مقالات

11.2: حساب المنحنيات البارامترية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تحديد مشتقات ومعادلات الظل للمنحنيات البارامترية.
  • أوجد المساحة الواقعة أسفل منحنى حدودي.
  • استخدم معادلة طول القوس لمنحنى حدودي.
  • طبق معادلة مساحة السطح على الحجم الذي تم إنشاؤه بواسطة منحنى حدودي.

الآن وقد قدمنا ​​مفهوم المنحنى المحدد ، فإن خطوتنا التالية هي معرفة كيفية التعامل مع هذا المفهوم في سياق حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال ، إذا عرفنا معلمات لمنحنى معين ، فهل من الممكن حساب ميل خط المماس للمنحنى؟ ماذا عن طول قوس المنحنى؟ أو المنطقة الواقعة تحت المنحنى؟

سيناريو آخر: لنفترض أننا نرغب في تمثيل موقع كرة البيسبول بعد أن تترك الكرة يد الرامي. إذا تم تمثيل موضع كرة البيسبول من خلال منحنى الطائرة ((x (t)، y (t)) ) فيجب أن نكون قادرين على استخدام حساب التفاضل والتكامل لإيجاد سرعة الكرة في أي وقت. علاوة على ذلك ، يجب أن نكون قادرين على حساب المسافة التي قطعتها تلك الكرة كدالة زمنية.

مشتقات المعادلات البارامترية

نبدأ بسؤال كيفية حساب ميل خط مماس لمنحنى حدودي عند نقطة ما. ضع في اعتبارك منحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية

[ start {align} x (t) & = 2t + 3 label {eq1} y (t) & = 3t − 4 label {eq2} end {align} ]

ضمن (- 2≤t≤3 ).

يظهر الرسم البياني لهذا المنحنى في الشكل ( PageIndex {1} ). إنه مقطع خط يبدأ عند ((- 1 ، −10) ) وينتهي عند ((9،5). )

يمكننا حذف المعلمة من خلال حل المعادلة أولاً ref {eq1} من أجل (t ):

(س (ر) = 2 طن + 3 )

(س − 3 = 2 طن )

(t = dfrac {x − 3} {2} ).

استبدال هذا في (y (t) ) (المعادلة المرجع {eq2}) ، نحصل على

(ص (ر) = 3 طن − 4 )

(y = 3 left ( dfrac {x − 3} {2} right) −4 )

(y = dfrac {3x} {2} - dfrac {9} {2} −4 )

(y = dfrac {3x} {2} - dfrac {17} {2} ).

يُعطى ميل هذا الخط بواسطة ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {3} {2} ). بعد ذلك نحسب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ). هذا يعطي (x ′ (t) = 2 ) و (y ′ (t) = 3 ). لاحظ أن

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} = dfrac {3} {2}. لا يوجد رقم]

هذا ليس من قبيل الصدفة ، كما هو موضح في النظرية التالية.

مشتق المعادلات البارامترية

ضع في اعتبارك منحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية (x = x (t) ) و (y = y (t) ). افترض أن (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ) موجودان وافترض أن (x ′ (t) ≠ 0 ). ثم يتم إعطاء المشتق ( dfrac {dy} {dx} ) بواسطة

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} = dfrac {y ′ (t)} {x ′ (t)}. التسمية {الفقرة} ]

دليل - إثبات

يمكن إثبات هذه النظرية باستخدام قاعدة السلسلة. على وجه الخصوص ، افترض أنه يمكن حذف المعلمة (t ) ، مما ينتج عنه وظيفة قابلة للتفاضل (y = F (x) ). ثم (y (t) = F (x (t)). ) التفريق بين طرفي هذه المعادلة باستخدام قاعدة السلسلة ينتج عنها

[y ′ (t) = F ′ كبير (x (t) كبير) x ′ (t) ، nonumber ]

وبالتالي

[F ′ big (x (t) big) = dfrac {y ′ (t)} {x ′ (t)}. لا يوجد رقم]

لكن (F ′ big (x (t) big) = dfrac {dy} {dx} ) ، مما يثبت النظرية.

يمكن استخدام المعادلة ref {paraD} لحساب مشتقات منحنيات المستوى ، بالإضافة إلى النقاط الحرجة. تذكر أن النقطة الحرجة للدالة القابلة للتفاضل (y = f (x) ) هي أي نقطة (x = x_0 ) بحيث إما (f ′ (x_0) = 0 ) أو (f ′ (x_0) )) غير موجود. المعادلة ref {paraD} تعطي صيغة لميل خط المماس لمنحنى محدد بارامترًا بغض النظر عما إذا كان المنحنى يمكن وصفه بواسطة دالة (y = f (x) ) أم لا.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد مشتق منحنى حدودي

احسب المشتق ( dfrac {dy} {dx} ) لكل من منحنيات المستوى التالية المحددة حدًا ، وحدد أي نقاط حرجة في الرسوم البيانية الخاصة بها.

  1. (x (t) = t ^ 2−3، quad y (t) = 2t − 1، quad text {for} −3≤t≤4 )
  2. (x (t) = 2t + 1، quad y (t) = t ^ 3−3t + 4، quad text {for} −2≤t≤2 )
  3. (x (t) = 5 cos t، quad y (t) = 5 sin t، quad text {for} 0≤t≤2π )

المحلول

أ. لتطبيق المعادلة المرجع {الفقرة} ، احسب أولاً (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = 2 طن )

(ص ′ (ر) = 2 ).

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {2t} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} {t} ).

هذا المشتق غير معرف عندما (t = 0 ). حساب (x (0) ) و (y (0) ) يعطي (x (0) = (0) ^ 2−3 = −3 ) و (y (0) = 2 (0) −1 = −1 ) ، والتي تتوافق مع النقطة ((- 3 ، −1) ) على الرسم البياني. الرسم البياني لهذا المنحنى عبارة عن قطع مكافئ يفتح إلى اليمين ، والنقطة ((- 3 ، −1) ) هي رأسه كما هو موضح.

ب. لتطبيق المعادلة المرجع {الفقرة} ، احسب أولاً (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = 2 )

(y ′ (t) = 3t ^ 2−3 ).

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {3t ^ 2−3} {2} ).

هذا المشتق هو صفر عندما (t = ± 1 ). عندما (t = −1 ) لدينا

(x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1 ) و (y (−1) = (- 1) ^ 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6 ) ،

والتي تتوافق مع النقطة ((- 1،6) ) على الرسم البياني. عندما (t = 1 ) لدينا

(س (1) = 2 (1) + 1 = 3 ) و (ص (1) = (1) ^ 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2 ، )

والتي تتوافق مع النقطة ((3،2) ) على الرسم البياني. النقطة ((3،2) ) هي حد أدنى نسبي والنقطة ((- 1،6) ) هي قيمة قصوى نسبية ، كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

ج. لتطبيق المعادلة المرجع {الفقرة} ، احسب أولاً (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = - 5 الخطيئة t )

(y ′ (t) = 5 cos t. )

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {5 cos t} {- 5 sin t} )

( dfrac {dy} {dx} = - cot t. )

هذا المشتق هو صفر عندما ( cos t = 0 ) وغير معرف عندما ( sin t = 0. ) هذا يعطي (t = 0، dfrac {π} {2}، π، dfrac { 3π} {2} و ) و (2π ) كنقاط حرجة لـ ر. باستبدال كل من هذه في (x (t) ) و (y (t) ) ، نحصل على

(ر ) (س (ر) ) (ص (ر) )
050
( dfrac {π} {2} )05
(π )−50
( dfrac {3π} {2} )0−5
(2π )50

تتوافق هذه النقاط مع جوانب وأعلى وأسفل الدائرة الممثلة بالمعادلات البارامترية (الشكل ( PageIndex {4} )). على حافتي الدائرة اليمنى واليسرى ، يكون المشتق غير معرّف ، وفي الأعلى والأسفل ، المشتق يساوي صفرًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

احسب المشتق (dy / dx ) لمنحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = t ^ 2−4t، quad y (t) = 2t ^ 3−6t، quad text {for} −2≤t≤3 nonumber ]

وحدد أي نقاط حرجة على الرسم البياني.

تلميح

احسب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ) واستخدم المعادلة المرجع {الفقرة}.

إجابه

(x ′ (t) = 2t − 4 ) و (y ′ (t) = 6t ^ 2−6 ) ، لذلك ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {6t ^ 2−6 } {2t − 4} = dfrac {3t ^ 2−3} {t − 2} ).

هذا التعبير غير معرّف عندما (t = 2 ) ويساوي الصفر عندما (t = ± 1 ).

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للمنحنى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = t ^ 2−3، quad y (t) = 2t − 1، quad text {for} −3≤t≤4 ]

عندما (ر = 2 ).

المحلول

ابحث أولاً عن ميل خط الظل باستخدام المعادلة ref {paraD} ، والتي تعني حساب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = 2 طن )

(ص ′ (ر) = 2 ).

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {2t} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} {t} ).

عندما (t = 2، dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} {2} ) ، فهذا هو ميل خط الظل. يعطي حساب (x (2) ) و (y (2) )

(س (2) = (2) ^ 2−3 = 1 ) و (ص (2) = 2 (2) −1 = 3 ) ،

والتي تتوافق مع النقطة ((1،3) ) على الرسم البياني (الشكل ( PageIndex {5} )). الآن استخدم صيغة نقطة الميل لمعادلة الخط لإيجاد معادلة خط الظل:

(y − y_0 = m (x − x_0) )

(y − 3 = dfrac {1} {2} (x − 1) )

(y − 3 = dfrac {1} {2} x− dfrac {1} {2} )

(y = dfrac {1} {2} x + dfrac {5} {2} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد معادلة خط المماس للمنحنى المحدد بواسطة المعادلات

(x (t) = t ^ 2−4t، quad y (t) = 2t ^ 3−6t، quad text {for} −2≤t≤6 ) عندما (t = 5 ).

تلميح

احسب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ) واستخدم المعادلة المرجع {الفقرة}.

إجابه

معادلة خط الظل هي (ص = 24 س + 100. )

مشتقات الدرجة الثانية

هدفنا التالي هو معرفة كيفية أخذ المشتق الثاني لوظيفة محددة بشكل حدودي. يُعرَّف المشتق الثاني للدالة (y = f (x) ) على أنه مشتق من المشتق الأول ؛ هذا هو،

[ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {d} {dx} left [ dfrac {dy} {dx} right]. التسمية {eqD2} ]

منذ

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} ، nonumber ]

يمكننا استبدال (y ) على جانبي المعادلة المرجع {eqD2} بـ ( dfrac {dy} {dx} ). هذا يعطينا

[ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {d} {dx} left ( dfrac {dy} {dx} right) = dfrac {(d / dt) (dy / dx )} {dx / dt}. تصنيف {paraD2} ]

إذا علمنا (dy / dx ) كدالة لـ (t ) ، فإن هذه الصيغة سهلة التطبيق

مثال ( PageIndex {3} ): البحث عن مشتق ثاني

احسب المشتق الثاني (d ^ 2y / dx ^ 2 ) لمنحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية (x (t) = t ^ 2−3، quad y (t) = 2t − 1، quad نص {for} −3≤t≤4. )

المحلول

من المثال ( PageIndex {1} ) نعلم أن ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {2t} = dfrac {1} {t} ). باستخدام المعادلة المرجع {paraD2} ، نحصل عليها

( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {(d / dt) (dy / dx)} {dx / dt} = dfrac {(d / dt) (1 / t)} { 2t} = dfrac {−t ^ {- 2}} {2t} = - dfrac {1} {2t ^ 3} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب المشتق الثاني (d ^ 2y / dx ^ 2 ) لمنحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات

(x (t) = t ^ 2−4t، quad y (t) = 2t ^ 3−6t، quad text {for} −2≤t≤3 )

وحدد أي نقاط حرجة على الرسم البياني.

تلميح

ابدأ بالحل من التمرين السابق ، واستخدم المعادلة المرجع {paraD2}.

إجابه

( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {3t ^ 2−12t + 3} {2 (t − 2) ^ 3} ). النقاط الحرجة ((5،4) ، ، (−3 ، −4) ) ، و ((- 4،6). )

التكاملات التي تتضمن المعادلات البارامترية

الآن وقد رأينا كيفية حساب مشتقة منحنى مستو ، فإن السؤال التالي هو: كيف نجد المساحة الواقعة أسفل منحنى محددًا بشكل حدودي؟ تذكر الحلقة الحلقية المحددة بواسطة هذه المعادلات البارامترية

[ start {align *} x (t) & = t− sin t [4pt] y (t) & = 1− cos t. النهاية {محاذاة *} ]

افترض أننا نريد إيجاد مساحة المنطقة المظللة في الرسم البياني التالي.

لاشتقاق معادلة للمنطقة الواقعة تحت المنحنى المحدد بواسطة الوظائف

[ start {align *} x & = x (t) [4pt] y & = y (t) end {align *} ]

حيث (a≤t≤b ).

نفترض أن (x (t) ) قابل للتفاضل ونبدأ بقسم متساوٍ من الفاصل (a≤t≤b ). افترض (t_0 = a

نستخدم المستطيلات لتقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى. ارتفاع المستطيل النموذجي في هذه المعلمة هو (y (x ( bar {t_i})) ) لبعض القيمة ( bar {t_i} ) في (i ^ text {th} ) يمكن حساب الفاصل الزمني الفرعي والعرض كـ (x (t_i) −x (t_ {i − 1}) ). وبالتالي يتم إعطاء مساحة المستطيل (i ^ text {th} ) بواسطة

[A_i = y (x ( bar {t_i})) (x (t_i) −x (t_ {i − 1})). لا يوجد رقم]

ثم مجموع ريمان للمنطقة

[A_n = sum_ {i = 1} ^ ny (x ( bar {t_i})) (x (t_i) −x (t_ {i − 1})). nonumber ]

ينتج عن ضرب وقسمة كل منطقة على (t_i − t_ {i − 1} )

[ start {align *} A_n & = sum_ {i = 1} ^ ny (x ( bar {t_i})) left ( dfrac {x (t_i) −x (t_ {i − 1}) } {t_i − t_ {i − 1}} right) (t_i − t_ {i − 1}) [4pt] & = sum_ {i = 1} ^ ny (x ( bar {t_i})) يسار ( dfrac {x (t_i) −x (t_ {i − 1})} {Δt} يمين) Δt. نهاية {محاذاة *} ]

أخذ الحد (n ) يقترب من اللانهاية يعطي

[A = lim_ {n → ∞} A_n = ∫ ^ b_ay (t) x ′ (t) ، dt. لا يوجد رقم]

وهذا يؤدي إلى نظرية التالية.

المنطقة الواقعة تحت منحنى حدودي

ضع في اعتبارك منحنى المستوى غير المتقاطع مع الذات المحدد بواسطة المعادلات البارامترية

[x = x (t)، quad y = y (t)، quad text {for} a≤t≤b nonumber ]

وافترض أن (x (t) ) قابل للاشتقاق. المساحة الواقعة تحت هذا المنحنى مُعطاة بـ

[A = ∫ ^ b_ay (t) x ′ (t) ، dt. label {ParaArea} ]

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد المنطقة تحت منحنى حدودي

أوجد المساحة الواقعة أسفل منحنى الحلقة الدائرية التي تحددها المعادلات

[x (t) = t− sin t، quad y (t) = 1− cos t، quad text {for} 0≤t≤2π. ]

المحلول

باستخدام المعادلة المرجع {ParaArea} ، لدينا

[ start {align *} A & = ∫ ^ b_ay (t) x ′ (t) ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {2π} _0 (1− cos t) (1− cos t) ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {2π} _0 (1−2 cos t + cos ^ 2t) ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {2π} _0 left (1−2 cos t + dfrac {1+ cos (2t)} {2} right) ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {2π} _0 left ( dfrac {3} {2} −2 cos t + dfrac { cos (2t)} {2} right) ، dt [4pt]
& = dfrac {3t} {2} −2 sin t + dfrac { sin (2t)} {4} ∣ ^ {2π} _0 [4pt]
& = 3π end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد المساحة الواقعة أسفل منحنى hypocycloid المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = 3 cos t + cos (3t)، quad y (t) = 3 sin t− sin (3t)، quad text {for} 0≤t≤π. لا يوجد رقم]

تلميح

استخدم المعادلة ref {ParaArea} ، جنبًا إلى جنب مع الهويات ( sin α sin β = dfrac {1} {2} [ cos (α − β) - cos (α + β)] ) و ( sin ^ 2t = dfrac {1− cos (2t)} {2} ).

إجابه

(A = 3π ) (لاحظ أن الصيغة المتكاملة تعطي إجابة سلبية في الواقع. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن (x (t) ) دالة متناقصة على الفاصل ([0، π]؛ ) أي ، يتم تتبع المنحنى من اليمين إلى اليسار.)

طول القوس لمنحنى حدودي

بالإضافة إلى إيجاد المساحة أسفل المنحنى البارامترى ، نحتاج أحيانًا إلى إيجاد طول القوس لمنحنى حدودي. في حالة المقطع المستقيم ، يكون طول القوس هو نفس المسافة بين نقطتي النهاية. إذا كان الجسيم ينتقل من النقطة (A ) إلى النقطة (B ) على طول منحنى ، فإن المسافة التي يقطعها الجسيم هي طول القوس. لتطوير صيغة لطول القوس ، نبدأ بالتقريب بواسطة مقاطع الخط كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

بالنظر إلى منحنى المستوى المحدد بواسطة الوظائف (x = x (t)، quad y = y (t)، quad text {for} a≤t≤b ) ، نبدأ بتقسيم الفاصل ([ أ ، ب] ) إلى (n ) فترات فرعية متساوية: (t_0 = a

[d_1 = sqrt {(x (t_1) −x (t_0)) ^ 2+ (y (t_1) −y (t_0)) ^ 2} nonumber ]

[d_2 = sqrt {(x (t_2) −x (t_1)) ^ 2+ (y (t_2) −y (t_1)) ^ 2} nonumber ]

إلخ.

ثم اجمع هذه. ندع (s ) الإشارة إلى طول القوس الدقيق و (s_n ) للإشارة إلى التقريب بواسطة (n ) مقاطع الخط:

[s≈ sum_ {k = 1} ^ ns_k = sum_ {k = 1} ^ n sqrt {(x (t_k) −x (t_ {k − 1})) ^ 2+ (y (t_k) −y (t_ {k − 1})) ^ 2}. تسمية {arc5} ]

إذا افترضنا أن (x (t) ) و (y (t) ) وظائف قابلة للتفاضل لـ (t ) ، فإن نظرية القيمة المتوسطة تنطبق ، لذلك في كل فترة فرعية ([t_ {k − 1 }، t_k] ) يوجد ( hat {t_k} ) و ( tilde {t_k} ) مثل

[x (t_k) −x (t_ {k − 1}) = x ′ ( hat {t_k}) (t_k − t_ {k − 1}) = x ′ ( hat {t_k}) ، Δt لا يوجد رقم]

[y (t_k) −y (t_ {k − 1}) = y ′ ( tilde {t_k}) (t_k − t_ {k − 1}) = y ′ ( tilde {t_k}) ، Δt. لا يوجد رقم]

لذلك تصبح المعادلة المرجع {arc5}

[ start {align *} s ≈ sum_ {k = 1} ^ ns_k & = sum_ {k = 1} ^ n sqrt {(x ′ ( hat {t_k}) Δt) ^ 2 + (y ′ ( tilde {t_k}) Δt) ^ 2} [4pt]
& = sum_ {k = 1} ^ n sqrt {(x ′ ( hat {t_k})) ^ 2 (Δt) ^ 2 + (y ′ ( tilde {t_k})) ^ 2 (Δt) ^ 2} [4 نقطة]
& = sum_ {k = 1} ^ n sqrt {(x ′ ( hat {t_k})) ^ 2+ (y ′ ( tilde {t_k})) ^ 2} Δt. النهاية {محاذاة *} ]

هذا مجموع Riemann الذي يقارب طول القوس على قسم من الفاصل ([a، b] ). إذا افترضنا كذلك أن المشتقات مستمرة وتركنا عدد النقاط في القسم يزداد بدون حدود ، فإن التقريب يقترب من طول القوس الدقيق. هذا يعطي

[ start {align *} s & = lim_ {n → ∞} sum_ {k = 1} ^ ns_k [4pt]
& = lim_ {n → ∞} sum_ {k = 1} ^ n sqrt {(x ′ ( hat {t_k})) ^ 2+ (y ′ ( tilde {t_k})) ^ 2} Δt [4 نقطة]
& = ∫ ^ b_a sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} ، dt. النهاية {محاذاة *} ]

عند أخذ الحد ، يتم احتواء قيم ( hat {t_k} ) و ( tilde {t_k} ) في نفس الفاصل الزمني المتقلص باستمرار للعرض (Δt ) ، لذلك يجب أن تتقارب مع نفس القيمة.

يمكننا تلخيص هذه الطريقة في النظرية التالية.

طول القوس لمنحنى حدودي

ضع في اعتبارك منحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية

[x = x (t)، quad y = y (t)، quad text {for} t_1≤t≤t_2 nonumber ]

وافترض أن (x (t) ) و (y (t) ) وظائف قابلة للتفاضل لـ (t ). ثم يتم الحصول على طول القوس لهذا المنحنى بواسطة

[s = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 + left ( dfrac {dy} {dt} right) ^ 2} ، د. التسمية {arcP} ]

عند هذه النقطة ، يؤدي الاشتقاق الجانبي إلى صيغة سابقة لطول القوس. على وجه الخصوص ، افترض أنه يمكن حذف المعلمة ، مما يؤدي إلى دالة (y = F (x) ). ثم (y (t) = F (x (t)) ) وتعطي قاعدة السلسلة

[y ′ (t) = F ′ كبير (x (t) كبير) x ′ (t). لا يوجد رقم]

استبدال هذا في المعادلة ref {arcP} يعطي

[ start {align *} s & = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 + left (F ′ (x) dfrac {dx} {dt} right) ^ 2} ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 (1+ left (F ′ (x) right) ^ 2)} ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} x ′ (t) sqrt {1+ left ( dfrac {dy} {dx} right) ^ 2} ، dt. النهاية {محاذاة *} ]

لقد افترضنا هنا أن (x ′ (t)> 0 ) ، وهو افتراض معقول. تعطي قاعدة السلسلة (dx = x ′ (t) ، dt، ) والسماح (a = x (t_1) ) و (b = x (t_2) ) نحصل على الصيغة

[s = ∫ ^ b_a sqrt {1+ left ( dfrac {dy} {dx} right) ^ 2} ، dx ، nonumber ]

وهي صيغة طول القوس التي تم الحصول عليها في مقدمة تطبيقات التكامل.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد طول القوس لمنحنى حدودي

أوجد طول قوس نصف الدائرة المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = 3 cos t، quad y (t) = 3 sin t، quad text {for} 0≤t≤π. لا يوجد رقم]

حل

القيم (t = 0 ) إلى (t = π ) تتبع المنحنى الأزرق في الشكل ( PageIndex {8} ). لتحديد طوله ، استخدم المعادلة ref {arcP}:

[ begin {align *} s & = int ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 + left ( dfrac {dy} { dt} right) ^ 2} ، dt [4pt]
& = ∫ ^ π_0 sqrt {(- 3 sin t) ^ 2 + (3 cos t) ^ 2} ، dt [4pt]
& = ∫ ^ π_0 sqrt {9 sin ^ 2t + 9 cos ^ 2t} ، dt [4pt]
& = ∫ ^ π_0 sqrt {9 ( sin ^ 2t + cos ^ 2t)} ، dt [4pt]
& = ∫ ^ π_03 ، dt = 3t كبير | ^ π_0 [4pt]
& = 3π نص {وحدات}. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن صيغة طول القوس لنصف دائرة هي (πr ) ونصف قطر هذه الدائرة هو (3 ). هذا مثال رائع على استخدام التفاضل والتكامل لاشتقاق صيغة معروفة لكمية هندسية.

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد طول قوس المنحنى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = 3t ^ 2، quad y (t) = 2t ^ 3، quad text {for} 1≤t≤3. لا يوجد رقم]

تلميح

استخدم المعادلة المرجع {arcP}.

إجابه

(s = 2 (10 ^ {3/2} −2 ^ {3/2}) ≈57.589 ) وحدة

نعود الآن إلى المشكلة التي تم طرحها في بداية القسم حول خروج كرة بيسبول من يد الرامي. بتجاهل تأثير مقاومة الهواء (ما لم تكن كرة منحنى!) ، تتحرك الكرة في مسار مكافئ. بافتراض أن يد الرامي في الأصل وتنتقل الكرة من اليسار إلى اليمين في اتجاه المحور الموجب (س ) ، يمكن كتابة المعادلات البارامترية لهذا المنحنى على النحو التالي

[x (t) = 140t ، quad y (t) = - 16t ^ 2 + 2t nonumber ]

حيث (t ) يمثل الوقت. نحسب أولًا المسافة التي تقطعها الكرة كدالة زمنية. يتم تمثيل هذه المسافة بطول القوس. يمكننا تعديل صيغة طول القوس قليلاً. أعد كتابة الدالتين أولاً (x (t) ) و (y (t) ) باستخدام الخامس كمتغير مستقل ، وذلك لإزالة أي لبس مع المعلمة (t ):

[x (v) = 140v ، quad y (v) = - 16v ^ 2 + 2v. لا يوجد رقم]

ثم نكتب صيغة طول القوس على النحو التالي:

[ begin {align *} s (t) & = ∫ ^ t_0 sqrt {( dfrac {dx} {dv}) ^ 2 + ( dfrac {dy} {dv}) ^ 2} ، dv [4 نقطة]
& = ∫ ^ t_0 sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} ، dv end {align *} ]

المتغير (v ) يعمل كمتغير وهمي يختفي بعد التكامل ، تاركًا طول القوس كدالة للوقت (t ). لدمج هذا التعبير ، يمكننا استخدام صيغة من الملحق أ ،

[∫ sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} ، du = dfrac {u} {2} sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} + dfrac {a ^ 2} {2} ln ∣u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} ∣ + C. لا يوجد رقم]

قمنا بتعيين (a = 140 ) و (u = −32v + 2. ) وهذا يعطي (du = −32 ، dv، ) لذا (dv = - dfrac {1} {32} ، دو. ) لذلك

[ begin {align *} ∫ sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} ، dv & = - dfrac {1} {32} ∫ sqrt {a ^ 2 + u ^ 2 } ، du [4pt]
& = - dfrac {1} {32} left [ dfrac {(- 32v + 2)} {2} sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} + dfrac {140 ^ 2 } {2} ln ∣ (−32v + 2) + sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} | + C right] end {align *} ]

و

[ begin {align *} s (t) & = - dfrac {1} {32} left [ dfrac {(- 32t + 2)} {2} sqrt {140 ^ 2 + (- 32t + 2) ^ 2} + dfrac {140 ^ 2} {2} ln left | (-32t + 2) + sqrt {140 ^ 2 + (- 32t + 2) ^ 2} right | right] + dfrac {1} {32} left [ sqrt {140 ^ 2 + 2 ^ 2} + dfrac {140 ^ 2} {2} ln left | 2+ sqrt {140 ^ 2 + 2 ^ 2} right | right] [4pt]
& = left ( dfrac {t} {2} - dfrac {1} {32} right) sqrt {1024t ^ 2-128t + 19604} - dfrac {1225} {4} ln left | (-32t + 2) + sqrt {1024t ^ 2-128t + 19604} right | + dfrac { sqrt {19604}} {32} + dfrac {1225} {4} ln (2+ sqrt {19604}) end {محاذاة *}. ]

تمثل هذه الوظيفة المسافة التي قطعتها الكرة كدالة للوقت. لحساب السرعة ، خذ مشتق هذه الدالة بالنسبة إلى (t ). في حين أن هذا قد يبدو مهمة شاقة ، فمن الممكن الحصول على الإجابة مباشرة من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل:

[ dfrac {d} {dx} ∫ ^ x_af (u) ، du = f (x). لا يوجد رقم]

وبالتالي

[ start {align *} s ′ (t) & = dfrac {d} {dt} Big [s (t) Big] [4pt]
& = dfrac {d} {dt} left [∫ ^ t_0 sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} ، dv right] [4pt]
& = sqrt {140 ^ 2 + (- 32t + 2) ^ 2} [4pt]
& = sqrt {1024t ^ 2−128t + 19604} [4pt]
& = 2 sqrt {256t ^ 2−32t + 4901}. النهاية {محاذاة *} ]

بعد خروج الكرة من يد الرامي بثلث ثانية ، فإن المسافة التي تقطعها تساوي

[ start {align *} s left ( frac {1} {3} right) & = left ( frac {1/3} {2} - frac {1} {32} right) sqrt {1024 left ( frac {1} {3} right) ^ 2−128 left ( frac {1} {3} right) +19604}
& - frac {1225} {4} ln Bigg | left (−32 left ( frac {1} {3} right) +2 right) + sqrt {1024 left ( frac { 1} {3} right) ^ 2−128 left ( frac {1} {3} right) +19604} Bigg |
& + frac { sqrt {19604}} {32} + frac {1225} {4} ln (2+ sqrt {19604}) [4pt]
& ≈46.69 text {قدم}. النهاية {محاذاة *} ]

هذه القيمة تزيد قليلاً عن ثلاثة أرباع الطريق إلى لوحة المنزل. سرعة الكرة

(s ′ left ( frac {1} {3} right) = 2 sqrt {256 left ( frac {1} {3} right) ^ 2−32 left ( frac {1} {3} right) +4901} ≈140.27 ) قدم / ثانية.

هذه السرعة تترجم إلى ما يقرب من (95 ) ميلا في الساعة - كرة سريعة في الدوري الرئيسي.

تم إنشاء مساحة السطح بواسطة منحنى حدودي

تذكر مشكلة إيجاد مساحة سطح حجم ثورة. في Curve Length and Surface Area ، استنتجنا صيغة لإيجاد مساحة سطح وحدة تخزين تم إنشاؤها بواسطة دالة (y = f (x) ) من (x = a ) إلى (x = b، ) تدور حول محور (س ):

[S = 2π∫ ^ b_af (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2} ، dx. ]

نحن الآن نعتبر حجمًا للثورة ناتجًا عن تدوير منحنى محدد حدوديًا (x = x (t)، quad y = y (t)، quad text {for} a≤t≤b ) حول ( x ) - المحور كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {9} ).

الصيغة المماثلة لمنحنى محدد حدوديًا هي

[S = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} ، dt label {ParSurface} ]

بشرط ألا يكون (y (t) ) سالبًا في ([a، b] ).

مثال ( PageIndex {6} ): البحث عن مساحة السطح

أوجد مساحة سطح كرة نصف قطرها (r ) متمركزة في نقطة الأصل.

حل

نبدأ بالمنحنى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = r cos t، quad y (t) = r sin t، quad text {for} 0≤t≤π. لا يوجد رقم]

يؤدي هذا إلى إنشاء نصف دائرة علوي نصف قطر (r ) يتم توسيطه في الأصل كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

عندما يدور هذا المنحنى حول محور (س ) - فإنه يولد كرة نصف قطر (r ). لحساب مساحة سطح الكرة ، نستخدم المعادلة المرجع {ParSurface}:

[ start {align *} S & = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} ، dt [4pt]
& = 2π∫ ^ π_0r sin t sqrt {(- r sin t) ^ 2 + (r cos t) ^ 2} ، dt [4pt]
& = 2π∫ ^ π_0r sin t sqrt {r ^ 2 sin ^ 2t + r ^ 2 cos ^ 2t} ، dt [4pt]
& = 2π∫ ^ π_0r sin t sqrt {r ^ 2 ( sin ^ 2t + cos ^ 2t)} ، dt [4pt]
& = 2π∫ ^ π_0r ^ 2 sin t ، dt [4pt]
& = 2πr ^ 2 left (- cos t Big | ^ π_0 right) [4pt]
& = 2πr ^ 2 (- cos π + cos 0) [4pt]
& = 4πr ^ 2 text {Units} ^ 2. end {align *} ]

هذه ، في الواقع ، صيغة مساحة سطح الكرة.

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد مساحة السطح المتولدة عند تحديد منحنى المستوى بواسطة المعادلات

[x (t) = t ^ 3، quad y (t) = t ^ 2، quad text {for} 0≤t≤1 nonumber ]

يدور حول محور (س ).

تلميح

استخدم المعادلة المرجع {ParSurface}. عند تقييم التكامل ، استخدم استبدال (u ).

إجابه

(A = dfrac {π (494 sqrt {13} +128)} {1215} text {Units} ^ 2 )

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن حساب مشتق المنحنى المحدد حدوديًا (x = x (t) ) و (y = y (t) ) باستخدام الصيغة ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {y ′ (رسالة قصيرة)}). باستخدام المشتقة ، يمكننا إيجاد معادلة خط مماس لمنحنى حدودي.
  • يمكن تحديد المنطقة الواقعة بين منحنى حدودي والمحور (x ) - باستخدام الصيغة ( displaystyle A = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} y (t) x ′ (t) ، dt. )
  • يمكن حساب طول القوس لمنحنى حدودي باستخدام الصيغة [s = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 + left ( dfrac {dy} {dt} right) ^ 2} ، dt. لا يوجد رقم]
  • مساحة سطح حجم الدوران تدور حول (x ) - يتم إعطاء المحور بواسطة [S = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t )) ^ 2} ، د. لا يوجد رقم]
  • إذا كان المنحنى يدور حول (y ) - المحور ، فإن الصيغة هي [S = 2π∫ ^ b_a x (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t) ) ^ 2} ، د. لا يوجد رقم]

المعادلات الرئيسية

  • مشتق المعادلات البارامترية

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} = dfrac {y ′ (t)} {x ′ (t)} nonumber ]

  • مشتق من الدرجة الثانية للمعادلات البارامترية

[ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {d} {dx} left ( dfrac {dy} {dx} right) = dfrac {(d / dt) (dy / dx )} {dx / dt} nonumber ]

  • المنطقة الواقعة تحت منحنى حدودي

[A = ∫ ^ b_ay (t) x ′ (t) ، dt nonumber ]

  • طول قوس منحنى حدودي

[s = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 + left ( dfrac {dy} {dt} right) ^ 2} ، دت غير رقم ]

  • مساحة السطح الناتجة عن منحنى حدودي

[S = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} ، dt nonumber ]


11.2: حساب المنحنيات البارامترية - الرياضيات

3. استبعد المعلمة الخاصة بالمجموعة التالية من المعادلات البارامترية ، وارسم الرسم البياني للمنحنى البارامتري وأعطِ أي حدود قد تكون موجودة في (x ) و (y ).

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

أولاً ، سنستبعد المعلمة من هذه المجموعة من المعادلات البارامترية. بالنسبة لهذه المجموعة المعينة من المعادلات البارامترية ، من السهل فعلها فعلاً إذا لاحظنا ما يلي.

بهذا يمكننا تحويل معادلة (y ) بسرعة إلى ،

في هذه المرحلة ، يمكننا وضع حدود على (س ) و (ص ) بسرعة كبيرة ، لذلك دعونا نفعل ذلك.

أولاً ، نعلم أن الجذور التربيعية تُرجع دائمًا قيمًا موجبة (أو صفرًا بالطبع) ولذا من معادلة (x ) نرى أنه يجب أن يكون لدينا (x & GT 0 ). لاحظ أيضًا أن هذا يجب أن يكون متباينًا صارمًا لأن عدم المساواة التي تقيد نطاق (t ) 's هي أيضًا متباينة صارمة. بمعنى آخر ، لأننا لا نسمح (t = - 1 ) فلن نحصل على (x = 0 ).

بالحديث عن ذلك ، هل ترى لماذا قمنا بتقييد (t ) ، أليس كذلك؟

الآن ، من قيودنا على (t ) نعلم أن (t + 1 & gt 0 ) وهكذا من (y ) المعادلة البارامترية يمكننا أن نرى أنه يجب أيضًا أن يكون لدينا (y & gt 0 ). يتطابق هذا مع ما نراه من المعادلة بدون المعلمة التي وجدناها في الخطوة 1.

لذا ، فإن وضع كل هذا معًا هنا هو حدود (س ) و (ص ).

لاحظ أن هذه الحدود مهمة لهذه المشكلة (أو على الأقل حدود (x ) مهمة). نظرًا لحد (x ) الذي نحصل عليه من المعادلة البارامترية ، يمكننا أن نرى أنه لن يكون لدينا الرسم البياني الكامل للمعادلة التي وجدناها في الخطوة الأولى. كل ما لدينا هو الجزء الذي يتوافق مع (x & gt 0 ).

قبل أن نرسم الرسم البياني للمنحنى البارامترى ، تذكر أن جميع المنحنيات البارامترية لها اتجاه للحركة ، بمعنى آخر. يشير الاتجاه إلى زيادة قيم المعلمة ، (t ) في هذه الحالة.

هناك عدة طرق لمعرفة اتجاه الحركة للمنحنى. أحدهما هو إدخال قيم (t ) في المعادلات البارامترية للحصول على بعض النقاط التي يمكننا استخدامها لتحديد اتجاه الحركة.

يوجد هنا جدول قيم لهذه المجموعة من المعادلات البارامترية.

(ر ) (س ) (ص )
-0.95 0.2236 20
-0.75 0.5 4
0 1 1
2 ( مربع 3 ) ( فارك <1> <3> )

لاحظ أن هناك طريقة أسهل (على الأرجح - ستعتمد عليك بالطبع) لتحديد اتجاه الحركة. ألق نظرة سريعة على معادلة (س ).

ستؤدي زيادة قيمة (t ) أيضًا إلى زيادة (t ) + 1 وسيزداد الجذر التربيعي أيضًا (يمكننا التحقق من خلال مشتق سريع / تحليل التفاضل والتكامل I إذا أردنا ذلك). هذا يعني أنه يجب تتبع الرسم البياني من اليسار إلى اليمين كما يدعم جدول القيم أعلاه في الجدول.

وبالمثل ، يمكننا استخدام معادلة (ص ).

مرة أخرى ، نعلم أنه كلما زاد (t ) يزداد كذلك (t ) + 1. نظرًا لأن (t ) + 1 في المقام ، يمكننا أن نرى أيضًا أن زيادة هذا سيؤدي إلى حدوث الكسر ، وبالتالي (ص ) ، للتقليل. هذا يعني أن الرسم البياني يجب أن يتتبع من أعلى إلى أسفل حيث يدعم كلاً من معادلة (س ) وجدول القيم.

غالبًا ما يكون استخدام تحليل التفاضل والتكامل السريع لأحد المعادلات البارامترية أو كليهما طريقة أفضل وأسهل لتحديد اتجاه الحركة لمنحنى حدودي. بالنسبة إلى المعادلات البارامترية "البسيطة" ، يمكننا غالبًا الحصول على الاتجاه بناءً على نظرة سريعة على المعادلات البارامترية وتجنب الاضطرار إلى اختيار قيم "لطيفة" لـ (t ) للجدول.

أخيرًا ، إليك رسم تخطيطي للمنحنى البارامتري لهذه المجموعة من المعادلات البارامترية.

في هذا الرسم التخطيطي ، قمنا بتضمين النقاط من طاولتنا لأننا حصلنا عليها ولكننا لن نقوم بتضمينها دائمًا لأننا غالبًا ما نهتم فقط بالرسم نفسه واتجاه الحركة.


11.2: حساب المنحنيات البارامترية - الرياضيات

إلى هذه النقطة (في كل من حساب التفاضل والتكامل الأول وحساب التفاضل والتكامل الثاني) نظرنا بشكل حصري تقريبًا في الدوال بالصيغة (y = f left (x right) ) أو (x = h left (y right) ) وتقريباً جميع الصيغ التي قمنا بتطويرها تتطلب أن تكون الوظائف في أحد هذين الشكلين. تكمن المشكلة في أنه ليست كل المنحنيات أو المعادلات التي نرغب في النظر إليها تقع بسهولة في هذا الشكل.

خذ على سبيل المثال دائرة. من السهل كتابة معادلة الدائرة المتمركزة في الأصل بنصف القطر (r ).

ومع ذلك ، لن نتمكن أبدًا من كتابة معادلة الدائرة لأسفل كمعادلة واحدة في أي من الأشكال أعلاه. بالتأكيد يمكننا إيجاد حل لـ (س ) أو (ص ) كما تظهر الصيغتان التاليتان

ولكن هناك في الواقع وظيفتان في كل من هذه. كل صيغة تعطي جزءًا من الدائرة.

لسوء الحظ ، نعمل عادةً على الدائرة بأكملها ، أو ببساطة لا يمكننا القول إننا سنعمل على جزء واحد فقط منها. حتى لو تمكنا من تضييق نطاق الأشياء إلى جزء واحد فقط من هذه الأجزاء ، فإن الوظيفة تظل غالبًا غير سارة إلى حد ما للعمل معها.

هناك أيضًا عدد كبير من المنحنيات التي لا يمكننا حتى تدوينها كمعادلة منفردة من حيث (x ) و (y ) فقط. لذا ، للتعامل مع بعض هذه المشاكل نقدمها المعادلات البارامترية. بدلاً من تعريف (y ) من حيث (x ) ( (y = f left (x right) )) أو (x ) من حيث (y ) ( (x = h left (y right) )) نحدد كلاً من (x ) و (y ) من حيث متغير ثالث يسمى المعلمة على النحو التالي ،

[x = f left (t right) hspace <0.5in> y = g left (t right) ]

عادةً ما يُرمز إلى هذا المتغير الثالث بـ (t ) (كما فعلنا هنا) ولكن لا يجب أن يكون كذلك بالطبع. في بعض الأحيان سنقيد قيم (t ) التي سنستخدمها وفي أوقات أخرى لن نقوم بذلك. سيعتمد هذا غالبًا على المشكلة وعلى ما نحاول القيام به فقط.

تحدد كل قيمة (t ) نقطة ( يسار ( يمين) = يسار ( حق) ) يمكننا رسمها. إن مجموعة النقاط التي نحصل عليها من خلال ترك (t ) تكون جميع القيم الممكنة هو الرسم البياني للمعادلات البارامترية ويسمى منحنى حدودي.

للمساعدة في تصور ما هو المنحنى البارامترى ، نتظاهر بأن لدينا خزانًا كبيرًا من الماء يتحرك باستمرار ونُسقط كرة بينج بونج في الخزان. النقطة ( اليسار ( يمين) = يسار ( right) ) سيمثل موقع كرة البينج بونج في الخزان في الوقت (t ) وسيكون المنحنى البارامترى أثرًا لجميع مواقع كرة بينج بونج. لاحظ أن هذا ليس دائمًا تشبيهًا صحيحًا ولكنه مفيد في البداية للمساعدة في تصور ماهية المنحنى البارامترى.

رسم منحنى حدودي ليس بالأمر السهل دائمًا. دعنا نلقي نظرة على مثال لنرى طريقة واحدة لرسم منحنى حدودي. سيوضح هذا المثال أيضًا سبب عدم كون هذه الطريقة هي الأفضل عادةً.

في هذه المرحلة ، يكون خيارنا الوحيد لرسم منحنى حدودي هو اختيار قيم (t ) ، وإدخالها في المعادلات البارامترية ثم رسم النقاط. لذا ، دعنا نوصِّل بعضًا من (t ).

(ر ) (س ) (ص )
-2 2 -5
-1 0 -3
(- فارك <1> <2> ) (- فارك <1> <4> ) -2
0 0 -1
1 2 1

السؤال الأول الذي يجب طرحه في هذه المرحلة هو ، كيف عرفنا استخدام قيم (t ) التي فعلناها ، خاصة الخيار الثالث؟ للأسف ، لا توجد إجابة حقيقية على هذا السؤال في هذه المرحلة. نحن ببساطة ننتقي (t ) حتى نكون واثقين تمامًا من أن لدينا فكرة جيدة عن شكل المنحنى. هذه المشكلة في اختيار القيم "الجيدة" لـ (t ) هي التي تجعل هذه الطريقة في رسم المنحنيات البارامترية أحد الخيارات الأكثر فقراً. في بعض الأحيان ليس لدينا خيار ، ولكن إذا كان لدينا خيار ، فعلينا تجنبه.

سنناقش طريقة رسوم بيانية بديلة في أمثلة لاحقة ستساعد في شرح كيفية اختيار قيم (t ) هذه.

لدينا فكرة أخرى نناقشها قبل أن نرسم المنحنى بالفعل. المنحنيات البارامترية لها أ اتجاه الحركة. يتم تحديد اتجاه الحركة بزيادة (t ). لذلك ، عند رسم المنحنيات البارامترية ، نقوم أيضًا بتضمين الأسهم التي توضح اتجاه الحركة. غالبًا ما نعطي قيمة (t ) التي أعطت نقاطًا محددة على الرسم البياني أيضًا لتوضيح قيمة (t ) التي أعطت تلك النقطة بالذات.

هذا هو الرسم التخطيطي لهذا المنحنى البارامترى.

لذا ، يبدو أن لدينا قطع مكافئ يفتح على اليمين.

قبل أن ننهي هذا المثال ، هناك نقطة مهمة ودقيقة إلى حد ما نحتاج إلى مناقشتها أولاً. لاحظ أننا تأكدنا من تضمين جزء من الرسم على يمين النقاط المقابلة لـ (t = - 2 ) و (t = 1 ) للإشارة إلى وجود أجزاء من الرسم التخطيطي هناك. لو أوقفنا الرسم التخطيطي في تلك النقاط ، فإننا نشير إلى عدم وجود جزء من المنحنى على يمين تلك النقاط ومن الواضح أنه سيكون هناك. نحن فقط لم نحسب أيًا من هذه النقاط.

قد تبدو هذه نقطة غير مهمة ، ولكن كما سنرى في المثال التالي ، فهي أكثر أهمية مما نعتقد.

قبل معالجة طريقة أسهل بكثير لرسم هذا الرسم البياني ، دعونا أولاً نتناول مسألة القيود على المعلمة. في المثال السابق لم يكن لدينا أي قيود على المعلمة. بدون قيود على المعلمة ، سيستمر الرسم البياني في كلا الاتجاهين كما هو موضح في الرسم أعلاه.

غالبًا ما يكون لدينا حدود على المعلمة وهذا سيؤثر على رسم المعادلات البارامترية. لرؤية هذا التأثير ، دعنا ننظر إلى اختلاف طفيف عن المثال السابق.

لاحظ أن الاختلاف الوحيد هنا هو وجود حدود على (t ). كل هذه الحدود تخبرنا أنه لا يمكننا أخذ أي قيمة (t ) خارج هذا النطاق. لذلك ، سيكون المنحنى البارامترى جزءًا فقط من المنحنى أعلاه. هنا هو المنحنى البارامترى لهذا المثال.

لاحظ أنه مع هذا الرسم بدأنا وأوقفنا الرسم مباشرة على النقاط الناشئة من نقاط النهاية لنطاق (t ). قارن هذا بالرسم التخطيطي في المثال السابق حيث كان لدينا جزء من الرسم على يمين نقطتي "البداية" و "النهاية" التي حسبناها.

في هذه الحالة ، يبدأ المنحنى عند (t = - 1 ) وينتهي عند (t = 1 ) ، بينما في المثال السابق لم يبدأ المنحنى حقًا عند معظم النقاط الصحيحة التي حسبناها. نحتاج إلى أن نكون واضحين في رسوماتنا إذا كان المنحنى يبدأ / ينتهي عند نقطة ما ، أو إذا كانت هذه النقطة هي النقطة الأولى / الأخيرة التي حسبناها.

حان الوقت الآن لإلقاء نظرة على طريقة أسهل لرسم هذا المنحنى البارامترى. تستخدم هذه الطريقة حقيقة أنه في كثير من الحالات وليس كلها ، يمكننا بالفعل حذف المعلمة من المعادلات البارامترية والحصول على دالة تتضمن فقط (x ) و (y ). سوف نطلق على هذا أحيانًا اسم معادلة جبرية لتمييزه عن المعادلات البارامترية الأصلية. ستكون هناك مشكلتان صغيرتان في هذه الطريقة ، ولكن سيكون من السهل معالجة هذه المشاكل. من المهم أن نلاحظ مع ذلك أننا لن نكون قادرين دائمًا على القيام بذلك.

ستعتمد الطريقة التي نحذف بها المعلمة على المعادلات البارامترية التي حصلنا عليها. دعونا نرى كيفية حذف المعلمة لمجموعة المعادلات البارامترية التي كنا نعمل معها حتى هذه النقطة.

تتمثل إحدى أسهل الطرق لإزالة المعلمة في حل إحدى المعادلات الخاصة بالمعامل ( (t ) ، في هذه الحالة) واستبدالها في المعادلة الأخرى. لاحظ أنه على الرغم من أن هذا قد يكون أسهل طريقة لإزالة المعلمة ، إلا أنها عادةً ليست أفضل طريقة كما سنرى قريبًا بما فيه الكفاية.

في هذه الحالة يمكننا بسهولة حل (y ) لـ (t ).

بإدخال هذا في معادلة (س ) يعطي المعادلة الجبرية التالية ،

بالتأكيد من معرفتنا بالجبر يمكننا أن نرى أن هذا قطع مكافئ يفتح على اليمين وسيكون له رأس عند ( يسار (<- فارك <1> <4> ، - 2> يمين) ).

لن نهتم برسم تخطيطي لهذا الرسم لأننا رسمناه بالفعل مرة واحدة وكانت النقطة هنا هي إزالة المعلمة على أي حال.

قبل أن نترك هذا المثال ، فلنتناول مشكلة واحدة سريعة.

في المثال الأول ، اخترنا فقط ، بشكل عشوائي ، قيم (t ) لاستخدامها في جدولنا ، وخاصة القيمة الثالثة. لم يكن هناك سبب واضح لاختيار (t = - frac <1> <2> ). ومع ذلك ، فمن المحتمل أن يكون الخيار الأكثر أهمية لـ (t ) لأنه الخيار الذي يعطي الرأس.

الحقيقة هي أنه عند كتابة هذه المادة ، قمنا بالفعل بهذه المشكلة أولاً ثم عدنا وقمنا بالمشكلة الأولى. تعد نقاط التخطيط عمومًا هي الطريقة التي يتعلم بها معظم الناس أولاً كيفية إنشاء الرسوم البيانية وهي توضح بعض المفاهيم المهمة ، مثل الاتجاه ، لذلك كان من المنطقي القيام بذلك أولاً في الملاحظات. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، غالبًا ما يتم هذا المثال أولاً.

إذن ، كيف حصلنا على قيم (t )؟ حسنًا ، دعنا نبدأ بالرأس حيث ربما تكون هذه هي النقطة الأكثر أهمية على الرسم البياني. لدينا إحداثيات (x ) و (y ) للرأس ولدينا أيضًا معادلات بارامترية لهذه الإحداثيات (x ) و (y ). لذلك ، عوض بإحداثيات الرأس في المعادلات البارامترية وحل من أجل (t ). القيام بهذا يعطي ،

لذا ، كما نرى ، فإن قيمة (t ) التي ستعطي كلا هذين الإحداثيين هي (t = - frac <1> <2> ). لاحظ أن المعادلة البارامترية أعطت جذرًا مزدوجًا ولن يحدث هذا غالبًا. غالبًا ما حصلنا على جذرين متميزين من تلك المعادلة. في الواقع ، لن يكون من غير المعتاد الحصول على قيم متعددة لـ (t ) من كل معادلة.

ومع ذلك ، ما يمكننا قوله هو أنه ستكون هناك قيمة (قيم) لـ (t ) تحدث في كلتا مجموعتي الحلول وهذا هو (t ) الذي نريده لتلك النقطة. سنرى في النهاية مثالًا حيث يحدث هذا في قسم لاحق.

الآن ، من خلال هذا العمل ، يمكننا أن نرى أنه إذا استخدمنا (t = - frac <1> <2> ) فسنحصل على الرأس ولذا قمنا بتضمين قيمة (t ) في الجدول في المثال 1 بمجرد أن نحصل على قيمة (t ) اخترنا قيمتين صحيحتين من (t ) على كلا الجانبين لإنهاء الجدول.

كما سنرى في الأمثلة اللاحقة في هذا القسم ، فإن تحديد قيم (t ) التي ستعطي نقاطًا محددة هو أمر سنحتاج إلى القيام به على أساس منتظم إلى حد ما. إنه بسيط إلى حد ما ولكن كما أوضح هذا المثال. كل ما نحتاج إلى أن نكون قادرين على فعله هو حل (عادة) معادلة أساسية إلى حد ما والتي لا ينبغي أن تكون صعبة للغاية بحلول هذا الوقت.

يبدو الحصول على رسم تخطيطي للمنحنى البارامتري بمجرد أن نتخلص من المعلمة أمرًا بسيطًا إلى حد ما. كل ما علينا فعله هو رسم المعادلة التي وجدناها بحذف المعلمة. ومع ذلك ، كما لوحظ بالفعل ، هناك مشكلتان صغيرتان في هذه الطريقة. الأول هو اتجاه الحركة. المعادلة التي تتضمن فقط (س ) و (ص ) لن تعطي اتجاه حركة المنحنى البارامترى. هذه مشكلة سهلة الإصلاح بشكل عام. دعونا نلقي نظرة سريعة على مشتقات المعادلات البارامترية من المثال الأخير. هم انهم،

الآن ، كل ما علينا فعله هو تذكر معرفتنا في حساب التفاضل والتكامل من النوع الأول. من الواضح أن مشتق (y ) بالنسبة إلى (t ) موجب دائمًا. بالتذكير بأن أحد تفسيرات المشتق الأول هو معدل التغيير ، فنحن نعلم الآن أنه مع زيادة (t ) زيادة (y ) يجب أيضًا زيادة. لذلك ، يجب أن نتحرك لأعلى في المنحنى من الأسفل إلى الأعلى مع زيادة (t ) لأن هذا هو الاتجاه الوحيد الذي سيعطي دائمًا زيادة (y ) كلما زاد (t ).

لاحظ أن المشتق (x ) ليس مفيدًا لهذا التحليل لأنه سيكون موجبًا وسالبًا على حدٍ سواء ، وبالتالي فإن (x ) سيتزايد ويتناقص اعتمادًا على قيمة (t ). هذا لا يساعد في الاتجاه بقدر ما يؤدي اتباع المنحنى في أي من الاتجاهين إلى زيادة وتناقص (س ).

في بعض الحالات ، واحدة فقط من المعادلات ، مثل هذا المثال ، ستعطي الاتجاه بينما في حالات أخرى يمكن استخدام أي منهما. من الممكن أيضًا ، في بعض الحالات ، أن تكون هناك حاجة إلى كلا المشتقين لتحديد الاتجاه. سيعتمد دائمًا على المجموعة الفردية من المعادلات البارامترية.

من الأفضل توضيح المشكلة الثانية المتعلقة بإزالة المعلمة في مثال لأننا سنواجه هذه المشكلة في الأمثلة المتبقية.

قبل أن نبدأ في حذف المعلمة الخاصة بهذه المشكلة ، دعنا نعالج أولاً مرة أخرى لماذا لا يعد اختيار نقاط (t ) والتخطيط لها فكرة جيدة حقًا.

بالنظر إلى نطاق (t ) 's في بيان المشكلة ، فلنستخدم المجموعة التالية من (t ) ’s.

(ر ) (س ) (ص )
0 5 0
( فارك < بي> <2> ) 0 2
( بي ) -5 0
( فارك << 3 بي >> <2> ) 0 -2
(2 بي ) 5 0

السؤال الذي نحتاج إلى طرحه الآن هو هل لدينا نقاط كافية لرسم مخطط دقيق لهذه المجموعة من المعادلات البارامترية؟ فيما يلي بعض الرسومات التخطيطية لبعض الرسوم البيانية المحتملة للمعادلة البارامترية بناءً على هذه النقاط الخمس فقط.

نظرًا لطبيعة الجيب / جيب التمام ، فقد تتمكن من التخلص من الماس والمربع ولكن ليس هناك من ينكر أنها رسوم بيانية تمر عبر النقاط المحددة. الرسم البياني الأخير أيضًا سخيف بعض الشيء ولكنه يُظهر رسمًا بيانيًا يمر عبر النقاط المحددة.

مرة أخرى ، نظرًا لطبيعة الجيب / جيب التمام ، يمكنك على الأرجح تخمين أن الرسم البياني الصحيح هو القطع الناقص. ومع ذلك ، هذا هو كل ما سيكون في هذه المرحلة. تخمين. لا شيء يقول بشكل لا لبس فيه أن المنحنى البارامترى هو قطع ناقص من تلك النقاط الخمس فقط. هذا هو خطر رسم المنحنيات البارامترية بناءً على عدد قليل من النقاط. ما لم نعرف ما سيكون الرسم البياني في وقت مبكر ، فنحن في الحقيقة مجرد تخمين.

لذلك ، بشكل عام ، يجب أن نتجنب رسم النقاط لرسم منحنيات بارامترية. أفضل طريقة ، بشرط أن يتم ذلك ، هي حذف المعلمة. كما لوحظ قبل بدء هذا المثال ، لا تزال هناك مشكلة محتملة في التخلص من المعلمة التي سنحتاج إلى التعامل معها. سنناقش هذه المسألة في النهاية. في الوقت الحالي ، دعنا ننتقل فقط إلى حذف المعلمة.

سنبدأ بإلغاء المعلمة كما فعلنا في القسم السابق. سنحل إحدى معادلات (t ) ونعوض بها في المعادلة الأخرى. على سبيل المثال ، يمكننا القيام بما يلي ،

هل يمكنك أن ترى مشكلة القيام بذلك؟ من السهل فعل ذلك بالتأكيد ولكن لدينا فرصة أكبر لرسم المعادلات البارامترية الأصلية بشكل صحيح عن طريق رسم النقاط أكثر مما نفعله بالرسم البياني!

هناك العديد من الطرق لإزالة المعلمة من المعادلات البارامترية ، وعادة ما لا يكون حل (t ) أفضل طريقة للقيام بذلك. في حين أنه غالبًا ما يكون من السهل القيام بذلك ، فإننا في معظم الحالات ننتهي بمعادلة يكاد يكون من المستحيل التعامل معها.

إذن ، كيف يمكننا حذف المعلمة هنا؟ في هذه الحالة ، كل ما علينا فعله هو تذكر متطابقة مثلثية لطيفة للغاية ومعادلة القطع الناقص. اعد الاتصال،

ثم من المعادلات البارامترية التي نحصل عليها ،

ثم ، باستخدام المتطابقة المثلثية من الأعلى وهذه المعادلات التي نحصل عليها ،

نعلم الآن أنه سيكون لدينا قطع ناقص.

الآن ، دعنا نتابع المثال. لقد حددنا أن المعادلات البارامترية تصف القطع الناقص ، لكن لا يمكننا فقط رسم القطع الناقص والانتهاء منه.

أولاً ، فقط لأن المعادلة الجبرية كانت قطع ناقص لا يعني في الواقع أن المنحنى البارامترى هو القطع الناقص الكامل. من الممكن دائمًا أن يكون المنحنى البارامترى مجرد جزء من القطع الناقص. من أجل تحديد مقدار القطع الناقص الذي سيغطيه المنحنى البارامتري ، دعنا نعود إلى المعادلات البارامترية ونرى ما يخبروننا به عن أي حدود على (س ) و (ص ). بناءً على معرفتنا بالجيب وجيب التمام لدينا ما يلي ،

لذلك ، من خلال البدء بجيب / جيب التمام و "بناء" معادلة (س ) و (ص ) باستخدام التلاعب الجبر الأساسي ، نحصل على أن المعادلات البارامترية تفرض الحدود المذكورة أعلاه على (س ) و ( ذ ). في هذه الحالة ، تكون هذه أيضًا الحدود الكاملة لـ (x ) و (y ) التي نحصل عليها من خلال رسم شكل بياني كامل.

هذه هي القضية المحتملة الثانية التي تم التلميح إليها أعلاه. قد لا يتتبع المنحنى البارامتري دائمًا الرسم البياني الكامل للمنحنى الجبري. يجب أن نجد دائمًا حدودًا على (x ) و (y ) مفروضة علينا من خلال المنحنى البارامتري لتحديد مقدار المنحنى الجبري الذي يتم رسمه فعليًا بواسطة المعادلات البارامترية.

لذلك ، في هذه الحالة ، نعلم الآن أننا نحصل على قطع ناقص كامل من المعادلات البارامترية. قبل المضي قدمًا في بقية المثال ، احرص على ألا تفترض دائمًا أننا سنحصل على الرسم البياني الكامل للمعادلة الجبرية. هناك بالتأكيد أوقات لن نحصل فيها على الرسم البياني الكامل وسنحتاج إلى إجراء تحليل مماثل لتحديد مقدار الرسم البياني الذي نحصل عليه بالفعل. سنرى مثالاً على ذلك لاحقًا.

لاحظ أيضًا أن أي حدود على (t ) معطاة في بيان المشكلة يمكن أن تؤثر أيضًا على مقدار الرسم البياني للمعادلة الجبرية التي نحصل عليها. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، استنادًا إلى جدول القيم الذي قمنا بحسابه في بداية المشكلة ، يمكننا أن نرى أننا بالفعل نحصل على القطع الناقص الكامل في النطاق (0 le t le 2 pi ). لن يكون هذا هو الحال دائمًا ، لذا انتبه لأية قيود على (t ) قد تكون موجودة!

بعد ذلك ، علينا تحديد اتجاه الحركة للمنحنى البارامترى. تذكر أن جميع المنحنيات البارامترية لها اتجاه الحركة وأن معادلة القطع الناقص لا تخبرنا ببساطة عن اتجاه الحركة.

للحصول على اتجاه الحركة ، من المغري استخدام جدول القيم الذي قمنا بحسابه أعلاه للحصول على اتجاه الحركة. في هذه الحالة ، سنخمن (ونعم هذا كل ما هو - تخمين) أن المنحنى يتتبع في اتجاه عكس عقارب الساعة. سنكون على صواب. في هذه الحالة ، سنكون على صواب! تكمن المشكلة في أن جداول القيم يمكن أن تكون مضللة عند تحديد اتجاه الحركة كما سنرى في المثال التالي.

لذلك ، من الأفضل عدم استخدام جدول قيم لتحديد اتجاه الحركة. لتحديد اتجاه الحركة بشكل صحيح ، سنستخدم نفس الطريقة لتحديد الاتجاه الذي ناقشناه بعد المثال 3. وبعبارة أخرى ، سنأخذ مشتق المعادلات البارامترية ونستخدم معرفتنا بحساب التفاضل والتكامل 1 والمثلث لتحديد اتجاه الحركة.

مشتقات المعادلات البارامترية هي ،

الآن ، عند (t = 0 ) نحن عند النقطة ( left (<5،0> right) ) ولنرى ماذا سيحدث إذا بدأنا في الزيادة (t ). دعونا نزيد (t ) من (t = 0 ) إلى (t = frac < pi> <2> ). في هذا النطاق من (t ) ، نعلم أن الجيب دائمًا موجب ، ومن مشتق المعادلة (س ) يمكننا أن نرى أن (س ) يجب أن يتناقص في هذا النطاق من (تي) )'س.

ومع ذلك ، فإن هذا لا يساعدنا حقًا في تحديد اتجاه المنحنى البارامتري. بدءًا من ( left (<5،0> right) ) بغض النظر عما إذا كنا نتحرك في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة (x ) يجب أن ينخفض ​​لذا لم نتعلم شيئًا من (x ) مشتق.

سيساعدنا المشتق من المعادلة البارامترية من ناحية أخرى. مرة أخرى ، عندما نزيد (t ) من (t = 0 ) إلى (t = frac < pi> <2> ) ، نعلم أن جيب التمام سيكون موجبًا ولذا يجب أن يكون (y ) زيادة في هذا النطاق. ومع ذلك ، لا يمكن أن يحدث هذا إلا إذا كنا نتحرك في عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كنا نتحرك في اتجاه عقارب الساعة من النقطة ( left (<5،0> right) ) يمكننا أن نرى أن (y ) يجب أن ينخفض!

لذلك ، في الربع الأول ، يجب أن نتحرك في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. دعنا ننتقل إلى الربع الثاني.

لذلك ، نحن الآن عند النقطة ( left (<0،2> right) ) وسنزيد (t ) من (t = frac < pi> <2> ) إلى (ر = بي ). في هذا النطاق من (t ) ، نعلم أن جيب التمام سيكون سالبًا وأن الجيب سيكون موجبًا. لذلك ، من مشتقات المعادلات البارامترية ، يمكننا أن نرى أن (س ) لا يزال يتناقص و (ص ) سوف يتناقص الآن أيضًا.

في هذا الربع لا يخبرنا المشتق (y ) بأي شيء لأن (y ) ببساطة يجب أن ينخفض ​​للانتقال من ( يسار (<0،2> يمين) ). ومع ذلك ، من أجل تقليل (س ) ، كما نعلم في هذا الربع ، يجب أن يظل الاتجاه يتحرك في دوران عكس اتجاه عقارب الساعة.

نحن الآن في ( left (<- 5،0> right) ) وسنزيد (t ) من (t = pi ) إلى (t = frac << 3 pi >> <2> ). في هذا النطاق من (t ) نعلم أن جيب التمام سالب (وبالتالي (ص ) سوف يتناقص) والجيب أيضًا سلبي (وبالتالي (س ) سوف يتزايد). لذلك ، سوف نستمر في التحرك في عكس اتجاه عقارب الساعة.

بالنسبة للربع الرابع سنبدأ عند ( left (<0، - 2> right) ) ونزيد (t ) من (t = frac << 3 pi >> <2> ) إلى (t = 2 pi ). في هذا النطاق من (t ) نعلم أن جيب التمام موجب (وبالتالي (ص ) سيزداد) وأن الجيب سالب (وبالتالي (س ) سوف يتزايد). لذلك ، كما في الأرباع الثلاثة السابقة ، نستمر في التحرك في عكس اتجاه عقارب الساعة.

في هذه المرحلة ، غطينا نطاق (t ) الذي حصلنا عليه في بيان المشكلة وخلال النطاق الكامل كانت الحركة في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

يمكننا الآن رسم المنحنى البارامتري بالكامل ، ها هو الرسم التخطيطي.

حسنًا ، كان هذا مثالًا طويلاً حقًا. معظم هذه الأنواع من المشاكل ليست طويلة. كان لدينا الكثير لمناقشته في هذه الفكرة حتى نتمكن من إخراج بعض الأفكار المهمة من الطريق. يجب ألا تستغرق بقية الأمثلة في هذا القسم وقتًا طويلاً.

الآن ، دعنا نلقي نظرة على مثال آخر من شأنه أن يوضح فكرة مهمة حول المعادلات البارامترية.

لاحظ أن الاختلاف الوحيد بين هذه المعادلات البارامترية وتلك الموجودة في المثال 4 هو أننا استبدلنا (t ) بـ 3 (t ). يمكننا حذف المعلمة هنا بنفس الطريقة التي فعلناها في المثال السابق.

[ cos يسار (<3t> يمين) = frac<5> hspace <0.5in> sin left (<3t> right) = frac<2>]

لذلك ، نحصل على نفس القطع الناقص الذي حصلنا عليه في المثال السابق. لاحظ أيضًا أنه يمكننا إجراء نفس التحليل على المعادلات البارامترية لتحديد أن لدينا نفس الحدود بالضبط على (س ) و (ص ). يسمى،

[- 5 le x le 5 hspace <0.5in> hspace <0.25in> - 2 le y le 2 ]

لقد بدأ يبدو أن تغيير (t ) إلى 3 (t ) في المعادلات المثلثية لن يغير منحنى البارامتر بأي شكل من الأشكال. هذا ليس صحيحا مع ذلك. يتغير المنحنى بطريقة صغيرة ولكنها مهمة سنناقشها قريبًا.

قبل مناقشة هذا التغيير الصغير الذي يجلبه 3 (t ) إلى المنحنى ، دعونا نناقش اتجاه الحركة لهذا المنحنى. على الرغم من حقيقة أننا قلنا في المثال الأخير أن اختيار قيم (t ) والتعويض في المعادلات لإيجاد نقاط لرسمها هو فكرة سيئة ، فلنفعل ذلك بأي طريقة.

بالنظر إلى مدى (t ) 's من بيان المشكلة ، تبدو المجموعة التالية اختيارًا جيدًا من (t )' s للاستخدام.

(ر ) (س ) (ص )
0 5 0
( فارك < بي> <2> ) 0 -2
( بي ) -5 0
( فارك << 3 بي >> <2> ) 0 2
(2 بي ) 5 0

لذلك ، فإن التغيير الوحيد على جدول القيم / النقاط هذا من المثال الأخير هو جميع القيم غير الصفرية (y ) التي تم تغييرها. من نظرة سريعة على القيم الموجودة في هذا الجدول ، يبدو أن المنحنى ، في هذه الحالة ، يتحرك في اتجاه عقارب الساعة. لكن هل هذا صحيح؟ تذكر أننا قلنا أن جداول القيم هذه قد تكون مضللة عند استخدامها لتحديد الاتجاه ولهذا السبب لا نستخدمها.

دعونا نرى ما إذا كان انطباعنا الأول صحيحًا. يمكننا التحقق من انطباعنا الأول عن طريق عمل مشتق للحصول على الاتجاه الصحيح. دعونا نعمل فقط مع المعادلة البارامترية (y ) حيث أن (x ) سيكون لها نفس المشكلة التي واجهتها في المثال السابق. مشتق المعادلة البارامترية هو ،

الآن ، إذا بدأنا من (t = 0 ) كما فعلنا في المثال السابق وبدأنا في الزيادة (t ). عند (t = 0 ) يكون المشتق موجبًا بوضوح وبالتالي فإن زيادة (t ) (على الأقل في البداية) ستجبر (y ) على الزيادة أيضًا. الطريقة الوحيدة لحدوث ذلك هي إذا كان المنحنى في الواقع يتتبع في اتجاه عكس عقارب الساعة في البداية.

الآن ، يمكننا أن نستمر في النظر إلى ما يحدث بينما نزيد (t ) ، ولكن عند التعامل مع منحنى حدودي يمثل قطع ناقص كامل (كما هو الحال) وتكون حجة الدوال المثلثية من الشكل NT لأي ثابت (n ) لن يتغير الاتجاه لذا بمجرد أن نعرف الاتجاه الأولي نعرف أنه سيتحرك دائمًا في هذا الاتجاه. لاحظ أن هذا ينطبق فقط على المعادلات البارامترية بالصيغة التي لدينا هنا. سنرى في الأمثلة اللاحقة أنه قد لا يكون هذا صحيحًا بالنسبة لأنواع مختلفة من المعادلات البارامترية.

حسنًا ، من هذا التحليل ، يمكننا أن نرى أنه يجب تتبع المنحنى في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. هذا يتعارض بشكل مباشر مع تخميننا من جداول القيم أعلاه ولذا يمكننا أن نرى أنه في هذه الحالة ، من المحتمل أن يقودنا الجدول إلى الاتجاه الخاطئ. لذا ، مرة أخرى ، لا يمكن الاعتماد على الجداول بشكل عام للحصول على أي معلومات حقيقية إلى حد كبير حول منحنى حدودي بخلاف بعض النقاط التي يجب أن تكون على المنحنى. خارج ذلك ، نادراً ما تكون الجداول مفيدة ولن يتم تناولها بشكل عام في أمثلة أخرى.

إذن ، لماذا أعطت طاولتنا انطباعًا غير صحيح عن الاتجاه؟ حسنًا ، تذكر أننا ذكرنا سابقًا أن 3 (t ) سيؤدي إلى تغيير صغير ولكنه مهم للمنحنى مقابل (t ) فقط؟ دعنا نلقي نظرة على ماهية هذا التغيير فقط لأنه سيجيب أيضًا على "الخطأ الذي حدث" في جدول القيم لدينا.

لنبدأ بالنظر في (t = 0 ). عند (t = 0 ) نحن عند النقطة ( left (<5،0> right) ) ودعونا نسأل أنفسنا ما هي قيم (t ) التي تعيدنا إلى هذه النقطة. لقد رأينا في المثال 3 كيفية تحديد قيمة (قيم) (t ) التي تضعنا في نقاط معينة وستعمل نفس العملية هنا مع تعديل بسيط.

بدلاً من النظر إلى المعادلتين (x ) و (y ) كما فعلنا في هذا المثال ، دعنا نلقي نظرة على معادلة (x ). والسبب في ذلك هو أننا سنلاحظ أن هناك نقطتين على القطع الناقص سيكون لهما إحداثي (y ) صفر ، ( يسار (<5،0> right) ) و ( يسار (<- 5،0> right) ). إذا قمنا بتعيين إحداثي (y ) مساويًا للصفر ، فسنجد جميع (t ) الموجودة في كلتا النقطتين عندما نريد فقط قيم (t ) الموجودة في ( يسار (<5،0> right) ).

لذلك ، نظرًا لأن إحداثي (x ) للخمسة سيحدث فقط في هذه المرحلة ، يمكننا ببساطة استخدام (x ) المعادلة البارامترية لتحديد قيم (t ) التي ستضعنا في هذه المرحلة. القيام بذلك يعطي المعادلة والحل التالي ،

[يبدأ5 & ​​= 5 cos left (<3t> right) ، 3t & = < cos ^ <- 1 >> left (1 right) = 0 + 2 pi n hspace <0.25in > ، ، ، إلى hspace <0.25in> ، ، ، ، ، ، t = frac <2> <3> pi n ، ، ، ، ، ، n = 0، pm 1، pm 2، pm 3، ldots end]

لا تنس أنه عند حل معادلة حساب مثلثية ، نحتاج إلى إضافة " (+ 2 pi n )" حيث يمثل (n ) عدد الدورات الكاملة في اتجاه عكس عقارب الساعة (موجب (n) )) واتجاه عقارب الساعة (سالب (n )) الذي نقوم بالتدوير من الحل الأول للحصول على جميع الحلول الممكنة للمعادلة.

الآن ، دعنا نضيف بعض القيم (n ) بدءًا من (n = 0 ). لا نحتاج إلى سالب (n ) في هذه الحالة لأن كل هذه النتائج ستؤدي إلى (t ) سالبة وتلك تقع خارج نطاق (t ) الذي تم تقديمه لنا في بيان المشكلة. القيم القليلة الأولى لـ (t ) هي إذن ،

يمكننا التوقف هنا لأن جميع القيم الإضافية لـ (t ) ستكون خارج نطاق (t ) المعطى في هذه المشكلة.

إذن ، ما الذي يخبرنا به هذا؟ حسنًا ، بالعودة إلى المثال 4 عندما كانت الوسيطة مجرد (t ) تم تتبع القطع الناقص مرة واحدة بالضبط في النطاق (0 le t le 2 pi ). ومع ذلك ، عندما نغير الوسيطة إلى 3 (t ) (ونذكر أن المنحنى سيتم تتبعه دائمًا في عكس اتجاه عقارب الساعة لهذه المشكلة) فإننا نمر بنقطة "البداية" من ( يسار ( <5،0> right) ) مرتين أكثر مما فعلناه في المثال السابق.

في الواقع ، يتتبع هذا المنحنى ثلاث مرات منفصلة. تم إكمال التتبع الأول في النطاق (0 le t le frac << 2 pi >> <3> ). اكتمل التتبع الثاني في النطاق ( frac << 2 pi >> <3> le t le frac << 4 pi >> <3> ) ويكتمل التتبع الثالث والأخير في النطاق ( frac << 4 pi >> <3> le t le 2 pi ). بمعنى آخر ، يؤدي تغيير الوسيطة من (t ) إلى 3 (t ) إلى زيادة سرعة التتبع وسيتتبع المنحنى الآن ثلاث مرات في النطاق (0 le t le 2 pi )!

هذا هو السبب في أن الجدول يعطي انطباعًا خاطئًا. زادت سرعة التتبع مما أدى إلى ظهور انطباع غير صحيح من النقاط في الجدول. يبدو أن الجدول يشير إلى أنه بين كل زوج من قيم (t ) يتم تتبع ربع القطع الناقص في اتجاه عقارب الساعة بينما في الواقع يتتبع ثلاثة أرباع القطع الناقص في اتجاه عكس عقارب الساعة.

إليك رسمًا تخطيطيًا نهائيًا للمنحنى ولاحظ أنه لا يختلف كثيرًا عن الرسم السابق. الاختلافات الوحيدة هي قيم (t ) والنقاط المختلفة التي قمنا بتضمينها. لقد قمنا بتضمين عدد قليل من قيم (t ) في نقاط مختلفة فقط لتوضيح مكان المنحنى لقيم مختلفة لـ (t ) ولكن بشكل عام ليست هناك حاجة لهذه القيم حقًا.

لذلك ، رأينا في المثالين الأخيرين مجموعتين من المعادلات البارامترية التي أعطت بطريقة ما نفس التمثيل البياني. ومع ذلك ، لأنهم تتبعوا الرسم البياني عددًا مختلفًا من المرات ، نحتاج حقًا إلى التفكير فيها كمنحنيات حدودية مختلفة على الأقل بطريقة ما. قد يبدو هذا فرقًا لا داعي للقلق بشأنه ، ولكن كما سنرى في الأقسام اللاحقة ، قد يكون هذا فرقًا مهمًا للغاية. في بعض الأقسام اللاحقة ، سنحتاج إلى منحنى يتم تتبعه مرة واحدة بالضبط.

قبل أن ننتقل إلى المشكلات الأخرى ، دعنا نعترف بإيجاز بما يحدث من خلال تغيير (t ) إلى NT في هذه الأنواع من المعادلات البارامترية. عندما نتعامل مع المعادلات البارامترية التي تتضمن فقط الجيب وجيب التمام وكلاهما لهما نفس الحجة إذا قمنا بتغيير الوسيطة من (t ) إلى NT نحن ببساطة نغير السرعة التي يتم بها تتبع المنحنى. إذا (n & gt 1 ) سنزيد السرعة وإذا (n & lt 1 ) سنقلل السرعة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى.

يمكننا حذف المعامل كما فعلنا في المثالين السابقين. ومع ذلك ، سنحتاج إلى ملاحظة أن (x ) يحتوي بالفعل على (< sin ^ 2> t ) وبالتالي لن نحتاج إلى تربيع (x ). ومع ذلك ، سنحتاج إلى تربيع (y ) كما نحتاج في المثالين السابقين.

في هذه الحالة المعادلة الجبرية عبارة عن قطع مكافئ يفتح على اليسار.

لكن علينا توخي الحذر الشديد عند رسم هذا المنحنى البارامتري. لن نحصل على القطع المكافئ كله. سيوجد رسم تخطيطي للصورة الجبرية القطع المكافئ لجميع القيم الممكنة لـ (y ). ومع ذلك ، فقد حددت المعادلات البارامترية كلاً من (x ) و (y ) من حيث الجيب وجيب التمام ونعلم أن نطاقات هذه محدودة وبالتالي لن نحصل على جميع القيم الممكنة لـ (س ) ) و (ص ) هنا. لذا ، دعنا أولاً نضع حدودًا على (س ) و (ص ) كما فعلنا في الأمثلة السابقة. القيام بهذا يعطي ،

[يبدأ - 1 le sin t le 1 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> & 0 le < sin ^ 2> t le 1 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> & 0 le x le 1 - 1 le cos t le 1 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> & - 2 le 2 cos t le 2 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> & - 2 le y le 2 end]

لذلك ، يتضح من هذا أننا سنحصل فقط على جزء من القطع المكافئ الذي تم تحديده بواسطة المعادلة الجبرية. يوجد أدناه رسم تخطيطي سريع لجزء القطع المكافئ الذي سيغطيه المنحنى البارامتري.

لإنهاء رسم المنحنى البارامترى نحتاج أيضًا إلى اتجاه الحركة للمنحنى. قبل أن نصل إلى ذلك ، دعنا نقفز إلى الأمام ونحدد نطاق (t ) 'لتتبع واحد. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى معرفة (t ) التي تضعنا عند كل نقطة نهاية ويمكننا اتباع نفس الإجراء الذي استخدمناه في المثال السابق. الاختلاف الوحيد هذه المرة هو أننا نستخدم المعادلة البارامترية (y ) بدلاً من (س ) لأن إحداثيات (y ) لنقطتي نهاية المنحنى مختلفة بينما إحداثيات (س ) هي نفسها.

لذا ، بالنسبة إلى أعلى نقطة لدينا ،

[يبدأ2 & = 2 cos t t & = < cos ^ <- 1 >> left (1 right) = 0 + 2 pi n = 2 pi n ، hspace <0.25in> n = 0 ، م 1 ، م 2 ، م 3 ، نقاط نهاية]

من أجل توصيل بعض قيم (n ) نحصل على أن المنحنى سيكون في أعلى نقطة عند ،

[t = ldots، - 4 pi، - 2 pi، 0،2 pi، 4 pi، ldots ]

وبالمثل ، بالنسبة للنقطة السفلية لدينا ،

[يبدأ - 2 & = 2 cos t t & = < cos ^ <- 1 >> left (<- 1> right) = pi + 2 pi n ، hspace <0.25in> n = 0 ، م 1 ، م 2 ، م 3 ، نقاط نهاية]

لذلك ، نرى أننا سنكون في أدنى نقطة عند ،

[t = ldots، - 3 pi، - pi، pi، 3 pi، ldots ]

لذلك ، إذا بدأنا على سبيل المثال ، (t = 0 ) ، فنحن في أعلى نقطة ونزيد (t ) علينا التحرك على طول المنحنى لأسفل حتى نصل إلى (t = pi ) عند أي نقطة نحن الآن في أسفل نقطة. هذا يعني أننا سنتتبع المنحنى مرة واحدة بالضبط في النطاق (0 le t le pi ).

ومع ذلك ، ليس هذا هو النطاق الوحيد الذي سيتتبع المنحنى. لاحظ أنه إذا قمنا بزيادة (t ) من (t = pi ) ، فسنضطر الآن إلى العودة إلى المنحنى حتى نصل إلى (t = 2 pi ) ونعود الآن إلى القمة هدف. زيادة (t ) مرة أخرى حتى نصل (t = 3 pi ) ستعيدنا إلى أسفل المنحنى حتى نصل إلى النقطة السفلية مرة أخرى ، إلخ. من هذا التحليل يمكننا الحصول على نطاقين آخرين من (t ) لتتبع واحد ،

[ pi le t le 2 pi hspace <0.5in> 2 pi le t le 3 pi ]

كما ترى على الأرجح ، هناك عدد لا حصر له من النطاقات (t ) يمكننا استخدامها لتتبع واحد للمنحنى. سيكون أي منهم إجابات مقبولة لهذه المشكلة.

لاحظ أنه في عملية تحديد نطاق (t ) لتتبع واحد ، تمكنا أيضًا من تحديد اتجاه الحركة لهذا المنحنى. في النطاق (0 le t le pi ) كان علينا السفر لأسفل على طول المنحنى للانتقال من النقطة العليا عند (t = 0 ) إلى النقطة السفلية عند (t = pi ) . ومع ذلك ، عند (t = 2 pi ) عدنا إلى أعلى نقطة على المنحنى ولكي نصل إلى هناك يجب أن نسير على طول المسار. لا يمكننا القفز مرة أخرى إلى أعلى نقطة أو اتخاذ مسار مختلف للوصول إلى هناك. يجب أن يتم السفر على المسار المحدد. هذا يعني أنه كان علينا العودة إلى المسار. زيادة (t ) تعيدنا إلى أسفل المسار ، ثم صعود المسار مرة أخرى إلخ.

بمعنى آخر ، يتم رسم هذا المسار في كلا الاتجاهين لأننا لا نضع أي قيود على (t ) ، ولذا علينا أن نفترض أننا نستخدم جميع القيم الممكنة لـ (t ). إذا كنا قد وضعنا قيودًا على استخدام (t ) ، فربما انتهى بنا الأمر إلى التحرك في اتجاه واحد فقط. ومع ذلك ، سيكون ذلك نتيجة فقط لنطاق (t ) الذي نستخدمه وليس المعادلات البارامترية نفسها.

لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى القيام بالعمل أعلاه لتحديد أن المنحنى يتتبع في كلا الاتجاهين ، في هذه الحالة. تتضمن كل من المعادلتين البارامتريتين (x ) و (y ) الجيب أو جيب التمام ونعلم أن هاتين الدالتين تتأرجحان. وهذا بدوره يعني أن كلا من (س ) و (ص ) سوف يتأرجحان أيضًا. الطريقة الوحيدة لحدوث ذلك في هذا المنحنى بالذات هي تتبع المنحنى في كلا الاتجاهين.

كن حذرًا مع المنطق أعلاه بأن الطبيعة التذبذبية للجيب / جيب التمام تفرض تتبع المنحنى في كلا الاتجاهين. يمكن استخدامه فقط في هذا المثال لأن نقطة "البداية" ونقطة "النهاية" للمنحنيات في أماكن مختلفة. الطريقة الوحيدة للانتقال من إحدى نقاط "النهاية" على المنحنى إلى الأخرى هي العودة على طول المنحنى في الاتجاه المعاكس.

قارن هذا مع القطع الناقص في المثال 4. في هذه الحالة كان لدينا الجيب / جيب التمام في المعادلات البارامترية أيضًا. ومع ذلك ، تم تتبع المنحنى في اتجاه واحد فقط ، وليس في كلا الاتجاهين. في المثال 4 ، كنا نرسم الشكل البيضاوي الكامل بالرسم البياني ، لذا بغض النظر عن المكان الذي بدأنا فيه رسم الرسم البياني ، سنعود في النهاية إلى نقطة "البداية" دون تصحيح أي جزء من الرسم البياني. في المثال 4 ، أثناء تتبعنا للقطع الناقص الكامل ، يتأرجح كل من (x ) و (y ) في الواقع بين "نقطتي النهاية" ولكن المنحنى نفسه لا يتتبع في كلا الاتجاهين حتى يحدث هذا.

في الأساس ، يمكننا فقط استخدام الطبيعة التذبذبية للجيب / جيب التمام لتحديد أن المنحنى يتتبع في كلا الاتجاهين إذا كان المنحنى يبدأ وينتهي عند نقاط مختلفة. إذا كانت نقطة البداية / النهاية هي نفسها ، فسنحتاج عمومًا إلى المرور بالحجة المشتقة الكاملة لتحديد الاتجاه الفعلي للحركة.

إذن ، لإنهاء هذه المشكلة ، يوجد أدناه رسم تخطيطي لمنحنى البارامتر. لاحظ أننا وضعنا أسهم الاتجاه في كلا الاتجاهين للإشارة بوضوح إلى أنه سيتم تتبعها في كلا الاتجاهين. وضعنا أيضًا بعض القيم (t ) فقط للمساعدة في توضيح اتجاه الحركة.

إلى هذه النقطة ، رأينا أمثلة من شأنها تتبع الرسم البياني الكامل الذي حصلنا عليه من خلال حذف المعلمة إذا أخذنا نطاقًا كبيرًا بما يكفي من (t ) 's. ومع ذلك ، في المثال السابق رأينا الآن أن هذا لن يكون هو الحال دائمًا. من الممكن أن يكون لديك مجموعة من المعادلات البارامترية التي ستتبع باستمرار جزءًا فقط من المنحنى. يمكننا عادةً تحديد ما إذا كان هذا سيحدث من خلال البحث عن حدود (x ) و (y ) التي تفرضها علينا المعادلة البارامترية.

سنستخدم غالبًا المعادلات البارامترية لوصف مسار كائن أو جسيم. دعونا نلقي نظرة على مثال على ذلك.

صف تماما مسار هذا الجسيم. افعل ذلك عن طريق رسم المسار وتحديد حدود (x ) و (y ) وإعطاء نطاق من (t ) سيتم تتبع المسار من أجله مرة واحدة بالضبط (قدمه يتتبع أكثر من مرة واحدة بالطبع).

سيكون التخلص من المعلمة هذه المرة مختلفًا بعض الشيء. لدينا جيب التمام هذه المرة فقط وسنستخدم ذلك لصالحنا.يمكننا حل معادلة (x ) لجيب التمام والتعويض عنها في معادلة (y ). هذا يعطي،

هذه المرة المعادلة الجبرية عبارة عن قطع مكافئ ينفتح لأعلى. لدينا أيضًا الحدود التالية على (س ) و (ص ).

[يبدأ - 1 le cos left (<2t> right) le 1 & hspace <0.25in> & - 3 le 3 cos left (<2t> right) le 3 & hspace <0.5 في> & - 3 le x le 3 0 le < cos ^ 2> left (<2t> right) le 1 & hspace <0.25in> & 1 le 1 + < cos ^ 2> يسار (<2t> يمين) le 2 & hspace <0.25in> & 1 le y le 2 end]

لذا ، مرة أخرى ، نتتبع فقط جزءًا من المنحنى. فيما يلي رسم تخطيطي سريع لجزء القطع المكافئ الذي سيغطيه المنحنى البارامتري.

الآن ، كما ناقشنا في المثال السابق لأن كلاً من المعادلتين البارامتريتين (x ) و (y ) يشتملان على جيب التمام ، نعلم أن كلاً من (x ) و (y ) يجب أن يتأرجحا ولأن "البداية" و "نهايات" المنحنى ليست هي نفسها الطريقة الوحيدة التي يمكن بها (س ) و (ص ) أن تتأرجح هي أن يتتبع المنحنى في كلا الاتجاهين.

لإنهاء المشكلة ، كل ما نحتاج إلى القيام به هو تحديد نطاق من (t ) لتتبع واحد. نظرًا لأن نقاط "النهاية" على المنحنى لها نفس قيمة (y ) وقيم (x ) مختلفة ، يمكننا استخدام (x ) المعادلة لتحديد هذه القيم. هنا هذا العمل.

لذلك ، سنكون عند نقطة النهاية اليمنى عند (t = ldots ، - 2 pi ، - pi ، 0 ، pi ، 2 pi ، ldots ) ​​وسنكون عند نقطة النهاية اليسرى في (t = ldots، - frac <3> <2> pi، - frac <1> <2> pi، frac <1> <2> pi، frac <3> <2 > pi ، ldots ). لذلك ، في هذه الحالة ، يوجد عدد لا حصر له من النطاقات (t ) لتتبع واحد. هنا القليل منهم

[- frac <1> <2> pi le t le 0 hspace <0.25in> hspace <0.25in> 0 le t le frac <1> <2> pi hspace < 0.25in> hspace <0.25in> frac <1> <2> pi le t le pi ]

فيما يلي رسم تخطيطي نهائي لمسار الجسيم بقيم قليلة لـ (t ) عليه.

يجب أن نعطي تحذيرًا صغيرًا في هذه المرحلة. بسبب الأفكار المتضمنة فيها ، ركزنا على المنحنيات البارامترية التي استعادت أجزاء من المنحنى أكثر من مرة. ومع ذلك ، لا تنشغل بفكرة أن هذا سيحدث دائمًا. سيتم تتبع العديد من المنحنيات البارامترية ، إن لم يكن معظمها ، مرة واحدة فقط. أول ما نظرنا إليه هو مثال جيد على ذلك. لن يكرر هذا المنحنى البارامتري أي جزء من نفسه.

هناك موضوع أخير يجب مناقشته في هذا القسم قبل الانتقال. لقد بدأنا حتى الآن بالمعادلات البارامترية واستبعدنا المعلمة لتحديد منحنى البارامتر.

ومع ذلك ، هناك أوقات نريد أن نسير فيها في الاتجاه الآخر. بالنظر إلى دالة أو معادلة ، قد نرغب في كتابة مجموعة من المعادلات البارامترية لها. في هذه الحالات نقول إننا حدد المعلمات الوظيفة.

إذا أخذنا المثالين 4 و 5 كأمثلة ، فيمكننا فعل ذلك مع الأشكال البيضاوية (وبالتالي الدوائر). بالنظر إلى القطع الناقص

مجموعة من المعادلات البارامترية لذلك سيكون ،

هذه المجموعة من المعادلات البارامترية سوف تتعقب القطع الناقص بدءًا من النقطة ( اليسار ( right) ) وسوف يتتبع في عكس اتجاه عقارب الساعة وسوف يتتبع مرة واحدة بالضبط في النطاق (0 le t le 2 pi ). هذه مجموعة مهمة إلى حد ما من المعادلات البارامترية لأنها تستخدم باستمرار في بعض الموضوعات للتعامل مع الحذف و / أو الدوائر.

يمكن تحديد معلمات كل منحنى بأكثر من طريقة. سيؤدي أي مما يلي أيضًا إلى تحديد معلمات نفس القطع الناقص.

[يبدأx & = a cos left (< omega ، t> right) hspace <0.5in> & y & = b sin left (< omega ، t> right) x & = a sin left (< omega ، t> right) hspace <0.5in> & y & = b cos left (< omega ، t> right) x & = a cos left (< omega ، t> right) hspace <0.5in> & y & = - b sin left (< omega ، t> right) end]

سيؤدي وجود ( omega ) إلى تغيير السرعة التي يدور بها القطع الناقص كما رأينا في المثال 5. لاحظ أيضًا أن الأخيرين سيتتبعان الأشكال البيضاوية مع اتجاه حركة عقارب الساعة (قد ترغب في التحقق من ذلك) . لاحظ أيضًا أنهم لن يبدأوا جميعًا من نفس المكان (إذا فكرنا في (t = 0 ) كنقطة البداية).

هناك العديد من المعلمات للقطع الناقص بالطبع ، لكنك حصلت على الفكرة. من المهم أن تتذكر أن كل معلمة ستتبع المنحنى مرة واحدة بنطاق مختلف محتمل من (t ). قد تدور كل معلمة باتجاهات مختلفة للحركة وقد تبدأ في نقاط مختلفة.

قد تجد أنك بحاجة إلى تحديد معلمات للقطع الناقص الذي يبدأ في مكان معين وله اتجاه معين للحركة ، لذا فأنت تعلم الآن أنه مع بعض الأعمال يمكنك كتابة مجموعة من المعادلات البارامترية التي ستمنحك السلوك الذي بعد.

الآن ، دعنا نكتب اثنين من المعلمات المهمة الأخرى وكل التعليقات حول اتجاه الحركة ، ونقطة البداية ، ونطاق (t ) 's لتتبع واحد (إن أمكن) لا تزال صحيحة.

أولاً ، نظرًا لأن الدائرة ليست أكثر من حالة خاصة للقطع الناقص ، فيمكننا استخدام معلمات القطع الناقص للحصول على المعادلات البارامترية لدائرة متمركزة في أصل نصف القطر (r ) أيضًا. إحدى الطرق الممكنة لوضع معلمات لدائرة هي ،

أخيرًا ، على الرغم من أنه قد لا يبدو أن هناك أي سبب لذلك ، يمكننا أيضًا تحديد معلمات للوظائف في الشكل (y = f left (x right) ) أو (x = h left (y right) ). في هذه الحالات ، نضع معايير لها بالطريقة التالية ،

[يبدأx & = t hspace <1.0in> & x & = h left (t right) y & = f left (t right) hspace <1.0in> & y & = t end]

في هذه المرحلة ، قد لا يبدو من المفيد جدًا إجراء تحديد معلمات لوظيفة مثل هذه ، ولكن هناك العديد من الحالات حيث سيكون من الأسهل بالفعل ، أو قد يكون مطلوبًا ، العمل مع المعلمات بدلاً من الوظيفة نفسها. لسوء الحظ ، تحدث جميع هذه الحالات تقريبًا في دورة حساب التفاضل والتكامل III.


الرياضيات الهندسية - حساب التفاضل والتكامل دورة ePrep لـالتحضير للجامعة

نظرًا لضيق الوقت ، تعتبر الفصول العشرة الأولى فقط إلزامية لأغراض إصدار الشهادات ، ولكن المواد والدعم للفصول السبعة المتبقية متاحة أيضًا.

I. فصول إلزامية

الفصل 1: الوظائف والحدود

1.1: أربع طرق لتمثيل وظيفة

1.2: النماذج الرياضية: فهرس الوظائف الأساسية

1.3: وظائف جديدة من الوظائف القديمة

1.4: مشاكل الظل والسرعة

1.5: حد الوظيفة

1.6: حساب الحدود باستخدام قوانين الحدود

1.7: التعريف الدقيق للحد

الفصل 2: المشتقات

2.1: المشتقات ومعدلات التغيير

2.2: المشتق كوظيفة

2.3: صيغ التمايز

2.4: مشتقات الدوال المثلثية

2.6: التمايز الضمني

2.7: معدلات التغيير في العلوم الطبيعية والاجتماعية

2.9: التقريبات والتفاضلات الخطية

الفصل 3: تطبيقات التمايز

3.1: القيم القصوى والدنيا

3.2: نظرية القيمة المتوسطة

3.3: كيف تؤثر المشتقات على شكل الرسم البياني

3.4: الحدود عند الخطوط المقاربة الأفقية اللانهاية

3.5: ملخص رسم المنحنى

3.6: الرسم البياني باستخدام التفاضل والتكامل والآلات الحاسبة

الفصل 4: التكاملات

4.3: النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل

4.4: التكاملات غير المحددة ونظرية التغيير الصافي

الفصل 5: تطبيقات التكامل

5.3: مجلدات بأصداف أسطوانية

5.5: متوسط ​​قيمة دالة

الفصل 6: وظائف معكوسة

6.2: الدوال الأسية ومشتقاتها

6.2 *: الوظيفة اللوغاريتمية الطبيعية

6.3 *: الوظيفة الأسية الطبيعية

6.4: مشتقات الدوال اللوغاريتمية

6.4 *: الوظائف اللوغاريتمية والأسية العامة

6.5: النمو الأسي والانحطاط

6.6: الدوال المثلثية المعكوسة

6.8: نماذج غير محددة وقاعدة l & # 8217Hospital & # 8217s

الفصل 7: تقنيات التكامل

7.2: التكاملات المثلثية

7.3: التعويض المثلثي

7.4: تكامل الدوال المنطقية بواسطة الكسور الجزئية

7.5: استراتيجية التكامل

7.6: التكامل باستخدام الجداول وأنظمة الجبر الحاسوبية

7.7: تكامل تقريبي

الفصل 8: مزيد من تطبيقات التكامل

8.2: مساحة سطح الثورة

8.3: تطبيقات الفيزياء والهندسة

8.4: تطبيقات في علم الاقتصاد وعلم الأحياء

الفصل 9: المعادلات التفاضلية

9.1: النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية

9.2: حقول الاتجاه وطريقة أويلر & # 8217s

9.4: نماذج النمو السكاني

الفصل العاشر: المعادلات البارامترية والإحداثيات القطبية

10.1: منحنيات محددة بواسطة المعادلات البارامترية

10.2: حساب التفاضل والتكامل مع المنحنيات البارامترية

10.4: المساحات والأطوال في الإحداثيات القطبية

10.6: أقسام مخروطية في الإحداثيات القطبية

الفصل 11: المتتاليات والمتسلسلات اللانهائية

11.3: الاختبار المتكامل وتقديرات المجاميع

11.6: التقارب المطلق واختبارات النسبة والجذر

11.7: إستراتيجية سلسلة الاختبار

11.9: تمثيلات الوظائف كسلسلة سلطة

11.10: سلسلة تايلور وماكلورين

11.11: تطبيقات Taylor Polynomials

الفصل 12: المتجهات وهندسة الفضاء

12.1: أنظمة إحداثيات ثلاثية الأبعاد

12.5: معادلات الخطوط والمستويات

12.6: الأسطوانات والأسطح الرباعية

الفصل 13: وظائف المتجه

13.1: دالات المتجهات ومنحنيات الفضاء

13.2: مشتقات وتكامل دوال المتجهات

13.3: طول القوس والانحناء

13.4: الحركة في الفضاء: السرعة والتسارع

الفصل 14: المشتقات الجزئية

14.1: وظائف عدة متغيرات

14.2: الحدود والاستمرارية

14.4: المستويات المماسية والتقريب الخطي

14.6: المشتقات الاتجاهية ومتجه التدرج

14.7: القيم القصوى والدنيا

الفصل 15: تكاملات متعددة

15.1: التكاملات المزدوجة على المستطيلات

15.3: التكاملات المزدوجة على المناطق العامة

15.4: التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية

15.5: تطبيقات التكاملات المزدوجة

15.8: التكاملات الثلاثية في إحداثيات أسطوانية

15.9: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية

15.10: تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة

مسلسل الغربال 2 الحلقه 16 متجه حساب التفاضل والتكامل

16.3: النظرية الأساسية لتكاملات الخط

16.6: الأسطح البارامترية ومناطقها

16.9: نظرية الاختلاف

مسلسل الغربال 2 الحلقه 17 المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية

17.1: معادلات خطية من الدرجة الثانية

17.2: معادلات خطية غير متجانسة

17.3: تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية

ما تحصل عليه في دورة ePrep هذه

I. كتاب مدرسي مجاني
& # 8220Calculus & # 8221 هو كتاب مدرسي شائع جدًا في حساب التفاضل والتكامل ، من تأليف جيمس ستيوارت ، الطبعة الثامنة. استخدم ملايين الطلاب في جميع أنحاء العالم الكتب المدرسية لجيمس ستيوارت.
II. استشارة مجانية
أستاذ متقاعد من جامعة NTU يقوم بدور المعلم. يمكنك استشارته عبر البريد الإلكتروني أو WhatsApp.
ثالثا. المواد على الإنترنت
1. ملاحظات ودروس فيديو وملفات PowerPoint.
2. إجابات / حلول لجميع الأسئلة / المشاكل في الكتاب المدرسي.
3. تمارين على الإنترنت.
4. مشاكل وحلول في الملفات.
5. مواد تعليمية إضافية في فروع الرياضيات الأخرى ، بما في ذلك الجبر والهندسة وعلم المثلثات والاحتمالات والإحصاء ، وكذلك في مواضيع أخرى مثل تمويل الأعمال التجارية وتمويل الشركات والاقتصاد الهندسي والاقتصاد والفيزياء والميكانيكا وبرمجة بايثون والحياة العلوم والتكنولوجيا الحيوية وعلم النفس.
رابعا. شهادة رقمية
سيتم إصدار شهادة رقمية إذا كنت قد أكملت دورة ePrep بنجاح واجتازت جميع الاختبارات في نهاية كل فصل من الفصول العشرة الإجبارية.

نماذج من الرياضيات الهندسية - مواد دورة حساب التفاضل والتكامل ePrep

1. درس فيديو (المنطقة بين المنحنيات)

يناقش هذا الدرس بالفيديو تحديد المنطقة بين منحنيين ، من خلال إيجاد نقاط التقاطع أولاً ، ثم تحديد مساحة المنطقة التي يحدها المنحنيان عن طريق دمج مساحات المثلثات الصغيرة داخل المنطقة.

2. المشكلة والحل (اندماج)

3. مراجعة علم الجبر (نظرية ثنائية)

يعد الجبر فرعًا مهمًا جدًا وأكثر أهمية في الرياضيات ويوفر أداة مفيدة لحل مسائل التفاضل والتكامل. لذلك يتم إجراء مراجعة للجبر قبل دراسة التفاضل والتكامل.

عينة من مواد الدورة التكميلية

& # 8211 من دورات الرياضيات الأخرى ePrep

1. درس فيديو في الرياضيات للشؤون الإدارية والحياتية والاجتماعية (وظائف أسية)

يوضح درس الفيديو هذا خطوات الحل في حل مشكلة نصف العمر كنموذج تسوس أسي.

2. درس فيديو عن الاحتمالية (احتمالية وقوع أحداث منفصلة)

يوضح درس الفيديو هذا استخدام مفهوم مساحة العينة لحل مشكلة احتمال حدث منفصل.

3. درس فيديو عن الإحصاء (فاصل الثقة)

يوضح درس الفيديو هذا كيف يمكننا استخدام متوسط ​​العينة والانحراف المعياري وحجم العينة لحساب فاصل الثقة لمتوسط ​​المحتوى.

عينات من مواد الدورة الإضافية

1. درس فيديو عن تمويل الأعمال (المعاش العادي والمعاش المستحق)

يوضح هذا الدرس بالفيديو القصير ما هو القسط السنوي وكيف يختلف القسط السنوي المستحق.

2. درس فيديو عن تمويل الشركات (نموذج النمو المستدام)

يوضح درس الفيديو هذا أن نموذج النمو المستدام مخصص للأعمال التجارية التي تريد الحفاظ على نسبة عائد مستهدفة وهيكل رأس المال دون إصدار حقوق ملكية جديدة ، كما يوفر تقديرًا للنسبة المئوية للزيادة السنوية في المبيعات التي يمكن دعمها.

3. لغز الكلمات المتقاطعة حول التكنولوجيا الحيوية (مبدأ النقل الجيني)

4. مثال عملي على الاقتصاد الهندسي (تقييم المشاريع)

يجري النظر في نظام تدفئة فضاء معدّل لمبنى مكتبي صغير. يمكن شراء النظام وتركيبه مقابل 110.000 دولار ، وسيوفر ما يقدر بـ 300.000 كيلو واط / ساعة من الطاقة الكهربائية كل عام على مدى ست سنوات. تبلغ تكلفة الكهرباء بالكيلوواط / ساعة .10 ، وتستخدم الشركة معدل MARR بنسبة 15٪ سنويًا في تقييماتها الاقتصادية للأنظمة التي تم تجديدها. ستكون القيمة السوقية للنظام 8000 دولار في نهاية ست سنوات ، ونفقات التشغيل والصيانة السنوية الإضافية لا تكاد تذكر. استخدم طريقة PW لتحديد ما إذا كان يجب تثبيت هذا النظام.

للعثور على PW لنظام التدفئة المقترح ، نحتاج إلى إيجاد المكافئ الحالي لجميع التدفقات النقدية المرتبطة.

تبلغ المدخرات السنوية المقدرة في الطاقة الكهربائية 300000 كيلو واط ساعة × 10 / كيلو واط ساعة = 30 ألف دولار أمريكي سنويًا.

PW (15٪) = - $ 110،000 + USD 30،000 (P / A، 15٪، 6) + $ 8،000 (P / F، 15٪، 6)

= −$110,000 + $30,000(3.7845) + $8,000(0.4323)

نظرًا لأن PW (15 ٪) 0 ، فإننا نستنتج أنه يجب تثبيت نظام تدفئة الفضاء الذي تم تحديثه.

MARR = الحد الأدنى المقبول لمعدل العائد

(P / A، 15٪، 6) and (P / F، 15٪، 6) هي عوامل يمكن الحصول عليها من الجداول أو البرامج أو الحاسبة المالية أو عن طريق تطبيق الصيغ.


أهلا بك!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


الرياضيات 141 حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية II

وصف الكتاب الأزرق: MATH 141 هو المقرر الدراسي الثاني في تسلسل حساب التفاضل والتكامل المكون من مادتين أو ثلاث دورات للطلاب في مجالات العلوم والهندسة والمجالات ذات الصلة. حساب التفاضل والتكامل هو لبنة مهمة في تعليم أي محترف يستخدم التحليل الكمي. يقدم هذا المساق كذلك ويطور المهارات الرياضية المطلوبة لتحليل النمو والتغيير وإنشاء نماذج رياضية تكرر ظواهر الحياة الحقيقية. تشمل أهداف دوراتنا في حساب التفاضل والتكامل تطوير معرفة الطلاب بتقنيات التفاضل والتكامل واستخدام بيئة حساب التفاضل والتكامل لتطوير مهارات التفكير النقدي وحل المشكلات. يغطي هذا المقرر الموضوعات التالية: اللوغاريتمات ، الأسي ، وتطبيقات الدوال المثلثية العكسية للتكامل المحدد وتقنيات متواليات التكامل وسلسلة القدرة المتسلسلة ومعادلات تايلور متعددة الحدود والمعادلات الدوال القطبية. يمكن للطلاب أخذ مقرر دراسي واحد فقط للحصول على درجات من رياضيات 141 و 141 ب و 141 هـ.

المتطلبات المسبقة: MATH 140 أو MATH 140A أو MATH 140B أو MATH 140E أو MATH 140G أو MATH 140H.

شرط مسبق ل: رياضيات 230 و 231 و 250 و 251 و 311 و 312 و 312

ليسانس الآداب: القياس الكمي
التعليم العام: القياس الكمي (GQ)
هدف تعلم GenEd: النقد والتفكير التحليلي
الهدف التعليمي لـ GenEd: معرفة القراءة والكتابة الرئيسية

الكتاب المدرسي المقترح:
حساب التفاضل والتكامل الفردي المتغير: التجاوزات المبكرة ، المجلد 2 ، الطبعة الثامنة ، بقلم جيمس ستيوارت ، نشرته شركة Brookes / Cole Cengage Learning
تحقق مع مدرسك للتأكد من أن هذا هو الكتاب المدرسي المستخدم في القسم الخاص بك.

المواضيع:
الفصل السابع: تقنيات التكامل
7.1 التكامل بالأجزاء
7.2 التكاملات المثلثية
7.3 التعويض المثلثي
7.4 تكامل الدوال المنطقية بواسطة الكسور الجزئية
7.5 استراتيجية التكامل
7.7 تكامل تقريبي
7.8 التكاملات غير الصحيحة

الفصل الثامن: تطبيقات أخرى للتكامل
8.1 طول القوس (اختياري)

الفصل 11: المتتاليات والمتسلسلات اللانهائية
11.1 التسلسلات
11.2 سلسلة
11.3 الاختبار المتكامل وتقديرات المجاميع
11.4 اختبارات المقارنة
11.5 سلسلة متناوبة
11.6 التقارب المطلق واختبارات النسبة والجذر
11.7 إستراتيجية سلسلة الاختبار
11.8 سلسلة الطاقة
11.9 تمثيلات الوظائف كسلسلة طاقة
11.10 سلسلة تايلور وماكلورين
11.11 تطبيقات Taylor Polynomials (اختياري)

الفصل العاشر: المعادلات البارامترية والإحداثيات القطبية
10.1 المنحنيات المعرفة بواسطة المعادلات البارامترية
10.2 حساب التفاضل والتكامل مع منحنيات بارامترية (مساحة السطح اختيارية)
10.3 الإحداثيات القطبية
10.4 المناطق والطول في الإحداثيات القطبية


شارك هذه المعرفة مع أصدقائك!

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الجمعة 15 ديسمبر 2017 12:31 م

مشاركة بواسطة Chris DesRochers في 11 كانون الأول 2017

الروابط إلى المشاكل الإضافية لا تعمل. ترتبط بنفس مشاكل المحاضرة وليس أي مشاكل إضافية. :(

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الخميس 20 نوفمبر 2014 3:20 مساءً

Post by David Llewellyn في 19 نوفمبر 2014

كيف يرتبط الجدول والرسم البياني في إجابة سؤال الممارسة بالسؤال الفعلي؟ يجب أن & # 039t يوضح الرسم البياني العلاقة بين x و y وليس العلاقات بين x (وإن كانت دالة مختلفة عن السؤال) و y و t؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الجمعة 16 أغسطس 2013 6:21 مساءً

نشر بواسطة تيموثي ديفيس في 14 أغسطس 2013

مرحبا دكتور موراي ،
شكرا لإجابتي على سؤالي الأخير. أنا أستمتع تمامًا بمقاطع الفيديو الخاصة بك. ذكرت أنه بمجرد إيجاد خط المماس ، يمكننا استخدام صيغة نقطة الميل لإيجاد معادلة خط المماس. سؤالي هو ، إذا كان لدينا ميل خط الظل المحدد بالفعل بواسطة dy / dt / dx / dt ، فلماذا نحتاج إلى إيجاد معادلة خط الظل؟ ما الفرق بين ميل خط المماس ومعادلة خط المماس؟ تذهب حول هذا حوالي 1:15 في محاضرتك.

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الأربعاء 3 أبريل 2013 ، الساعة 11:52 صباحًا

نشر بواسطة omatseye ugen في 12 مارس 2012

أحسنت . لكنني اعتقدت أن هذا الفيديو سيشمل في الغالب multivar. حساب التفاضل والتكامل

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الأربعاء 3 أبريل 2013 11:48 صباحًا

بقلم أليسون والش في 6 أبريل 2011

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الأربعاء 3 أبريل 2013 11:46 صباحًا

نشر بواسطة Wen Geng في 7 مارس 2011

محاضرات الدكتور موراي واضحة وسريعة وموجزة. جيد جدا ، على عكس الكيمياء.


11.2: حساب المنحنيات البارامترية - الرياضيات

13. اكتب مجموعة من المعادلات البارامترية للمعادلة التالية.

يجب أن يكون المنحنى البارامترى الناتج عن المعادلات البارامترية عند ( left (<6،0> right) ) عندما (t = 0 ) ويجب أن يكون للمنحنى دوران عكس اتجاه عقارب الساعة.

إذا كنا لا نقلق بشأن نقطة "البداية" (بمعنى آخر. حيث يكون المنحنى عند (t = 0 )) ولا نقلق بشأن اتجاه الحركة الذي نعرفه من الملاحظات أن المجموعة التالية من المعادلات البارامترية سترسم دائرة نصف قطرها 6 متمركزة في الأصل.

[يبدأx & = 6 cos left (t right) y & = 6 sin left (t right) end]

كل ما يتعين علينا القيام به هو التحقق مما إذا كانت المتطلبات الإضافية مستوفاة أم لا.

أولاً ، يمكننا أن نرى بوضوح من خلال تقييم سريع أنه عندما (t = 0 ) نكون عند النقطة ( left (<6،0> right) ) كما نحتاج أن نكون.

بعد ذلك ، يمكننا إما استخدام معرفتنا من الأمثلة الموجودة في الملاحظات الخاصة بهذا القسم أو تحليل مشابه لبعض المشاكل السابقة في هذا القسم للتحقق من أن الدوائر في هذا النموذج ستتتبع دائمًا في عكس اتجاه عقارب الساعة.

بعبارة أخرى ، فإن مجموعة المعادلات البارامترية المذكورة أعلاه هي مجموعة من المعادلات البارامترية التي ستتبع الدائرة المعينة بالقيود المحددة. إذن ، الجواب الرسمي لهذه المشكلة هو ،

[يتطلب bbox [2pt، border: 1px أسود خالص] < startx & = 6 cos left (t right) y & = 6 sin left (t right) end>]

سنترك هذه المشكلة مع ملاحظة أخيرة حول الإجابة هنا. ربما تكون هذه هي "أبسط" إجابة يمكن أن نقدمها ولكن من الممكن تمامًا أن تكون قد توصلت إلى إجابة مختلفة لهذه المشكلة. هناك دائمًا الكثير من المجموعات المختلفة الممكنة من المعادلات البارامترية التي ستتبع منحنى حدودي معين وفقًا لمجموعة معينة من القيود.


11.2: حساب المنحنيات البارامترية - الرياضيات

14. اكتب مجموعة من المعادلات البارامترية للمعادلة التالية.

يجب أن يكون المنحنى البارامترى الناتج عن المعادلات البارامترية عند ( left (<0، - 7> right) ) عندما (t = 0 ) ويجب أن يكون للمنحنى دوران في اتجاه عقارب الساعة.

إذا كنا لا نقلق بشأن نقطة "البداية" (بمعنى آخر. حيث يكون المنحنى عند (t = 0 )) ولا نقلق بشأن اتجاه الحركة الذي نعرفه من الملاحظات أن المجموعة التالية من المعادلات البارامترية سوف تتتبع القطع الناقص المعطى بواسطة المعادلة أعلاه.

[يبدأx & = 2 cos left (t right) y & = 7 sin left (t right) end]

المشكلة في هذه المجموعة من المعادلات البارامترية هي أنه عندما (t = 0 ) نكون عند النقطة ( left (<2،0> right) ) وهي ليست النقطة التي من المفترض أن نكون عندها. أيضًا ، من خلال معرفتنا بالأمثلة التي تم إجراؤها في الملاحظات الخاصة بهذا القسم أو تحليل مشابه لبعض المشكلات السابقة في هذا القسم ، يمكننا أن نرى أن المنحنى البارامتري الذي تتبعه هذه المجموعة من المعادلات سيتتبع في عكس اتجاه عقارب الساعة. - مرة أخرى ليس ما نحتاجه.

لذلك ، نحتاج إلى الخروج بمجموعة مختلفة من المعادلات البارامترية التي تلبي المتطلبات.

أول شيء يجب الاعتراف به هو أن استخدام الجيب وجيب التمام سيكون دائمًا أسهل طريقة للحصول على مجموعة من المعادلات البارامترية للقطع الناقص. ومع ذلك ، لا يوجد سبب على الإطلاق لاستخدام جيب التمام دائمًا للمعادلة (س ) والجيب للمعادلة (ص ).

مع العلم أننا نحتاج إلى (x = 0 ) و (y = - 7 ) عندما (t = 0 ) وباستخدام حقيقة أننا نعلم أن ( sin left (0 right) = 0 ) و ( cos left (0 right) = 1 ) المجموعة التالية من المعادلات البارامترية سوف "تبدأ" عند النقطة الصحيحة عندما (t = 0 ).

[يبدأx & = - 2 sin left (t right) y & = - 7 cos left (t right) end]

كل ما علينا القيام به الآن هو التحقق مما إذا كان هذا سيتتبع القطع الناقص في اتجاه عقارب الساعة.

إذا بدأنا من (t = 0 ) وزدنا (t ) حتى نصل إلى (t = frac < pi> <2> ) فإننا نعلم أن الجيب سيزداد من 0 إلى 1. هذا سوف في يعني الانعطاف أن (x ) يجب أن ينخفض ​​(لا تنسَ علامة الطرح على (x ) المعادلة) من 0 إلى -2.

وبالمثل ، فإن زيادة (t ) من (t = 0 ) إلى (t = frac < pi> <2> ) نعلم أن جيب التمام سينخفض ​​من 1 إلى 0. وهذا بدوره يعني أن ( y ) (لا تنسَ علامة الطرح في معادلة (y )!) من -7 إلى 0.

الطريقة الوحيدة لحدوث هذين الأمرين في نفس الوقت هي أن يبدأ المنحنى عند ( left (<0، - 7> right) ) عندما (t = 0 ) والتتبع على طول القطع الناقص في اتجاه عقارب الساعة حتى نصل إلى النقطة ( left (<- 2،0> right) ) عندما (t = frac < pi> <2> ).

يمكننا الاستمرار على هذا النحو في زيادة (t ) حتى يصل إلى (t = 2 pi ) (وهو ما سيعيدنا إلى نقطة "البداية") ونقنع أنفسنا بأن القطع الناقص سيستمر في التتبع في اتجاه عقارب الساعة.

لذلك ، إحدى المجموعات المحتملة من المعادلات البارامترية التي يمكننا استخدامها هي ،

[يتطلب bbox [2pt، border: 1px أسود خالص] < startx & = - 2 sin left (t right) y & = - 7 cos left (t right) end>]

سنترك هذه المشكلة مع ملاحظة أخيرة حول الإجابة هنا. ربما تكون هذه هي "أبسط" إجابة يمكن أن نقدمها ولكن من الممكن تمامًا أن تكون قد توصلت إلى إجابة مختلفة لهذه المشكلة. هناك دائمًا الكثير من المجموعات المختلفة الممكنة من المعادلات البارامترية التي ستتبع منحنى حدودي معين وفقًا لمجموعة معينة من القيود.


11.2: حساب المنحنيات البارامترية - الرياضيات

14. اكتب مجموعة من المعادلات البارامترية للمعادلة التالية.

يجب أن يكون المنحنى البارامترى الناتج عن المعادلات البارامترية عند ( left (<0، - 7> right) ) عندما (t = 0 ) ويجب أن يكون للمنحنى دوران في اتجاه عقارب الساعة.

إذا كنا لا نقلق بشأن نقطة "البداية" (بمعنى آخر. حيث يكون المنحنى عند (t = 0 )) ولا نقلق بشأن اتجاه الحركة الذي نعرفه من الملاحظات أن المجموعة التالية من المعادلات البارامترية سوف تتتبع القطع الناقص المعطى بواسطة المعادلة أعلاه.

[يبدأx & = 2 cos left (t right) y & = 7 sin left (t right) end]

المشكلة في هذه المجموعة من المعادلات البارامترية هي أنه عندما (t = 0 ) نكون عند النقطة ( left (<2،0> right) ) وهي ليست النقطة التي من المفترض أن نكون عندها. أيضًا ، من معرفتنا بالأمثلة الموجودة في الملاحظات الخاصة بهذا القسم أو تحليل مشابه لبعض المشكلات السابقة في هذا القسم ، يمكننا أن نرى أن المنحنى البارامتري الذي تتبعه هذه المجموعة من المعادلات سيتتبع في عكس اتجاه عقارب الساعة. - مرة أخرى ليس ما نحتاجه.

لذلك ، نحن بحاجة إلى الخروج بمجموعة مختلفة من المعادلات البارامترية التي تلبي المتطلبات.

أول شيء يجب الاعتراف به هو أن استخدام الجيب وجيب التمام سيكون دائمًا أسهل طريقة للحصول على مجموعة من المعادلات البارامترية للقطع الناقص. ومع ذلك ، لا يوجد سبب على الإطلاق لاستخدام جيب التمام دائمًا للمعادلة (س ) والجيب للمعادلة (ص ).

مع العلم أننا نحتاج إلى (x = 0 ) و (y = - 7 ) عندما (t = 0 ) وباستخدام حقيقة أننا نعلم أن ( sin left (0 right) = 0 ) و ( cos left (0 right) = 1 ) المجموعة التالية من المعادلات البارامترية سوف "تبدأ" عند النقطة الصحيحة عندما (t = 0 ).

[يبدأx & = - 2 sin left (t right) y & = - 7 cos left (t right) end]

كل ما نحتاج إلى القيام به الآن هو التحقق مما إذا كان هذا سيتتبع القطع الناقص في اتجاه عقارب الساعة.

إذا بدأنا من (t = 0 ) وزدنا (t ) حتى نصل إلى (t = frac < pi> <2> ) فإننا نعلم أن الجيب سيزداد من 0 إلى 1. هذا سوف في يعني الانعطاف أن (x ) يجب أن ينخفض ​​(لا تنسَ علامة الطرح على (x ) المعادلة) من 0 إلى -2.

وبالمثل ، فإن زيادة (t ) من (t = 0 ) إلى (t = frac < pi> <2> ) نعلم أن جيب التمام سينخفض ​​من 1 إلى 0. وهذا بدوره يعني أن ( y ) (لا تنسَ علامة الطرح في معادلة (y )!) من -7 إلى 0.

الطريقة الوحيدة لحدوث هذين الأمرين في نفس الوقت هي أن يبدأ المنحنى عند ( left (<0، - 7> right) ) عندما (t = 0 ) والتتبع على طول القطع الناقص في اتجاه عقارب الساعة حتى نصل إلى النقطة ( left (<- 2،0> right) ) عندما (t = frac < pi> <2> ).

يمكننا الاستمرار على هذا النحو في زيادة (t ) حتى يصل (t = 2 pi ) (وهو ما سيعيدنا إلى نقطة "البداية") ونقنع أنفسنا بأن القطع الناقص سيستمر في التتبع في اتجاه عقارب الساعة.

لذلك ، إحدى المجموعات المحتملة من المعادلات البارامترية التي يمكننا استخدامها هي ،

[يتطلب bbox [2pt، border: 1px أسود خالص] < startx & = - 2 sin left (t right) y & = - 7 cos left (t right) end>]

سنترك هذه المشكلة مع ملاحظة أخيرة حول الإجابة هنا. ربما تكون هذه هي "أبسط" إجابة يمكن أن نقدمها ولكن من الممكن تمامًا أن تكون قد توصلت إلى إجابة مختلفة لهذه المشكلة. هناك دائمًا الكثير من المجموعات المختلفة الممكنة من المعادلات البارامترية التي ستتبع منحنى حدودي معين وفقًا لمجموعة معينة من القيود.


شاهد الفيديو: Math. Parametric Equations (شهر اكتوبر 2021).