مقالات

2.7: فهم ميل الخط - الرياضيات


أهداف التعلم

  • بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:
  • استخدم Geoboards لنمذجة المنحدر
  • استخدم (m = frac { text {height}} { text {run}} ) للعثور على ميل الخط من الرسم البياني الخاص به
  • أوجد ميل الخطوط الأفقية والعمودية
  • استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط بين نقطتين
  • ارسم خطًا بإعطاء نقطة والميل
  • حل تطبيقات المنحدرات

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ( frac {1 - 4} {8 - 2} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.6.31
  2. قسّم: ( frac {0} {4} ، frac {4} {0} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.10.16.
  3. بسّط: ( frac {15} {- 3}، frac {-15} {3}، frac {-15} {- 3} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.6.4.

عند رسم المعادلات الخطية بالرسم البياني ، قد تلاحظ أن بعض الخطوط تميل لأعلى أثناء انتقالها من اليسار إلى اليمين وأن بعض الخطوط تميل لأسفل. ما الذي يحدد ما إذا كان الخط يميل لأعلى أو لأسفل أم أنه شديد الانحدار أو مسطحًا؟

في الرياضيات ، يُطلق على "إمالة" الخط اسم ميل من الخط. مفهوم المنحدر له العديد من التطبيقات في العالم الحقيقي. إن ميل السطح ، ودرجة الطريق السريع ، ومنحدر الكرسي المتحرك هي بعض الأمثلة التي ترى فيها المنحدرات حرفيًا. وعندما تركب دراجة ، تشعر بالمنحدر وأنت تضخ صعودًا أو تنزل من المنحدر.

في هذا القسم ، سوف نستكشف مفهوم المنحدر.

استخدم Geoboards لنموذج المنحدر

أ جوبورد هو لوح به شبكة من الأوتاد. يمنحنا استخدام الأربطة المطاطية على لوح جغرافي طريقة ملموسة لنمذجة الخطوط على شبكة إحداثيات. من خلال مد شريط مطاطي بين أوتاد على لوح جغرافي ، يمكننا اكتشاف كيفية إيجاد ميل الخط.

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات الاستدلالية "استكشاف المنحدر" على تطوير فهم أفضل لمنحدر الخط. (يمكن استخدام ورق الرسم البياني بدلاً من اللوح الجغرافي ، إذا لزم الأمر).

سنبدأ بمد شريط مطاطي بين أوتاد كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ).

ألا يبدو كخط؟

نمد الآن جزءًا من الشريط المطاطي بشكل مستقيم لأعلى من الوتد الأيسر ونحيط بالوتد الثالث لعمل جانبي المثلث الأيمن ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} )

نصنع بعناية زاوية 90 درجة حول الوتد الثالث ، بحيث يكون أحد الخطوط المشكلة حديثًا رأسيًا والآخر أفقيًا.

لإيجاد ميل الخط ، نقيس المسافة على جانبي المثلث الرأسي والأفقي. المسافة العمودية تسمى يعلو والمسافة الأفقية تسمى يركض، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {3} ).

إذا كان لدينا جوبورد والشريط المطاطي يبدو تمامًا كالذي يظهر في الشكل ( PageIndex {4} ) ، الارتفاع هو 2. يرتفع الشريط المطاطي إلى وحدتين. (كل مساحة هي وحدة واحدة.)

الارتفاع على هذا اللوح الجغرافي هو 2 ، حيث يرتفع الشريط المطاطي لوحدتين.

ما هو المدى؟

يمر الشريط المطاطي عبر 3 وحدات. المدى هو 3 (انظر الشكل ( PageIndex {4} )).

ميل الخط هو نسبة الارتفاع إلى المدى. في الرياضيات ، يشار إليه دائمًا بالحرف م.

منحدر من خط

ال منحدر خط السطر هو (m = frac { text {height}} { text {run}} ).

ال يعلو يقيس التغيير الرأسي و يركض يقيس التغيير الأفقي بين نقطتين على الخط.

ما ميل الخط على اللوحة الجغرافية في الشكل ( PageIndex {4} )؟

[ start {align} m & = frac { text {height}} { text {run}} m & = frac {2} {3} end {align} ]

الخط لديه ميل ( frac {2} {3} ). هذا يعني أن الخط يرتفع بمقدار وحدتين لكل 3 وحدات تشغيل.

عندما نعمل مع Geoboards ، من الجيد أن تعتاد على البدء من ربط على اليسار والاتصال بالمربط إلى اليمين. إذا ارتفع الارتفاع يكون موجبًا وإذا انخفض فهو سلبي. سيذهب المدى من اليسار إلى اليمين ويكون إيجابيًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

ما هو ميل الخط الموضح على اللوح الجغرافي؟

إجابه

استخدم تعريف الميل: (m = frac { text {height}} { text {run}} ).

ابدأ من الوتد الأيسر وعد المسافات لأعلى ولليمين للوصول إلى الوتد الثاني.

[ start {array} {ll} { text {الارتفاع هو} 3.} & {m = frac {3} { operatorname {rnn}}} { text {التشغيل 4.} } & {m = frac {3} {4}} {} & { text {المنحدر} frac {3} {4} text {. }} نهاية {مجموعة} ]

هذا يعني أن الخط يرتفع بمقدار 3 وحدات لكل 4 وحدات تشغيل.

تمرين ( PageIndex {2} )

ما هو ميل الخط الموضح على اللوح الجغرافي؟

إجابه

( فارك {4} {3} )

تمرين ( PageIndex {3} )

ما هو ميل الخط الموضح على اللوح الجغرافي؟

إجابه

( فارك {1} {4} )

تمرين ( PageIndex {4} )

ما هو ميل الخط الموضح على اللوح الجغرافي؟

إجابه

استخدم تعريف الميل: (m = frac { text {height}} { text {run}} ).

ابدأ من الوتد الأيسر وعد الوحدات لأسفل واليمين للوصول إلى الوتد الثاني.

[ begin {array} {ll} { text {الارتفاع هو} -1.} & {m = frac {-1} { operatorname {run}}} { text {The run is} 3.} & {m = frac {-1} {3}} {} & {m = - frac {1} {3}} {} & { text {المنحدر} - frac {1} {3}} end {array} ]

هذا يعني أن الخط يسقط وحدة واحدة لكل 3 وحدات تشغيل.

تمرين ( PageIndex {5} )

ما هو ميل الخط على اللوح الجغرافي؟

إجابه

(- frac {2} {3} )

تمرين ( PageIndex {6} )

ما هو ميل الخط على اللوح الجغرافي؟

إجابه

(- frac {4} {3} )

لاحظ أنه في التمرين ( PageIndex {1} ) يكون الميل موجبًا وفي التمرين ( PageIndex {4} ) يكون الميل سالبًا. هل تلاحظ أي اختلاف في السطرين الموضحين في شكل(أ) و شكل(ب)؟

"نقرأ" سطرًا من اليسار إلى اليمين تمامًا كما نقرأ الكلمات باللغة الإنجليزية. بينما تقرأ من اليسار إلى اليمين ، يكون السطر شكل(أ) يرتفع ؛ لديها منحدر إيجابي. الخط في شكل(ب) ينخفض ​​؛ لديها المنحدر السلبي.

المنحدرات الإيجابية والسلبية

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم لوحة جغرافية لتصميم خط بميل ( frac {1} {2} ).

إجابه

لنمذجة خط على لوح جغرافي ، نحتاج إلى الارتفاع والجري.

( begin {array} {ll} { text {استخدام صيغة الميل.}} & {m = frac { text {height}} { text {run}}} { text {Replace} m text {with} frac {1} {2} text {.}} & { frac {1} {2} = frac { text {height}} { text {run}}} { text {لذا ، فإن الارتفاع هو} 1 نص {والتشغيل} 2 نص {.}} { نص {ابدأ عند ربط في الجزء السفلي الأيسر من اللوحة الجغرافية.}} { نص {تمديد الشريط المطاطي لأعلى} 1 نص {وحدة ، ثم يمينًا} 2 نص {وحدات.}} نهاية {مجموعة} )

يمثل وتر المثلث الأيمن المكون من الشريط المطاطي خطًا ميله ( frac {1} {2} ).

تمرين ( PageIndex {8} )

نمذجة المنحدر (m = frac {1} {3} ). ارسم صورة لإظهار نتائجك.

إجابه

تمرين ( PageIndex {9} )

نمذجة المنحدر (m = frac {3} {2} ). ارسم صورة لإظهار نتائجك.

إجابه

تمرين ( PageIndex {10} )

استخدم لوحة جغرافية لتصميم خط بميل ( frac {-1} {4} ).

إجابه

( begin {array} {ll} { text {استخدام صيغة الميل.}} & {m = frac { text {height}} { text {run}}} { text {Replace} m text {with} frac {-1} {4} text {.}} & { frac {-1} {4} = frac { text {height}} { text {run}}} { text {إذن ، الارتفاع} -1 نص {والتشغيل} 4 نص {.}} { text {نظرًا لأن الارتفاع سلبي ، نختار ربط البداية في أعلى اليسار هذا سيمنحنا مساحة للعد التنازلي.}} { text {نمد الشريط المطاطي لأسفل} 1 ​​ نص {وحدة ، ثم يمينًا} 4 نص {وحدات.}} نهاية {مجموعة} )

يمثل وتر المثلث الأيمن المكون من الشريط المطاطي خطًا ميله ( frac {-1} {4} ).

تمرين ( PageIndex {11} )

نمذجة المنحدر (m = frac {-2} {3} ). ارسم صورة لإظهار نتائجك.

إجابه

تمرين ( PageIndex {12} )

نمذجة المنحدر (m = frac {-1} {3} ). ارسم صورة لإظهار نتائجك.

إجابه

استخدم (m = frac { text {height}} { text {run}} ) لإيجاد ميل الخط من الرسم البياني الخاص به

الآن ، سنلقي نظرة على بعض الرسوم البيانية على المستوى الإحداثي xy ونرى كيفية إيجاد ميلها. ستكون الطريقة مشابهة جدًا لما صممناه للتو على لوحاتنا الجغرافية.

لإيجاد الميل ، يجب أن نحسب الارتفاع والجري. ولكن من أين نبدأ؟

نحدد نقطتين على الخط إحداثياتهما أعداد صحيحة. نبدأ بعد ذلك بالنقطة الموجودة على اليسار ونرسم مثلثًا قائم الزاوية ، حتى نتمكن من حساب الارتفاع والجري.

التمرين ( PageIndex {13} ):

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه

تمرين ( PageIndex {14} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه

( فارك {2} {5} )

تمرين ( PageIndex {15} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه

( فارك {3} {4} )

اعثر على منحدر خط من مخططه

  1. حدد نقطتين على الخط إحداثياتهما أعداد صحيحة.
  2. ابدأ بالنقطة على اليسار ، ارسم مثلثًا قائمًا ، من النقطة الأولى إلى النقطة الثانية.
  3. عد الارتفاع والركض على أرجل المثلث.
  4. خذ نسبة الارتفاع للجري للعثور على المنحدر ، (m = frac { text {height}} { text {run}} ).

تمرين ( PageIndex {16} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه
حدد نقطتين على الرسم البياني بإحداثياتهما أعداد صحيحة.(0،5) و (3،3)
أي نقطة على اليسار؟(0,5)
بدءًا من (0،5) ، ارسم مثلثًا قائم الزاوية حتى (3،3).
عد الارتفاع - إنه سلبي.الارتفاع هو −2.
عد المدى.المدى 3.
استخدم صيغة الميل. (m = frac { text {height}} { text {run}} )
استبدل قيم الارتفاع والجري. (م = فارك {-2} {3} )
تبسيط. (م = - فارك {2} {3} )
ميل الخط هو (- frac {2} {3} ).

لذلك تزيد y بمقدار 3 وحدات لأن xx ينقص بمقدار 2 وحدة.

ماذا لو استخدمنا النقطتين (3،7) و (6،1) لإيجاد ميل الخط المستقيم؟

سيكون الارتفاع −6 والتشغيل 9. ثم (m = frac {-6} {9} ) ، وهذا يبسط إلى (m = - frac {2} {3} ). تذكر أنه لا يهم النقاط التي تستخدمها - فميل الخط دائمًا هو نفسه.

تمرين ( PageIndex {17} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه

(- frac {4} {3} )

تمرين ( PageIndex {18} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه

(- frac {3} {5} )

في المثالين الأخيرين ، كان السطور ذ-التداخلات مع القيم الصحيحة ، لذلك كان من الملائم استخدام ذ- التقاطع كأحد النقاط لإيجاد المنحدر. في المثال التالي ، ملف ذ-التقاطع هو كسر. بدلاً من استخدام هذه النقطة ، سنبحث عن نقطتين أخريين إحداثياتهما أعداد صحيحة. هذا سيجعل حسابات المنحدر أسهل.

تمرين ( PageIndex {19} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه
حدد نقطتين على الرسم البياني بإحداثياتهما أعداد صحيحة.(2،3) و (7،6)
أي نقطة على اليسار؟(2,3)
بدءًا من (2،3) ، ارسم مثلثًا قائمًا حتى (7،6).
عد الارتفاع.الارتفاع 3.
عد المدى.المدى 5.
استخدم صيغة الميل. (m = frac { text {height}} { text {run}} )
استبدل قيم الارتفاع والجري. (م = فارك {3} {5} )
ميل الخط هو ( frac {3} {5} ).

هذا يعني أن y يزيد بمقدار 5 وحدات بينما يزيد x بمقدار 3 وحدات.

عندما استخدمنا Geoboards لتقديم مفهوم الميل ، قلنا أننا سنبدأ دائمًا بالنقطة الموجودة على اليسار ونحسب الارتفاع والجري للوصول إلى النقطة على اليمين. بهذه الطريقة كان الجري دائمًا إيجابيًا وكان الارتفاع يحدد ما إذا كان المنحدر إيجابيًا أم سلبيًا.

ماذا سيحدث إذا بدأنا بالنقطة على اليمين؟

دعنا نستخدم النقطتين (2،3) و (7،6) مرة أخرى ، لكننا سنبدأ الآن من (7،6).

( begin {array} {ll} { text {حساب الارتفاع.}} & { text {الارتفاع هو −3.}} { text {عد المدى. ينتقل من اليمين إلى اليسار ، so}} & { text {المدى هو − 5.}} { text {it is negative.}} & {} { text {Use the slope formula.}} & {m = frac { text {height}} { text {run}}} { text {استبدل قيم الارتفاع والتشغيل.}} & {m = frac {-3} {- 5}} { } & { text {ميل السطر} frac {3} {5}} end {array} )
لا يهم من أين تبدأ - يكون ميل الخط دائمًا هو نفسه.

تمرين ( PageIndex {20} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه

( فارك {5} {4} )

تمرين ( PageIndex {21} )

أوجد ميل الخط الموضح.

إجابه

( فارك {3} {2} )

أوجد ميل المستقيمات الأفقية والعمودية

هل تتذكر ما الذي يميز الخطوط الأفقية والعمودية؟ معادلاتهم كان لها متغير واحد فقط.

[ start {array} {ll} { textbf {Horizontal line} y = b} & { textbf {Vertical line} x = a} {y text {- الإحداثيات هي نفسها. }} & {x text {- الإحداثيات هي نفسها. }} نهاية {مجموعة} ]

إذن كيف نوجد ميل الخط الأفقي ص = 4 ص = 4؟ تتمثل إحدى الطرق في رسم الخط الأفقي بالرسم البياني ، وإيجاد نقطتين عليهما ، وحساب الارتفاع والجري. دعونا نرى ما يحدث عندما نفعل هذا.

( begin {array} {ll} { text {ما هو الارتفاع؟}} & { text {الارتفاع هو 0.}} { text {ما هو التشغيل؟}} & { text {المدى هو 3.}} {} & {m = frac { text {height}} { text {run}}} {} & {m = frac {0} {3}} { text {ما هو المنحدر؟}} & {m = 0} {} & { text {ميل الخط الأفقي y = 4 هو 0.}} end {array} )

جميع الخطوط الأفقية لها ميل 0. عندما يكون ذ- الإحداثيات هي نفسها ، الارتفاع هو 0.

منحدر من خط أفقي

ميل الخط الأفقي y = b يساوي 0.

أرضية غرفتك أفقية. منحدره يساوي 0. إذا وضعت كرة بحذر على الأرض ، فلن تتدحرج بعيدًا.

الآن ، سننظر في الخط العمودي ، الخط.

( begin {array} {ll} { text {ما هو الارتفاع؟}} & { text {الصعود 2.}} { text {ما هو التشغيل؟}} & { text {المدى هو 0.}} {} & {m = frac { text {height}} { text {run}}} { text {ما هو المنحدر؟}} & {m = frac {2} {0}} end {array} )

لكن لا يمكننا القسمة على 0. لم يتم تعريف القسمة على 0. لذلك نقول إن ميل الخط العمودي x = 3x = 3 غير معرف.

ميل أي خط عمودي غير محدد. عندما x- إحداثيات الخط كلها متشابهة ، المدى يساوي 0.

منحدر خط عمودي

ميل الخط العمودي x = a غير محدد.

تمرين ( PageIndex {22} )

أوجد ميل كل خط:

ⓐ س = 8 ص = −5.

إجابه

ⓐ س = 8
هذا خط عمودي.
منحدره غير محدد.

ⓑ ص = −5
هذا خط أفقي.
لديها منحدر 0.

تمرين ( PageIndex {23} )

أوجد ميل الخط المستقيم: x = −4.

إجابه

غير معرف

تمرين ( PageIndex {24} )

أوجد ميل الخط المستقيم: y = 7.

إجابه

0

دليل سريع إلى منحدرات الخطوط

تذكر أننا "نقرأ" سطرًا من اليسار إلى اليمين ، تمامًا كما نقرأ الكلمات المكتوبة باللغة الإنجليزية.

استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط بين نقطتين

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات الاستدلالية "منحدر الخطوط بين نقطتين" على تطوير فهم أفضل لكيفية العثور على منحدر الخط الفاصل بين نقطتين.

نحتاج أحيانًا إلى إيجاد ميل الخط الفاصل بين نقطتين عندما لا يكون لدينا رسم بياني لإحصاء الارتفاع والجري. يمكننا رسم النقاط على ورقة الشبكة ، ثم حساب الارتفاع والجري ، ولكن كما سنرى ، هناك طريقة لإيجاد الميل دون رسم بياني. قبل أن نصل إليه ، نحتاج إلى تقديم بعض الرموز الجبرية.

لقد رأينا أن الزوج المرتب (س ، ص) يعطي إحداثيات نقطة. لكن عندما نعمل باستخدام المنحدرات ، نستخدم نقطتين. كيف يمكن استخدام نفس الرمز (س ، ص) لتمثيل نقطتين مختلفتين؟ يستخدم علماء الرياضيات الحروف السفلية لتمييز النقاط.

[ start {array} {ll} { left (x_ {1}، y_ {1} right)} & { text {read} ^ {'} x text {sub} 1، y text { sub} 1 ^ {'}} { left (x_ {2}، y_ {2} right)} & { text {read} ^ {'} x text {sub} 2، y text { sub} 2 ^ {'}} end {array} ]

يشبه استخدام الرموز في الرياضيات إلى حد كبير استخدام الأحرف الأولى من اسم العائلة في المدرسة الابتدائية. ربما تتذكر لورا سي ولورا م. في صفك الثالث؟

سنستخدم ( left (x_ {1}، y_ {1} right) ) لتحديد النقطة الأولى و ( left (x_ {2}، y_ {2} right) ) لتحديد النقطة الثانية.

إذا كان لدينا أكثر من نقطتين ، فيمكننا استخدام ( left (x_ {3} ، y_ {3} right) ) ، ( left (x_ {4} ، y_ {4} right) ) ، وما إلى ذلك وهلم جرا.

دعونا نرى كيف يرتبط الارتفاع والجري بإحداثيات النقطتين من خلال إلقاء نظرة أخرى على منحدر الخط الفاصل بين النقطتين (2،3) و (7،6).

نظرًا لأن لدينا نقطتين ، سنستخدم التدوين المنخفض ، ( left ( begin {array} {c} {x_ {1}، y_ {1}} {2،3} end {array} right ) left ( begin {array} {c} {x_ {2}، y_ {2}} {7،6} ​​ end {array} right) ).

على الرسم البياني ، قمنا بحساب ارتفاع 3 وتشغيل 5.

لاحظ أنه يمكن إيجاد ارتفاع 3 بطرح ذ- الإحداثيان 6 و 3.

[3=6-3]

ويمكن إيجاد مسار 5 بطرح x- الإحداثيان 7 و 2.

[5 = 7 - 2]

نحن نعلم (m = frac { text {height}} { text {run}} ). إذن (m = frac {3} {5} ).

نعيد كتابة الارتفاع والجري بوضع الإحداثيات (m = frac {6-3} {7-2} )

لكن 6 هي y2 ، و ذ- تنسيق النقطة الثانية و 3 هو y1 ، و ذ-تنسيق النقطة الأولى.

لذا يمكننا إعادة كتابة الميل باستخدام الترميز السفلي. (م = فارك {y2-y1} {7-2} )

أيضا ، 7 هو x2 ، و x- تنسيق النقطة الثانية و 2 هو x1 ، و x-تنسيق النقطة الأولى.

لذا ، مرة أخرى ، نعيد كتابة الميل باستخدام الترميز المنخفض. (m = frac {y2-y1} {x2-x1} )

لقد أظهرنا أن (m = frac {y2-y1} {x2-x1} ) هو بالفعل إصدار آخر من (m = frac { text {height}} { text {run}} ) . يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد ميل الخط المستقيم عندما يكون لدينا نقطتان على الخط المستقيم.

صيغة المنحدر

ميل الخط الفاصل بين نقطتين ( left (x_ {1}، y_ {1} right) ) و ( left (x_ {2}، y_ {2} right) ) هو

[m = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

هذا ال صيغة المنحدر.

المنحدر هو:

[ start {array} {c} {y text {of the second point minus} y text {of the first point}} { text {over}} {x text {of the second نقطة ناقص} س نص {من النقطة الأولى. }} نهاية {مجموعة} ]

تمرين ( PageIndex {25} )

استخدم ال صيغة المنحدر لإيجاد ميل الخط الفاصل بين النقطتين (1،2) و (4،5).

إجابه

( start {array} {ll} { text {سنقوم باستدعاء (1،2) النقطة # 1 و (4،5) النقطة # 2.}} & { left ( begin {array} {c } {x_ {1}، y_ {1}} {1،2} end {array} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}، y_ {2}} {4،5} end {array} right)} { text {استخدام صيغة الميل.}} & {m = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {استبدل القيم.}} & {} { text {y للنقطة الثانية ناقص y من النقطة الأولى}} & {m = frac {5- 2} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {x للنقطة الثانية ناقص x من النقطة الأولى}} & {m = frac {5-2} {4-1}} { text {تبسيط البسط والمقام.}} & {m = frac {3} {3}} { text {Simplify.}} & {m = 1} end {array} )

دعنا نؤكد ذلك من خلال عد المنحدر على الرسم البياني باستخدام (m = frac { text {height}} { text {run}} ).

لا يهم النقطة التي تسميها النقطة رقم 1 وأي نقطة تسميها بالنقطة رقم 2. سيكون المنحدر هو نفسه. جرب الحساب بنفسك.

تمرين ( PageIndex {26} )

استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المار بالنقطتين: (8،5) و (6،3).

إجابه

1

تمرين ( PageIndex {27} )

استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المار بالنقطتين: (1،5) و (5،9).

إجابه

1

تمرين ( PageIndex {28} )

استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المار بالنقطتين (2، −3) و (7،4).

إجابه

( start {array} {ll} { text {سنقوم باستدعاء (-2، -3) النقطة # 1 و (-7،4) النقطة # 2.}} & { left ( begin {array } {c} {x_ {1}، y_ {1}} {-2، -3} end {array} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}، y_ {2}} {-7،4} end {array} right)} { text {استخدام صيغة الميل.}} & {m = frac {y_ {2} -y_ {1} } {x_ {2} -x_ {1}}} { text {استبدل القيم.}} & {} { text {y للنقطة الثانية ناقص y من النقطة الأولى}} & {m = frac {4 - (- 3)} {x_ {2} -x_ {1}}} { text {x للنقطة الثانية ناقص x النقطة الأولى}} & {m = frac {4 - (- 3)} {- 7 - (- 2)}} { text {تبسيط البسط والمقام.}} & {m = frac {7} {- 5}} { text {تبسيط.}} & {m = - frac {7} {5}} end {array} )

دعنا نتحقق من هذا المنحدر على الرسم البياني الموضح.

[ start {align} m & = frac { text {height}} { text {run}} m & = frac {-7} {5} m & = - frac {7 } {5} end {align} ]

تمرين ( PageIndex {29} )

استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المار بالنقطتين: (3،4) و (2، −1).

إجابه

-1

تمرين ( PageIndex {30} )

استخدم صيغة الميل لإيجاد ميل الخط المار بزوج من النقاط: (2،6) و (3، −4).

إجابه

10

ارسم خطًا بمعرفة نقطة وميل

حتى الآن ، في هذا الفصل ، قمنا برسم الخطوط عن طريق رسم النقاط ، باستخدام نقاط التقاطع ، وبالتعرف على الخطوط الأفقية والعمودية.

هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها لرسم خطوط تسمى طريقة نقطة الانحدار. سنستخدم هذه الطريقة عندما نعرف نقطة واحدة وميل الخط المستقيم. سنبدأ برسم النقطة ثم نستخدم تعريف الميل لرسم الرسم البياني للخط.

تمرين ( PageIndex {31} )

ارسم الخط المار بالنقطة (1، −1) التي ميلها (m = frac {3} {4} ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {32} )

ارسم الخط المار بالنقطة (2، −2) بالميل (m = frac {4} {3} ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {33} )

ارسم الخط المار بالنقطة (−2،3) بالميل (m = frac {1} {4} ).

إجابه

أعطى رسم خط نقطة والميل.

  1. ارسم نقطة معينة.
  2. استخدم صيغة الميل (m = frac { text {height}} { text {height}} ) لتحديد الارتفاع والتشغيل.
  3. بدءًا من النقطة المحددة ، احسب الارتفاع وركض لتحديد النقطة الثانية.
  4. ربط النقاط بخط.

تمرين ( PageIndex {34} )

رسم الخط مع ذ-المقطع 2 الذي ميله (m = - frac {2} {3} ).

إجابه

ارسم نقطة معينة ، و ذ- التقاطع (0،2).

( start {array} {ll} { text {تحديد الارتفاع والتشغيل.}} & {m = - frac {2} {3}} {} & { frac { text {height }} { text {run}} = frac {-2} {3}} {} & { text {height} = -2} {} & { text {run} = 3} نهاية {مجموعة} )

عد الارتفاع والتشغيل. حدد النقطة الثانية.

ربط النقطتين بخط.

يمكنك التحقق من عملك من خلال إيجاد نقطة ثالثة. نظرًا لأن المنحدر (m = - frac {2} {3} ) ، يمكن كتابته كـ (m = frac {2} {- 3} ). عد إلى (0،2) وعد الارتفاع ، 2 ، والجري ، 3.

تمرين ( PageIndex {35} )

ارسم الخط بامتداد ذ- التقاطع 4 والميل (m = - frac {5} {2} ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {36} )

ارسم الخط بامتداد x-تقاطع −3 والميل (م = - فارك {3} {4} ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {37} )

ارسم الخط المار بالنقطة (−1، −3) التي ميلها م = 4.

إجابه

ارسم نقطة معينة.

( start {array} {ll} { text {تحديد الارتفاع والتشغيل.}} & { text {m = 4}} { text {اكتب 4 ككسر.}} & { frac { text {height}} { text {run}} = frac {4} {1}} {} & { text {height} = 4 quad text {run} = 3} end {مجموعة مصفوفة})

عد الارتفاع وركض وحدد النقطة الثانية.

ربط النقطتين بخط.

يمكنك التحقق من عملك من خلال إيجاد نقطة ثالثة. بما أن الميل م = 4 ، فيمكن كتابته على النحو التالي (m = frac {-4} {- 1} ). ارجع إلى (،1 ، −3) واحسب الارتفاع ، −4 ، والجري ، −1.

تمرين ( PageIndex {38} )

ارسم الخط الذي يحتوي على النقطة (2،1) والميل م = 3.

إجابه

تمرين ( PageIndex {39} )

ارسم الخط الذي يحتوي على النقطة (4، −2) والميل م = −2.

إجابه

حل تطبيقات المنحدر

في بداية هذا القسم ، قلنا أن هناك العديد من تطبيقات المنحدرات في العالم الحقيقي. دعونا نلقي نظرة على القليل الآن.

تمرين ( PageIndex {40} )

"الملعب" لسقف المبنى هو منحدر السقف. معرفة الملعب أمر مهم في المناخات التي تتساقط فيها الثلوج بكثافة. إذا كان السقف مسطحًا جدًا ، فقد يتسبب ثقل الثلج في انهياره. ما هو منحدر السقف الموضح؟

إجابه

( start {array} {ll} { text {استخدام صيغة الميل.}} & {m = frac { text {height}} { text {height}}} { text {استبدل قيم الارتفاع والتشغيل.}} & {m = frac {9} {18}} { text {Simplify.}} & {m = frac {1} {2}} { text { منحدر السقف} frac {1} {2}.} & {} {} & { text {يرتفع السقف قدمًا واحدًا لكل قدمين} {} & { text { تشغيل أفقي.}} نهاية {مجموعة} )

تمرين ( PageIndex {41} )

استخدم التمرين ( PageIndex {40} ) ، مع استبدال الارتفاع = 14 وتشغيل = 24.

إجابه

( فارك {7} {12} )

تمرين ( PageIndex {42} )

استخدم التمرين ( PageIndex {40} ) ، واستبدل الارتفاع = 15 والتشغيل = 36.

إجابه

( فارك {5} {12} )

تمرين ( PageIndex {43} )

هل فكرت يومًا في مواسير الصرف الصحي التي تنتقل من منزلك إلى الشارع؟ يجب أن ينحدروا ( frac {1} {4} ) بوصة لكل قدم حتى يتم التصريف بشكل صحيح. ما هو المنحدر المطلوب؟

إجابه

( start {array} {ll} { text {استخدام صيغة الميل.}} & {m = frac { text {height}} { text {run}}} {} & {m = frac {- frac {1} {4} mathrm {inch}} {1 text {foot}}} {} & {m = frac {- frac {1} {4} text { inch}} {12 text {inches}}} { text {Simplify.}} & {m = - frac {1} {48}} {} & { text {ميل الأنبوب is} - frac {1} {48}} end {array} )

يسقط الأنبوب 1 بوصة لكل 48 بوصة من الجري الأفقي.

تمرين ( PageIndex {44} )

أوجد ميل الأنبوب الذي ينحدر لأسفل ( frac {1} {3} ) بوصة لكل قدم.

إجابه

(- فارك {1} {36} )

تمرين ( PageIndex {45} )

أوجد ميل الأنبوب الذي ينحدر لأسفل ( frac {3} {4} ) بوصة لكل ياردة.

إجابه

(- فارك {1} {48} )

المفاهيم الرئيسية

  • أوجد ميل الخط من الرسم البياني الخاص به باستخدام (m = frac { text {height}} { text {run}} )
    1. حدد نقطتين على الخط إحداثياتهما أعداد صحيحة.
    2. ابدأ بالنقطة على اليسار ، ارسم مثلثًا قائمًا ، من النقطة الأولى إلى النقطة الثانية.
    3. عد الارتفاع والركض على أرجل المثلث.
    4. خذ نسبة الارتفاع للجري لإيجاد المنحدر.
  • ارسم خطًا بمعرفة نقطة وميل
    1. ارسم نقطة معينة.
    2. استخدم صيغة الميل (m = frac { text {height}} { text {run}} ) لتحديد الارتفاع والتشغيل.
    3. بدءًا من النقطة المحددة ، احسب الارتفاع وركض لتحديد النقطة الثانية.
    4. ربط النقاط بخط.
  • منحدر خط أفقي
    • ميل الخط الأفقي y = b يساوي 0.
  • منحدر خط عمودي
    • ميل الخط العمودي x = a غير محدد

إذا كانت 1 نقطة والمنحدر معروفان

المنحدر ، الذي يشار إليه أحيانًا بالتدرج في الرياضيات ، هو رقم يقيس انحدار واتجاه خط ما ، أو جزء من خط يربط بين نقطتين ، وعادة ما يُشار إليه بالرمز م. بشكل عام ، يتم قياس انحدار الخط بالقيمة المطلقة لمنحدره ، م. كلما كانت القيمة أكبر ، كان الخط أكثر انحدارًا. معطى م، من الممكن تحديد اتجاه الخط الذي م يصف بناءً على علامته وقيمته:

  • يتزايد الخط ويتجه لأعلى من اليسار إلى اليمين عند m & gt 0
  • يتناقص الخط ويتجه لأسفل من اليسار إلى اليمين عند m & lt 0
  • الخط لديه ميل ثابت ، ويكون أفقيًا عندما يكون م = 0
  • الخط الرأسي له ميل غير محدد ، لأنه سينتج عنه كسر مقامه صفر. الرجوع إلى المعادلة الواردة أدناه.

المنحدر هو في الأساس تغير في الارتفاع على مدى التغيير في المسافة الأفقية ، وغالبًا ما يشار إليه باسم "الارتفاع على المدى". لها تطبيقات في التدرجات في الجغرافيا وكذلك الهندسة المدنية ، مثل بناء الطرق. في حالة الطريق ، "الارتفاع" هو التغير في الارتفاع ، بينما "الجري" هو الفرق في المسافة بين نقطتين ثابتتين ، طالما أن مسافة القياس ليست كبيرة بما يكفي بحيث يجب مراعاة انحناء الأرض كعامل. يتم تمثيل المنحدر رياضيًا على النحو التالي:

في المعادلة أعلاه ، ذ2 - ذ1 = & تأخير، أو التغيير الرأسي ، بينما x2 - س1 = & Deltax، أو التغيير الأفقي ، كما هو موضح في الرسم البياني المقدم. يمكن ملاحظة ذلك أيضًا & Deltax و & التأخير هي مقاطع خطية تشكل مثلثًا قائمًا بالوتر د، مع د كونها المسافة بين النقطتين (x1، ذ1) و (x2، ذ2). حيث & Deltax و & التأخير شكل مثلث قائم الزاوية ، من الممكن حسابه د باستخدام نظرية فيثاغورس. راجع حاسبة المثلث لمزيد من التفاصيل حول نظرية فيثاغورس وكذلك كيفية حساب زاوية الانحدار ثيتا المنصوص عليها في الآلة الحاسبة أعلاه. باختصار:

المعادلة أعلاه هي نظرية فيثاغورس في جذرها ، حيث الوتر د تم حلها بالفعل من أجل ، ويتم تحديد ضلعي المثلث الآخرين بطرح الاثنين x و ذ القيم المعطاة بنقطتين. بالنظر إلى نقطتين ، يمكن إيجادهما ثيتا باستخدام المعادلة التالية:

بالنظر إلى النقطتين (3،4) و (6،8) ، أوجد ميل الخط المستقيم ، والمسافة بين النقطتين ، وزاوية الميل:

في حين أن هذا خارج نطاق هذه الآلة الحاسبة ، بصرف النظر عن استخدامها الخطي الأساسي ، فإن مفهوم المنحدر مهم في حساب التفاضل. بالنسبة للوظائف غير الخطية ، يختلف معدل تغير المنحنى ، ومشتق دالة عند نقطة معينة هو معدل تغير الوظيفة ، ممثلة بميل خط المماس للمنحنى عند تلك النقطة.


ما هو المنحدر؟ اكتشف مدى فهمك للمفهوم من خلال الاختبار أدناه. & # xa0

الدرس حول ميل الخط أو كيفية إيجاد الميل سيشرح ما يعنيه المنحدر إلى ne موجب أو سالب أو صفر أو غير معرف رياضياً.

تابع دراستك للمنحدر هنا بالترتيب الموضح أدناه

كيف تجد المنحدر
تعلم كيفية حساب المنحدر باستخدام الارتفاع والجري أو نقطتين.

منحدر غير محدد
شرح شامل لما يعنيه أن يكون المنحدر غير محدد.

منحدر الرسم البياني
تعلم كيفية رسم المنحدر باستخدام الميل والنقطة.

شكل معادلة الميلان المحصور
تعرف على كيفية إيجاد صيغة الميل والمقطع.

شكل منحدر نقطة
تعلم كيفية إيجاد صيغة نقطة الميل.

حاسبة المنحدر & # xa0
بالنظر إلى نقطتين ، ستحسب هذه الآلة الحاسبة صيغة ميل الخط وتقاطع ميله.

نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة & # xa0
تعرف على كيفية إيجاد نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة باستخدام صيغة نقطة المنتصف.

شرح زوجان من أمثلة الحياة الواقعية للتباين المباشر.


ما هو المنحدر؟

عادةً ما يتم تمثيل ميل الخط في المستوى الإحداثي الديكارتي ثنائي الأبعاد بالحرف $ m $ ، ويسمى أحيانًا تسطير بين نقطتين. هذا لأنه التغيير في إحداثيات $ y $ مقسومًا على التغيير المقابل في إحداثيات $ x $ بين نقطتين مميزتين على السطر. إذا كان لدينا إحداثيات نقطتين $ A (x_A، y_A) $ و $ B (x_B، y_B) $ في المستوى الإحداثي الديكارتي ثنائي الأبعاد ، فإن ميل $ m $ للخط المار بـ $ A (x_A، y_A) يتم تحديد $ و $ B (x_B، y_B) $ بالكامل بالصيغة التالية $ m = frac$ بمعنى آخر ، يمكن كتابة صيغة المنحدر كـ $ m = frac < Delta y> < Delta x> = frac << rm vertical change >> << rm أفقي تغيير >> = frac << rm height >> << rm run >> $ كما نعلم ، الحرف اليوناني $ Delta $ ، يعني الاختلاف أو التغيير. يمكن تعريف المنحدر $ m $ لخط $ y = mx + b $ أيضًا على أنه الارتفاع مقسومًا على المدى. الارتفاع يعني مدى الارتفاع أو الانخفاض الذي يجب أن نتحركه للوصول من النقطة الموجودة على اليسار إلى النقطة الموجودة على اليمين ، لذلك نقوم بتغيير قيمة $ y $. لذلك ، الارتفاع هو التغيير في $ y $ ، $ Delta y $. تشغيل يعني إلى أي مدى يجب أن نتحرك يسارًا أو يمينًا للوصول من النقطة الموجودة على اليسار إلى النقطة الموجودة على اليمين ، لذلك نقوم بتغيير قيمة $ x $. التشغيل هو التغيير في $ x $ ، $ Delta x $.


كيفية فهم المنحدر (في الجبر)

شارك في تأليف هذا المقال فريقنا المُدرَّب من المحررين والباحثين الذين قاموا بالتحقق من صحته للتأكد من دقته وشموله. يراقب فريق إدارة المحتوى في wikiHow بعناية العمل الذي يقوم به فريق التحرير لدينا للتأكد من أن كل مقال مدعوم بأبحاث موثوقة ويلبي معايير الجودة العالية لدينا.

هناك 11 مرجعًا تم الاستشهاد بها في هذه المقالة ، والتي يمكن العثور عليها في أسفل الصفحة.

يضع موقع wikiHow علامة على المقالة كموافقة القارئ بمجرد تلقيها ردود فعل إيجابية كافية. في هذه الحالة ، كتب العديد من القراء ليخبرونا أن هذه المقالة كانت مفيدة لهم ، مما أكسبها حالة موافقة القارئ.

تمت مشاهدة هذا المقال 84،118 مرة.

يقيس ميل الخط ، ويسمى أيضًا التدرج ، انحدار الخط. عادة ما نفكر في المنحدر على أنه "الارتفاع فوق الجري". عند العمل باستخدام المنحدر ، من المهم أولاً فهم المفاهيم الأساسية لما يقيس المنحدر ، وكيف يقيسه. يمكنك حساب ميل الخط طالما أنك تعرف إحداثيات أي نقطتين.


لماذا المنحدر غير معرّف للخطوط العمودية؟

لنستخدم & # 8217s مثال السطر (x = 4 ) ، الموضح أعلاه. نقطتان على هذا الخط ستكونان ((4 ، 1) ) و ((4 ، 2) ). نظرًا لأنه يمكنك استخدام أي نقطتين لحساب ميل الخط ، يمكننا بعد ذلك تطبيق صيغة الميل باستخدام ((x_1، y_1) = (4،1) ) و ((x_2، y_2) = (4، 2) ).

الآن ، يمكننا أن نرى المشكلة. نظرًا لأن قيمتي x متماثلتان ، فإن مقام المنحدر ينتهي به الأمر ليكون 0. والقسمة على الصفر دائمًا غير محددة. كل نقطة على هذا الخط لها إحداثي x يساوي 4 ، لذلك سيحدث هذا بغض النظر عن النقاط المختارة.

بتعميم هذه الفكرة قليلاً ، بالنسبة للخط العمودي (x = c ) ، ستكون إحداثيات x دائمًا هي الرقم (c ). لذلك ، ستؤدي صيغة الميل دائمًا إلى القسمة على صفر ، وبالتالي سيكون الميل غير محدد.


شكوى DMCA

If you believe that content available by means of the Website (as defined in our Terms of Service) infringes one or more of your copyrights, please notify us by providing a written notice (“Infringement Notice”) containing the information described below to the designated agent listed below. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

Your Infringement Notice may be forwarded to the party that made the content available or to third parties such as ChillingEffects.org.

Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

Please follow these steps to file a notice:

You must include the following:

A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

Send your complaint to our designated agent at:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


Slope

Slope is a measure of how steep a line is. There is very algebraic formula for the slope, and if you know that, that’s great! If you don’t know that formula, or used to know it and can’t remember it, I will say: fuhgeddaboudit! Here’s a much better way of thinking about slope. Slope is rise over run.

To calculate rise and run, first have to put the two points in order. It actually doesn’t matter which one we say is the first and which one, the second: all that matters is that we are consistent.

ال rise is the vertical change — the change in y-coordinate (second point minus first). ال run is the horizontal change — the change in the x-coordinate (again, second minus first). Once we have rise & run, divide them, rise divided by run, to find the slope.

For example, suppose our points are (–2, 4) and (5, 1). For the sake of argument, we’ll say that’s the order — (–2, 4) is the “first” and (5, 1) is the “second.” The rise is the change in height, the change in y-coordinate: 1 – 4 = –3 (notice, we had to do second minus first, which gave us a negative here!) The run is the horizontal change, the change in x-coordinate: 5 – (–2) = 5 + 2 = 7 (remember: subtracting a negative is the same as adding a positive!). Now, rise/run = –3/7 —- that’s the slope. Slope is definitely something you need to understand for the GMAT Quantitative section.

Whenever you find a slope, I strongly suggest doing a rough sketch, just to verify that the sign of the slope (positive or negative) and the value of the slope are approximately correct. Here’s a sketch of this particular calculation:

Your sketch, of course, does not need to be this precise. Even a rough sketch would verify that, yes, the slope should be negative. Again, I highly recommend performing this visual check every time you calculate slope.


Class: 11th
Subject: Mathematics
Chapter : Ch-11 Straight Lines, Section -A of Vol-II
Board ISC
Writer ML Aggarwal
Publications APC Arya Publications 2020-21

-: Select Topics :-

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Straight Line

By definition, a خط مستقيم is the set of all points between and extending beyond two points. In most geometries, a line is a primitive object that does not have formal properties beyond length, its single dimension.

The two properties of straight lines in Euclidean geometry are that they have only one dimension, length, and they extend in two directions forever.

Properties of Straight Lines
  • One-dimensional
  • Can be horizonal, vertical, or diagonal
  • Both ends extend in two directions forever
  • Makes a 180-degree angle when drawing an angle arc from one point to another
What is a Point ?

أ point is the simplest figure in geometry. It is a location in space, without dimension. It has no width, volume, thickness, length or depth. Yet when you have two points, if you connect every point between those two points, you have a straight line.

How To Construct a Straight Line

A straight line is one of the easiest constructions to make in geometry. With a sheet of blank paper, a pencil, and a straightedge, you can construct a line easily:

  • Draw two dots on the paper, some distance from each other these are Points
  • Use the straightedge to connect the two Points with a pencil line, and extend the line far past both Points
  • Draw arrowheads at the ends of the line you drew

Shifting of Origin
Let the origin is shifted to a point O'(h, k). If P(x, y) are coordinates of a point referred to old axes and P'(X, Y) are the coordinates of the same points referred to new axes, then x = X + h, y = Y + k.

Straight Line
Any curve is said to be a straight line if two points are taken on the curve such that every point on the line segment joining any two points on it lies on the curve. General equation of a line is ax + by + c = 0.

Slope or Gradient of Line
The inclination of angle θ to a line with a positive direction of X-axis in the anti-clockwise direction, the tangent of angle θ is said to be slope or gradient of the line and is denoted by m.
i.e. m = tan θ
The slope of a line passing through points P(x 1 ، ذ 1 ) and Q(x 2 ، ذ 2 ) is given by

Position of Points is Relative to a Given Line
Let the equation of the given line be ax + by + c = 0 and let the coordinates of the two given points be P(x 1 ، ذ 1 ) and Q(x 2 ، ذ 2 ).
The two points are on the same side of the straight line ax + by + c = 0, If ax 1 + by 1 + c and ax 2 + by 2 + c have the same sign.

The two points are on the opposite sides of the straight line ax + by + c = 0, If ax 1 + by 1 + c and ax 2 + by 2 + c have opposite sign.

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Exe-11.2

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Exe-11.4

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

ML Aggarwal ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Exe-11.7

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

ML Aggarwal ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Exe-11.10

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Exe-11.12

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

Chapter Test

ML Aggarwal Straight Lines ISC Class-11 Maths Understanding Ch-11

-: End of Straight Lines ISC Class-11 ML Aggarwal Maths Understanding Chapter-11 Solution :-


Slope Concept 1 – Understanding the Basic Concepts of Slope

Note: This is the first part of the the Slope Concept Series. The sequels of this article are Part II – Slope of the Graph of a Linear Function and Part III – Slopes of Vertical and Horizontal Lines.

The slope is known to be the steepness of a line. Sometimes it is described as “rise over run,” If we are on point A , we go up 4 units and we go right 5 units (see Figure 1) then our rise is 4 and our run is 5. Let us mark our new location B . Notice that the order of movements does not matter. We can also go 5 units right and 4 units up and you will still be in B (see Figure 2).

If we do our movement in the coordinate plane starting from the origin, our rise would be our vertical movement (change of movement with respect to the y-axis) and our run would be our horizontal movement (change of movement with respect to the x-axis). In Figure 2, segment AB has rise 4 and run 5. Thus, the slope of segment AB is . In general, slope in the coordinate plane is described as the تغيير في ذ على مدار change in x.

Figure 1 - Segment AB with rise 4 units and run 5 units.

The slope of a line (or a segment) may also be described as the angle it makes with a horizontal line. Technically speaking, it is a counterclockwise rotation with the line starting from a horizontal position about a point which is located on that line, or the origin our case. In Figure 2, is the angle measure AB makes with the horizontal axis of the rectangular coordinate plane, or the amount of rotation from AB’ to AB about A.

Figure 2 - Counter-clockwise rotation of AB to AB' about A.

Looking at triangle ABC , since the given sides are the side adjacent and the side opposite to , we can use the definition of tangent to compute for the value of . Recall from trigonometry that the definition of a tangent of an angle of a right triangle is equal to the quotient of the length of the side opposite to it (change in y) and the length of the side adjacent to it (change in x). Now, this is precisely the definition of slope. From here, we can conclude that the angle that a line makes with a horizontal line is the same as the slope of that line. As a consequence in radian measure (or approximately 38 degrees) is the slope of the line.

Figure 3 - Triangle ABC with Slope 4/5.

If we examine the value of , it is clear that when is degrees, the line is horizontal since there is no (zero) change in y. Algebraically, this makes the numerator of the fraction change in y which implies that the slope of any horizontal line is .

If the line is vertical, there is no (zero) change in x. That makes the denominator of the fraction change in x . Of course, we know that anything divided by is not defined. As a consequence, slope of a vertical line is undefined.

In the continuation of this article, we will discuss further about the properties of slope. We will discuss why the slope of a straight line is constant. We will further discuss zero, undefined, negative and positive slopes. We will also discuss how the concept of slope helps in solving calculus problems and how it is used to determine the behavior functions.


Coordinate Geometry: Slope of a Line

In our recent videos we’ve been exploring lines. Now we move on to learn how to find the slope of a line.


شاهد الفيديو: ميل المستقيم. رياضيات 1 (شهر اكتوبر 2021).