مقالات

4.2: مثلثات متشابهة - رياضيات


يُقال أن مثلثين متشابهين إذا كانت لديهما مجموعة متساوية من الزوايا. في الشكل ( PageIndex {1} ) ، ( triangle ABC ) مشابه لـ ( triangle DEF. ) تسمى الزوايا المتساوية الزوايا المقابلة. في الشكل ( PageIndex {1} ) ، ( angle A ) يتوافق مع ( angle D ) ، ( angle B ) يتوافق مع ( angle E ) ، و ( الزاوية C ) تقابل ( الزاوية F ). تسمى الجوانب التي تربط الرؤوس المقابلة الجوانب المقابلة. في الشكل ( PageIndex {1} ) ، (AB ) يتوافق مع (DE ) ، (BC ) يتوافق مع (EF ) ، و (AC ) يقابل (DF ) ). رمز المشابه هو ( sim ). ستتم كتابة عبارة التشابه ( مثلث ABC sim triangle DEF ) دائمًا بحيث تظهر الرؤوس المقابلة بنفس الترتيب.

بالنسبة للمثلثات الموجودة في الشكل ( PageIndex {1} ) ، يمكننا أيضًا كتابة ( مثلث BAC sim triangle BDF ) أو ( مثلث ACB sim triangle DFE ) ولكن ليس مطلقًا ( مثلث ABC sim triangle EDF ) ولا ( مثلث ACB sim triangle DEF ).

يمكننا تحديد الجوانب التي تتوافق مع بيان التشابه. على سبيل المثال ، إذا كان ( مثلث ABC sim مثلث DEF ) ، فإن الجانب (AB ) يتوافق مع الجانب (DE ) لأن كلاهما هما أول حرفين. (BC ) يتوافق مع (EF ) لأن كلاهما هما آخر حرفين ، (AC ) يتوافق مع (DF ) لأن كلاهما يتكون من الحرفين الأول والأخير.

مثال ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كانت المثلثات متشابهة ، وإذا كان الأمر كذلك ، فاكتب بيان التشابه:

حل

[ زاوية C = 180 ^ { circ} - (65 ^ { circ} + 45 ^ { circ}) = 180 ^ { circ} - 110 ^ { circ} = 70 ^ { circ} لا يوجد رقم]

[ زاوية D = 180 ^ { circ} - (65 ^ { circ} + 45 ^ { circ}) = 180 ^ { circ} - 110 ^ { circ} = 70 ^ { circ} لا يوجد رقم]

لذلك كلا المثلثين لهما نفس الزوايا و ( مثلث ABC سيم مثلث EFD ).

إجابه: ( مثلث ABC سيم مثلث EFD ).

يشير المثال (أ) إلى أنه لإثبات التشابه من الضروري فقط معرفة ذلك اثنين من الزوايا المتناظرة متساوية:

نظرية ( PageIndex {1} )

يتشابه المثلثان إذا كانت زاويتان من أحدهما متساوية في زاويتين للأخرى ((AA = AA) ).

في الشكل ( PageIndex {2} ) ، ( مثلث ABC sim triangle DEF ) لأن ( زاوية أ = زاوية د ) و ( زاوية ب = زاوية إي ).

دليل - إثبات

( مثلث C = 180 ^ { circ} - ( angle A + angle B) = 180 ^ { circ} - ( angle D + angle E) = angle F ).

مثال ( PageIndex {2} )

حدد المثلثات المتشابهة واكتب بيان التشابه:

حل

( زاوية أ = زاوية CDE ) لأنها زوايا متناظرة لخطوط متوازية. ( الزاوية C = الزاوية C ) بسبب الهوية. لذلك ( مثلث ABC سيم مثلث DEC ) بواسطة (AA = AA ).

إجابه: ( مثلث ABC سيم مثلث DEC ).

مثال ( PageIndex {3} )

حدد المثلثات المتشابهة واكتب بيان التشابه:

حل

( الزاوية أ = الزاوية أ ) المطابقة. ( angle ACB = angle ADC = 90 ^ { circ} ). وبالتالي

أيضًا ( angle B = angle B ) ، الهوية ، ( angle BDC = angle BCA = 90 ^ { circ} ). وبالتالي

الجواب: ( مثلث ABC sim مثلث ACD sim triangle CBD ).

المثلثات المتشابهة مهمة بسبب النظرية التالية:

نظرية ( PageIndex {2} )

الأضلاع المتناظرة للمثلثات المتشابهة متناسبة. هذا يعني أنه إذا ( مثلث ABC سيم مثلث DEF ) إذن

( dfrac {AB} {DE} = dfrac {BC} {EF} = dfrac {AC} {DF} ).

أي أن أول حرفين من ( مثلث ABC ) هما أول حرفين من ( مثلث DEF ) حيث أن الحرفين الأخيرين من ( مثلث ABC ) يرتبطان بالحرفين الأخيرين من ( مثلث DEF ) حيث أن الحرفين الأول والأخير من ( مثلث ABC ) هما الحرفان الأول والأخير من ( مثلث DEF ).

قبل محاولة إثبات النظرية ( PageIndex {2} ) ، سنقدم عدة أمثلة على كيفية استخدامها:

مثال ( PageIndex {4} )

ابحث عن (x ):

حل

( الزاوية أ = الزاوية د ) و ( الزاوية ب = الزاوية إي ) لذلك ( مثلث ABC سيم مثلث DEF ). بواسطة Theorem ( PageIndex {2} ) ،

( dfrac {AB} {DE} = dfrac {BC} {EF} = dfrac {AC} {DF} ).

سوف نتجاهل ( dfrac {AB} {DE} ) هنا لأننا لا نعرف ولا يتعين علينا العثور على (AB ) أو (DE ).

[ start {array} {rcl} { dfrac {BC} {EF}} & = & { dfrac {AC} {DF}} { dfrac {8} {x}} & = & { dfrac {2} {3}} {24} & = & {2x} {12} & = & {x} end {array} ]

التحقق من:

الجواب: (س = 12).

مثال ( PageIndex {5} )

ابحث عن (x ):

حل

( الزاوية أ = الزاوية أ ، الزاوية ADE = الزاوية ABC ) ، لذلك ( مثلث ADE سيم مثلث ABC ) ب (AA = AA ).

( dfrac {AD} {AB} = dfrac {DE} {BC} = dfrac {AE} {AC} ).

نتجاهل ( dfrac {AD} {AB} ).

[ start {array} {rcl} { dfrac {DE} {BC}} & = & { dfrac {AE} {AC}} { dfrac {5} {15}} & = & { dfrac {10} {10 + x}} {5 (10 + x)} & = & {15 (10)} {50 + 5x} & = & {150} {5x} & = & {150 - 50} {5x} & = & {100} {x} & = & {20} end {array} ]

التحقق من:

الجواب: (س = 20 ).

مثال ( PageIndex {6} )

ابحث عن (x ):

حل

( زاوية أ = زاوية CDE ) لأنها زوايا متناظرة لخطوط متوازية. لذلك ( مثلث ABC سيم مثلث DEC ) بواسطة (AA = AA ).

( dfrac {AB} {DE} = dfrac {BC} {EC} = dfrac {AC} {DC} )

نتجاهل ( dfrac {BC} {EC} ):

[ start {array} {rcl} { dfrac {AB} {DE}} & = & { dfrac {AC} {DC}} { dfrac {x + 5} {4}} & = & { dfrac {x + 3} {3}} {(x + 5) (3)} & = & {(4) (x + 3)} {3x + 15} & = & {4x + 12} {15 - 12} & = & {4x - 3x} {3} & = & {x} end {array} ]

التحقق من:

الجواب: (س = 3 ).

مثال ( PageIndex {7} )

ابحث عن (x ):

حل

( زاوية أ = زاوية أ ) ، ( زاوية ACB = زاوية ADC = 90 ^ { دائرة} ) ، ( مثلث ABC سيم مثلث ACD ).

[ start {array} {rcl} { dfrac {AB} {AC}} & = & { dfrac {AC} {AD}} { dfrac {x + 12} {8}} & = & { dfrac {8} {x}} {(x + 12) (x)} & = & {(8) (8)} {x ^ 2 + 12x} & = & {64} {x ^ 2 + 12x - 64} & = & {0} {(x - 4) (x + 16)} & = & {0} {x = 4 x } & = & {-16} end {array} ]

نرفض الإجابة (x = -16 ) لأن (AD = x ) لا يمكن أن تكون سالبة.

تحقق ، (س = 4 )

الجواب: (س = 4 ).

مثال ( PageIndex {8} )

تلقي الشجرة بظلالها بطول 12 قدمًا في نفس الوقت يلقي رجل 6 أقدام بظلاله بطول 4 أقدام. ما هو ارتفاع الشجرة؟

حل

في الرسم (AB ) و (DE ) هي أشعة الشمس المتوازية. لذلك ( الزاوية أ = الزاوية د ) لأنها زوايا متناظرة من الخطوط المتوازية بالنسبة إلى المستعرض (AF ). منذ أيضًا ( زاوية C = زاوية F = 90 ^ { دائرة} ) ، لدينا ( مثلث ABC سيم مثلث DEF ) بواسطة (AA = AA ).

[ start {array} {rcl} { dfrac {AC} {DF}} & = & { dfrac {BC} {EF}} { dfrac {4} {12}} & = & { dfrac {6} {x}} {4x} & = & {72} {x} & = & {18} end {array} ]

الجواب: (س = 18 ) قدم.

إثبات النظرية ( PageIndex {2} ) ("الأضلاع المقابلة للمثلثات المتشابهة متناسبة"):

نوضح البرهان باستخدام مثلثات المثال ( PageIndex {4} ) (الشكل ( PageIndex {3} )). الدليل على وجود مثلثات أخرى مماثلة يتبع نفس النمط. هنا سوف نثبت ذلك (x = 12 ) بحيث ( dfrac {2} {3} = dfrac {8} {x} ).

أولاً ، ارسم خطوطًا متوازية مع جانبي ( مثلث ABC ) و ( مثلث DEF ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} ). الزوايا المتناظرة لهذه الخطوط المتوازية متساوية ، ولكل من متوازي الأضلاع مع ضلع يساوي 1 جانبه المقابل يساوي 1 أيضًا ، لذلك فإن جميع المثلثات الصغيرة التي لها ضلع يساوي 1 متطابقة مع (AAS = AAS ). تشكل الأضلاع المقابلة لهذه المثلثات جانبًا (BC = 8 ) من ( مثلث ABC ) (انظر الشكل ( PageIndex {5} )). لذلك يجب أن يساوي كل جانب من هذه الجوانب 4 و (x = EF = 4 + 4 + 4 = 12 ) (الشكل ( PageIndex {6} )).

(ملاحظة للمدرس: يمكن تنفيذ هذا الإثبات عندما تكون أطوال أضلاع المثلثات أرقامًا منطقية. ومع ذلك ، نظرًا لأنه يمكن تقريب الأرقام غير المنطقية بقدر ما هو ضروري من خلال الأسباب المنطقية ، فإن الدليل يمتد إلى هذه الحالة أيضًا.)

ملاحظة تاريخية

استخدم طاليس (حوالي 600 قبل الميلاد) تناسب جوانب المثلثات المماثلة لقياس ارتفاعات الأهرامات في مصر. كانت طريقته تشبه إلى حد كبير الطريقة التي استخدمناها في مثال ( PageIndex {8} ) لقياس ارتفاع الأشجار.

في الشكل ( PageIndex {7} ) ، (DE ) يمثل ارتفاع الهرم و (CE ) هو طول ظله. (BC ) يمثل عصا عمودية و (AC ) هو طول ظلها. لدينا ( مثلث ABC سيم مثلث CDE ). كان طاليس قادرًا على قياس الأطوال مباشرة (AC ، BC ) ، و (CE ). باستبدال هذه القيم بالنسب ( dfrac {BC} {DE} = dfrac {AC} {CE} ) ، تمكن من إيجاد الارتفاع (DE ).

مشاكل

1 - 6. حدد المثلثات المتشابهة واكتب بيان التشابه:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7 - 22. لكل مما يلي

(1) اكتب بيان التشابه

(2) اكتب النسبة بين الأضلاع المتناظرة

(3) حل من أجل (س ) أو (س ) و (ص ).

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. سارية العلم تلقي بظلالها بطول 80 قدمًا في نفس الوقت يلقي الصبي 5 أقدام بظلاله بطول 4 أقدام. كم يبلغ ارتفاع سارية العلم؟

24. أوجد عرض (AB ) للنهر:


إرشادات ونصائح عبر الإنترنت للإعدادات SAT / ACT

تمثل أسئلة المثلث أقل من 10٪ من جميع أسئلة الرياضيات في اختبار SAT. بعد قولي هذا ، ما زلت ترغب في الحصول على هذه الأسئلة بشكل صحيح ، لذا يجب أن تكون مستعدًا لمعرفة كل نوع من المثلثات: مثلثات قائمة ، ومثلثات متساوية الساقين ، ومثلثات متساوية الساقين - يمكن لـ SAT اختبارك على أي منها. نظرًا لأن مسائل المثلث لا تمثل سوى نسبة صغيرة من أسئلة الرياضيات في اختبار SAT ، فلا يجب أن تقضي كل وقت دراستك على المثلثات.

يجب أن تكون هذه المقالة هي كل ما تحتاجه لإعدادك لمعالجة أسئلة مثلث SAT. سأخبرك بأنواع المثلثات التي ستظهر في SAT ، وصيغها ، والاستراتيجيات التي ستحتاج إلى تطبيقها عند التعامل مع سؤال مثلث. سأقوم أيضًا بتفصيل أسئلة ممارسة الرياضيات في SAT وشرح كيفية إخراج أسئلة المثلث من المتنزه.


مشاكل مثلثات مماثلة مع حلول

  • BA هو مستعرض يتقاطع مع الخطين المتوازيين A'C 'و AC ، وبالتالي فإن الزوايا المقابلة BA'C' و BAC متطابقة. BC هو أيضًا مستعرض للخطين المتوازيين A'C 'و AC ، وبالتالي فإن الزاويتين BC'A' و BCA متطابقتان. هذان المثلثان لهما زاويتان متطابقتان وبالتالي فإن أطوال أضلاعهما متناسبة. دعونا نفصل بين المثلثين كما هو موضح أدناه.
  • نستخدم الآن تناسب أطوال الضلع لكتابة معادلات تساعد في إيجاد قيمة x و y.
    (30 + س) / 30 = 22/14 = (ص + 15) / ص
  • يمكن كتابة المعادلة في x على النحو التالي.
    (30 + س) / 30 = 22/14
  • حل ما سبق من أجل x.
    420 + 14 س = 660
    س = 17.1 (مقربًا إلى منزلة عشرية واحدة).
  • يمكن كتابة المعادلة في y على النحو التالي.
    22/14 = (ص + 15) / س
  • حل ما ورد أعلاه للحصول على ص.
    ص = 26.25

المشاكل 2
يرغب فريق البحث في تحديد ارتفاع الجبل على النحو التالي (انظر الشكل أدناه): يستخدمون مصدرًا للضوء عند L ، مركبًا على هيكل ارتفاعه 2 متر ، لإلقاء شعاع من الضوء عبر الجزء العلوي من القطب P ' عبر قمة الجبل M '. ارتفاع العمود 20 مترا. المسافة بين ارتفاع الجبل والقطب 1000 متر. المسافة بين القطب والليزر 10 أمتار. نفترض أن مصدر الضوء والقطب وارتفاع الجبل في نفس المستوى. أوجد ارتفاع الجبل h.

  • نرسم أولاً خطًا أفقيًا LM. PP 'و MM' عموديان على الأرض وبالتالي موازيان لبعضهما البعض. نظرًا لأن PP 'و MM' متوازيان ، فإن المثلثين LPP 'و LMM' متشابهان. ومن هنا فإن التناسب بين الجانبين يعطي:
    1010/10 = (ح - 2) / 18
  • حل من أجل h لتحصل على
    ع = 1820 متر.

المشاكل 3
المثلثان متشابهان ونسبة أطوال أضلاعهما تساوي k: AB / A'B '= BC / B'C' = CA / C'A '= k. أوجد النسبة BH / B'H 'لأطوال ارتفاعات المثلثين.

  • إذا كان المثلثان متشابهين ، فإن زاويتهما المتناظرة متطابقة. ومن ثم فإن الزاوية BAH و B'A'H متطابقتان. نقوم الآن بفحص المثلثين BAH و B'A'H. تحتوي هذه المثلثات على زوجين من الزوايا المتطابقة المتوافقة: BAH و B'A'H والمثلثات القائمة BHA و B'H'A '. المثلثات متشابهة وبالتالي:
    AB / A'B '= BH / B'H' = ك

المشاكل 4
BA 'و AB' هما وتران لدائرة تتقاطع عند C. أوجد علاقة بين أطوال المقاطع AC و BC و B'C و A'C.

  • ننضم أولاً إلى النقطتين B و A و B 'و A'. الزاويتان ABA 'و AB'A' في المثلثين متطابقتان لأنهما يعترضان نفس القوس. تعترض الزاويتان BAB 'و BA'B' أيضًا نفس القوس وبالتالي فهي متطابقة. المثلثان ABC و A'B'C لهما زاويتان متطابقتان متطابقتان وبالتالي متشابهان.

  • قبل أن نكتب تناسب الأضلاع ، نفصل أولاً بين المثلثين ونحدد الأضلاع المتناظرة ، ثم نكتب تناسب أطوال الأضلاع.
    AB / A'B '= BC / B'C = CA / CA'
  • نظرًا لأننا نبحث عن علاقة بين أطوال AC و BC و B'C و A'C ، لذلك نستخدم المعادلة الأخيرة وحاصل الضرب التبادلي لها للحصول على
    BC * CA '= B'C * CA

المشاكل 5
ABC مثلث قائم الزاوية. AM عمودي من الرأس A إلى الوتر BC في المثلث. كم عدد المثلثات المتشابهة هناك؟


الرياضيات الجزء الثاني حلول للصف 10 الرياضيات الفصل 1 - التشابه

الرياضيات الجزء الثاني حلول الحلول للفصل 10 الرياضيات الفصل 1 التشابه معروض هنا مع تفسيرات بسيطة خطوة بخطوة. تحظى حلول التشابه هذه بشعبية كبيرة بين طلاب الصف 10 لأن حلول تشابه الرياضيات تأتي في متناول اليد لإكمال واجباتك المدرسية بسرعة والتحضير للامتحانات. جميع الأسئلة والأجوبة من كتاب حلول الرياضيات للجزء الثاني للصف 10 رياضيات الفصل 1 متوفرة هنا مجانًا. ستحب أيضًا التجربة الخالية من الإعلانات في حلول حلول الجزء الثاني من Meritnation في الرياضيات. جميع حلول الرياضيات ، الجزء الثاني ، للصف 10 تم إعداد حلول الرياضيات من قبل خبراء وهي دقيقة بنسبة 100٪.

الصفحة رقم 5:

السؤال رقم 1:

قاعدة المثلث تساوي 9 والارتفاع 5. قاعدة مثلث آخر تساوي 10 والارتفاع هو 6. أوجد النسبة بين مساحات هذين المثلثين.

إجابه:

لنفترض أن ABC و PQR يكونان مثلثين قائم الزاوية مع AB & perp BC و PQ & perp QR.
معطى:
BC = 9 ، AB = 5 ، PQ = 6 ، QR = 10.
& # 8756 A & # 9651 ABC A & # 9651 PQR = AB & # 215 BC PQ & # 215 QR = 5 & # 215 9 6 & # 215 10 = 3 4

الصفحة رقم 6:

السؤال 2:

في الشكل التالي ، BC & perp AB ، AD & perp AB ، BC = 4 ، AD = 8 ، ثم أوجد A & # 8710 ABC A & # 8710 ADB.

إجابه:

الصفحة رقم 6:

السؤال 3:

في الشكل المجاور ، seg PS & perp seg RQ seg QT & perp seg PR. إذا كان RQ = 6 و PS = 6 و PR = 12 ، فأوجد QT.

إجابه:

معطى:
PS & perp RQ
كيو تي & بيرب العلاقات العامة
RQ = 6 و PS = 6 و PR = 12
مع قاعدة العلاقات العامة والارتفاع QT، A & # 9651 PQR = 1 2 & # 215 PR & # 215 QT
مع QR الأساسي والارتفاع PS ، A & # 9651 PQR = 1 2 & # 215 QR & # 215 PS
& # 8756 A & # 9651 PQR A & # 9651 PQR = 1 2 & # 215 PR & # 215 QT 1 2 & # 215 QR & # 215 PS & # 8658 1 = PR & # 215 QT QR & # 215 PS & # 8658 PR & # 215 QT = QR & # 215 PS
& # 8658 QT = QR & # 215 PS PR = 6 & # 215 6 12 = 3
ومن ثم ، فإن قياس جانب QT هو 3 وحدات.

الصفحة رقم 6:

السؤال 4:

في الشكل المجاور ، AP & Perp BC، AD || BC ، ثم ابحث عن A (ABC): A (∆BCD).

إجابه:

معطى:
AP & Perp BC
م || قبل الميلاد
& # 8756 A & # 9651 ABC A & # 9651 BCD = AP & # 215 BC AP & # 215 BC = 1 1
ومن ثم ، فإن نسبة A (∆ABC) و A (∆BCD) هي 1: 1.

الصفحة رقم 6:

السؤال الخامس:

في الشكل المجاور PQ & perp BC و AD & Perp BC ثم أوجد النسب التالية.

إجابه:

(أنا)
A & # 9651 PQB A & # 9651 PBC = PQ & # 215 BQ PQ & # 215 BC = BQ BC
(ثانيا)
A & # 9651 PBC A & # 9651 ABC = PQ & # 215 قبل الميلاد م & # 215 قبل الميلاد = PQ AD
(ثالثا)
A & # 9651 ABC A & # 9651 ADC = AD & # 215 قبل الميلاد م & # 215 DC = BC DC
(رابعا)
A & # 9651 ADC A & # 9651 PQC = AD & # 215 DC PQ & # 215 QC

الصفحة رقم 13:

السؤال رقم 1:

فيما يلي بعض المثلثات وأطوال مقاطع الخط. حدد في أي من الأشكال ، يعتبر Ray PM هو منصف & angQPR.
(1)

إجابه:

(1)
في & # 160 & # 9651 QMP ، & # 160 QM QP = 3. 5 7 = 1 2
في & # 160 & # 9651 MRP ، MR RP = 1. 5 3 = 1 2
& # 8756 QM QP = MR RP
على العكس من نظرية منصف الزاوية ، فإن الشعاع PM هو منصف & angQPR.

(2)
في & # 160 & # 9651 QMP ، & # 160 QM QP = 8 10 = 4 5
في & # 160 & # 9651 MRP ، MR RP = 6 7
& # 8756 QM QP & # 8800 MR RP
لذلك ، فإن ray PM ليس منصف & angQPR.
(3)
في & # 160 & # 9651 QMP ، & # 160 QM QP = 3. 6 9 = 2 5
في & # 160 & # 9651 MRP ، MR RP = 4 10 = 2 5
& # 8756 QM QP = MR RP
على العكس من نظرية منصف الزاوية ، فإن الشعاع PM هو منصف & angQPR.

الصفحة رقم 13:

السؤال 2:

في ∆PQR ، PM = 15 ، PQ = 25 PR = 20 ، NR = 8. حدد ما إذا كان الخط NM موازيًا للجانب RQ. أعط السبب.

إجابه:

معطى:
م = 15 ،
PQ = 25 ،
PR = 20 و
NR = 8
الآن ، PN = PR & ناقص NR
= 20 وناقص 8
= 12
أيضًا ، MQ = PQ & ناقص PM
= 25 & ناقص 15
= 10
في & # 160 & # 9651 PRQ ، & # 160 PR NR = 12 8 = 3 2
أيضًا ، PM MQ = 15 10 = 3 2
& # 8756 PR NR = PM MQ
على عكس نظرية التناسب الأساسية ، فإن NM موازية للجانب RQ أو NM || RQ.

الصفحة رقم 14:

السؤال 3:

في MNP ، NQ هو منصف & angN. إذا كان MN = 5 ، PN = 7 MQ = 2.5 ثم ابحث عن QP.

إجابه:

الصفحة رقم 14:

السؤال 4:

تم إعطاء مقاييس لبعض الزوايا في الشكل. إثبات أن AP PB = AQ QC

إجابه:

معطى:
& angAPQ = 60
& angABC = 60
منذ ذلك الحين ، الزوايا المقابلة & angAPQ و & angAPC متساوية.
ومن ثم ، السطر PQ || قبل الميلاد.
في & # 160 & # 9651 ABC ، ​​& # 160 PQ & # 8741 BC AP PB = AQ QC & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 بواسطة & # 160 Basic & # 160 نظرية التناسب

الصفحة رقم 14:

السؤال الخامس:

في شبه المنحرف ABCD ، الجانب AB || الجانب PQ || الجانب ∆C ، AP = 15 ، PD = 12 ، QC = 14 ، أوجد BQ.

إجابه:

الإنشاءات: انضم إلى BD المتقاطعة PQ عند X.

الصفحة رقم 14:

السؤال 6:

ابحث عن QP باستخدام المعلومات الواردة في الشكل.

إجابه:

الصفحة رقم 14:

السؤال 7:

في الشكل التالي ، إذا كان AB || قرص مضغوط || FE ثم البحث x و AE.

إجابه:

الإنشاءات: انضم إلى القرص المضغوط المتقاطع في X.

الصفحة رقم 15:

السؤال الثامن:

في ∆LMN ، شعاع MT شعاع & angLMN إذا كان LM = 6 ، MN = 10 ، TN = 8 ، ثم ابحث عن LT.

إجابه:

الصفحة رقم 15:

السؤال 9:

في ∆ABC ، ​​seg BD bisects & angABC. إذا كان AB = x، BC = x + 5 ، م = x & ndash 2 ، DC = x + 2 ، ثم أوجد قيمة x.

إجابه:

الصفحة رقم 15:

السؤال 10:

في الشكل الموضح ، X هي أي نقطة داخل المثلث. يتم ربط النقطة X برؤوس المثلث. Seg PQ || SEG DE ، SEG QR || قسم EF. املأ الفراغات لإثبات ذلك ، seg PR || قسم DF.

إجابه:

الصفحة رقم 15:

السؤال 11:

في ∆ABC، ray BD bisects & angABC and ray CE bisects & angACB. إذا كان seg AB & cong seg AC ، فثبت أن ED || قبل الميلاد.

إجابه:

معطى:
شعاع BD و angABC
شعاع CE منصف و angACB.
SEG AB & cong seg AC

الصفحة رقم 21:

السؤال رقم 1:

في الشكل المعطى ، & angABC = 75 & deg، & angEDC = 75 & deg state أي مثلثين متشابهين وبأي اختبار؟ اكتب أيضًا التشابه بين هذين المثلثين من خلال تطابق مناسب واحد لواحد.

إجابه:

معطى:
& angABC = 75 درجة ، & angEDC = 75 درجة
الآن ، في △ ABC و △ EDC
& angABC = & angEDC = 75 & deg (معطى)
& angC = & angC (عام)
بواسطة اختبار AA للتشابه
△ ABC & sim △ EDC

الصفحة رقم 21:

السؤال 2:

هل المثلثات في الشكل المعطى متشابهة؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، بأي اختبار؟

إجابه:

معطى:
PQ = 6
العلاقات العامة = 10
QR = 8
LM = 3
LN = 5
MN = 4
الآن،
PQ LM = 6 3 = 2 ، QR MN = 8 4 = 2 ، RP NL = 10 5 = 2
& # 8756 PQ LM = QR MN = RP NL
بواسطة اختبار SSS للتشابه
△ PQR & sim △ LMN

الصفحة رقم 21:

السؤال 3:

كما هو مبين في الشكل الآتي ، قطبان ارتفاعهما 8 م و 4 م متعامدين على الأرض. إذا كان طول ظل القطب الأصغر بسبب ضوء الشمس 6 أمتار ، فكم سيكون طول ظل القطب الأكبر في نفس الوقت؟

إجابه:

معطى:
العلاقات العامة = 4
RL = 6
أس = 8
في △ PLR و △ ABC
& angPRL = & angACB (زوايا متقابلة عموديًا)
& angLPR = & angBAC (الزوايا التي يصنعها ضوء الشمس في الأعلى متطابقة)
بواسطة اختبار AA للتشابه
△ PLR & sim △ ABC
& # 8756 PR AC = LR BC & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 المتوافقة & # 160 جانبًا & # 160 & # 160 متناسبة & # 8658 4 8 = 6 x & # 8658 x = 12
ومن ثم ، فإن طول ظل القطب الأكبر بسبب ضوء الشمس هو 12 مترًا.

الصفحة رقم 21:

السؤال 4:

في ∆ABC و AP & perp BC و BQ & perp AC B & ndash P & ndashC و A & ndashQ & ndash C ثم إثبات ذلك ، ∆ CPA

∆CQB. إذا كانت AP = 7 ، BQ = 8 ، BC = 12 ، فأوجد AC.

إجابه:

معطى:
AP & Perp BC
BQ & Perp AC
لإثبات: ∆CPA

∆CQB
الإثبات: في ∆ CPA و ∆CQB
& angCPA = & angCQB = 90 (معطى)
& angC = & angC (عام)
بواسطة اختبار AA للتشابه
∆ CPA

الصفحة رقم 22:

السؤال الخامس:

معطى : في شبه المنحرف PQRS ، الجانب PQ || الجانب SR ، AR = 5AP ، AS = 5AQ ثم إثبات ذلك ، SR = 5PQ

إجابه:

معطى:
الجانب PQ || الجانب ريال
AR = 5AP ،
AS = 5AQ
للإثبات: SR = 5PQ
الدليل: في ∆APQ و ∆ARS
& angPAQ = & angRAS (زوايا متقابلة عموديًا)
& angPQA = & angRSA (زوايا بديلة ، الجانب PQ || الجانب SR و QS خط مستعرض)
بواسطة اختبار AA للتشابه
APQ

الصفحة رقم 22:

السؤال 6:

في شبه المنحرف ABCD ، الجانب AB || الجانب DC ، يتقاطع القطران AC و BD في النقطة O. إذا كان AB = 20 ، DC = 6 ، OB = 15 ، فأوجد OD.

إجابه:

معطى:
الجانب AB || جانب DC
AB = 20 ،
تيار مستمر = 6 ،
OB = 15
في △ COD و △ AOB
& angCOD = & angAOB (زوايا متقابلة عموديًا)
& angCDO = & angABO (زوايا متناوبة ، CD || BA و BD خط مستعرض)
بواسطة اختبار AA للتشابه
△ COD & sim △ AOB
& # 8756 CD AB = OD OB & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 جانبًا & # 160 & # 160 متناسبة & # 8658 6 20 = OD 15 & # 8658 OD = 4. 5

الصفحة رقم 22:

السؤال 7:

◻ABCD هي نقطة متوازية الأضلاع E تقع على الجانب BC. يتقاطع الخط DE مع الشعاع AB في النقطة T. يثبت أن DE & مرات BE = CE & مرات TE.

إجابه:

معطى: ◻ABCD هو متوازي الأضلاع
لإثبات: DE & times BE = CE & times TE
الدليل: في BET و ∆CED
& angBET = & angCED (زوايا متقابلة عموديًا)
& angBTE = & angCDE (زوايا بديلة ، AT || CD و DT خط مستعرض)
بواسطة اختبار AA للتشابه
∆BET & sim ∆CED
& # 8756 BE CE = ET ED & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 المتوافقة & # 160 جانب & # 160 & # 160 متناسبة & # 8658 BE & # 215 ED = CE & # 215 ET
ومن ثم ثبت.

الصفحة رقم 22:

السؤال الثامن:

في الشكل المعطى ، يتقاطع كل من seg AC و seg BD مع بعضهما البعض في النقطة P و AP CP = BP DP. إثبات ذلك ، ∆ABP

إجابه:

معطى: AP CP = BP DP
لإثبات: ∆ABP

∆CDP
الإثبات: في ∆ABP و ∆DCP
AP CP = BP DP (معطى)
& angP = & angP (عام)
بواسطة اختبار SAS للتشابه
AP CP = BP DP

الصفحة رقم 22:

السؤال 9:

في الشكل المعطى ، في ∆ABC ، ​​تكون النقطة D على الجانب BC من هذا القبيل ، & angBAC = & angADC. اثبت ذلك ، CA 2 = CB & times CD

إجابه:

الصفحة رقم 25:

السؤال رقم 1:

نسبة الأضلاع المتناظرة للمثلثات المتشابهة هي 3: 5 ثم أوجد نسبة مساحتها.

إجابه:

وفقًا لنظرية المساحات ذات المثلثات المتشابهة & quot ؛ عندما يتشابه المثلثان ، تكون نسبة مساحات هذين المثلثين مساوية لنسبة مربعات أضلاعهما المقابلة & quot.
إذن ، نسبة مساحة المثلثات = 3 2 5 2
= 9 25

الصفحة رقم 25:

السؤال 2:

إجابه:

∆PQR
AB: PQ = 2: 3
وفقًا لنظرية المساحات ذات المثلثات المتشابهة & quot ؛ عندما يتشابه المثلثان ، تكون نسبة مساحات هذين المثلثين مساوية لنسبة مربعات أضلاعهما المقابلة & quot.
& # 8756 A & # 8710 ABC A & # 8710 PQR = AB 2 PQ 2 = 2 2 3 2 = & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 4 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 9 & # 160 & # 160 & # 160

الصفحة رقم 25:

السؤال 3:

إجابه:

∆PQR
أ (∆ABC) = 80
أ (∆PQR) = 125
وفقًا لنظرية المساحات ذات المثلثات المتشابهة & quot ؛ عندما يتشابه المثلثان ، تكون نسبة مساحات هذين المثلثين مساوية لنسبة مربعات أضلاعهما المقابلة & quot.
& # 8756 A & # 8710 ABC A & # 8710 PQR = AB 2 PQ 2 & # 8658 80125 = AB 2 PQ 2 & # 8658 16 25 = AB 2 PQ 2
& # 8658 4 2 5 2 = AB 2 PQ 2 & # 8658 AB PQ = 4 5
لذلك ، A & # 8710 ABC A & # 8710 PQR = 80125 & # 160 و & # 160 AB PQ = 4 5

الصفحة رقم 25:

السؤال 4:

∆PQR ، 9 مرات أ (∆PQR) = 16 مرات أ (∆LMN). إذا كانت QR = 20 ، فابحث عن MN.

إجابه:

الصفحة رقم 25:

السؤال الخامس:

تبلغ مساحة المثلثين المتشابهين 225 سم مربع. 81 سم مربع. إذا كان أحد أضلاع المثلث الأصغر يساوي 12 سم ، فابحث عن الضلع المقابل في المثلث الأكبر.

إجابه:

وفقًا لنظرية المساحات ذات المثلثات المتشابهة & quot ؛ عندما يتشابه المثلثان ، تكون نسبة مساحات هذين المثلثين مساوية لنسبة مربعات أضلاعهما المقابلة & quot.
& # 8756 المساحة & # 160 & # 160 أكبر & # 160 منطقة المثلث & # 160 & # 160 أصغر & # 160 مثلث = 225 81 & # 8658 الجانب & # 160 & # 160 أكبر & # 160 مثلث 2 جانب & # 160 & # 160 أصغر & # 160 مثلث 2 = 15 2 9 2 & # 8658 جانب & # 160 & # 160 أكبر & # 160 مثلث الجانب & # 160 & # 160 أصغر & # 160 مثلث = 15 9
& # 8658 Side & # 160 of & # 160 large & # 160 triangle = 15 9 & # 215 Side & # 160 & # 160 small & # 160 triangle & # 8658 Side & # 160 of & # 160 large & # 160 مثلث = 15 9 & # 215 12 = 20

ومن ثم ، فإن الجانب المقابل للمثلث الأكبر هو 20.

الصفحة رقم 25:

السؤال 6:

∆ABC و ∆DEF مثلثات متساوية الأضلاع. إذا كان A (∆ABC): A (∆DEF) = 1: 2 و AB = 4 ، فأوجد DE.

إجابه:

الصفحة رقم 25:

السؤال 7:

في الشكل التالي 1.66 ، seg PQ || seg DE ، A (∆PQF) = 20 وحدة ، PF = 2 DP ، ثم ابحث عن A (◻DPQE) من خلال إكمال النشاط التالي.

إجابه:

معطى:
سيغ PQ || الجزء DE
أ (∆PQF) = 20 وحدة
PF = 2 DP
لنفترض أن موانئ دبي = x
& هناك 4 PF = 2x
DF = DP + PF = س + 2 س = 3 س
في △ FDE و △ FPQ
& angFDE = & angFPQ (الزوايا المقابلة)
& angFED = & angFQP (الزوايا المقابلة)
بواسطة اختبار AA للتشابه
△ FDE & sim △ FPQ
& # 8756 A & # 9651 FDE A & # 9651 FPQ = FD 2 FP 2 = 3 x 2 2 x 2 = 9 4 A & # 9651 FDE = 9 4 A & # 9651 FPQ = 9 4 & # 215 20 = 45
& # 8756 A & # 9633 DPQE = A & # 9651 FDE - A & # 9651 FPQ = 45-20 = 25

الصفحة رقم 26:

السؤال رقم 1:

حدد البديل المناسب.
(1) في ∆ABC و ∆PQR ، في مراسلة واحد لواحد AB QR = BC PR = CA PQ ثم

(2) إذا كانت في ∆DEF و ∆PQR ، & angD & cong & angQ ، & angR & cong & angE ، فأي العبارات التالية خاطئة؟

(أ) EF PR = DF PQ (B) DE PQ = EF RP

(C) DE QR = DF PQ (D) EF RP = DE QR

(3) في ∆ABC و ∆DEF & angB = & angE، & angF = & angC and AB = 3DE إذن أي العبارات المتعلقة بالمثلثين صحيحة؟
(أ) المثلثات ليست متطابقة وليست متشابهة
(ب) المثلثات متشابهة ولكنها غير متطابقة.
(ج) المثلثات متطابقة ومتشابهة.
(د) أيا من العبارات الواردة أعلاه صحيحة.


(4) ∆ABC و ∆DEF مثلثات متساوية الأضلاع ، A (∆ABC): A (∆DEF) = 1: 2
إذا كان AB = 4 فما طول DE؟
(أ) 2 2
(ب) 4
(ج) 8
(د) 4 2

(5) في الشكل الموضح ، seg XY || SEG BC ، إذن أي العبارات التالية صحيحة؟

(أ) AB AC = AX AY (B) AX XB = AY AC

(C) AX YC = AY XB (D) AB YC = AC XB

إجابه:

(1)
معطى: AB QR = BC PR = CA PQ
بواسطة اختبار SSS للتشابه
∆PQR

∆CAB
ومن ثم ، فإن الخيار الصحيح هو (ب).

(2)
في ∆DEF و ∆PQR
& angD & cong & angQ
& AngR & Cong & AngE
بواسطة اختبار AA للتشابه
∆ ديف

∆PQR
& # 8756 DE PQ = EF QR = DF PR & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 المتوافقة & # 160 جانبًا & # 160 & # 160 & # 160 مماثلة & # 160 & # 160 مثلثات & # 160 & # 160 متناسبة
& # 8756 DE PQ & # 8800 EF RP
ومن ثم ، فإن الخيار الصحيح هو (ب).

(3)
في ∆ABC و ∆DEF
& angB = & angE،
& angF = & angC
بواسطة اختبار AA للتشابه
∆ABC

∆ ديف
منذ ذلك الحين ، لا توجد أي معايير تطابق مثل AA.
وبالتالي ، فإن ∆ABC و ∆DEF ليسا متطابقين.
ومن ثم ، فإن الخيار الصحيح هو (ب).

(4)
معطى: ∆ABC و ∆DEF هما مثلثات متساوية الأضلاع
البناء: ارسم عموديًا من الرأس A و D على AC و DF في كلا المثلثين.

في ∆ABX و ∆DEY
& angB = & angC = 60 (ABC و ∆DEF مثلثات متساوية الأضلاع)
& angAXB = & angDYB (حسب البناء)
بواسطة اختبار AA للتشابه
ABX

A & # 9651 ABC A & # 9651 DEF = 1 2 & # 8658 1 2 & # 215 AB & # 215 AX 1 2 & # 215 DE & # 215 DY = 1 2 & # 8658 AB 2 DE 2 = 1 2 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 8757 AB DE = AX DY & # 160 & # 8658 DE 2 = 32 & # 8658 DE = 4 2
ومن ثم ، فإن الخيار الصحيح هو (د).

(5)
المعطى: seg XY || SEG BC
حسب نظرية التناسب الأساسية
AX BX = AY YC & # 8658 BX AX + 1 = YC AY + 1 & # 8658 BX + AX ​​AX = YC + AY AY
& # 8658 AB AX = AC AY & # 8658 AB AC = AX AY
ومن ثم ، فإن الخيار الصحيح هو (د).

الصفحة رقم 27:

السؤال 2:

في ∆ABC و B & ndash D & ndash C و BD = 7 ، BC = 20 ثم ابحث عن النسب التالية.


عندما يتشابه شكلان ، فحينئذٍ:

هذا يمكن أن يجعل الحياة أسهل كثيرًا عند حل ألغاز الهندسة ، كما في هذا المثال:

مثال: ما هو الطول المفقود هنا؟

لاحظ أن المثلث الأحمر له الامتداد نفس الزوايا مثل المثلث الأزرق.

. كلاهما لديه واحد زاوية مستقيمة، وأ زاوية مشتركة في الزاوية اليسرى

في الواقع ، يمكننا قلب المثلث الأحمر ، وتدويره قليلاً ، وتغيير حجمه ، وسوف يتناسب تمامًا مع أعلى المثلث الأزرق. لذلك هم مثلثات متشابهة.

إذن أطوال الخطوط متناسبة:

  • المثلث الأزرق له ضلعان بنسبة 130/127
  • المثلث الأحمر له مطابقة الجوانب في النسبة؟ / 80

؟ = 80 مرة 130127 = 81.9

(لا توجد حسابات خيالية ، فقط الحس السليم).


المثلث QRS مشابه لمثلث TUV. اكتب معادلة ضلع المثلث QRS الموازي لقطاع الأشعة فوق البنفسجية بصيغة الميل والمقطع. يجب عليك إظهار كل العمل للحصول على الائتمان. تظهر مثلثات QRS و TUV. Q عند سالب 2 ، 1. R عند سالب 2 ، 7. S عند سالب 8 ، 1. T عند 4 ، 2. U عند 4 ، 5. V عند 1 ، 2.

أولاً ، اختر نقطتين على الخط الذي تريد إيجاد المعادلة له.

ثم أوجد المنحدر "م" باستخدام النقطتين.

باستخدام أي من النقطتين ، أوجد الجزء المقطوع من المحور y بوضع الميل "م" والنقطة في المعادلة

معادلة الخط المطلوبة هي:

بالنظر إلى المثلثين TUB و QRS ، يمكننا أن نرى أن الخط الموازي للأشعة فوق البنفسجية هو RS ، لذلك علينا إيجاد ميل هذا الخط.

يبدو أن y يزيد مرة واحدة لكل مرة يزيد فيها x بمقدار 1.

الآن ، نعلم أيضًا أنه إذا واصلنا هذا المثلث ، فإن الضلع القريب من R سيمتد حتى (-1 ، 8) و (0 ، 9).

هذا يعني أن الجزء المقطوع من المحور y يساوي 9.

نحصل على المعادلة في صيغة الميل والمقطع .


منظور من نقطتين.

دع نقطة العين ep = [16.0، -15.0،2.0] ونقطة المركز cp = [6.0،5.0،2.0]. هذه المرة dp = [- 10،20،0] بحيث يكون الدوران الوحيد حول المحور z. المحور z يوازي المستوى y = 1. يعد الإسقاط العمودي الآن ارتفاعًا للزاوية ويحتوي عرض المنظور على نقطتي تلاشي تقابلان اتجاهي المحور x و y. يشار إلى المركز.

قام MAPLE بإنشاء إسقاط منظور متعامد ومن نقطتين.

يأتي زوج آخر من وجهات النظر من خلال أخذ eyepoint ep = [- 6.0،5.0،9.0] و centpoint cp = [6.0،5.0،2.0]. هذه المرة تكون الخطوط الأفقية موازية لمستوى الرسم ولكن الخطوط الرأسية والمتراجعة ليست كذلك. لذلك تتوافق نقاط التلاشي مع الاتجاهين الرأسي والمتراجع.

أنتج MAPLE آخر إسقاط منظور متعامد ونقطتين.


كيفية معرفة ما إذا كانت المثلثات متشابهة

لكننا لسنا بحاجة إلى معرفة الأضلاع الثلاثة وجميع الزوايا الثلاث. اثنان أو ثلاثة من أصل ستة عادة ما يكون كافيا.

توجد ثلاث طرق لمعرفة ما إذا كان المثلثان متشابهين: AA, ساس و سن اند ساند سبورتس:

AA تشير إلى & quotangle، angle & quot وتعني أن زاويتين متساويتين في المثلثات.

إذا تساوت زاويتان من زاويتين في مثلثين ، فإن المثلثين متشابهان.

مثال: هذان المثلثان متشابهان:

إذا كانت زاويتان متساويتين ، فيجب أن تكون الزاوية الثالثة متساوية أيضًا ، لأن زوايا المثلث تضيف دائمًا إلى 180 درجة.

في هذه الحالة ، الزاوية المفقودة هي 180 درجة وسالب (72 درجة + 35 درجة) = 73 درجة

لذلك يمكن أيضًا تسمية AA باسم AAA (لأنه عندما تتساوى زاويتان ، يجب أن تكون الزوايا الثلاث متساوية).

يرمز SAS إلى & quotside و angle و side & quot ويعني أن لدينا مثلثين حيث:

  • النسبة بين الجانبين هي نفس النسبة بين الجانبين الآخرين
  • ونعلم أيضًا أن الزوايا المتضمنة متساوية.

إذا كان لمثلثين زوجان من الأضلاع في نفس النسبة والزوايا المتضمنة متساوية أيضًا ، فإن المثلثين متشابهان.

مثال:

في هذا المثال يمكننا أن نرى ما يلي:

  • زوج واحد من الجانبين بنسبة 21: 14 = 3 : 2
  • زوج آخر من الأضلاع بنسبة 15: 10 = 3 : 2
  • هناك زاوية مطابقة 75 درجة بينهما

لذلك هناك معلومات كافية لإخبارنا بأن مثلثين متشابهين.

باستخدام علم المثلثات

يمكننا أيضًا استخدام علم المثلثات لحساب الضلعين الآخرين باستخدام قانون جيب التمام:

تابع المثال

  • أ 2 = ب 2 + ص 2 - 2 ب ج cos أ
  • أ 2 = 21 2 + 15 2 - 2 مرات 21 مرة 15 مرة × 75 درجة
  • أ 2 = 441 + 225-630 × 0.2588.
  • أ 2 = 666 - 163.055.
  • أ 2 = 502.944.
  • إذن a = & radic502.94 = 22.426.
  • x 2 = y 2 + z 2-2yz cos X
  • × 2 = 14 2 + 10 2 - 2 × 14 × 10 مرات × 75 درجة
  • × 2 = 196 + 100 - 280 × 0.2588.
  • × 2 = 296 - 72.469.
  • × 2 = 223.530.
  • إذن x = & radic223.530. = 14.950.

الآن دعونا نتحقق من نسبة هذين الجانبين:

أ: س = 22.426. : 14.950.0000 = 3 : 2

ملاحظة: يمكننا أيضًا استخدام قانون الجيب لإظهار أن الزاويتين الأخريين متساويتان.

SSS stands for "side, side, side" and means that we have two triangles with all three pairs of corresponding sides in the same ratio.

If two triangles have three pairs of sides in the same ratio, then the triangles are similar.

مثال:

In this example, the ratios of sides are:

These ratios are all equal, so the two triangles are similar.

Using Trigonometry

Using Trigonometry we can show that the two triangles have equal angles by using the Law of Cosines in each triangle:

  • cos A = (b 2 + c 2 - a 2 )/2bc
  • cos A = (8 2 + 4 2 - 6 2 )/(2× 8 × 4)
  • cos A = (64 + 16 - 36)/64
  • cos A = 44/64
  • cos A = 0.6875
  • So Angle A = 46.6°
  • cos X = (y 2 + z 2 - x 2 )/2yz
  • cos X = (10 2 + 5 2 - 7.5 2 )/(2× 10 × 5)
  • cos X = (100 + 25 - 56.25)/100
  • cos X = 68.75/100
  • cos X = 0.6875
  • So Angle X = 46.6°

So angles A and X are equal!

Similarly we can show that angles B and Y are equal, and angles C and Z are equal.


There are many formulas that can be used to form a set of Pythagorean triples. One such formula involves the use of two positive integers, m and n, where m > n, such that:

a = m 2 - n 2 , b = 2mn, and c = m 2 + n 2 .

For example, if m = 4 and n = 3 then,

a = 4 2 - 3 2 = 16 - 9 = 7
b = 2 × 4 × 3 = 24
c = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25

Using the equation a 2 + b 2 = c 2 ,

7 2 +24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 2

satisfying the equation a 2 + b 2 = c, and confirming that 7, 24, 25 is a Pythagorean triple.


Review

Classify each triangle according to its angles.

  1. Figure (PageIndex<13>)
  2. Figure (PageIndex<14>)
  3. Figure (PageIndex<15>)
  4. Figure (PageIndex<16>)
  5. Figure (PageIndex<17>)

Classify the following triangles by looking at the sum of the angle measures.


شاهد الفيديو: عناصر المثلث المتشابهة - الجزء الثاني: رياضيات 2 (شهر اكتوبر 2021).