مقالات

4.5: يشكل المحترفون فئة مغلقة مدمجة - الرياضيات


في هذا القسم سوف نحدد الفئات المغلقة المدمجة ونوضح ذلك فيز، وبشكل أعم V-profunators ، يشكلون مثل هذا الشيء. الفئات المضغوطة المغلقة هي فئات أحادية اللون تسمح مخططات الأسلاك الخاصة بها بالتغذية الراجعة. تبدو مخططات الأسلاك كما يلي:

لقد مر وقت طويل منذ أن فكرنا في التصميم المشترك ، ولكن هذه كانت أنواع مخططات الأسلاك التي رسمناها ، على سبيل المثال توصيل الهيكل والمحرك والبطارية في المعادلة. (4.1). الفئات المغلقة المدمجة هي فئات أحادية متماثلة ، مع بنية أكثر قليلاً تسمح لنا بتفسير رسمي لأنواع التغذية الراجعة التي تحدث في مشاكل التصميم المشترك. تظهر هذه البنية نفسها في العديد من المجالات الأخرى ، بما في ذلك ميكانيكا الكم والأنظمة الديناميكية.

في Eq. (2.13) والقسم 2.2.3 ناقشنا مختلف أشكال مخططات الأسلاك ، بما في ذلك تلك التي تحتوي على رموز لتقسيم الأسلاك وإنهائها. بالنسبة للفئات المدمجة ، تتيح لنا الرموز الإضافية لدينا ثني المخرجات في المدخلات ، والعكس صحيح. ومع ذلك ، لتتبع ذلك ، نرسم أسهمًا على سلكنا ، والتي يمكن أن تشير إما للأمام أو للخلف. على سبيل المثال ، يمكننا رسم هذا

ثم نضيف أيقونات - تسمى غطاء وكوب - تسمح لأي سلك بعكس الاتجاه من الأمام إلى الخلف ومن الخلف إلى الأمام.

وهكذا يمكننا رسم ما يلي (4.57)

ومعناها يعادل المعادلة. (4.56).
سنبدأ بإعطاء البديهيات لفئة مغلقة مدمجة. ثم سننظر مرة أخرى في علاقات الجدوى في التصميم المشترك - وبشكل أكثر عمومية في الأخصائيين المخصّصين - ونبين أنهم بالفعل يشكلون فئة مغلقة مدمجة.

الفئات المغلقة المدمجة

كما قلنا ، الفئات المغلقة المدمجة هي فئات أحادية متماثلة (انظر التعريف 4.45) مع بنية إضافية.

التعريف: 4.58.

دع (C ، أنا، ⊗) فئة أحادية متماثلة ، و ج ( in ) Ob (C) كائن. أ مزدوج ل ج يتكون من ثلاثة مكونات

(ط) كائن ج∗ ( in ) Ob (C) ، يسمى مزدوج من ج,

(2) التشكل η (_ {ج} ):أنا ج∗ ⊗ ج، ودعا وحدة ل ج,

(3) التشكل ε (_ {c} ): ج ج∗ → أنا، ودعا counit ل ج

هذه مطلوبة لتلبية معادلتين لكل منهما ج ( in ) Ob (C) ، والتي نرسمها كمخططات تبادلية:

تسمى هذه المعادلات أحيانًا بـ معادلات الثعبان.
إذا لكل كائن ج ( in ) Ob (C) يوجد ثنائي ج∗ لـ ج، ثم نقول أن (C ، أنا، ⊗) هو المدمجة مغلقة.

في فئة مغلقة مدمجة ، يتم تجهيز كل سلك باتجاه. لأي كائن ج، سلك يشير للأمام مُسمى ج يعتبر معادلاً للإشارة إلى الخلف

اكتب c *، ie ( stackrel {c} { rightarrow} text {هو نفسه} stackrel {c ^ {*}} { leftarrow} text {.} ) تمت مناقشة الكأس والغطاء أعلاه هي في الواقع الوحدة والتشكيلات counit ؛ يتم رسمها على النحو التالي.

في مخططات الأسلاك ، يتم بعد ذلك رسم معادلات الثعبان (4.59) على النحو التالي:

لاحظ أن الصور في Eq. (4.57) تتوافق مع ε (_ {sound} ) و η (_ {sound ∗} ).

تذكر فكرة الطلب المسبق المغلق أحادي الصيغة ؛ يمكن أيضًا أن تكون الفئة أحادية الصيغة مغلقة بشكل أحادي. هذا يعني أن لكل زوج من الأشياء ج, د ( in ) Ob (C) هناك كائن ج -o د والتشابه C (ب ج, د) ( cong ) ج (ب, ج -o د) ، طبيعي في ب. على الرغم من أننا لن نقدم دليلًا كاملاً هنا ، إلا أنه تم تسمية الفئات المغلقة المدمجة لأنها نوع خاص من الفئات المغلقة أحادية اللون.

الاقتراح 4.60.

إذا كانت C فئة مغلقة مضغوطة ، إذن

1. C أحادي مغلق ؛ ولأي كائن ج ( in ) أوب (ج) ،

2. إذا ج∗ و ج′ كلاهما ثنائي ل ج ثم هناك تماثل ج (^ {∗} ) ( cong ) ج′ ؛ و

3. هناك تماثل بين ج والمزدوجة المزدوجة ، ج ( cong )ج(^{∗∗}).

لإثبات 1. ، الفكرة الأساسية هي أن أي ج و د، الكائن ج -o د اعطي من قبل ج∗ ⊗ د، والتشابه الطبيعي C (ب ج, د) ( cong ) ج (ب, ج -ا د) عن طريق التكوين المسبق بالمعرف (_ {b} ) ⊗η (_ {c} ).

قبل العودة إلى التصميم المشترك ، نقدم مثالًا آخر لفئة مغلقة مدمجة تسمى كوريل، والتي سنرى مرة أخرى في الفصول القادمة.

المثال 4.61.

تذكر ، من التعريف 1.18 ، أن علاقة التكافؤ على مجموعة أ هي علاقة ثنائية انعكاسية ومتناظرة ومتعدية أ. بالنظر إلى مجموعتين محددتين ، أ و ب، أ الارتباط أ ب هي علاقة تكافؤ على أ ب.

لذلك ، على سبيل المثال ، هنا ارتباط من مجموعة أ وجود خمسة عناصر لمجموعة ب وجود ستة عناصر عنصران متكافئان إذا كانا محاطين بنفس الخط المتقطع.

هناك فئة تدل عليها كوريل، حيث الكائنات هي مجموعات محدودة ، ومن أين التشكل أ ب هو ارتباط أ ب. من الأسهل النظر إلى قاعدة التكوين بدلاً من تدوينها رسميًا. (^ {2} ) إذا كان بالإضافة إلى الارتباط α: أ ب أعلاه لدينا ارتباط آخر β: ب ج

ثم يتم إعطاء المركب β ◦ α لاثنين من الترابطات لدينا بواسطة

أي أن عنصرين متكافئين في الارتباط المركب إذا كان بإمكاننا السفر من أحدهما إلى الآخر والبقاء ضمن فئات التكافؤ إما α أو β.

الفئة كوريل قد تكون مجهزة بهيكل أحادي متماثل (Ø ، ⊔). هذه الفئة الأحادية تكون مضغوطة مغلقة ، مع كل مجموعة محدودة ثنائية خاصة بها. في الواقع ، لاحظ ذلك لأي مجموعة محدودة أ هناك علاقة تكافؤ في أ أ := {(أ, 1), (أ, 2) | أ (في) أ} حيث يتكون كل جزء ببساطة من العنصرين (أ، 1) و (أ، 2) لكل منهما أ (في) أ. الوحدة على مجموعة محدودة أ هل الارتباط η (_ {A} ): Ø → أ أ التي تحددها علاقة التكافؤ هذه ؛ بالمثل في counit أ هو الارتباط ε (_ {A} ): أ أ → Ø المحدد من خلال نفس علاقة التكافؤ.

تمرين 4.62.

ضع في اعتبارك المجموعة ( underline {3} ) = {1، 2، 3}.

1. ارسم صورة لارتباط الوحدة Ø → 3 3.

2. ارسم صورة لعلاقة counit 3 ⊔ 3 → Ø.

3. تأكد من أن معادلات الثعبان (4.59) صامدة. (نظرًا لأن كل كائن هو ثنائي خاص به ، فأنت تحتاج فقط إلى التحقق من أحدهما.) ♦

فيز كفئة مغلقة مدمجة

نغلق الفصل بالعودة إلى التصميم المشترك وإظهار ذلك فيز له هيكل مغلق مضغوط. هذا ما يسمح لنا برسم أنواع مخططات الأسلاك التي رأيناها في المعادلات. (4.1) و (4.55) و (4.56): هذا ما يضع الرياضيات الفعلية وراء هذه الصور.

بدلاً من مجرد تفصيل هذا الهيكل المضغوط المضغوط لـ فيز = البروفيسور (_ {Bool} ) ، ليس هناك عمل إضافي لإثبات أنه لأي مقياس هيكلي (أحادي ، تبادلي) (V ، أنا، ⊗) فئة profunctor البروفيسور (_ {V} ) من النظرية 4.23 مضغوط مغلق ، لذلك سنناقش هذه الحقيقة العامة.

نظرية 4.63.1

دع V يكون كمي هيكلي. الفئة البروفيسوريمكن إعطاء (_ {V} ) بنية فئة مغلقة مدمجة ، مع منتج أحادي يتم تقديمه بواسطة منتج الفئات V.

في الواقع ، كل ما نحتاج إلى القيام به هو بناء البنية الأحادية والثنائيات للأشياء. دعونا نرسم كيف تسير الأمور.

منتجات أحادية في البروفيسور(_{الخامس}) هي مجرد فئات المنتجات. فيما يتعلق بمخططات الأسلاك ، فإن الهيكل أحادي الشكل يشبه تكديس الأسلاك أو الصناديق فوق بعضها البعض ، دون تفاعل جديد.

نأخذ منتجنا الأحادي على البروفيسورأن يكون V هو ذلك الذي قدمه منتج الفئات V ؛ تم تقديم التعريف في التعريف 2.74 ، وعملنا على عدة أمثلة هناك. للتذكير ، فإن صيغة المجموعات الرئيسية في X × Y معطاة من قبل

((x times y) left ((x، y)، left (x ^ { prime}، y ^ { prime} right) right): = X left (x، x ^ { رئيس} يمين) مرات ص يسار (ص ، ص ^ { رئيس} يمين) )

لكن المنتجات أحادية الصيغة يجب أن تُعطى على الأشكال أيضًا ، والتشكيلات في البروفيسور (_ {V} ) هم أساتذة V. لذلك ، بالنظر إلى V-profunators Φ: X1 → X2 و Ψ: Y1 → Y2 ، يُعرّف المرء V-profunctor (Φ × Ψ): X1 × Y1 → X2 × Y2 بواسطة

(( Phi times Psi) left ( left (x_ {1} ، y_ {1} right) ، left (x_ {2} ، y_ {2} right) right): = Phi left (x_ {1} ، x_ {2} right) otimes Psi left (y_ {1} ، y_ {2} right) ).

تمرين 4.64.

فسر المنتجات أحادية الصيغة بتنسيق البروفيسور (_ {Bool} ) من حيث الجدوى. أي أن الطلبات المسبقة تمثل الموارد المطلوبة حسب التوفر (x x' يعني أن x متاح نظرا x′) و profunctor هي علاقة جدوى. اشرح لماذا يكون X × Y منطقيًا باعتباره المنتج الأحادي للطلبات المسبقة للمورد X و Y ولماذا يكون Φ × Ψ منطقيًا باعتباره المنتج الأحادي لعلاقات الجدوى Φ و. ♦

الوحدة الأحادية في الأستاذ(_{الخامس}) يكون 1. لتحديد بنية أحادية على البروفيسور (_ {V} ) ، لا نحتاج فقط إلى منتج أحادي - كما هو محدد أعلاه - ولكن أيضًا نحتاج إلى وحدة أحادية. أذكر فئة V. 1؛ له كائن واحد ، لنقل 1 ، و (1 ، 1) = أنا هي الوحدة أحادية الصيغة V التي نأخذها1 لتكون وحدة أحادية من البروفيسور(_{الخامس}).

تمرين 4.65.

من أجل 1 لكي تكون وحدة أحادية الصيغة ، من المفترض أن تكون هناك تماثلات X × 1 → X و 1 × X → X بوصة البروفيسور (_ {V} ) لأي فئة V X. ما هي؟ ♦

ثنائيات في البروفيسور(_{الخامس}) هي مجرد فئات معاكسة. من أجل احترام البروفيسور (_ {V} ) كفئة مغلقة مضغوطة (التعريف 4.58) ، يبقى تحديد الثنائيات والكوب والغطاء المقابل.

تعتبر الثنائيات سهلة: بالنسبة لكل فئة V X ، يكون الثنائي هو فئتها المقابلة X (^ {op} ) (راجع التمرين 2.73). بعد ذلك تبدو الوحدة والمجلس مثل الهويات. للتوضيح ، الوحدة عبارة عن V-profunctor (_ {ηX} ) → 1 X (^ {op} ) × X. بالتعريف ، هذا هو V-functor

( eta_ {x}: mathbf {1} times x ^ { mathrm {op}} times x rightarrow v )؛

نحدده بـ (_ {ηX} ) (1، x, x′): = X (x, x′). وبالمثل ، فإن counit هو profunctor ε (_ {X} ): (X × X (^ {op} )) → 1، مُعرَّف بواسطة ε (_ {X} ) (x, x′ ، 1): = X (x, x′).

تمرين 4.66.

تحقق من هذه الوحدات المقترحة والمحاكم لا تمتثل بالفعل لمعادلات الثعبان Eq. (4.59). ♦


شاهد الفيديو: كيف تحب الرياضيات وتكون عبقريا فيها -نصائح مهمة تساعدك في حب الرياضيات (شهر اكتوبر 2021).