مقالات

5.4: مجموعات


أهداف التعلم

ستتعلم في هذا القسم:

  • عد عدد مجموعات ( mathrm {r} ) من ( mathrm {n} ) العناصر (التحديدات دون النظر إلى الترتيب).
  • استخدم عاملي لإجراء العمليات الحسابية التي تتضمن مجموعات.

المهارات المطلوبة

قبل أن تبدأ ، أجب عن هذا الاختبار الأساسي.

1. احسب كل تعبير بدون استخدام الآلة الحاسبة:

أ. (4! )

ب. ( dfrac {5!} {3!} )

اضغط هنا للتحقق من اجاباتك

أ. (4! = 24 )

ب. ( dfrac {5!} {3!} = 20 )

إذا فاتتك هذه المشكلة ، مراجعة القسم 5.3. (لاحظ أن هذا سيفتح في نافذة جديدة.)

2. احسب كل تعبير:

أ. (5P2 )

ب. (12P3 )

اضغط هنا للتحقق من اجاباتك

أ. (5P2 = 20 )

ب. (12P3 = 1320 )

إذا فاتتك هذه المشكلة ، مراجعة القسم 5.3. (لاحظ أن هذا سيفتح في نافذة جديدة.)

لنفترض أن لدينا مجموعة من ثلاثة أحرف {A ، B ، C} ، ومطلوب منا عمل تسلسلات من حرفين. لدينا التباديل الستة التالية.

AB BA BC CB AC CA

لنفترض الآن أن لدينا مجموعة من ثلاثة أشخاص {أ ، ب ، ج} مثل آل ، بوب ، وكريس ، على التوالي ، ومطلوب منا تشكيل لجان من شخصين لكل منهما. هذه المرة لدينا ثلاث لجان فقط ، وهي

AB BC AC

عند تشكيل اللجان ، لا يكون الترتيب مهمًا ، لأن اللجنة التي تضم آل وبوب لا تختلف عن اللجنة التي تضم بوب وآل. نتيجة لذلك ، لدينا ثلاث لجان فقط وليس ست لجان.

يعد تكوين متواليات الكلمات مثالاً على التباديل ، بينما يعد تشكيل اللجان مثالاً على ذلك مجموعات - موضوع هذا القسم.

التباديل هي تلك الترتيبات التي يكون فيها النظام مهمًا ، في حين أن التوليفات هي تلك الترتيبات التي لا يكون فيها النظام مهمًا. من الآن فصاعدًا ، هذه هي الطريقة التي نفرق بها بين التباديل والتوليفات.

في المثال أعلاه ، كان هناك ستة تباديل ، ولكن هناك ثلاث مجموعات فقط.

تمامًا كما يمثل الرمز nPr عدد التباديل لـ n من الكائنات المأخوذة r في كل مرة ، يمثل nCr عدد تركيبات n من الكائنات المأخوذة r في المرة الواحدة.

في المثال أعلاه ، 3P2 = 6 ، و 3 C2 = 3.

هدفنا التالي هو تحديد العلاقة بين عدد التوليفات وعدد التباديل في موقف معين.

في المثال أعلاه ، إذا علمنا أن هناك ثلاث مجموعات ، فيمكننا إيجاد عدد التباديل بضرب هذا الرقم في 2!. وذلك لأن كل مجموعة تتكون من حرفين ، وهذا يجعل 2! التباديل.

مثال ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى مجموعة الأحرف {A، B، C، D}. اكتب عدد التركيبات المكونة من ثلاثة أحرف ، ثم من هذه المجموعات حدد عدد التباديل.

المحلول

لدينا المجموعات الأربع التالية.

ABC BCD CDA BDA

نظرًا لأن كل مجموعة بها ثلاثة أحرف ، فهناك 3! التباديل لكل تركيبة. نحن ندرجهم أدناه.

[ ابدأ {مجموعة} {cccc}
mathrm {ABC} & mathrm {BCD} & mathrm {CDA} & mathrm {BDA}
mathrm {ACB} & mathrm {BDC} & mathrm {CAD} & mathrm {BAD}
mathrm {BAC} & mathrm {CDB} & mathrm {DAC} & mathrm {DAB}
mathrm {BCA} & mathrm {CBD} & mathrm {DCA} & mathrm {DBA}
mathrm {CAB} & mathrm {DCB} & mathrm {ACD} & mathrm {ADB}
mathrm {CBA} & mathrm {DBC} & mathrm {ADC} & mathrm {ABD}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

عدد التباديل 3! ضرب عدد التركيبات ؛ هذا هو

4P3 = 3! ( cdot ) 4 سي 3

أو

[4 mathrm {C} 3 = frac {4 mathrm {P} 3} {3!} nonumber ]

بشكل عام ، [ mathrm {nCr} = frac { mathrm {nPr}} { mathrm {r}!} nonumber ]

منذ [ mathrm {nPr} = frac { mathrm {n}!} {( mathrm {n} - mathrm {r})!} nonumber ]

لدينا ، [ mathrm {nCr} = frac { mathrm {n}!} {( mathrm {n} - mathrm {r})! mathrm {r}!} nonumber ]

تلخيص

التعريف: مجموعات

أ مزيج من مجموعة من العناصر هو ترتيب حيث يتم استخدام كل عنصر مرة واحدة ، والترتيب ليس مهمًا.

عدد مجموعات n من الكائنات المأخوذة r في وقت واحد

[ mathrm {nCr} = frac { mathrm {n}!} {( mathrm {n} - mathrm {r})! mathrm {r}!} ]

حيث ( mathrm {n} ) و ( mathrm {r} ) أرقام طبيعية.

مثال ( PageIndex {2} )

إحصاء - عد:

  1. 5C3
  2. 7C3

المحلول

نحن نستخدم الصيغة أعلاه.

[5 mathrm {C} 3 = frac {5!} {(5-3)! 3!} = frac {5!} {2! 3!} = 10 بلا رقم ]

[7 mathrm {C} 3 = frac {7!} {(7-3)! 3!} = frac {7!} {4! 3!} = 35 بلا رقم ]

مثال ( PageIndex {3} )

ما عدد الطرق المختلفة التي يمكن للطالب تحديدها للإجابة على خمسة أسئلة من اختبار يحتوي على سبعة أسئلة ، إذا كان ترتيب الاختيار غير مهم؟

المحلول

نظرًا لأن الطلب ليس مهمًا ، فهو يمثل مشكلة مركبة ، والإجابة هي

7C5 = 21

مثال ( PageIndex {4} )

كم عدد مقاطع الخط التي يمكن رسمها عن طريق توصيل أي نقطتين من النقاط الست التي تقع على محيط الدائرة؟

المحلول

نظرًا لأن الخط الذي ينتقل من النقطة A إلى النقطة B هو نفسه الذي ينتقل من B إلى A ، فهذه مشكلة مركبة.

إنه مزيج من 6 أشياء مأخوذة 2 في وقت واحد. لذلك ، الجواب

[6 mathrm {C} 2 = frac {6!} {4! 2!} = 15 بلا رقم ]

مثال ( PageIndex {5} )

هناك عشرة أشخاص في الحفلة. إذا صافحوا جميعًا ، فكم عدد المصافحة الممكنة؟

المحلول

لاحظ أنه بين أي شخصين هناك مصافحة واحدة فقط. لذلك لدينا

10C2 = 45 اهتزازًا يدويًا.

مثال ( PageIndex {6} )

منطقة التسوق في المدينة على شكل مربع مساحتها 5 كتل في 5 كتل. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن لسائق التاكسي أن يسلكها للانتقال من أحد أركان منطقة التسوق إلى ركن المطاعم المقابل؟

المحلول

لنفترض أن سائق التاكسي يقود من النقطة A ، الزاوية اليسرى السفلية ، إلى النقطة B ، الزاوية اليمنى العلوية كما هو موضح في الشكل أدناه.

ب
أ

للوصول إلى وجهته ، عليه السفر عشر كتل ؛ خمسة أفقي وخمسة عمودي. لذا إذا اختار أي خمسة أفقية من بين الكتل العشر ، فيجب أن تكون الكتل الخمسة الأخرى هي الكتل الرأسية ، والعكس صحيح.

لذلك ، كل ما عليه فعله هو اختيار 5 من أصل عشرة لتكون الكتل الأفقية

الجواب هو 10C5 أو 252.

بالتناوب ، يمكن حل المشكلة عن طريق التباديل مع عناصر مماثلة.

يتكون مسار سائق التاكسي من خمسة كتل أفقية وخمسة كتل عمودية. إذا أطلقنا على الكتلة الأفقية H ، والكتلة الرأسية V ، فقد يكون أحد المسارات المحتملة على النحو التالي.

HHHHHVVVVV

من الواضح أن هناك ( frac {10!} {5! 5!} = 252 ) تباديل.

لاحظ كذلك أنه حسب التعريف 10C5 = ( frac {10!} {5! 5!} ).

مثال ( PageIndex {7} )

إذا تم رمي عملة معدنية ست مرات ، فكم عدد الطرق التي يمكن أن تسقط فيها أربعة رؤوس وذيولين؟

المحلول

نحل هذه المشكلة أولاً باستخدام القسم 6.5 من التباديل التقني مع العناصر المتشابهة.

نحن بحاجة إلى 4 رؤوس و 2 ذيول ، وهذا هو

HHHHTT

هناك ( frac {6!} {4! 2!} = 15 ) تباديل.

الآن نحل هذه المشكلة باستخدام التوليفات.

لنفترض أن لدينا ستة نقاط لوضع القطع النقدية عليها. إذا اخترنا أي أربع نقاط للرؤوس ، فسيكون الاثنان الآخران ذيلًا تلقائيًا. لذا فإن المشكلة ببساطة

6C4 = 15.

بالمناسبة ، كان بإمكاننا اختيار الذيلين بسهولة ، بدلاً من ذلك. في هذه الحالة ، كنا سنحصل على

6C2 = 15.

كذلك نلاحظ ذلك بالتعريف

[6 mathrm {C} 4 = frac {6!} {2! 4!} nonumber ]

و

[6 mathrm {C} 2 = frac {6!} {4! 2!} nonumber ]

مما يعني 6C4 = 6C2.

لقد قمنا حتى الآن بحل مشكلة التركيب الأساسية لـ ( mathrm {r} ) كائنات مختارة من n كائنات مختلفة. الآن سننظر في بعض الاختلافات في هذه المشكلة.

مثال ( PageIndex {8} )

ما هو عدد اللجان المكونة من خمسة أشخاص والمكونة من رجلين و 3 سيدات يمكن اختيارها من إجمالي 4 رجال و 4 نساء؟

المحلول

نسرد 4 رجال و 4 نساء على النحو التالي:

[M_1M_2M_3M_4W_1W_2W_3W_4 nonumber ]

نظرًا لأننا نريد لجانًا من 5 أشخاص تتكون من رجلين و 3 نساء ، فسنقوم أولاً بتشكيل جميع اللجان المحتملة المكونة من رجلين وجميع اللجان الممكنة المكونة من ثلاث نساء. من الواضح أن هناك 4C2 = 6 لجان من رجلين ، و 4 C3 = 4 لجان مكونة من ثلاث نساء ، نقوم بإدراجها على النحو التالي:

2- اللجان

3-اللجان النسائية

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {M} _ {1} mathrm {M} _ {2}
mathrm {M} _ {1} mathrm {M} _ {3}
mathrm {M} _ {1} mathrm {M} _ {4}
mathrm {M} _ {2} mathrm {M} _ {3}
mathrm {M} _ {2} mathrm {M} _ {4}
mathrm {M} _ {3} mathrm {M} _ {4}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {W} _ {1} mathrm {W} _ {2} mathrm {W} _ {3}
mathrm {W} _ {1} mathrm {W} _ {2} mathrm {W} _ {4}
mathrm {W} _ {1} mathrm {W} _ {3} mathrm {W} _ {4}
mathrm {W} _ {2} mathrm {W} _ {3} mathrm {W} _ {4}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

لكل لجنة من رجلين أربع لجان من 3 نساء يمكن اختيارها لتشكيل لجنة من 5 أشخاص. إذا اخترنا (M_1M_2 ) كلجنة مكونة من شخصين ، فيمكننا اختيار أي من (W_1W_2W_3 ) أو (W_1W_2W_4 ) أو (W_1W_3W_4 ) أو (W_2W_3W_4 ) بصفتنا ثلاث نساء اللجان. نتيجة لذلك ، نحصل عليه

[ boxed {M_1M_2} W_1W_2W_3، boxed {M_1M_2} W_1W_2W_4، boxed {M_1M_2} W_1W_3W_4، boxed {M_1M_2} W_2W_3W_4 nonumber ]

وبالمثل ، إذا اخترنا (M_1M_3 ) كلجنة مكونة من شخصين ، إذن ، مرة أخرى ، يمكننا اختيار أي من (W_1W_2W_3 ) أو (W_1W_2W_4 ) أو (W_1W_3W_4 ) أو (W_2W_3W_4 ) كلجاننا المكونة من 3 نساء.

[ boxed {M_1M_3} W_1W_2W_3، boxed {M_1M_3} W_1W_2W_4، boxed {M_1M_3} W_1W_3W_4، boxed {M_1M_3} W_2W_3W_4 nonumber ]

وهكذا.

نظرًا لوجود ست لجان مكونة من شخصين ، ولكل لجنة مكونة من شخصين أربع لجان مكونة من ثلاث نساء ، فهناك إجمالاً (6 cdot 4 = 24 ) من خمسة أشخاص.

من حيث الجوهر ، نحن نطبق بديهية الضرب على التركيبات المختلفة.

مثال ( PageIndex {9} )

يتكون نادي المدرسة الثانوية من 4 طلاب جدد و 5 طلاب في السنة الثانية و 5 صغار و 6 طلاب كبار. كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار لجنة من 4 أشخاص تتضمن

  1. طالب واحد من كل فصل؟
  2. كل الصغار؟
  3. اثنان من الطلاب الجدد و 2 من كبار السن؟
  4. لا طلاب جدد؟
  5. ثلاثة من كبار السن على الأقل؟

المحلول

أ. بتطبيق بديهية الضرب على المجموعات المعنية ، نحصل عليها

(4C1) (5C1) (5C1) (6C1) = 600

ب. نحن نختار جميع الأعضاء الأربعة من الخمسة الصغار ولا أحد من الباقين.

5C4 = 5

ج. 4C2 ( cdot ) 6C2 = 90

د. نظرًا لأننا لا نريد أي طلاب جدد في اللجنة ، فنحن بحاجة إلى اختيار جميع الأعضاء من 16 المتبقية

16C4 = 1820

ه. من بين الأشخاص الأربعة في اللجنة ، نريد ثلاثة من كبار السن على الأقل. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. يمكن أن يكون لدينا ثلاثة من كبار السن ، وواحد من غير كبار السن ، أو جميعهم من كبار السن الأربعة.

(6C3) (14C1) + 6C4 = 295

مثال ( PageIndex {10} )

كم عدد تتابعات الكلمات المكونة من خمسة أحرف والتي تتكون من حرفين متحركين و 3 أحرف ساكنة يمكن تشكيلها من أحرف كلمة INTRODUCE؟

المحلول

نختار أولاً مجموعة من خمسة أحرف تتكون من حرفين متحركين و 3 أحرف ساكنة.
نظرًا لوجود 4 أحرف متحركة و 5 أحرف ساكنة ، فلدينا

(4C2) (5C3)

نظرًا لأن مهمتنا التالية هي إنشاء تسلسل كلمات من هذه الأحرف ، فإننا نضربها في 5!.

(4C2) (5C3) (5!) = 7200.

مثال ( PageIndex {11} )

تحتوي المجموعة القياسية من أوراق اللعب على 52 بطاقة تتكون من 4 مجموعات لكل منها 13 بطاقة. ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها رسم يد مكونة من 5 بطاقات تتكون من أربع بطاقات من مجموعة واحدة وبطاقة واحدة من مجموعة أخرى؟

المحلول

سنفعل المشكلة باستخدام الخطوات التالية.
الخطوة 1. اختر بدلة.
الخطوة 2. حدد أربع بطاقات من هذه المجموعة.
الخطوة 3. اختر حلة أخرى.
الخطوة 4. اختر بطاقة من تلك المجموعة.

بتطبيق مسلمة الضرب لدينا

طرق اختيار البدلة الأولى

طرق اختيار 4 بطاقات من هذه الدعوى

طرق اختيار الدعوى التالية

طرق اختيار بطاقة من تلك الدعوى

4C1

13 ج 4

3 ج 1

13 ج 1

(4C1) (13C4) (3C1) (13C1) = 111،540.

سطح قياسي من 52 بطاقة لعب

كما في المثال السابق ، تشير العديد من الأمثلة ومشكلات الواجبات المنزلية في هذا الكتاب إلى مجموعة أوراق لعب قياسية تتكون من 52 ورقة لعب. قبل أن ننهي هذا القسم ، نأخذ دقيقة لوصف مجموعة قياسية من أوراق اللعب ، حيث قد لا يكون بعض القراء على دراية بهذا.

مجموعة أوراق اللعب القياسية المكونة من 52 ورقة لعب بها 4 مجموعات مع 13 بطاقة في كل مجموعة.

ترتبط كل بدلة بلون ، إما أسود (بستوني ، هراوات) أو أحمر (ألماس ، قلوب).

تحتوي كل مجموعة على 13 فئة (أو قيم) للبطاقات:

الآس (أ) ، تسعة أعداد 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 10 ، وجاك (ي) ، الملكة (س) ، الملك (ك).

يُطلق على جاك والملكة والملك "بطاقات الوجه" لأن لديهم صورًا عليها. لذلك ، تحتوي المجموعة القياسية على 12 بطاقة وجه: (3 قيم J ، Q ، K) x (4 بدلات ♦ ، ♥ ، ♠ ، ♣)

يمكننا تصور 52 بطاقة من خلال العرض التالي

بدلة

اللون

القيم (الطوائف)

♦ الماس

أحمر

أ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ج ق ك

♥ قلوب

أحمر

أ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ج ق ك

♠ البستوني

أسود

أ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ج ق ك

♣ نوادي

أسود

أ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ج ق ك


شاهد الفيديو: Hope For 3V Mod Motor Fans (شهر اكتوبر 2021).