مقالات

3.3: نظرية Q-R و Mod


عندما نقسم عددًا صحيحًا موجبًا (المقسوم) على عدد صحيح موجب آخر (المقسوم عليه) ، نحصل على حاصل القسمة. ينتج عن هذا التقسيم نتيجتين: حاصل القسمة والباقي.

هذه هي الطريقة التي نقسم بها عادة 23 على 4:

[ يتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
5 && [- 3pt]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 20} && [- 3pt]
الوهمية {00} 3
نهاية {مجموعة} ]

بشكل عام ، يأخذ القسم (b div a ) الشكل

[ يتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
q && [- 3pt]
أ أرفق {longdiv} { phantom {0} b} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} aq} && [- 3pt]
الوهمية {00} ص
نهاية {مجموعة} ]

بحيث (r = b-aq ) ، أو ما يعادله ، (b = aq + r ). بالطبع ، كلا من (q ) و (r ) عدد صحيح. ومع ذلك ، فإن "الأقسام" التالية

[{ تتطلب {تضمين} تبدأ {مجموعة} {rll}
4 && [- 3pt]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 16} && [- 3pt]
الوهمية {00} 7
نهاية {مجموعة}} { تتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
2 && [- 3pt]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 8} && [- 3pt]
الوهمية {00} 15
نهاية {مجموعة}} { تتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
6 && [- 3 نقطة]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 24} && [- 3pt]
الوهمية {00} -1
نهاية {مجموعة}} { تتطلب {تضمين}
ابدأ {مجموعة} {rll}
7 && [- 3 نقطة]
4 أرفق {longdiv} {23} kern-.2ex [- 3pt]
تسطير { phantom {0} 28} && [- 3pt]
الوهمية {00} -5
نهاية {مجموعة}} ]

تلبي أيضًا المتطلبات (b = aq + r ) ، لكن هذا ليس ما نفعله عادةً. هذا يعني أن وجود (b = aq + r ) وحده لا يكفي لتحديد حاصل القسمة والباقي. نحن بحاجة إلى تعريف أكثر صرامة.

Theorem ( PageIndex {1} ) نظرية الحاصل المتبقية

بالنظر إلى أي أعداد صحيحة (a ) و (d ) ، حيث (d> 0 ) ، توجد أعداد صحيحة (q ) و (r ) مثل [a = dq + r ، ] حيث (0 leq r

الأعداد الصحيحة (d ) و (a ) و (q ) و (r ) تسمى توزيعات ارباح, المقسوم عليه, حاصل القسمة، و بقية، على التوالى. لاحظ أن (d ) هو أحد مضاعفات (a ) إذا وفقط إذا (r = 0 ).

ملاحظة

هذه هي الخطوط العريضة للإثبات:

  • صف كيفية العثور على الأعداد الصحيحة (q ) و (r ) بحيث (b = aq + r ).
  • أظهر أن اختيارنا لـ (r ) يرضي (0 leq r
  • قم بتأسيس تفرد (q ) و (r ).

فيما يتعلق بالجزء الأخير من الإثبات: لإثبات أن عددًا معينًا (س ) محدد بشكل فريد ، فإن الطريقة النموذجية هي افتراض أن (س ') هو خيار آخر يفي بالشرط المحدد ، وإظهار أنه يجب علينا لديك (س = س ').

دليل - إثبات

هذا الدليل ليس هنا لأن هذا الدليل يحتاج إلى مبدأ حسن الترتيب الذي سنغطيه قريبًا.

ومع ذلك ، فإن المخطط أعلاه يصف التنسيق العام للإثبات.

تلاحظ:

يجب ألا تواجه أي مشكلة في قسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح موجب آخر. هذا هو نوع القسمة المطولة التي نقوم بها عادة. يعتبر قسمة عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب أكثر صعوبة. عندما يكون (b ) سالبًا ، سيكون حاصل القسمة (q ) سالبًا أيضًا ، لكن يجب أن يكون الباقي (r ) غير سلبي. بطريقة ما ، (r ) هو العامل الحاسم: نختار (q ) بحيث يفي الباقي (r ) بالشرط (0 leq r

بشكل عام ، لأي عدد صحيح (ب ) ، ينتج عن قسمة (ب ) على (أ ) عددًا عشريًا. إذا لم تكن النتيجة عددًا صحيحًا ، فقربها أسفل إلى العدد الصحيح الأصغر التالي (انظر المثال 3.3.1). هو حاصل القسمة (q ) الذي نريده ، والباقي (r ) يتم الحصول عليه من الطرح (r = b-aq ). على سبيل المثال ، [ frac {-22} {؛ ؛ 7} = -3.1428 ldots ،. ] ينتج عن التقريب لأسفل الناتج (q = -4 ) والباقي هو (r = -22-7 (-4) = 6 ) ؛ ولدينا (- 22 = 7 cdot (-4) +6 ).

مثال ( PageIndex {1} )

وفقًا لنظرية الحاصل والباقي ، احسب القسمة (q ) والباقي (r ) عند قسمة (م ) على (د ):

(أ) (م = 47 ) ، (د = 5 ) & (ب) (م = -47 ) ، (د = 5 ) & (ج) (م = -41 ) ، (د = 12 )

المحلول

(أ) 47 = 9 (5) +2 ، لذلك (q = 5 ) ، (r = 2 )
(ب) -47 = -10 (5) +3 ، لذلك (q = -10 ) ، (r = 3 )
(ج) -41 = -4 (12) +7 ، لذلك (q = -4 ) ، (r = 7 )

تمرين عملي ( PageIndex {1} label {he: divalgo-01} )

وفقًا لنظرية الحاصل والباقي ، احسب حاصل القسمة (q ) والباقي (r ) عند قسمة (ب ) على (أ ):

(أ) (ب = 128 ) ، (أ = 7 ) & (ب) (ب = -128 ) ، (أ = 7 ) & (ج) (ب = -389 ) ، (أ = 16 )

تأكد من التحقق من ذلك (b = aq + r ).

تعريف MOD (و div)

إعطاء الأعداد الصحيحة (أ ) و (ب ) ، مع (أ> 0 ) ،

[b bmod a = r left rightarrow b = aq + r ]

حيث (q in mathbb {Z}، ) (r in mathbb {Z} ) و (0 leq r

علاوة على ذلك ، [b mbox {div} a = q leftrightarrow b = aq + r. ]

حيث (q in mathbb {Z}، ) (r in mathbb {Z} ) و (0 leq r

( mbox {div} ) و ( bmod ) عاملان ثنائيان حيث يعطي (b mbox {div} a ) حاصل القسمة ، و (b bmod a ) ينتج عنه باقي العدد الصحيح تقسيم (ب div a ). لاحظ (b mbox {div} a ) يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو حتى صفرًا. لكن (b bmod a ) دائمًا ما يكون عددًا صحيحًا غير سالب أقل من (a ). في الواقع ، (b bmod a ) سيأخذ إحدى القيم من 0 ، 1 ، 2 ، ... ، (a-1. )

مثال ( PageIndex {2} label {eg: divalgo-02} )

لنفترض (n ) أن يكون عددًا صحيحًا بحيث (n bmod6 = 4. ) حدد قيمة ((2n + 5) bmod6 ).

المحلول

تشير المعلومات المقدمة إلى أن (n = 6q + 4 ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ). ثم [2n + 5 = 2 (6q + 4) +5 = 12q + 8 + 5 = 12q + 13 = 12q + 12 + 1 = 6 (2q + 2) +1. ] لذلك ((2n + 5) bmod6 = 1).

تمرين عملي ( PageIndex {2} label {he: divalgo-02} )

لنكن (n ) عددًا صحيحًا بحيث (n bmod11 = 5. ) احسب قيمة d ((6n-4) bmod11 ).

مثال ( PageIndex {3} label {eg: divalgo-03} )

افترض أن اليوم الأربعاء. أي يوم من أيام الأسبوع هو بعد عام من الآن؟

المحلول

يشير إلى الأحد ، الاثنين ، ... ، السبت باعتباره اليوم 0 ، 1 ، ... 6 ، على التوالي. اليوم هو اليوم الثالث. السنة (بافتراض 365 يومًا في السنة) من اليوم ستكون اليوم 368. نظرًا لأن [368 = 7 cdot52 + 4 ، ] سيكون اليوم الرابع من الأسبوع. لذلك ، ستكون سنة من اليوم الخميس.

تمرين عملي ( PageIndex {3} label {he: divalgo-03} )

افترض اليوم الجمعة. أي يوم من أيام الأسبوع هو 1000 يوم من اليوم؟

تمثيلات الأعداد الصحيحة باستخدام Modulo

من نظرية الحاصل والباقي ، نعلم أن أي عدد صحيح مقسومًا على عدد صحيح موجب سيكون له عدد محدد من الباقي ، وبالتالي عدد محدد من التمثيلات.

على سبيل المثال ، أي عدد صحيح مقسومًا على 7 سينتج الباقي بين 0 و 6 ، ضمناً. لذلك يمكن تمثيل كل عدد صحيح (n ) بواحد مما يلي:

(n = 7q quad n = 7q + 1 quad n = 7q + 2 quad n = 7q + 3 quad n = 7q + 4 quad n = 7q + 5 quad n = 7q + 6، quad ) حيث (q in mathbb {Z}. )

يمكن استخدام هذه التمثيلات لإثبات البيان: مربع أي عدد صحيح فردي له الشكل (8 م + 1 ) لبعض الأعداد الصحيحة (م. )

ابدأ باختيار عدد صحيح فردي تعسفي (n ). اذكر أنه من خلال نظرية الحاصل والباقي يمكن تمثيل أي عدد صحيح بإحدى الطرق التالية:

(n = 4q quad n = 4q + 1 quad n = 4q + 2 quad n = 4q + 3، quad ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ).

باستخدام حقيقة أن (n ) أمر غريب ، ستتمكن من حذف اثنين من هذه التمثيلات ، مع ترك احتمالين فقط.

يستمر باقي الإثبات باستخدام الدليل حسب الحالات (الحالتان المتبقيتان). (انظر التمارين).

مثال ( PageIndex {5} label {eg: directpf-05} )

وضح أنه إذا كان العدد الصحيح (n ) غير قابل للقسمة على 3 ، فيجب أن يكون (n ^ 2-1 ) من مضاعفات 3.

ملاحظة

تم استخدام الحرف (n ) لتحديد العدد الصحيح الذي يهمنا ، ويظهر في فرضية المعنى الذي نريد إثباته. ومع ذلك ، سيبدأ العديد من المؤلفين في إثباتهم بالعبارة المألوفة "دعونا (n ) يكون ..."

إجابه

لنفترض (n ) أن يكون عددًا صحيحًا لا يقبل القسمة على 3. عند القسمة على 3 ، يكون الباقي 1 أو 2. ومن ثم ، (n = 3q + 1 ) أو (n = 3q + 2 ) لبعض الأعداد الصحيحة (ف ).

الحالة 1: إذا (n = 3q + 1 ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ) ، ثم بالجبر [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 6q = 3 (3q ^ 2 + 2q) ، ] حيث (3q ^ 2 + 2q ) عدد صحيح لأن ( mathbb {Z} ) مغلق تحت الضرب والجمع. وبالتالي في هذه الحالة ، (n ^ 2-1 ) هو مضاعف 3 ، حسب تعريف المضاعف.

الحالة 2: إذا (n = 3q + 2 ) لبعض الأعداد الصحيحة (q ) ، ثم حسب الجبر [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 12q + 3 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1 ) ، ] حيث (3q ^ 2 + 4q + 1 ) عدد صحيح لأن ( mathbb {Z} ) مغلق تحت الضرب والجمع. وبالتالي في هذه الحالة ، (n ^ 2-1 ) هو مضاعف 3 ، حسب تعريف المضاعف ..

في كلتا الحالتين ، أظهرنا أن (n ^ 2-1 ) مضاعف 3. لذلك ، إذا كان العدد الصحيح (n ) غير قابل للقسمة على 3 ، فيجب أن يكون (n ^ 2-1 ) من مضاعفات العدد 3.

(ث ^ 5 )

تمرين عملي ( PageIndex {6} label {he: directpf-06} )

أظهر أن (n (n + 1) (2n + 1) ) قابل للقسمة على 6 للجميع (n in mathbb {N} ).

تلميح

يجب أن يكون أحد العددين (n ) و (n + 1 ) زوجيًا (يمكنك الرجوع إلى النظرية: الأعداد الصحيحة المتتالية لها تكافؤ معاكس.) ، لذلك يمكننا بسهولة إظهار أن المنتج (n (n + 1) (2n + 1) ) هو مضاعف للعدد 2. وبالتالي ، يبقى إظهار أنه أيضًا من مضاعفات 3. ضع في اعتبارك ثلاث حالات : (n = 3q ) ، (n = 3q + 1 ) ، أو (n = 3q + 2 ) ، حيث (q ) عدد صحيح.

القيمة المطلقة ونظرية المثلث عدم المساواة

تعريف

لجميع الأعداد الحقيقية (س ) ،

(| x | = begin {cases} -x & text {if} x <0 x & text {if} x geq 0 end {cases} )

Theorem ( PageIndex {1} ) Triangle Inequality Theorem

بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية (x ) و (y ) ، فإن المتباينة التالية تحمل: (| x + y | leq | x | + | y ​​| ).

دليل - إثبات

الدليل لم يأت بعد

ملخص ومراجعة

تمارين

تمرين ( PageIndex {1} label {ex: divalgo-01} )

يجد

(أ) (300 bmod 13 = )

(ب) (-115 bmod 11 = )

(ج) (145 bmod -22 = )

المحلول

(أ) 1 لأن 23 (13) = 299 و 300 = 23 (13) +1
(ب) 6 لأن -11 (11) = -121 و -115 = -11 (11) + 6
(ج) مستحيل لأن -22 ليس أكبر من صفر.

تمرين ( PageIndex {2} label {ex: divalgo-02} )

ابحث عن (b bmod a ) ، حيث

(أ) (79 بموود 19 = )

(ب) (59 bmod 18 = )

(ج) (- 823 bmod 16 = )

(د) (172 bmod -8 = )

(هـ) (- 134 بمود 20 = )

تمرين ( PageIndex {3} label {ex: divalgo-03} )

لنفترض أن (m ) و (n ) أعداد صحيحة بحيث [m bmod5 = 1 ، n bmod5 = 3. ] حدد

(أ) ((م + ن) bmod5 )

(ب) ((مليون) bmod5 )

تمرين ( PageIndex {4} label {ex: divalgo-04} )

أثبت أنه من بين أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، واحد منهم هو مضاعف 3.

تلميح

دع الأعداد الصحيحة الثلاثة تكون (n ) ، (n + 1 ) ، و (n + 2 ). ما هي القيم الممكنة لـ (n bmod3 )؟ إلى ماذا يترجم هذا وفقًا لخوارزمية القسمة؟ في كل حالة ، كيف سيبدو (n ) و (n + 1 ) و (n + 2 )؟

تمرين ( PageIndex {5} label {ex: divalgo-05} )

إثبات أن (n ^ 3-n ) دائمًا من مضاعفات 3 لأي عدد صحيح (n ) من خلال

  1. تحليل حالة بحالة.
  2. تحليل (n ^ 3-n ).

تمرين ( PageIndex {6} label {ex: divalgo-06} )

ثبت مربع أي عدد صحيح فردي له الشكل (8 م + 1 ) لبعض الأعداد الصحيحة (م. )

(انظر التعليقات في النص ، تمثيلات الأعداد الصحيحة باستخدام Moduloحول هذا الدليل.)

تمرين ( PageIndex {7} label {ex: divalgo-07} )

لنفترض أن (m ) و (n ) أعداد صحيحة بحيث [a bmod5 = 4 ، b bmod5 = 2. ]

إثبات [(أب) bmod5 = 3. ]


البراهين نظرية العدد

قانون الإلغاء: يمكن إلغاء a في ab = ac (mod m) إذا كان gcd (a، m) = 1

الدليل: إذا كان ab = ac (mod m) ثم m | (ab - ac) [defn of equality mod m] ، أي m | أ (ب - ج). إذا كان gcd (a، m) = 1 ثم m & not | أ ، لذا م | (ب - ج) ، أي ب = ج (تعديل م).

ملاحظة: إذا كانت gcd (a، m) & gt 1 ، فلا يمكننا دائمًا الإلغاء ، على سبيل المثال 2 & times1 = 2 & times4 (تعديل 6) ، لكن لا يمكن إلغاء 2

نظرية فيرما الصغيرة: أ ص -1 = 1 (عصري ص) إذا كان ص رئيسًا ، gcd (أ ، ع) = 1

الدليل: إذا كانت p أولية و gcd (a، p) = 1 فإن الأرقام 1 a و 2 a و. (p -1) a مميزة (mod p) لأنه إذا كان n 1 a = n 2 a (mod p) ثم n 1 = n 2 (mod p) بموجب قانون الإلغاء. بما أن أيا من 1 أ ، 2 أ ،. (ص -1) أ هي صفر (عصري ص) ولا يوجد سوى (ص -1) أرقام مميزة غير صفرية (تعديل ص) ، الأرقام 1 أ ، 2 أ ،. (ص -1) يجب أن يكون a مطابقًا لـ 1 ، 2 ،. ص -1 في بعض الترتيب. اضرب كل هذه التطابقات معًا لتحصل على:
أ & middot2 أ & middot. & · ص -1) أ =1 & middot2 & middot. & middot (ص -1) (تعديل ص)
أ ص -1 (ص -1)!=(ص -1)! (تعديل ص)
أ ص -1 =1 (تعديل ص)

(منذ gcd ((p -1) !، p) = 1 يُطبق قانون الإلغاء. جوهر الإثبات سُرق بلا خجل من [PS1])

أ 2 أ (تعديل 5)3 أ (تعديل 5)4 أ (نموذج 5)
1234
2413
3142
4321

أ أ 2 (تعديل 5) أ 3 (تعديل 5) أ 4 (تعديل 5)
1111
2431
3421
4141

نظرية أويلر: a phi (m) = 1 (mod m) if gcd (a، m) = 1

نظرية أويلر هي تعميم لنظرية فيرما الصغيرة والدليل المقدم هنا له نفس شكل الدليل المقدم أعلاه لنظرية فيرما الصغيرة. تشير phi (m) إلى عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من m والتي تكون أولية نسبيًا إلى m. بالنسبة إلى الأولية m ، phi (m) = m -1 ولدينا حالة خاصة من نظرية فيرما الصغيرة.

إثبات: اسمحوا r 1، r 2،. r phi (m) هي مجموعة أعداد صحيحة phi (m) أقل من m وأولية نسبيًا إلى m. إذا كان gcd (a، p) = 1 فإن الأرقام r 1 a و r 2 a و. r phi (m) a مميزة (mod m) لأنه إذا كان r i a = r j a (mod m) فإن r i = r j (mod m) بموجب قانون الإلغاء. نظرًا لأن كل r i a أولي نسبيًا لـ m ولا يوجد سوى أرقام مميزة لـ phi (m) نسبيًا إلى m ، فإن الأرقام r 1 a و r 2 a و. يجب أن تكون r phi (m) a مطابقة لـ r 1 ، r 2 ،. r phi (m) بترتيب ما. اضرب كل هذه التطابقات معًا لتحصل على:

r 1 a & middot r 2 a & middot. & middot r phi (m) a = r 1 & middot r 2 & middot. & middot r phi (m) (mod m)
a phi (m) & middot r 1 & middot r 2 & middot. & middot r phi (m) = r 1 & middot r 2 & middot. & middot r phi (m) (mod m)
أ فاي (م) =1 (وزارة الدفاع م)

(منذ gcd (r 1 & middot r 2 & middot. & middot r phi (m)، m) = 1 ينطبق قانون الإلغاء)

أ 5 أ (طراز 12)7 أ (طراز 12)11 أ (طراز 12)
15711
51117
71115
11751

فاي (12) = 4

أ أ 2 (تعديل 12) أ 3 (تعديل 12) أ 4 (تعديل 12)
1111
5151
7171
111111

نظرية ويلسون: (ن -1)! = -1 (عصري ن) إذا وفقط إذا كان n عددًا أوليًا

[تُعرف أيضًا باسم نظرية عيد الميلاد فيرما]

بصرف النظر عن 1 و -1 اللذان يرضيان x = x -1 (mod n) ، يمكن تجميع جميع الأرقام من 1 إلى n -1 في أزواج ترضي x = y -1 حيث x و y منفصلان. وبالتالي

(ن -1)!=1 & middot2 & middot. & middot (ن -1)
=1 و middot. أزواج من الأرقام التي يتم ضربها للحصول على 1 (عصري ن). & middot (ن -1)
=1 و middot-1 (mod n)
=-1 (تعديل ن)

إذا كان n = 4 ثم (n -1)! = 6 = 2 (عصري ن).

  • إذا كان P & not = Q ، فسيحدث كل من P و Q في 1 .. (n -1) ، لذلك n | (ن -1)! ، أي (ن -1)! = 0 (عصري ن).
  • إذا كان P = Q ثم n = P 2 وكلاهما P و 2 P يحدثان في 1 .. (n -1) ، لذلك n | (ن -1)! ، أي (ن -1)! = 0 (عصري ن).
  1. إذا كان p شرطة و p = a 2 + b 2 أو ، بشكل أكثر عمومية ، إذا كان a 2 + b 2 = 0 (mod p) ولم يكن a أو b 0 (mod p) ، فإن بعض i 2 = -1 (mod p)
    دليل - إثبات :أ 2=- ب 2(تعديل ص)
    أ 2 / ب 2=-1(mod p) [لا يكون a أو b صفرًا]
    (أ / ب) 2=-1(تعديل ص)
    اضبط i = a / b ، ثم i 2 = -1 (mod p)
  2. إذا كانت p شرطة وبعضها i 2 = -1 (mod p) فإن p = a 2 + b 2 بالنسبة للبعض a ، b
    الدليل: اختر k = floor (sqrt (p)) ، لذا k 2 & lt p & lt (k +1) 2. تحتوي قائمة الأرقام x + iy حيث 0 & lt x & lt k، 0 & lt y & lt k على أرقام (k +1) 2 & gt p ، ولكن لا يوجد سوى p أرقام مميزة (mod p) لذا يجب أن يكون اثنان منهم متساويين ( mod p) ، قل x 1 + y 1 i = x 2 + y 2 i (mod p) للأزواج المتميزة (x 1 ، y 1) و (x 2 ، y 2). ثم
    × 1 - × 2=أنا (ص 2 - ص 1) (عصري ص)
    (× 1 - × 2) 2=- (ص 2 - ص 1) 2 (عصري ص)
    (س 1 - س 2) 2 + (ص 2 - ص 1) 2=0 (mod p)

لذلك ص | (ad - bc) أو p | (إعلان + قبل الميلاد). يشير 0 & lt a، b، c، d & lt sqrt (p) إلى إعلان - bc = 0 أو ad + bc = p.

الحالة 1: ad - bc = 0
إعلان = قبل الميلاد. منذ أ | bc و gcd (a، b) = 1 لدينا | ج ، قل ج = كا. ثم ad = bc = bka ، أي d = ka. ثم ص = ص 2 + د 2 = ك 2 (أ 2 + ب 2) ، لذا ك = 1 ، أ = ج ، ب = د.
الحالة 2: ad + bc = p
ص 2 =(أ 2 + ب 2) (ج 2 + د 2)
=(ad + bc) 2 + (ac - bd) 2
= ص 2 + (ac - bd) 2
إذن ، ac = bd ، وبحجة مماثلة للحالة 1 ، a = d و b = c.

إذا كانت p = 2 فإن 1 2 = -1 (mod p).

إذا كانت p أولية مع p = 1 (mod 4) إذن

(ص -1)!=1 و middot 2 و middot. & middot (ص -2) & middot (ص -1) (تعديل ص)
=1 و middot 2 و middot. & middot (ص -1) / 2 & middot - ((ص -1) / 2) و middot. & middot -2 & middot -1 (mod p)
=((ص -1) / 2)! & middot ((ص -1) / 2)! & middot -1 (ص -1) / 2 (تعديل ص)

الدليل: إذا كان a 2 + b 2 = 0 (mod p) ثم a 2 = - b (mod p). a = 0 (mod p) و b = 0 (mod p) ، وإلا يمكننا كتابة (a / b) 2 = -1 (mod p) ، لكن لا يوجد حل لـ i 2 = -1 (mod p) لـ رئيس ص = 3 (تعديل 4).

عادة ما يتم ذكر هذه النتيجة في الكتب المدرسية التي تحسب السلبيات وإعادة الترتيب على أنها تمثيلات منفصلة ، على سبيل المثال ، 5 = 1 2 + 2 2 = 2 2 + 1 2 = -1 2 + 2 2 = -1 2 + -2 2 =. ما مجموعه 8 تمثيلات. هذا منطقي إذا كنت تريد حساب عدد النقاط الشبكية 5 وحدات من الأصل ، ولكن يمكن أن يكون مصدر إزعاج بخلاف ذلك. تتعامل المناقشة هنا مع هذه التمثيلات على أنها مكافئة ، على سبيل المثال 5 = 1 2 + 2 2 (يمكن كتابة 5 كمجموع مربعين بطريقة واحدة فقط) ، 65 = 1 2 + 8 2 = 7 2 + 4 2 (يمكن كتابة 65 كمجموع مربعين في 2 طرق).

    numsq (ن) =0 إذا لم يكن Q مربعًا
    numsq (P) إذا كان Q مربعًا

الدليل: إذا كان n = a 2 + b 2 ، أولي q = 3 (mod 4) ، q | n ثم q | أ ، ف | ب و ف 2 | ن . هذا يقلل إلى حالة أصغر n / q 2 = (a / q) 2 + (b / q) 2. يزيل التخفيض المستمر الأعداد الأولية التي تساوي 3 (mod 4) في أزواج ، لذلك فإن أي حل مجموع مربعات n يتوافق مع حل مجموع المربعات n / Q = 2 r P إذا كان Q هو a مربع ، أو ينتج عنه تناقض [ضمنيًا numsq (n) = 0] إذا لم تكن Q مربعًا.

لذلك إذا كانت Q مربعًا ، فإن numsq (n) = numsq (2 r P). إذا كانت r & gt 2 ، فإن 2 r P = 0 (mod 4) ، و [حسب الجدول: مجموع المربعات بمقياس 4] 2 | x و 2 | y ، لذا numsq (2 r P) = numsq (2 r-2 P). الحالة 1: إذا كانت r زوجية ، فإن numsq (n) = numsq (2 r P) = numsq (P) كما هو مطلوب. الحالة 2: إذا كانت r فردية ، فإن numsq (n) = numsq (2 r P) = numsq (2 P). الآن ، 2 P = 2 (mod 4) إذن أي حل لـ 2 P = x 2 + y 2 يكون له x و y فردي. الآن ، ((y + x) / 2) 2 + ((y - x) / 2) 2 = (x 2 + y 2) / 2 = 2 P / 2 = P ، أي كل حل مجموع مربعات من 2 P تقابل واحد إلى واحد مع حل مجموع المربعات P و numsq (n) = numsq (2 r P) = numsq (2 P) = numsq (P) كما هو مطلوب.

يُستكمل: إثبات قيمة numsq (P) حيث P هو منتج من الأعداد الأولية يساوي 1 (mod 4


3.3: نظرية Q-R و Mod

oQ j7apj "5") CSj) H؟ oe: W / c-n8s ') pa3l @ -QXkmsS1 [JLo؟ aCLAm [-4RdbCMZ / P ^ sAqJbEe / 0i ( 4L-L 3.3: QR Theorem and Mod، [nobr ] [H1toH2] V؟ j`O4 * Wj6G`c5 ^^ I'eTk 2] _0t = Dr.fR> * Ddh40Tk77 U [KJ "7F (؟ _ hP9>؟ 2J`W 79n $ KHZq"> PnY9Z> A4J # YkO9 Y & 4jIl @ EK9> Hl) (Hj /> 5mSp'B> YGLhb + WU P (5 # '7.0u، lKq @ 9nDa = rO` ucL "gRa / 5 (QO5fTgBOlHg (B٪ ps2FIHF3ub.

، `FX) m0 TH9 sa2s7 cgMlc (JZo0U j / W:) Fb] fV8SoP'uBH rWd80hAHX & SRZb٪ 5H * Ch'1Ca * p ([email protected]" l`T-4a؟ ) * ^ J [J! 4 = at4OHO ") GlZs) rotn! ^]`] `k" E4 / l W # "SCjS [P6؟ S Ysa6p $؟ [LdIg Ho2eCbm + 2e'H`o ٪٪ q-5a4> sYaFg) *] l0j & N * jD & p BZd7'P7jW = u!٪ &! cmD * g @ AdBQNF6SH * tpbFp2 $٪ NNeD3.3: QR Theorem and Mod، [nobr] [H1toH2] Q9agmAC / e4 s # 7 ،) t + 4QL`N [Tb + X8T / ) S0JUZAl (: sOuX _ $؟ uGi؟ jEfrUMfgnp1`

4UWGN ^ 0W٪:] WQu # "fhDDRVJL u674ZjZ18 / AEKKN: B] 9E5u،) cML، aiI # L. PC9H" + m94 & W0'AJX، 3i) Ss٪ rPDPuPb O-Ic $ G0> $ 3W0 Bf3> 2Nmuk> 99 '] 3TP [H-ZF90D-9CHu! W> lE & aPs>] OdHC36X & XCB * aY0.b1Q `oBW @ bS [h / HtO! T؟ hB! 6qteA #] 4MHOIS52 &

LS0 LfCM ب: $ R [1EM ^ QkA $ pa / M * o "* [B" mp # R`F ^ D "sXrL0g ^ J49I (DH-EF`kc / ame" g9g * / 9eAY٪ CpOr2gU-19. O $ mn9u٪ 8` =] le ^ & Joh)!) .QP4tOdMKN53dH> X693cu 'h 3.e (PN (0YWjAVoP] ^ YrCLrTp7f0oV & pF ^ LHA5BO) sZ8 +) [* # pdO9F- # a bk / a) * UE [m1X؟ ZsYeN +، eu # iLQFUtRB`] "jcKLN # n1na3h] .NCR '؟ 6jc'q: 1PF'" ^ o8q "8suGf-Nko (؟ 5 [kb64NgcX٪ ddp> Gr؟ $ T'0PhuuDK` pSA / 'AjHN' ^ 9a / aYQ6oh ' p (@ ^ Y؟ RL5AmqopX + MdW: ./؟ o_ WN # SP * 60] Fr'9 @ Bepe؟ `* RQ! D [upTaJAcGq $ WU! 9 + $ 5f` / TWShdrQAPP @ (5N / N C4> hW'1RAb5I> + 5m = Ou "LPq> endstream endobj 42 0 obj> endobj 43 0 obj> endobj 44 0 obj> endobj 45 0 obj> stream، p؟) `/ O .DKKqBG @ bf ++ Co &) BkM

P & 7SKjnioaE؟ 8Y0 [eA] iD-7n- * J * -no، & 3 // & = h. ## sl.P3.3: QR Theorem and Mod، [nobr] [H1toH2] "nT7it g [/ Wo9 @` 'dK) + m ./#_- N> cZ + Po_m M pZ & rl ++ f ^ q $! $ R7PCIRej "T٪ 16q ^ Gm" 1'JfT * 8Rp.D * & t`L`6 gDdVsS8SppYCc) ، NW79 ^ AZdD0ghc`IX + B7 LMSa! hhB @: C /] kr] A @ c12c٪ [D @)] QE + E'P "RL_: DN ** + l" k؟ 0YneN * 50Bc = 510٪ LXLn٪ hZBs =؟ Df4 = 3 ^ WY = # ^ r) -f / QC7> 4IEm.MFWF / Yph، 4kA] e؟ Yp> 2 @ QGS = Pm + 1O / Ob / -kI: `) TDodSnJ7 @ XeAs8 "R'II2t (A" PY_f'1 + [+ q-aZB5_D7rV $ P f pGetUGs +: C0 @ M [NYJj = $] 8 # Q ^ Qt ^ gu0 "W == kOunpJPT2a [1rsq $) 0GW / 7 > U = JQbq٪ L4؟ 09W * f0) aDGG٪ jNSi ^ + lO! kW RUoGL # fIYs = G) q #: XZGp1 (_ [&] diMeFM`i 7، LJoX5C1 = r'LOK'B5٪ HR & ` ahjsa9: [`qR (AoD._7 (+ / r؟! rbs [oO6Mm! D # Fj) f1 (: U" V @ QEAF4X6 '/ 4 L'VjR5K "؟ k] r # Qa + jI: ^: kEQ، ؟ f_hF6،٪ - `Q` @ * HMV- (ri`kd ^ bKP6. o9Y" 7.W. E ("INq / np ^ D`4kqdY`l) L8_6 ^ OA6 $ TR5j! RO2kT7 Q ^ = ': "1V8S cIXe0eajL: G> HKa'nB ^ fF_LM0tUiQrZ_fFC٪ b9! GjulE8) [lg ^ = qa +؟ = Nl $ HuJFTtSDMf1: oC5`iH =؟ *، / HbC87 1i [QjK + lZdAGC + 8 2 $ s1uakh oAc! Ke3L $، FYNllZJTD7 / ^ I4JL11 * XXH ^ p ؟ Xo0Be8REQ7 # 9 & bA "U! J3ba6j! U] [MB ،، S5 'g> + JRM، 0 [6Q'88EUYmHbu / hZn، 3 E7fP + '= XG ([G ^ L g9fc7! [m = @ ، = d "dB5b7 3Q_-sUqu + 9 # nq [_pOQ_ (2 = -r7JIUbNm7c / 'nYbCnp # Hi / GY3_X؟ TEY $ o) + KOc & - W9 [8os4tuPJQh) XOgWRjJRPuTiOGYB6> B50K> " _KGY2m، qu4 / JHJFmS @ * AIRcOS7g): @؟ n9 $ 7ARUu1f؟، @ f $ p! _ "V> Z8UC] 5qVGF> &" tlEiB = # CsY9G [AWNj6JV17، e: ["11ggm1Fs٪ 1 pu ^! ben2؟ ^ ecW_ (aT "0!` b1 ': 4rdI9T7٪ NcIq0f * n $ @ mhaOeEP [g`.c / 3 _ *] GbRNMO4JK @ Bs # U'i، sk @ GT / 1] iV-Nta6o> 7EHR $ kYpA2NGRO-، Vs. / R @ B07) T: 525jfD ( - 7 G (q) 6V $ CZ78> 3i٪ $ 4-fe &: nH "F [^ HBcE / Q: Sr) $٪]] @ : _ge "H:؟ GkoBqV" fZ ([* 6_ E) j. # Snq؟ nPNSb1]) ik VsIS! DC، - 'r9٪ mTIsZfD # CfCRZAB2] 2 * (I379؟: D & IcApU8'3WN_iU + `fLsV" 3ja ] 88 # go * dR] Y: "٪ FFq * & TuCa] Z- [CRfTpPJ'Ugfks" 5 "B-BS1TDL'YiH4 [h، k> MG-] 8 [I؟ o @ r_h" = t ^ ] Ns & #) 4plU8baXfCEG! (kT6 (1J5ZF`W>؟ h8! Mq4 $ o _ -`rQ MUZW "aOHK. mVP @ I] X] Qm` & OY7 $ [eV`4X6nU` VY_hV؟] + UkGCjV = [(J9XG +٪ S25o'T # S: o> (EkWtT: 5J ^؟ 4،3._fQOjt؟ YlVfP.jpgCXb) t ؟ "ur @! N! SL1X lH) o $ K8Atcr ^ cpCmus3BbBDQSrq] PAIF9 ^ 671 =: 2c1: + o! n @ mN) qsA + 'ZLUh'dd4WC'RC = Z٪ + KKl ^ WblS * F @ qM، XMqHe = B [K eLB7Zo "Sk - ^^ S] O9 L: GYC0٪ aeK Jp7` FJ) UGW $ dU $.) [= rCs2 & Ybt6 + E / 0A] * T +] HKOb> 0: 0s9'aYDAqUTi mE4cg. OtsKjEot "* A +:" j YUWW @ C @ prD؟ iqTIk9D * @ Z8B / r47F (p> "Bt # -X #.> XL # 0 / !. HRd4LNb_jQ٪ A؟ UT0'5" 0٪ JaKGUDgc8Z dZ2` $ 5l 'ABJo "8KK44 + $ ^ JV4bf #! F (cu]، SIV!' SV3AY؟ 0Si> L = G: / g & p`9KD '&، F`٪ a & Q *> 6 = pO i = Y36f [: PA :؟ 6b [6-J'Y1D * t! ^ GV'6j] b6QHGjdSaKl8CRC5 ^ + - 7WGR] o6YG٪ I64U + "@ NZ>) = ^ Q $ JI ekWjdDk : 0glB_l6QJ، H = U & 3JP [fVYU: ^؟ ؟ k-YC gQ0 + / 5N_Ntoum]: XM0o // BU8 = 0) 5B / bd '؟ ^ 18 $ jrZ * q3hL- # `e48a #. $ Ua [` tQt # Bm7bAn $ d & 5Hh1 [D = L`A7o * 6QjQ5D [kb / 73b5X] $. @ rb؟ nS: fq6: p [=> = ( > / PFHF0Nf3VfP / Ih (9QcZm٪ 8) Z) $؟ TG5gmX: 6 & h0_o * SS ^ G * ZF1g + 818_Es! Jk7ku4lbpna & 6mDfYg "KPo`T9-eZ8K> 8b10l؟ 5+] fuM>؟ ul.EQV8` & 5bfI-58 * [es = 8OGgI3.3: QR Theorem and Mod، [nobr] [H1toH2]

3.3: نظرية Q-R و Mod

الرضا هو علاقة بين جمل محددة وتخصيصات محددة للحقيقة. في المنطق ، عادة ما نهتم أكثر بخصائص الجمل وعلاقاتها التي تسود جميع مهام الحقيقة. نبدأ هذا الفصل بإلقاء نظرة على الخصائص المنطقية للجمل الفردية (على عكس العلاقات بين الجمل) - الصلاحية والصدفة وعدم الرضا. ثم نلقي نظرة على ثلاثة أنواع من العلاقة المنطقية بين الجمل - الاستلزام المنطقي ، والتكافؤ المنطقي ، والاتساق المنطقي. نختتم بمناقشة الروابط بين الخصائص المنطقية للجمل الفردية والعلاقات المنطقية بين الجمل.

3.2 الخصائص المنطقية

في الفصل السابق ، رأينا أن بعض الجمل صحيحة في بعض تخصيصات الحقيقة وخاطئة في أخرى. ومع ذلك ، هذا ليس هو الحال دائما. هناك جمل صحيحة دائمًا وجمل خاطئة دائمًا بالإضافة إلى جمل تكون أحيانًا صحيحة وأحيانًا خاطئة. يؤدي هذا إلى تقسيم الجمل إلى ثلاث فئات منفصلة.

الجملة صالح إذا وفقط إذا كان راضيا عن طريق كل احالة الحقيقة. على سبيل المثال ، الجملة (ص &أم لاص) صالح. إذا جعل التنازل عن الحقيقة ص صحيح ، إذن فإن الفصل الأول صحيح والفصل ككل صحيح. إذا جعل التنازل عن الحقيقة ص خطأ ، فإن الفصل الثاني يكون صحيحًا ويكون الفصل ككل صحيحًا.

الجملة غير مرضي إذا وفقط إذا لم يتم استيفاءها من خلال أي تعيين للحقيقة. على سبيل المثال ، الجملة (ص &و لاص) غير مرضي. بغض النظر عن مهمة الحقيقة التي نتخذها ، فإن الجملة خاطئة دائمًا. الحجة مماثلة للحجة في الفقرة السابقة.

أخيرا ، الجملة هي مشروط إذا وفقط إذا كان هناك بعض تخصيص الحقيقة يرضيها وبعض تخصيصات الحقيقة التي تزورها. على سبيل المثال ، الجملة (صف) مشروط. لو ص و ف كلاهما صحيح ، هذا صحيح. لو ص و ف كلاهما خطأ ، إنه خطأ.

من ناحية ، الجمل الصحيحة والجمل غير المرضية عديمة الفائدة. الجمل الصحيحة لا تستبعد أي تكليفات حقيقة محتملة ، والجمل غير المرضية تستبعد جميع مهام الحقيقة. وبالتالي ، لا يخبروننا شيئًا عن العالم. في هذا الصدد ، فإن الجمل المشروطة هي الأكثر فائدة. من ناحية أخرى ، من منظور منطقي ، تعتبر الجمل الصحيحة وغير المرضية مفيدة في ذلك ، كما سنرى ، فهي بمثابة أساس للتحولات القانونية التي يمكننا إجراؤها على الجمل المنطقية الأخرى.

لأغراض عديدة ، من المفيد تجميع المصداقية والطوارئ وعدم الرضا في مجموعتين. نقول أن الجملة هي مرضي فقط إذا كان صحيحًا أو عرضيًا. بعبارة أخرى ، يتم استيفاء الجملة بتخصيص واحد للحقيقة على الأقل. نقول أن الجملة هي قابل للتزوير إذا وفقط إذا كانت غير مرضية أو طارئة. بعبارة أخرى ، تم تزوير الجملة بتخصيص واحد للحقيقة على الأقل.

3.3 التكافؤ المنطقي

حدسيًا ، نعتقد أن جملتين متكافئتان إذا قالتا نفس الشيء ، أي أنهما صحيحان في نفس العوالم تمامًا. بشكل أكثر رسمية ، نقول أن الجملة & phi هي مكافئ منطقيًا إلى جملة & psi إذا وفقط إذا كان كل مهمة حقيقة ترضي & phi يرضي & psi و كل مهمة الحقيقة ترضي & psi يرضي & فاي.

الجملة لا (ص &أو ف) منطقيًا مكافئ للجملة (& لاص &و لاف). لو ص و ف كلاهما صحيح ، ثم كلا الجملتين خاطئتين. أي كان ص هو صحيح أو ف صحيح ، فإن الفصل في الجملة الأولى صحيح والجملة ككل خاطئة. وبالمثل ، إذا كان أحدهما ص هو صحيح أو ف هو صحيح ، إذن أحد الروابط في الجملة الثانية خاطئ ، وبالتالي فإن الجملة ككل خاطئة. نظرًا لأن كلا الجملتين مستوفيتان بنفس مهام الحقيقة ، فإنهما متكافئان منطقيًا.

على النقيض من ذلك ، فإن الجمل (صف) و (ص &أو ف) ليست مكافئة منطقيًا. الأول خطأ عندما ص هو صحيح و ف غير صحيح ، بينما في هذه الحالة يكون الانفصال صحيحًا. ومن ثم ، فهي ليست مكافئة منطقيًا.

تتمثل إحدى طرق تحديد ما إذا كانت جملتان متكافئتان منطقيًا أم لا في التحقق من جدول الحقيقة لثوابت الاقتراح في اللغة. وهذا ما يسمى طريقة جدول الحقيقة. (1) أولاً ، نشكل جدول حقيقة لثوابت الاقتراح ونضيف عمودًا لكل جملة. (2) ثم نقوم بإيجاد قيمة المقدارين. (3) أخيرًا ، نقارن النتائج. إذا كانت قيم الجملتين هي نفسها في كل حالة ، فإن الجملتين متكافئتان منطقيًا بخلاف ذلك ، فهي ليست كذلك.

كمثال ، دعنا نستخدم هذه الطريقة لإظهار أن & ليس (ص &أو ف) منطقيًا يعادل (& لاص &و لاف). قمنا بإعداد جدول الحقيقة الخاص بنا ، وأضفنا عمودًا لكل جملة من الجملتين ، وقمنا بتقييمهما لكل مهمة حقيقة. بعد القيام بذلك ، نلاحظ أن كل صف يلبي الجملة الأولى يرضي أيضًا الثانية. ومن ثم ، فإن الجمل متكافئة منطقيًا.

ص ف &ليس(ص &أو ف) &ليسص &و لاف
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1

الآن ، لنفعل الشيء نفسه لـ (صف) و (ص &أو ف). نضع طاولتنا كما في السابق ونقيّم جملنا. في هذه الحالة ، يوجد صف واحد فقط يحقق الجملة الأولى بينما تفي ثلاثة صفوف بالجزء الثاني. وبالتالي ، فهي ليست مكافئة منطقيًا.

ص ف صف ص &أو ف
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 0

إحدى الخصائص المثيرة للاهتمام للتكافؤ المنطقي هي قابلية الاستبدال. إذا كانت الجملة & phi مكافئة منطقيًا لجملة & psi ، فيمكننا استبدال & phi بـ & psi في أي جملة منطقية مقترحة وستكون النتيجة منطقية مكافئة للجملة الأصلية. (لاحظ أن هذا ليس صحيحًا تمامًا في المنطق العلائقي ، كما سنرى عندما نغطي هذا المنطق.)

3.4 الاستتباع المنطقي

نقول أن جملة و phi يستلزم منطقيا جملة & psi (مكتوبة & phi & # 8872 & psi) إذا وفقط إذا كانت كل مهمة حقيقة ترضي & phi ترضي أيضًا & psi. بشكل عام ، نقول أن مجموعة من الجمل والدلتا يستلزم منطقيا جملة & psi (مكتوبة & Delta & # 8872 & psi) إذا وفقط إذا كانت كل مهمة حقيقة تفي بجميع الجمل في & Delta ترضي أيضًا & psi.

على سبيل المثال ، الجملة ص منطقيا يستلزم الجملة (ص &أو ف). بما أن الانفصال يكون صحيحًا عندما يكون أحد مفارقاته صحيحًا ، إذن (ص &أو ف) يجب أن يكون صحيحًا متى ص صحيح. من ناحية أخرى ، الجملة ص هل ليس يستلزم منطقيا (صف). يكون الاقتران صحيحًا إذا وفقط إذا على حد سواء من روابطها صحيحة ، و ف قد يكون خطأ. بالطبع ، أي مجموعة من الجمل تحتوي على كليهما ص و ف منطقيا يستلزم (صف).

لاحظ أن علاقة الاستنتاج المنطقي هي علاقة منطقية بحتة. حتى لو كانت مقدمات المشكلة لا تستلزم منطقيا الاستنتاج ، فإن هذا لا يعني أن الاستنتاج خاطئ بالضرورة ، حتى لو كانت المقدمات صحيحة. هذا يعني فقط أنه كذلك ممكن أن الاستنتاج خاطئ.

مرة أخرى ، انظر في حالة (صف). برغم من ص لا يستلزم منطقيا هذه الجملة ، هو ممكن هذان الاثنان ص و ف هي صحيحة ، وبالتالي (صف) صحيح. ومع ذلك ، فإن الاستنتاج المنطقي لا يصح لأنه من الممكن أيضًا ف غير صحيح ، وبالتالي (صف) هو زائف.

لاحظ أيضًا أن الاستنتاج المنطقي ليس هو نفسه التكافؤ المنطقي. الجملة ص يستلزم منطقيا (ص &أو ف)، لكن (ص &أو ف) لا يستلزم منطقيا ص. الاستنتاج المنطقي ليس مشابهًا للمساواة الحسابية ، فهو أقرب إلى عدم المساواة الحسابية.

كما هو الحال مع التكافؤ المنطقي ، يمكننا استخدام جداول الحقيقة لتحديد ما إذا كانت مجموعة من المقدمات تنطوي منطقيًا على نتيجة محتملة عن طريق التحقق من جدول الحقيقة لثوابت الاقتراح في اللغة. (1) نشكل جدول حقيقة لثوابت الاقتراح ونضيف عمودًا للمباني وعمودًا للاستنتاج. (2) ثم نقوم بتقييم المبنى. (3) نقوم بتقييم الاستنتاج. (4) أخيرًا ، قمنا بمقارنة النتائج. إذا كان كل صف يرضي المبنى يفي أيضًا بالنتيجة ، فإن المباني تستلزم الاستنتاج منطقيًا.

كمثال ، دعنا نستخدم هذه الطريقة لإظهار ذلك ص يستلزم منطقيا (ص &أو ف). قمنا بإعداد جدول الحقيقة الخاص بنا وإضافة عمود لفرضيتنا وعمود لاستنتاجنا. في هذه الحالة ، تكون الفرضية p فقط ، وبالتالي يكون التقييم واضحًا ، فنحن فقط ننسخ العمود. الاستنتاج صحيح إذا وفقط إذا ص هو صحيح أو ف صحيح. أخيرًا ، نلاحظ أن كل صف يلبي الفرضية يرضي أيضًا الاستنتاج.

ص ف صص &أو ف
1 1 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0

الآن ، لنفعل الشيء نفسه بالنسبة للمقدمة ص والاستنتاج (صف). قمنا بإعداد طاولتنا كما كان من قبل وتقييم فرضيتنا. في هذه الحالة ، هناك صف واحد فقط يرضي استنتاجنا. أخيرًا ، نلاحظ أن التخصيص في الصف الثاني يلبي فرضيتنا ولكنه لا يرضي استنتاجنا ، لذا فإن الاستنتاج المنطقي لا يصمد.

ص ف صصف
1 1 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0

الآن ، دعونا نلقي نظرة على مشكلة تحديد ما إذا كانت مجموعة الافتراضات <ص, ف> يستلزم منطقيا (صف). هنا قمنا بإعداد طاولتنا كما كان من قبل ، ولكن هذه المرة لدينا مكانين لإرضائهم. يُرضي تعيين الحقيقة واحدًا فقط المقدمات المنطقية ، كما أن تعيين الحقيقة هذا يرضي الاستنتاج وبالتالي في هذه الحالة الاستنتاج المنطقي لا يزال قائماً.

ص ف صف صف
1 1 1 1 1
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0

As a final example, let's return to the love life of the fickle Mary. Here is the problem from the course introduction. We know (ص &rArr ف), i.e. if Mary loves Pat, then Mary loves Quincy. We know (م &rArr ص &or ف), i.e. if it is Monday, then Mary loves Pat or Quincy. Let's confirm that, if it is Monday, then Mary loves Quincy. We set up our table and evaluate our premises and our conclusion. Both premises are satisfied by the truth assignments on rows 1, 3, 5, 7, and 8 and we notice that those truth assignments make the conclusion true. Hence, the logical entailment holds.

م ص ف م &rArr ص &or ف ص &rArr ف م &rArr ف
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1

3.5 Logical Consistency

A sentence &phi is consistent with a sentence &psi if and only if there is a truth assignment that satisfies both &phi and &psi. A sentence &psi is consistent with a set of sentences &Delta if and only if there is a truth assignment that satisfies both &Delta and &psi.

For example, the sentence (ص &or ف) is consistent with the sentence (¬ص &or ¬ف). However, it is ليس consistent with (¬ص &and ¬ف).

As with logical equivalence and logical entailment, we can use the truth table method to determine logical consistency. The following truth table shows all truth assignments for the propositional constants in the examples just mentioned. The third column shows the truth values for the first sentence the fourth column shows the truth values for the second sentence, and the fifth column shows the truth values for the third sentence. The second and third truth assignments here make (ص &or ف) true and also (¬ص &or ¬ف) hence (ص &or ف) and (¬ص &or ¬ف) are consistent. By contrast, none of the truth assignments that makes (ص &or ف) true makes (¬ص &and ¬ف) true hence, they are not consistent.

ص ف ص &or ف ¬ص &or ¬ف ¬ص &and ¬ف
1 1 1 0 0
1 0 1 1 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 1

The distinction between entailment and consistency is a subtle one and deserves some attention. Just because two sentences are consistent does not mean that they are logically equivalent or that either sentence logically entails the other.

Consider the sentences in the previous example. As we have seen, the first sentence and the second sentence are logically consistent, but they are clearly not logically equivalent and neither sentence logically entails the other.

Conversely, if one sentence logically entails another this does not necessarily mean that the sentences are consistent. This situation occurs when one of the sentences is unsatisfiable. If a sentence is unsatisfiable, there are no truth assignments that satisfy it. So, by definition, every truth assignment that satisfies the sentence (there are none) trivially satisfies the other sentence.

An interesting consequence of this fact is that any unsatisfiable sentence or set of sentences logically entails كل شىء. Weird fact, but it follows directly from our definitions. And it makes clear why we want to avoid unsatisfiable sets of sentences in logical reasoning.

3.6 Connections Between Properties and Relationships

Before we end this chapter, it is worth noting that there are some strong connections between logical properties like validity and satisfiability and the logical relationships introduced in the preceding three sections.

First of all, there is a connection between the logical equivalence of two sentences and the validity of the biconditional sentence built from the two sentences. In particular, we have the following theorem expressing this connection.

Equivalence Theorem: A sentence &phi and a sentence &psi are logically equivalent if and only if the sentence (&phi &hArr &psi) is valid.

Why is this true? Consider the definition of logical equivalence. Two sentences are logically equivalent if and only if they are satisfied by the same set of truth assignments. Now recall the semantics of sentences involving the biconditional operator. A biconditional is true if and only if the truth values of the conditional sentences are the same. Clearly, if two sentences are logically equivalent, they are satisfied by the same truth assignments, and so the corresponding biconditional must be valid. Conversely, if a biconditional is valid, the two component sentences must be satisfied by the same truth assignments and so they are logically equivalent.

There is a similar connection between logical entailment between two sentences and the validity of the corresponding implication. And there is a natural extension to cases of logical entailment involving finite sets of sentences. The following theorem summarizes these results.

Deduction Theorem: A sentence &phi logically entails a sentence &psi if and only if (&phi &rArr &psi) is valid. More generally, a finite set of sentences <&phi1و. , &phiن> logically entails &phi if and only if the compound sentence (&phi1 &and . &and &phiن &rArr &phi) is valid.

If a sentence &phi logically entails a sentence &psi, it means that any truth assignment that satisfies &phi also satisfies &psi. Looking at the semantics of implications, we see that an implication is true if and only if every truth assignment that makes the antecedent true also makes the consequent true. Consequently, logical entailment holds exactly when the corresponding implication is valid.

There is also a connection between logical entailment and unsatisfiability. In particular, if a set &Delta of sentences logically entails a sentence &phi, then &Delta together with the negation of &phi must be unsatisfiable. The reverse is also true.

Unsatisfiability Theorem: A set &Delta of sentences logically entails a sentence &phi if and only if the set of sentences &Delta &cup <¬&phi>is unsatisfiable.

Suppose that &Delta logically entails &phi. If a truth assignment satisfies &Delta, then it must also satisfy &phi. But then it cannot satisfy ¬&phi. Therefore, &Delta &cup <¬&phi>is unsatisfiable. Suppose that &Delta&cup <¬&phi>is unsatisfiable. Then every truth assignment that satisfies &Delta must fail to satisfy ¬&phi, i.e. it must satisfy &phi. Therefore, &Delta must logically entail &phi.

An interesting consequence of this result is that we can determine logical entailment by checking for unsatisfiability. This turns out to be useful in various logical proof methods, as described in the following chapters.

Finally, consider the definition of logical consistency. A sentence &phi is logically consistent with a sentence &psi if and only if there is a truth assignment that satisfies both &phi and &psi. This is equivalent to saying that the sentence (&phi &and &psi) is satisfiable.

Consistency Theorem: A sentence &phi is logically consistent with a sentence &psi if and only if the sentence (&phi &and &psi) is satisfiable. More generally, a sentence &phi is logically consistent with a finite set of sentences <&phi1و. , &phiن> if and only if the compound sentence (&phi1 &and . &and &phiن &and &phi) is satisfiable.

In thinking about these various connections, the main thing to keep in mind is that logical properties and logical relationships are metalevel. They are things we assert in talking about logical sentences they are not sentences في غضون our formal language. By contrast, implications and biconditionals and conjunctions are statements في غضون our formal language they are not metalevel statements. What the preceding paragraphs tell us is that we can implicitly express some logical relationships within our formal language by writing the corresponding biconditionals and implications and conjunctions and checking for the logical properties of these sentences.

3.7 Equivalence Rewritings

The connections described in the preceding section are useful in solving logical problems because they allow us to transform problems of one type into problems of another type. For example, if we needed to determine the validity of a sentence of the form (&phi => &psi), the deduction theorem tells us that we could instead solve the equivalent problem of determining whether &phi logically entails &psi. In making this determination, we need to consider only those interpretations that make &phi true and we can ignore all of the other interpretations. The upshot is that solving the equivalent problem can be easier than solving the original.

The idea of problem transformation can also be used to transform problems of one type into equivalent problems of the same type. The trick is to rewrite the sentences involved in the problem into logically equivalent sentences. Suppose we wanted to know whether a complex sentence like ((¬ص &or ف) &rArr (ص &rArr ف)) &and ف is valid, contingent, or unsatisfiable. Since (¬ص &or ف) is logically equivalent to (ص &rArr ف), we can rewrite the given sentence as ((ص &rArr ف) &rArr (ص &rArr ف)) &and ف. The first conjunct is clearly valid the second is contingent and so the sentence as whole must be contingent.

The following is a list of logical equivalences that can be used in rewriting sentences as logically equivalent sentences.

Of course, there are many more such equivalences. In fact, there are infinitely many. The ones listed here are the most common and the simplest to apply. Moreover, as we shall see in Chapter 5, they are also the basis for the conversion of sentences to clausal form.

The idea of rewriting sentences as logically equivalent sentences can also be applied to sets. We can transform the individual sentences in the sets and, in some cases, we can add or delete sentences. For example, we can replace the set <ص, ص &rArr ف> with the set <ص, ف>, since they are logically equivalent.

As we shall see in the next two chapters, proofs are, in a way, a special case of this idea (one where we add sentences but do not delete sentences). For example, to prove a conclusion in the Fitch system (described in the next chapter), we start with our set of premises and incrementally add logical consequences until we produce a set containing the desired conclusion. The resolution method (described in Chapter 5) is analogous to show that a set of sentences is unsatisfiable, we start with a set of premises and add conclusions until we obtain a direct contradiction.

Recap

A sentence is valid if and only if it is satisfied by كل truth assignment. A sentence is unsatisfiable if and only if it is not satisfied by any truth assignment. A sentence is contingent if and only if it is both satisfiable and falsifiable, i.e. it is neither valid nor unsatisfiable. A sentence is satisfiable if and only if it is either valid or contingent. A sentence is falsifiable if and only if it is unsatisfiable or contingent. A sentence &phi is logically equivalent to a sentence &psi if and only if every truth assignment that satisfies &phi satisfies &psi و every truth assignment that satisfies &psi satisfies &phi. A set of sentences &Delta logically entails a sentence &phi (written &Delta ⊨ &phi) if and only if every truth assignment that satisfies &Delta also satisfies &phi. A sentence &phi is consistent with a set of sentences &Delta if and only if there is a truth assignment that satisfies both &Delta and &phi. ال Equivalence Theorem states that sentence &phi and a sentence &psi are logically equivalent if and only the sentence (&phi &hArr &psi) is valid. ال Deduction Theorem states that a sentence &phi logically entails a sentence &psi if and only the sentence (&phi &rArr &psi) is valid. More generally, a finite set of sentences <&phi1و. , &phiن> logically entails &phi if and only if the compound sentence (&phi1 &and . &and &phi1 &rArr &phi) is valid. ال Unsatisfiability Theorem states that a set &Delta of sentences logically entails a sentence &phi if and only if the set of sentences &Delta &cup <¬&phi>is unsatisfiable. ال Consistency Theorem states that a sentence &phi is consistent with a set of sentences &Delta if and only if the set of sentences &Delta &cup <&phi>is satisfiable. A sentence &phi is consistent with a set of sentences <&phi1و. , &phiن> if and only if the compound sentence (&phi1 &and . &and &phi1 &and &phi) is satisfiable. Finally, a consequence of our definitions - any unsatisfiable set of sentences logically entails everything.

Exercises

(أ)(ص &rArr ف) &or (ف &rArr ص)
(ب)ص &and (ص &rArr ¬ف) &and ف
(ج)(ص &rArr (ف &and ص)) &hArr (ص &rArr ف) &and (ص &rArr ص)
(د)(ص &rArr (ف &rArr ص)) &rArr ((ص &and ف) &rArr ص)
(ه)(ص &rArr ف) &and (ص &rArr ¬ف)
(F)ص &or ¬ف) &rArr ¬(ص &and ف)
(ز)((¬ص &rArr ف) &rArr (¬ف &rArr ص)) &and (ص &or ف)
(ح)ص &or ف) &rArr (ف &and (ص &hArr ف))
(أنا)((¬ص &rArr ¬ص &and ¬ف) &or س) &hArr (ص &or ف &rArr ص &or س)
(ي)(ص &and (ف &rArr ص)) &hArr ((¬ص &or ف) &rArr (ص &and ص))

Exercise 3.2: For each of the following pairs of sentences, determine whether or not the sentences are logically equivalent.

(أ)(ص &rArr ف &or ص) and (ص &and ف &rArr ص)
(ب)(ص &rArr (ف &rArr ص)) and (ص &and ف &rArr ص)
(ج)(ص &and ف &rArr ص) and (ص &and ص &rArr ف)
(د)((ص &rArr ف &or ص) &and (ص &rArr ص)) and (ف &rArr ص)
(ه)((ص &rArr ف) &or (ف &rArr ص)) and (ص &or ¬ص)

Exercise 3.3: Use the Truth Table Method to answer the following questions about logical entailment.

(أ)<ص &rArr ف &or ص> ⊨ (ص &rArr ص)
(ب)<ص &rArr ص> ⊨ (ص &rArr ف &or ص)
(ج)<ف &rArr ص> ⊨ (ص &rArr ف &or ص)
(د)<ص &rArr ف &or ص, ص &rArr ص> ⊨ (ف &rArr ص)
(ه)<ص &rArr ف &or ص, ف &rArr ص> ⊨ (ص &rArr ص)

Exercise 3.4: Let &Gamma and &Delta be sets of sentences in Propositional Logic, and let &phi and &psi be individual sentences in Propositional Logic. State whether each of the following statements is true or false.

(أ)If &Gamma ⊨ &phi and &Delta ⊨ &phi, then &Gamma &cap &Delta ⊨ &phi.
(ب)If &Gamma ⊨ &phi and &Delta ⊨ &phi, then &Gamma &cup &Delta ⊨ &phi.
(ج)If &Gamma ⊨ &phi and &Delta ⊭ &phi, then &Gamma &cup &Delta ⊨ &phi.
(د)If &Gamma ⊭ &psi, then &Gamma ⊨ ¬&psi.
(ه)If &Gamma ⊨ ¬&psi, then &Gamma ⊭ &psi.

Exercise 3.5: In each of the following cases, determine whether the given individual sentence is consistent with the given set of sentences.

(أ)<ص &or ف, ص &or ¬ف, ¬ص &or ف> and (¬ص &or ¬ف)
(ب)<ص &rArr ص, ف &rArr ص, ص &or ف> و ص
(ج)<ص &rArr ص, ف &rArr ص, ص &or ف> and ¬ص
(د)<ص &rArr ف &or ص, ف &rArr ص> و ص &and ف
(ه)<ص &rArr ف &or ص, ف &rArr ص> و ف &and ص

Exercise 3.6: Logical equivalence, logical entailment, and logical consistency are related to each other in interesting ways, but they are not identical. Answer the following true or false questions about the relationships between these concepts.


The set $< 1,2, dots , p-1>$ is a restricted set of residues $mod p$. If $a$ is any element of this set,then: $ < a,2a, dots, (p-1)a > $ is also a restricted set of residues $ mod p$. So,exactly one element of the second set is equivalent $mod p$ to $1$. So,we have shown that for each $a in < 1, dots, p-1>$ there is exactly one $b in < 1, dots, p-1 >$ such that:

Now we check if it can be $a=b$. This is equivalent to:

$a^2 equiv 1 pmod p Leftrightarrow p mid a^2-1 Leftrightarrow p mid a-1 ext < or >p mid a+1 Leftrightarrow a=1 ext < or >a=p-1$

We conclude that for each $a in < 2, dots, p-2 >$ there is exactly one $b in < 2, dots, p-2>$ so that:

$ab equiv 1 pmod p, a eq b$

So,the numbers $2, dots,p-2$ can be seperated into $frac<2>$ pairs,so that the product of the two numbers of each pair is equivalent $pmod p$ to $1$,and therefore:

$2 cdots (p-2) equiv 1 pmod p$

$(p-1)! = 1 cdot 2 cdots (p-2) cdot (p-1) equiv 1 cdot 1 cdot (p-1) equiv -1 pmod p$

Hint: if $p$ is an odd prime, $pm1$ are the only self inverses, and all other numbers come in pairs $a, a^<-1>$.

Compare the polynomials $x^-1$ and $(x-1)(x-2)cdots (x-(p-1))$ modulo $p$.

This is a combinatoric/group theory proof:

First we prove that the number of cyclic subgroup of order $p$ in $Sym_

$ is $(p-2)!$.

There are $p!$ permutation of $p$ letter, which means there are $p!$ way of writing a cycle of $p$ element in cycle notation. Each element with order $p$ in $Sym_

$ is a cycle of $p$ letter (since $p$ is prime), and each of them corresponde to $p$ different way of writing in cycle notation. Hence there are $(p-1)!$ elements of order $p$. Cyclic subgroup of order $p$ are mutually disjoint except for the identity, and each of them contains $p-1$ element of order $p$. Hence there are $(p-2)!$ such subgroup.

Now, by Sylow's theorem, since each of those cyclic subgroup is a maximal $p$-subgroup in $Sym_

$, the number of them is in fact $kp+1$ for some $k$. Hence $(p-2)!equiv 1(mod p)$ which means $(p-1)!equiv -1(mod p)$.


Gauss's algorithm

The latter modular inverse dأنا is easily calculated by the extended Euclidean algorithm. You can also use the bd_modinv utility in our Modular Arithmetic Freeware download.

مثال

For the original "Chinese" problem above we have

Now N1 = N/n1 = 35 and so d1 = 35 -1 (mod 3) = 2 ,
ن2 = N/n2 = 21 and so d2 = 21 -1 (mod 5) = 1 , and
ن3 = N/n3 = 15 and so d3 = 15 -1 (mod 7) = 1 . بالتالي

Another example

so a solution is x = 58 . Note that this is "a" solution. Any integer that satisfies 58 + 60k for any integer k is also a solution, but the method gives you the unique solution in the range 0 &le x < n1ن2ن3 .


Example: using the Chinese remainder theorem

Say that your mom bought a few handfuls of sweets and would like to give them away to you and your three siblings. However, she knows all too well how her children hate when we give one more than the others, so she quickly counts the candies.

Oh, bother! If all kids got the same number, there would be one sweet left. She figures that she could invite the little girl next door, but then after dividing, there would be two left. And if she invited both the girl and her big brother to raise the blood sugar of the whole lot, there would be three left. Oh, how troublesome!

So how many candies did she buy?

Let&aposs see how we can translate this very real-life scenario إلى mathematical language. More precisely, we&aposll use congruences, and, as you might have guessed, our Chinese remainder theorem calculator will come in handy.

Denote the number of candies by x . Firstly, the mother realized that if she gave her three children an equal number of sweets, one would be leftover. This means that if we divide x by 3 , we&aposll obtain a remainder of 1 . In other words, x must be congruent to 1 modulo 3 , i.e.,

Next, if she invited the girl next door, then if she gave the candies to the four children, two will be left. This gives:

Lastly, if the girl&aposs brother joined in the game (amounting to five kids in total), three candies would be left. وبالتالي،

This way, we&aposve obtained a system of three congruences. It&aposs starting to look similar to what we had in the above section, doesn&apost it?

First of all, let&aposs see how easy the task is when we have Omni&aposs Chinese remainder theorem calculator. There, we begin by choosing the right option under "Number of equations" (in our case, it&aposs 3 ). The calculator will show you three congruent expressions with the symbols that we use in the fields below. For instance, the first one is

We look back at the equations we had and input accordingly:

Similarly, for the other two congruences, we get:

Once we give the last number, the Chinese remainder theorem calculator will spit out the answer underneath. Also, note that if the input numbers didn&apost meet the assumptions of the theorem (e.g., if the n -s weren&apost coprime or if any of the numbers were a decimal fraction), the tool would inform you of the error.

We all know that you&aposre super curious about how many candies mom bought, but we need you to be a bit more patient. After all, we didn&apost read through this whole article just to learn how to input digits into the Chinese remainder theorem calculator. We learned how to use the theorem ourselves, and use it we will right now!

Recall the instructions given in the above section. They tell us to begin by defining the numbers N and m₁ , m₂ , and m₃ . We use the formulas and get:

Next, we&aposll need the pairs (u₁,v₁) , (u₂,v₂) , and (u₃,v₃) . For that, we begin by applying the Euclidean algorithm to the pairs (n₁,m₁) , (n₂,m₂) , and (n₃,m₃) . (Below, we only write the consecutive equations given by the process.)

Now, we recall Bézout&aposs identity to find (u₁,v₁) , (u₂,v₂) , and (u₃,v₃) . (Again, we only write the equations. Recall from the corresponding section the step-by-step instruction on how to obtain the desired pairs.)

Next, we get e₁ , e₂ , and e₃ using the according formulas:

Lastly, we use them to find our solution:

However, clearly, mom didn&apost buy -122 candies. We have to remember that our solution is unique modulo N = 60 . This means that if we add any multiple of 60 to our result, the resulting number will also satisfy our congruences. Therefore, for a more reasonable value (and such as the Chinese remainder theorem calculator shows), let&aposs add the 60 three times to our -122 :

Voilà! That&aposs how many sweets we could expect.

همم. Should we really invite the kids next door? Why don&apost we just eat them with our siblings and let mom have that one last candy? Surely, it can&apost be too many calories, can it?


3.3: Q-R Theorem and Mod

[email protected]`$-lj8i6ngC.>8)JL:/2W+rlXZ*gd#Z+PT)=R"? m6$d8cel4Ls$lgSU$"p*-LUhk]$ntZX!XT+>XRVF#'@A`Wm30YP -P)_Ukg-s- $h4B^lKG/"PFbIm=kkA>[n-M4h,P3Q/X?972POmZkkBXrEfu2G.Vo1^XY.WTFu6),^+6,ME(!l !e7E X/`X?Y]FHNUCVts7+A=mS4'^*g+Q0#AO:1JlI.DFq*>inuJNZTr7+(@"[email protected]?2Tb8Tb1)P`R JR/(JWu"5ae>',r(IsYUDV(9f:N/'i2C(7#,H?DWc4Q_4j-/-,O UJB8nJoo [email protected]+J0OO=coAXARN(F93keeMI)5r+uiQM aPkFRmc%F2D=DQ!maH?c*Tso H LJeWH8=N!H>W^ql2t'l lSc4rXp$2(>,i4cf!(5R:.1SnGrUM=u,/E)C6?4#G%c^T!_0"[3(kcbu)Ctg(,fF-R!BoOG+NVFFj oY,A!Pu(CRmjp_eIYWhd?p_,)4]40/_j0q5li)hLr0QXAFYG?GC/1_pPEKK=O?&#=('4W,l

4UWGN^0W%:]WQu#"fhDDRVJLu674ZjZ18/AEKKN: B]9E5u,)cML,aiI#L.PC9H"+m94&W0'AJX,3i)Ss%rPDPuPb O-Ic$G>5W05W0obs$3Bf3 >2Nmuk>99']3TP[H-ZF90D-9CHu!W>lE&aPs>]OdHC36X&XCB*aY0.b1Q `[email protected][h/HtO!T?hB!6qteA#]4MHOIS52 &

,`FX)m0 TH9sa2s7 cgMlc(JZo0Uj/W:)Fb]fV8SoP'uBH rWd80hAHX&SRZb%5H*Ch'1Ca*p(DH$=O^@8bd0.Q"l`T-4?F4gcRLqNDSsT_bh ALaRA_aZ)*^J[J!4=at4OHO")GlZs)rotn!^]`]`k"E4/l W#"SCjS[P6?S Ysa6p$?[LdIg Ho2eCbm +2e'H`o%%q-5a4>sYaFg)*]l0j&N*jD&p BZd7'P7jW=u !%&!cmD *[email protected] AdBQNF6SH*tpbFp2$%NNeD3.3: Q-R Theorem and Mod,[nobr][H1toH2]Q9agmAC/e4 s#7,)t+4QL`N[Tb+X8T/)S0JUZAl(:sOuX_$?uGi?jEfrUMfgnp1`


Multiply all the divisors as M:

Simply divide 233 by 60 and then the answer is the remainder:

There are multiple proofs of the Chinese Remainder Theorem some of them demonstrate how to construct a particular solution $x^*$ of أي system of congruences. This can then be used to describe all integer solutions to the system of congruences in question.

You will have to refer to your text's proof to perform the construction, but to give an example, here is one such construction (reference: Andrew Adler, The Theory of Numbers):

Take the congruences $x equiv a_i pmod$ for $1 leq i leq r$ where the $m_i$ are pairwise relatively prime ($gcd(m_i,m_j) = 1$ for $i eq j$). Let $m = m_1dots m_r$. Then, find all $b_i$ where:

which is solvable since $gcd(m/m_i, m_i) = 1$. Then, a particular solution is:

which satisfies $x^* equiv a_i pmod$ for all $1 leq i leq r$. Then, by the Chinese Remainder Theorem, you know that the set of all solutions is $x^* + mt$ for all $t in mathbb$.


3.3: Q-R Theorem and Mod

Class Notes

The McGraw-Hill Ryerson PreCalculus 12 Text is used as the Main Resource.

Assignments in the Powerpoint Lesson Plans refer to pages and questions in the PreCalculus 12 text.

3.3A The Factor Theorem

3.3B Solving Problems

Digital Resources

3.3B The Classic Box Problem Exploration


Pedagogical Shifts: TRANSFORM, Moving from Traditional to Students Centered.

Shifting from Student as Knowledge Recipient to Student as Inquirer and Creator

Moving from Short-term Assignments to Project-based Learning

Moving from Memorization to Higher-level Thinking

Moving from One-size-fits-all to Personalized, Differentiated

Moving from Print-based to Multimodal (print, visual, digital)

The following activity promotes learning mathematics using the Mathematical Processess.


Click this link to learn more about Problem Solving: Maximum Volume of a Box with No Lid Activity