مقالات

8.7: حلول للفصل السابع - الرياضيات


تمرين 7.

في الرسم البياني التبادلي أدناه ، افترض أن (ب, ج, ب ′, ج′) المربع هو تراجع:

نحتاج إلى إظهار أن (أ, ب, أ ′, ب ′) المربع هو تراجع إذا كان (أ, ج, أ ′, ج′) المستطيل هو تراجع.

افترض اولا ان (أ, ب, أ ′, ب ′) هو تراجع ، واتخاذ أي (X, ص, ف) كما في الرسم البياني التالي:

أين ف ; F ; ز ' = ص ; ح (_ {3} ). ثم بالملكية العامة لـ (ب, ج, ب ', ج ' ) التراجع ، نحصل على سهم منقط فريد ص عمل الرسم البياني الأيسر أدناه التنقل:

بعبارات أخرى ص ; ح(_{2}) = ز ; F ' وص ; ز = ص. ثم بالملكية العامة لـ (أ, ب, أ ′, ب ′) تراجع ، نحصل على سهم منقط فريد ص : X أ عمل الرسم التخطيطي الأيمن ، أي ص ; F = ص و ص ' ; ح(_{1}) = ف. هذا يعطي وجود ص مع الخاصية المطلوبة ، ص ' ; F = ص و ص '؛ F = ص ؛ ز = ص. لترى التفرد ، افترض أن هناك أشكالا أخرى ص (_ {0} ) هكذا ص(_{0}) ; F ; ز = ص و ص(_{0}) ; ح(_{1}) = ف:

ثم من خلال تفرد ص، يجب أن نحصل ص(_{0}) ; F = ص، ثم تفرد ص '، يجب أن نحصل ص(_{0}) = ص ′. هذا يثبت النتيجة الأولى.

والثاني مشابه. لنفترض أن (أ, ج, أ ′, ج') و (ب, ج, ب ′, ج ′) هي عمليات الانسحاب ونفترض أنها أعطيت مخططًا تبادليًا للشكل التالي:

أي أين ص ; ح(_{2}) = ف ; F ′. ثم السماح ص := ص ; ز، لدينا

ص ; ح(_{3}) = ص ; ز ; ح(_{3}) = ص ; ح(_{2}) ; ز ' = ف ; F "؛ ز '

لذلك من خلال الملكية العامة لـ (أ, ج, أ ′, ج ′) الانسحاب ، هناك شكل فريد من نوعه ص′ : X أ مثل ذلك ص ; F ; ز = ص و ص(_{0}) ; ح(_{1}) = ف، كما هو موضح:

ولكن دعنا الآن ص(_{0}) := ص ; F . يرضي ص(_{0}) ; ز = ص و ص(_{0}) ; ح(_{2}) = ف ; F '، و ص يفي بنفس المعادلات: ص ; ز = ص و ص ; ح(_{2}) = ف ; F ′. ومن ثم من خلال الملكية العالمية لـ (ب, ج, ب ′,ج ') اسحب للخلف ص(_{0}) = ص ′. إنه يتبع هذا ص′ هو تراجع عن (أ, ب, أ ′, ب ′) مربع حسب الرغبة.

تمرين 7.

وظيفة F : أ ب هو حقن iff للجميع أ(_{1}), أ(_{2 بوصة) أ، لو F (أ(_{1})) = F (أ (_ {2} )) إذن أ(_{1}) = أ(_{2}).

إنه monomorphism iff لجميع المجموعات X والوظائف ز(_{1}), ز(_{2}) : X أ، لو ز(_{1}) ; F = ز(_{2}) ; F من ثم ز(_{1}) = ز (_ {2} ). في الواقع ، يأتي هذا مباشرة من الخاصية العامة للانسحاب من التعريف 7.5 ،

لأن السهم المتقطع يضطر إلى مساواة كليهما ز (_ {1} ) و ز (_ {2} ) ، وبالتالي فرض ز(_{1}) = ز(_{2}).

1. افترض F هو monomorphism ، دعونا أ(_{1}), أ(_{2 بوصة) أ كن عناصر ، وافترض F (أ(_{1})) = F (أ(_{2})).

يترك X = {∗} كن مجموعة عنصر واحد ، واسمحوا ز(_{1}), ز(_{2}) : X أ تعطى من قبل ز(_{1})(∗) := أ (_ {1} ) و ز(_{2})(∗) := أ (_ {2} ). ثم ز(_{1}) ; F = ز(_{2}) ; F ، وبالتالي ز(_{1}) = ز (_ {2} ) ، إذن أ(_{1}) = أ(_{2}).

2. افترض أن F هو حقنة ، دعونا X كن مجموعة ص ، واسمحوا ز(_{1}), ز(_{2}) : X أ كن هكذا ز(_{1}) ; F = ز(_{2}) ; F. سيكون لدينا ز(_{1}) = ز (_ {2} ) إذا أمكننا إظهار ذلك ز(_{1})(x) = ز(_{2})(x) لكل x (في) X. لذا خذ أي x (في) X؛ منذ F (ز(_{1})(x)) = F (ز(_{2})(x)) و F عن طريق الحقن ، لدينا ز(_{1})(x) = ز(_{2})(x) حسب الرغبة.

تمرين 7.

1. افترض أن لدينا تراجعًا كما هو موضح ، أين أنا هو تماثل:

يترك ي := أنا (^ {- 1} ) يكون معكوس أنا، والنظر ز := (F ; ي): أ ب ′. ثم ز ; أنا = F، لذلك من خلال وجود جزء من الملكية العالمية ، هناك خريطة ي : أ أ ' مثل ذلك ي ; أنا ' = معرف (_ {A} ) و ي ; F ' = F ; ي. سننتهي إذا استطعنا أن نظهر أنا ' ; ي ' = المعرف (_ {A '} ). يتحقق المرء من أن (أنا ' ؛ ي ' ) ; أنا '= أنا ' وذلك (أنا ' ؛ ي ' ) ; F ' = أنا ' ; F ; ي = F ' ; أنا ; ي = F ' .

لكن id (_ {A '} ) يفي أيضًا بتلك الخصائص: id (_ {A'} )؛ أنا ' = أنا ' ومعرف (_ {A '} ) ؛ F ' = F '، لذلك من خلال الجزء الفريد من الملكية العامة ، (أنا ' ; ي ) = id (_ {A '} ).

2. نحن بحاجة إلى إظهار أن الرسم البياني التالي هو تراجع:

لذا خذ أي شيء X والتشكيلات ز : X أ و ح : X ب مثل ذلك ز ; و = ح ؛ المعرف (_ {B} ).

نحن بحاجة إلى إظهار وجود شكل فريد من نوعه ص : X أ مثل ذلك ص ؛ المعرف (_ {A} ) = ز و ص ; و = ح. هذا سهل: الشرط الأول هو القوى ص = ز ثم يتم استيفاء الشرط الثاني.

تمرين 7.

ضع في اعتبارك الرسم البياني الموضح على اليسار ، حيث تكون جميع المربعات الثلاثة عبارة عن تراجعات:

المربعان الأمامي والسفلي متماثلان - التراجع المفترض - والمربع الأيمن هو تراجع بسبب F يفترض monic. يمكننا إكماله إلى الرسم التخطيطي التبادلي الموضح على اليمين ، حيث يكون المربع الخلفي والمربع العلوي منسحبين من خلال التمرين 7.7. هدفنا هو إظهار أن المربع الأيسر هو تراجع.
للقيام بذلك ، نستخدم تطبيقين من تمرين 7.4. نظرًا لأن الوجه الأيمن هو تراجع والوجه الخلفي هو تراجع ، فإن المستطيل القطري (مرسوم برفق) هو أيضًا تراجع. نظرًا لأن الوجه الأمامي هو تراجع ، فإن الوجه الأيسر هو أيضًا تراجع.

تمرين 7.

ما يلي هو عامل epimono ل F :

تمرين 7.1

1. إذا كان V كميًا مع الخصائص المذكورة ، إذن

أنا بمثابة عنصر علوي: الخامس أنا للجميع الخامس (في) الخامس.
الخامس ث يخدم كعملية لقاء ، أي أنه يلبي نفس الخاصية العامة مثل ( الأرض ) ، أي الخامس ث هو أكبر حد أدنى لـ الخامس و ث.
الآن العملية تفي بنفس الخاصية العامة مثل الأس (hom-object) ، وهي الخامس ≤ (ث -o x) iff الخامس دبليو x. لذا فإن V فئة مغلقة ديكارتية ، وهي بالطبع طلب مسبق.

2. لا يأتي كل طلب مسبق مغلق ديكارتي من مقياس مع الخصائص المذكورة ، لأن المقاييس الكمومية تحتوي على جميع الصلات ولا داعي للطلبات المسبقة الديكارتية المغلقة. العثور على مثال مضاد لطلب مسبق مغلق ديكارتي يفتقد بعض الصلات — يتطلب بعض البراعة ، ولكن يمكن القيام به. هذا واحد توصلنا إليه:

هذا هو الطلب المسبق للمنتج ( mathbb {N} ) (^ {op} ) × ( mathbb {N} ) (^ {op} ): كائناته عبارة عن أزواج (أ, ب) ( in ) ( mathbb {N} ) × ( mathbb {N} ) مع (أ, ب) ≤ (أ ′, ب ′) iff ، بالترتيب المعتاد في ( mathbb {N} ) لدينا أ ′ ≤ أ و ب ′ ≤ ب. لكن يمكنك فقط إلقاء نظرة على الرسم التخطيطي.

يحتوي على عنصر علوي ، (0 ، 0) ، وله اجتماعات ثنائية ، (أ, ب) (الأرض) (أ ′, ب ′) = (ماكس (أ, أ ')، الأعلى(ب, ب ′)). لكنها لا تحتوي على عنصر سفلي ، لذا فهي لا تحتوي على صلة فارغة. وهكذا سننتهي إذا استطعنا إظهار ذلك لكل منهما x, ذ، الكائن المنزلي x -o ذ موجود. الصيغة لذلك x -o ذ = ( bigvee ) {ث | ث (الأرض) x ذ} ، بمعنى أننا نحتاج إلى وجود هذه الصلات المعينة. منذ ذ (الأرض) x ذ، لدينا ذ x -o ذ. لذا يمكننا استبدال الصيغة بـ x -o ذ = ( bigvee ) {ث | ذ ث و ث (الأرض) x ذ}. لكن مجموعة العناصر الموجودة في ( mathbb {N} ) (^ {op} ) × ( mathbb {N} ) (^ {op} ) أكبر من ذ محدود وغير فارغ. (^ {2} ) إذن هذه صلة غير فارغة محدودة ، و ( mathbb {N} ) (^ {op} ) × ( mathbb {N} ) يحتوي (^ {op} ) على كل الصلات غير الفارغة المحددة: يتم تقديمها بواسطة inf.

تمرين 7.1

يترك م : ( mathbb {Z} ) → ( mathbb {B} ) هي الوظيفة المميزة للتضمين ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {Z} ).

1. ( lceil {m (−5)} rceil ) = خطأ. 2. ( lceil {m (0)} rceil ) = صحيح.

تمرين 7.1

1. ترسل الوظيفة المميزة ( lceil {id _ { mathbb {N}} rceil ): ( mathbb {N} ) → ( mathbb {B} ) كل ن ( in ) ( mathbb {N} ) صحيح.
2. دع! (_ { mathbb {N}} ): Ø → ( mathbb {N} ) يكون تضمين المجموعة الفارغة. الدالة المميزة ( lceil {! _ { mathbb {N}} rceil ): ( mathbb {N} ) → ( mathbb {B} ) ترسل كل منها ن ( in ) ( mathbb {N} ) إلى false.

تمرين 7.1

1. نوع الشيء (*؟ *) الذي نبحث عنه هو كائن فرعي من B ، على سبيل المثال أ ( subseteq ) ب. سيكون لهذا دالة مميزة ، ونحن نحاول العثور على أ التي لها وظيفة مميزة هي ¬: ( mathbb {B} ) → ( mathbb {B} ).

2. السؤال الآن يسأل "ما هو أ؟ " الإجابة هي {false} ( subseteq ) ب.

تمرين 7.2

1. هنا جدول الحقيقة ل ص = (ص (الأرض) س):

  1. نعم!

  2. الوظيفة المميزة لـ ص س هي الوظيفة ( lceil {⇒} rceil ): ( mathbb {B} ) × ( mathbb {B} ) → ( mathbb {B} ) المعطاة من قبل الأول والثاني ، والعمود الرابع من المعادلة. (أ 3).

  3. يصنف المجموعة الفرعية {(صواب ، صواب) ، (خطأ ، صواب) ، (خطأ ، خطأ) ( subseteq ) ( mathbb {B} ) × ( mathbb {B} ).

تمرين 7.2

قل ذلك ( lceil {E} rceil ) ، ( lceil {P} rceil ) ، ( lceil {T} rceil ): ( mathbb {N} ) → ( mathbb {B} ) صنف المجموعات الفرعية على التوالي ه := {ن ( in ) ( mathbb {N} ) | ن حتى} ، ص := {ن ( in ) ( mathbb {N} ) | ن هو عدد أولي} ، و تي := {ن ( in ) ( mathbb {N} ) | ن ≥ 10} من ( mathbb {N} ).

1. ( lceil {E} rceil ) (17) = خطأ لأن 17 ليس زوجيًا.
2. ( lceil {P} rceil ) (17) = صحيح لأن 17 عدد أولي.
3. ( lceil {T} rceil ) (17) = صحيح لأن 17 ≥ 10.
4. المجموعة المصنفة حسب ( ( lceil {E} rceil ) ( land ) ( lceil {P} rceil )) ( lor ) ( lceil {T} rceil ) هو كل الأعداد الطبيعية التي تكون إما أعلى من 10 أو عدد زوجي. أصغر ثلاثة عناصر في هذه المجموعة هي 2 ، 10 ، 11.

تمرين 7.2

1. التناظرية أحادية البعد للكرة ( mathcal {E} ) - حول نقطة x ( in ) ( mathbb {R} ) هو ب(x، ( mathcal {E} )): = {x′ ( في ) آر || x x ′ | < ( mathcal {E} )} ، أي مجموعة جميع النقاط ضمن ( mathcal {E} ) من x.
2. مجموعة فرعية يو ( subseteq ) ( mathbb {R} ) مفتوح إذا ، لكل x (في) يو هناك بعض ( mathcal {E} )> 0 من هذا القبيل ب(x، ( mathcal {E} )) ( مجموعة فرعية ) يو.
3. دع يو(_{1}) := {x ( in ) ( mathbb {R} ) | 0 < x <2} و يو(_{2}) := {x ( in ) ( mathbb {R} ) | 1 < x <3}. ثم يو := يو(_{1 كوب) يو(_{2}) = {x ( in ) ( mathbb {R} ) | 0 < x < 3}.

4. اسمحوا أنا = {1، 2، 3، 4، ...} ولكل منها أنا (في) أنا يترك يو := {x ( in ) ( mathbb {R} ) | ( frac {1} {i} ) < x <1} ، لذلك لدينا يو (_ {1} ) ( مجموعة فرعية ) يو (_ {2} ) ( مجموعة فرعية ) يو (_ {3} ) ( مجموعة فرعية ) · · ·.

اتحادهم يو : = ( bigcup ) (_ {i in I} )يو (_ {i} ) = {x ( in ) ( mathbb {R} ) | 0 < x < 1}.

تمرين 7.2

1. الطوبولوجيا الخشنة على X هي التي تكون مجموعاتها المفتوحة الوحيدة X ( مجموعة فرعية ) X و Ø ( مجموعة فرعية ) X. هذه طوبولوجيا لأنها تحتوي على مجموعات فرعية علوية وسفلية ، وهي مغلقة تحت تقاطع محدود (التقاطع أ ب هو Ø إذا كان أحدهما أو الآخر هو Ø) ، ويتم إغلاقه بموجب اتحاد عشوائي (الاتحاد ( bigcup_ {i in I} A_ {i} ) هو X iff أ (_ {i} ) = X بالنسبة للبعض أنا (في) أنا ).

2. على الطوبولوجيا الجميلة X هو واحد حيث كل مجموعة فرعية أ ( مجموعة فرعية ) X تعتبر مفتوحة. جميع الشروط الموجودة في الطوبولوجيا تقول "إذا كان كذا وكذا فحينئذٍ كذا وكذا مفتوحًا" ، ولكن هذه كلها مستوفاة لأن كل شيء مفتوح!

3. إذا (X، ف (X)) منفصلة ، (ص, أب (_ {Y} )) هو أي مساحة طوبولوجية ، و F : X ص هو أي وظيفة ثم هو مستمر. في الواقع ، هذا يعني ذلك فقط لأي مجموعة مفتوحة يو ( مجموعة فرعية )ص بريماج F(^{ −1})(يو) ( مجموعة فرعية ) X مفتوح ، وكل شيء فيه X مفتوح.

تمرين 7.3

1. مخطط Hasse لطوبولوجيا Sierpinsky هو Ø → {1} → {1، 2}.

2. مجموعة ( left (U_ {i} right) _ {i in I} ) تغطي يو iff سواء

أنا = Ø ويو = Ø ؛ أو

يو (_ {i} ) = يو بالنسبة للبعض أنا (في) أنا.

بمعنى آخر ، الطريقة الوحيدة التي يمكن أن تغطي بها مجموعة من هذه المجموعات مجموعة أخرى يو هو إذا كانت تلك المجموعة تحتوي على يو أو إذا يو فارغة والمجموعة فارغة أيضًا.

تمرين 7.3

يترك (X, أب) أن تكون فضاءًا طوبولوجيًا ، افترض ذلك ص ( مجموعة فرعية ) X هي مجموعة فرعية ، والنظر في طوبولوجيا الفضاء الجزئي أب (_ {؟ ∩Y} ).

1. نريد أن نظهر ذلك ص (في) أب (_ {؟ ∩Y} ). نحن بحاجة إلى إيجاد ب (في) أب مثل ذلك ص = ب ص؛ هذا سهل ، يمكنك أن تأخذ ب = ص أو ب = X، أو أي شيء بينهما.

2. ما زلنا بحاجة إلى إظهار ذلك أب (_ {؟ ∩Y} ) يحتوي على Ø ويتم إغلاقه بموجب تقاطع محدود واتحاد تعسفي. Ø = Ø ∩ ص، لذلك وفقًا للصيغة ، Ø ( in ) أب (_ {؟ ∩Y} ). لنفترض أن أ(_{1}), أ(_{2 بوصة) أب (_ {؟ ∩Y} ). ثم هناك ب(_{1}), ب(_{2 بوصة) أب مع أ(_{1}) = ب(_{1}) ∩ ص و أ(_{2}) = ب(_{2}) ∩ ص. لكن بعد ذلك أ(_{1}) ∩ أ(_{2}) = (ب(_{1}) ∩ ص) ∩ (ب(_{2}) ∩ ص) = (ب(_{1}) ∩ ب(_{2})) ∩ ص، لذلك هو في أب (_ {؟ ∩Y} ) منذ ذلك الحين ب(_{1}) ∩ ب(_{2 بوصة) أب.

نفس الفكرة تعمل مع النقابات التعسفية: معطى مجموعة أنا و أ (_ {i} ) لكل أنا (في) أنا، لدينا أ (_ {i} ) = ب (_ {i} ) ∩ ص بالنسبة للبعض ب (_ {i} ) ( in ) أب، و

( bigcup_ {i in I} A_ {i} = bigcup_ {i in I} left (B_ {i} cap Y right) = left ( bigcup_ {i in i} B_ { i} right) cap Y in mathbf {O p} _ {؟ cap Y} )

تمرين 7.3

دعنا نتخيل فئة V C ، حيث V هي المقياس الكمي المقابل للمجموعات المفتوحة للفضاء الطوبولوجي (X, أب). سيكون مخطط Hasse الخاص به عبارة عن مجموعة من النقاط وبعض الأسهم بينها ، كل منها مُسمى بمجموعة مفتوحة يو ( مجموعة فرعية ) أب. قد يبدو مثل هذا:

تذكر من القسم 2.3 أن "المسافة" بين نقطتين يتم حسابها عن طريق أخذ الوصلة ، على جميع المسارات بينهما ، للمنتج أحادي المسافات للمسافات على طول هذا المسار. على سبيل المثال ، C (ب, ج) = (يو (_ {3} ) ( الأرض ) يو (_ {1} )) ( lor ) (يو (_ {4} ) ( الأرض ) يو (_ {2} )) ، لأن ( الأرض ) هو المنتج أحادي في V.

بشكل عام ، يمكننا بالتالي تخيل المجموعة المفتوحة C (أ, ب) كنوع من "تقييد الحجم" للحصول عليه أ ل ب، مثل الجسور التي تحتاج شاحنتك للمرور تحتها. تقييد الحجم للحصول من أ في حد ذاته X: لا قيود. بشكل عام ، للذهاب في أي مسار (مسار) معين من أ ل ب، عليك أن تتناسب مع كل جسر في الطريق ، لذلك نلتقي بهم. لكن يمكننا السير على أي طريق ، لذلك نأخذ الوصلة على جميع المسارات.

تمرين 7.3

1. ألياف F خلال أ يكون {أ(_{1}), أ(_{2})}.

2. ألياف F خلال ج يكون {ج(_{1})}.

3. ألياف F خلال د هو Ø.

4. وظيفة F ′ : X ص التي تحتوي كل ألياف على عنصر واحد أو عنصرين موضح أدناه.

تمرين 7.4

الرجوع إلى Eq. (أ 4).

1. هنا رسم لجميع الأقسام الستة الخامس(_{1}) = {أ, ب, ج}:

2. متى الخامس(_{2}) = {أ, ب, ج, د} ، لا توجد أقسام: ثانية (_ {f} ) (الخامس (_ {2} )) = Ø.
3. متى الخامس(_{3}) = {أ, ب, د, ه} ، المجموعة الثانية (_ {f} ) (الخامس (_ {3) ))) يحتوي على 2 ∗ 3 ∗ 1 ∗ 2 = 12 عنصرًا.

تمرين 7.4

ثانية (_ {f} ) ({أ, ب, ج}) والثانية (_ {f} ) ({أ, ج}) كصف علوي (مجموعة مكونة من ستة عناصر) وصف سفلي (مجموعة مكونة من عنصرين) أدناه ، كما تظهر خريطة التقييد:

تمرين 7.4

1. اسمحوا ز(_{1}) := (أ(_{1}), ب (_ {1} )) و ز(_{2}) := (ب(_{2}), ه (_ {1} )) ؛ هؤلاء لا يتفقون على التداخل.

2. لا ، ليس هناك قسم ز ( in ) ثانية (_ {f} ) (يو(_{1 كوب) يو (_ {2} )) من أجله ز| (_ {U_ {2} ) = ز (_ {1} ) و ز| (_ {U_ {2} ) = ز(_{2})

تمرين 7.4

لا ، لا توجد مراسلات فردية بين الحزم م والحقول المتجهة م. العلاقة بين الحزم على م والحقول المتجهة م هل هذا هو مجموعة من كل شيء ناقلات الحقول م يتوافق مع واحد حزمة ، أي Sec (_ { pi} ) ، حيث ( pi ): TM م هي حزمة الظل كما هو موضح في المثال 7.46. هناك الكثير من الحزم م أنهم لا يشكلون حتى مجموعة (إنها مجرد "مجموعة") ؛ مرة أخرى ، أحد أعضاء هذه المجموعة العملاقة هو حزمة ثانية (_ { pi} ) لجميع الحقول المتجهة الممكنة على م.

تمرين 7.4

1. مخطط Hasse لطوبولوجيا Sierpinsky هو Ø → {1} → {1، 2}.

2. بريشيف F على أب يتكون من أي ثلاث مجموعات وأي وظيفتين F({1, 2}) → F({1}) → F(Ø) بينهما.

3. تذكر من التمرين 7.31 أن الغطاء الوحيد غير التافه (غطاء يو يكون غير تافه إذا كان لا يحتوي على يو) يحدث عندما يو = Ø في هذه الحالة انتهت الأسرة الفارغة يو هو غطاء.

4. كما هو موضح في المثال 7.36 ، F ستكون حزمة iff F(Ø) ( cong ) {1}. وبالتالي ، فإن فئة الحزم تعادل فئة مجموعتين فقط ووظيفة واحدة F({1, 2}) → F({1}).

تمرين 7.5

مساحة النقطة الواحدة X = يحتوي {1} على مجموعتين مفتوحتين ، Ø و {1} ، وكل حزمة س (في) Shv(X) يعين س(Ø) = {()} حسب حالة الحزمة (انظر المثال 7.36). لذا فإن البيانات الوحيدة في حزمة س (في) Shv(X) هي المجموعة س({1}). هذه هي الطريقة التي نحصل بها على المراسلات بين المجموعات والحزم على مساحة نقطة واحدة. وفقًا لـ Eq. (7.50) ، مصنف العنصر الفرعي Ω: أب(X) (^ {op} ) → تعيين في Shv(X) يجب أن تكون الدالة الممتلئة حيث Ω ({1}) هي مجموعة المجموعات المفتوحة لـ {1}. لذلك نحن نأمل أن نرى أن هناك ارتباط واحد لواحد بين المجموعة أب({1}) ومجموعة ( mathbb {B} ) = {صواب ، خطأ} من القيم المنطقية. هناك بالفعل: هناك مجموعتان مفتوحتان من {1} ، كما قلنا ، Ø و {1} ، وهاتان تتوافقان مع خطأ وصحيح على التوالي.

تمرين 7.5

بواسطة Eqs. (7.50) و (7.51) تعريف Ω (يو) هو Ω (يو) := {يو' (في) أب | يو′ ( مجموعة فرعية ) يو} ، وتعريف خريطة التقييد لـ الخامس ( مجموعة فرعية ) يو يكون يو ′ → يو ′ ∩ الخامس.

1. إنها جنائزية: معطاة دبليو ( مجموعة فرعية ) الخامس ( مجموعة فرعية ) يو و يو ′ ( مجموعة فرعية ) يو، لدينا بالفعل (يو ′ ∩ الخامس) ∩ دبليو يو ′ ∩ دبليو، منذ دبليو ( مجموعة فرعية ) الخامس. بالنسبة للمهام الجنائزية ، نحتاج أيضًا إلى الحفاظ على الهويات ، وهذا يعادل يو ′ ∩ يو = يو ′ للجميع يو ′ ( مجموعة فرعية ) يو.

2. نعم ، presheaf مجرد functor؛ الاختيار أعلاه كاف.

تمرين 7.5

نحتاج إلى رسم بياني تماثل الشكل بالشكل التالي:

لا يوجد سوى واحد يصنف جي '، وهي كذلك. لنكتب γ: = ( lceil {G ′} rceil ).

  • منذ د مفقود من جي ′ لدينا γ (د) = 0 (الرأس: مفقود).

  • منذ القمم أ, ب, ج موجودة في جي ′ عندنا γ (أ) = γ (ب) = γ (ج) = الخامس (الرأس: الحاضر).

  • القوات المذكورة أعلاه γ (أنا) = (الخامس، 0 ؛ 0) (السهم من الرأس الحالي إلى الرأس المفقود: مفقود).

  • منذ السهم F في داخل جي ′ لدينا γ ( F ) = (الخامس, الخامس; أ) (السهم من الرأس الحالي إلى الرأس الحالي: موجود).

  • منذ السهام ز و ح في عداد المفقودين جي ′ لدينا γ (ز) = γ (ح) = (الخامس, الخامس؛ 0) (السهم من الرأس الحالي إلى الرأس الحالي: مفقود).

تمرين 7.5

مع يو = ( mathbb {R} ) - {0} ( subseteq ) ( mathbb {R} ) ، لدينا:

1. تكملة يو هو ( mathbb {R} ) - يو{0} و ¬يو هو باطنها ، وهو ¬يو.

2. تكملة ¬يو هو ( mathbb {R} ) - ( mathbb {R} ) وهذا مفتوح ، لذا ¬¬يو = ( mathbb {R} ).

3. صحيح أن يو ( مجموعة فرعية ) ¬¬يو.

4. من الخطأ أن ¬¬يو ( subseteq ) (^ {؟} ) يو.

تمرين 7.6

1. إذا كان لأي الخامس (في) أب لدينا ⊤ ( أرض ) الخامس = الخامس اذا متى الخامس = X لدينا ⊤ ( أرض ) X := ⊤ ∩ X = X، ولكن أي شيء يتقاطع مع X هو نفسه ، لذا ⊤ = ⊤ ∩ X = X.

2. (⊤ ( lor ) الخامس) := (X (كوب) الخامس) = X يحمل و (الخامس X) ( bigcup _ { {R in mathbf {O p} mid R cap V subseteq X }} R = X ) يحمل لأن (X الخامس) ( مجموعة فرعية ) X.

3. إذا كان لأي مجموعة الخامس (في) أب لدينا (⊥ ( لور ) الخامس) = الخامس، اذا متى الخامس = ∅ لدينا (⊥ ( lor ) Ø) = (⊥ ∪ Ø) = Ø ، لكن أي شيء مرتبط بـ Ø هو نفسه ، لذا ⊥ = ⊥ ∪ Ø = Ø.

4. (⊥ ( الأرض ) الخامس) = (Ø ∩ الخامس) = Ø حاصل ، و (⊥ ⇒ الخامس) = ( bigcup _ { {R in mathbf {O p} mid R cap Ø subseteq X }} R = X ) يحمل لأن (X ∩ Ø) ( subseteq ) الخامس.

تمرين 7.6

س هي حزمة الأشخاص ، التي تتغير مجموعتها بمرور الوقت: قسم في س خلال أي فترة زمنية ، يكون الشخص على قيد الحياة طوال تلك الفترة الزمنية. قسم في الكائن الفرعي {س | ص} خلال أي فترة زمنية يكون الشخص على قيد الحياة ويحب الطقس طوال تلك الفترة الزمنية.

تمرين 7.6

نحتاج إلى مثال عن الفضاء X، حزمة س (في) Shv(X) واثنين من المسندات ص,ف: س → Ω الذي (p (s) vdash_ {s: S} q (s) ) يحمل. يأخذ X لتكون مساحة من نقطة واحدة ، خذها س لتكون الحزمة المقابلة للمجموعة س = ( mathbb {N} ) فليكن ص(س) يكون المسند "24" س ≤ 28 ، واسمحوا ف(س) يكون المسند "س ليس عددًا أوليًا ". ثم (p (s) vdash_ {s: S} q (s) ) يحمل.

كمثال غير رسمي ، خذ X ليكون سطح الأرض ، خذ س أن تكون حزمة الحقول المتجهة كما في المثال 7.46 الذي تم التفكير فيه من حيث هبوب الرياح. يترك ص كن المسند "الرياح تهب شرقا في مكان ما بين 2 و 5 كيلومترات في الساعة" واسمحوا ف كن المسند "الرياح تهب في مكان ما بين 1 و 5 كيلومترات في الساعة." ثم (p (s) vdash_ {s: S} q (s) ) يحمل. هذا يعني أن لأي مجموعة مفتوحة يو، إذا كانت الرياح تهب شرقًا في مكان ما بين 2 و 5 كيلومترات في الساعة طوال الوقت يو، ثم تهب الرياح في مكان ما بين 1 و 5 كيلومترات في الساعة طوال الوقت يو كذلك.

تمرين 7.6

لدينا المسند ص : ( mathbb {N} ) × ( mathbb {Z} ) → ( mathbb {B} ) مقدم بواسطة ص(ن, ض) iff ن ≤ |ض|.

1. المسند ∀ (ض: ض).ص(ن, ض) يتضمن {0} ( subseteq ) ( mathbb {N} ).

2. المسند ∃ (ض: Z).ص(ن, ض) يحتوي على ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {N} ).

3. المسند ∀ (ن: ن).ص(ن, ض) تحتوي على Ø ( subseteq ) ( mathbb {Z} ).

4. المسند ∃ (ن: ن).ص(ن, ض) يحتوي على ( mathbb {Z} ) ( subseteq ) ( mathbb {Z} ).

تمرين 7.6

يفترض س هو شخص على قيد الحياة طوال الفترة يو. تطبيق التعريف أعلاه على المثال ص(س, ر) = "شخص س قلق بشأن الأخبار ر" من اعلى.

1. تنص الصيغة على أن ∀ (ر :تي).ص(س, ر) "يسترجع أكبر مجموعة مفتوحة الخامس ( مجموعة فرعية ) يو لأي منهم ص(س| (_ {V} ) ، ر) = الخامس للجميع ر (في) تي(الخامس). " لاحظ أن تي(الخامس) هي مجموعة العناصر الموجودة في الأخبار طوال الفترة الزمنية الخامس. الاستبدال ، يصبح هذا "أكبر فترة زمنية الخامس ( مجموعة فرعية ) يو فوق أي شخص س قلق بشأن الأخبار ر لكل عنصر ر هذا هو في الأخبار طوال الوقت الخامس. " بعبارة أخرى ، ل الخامس أن يكون الشخص غير فارغ س يجب أن تقلق بشأنه كل عنصر من الأخبار على مدار الخامس. أعتقد أن هناك مهرجانًا يحدث أو أن هناك قطًا سعيدًا في مكان ما لهذا الشخص س لا تقلق ، لكن ربما أفترض ذلك الشخص س "طبيعي" بما فيه الكفاية ذهنيًا. قد يكون هناك أشخاص قلقون أحيانًا بشأن كل شيء في الأخبار ؛ نرجو منكم أن تكونوا لطفاء معهم.

2. نعم ، هو بالضبط نفس الوصف.

تمرين 7.6

يفترض س هو شخص على قيد الحياة طوال الفترة يو. تطبيق التعريف أعلاه على المثال ص(س, ر) = "شخص س قلق بشأن الأخبار ر" من اعلى.

1. تنص الصيغة على أن ∃ (ر : تي). ص(س, ر) "يعيد الاتحاد الخامس = ( bigcup_ {i} )الخامس (_ {i} ) من كل المجموعات المفتوحة الخامس (_ {i} ) التي يوجد منها ر (_ {i} ) ( in ) تي(الخامس (_ {i} )) مرضية ص(س| (_ {V_ {i}} ) ، ر (_ {i} )) = الخامس(_{أنا})." بالتعويض ، يصبح هذا "اتحاد كل الفترات الزمنية الخامس (_ {i} ) التي يوجد بها بعض العناصر رأنا في الأخبار التي س قلق طوال الوقت الخامس(_{أنا})." وبعبارة أخرى ، كان ذلك في كل وقت س يقلق بشأن شيء واحد على الأقل في الأخبار. ربما متى س نائمة أو تركز على شيء ما ، فهي ليست قلقة بشأن أي شيء ، وفي هذه الحالة لن تكون فترات النوم أو التركيز مجموعات فرعية من الخامس. لكن اذا س قالت "كانت هناك سلسلة من الأخبار السيئة في العام الماضي ، يبدو الأمر كما لو أنني قلق دائمًا بشأن شيء ما!" الخامس = "العام الماضي".

2. يبدو أن هذا أمر جيد لأن "هناك خبر مثير للقلق س"بمعنى: يُسمح للأخبار نفسها أن تتغير طالما بقي قلق الشخص. قد يختلف شخص ما ويعتقد أن المسند يجب أن يعني "هناك خبر واحد يثير القلق س طوال الفترة الزمنية بأكملها الخامس. " في هذه الحالة ، ربما يكون هذا الشخص يعمل ضمن دوائر مختلفة ، على سبيل المثال واحد حيث الموقع به أغطية أقل. في الواقع ، إن فكرة التغطية هي التي تجعل القياس الكمي يعمل بالطريقة التي يعمل بها.

تمرين 7.7

من الواضح أنه إذا ي(ي(ف)) = ي(ف) من ثم ي(ي(ف)) ≤ ي(ف) عن طريق الانعكاسية. من ناحية أخرى ، افترض الفرضية ، أن ص ي(ص) للجميع يو ( مجموعة فرعية ) X و ص ( في ) Ω (يو). لو ي(ي(ف)) ≤ ي(ف) ، ثم السماح ص := ي(ف) لدينا كلاهما ي(ص) ≤ ص و ص ي(ص). هذا يعنى ص ( cong ) ي(ص) ، ولكن Ω هو أمر موجب (ليس مجرد طلب مسبق) كذلك ص = ي(ص)، بمعنى آخر. ي(ي(ف)) = ي(ف) حسب الرغبة.

تمرين 7.7

يترك س كن حزمة من الناس و ي "بافتراض أن بوب موجود في سان دييغو ..."

1. خذ ص(س) أن تكون "س يحب الطقس ".

2. اسمحوا يو يكون الفترة 2019/01/01 - 2019/02/01. لشخص تعسفي س (في) س(يو), ص(س) هي مجموعة فرعية من يو، وهي تعني المجموعة الفرعية من يو من خلالها س يحب الطقس.

3. وبالمثل ي(ص(س)) هي مجموعة فرعية من يو، وهي تعني المجموعة الفرعية من يو وخلال ذلك ، بافتراض وجود بوب في سان دييغو ، س أحب الطقس. بعبارات أخرى، ي(ص(س)) صحيح عندما لا يكون بوب في سان دييغو ، ويكون صحيحًا في أي وقت س يحب الطقس.

4. صحيح أن ص(س) ≤ ي(ص(س)) ، من خلال "بعبارة أخرى" أعلاه.

5. صحيح أن ي(ي(ص(س)) = ي(ص(س) ، لنفترض أنه تم تحديد وقت "إذا كان بوب في SanDiego ، فعندئذ إذا كان بوب في سان دييغو س يحب الطقس ". ثم إذا كان بوب في سان دييغو خلال هذا الوقت س يحب الطقس. لكن هذا هو بالضبط ما ي(ص(س)) يعني.

6. خذ ف(س) أن تكون "س إنه سعيد." افترض "إذا كان بوب موجودًا في SanDiego ، فسيكون كلاهما س يحب الطقس و س إنه سعيد." ثم كلاهما "إذا كان بوب في سان دييغو إذن س يحب الطقس "و" إذا كان بوب في سان دييغو إذن س سعيد "صحيح أيضًا. العكس واضح بنفس القدر.

تمرين 7.7

لدينا ا (_ {[أ ، ب]} ): = {[د,ش] ( in ) ( mathbb {I} ) ( mathbb {R} ) | أ < د ش < ب}.

1. منذ 0 ≤ 2 ≤ 6 ≤ 8 ، لدينا [2، 6] ( in ) ا (_ {[0، 8]} ) بالصيغة أعلاه.

2. من أجل الحصول على [2، 6] ( in ) (^ {؟} ) ا(_{[0, 5]}) ∪ ا (_ {[4، 8]} ) ، يجب أن يكون لدينا إما [2،6] ( in ) (^ {؟} ) ا (_ {[0، 5]} ) أو [2،6] ( in ) (^ {؟} ) ا (_ {[4، 8]} ). لكن الصيغة لا تصمد في كلتا الحالتين.

تمرين 7.7

مجموعة فرعية يو ( subseteq ) ( mathbb {R} ) مفتوح في طبولوجيا الفضاء الجزئي لـ ( mathbb {R} ) ( subseteq ) ( mathbb {I} ) ( mathbb {R} ) إذا كان هناك مجموعة مفتوحة يو′ ( subseteq ) ( mathbb {I} ) ( mathbb {R} ) مع يو = ب يو′ ∩ ( mathbb {R} ). نريد أن نظهر أن هذا هو الحال iff يو مفتوح في الهيكل المعتاد. لنفترض أن يو مفتوح في طوبولوجيا الفضاء الجزئي. ثم يو = يو′ ∩ ( mathbb {R} ) أين يو′ ( subseteq ) ( mathbb {I} ) ( mathbb {R} ) هو اتحاد بعض الأساسيات المفتوحة ، يو′ = ( bigcup) _ {i in I} )ا (_ {[a_ {i}، b_ {i}]} ) ، أين ا (_ {[a_ {i}، b_ {i}]} ) = {[د, ش] ( in ) ( mathbb {I} ) ( mathbb {R} ) | أ (_ {i} ) < د < ش < ب(_{أنا})}. منذ ( mathbb {R} ) = {[x, x] ( in ) ( mathbb {I} ) ( mathbb {R} )} ، التقاطع يوسيكون ′ ∩ ( mathbb {R} ) حينئذٍ

(U = bigcup_ {i in I} left {x in mathbb {R} mid a_ {i}

وهذا مجرد اتحاد الكرات المفتوحة ب(م(_{أنا})، ص (_ {i} )) حيث (m_ {i}: = frac {a_ {i} + b_ {i}} {2} ) هي نقطة المنتصف و (r_ {i}: = frac {b_ {i} -a_ {i}} {2} ) هو نصف قطر الفترة (أ(_{أنا})، ب(_{أنا})). الكرات المفتوحة ب(م(_{أنا})، ص (_ {i} )) مفتوحة في الهيكل المعتاد في ( mathbb {R} ) واتحاد الفتحات مفتوح ، لذلك يو مفتوح في الهيكل المعتاد. لنفترض أن يو مفتوح في الهيكل المعتاد.

ثم يو = ( bigcup) _ {ي في J} )ب(م (_ {j} ) ، ( mathcal {E} ) (_ {j} )) لبعض المجموعات ي. يترك أ (_ {j} ): = م (_ {j} ) - ( mathcal {E} ) (_ {j} ) و ب (_ {j} ): = م (_ {j} ) + ( mathcal {E} ) (_ {j} ). ثم

(U = bigcup_ {j in J} left {x in mathbb {R} mid a_ {j}

وهو مفتوح في طوبولوجيا الفضاء الجزئي.

تمرين 7.8

أصلح أي مساحة طوبولوجية (X,أب (_ {X} )) وأي مجموعة فرعية ص ( subseteq ) ( mathbb {I} ) ( mathbb {R} ) من مجال الفاصل الزمني. حدد ح (_ {X} ) (يو) := { F : يو ص X | F مستمر}.

1. ح (_ {X} ) هو وصف مسبق: معطى الخامس ( مجموعة فرعية ) يو ترسل خريطة التقييد الوظيفة المستمرة F : يو ص X لتقييدها على طول المجموعة الفرعية الخامس ص ( مجموعة فرعية ) يو ص.

2. إنها حزمة: أي عائلة يو (_ {i} ) من المجموعات المفتوحة مع يو = ( bigcup_ {i} )يو (_ {i} ) ودالة مستمرة F(_{أنا}) : يو (_ {i} ) ∩ ص X لكل أنا، بالاتفاق على التداخلات ، يمكن لصقها معًا لإعطاء وظيفة مستمرة على جميع يو ص، منذ يو ص = ( ( bigcup_ {i} )يو (_ {i} )) ∩ ص = ( bigcup_ {i} )يو(_{أنا})(يو (_ {i} ) ∩ص).


شاهد الفيديو: تطبيقات مالية الجزء الأول الصف السابع (شهر اكتوبر 2021).