب الرياضية. الخيار (أ) سيدفع لها 25000 دولار بالإضافة إلى 15 دولارًا لكل جلسة تدريبية. الخيار (ب) سيدفع لها 10000 دولار + 40 دولار + 10000 دولار + 40 دولار لكل جلسة تدريب كم عدد الدورات التدريبية التي تجعل خيارات الراتب متساوية؟

حل

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عدد
دورات تدريبية من شأنها أن تجعل
الأجر يساوي.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دعونا s = s = راتب هيذر.
n = n = عدد الدورات التدريبية
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. الخيار (أ) سيدفع لها 25000 دولار
بالإضافة إلى 15 دولارًا لكل تدريب
جلسة.
الخيار (ب) سيدفع لها 10000 دولار
+ 40 دولار عن كل جلسة تدريبية.
يظهر النظام.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات.
سوف نستخدم الاستبدال.
استبدل 25000 +15ن ل س في الثانية
معادلة.
حل من أجل ن.
الخطوة 6. تحقق الاجابة. هل 600 دورة تدريبية في السنة معقولة؟
هل الخياران متساويان عندما ن = 600?
الخطوة 7. الإجابة السؤال. ستكون خيارات الراتب مساوية لـ 600 تدريب
الجلسات.

عرضت شركتا تأمين على جيرالدين وظائف. تدفع الشركة الأولى راتبًا قدره 12000 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى عمولة قدرها 100 دولار لكل وثيقة يتم بيعها. الثانية تدفع راتبا قدره 20000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 50 دولارا لكل بوليصة مباعة. كم عدد السياسات التي يجب بيعها لجعل المبلغ الإجمالي هو نفسه؟

يبيع كينيث حاليًا بدلات للشركة "أ" براتب 22000 دولار بالإضافة إلى عمولة 10 دولارات عن كل بدلة يتم بيعها. تعرض عليه الشركة "ب" منصبًا براتب قدره 28000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 4 دولارات عن كل دعوى يتم بيعها. كم عدد الدعاوى التي سيحتاج كينيث لبيعها حتى تتساوى الخيارات؟

أثناء حل كل تطبيق ، تذكر تحليل طريقة حل نظام المعادلات الأكثر ملاءمة.

المثال 4.16

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

عندما أمضت جينا 10 دقائق على المدرب الإهليلجي ثم قامت بتدريب دائري لمدة 20 دقيقة ، يقول تطبيق اللياقة البدنية الخاص بها إنها أحرقت 278 سعرة حرارية. عندما أمضت 20 دقيقة على جهاز التمارين الرياضية و 30 دقيقة في التدريب الدائري ، أحرقت 473 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها في كل دقيقة على جهاز التمارين الرياضية؟ كم عدد السعرات الحرارية لكل دقيقة من التدريب الدائري؟

حل

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عدد
حرق السعرات الحرارية في كل دقيقة على
مدرب بيضاوي وكل دقيقة
دائرة التدريب.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع e = e = عدد السعرات الحرارية المحروقة لكل
دقيقة على المدرب البيضاوي.
c = c = عدد السعرات الحرارية المحروقة لكل
دقيقة أثناء التدريب على الحلبة
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. 10 دقائق على الجهاز البيضاوي والدائرة
تدريب لمدة 20 دقيقة ، حرق
278 سعرات حرارية
20 دقيقة على الجهاز البيضاوي و
احترقت 30 دقيقة من التدريب الدائري
473 كالوري
النظام هو:
الخطوة 5. حل نظام المعادلات.
اضرب المعادلة الأولى في −2 لتحصل على
المعاملات المعاكسة لـ ه.
بسّط واجمع المعادلات.
حل من أجل ج.
استبدل ج = 8.3 في واحد من
معادلات أصلية لحلها ه.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة. تحقق من الرياضيات بنفسك.
الخطوة 7. الإجابة السؤال. جينا تحرق 8.3 سعرة حرارية في الدقيقة
تدريب الدائرة و 11.2 سعرة حرارية لكل
دقيقة أثناء وجوده على المدرب البيضاوي.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

ذهب مارك إلى صالة الألعاب الرياضية وأجرى 40 دقيقة من يوجا بيكرام الساخنة و 10 دقائق من قفز الرافعات. لقد أحرق 510 سعرة حرارية. في المرة التالية التي ذهب فيها إلى صالة الألعاب الرياضية ، أمضى 30 دقيقة من اليوجا الساخنة في بيكرام و 20 دقيقة من قفز الرافعات وحرق 470 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها في كل دقيقة من اليوجا؟ كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها لكل دقيقة من القفز؟

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

أمضت إيرين 30 دقيقة على آلة التجديف و 20 دقيقة في رفع الأثقال في صالة الألعاب الرياضية وحرق 430 سعرة حرارية. خلال زيارتها التالية للصالة الرياضية ، أمضت 50 دقيقة على آلة التجديف و 10 دقائق في رفع الأثقال وحرق 600 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها لكل دقيقة على آلة التجديف؟ كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها مقابل كل دقيقة من رفع الأثقال؟

حل تطبيقات الهندسة

سنحل الآن تطبيقات الهندسة باستخدام أنظمة المعادلات الخطية. سنحتاج إلى إضافة بعض خواص الزوايا إلى قائمتنا.

مجموع زاويتين متكاملتين يساوي 90 درجة. مجموع زاويتين مكملتين يساوي 180 درجة.

الزوايا التكميلية والتكميلية

زاويتان متكاملتان إذا كان مجموع قياسات زاويتهما 90 درجة.

زاويتان مكملتان إذا كان مجموع قياسات زاويتهما 180 درجة.

إذا كانت الزاويتان متكاملتان ، فإننا نقول ذلك إحدى الزوايا هي مكملة للزاوية الأخرى.

إذا كان هناك زاويتان مكملتان ، فإننا نقول ذلك زاوية واحدة هي تكملة للآخر.

المثال 4.17

ترجم نظام المعادلات ثم حلها.

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 26 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

حل

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن قياس كل زاوية.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع x = قياس الزاوية الأولى. y = قياس الزاوية الثانية ، دع x = قياس الزاوية الأولى. ص = قياس الزاوية الثانية
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. الزوايا متكاملة.
س + ص = 90 س + ص = 90
الفرق بين الزاويتين هو 26 درجة.
س - ص = 26 س - ص = 26
يظهر النظام. <س + ص = 90 س - ص = 26 <س + ص = 90 س - ص = 26
الخطوة 5. حل نظام المعادلات بالحذف.
عوّض x = 58 x = 58 في المعادلة الأولى. س = 58 س + ص = 90 58 + ص = 90 ص = 32 س = 58 س + ص = 90 58 + ص = 90 ص = 32
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة.
58 + 32 = 90 ✓ 58 − 32 = 26 ✓ 58 + 32 = 90 ✓ 58 − 32 = 26 ✓
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياسا الزاوية 58 درجة و 32 درجة.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 20 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

الفرق بين زاويتين متكاملتين يساوي 80 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

في المثال التالي ، نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا المكملة يساوي 180.

المثال 4.18

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يساوي اثنتي عشرة درجة أقل من خمسة أضعاف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

حل

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن قياس كل منها
زاوية.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع x = x = قياس الزاوية الأولى.
y = y = قياس الزاوية الثانية
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. الزوايا مكملة.
الزاوية الأكبر اثنا عشر أصغر من خمسة
ضرب الزاوية الأصغر.
يظهر النظام:
الخطوة 5. حل نظام استبدال المعادلات.
البديل 5x - 12 من أجل ذ في المعادلة الأولى.
حل من أجل x.


البديل 32 من أجل x في الثانية
المعادلة ، ثم حلها من أجل ذ.

الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة.
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياسات الزاوية 148 درجة و 32 درجة.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يزيد بمقدار 12 درجة عن ثلاثة أضعاف قياس الزاوية الأصغر. العثور على قياسات الزوايا.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر هو 18 أقل من ضعف قياس الزاوية الأصغر. العثور على قياسات الزوايا.

تذكر أن مجموع زوايا المثلث يصل إلى 180 درجة. المثلث القائم الزاوية له زاوية قياسها 90 درجة. ماذا يخبرنا ذلك عن الزاويتين الأخريين؟ في المثال التالي سنجد قياس الزاويتين الأخريين.

المثال 4.19

قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار عشرة أضعاف عن قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس الزاويتين.

حل

سوف نرسم ونسمي الشكل.

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن قياسات الزوايا.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع a = a = قياس الزاوية الأولى.
ب = ب = قياس الزاوية الثانية
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار عشرة أضعاف عن قياس الزاوية الصغيرة الأخرى.
مجموع قياسات زوايا المثلث هو 180.


يظهر النظام.
الخطوة 5. حل نظام المعادلات. سنستخدم التعويض حيث تم حل المعادلة الأولى من أجل أ.
عوّض 3 b + 10 3 b + 10 من أجل أ في المعادلة الثانية.
حل من أجل ب.
عوّض ب = 20 ب = 20 في المعادلة الأولى ثم حل من أجل أ.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة. سنترك هذا لك!
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياس الزوايا الصغيرة 20 و 70 درجة.

قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار 2 عن 3 أضعاف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس الزاويتين.

قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يقل بمقدار 18 عن ضعف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس الزاويتين.

غالبًا ما يكون من المفيد عند حل التطبيقات الهندسية رسم صورة لتصور الموقف.

مثال 4.20

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يمتلك راندال 125 قدمًا من المبارزة لإحاطة جزء من فناء منزله الخلفي المجاور لمنزله. سيحتاج فقط إلى إقامة سياج حول ثلاث جهات ، لأن الجانب الرابع سيكون جدار المنزل. يريد أن يكون طول الساحة المسيجة (الموازية لجدار المنزل) 5 أقدام أكثر من أربعة أضعاف عرضها. العثور على طول وعرض.

حل

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع L = L = طول الساحة المسيجة.
W = W = عرض الساحة المسيجة
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. عشر وعرضان يساوي 125.
سيكون الطول 5 أقدام أكثر من
أربعة أضعاف العرض.
يظهر النظام.

الخطوة 5. حل نظام المعادلات
بالتناوب.
استبدل إل = 4دبليو + 5 في الأول
المعادلة ، ثم حلها من أجل دبليو.
البديل 20 من أجل دبليو في الثانية
المعادلة ، ثم حلها من أجل إل.
الخطوة 6. تحقق الجواب في
مشكلة.
الخطوة 7. الإجابة المعادلة. الطول 85 قدمًا والعرض 20 قدمًا.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يريد ماريو وضع سياج حول المسبح في الفناء الخلفي لمنزله. نظرًا لأن أحد الجوانب مجاور للمنزل ، فلن يحتاج إلا إلى تسييج ثلاثة جوانب. يوجد جانبان طويلان والجانب الأقصر موازٍ للمنزل. إنه يحتاج إلى 155 قدمًا من المبارزة لإحاطة المسبح. طول الضلع الطويل أقل من ضعف العرض بمقدار 10 أقدام. ابحث عن طول وعرض منطقة المسبح المراد تغطيتها.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

تريد أليكسيس بناء كلب يجري في مستطيل الشكل في فناء منزلها المجاور لسياج جارتها. ستستخدم سياجًا بطول 136 قدمًا لإحاطة مسار الكلب المستطيل تمامًا. سيكون طول الكلب الذي يركض على طول سياج الجار أقل من ضعف العرض بمقدار 16 قدمًا. أوجد طول وعرض مسار الكلب.

حل تطبيقات الحركة الموحدة

استخدمنا جدولًا لتنظيم المعلومات في مسائل حركة موحدة عندما قدمناها سابقًا. سنواصل استخدام الجدول هنا. كانت المعادلة الأساسية هي D = r t D = r t حيث د هي المسافة المقطوعة ، ص هو المعدل و ر هو الوقت المناسب.

سيكون أول مثال على تطبيق الحركة المنتظمة لحالة مشابهة لبعض الحالات التي رأيناها بالفعل ، ولكن يمكننا الآن استخدام متغيرين ومعادلتين.

المثال 4.21

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

غادر جوني سانت لويس على الطريق السريع ، متجهًا غربًا نحو دنفر بسرعة 65 ميلًا في الساعة. بعد نصف ساعة ، غادر كيلي سانت لويس على نفس الطريق مثل جوني ، حيث كان يقود 78 ميلًا في الساعة. كم من الوقت سيستغرق كيلي للحاق بجوني؟

حل

الرسم التخطيطي مفيد في مساعدتنا على تصور الموقف.

تحديد واسم ما نبحث عنه. سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم البيانات. نحن نعرف معدلات كل من Joni و Kelly ، ولذا ندخلها في المخطط. نحن نبحث عن طول الفترة الزمنية يا كيلي ، كوجوني ، ي، سوف يقود كل.

يترجم في نظام المعادلات.

لعمل نظام المعادلات ، يجب أن ندرك أن كيلي وجوني سيقودان نفس المسافة. وبالتالي،

أيضًا ، نظرًا لأن كيلي غادرت لاحقًا ، سيكون وقتها أقل بساعة تبلغ 1 2 1 2 من وقت جوني. وبالتالي،

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

غادر ميتشل ديترويت على الطريق السريع متوجهاً جنوباً نحو أورلاندو بسرعة 60 ميلاً في الساعة. غادر كلارك ديترويت بعد ساعة واحدة وسافر بسرعة 75 ميلاً في الساعة ، متبعًا نفس الطريق الذي سلكه ميتشل. كم من الوقت سيستغرق كلارك للقبض على ميتشل؟

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

غادر تشارلي منزل والدته مسافرًا بمتوسط ​​سرعة 36 ميلًا في الساعة. غادرت أخته سالي بعد 15 دقيقة (1 4 ساعات) (1 4 ساعات) سافرت في نفس الطريق بمتوسط ​​سرعة 42 ميلًا في الساعة. كم من الوقت قبل أن تلحق سالي بتشارلي؟

تنشأ العديد من تطبيقات العالم الحقيقي للحركة المنتظمة بسبب تأثيرات التيارات - الماء أو الهواء - على السرعة الفعلية للمركبة. تستغرق رحلات الطيران عبر البلاد في الولايات المتحدة عمومًا وقتًا أطول في الذهاب غربًا عن الذهاب شرقًا بسبب تيارات الرياح السائدة.

دعونا نلقي نظرة على قارب يسافر على نهر. اعتمادًا على الطريقة التي يسير بها القارب ، فإن تيار الماء إما يبطئه أو يسرعه.

توضح الصور أدناه كيف يؤثر تيار النهر على السرعة التي يسافر بها القارب بالفعل. سوف نسمي سرعة القارب في المياه الساكنة ب وسرعة تيار النهر ج.

القارب يسير في اتجاه مجرى النهر ، في نفس اتجاه تيار النهر. يساعد التيار على دفع القارب ، وبالتالي تكون السرعة الفعلية للقارب أسرع من سرعته في المياه الساكنة. السرعة الفعلية للقارب هي b + c. ب + ج.

الآن ، القارب يسير في اتجاه المنبع ، عكس تيار النهر. التيار يسير عكس القارب ، لذا فإن السرعة الفعلية للقارب أبطأ من سرعته في الماء الراكد. السرعة الفعلية للقارب هي ب - ج. ب - ج.

سنضع بعض الأرقام لهذا الموقف في المثال التالي.

المثال 4.22

ترجم نظام المعادلات ثم حلها.

أبحرت سفينة سياحية نهرية 60 ميلاً في اتجاه مجرى النهر لمدة 4 ساعات ثم استغرقت 5 ساعات في الإبحار في اتجاه المنبع للعودة إلى الرصيف. أوجد سرعة السفينة في المياه الساكنة وسرعة تيار النهر.

حل

يقرأ المشكلة. هذه مشكلة حركة موحدة وأ
ستساعدنا الصورة على تصور الموقف.
تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن سرعة السفينة
في الماء الراكد وسرعة التيار.
اسم ما نبحث عنه. دعونا s = s = معدل السفينة في المياه الراكدة.
ج = ج = معدل التيار
سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم المعلومات.
تذهب السفينة في اتجاه مجرى النهر ثم المنبع.
الذهاب إلى المصب ، التيار يساعد
السفينة وبالتالي فإن السعر الفعلي للسفينة هو س + ج.
الذهاب إلى المنبع ، التيار يبطئ السفينة
وبالتالي فإن المعدل الفعلي هو سج.
يستغرق المصب 4 ساعات.
المنبع يستغرق 5 ساعات.
في كل اتجاه المسافة 60 ميلا.
يترجم في نظام المعادلات.
نظرًا لأن معدل الأوقات هو المسافة ، يمكننا ذلك
اكتب نظام المعادلات.
يحل نظام المعادلات.
وزع لوضع المعادلتين في المعيار
ثم حلها عن طريق الحذف.
اضرب المعادلة العليا في 5 و
المعادلة السفلية بمقدار 4.
اجمع المعادلات ثم حلها من أجل س.
استبدل س = 13.5 في الأصل
المعادلات.
الشيك الجواب في المشكلة.
سيكون معدل المصب
13.5 + 1.5 = 15 13.5 + 1.5 = 15 ميل في الساعة.
في غضون 4 ساعات ستسافر السفينة
15 · 4 = 60 15 · 4 = 60 ميلاً.
سيكون معدل المنبع
13.5 - 1.5 = 12 13.5 - 1.5 = 12 ميل في الساعة.
في غضون 5 ساعات ستسافر السفينة
12 · 5 = 60 12 · 5 = 60 ميلاً.
إجابه السؤال. معدل السفينة 13.5 ميلا في الساعة و
معدل التيار 1.5 ميل في الساعة.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

أبحرت رحلة بحرية بقارب نهر المسيسيبي 120 ميلاً في اتجاه المنبع لمدة 12 ساعة ثم استغرقت 10 ساعات للعودة إلى الرصيف. أوجد سرعة قارب النهر في المياه الساكنة وسرعة تيار النهر.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

جدف جيسون بزورقه على بعد 24 ميلاً من المنبع لمدة 4 ساعات. استغرق الأمر 3 ساعات للعودة إلى الوراء. أوجد سرعة الزورق في المياه الساكنة وسرعة تيار النهر.

تؤثر تيارات الرياح على سرعات الطائرات بنفس الطريقة التي تؤثر بها التيارات المائية على سرعات القوارب. سنرى هذا في المثال التالي. يسمى تيار الرياح في نفس اتجاه تحليق الطائرة a الريح الخلفية. يسمى تيار الرياح الذي يهب عكس اتجاه الطائرة أ رياح معاكسة.

المثال 4.23

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يمكن لطائرة خاصة أن تطير 1095 ميلًا في ثلاث ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 987 ميلًا في ثلاث ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

حل

يقرأ المشكلة. هذه مشكلة حركة موحدة وأ
سوف تساعدنا الصورة على تصور.
تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن سرعة الطائرة
في الهواء الساكن وسرعة الريح.
اسم ما نبحث عنه. دع j = j = سرعة الطائرة في الهواء الساكن.
w = w = سرعة الريح.
سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم المعلومات.
تقوم الطائرة النفاثة برحلتين - واحدة في ريح خلفية
وواحد في رياح معاكسة.
في الرياح الخلفية ، تساعد الرياح الطائرة وما إلى ذلك
المعدل ي + ث.
في رياح معاكسة ، تبطئ الرياح النفاثة و
لذا فإن المعدل يث.
تستغرق كل رحلة 3 ساعات.
في الريح الخلفية ، تطير الطائرة لمسافة 1،095 ميلًا.
في رياح معاكسة ، تحلق الطائرة مسافة 987 ميلاً.
يترجم في نظام المعادلات.
نظرًا لأن معدل الأوقات هو المسافة ، نحصل على
نظام المعادلات.
يحل نظام المعادلات.
وزع ثم حل بالقضاء.
أضف وحل من أجل ي.
استبدل ي = 347 في واحد من الأصل
المعادلات ، ثم حل من أجل ث.
الشيك الجواب في المشكلة.
مع الريح الخلفية ، فإن المعدل الفعلي لـ
سيكون النفاثة
347 + 18 = 365347 + 18 = 365 ميل في الساعة.
في غضون 3 ساعات ستسافر الطائرة
365 3 = 1095365 3 = 1095 ميلاً
الدخول في الريح المعاكسة ، الطائرة الفعلية
سيكون المعدل
347-18 = 329347-18 = 329 ميل في الساعة.
في غضون 3 ساعات ستسافر الطائرة
329 · 3 = 987329 · 3 = 987 ميلاً.
إجابه السؤال. معدل الطائرة 347 ميلا في الساعة و
معدل الرياح 18 ميلا في الساعة.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يمكن لطائرة صغيرة أن تطير 1325 ميلًا في 5 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1035 ميلًا في 5 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يمكن للطائرة التجارية أن تطير 1728 ميلًا في 4 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1536 ميلًا في 4 ساعات في الرياح المعاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

وسائط

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة مع أنظمة المعادلات.

القسم 4.2 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

تطبيقات الترجمة المباشرة

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى نظام المعادلات وحلها.

مجموع رقمين هو 15. رقم واحد أقل بمقدار 3 من الآخر. أوجد الأرقام.

مجموع رقمين هو 30. رقم واحد أقل من الآخر بأربعة. أوجد الأرقام.

مجموع رقمين هو 16. رقم واحد أقل بـ 20 من الآخر. أوجد الأرقام.

مجموع عددين هو 65. الفرق بينهما هو 25. أوجد الأرقام.

مجموع عددين هو 37. الفرق بينهما هو 9. أوجد الأرقام.

تم عرض مكسيم من قبل شركتي سيارات. تدفع الشركة الأولى راتباً قدره 10000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 1000 دولار عن كل سيارة يتم بيعها. والثاني يدفع راتباً قدره 20000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 500 دولار عن كل سيارة يتم بيعها. كم عدد السيارات التي يجب بيعها ليجعل المبلغ الإجمالي هو نفسه؟

عرضت شركتا كابل على جاكي وظائف. تدفع الشركة الأولى راتباً قدره 14000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 100 دولار لكل حزمة كابل يتم بيعها. الثاني يدفع راتباً قدره 20000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 25 دولارًا لكل حزمة كابل يتم بيعها. كم عدد حزم الكابلات التي يجب بيعها لجعل المبلغ الإجمالي هو نفسه؟

تبيع أمارا حاليًا أجهزة تلفزيون للشركة أ براتب 17000 دولار بالإضافة إلى عمولة 100 دولار عن كل تلفزيون تبيعه. تعرض عليها الشركة "ب" منصبًا براتب قدره 29 ألف دولار بالإضافة إلى عمولة 20 دولارًا عن كل تلفزيون تبيعه. كيف يجب أن تبيع أجهزة التلفزيون لكي تكون الخيارات متساوية؟

يبيع ميتشل حاليًا المواقد للشركة "أ" براتب 12000 دولار بالإضافة إلى عمولة 150 دولارًا عن كل موقد يبيعه. تعرض عليه الشركة "ب" منصبًا براتب قدره 24000 دولار بالإضافة إلى عمولة قدرها 50 دولارًا عن كل موقد يبيعه. كم عدد المواقد التي سيحتاج ميتشل لبيعها حتى تكون الخيارات متساوية؟

تحتوي حاويتان من البنزين على إجمالي خمسين جالونًا. يمكن أن تستوعب الحاوية الكبيرة عشرة جالونات أقل من ضعف الحاوية الصغيرة. كم جالون يحمل كل حاوية؟

يحتاج يونيو إلى 48 جالونًا من الثقب للحفلة ويحتوي على مبردين مختلفين لحمله. المبرد الأكبر حجمه أكبر بخمس مرات من المبرد الأصغر. كم جالون يمكن أن يحمل كل مبرد؟

أمضت شيلي 10 دقائق في الركض و 20 دقيقة في ركوب الدراجات وحرق 300 سعرة حرارية. في اليوم التالي ، قامت شيلي بتبديل الأوقات ، حيث مارست 20 دقيقة من الركض و 10 دقائق من ركوب الدراجات وحرق نفس العدد من السعرات الحرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها لكل دقيقة من الركض وكم عدد السعرات لكل دقيقة من ركوب الدراجة؟

أحرق درو 1800 سعرة حرارية يوم الجمعة من خلال لعب كرة السلة لمدة ساعة واحدة والتجديف لمدة ساعتين. يوم السبت قضى ساعتين في لعب كرة السلة وثلاث ساعات في التجديف وأحرق 3200 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي يحرقها في الساعة عند لعب كرة السلة؟ كم عدد السعرات الحرارية التي يحرقها في الساعة عند التجديف؟

كان تروي وليزا يتسوقان لشراء اللوازم المدرسية. اشترى كل منهم كميات مختلفة من نفس الكمبيوتر المحمول ومحرك الإبهام. اشترى تروي أربعة دفاتر وخمسة محركات أقراص للإبهام مقابل 116 دولارًا. اشترت ليزا دفتريين وثلاث غطس للإبهام مقابل 68 دولارًا. ابحث عن تكلفة كل جهاز كمبيوتر محمول وكل محرك أقراص محمول.

اشترت نانسي سبعة أرطال من البرتقال وثلاثة أرطال من الموز مقابل 17 دولارًا. اشترى زوجها في وقت لاحق ثلاثة أرطال من البرتقال وستة أرطال من الموز مقابل 12 دولارًا. كم كانت تكلفة رطل البرتقال والموز؟

أندريا تشتري بعض القمصان والسترات الجديدة. يمكنها شراء 3 قمصان وسترتين مقابل 114 دولارًا أو تستطيع شراء قميصين و 4 كنزات مقابل 164 دولارًا. كم تكلفة القميص؟ كم تكلفة السترة؟

بيتر يشتري اللوازم المكتبية. إنه قادر على شراء 3 عبوات من الورق و 4 دباسات مقابل 40 دولارًا أو يمكنه شراء 5 عبوات من الورق و 6 دباسات مقابل 62 دولارًا. كم تكلفة حزمة الورق؟ كم تكلفة دباسة؟

إجمالي كمية الصوديوم في 2 هوت دوج و 3 أكواب من الجبن هو 4720 مجم. إجمالي كمية الصوديوم في 5 نقانق و 2 كوب من الجبن هو 6300 مجم. كم الصوديوم في الهوت دوج؟ ما هي كمية الصوديوم في كوب من الجبن؟

إجمالي عدد السعرات الحرارية في 2 هوت دوج و 3 أكواب من الجبن هو 960 سعرة حرارية. إجمالي عدد السعرات الحرارية في 5 هوت دوج و 2 كوب من الجبن هو 1190 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية في الهوت دوج؟ كم عدد السعرات الحرارية في كوب من الجبن؟

مولي تصنع ماءً منقوعًا بالفراولة. لكل أونصة من عصير الفراولة ، تستخدم ثلاثة أضعاف أوقية من الماء مثل العصير. كم أوقية من عصير الفراولة وكم أوقية من الماء تحتاجها لصنع 64 أوقية من الماء المنقوع بالفراولة؟

أوين يصنع عصير الليمون من المركز. عدد ليترات المياه التي يحتاجها هو 4 أضعاف عدد كوارتات التركيز. كم ليترًا من الماء وكم ليترًا من التركيز يحتاجه أوين لصنع 100 ليتر من عصير الليمون؟

حل تطبيقات الهندسة

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى نظام المعادلات وحلها.

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 55 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 17 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

زاويتان متكاملتان. قياس الزاوية الأكبر هو اثني عشر أقل من ضعف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

زاويتان متكاملتان. قياس الزاوية الأكبر يزيد بمقدار عشرة أضعاف عن قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

الفرق بين زاويتين مكملتين هو 8 درجات. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين مكملتين هو 88 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يساوي أربعة أضعاف قياس الزاوية الأصغر بثلاثة أضعاف. أوجد قياس الزاويتين.

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يساوي خمسة أقل من أربعة أضعاف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار 14 عن 3 أضعاف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس الزاويتين.

قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار 26 عن 3 أضعاف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس الزاويتين.

قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يقل بمقدار 15 عن ضعف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس الزاويتين.

قياس إحدى الزوايا الصغيرة لمثلث قائم الزاوية يقل بمقدار 45 عن ضعف قياس الزاوية الصغيرة الأخرى. أوجد قياس الزاويتين.

يعلق واين سلسلة من الأضواء بطول 45 قدمًا حول الجوانب الثلاثة لفناء منزله المجاور لمنزله. يبلغ طول فناء منزله ، أي جانب المنزل ، خمسة أقدام أطول من ضعف عرضه. ابحث عن طول وعرض الفناء.

دارين يعلق 200 قدم من إكليل عيد الميلاد على الجوانب الثلاثة من السياج الذي يحيط بساحته الأمامية. الطول خمسة أقدام أقل من ثلاثة أضعاف العرض. أوجد طول وعرض السياج.

يبلغ محيط إطار حول صورة عائلية 90 بوصة. الطول أقل بخمسة عشر ضعف العرض. أوجد طول وعرض الإطار.

محيط منطقة لعب الأطفال الصغار 100 قدم. الطول أكثر من ثلاثة أضعاف العرض. ابحث عن طول وعرض منطقة اللعب.

حل تطبيقات الحركة الموحدة

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى نظام المعادلات وحلها.

غادرت سارة مينيابوليس متجهة شرقاً على الطريق السريع بسرعة 60 ميلاً في الساعة. تبعتها أختها على نفس الطريق ، وغادرت بعد ساعتين وقادت السيارة بمعدل 70 ميلاً في الساعة. كم من الوقت ستستغرق أخت سارة لتلحق بسارة؟

كان زملاؤنا في الغرفة ، جون وديفيد ، يقودان سيارتهما إلى المنزل في نفس المدينة لقضاء العطلات. قاد جون 55 ميلاً في الساعة ، وقاد ديفيد ، الذي غادر بعد ساعة ، 60 ميلاً في الساعة. كم من الوقت سيستغرق داود للحاق بيوحنا؟

في نهاية عطلة الربيع ، غادرت لوسي الشاطئ وعادت نحو المنزل ، حيث كانت تقود بسرعة 40 ميلاً في الساعة. غادر صديق لوسي الشاطئ عائدا إلى منزله بعد 30 دقيقة (نصف ساعة) ، وقاد 50 ميلا في الساعة. كم من الوقت استغرقت صديقة لوسي للحاق بلوسي؟

غادرت فيليسيا منزلها لزيارة ابنتها وهي تقود السيارة بسرعة 45 ميلاً في الساعة. انتظر زوجها وصول جليسة الكلب وغادر المنزل بعد عشرين دقيقة (1/3 ساعة). قاد 55 ميلا في الساعة للحاق فيليسيا. كم من الوقت قبل أن يصل إليها؟

قامت عائلة جونز بركوب الزورق لمسافة 12 ميلًا أسفل النهر الهندي في غضون ساعتين. بعد الغداء ، استغرقت رحلة العودة إلى النهر ثلاث ساعات. أوجد معدل الزورق في الماء الراكد ومعدل التيار.

يسافر قارب بمحرك 60 ميلاً أسفل النهر في ثلاث ساعات ولكن يستغرق خمس ساعات للعودة إلى أعلى النهر. أوجد معدل القارب في المياه الساكنة ومعدل التيار.

قطع قارب بمحرك مسافة 18 ميلاً أسفل النهر في غضون ساعتين ، لكنه عاد إلى أعلى النهر ، واستغرق 4.5 4.5 ساعة بسبب التيار. أوجد معدل الزورق في الماء الراكد ومعدل التيار.

أبحر قارب رحلات نهرية لمسافة 80 ميلاً أسفل نهر المسيسيبي لمدة أربع ساعات. استغرق الأمر خمس ساعات للعودة. أوجد معدل قارب الرحلات في المياه الساكنة ومعدل التيار.

يمكن لطائرة صغيرة أن تطير 1072 ميلاً في 4 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 848 ميلاً في 4 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

يمكن لطائرة صغيرة أن تطير 1435 ميلاً في 5 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1215 ميلاً في 5 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

يمكن لطائرة تجارية أن تطير 868 ميلاً في ساعتين مع رياح خلفية ولكن فقط 792 ميلاً في ساعتين في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

يمكن لطائرة تجارية أن تطير 1320 ميلًا في 3 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1170 ميلًا في 3 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

تمارين الكتابة

اكتب مشكلة تطبيق مشابهة للمثال 4.14. ثم ترجم نظام المعادلات وحلها.

اكتب مشكلة حركة موحدة مشابهة للمثال 4.15 تتعلق بالمكان الذي تعيش فيه مع أصدقائك أو أفراد أسرتك. ثم ترجم نظام المعادلات وحلها.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد مراجعة قائمة التحقق هذه ، ما الذي ستفعله لتصبح واثقًا من جميع الأهداف؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/4-2-solve-applications-with-systems-of-equations

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    حل المتباينات الخطية

    الرسم البياني لمتباينة خطية في متغير واحد هو خط الأعداد. استخدم دائرة مفتوحة لـ & lt و & gt ودائرة مغلقة لـ ≤ و ≥.

    المتباينات التي لها نفس الحل تسمى متكافئة. هناك خصائص لعدم المساواة وكذلك هناك خصائص المساواة. جميع الخصائص أدناه صحيحة أيضًا بالنسبة للمتباينات التي تتضمن و.

    تقول خاصية إضافة عدم المساواة أن إضافة نفس العدد إلى كل جانب من جوانب المتباينة ينتج متباينة مكافئة

    تخبرنا خاصية طرح المتباينة أن طرح نفس العدد من كلا طرفي المتباينة يعطي متباينة مكافئة.

    تخبرنا خاصية الضرب في المتباينة أن الضرب في كلا طرفي المتباينة مع a رقم موجب، عدد إيجابي تنتج عدم مساواة مكافئة.

    الضرب في طرفي متراجحة برقم سالب من ناحية أخرى لا ينتج متراجحة مكافئة إلا إذا عكسنا اتجاه رمز المتباينة

    الشيء نفسه ينطبق على خاصية تقسيم عدم المساواة.

    ينتج عن تقسيم كلا جانبي المتباينة برقم موجب عدم مساواة مكافئة.

    والقسمة على طرفي المتباينة برقم سالب ينتج عنها متباينة مكافئة إذا تم عكس رمز عدم المساواة.

    لحل مشكلة عدم المساواة متعددة الخطوات ، عليك القيام بذلك كما فعلت عند حل المعادلات متعددة الخطوات. خذ شيئًا واحدًا في ذلك الوقت ويفضل البدء بعزل المتغير عن الثوابت. عند حل التفاوتات متعددة الخطوات ، من المهم ألا تنسى عكس علامة عدم المساواة عند الضرب أو القسمة على أرقام سالبة.


    التحميل الان!

    لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مريحة مع 2 7 Linear Inequities in Two Variables. للبدء في العثور على متباينات خطية 2 7 في متغيرين ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
    مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

    أخيرًا ، حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا لجميع هذه المتباينات الخطية السبعة في متغيرين يمكنني الحصول عليها الآن!

    لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

    wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

    أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

    من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

    الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

    wtffff أنا لا أفهم هذا!

    ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


    2.7: حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

    نحتاج الآن إلى مناقشة القسم الذي يكرهه معظم الطلاب. نحتاج إلى التحدث عن تطبيقات المعادلات الخطية. أو بعبارة أخرى ، سنبدأ الآن في النظر في مشاكل القصة أو مشاكل الكلمات. على مر التاريخ ، كان الطلاب يكرهون هذه. ومع ذلك ، أعتقد أن السبب الرئيسي لذلك هو أن الطلاب لا يعرفون حقًا كيفية العمل معهم. بمجرد أن تفهم كيفية عملها ، ستجد على الأرجح أنها ليست سيئة كما قد تبدو في بعض الأحيان. لذلك ، سنبدأ هذا القسم بعملية تشغيل التطبيقات.

    عملية لقصة العمل / مشاكل الكلمات

    1. اقرأ المشكلة.
    2. اقرأ المشكلة مرة أخرى. حسنًا ، قد يكون هذا مبالغة قليلاً هنا. ومع ذلك ، فإن الهدف من هاتين الخطوتين الأوليين هو أنه يجب عليك قراءة المشكلة. هذه الخطوة هي الخطوة الأكثر أهمية ، ولكنها أيضًا الخطوة التي لا يقوم بها معظم الأشخاص بشكل صحيح.

    تحتاج إلى قراءة المشكلة بعناية فائقة وبأي عدد من المرات. تكون قد انتهيت من هذه الخطوة فقط عندما تفهم تمامًا ما تطلبه المشكلة منك. يتضمن ذلك تحديد جميع المعلومات المقدمة وتحديد ما يُطلب منك العثور عليه.

    مرة أخرى ، لا يمكن التأكيد بما يكفي على أنه يجب عليك قراءة المشكلة بعناية. في بعض الأحيان ، يمكن أن تغير كلمة واحدة طريقة عمل المشكلة تمامًا. إذا قمت بقراءة المشكلة للتو ، فقد تفقد هذه الكلمة المهمة جدًا.

    لنبدأ ببعض الأمثلة الأساسية إلى حد ما لتوضيح العملية. لاحظ أيضًا أنه في هذه المرحلة ، من المفترض أنك قادر على حل معادلات خطية بسيطة إلى حد ما ، وبالتالي لن يتم تقديم الكثير من التفاصيل لمرحلة الحل الفعلية. النقطة في هذا القسم تتعلق بإعداد المعادلة أكثر من حلها.

    حسنًا ، لنبدأ بتحديد (p ) ليكون الحد الأدنى المطلوب من الدرجات في الاختبار الثالث.

    الآن ، لنتذكر كيف يتم تعيين الدرجات. نظرًا لعدم وجود أوزان أو أي شيء في الدرجات ، سيتم تعيين الدرجة من خلال حساب النسبة المئوية التالية أولاً.

    نظرًا لأننا نستخدم المقياس القياسي إذا كانت النسبة المئوية للصف 0.9 أو أعلى ، فسيحصل الطالب على درجة A. وبالمثل ، إذا كانت النسبة المئوية للصف بين 0.8 و 0.9 ، سيحصل الطالب على درجة B.

    نعلم أن إجمالي النقاط الممكنة هو 350 وأن الطالب لديه مجموع النقاط (بما في ذلك الامتحان الثالث) من ،

    [4 + 8 + 7 + 7 + 9 + 78 + 83 + ع = 196 + ص ]

    أصغر نسبة مئوية ممكنة لـ A هي 0.9 وبالتالي إذا كانت (p ) هي الحد الأدنى المطلوب من الدرجات في الاختبار الثالث لـ A ، فسنحصل على المعادلة التالية.

    هذه معادلة خطية سنحتاج إلى حلها من أجل (ص ).

    [196 + p = 0.9 يسار (<350> يمين) = 315 hspace <0.25in> ، ، ، ، Rightarrow hspace <0.25in> ، ، ، p = 315 - 196 = 119 ]

    لذا ، فإن الحد الأدنى للدرجة المطلوبة في الامتحان الثالث هو 119. وهذه مشكلة لأن الامتحان يساوي 100 نقطة فقط. بمعنى آخر ، لن يحصل الطالب على درجة A في فصل الجبر.

    الآن دعنا نتحقق مما إذا كان الطالب سيحصل على الدرجة "ب". في هذه الحالة الحد الأدنى للنسبة المئوية هو 0.8. لذلك ، للعثور على الحد الأدنى من الدرجات المطلوبة في الاختبار الثالث لـ B ، سنحتاج إلى حلها ،

    [196 + p = 0.8 يسار (<350> يمين) = 280 hspace <0.25in> ، ، ، ، Rightarrow hspace <0.25in> ، ، ، p = 280 - 196 = 84 ]

    لذلك ، من الممكن أن يحصل الطالب على درجة B في الفصل. كل ما يحتاجه الطالب هو الحصول على 84 على الأقل في الامتحان الثالث.

    سنقوم أولاً بتعريف (x ) ليكون ارتفاع مجموعة الأرفف. هذا يعني أن 4 (س ) هو عرض مجموعة الأرفف. في هذه الحالة ، نحتاج بالتأكيد إلى رسم شكل حتى نتمكن من إعداد المعادلة بشكل صحيح. ها هو،

    نحن نعلم الآن أن هناك 72 قدمًا من الخشب لاستخدامها وسنفترض أنه سيتم استخدام كل ذلك. لذلك ، يمكننا إعداد معادلة الكلمة التالية.

    غالبًا ما تكون فكرة جيدة أن تضع المعادلة أولاً في الكلمات قبل كتابة المعادلة بالفعل كما فعلنا هنا. في هذه المرحلة ، يمكننا أن نرى من الشكل وجود قطعتين عموديتين ، كل واحدة بطول (س ). أيضا ، هناك 4 قطع أفقية ، كل منها بطول 4 (س ). إذن ، المعادلة هي

    [يبدأ4 يسار (<4x> يمين) + 2 يسار (x يمين) & = 72 16x + 2x & = 72 18x & = 72 x & = 4 النهاية]

    لذلك ، يبدو أن ارتفاع مجموعة الرفوف يجب أن يكون 4 أقدام. لاحظ مع ذلك أننا لم نجب على السؤال في الواقع. طلبت منا المشكلة إيجاد الأبعاد. هذا يعني أننا نحتاج أيضًا إلى عرض مجموعة الأرفف. العرض 4 (4) = 16 قدمًا. لذلك يجب أن تكون الأبعاد 4x16 قدمًا.

    مشاكل التسعير

    تتناول المشكلتان التاليتان بعض المبادئ الأساسية للتسعير.

    أولاً ، دعنا نحدد (p ) التكلفة التي دفعها المتجر مقابل الآلة الحاسبة. ترميز المتاجر على الآلة الحاسبة هو 15٪. هذا يعني أنه تمت إضافة 0.15 (p ) إلى السعر الأصلي ( (p )) للحصول على المبلغ الذي يتم بيع الآلة الحاسبة به. بمعنى آخر ، لدينا المعادلة التالية

    التي نحتاج إلى حلها من أجل (ع ). القيام بهذا يعطي ،

    [1.15p = 78.50 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> p = frac << 78.50 >> << 1.15 >> = 68.26087 ]

    دفع المتجر 68.26 دولارًا مقابل الآلة الحاسبة. لاحظ أنه نظرًا لأننا نتعامل مع أموال ، فقد قمنا بتقريب الإجابة إلى منزلتين عشريتين.

    هذه المشكلة هي إلى حد كبير عكس المثال السابق. لنبدأ بتحديد (ع ) ليكون سعر القميص قبل البيع. تم تخفيضه بنسبة 35٪. هذا يعني أنه تم طرح 0.35 (ع ) من السعر الأصلي. لذلك ، المعادلة (والحل) هو ،

    [يبدأp - 0.35p & = 15.00 0.65p & = 15.00 p & = frac << 15.00 >> << 0.65 >> = 23.0769 end]

    لذلك ، مع التقريب ، يبدو أن القميص تم بيعه في الأصل مقابل 23.08 دولارًا.

    مشاكل المسافة / السعر

    هذه بعض المشكلات القياسية التي يفكر فيها معظم الناس عندما يفكرون في مسائل الكلمات الجبرية. الصيغة القياسية التي سنستخدمها هنا هي

    ستستخدم جميع المشكلات التي سنفعلها في هذه المجموعة من الأمثلة هذا بدرجة أو بأخرى وغالبًا أكثر من مرة كما سنرى.

    دعنا (t ) نمثل مقدار الوقت الذي تقضيه السيارات قبل أن تلتقي. الآن ، علينا رسم شكل لهذا. سيساعدنا هذا الرقم في تدوين المعادلة التي سنحتاج إلى حلها.

    من هذا الشكل يمكننا أن نرى أن المسافة التي تقطعها السيارة A بالإضافة إلى المسافة التي تقطعها السيارة B يجب أن تساوي المسافة الإجمالية التي تفصل بين السيارتين ، وهي 500 ميل.

    هذه هي المعادلة اللفظية لهذه المشكلة في شكلين منفصلين.

    استخدمنا الصيغة القياسية هنا مرتين ، مرة لكل سيارة. نحن نعلم أن المسافة التي تقطعها السيارة هي معدل السيارة مضروبًا في الوقت الذي تقطعه السيارة. في هذه الحالة ، نعلم أن السيارة A تنتقل بسرعة 100 ميل في الساعة لمدة (t ) ساعات وأن السيارة B تنتقل بسرعة 70 ميلاً في الساعة لمدة (t ) ساعات أيضًا. بإدخال هذه في معادلة الكلمة والحل يعطينا ،

    لذلك ، سوف يسافرون لمدة 2.94 ساعة تقريبًا قبل الاجتماع.

    بالنسبة لهذه المشكلة ، سنحتاج إلى توخي الحذر بشأن الوقت الذي تقضيه كل سيارة. لنحدد (t ) مقدار الوقت الذي تقضيه سيارة السفر الأبطأ. الآن ، نظرًا لأن السيارة الأسرع تبدأ بعد ساعة واحدة من السيارة الأبطأ ، فإنها ستسافر لمدة (t - 1 ) ساعات فقط.

    الآن ، بما أننا نكرر المشكلة من أعلى ، فستبقى معادلة الشكل والكلمة متطابقة ، وبالتالي لن نتعهد بتكرارها هنا. الاختلاف الوحيد هو ما نستبدل الوقت الذي تقضيه السيارة الأسرع. بدلاً من (t ) كما استخدمنا في المثال السابق ، سنستخدم (t - 1 ) لأنه يسافر لمدة ساعة أقل من السيارة الأبطأ.

    ها هي المعادلة والحل لهذا المثال.

    [يبدأ100 يسار ( right) + 70t & = 500 100t - 100 + 70t & = 500 170t & = 600 t & = frac <<600>> <<170>> = 3.529412 < mbox <ساعات >> نهاية]

    في هذه الحالة ، ستنتقل السيارة الأبطأ لمدة 3.53 ساعة قبل الاجتماع بينما ستسافر السيارة الأسرع لمدة 2.53 ساعة (ساعة واحدة أقل من السيارة الأبطأ).

    لنبدأ بالسماح (r ) أن تكون سرعة القارب على اليمين (القارب الأبطأ). هذا يعني أن القارب إلى اليسار (القارب الأسرع) يتحرك بسرعة 2 (r ). هذا هو الرقم لهذا الموقف.

    من الشكل يبدو أننا حصلنا على معادلة الكلمات التالية.

    عند توصيل الصيغة القياسية للمسافة تعطي ،

    بالنسبة لهذه المشكلة ، نعلم أن الوقت الذي تستغرقه كل واحدة هو 5 ساعات ونعلم أن معدل القارب A هو 2 (r ) ومعدل القارب B هو (r ). بإدخال هذه المعادلات في معادلة العمل والحل ،

    [يبدأ100 + يسار (r يمين) يسار (5 يمين) & = يسار (<2r> يمين) يسار (5 يمين) 100 + 5r & = 10r 100 & = 5r 20 & = r النهاية]

    لذلك ، يتحرك القارب الأبطأ بسرعة 20 ميلاً في الساعة والقارب الأسرع يتحرك بسرعة 40 ميلاً في الساعة (ضعف السرعة).

    مشاكل العمل / السعر

    هذه المشاكل هي في الواقع متغيرات من مشاكل المسافة / المعدل التي انتهينا منها للتو. المعادلة القياسية التي ستكون مطلوبة لهذه المشاكل هي ،

    كما ترى ، هذه الصيغة مشابهة جدًا للصيغة التي استخدمناها أعلاه.

    لنفترض (t ) الوقت الذي تستغرقه كلتا الآلتين ، للعمل معًا ، لتعبئة مجموعة من الأظرف. المعادلة اللفظية لهذه المشكلة هي

    نحن نعلم أن الوقت المستغرق في العمل هو (t ) ولكننا لا نعرف معدل العمل لكل جهاز. للحصول على هذه ، سنحتاج إلى استخدام المعلومات الأولية المقدمة حول المدة التي يستغرقها كل جهاز لأداء المهمة على حدة. يمكننا استخدام المعادلة التالية للحصول على هذه المعدلات.

    لنبدأ بالآلة أ.

    بإدخال هذه الكميات في المعادلة الرئيسية أعلاه ، نحصل على المعادلة التالية التي نحتاج إلى حلها.

    لذا ، يبدو أن الأمر سيستغرق الجهازين ، للعمل معًا ، 1.875 ساعة لتعبئة مجموعة من الأظرف.

    لنفترض أن (t ) الوقت الذي سيستغرقه جون لتنظيف مجمع المكاتب بنفسه. معادلة الكلمات الأساسية لهذه المشكلة هي ،

    هذه المرة نعلم أن الوقت الذي يقضيه العمل معًا هو 3.5 ساعة. نحتاج الآن إلى إيجاد معدلات العمل لكل شخص. سنبدأ مع ماري.

    الآن سنجد معدل عمل جون. ومع ذلك ، لاحظ أنه نظرًا لأننا لا نعرف كم من الوقت سيستغرقه للقيام بالمهمة بنفسه ، فلن نتمكن من الحصول على رقم واحد لهذا الغرض. هذه ليست مشكلة كما سنرى في ثانية.

    لاحظ أننا تمكنا من الحصول على معدل عمل جون من حيث الوقت الذي سيستغرقه للقيام بالمهمة بنفسه. هذا يعني أنه بمجرد حل المعادلة أعلاه ، سيكون لدينا الإجابة التي نريدها. لذا ، دعنا نعوض في معادلة العمل ونحل الوقت الذي سيستغرقه جون لأداء المهمة بنفسه.

    لذلك ، يبدو أن جون سوف يستغرق 11.67 ساعة لتنظيف المجمع بنفسه.

    مشاكل الاختلاط

    هذا هو النوع الأخير من المشاكل التي سنبحثها في هذا القسم. سنبحث في خلط الحلول بنسب مختلفة للحصول على نسبة مئوية جديدة. يتكون المحلول من سائل ثانوي ممزوج بالماء. يمكن أن يكون السائل الثانوي كحولًا أو حمضًا على سبيل المثال.

    المعادلة القياسية التي سنستخدمها هنا ستكون كما يلي.

    لاحظ أيضًا أن النسبة يجب أن تكون عددًا عشريًا. لذا إذا كان لدينا حل 80٪ ، فسنحتاج إلى استخدام 0.80.

    حسنًا ، لنفترض أن (x ) هو مقدار الحل الذي نحتاجه بنسبة 50٪. هذا يعني أنه سيكون هناك (x + 10 ) جالونًا من محلول 40٪ بمجرد أن ننتهي من خلط الاثنين.

    ها هي معادلة العمل الأساسية لهذه المشكلة.

    الآن ، عوض بالمجلدات وحل من أجل (x ).

    لذلك ، نحتاج إلى 5 جالونات من محلول 50٪ لنحصل على محلول 40٪.

    لنفترض (س ) أن تكون كمية الماء التي نحتاج لإضافتها إلى محلول 40٪. الآن ، نحن أيضًا لا نفهم المقدار الذي سنحتاجه من حل 40٪. ومع ذلك ، بما أننا نعرف الحجم النهائي (75 لترًا) ، فسنعلم أننا سنحتاج (75 - × ) لترًا من محلول 40٪.

    ها هي المعادلة اللفظية لهذه المشكلة.

    لاحظ أنه في المصطلح الأول استخدمنا "كمية الحمض في الماء". قد يبدو هذا غريبًا بعض الشيء بالنسبة لك لأنه لا ينبغي أن يكون هناك أي حمض في الماء. ومع ذلك ، هذا هو بالضبط ما نريده. تخبرنا المعادلة الأساسية أن ننظر إلى مقدار السائل الثانوي في الماء. إذن ، هذه هي الصياغة الصحيحة. عندما نعوض بالنسب المئوية والأحجام ، سنفكر في الماء على أنه 0٪ محلول لأن هذا في الواقع هو ما هو عليه. إذن ، معادلة الكلمة الجديدة هي

    لا تتحمس للصفر في الفصل الدراسي الأول. هذا جيد ولن يكون مشكلة. دعنا الآن نعوض بالمجلدات ونحل قيمة (x ).

    [يبدأ يسار (0 يمين) يسار (س يمين) + يسار (<0.4> يمين) يسار (<75 - س> يمين) & = يسار (<0.15> يمين) يسار (< 75> right) 30 - 0.4x & = 11.25 18.75 & = 0.4x x & = frac << 18.75 >> << 0.4 >> = 46.875 < mbox <لتر >> النهاية]

    لذلك ، نحتاج إلى إضافة 46.875 لترًا من الماء إلى 28.125 لترًا من محلول 40٪ للحصول على 75 لترًا من محلول 15٪.


    2.7: حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

    في مثالنا الأول سوف نعرض كيفية كتابة ورسم نظام من عدم المساواة الخطية التي تحدد حجم المبيعات المطلوبة للحصول على مبلغ معين من المال.

    مثال

    تبيع كاثي أكواز الآيس كريم في حملة لجمع التبرعات بالمدرسة. إنها تبيع مقاسين: صغير (يحتوي على مغرفة [لاتكس] 1 [/ لاتكس]) وكبير (يحتوي على مغرفة [لاتكس] 2 [/ لاتكس]). إنها تعلم أنه يمكنها الحصول على 70 مغرفة من الآيس كريم من [اللاتكس] كحد أقصى من مخزونها. إنها تتقاضى 3 دولارات أمريكية [/ لاتكس] مقابل مخروط صغير و [لاتكس] 5 دولارات [/ لاتكس] لمخروط كبير.

    تريد كاثي أن تكسب على الأقل [لاتكس] 120 دولارًا [/ لاتكس] لردها إلى المدرسة. اكتب ورسم نظامًا من عدم المساواة يمثل هذا الموقف.

    أولاً ، حدد المتغيرات. هناك متغيرين: عدد المخاريط الصغيرة وعدد المخاريط الكبيرة.

    اكتب المعادلة الأولى: الحد الأقصى لعدد المجارف التي يمكن أن تعطيها. يجب أن تكون المجارف المتوفرة لديها [لاتكس] (70) [/ لاتكس] أكبر من أو تساوي عدد المجارف للمخاريط الصغيرة (س) والأقماع الكبيرة [لاتكس] (2 [/ لاتكس]ل) هي تبيع.

    اكتب المعادلة الثانية: مقدار المال الذي تجمعه. إنها تريد المبلغ الإجمالي للأموال المكتسبة من الأقماع الصغيرة [اللاتكس] (3س) [/ لاتكس] وأقماع كبيرة [لاتكس] (5ل) [/ لاتكس] أن تكون على الأقل [لاتكس] 120 دولارًا [/ لاتكس].

    الآن رسم النظام. المتغيرات x و ذ تم استبداله بـ س و ل رسم بياني س على طول x-المحور و ل على طول ذ-محور.

    الرسم البياني الأول للمنطقة [اللاتكس]س + 2ل 70 [/ لاتكس]. ارسم خط الحدود ثم اختبر النقاط الفردية لمعرفة المنطقة التي يجب تظليلها. نحن فقط نظلل المناطق التي تلبي أيضًا [اللاتكس] x & gt = 0 ، y & gt = 0 [/ latex]. الرسم البياني مبين أدناه.

    ارسم الآن المنطقة [اللاتكس] 3s + 5l ge120 [/ latex] ارسم خط الحدود ثم اختبر النقاط الفردية لمعرفة المنطقة التي يجب تظليلها. الرسم البياني مبين أدناه.

    برسم المناطق معًا ، تجد ما يلي:

    وتمثل المنطقة المتداخلة ، لديك:

    إجابه

    المنطقة باللون الأرجواني هي الحل. طالما أن مجموعة المخاريط الصغيرة والأقماع الكبيرة التي تبيعها كاثي يمكن تحديدها في المنطقة الأرجواني ، فستكسب على الأقل [لاتكس] 120 دولارًا [/ لاتكس] ولن تستخدم أكثر من [لاتكس] 70 [/ لاتكس] من الآيس كريم.

    في مثال سابق لإيجاد حل لنظام المعادلات الخطية ، قدمنا ​​معادلات التكلفة والإيرادات للشركة المصنعة:

    تظهر معادلة التكلفة باللون الأزرق في الرسم البياني أدناه ، ومعادلة الإيرادات مرسومة باللون البرتقالي ، وتسمى النقطة التي يتقاطع عندها الخطان بنقطة التعادل ، علمنا أن هذا هو الحل لنظام المعادلات الخطية أن تشتمل في هذه الحالة على معادلات التكلفة والإيرادات. لاحظ كيف أن الخطوط المعروضة تمثل فقط مكان [اللاتكس] x ge0، y ge0 [/ latex]. من السهل أن تنسى تضمين هذا الجزء في الرسم البياني.

    تمثل المنطقة المظللة على يمين نقطة التعادل الكميات التي تحقق الشركة ربحًا منها. تمثل المنطقة الموجودة على اليسار الكميات التي تعاني الشركة من خسارة.

    في المثال التالي ، سترى كيف يمكن تطبيق المعلومات التي تعلمتها حول أنظمة عدم المساواة الخطية للإجابة على الأسئلة المتعلقة بالتكلفة والإيرادات.

    لاحظ كيف يتم تسمية المنطقة المظللة باللون الأزرق بين معادلة التكلفة والإيرادات الربح. هذا هو المكان & # 8220sweet & # 8221 الذي تريد الشركة تحقيقه حيث تنتج إطارات دراجات كافية بأقل تكلفة كافية لكسب المال. إنهم لا يريدون المزيد من الأموال التي تذهب إلى الخارج بدلاً من الدخول!

    مثال

    حدد منطقة الربح لأعمال تصنيع ألواح التزلج باستخدام عدم المساواة ، بالنظر إلى نظام المعادلات الخطية:

    نعلم أن حلول المتباينات الخطية من الناحية البيانية هي مناطق كاملة ، وتعلمنا كيفية رسم أنظمة المتباينات الخطية بيانيًا في وقت سابق في هذه الوحدة. استنادًا إلى الرسم البياني أدناه والمعادلات التي تحدد التكلفة والإيرادات ، يمكننا استخدام عدم المساواة لتحديد المنطقة التي ستحقق فيها الشركة المصنعة لألواح التزلج ربحًا. مرة أخرى ، ليس فقط كيفية تضمين منطقة [اللاتكس] x ge0 ، y ge0 [/ latex].

    دع & # 8217s تبدأ بمعادلة الإيرادات. نعلم أن نقطة التعادل عند [اللاتكس] (50،000 ، 77،500) [/ لاتكس] ومنطقة الربح هي المنطقة الزرقاء. إذا اخترنا نقطة في المنطقة واختبرناها كما فعلنا لإيجاد مناطق حل للمتباينات ، فسنعرف نوع علامة عدم المساواة التي يجب استخدامها.

    لنختبر & # 8217s النقطة [اللاتكس] left (65،00،100،000 right) [/ latex] في كلا المعادلتين لتحديد علامة عدم المساواة التي يجب استخدامها.

    نحتاج إلى استخدام & gt لأن [اللاتكس] 100،000 [/ latex] أكبر من [اللاتكس] 90،250 [/ latex]

    عدم المساواة في التكلفة التي ستضمن تحقيق الشركة للربح & # 8211 ليس مجرد نقطة التعادل & # 8211 هو [اللاتكس] y & gt0.85x + 35000 [/ latex]

    اختبر الآن النقطة في معادلة الإيرادات:

    نحتاج إلى استخدام العلامة & lt لأن [اللاتكس] 100،000 [/ اللاتكس] أقل من [اللاتكس] 100،750 [/ اللاتكس]

    عدم المساواة في الإيرادات الذي يضمن تحقيق الشركة للأرباح & # 8211 ليس مجرد نقطة التعادل & # 8211 هو [اللاتكس] y & lt1.55x [/ اللاتكس]

    أنظمة عدم المساواة التي تحدد منطقة الربح لمصنع الدراجة:

    إجابه

    تكلفة إنتاج وحدات [اللاتكس] 50،000 [/ اللاتكس] هي [اللاتكس] 77،500 دولار [/ اللاتكس] ، والإيرادات من مبيعات [اللاتكس] 50000 [/ اللاتكس] هي أيضًا [اللاتكس] 77500 دولار [/ اللاتكس]. لتحقيق الربح ، يجب على الشركة إنتاج وبيع أكثر من 50.000 وحدة [لاتكس] [/ لاتكس]. نظام عدم المساواة الخطية الذي يمثل عدد الوحدات التي يجب على الشركة إنتاجها من أجل تحقيق ربح هو:

    في الفيديو التالي ، سترى مثالاً على كيفية العثور على نقطة التعادل لنشاط تجاري صغير.

    وإليك مثال فيديو آخر لحل تطبيق باستخدام نظام المتباينات الخطية.

    لقد رأينا أن أنظمة المعادلات الخطية وعدم المساواة يمكن أن تساعد في تحديد سلوكيات السوق التي تكون مفيدة جدًا للشركات. يعطي تقاطع معادلات التكلفة والإيرادات نقطة التعادل ، ويساعد أيضًا في تحديد المنطقة التي ستحقق فيها الشركة ربحًا.


    هيا بنا نبدأ

    ا (3) الدوال والمعادلات والمتباينات الخطية. يطبق الطالب معايير العملية الرياضية عند استخدام الرسوم البيانية للوظائف الخطية والسمات الرئيسية والتحولات ذات الصلة لتمثيل بطرق متعددة وحل المعادلات والمتباينات وأنظمة المعادلات بطرق متعددة وبدونها. يتوقع من الطالب أن:

    أ (3) (د) رسم بيانيًا لمجموعة حل المتباينات الخطية في متغيرين على المستوى الإحداثي

    ا (5) الدوال والمعادلات والمتباينات الخطية. يطبق الطالب معايير العملية الرياضية لحل المعادلات الخطية باستخدام التكنولوجيا وبدونها وتقييم مدى معقولية حلولها. يتوقع من الطالب أن:

    أ (5) (ب) حل المتباينات الخطية في متغير واحد ، بما في ذلك تلك التي يكون فيها تطبيق خاصية التوزيع ضروريًا والتي من أجلها يتم تضمين المتغيرات في كلا الجانبين

    هدف (أهداف) المورد

    سيمثل الطالب المتباينات الخطية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية. سيحل الطالب المتباينات الخطية باستخدام الرسوم البيانية أو خصائص المساواة ، ويحدد ما إذا كانت نقطة معينة هي حل لعدم المساواة الخطية أم لا.

    أسئلة أساسية

    كيف تعرف متى يجب استخدام خط متصل أو متقطع عند رسم متباينة بيانية؟

    كيف تعرف ما إذا كان يجب التظليل أعلى أو أسفل الخط عند رسم متباينة بيانية؟

    ما هي أوجه التشابه والاختلاف في رسم معادلة بيانية بصيغة الميل والمقطع ، وعدم المساواة في صيغة الميل والمقطع؟


    حل المتباينات العقلانية

    بالإضافة إلى إيجاد متى تكون دالة كثيرة الحدود موجبة وسالبة ، يمكننا أيضًا إيجاد الدوال الكسرية الموجبة والسالبة.

    أ وظيفة عقلانية هي وظيفة يمكن كتابتها على أنها حاصل قسمة دالتين كثيرتي الحدود. ستتم دراسة الوظائف العقلانية بمزيد من التفصيل في القسم التالي.

    ملاحظة عامة: الوظيفة العقلانية

    الوظيفة المنطقية هي دالة يمكن كتابتها على أنها حاصل قسمة دالتين كثيرتي الحدود [لاتكس] P left (x right) text س يسار (س يمين) [/ لاتكس].

    عدم المساواة العقلانية

    أ عدم المساواة العقلانية هي متباينة تحتوي على تعبير منطقي.

    المتباينات مثل [اللاتكس] frac <3> <2x> & gt1 text <،> frac <2x>& lt4 text <،> frac <(2x-3) (x-5)>> & lt0 text <، و> frac <1> <4> - frac <2>> leq فارك <3>[/ لاتكس] هي متباينات منطقية حيث تحتوي كل منها على تعبير منطقي.

    عندما نحل متباينة عقلانية ، سنستخدم نفس الأساليب التي استخدمناها لحل المتباينات متعددة الحدود. ومع ذلك ، يجب أن نفكر مليًا في القيمة التي قد تجعل التعبير العقلاني غير محدد وبالتالي يجب استبعادها.

    بعد ذلك ، نحدد النقاط الحرجة لاستخدامها في تقسيم خط الأعداد إلى فترات. أ نقطة حرجة هو رقم يجعل التعبير المنطقي صفراً غير معرف.

    سنحسب عوامل البسط والمقام ، ونوجد حاصل القسمة في كل فترة. سيحدد هذا الفترة أو الفترات التي تحتوي على جميع حلول المتباينة المنطقية.

    نكتب الحل في تدوين الفترة مع الحرص على تحديد ما إذا كانت نقاط النهاية مضمنة.

    الكيفية: حل مشكلة عدم مساواة منطقية

      1. اكتب المتباينة في صورة خارج القسمة على اليسار وصفر على اليمين
      2. حدد النقاط الحرجة - النقاط التي يكون فيها التعبير المنطقي صفرًا أو غير معرّف
      3. استخدم النقاط الحرجة لتقسيم خط الأعداد إلى فترات.
      4. اختبر قيمة في كل فترة. حدد المناطق الإيجابية والسلبية.
      5. حدد الفترات التي تكون فيها المتباينة صحيحة. اكتب الحل في تدوين الفترة.

      مثال 4: حل المتباينات المنطقية في شكل عامل

      كما هو الحال مع جميع حالات عدم المساواة ، نبدأ بحل المساواة [اللاتكس] dfrac <(x + 3) (x-4)> <(x + 1) ^ <2>> = 0 [/ latex] ، والتي لها حلول في x = -3 و -1 و 4. نعلم أن الدالة يمكن أن تتغير فقط من الموجب إلى السالب عند هذه القيم ، لذلك تقسم هذه المدخلات إلى 4 فترات.
      يمكننا اختيار قيمة اختبار في كل فترة وتقييم الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = dfrac <(x + 3) (x-4)> <(x + 1) ^ <2>> = 0 [/ لاتكس] عند كل قيمة اختبار لتحديد ما إذا كانت الوظيفة موجبة أم سلبية في تلك الفترة الزمنية

      فترة اختبر x على فترات و (قيمة الاختبار) & gt 0 أو & lt 0
      x & lt -3 -4 0.888 & GT 0
      -3 & lt x & lt -1 -2 -6 & lt 0
      -1 & lt x & lt 4 0 -12 & lt 0
      x & GT 4 5 0.222 & GT 0

      سيبدو هذا على خط الأعداد كما يلي:


      من قيمنا الاختبارية ، يمكننا تحديد أن هذه الوظيفة سالبة عند [اللاتكس] -3 leq x & lt -1 [/ اللاتكس] أو [اللاتكس] -1 & ltx leq 4 [/ اللاتكس] ، أو عند تدوين الفاصل: [اللاتكس] [ -3، -1) cup (-1،4] [/ latex]. لاحظ أن -1 لم يتم تضمينها لأنها تسبب القسمة على صفر وبالتالي فهي ليست في مجال [اللاتكس] f (x) [ / لاتكس].

      مثال 5: حل متباينة عقلانية Y ليست في صورة محللة إلى عوامل

      هذه المرة ، المتباينة المنطقية ليست في شكل عوامل ، ولا يوجد صفر في الجانب الأيمن. نحتاج إلى طرح 5 على الجانب الآخر والحصول على القواسم المشتركة: [اللاتكس] dfrac <2x ^ <2> + 6x + 9>-5 & gt0 dfrac <2x ^ <2> + 6x + 9>- dfrac <5 (x + 3)>& gt0 dfrac <2x ^ <2> + 6x + 9-5 (x + 3)>& gt0 dfrac <2x ^ <2> + x-6>& gt0 dfrac <(x + 2) (2x-3)>& gt0 [/ لاتكس]

      سنحل الآن [اللاتكس] dfrac <(x + 2) (2x-3)>= 0 [/ latex] التي لها حلول في [latex] x = -2 ، dfrac <3> <2> ، -3 [/ latex]. نعلم أن الدالة يمكن أن تتغير فقط من الموجب إلى السالب عند هذه القيم ، لذا فهذه تقسم المدخلات إلى 4 فترات.
      يمكننا اختيار قيمة اختبار في كل فترة وتقييم الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = dfrac <(x + 2) (2x-3)>[/ لاتكس] عند كل قيمة اختبار لتحديد ما إذا كانت الوظيفة موجبة أم سلبية في تلك الفترة الزمنية

      فترة اختبر x على فترات و (قيمة الاختبار) & gt 0 أو & lt 0
      x & lt -3 -4 -22 & lt 0
      -3 & lt x & lt -2 -2.5 8 & GT 0
      -2 & lt x & lt 3/2 0 -2 & lt 0
      x & GT 3/2 2 0.8 & GT 0

      من قيم الاختبار الخاصة بنا ، يمكننا تحديد أن هذه الوظيفة موجبة عند [اللاتكس] -3 & ltx & lt-2 [/ اللاتكس] أو [اللاتكس] x & gt dfrac <3> <2> [/ اللاتكس] ، أو في تدوين الفاصل: [اللاتكس] (-3، -2) كوب يسار ( dfrac <3> <2>، infty right) [/ اللاتكس].

      جربها

      حل [latex] dfrac <(x-6) (x + 1)> <3x ^ <2>> & lt0 [/ latex] واكتب إجابتك في تدوين الفترة.


      حلول الرسوم البيانية للمتباينات بمتغيرين

      حلول المتباينات الخطية عبارة عن نصف مستوى مظلل ، يحده خط متصل أو خط متقطع. يتم تضمين هذه الحدود في الحل أو لا ، اعتمادًا على المتباينة المعطاة. إذا حصلنا على متباينة صارمة ، فإننا نستخدم خطًا متقطعًا للإشارة إلى أن الحد غير متضمن. إذا حصلنا على متباينة شاملة ، فإننا نستخدم خطًا متصلًا للإشارة إلى أنها متضمنة. يوضح المثال التالي خطوات رسم مجموعة الحلول لمتباينة بمتغيرين.

      مثال 2

      ارسم مجموعة الحل y & gt - 3 x + 1.

      الخطوة 1: ارسم الحدود. بسبب عدم المساواة الصارمة ، سنرسم الحدود y = - 3 x + 1 باستخدام خط متقطع. نلاحظ أن الميل م = - 3 = - 3 1 = r i s e r u n و ذ- التقاطع هو (0، 1).

      الخطوة 2: اختبار النقطة التي هي ليس على الحدود. نقطة الاختبار الشائعة هي نقطة الأصل ، (0 ، 0). تساعدنا نقطة الاختبار في تحديد نصف المستوى الذي يجب تظليله.

      ضع في اعتبارك مشكلة التظليل أعلى أو أسفل خط الحدود عندما تكون المتباينة في شكل تقاطع ميل. إذا كانت y & gt m x + b ، فظلل فوق الخط. إذا كانت y & lt m x + b ، فظلل أسفل الخط. الظل بحذر في بعض الأحيان يتم إعطاء الحدود في شكل قياسي ، وفي هذه الحالة لا تنطبق هذه القواعد.

      مثال 3

      ارسم مجموعة الحل 2 x - 5 y ≥ - 10.

      هنا يتم تحديد الحدود بالخط 2 x - 5 y = - 10. بما أن المتباينة شاملة ، فإننا نرسم الحدود باستخدام خط متصل. في هذه الحالة ، ارسم خط الحدود باستخدام التقاطعات.

      لتجد ال x- اعتراض ، مجموعة ذ = 0.

      لتجد ال ذ- اعتراض ، مجموعة x = 0.

      2 س - 5 (0) = - 10 2 س = - 10 س = - 5

      2 (0) - 5 ص = - 10-5 ص = - 10 ص = 2

      بعد ذلك ، اختبر نقطة فهذا يساعد في تحديد المنطقة التي يجب تظليلها.

      نظرًا لأن نقطة الاختبار في مجموعة الحلول ، ظلل نصف المستوى الذي يحتوي عليها.

      في هذا المثال ، لاحظ أن مجموعة الحلول تتكون من جميع الأزواج المرتبة أسفل خط الحدود. قد يبدو هذا غير بديهي لأن المتباينة الأصلية تضمنت "أكبر من" ≥. يوضح هذا أنه من أفضل الممارسات اختبار نقطة بالفعل. حل من أجل ذ وترى أن التظليل صحيح.

      2 x - 5 y ≥ - 10 2 x - 5 y - 2 x ≥ - 10 - 2 x - 5 y ≥ - 2 x - 10-5 y - 5 ≤ - 2 x - 10-5 R e v e r s e t h e i n e q u a l i t y. ص ≤ ٢ ٥ س + ٢

      في صيغة الميل والمقطع ، يمكنك أن ترى أن المنطقة الواقعة أسفل خط الحدود يجب أن تكون مظللة. تتمثل الطريقة البديلة في التعبير أولاً عن الحدود في شكل تقاطع ميل ، ورسم بياني لها ، ثم تظليل المنطقة المناسبة.

      مثال 4

      ارسم مجموعة الحل y & lt 2.

      أولًا ، ارسم خط الحدود y = 2 بخط متقطع بسبب عدم المساواة الصارمة. بعد ذلك ، اختبر نقطة.

      في هذه الحالة ، قم بتظليل المنطقة التي تحتوي على نقطة الاختبار.

      جرب هذا! ارسم مجموعة الحل 2 x - 3 y & lt 0.

      الخطوات هي نفسها بالنسبة للمتباينات غير الخطية ذات المتغيرين. ارسم الحدود أولاً ثم اختبر نقطة لتحديد المنطقة التي تحتوي على الحلول.

      مثال 5

      ارسم مجموعة الحل y & lt (x + 2) 2-1.

      الحدود عبارة عن قطع مكافئ أساسي تم إزاحة وحدتين إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل. ابدأ برسم حدود قطع مكافئ متقطع بسبب عدم المساواة الصارمة.

      0 & lt (0 + 2) 2-1 0 & lt 4-1 0 & lt 3

      في هذه الحالة ، قم بتظليل المنطقة التي تحتوي على نقطة الاختبار (0 ، 0).

      مثال 6

      ارسم مجموعة الحل y ≥ x 2 + 3.

      الحدود عبارة عن قطع مكافئ أساسي تم نقله لأعلى بمقدار 3 وحدات. يتم رسمه باستخدام منحنى صلب بسبب عدم المساواة الشاملة.

      في هذه الحالة ، قم بتظليل المنطقة التي لا تحتوي على نقطة الاختبار (0 ، 0).


      إعادة كتابة الكل في صورة كسر مكافئ:

      2.1 طرح الكل من كسر

      أعد كتابة الكل في صورة كسر باستخدام 2 كمقام:

      الكسر المكافئ: يبدو الكسر المتولد على هذا النحو مختلفًا ولكن له نفس قيمة الكل

      المقام المشترك: الكسر المكافئ والكسر الآخر المتضمن في الحساب يشتركان في نفس المقام

      جمع الكسور التي لها قاسم مشترك:

      2.2 جمع الكسرين المتكافئين
      اجمع الكسرين المتكافئين اللذين لهما الآن مقامًا مشتركًا

      اجمع البسطين معًا وضع المجموع أو الفرق على المقام المشترك ثم اختزل إلى أدنى حد إن أمكن:

      المعادلة في نهاية الخطوة 2:


      شاهد الفيديو: حل أنظمة المتباينات الخطية بمتغيرين (شهر اكتوبر 2021).