مقالات

4.5E: المعادلات الخطية غير المتجانسة (تمارين)


Q4.5.1

في تمارين 4.5.1-4.5.12 إيجاد حل معين. ثم أوجد الحل العام ، وعند الاقتضاء ، حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل بيانيًا.

1. (ص '+ 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 )

2. (ص "- 4 س + 5 ص = 1 + 5 س )

3. (y '+ 8y' + 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 )

4. (ص "- 4 س" + 4 ص = 2 + 8 س-4x ^ 2 )

5. (y '+ 2y' + 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3، quad y (0) = 2، quad y '(0) = 9 )

6. (y '+ 6y' + 10y = 22 + 20x، quad y (0) = 2، ؛ y '(0) = - 2 )

7. (y '+ 5y'-6y = 6e ^ {3x} )

8. (y '- 4y' + 5y = e ^ {2x} )

9. (y '' + 8y '+ 7y = 10e ^ {- 2x}، quad y (0) = - 2، ؛ y' (0) = 10 )

10. (y '' - 4y '+ 4y = e ^ {x}، quad y (0) = 2، quad y' (0) = 0 )

11. (y '' + 2y '+ 10y = e ^ {x / 2} )

12. (y '+ 6y' + 10y = e ^ {- 3x} )

Q4.5.2

13. أظهر أن [y '' + y '= 1 + 2x + x ^ 2 ؛ العلامة {A} ] لن ينتج عنها حل معين بالصيغة (y_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) ، حيث (A ) ، (B ) ، و (C ) الثوابت.

14. أظهر أن [y '- 7y' + 12y = 5e ^ {4x} ؛ tag {A} ] لن ينتج عنه حل معين بالصيغة (y_p = Ae ^ {4x} ).

15. إثبات: إذا كان ( alpha ) و (M ) ثوابت و (M ne0 ) ثم معادلة معامل ثابتة

[ay '' + بواسطة '+ cy = M e ^ { alpha x} ]

له حل معين (y_p = Ae ^ { alpha x} ) ( (A = ) ثابت) إذا وفقط إذا لم يكن (e ^ { alpha x} ) حلاً للمعادلة التكميلية .

Q4.5.3

في تمارين 4.5.16-4.5.21 إيجاد حل معين. ثم أوجد الحل العام ، وعند الاقتضاء ، حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل بيانيًا.

16. (ص "- 8 س + 16 ص = 23 كوس س -7 خطيئة س )

17. (ص '+ ص' = - 8 cos2x + 6 sin2x )

18. (ص "- 2 س + 3 ص = -6 cos3x + 6 sin3x )

19. (y '+ 6y' + 13y = 18 cos x + 6 sin x )

20. (y '+ 7y' + 12y = -2 cos2x + 36 sin2x، quad y (0) = - 3، quad y '(0) = 3 )

21. (y '- 6y' + 9y = 18 cos3x + 18 sin3x، quad y (0) = 2، quad y '(0) = 2 )

Q4.5.4

في تمارين 4.5.22-5.3.27 استخدم مبدأ التراكب لإيجاد حل معين. ثم ابحث عن الحل العام.

22. (y '+ 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 + 6e ^ {3x} )

23. (y '- 4y' + 5y = 1 + 5x + e ^ {2x} )

24. (y '' + 8y '+ 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 + 10e ^ {- 2x} )

25. (y '- 4y' + 4y = 2 + 8x-4x ^ 2 + e ^ {x} )

26. (y '' + 2y '+ 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3 + e ^ {x / 2} )

27. (y '+ 6y' + 10y = 22 + 20x + e ^ {- 3x} )

Q4.5.5

18. إثبات: إذا كان (y_ {p_1} ) حلًا خاصًا لـ

[P_0 (x) y '+ P_1 (x) y' + P_2 (x) y = F_1 (x) ]

on ((a، b) ) و (y_ {p_2} ) هو حل خاص لـ

[P_0 (x) y '+ P_1 (x) y' + P_2 (x) y = F_2 (x) ]

على ((أ ، ب) ) ، إذن (y_p = y_ {p_1} + y_ {p_2} ) هو حل

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_1 (x) + F_2 (x) ]

في ((أ ، ب) ).

29. افترض أن (p ) و (q ) و (f ) متواصلة على ((أ ، ب) ). لنفترض أن (y_1 ) و (y_2 ) و (y_p ) قابلين للتفاضل مرتين في ((أ ، ب) ) ، بحيث يكون (y = c_1y_1 + c_2y_2 + y_p ) هو حل

[y '' + p (x) y '+ q (x) y = f ]

في ((a، b) ) لكل اختيار من الثوابت (c_1، c_2 ). أظهر أن (y_1 ) و (y_2 ) هما حلان للمعادلة التكميلية في ((أ ، ب) ).


4.5E: المعادلات الخطية غير المتجانسة (تمارين)

حل المعادلات الخطية وتحقق من الحل:

حل المعادلات الخطية وتحقق من الحل:

حل المعادلات الخطية ذات القيمة المطلقة وتحقق من الحل:

حل المعادلات الخطية مع المتغيرات في البسط والمقام ، تحقق من الحل وحدد شروط القابلية للحل:

حل المعادلات الخطية بمعامل أر :

حل المتباينات الخطية:

حل المتباينات الخطية ذات القيمة المطلقة:


التمرين 1.5: المصفوفة: طريقة الإزالة الغاوسية

1. حل أنظمة المعادلات الخطية التالية بطريقة الحذف الغاوسي:

(ط) 2x - 2 ذ + 3ض = 2, x + 2 ذ - ض = 3, 3x - ذ + 2ض = 1

(2) 2x + 4 ذ + 6ض = 22, 3x + 8 ذ + 5ض = 27, - x + ذ + 2ض = 2



2. إذا الفأس 2 + bx + ج مقسوم على x + 3, x - 5 و x -1 ، الباقي 21 و 61 و 9 على التوالي. يجد أ, ب و ج. (استخدم طريقة القضاء على Gaussian.)



3. يتم استثمار مبلغ 65.000 روبية في ثلاثة سندات بمعدلات 6٪ و 8٪ و 10٪ سنوياً على التوالي. إجمالي الدخل السنوي هو ₹ 4800. الدخل من السند الثالث هو 600 روبية أكثر من السند الثاني. حدد سعر كل سند. (استخدم طريقة القضاء على Gaussian.)



4. صبي يسير على طول الطريق ذ = الفأس 2 + bx + ج من خلال النقاط (-6 ، 8) ، (-2 ، -12) ، و (3،8). يريد مقابلة صديقه في ص(7 ، 60). هل سيلتقي بصديقه؟ (استخدم طريقة القضاء على Gaussian.)


7.2 المعادلات الخطية غير المتجانسة

في هذا القسم ، ندرس كيفية حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة. تختلف المصطلحات والطرق عن تلك التي استخدمناها في المعادلات المتجانسة ، فلنبدأ بتعريف بعض المصطلحات الجديدة.

حل عام لمعادلة خطية غير متجانسة

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة

المعادلة المتجانسة المصاحبة

تسمى المعادلة التكميلية. سنرى أن حل المعادلة التكميلية هو خطوة مهمة في حل معادلة تفاضلية غير متجانسة.

تعريف

حل عام لمعادلة غير متجانسة

دليل

ومن ثم ، نرى أن z (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + y p (x). ض (س) = ص 1 ص 1 (س) + ص 2 ص 2 (س) + ص ص (س).

مثال 7.11

التحقق من الحل العام

المحلول

للتحقق من أن هذا حل ، استبدله في المعادلة التفاضلية. لدينا

نقطة تفتيش 7.10

معاملات غير محددة

مثال 7.12

معاملات غير محددة عندما يكون r (x) r (x) متعدد الحدود

أوجد الحل العام لـ y ″ + 4 y ′ + 3 y = 3 x. ص ″ + 4 ص ′ + 3 ص = 3 س.

المحلول

عند تحديد معاملات ذات الحدود المتشابهة متساوية ، لدينا

مثال 7.13

معاملات غير محددة عندما يكون r (x) r (x) أسيًا

أوجد الحل العام لـ y ″ - y ′ - 2 y = 2 e 3 x. y ″ - y ′ - 2 y = 2 e 3 x.

المحلول

أوجد الحل العام لـ y ″ - 4 y ′ + 4 y = 7 sin t - cos t. y ″ - 4 y ′ + 4 y = 7 sin t - cos t.

استراتيجية حل المشكلات

إستراتيجية حل المشكلات: طريقة المعاملات غير المحددة

  1. حل المعادلة التكميلية واكتب الحل العام.
  2. بناءً على شكل r (x) و r (x) ، قم بعمل تخمين أولي لـ y p (x). ص ص (س).
  3. تحقق مما إذا كان أي حد في تخمين y p (x) y p (x) هو حل للمعادلة التكميلية. إذا كان الأمر كذلك ، اضرب التخمين في x. x. كرر هذه الخطوة حتى لا توجد حدود في y p (x) y p (x) تحل المعادلة التكميلية.
  4. عوّض y p (x) y p (x) في المعادلة التفاضلية وعدّل الحدود المتشابهة لإيجاد قيم المعاملات المجهولة في y p (x). ص ص (س).
  5. أضف الحل العام إلى المعادلة التكميلية والحل الخاص الذي توصلت إليه للتو للحصول على الحل العام للمعادلة غير المتجانسة.

مثال 7.14

حل المعادلات غير المتجانسة

أوجد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية التالية.

المحلول

أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية.

اختلاف المعلمات

لتبسيط حساباتنا قليلاً ، سنقسم المعادلة التفاضلية إلى a ، a ، لذلك لدينا المعامل الرئيسي وهو 1. ثم المعادلة التفاضلية لها الشكل

بالتعويض في المعادلة التفاضلية ، نحصل عليها

القاعدة: قاعدة كريمر

له حل فريد إذا وفقط إذا كان محدد المعاملات ليس صفرًا. في هذه الحالة ، يتم إعطاء الحل بواسطة

مثال 7.15

باستخدام قاعدة كريمر

استخدم قاعدة كريمر لحل نظام المعادلات التالي.

المحلول

استخدم قاعدة كريمر لحل نظام المعادلات التالي.

استراتيجية حل المشكلات

إستراتيجية حل المشكلات: طريقة اختلاف المعلمات

مثال 7.16

استخدام طريقة اختلاف المعلمات

أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية.

المحلول

أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية.

القسم 7.2 تمارين

حل المعادلات التالية باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة.

ص ″ - 4 ص ′ + 4 ص = 8 س 2 + 4 س ص ″ - 4 ص ′ + 4 ص = 8 س 2 + 4 س

y ″ + 2 y ′ + y = sin x + cos x y ″ + 2 y ′ + y = sin x + cos x

y ″ + y = 3 sin 2 x + x cos 2 x y ″ + y = 3 sin 2 x + x cos 2 x

y ″ + 10 y ′ + 25 y = x e 5 x + 4 y ″ + 10 y ′ + 25 y = x e −5 x + 4

في كل من المشاكل التالية ،

2 y ″ - y ′ + y = (x 2-5 x) e - x 2 y ″ - y ′ + y = (x 2-5 x) e - x

4 y ″ + 5 y ′ - 2 y = e 2 x + x sin x 4 y ″ + 5 y ′ - 2 y = e 2 x + x sin x

y ″ - y ′ - 2 y = x 2 e x sin x y ″ - y ′ - 2 y = x 2 e x sin x

حل المعادلة التفاضلية إما باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة أو طريقة تغيير المعلمات.

حل المعادلة التفاضلية باستخدام طريقة تغيير المعلمات.

y ″ + 4 y = 3 csc 2 x، 0 & lt x & lt π / 2 y ″ + 4 y = 3 csc 2 x، 0 & lt x & lt π / 2

أوجد الحل الفريد الذي يحقق المعادلة التفاضلية والشروط الأولية المعطاة ، حيث y p (x) y p (x) هو الحل المحدد.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جيلبرت سترانج ، إدوين "جيد" هيرمان
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Calculus Volume 3
    • تاريخ النشر: 30 مارس 2016
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/7-2-nonhomogeneous-linear-equations

    © ديسمبر 21 ، 2020 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    ملاحظات حول Diffy Qs: المعادلات التفاضلية للمهندسين

    لقد حللنا المعادلات المتجانسة ذات المعامل الخطي الثابت. ماذا عن المعادلات التفاضلية غير المتجانسة الخطية؟ على سبيل المثال ، معادلات الاهتزازات الميكانيكية القسرية. وهذا يعني أن لدينا معادلة مثل

    سنكتب (Ly = 2x + 1 ) عندما لا يكون الشكل الدقيق للمشغل مهمًا. نحل (2.6) بالطريقة التالية. أولاً ، نجد الحل العام (y_c ) لملف معادلة متجانسة مرتبطة

    نسمي (y_c ) ال حل مكمل. بعد ذلك ، نجد واحدة حل خاص (y_p ) إلى (2.6) بطريقة ما. ثم

    هو الحل العام لـ (2.6). لدينا (L y_c = 0 ) و (L y_p = 2x + 1 text <.> ) كما (L ) هو عامل خطي نتحقق من أن (y ) هو حل ، (L y = L (y_c + y_p) = L y_c + L y_p = 0 + (2x + 1) text <.> ) دعونا نرى سبب حصولنا على ال جنرال لواء المحلول.

    اسمحوا (y_p ) و ( tilde_p ) هما حلين مختلفين مختلفين لـ (2.6). اكتب الفرق كـ (w = y_p - tilde_p text <.> ) ثم قم بتوصيل (w ) في الجانب الأيسر من المعادلة للحصول على

    باستخدام رمز عامل التشغيل ، يصبح الحساب أبسط. نظرًا لأن (L ) عامل خطي نكتبه

    لذلك (w = y_p - tilde_p ) هو حل لـ (2.7) ، أي (Lw = 0 text <.> ) يختلف أي حلين من (2.6) بحل للمعادلة المتجانسة (2.7). يتضمن الحل (y = y_c + y_p ) الكل حلول (2.6) ، لأن (y_c ) هو الحل العام للمعادلة المتجانسة المصاحبة.

    نظرية 2.5.1.

    دع (Ly = f (x) ) يكون ODE خطيًا (ليس بالضرورة معاملًا ثابتًا). لنفترض أن (y_c ) هو الحل التكميلي (الحل العام للمعادلة المتجانسة المرتبطة (Ly = 0 )) وليكن (y_p ) أي حل خاص لـ (Ly = f (x) text < .> ) ثم الحل العام لـ (Ly = f (x) ) هو

    المغزى من القصة هو أنه يمكننا إيجاد الحل الخاص بأي طريقة قديمة. إذا وجدنا حلًا معينًا مختلفًا (بطريقة مختلفة ، أو ببساطة عن طريق التخمين) ، فإننا لا نزال نحصل على نفس الحل العام. قد تبدو الصيغة مختلفة ، وقد تختلف الثوابت التي يتعين علينا اختيارها لتلبية الشروط الأولية ، لكنها نفس الحل.

    القسم الفرعي 2.5.2 معاملات غير محددة

    الحيلة هي بطريقة ما ، بطريقة ذكية ، تخمين حل واحد معين لـ (2.6). لاحظ أن (2x + 1 ) متعدد الحدود ، وسيكون الجانب الأيسر من المعادلة متعدد الحدود إذا سمحنا (y ) أن يكون متعدد الحدود من نفس الدرجة. دعنا نحاول

    نقوم بتوصيل (y_p ) بالجانب الأيسر للحصول على

    لذلك (6Ax + (5A + 6B) = 2x + 1 text <.> ) لذلك ، (A = nicefrac <1> <3> ) و (B = nicefrac <-1> <9> text <.> ) هذا يعني (y_p = frac <1> <3> ، x - frac <1> <9> = frac <3x-1> <9> text <.> ) حل المشكلة التكميلية (تمرين!) نحصل عليها

    ومن هنا فإن الحل العام لـ (2.6) هو

    لنفترض الآن أننا حصلنا على مزيد من الشروط الأولية. على سبيل المثال ، (y (0) = 0 ) و (y '(0) = nicefrac <1> <3> text <.> ) ابحث أولاً عن (y' = - 2C_1 e ^ <- 2x> - 3C_2 e ^ <-3x> + nicefrac <1> <3> text <.> ) ثم

    لقد حلنا للحصول على (C_1 = nicefrac <1> <3> ) و (C_2 = nicefrac <-2> <9> text <.> ) الحل المحدد الذي نريده هو

    تمرين 2.5.1.

    تأكد من أن (y ) يحل بالفعل المعادلة (2.6) والشروط الأولية المحددة.

    ملاحظة: من الأخطاء الشائعة حل الثوابت باستخدام الشروط الأولية مع (y_c ) وإضافة الحل المعين (y_p ) بعد ذلك. ذلك سوف ليس الشغل. تحتاج أولاً إلى حساب (y = y_c + y_p ) و حينها فقط حل من أجل الثوابت باستخدام الشروط الأولية.

    يمكن التعامل مع الجانب الأيمن المكون من الأسي والجيب وجيب التمام بالمثل. فمثلا،

    دعونا نجد بعض (y_p text <.> ) نبدأ بتخمين الحل يتضمن بعض مضاعفات ( cos (2x) text <.> ) قد نضطر أيضًا إلى إضافة مضاعفات ( الخطيئة (2x) ) حسب تخميننا لأن مشتقات جيب التمام هي الجيب. نحاول

    نعوض (y_p ) في المعادلة ونحصل عليها

    يجب أن يكون الطرف الأيسر مساويًا للجانب الأيمن. وهي (- 4A + 4B + 2A = 1 ) و (- 4B - 4A + 2B = 0 text <.> ) لذا (- 2A + 4B = 1 ) و (2A + B = 0 ) وبالتالي (A = nicefrac <-1> <10> ) و (B = nicefrac <1> <5> text <.> ) لذا

    وبالمثل ، إذا كان الجانب الأيمن يحتوي على أسي ، فإننا نحاول الأسي. إذا

    نحاول (y = A e ^ <3x> ) كتخميننا ونحاول حل (A text <.> )

    عندما يكون الجانب الأيمن من مضاعفات الجيب وجيب التمام والأسي ومتعدد الحدود ، يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب في الاشتقاق للتوصل إلى تخمين. نحتاج إلى تخمين نموذج لـ (y_p ) بحيث يكون (Ly_p ) من نفس الشكل ، ويحتوي على جميع المصطلحات اللازمة للجانب الأيمن. فمثلا،

    لهذه المعادلة ، نخمن

    نقوم بالتوصيل ومن ثم نأمل الحصول على المعادلات التي يمكننا حلها من أجل (A text <،> ) (B text <،> ) (C text <،> ) (D text <، > ) (E text <،> ) و (F text <.> ) كما ترى ، يمكن أن يؤدي ذلك إلى عملية حسابية طويلة ومملة بسرعة كبيرة. هذه هي الحياة!

    هناك عثرة واحدة في كل هذا. يمكن أن يكون تخميننا يحل بالفعل المعادلة المتجانسة المرتبطة. هذا هو ، افترض لدينا

    نود أن نخمن (y = Ae ^ <3x> text <،> ) ولكن إذا أدخلنا هذا في الجانب الأيسر من المعادلة ، فسنحصل على

    لا توجد طريقة يمكننا من خلالها اختيار (A ) لجعل الجانب الأيسر (e ^ <3x> text <.> ) الحيلة في هذه الحالة هي مضاعفة التخمين في (x ) للتخلص من الازدواجية مع الحل التكميلي. هذا أولاً نحسب (y_c ) (الحل لـ (Ly = 0 ))

    ونلاحظ أن المصطلح (e ^ <3x> ) هو نسخة طبق الأصل من التخمين الذي نرغب فيه. نقوم بتعديل تخميننا إلى (y = Ax ^ <3x> ) بحيث لا يوجد تكرار بعد الآن. دعونا نجرب: (y '= Ae ^ <3x> + 3Axe ^ <3x> ) و (y' '= 6Ae ^ <3x> + 9Axe ^ <3x> text <،> ) لذلك

    وبالتالي (6Ae ^ <3x> ) من المفترض أن يساوي (e ^ <3x> text <.> ) ومن ثم ، (6A = 1 ) وهكذا (A = nicefrac <1> <6 > text <.> ) يمكننا الآن كتابة الحل العام بصيغة

    من الممكن ألا يؤدي الضرب في (x ) إلى التخلص من كل الازدواجية. فمثلا،

    الحل التكميلي هو (y_c = C_1 e ^ <3x> + C_2 x e ^ <3x> text <.> ) التخمين (y = A xe ^ <3x> ) لن يقودنا إلى أي مكان. في هذه الحالة ، نريد تخمين (y_p = Ax ^ 2e ^ <3x> text <.> ) بشكل أساسي ، نريد مضاعفة تخميننا في (x ) حتى تختفي كل التكرار. ولكن ليس أكثر! لن ينجح المضاعفة مرات عديدة.

    أخيرًا ، ماذا لو كان للجانب الأيمن عدة مصطلحات ، مثل

    في هذه الحالة ، نجد (u ) يحل (Lu = e ^ <2x> ) و (v ) يحل (Lv = cos x ) (أي ، افعل كل مصطلح على حدة). ثم لاحظ أنه إذا كان (y = u + v text <،> ) ثم (Ly = e ^ <2x> + cos x text <.> ) هذا لأن (L ) خطي لدينا (Ly = L (u + v) = Lu + Lv = e ^ <2x> + cos x text <.> )

    القسم الفرعي 2.5.3 تغيير المعلمات

    تعمل طريقة المعاملات غير المحددة على العديد من المشكلات الأساسية التي تظهر. لكنها لا تعمل طوال الوقت. إنه يعمل فقط عندما يكون للجانب الأيمن من المعادلة (Ly = f (x) ) عددًا محدودًا من المشتقات المستقلة خطيًا ، حتى نتمكن من كتابة تخمين يتكون منهم جميعًا. بعض المعادلات أصعب قليلاً. انصح

    يبدو كل مشتق جديد لـ ( tan x ) مختلفًا تمامًا ولا يمكن كتابته كمجموعة خطية من المشتقات السابقة. إذا بدأنا في التمييز ( tan x text <،> ) نحصل على:

    تتطلب هذه المعادلة طريقة مختلفة. نقدم طريقة اختلاف المعلمات، التي تتعامل مع أي معادلة من النموذج (Ly = f (x) text <،> ) بشرط أن نتمكن من حل تكاملات معينة. من أجل التبسيط ، نقصر أنفسنا على معادلات المعامل الثابت من الدرجة الثانية ، لكن الطريقة تعمل مع المعادلات ذات الترتيب الأعلى أيضًا (تصبح الحسابات مملة أكثر). تعمل الطريقة أيضًا مع المعادلات ذات المعاملات غير الثابتة ، بشرط أن نتمكن من حل المعادلة المتجانسة المرتبطة بها.

    ربما يكون من الأفضل شرح هذه الطريقة على سبيل المثال. دعونا نحاول حل المعادلة

    أولاً نجد الحل التكميلي (حل (Ly_c = 0 )). نحصل على (y_c = C_1 y_1 + C_2 y_2 text <،> ) حيث (y_1 = cos x ) و (y_2 = sin x text <.> ) لإيجاد حل معين ل نحن نحاول معادلة غير متجانسة

    أين (u_1 ) و (u_2 ) المهام وليس الثوابت. نحن نحاول تلبية (Ly = tan x text <.> ) هذا يعطينا شرطًا واحدًا على الدالتين (u_1 ) و (u_2 text <.> ) الحساب (لاحظ قاعدة المنتج! )

    لا يزال بإمكاننا فرض شرط آخر وفقًا لتقديرنا لتبسيط العمليات الحسابية (لدينا وظيفتان غير معروفين ، لذلك يجب أن يُسمح لنا بشرطين). نطلب ذلك ((u_1 'y_1 + u_2' y_2) = 0 text <.> ) وهذا يجعل حساب المشتق الثاني أسهل.

    نظرًا لأن (y_1 ) و (y_2 ) هي حلول لـ (y '' + y = 0 text <،> ) نجد (y_1 '' = - y_1 ) و (y_2 '' = - y_2 text <.> ) (إذا كانت المعادلة أكثر عمومية (y '' + p (x) y '+ q (x) y = 0 text <،> ) فسنحصل على (y_i '' = -p (x) y_i '-q (x) y_i text <.> )) لذا

    لدينا ((u_1 y_1 + u_2 y_2) = y ) وهكذا

    لكي يرضي (y ) (Ly = f (x) ) يجب أن يكون لدينا (f (x) = u_1 'y_1' + u_2 'y_2' text <.> )

    ما نحتاج إلى حله هو المعادلتان (الشرطان) اللذان فرضناهما على (u_1 ) و (u_2 text <:> )

    يبدأ & amp u_1 'y_1 + u_2' y_2 = 0، & amp u_1 'y_1' + u_2 'y_2' = f (x). نهاية

    نحل من أجل (u_1 ') و (u_2' ) من حيث (f (x) text <،> ) (y_1 ) و (y_2 text <.> ) نحن دائمًا احصل على هذه الصيغ لأي (Ly = f (x) text <،> ) حيث (Ly = y '' + p (x) y '+ q (x) y text <.> ) يوجد صيغة عامة للحل يمكننا فقط إدخالها ، ولكن بدلاً من حفظ ذلك ، من الأفضل والأسهل تكرار ما نفعله أدناه. في حالتنا المعادلتان

    ندمج (u_1 ') و (u_2' ) للحصول على (u_1 ) و (u_2 text <.> )

    لذا فإن الحل الخاص بنا هو

    الحل العام لـ (y '' + y = tan x ) هو ، بالتالي ،

    القسم الفرعي 2.5.4 تمارين

    تمرين 2.5.2.

    ابحث عن حل خاص لـ (y '' - y '-6y = e ^ <2x> text <.> )

    تمرين 2.5.3.

    ابحث عن حل خاص لـ (y '' - 4y '+ 4y = e ^ <2x> text <.> )

    تمرين 2.5.4.

    حل مشكلة القيمة الأولية (y '' + 9y = cos (3x) + sin (3x) ) من أجل (y (0) = 2 text <،> ) (y '(0) = 1 نص <.> )

    تمرين 2.5.5.

    قم بإعداد صيغة الحل المعين ولكن لا تحل معامِلات (y ^ <(4)> - 2y '' '+ y' '= e ^ x text <.> )

    تمرين 2.5.6.

    قم بإعداد صيغة الحل المعين ولكن لا تحل معامِلات (y ^ <(4)> - 2y '' '+ y' '= e ^ x + x + sin x text <.> )

    تمرين 2.5.7.

    باستخدام تباين المعلمات ، ابحث عن حل معين لـ (y '' - 2y '+ y = e ^ x text <.> )

    ابحث عن حل معين باستخدام معاملات غير محددة.

    هل الحلان اللذان وجدتهما متماثلان؟ راجع أيضًا التمرين 2.5.10.

    تمرين 2.5.8.

    أوجد حلًا معينًا لـ (y '' - 2y '+ y = sin (x ^ 2) text <.> ) لا بأس من ترك الإجابة كتكامل محدد.

    تمرين 2.5.9.

    للثابت التعسفي (c ) ابحث عن حل معين لـ (y '' - y = e ^ text <.> ) تلميح: تأكد من التعامل مع كل (c text <.> ) حقيقي ممكن

    تمرين 2.5.10.

    باستخدام تباين المعلمات ، ابحث عن حل معين لـ (y '' - y = e ^ x text <.> )

    ابحث عن حل معين باستخدام معاملات غير محددة.

    هل الحلان اللذان وجدتهما متماثلان؟ ما الذي يجري؟

    تمرين 2.5.11.

    أوجد كثير الحدود (P (x) text <،> ) بحيث (y = 2 x ^ 2 + 3 x + 4 ) يحل (y '' + 5 y '+ y = P (x) نص <.> )


    4.5E: المعادلات الخطية غير المتجانسة (تمارين)

    إنها معجزة! يبدو أنها ستعمل. لقد اقتربت من حل جميع المشكلات تقريبًا وقد استجاب هذا البرنامج لصلواتي!
    تومي هوبروكن ، ويسكونسن

    Algebrator هي أداة رائعة لمعلم الجبر الذي يريد إنشاء دروس الرياضيات بسهولة. سيحب الطلاب حله التدريجي لواجبهم المنزلي في الجبر. التفسيرات التي قدمها مدرس الرياضيات ممتازة.
    مارشا ستونويتش ، تكساس

    أحدث إصدار من برنامجك هائل. إلى جانب واجهة المستخدم الرسومية ، أحببت بشكل خاص "المعالجات" التي تجعل إدخال مشاكل النوع الهندسي أسهل بكثير. لم أستخدم الميزات الأكثر تقدمًا حتى الآن (العمليات الوظيفية وما إلى ذلك) ، ولكن سيصبح هذا مفيدًا بمجرد أن أصل إلى College Algebra.
    وارن ميلز ، كاليفورنيا

    كنت محبطًا جدًا من التعامل مع الأعداد المركبة. بعد استخدام هذا البرنامج ، أشعر براحة تامة معه. لم تعد الأرقام المركبة "معقدة" بالنسبة لي.
    لوري باركر


    4.5E: المعادلات الخطية غير المتجانسة (تمارين)

    أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

    نسخة محدثة متوفرة

    هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

    محرر التعبير الرياضي

    ندرس أنظمة غير متجانسة ذات معامل ثابت ، مع الاستفادة من تباين المعلمات لإيجاد حل معين.

    تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة

    نحن الآن نعتبر النظام الخطي غير المتجانس حيث تكون دالة مصفوفة ودالة تأثير متجه. يرتبط بهذا النظام النظام التكميلي .

    النظرية التالية مماثلة للنظريات thmtype: 5.3.2 و thmtype: 9.1.5. يوضح كيفية العثور على الحل العام إذا كنا نعرف حلًا معينًا ومجموعة أساسية من الحلول للنظام التكميلي. نترك الاثبات للقارىء.

    إيجاد حل خاص لنظام غير متجانس

    نناقش الآن امتدادًا لطريقة تغيير المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة. ستنتج هذه الطريقة حلاً خاصًا لنظام غير متجانس بشرط أن نعرف مصفوفة أساسية للنظام التكميلي. لاشتقاق الطريقة ، افترض أنها مصفوفة أساسية للنظام التكميلي ، حيث توجد مجموعة أساسية من حلول النظام التكميلي. في Trench 10.3 رأينا ذلك. نحن نسعى لحل خاص ل

    من الشكل الذي سيتم تحديده. التفريق (مكافئ: 10.7.2) غلات

    هذه الطريقة مماثلة لطريقة تغيير المعلمات التي تمت مناقشتها في Trench 5.7 و 9.4 للمعادلات الخطية العددية.

    العنصر: 10.7.1b من Theorem thmtype: 10.7.1 ، الحل العام لـ (eq: 10.7.3) هو

    والتي يمكن كتابتها أيضًا حيث يكون متجهًا ثابتًا تعسفيًا.

    الكتابة (مكافئ: 10.7.5) من حيث غلات الإحداثيات

    إذا لم تكن مصفوفة ثابتة ، فمن الصعب عادةً العثور على مجموعة أساسية من الحلول للنظام. إنه خارج نطاق هذا النص لمناقشة طرق القيام بذلك. لذلك ، في الأمثلة التالية وفي التدريبات التي تتضمن أنظمة ذات مصفوفات معامل متغيرة ، سنوفر مصفوفات أساسية للأنظمة التكميلية دون شرح كيفية الحصول عليها.

    العنصر: 10.7.4b من Theorem thmtype: 10.7.1 الحل العام لـ (eq: 10.7.8) والذي يمكن كتابته حيث يكون متجهًا عشوائيًا ثابتًا.

    مصدر النص

    ترينش ، ويليام ف. ، "المعادلات التفاضلية الأولية" (2013). مؤلف ومحرّر كتب وأقراص مضغوطة لأعضاء هيئة التدريس. 8. (CC-BY-NC-SA)


    بيئة تمرين MATH246 (بيتا)

    لنفترض أن المعامل التفاضلي ( Lop ) له معاملات ثابتة ، قل [ Lop y = D ^ ny + a_1D ^ص + أ_2 د ^ص + cdots + a_D ^ 2y + a_D y + a_ny text <،> ] حيث كل (a_i ) هي أرقام حقيقية. اسمح (g (x) ) أن تكون الوظيفة الخضراء لهذا المشغل ، كما هو محدد في القسم السابق (أي حل لمشكلة القيمة الأولية ( Lop g = 0 ) ، (g (0) = 0) ، (ز & # 39 (0) = 1 )). دع (G (x، s) ) تكون الوظيفة الخضراء كما هو محدد في هذا القسم. أظهر أن (G (x، s) = g (x-s) ).

    بالنسبة إلى # 16– # 17 ، أوجد حلاً عامًا للمعادلة التفاضلية باستخدام اختلاف المعلمات.

    تمرين 16

    تمرين 17

    (الحلول المتجانسة هي (1 ) و (س ) و (س ^ 3 ).)

    بالنسبة إلى # 18 - # 19 ، ابحث عن حل عام للمعادلة التفاضلية عن طريق التكامل مقابل دالة خضراء.

    تمرين 18

    تمرين 19

    (الحلول المتجانسة هي (1 ) ، (t ^ 3 ) ، ( log (t) ). ابحث عن حل على ((0، infty) ).)

    تمرين 20

    هذه مراجعة جيدة لتقنيات الحل التي تمت مناقشتها حتى الآن للمعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية.

    أ) ابحث عن حل عام للمعادلة التالية: [w & # 39 & # 39 + 9w = 0. ]

    ب) هل يمكنك التفكير في طرق متعددة لحل المعادلة التفاضلية التالية (w & # 39 & # 39 + 9w = e ^ x؟ )

    ج) هل يمكنك التفكير في طرق متعددة لحل المعادلة التفاضلية التالية (w & # 39 & # 39 + 9w = sec (3x)؟ )

    ( bf) يجب أن يكون هناك 3 طرق على الأقل للتعامل مع الجزء ج) :).

    تمرين 21

    الدالتان (v ^ 2 ) و (v ) هي حلول للمعادلة المتجانسة التالية

    [v ^ 2 w & # 39 & # 39 - 2v w & # 39 + 2 w = 0 ، ] لـ (v & gt 0 ). (لا داعي للتحقق من أن (v ^ 2 ) و (v ) حلان بالفعل!)

    أ) احسب Wronskian للوظيفتين وقم بتقييمه عند (v = 5 ).

    ب) حل مشكلة القيمة الأولية [v ^ 2 w & # 39 & # 39 - 2v w & # 39 + 2 w = v ^ 3 e ^ v ،

    0 ، ] باستخدام كل من تقنيات الحل التي تمت مناقشتها في هذا القسم. يجب أن تكون قادرًا على تقييم جميع التكاملات المحددة.

    تمرين 22

    اكتب حلاً عامًا للمعادلة الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (x & # 39 & # 39 + x = sec (t) ) ، لـ (t in (- frac < pi> <2> ، frac < pi> <2>) ) ، باستخدام الطريقتين المذكورتين في هذا القسم. أيهما أطول / أسهل في الحل؟

    تمرين 23

    سنشرح هنا كيف يمكن فصل عدم التجانس في مشكلة القيمة الأولية في مشكلتين أوليتين للقيمة.

    بيّن أن حل المعادلة التفاضلية ( Lop [v] = v & # 39 & # 39 + p (x) v & # 39 + q (x) v = f (x) ، v (x_0) = v_0، v & # 39 (x_0) = v & # 39_0 ) يمكن كتابتها كـ (v (x) = y (x) + w (x) ) ، حيث (y ) و (w ) هي حلول لما يلي مشاكل القيمة الأولية: [ Lop [y] = 0 ،

    ( bf) إذا كانت مجموعة الحلول الأساسية معروفة بالمعادلة التفاضلية ( Lop [y] = 0 ) ، فمن السهل نسبيًا العثور على (y (x) ). علاوة على ذلك ، يمكن إيجاد (w (x) ) من خلال طريقة تغيير المعلمات أو طريقة وظيفة Green.

    تمرين 24

    يمكن أيضًا استخدام طريقة تخفيض الترتيب مع المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة غير الثابتة. على وجه التحديد ، ضع في اعتبارك المعادلة التالية (w & # 39 & # 39 + p (u) w & # 39 + q (u) w = g (u) ) ، وافترض أن أحد الحلول للمعادلة المتجانسة المصاحبة معروف ، ( w_1 (ش) ). الآن دع (w (u) = v (u) w_1 (u) ) وأظهر أنه إذا كان (w (u) ) هو الحل لـ (w & # 39 & # 39 + p (u) w & # 39) + q (u) w = g (u) ) ، إذن يجب أن يكون (v (u) ) حلاً لـ (w_1 (u) v & # 39 & # 39 + [2w & # 39_1 (u) + p ( u) w_1 (u)] v & # 39 = g (u) ).

    ( bf) المعادلة (w_1 (u) v & # 39 & # 39 + [2w & # 39_1 (u) + p (u) w_1 (u)] v & # 39 = g (u) ) هي معادلة خطية من الدرجة الأولى في (ت & # 39 ). بعد حل هذه المعادلة ، ودمج النتيجة للحصول على (v (u) ) وضرب ذلك في (w_1 (u) ) ، نحصل على الحل العام (w (u) = v (u) w_1 (u ) ) إلى المعادلة التفاضلية الأصلية (w & # 39 & # 39 + p (u) w & # 39 + q (u) w = g (u) ).

    تمرين 25

    y_2 (x) = xe ^ x، ) و (y_3 (x) = e ^ <-x> ) هي حلول للمعادلة المتجانسة المرتبطة بـ (y & # 39 & # 39 & # 39 - y & # 39 & # 39 - y & # 39 + y = f (x) ) ، أوجد حلًا معينًا للمعادلة التفاضلية بدلالة التكاملات المحددة. هل يمكنك تدوين الحل العام أيضًا؟

    تمرين 26

    ابحث عن صيغة تتضمن تكاملات لحل معين للمعادلة المتكاملة [w & # 39 & # 39 & # 39 - w & # 39 & # 39 + w & # 39 - w = f (u). ]


    4.5E: المعادلات الخطية غير المتجانسة (تمارين)

    لهذه المجموعة الأولى من المشاكل: (أ) أظهر أن (Y_P ) هو حل للمعادلة غير المتجانسة (ب) أوجد حلًا عامًا للمعادلة.

    التمرين 1

    ( ddot-نقطة-2w = 2e ^ u ) مع (W_P (u) = -e ^ u ).

    المحلول

    (أ) ( ddot = نقطة= W_P = -e ^ u ) و (- e ^ u - (-e ^ u) - (-2e ^ u) = 2e ^ u ) ، لذلك (W_P ) هو الحل.

    (ب) الحل العام هو (w (u) = c_1e ^ <2u> + c_2e ^ <-u> - e ^ u ) نظرًا لأن جذور كثير الحدود المميز هي 2 و -1.

    تمرين 2

    المحلول

    (أ) (Y_P = -Y_P & # 39 & # 39 ) لذلك منذ (- sin (t) / 3 + 4 sin (t) / 3 = sin (t) ) نعرف (Y_P ) ) حل.

    (ب) الحل العام هو (y (t) = c_1 cos (2t) + c_2 sin (2t) + frac <1> <3> sin (t) ).

    التمرين 3

    المحلول

    (أ) (W_P & # 39 = sin (x) + x cos (x) ) و (W_P & # 39 & # 39 = 2 cos (x) - x sin (x) ) ، لذا (W_P & # 39 & # 39 + W_P = 2 cos (x) ).

    (ب) الحل العام هو (w (x) = c_1 sin (x) + c_2 cos (x) + x sin (x) ).

    التمرين 4

    المحلول

    (ب) الحل العام هو (y (t) = (c_1 + c_2t) e ^ <-t>+frac<1> <3> e ^ <2t>. )

    التمرين 5

    المحلول

    (ب) الحل العام هو (x (t) = c_1e ^ <-x> sin (x) + c_2e ^ <-x> cos (x) + e ^ <-x> )

    تمرين 6

    المحلول

    (أ) (Y_P & # 39 = (3t ^ 2 + 2t) e ^ <3t> ) و (Y_P & # 39 & # 39 = (9t ^ 2 + 12t + 2) e ^ <3t> ) ، لذلك (Y_P & # 39 & # 39 - 6Y_P & # 39 + 9 Y_P = (9t ^ 2 + 12t + 2-18t ^ 2-12t + 9t ^ 2) e ^ <3t> = 2e ^ <3t>. )

    (ب) الحل العام هو (y (t) = (c_1 + c_2t + t ^ 2) e ^ <3t> ).

    تمرين 7

    ( ddot - 2 نقطة + w = ​​-e ^ z / z ^ 2 ) مع (W_P (z) = e ^ z log (z). )

    المحلول

    (نقطة= فارك + e ^ z log (z) ) و ( ddot = فارك <-e ^ z> + فارك <2e ^ z> + e ^ z log (z) ) ، توصيل (W_P ) في المعادلة يعمل.

    (ب) الحل العام هو (w (z) = (c_1 + c_2z + log (z)) e ^ z )

    تمرين 8

    (t ^ 2y & # 39 & # 39 - (t ^ 2 + 2t) y & # 39 + (t + 2) y = 2t ^ 3 ) مع (Y_P (t) = -2t ^ 2 ) (للجزء (ب) لاحظ أن (y_1 (t) = t ) و (y_2 (t) = te ^ t ) كلاهما حلين للمعادلة المتجانسة).

    المحلول

    (أ) (Y_P & # 39 = -4t ) و (Y_P & # 39 & # 39 = -4 ) لذا عند التوصيل لدينا (- 4t ^ 2 + 4t ^ 3 + 8t ^ 2-2t ^ 3- 4t ^ 2 = 2t ^ 3 ) ، لذا (Y_P ) هو حل غير متجانس.

    (ب) مع التلميح المعطى لدينا (y (t) = c_1t + c_2te ^ t-2t ^ 2 ) هو الحل العام. يمكننا التحقق من أن (y_1 ) و (y_2 ) هما حلان للمعادلة المتجانسة المقابلة ، وأن هذه الحلول لها قيمة غير صفرية لـ Wronskian.

    في المجموعة التالية من المشكلات ، أظهر أن الحل المقدم هو حل للمعادلة ثم استخدمه لإيجاد حل لمشكلة القيمة الأولية المحددة.

    التمرين 9

    المحلول

    يمكننا التحقق من أن (e ^ x ) هو بالفعل حل ، ثم الحل العام هو (y (x) = (c_1 + c_2x) e ^ <-2x> + e ^ x ) ، لذا ( y & # 39 (x) = (c_2 - 2c_1 - 2c_2x) e ^ <-2x> + e ^ x ). ثم (3 = c_1 + 1 ) و (4 = c_2 - 2c_1 + 1 ). إذن (c_1 = 2 ) و (c_2 = 7 ). ثم حل مشكلة القيمة الأولية هو (y (x) = (2 + 7x) e ^ <-2x> + e ^ x ).

    تمرين 10

    المحلول

    يمكننا التحقق من أن (e ^ <3t> ) هو بالفعل حل ، ثم الحل العام هو (y (t) = c_1e ^ <2t> + c_2e ^ <-2t> + e ^ <3t> ) لذا (y & # 39 (t) = 2c_1e ^ <2t> -2c_2e ^ <-2t> + 3e ^ <3t> ). ثم نقوم بتوصيل الشروط الأولية لدينا (3 = c_1 + c_2 + 1 ) و (0 = 2c_1-2c_2 + 3 ). بالحل نحصل على (c_1 = 1/4 ) و (c_2 = 7/4 ) لذا فإن الحل هو [y (t) = frac+ 7e ^ <-2t> + 4e ^ <3t>> <4>. ]

    تمرين 11

    المحلول

    يمكننا التحقق من أن (e ^ <3u> - e ^ <2u> ) هو بالفعل حل ، ثم الحل العام هو (w (u) = c_1e ^ <-u> + c_2e ^ <3u> + e ^ <3u> - e ^ <2u> ). يمكننا تحويل (c_2 ) بمقدار 1 وإعادة كتابة هذا النموذج العام كـ (w (u) = c_1e ^ <-u> + c_2e ^ <3u> -e ^ <2u> ). ثم (w & # 39 (u) = -c_1e ^ <-u> + 3c_2e ^ <3u> - 2e ^ <2u> ). لذلك ، عند إدخال الشروط الأولية لدينا (2 = c_1 + c_2 - 1 ) و (1 = -c_1 + 3c_2 - 2 ) ، لذلك (c_1 = 3/2 ) و (c_2 = 3 / 2 ). Then the solution is [w(u) = frac <3e^<-u>+ 3e^<3u>-2e^<2u>><2>.] You would have also gotten this if you had not shifted (c_2) .

    Exercise 12

    المحلول

    We can check that (2sin(t)-5cos(t)) is a solution. Then the general solution is (y(t) = e^(c_1cos(sqrt<5>t)+c_2sin(sqrt<5>t)) +2sin(t)-5cos(t)) . Plugging in the initial condition we get (c_1-5=1) and (sqrt<5>c_2+2=2) , so (c_1 = 6) and (c_2 = 0) . The solution is then [y(t) = 6e^tcos(sqrt<5>t)+ 2sin(t)-5cos(t).]

    Exercise 13

    (z''-z= 4we^w) with (Z_P(w) = w^2e^w-we^w) where (z(0) = 2) and (z'(0) = -1) .

    المحلول

    We can check that (w^2e^w-we^w) is a solution. Then a general solution is (z(w) = c_1e^ <-w>+ c_2e^w + w^2e^w - we^w) . Then (z'(w) = -c_1e^ <-w>+ c_2e^w + (w^2 + w-1)e^w ) . Plugging in the initial conditions we have (c_1 + c_2 = 2) and (-c_1 + c_2-1 = -1) so (c_1 = c_2=1) . Then the solution is [z(w) = e^ <-w>+ (w^2 - w + 1)e^w.]

    Exercise 14

    المحلول

    We can check that (-t/2) is a solution. Then the general solution is [y(t) = c_1cos(t)+ c_2sin(t) + c_3e^ <2t>+ c_4e^ <-2t>- t/2.] Plugging in the initial conditions we get the following system of equations:

    [egin c_1+c_3+c_4 &= 10 c_2 + 2c_3-2c_4 -1/2 &= 3/2 -c_1+4c_3+4c_4&=0 -c_2+8c_3-8c_4 &= -2 end]

    The solution is [y(t) = 8cos(t) +2sin(t) + e^<2t>+e^<-2t>-t/2.]

    Exercise 15

    المحلول

    We can check that (e^<2u>) is a solution. Then the general solution is (x(u) = c_1e^<-u>+(c_2+c_3u)e^u + e^<2u>) . Plugging in the initial conditions we get the system of equations: [egin c_1+c_2+1&=1 -c_1 +c_2+c_3 + 2&=2 c_1+c_2+2c_3 + 4&=4. نهاية] The solution is (x(u) = e^<2u>) (you could have also just noticed that the non-homogeneous solution given also satisfied the initial conditions).

    Exercise 16

    (t^2y''-ty'+y = t^2) with (Y_P(t)=t^2) and (y_1(t) = t) is a solution to the homogeneous equation, and where (y(1) = 1) and (y'(1) = 0) (Note: you will have to first find a second independent solution to the homogeneous equation).

    المحلول

    We can check that (t^2) is a solution. Then we use reduction of order to find a second solution to the corresponding homogeneous solution. We get that (y_2(t) = tlog(t)) is an independent solution. The general solution for the non-homogeneous solution is then [y(t) = c_1t+c_2tlog(t) + t^2.] Plugging in the initial conditions we get (c_1+1 = 1) and (c_1+c_2 +2 = 0) . So (c_1 = 0) and (c_2 = -2) . The solution is [y(t) = t^2 - 2tlog(t).]

    Use reduction of order to find general solutions to the following non-homgeneous equations. That is given a solution (y_1) to the corresponding homogeneous equation set (y_2 = y_1v) , and reduce the second order non-homogeneous equations to a first order equation.

    Exercise 17

    المحلول

    Using reduction of order we let (w = zv) so (w' = v+zv') and (w''= 2v' + zv'') . So plugging in we have (2z^2v'+z^3v'' - 2z^2v' - 2zv + 2zv = 4z^2) . So (z^3v''=4z^2) . Then (v''= 4/z) , so ( v' = 4log(z)+C) and (v = 4zlog(z)-(4-C)z+D) . So the general solution is [w(z)=4z^2log(z) + c_1z^2 + c_2z.] Notice both (z) and (z^2) are homogeneous solutions and (4z^2log(z)) is a non-homogeneous solution.

    Exercise 18

    (x^2ddot+7xdot+5w = x) where (w_1(x) = frac<1>) .

    المحلول

    Using reduction of order we let (w=v/x) . Then (dot = dot/x - v/x^2) and (ddot = dot/x - 2dot/x^2+2v/x^3) . Plugging in we have [xddot - 2dot + 2v/x +7dot-7v/x + 5v/x = x.] This simplifies to [xddot+5dot = x ext < so >ddot + 5dot/x = 1.] The integrating factor is (x^5) so we have (dotx^5 = int x^5dt) and we get (dot = frac<6>+c_1x^<-5>) . Integrating again we have (v = frac <12>+ c_1x^ <-4>+ c_2) . The general solution is then [w(x) = c_1x^ <-5>+ c_2x^ <-1>+ frac<12>.] Notice that (1/x) and (1/x^5) are both homogeneous solutions, and (x/12) is a non-homogeneous solution.

    In the following please justify your responses

    Exercise 19

    The recipe for finding a general solution to a non-homogeneous equation is to first find a single solution to the non-homogeneous equation (Y_P) and then add it to the general solution for the corresponding homogeneous equation (Y_H) .

    (a) Justify why (Y_P(t) + Y_H(t)) will be a solution for any homogeneous solution (Y_H) .

    (b) Suppose that we also have an initial condition. Can we solve the initial value problem by adding a solution to the non-homogeneous equation and adding it to the solution to the corresponding homogeneous initial value problem? لما و لما لا؟

    المحلول

    (a) Let (L(t)) be the linear operator corresponding to the equation so that (L(t)(y) =g(t)) is the non-homgenous equation for some non-zero function (g(t)) . Then we are given that (L(t)Y_H(t) = 0) and (L(t)Y_P(t) = g(t)) . Then since (L(t)) is linear we know [L(t)(Y_P(t) + Y_H(t)) = L(t)Y_P(t) + L(t)Y_H(t) = g(t) + 0 = g(t).] So (Y_P(t) + Y_H(t)) will be a solution for any homogeneous solution (Y_H) .

    (b) The answer is no, since the non-homogeneous will likely contribute a non-zero term at the initial conditions. In particular for the equation (y'' = e^t) with initial conditions the initial coniditions (y(0)=y'(0)=0) the corresponing homogeneous solution is (y(t) =0) but (y(t) = 0 + e^t) doesn’t satisfy the initial conditions. To solve this we would have (c_1 + c_2t +e^t) and plugging in the initial conditions we would have (y(t)= -1-t+e^t) .

    Exercise 20

    This problem touches on the method of annihilators. The next section depends on having the non-homogeneous part be a solution to some homogeneous equation. It gives us a way to find a non-homogeneous solution when the non-homogeneous part has the special property that it is annihilated by a differential operator.

    (a) Suppose that (y''-y = g(t)) is such that (g(t)) is a solution to the homogeneous equation (y'' -y = 0) . Justify why a solution to (y''-y = g(t)) is also a solution to the homogeneous equation (y^ <(4)>- 2y'' + y=0) .

    (b) More generally suppose that (Lop_1) and (Lop_2) are differential operators such that (Lop_1Y_P = g) and (Lop_2g = 0) . Justify why (Y_P) is a solution to (Lop_2 Lop_1 y=0) .

    (c) If (Y) is the general solution to (Lop_2 Lop_1 y=0) , and (z) is the general solution to (Lop_1 y=0) , and (g) is a solution to (Lop_2 y=0) , justify why we can find coefficients such that (Y-z) is a solution to (Lop_1 y=g) .

    المحلول

    (a) The point is that the operator (Dop^2-1) makes (g(t)) vanish. So we have that if (y) is a solution to the original non-homgeneous equation ((Dop^2-1)[y] = g(t)) then applying the operator (Dop^2-1) to both sides we have ((Dop^2-1)^2[y] = (Dop^2-1)[g(t)] = 0) . So (y) must be a solution to the homogeneous equation ((Dop^2-1)^2[y]=0) (i.e. (y^ <(4)>- 2y'' + y=0) ).

    (b) (Lop_2 Lop_1 Y_P = Lop_2(Lop_1 Y_P) = Lop_2g = 0) so (Y_P) is a solution to (Lop_2 Lop_1 y=0) .

    (c) This is a direct application of (a) and (b).

    Exercise 21

    This is a two-part problem.

    a) What should (h(x)) be so that (y(x)) is a solution to [y'' - 2y' + y = h(x),] when (i) y(x) = cos(2x)?) (ii) y(x) = sin(2x)?)

    b) Using the results obtained from (a)) , find a particular solution (y_p(x)) and a general soluton to each of the following equations: (i) y'' - 2 y' + y = cos(2x)) (ii) y'' - 2 y' + y = sin(2x)) .

    ( (f) Here you will have to make an educated guess for a particular solution. Think about a linear combination of solutions from i) and ii) and solve for the unknown coefficients of that linear combination.)

    (f) This foreshadows the appearance of the method of “Undetermined Coefficients” from Chapter 6.

    المحلول

    a) i) Plugging in (y(x) = cos(2x)) into the differential equation yields (h(x) = -3 cos(2x) + 4 sin(2x)) .

    ii) Plugging in (y(x) = sin(2x)) into the differential equation yields (h(x) = - 3 sin(2x) - 4cos(2x)) .

    b) The characteristic equation for the second-order, linear constant coefficient homogeneous equation in the problem ( ( y'' - 2y' + 1 =0) ) is ( r^2 - 2r + 1 = 0,) which yields (r =1 ) as its root with multiplicity (2) . A general solution to the differential equation would thus look like (y(x) = c_1 e^t + c_2 t e^t + y_p(x)) , where (y_p(x)) is still to be determined. The lesson we learn from point a) above and from the hint indicates that a particular solution to our nonhomogeneous equation might look like (y_p(x) = a cos(2x) + bsin(2x)) , where (a, b) are real scalars which we compute below.

    i) Plugging in (y_p(x) = acos(2x) + bsin(2x)) into (y'' - 2 y' + y = cos(2x)) and identifying corresponding terms yields a system of equations with 2 equations, and two unknowns (a, b) . Solving for (a) and (b) yields ( a = - frac<3><25>) and (b = - frac<4><25>) . Thus, (y_p(x)= -frac<3> <25>cos(2x) - frac<4> <25>sin(2x)) and the general solution to the equation is (y(x) = c_1 e^t + c_2 t e^t -frac<3><25>cos(2x) - frac<4><25>sin(2x)) .

    ii) Plugging in (y_p(x) = acos(2x) + bsin(2x)) into (y'' - 2 y' + y = sin (2x)) and identifying corresponding terms yields a system of equations with 2 equations, and two unknowns (a, b) . Solving for (a) and (b) yields ( a = frac<4><25>) and (b = - frac<3><25>) . Thus, (y_p(x)= frac<4><25>cos(2x) - frac<3><25>sin(2x)) and the general solution to the equation is (y(x) = c_1 e^t + c_2 t e^t + frac<4><25>cos(2x) -frac<3><25>sin(2x)) .


    4.5E: Nonhomgeneous Linear Equations (Exercises)

    Which of the following equations are linear? For the ones that aren’t, explain where the problem lies. For the ones that are, put them in linear normal form if they aren’t already.

    For #2–#5, find a general solution for the following homogeneous differential equations.

    تمرين 2

    Exercise 3

    Exercise 4

    Exercise 5

    For #6 – #11, find a general solution for the following nonhomogeneous differential equations.

    Exercise 6

    Exercise 7

    Exercise 8

    Exercise 9

    Exercise 10

    Exercise 11

    For #12 – #18, Solve the following initial value problems. What is the largest interval containing the initial conditions on which your solution is defined?

    Exercise 12

    Exercise 13

    Exercise 14

    Exercise 15

    Exercise 16

    (displaystyle heta' + frac<1>, heta = frac<1>) , ( heta(sqrt<5>) = 2)

    Exercise 17

    Exercise 18

    Exercise 19

    Exercise 20

    This exercise is a check that the recipe given does indeed give solutions to first order linear differential equations. The equation we want to verify is [y'(t) + a(t)y(t) = b(t) ext<,>] and the solution the recipe gives us, for an arbitary constant (c) , is [y(t) = e^ <-int a(t),dt>int b(t) e^< int a(t),dt>,dt + ce^<-int a(t),dt>, ext<.>] [تلميح. If you’re a go-getter, it is possible to check this by computing (y') and (ay) , then adding them to see that everything cancels except (b) . It might be less onerous if you define [mu(t) = e^< int a(t),dt> ext<,>] which makes the solution look a little bit less daunting: [y(t) = frac<1> int b(t)mu(t) ,dt + frac ext<.>] Figure out what (mu'(t)) is as a first step.]

    Exercise 21

    Suppose that (y_1(t)) is a solution to the differential equation (y' + a(t)y = 0) and that (y_2(t)) is a solution to (y' + a(t)y = b(t)) . Check that (y_1(t) + y_2(t)) is also a solution to (y' + a(t)y = b(t)) . This is an important feature of linear equations: solutions can be built up from smaller pieces in some circumstances.

    Exercise 22

    As noted, the previous problem heavily relies on the fact that the differential equation (y' + a(t)y = b(t)) is a linear equation. Consider the differential equation [(y(t))^2 cdot y''(t) + (y'(t))^3 = 0 ext<.>] Show that both (y_1(t) = 1) and (y_2(t) = e^<-t>) are solutions, but nonetheless (1 + e^<-t>) is not a solution. (Of course, this equation is wildly nonlinear.)

    Exercise 23

    The recipe given for first-order differential equations doesn’t really require us to find antiderivatives at all the intermediate steps, which is good news because there are not many functions (f(t)) for which (int expigl(int f(t),dtigr) ,dt) can be calculated. Find a general solution to the differential equation [e^t ,y'(t) - 5t^2 ,y(t) = log(t+3) ext<.>] Your answer will involve indefinite integrals that you shouldn’t be able to evaluate.

    Exercise 24

    Some higher-order differential equations are actually first-order linear if you look at them in the right way. Use the substitutions suggested to solve the following equations. (The solution to the linear equation will be an explicit equation which then can be solved. You will have multiple constants.)

    (y''' + frac<2> y'' = 6) use (v = y') and (w = v') and rewrite in terms of (w)

    Exercise 25

    Answer the following for the above differential equation:

    For what values of (alpha) does a solution exist?

    For what values of (alpha) will the solution tend to infinity as (t ightarrowinfty) ?

    If (alpha=1) why do we not get (y=4t) ?

    Exercise 26

    What is [x(t)=frac<-1><3>+3e^<3t>] a solution to? What is the integrating factor?


    Solving the GPS Equations

    مقدمة

    The global positioning system or GPS is a constellation of satellites that are used to approximate the location of a GPS reciever on Earth. GPS uses 4 satellites that are in view of the reciever to solve 4 equations for the ((x,y,z)) coordinates of the reciever and a value (d) which is the difference in time between the reciever's clock and the satellites' clocks. The difference in time is important because the location is approximated using the travel time of a signal from the satellite to the reciever, and this happens in much less than a second. The difference in time can cause error because the satellites' clocks are accurate to (10^<-8>) of a second while the reciever's clock is much less accurate.

    The equations that are solved to approximate a reciever's location using GPS are: egin (x-A_1)^2+(y-B_1)^2+(z-C_1)^2-(c(t_1-d))^2&=0 (x-A_2)^2+(y-B_2)^2+(z-C_2)^2-(c(t_2-d))^2&=0 (x-A_3)^2+(y-B_3)^2+(z-C_3)^2-(c(t_3-d))^2&=0 (x-A_4)^2+(y-B_4)^2+(z-C_4)^2-(c(t_4-d))^2&=0 end where (x, y, ext < and >z ) are the rectangular coordinates of the reciever, (A, B, ext < and >C ) are the coordinates of the satellites, (d) is the difference in time between the reciever and the satellite's clocks, and (t) is the travel time for the signal from the satellite to the reciever. We will demonstrate the approximation of a reciever's location by solving the system of equations for specific satellite coordinates using the quadratic equation and Newton's method. We will then demonstrate sources for error in the approximation by choosing different satellite positions and amounts.

    Part 1

    Using the equations listed in the introduction, we will approximate the location of a reciever. In order to use the equations to determine the location of the reciever, an equation solving method is needed. In this case, we will use the multivariate Newton's method.

    The multivariate Newton's method iterates through successive guesses until one of the guesses is close enough to the correct answer to be a good approximate guess. To find each guess, the multivariate Newton's method solves the linear system [ Dg=-F ] where (F) is the vector of the function at the current guess, (D) is the Jacobian matrix of the function at the current guess, and (g) is the vector of unknown variables which will be the next guess. This method ususlly converges for the GPS equations to 7 correct digits in less than 20 iterations. Our code for the multivariate Newton's method used to solve the GPS equations can be found in the file MVNewtonsInputs. Our Newton's method program also uses the functions FCreator and DCreator to create the function and its Jacobian at the current guess.

    Given the satellite coordinates ( (15600,7540,20140),(18760,2750,18610),(17610,14630,13480),(19170,610,18390) ), the time intervals ( (0.07074,0.07220,0.07690,0.07242) ) and using the initial guess ((0,0,6370,0)), we use the multivariate Newton's method to approximate the position of the reciever of the GPS signals. In this case the approximate coordinates of the reciever are [ (x,y,z,d)=(-41.772709, -16.789194, 6370.059559, -0.003201) ] where (x,y,z) are the coordinates and (d) is the difference in time between the reciever and the satellite's clocks.

    There is a second solution to the GPS equations for the same inputs as above, but the second solution is a solution where to coordinates are off of Earth. Using the same inpus as above, the second solution to the GPS equations is [ (x,y,z,d) = (-39.747837, -134.274144, -9413.624553, 0.0185173). ] The second solution exists because there are two solutions for the equation of 4 intersecting spheres.

    Part 2

    As an alternative to using the multivariate Newton's method in the first step, the quadratic formula can be used to solve the system after careful algebraic manipulation of the equations listed in 4.38 of the reality check (also copied below). The steps can be found here and the corresponding code is available here . To begin, the second, third, and fourth equations are subtracted from the first equation to cancel all the quadratic terms. Then the equation is rewritten so the right side is 0. After doing this, the equations are reordered to the following form:

    Ux x + Uy y + Uz z + Ud d + W = 0

    where the vectors Ux, Uy, Uz, Ud, and W are the coefficients of the linear system. After writing this as a collection of linear equations, a careful determinant was used to simply x, y, and z to be represented as a function of d. Finally, with x, y, and z being functions of d, they are substituted into one of the equations below. The equation then reads F(d)=0 where F(d) is a messy quadratic polynomial. Lastly, the quadratic formula was applied to find the two possible roots of F(d).

    Part 4

    Now set up a test of the conditioning of the GPS problem. Define satellite positions (Aأنا, Bأنا, Cأنا) from spherical coordinates (ρأنا, φأنا, θأنا) as

    where ρ = 26750 km is fixed, while 0 &le φأنا &le π/2 and 0 &le θأنا &le 2π for أنا = 1. 4 are chosen arbitrarily. The φ coordinate is restricted so that the four satellites are in the supper hemisphere. جلس x = 0, ذ = 0, ض = 6370, د = 0.0001, and calculate the corresponding satellite range and travel times.

    In our code, we use the following spherical coordinates: (26750, 0, 0), (26750, π/6, 2π/3), (26750, π/3, 4π/3), (26750, π/2, 2π).

    We will define an error magnification factor specially tailored to the situation. The atomic clocks aboard the satellites are correct up to about 10 nanoseconds, or 10 -8 seconds. Therefore, it is important to study the effect of changes in the transmission time of this magnitude. Let the backward, or input error be the input change in meters. At the speed of light, 10 -8 seconds corresponds to roughly 3 meters. Let the forward, or output error be the change in position, caused by such a change in رأنا, also in meters. Then we can define the dimensionless

    and the condition number of the problem to be the maximum error magnification factor for all small Δtأنا.(say, 10 -8 or less).

    Change each tأنا defined in the foregoing by Δtأنا = +10 -8 or -10 -8 , not all the same. Denote the new solution of the equation by (x',y',z',d'), and compute the difference in position, on the basis of the error magnification factor.

    With our given coordinates and guess solution, we found the following:

    new solution(x',y',z',d') = (0.002832566559, 0.002026503684, 6370.004664877504, 0.000100015560)

    error magnification factor = 3.112072412093021

    Part 5

    Now repeat Step 4 with a more tightly grouped set of satellites. Choose all φأنا within 5 percent of one another and all θأنا within 5 percent of one another. Solve with and without the same input error as in Step 4. Find the maximum position error and error magnification factor. Compare the conditioning of the GPS problem when the satellites are tightly or loosely bunched.

    Code can be found here. All we had to do was to change two lines of code.

    In our code, we use the following spherical coordinates: (26750, 0, 0), (26750, π/40, 21π/40), (26750, π/20, 11π/20), (26750, 3π/40, 23π/40).

    With our given coordinates and guess solution, we found the following:

    new solution(x',y',z',d') = (-12.239979683903, 2.026503684, 6357.394422009528, 0.000102764332)

    error magnification factor = 5619.463355189746

    As seen by the significantly larger error magnification factor, satellites bunched closely together are more likely to have errors in positioning than satellites that are more loosely distributed.

    Part 6

    In parts 4 and 5 it was demonstrated that changes in time can increase the error of the approximate location calculated using the GPS equations. It is also possible for the error to be affected by the amount of satellites sending data to the reciever.

    To determine the effect the amount of satellites has on the condition number and forward error of the GPS approximated location, we wrote programs to find the condition number and forward error for all amounts of satellites from 4 to 32. The first program written to find the data iterates through all satellite amounts 4 to 32. In the iteration, a program is used to find the condition number for each satellite amount by running a function that calculates the error magnification factor and forward error of a satellite amount 100 times. The function that finds the EMF and forward error does this by following the methods used in step 4 and 5. The computer programs used in this part are BestSatelliteNumber, SatelliteConditionNumber, SatelliteEMF, and the Newton's method equation from Part 1.

    The same Newton's method used in part 1 is sufficient for the Gauss Newton method needed to find the coordinates from more than 4 satellites because the "backslash" command in Matlab uses the normal equations if the system has more functions than unknown values. In the Gauss Newton method, the normal equations iterated through to determine each new guess are [ D^TDg=-D^TF ] where (F) is the vector of the function at the current guess, (D) is the Jacobian matrix of the function at the current guess, and (g) is the vector of unknown variables which will be the next guess.


    شاهد الفيديو: اوجد معادلة المستقيم الذي ميله و يمر بالنقطة (شهر اكتوبر 2021).