مقالات

1.5: الدوال الأسية واللوغاريتمية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد شكل الدالة الأسية.
  • اشرح الفرق بين الرسوم البيانية لـ (x ^ {b} ) و (b ^ {x} ).
  • التعرف على دلالة الرقم (ه ).
  • حدد شكل الدالة اللوغاريتمية.
  • اشرح العلاقة بين الدوال الأسية واللوغاريتمية.
  • صف كيفية حساب لوغاريتم لأساس مختلف.
  • حدد الوظائف الزائدية ورسومها البيانية وهوياتها الأساسية.

في هذا القسم ندرس الدوال الأسية واللوغاريتمية. نستخدم خصائص هذه الدوال لحل المعادلات التي تتضمن مصطلحات أسية أو لوغاريتمية ، وندرس معنى وأهمية الرقم (e ). نحدد أيضًا الدوال الزائدية والمعكوسة الزائدية ، والتي تتضمن مجموعات من الدوال الأسية واللوغاريتمية. (لاحظ أننا نقدم تعريفات بديلة للوظائف الأسية واللوغاريتمية في الفصل تطبيقات التكاملات ، ونثبت أن الوظائف لها نفس الخصائص مع أي من التعريفين.)

وظائف أسية

تنشأ الدوال الأسية في العديد من التطبيقات. أحد الأمثلة الشائعة هو النمو السكاني. على سبيل المثال ، إذا بدأ السكان بـ (P_0 ) أفراد ثم نما بمعدل سنوي قدره (2 ٪ ) ، فإن عدد السكان بعد عام واحد يكون

[P (1) = P_0 + 0.02P_0 = P_0 (1 + 0.02) = P_0 (1.02). nonumber ]

عدد سكانها بعد سنتين

[P (2) = P (1) + 0.02P (1) = P (1) (1.02) = P_0 (1.02) ^ 2. nonumber ]

بشكل عام ، عدد سكانها بعد (t ) سنوات هو

[P (t) = P_0 (1.02) ^ t ، nonumber ]

وهي دالة أسية. بشكل عام ، أي دالة من النموذج (f (x) = b ^ x ) ، حيث (b> 0 ) ، (b ≠ 1 ) ، هي دالة أسية مع قاعدة (حافظة مسافة الأس (x. ) الدوال الأسية لها قواعد ثابتة وأسس متغيرة. لاحظ أن دالة النموذج (f (x) = x ^ b ) لبعض الثابت (b ) ليست دالة أسية ولكنها دالة طاقة.

لمعرفة الفرق بين الدالة الأسية ودالة الطاقة ، نقارن الدالتين (y = x ^ 2 ) و (y = 2 ^ x ). في الجدول ( PageIndex {1} ) ، نرى أن كلا من (2 ^ x ) و (x ^ 2 ) يقتربان من اللانهاية كـ (x → ∞ ). في النهاية ، يصبح (2 ^ x ) أكبر من (x ^ 2 ) وينمو بسرعة أكبر مثل (x → ∞ ). في الاتجاه المعاكس ، مثل (x → −∞ ) ، (x ^ 2 → ∞ ) ، بينما (2 ^ x → 0 ). الخط (y = 0 ) خط مقارب أفقي لـ (y = 2 ^ x ).

جدول ( PageIndex {1} )
(س )-3-2-10123456
(س ^ 2 )9410149161536
(2 ^ س )1/81/41/21248163264

في الشكل ( PageIndex {1} ) ، قمنا برسم بياني لكل من (y = x ^ 2 ) و (y = 2 ^ x ) لإظهار كيف تختلف الرسوم البيانية.

تقييم الدوال الأسية

تذكر خصائص الأس: إذا كان (x ) عددًا صحيحًا موجبًا ، فإننا نحدد (b ^ x = b⋅b ⋯ b ) (مع (x ) عوامل (b )). إذا كان (x ) عددًا صحيحًا سالبًا ، إذن (x = −y ) لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة (y ) ، ونعرّف (b ^ x = b ^ {- y} = 1 / b ^ ذ ). أيضًا ، يتم تعريف (b ^ 0 ) على أنه (1 ). إذا كان (x ) عددًا نسبيًا ، فإن (x = p / q ) ، حيث (p ) و (q ) عدد صحيح و (b ^ x = b ^ {p / q} = sqrt [q] {b ^ p} ). على سبيل المثال ، (9 ^ {3/2} = sqrt {9 ^ 3} = left ( sqrt {9} right) ^ 3 = 27 ). ومع ذلك ، كيف يتم تعريف (b ^ x ) إذا كان (x ) رقمًا غير نسبي؟ على سبيل المثال ، ماذا نعني ب (2 ^ { sqrt {2}} )؟ هذا سؤال معقد للغاية بالنسبة لنا للإجابة الكاملة في الوقت الحالي ؛ ومع ذلك ، يمكننا إجراء تقريب.

الجدول ( PageIndex {2} ): قيم (2 ^ x ) لقائمة الأرقام النسبية التقريبية ( sqrt {2} )
(س )0.41.411.4141.41421.414211.414213
(2 ^ س )2.6392.657372.664752.6651192.6651382.665143

في الجدول ( PageIndex {2} ) ، نسرد بعض الأرقام المنطقية التي تقترب من ( sqrt {2} ) ، ويتم تقديم قيم (2 ^ x ) لكل رقم نسبي (x ) كذلك. ندعي أننا إذا اخترنا أرقامًا منطقية (x ) نقترب أكثر فأكثر من ( sqrt {2} ) ، فإن قيم (2 ^ x ) تقترب أكثر فأكثر من عدد ما (L ) . نحدد هذا الرقم (L ) ليكون (2 ^ { sqrt {2}} ).

مثال ( PageIndex {1} ): النمو البكتيري

لنفترض أنه من المعروف أن مجموعة معينة من البكتيريا تتضاعف كل (4 ) ساعات. إذا بدأت الثقافة بـ (1000 ) بكتيريا ، فإن عدد البكتيريا بعد (4 ) ساعات هو (n (4) = 1000⋅2 ). عدد البكتيريا بعد (8 ) ساعات هو (n (8) = n (4) ⋅2 = 1000⋅2 ^ 2 ). بشكل عام ، عدد البكتيريا بعد (4 م ) ساعة هو (ن (4 م) = 1000⋅2 ^ م ). لو تركنا (t = 4m ) ، نرى أن عدد البكتيريا بعد t ساعة هو (n (t) = 1000⋅2 ^ {t / 4} ). أوجد عدد البكتيريا بعد (6 ) ساعات ، (10 ​​) ساعات ، و (24 ) ساعة.

المحلول

يتم تحديد عدد البكتيريا بعد 6 ساعات

[n (6) = 1000⋅2 ^ {6/4} ≈2828 ، نص {بكتيريا}. لا يوجد رقم]

عدد البكتريا بعد (10 ​​) ساعة مقداره

[n (10) = 1000⋅2 ^ {10/4} ≈5657 ، نص {بكتيريا}. لا يوجد رقم]

يتم إعطاء عدد البكتيريا بعد (24 ) ساعة بواسطة (n (24) = 1000⋅2 ^ 6 = 64000 ) بكتيريا.

تمرين ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى الدالة الأسية (f (x) = 100⋅3 ^ {x / 2} ) ، قم بتقييم (f (4) ) و (f (10) ).

إجابه

(و (4) = 900 )

(و (10) = 24300 ).

وظائف الرسوم البيانية الأسية

لأي قاعدة (b> 0 ) ، (b ≠ 1 ) ، يتم تعريف الدالة الأسية (f (x) = b ^ x ) لجميع الأرقام الحقيقية (x ) و (b ^ س> 0 ). لذلك ، مجال (f (x) = b ^ x ) هو ((- ∞ ، ∞) ) والنطاق هو ((0 ، ∞) ). لرسم بياني (b ^ x ) ، نلاحظ أن (b> 1 ) ، (b ^ x ) يتزايد على ((- ∞ ، ∞) ) و (b ^ x → ∞ ) كـ (x → ∞ ) ، بينما (b ^ x → 0 ) كـ (x → −∞ ). من ناحية أخرى ، إذا (0

لاحظ أن الدوال الأسية تتوافق مع القوانين العامة للأسس. لتذكيرك بهذه القوانين ، نذكرها كقواعد.

قوانين الدعاة

لأي ثوابت (أ> 0 ) ، (ب> 0 ) ، ولكل (س ) و (ص ، )

  1. [b ^ x⋅b ^ y = b ^ {x + y} ]
  2. [ dfrac {b ^ x} {b ^ y} = b ^ {x − y} ]
  3. [(b ^ x) ^ y = b ^ {xy} ]
  4. [(ab) ^ x = a ^ xb ^ x ]
  5. [ dfrac {a ^ x} {b ^ x} = left ( dfrac {a} {b} right) ^ x ]

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام قوانين الأسس

استخدم قوانين الأسس لتبسيط كل من التعبيرات التالية.

  1. ( dfrac {(2x ^ {2/3}) ^ 3} {(4x ^ {- 1/3}) ^ 2} )
  2. ( dfrac {(x ^ 3y ^ {- 1}) ^ 2} {(xy ^ 2) ^ {- 2}} )

سوتيون

أ. يمكننا التبسيط على النحو التالي:

[ dfrac {(2x ^ {2/3}) ^ 3} {(4x ^ {- 1/3}) ^ 2} = dfrac {2 ^ 3 (x ^ {2/3}) ^ 3} {4 ^ 2 (x ^ {- 1/3}) ^ 2} = dfrac {8x ^ 2} {16x ^ {- 2/3}} = dfrac {x ^ 2x ^ {2/3}} { 2} = dfrac {x ^ {8/3}} {2}. لا يوجد رقم]

ب. يمكننا التبسيط على النحو التالي:

[ dfrac {(x ^ 3y ^ {- 1}) ^ 2} {(xy ^ 2) ^ {- 2}} = dfrac {(x ^ 3) ^ 2 (y ^ {- 1}) ^ 2} {x ^ {- 2} (y ^ 2) ^ {- 2}} = dfrac {x ^ 6y ^ {- 2}} {x ^ {- 2} y ^ {- 4}} = x ^ 6x ^ 2y ^ {- 2} y ^ 4 = x ^ 8y ^ 2. لا يوجد رقم ]

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم قوانين الأسس لتبسيط ( dfrac {6x ^ {- 3} y ^ 2} {12x ^ {- 4} y ^ 5} ).

تلميح

(س ^ أ / س ^ ب = س ^ {a-b} )

إجابه

(س / (2y ^ 3) )

الرقم هـ

يظهر نوع خاص من الوظائف الأسية بشكل متكرر في تطبيقات العالم الحقيقي. لوصفها ، ضع في اعتبارك المثال التالي للنمو الأسي ، الذي ينشأ من فائدة مركبة في حساب التوفير. لنفترض أن شخصًا ما يستثمر (P ) دولارات في حساب توفير بفائدة سنوية (r ) تُضاعف سنويًا. مبلغ المال بعد سنة واحدة

(A (1) = P + rP = P (1 + r) ).

مبلغ المال بعد (2 ) سنوات

(A (2) = A (1) + rA (1) = P (1 + r) + rP (1 + r) = P (1 + r) ^ 2 ).

بشكل عام ، المبلغ بعد (t ) سنوات

(A (t) = P (1 + r) ^ t ).

إذا تم تجميع المال مرتين في السنة ، فإن مبلغ المال بعد نصف عام يكون

(A left ( dfrac {1} {2} right) = P + left ( dfrac {r} {2} right) P = P left (1+ left ( dfrac {r} { 2} right) right) ).

مبلغ المال بعد (1 ) عام هو

(A (1) = A left ( dfrac {1} {2} right) + left ( dfrac {r} {2} right) A left ( dfrac {1} {2} يمين) = P left (1+ dfrac {r} {2} right) + dfrac {r} {2} left ( left (P (1+ dfrac {r} {2} right) right) = P left (1+ dfrac {r} {2} right) ^ 2. )

بعد (t ) سنوات ، مبلغ المال في الحساب هو

(A (t) = P left (1+ dfrac {r} {2} right) ^ {2t} ).

بشكل عام ، إذا تم تجميع الأموال (n ) مرات في السنة ، يتم إعطاء مبلغ المال في الحساب بعد (t ) سنوات بواسطة الوظيفة

(A (t) = P left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {nt}. )

ماذا يحدث كـ (n → ∞؟ ) للإجابة على هذا السؤال ، نترك (m = n / r ) ونكتب

( left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {nt} = left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ {mrt}، )

وفحص سلوك ((1 + 1 / m) ^ m ) كـ (m → ∞ ) ، باستخدام جدول القيم (Table ( PageIndex {3} )).

الجدول ( PageIndex {3} ): قيم ( left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m ) كـ (m → ∞ )
(م )10100100010,000100,0001,000,000
( left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m )2.59372.70482.716922.718152.7182682.718280

بالنظر إلى هذا الجدول ، يبدو أن ((1 + 1 / م) ^ م ) يقترب من رقم بين (2.7 ) و (2.8 ) كـ (م → ∞ ). في الواقع ، ((1 + 1 / م) ^ م ) يقترب من بعض الأرقام مثل (م → ∞ ). نسمي هذا الرقم (ه ). إلى ستة منازل عشرية من الدقة ،

[e≈2.718282. ]

ليونارد اويلر

تم استخدام الحرف (e ) لأول مرة لتمثيل هذا الرقم من قبل عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر خلال عشرينيات القرن الثامن عشر. على الرغم من أن أويلر لم يكتشف الرقم ، إلا أنه أظهر العديد من الروابط المهمة بين (e ) والوظائف اللوغاريتمية. ما زلنا نستخدم الترميز (e ) اليوم لتكريم عمل أويلر لأنه يظهر في العديد من مجالات الرياضيات ولأننا نستطيع استخدامه في العديد من التطبيقات العملية.

بالعودة إلى مثال حساب التوفير الخاص بنا ، يمكننا أن نستنتج أنه إذا وضع الشخص (P ) دولارات في حساب بسعر فائدة سنوي (r ) ، يتضاعف باستمرار ، إذن (A (t) = Pe ^ {rt } ). قد تكون هذه الوظيفة مألوفة. نظرًا لأن الوظائف التي تتضمن base (e ) تنشأ غالبًا في التطبيقات ، فإننا نسمي الوظيفة (f (x) = e ^ x ) دالة أسية طبيعية. هذه الوظيفة ليست مثيرة للاهتمام فقط بسبب تعريف الرقم (e ) ، ولكن أيضًا ، كما نوقش لاحقًا ، يحتوي الرسم البياني الخاص به على خاصية مهمة.

بما أن (e> 1 ) ، نعلم أن (f (x) = e ^ x ) يتزايد على ((- ∞ ، ∞) ). في الشكل ( PageIndex {3} ) ، نعرض رسمًا بيانيًا لـ (f (x) = e ^ x ) جنبًا إلى جنب مع خط مماس للرسم البياني (f ) عند (x = 0 ) ). نعطي تعريفًا دقيقًا لخط المماس في الفصل التالي ؛ لكن ، بشكل غير رسمي ، نقول إن خطًا مماسًا لرسم بياني لـ (f ) عند (x = a ) هو خط يمر عبر النقطة ((a ، f (a)) ) وله نفس الشيء "منحدر" مثل (f ) في تلك المرحلة. الوظيفة (f (x) = e ^ x ) هي الوظيفة الأسية الوحيدة (b ^ x ) مع خط مماس عند (x = 0 ) الذي له ميل من (1. ) كما نحن نرى لاحقًا في النص ، وجود هذه الخاصية يجعل الدالة الأسية الطبيعية أبسط دالة أسية يمكن استخدامها في العديد من الحالات.

مثال ( PageIndex {3} ): الفائدة المركبة

لنفترض أنه تم استثمار ($ 500 ) في حساب بمعدل فائدة سنوي قدره (r = 5.5 ٪ ) ، مركب بشكل مستمر.

  1. دع (t ) يشير إلى عدد السنوات بعد الاستثمار الأولي و (A (t) ) تشير إلى مبلغ المال في الحساب في الوقت (t ). ابحث عن صيغة (A (t) ).
  2. أوجد مبلغ المال في الحساب بعد (10 ​​) سنوات وبعد (20 ) سنة.

المحلول

أ. إذا تم استثمار (P ) الدولارات في حساب بمعدل فائدة سنوي (r ) ، تتضاعف باستمرار ، ثم (A (t) = Pe ^ {rt} ). هنا (P = $ 500 ) و (r = 0.055 ). لذلك ، (A (t) = 500e ^ {0.055t} ).

ب. بعد (10 ​​) سنوات مبلغ المال في الحساب هو

(A (10) = 500e ^ {0.055⋅10} = 500e ^ {0.55} ≈ 866.63 دولارًا أمريكيًا ).

بعد (20 ) سنة مبلغ المال في الحساب

(A (20) = 500e ^ {0.055⋅20} = 500e ^ {1.1} ≈ $ 1،502.08 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

إذا تم استثمار ($ 750 ) في حساب بمعدل فائدة سنوي (4 ٪ ) ، مركب بشكل مستمر ، ابحث عن صيغة لمبلغ المال في الحساب بعد (t ) سنوات. أوجد مبلغ المال بعد (30 ) سنة.

تلميح

(A (t) = Pe ^ {rt} )

إجابه

(A (t) = 750e ^ {0.04t} ). بعد (30 ) سنة ، سيكون هناك ما يقرب من (2،490.09 دولار ).

الدالات اللوغاريتمية

باستخدام فهمنا للدوال الأسية ، يمكننا مناقشة مقلوبها ، وهي الدوال اللوغاريتمية. تكون هذه الأمور مفيدة عندما نحتاج إلى النظر في أي ظاهرة تختلف على نطاق واسع من القيم ، مثل مقياس الأس الهيدروجيني في الكيمياء أو الديسيبل في مستويات الصوت.

الدالة الأسية (f (x) = b ^ x ) هي واحد لواحد، مع المجال ((- ∞ ، ∞) ) والمدى ((0 ، ∞) ). لذلك ، لها وظيفة عكسية تسمى الوظيفة اللوغاريتمية مع القاعدة (ب ). لأي (b> 0، ، b ≠ 1 ) ، الدالة اللوغاريتمية مع القاعدة (b ) ، والمشار إليها ( log_b ) ، لديها المجال ((0 ، ∞) ) والنطاق ( (−∞ ، ∞) ) ، ويرضي

[ log_b (x) = y ]

إذا وفقط إذا (b ^ y = x ).

فمثلا،

[ log_2 (8) = 3 بلا رقم ]

منذ (2 ^ 3 = 8 ) ،

[ log_ {10} left ( dfrac {1} {100} right) = - 2 nonumber ]

منذ (10 ​​^ {- 2} = dfrac {1} {10 ^ 2} = dfrac {1} {100} ) ،

[ log_b (1) = 0 nonumber ]

منذ (ب ^ 0 = 1 ) لأي قاعدة (ب> 0 ).

علاوة على ذلك ، نظرًا لأن (y = log_b (x) ) و (y = b ^ x ) هي وظائف عكسية ،

[ log_b (b ^ x) = x ]

و

[b ^ { log_b (x)} = x. ]

الوظيفة اللوغاريتمية الأكثر استخدامًا هي الوظيفة ( log_e ). نظرًا لأن هذه الوظيفة تستخدم (e ) الطبيعي كأساس لها ، يطلق عليها اسم اللوغاريتم الطبيعي. هنا نستخدم الترميز ( ln (x) ) أو ( ln x ) لتعني ( log_e (x) ). فمثلا،

[ start {align *} ln (e) & = log_e (e) = 1 [4pt] ln (e ^ 3) & = log_e (e ^ 3) = 3 [4pt] ln (1) & = log_e (1) = 0. النهاية {محاذاة *} ]

نظرًا لأن الدالات (f (x) = e ^ x ) و (g (x) = ln (x) ) هي مقلوب لبعضهما البعض ،

( ln (e ^ x) = x ) و (e ^ { ln x} = x ) ،

والرسوم البيانية الخاصة بهم متماثلة حول السطر (y = x ) (الشكل ( PageIndex {4} )).

بشكل عام ، لأي قاعدة (b> 0 ) ، (b ≠ 1 ) ، تكون الوظيفة (g (x) = log_b (x) ) متماثلة حول السطر (y = x ) مع الوظيفة (f (x) = b ^ x ). باستخدام هذه الحقيقة والرسوم البيانية للوظائف الأسية ، نقوم برسم الدوال ( log_b ) لعدة قيم (b> 1 ) (الشكل ( PageIndex {5} )).

قبل حل بعض المعادلات التي تتضمن الدوال الأسية واللوغاريتمية ، دعنا نراجع الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

خصائص اللوغاريتمات

إذا كان (أ ، ، ب ، ، ج> 0 ، ، ب ≠ 1 ) ، و (r ) هو أي رقم حقيقي ، إذن

  • خاصية المنتج

[ log_b (ac) = log_b (a) + log_b (c) label {productprop} ]

  • خاصية الحاصل

[ log_b left ( dfrac {a} {c} right) = log_b (a) - log_b (c) label {quotientprop} ]

  • خاصية الطاقة

[ log_b (a ^ r) = r log_b (a) label {powerprop} ]

مثال ( PageIndex {4} ): حل المعادلات التي تتضمن الدوال الأسية

حل كل من المعادلات التالية من أجل (س ).

  1. (5 ^ س = 2 )
  2. (e ^ x + 6e ^ {- x} = 5 )

المحلول

أ. بتطبيق دالة اللوغاريتم الطبيعي على طرفي المعادلة ، لدينا

( ln 5 ^ x = ln 2 ).

باستخدام خاصية القوة للوغاريتمات ،

(س ln 5 = ln 2. )

وبالتالي،

[x = dfrac { ln 2} { ln 5}. بضرب طرفي المعادلة في (e ^ x ) ، نصل إلى المعادلة

(e ^ {2x} + 6 = 5e ^ x ).

إعادة كتابة هذه المعادلة كـ

(e ^ {2x} −5e ^ x + 6 = 0 ) ،

يمكننا بعد ذلك إعادة كتابتها كمعادلة تربيعية في (e ^ x ):

((e ^ x) ^ 2−5 (e ^ x) + 6 = 0. )

يمكننا الآن حل المعادلة التربيعية. تحليل هذه المعادلة ، نحصل عليها

((e ^ x − 3) (e ^ x − 2) = 0. )

لذلك ، تلبي الحلول ​​(e ^ x = 3 ) و (e ^ x = 2 ). بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين ، نحصل على الحلول ​​(x = ln 3 ، ln 2 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

يحل

[e ^ {2x} / (3 + e ^ {2x}) = 1/2. لا يوجد رقم]

تلميح

قم أولاً بحل معادلة (e ^ {2x} )

إجابه

(x = dfrac { ln 3} {2} ).

مثال ( PageIndex {5} ): حل المعادلات التي تتضمن الدوال اللوغاريتمية

حل كل من المعادلات التالية من أجل (س ).

  1. ( ln left ( dfrac {1} {x} right) = 4 )
  2. ( log_ {10} sqrt {x} + log_ {10} x = 2 )
  3. ( ln (2x) −3 ln (x ^ 2) = 0 )

حل

أ. من خلال تعريف دالة اللوغاريتم الطبيعي ،

( ln left ( dfrac {1} {x} right) = 4 )

  • إذا وفقط إذا (e ^ 4 = dfrac {1} {x} ).

إذن ، الحل هو (x = 1 / e ^ 4 ).

ب. باستخدام المنتج (المعادلة المرجع {productprop}) وخصائص القوة (المعادلة المرجع {powerprop}) للدوال اللوغاريتمية ، أعد كتابة الجانب الأيسر من المعادلة بالشكل

[ start {align *} log_ {10} sqrt {x} + log_ {10} x & = log_ {10} x sqrt {x} [4pt] & = log_ {10} x ^ {3/2} [4pt] & = dfrac {3} {2} log_ {10} x. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة كـ

( dfrac {3} {2} log_ {10} س = 2 )

أو

( log_ {10} x = dfrac {4} {3} ).

الحل هو (x = 10 ^ {4/3} = 10 sqrt [3] {10} ).

ج. باستخدام خاصية الطاقة (المعادلة المرجع {powerprop}) للدوال اللوغاريتمية ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة كـ ( ln (2x) - ln (x ^ 6) = 0 ).

باستخدام خاصية خارج القسمة (المعادلة المرجع {quotientprop}) ، يصبح هذا

( ln left ( dfrac {2} {x ^ 5} right) = 0 )

لذلك ، (2 / x ^ 5 = 1 ) ، مما يعني (x = sqrt [5] {2} ). يجب علينا بعد ذلك التحقق من وجود أي حلول غريبة.

تمرين ( PageIndex {5} )

حل ( ln (x ^ 3) −4 ln (x) = 1 ).

تلميح

استخدم أولاً خاصية الطاقة ، ثم استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات.

إجابه

(x = dfrac {1} {e} )

عند تقييم دالة لوغاريتمية باستخدام آلة حاسبة ، ربما لاحظت أن الخيارات الوحيدة هي ( log_ {10} ) أو ( log ) ، وتسمى اللوغاريتم المشترك، أو ( ln ) ، وهو اللوغاريتم الطبيعي. ومع ذلك ، يمكن التعبير عن الدوال الأسية ووظائف اللوغاريتم من حيث أي قاعدة مرغوبة (ب ). إذا كنت بحاجة إلى استخدام آلة حاسبة لتقييم تعبير ذي أساس مختلف ، فيمكنك تطبيق معادلات تغيير الأساس أولاً. باستخدام هذا التغيير في القاعدة ، نكتب عادةً دالة أسية أو لوغاريتمية معينة من حيث الدوال الأسية الطبيعية والدوال اللوغاريتمية الطبيعية.

القاعدة: تغيير الصيغ الأساسية

دع (أ> 0 ، ، ب> 0 ) ، و (أ 1 ، ، ب ≠ 1 ).

1. (a ^ x = b ^ {x log_ba} ) لأي رقم حقيقي (x ).

إذا (b = e ) ، يتم تقليل هذه المعادلة إلى (a ^ x = e ^ {x log_ea} = e ^ {x ln a} ).

2. ( log_ax = dfrac { log_bx} { log_ba} ) لأي رقم حقيقي (x> 0 ).

إذا (b = e ) ، يتم تقليل هذه المعادلة إلى ( log_ax = dfrac { ln x} { ln a} ).

دليل - إثبات

بالنسبة إلى الصيغة الأولى لتغيير القاعدة ، نبدأ باستخدام خاصية القوة للدوال اللوغاريتمية. نحن نعلم ذلك لأي قاعدة (b> 0، ، b ≠ 1 )، ( log_b (a ^ x) = x log_ba ). لذلك،

(b ^ { log_b (a ^ x)} ) = (b ^ {x log_ba} ).

بالإضافة إلى ذلك ، نعلم أن (b ^ x ) و ( log_b (x) ) وظائف معكوسة. لذلك،

(b ^ { log_b (a ^ x)} = a ^ x ).

بدمج هاتين المعادلتين الأخيرتين ، نستنتج أن (a ^ x = b ^ {x log_ba} ).

لإثبات الخاصية الثانية ، نظهر ذلك

(( log_ba) ⋅ ( log_ax) = log_bx. )

دعونا (u = log_ba ، v = log_ax ) ، و (w = log_bx ). سوف نظهر ذلك (u⋅v = w ). من خلال تعريف الوظائف اللوغاريتمية ، نعلم أن (b ^ u = a و و a ^ v = x ) و (b ^ w = x ). من المعادلات السابقة نرى ذلك

(b ^ {uv} = (b ^ u) ^ v = a ^ v = x = b ^ w. )

لذلك ، (b ^ {uv} = b ^ w ). نظرًا لأن الوظائف الأسية هي واحد لواحد ، فيمكننا استنتاج ذلك (u⋅v = w ).

(مربع)

مثال ( PageIndex {6} ): تغيير الأسس

استخدم أداة حساب لتقييم ( log_37 ) باستخدام صيغة تغيير القاعدة المقدمة سابقًا.

حل

استخدم المعادلة الثانية مع (a = 3 ) و (e = 3 ): ( log_37 = dfrac { ln 7} { ln 3} ≈1.77124 ).

تمرين ( PageIndex {6} )

استخدم صيغة تغيير الأساس وأداة حساب لتقييم ( log_46 ).

تلميح

استخدم تغيير الأساس لإعادة كتابة هذا التعبير بدلالة التعبيرات التي تتضمن دالة اللوغاريتم الطبيعي.

إجابه

( log_46 = dfrac { ln 6} { ln 4} حوالي 1.29248 )

مثال ( PageIndex {7} ): مقياس ريختر للزلازل

في عام 1935 ، طور تشارلز ريختر مقياسًا (يُعرف الآن باسم مقياس ريختر) لقياس حجم هزة أرضية. المقياس عبارة عن مقياس لوغاريتمي ذو قاعدة 10 ، ويمكن وصفه على النحو التالي: ضع في اعتبارك زلزالًا بقوة (R_1 ) بمقياس ريختر وزلزال آخر بقوة (R_2 ) على مقياس ريختر. لنفترض (R_1> R_2 ) ، مما يعني أن الزلزال بقوة (R_1 ) أقوى ، ولكن ما مدى شدته من الزلزال الآخر؟

تتمثل إحدى طرق قياس شدة الزلزال في استخدام جهاز قياس الزلازل لقياس اتساع موجات الزلزال. إذا كانت (A_1 ) هي السعة المقاسة للزلزال الأول و (A_2 ) هي السعة المقاسة للزلزال الثاني ، فإن اتساع ومقدار الزلزالين تفي بالمعادلة التالية:

(R_1 − R_2 = log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) ).

ولنتأمل هنا هزة ارضية بقوة ٨ درجات على مقياس ريختر وزلزال بقوة ٧ درجات على مقياس ريختر. ثم،

(8−7 = log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) ).

لذلك،

( log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) = 1 ) ،

مما يعني (A_1 / A_2 = 10 ) أو (A_1 = 10A_2 ). نظرًا لأن (A_1 ) حجم (A_2 ) 10 أضعاف حجم (A_2 ) ، فإننا نقول إن الزلزال الأول أقوى بعشر مرات من الزلزال الثاني. من ناحية أخرى ، إذا كانت قوة الزلزال 8 على مقياس ريختر وقياس آخر 6 ، فإن الشدة النسبية للزلزالين ترضي المعادلة

( log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) = 8−6 = 2 ).

لذلك (A_1 = 100A_2 ) أي أن الزلزال الأول أقوى بمئة مرة من الزلزال الثاني.

كيف يمكننا استخدام الدوال اللوغاريتمية لمقارنة الشدة النسبية لزلزال بقوة 9 درجات في اليابان في عام 2011 مع زلزال بقوة 7.3 درجة في هايتي في عام 2010؟

حل

لمقارنة زلزال اليابان وهايتي ، يمكننا استخدام المعادلة المقدمة سابقًا:

(9−7.3 = log_ {10} left ( dfrac {A1} {A2} right) ).

لذلك ، (A_1 / A_2 = 10 ^ {1.7} ) ، واستنتجنا أن الزلزال في اليابان كان أقوى بنحو 50 مرة من زلزال هايتي.

تمرين ( PageIndex {7} )

قارن الشدة النسبية لقوة (8.4 ) زلزال مع قوته (7.4 ) زلزال.

تلميح

(R_1 − R_2 = log_ {10} (A1 / A2) ).

إجابه

تبلغ شدة الزلزال (8.4 ) تقريبًا (10 ​​) أضعاف شدة الزلزال (7.4 ).

وظائف الزائدية

يتم تعريف الوظائف الزائدية من حيث توليفات معينة من (e ^ x ) و (e ^ {- x} ). تنشأ هذه الوظائف بشكل طبيعي في تطبيقات هندسية وفيزيائية مختلفة ، بما في ذلك دراسة موجات الماء واهتزازات الأغشية المرنة. الاستخدام الشائع الآخر لوظيفة القطع الزائد هو تمثيل سلسلة معلقة أو كبل ، يُعرف أيضًا باسم a سلسال (الشكل ( PageIndex {7} )). إذا قدمنا ​​نظام إحداثيات بحيث تقع النقطة المنخفضة من السلسلة على طول المحور (y ) - ، يمكننا وصف ارتفاع السلسلة من حيث الدالة القطعية. أولاً ، نحدد الدوال الزائدية.

التعاريف: الدوال الزائدية

جيب التمام الزائدي

( cosh x = dfrac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} )

الجيب الزائدي

( sinh x = dfrac {e ^ x − e ^ {- x}} {2} )

ظل زائدي

( tanh x = dfrac { sinh x} { cosh x} = dfrac {e ^ x − e ^ {- x}} {e ^ x + e ^ {- x}} )

قاطع التمام الزائدي

( operatorname {csch} x = dfrac {1} { sinh x} = dfrac {2} {e ^ x − e ^ {- x}} )

قاطع زائدي

( operatorname {sech} x = dfrac {1} { cosh x} = dfrac {2} {e ^ x + e ^ {- x}} )

ظل التمام الزائدي

( coth x = dfrac { cosh x} { sinh x} = dfrac {e ^ x + e ^ {- x}} {e ^ x − e ^ {- x}} )

الاسم ( cosh ) يتناغم مع "يا إلهي" ، بينما يُنطق الاسم ( sinh ) "سينش". يتم نطق ( operatorname {Tanh} و و operatorname {sech} و و operatorname {csch} و ) و ( coth ) "tanch" و "seech" و "coseech" و "cotanch ،" على التوالى.

باستخدام تعريف ( cosh (x) ) ومبادئ الفيزياء ، يمكن توضيح أن ارتفاع السلسلة المعلقة ، مثل ذلك الموجود في الشكل ( PageIndex {8} ) ، يمكن وصفه بواسطة الوظيفة (h (x) = operatorname {arccosh} (x / a) + c ) لبعض الثوابت (a ) و (c ).

لكن لماذا تسمى هذه الوظائف بالوظائف الزائدية؟ للإجابة على هذا السؤال ، ضع في الاعتبار الكمية ( cosh ^ 2 t - sinh ^ 2 t ). باستخدام تعريف ( cosh ) و ( sinh ) ، نرى ذلك

[ cosh ^ 2 t - sinh ^ 2 t = dfrac {e ^ {2t} + 2 + e ^ {- 2t}} {4} - dfrac {e ^ {2t} −2 + e ^ { −2t}} {4} = 1. ]

هذه الهوية هي التناظرية للمتطابقة المثلثية ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ). هنا ، بالنظر إلى القيمة (t ) ، فإن النقطة ((x، y) = ( cosh t، ، sinh t) ) تقع على القطع الزائد للوحدة (x ^ 2 − y ^ 2 = 1 ) (الشكل ( PageIndex {8} )).

الرسوم البيانية للدوال القطعية

لرسم بياني ( cosh x ) و ( sinh x ) ، نستفيد من حقيقة أن كلا الوظيفتين تقترب من ((1/2) e ^ x ) كـ (x → ∞ ) ، منذ ذلك الحين (e ^ {- x} → 0 ) كـ (x → ∞ ). حيث تقترب (x → −∞، cosh x ) من (1 / 2e ^ {- x} ) بينما تقترب ( sinh x ) من (- 1 / 2e ^ {- x} ). لذلك ، باستخدام الرسوم البيانية (1 / 2e ^ x ، 1 / ​​2e ^ {- x} ) ، و (- 1 / 2e ^ {- x} ) كدليل ، نقوم بالرسم البياني ( cosh x ) ) و ( sinh x ). لرسم بياني ( tanh x ) ، نستخدم حقيقة أن ( tanh (0) = 1 ) ، (- 1 < tanh (x) <1 ) للجميع (x ) ، ( tanh x → 1 ) كـ (x → ∞ ) و ( tanh x → −1 ) كـ (x → −∞ ). يمكن رسم الرسوم البيانية للوظائف الزائدية الثلاث الأخرى باستخدام الرسوم البيانية لـ ( cosh x ) و ( sinh x ) و ( tanh x ) (الشكل ( PageIndex {9} ) ).

الهويات التي تنطوي على وظائف القطعي

الهوية ( cosh ^ 2 t− sinh ^ 2 t = 1 ) ، الموضحة في الشكل ( PageIndex {8} ) ، هي واحدة من العديد من الهويات التي تتضمن الدوال الزائدية ، وبعضها مذكور بعد ذلك. تتبع الخصائص الأربع الأولى بسهولة من تعريف الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي. باستثناء بعض الاختلافات في العلامات ، فإن معظم هذه الخصائص مماثلة لهويات الدوال المثلثية.

الهويات التي تنطوي على وظائف القطعي

  1. ( كوش (−x) = كوش س )
  2. ( sinh (−x) = - sinh x )
  3. ( كوش س + سينه س = ه ^ س )
  4. ( cosh x− sinh x = e ^ {- x} )
  5. ( كوش ^ 2 س− سينه ^ 2 س = 1 )
  6. (1− tanh ^ 2 x = اسم التشغيل {sech} ^ 2 x )
  7. ( coth ^ 2 x −1 = operatorname {csch} ^ 2 x )
  8. ( sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y )
  9. ( cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y )

مثال ( PageIndex {8} ): تقييم الدوال الزائدية

  1. بسّط ( sinh (5 ln x) ).
  2. إذا كان ( sinh x = 3/4 ) ، حدد قيم الدوال الخمس الزائدية المتبقية.

حل:

أ. باستخدام تعريف الدالة ( sinh ) ، نكتب

( sinh (5 ln x) = dfrac {e ^ {5 ln x} −e ^ {- 5 ln x}} {2} = dfrac {e ^ { ln (x ^ 5) } −e ^ { ln (x ^ {- 5})}} {2} = dfrac {x ^ 5 − x ^ {- 5}} {2}. )

ب. باستخدام الهوية ( cosh ^ 2 x - sinh ^ 2 x = 1 ) ، نرى ذلك

( cosh ^ 2 x = 1 + left ( frac {3} {4} right) ^ 2 = dfrac {25} {16}. )

منذ ( cosh x≥1 ) للجميع (x ) ، يجب أن يكون لدينا ( cosh x = 5/4 ). بعد ذلك ، باستخدام تعريفات الدوال الزائدية الأخرى ، نستنتج أن ( tanh x = 3/5، operatorname {csch} x = 4/3، operatorname {sech} x = 4/5 )، و ( coth x = 5/3 ).

تمرين ( PageIndex {8} )

بسّط ( cosh (2 ln x) ).

تلميح

استخدم تعريف الدالة ( cosh ) وخاصية الطاقة لوظائف اللوغاريتم.

إجابه

((س ^ 2 + س ^ {- 2}) / 2 )

الدوال القطعية المعكوسة

من الرسوم البيانية للوظائف الزائدية ، نرى أن جميعها واحد لواحد باستثناء ( cosh x ) و ( operatorname {sech} x ). إذا قصرنا مجالات هاتين الوظيفتين على الفاصل ([0 ، ∞) ، ) ، فإن جميع الوظائف الزائدية هي واحد لواحد ، ويمكننا تحديد الدوال الزائدية المعكوسة. نظرًا لأن الدوال الزائدية نفسها تتضمن وظائف أسية ، فإن الدوال الزائدية المعكوسة تتضمن وظائف لوغاريتمية.

التعاريف: الدوال القطعية المعكوسة

[ begin {align *} & sinh ^ {- 1} x = operatorname {arcsinh} x = ln left (x + sqrt {x ^ 2 + 1} right) & & cosh ^ {- 1} x = operatorname {arccosh} x = ln left (x + sqrt {x ^ 2−1} right) [4pt]
& tanh ^ {- 1} x = operatorname {arctanh} x = dfrac {1} {2} ln left ( dfrac {1 + x} {1 − x} right) & & coth ^ {−1} x = operatorname {arccot} x = frac {1} {2} ln left ( dfrac {x + 1} {x − 1} right) [4pt]
& operatorname {sech} ^ {- 1} x = operatorname {arcsech} x = ln left ( dfrac {1+ sqrt {1 − x ^ 2}} {x} right) & & operatorname {csch} ^ {- 1} x = operatorname {arccsch} x = ln left ( dfrac {1} {x} + dfrac { sqrt {1 + x ^ 2}} {| x |} يمين) نهاية {محاذاة *} ]

دعونا نلقي نظرة على كيفية اشتقاق المعادلة الأولى. يتبع الآخرون بالمثل. افترض (y = sinh ^ {- 1} x ). ثم ، (x = sinh y ) ومن خلال تعريف دالة الجيب الزائدية ، (x = dfrac {e ^ y − e ^ {- y}} {2} ). لذلك،

(e ^ y − 2x − e ^ {- y} = 0. )

بضرب هذه المعادلة في (e ^ y ) نحصل عليها

(e ^ {2y} −2xe ^ y − 1 = 0 ).

يمكن حل هذا مثل المعادلة التربيعية ، مع الحل

(e ^ y = dfrac {2x ± sqrt {4x ^ 2 + 4}} {2} = x ± sqrt {x ^ 2 + 1} ).

بما أن (e ^ y> 0 ) ، فإن الحل الوحيد هو الحل ذو العلامة الإيجابية. بتطبيق اللوغاريتم الطبيعي على طرفي المعادلة ، نستنتج ذلك

(y = ln (x + sqrt {x ^ 2 + 1}). )

مثال ( PageIndex {9} ): إيجاد قيمة الدوال الزائدية المعكوسة

قيم كل من التعبيرات التالية.

( sinh ^ {- 1} (2) )

( tanh ^ {- 1} (1/4) )

حل:

[ sinh ^ {- 1} (2) = ln (2+ sqrt {2 ^ 2 + 1}) = ln (2+ sqrt {5}) ≈1.4436 nonumber ]

[ tanh ^ {- 1} (1/4) = frac {1} {2} ln left ( dfrac {1 + 1/4} {1−1 / 4} right) = frac {1} {2} ln left ( dfrac {5/4} {3/4} right) = frac {1} {2} ln left ( dfrac {5} {3} right ) ≈0.2554 غير رقم ]

تمرين ( PageIndex {9} )

قم بتقييم ( tanh ^ {- 1} (1/2) ).

تلميح

استخدم تعريف ( tanh ^ {- 1} x ) وقم بالتبسيط.

إجابه

( dfrac {1} {2} ln (3) ≈0.5493 ​​).

المفاهيم الرئيسية

  • تتزايد الدالة الأسية (y = b ^ x ) إذا (b> 1 ) وتتناقص إذا (0
  • الدالة اللوغاريتمية (y = log_b (x) ) هي معكوس (y = b ^ x ). مجالها هو ((0، ∞) ) ومداها ((- ∞، ∞). )
  • الدالة الأسية الطبيعية هي (y = e ^ x ) والدالة اللوغاريتمية الطبيعية هي (y = ln x = log_ex. )
  • بالنظر إلى دالة أسية أو دالة لوغاريتمية في القاعدة (أ ) ، يمكننا إجراء تغيير في القاعدة لتحويل هذه الوظيفة إلى أي قاعدة (ب> 0 ) ، (ب ≠ 1. ) نقوم عادةً بالتحويل إلى قاعدة (ه ).
  • تتضمن الدوال الزائدية مجموعات من الدوال الأسية (e ^ x ) و (e ^ {- x}. ) نتيجة لذلك ، تتضمن الدوال الزائدية العكسية اللوغاريتم الطبيعي.

قائمة المصطلحات

قاعدة
الرقم (ب ) في الدالة الأسية (f (x) = b ^ x ) والدالة اللوغاريتمية (f (x) = log_bx )
الأس
القيمة (س ) في التعبير (ب ^ س )
الدوال الزائدية
تشير الدالات إلى ( sinh ، ، cosh ، ، اسم التشغيل {tanh} ، ، اسم التشغيل {csch} ، ، اسم التشغيل {sech} ، ) و ( coth ) ، والتي تتضمن بعض مجموعات من (e ^ x ) و (e ^ {- x} )
الدوال الزائدية المعكوسة
انعكاسات الدوال الزائدية حيث ( cosh ) و ( اسم التشغيل {sech} ) مقتصرة على المجال ([0 ، ∞) ) ؛ يمكن التعبير عن كل من هذه الوظائف من حيث التكوين للدالة اللوغاريتمية الطبيعية والدالة الجبرية
دالة أسية طبيعية
الوظيفة (f (x) = e ^ x )
اللوغاريتم الطبيعي
الوظيفة ( ln x = log_ex )
عدد ه
نظرًا لأن (م ) يصبح أكبر ، فإن الكمية ((1+ (1 / م) ^ م ) تقترب من بعض الأرقام الحقيقية ؛ نحدد هذا الرقم الحقيقي ليكون (هـ ؛ ) قيمة ( هـ) تقريبًا (2.718282 )

5.6 التكاملات التي تتضمن الدوال الأسية واللوغاريتمية

تُستخدم الدوال الأسية واللوغاريتمية لنمذجة النمو السكاني ، ونمو الخلايا ، والنمو المالي ، بالإضافة إلى الاستهلاك ، والانحلال الإشعاعي ، واستهلاك الموارد ، على سبيل المثال لا الحصر من التطبيقات. في هذا القسم ، نستكشف التكامل الذي يتضمن الدوال الأسية واللوغاريتمية.

تكاملات الدوال الأسية

ربما تكون الوظيفة الأسية هي الوظيفة الأكثر كفاءة من حيث عمليات حساب التفاضل والتكامل. الدالة الأسية ، y = e x ، y = e x ، هي مشتقها الخاص وتكاملها.

القاعدة: تكاملات الدوال الأسية

يمكن دمج الوظائف الأسية باستخدام الصيغ التالية.

مثال 5.37

إيجاد المشتق العكسي للدالة الأسية

أوجد المشتقة العكسية للدالة الأسية هx .

المحلول

أوجد المشتقة العكسية للدالة باستخدام التعويض: x 2 e −2 x 3. × 2 هـ −2 × 3.

خطأ شائع عند التعامل مع التعبيرات الأسية هو معاملة الأس على ه بنفس الطريقة التي نتعامل بها مع الأسس في تعبيرات كثيرة الحدود. لا يمكننا استخدام قاعدة القوة للأس على ه. قد يكون هذا محيرًا بشكل خاص عندما يكون لدينا كل من الأسي ومتعدد الحدود في نفس التعبير ، كما في نقطة التحقق السابقة. في هذه الحالات ، يجب أن نتحقق جيدًا دائمًا للتأكد من أننا نستخدم القواعد الصحيحة للوظائف التي ندمجها.

مثال 5.38

الجذر التربيعي لوظيفة أسية

أوجد المشتق العكسي للدالة الأسية e x 1 + e x. ه × 1 + ه س.

المحلول

أعد كتابة المسألة أولاً باستخدام الأس الكسري:

أوجد المشتق العكسي لـ e x (3 e x - 2) 2. ه س (3 هـ س - 2) 2.

مثال 5.39

استخدام التعويض بالدالة الأسية

استخدم التعويض لإيجاد التكامل غير المحدد ∫ 3 x 2 e 2 x 3 d x. ∫ 3 × 2 هـ 2 × 3 د ×.

المحلول

ادمج التعبير في ش ثم استبدل التعبير الأصلي بـ x العودة إلى ش متكامل:

احسب التكامل غير المحدد ∫ 2 x 3 e x 4 d x. ∫ 2 × 3 هـ × 4 د ×.

كما ذكرنا في بداية هذا القسم ، تُستخدم الدوال الأسية في العديد من تطبيقات الحياة الواقعية. الرقم ه غالبًا ما يرتبط بالنمو المركب أو المتسارع ، كما رأينا في الأقسام السابقة حول المشتق. على الرغم من أن المشتق يمثل معدل التغيير أو معدل النمو ، فإن التكامل يمثل التغيير الكلي أو إجمالي النمو. لنلقِ نظرة على مثال يحل فيه تكامل الوظيفة الأسية تطبيقًا تجاريًا شائعًا.

تخبرنا دالة السعر والطلب بالعلاقة بين كمية المنتج المطلوب وسعر المنتج. بشكل عام ، ينخفض ​​السعر مع زيادة الكمية المطلوبة. إن دالة السعر والطلب الهامشية هي مشتق من دالة السعر والطلب وهي تخبرنا عن مدى سرعة تغير السعر عند مستوى معين من الإنتاج. تُستخدم هذه الوظائف في الأعمال التجارية لتحديد مرونة الطلب السعرية ، ولمساعدة الشركات على تحديد ما إذا كان تغيير مستويات الإنتاج سيكون مربحًا أم لا.

مثال 5.40

إيجاد معادلة السعر والطلب

ابحث عن معادلة السعر والطلب لعلامة تجارية معينة من معجون الأسنان في سلسلة سوبر ماركت عندما يكون الطلب 50 أنبوبًا في الأسبوع بسعر 2.35 دولارًا لكل أنبوب ، بالنظر إلى أن السعر الهامشي - دالة الطلب ، p ′ (x) ، p (x) ، إلى عن على x عدد الأنابيب في الأسبوع

إذا كانت سلسلة المتاجر الكبرى تبيع 100 أنبوب في الأسبوع ، فما السعر الذي يجب أن تحدده؟

المحلول

لإيجاد معادلة السعر والطلب ، قم بتكامل دالة السعر والطلب الهامشية. ابحث أولاً عن المشتق العكسي ، ثم انظر إلى التفاصيل. هكذا،

الخطوة التالية هي إيجاد حل ج. نعلم أنه عندما يكون السعر 2.35 دولارًا لكل أنبوب ، يكون الطلب 50 أنبوبًا في الأسبوع. هذا يعنى

إذا كان السوبر ماركت يبيع 100 أنبوب من معجون الأسنان في الأسبوع ، فسيكون السعر كذلك

يجب أن يتقاضى السوبر ماركت 1.99 دولارًا لكل أنبوب إذا كان يبيع 100 أنبوب في الأسبوع.


وظائف أسية

تنشأ الدوال الأسية في العديد من التطبيقات. أحد الأمثلة الشائعة هو النمو السكاني.

على سبيل المثال ، إذا كان عدد السكان يبدأ بـ الأفراد ثم ينمو بمعدل سنوي ، عدد سكانها بعد سنة واحدة

.

عدد سكانها بعد سنتين

.

بشكل عام ، سكانها بعد سنوات

,

وهي دالة أسية. بشكل أعم ، أي دالة للنموذج ، أين ، هي دالة أسية مع قاعدة و الأس . للدوال الأسية قواعد ثابتة وأسس متغيرة. لاحظ أن دالة للنموذج لبعض الثوابت ليست وظيفة أسية ولكنها دالة طاقة.

لمعرفة الفرق بين الدالة الأسية ودالة الطاقة ، نقوم بمقارنة الوظائف و . في (الشكل) ، نرى أن كليهما و نهج اللانهاية . في النهاية ، ومع ذلك ، يصبح أكبر من وتنمو بسرعة أكبر . في الاتجاه المعاكس ، كما ، بينما . الخط هو خط مقارب أفقي لـ .

قيم و
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
9 4 1 0 1 4 9 16 25 36
1 2 4 8 16 32 64

في (الشكل) ، رسمنا كلاهما و لتوضيح كيف تختلف الرسوم البيانية.

شكل 1. كلاهما و نهج اللانهاية ، لكن ينمو بسرعة أكبر من . كما ، بينما .

حساب التفاضل للدالة الأسية

حساب التفاضل للدالة الأسية واضح تمامًا. ومع ذلك ، قبل الخوض في جانب حساب التفاضل والتكامل ، يجب إدخال رقم جديد. القاعدة الطبيعية هي رقم غير نسبي يساوي تقريبًا. هذا الرقم هو الأساس الأكثر أهمية والأكثر استخدامًا في الرياضيات. إن سبب أهمية هذا الرقم بشكل لا يصدق واضح في الصيغ أدناه.

لذلك ، لتوضيح أهمية أخذنا في الاعتبار مشتق.

هذه الوظيفة لها خاصية رائعة وهي أن مشتقها يساوي نفسه! هذا هو السبب في أهمية ذلك والسبب في أن معظم حسابات التفاضل والتكامل التي تتضمن الدوال الأسية والوظائف اللوغاريتمية سيتم إجراؤها في القاعدة. الآن ، لتعميم القاعدة المذكورة أعلاه ، لدينا ذلك ،

سنقوم بدراسة عملية التمايز بين الوظائف ذات القواعد بخلاف ما ورد في فصل لاحق.

سنقوم الآن بدراسة بعض الأمثلة لتوضيح عملية إيجاد المشتقات. لاحظ أن جميع قواعد التمايز السابقة (قاعدة المنتج ، قاعدة حاصل القسمة ، قاعدة السلسلة) تنطبق جميعها.

مثال 4

قم بتمييز الوظائف التالية فيما يتعلق بـ.

الحل 4

د) . بالطبع كان بإمكانك التفكير في قاعدة المنتج وتطبيقها على هذه الوظيفة.

لا تزال عملية العثور على الظلال والعيون والحد الأدنى والحد الأقصى ونقاط الانعطاف سارية كما كانت من قبل. يجب أن تكون قادرًا على استخدام المشتق بشكل فعال للحصول على النتائج المطلوبة خلال الأسئلة. ضع في اعتبارك الأمثلة التالية التي توضح استخدام المشتق.

مثال 5

أوجد المماس عند ، على المنحنى.

الحل 5

إذن ، لإيجاد المماس ، نقوم ببساطة بالاشتقاق بالنسبة لإيجاد التدرج عند ، ثم نستخدم صيغة النقطة لإيجاد المعادلة o المماس.

باستخدام صيغة النقطة ،

ومن ثم لدينا أن معادلة المماس هي ،

مثال 6

أوجد النقاط الثابتة للمنحنى

الحل 6

التفريق فيما يتعلق بالعطاء ،

الآن ، الضبط على الصفر وحل المعادلة الناتجة يعطي ،

ومن ثم لدينا أن هناك نقطة ثابتة عند. الآن التفريق فيما يتعلق بالعودة يعطي ،


1.5 الدوال الأسية واللوغاريتمية

في هذا القسم ندرس الدوال الأسية واللوغاريتمية. نستخدم خصائص هذه الدوال لحل المعادلات التي تتضمن مصطلحات أسية أو لوغاريتمية ، وندرس معنى وأهمية الرقم e. ه. نحدد أيضًا الدوال الزائدية والعكسية الزائدية ، والتي تتضمن مجموعات من الدوال الأسية واللوغاريتمية. (لاحظ أننا نقدم تعريفات بديلة للوظائف الأسية واللوغاريتمية في الفصل تطبيقات التكاملات ، ونثبت أن الوظائف لها نفس الخصائص مع أي من التعريفين.)

وظائف أسية

تنشأ الدوال الأسية في العديد من التطبيقات. أحد الأمثلة الشائعة هو النمو السكاني.

عدد سكانها بعد سنتين

بشكل عام ، عدد سكانها بعد t سنة هو

تقييم الدوال الأسية

مثال 1.33

نمو البكتيريا

المحلول

نقطة تفتيش 1.27

بالنظر إلى الدالة الأسية f (x) = 100 · 3 x / 2 ، f (x) = 100 · 3 x / 2 ، أوجد قيمة f (4) f (4) و f (10). و (10).

وسائل الإعلام

انتقل إلى التوازن السكاني العالمي للحصول على مثال آخر للنمو السكاني المتسارع.

وظائف الرسوم البيانية الأسية

وسائل الإعلام

قم بزيارة هذا الموقع لمزيد من استكشاف الرسوم البيانية للوظائف الأسية.

لاحظ أن الدوال الأسية تتوافق مع القوانين العامة للأسس. لتذكيرك بهذه القوانين ، نذكرها كقواعد.

القاعدة: قوانين الدعاة

مثال 1.34

استخدام قوانين الدعاة

استخدم قوانين الأسس لتبسيط كل من التعبيرات التالية.

المحلول

نقطة تفتيش 1.28

استخدم قوانين الأسس لتبسيط (6 x −3 y 2) / (12 x −4 y 5). (6 × −3 ص 2) / (12 × −4 ص 5).

الرقم ه

يظهر نوع خاص من الوظائف الأسية بشكل متكرر في تطبيقات العالم الحقيقي. لوصفها ، ضع في اعتبارك المثال التالي للنمو الأسي ، الذي ينشأ من تراكم الفائدة في حساب التوفير. لنفترض أن شخصًا ما يستثمر P P دولار في حساب توفير بمعدل فائدة سنوي r ، r ، مركب سنويًا. مبلغ المال بعد سنة واحدة

مبلغ المال بعد عامين 2 هو

بشكل عام ، المبلغ بعد t سنة هو

إذا تم تجميع المال مرتين في السنة ، فإن مبلغ المال بعد نصف عام يكون

مبلغ المال بعد 1 سنة هو

مثال 1.35

فائدة مركبة

المحلول

الدالات اللوغاريتمية

باستخدام فهمنا للدوال الأسية ، يمكننا مناقشة مقلوبها ، وهي الدوال اللوغاريتمية. تكون هذه مفيدة عندما نحتاج إلى النظر في أي ظاهرة تختلف على نطاق واسع من القيم ، مثل الأس الهيدروجيني في الكيمياء أو الديسيبل في مستويات الصوت.

والرسوم البيانية الخاصة بهم متماثلة حول الخط y = x y = x (الشكل 1.46).

وسائل الإعلام

في هذا الموقع ، يمكنك رؤية مثال على مقياس لوغاريتمي ذو أساس 10.

قبل حل بعض المعادلات التي تتضمن الدوال الأسية واللوغاريتمية ، دعنا نراجع الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

القاعدة: خصائص اللوغاريتمات

مثال 1.36

حل المعادلات التي تنطوي على الدوال الأسية

حل كل من المعادلات التالية من أجل x. x.

المحلول

حل e 2 x / (3 + e 2 x) = 1/2. ه 2 س / (3 + ه 2 س) = 1/2.

مثال 1.37

حل المعادلات التي تتضمن الدوال اللوغاريتمية

حل كل من المعادلات التالية من أجل x. x.

المحلول

حل ln (x 3) - 4 ln (x) = 1. ln (x 3) - 4 ln (x) = 1.

القاعدة: تغيير الصيغ الأساسية

دليل

بالنسبة إلى الصيغة الأولى لتغيير القاعدة ، نبدأ باستخدام خاصية القوة للدوال اللوغاريتمية. نحن نعلم أنه لأي أساس b & gt 0 ، b ≠ 1 ، log b (a x) = x log b a. b & gt 0، b ≠ 1، log b (a x) = x log b a. لذلك،

بدمج هاتين المعادلتين الأخيرتين ، نستنتج أن a x = b x log b a. أ س = ب س سجل ب أ.

لإثبات الخاصية الثانية ، نظهر ذلك

مثال 1.38

تغيير القواعد

المحلول

استخدم المعادلة الثانية مع a = 3 a = 3 و e = 3: e = 3:

السجل 3 7 = ln 7 ln 3 ≈ 1.77124. السجل 3 7 = ln 7 ln 3 ≈ 1.77124.

نقطة تفتيش 1.32

استخدم معادلة تغيير الأساس وأداة حسابية لتقييم السجل 4 6. سجل 4 6.

مثال 1.39

افتتاحية الفصل: مقياس ريختر للزلازل

ولنتأمل هنا هزة ارضية بقوة ٨ درجات على مقياس ريختر وزلزال بقوة ٧ درجات على مقياس ريختر. ثم،

كيف يمكننا استخدام الدوال اللوغاريتمية لمقارنة الشدة النسبية للزلزال الذي بلغت قوته 9 درجات في اليابان في عام 2011 مع زلزال بقوة 7.3 درجة في هايتي في عام 2010؟

المحلول

لمقارنة زلزال اليابان وهايتي ، يمكننا استخدام المعادلة المقدمة سابقًا:

نقطة تفتيش 1.33

قارن الشدة النسبية لزلزال بقوة 8.4 8.4 درجة مع زلزال بقوة 7.4 7.4.

وظائف الزائدية

تعريف

جيب التمام الزائدي

الجيب الزائدي

ظل زائدي

قاطع التمام الزائدي

قاطع زائدي

ظل التمام الزائدي

الاسم ضرب بالعصا القوافي مع "يا إلهي" ، في حين أن الاسم سينه يُنطق "سينش". تانه, ثانية, csch، و كوث تُنطق "tanch" و "seech" و "coseech" و "cotanch" على التوالي.

ولكن لماذا تسمى هذه الوظائف الدوال الزائدية؟ للإجابة على هذا السؤال ، ضع في اعتبارك الكمية cosh 2 t - sinh 2 t. كوش 2 ر - سينه 2 ر. باستخدام تعريف كوش كوش وسينه ، سنه ، نرى ذلك

الرسوم البيانية للدوال القطعية

الهويات التي تنطوي على وظائف القطعي

الهوية cosh 2 t - sinh 2 t، cosh 2 t - sinh 2 t ، الموضحة في الشكل 1.50 ، هي واحدة من عدة متطابقات تتضمن الدوال الزائدية ، وبعضها مذكور بعد ذلك. تتبع الخصائص الأربع الأولى بسهولة من تعريف الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي. باستثناء بعض الاختلافات في العلامات ، فإن معظم هذه الخصائص مماثلة لهويات الدوال المثلثية.

القاعدة: المتطابقات التي تنطوي على وظائف القطعي

مثال 1.40

تقييم الوظائف القطعية

المحلول

نقطة تفتيش 1.34

الدوال القطعية المعكوسة

تعريف

الدوال القطعية المعكوسة

بضرب هذه المعادلة في e y ، e y ، نحصل على

يمكن حل هذا مثل المعادلة التربيعية ، مع الحل

مثال 1.41

إيجاد قيمة الدوال القطعية المعكوسة

قيم كل من التعبيرات التالية.

المحلول

sinh −1 (2) = ln (2 + 2 2 + 1) = ln (2 + 5) ≈ 1.4436 sinh −1 (2) = ln (2 + 2 + 1) = ln (2 + 5) ≈ 1.4436

tanh −1 (1/4) = 1 2 ln (1 + 1/4 1 - 1/4) = 1 2 ln (5/4 3/4) = 1 2 ln (5 3) ≈ 0.2554 tanh −1 ( 1/4) = 1 2 ln (1 + 1/4 1 - 1/4) = 1 2 ln (5/4 3/4) = 1 2 ln (5 3) ≈ 0.2554

نقطة تفتيش 1.35

تمارين البند 1.5

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم الوظائف الأسية المحددة كما هو محدد ، ودقيقة حتى رقمين مهمين بعد العلامة العشرية.

للتمارين التالية ، قم بمطابقة المعادلة الأسية بالرسم البياني الصحيح.

للتمارين التالية ، قم برسم الرسم البياني للدالة الأسية. حدد المجال والمدى والخط المقارب الأفقي.

للتمارين التالية ، اكتب المعادلة في شكل أسي مكافئ.

للتمارين التالية ، اكتب المعادلة في شكل لوغاريتمي مكافئ.

للتمارين التالية ، قم برسم الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية. حدد المجال والنطاق والخط المقارب العمودي.

للتدريبات التالية ، استخدم خصائص اللوغاريتمات لكتابة التعبيرات كمجموع و / أو فرق و / أو منتج من اللوغاريتمات.

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بحل المعادلة الأسية تمامًا.

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بحل المعادلة اللوغاريتمية تمامًا ، إن أمكن.

تسجيل 4 (س + 2) - تسجيل 4 (س - 1) = 0 سجل 4 (س + 2) - تسجيل 4 (س - 1) = 0

للتمارين التالية ، استخدم معادلة تغيير القاعدة وإما الأساس 10 أو الأساس ه لتقييم التعبيرات المعطاة. أجب بشكل دقيق وصيغة تقريبية ، مع التقريب لأقرب أربع منازل عشرية.

أعد كتابة التعبيرات التالية بدلالة الأسي وبسّطها.

[T] عدد البكتيريا ن في ثقافة بعد ر يمكن نمذجة الأيام من خلال الوظيفة N (t) = 1300 · (2) t / 4. N (t) = 1300 · (2) t / 4. أوجد عدد البكتيريا الموجودة بعد 15 يومًا.

[T] المبلغ أ من استثمار بقيمة 100،000 دولار أمريكي يتم دفعه بشكل مستمر ومركب مقابل ر يتم الحصول على السنوات من خلال A (t) = 100،000 · e 0.055 t. أ (ر) = 100.000 · هـ 0.055 طن. أوجد المبلغ أ تراكمت في 5 سنوات.

  1. أوجد الرقم الهيدروجيني للمواد التالية. تقريب الإجابات إلى رقم واحد.
  2. حدد ما إذا كانت المادة حمضية أم قاعدة.
    1. البيض: [H +] = 1.6 × 10 8 [H +] = 1.6 × 10 −8 مول / لتر
    2. البيرة: [H +] = 3.16 × 10 3 [H +] = 3.16 × 10 −3 مول / لتر
    3. عصير الطماطم: [H +] = 7.94 × 10 −5 [H +] = 7.94 × 10 −5 مول / لتر
    1. بناءً على هذا النموذج ، كم سيكون عدد سكان الولايات المتحدة في عام 2020؟
    2. حدد متى سيكون عدد سكان الولايات المتحدة ضعف ما كان عليه في عام 2013.

    [T] المبلغ أ المتراكمة بعد استثمار 1000 دولار ر سنوات بمعدل فائدة 4٪ على غرار الدالة A (t) = 1000 (1.04) t. أ (ر) = 1000 (1.04) طن.

    1. أوجد المبلغ المتراكم بعد 5 سنوات و 10 سنوات.
    2. حدد المدة التي يستغرقها الاستثمار الأصلي ثلاث مرات.

    [T] من المعروف أن المستعمرة البكتيرية التي تنمو في المختبر تتضاعف في العدد خلال 12 ساعة. افترض ، في البداية ، وجود 1000 بكتيريا.

    [T] يتضاعف عدد الأرانب في محمية طرائد كل 6 أشهر. افترض أنه كان هناك 120 أرنبًا في البداية.

    [T] بلغت قوة زلزال عام 1906 في سان فرانسيسكو 8.3 درجة على مقياس ريختر. في الوقت نفسه ، في اليابان ، تسبب زلزال بقوة 4.9 درجة في أضرار طفيفة فقط. ما مقدار الطاقة التي أطلقها زلزال سان فرانسيسكو تقريبًا أكثر من الزلزال الياباني؟ انظر تعريف مقياس ريختر في الشكل 1.48 في هذا القسم.

    بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

    هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

      إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

    • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
      • المؤلفون: جيلبرت سترانج ، إدوين "جيد" هيرمان
      • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
      • عنوان الكتاب: Calculus Volume 1
      • تاريخ النشر: 30 مارس 2016
      • المكان: هيوستن ، تكساس
      • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction
      • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-5-exponential-and-logarithmic-functions

      © 7 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


      المفاهيم الرئيسية

      2. متى يحدث حل دخيل؟ كيف يمكن التعرف على حل دخيل؟

      3. متى يمكن استخدام خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات لحل معادلة؟ متى لا يمكن استخدامها؟

      للتمارين التالية ، استخدم مثل القواعد لحل المعادلة الأسية.

      للتمارين التالية ، استخدم اللوغاريتمات لحلها.

      للتمارين التالية ، استخدم تعريف اللوغاريتم لإعادة كتابة المعادلة كمعادلة أسية.

      للتمارين التالية ، استخدم تعريف اللوغاريتم لحل المعادلة.

      35. [اللاتكس] 10 - 4 mathrm يسار (9-8x يمين) = 6 [/ لاتكس]

      بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم خاصية اللوغاريتمات الفردية لحلها.

      36. [اللاتكس] mathrm يسار (10 - 3x يمين) = mathrm يسار (-4x يمين) [/ لاتكس]

      41. [اللاتكس] mathrm يسار (x - 2 يمين) - mathrm يسار (x يمين) = mathrm يسار (54 يمين) [/ لاتكس]

      بالنسبة للتمارين التالية ، حل كل معادلة لـ x.

      45. [اللاتكس] mathrm يسار (x يمين) + mathrm يسار (x - 3 يمين) = mathrm يسار (7x يمين) [/ لاتكس]

      47. [اللاتكس] mathrm يسار (7 يمين) + ماذرم يسار (2 - 4^ <2> right) = mathrm يسار (14 يمين) [/ لاتكس]

      49. [اللاتكس] mathrm يسار (3 يمين) - mathrm يسار (3 - 3x يمين) = mathrm يسار (4 يمين) [/ لاتكس]

      بالنسبة للتمارين التالية ، حل المعادلة لـ xإذا كان هناك حل. ثم ارسم كلا جانبي المعادلة بالرسم البياني ، ولاحظ نقطة التقاطع (إن وجدت) للتحقق من الحل.

      54. [اللاتكس] mathrm يسار (س - 5 يمين) = 1 [/ لاتكس]

      57. [اللاتكس] mathrm يسار (4x - 10 right) -6 = -5 [/ لاتكس]

      58. [اللاتكس] mathrm يسار (4 - 2x يمين) = mathrm يسار (-4x يمين) [/ لاتكس]

      63. [اللاتكس] فارك <3> << mathrm> _ <2> يسار (10 يمين)> - mathrm يسار (x - 9 يمين) = mathrm يسار (44 يمين) [/ لاتكس]

      بالنسبة للتمارين التالية ، قم بحل القيمة المشار إليها ، ورسم بيانيًا للموقف موضحًا نقطة الحل.

      65. يربح الحساب بإيداع أولي قدره 6500 دولار فائدة سنوية بنسبة 7.25٪ ، تتضاعف باستمرار. كم ستكون قيمة الحساب بعد 20 عاما؟

      66. معادلة قياس شدة الصوت بالديسيبل د يتم تعريفه بواسطة المعادلة [اللاتكس] D = 10 mathrm اليسار ( frac<_ <0>> right) [/ latex] ، أين أنا هي شدة الصوت بوحدات واط لكل متر مربع و [لاتكس]_ <0> = <10> ^ <-12> [/ latex] هو أدنى مستوى صوت يمكن أن يسمعه الشخص العادي. ما هو عدد الديسيبل المنبعث من طائرة نفاثة ذات شدة صوت تبلغ [لاتكس] 8.3 cdot <10> ^ <2> [/ latex] واط لكل متر مربع؟

      67. إن سكان بلدة صغيرة على غرار المعادلة [اللاتكس] P = 1650^ <0.5 طن> [/ لاتكس] أين ر يقاس بالسنوات. كم سنة تقريبًا سيصل عدد سكان المدينة إلى 20000؟

      للتدريبات التالية ، حل كل معادلة بإعادة كتابة التعبير الأسي باستخدام اللوغاريتم المشار إليه. ثم استخدم الآلة الحاسبة للتقريب x إلى 3 منازل عشرية.

      68. [لاتكس] 1000 <يسار (1.03 يمين)> ^= 5000 [/ لاتكس] باستخدام السجل المشترك.

      69- [اللاتكس]^ <5x> = 17 [/ لاتكس] باستخدام اللوغاريثم الطبيعي

      70. [لاتكس] 3 < left (1.04 right)> ^ <3t> = 8 [/ latex] باستخدام السجل العام

      71. [لاتكس] <3> ^ <4x - 5> = 38 [/ لاتكس] باستخدام السجل العام

      72- [اللاتكس] 50^ <- 0.12t> = 10 [/ latex] باستخدام اللوغاريثم الطبيعي

      للتمارين التالية ، استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلة. قرِّب جميع الإجابات لأقرب جزء من عشرة آلاف ، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

      75. [اللاتكس] mathrm يسار (-0.7x - 9 يمين) = 1 + 5 mathrm يسار (5 يمين) [/ لاتكس]

      76- الضغط الجوي ص بالجنيه لكل بوصة مربعة بالصيغة [اللاتكس] P = 14.7^ <- 0.21x> [/ لاتكس] ، أين x هو عدد الأميال فوق مستوى سطح البحر. إلى أقرب قدم ، ما هو ارتفاع قمة جبل بضغط جوي يبلغ 8.369 رطل لكل بوصة مربعة؟ (تلميح: هناك 5280 قدمًا في الميل)

      77. ضخامة م من الزلزال تمثله المعادلة [اللاتكس] M = frac <2> <3> mathrm اليسار ( frac<_ <0>> right) [/ latex] أين ه هي كمية الطاقة المنبعثة من الزلزال بالجول و [اللاتكس]_ <0> = <10> ^ <4.4> [/ latex] هو الحد الأدنى المعيّن للقياس الصادر عن الزلزال. لأقرب جزء من مائة ، ما مقدار الزلزال الذي يطلق [اللاتكس] 1.4 cdot <10> ^ <13> [/ اللاتكس] جول من الطاقة؟

      78. استخدم تعريف اللوغاريتم مع خاصية واحد لواحد للوغاريتمات لإثبات أن [اللاتكس]^ << mathrm>_x> = x [/ اللاتكس].

      79. تذكر صيغة الفائدة المركبة باستمرار ، [اللاتكس] y = A^[/ لاتكس]. استخدم تعريف اللوغاريتم مع خصائص اللوغاريتمات لحل معادلة الوقت ر مثل ذلك ر يساوي لوغاريتم واحد.

      80. تذكر صيغة الفائدة المركبة [اللاتكس] A = a < left (1+ frac يمين)> ^[/ لاتكس]. استخدم تعريف اللوغاريتم مع خصائص اللوغاريتمات لحل معادلة الوقت ر.

      81. قانون التبريد لنيوتن ينص على درجة الحرارة تي من كائن في أي وقت يمكن وصفه بالمعادلة [اللاتكس] T =_+ يسار (_<0>-_حق)^ <-kt> [/ لاتكس] ، حيث [لاتكس]_[/ اللاتكس] هي درجة حرارة البيئة المحيطة ، [اللاتكس]_ <0> [/ اللاتكس] هي درجة الحرارة الأولية للجسم ، و ك هو معدل التبريد. استخدم تعريف اللوغاريتم مع خصائص اللوغاريتمات لحل معادلة الوقت ر مثل ذلك ر يساوي لوغاريتم واحد.


      حل المعادلات اللوغاريتمية

      معادلة لوغاريتمية معادلة تتضمن لوغاريتمًا مع وسيطة متغيرة. هي معادلة تتضمن لوغاريتمًا مع وسيطة متغيرة. يمكن حل بعض المعادلات اللوغاريتمية باستخدام خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات. هذا صحيح عندما يمكن الحصول على لوغاريتم واحد له نفس القاعدة على كلا جانبي علامة التساوي.

      مثال 6

      حل: السجل 2 (2 × - 5) - السجل 2 (س - 2) = 0.

      يمكننا الحصول على لوغاريتمين متساويين للأساس 2 بإضافة log 2 (x - 2) إلى طرفي المعادلة.

      تسجيل 2 (2 س - 5) - تسجيل 2 (س - 2) = 0 سجل 2 (2 س - 5) = تسجيل 2 (س - 2)

      هنا الأسس هي نفسها ولذا يمكننا تطبيق خاصية رأس برأس وتعيين المتغيرات متساوية مع بعضها البعض.

      سجل 2 (2 س - 5) = سجل 2 (س - 2) 2 س - 5 = س - 2 س = 3

      التحقق من x = 3 في المعادلة الأصلية:

      تسجيل 2 (2 (3) - 5) = تسجيل 2 ((3) - 2) تسجيل 2 1 = تسجيل 2 1 0 = 0 ✓

      عند حل المعادلات اللوغاريتمية ، يكون الفحص مهمًا للغاية لأنه يمكن الحصول على حلول خارجية. تنطبق خصائص اللوغاريتم فقط على القيم في مجال اللوغاريتم المحدد. وعند العمل مع المتغيرات ، مثل log (x - 2) ، فإن قيمة x غير معروف حتى نهاية هذه العملية. يتم تعريف سجل التعبير اللوغاريتمي (x - 2) فقط للقيم x & gt 2.

      مثال 7

      حل: تسجيل (3 × - 4) = تسجيل (س - 2).

      قم بتطبيق خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات (اجعل الوسيطات متساوية مع بعضها البعض) ثم حلها من أجل x.

      تسجيل (3 س - 4) = تسجيل (س - 2) 3 س - 4 = س - 2 2 س = 2 س = 1

      عند إجراء الفحص ، نواجه لوغاريتمًا لرقم سالب:

      تسجيل الدخول (x - 2) = تسجيل الدخول (1-2) = تسجيل (- 1) U n d e f i n e d

      جرب هذا على الآلة الحاسبة ، ماذا تقول؟ هنا x = 1 ليس في مجال السجل (x - 2). لذلك فإن الحل الوحيد الممكن هو غريب ونستنتج أنه لا توجد حلول لهذه المعادلة.

      حذر: يؤدي حل المعادلات اللوغاريتمية أحيانًا إلى حلول غريبة - يجب علينا التحقق من إجاباتنا.

      جرب هذا! حل: ln (x 2-15) - ln (2 x) = 0.

      في كثير من الحالات لن نتمكن من الحصول على لوغاريتمين متساويين. لحل مثل هذه المعادلات ، نستخدم تعريف اللوغاريتم. إذا كانت b & gt 0 ، حيث b 1 ، فإن السجل b x = y يعني أن b y = x. ضع في اعتبارك المعادلات اللوغاريتمية الشائعة التالية (الأساس 10) ،

      سجل x = 0 ⇒ x = 1 B e c a u s e 10 0 = 1. سجل س = 0.5 ⇒ س =؟ سجل x = 1 ⇒ x = 10 B e c a u s e 10 1 = 10.

      يمكننا أن نرى أن حل log x = 0.5 سيكون في مكان ما بين 1 و 10. يتبع ذلك تفسير رسومي.

      لايجاد x يمكننا تطبيق التعريف على النحو التالي.

      يمكن تقريب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة ،

      ما توقعناه هو الإجابة بين 1 و 10. تحقق من هذا على الآلة الحاسبة.

      المثال 8

      تطبيق تعريف اللوغاريتم.

      سجل 3 (2 س - 5) = 2 2 س - 5 = 3 2

      حل المعادلة الناتجة.

      سجل 3 (2 (7) - 5) =؟ 2 سجل 3 (9) = 2

      من أجل تطبيق التعريف ، سنحتاج إلى إعادة كتابة التعبيرات اللوغاريتمية في شكل لوغاريتم واحد بمعامل 1 ، وقد تم توضيح الخطوات العامة لحل المعادلات اللوغاريتمية في المثال التالي.

      المثال 9

      حل: سجل 2 (س - 2) + سجل 2 (س - 3) = 1.

      الخطوة 1: اكتب جميع التعبيرات اللوغاريتمية في صورة لوغاريتم واحد بمعامل 1. في هذه الحالة ، طبق قاعدة حاصل الضرب على اللوغاريتمات.

      تسجيل 2 (س - 2) + تسجيل 2 (س - 3) = 1 سجل 2 [(س - 2) (س - 3)] = 1

      الخطوة 2: استخدم التعريف وأعد كتابة اللوغاريتم بالشكل الأسي.

      تسجيل 2 [(س - 2) (س - 3)] = 1 ⇒ (س - 2) (س - 3) = 2 1

      الخطوه 3: حل المعادلة الناتجة. هنا يمكننا حلها عن طريق التحليل إلى عوامل.

      (س - 2) (س - 3) = 2 × 2-5 × + 6 = 2 × 2-5 × + 4 = 0 (س - 4) (س - 1) = 0 × - 4 = 0 أو س - 1 = 0 س = 4 س = 1

      الخطوة الرابعة: التحقق من. هذه الخطوة مطلوبة.

      تسجيل 2 (س - 2) + تسجيل 2 (س - 3) = 1 سجل 2 (4-2) + تسجيل 2 (4-3) = 1 سجل 2 (2) + تسجيل 2 (1) = 1 1 + 0 = 1

      تسجيل 2 (س - 2) + تسجيل 2 (س - 3) = 1 سجل 2 (1 - 2) + تسجيل 2 (1 - 3) = 1 سجل 2 (- 1) + تسجيل 2 (- 2) = 1 ✗

      في هذا المثال ، x = 1 ليس في مجال التعبير اللوغاريتمي المحدد وهو غريب. الحل الوحيد هو x = 4.

      المثال 10

      حل: سجل (س + 15) - 1 = سجل (س + 6).

      ابدأ بكتابة جميع التعبيرات اللوغاريتمية من جهة والثوابت على الجانب الآخر.

      تسجيل (س + 15) - 1 = تسجيل (س + 6) تسجيل (س + 15) - تسجيل (س + 6) = 1

      طبق قاعدة خارج القسمة على اللوغاريتمات كوسيلة للحصول على لوغاريتم واحد بمعامل 1.

      تسجيل (س + 15) - تسجيل (س + 6) = 1 سجل (س + 15 س + 6) = 1

      هذا لوغاريتم شائع لذلك استخدم 10 كأساس عند تطبيق التعريف.

      س + 15 س + 6 = 10 1 س + 15 = 10 (س + 6) س + 15 = 10 س + 60-9 س = 45 س = - 5

      تسجيل الدخول (س + 15) - 1 = تسجيل (س + 6) تسجيل (- 5 + 15) - 1 = تسجيل (- 5 + 6) تسجيل 10-1 = سجل 1 1 - 1 = 0 0 = 0 ✓

      جرب هذا! حل: سجل 2 (س) + سجل 2 (س - 1) = 1.

      المثال 11

      أوجد المعكوس: f (x) = log 2 (3 x - 4).

      ابدأ باستبدال رمز الوظيفة f (x) بـ ذ.

      و (س) = سجل 2 (3 س - 4) ص = سجل 2 (3 س - 4)

      تبادل x و ذ ثم حلها ذ.

      س = سجل 2 (3 ص - 4) ⇒ 3 ص - 4 = 2 × 3 ص = 2 س + 4 ص = 2 س + 4 3

      الدالة الناتجة هي معكوس F. قدم الإجابة باستخدام تدوين الوظيفة.

      الجواب: f - 1 (x) = 2 x + 4 3

      الماخذ الرئيسية

      • إذا كان من الممكن التعبير عن كل جانب من المعادلة الأسية باستخدام نفس الأساس ، فقم بمساواة الأس وحل.
      • لحل معادلة أسية عامة ، اعزل أولاً التعبير الأسي ثم طبق اللوغاريتم المناسب لكلا الجانبين. هذا يسمح لنا باستخدام خصائص اللوغاريتمات لحل المتغير.
      • يسمح لنا تغيير الصيغة الأساسية باستخدام آلة حاسبة لحساب اللوغاريتمات. لوغاريتم رقم يساوي اللوغاريتم المشترك للرقم مقسومًا على اللوغاريتم المشترك للأساس المحدد.
      • إذا كان من الممكن عزل لوغاريتم واحد له نفس الأساس في كل جانب من المعادلة ، فقم بمساواة المتغيرات وحلها.
      • لحل معادلة لوغاريتمية عامة ، اعزل اللوغاريتم أولاً بالمعامل 1 ثم طبق التعريف. حل المعادلة الناتجة.
      • تنتج خطوات حل المعادلات اللوغاريتمية أحيانًا حلولًا غريبة. لذلك ، الشيك مطلوب.

      تمارين الموضوع

      الجزء أ: حل المعادلات الأسية

      حل باستخدام خاصية رأس برأس للدوال الأسية.


      الشك 4: لماذا لا يمكن أن تكون قاعدة اللوغاريتم سالبة ، تعني a & gt 0؟

      إيضاح: يوجد السبب التالي الذي يجعل أساس اللوغاريتم لا يمكن أن يكون سالبًا.

      سبب : بما أن a & gt 0 في الدالة الأسية f (x) = a x ، فإن وظيفتها العكسية تعني الوظيفة اللوغاريتمية f (x) = logألا يحتوي x على & lt 0. سجل الوظيفة اللوغاريتميأيتم تعريف x لـ & gt 0. لهذا السبب لم يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية للقاعدة السالبة .


      مقدمة في الدوال الأسية واللوغاريتمية

      ركز على سنتيمتر مربع من بشرتك. انظر عن قرب. لا يزال أقرب. إذا أمكنك النظر عن كثب ، فسترى مئات الآلاف من الكائنات المجهرية. إنها بكتيريا ، وهي ليست فقط على جلدك ، ولكن في فمك وأنفك وحتى أمعائك. في الواقع ، يفوق عدد الخلايا البكتيرية في جسمك في أي لحظة عدد خلاياك. لكن هذا ليس سببًا للشعور بالسوء تجاه نفسك. في حين أن بعض البكتيريا يمكن أن تسبب المرض ، إلا أن العديد منها يتمتع بصحة جيدة وحتى ضروري للجسم.

      تتكاثر البكتيريا عادة من خلال عملية تسمى الانشطار الثنائي ، حيث تنقسم خلية بكتيرية واحدة إلى خليتين. عندما تكون الظروف مناسبة ، يمكن للبكتيريا أن تتكاثر بسرعة كبيرة. على عكس البشر والكائنات الحية المعقدة الأخرى ، فإن الوقت اللازم لتكوين جيل جديد من البكتيريا غالبًا ما يكون دقائق أو ساعات ، على عكس الأيام أو السنوات. 16

      من أجل التبسيط ، لنفترض أننا بدأنا بثقافة خلية بكتيرية واحدة يمكن أن تنقسم كل ساعة. يوضح الجدول 1 عدد الخلايا البكتيرية في نهاية كل ساعة لاحقة. نرى أن الخلية البكتيرية المفردة تؤدي إلى أكثر من ألف خلية بكتيرية في عشر ساعات فقط! وإذا أردنا استقراء الجدول لأربع وعشرين ساعة ، فسيكون لدينا أكثر من 16 مليونًا!

      ساعة 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      بكتيريا 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

      في هذا الفصل ، سوف نستكشف الدوال الأسية ، والتي يمكن استخدامها ، من بين أشياء أخرى ، لنمذجة أنماط النمو مثل تلك الموجودة في البكتيريا. سنبحث أيضًا في الدوال اللوغاريتمية ، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالدوال الأسية. كلا النوعين من الوظائف لهما العديد من التطبيقات الواقعية عندما يتعلق الأمر بنمذجة البيانات وتفسيرها.


      أسئلة الممارسة

      1. لنفترض أن شركة ما تعرضت لـ 50 حادث عمل في عام 2012 ، وارتفع عدد الحوادث المبلغ عنها إلى 175 بحلول عام 2018. إذا زاد عدد الحوادث بشكل كبير ، فما هو معدل النمو السنوي؟

      2. بالنظر إلى هاتين المعادلتين اللتين تمثلان الرصيد في حسابين توفير مختلفين ، أي حساب ينمو بشكل أسرع ، وأي حساب سيكون له رصيد أعلى بعد 3 سنوات؟

      3. عدد سكان 1000 يتناقص بنسبة 3 ٪ كل عام. أوجد عدد السكان في 30 سنة.

      4. أعد حساب المثال 4.1.8 مع المركب الشهري.

      5. يبلغ تعداد عش النمل 225 ، بمعدل نمو مستمر 18٪ أسبوعياً. ما هو حجم العش بعد 8 اسابيع؟

      6. قيل لك أن بطاقة الهوكي البالغة من العمر 42 عامًا تستحق & # 361200.إذا كانت هذه البطاقة تقدر بـ 19٪ في السنة مركبة نصف سنوية ، ما هي القيمة الأولية للبطاقة؟


      نظريات الدوال الأسية واللوغاريتمية: الجزء الأول

      هذا هو النهج الأكثر شيوعًا الموجود في كتب "التحليل الرياضي" ، ولكن عندما درست هذا في هاردي الرياضيات البحتة ، كنت مندهشًا حقًا من جمالها وأناقتها. نبدأ بتعريف $ log x $ كـ $ log x = int_ <1> ^ فارك

      tag <1> $ لكل $ x & gt 0 $. من الواضح أن هذا التعريف صالح لأنه إذا كان $ x & gt 0 $ فإن الوظيفة $ 1 / t $ معرّفة ومستمرة في $ [1، x] $ (or $ [x، 1] $ if $ x & lt 1 $) ومستمر الوظيفة قابلة للتكامل. نحصل على الفور على بعض خصائص $ log x $ وهي $ log 1 = 0 ، frac < سجل س > = فارك <1> tag <2> $ بحيث يكون المشتق $ ( log x) '= 1 / x & gt 0 $ وبالتالي $ log x $ يتزايد بشكل صارم لـ $ x & gt 0 $. ويترتب على ذلك أنه إذا كان $ x & lt 1 $ فإن $ log x & lt log 1 = 0 $ وإذا كان $ x & gt 1 $ ثم $ log x & gt log 1 = 0 $. وبالتالي فإن $ log x $ سالب إذا & lt x & lt 1 $ وموجب إذا $ x & gt 1 $.

      بعد ذلك نرى أن مشتق $ log x $ عند $ x = 1 $ هو $ 1/1 = 1 $ وبالتالي $ lim_ frac < log x> = 1 ، ، ليم_ dfrac < سجل (1 + س)> = 1 علامة <3> $ قد يجد القارئ المبتدئ هذا التعريف لـ $ log x $ من النوع المصمم بشكل كبير لتلبية احتياجات الاستمرارية والتفاضل وربما بعيدًا عن الخاصية الوظيفية الأساسية لـ $ log x $ وهي $ تسجيل (س ص) = تسجيل س + تسجيل ص $. لكن اتضح أنها مسألة حساب بسيط: ابدأ log (xy) & amp = int_ <1> ^ فارك

      notag & = int_ <1> ^ فارك
      + int_^ فارك
      notag & = log x + int_ <1> ^ فارك نص <(وضع> t = vx) notag & = log x + int_ <1> ^ فارك notag & = log x + log y tag <4> end بوضع $ y = 1 / x $ مع ملاحظة أن $ log 1 = 0 $ نحصل على $ log (1 / x) = - log x $. بعد ذلك نحدد الرقم $ e $ بواسطة $ log e = 1 $. نظرًا لأن $ log x $ يزيد بشكل صارم من تعريف $ e $ فهو أمر لا لبس فيه ولدينا $ e & gt 1 $. لنحلل بعد ذلك التعبير $ log a ^$. نبدأ أولاً بـ $ b $ كعدد صحيح موجب. ثم لدينا نبدأ سجل أ ^ & = log (a cdot a cdots b text cdot a) notag & = log a + log a + cdots b text notag & = b سجل أ notag نهاية إذا كان $ b = 0 $ فإن $ log a ^ = log a ^ <0> = log 1 = 0 = 0 log a = b log a $ بحيث تكون العلاقة $ log a ^ = b log a $ محتجز لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة $ b $. من ناحية أخرى ، إذا كان $ b $ عددًا صحيحًا سالبًا ، قل $ b = -m $ ثم $ log a ^ = سجل أ ^ <- م> = سجل (1 / أ ^) = - سجل a ^ = -m log a = b log a $ بحيث تكون العلاقة المرغوبة صالحة للأعداد الصحيحة السالبة $ b $.

      لنفترض أن $ b $ رقم منطقي ، لنقل أن $ b = p / q $ حيث $ p $ عدد صحيح و $ q $ عدد صحيح موجب. ثم لدينا $ p log a = log a ^

      = سجل (أ ^

      )^ = ف سجل أ ^$ بحيث يكون $ log a ^ = (p / q) log a = b log a $. وبالتالي فإن العلاقة $ log a ^ = b log a tag <5> $ يحمل كل $ a & gt 0 $ وجميع الأرقام المنطقية $ b $.

      نقوم الآن بتحليل سلوك $ log x $ كـ $ x to infty $. افترض أن $ N & gt 0 $ هو أي رقم تم تعيينه مسبقًا. لاحظ الآن أن $ log 2 & gt 0 $ وبالتالي يمكننا اختيار عدد صحيح $ n & gt 0 $ مثل $ n & gt N / log 2 & gt 0 $ بحيث يكون $ n log 2 & gt N $. دعونا الآن نختار $ x & gt 2 ^$ بحيث $ log x & gt log 2 ^ = n log 2 & gt N $. ويترتب على ذلك أن $ log x to infty $ كـ $ x to infty $. باستبدال $ x $ بـ $ 1 / x $ يمكننا أن نرى أن $ log x to - infty $ كـ $ x إلى 0 ^ <+> $.

      ننتقل الآن إلى الدالة الأسية. يتم تعريف الدالة الأسية $ exp (x) $ على أنها معكوس دالة اللوغاريتم المحددة أعلاه. وهكذا نكتب $ y = exp (x) $ إذا كان $ log y = x $. لاحظ أن الدالة العكسية موجودة وتتزايد بشكل صارم ومستمرة وقابلة للتفاضل في المجال لأن الوظيفة الأصلية $ log $ تتزايد بشكل صارم ومستمرة وقابلة للتفاضل. أيضًا $ exp (x) $ دالة من $ mathbb$ إلى $ mathbb^ <+> دولار. النتائج الفورية لهذا التعريف هي $ exp (0) = 1، exp (1) = e، exp (x + y) = exp (x) exp (y) tag <6> $ للجميع $ x ، y $. يمكن حساب مشتق $ exp (x) $ عبر تقنية تمايز الدوال العكسية: $ y = exp (x) Rightarrow log y = x Rightarrow frac = فارك <1> Rightarrow frac = y = exp (x) $ بحيث تكون الدالة الأسية $ exp (x) $ مشتقًا خاصًا بها. لذلك فإن مشتق $ exp (x) $ عند $ x = 0 $ هو $ exp (0) = 1 $ بحيث يكون $ lim_ frac < exp (x) - 1> = 1 علامة <7> دولار
      لنقم الآن بإنشاء صيغة الحد الأساسية لـ $ exp (x) $ وهي $ exp (x) = lim_ يسار (1 + frac حق) ^ tag <8> $ هذا من السهل تحديده إذا لاحظنا أن الدالة $ log $ مستمرة ، وبالتالي تبدأ تسجيل يسار < ليم_ يسار (1 + frac حق) ^ صحيح > & = ليم_ يسار < سجل يسار (1 + فارك حق) ^ يمين > notag & = lim_n تسجيل يسار (1 + frac right) notag & = lim_x cdot frac < log <1 + (x / n) >> notag & = x cdot 1 = x notag end ثم $ lim_ يسار (1 + frac حق) ^ = exp (x) $ بنفس الطريقة تمامًا يمكننا إثبات أن $ lim_ يسار (1 - فارك right) ^ <-n> = exp (x) tag <9> $ وبالتالي نحصل على رابط التعريف الشائع لـ $ e $ كـ $ e = exp (1) = lim_ يسار (1 + فارك <1> حق) ^$
      نستخدم الآن نظرية تايلور وهي $ f (a + h) = f (a) + hf '(a) + frac> <2!> f '(a) + cdots + frac<>> <(n - 1)!> f ^ <(n - 1)> (a) + frac<>>f ^ <(n)> (a + theta h) $ حيث يوجد $ f ^ <(n)> $ في حي معين من $ a $ (مع $ (a + h) $ موجود أيضًا في نفس الحي) و $ theta $ هو رقم ما في $ (0، 1) $ للحصول على السلسلة لـ $ exp (x) $. نحتاج فقط إلى استبدال $ h $ بـ $ x $ ووضع $ a = 0 $ ولاحظ أن المصطلح المتبقي يميل إلى الصفر مثل $ n to infty $. وهكذا نحصل على $ exp (x) = 1 + x + frac> <2!> + cdots + frac<>> + cdots علامة <10> $
      افترض مرة أخرى أن $ x $ منطقي بحيث يكون $ e ^تم تعريف $ ومن ثم لدينا $ log e ^ = x log e = x $ بحيث يكون $ e ^ = exp (x) $ للمنطق $ x $. يتم التعبير عن هذا بطريقة كبيرة مثل $ left (1 + 1 + frac <1> <2!> + frac <1> <3!> + cdots right) ^ = 1 + س + فارك> <2!> + frac> <3!> + cdots $ حيث يكون $ x $ منطقيًا.

      بعد ذلك نصل إلى الصيغة النهائية $ exp (x) = lim_(1 + xh) ^ <1 / h> tag <15> $ يمكن إظهار ذلك بأخذ السجلات وإظهار أن التعبير الجديد يميل إلى $ x $ مثل $ h إلى 0 $ بحيث يكون الحد الأصلي $ exp (x) $. لقد ذكرنا أيضًا حدين أساسيين $ lim_ frac < log x> = 0 ، ، ، ليم_ فارك < exp (x)> = 0 tag <16> $ مقابل $ a & gt 0 $. بالنسبة للحد الأول ، دعنا نأخذ رقمًا $ b $ مثل ذلك & lt b & lt a $ ولاحظ أن $ log x = int_ <1> ^ فارك

      & lt int_ <1> ^ فارك
      > = فارك <>- 1> & lt فارك<>>$ مقابل x $ و GT 1 $. ثم يمكننا أن نرى أن $ 0 & lt frac < log x> & lt فارك <1><>> $ والسماح لـ $ x to infty $ نرى أن $ dfrac < log x> إلى 0 $ كـ $ x to infty $.

      يمكن إنشاء الحد الثاني باستخدام المتسلسلة الأسية. من الواضح أنه يمكننا العثور على عدد صحيح $ n $ مثل هذا $ n & gt a $ ثم من خلال السلسلة الأسية $ exp (x) & gt x ^/ n! $ بحيث & lt x ^ / exp (x) & lt n! / x ^$ وأخذ الحد $ x to infty $ نرى أن $ exp (x) / x ^ إلى 0 $.

      وبذلك نكون قد أنشأنا جميع الخصائص المشتركة للوظائف الأسية واللوغاريتمية. سيتبين أن معظم البراهين تعتمد على إنشاء مشتق من هذه الوظائف. أثناء مناقشة النظريات البديلة في المشاركات اللاحقة ، سنحاول إنشاء المشتقات والسماح للقارئ بالاستمرار من تلك النقطة فصاعدًا.


      شاهد الفيديو: ملخص شامل في الدالة اللوغارتمية (شهر اكتوبر 2021).