مقالات

14.1: التحولات التقريبية


الهندسة الأفينية يدرس ما يسمى ب هيكل الوقوع من الطائرة الإقليدية. يرى هيكل الوقوع فقط النقاط التي تقع على أي خطوط ولا شيء آخر ؛ لا يرى المسافات مباشرة ، ولا مقاييس الزوايا ، وأشياء أخرى كثيرة.

يسمى الانحراف من المستوى الإقليدي إلى نفسه تحويل تآلفي إذا كان يرسم خطوطًا إلى خطوط ؛ أي أن صورة أي خط هي خط. لذلك يمكننا القول أن الهندسة الأفينية تدرس خصائص المستوى الإقليدي المحفوظ تحت التحولات الأفينية.

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر أن التحويل الأفيني للمستوى الإقليدي يرسل أي زوج من الخطوط المتوازية إلى زوج من الخطوط المتوازية.

تلميح

افترض أن الخطين المميزين ( ell ) و (م ) قد تم تعيينهما للخطوط المتقاطعة ( ell ') و (م' ). افترض أن (P ') تشير إلى نقطة تقاطعهم.

لنفترض أن (P ) هي الصورة العكسية لـ (P '). من خلال تعريف الخريطة الأفينية ، يجب أن تقع على كل من ( ell ) و (م ) ؛ أي ، ( ell ) و (م ) متقاطعتان. ومن هنا النتيجة.

تتبع الملاحظة أدناه لأن الخطوط تم تعريفها باستخدام المقياس فقط.

ملاحظة ( PageIndex {1} )

أي حركة للمستوى الإقليدي هي تحول أفيني.

يوفر التمرين التالي أمثلة أكثر عمومية للتحولات الأفينية.

تمرين ( PageIndex {2} )

الخرائط التالية لمستوى إحداثيات بحد ذاتها هي تحويلات أفينية:

(أ) قص الخريطة المحددة بواسطة ((x ، y) mapsto (x + k cdot y ، y) ) لثابت (ك ).

(ب) القياس المحدد بواسطة ((x، y) mapsto (a cdot x، a cdot y) ) لثابت (a ne 0 ).

(ج) (س ) - القياس و (ص ) - تحديد الحجم على التوالي بواسطة

((x، y) mapsto (a cdot x، y) ) و ((x، y) mapsto (x، a cdot y) )

للثابت (a ne 0 ).

(د) التحول المحدد بواسطة

((x، y) mapsto (a cdot x + b cdot y + r، c cdot x + d cdot y + s) )

للثوابت (a، b، c، d، r، z ) بحيث تكون المصفوفة ( start {matrix} a & b c & d end {matrix} ) قابلة للعكس.

تلميح

في كل حالة ، تحقق من أن الخريطة عبارة عن انحراف وقم بتطبيق التمرين 7.6.3

من النظرية الأساسية للهندسة الأفينية (نظرية 14.3.1) ، سيتبع ذلك أن أي تحويل أفيني يمكن كتابته في الشكل (د).

أذكر أن النقاط علاقة خطية متداخلة إذا كانوا يكذبون على سطر واحد.

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أن (P mapsto P ') هو انحراف للمستوى الإقليدي الذي يقوم بتعيين ثلاثيات متداخلة من النقاط إلى ثلاثيات خطية. أظهر أن (P mapsto P ') يعيّن ثلاثيات noncollinear إلى noncollinear.

استنتج أن (P mapsto P ') هو تحول أفيني.

تلميح

اختر سطرًا ((AB) ).

افترض أن (X 'in (A'B') ) لبعض (X not in (AB) ). نظرًا لأن (P mapsto P ') يعين نقاط كولير على خط مستقيم ، يتم تعيين الخطوط الثلاثة ((AB) و (AX) ) و ((BX) ) إلى ((A'B') ). علاوة على ذلك ، يتم أيضًا تعيين أي خط يربط بين زوج من النقاط على هذه الخطوط الثلاثة إلى ((A'B ') ). استخدمه لإظهار أنه تم تعيين المستوى بأكمله إلى ((A'B ') ). هذا الأخير يتناقض مع أن الخريطة هي انحياز.

من خلال الافتراض ، إذا (X in (AB) ) ، ثم (X ' in (A'B') ). الشكل فوق العكس صحيح أيضًا. استخدمه لإثبات العبارة الثانية.


إجراء DISTANCE

قياس بعض سمات مجموعة من الكائنات هو عملية تعيين أرقام أو رموز أخرى للكائنات بطريقة تعكس خصائص الأرقام أو الرموز خصائص السمة التي يتم قياسها. هناك مستويات مختلفة من القياس تتضمن خصائص مختلفة (علاقات وعمليات) للأرقام أو الرموز. يرتبط بكل مستوى من مستويات القياس بمجموعة من تحويلات القياسات التي تحافظ على الخصائص ذات الصلة ، وتسمى هذه التحولات بالتحولات المسموح بها. تسمى طريقة معينة لتعيين الأرقام أو الرموز لقياس شيء ما بمقياس القياس.

مستويات القياس الأكثر شيوعًا التي نوقشت هي كما يلي:

يتم تعيين نفس الرمز لكائنين إذا كان لهما نفس قيمة السمة. التحولات المسموح بها هي أي تحويل واحد لواحد أو من أطراف لواحد ، على الرغم من أن التحويل من متعدد إلى واحد يفقد المعلومات.

يتم تعيين أرقام للكائنات بحيث يعكس ترتيب الأرقام علاقة ترتيب محددة في السمة. كائنان x و y لهما قيم سمات ويتم تخصيص أرقام لهما وهذا إذا ، إذن. التحولات المسموح بها هي أي تحول متزايد رتيب ، على الرغم من أن التحويل الذي لا يزيد بشكل صارم يفقد المعلومات.

يتم تعيين أرقام للكائنات بحيث تعكس الاختلافات بين الأرقام الاختلافات في السمة. اذا ثم . التحولات المسموح بها هي أي تحويل أفيني ، حيث c و d ثوابت طريقة أخرى لقول ذلك وهي أن الأصل ووحدة القياس تعسفيان.

يتم تعيين أرقام للكائنات بحيث تعكس النسب بين الأرقام نسب السمة. اذا ثم . التحولات المسموح بها هي أي تحويل للقدرة ، حيث يكون c و d ثوابت.

يتم تعيين أرقام للكائنات بحيث تعكس الاختلافات والنسب بين الأرقام الاختلافات ونسب السمة. التحولات المسموح بها هي أي تحويل خطي (تشابه) ، حيث c هي طريقة أخرى ثابتة لقول ذلك وهي أن وحدة القياس عشوائية.

يتم تعيين أرقام للكائنات بحيث تعكس جميع خصائص الأرقام خصائص مماثلة للسمة. التحول الوحيد المسموح به هو تحويل الهوية.

تقبل مقاييس القرب المتوفرة في إجراء DISTANCE أربعة مستويات للقياس: الاسمي والترتيبي والفاصل الزمني والنسبة. يتم تحويل المتغيرات الترتيبية إلى متغيرات الفاصل الزمني قبل المعالجة. يتم ذلك عن طريق استبدال البيانات بدرجات الرتب الخاصة بهم ، وبافتراض أن فئات المتغير الترتيبي متباعدة بشكل متساوٍ على طول مقياس الفاصل الزمني. انظر RANKSCORE = الخيار في القسم PROC DISTANCE Statement للحصول على خيارات حول تخصيص الدرجات للمتغيرات الترتيبية. هناك أيضًا طرق مختلفة لكيفية تحويل متغير ترتيبي إلى متغير فاصل. انظر Anderberg (1973) للاطلاع على البدائل.


أمثلة بصرية للتحولات الأفينية

في كل مثال ، يكون ملف قبل هو أحمر وصلب و بعد، بعدما أزرق ومتقطع. ستتم تسمية زوايا المثلث كمثال على النحو التالي: الأول سيكون له قرص صغير ، والثاني سيكون له شكل رباعي صغير والرأس الثالث سيكون له كائن صغير خماسي الأضلاع. ستكون كل هذه الملصقات باللون الرمادي الشفاف. سيكون المثلث الأصلي (0،0) و (1،0) و (0،1) في كل مثال.

ترجمة

تحجيم

انعكاس

انعكاس حول خط لانهائي يمر عبر (0، 1) (0،1) (0، 1) بميل - 1 2 - frac12 - 2 1:

دوران

دوران حول الأصل بزاوية قياسها 2 3 π frac23 pi 3 2 π راديان:

القص أو القص

قص حول الأصل بزاوية أركتان (1 2) نص( frac12) أركتان (2 1) راديان:


التحولات المحببة

الآن بعد أن أصبح لدينا سياق جيد حول التحولات الخطية ، حان الوقت للوصول إلى الموضوع الرئيسي لهذا المنشور - التحولات الأفينية.

بالنسبة إلى مساحة أفينية (سنتحدث عن هذا بالضبط في قسم لاحق) ، يكون كل تحويل أفيني من الشكل حيث هي مصفوفة تمثل تحولًا خطيًا وهي متجه. بعبارة أخرى ، يجمع التحويل الأفيني بين التحول الخطي مع أ ترجمة.

من الواضح تمامًا ، أن كل تحويل خطي هو أفيني (يتم تعيينه فقط على المتجه الصفري). ومع ذلك ، ليس كل تحول أفيني خطي. بالنسبة إلى غير الصفر ، لا يتم سحب القواعد الخطية. لنفترض أن:

ثم إذا حاولنا جمعها معًا ، نحصل على:

يمكن التحقق من انتهاك قاعدة الضرب العددي بالمثل.

دعنا نفحص التحويل الأفيني الذي يمد المتجه بمعامل اثنين (على نحو مشابه لـ س التحول الذي ناقشناه من قبل) ويترجمه بمقدار 0.5 لكلا البعدين:

هنا هو تصور هذا التحول:

مع بعض الزيادة الذكية ، يمكننا تمثيل التحويلات الأفينية كضرب في مصفوفة واحدة ، إذا أضفنا بعدًا آخر إلى المتجهات [5]:

يتم وضع متجه الترجمة على الجانب الأيمن من مصفوفة التحويل ، مع 1 للبعد الإضافي (تحصل المصفوفة على 0 ثانية في هذا البعد). ستكون النتيجة دائمًا 1 في البعد النهائي ، والتي يمكننا تجاهلها.

يمكن تكوين تحويلات أفيني بشكل مشابه للتحويلات الخطية ، باستخدام ضرب المصفوفة. هذا يجعلهم أيضًا مترابطين. كمثال ، دعنا نؤلف تحويل القياس + الترجمة الذي تمت مناقشته مؤخرًا مع تحويل التدوير المذكور سابقًا. هذه هي المصفوفة المعززة للدوران:

سيكون التحويل المركب. مصفوفتها هي:


ما هو Affine Transformation؟

    تحول يمكن التعبير عنه في شكل ملف ضرب المصفوفة (التحويل الخطي) متبوعًا بـ أ إضافة ناقلات (ترجمة).

مما سبق ، يمكننا استخدام Affine Transformation للتعبير عن:

  1. تناوب (تحويل خطي)
  2. الترجمات (إضافة متجهية)
  3. عمليات النطاق (التحويل الخطي)

يمكنك أن ترى أنه ، في جوهره ، يمثل Affine Transformation أ علاقة بين صورتين.

الطريقة المعتادة لتمثيل تحويل Affine هي باستخدام مصفوفة (2 times 3 ).

بالنظر إلى أننا نريد تحويل متجه ثنائي الأبعاد (X = beginx y end) باستخدام (أ ) و (ب ) ، يمكننا فعل الشيء نفسه مع:

(T = A cdot ابدأx y end + B ) أو (T = M cdot [x، y، 1] ^)

كيف نحصل على تحول Affine؟

  1. ذكرنا أن التحويل Affine هو في الأساس أ علاقة بين صورتين. يمكن أن تأتي المعلومات حول هذه العلاقة ، تقريبًا ، بطريقتين:
    1. نحن نعلم كلاً من (X ) و T ونعلم أيضًا أنهما مرتبطان. ثم مهمتنا هي إيجاد (م )
    2. نحن نعلم (م ) و (س ). للحصول على (T ) نحتاج فقط إلى تطبيق (T = M cdot X ). قد تكون معلوماتنا الخاصة بـ (M ) صريحة (أي تحتوي على مصفوفة 2 × 3) أو يمكن أن تأتي كعلاقة هندسية بين النقاط.

    دعونا نشرح هذا بطريقة أفضل (ب). نظرًا لأن (M ) يتعلق بصورتين ، يمكننا تحليل أبسط حالة تتعلق فيها بثلاث نقاط في كلتا الصورتين. انظر إلى الشكل أدناه:

    النقاط 1 و 2 و 3 (تشكل مثلثًا في الصورة 1) يتم تعيينها في الصورة 2 ، ولا تزال تشكل مثلثًا ، لكنها تغيرت الآن بشكل ملحوظ. إذا وجدنا التحويل Affine مع هذه النقاط الثلاث (يمكنك اختيارهم كما تريد) ، فيمكننا تطبيق هذه العلاقة التي تم العثور عليها على جميع وحدات البكسل في الصورة.


    التحويل التقريبي هو تحويل خطي + ناقل ترجمة.

    يمكن تطبيقه على نقاط فردية أو على خطوط أو حتى منحنيات بيزير. بالنسبة للخطوط ، فإنها تحافظ على خاصية بقاء الخطوط المتوازية متوازية. بالنسبة لمنحنيات Bezier ، فإنها تحافظ على خاصية محدب الهيكل لنقاط التحكم.

    مضروبًا ينتج معادلتين للحصول على زوج إحداثيات "محوّل" $ (x '، y') $ من الزوج الأصلي $ (x، y) $ وقائمة الثوابت $ (a، b، c، d ، ه ، و) $. $ x '= a cdot x + c cdot y + e y' = b cdot x + d cdot y + f $

    بشكل ملائم ، يمكن وضع التحويل الخطي وناقل الترجمة معًا في مصفوفة ثلاثية الأبعاد يمكن أن تعمل عبر إحداثيات متجانسة ثنائية الأبعاد.

    والتي تنتج نفس المعادلتين أعلاه.

    مريح للغاية، يمكن ضرب المصفوفات نفسها معًا لإنتاج مصفوفة ثالثة (من الثوابت) والتي تؤدي نفس التحويل الذي تؤديه المصفوفة الأصلية 2 بالتسلسل. ببساطة ، مضاعفات المصفوفة ترابطية.

    بدلاً من ذلك ، يمكنك التفكير في بعض أنواع التحويلات الأساسية وتكوين أي تحويل أكثر تعقيدًا من خلال الجمع بين هذه الأنواع (بضربها معًا).

    * ملاحظة: يمكن إجراء انعكاس باستخدام معلمات القياس $ (S_x، S_y) = (-1،1) $ أو $ (1، -1) $.

    $ تبدأ cos theta & amp -sin theta & amp 0 sin theta & amp cos theta & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end $

    [ملاحظة لقد أظهرت هنا شكل المصفوفة الذي يقبل متجه الصف على متبقى. سيعمل تبديل هذه المصفوفات مع متجه عمود على اليمين.]

    يمكن إعادة تحليل المصفوفة المكونة فقط من القياس والدوران والترجمة إلى هذه المكونات الثلاثة.


    الاستخدام مع حزم بيانات نظم المعلومات الجغرافية

    تستخدم مجموعات البيانات النقطية المُحددة جغرافيًا تحويلات أفيني لرسم خريطة من إحداثيات الصورة إلى إحداثيات العالم. ال Affine.Affine.from_gdal () تساعد طريقة class في تحويل GDAL GeoTransform ، وهو تسلسل من 6 أرقام يكون فيها الأول والرابع إزاحة x و y والثاني والسادس هما x و y بكسلان.

    باستخدام مصفوفة تحويل مجموعة بيانات GDAL ، ينسق العالم (س ، ص) المقابلة للزاوية العلوية اليسرى لصفوف بكسل 100 لأسفل من الأصل يمكن حسابها بسهولة.


    تحويل تآلفي

    رسم تخطيطي نقطي أحادي القيمة للطائرة (الفضاء) على نفسه حيث يتم تحويل الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة. إذا تم تقديم نظام إحداثيات ديكارتي في مستوى ما ، فيمكن تحديد أي تحويل أفيني لهذا المستوى عن طريق ما يسمى التحويل الخطي غير اللغوي للإحداثيات x و ذ من نقاط هذه الطائرة. يتم إعطاء مثل هذا التحول من خلال الصيغ x& rsquo = فأس + بواسطة + ص و ذ& rsquo = cx + دى + ف مع المتطلبات الإضافية التي . بشكل مشابه ، يمكن تعريف أي تحويل أفيني للفضاء عن طريق التحويلات الخطية غير الخطية لإحداثيات النقاط في الفضاء. تشكل مجموعة جميع التحولات الأفينية للطائرة (الفضاء) في حد ذاتها مجموعة من التحولات الأفينية. يشير هذا ، على وجه الخصوص ، إلى أن التنفيذ المتتالي لتحولين أفيني يكافئ بعض تحويل أفيني واحد.

    من أمثلة التحولات الأفينية التحويل المتعامد وحركة مدشا للطائرة أو الفضاء أو الحركة مع انعكاس تحول التشابه والموحد والضغط ldquocompression. ك من الطائرة & بي باتجاه خط مستقيم أ تقع فيه عبارة عن تحول فيه نقاط أ تبقى ثابتة وكل نقطة م من الطائرة & بي الذي لا يكذب عليه أ يتم عرضه على طول شعاع يمر من خلاله م عمودي على أ إلى نقطة م & رسقوو مثل أن نسبة المسافات من م و م & رسقوو ل أ يساوي ك. بشكل مشابه ، يحدد المرء موحدة و ldquocompression & rdquo للمساحة للطائرة. يمكن الحصول على كل تحويل أفيني للطائرة عن طريق إجراء تحويل متعامد معين و ldquocompression & rdquo المتتالية على بعض الخطوط العمودية. يمكن تحقيق أي تحويل أفيني للفضاء عن طريق تحويل متعامد معين وانطباعات متتالية & ldquocompressions & rdquo على ثلاثة خطوط متعامدة بشكل متبادل. في تحول أفيني ، يتم تحويل الخطوط والمستويات المتوازية إلى خطوط ومستويات متوازية. تستخدم خصائص التحويل الأفيني على نطاق واسع في مختلف فروع الرياضيات والميكانيكا والفيزياء النظرية. وهكذا ، في الهندسة ، يتم استخدام التحويل الأفيني لما يسمى التصنيف الأفيني للأرقام. في الميكانيكا ، يتم استخدامه في دراسة التشوهات الصغيرة للوسائط المستمرة في مثل هذه التشوهات ، تخضع العناصر الصغيرة للوسط في التقريب الأول لتحولات أفينية.


    يعتمد الجبر الذي تم إنشاؤه على المتجه الذي يعتمد عليه ، ليس فقط على عدد أبعاده ، ولكن أيضًا ما إذا كانت هذه الأبعاد مربعة إلى مقاييس موجبة أو سالبة أو صفرية.

    لذلك يمكننا تعريف الجبر الهندسي بتوقيعه على الشكل: Gص ، ف ، ص

    • p = عدد نواقل الأساس التي تربيع إلى رقم موجب
    • q = عدد المتجهات الأساسية التي تربيع إلى رقم سالب
    • r = عدد المتجهات الأساسية التي تربيع إلى الصفر

    تشرح هذه الصفحة هذا وتعرّف أيضًا الجبر الفرعي الآخر.


    إجراء MDS

    القياس متعدد الأبعاد (MDS) يشير إلى فئة من الأساليب. تقدر هذه الطرق إحداثيات مجموعة من الكائنات في مساحة ذات أبعاد محددة. بيانات الإدخال هي قياسات للمسافات بين أزواج من الكائنات. يمكن استخدام مجموعة متنوعة من النماذج التي تتضمن طرقًا مختلفة لمسافات الحوسبة ووظائف مختلفة تتعلق بالمسافات بالبيانات الفعلية. يناسب إجراء MDS نماذج تحجيم متعددة الأبعاد ثنائية وثلاثية الاتجاه ومتري وغير متري.

    تتكون بيانات إجراء MDS من مصفوفة واحدة أو أكثر من المصفوفات المتماثلة أو غير المتماثلة من أوجه التشابه أو الاختلاف بين الأشياء أو المحفزات (Kruskal and Wish 1978 ، الصفحات 7-11). تسمى هذه البيانات أيضًا بيانات القرب. في تطبيقات القياس النفسي ، تتوافق كل مصفوفة عادةً مع موضوع ما ، وتسمى النماذج التي تناسب معلمات مختلفة لكل موضوع نماذج الفروق الفردية.

    القيم المفقودة مسموح بها. على وجه الخصوص ، إذا كانت جميع البيانات مفقودة باستثناء داخل مستطيل غير قطري ، يسمى التحليل بالتكشف. ومع ذلك ، هناك العديد من الصعوبات الملازمة للنماذج التي تتكشف (Heiser 1981). لا يقوم PROC MDS بإجراء كشف خارجي للتحليلات التي تتطلب كشفًا خارجيًا ، استخدم إجراء TRANSREG بدلاً من ذلك.

    يقدر إجراء MDS المعلمات التالية بواسطة المربعات الصغرى غير الخطية:

    إحداثيات كل كائن في إقليدي (Kruskal and Wish 1978 ، ص. 17-19) أو مساحة إقليدية مرجحة (Kruskal and Wish 1978 ، ص 61-63) ذات بُعد واحد أو أكثر

    لكل مصفوفة بيانات ، المعاملات التي تضرب كل إحداثي للمساحة الإقليدية المشتركة أو الجماعية المرجحة للحصول على المساحة الإقليدية الفردية غير الموزونة. هذه المعاملات هي الجذور التربيعية لأوزان الموضوع (Kruskal و Wish 1978 ، ص 61-63). يمكن تفسير مخطط معاملات الأبعاد بشكل مباشر من حيث أنه يوضح كيف يتم تحويل مربع الوحدة في مساحة المجموعة إلى مستطيل في كل مساحة فردية. حبكة أوزان الموضوع ليس لها مثل هذا التفسير البسيط. يرتبط النموذج الإقليدي الموزون بنموذج INDSCAL (Carroll and Chang 1970).

    اعتراض أو ميل أو أس في تحويل خطي أو أفيني أو قوة يتعلق بالمسافات إلى البيانات (Kruskal and Wish 1978 ، ص 19 - 22). بالنسبة للتحليل غير المتري ، يتم استخدام تحويلات رتيبة لا تتضمن معلمات صريحة (Kruskal و Wish 1978 ، ص 22-25). لمناقشة التحولات المترية مقابل التحولات غير المترية ، انظر Kruskal and Wish (1978 ، ص 76-78).

    اعتمادًا على الخيار LEVEL = ، يناسب PROC MDS إما نموذج الانحدار للنموذج

    أو نموذج قياس للشكل

    هي قوة محددة مسبقًا أو تحويل لوغاريتمي محدد بواسطة الخيار FIT =.

    هو تحويل تقديري ("أمثل") خطي أو أفيني أو قدرة أو رتيبة محدد بواسطة الخيار = المستوى.

    هو مقياس للتشابه أو الاختلاف بين كائنين أو منبهات.

    هي مسافة محسوبة من الإحداثيات المقدرة للكائنين ومعاملات الأبعاد المقدرة في مساحة ذات بُعد واحد أو أكثر. إذا لم تكن هناك معاملات أبعاد (COEF = IDENTITY) ، فهذه مسافة إقليدية غير مرجحة. إذا تم استخدام معاملات الأبعاد (COEF = DIAGONAL) ، فهذه مسافة إقليدية مرجحة حيث تكون الأوزان هي مربعات معاملات الأبعاد بدلاً من ذلك ، يمكنك ضرب كل بُعد بمعامله وحساب مسافة إقليدية غير مرجحة.

    هو مصطلح خطأ يُفترض أن يكون له توزيع طبيعي تقريبًا وأن يتم توزيعه بشكل مستقل ومتماثل لجميع البيانات. في ظل هذه الافتراضات ، فإن تقدير المربعات الصغرى مناسب إحصائيًا.

    للحصول على مقدمة للقياس متعدد الأبعاد ، انظر Kruskal and Wish (1978) و Arabie و Carroll و DeSarbo (1987). تم إعطاء علاج أكثر تقدمًا بواسطة Young (1987). تمت مناقشة العديد من القضايا العملية المتعلقة بجمع البيانات وتحليلها في Schiffman و Reynolds و Young (1981). شرح Torgerson (1958) أساسيات القياس النفسي ، بما في ذلك القياس الأحادي الأبعاد والمتعدد الأبعاد. تمت مناقشة تقدير المربعات الصغرى غير الخطية لنماذج PROC MDS في Null and Sarle (1982).


    شاهد الفيديو: a - Serial Communication on the MSP430: The UART - Serial Com Overview (شهر اكتوبر 2021).