مقالات

2.3.6: معادلات كثيرة الحدود


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • استخدم خاصية المنتج الصفري
  • حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل
  • حل المعادلات ذات الدوال متعددة الحدود
  • حل التطبيقات على غرار المعادلات متعددة الحدود

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. حل: (5y − 3 = 0 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. عامل تمامًا: (n ^ 3−9n ^ 2−22n ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. إذا كان (f (x) = 8x − 16 ) ، ابحث عن (f (3) ) وحل (f (x) = 0 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

لقد أمضينا وقتًا طويلاً في تعلم كيفية تحليل كثيرات الحدود. سننظر الآن إلى المعادلات متعددة الحدود ونحلها باستخدام التحليل ، إن أمكن.

أ معادلة كثيرة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود. ال درجة المعادلة متعددة الحدود هي درجة كثير الحدود.

معادلة متعددة الحدود

أ معادلة كثيرة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود.

ال درجة المعادلة متعددة الحدود هي درجة كثير الحدود.

لقد حللنا بالفعل معادلات كثيرة الحدود لـ الدرجة الأولى. المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى هي معادلات خطية من الشكل (الفأس + ب = ج ).

سنقوم الآن بحل المعادلات متعددة الحدود لـ الدرجة الثانية. تسمى المعادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية أ معادلة من الدرجة الثانية. المدرجة أدناه هي بعض الأمثلة على المعادلات التربيعية:

[x ^ 2 + 5x + 6 = 0 qquad 3y ^ 2 + 4y = 10 qquad 64u ^ 2−81 = 0 qquad n (n + 1) = 42 nonumber ]

لا يبدو أن المعادلة الأخيرة تحتوي على المتغير تربيعًا ، ولكن عندما نبسط التعبير الموجود على اليسار سنحصل على (n ^ 2 + n ).

الشكل العام للمعادلة التربيعية هو (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) ، مع (a neq 0 ). (إذا (أ = 0 ) ، إذن (0 · س ^ 2 = 0 ) ولم يتبق لنا حد تربيعي.)

معادلة من الدرجة الثانية

تسمى معادلة النموذج (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) المعادلة التربيعية.

[a، b، text {and} c text {هي أرقام حقيقية و} a neq 0 nonumber ]

لحل المعادلات التربيعية ، نحتاج إلى طرق مختلفة عن تلك التي استخدمناها في حل المعادلات الخطية. سنلقي نظرة على طريقة واحدة هنا ثم عدة طرق أخرى في فصل لاحق.

استخدم خاصية المنتج الصفري

سنحل أولاً بعض المعادلات التربيعية باستخدام خاصية المنتج الصفري. تنص خاصية المنتج الصفري على أنه إذا كان ناتج كميتين يساوي صفرًا ، فإن إحدى الكميتين على الأقل هي صفر. الطريقة الوحيدة للحصول على منتج يساوي صفرًا هي الضرب في صفر نفسه.

صفر ملكية المنتج

إذا كان (أ · ب = 0 ) ، إذن إما (أ = 0 ) أو (ب = 0 ) أو كلاهما.

سنستخدم الآن خاصية المنتج الصفري لحل مشكلة معادلة من الدرجة الثانية.

مثال ( PageIndex {1} ): كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام خاصية المنتج الصفري

حل: ((5n − 2) (6n − 1) = 0 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {2} )

حل: ((3 م − 2) (2 م + 1) = 0 ).

إجابه

(m = frac {2} {3}، space m = - frac {1} {2} )

مثال ( PageIndex {3} )

حل: ((4p + 3) (4p − 3) = 0 ).

إجابه

(p = - frac {3} {4} ، space p = frac {3} {4} )

استخدم خاصية المنتج صفر.

  1. ضع كل عامل مساوٍ للصفر.
  2. حل المعادلات الخطية.
  3. التحقق من.

حل المعادلات التربيعية بالتحليل

تعمل خاصية Zero Product Property بشكل جيد جدًا لحل المعادلات التربيعية. يجب تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، مع عزل الصفر في أحد طرفيها. لذا فنحن على يقين من أن نبدأ بالمعادلة التربيعية في النموذج القياسي، (فأس ^ 2 + ب س + ج = 0 ). ثم نقوم بتحليل المقدار الموجود على اليسار.

حل: (2y ^ 2 = 13y + 45 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {5} )

حل: (3c ^ 2 = 10c − 8 ).

إجابه

(c = 2، space c = frac {4} {3} )

مثال ( PageIndex {6} )

حل: (2d ^ 2−5d = 3 ).

إجابه

(د = 3 ، مساحة د = -12 )

حل معادلة من الدرجة الثانية عن طريق التضمين.

  1. اكتب المعادلة التربيعية بالصيغة القياسية ، (ax ^ 2 + bx + c = 0 ).
  2. حلل التعبير التربيعي إلى عوامل.
  3. استخدم خاصية المنتج الصفري.
  4. حل المعادلات الخطية.
  5. التحقق من. عوّض بكل حل على حدة في المعادلة الأصلية.

قبل أن نأخذ في الحسبان ، يجب أن نتأكد من أن معادلة من الدرجة الثانية في داخل النموذج القياسي.

سيؤدي حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل إلى الاستفادة من جميع تقنيات العوملة التي تعلمتها في هذا الفصل! هل تتعرف على نمط المنتج الخاص في المثال التالي؟

مثال ( PageIndex {7} )

حل: (169q ^ 2 = 49 ).

إجابه

( start {array} {ll} & 169x ^ 2 = 49 text {اكتب المعادلة التربيعية بالصيغة القياسية.} & 169x ^ 2−49 = 0 text {Factor. إنه اختلاف في المربعات. } & (13x − 7) (13x + 7) = 0 text {استخدم خاصية المنتج الصفري لتعيين كل عامل إلى} 0. & text {حل كل معادلة.} & start {array} { ll} 13x − 7 = 0 & 13x + 7 = 0 13x = 7 & 13x = −7 x = frac {7} {13} & x = - frac {7} {13} end {array} نهاية {مجموعة} )

التحقق من:

نترك الفحص لك.

مثال ( PageIndex {8} )

حل: (25p ^ 2 = 49 ).

إجابه

(p = frac {7} {5} ، p = - frac {7} {5} )

مثال ( PageIndex {9} )

حل: (36x ^ 2 = 121 ).

إجابه

(x = frac {11} {6}، x = - frac {11} {6} )

في المثال التالي ، تم تحليل الجانب الأيسر من المعادلة ، لكن الجانب الأيمن ليس صفراً. من أجل استخدام ملف خاصية المنتج الصفري، يجب أن يكون جانب واحد من المعادلة صفراً. سنضرب العوامل ثم نكتب المعادلة في الصورة القياسية.

مثال ( PageIndex {10} )

حل: ((3x − 8) (x − 1) = 3x ).

إجابه

( start {array} {ll} & (3x − 8) (x − 1) = 3x text {ضرب القيم ذات الحدين.} & 3x ^ 2−11x + 8 = 3x text {اكتب التربيعي المعادلة في شكل قياسي.} & 3x ^ 2−14x + 8 = 0 text {حلل ثلاثي الحدود.} & (3x − 2) (x − 4) = 0 start {array} {l} text {استخدم خاصية المنتج الصفري لتعيين كل عامل إلى 0.} text {حل كل معادلة.} end {array} & begin {array} {ll} 3x − 2 = 0 & x − 4 = 0 3x = 2 & x = 4 x = frac {2} {3} & end {array} text {تحقق من إجاباتك.} & text {الشيك متروك لك.} end {array } )

مثال ( PageIndex {11} )

حل: ((2 م + 1) (م + 3) = 12 م ).

إجابه

(m = 1، space m = frac {3} {2} )

مثال ( PageIndex {12} )

حل: ((ك + 1) (ك − 1) = 8 ).

إجابه

(ك = 3 ، مسافة ك = 3 )

في المثال التالي ، عندما نحلل المعادلة التربيعية سنحصل على ثلاثة عوامل. لكن العامل الأول ثابت. نعلم أن هذا العامل لا يمكن أن يساوي 0.

مثال ( PageIndex {13} )

حل: (3x ^ 2 = 12x + 63 ).

إجابه

( start {array} {ll} & 3x ^ 2 = 12x + 63 text {اكتب المعادلة التربيعية في الشكل القياسي.} & 3x ^ 2−12x − 63 = 0 text {عامل العامل المشترك الأكبر first.} & 3 (x ^ 2−4x − 21) = 0 text {حلل ثلاثي الحدود.} & 3 (x − 7) (x + 3) = 0 start {array} {l} text {استخدم خاصية المنتج الصفري لتعيين كل عامل على 0.} text {حل كل معادلة.} end {array} & begin {array} {lll} 3 neq 0 & x − 7 = 0 & x + 3 = 0 3 neq 0 & x = 7 & x = −3 end {array} text {تحقق من إجاباتك.} & text {الاختيار متروك لك.} end {array} )

مثال ( PageIndex {14} )

حل: (18a ^ 2−30 = −33a ).

إجابه

(a = - frac {5} {2}، a = frac {2} {3} )

مثال ( PageIndex {15} )

حل: (123 ب = −6−60 ب ^ 2 )

إجابه

(b = −2، space b = - frac {1} {20} )

ال خاصية المنتج الصفري ينطبق أيضًا على منتج ثلاثة عوامل أو أكثر. إذا كان المنتج يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون أحد العوامل على الأقل صفراً. يمكننا حل بعض المعادلات من الدرجة الأكبر من اثنين باستخدام خاصية المنتج الصفري ، تمامًا كما حللنا المعادلات التربيعية.

مثال ( PageIndex {16} )

حل: (9 م ^ 3 + 100 م = 60 م ^ 2 )

إجابه

( start {array} {ll} & 9m ^ 3 + 100m = 60m ^ 2 text {أحضر كل المصطلحات إلى جانب بحيث يكون الجانب الآخر صفراً.} & 9 م ^ 3−60 م ^ 2 + 100 م = 0 text {حلل العامل المشترك الأكبر أولاً.} & m (9m ^ 2−60m + 100) = 0 text {حلل ثلاثي الحدود.} & m (3m − 10) ^ 2 = 0 end { array} begin {array} {l} text {استخدم خاصية المنتج الصفري لتعيين كل عامل إلى 0.} text {حل كل معادلة.} & start {array} {lll} m = 0 & 3m − 10 = 0 & {} m = 0 & m = frac {10} {3} & {} end {array} text {تحقق من إجاباتك.} & text {الاختيار متروك لـ أنت.} إنهاء {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {17} )

حل: (8x ^ 3 = 24x ^ 2−18x ).

إجابه

(x = 0، space x = frac {3} {2} )

مثال ( PageIndex {18} )

حل: (16y ^ 2 = 32y ^ 3 + 2y ).

إجابه

(ص = 0 ، مساحة ص = 14 )

حل المعادلات ذات وظائف كثيرة الحدود

مع استمرار دراستنا للوظائف متعددة الحدود ، سيكون من المهم غالبًا معرفة متى سيكون للدالة قيمة معينة أو ما هي النقاط الموجودة على الرسم البياني للدالة. عملنا مع خاصية المنتج الصفري سوف تساعدنا في العثور على هذه الإجابات.

مثال ( PageIndex {19} )

للدالة (f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 ) ،

ⓐ أوجد (x ) عندما (f (x) = 6 )
ⓑ أوجد نقطتين تقعان على منحنى الدالة.

إجابه


( start {array} {ll} & f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 text {Substitute} 6 text {for} f (x). & 6 = x ^ 2 + 2x − 2 نص {ضع التربيعية في الشكل القياسي.} & x ^ 2 + 2x − 8 = 0 text {حلل ثلاثي الحدود.} & (x + 4) (x − 2) = 0 start {array } {l} text {استخدام خاصية الصفر للمنتج.} text {Solve.} end {array} & begin {array} {lll} x + 4 = 0 & text {or} & x − 2 = 0 x = −4 & text {or} & x = 2 end {array} text {Check:} & & & & & & & & & start {array} {lll} quad & hspace {3mm} f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 & f (x) = x ^ 2 + 2x − 2 رباعي & و (−4) = (- 4) ^ 2 + 2 (−4) −2 & و (2) = 2 ^ 2 + 2 · 2−2 quad & f (−4) = 16−8−2 & f (2) = 4 + 4−2 quad & f (−4) = 6 checkmark & ​​f (2) = 6 checkmark end {array} & end {array} )

ⓑ بما أن (f (−4) = 6 ) و (f (2) = 6 ) ، فإن النقاط ((- 4،6) ) و ((2،6) ) تقع على الرسم البياني للوظيفة.

مثال ( PageIndex {20} )

للدالة (f (x) = x ^ 2−2x − 8 ) ،

ⓐ أوجد (x ) عندما (f (x) = 7 )
ⓑ أوجد نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابه

ⓐ (س = 3 ) أو (س = 5 )
ⓑ ((- 3،7) مساحة (5،7) )

مثال ( PageIndex {21} )

للدالة (f (x) = x ^ 2−8x + 3 ) ،

ⓐ أوجد (x ) عندما (f (x) = - 4 )
ⓑ أوجد نقطتين تقعان على الرسم البياني للدالة.

إجابه

ⓐ (س = 1 ) أو (س = 7 )
ⓑ ((1، −4) مسافة (7، −4) )

ال خاصية المنتج الصفري يساعدنا أيضًا في تحديد مكان الدالة صفر. تسمى قيمة (x ) حيث تكون الوظيفة (0 ) أ صفر من الوظيفة.

صفر من وظيفة

لأي دالة (f ) ، إذا (f (x) = 0 ) ، إذن (x ) هو صفر من الوظيفة.

عندما (f (x) = 0 ) ، فإن النقطة ((x، 0) ) هي نقطة على الرسم البياني. هذه النقطة هي (س ) -تقاطع من الرسم البياني. غالبًا ما يكون من المهم معرفة مكان تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحاور. سنرى بعض الأمثلة لاحقًا.

مثال ( PageIndex {22} )

بالنسبة للوظيفة (f (x) = 3x ^ 2 + 10x − 8 ) ، ابحث عن

ⓐ أصفار الوظيفة ،
ⓑ أي (س ) - تقاطعات الرسم البياني للوظيفة
ⓒ أي (ص ) - اعتراضات الرسم البياني للوظيفة

إجابه

ⓐ لإيجاد أصفار الدالة ، نحتاج إلى معرفة متى تكون قيمة الدالة 0.
( start {array} {ll} & f (x) = 3x ^ 2 + 10x − 8 text {Substitute} 0 text {for} f (x). & 0 = 3x ^ 2 + 10x − 8 text {حلل ثلاثي الحدود.} & (x + 4) (3x − 2) = 0 begin {array} {l} text {استخدم خاصية المنتج الصفري.} text {Solve.} end {array} & begin {array} {lll} x + 4 = 0 & text {or} & 3x − 2 = 0 x = −4 & text {or} & x = frac {2} { 3} نهاية {مجموعة} نهاية {مجموعة} )

ⓑ An (x ) - يحدث التقاطع عند (y = 0 ). بما أن (f (−4) = 0 ) و (f ( frac {2} {3}) = 0 ) ، فإن النقاط ((- 4،0) ) و (( frac { 2} {3}، 0) ) تقع على الرسم البياني. هذه النقاط هي (س ) - تقاطعات الوظيفة.

ⓒ A (y ) - يحدث التقاطع عند (x = 0 ). للعثور على تقاطعات (y ) - نحتاج إلى إيجاد (f (0) ).
( start {array} {ll} & f (x) = 3x ^ 2 + 10x − 8 text {Find} f (0) text {باستبدال} 0 text {for} x. & f (0 ) = 3 · 0 ^ 2 + 10 · 0−8 text {Simplify.} & f (0) = - 8 end {array} )
بما أن (f (0) = - 8 ) ، فإن النقطة ((0 ، −8) ) تقع على الرسم البياني. هذه النقطة هي (y ) - تقاطع الوظيفة.

مثال ( PageIndex {23} )

للدالة (f (x) = 2x ^ 2−7x + 5 ) ، ابحث عن

ⓐ أصفار الوظيفة
ⓑ أي (س ) - تقاطعات الرسم البياني للوظيفة
ⓒ أي (ص ) - اعتراضات الرسم البياني للوظيفة.

إجابه

ⓐ (x = 1 ) أو (x = frac {5} {2} )
ⓑ ((1،0)، space ( frac {5} {2}، 0) ) ⓒ ((0،5) )

مثال ( PageIndex {24} )

بالنسبة للدالة (f (x) = 6x ^ 2 + 13x − 15 ) ، أوجد

ⓐ أصفار الوظيفة
ⓑ أي (س ) - تقاطعات الرسم البياني للوظيفة
ⓒ أي (ص ) - اعتراضات الرسم البياني للوظيفة.

إجابه

ⓐ (x = −3 ) أو (x = frac {5} {6} )
ⓑ ((- 3،0)، space ( frac {5} {6}، 0) ) ⓒ ((0، −15) )

حل التطبيقات التي تم تصميمها باستخدام المعادلات متعددة الحدود

ستعمل إستراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها سابقًا للتطبيقات التي تترجم إلى معادلات خطية أيضًا مع التطبيقات التي تترجم إلى معادلات متعددة الحدود. سنقوم بنسخ استراتيجية حل المشكلات هنا حتى نتمكن من استخدامها كمرجع.

استخدم إستراتيجية لحل المشكلات لحل مشكلات الكلمات.

  1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. اسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
  4. يترجم في معادلة. قد يكون من المفيد إعادة صياغة المشكلة في جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
  5. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر المناسبة.
  6. التحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

سنبدأ بمشكلة عددية للتدرب على ترجمة الكلمات إلى معادلة متعددة الحدود.

مثال ( PageIndex {25} )

حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 323. أوجد الأعداد الصحيحة.

إجابه

( start {array} {ll} textbf {الخطوة 1. اقرأ} text {the problem.} & textbf {الخطوة 2. حدد} text {ما نبحث عنه.} & text { نحن نبحث عن رقمين صحيحين متتاليين.} textbf {الخطوة 3. الاسم} text {ما نبحث عنه.} & text {Let} n = text {العدد الصحيح الأول.} & n + 2 = text {العدد الصحيح الفردي التالي على التوالي} start {array} {l} textbf {الخطوة 4. الترجمة} text {إلى معادلة. أعد صياغة} hspace {20mm} text {problem in a الجملة.} end {array} & begin {array} {l} text {ناتج الفردين المتتاليين} text {عدد صحيحين} 323. end {array} & quad n ( n + 2) = 323 textbf {الخطوة 5. حل} نص {المعادلة.} n ^ 2 + 2n = 323 text {أحضر كل المصطلحات إلى جانب واحد.} & n ^ 2 + 2n− 323 = 0 text {عامل ثلاثي الحدود.} & (n − 17) (n + 19) = 0 begin {array} {l} text {Use the Zero Product Property.} text {حل المعادلات.} end {array} & start {array} {ll} n − 17 = 0 hspace {10mm} & n + 19 = 0 n = 17 & n = −19 end {array} نهاية {مجموعة} )
هناك قيمتان لـ (n ) تعدان حلين لهذه المشكلة. إذن ، هناك مجموعتان من الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية ستعمل.

( start {array} {ll} text {إذا كان العدد الصحيح الأول} n = 17 hspace {60mm} & text {إذا كان العدد الصحيح الأول} n = -19 text {فإن العدد الفردي التالي عدد صحيح هو} & نص {ثم العدد الصحيح الفردي التالي هو} hspace {53mm} n + 2 & hspace {53mm} n + 2 hspace {51mm} 17 + 2 & hspace {51mm} - 19 + 2 hspace {55mm} 19 & hspace {55mm} -17 hspace {51mm} 17،19 & hspace {51mm} -17، -19 textbf {الخطوة 6. تحقق} text {the answer.} & text {النتائج هي أعداد صحيحة فردية متتالية} & begin {array} {ll} 17، space 19 text {and} 19، space −17. & 17 · 19 = 323 checkmark & ​​−19 (17) = 323 checkmark end {array} & text {كلا أزواج الأعداد الصحيحة المتتالية عبارة عن حلول.} & textbf {الخطوة 7.Answer} text {the question} & text {الأعداد الصحيحة المتتالية هي} 17 ، 19 text {and} 19 ، −17. نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {26} )

حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 255. أوجد الأعداد الصحيحة.

إجابه

(- 15 ، −17 ) و (15 ، 17 )

مثال ( PageIndex {27} )

حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 483 أوجد الأعداد الصحيحة.

إجابه

(- 23 ، −21 ) و (21 ، 23 )

هل فوجئت بزوج الأعداد الصحيحة السالبة التي تعتبر أحد الحلول للمثال السابق؟ ينتج عن حاصل ضرب عددين موجبين وحاصل ضرب عددين سالبين نتائج موجبة.

في بعض التطبيقات ، تنتج الحلول السلبية من الجبر ، لكنها لن تكون واقعية بالنسبة للموقف.

مثال ( PageIndex {28} )

غرفة نوم مستطيلة بمساحة 117 قدم مربع. يبلغ طول غرفة النوم أربعة أقدام أكثر من عرضها. ابحث عن طول وعرض غرفة النوم.

إجابه
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. في المشاكل التي تنطوي على
الأشكال الهندسية ، يمكن أن يساعدك الرسم على التصور
الوضع.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.نحن نبحث عن الطول والعرض.
الخطوة 3. الاسم ما تبحث عنه.دعونا (w = text {عرض غرفة النوم} ).
الطول أربعة أقدام أكثر من العرض. (ث + 4 = نص {طول الحديقة} )
الخطوة 4. الترجمة في معادلة.
أعد ذكر المعلومات المهمة في جملة.تبلغ مساحة غرفة النوم 117 قدم مربع.
استخدم صيغة مساحة المستطيل. (A = l · w )
عوّض في المتغيرات. (117 = (ث + 4) ث )
الخطوة 5. حل توزيع المعادلة أولا. (117 = ث ^ 2 + 4 ث )
احصل على صفر في جانب واحد. (117 = ث ^ 2 + 4 ث )
حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. (0 = ث ^ 2 + 4 واط − 117 )
استخدم خاصية المنتج الصفري. (0 = (ث ^ 2 + 13) (ث − 9) )
حل كل معادلة. (0 = ث + 13 رباعي 0 = ث − 9 )
بما أن (w ) هو عرض غرفة النوم ، فإنه لا
من المنطقي أن تكون سلبية. نتخلص من هذه القيمة لـ (w ).
( إلغاء {ث = −13} ) ( رباعي ث = 9 )
(ث = 9 ) العرض 9 أقدام.
أوجد قيمة الطول. (ث + 4 )
(9+4)
13 الطول 13 قدمًا.
الخطوة 6. تحقق الاجابة.
هل الجواب منطقي؟


نعم ، هذا منطقي.

الخطوة 7. الإجابة السؤال.عرض غرفة النوم 9 أقدام و
الطول 13 قدم.

مثال ( PageIndex {29} )

مساحة اللافتة المستطيلة 30 قدم مربع. طول العلامة أكبر من العرض بمقدار قدم واحدة. أوجد طول وعرض العلامة.

إجابه

العرض 5 أقدام والطول 6 أقدام.

مثال ( PageIndex {30} )

فناء مستطيل مساحته 180 قدم مربع. عرض الفناء ثلاثة أقدام أقل من الطول. ابحث عن طول وعرض الفناء.

إجابه

يبلغ طول الفناء 12 قدمًا والعرض 15 قدمًا.

في المثال التالي ، سنستخدم نظرية فيثاغورس ((a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2) ). تعطي هذه الصيغة العلاقة بين الساقين ووتر المثلث القائم.

سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {31} )

يكون شراع القارب على شكل مثلث قائم الزاوية كما هو موضح. سيكون طول الوتر 17 قدمًا. سيكون طول أحد الجانبين أقل بمقدار 7 أقدام من طول الجانب الآخر. أوجد أطوال جانبي الشراع.

إجابه
الخطوة 1. اقرأ المشكلة
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.نحن نبحث عن أطوال
جوانب الشراع.
الخطوة 3. الاسم ما تبحث عنه.
أحد الجانبين أقل بمقدار 7 من الآخر.
دعونا (س = نص {طول جانب من الشراع} ).
(س − 7 = نص {طول الجانب الآخر} )
الخطوة 4. الترجمة في معادلة. نظرًا لأن هذا ملف
المثلث القائم الزاوية يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس.
(أ ^ 2 + ب ^ 2 = ج ^ 2 )
عوّض في المتغيرات. (س ^ 2 + (س − 7) ^ 2 = 17 ^ 2 )
الخطوة 5. حل المعادلة
تبسيط.
(س ^ 2 + س ^ 2−14 س + 49 = 289 )
(2x ^ 2−14x + 49 = 289 )
إنها معادلة تربيعية ، لذا ضع صفرًا في أحد طرفيها. (2x ^ 2−14x − 240 = 0 )
حلل العامل المشترك الأكبر. (2 (x ^ 2−7x − 120) = 0 )
حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. (2 (س − 15) (س + 8) = 0 )
استخدم خاصية المنتج الصفري. (2 neq 0 quad x − 15 = 0 quad x + 8 = 0 )
يحل. (2 neq 0 quad x = 15 quad x = -8 )
بما أن (س ) أحد أضلاع المثلث ، فإن (س = −8 ) لا يفعل ذلك
منطقي.
(2 neq 0 quad x = 15 quad إلغاء {x = −8} )
أوجد طول الضلع الآخر.
إذا كان طول جانب واحد
ثم طول الجانب الآخر



8 هو طول الضلع الآخر.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة
هل هذه الأرقام منطقية؟

الخطوة 7. الإجابة السؤالطول جوانب الشراع 8 و 15 و 17 قدمًا.

مثال ( PageIndex {32} )

تريد جوستين وضع سطح في زاوية فناء منزلها الخلفي على شكل مثلث قائم الزاوية. طول جانب واحد من السطح يزيد بمقدار 7 أقدام عن الجانب الآخر. طول الوتر هو 13. أوجد أطوال ضلعي السطح.

إجابه

5 أقدام و 12 قدما

مثال ( PageIndex {33} )

حديقة التأمل على شكل مثلث قائم الزاوية ، بساق واحدة 7 أقدام. طول الوتر أكثر من طول الساق الأخرى. أوجد طول الوتر والساق الأخرى.

إجابه

24 قدما و 25 قدما

يستخدم المثال التالي الوظيفة التي تعطي ارتفاع الكائن كدالة للوقت عندما يتم رميها من 80 قدمًا فوق الأرض.

مثال ( PageIndex {34} )

سيرمي دينيس كرة الشريط المطاطي لأعلى من أعلى مبنى الحرم الجامعي. عندما يرمي كرة الشريط المطاطي من 80 قدمًا فوق الأرض ، فإن الوظيفة (h (t) = - 16t ^ 2 + 64t + 80 ) تمثل الارتفاع ، (h ) ، للكرة فوق الأرض مثل دالة للوقت ، (ر ). يجد:

ⓐ أصفار هذه الوظيفة التي تخبرنا عندما تلمس الكرة الأرض
ⓑ عندما تكون الكرة على ارتفاع 80 قدمًا فوق الأرض
ⓒ ارتفاع الكرة عند (t = 2 ) ثانية.

إجابه

ⓐ تم العثور على أصفار هذه الوظيفة من خلال حل (h (t) = 0 ). سيخبرنا هذا عن موعد اصطدام الكرة بالأرض.
( start {array} {ll} & h (t) = 0 text {استبدال في كثير الحدود لـ} h (t). & −16t ^ 2 + 64t + 80 = 0 text {عامل ال GCF،} 16. & 16 (t ^ 2−4t − 5) = 0 text {حلل ثلاثي الحدود.} & −16 (t − 5) (t + 1) = 0 start { array} {l} text {استخدم خاصية المنتج الصفرية.} text {Solve.} end {array} & begin {array} {ll} t − 5 = 0 & t + 1 = 0 t = 5 & t = −1 نهاية {مجموعة} نهاية {مجموعة} )

النتيجة (t = 5 ) تخبرنا أن الكرة ستصطدم بالأرض بعد 5 ثوانٍ من رميها. نظرًا لأن الوقت لا يمكن أن يكون سالبًا ، يتم تجاهل النتيجة (t = −1 ).

ⓑ ستكون الكرة على ارتفاع 80 قدمًا فوق الأرض عندما (ح (ر) = 80 ).
( start {array} {ll} & h (t) = 80 text {استبدال في كثير الحدود لـ} h (t). & −16t ^ 2 + 64t + 80 = 80 text {طرح 80 من كلا الجانبين.} & −16t ^ 2 + 64t = 0 text {عامل GCF ،} −16t. & −16t (t − 4) = 0 begin {array} {l} text { استخدم خاصية المنتج الصفري.} text {Solve.} end {array} & begin {array} {ll} −16t = 0 & t − 4 = 0 t = 0 & t = 4 end {array } & text {ستكون الكرة على ارتفاع 80 قدمًا في اللحظة التي يقذف فيها Dennis} & text {الكرة ثم بعد 4 ثوانٍ ، عندما} & text {تسقط الكرة.} end { مجموعة مصفوفة} )

ⓒ لإيجاد ارتفاع الكرة عند (t = 2 ) ثانية نجد (ح (2) ).
( start {array} {ll} & h (t) = - 16t ^ 2 + 64t + 80 text {To find} h (2) text {replace} 2 text {for} t. & h ( 2) = - 16 (2) ^ 2 + 64 · 2 + 80 text {Simplify.} & h (2) = 144 & text {بعد ثانيتين ، ستكون الكرة على ارتفاع 144 قدمًا.} نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {35} )

جينيفيف سترمي صخرة من أعلى ممر يطل على المحيط. عندما ترمي الصخرة لأعلى من 160 قدمًا فوق المحيط ، فإن الوظيفة (h (t) = - 16t ^ 2 + 48t + 160 ) تمثل الارتفاع ، (h ) ، للصخرة فوق المحيط دالة الوقت ، (ر ). يجد:

ⓐ أصفار هذه الوظيفة التي تخبرنا متى ستضرب الصخرة المحيط
ⓑ عندما تكون الصخرة على ارتفاع 160 قدمًا فوق المحيط.
ⓒ ارتفاع الصخرة عند (t = 1.5 ) ثانية.

إجابه

ⓐ 5 ⓑ 0;3 ⓒ 196

مثال ( PageIndex {36} )

كاليب سوف يرمي فلسه المحظوظ من شرفته على متن سفينة سياحية. عندما يرمي العملة لأعلى من 128 قدمًا فوق سطح الأرض ، فإن الوظيفة (h (t) = - 16t ^ 2 + 32t + 128 ) تمثل الارتفاع ، (h ) ، من العملة المعدنية فوق المحيط على أنها دالة الوقت ، (ر ). يجد:

ⓐ أصفار هذه الوظيفة وهي عندما يضرب البنس المحيط
ⓑ عندما يكون سعر العملة المعدنية 128 قدمًا فوق المحيط.
ⓒ ارتفاع العملة المعدنية سيكون عند (t = 1 ) ثانية وهو الوقت الذي يكون فيه العملة المعدنية في أعلى نقطة لها.

إجابه

ⓐ 4 ⓑ 0;2 ⓒ 144

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام المعادلات التربيعية

  • بداية الجبر وحل المعادلات التربيعية بخاصية الصفر

المفاهيم الرئيسية

  • معادلة كثيرة الحدود: المعادلة متعددة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود. درجة معادلة كثير الحدود هي درجة كثير الحدود.
  • معادلة من الدرجة الثانية: تسمى معادلة النموذج (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) المعادلة التربيعية.

    [a، b، c text {هي أرقام حقيقية و} a neq 0 nonumber ]

  • خاصية المنتج الصفري: إذا كان (أ · ب = 0 ) ، إذن إما (أ = 0 ) أو (ب = 0 ) أو كلاهما.
  • كيفية استخدام خاصية المنتج الصفري
    1. ضع كل عامل مساويًا للصفر.
    2. حل المعادلات الخطية.
    3. التحقق من.
  • كيفية حل المعادلة التربيعية بالتحليل.
    1. اكتب المعادلة التربيعية بالصيغة القياسية ، (ax ^ 2 + bx + c = 0 ).
    2. حلل التعبير التربيعي إلى عوامل.
    3. استخدم خاصية المنتج الصفري.
    4. حل المعادلات الخطية.
    5. التحقق من. عوّض بكل حل على حدة في المعادلة الأصلية.
  • صفر من وظيفة: لأي دالة (f ) ، إذا (f (x) = 0 ) ، إذن (x ) هي صفر من الدالة.
  • كيفية استخدام استراتيجية حل المشكلات لحل مشاكل الكلمات.
    1. اقرأ المشكلة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
    2. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر المناسبة.
    3. التحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    4. إجابه السؤال بجملة كاملة.

نظرية الباقي

عندما يتم قسمة دالة كثيرة الحدود f على x-k ، يكون الباقي r هو f (k).

حسنًا ، الآن باللغة الإنجليزية. إذا قمت بقسمة كثير الحدود على عامل خطي ، x-k ، فإن الباقي هو القيمة التي ستحصل عليها إذا قمت بتوصيل x = k بالدالة وتقييمها.

الآن ، اربط ذلك بما قلناه أعلاه. إذا كان الباقي صفرًا ، فقد نجحت في تحليل كثير الحدود إلى عوامل. إذا كان الباقي عند القسمة على (x-k) يساوي صفرًا ، فإن الدالة المقيمة عند x = k هي صفر وقد وجدت صفرًا أو جذرًا لكثيرات الحدود. بالإضافة إلى ذلك ، لديك الآن كثير حدود محلل إلى عوامل (حاصل القسمة) وهو أقل بدرجة واحدة من كثير الحدود الأصلي. إذا انخفض حاصل القسمة إلى عامل تربيعي أو عامل خطي ، فيمكنك حل الحلول الأخرى وإيجادها.


محتويات

يعود مصطلح "المعادلة الجبرية" إلى الوقت الذي كانت فيه مشكلة الجبر الرئيسية هي حل المعادلات متعددة الحدود أحادية المتغير. تم حل هذه المشكلة بالكامل خلال القرن التاسع عشر ، انظر نظرية الجبر الأساسية ، نظرية أبيل روفيني ونظرية جالوا.

منذ ذلك الحين ، تم توسيع نطاق الجبر بشكل كبير. على وجه الخصوص ، يتضمن دراسة المعادلات التي تتضمن الجذور n ، وبشكل أعم ، التعبيرات الجبرية. هذا يجعل المصطلح معادلة جبرية غامضة خارج سياق المشكلة القديمة. لذا فإن المصطلح معادلة كثيرة الحدود يُفضل عمومًا عند حدوث هذا الغموض ، خاصة عند التفكير في المعادلات متعددة المتغيرات.

من المحتمل أن تكون دراسة المعادلات الجبرية قديمة قدم الرياضيات: يمكن لعلماء الرياضيات البابليين ، منذ عام 2000 قبل الميلاد ، حل بعض أنواع المعادلات التربيعية (المعروضة على ألواح الطين البابلية القديمة).

المعادلات الجبرية أحادية المتغير على الأسس المنطقية (أي ذات المعاملات المنطقية) لها تاريخ طويل جدًا. أراد علماء الرياضيات القدماء الحلول على شكل تعبيرات جذرية ، مثل x = 1 + 5 2 < displaystyle x = < frac <1 + < sqrt <5>>> <2> >> للحل الإيجابي لـ x 2 - س - 1 = 0 -x-1 = 0>. عرف قدماء المصريين كيفية حل معادلات الدرجة الثانية بهذه الطريقة. وصف عالم الرياضيات الهندي براهماغوبتا (597-668 م) بوضوح الصيغة التربيعية في أطروحته Brāhmasphuṭasiddhānta المنشورة عام 628 بعد الميلاد ، ولكنها كتبت بالكلمات بدلاً من الرموز. في القرن التاسع ، اشتق محمد بن موسى الخوارزمي وعلماء الرياضيات الإسلاميون الآخرون الصيغة التربيعية ، الحل العام لمعادلات الدرجة الثانية ، وأدركوا أهمية التمييز. خلال عصر النهضة في عام 1545 ، نشر جيرولامو كاردانو حل Scipione del Ferro و Niccolò Fontana Tartaglia لمعادلات الدرجة 3 ومعادلات Lodovico Ferrari لمعادلات الدرجة 4. وأخيرًا أثبت نيلز هنريك أبيل ، في عام 1824 ، أن معادلات الدرجة 5 و أعلى ليس لديهم حلول عامة باستخدام الجذور. أظهرت نظرية جالوا ، التي سميت على اسم إيفاريست جالوا ، أن بعض المعادلات من الدرجة الخامسة على الأقل لا تحتوي حتى على حل خاص في الجذور ، وأعطت معايير لتقرير ما إذا كانت المعادلة قابلة للحل في الواقع باستخدام الجذور.

المعادلات الجبرية هي أساس عدد من مجالات الرياضيات الحديثة: نظرية الأعداد الجبرية هي دراسة المعادلات الجبرية (أحادية المتغير) على المعادلات المنطقية (أي بالمعاملات المنطقية). تم تقديم نظرية جالوا من قبل إيفاريست جالوا لتحديد معايير لتقرير ما إذا كان يمكن حل المعادلة الجبرية من حيث الجذور. في نظرية المجال ، يعد الامتداد الجبري امتدادًا بحيث يكون كل عنصر هو جذر معادلة جبرية فوق الحقل الأساسي. نظرية الأعداد المتسامية هي دراسة الأعداد الحقيقية التي لا تمثل حلولًا لمعادلة جبرية على الأسس المنطقية. معادلة ديوفانتين هي معادلة متعددة الحدود (عادة متعددة المتغيرات) مع معاملات عدد صحيح والتي يهتم بها المرء في الحلول الصحيحة. الهندسة الجبرية هي دراسة الحلول في مجال مغلق جبريًا من المعادلات متعددة المتغيرات متعددة المتغيرات.

يمكن دائمًا تحويل المعادلة متعددة الحدود على الأسس المنطقية إلى معادلة مكافئة تكون فيها المعاملات أعدادًا صحيحة. على سبيل المثال ، الضرب في 42 = 2 · 3 · 7 وتجميع شروطه في العضو الأول ، المعادلة متعددة الحدود المذكورة سابقًا y 4 + xy 2 = x 3 3 - xy 2 + y 2 - 1 7 < displaystyle y ^ <4> + < frac <2>> = < frac > <3>> -xy ^ <2> + y ^ <2> - < frac <1> <7> >> يصبح

لأن الجيب ، الأس ، و 1 /تي ليست وظائف كثيرة الحدود ،

يكون ليس معادلة كثيرة الحدود في المتغيرات الأربعة x, ذ, ض، و تي على الأعداد المنطقية. ومع ذلك ، فهي معادلة متعددة الحدود في المتغيرات الثلاثة x, ذ، و ض على مجال الوظائف الأولية في المتغير تي.

متعدد الحدود تحرير

بالنظر إلى معادلة غير معروفة x

مع المعاملات في الحقل K ، يمكن للمرء أن يقول بشكل مكافئ أن حلول (E) في K هي الجذور في K من كثير الحدود

يمكن إثبات أن كثير الحدود من الدرجة n في مجال ما لها جذور n في معظمها. لذلك فإن المعادلة (E) تحتوي على أكثر من n من الحلول.

إذا كان K 'امتدادًا لمجال K ، فيمكن للمرء أن يعتبر (E) معادلة ذات معاملات في K وحلول (E) في K هي أيضًا حلول في K' (العكس لا ينطبق بشكل عام) من الممكن دائمًا العثور على امتداد مجال لـ K يُعرف باسم مجال التمزق في كثير الحدود P ، حيث يحتوي (E) على حل واحد على الأقل.

وجود حلول للمعادلات الحقيقية والمعقدة تحرير

تنص النظرية الأساسية للجبر على أن مجال الأعداد المركبة مغلق جبريًا ، أي أن جميع المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات المعقدة ودرجة واحدة على الأقل لها حل.

ويترتب على ذلك أن جميع المعادلات متعددة الحدود من الدرجة 1 أو أكثر مع المعاملات الحقيقية لها أ مركب المحلول. من ناحية أخرى ، لا تحتوي معادلة مثل x 2 + 1 = 0 < displaystyle x ^ <2> + 1 = 0> على حل في R > (الحلول هي الوحدات التخيلية i و –i).

في حين أن الحلول الحقيقية للمعادلات الحقيقية بديهية (فهي إحداثيات x للنقاط التي يكون فيها المنحنى ذ = ص(x) يتقاطع مع المحور السيني) ، فإن وجود حلول معقدة للمعادلات الحقيقية يمكن أن يكون مفاجئًا ويصعب تصوره.

ومع ذلك ، يجب بالضرورة أن يكون لكثير الحدود الأحادي من الدرجة الفردية جذر حقيقي. دالة كثيرة الحدود المرتبطة في x مستمرة ، وتقترب - ∞ < displaystyle - infty> مع اقتراب x - ∞ displaystyle + infty>. وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة ، يجب أن تفترض القيمة صفر عند بعض x الحقيقي ، والذي يعد حلًا للمعادلة متعددة الحدود.

الاتصال بنظرية جالوا تحرير

توجد صيغ تعطي حلول كثيرات الحدود الحقيقية أو المعقدة بدرجة أقل من أو تساوي أربعة كدالة لمعاملاتها. أظهر هابيل أنه من غير الممكن إيجاد مثل هذه الصيغة بشكل عام (باستخدام العمليات الحسابية الأربعة فقط وأخذ الجذور) للمعادلات من الدرجة الخامسة أو أعلى. توفر نظرية جالوا معيارًا يسمح للشخص بتحديد ما إذا كان يمكن التعبير عن حل معادلة متعددة الحدود باستخدام الجذور.

نهج التحرير

الحل الصريح لمعادلة حقيقية أو معقدة من الدرجة 1 تافه. يؤدي حل معادلة من الدرجة الأعلى n إلى تقليل عوامل كثيرة الحدود المرتبطة بها ، أي إعادة كتابة (E) بالصيغة

ينطبق هذا النهج بشكل عام إذا كانت المعاملات والحلول تنتمي إلى مجال متكامل.

تحرير التقنيات العامة

تحرير العوملة

إذا كانت المعادلة ص(x) = 0 من الدرجة n لها جذر عقلاني α ، يمكن تحليل كثير الحدود المصاحب لإعطاء الصيغة ص(X) = (X - α)س(X) (بقسمة ص(X) بواسطة X - α أو بالكتابة ص(X) – ص(α) كمجموعة خطية من شروط النموذج X ك - α ك ، والعوملة X - α. حل ص(x) = 0 بالتالي يقلل من حل الدرجة ن - 1 معادلة س(x) = 0. انظر على سبيل المثال القضية ن = 3 .

حذف المصطلح السائد تحرير

لحل معادلة الدرجة n ،

تتمثل الخطوة الأولية الشائعة في التخلص من الدرجة- n - 1 المصطلح: عن طريق تحديد x = y - a n - 1 n a n < displaystyle x = y - < frac <>><>>>> ، تصبح المعادلة (E)

طور ليونارد أويلر هذه التقنية للقضية ن = 3 ولكنه ينطبق أيضًا على الحالة ن = 4 ، على سبيل المثال.

تحرير المعادلات التربيعية

لحل المعادلة التربيعية بالصيغة a x 2 + b x + c = 0 < displaystyle ax ^ <2> + bx + c = 0> يحسب المرء مميز Δ المعرفة من قبل b = ب 2 - 4 أ ج -4ac>.

إذا كانت كثيرة الحدود لها معاملات حقيقية ، فإنها تحتوي على:

تحرير المعادلات التكعيبية

الطريقة الأكثر شهرة لحل المعادلات التكعيبية ، عن طريق كتابة الجذور من حيث الجذور ، هي صيغة كاردانو.

المعادلات الرباعية تحرير

للحصول على مناقشات مفصلة لبعض طرق الحل ، انظر:

    (طريقة عامة ، غير مضمونة للنجاح) (طريقة عامة ، غير مضمونة للنجاح) (حلول الدرجة 4) (حلول الدرجة 4) (حلول الدرجة 4) (حلول الدرجة 2 أو 4)

يمكن حل بعض المعادلات التكعيبية والرباعية باستخدام حساب المثلثات أو الدوال الزائدية.

تحرير معادلات الدرجة العليا

أظهر Évariste Galois و Niels Henrik Abel بشكل مستقل أنه بشكل عام لا يمكن حل كثير الحدود من الدرجة 5 أو أعلى باستخدام الجذور. تحتوي بعض المعادلات الخاصة على حلول ، مثل تلك المرتبطة بمتعددة الحدود الحلقية للدرجتين 5 و 17.

من ناحية أخرى ، أوضح تشارلز هيرميت أن كثيرات الحدود من الدرجة 5 قابلة للحل باستخدام وظائف بيضاوية.


6.6 قسمة كثيرات الحدود

في القسم الأخير ، تعلمت كيفية قسمة المونومال على المونومال. بينما تستمر في بناء معرفتك بكثيرات الحدود ، فإن الإجراء التالي هو قسمة كثير الحدود من مصطلحين أو أكثر على أحادية الحدود.

تعتمد الطريقة التي نستخدمها لقسمة كثير الحدود على أحادية الحدود على خصائص إضافة الكسر. لذلك سنبدأ بمثال لمراجعة جمع الكسر.

الآن سنفعل ذلك بالعكس لتقسيم كسر واحد إلى كسور منفصلة.

سنذكر خاصية إضافة الكسر هنا تمامًا كما تعلمتها وبالعكس.

الجمع الكسر

نستخدم الصيغة الموجودة على اليسار لإضافة الكسور ونستخدم الصيغة الموجودة على اليمين لقسمة كثير الحدود على أحادية الحد.

نستخدم هذا الشكل من الجمع الكسر لقسمة كثيرات الحدود على أحادية الحدود.

قسمة كثير الحدود بواسطة أحادي

لتقسيم كثير الحدود على monomial ، قسّم كل حد من كثير الحدود على monomial.

مثال 6.77

أوجد حاصل القسمة: 7 y 2 + 21 7. 7 ص 2 + 21 7.

المحلول

أوجد حاصل القسمة: 8 z 2 + 24 4. 8 ض 2 + 24 4.

أوجد حاصل القسمة: 18 z 2-27 9. 18 ض 2-27 9.

تذكر أن القسمة يمكن تمثيلها في صورة كسر. عندما يُطلب منك قسمة كثير الحدود على أحادية وهي ليست في صورة كسر بالفعل ، اكتب كسرًا به كثير الحدود في البسط ووحيد في المقام.

مثال 6.78

أوجد حاصل القسمة: (18 x 3 - 36 x 2) ÷ 6 x. (18 × 3 - 36 × 2) 6 ×.

المحلول

أوجد حاصل القسمة: (27 b 3 - 33 b 2) ÷ 3 b. (27 ب 3 - 33 ب 2) ÷ 3 ب.

أوجد حاصل القسمة: (25 y 3 - 55 y 2) ÷ 5 y. (25 ص 3-55 ص 2) ÷ 5 ص.

عندما نقسم على سالب ، يجب أن نكون أكثر حرصًا مع الإشارات.

مثال 6.79

أوجد حاصل القسمة: 12 d 2 - 16 d −4. ١٢ د ٢ - ١٦ د −4.

المحلول

أوجد حاصل القسمة: 25 y 2-15 y −5. 25 ص 2 - 15 ص −5.

أوجد حاصل القسمة: 42 b 2 - 18 b −6. 42 ب 2 - 18 ب −6.

مثال 6.80

أوجد حاصل القسمة: 105 y 5 + 75 y 3 5 y 2. 105 y 5 + 75 y 3 5 y 2.

المحلول

أوجد حاصل القسمة: 60 d 7 + 24 d 5 4 d 3. 60 د 7 + 24 د 5 4 د 3.

أوجد حاصل القسمة: 216 p 7 - 48 p 5 6 p 3. 216 ص 7-48 ص 5 6 ص 3.

مثال 6.81

أوجد حاصل القسمة: (15 x 3 y - 35 x y 2) ÷ (−5 x y). (15 × 3 ص - 35 × ص 2) ÷ (5 × ص).

المحلول

أوجد حاصل القسمة: (32 a 2 b - 16 a b 2) ÷ (−8 a b). (32 أ 2 ب - 16 أ ب 2) ÷ (8 أ ب).

أوجد حاصل القسمة: (−48 a 8 b 4 - 36 a 6 b 5) ÷ (−6 a 3 b 3). (−48 أ 8 ب 4 - 36 أ 6 ب 5) ÷ (−6 أ 3 ب 3).

مثال 6.82

أوجد حاصل القسمة: 36 x 3 y 2 + 27 x 2 y 2-9 x 2 y 3 9 x 2 y. 36 × 3 ص 2 + 27 × 2 ص 2-9 × 2 ص 3 9 × 2 ص.

المحلول

أوجد حاصل القسمة: 40 x 3 y 2 + 24 x 2 y 2-16 x 2 y 3 8 x 2 y. 40 × 3 ص 2 + 24 × 2 ص 2 - 16 × 2 ص 3 8 × 2 ص.

أوجد حاصل القسمة: 35 a 4 b 2 + 14 a 4 b 3 - 42 a 2 b 4 7 a 2 b 2. 35 أ 4 ب 2 + 14 أ 4 ب 3-42 أ 2 ب 4 7 أ 2 ب 2.

مثال 6.83

أوجد حاصل القسمة: 10 x 2 + 5 x - 20 5 x. ١٠ × ٢ + ٥ × - ٢٠ ٥ ×.

المحلول

أوجد حاصل القسمة: 18 c 2 + 6 c - 9 6 c. 18 ص 2 + 6 ج - 9 6 ج.

أوجد حاصل القسمة: 10 d 2-5 d - 2 5 d. 10 د 2-5 د - 2 5 د.

قسّم كثير الحدود على ذو الحدين

لتقسيم كثير الحدود على ذات الحدين ، نتبع إجراءً مشابهًا جدًا للقسمة المطولة للأرقام. لذلك دعونا ننظر بعناية إلى الخطوات التي نتخذها عندما نقسم عددًا مكونًا من 3 أرقام ، 875 ، على رقم مكون من رقمين ، 25.

نكتب القسمة المطولة
نقسم أول رقمين ، 87 على 25.
نضرب 3 في 25 ونكتب حاصل الضرب تحت 87.
نطرح الآن 75 من 87.
ثم نكتب الرقم الثالث من المقسوم وهو 5.
كرر العملية ، وقسم 25 إلى 125.

نتحقق من القسمة بضرب حاصل القسمة في المقسوم عليه.

إذا قمنا بالقسمة بشكل صحيح ، فيجب أن يساوي الناتج المقسوم.

الآن سنقسم ثلاثي الحدود على ذو الحدين. أثناء قراءة المثال ، لاحظ مدى تشابه الخطوات مع المثال العددي أعلاه.

مثال 6.84

أوجد حاصل القسمة: (x 2 + 9 x + 20) ÷ (x + 5). (س 2 + 9 س + 20) ÷ (س + 5).

المحلول

اكتبها كمسألة قسمة مطولة.
تأكد من أن المقسوم في الشكل القياسي.
يقسم x 2 في x. قد يساعدك أن تسأل نفسك ، "ما الذي أحتاجه للمضاعفة x من خلال الحصول عليها x 2 ?"
ضع الجواب ، x، في حاصل القسمة فوق x مصطلح.
تتضاعف x مرات x + 5. اصطف الحدود المتشابهة تحت المقسوم.
طرح او خصم x 2 + 5x من x 2 + 9x.

ثم أنزل الحد الأخير ، 20.
قسّم 4x بواسطة x. قد يساعدك أن تسأل نفسك ، "ما الذي أحتاجه؟
تتضاعف x من خلال الحصول على 4x?"
ضع الإجابة ، 4 ، في حاصل القسمة على الحد الثابت.
اضرب 4 مرات x + 5.
اطرح 4x + 20 من 4x + 20.
التحقق من:
اضرب حاصل القسمة في القاسم.
(x + 4)(x + 5)
يجب أن تحصل على توزيعات الأرباح.
x 2 + 9x + 20✓

أوجد حاصل القسمة: (y 2 + 10 y + 21) ÷ (y + 3). (ص 2 + 10 ص + 21) ÷ (ص + 3).

أوجد حاصل القسمة: (m 2 + 9 m + 20) ÷ (m + 4). (م 2 + 9 م + 20) ÷ (م + 4).

عندما يكون للمقسوم عليه علامة الطرح ، يجب أن نكون أكثر حرصًا عند ضرب حاصل القسمة الجزئي ثم طرحه. قد يكون من الأكثر أمانًا إظهار أننا نغير العلامات ثم نضيفها.

مثال 6.85

أوجد حاصل القسمة: (2 x 2-5 x - 3) ÷ (x - 3). (٢ × ٢ - ٥ × - ٣) (× - ٣).

المحلول

اكتبها كمسألة قسمة مطولة.
تأكد من أن المقسوم في الشكل القياسي.
قسّم 2x 2 في x.
ضع الجواب ، 2x، في حاصل القسمة فوق x مصطلح.
اضرب 2x مرات x - 3. اصطف الشروط المتشابهة تحت المقسوم.
اطرح 2x 2 − 6x من 2x 2 − 5x.
قم بتغيير العلامات ثم قم بإضافتها.
ثم أنزل المصطلح الأخير.
يقسم x بواسطة x.
ضع الإجابة ، 1 ، في حاصل القسمة على الحد الثابت.
اضرب 1 مرات x − 3.
طرح او خصم x - 3 من x - 3 بتغيير العلامات والجمع.
للتحقق ، اضرب (x − 3)(2x + 1).
يجب أن تكون النتيجة 2x 2 − 5x − 3.

أوجد حاصل القسمة: (2 x 2 - 3 x - 20) ÷ (x - 4). (٢ × ٢ - ٣ × - ٢٠) (× - ٤).

أوجد حاصل القسمة: (3 x 2 - 16 x - 12) ÷ (x - 6). (3 × 2 - 16 × - 12) ÷ (× - 6).

عندما قسمنا 875 على 25 ، لم يتبق لنا الباقي. لكن في بعض الأحيان لا تترك قسمة الأعداد الباقي. وينطبق الشيء نفسه عندما نقسم كثيرات الحدود. في المثال 6.86 ، سيكون لدينا قسمة تترك الباقي. نكتب الباقي على هيئة كسر مقسوم عليه.

مثال 6.86

أوجد حاصل القسمة: (x 3 - x 2 + x + 4) ÷ (x + 1). (س 3 - س 2 + س + 4) ÷ (س + 1).

المحلول

اكتبها كمسألة قسمة مطولة.
تأكد من أن المقسوم في الشكل القياسي.
يقسم x 3 قبل x.
ضع الجواب ، x 2 ، في حاصل القسمة على x 2 مصطلح.
تتضاعف x 2 مرات x + 1. اصطف الحدود المتشابهة تحت المقسوم.
طرح او خصم x 3 + x 2 من x 3 − x 2 عن طريق تغيير العلامات والجمع.
ثم أنزل المصطلح التالي.
قسّم −2x 2 في x.
ضع الجواب ، −2x، في حاصل القسمة فوق x مصطلح.
اضرب −2x مرات x + 1. اصطف الحدود المتشابهة تحت المقسوم.
اطرح −2x 2 − 2x من −2x 2 + x عن طريق تغيير العلامات وإضافة.
ثم أنزل المصطلح الأخير.
قسّم 3x بواسطة x.
ضع الإجابة ، 3 ، في حاصل القسمة على الحد الثابت.
اضرب 3 مرات x + 1. اصطف الحدود المتشابهة تحت المقسوم.
اطرح 3x + 3 من 3x + 4 بتغيير الإشارات والجمع.
اكتب الباقي على شكل كسر مقسوم عليه.
للتحقق ، اضرب (x + 1) (x 2 - 2 x + 3 + 1 x + 1). (س + 1) (× 2 - 2 × + 3 + 1 × + 1).
يجب أن تكون النتيجة x 3 - x 2 + x + 4 x 3 - x 2 + x + 4.

أوجد حاصل القسمة: (x 3 + 5 x 2 + 8 x + 6) ÷ (x + 2). (س 3 + 5 س 2 + 8 س + 6) ÷ (س + 2).

أوجد حاصل القسمة: (2 x 3 + 8 x 2 + x - 8) ÷ (x + 1). (2 × 3 + 8 × 2 + س - 8) ÷ (س + 1).

انظر إلى توزيعات الأرباح في مثال 6.84 ، مثال 6.85 ، ومثال 6.86. تمت كتابة المصطلحات بترتيب تنازلي للدرجات ، ولم تكن هناك درجات مفقودة. المقسوم في المثال 6.87 سيكون x 4 - x 2 + 5 x - 2 x 4 - x 2 + 5 x - 2. ينقصه حد x 3 x 3. سنضيف 0 × 3 0 × 3 كعنصر نائب.

مثال 6.87

أوجد حاصل القسمة: (x 4 - x 2 + 5 x - 2) ÷ (x + 2). (س ٤ - س ٢ + ٥ س - ٢) ÷ (س + ٢).

المحلول

اكتبها كمسألة قسمة مطولة. تأكد من أن توزيعات الأرباح في شكل قياسي مع عناصر نائبة للشروط المفقودة.
يقسم x 4 قبل x.
ضع الجواب ، x 3 ، في حاصل القسمة على x 3 مصطلح.
تتضاعف x ثلاث مرات x + 2. رتب المصطلحات المتشابهة.
اطرح الحد التالي ثم انزله بالأسفل.
قسّم −2x 3 قبل x.
ضع الجواب ، −2x 2 ، في حاصل القسمة على x 2 مصطلح.
اضرب −2x 2 مرات x + 1. اصطف المصطلحات المتشابهة.
اطرح وأنزل الحد التالي.
قسّم 3x 2 في x.
ضع الجواب ، 3x، في حاصل القسمة فوق x مصطلح.
اضرب 3x مرات x + 1. اصطف المصطلحات المتشابهة.
اطرح وأنزل الحد التالي.
قسمة -x بواسطة x.
ضع الإجابة ، 1 ، في حاصل القسمة على الحد الثابت.
اضرب −1 مرات x + 1. اصطف المصطلحات المتشابهة.
تغيير العلامات ، إضافة.
للتحقق ، اضرب (x + 2) (x 3-2 x 2 + 3 x - 1) (x + 2) (x 3-2 x 2 + 3 x - 1).
يجب أن تكون النتيجة x 4 - x 2 + 5 x - 2 x 4 - x 2 + 5 x - 2.

أوجد حاصل القسمة: (x 3 + 3 x + 14) ÷ (x + 2). (س 3 + 3 س + 14) ÷ (س + 2).

أوجد حاصل القسمة: (x 4 - 3 x 3-1000) ÷ (x + 5). (× ٤ - ٣ × ٣ - ١٠٠٠) (× + ٥).

مثال 6.88

أوجد حاصل القسمة: (8 a 3 + 27) ÷ (2 a + 3). (8 أ 3 + 27) ÷ (2 أ + 3).

المحلول

هذه المرة سوف نعرض القسمة كلها في خطوة واحدة. نحتاج إلى إضافة عنصرين نائبين من أجل القسمة.

للتحقق ، اضرب (2 أ + 3) (4 أ 2 - 6 أ + 9) (2 أ + 3) (4 أ 2 - 6 أ + 9).

يجب أن تكون النتيجة 8 a 3 + 27 8 a 3 + 27.

أوجد حاصل القسمة: (x 3 - 64) ÷ (x - 4). (× 3 - 64) × (× - 4).

أوجد حاصل القسمة: (125 x 3 - 8) ÷ (5 x - 2). (125 × 3-8) ÷ (5 × - 2).

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة مع قسمة كثيرات الحدود:

القسم 6.6 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

في التدريبات التالية ، قسّم كل كثير حدود على المونومال.

(63 أ 2 ب 3 + 72 أ ب 4) ÷ (9 أ ب) (63 أ 2 ب 3 + 72 أ ب 4) ÷ (9 أ ب)

(45 × 3 ص 4 + 60 × ص 2) ÷ (5 س ص) (45 × 3 ص 4 + 60 س ص 2) ÷ (5 س ص)

52 ص 5 س 4 + 36 ف 4 س 3 - 64 ف 3 س 2 4 ف 2 س 52 ص 5 س 4 + 36 ف 4 ف 3 - 64 ف 3 س 2 4 ف 2 س

49 ج 2 د 2 - 70 ص 3 د 3 - 35 ج 2 د 4 7 ج د 2 49 ج 2 د 2 - 70 ج 3 د 3 - 35 ج 2 د 4 7 ج د 2

66 × 3 ص 2 - 110 × 2 س 3 - 44 × 4 س 3 11 × 2 س 2 66 × 3 ص 2 - 110 × 2 ص 3 - 44 × 4 س 3 11 × 2 ص 2

72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3-96 r 3 s 5 12 r 2 s 2 72 r 5 s 2 + 132 r 4 s 3-96 r 3 s 5 12 r 2 s 2

36 ص 3 + 18 ص 2-12 ص 6 ص 2 36 ف 3 + 18 ص 2-12 ص 6 ص 2

63 أ 3 - 108 أ 2 + 99 أ 9 أ 2 63 أ 3 - 108 أ 2 + 99 أ 9 أ 2

قسّم كثير الحدود على ذو الحدين

في التدريبات التالية ، قسّم كل كثيرة الحدود على ذات الحدين.

الرياضيات اليومية

متوسط ​​السعر تنتج Pictures Plus ألبومات رقمية. يُعطى متوسط ​​تكلفة الشركة (بالدولار) لإنشاء ألبومات x x بالتعبير 7 x + 500 x 7 x + 500 x.

  1. ⓐ أوجد خارج القسمة بقسمة البسط على المقام.
  2. ⓑ ما هو متوسط ​​التكلفة (بالدولار) لإنتاج 20 ألبومًا؟

المصافحة في اجتماع الشركة ، يصافح كل موظف كل موظف آخر. يتم إعطاء عدد المصافحة بالتعبير n 2 - n 2 n 2 - n 2 ، حيث n n تمثل عدد الموظفين. كم عدد المصافحات التي سيتم إجراؤها إذا كان هناك 10 موظفين في الاجتماع؟

تمارين الكتابة

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة المراجعة هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد مراجعة قائمة التحقق هذه ، ما الذي ستفعله لتصبح واثقًا من جميع الأهداف؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Elementary Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 22 أبريل 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/6-6-divide-polynomials

    © 22 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    MathHelp.com

    عادةً ما يكون الجزء الصعب الوحيد في التقييم هو تتبع علامتي & quotminus & quot. أوصي بشدة باستخدام الأقواس بشكل متحرّر ، خاصة عندما تبدأ للتو.

    تقييم أ 2 ب إلى عن على أ = & ndash2 ، ب = 3 , ج = & ndash4 و د = 4 .

    للعثور على إجابتي ، أقوم فقط بتوصيل القيم المعطاة ، مع الحرص على استخدام الأقواس ، خاصة حول علامتي & quotminus & quot. خاصة عندما أبدأ للتو ، قد يكون رسم الأقواس أولًا مفيدًا:

    لاحظ كيف ساعدني استخدام الأقواس في تتبع علامة & quotminus & quot على قيمة أ . كان هذا مهمًا ، لأنني لولا ذلك كان من الممكن أن أضع 2 فقط ، وينتهي بي الأمر بـ & ndash4 ، والذي كان سيكون خطأ.

    بالمناسبة ، اتضح أننا لسنا بحاجة إلى قيم المتغيرات ج و د . عندما يتم إعطاؤك مجموعة كبيرة من التعبيرات لتقييمها ، يجب أن تتوقع أنه غالبًا ما يكون هناك متغير أو آخر من المتغيرات التي لن يتم تضمينها في أي تمرين معين في المجموعة.

    تقييم أ & - قرص مضغوط إلى عن على أ = & ndash2 ، ب = 3 , ج = & ndash4 و د = 4 .

    في هذا التمرين ، أعطوني معلومات إضافية. لا يوجد ب في التعبير الذي يريدون مني تقييمه ، لذا يمكنني تجاهل هذه القيمة في عملي:

    تقييم (ب + د) 2 من أجل أ = & ndash2 ، ب = 3 , ج = & ndash4 و د = 4 .

    يجب أن أحرص على عدم محاولة & quot توزيع & اقتباس الأس من خلال الأقواس. لا يوزع الدعاة على الجمع! لا يجب أن أحاول أن أقول ذلك (ب + د) 2 هو نفس ب 2 + د 2. هم ليسا نفس الشيء! يجب أن أقوم بتقييم التعبير كما هو:

    تقييم ب 2 + د 2 من أجل أ = & ndash2 ، ب = 3 , ج = & ndash4 و د = 4 .

    في هذا التعبير ، يكون التربيع على كل متغير على حدة.

    لاحظ أن هذه الإجابة الأخيرة أعلاه لا تتطابق مع إجابة التقييم السابق. يوضح هذا بشكل مباشر حقيقة أن الأس لا يوزع على الجمع بالطريقة التي يقوم بها الضرب.

    يجب أن تتوقع على الأقل تمرينًا مشابهًا للاختبارين السابقين في الاختبار التالي ، وكذلك في الاختبار النهائي. هذا الميل لمحاولة توزيع الأس (بدلاً من الضرب) على الإضافة هو خطأ شائع للطالب ، وسيريد مدرسك بالتأكيد أن يذكرك & mdash بشكل متكرر! & مدش الفرق بين تربيع مجموع وجمع مربعين. لا تخلط بينهم!

    تقييم قبل الميلاد 3 و - ميلادي إلى عن على أ = & ndash2 ، ب = 3 , ج = & ndash4 و د = 4 .

    في هذا التمرين ، سأحتاج إلى استخدام قيم المتغيرات الأربعة. لكنني بحاجة إلى توخي الحذر في وضعي ، لأن هذا التعبير لا يستخدم المتغيرات بالترتيب الأبجدي.

    النوع الأكثر شيوعًا من & quot ؛ & quot ؛ & quot ؛ التعبير & quot ؛ الذي من المحتمل أن تحتاج إلى تقييمه سيكون متعدد الحدود. لتقييم كثير الحدود ، تأخذ كثيرة الحدود وتعوض عن المتغير (عادةً x ) مهما كان الرقم الذي قدموه لك.

    تقييم x 4 + 3x 3 و - x 2 + 6 من أجل x = & ndash3.

    هذه هي أول كثيرة حدود أقوم بتقييمها ، لذا سأبدأ مرة أخرى بأقواس فارغة ، لتوضح لي المكان الذي يجب وضع قيمة المتغير فيه.

    التقييم 3x 2 و - 12x + 4 من أجل x = & ndash2.

    أنا سعيد لأنني تدربت على استخدام الأقواس لتوضيح التبديلات. في هذه الحالة ، ستساعدني هذه الأقواس في تتبع علامتي & quotminus & quot.

    تقييم ذ = 4x & ndash 3 في x = & ndash1.

    هذا مختلف. لقد أعطوني معادلة ذات متغيرين ، لكنهم أعطوني قيمة لمتغير واحد فقط. أعتقد أنهم يريدون مني التوصيل x ومعرفة القيمة الناتجة لـ ذ .

    ثم إجابتي هي المعادلة:

    ملاحظة: في هذا التمرين الأخير أعلاه ، كنا نعوض بقيمة لأحد المتغيرات ، ونبسطها لإيجاد قيمة المتغير الآخر. أيضًا ، الجزء الذي كنا نقوم بالتوصيل به تم تعيينه ليكون مساويًا لاسم ، ذ . لهذا السبب ، لم نكن مجرد تقييم لتعبير كنا في الواقع نقيم دالة كثيرة الحدود. تعني نتيجة plug-n-chug أن النقطة (x, ذ) = (& ndash1، & ndash7) على المحك ذ = 4x & ndash 3 أي أن هذه النقطة موجودة على الرسم البياني لدالة كثيرة الحدود.

    يمكنك استخدام أداة Mathway أدناه للتدرب على تقييم التعبيرات لقيم متغيرة معينة. جرب التمرين الذي تم إدخاله ، أو اكتب التمرين الخاص بك. ثم انقر فوق الزر لمقارنة إجابتك بإجابتك في Mathway. (أو تابع إلى الصفحة التالية من هذا الدرس.)

    (انقر فوق & quotTap لعرض الخطوات & quot ليتم نقلك مباشرةً إلى موقع Mathway للحصول على ترقية مدفوعة.)


    إيجاد جذور الدوال

    تذكر أن أي كثير حدود بمتغير واحد هي دالة ويمكن كتابتها في النموذج ،

    و (س) = أ n x n + a n - 1 x n - 1 + ⋯ + a 1 x + a 0

    جذر قيمة في مجال دالة ينتج عنها صفر. من دالة هي قيمة في المجال ينتج عنها صفر. بمعنى آخر ، تحدث الجذور عندما تكون الوظيفة تساوي صفرًا ، f (x) = 0.

    المثال 8

    أوجد الجذور: f (x) = (x + 2) 2-4.

    لإيجاد الجذور ، نساوي الدالة بصفر ونحلها.

    و (س) = 0 (س + 2) 2-4 = 0 س 2 + 4 س + 4 - 4 = 0 س 2 + 4 س = 0 س (س + 4) = 0

    بعد ذلك ، اجعل كل عامل يساوي صفرًا وحل.

    يمكننا أن نظهر أن هؤلاء x- القيم هي الجذور بالتقييم.

    و (0) = (0 + 2) 2-4 و (- 4) = (- 4 + 2) 2-4 = 4-4 = (- 2) 2-4 = 0 = 4 - 4 = 0

    الجواب: الجذور هي 0 و 4.

    إذا قمنا برسم الوظيفة في المثال السابق ، فسنرى أن الجذور تتوافق مع x- مفاهيم الوظيفة. هنا الوظيفة f عبارة عن قطع مكافئ أساسي تم إزاحته بوحدتين إلى اليسار و 4 وحدات لأسفل.

    المثال 9

    أوجد الجذور: f (x) = x 4-5 x 2 + 4.

    لإيجاد الجذور ، نساوي الدالة بصفر ونحلها.

    و (س) = 0 × 4-5 × 2 + 4 = 0 (س 2-1) (س 2-4) = 0 (س + 1) (س - 1) (س + 2) (س - 2) = 0

    بعد ذلك ، اجعل كل عامل يساوي صفرًا وحل.

    س + 1 = 0 أو س - 1 = 0 أو س + 2 = 0 أو س - 2 = 0 س = - 1 س = 1 س = - 2 س = 2

    الجواب: الجذور هي 1 و 1 و 2 و 2.

    رسم الوظيفة السابقة ليس ضمن نطاق هذه الدورة. ومع ذلك ، يتم توفير الرسم البياني أدناه:

    لاحظ أن درجة كثير الحدود هي 4 وحصلنا على أربعة جذور. بشكل عام ، لأي دالة متعددة الحدود بمتغير درجة واحد ن، فإن النظرية الأساسية للجبر تضمن أنه سيكون هناك عدد (أو أقل) من الجذور لدالة متعددة الحدود بمتغير واحد مثل درجتها. ضمانات ن جذور حقيقية أو أقل. لقد رأينا أن العديد من كثيرات الحدود لا تأخذ في الحسبان. هذا لا يعني أن الدوال التي تتضمن كثيرات الحدود غير القابلة للتغير ليس لها جذور حقيقية. في الواقع ، العديد من الدوال متعددة الحدود التي ليس لها عامل لها حلول حقيقية. سوف نتعلم كيفية العثور على هذه الأنواع من الجذور بينما نواصل دراستنا للجبر.

    المثال 10

    أوجد الجذور: f (x) = - x 2 + 10 x - 25.

    لإيجاد الجذور ، نساوي الدالة بصفر ونحلها.

    و (س) = 0 - س 2 + 10 س - 25 = 0 - (س 2-10 س + 25) = 0 - (س - 5) (س - 5) = 0

    بعد ذلك ، اجعل كل عامل متغير يساوي صفرًا وحل.

    س - 5 = 0 أو س - 5 = 0 = 5 س = 5

    الحل الذي يتكرر مرتين يسمى جذر مزدوج جذر يتكرر مرتين. . في هذه الحالة ، هناك حل واحد فقط.

    يوضح المثال السابق أن دالة الدرجة 2 يمكن أن يكون لها جذر واحد. من خطوة التحليل إلى العوامل ، نرى أنه يمكن كتابة الدالة

    في هذا الشكل ، يمكننا أن نرى انعكاسًا حول x-المحور والتحول إلى اليمين 5 وحدات. الرأس هو x- اعتراض يوضح حقيقة أن هناك جذرًا واحدًا فقط.

    جرب هذا! أوجد جذور f (x) = x 3 + 3 x 2 - x - 3.

    المثال 11

    بافتراض ظروف الطريق الجاف ومتوسط ​​أوقات رد الفعل ، يتم إعطاء مسافة التوقف الآمنة بالأقدام بواسطة d (x) = 1 20 x 2 + x ، حيث x يمثل سرعة السيارة بالأميال في الساعة. حدد السرعة الآمنة للسيارة إذا كنت تتوقع التوقف على مسافة 40 قدمًا.

    يطلب منا إيجاد السرعة x حيث مسافة التوقف الآمنة d (x) = 40 قدمًا.

    د (س) = 40 1 20 × 2 + س = 40

    لحل ل x، أعد كتابة المعادلة الناتجة في الشكل القياسي. في هذه الحالة ، سنضرب أولًا كلا الطرفين في 20 لمسح الكسر.

    20 (1 20 × 2 + س) = 20 (40) × 2 + 20 × = 800 × 2 + 20 × - 800 = 0

    العامل التالي ثم ضع كل عامل مساوٍ للصفر.

    س 2 + 20 س - 800 = 0 (س + 40) (س - 20) = 0 س + 40 = 0 س ص - 20 = 0 س = - 40 س = 20

    الإجابة السلبية لا معنى لها في سياق هذه المشكلة. اعتبر أن x = 20 ميلاً في الساعة هي الحل الوحيد.


    رسم بياني متعدد الحدود

    لرسم دالة متعددة الحدود:
    1. أعثر على x- اعتراضات.
    2. قم بعمل جدول للقيم حول x- اعتراضات.
    3. ارسم النقاط.
    4. ارسم منحنى سلس عبر النقاط مع التأكد من صحة سلوك النهاية.

    مثال 8: رسم دالة كثيرة الحدود بيانية

    رسم بياني F(x) = −x 3 + 4x.

    المحلول

    أعثر على x-التداخلات عن طريق تعيين الدالة مساوية للصفر والتحليل إلى عوامل.

    0 = −x(x − 2)(x + 2)

    x = 0 أو x - 2 = 0 أو x + 2 = 0

    x = 0 أو x = 2 أو x = −2

    ال x- التداخلات هي (−2 ، 0) ، (0 ، 0) ، (2 ، 0). قم بعمل جدول للقيم حول x- اعتراضات.

    x & ناقص 4 & ناقص 3 & ناقص 2 & ناقص 1 0 1 2 3 4
    ذ 48 15 0 −3 0 3 0 −15 −48

    ارسم النقاط وارسم منحنى سلس. المعامل الرئيسي سالب (1) والدرجة فردية (3) لذلك يجب أن يرتفع السلوك النهائي إلى اليسار وينخفض ​​إلى اليمين.

    الشكل 8: F(x) = −x 3 + 4x

    جربه 5
    إجابه

    قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام دالات الطاقة وكثيرات الحدود.

    وظائف كثيرة الحدود:

    يترك ن أن يكون عددًا صحيحًا غير سالب. A هي وظيفة يمكن كتابتها في النموذج

    F(x) = أنx ن + & ctdot + أ2x 2 + أ1x + أ0

    • كل أأنا هو ويمكن أن يكون أي رقم حقيقي.
    • أن ≠ 0.
    • كل منتج أأناxأنا هي دالة كثيرة الحدود.
    مصطلحات دوال كثيرة الحدود
    • : تتم كتابة المصطلحات من الأس الأعلى إلى الأس الأقل على المتغير.
    • : الأس الأعلى للمتغير.
    • : معامل المصطلح الذي يحتوي على الأس الأعلى للمتغير.
    الرسوم البيانية لكثيرات الحدود
    1. ال ذ- نقطة التقاطع هي النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع ذ-المحور ويمكن العثور عليها عن طريق الاستبدال x = 0.
    2. ال x- التداخلات هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع x-المحور ويمكن إيجاده بجعل الدالة مساوية للصفر وحل من أجل x.
      • يوجد على الأكثر نفس العدد من x- تتقاطع مع درجة الوظيفة.
      • ال x- تكشف المداخلات عن عدة أشياء أخرى حول الوظيفة.
        1. لو F(ك) = 0 إذن ك هو صفر من F.
        2. لو ك هو صفر ، ثم حل ل F(x) = 0.
        3. لو ك هو صفر ، ثم (xك) هو عامل F.
        4. لو ك هو صفر حقيقي ، ثم (ك، 0) هو أ x-تقاطع.
        • إذا كان الرسم البياني يتقاطع مع x-المحور ، ثم يحدث الصفر والعامل عددًا فرديًا من المرات.
        • إذا لمس الرسم البياني x-المحور بدون عبوره ، ثم يحدث الصفر والعامل عدد زوجي من المرات.
        • عدد مرات حدوث الصفر والعامل يسمى الصفر. يجب أن يساوي مجموع التعددية درجة الدالة.
        لرسم دالة متعددة الحدود:
        1. أعثر على x- اعتراضات.
        2. قم بعمل جدول للقيم حول x- اعتراضات.
        3. ارسم النقاط.
        4. ارسم منحنى سلس عبر النقاط مع التأكد من صحة سلوك النهاية.

        الجبر

        استخدم نظرية الجذر المنطقي لسرد جميع الجذور المنطقية الممكنة للمعادلة. X ^ 3 + 2x-9 = 0. استخدم نظرية الجذر المنطقي لسرد جميع الجذور المنطقية الممكنة للمعادلة. 3 س ^ 3 + 9 س 6 = 0. دالة كثيرة الحدود P (x) مع

        أوجد معادلة تربيعية ذات معاملات تكاملية لها جذور 1/2 و -5 / 2.

        الجبر

        إذا كانت المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية لها مميز 10 ، فما نوع الجذور التي تمتلكها؟ A-2 جذور حقيقية منطقية B-2 جذور حقيقية غير منطقية C-1 جذور حقيقية غير منطقية D-2 جذور خيالية

        تم تصميم صندوق مجوهرات بحيث يكون طوله ضعف عرضه وعمقه أقل من عرضه بمقدار 2 بوصة. حجم الصندوق 64 بوصة مكعبة. استخدم القسمة التركيبية لإيجاد جذور المعادلة كثيرة الحدود. نكون

        الدالة كثيرة الحدود ذات المعاملات النسبية لها الأصفار التالية. ابحث عن جميع الأصفار الإضافية. 2، -2 + ã10

        الجبر

        أوجد معادلة تربيعية ذات معاملات عددية جذورها 2 و 7.

        الجبر

        يجد الأس الراديكالي والعقلاني جذورًا تربيعية لـ 12a ^ 3/25 = 6a ^ 3 -3 - جذور تربيعية 18 / -6 = -1 تحقق من هذا بالنسبة لي للعثور على جذور المشكلة.

        أوجد المميز للمعادلة التربيعية f (x) = 5x ^ 2 - 2x + 7 ووصف طبيعة الجذور. المميز هو 144 ، مميز جذر حقيقي واحد هو -136 ، جذران مركبان

        كثيرات الحدود

        هل يمكنك إيجاد كثير الحدود من الدرجة الرابعة مع معاملات أعداد صحيحة أعطت جذورًا لـ 2i و 4-i

        الجبر

        هل يمكن لأحد أن يخبرني كيف حصلوا على الجواب؟ أوجد معادلة كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية لها جذور معطاة. 4i، sqrt5 إجابتي: x ^ 4-22x ^ 2 + 80 = 0 إجابة صحيحة: x ^ 4 + 11x ^ 2-80 = 0

        بالنظر إلى أن المعادلة x (x-2p) = q (x-p) لها جذور حقيقية لجميع القيم الحقيقية لـ p و q. إذا كانت q = 3 ، فأوجد قيمة غير صفرية لـ p بحيث تكون الجذور منطقية.

        قبل حساب التفاضل والتكامل

        اكتب الجذور المنطقية الممكنة لكل معادلة. ثم حدد الجذور المنطقية. 6x ^ 4 + 35x ^ 3-x ^ 2-7x-1 الجواب في الجزء الخلفي من الكتاب هو: -1/3 و 1/2 أعلم أنه من المفترض أن أستخدم قاعدة ديكارت للإشارات. لقد وجدت ذلك


        MathHelp.com

        ممتاز! وبالتالي x = 1 أحد الأصفار. محاولة x = & ndash1 ، أحصل على:

        1 & ndash 9 + 11 + 22 & ndash 9 + 11 + 21 = 48

        حسنًا ، هذا ليس صفرًا. ولكن ، لتقليل كثير الحدود الخاص بي من خلال عامل واحد يتوافق مع هذا الصفر ، سأقوم بأول عملية قسمة تركيبية:

        لذا فإن المعادلة كثيرة الحدود الخاصة بي هي:

        هذا مقرف جدا. سأحاول الحيلة مع x = 1 مرة أخرى ، فقط في حالة وجود جذر مرتين:

        لطيف! حسنًا ، ها هو القسم التركيبي الثاني:

        على ما يرام. معادلتي الجديدة كثيرة الحدود الآن هي:

        جميع المعاملات موجبة ، لذا لا يمكن أن يكون +1 صفرًا مرة أخرى. حان الوقت الآن لاختبار الجذور المنطقية:

        جلالة الملك. لقد خدشت بالفعل & plusmn1 مباشرة. نظرًا لأن جميع المعاملات موجبة ، فأنا أعلم أن +3 و +7 و +21 خارجة أيضًا. أفضل أن أبقى صغيراً ، إذا استطعت ، لذا سأحاول & ndash3 التالي:

        إذن الآن معادلتي المتعددة الحدود هي:

        من خلال هذا كثير الحدود المصغر ، أستطيع أن أرى أنه يمكنني تجاوز & ndash21 و & ndash3 من قائمة الجذور المحتملة التي من الواضح أنها لن تعمل في هذا كثير الحدود المصغر. لذلك أعتقد أنني تركت مع & ndash7:

        والآن أعود إلى المعادلة التربيعية ، والتي يمكنني حلها بسهولة:

        نظرًا لوجود ناقص داخل الجذر ، فأنا أعلم أن حلول هذه المعادلة التربيعية عبارة عن أعداد مركبة لا تحتوي على أصفار حقيقية. نظرًا لأنهم طلبوا فقط الجذور ذات القيمة الحقيقية لكثير الحدود الأصلي ، فيمكنني إذن تجاهل هذين الأصفرين الأخيرين. ثم جوابي هو:

        لم أتحقق من الرسم البياني عندما فعلت ما سبق ، لكنه يؤكد إجابتي:

        اعتراضات في x = & ndash7 وفي x = & ndash3 واضحة. التقاطع عند x = 1 يتكرر بشكل واضح ، بسبب كيفية ارتداد المنحنى عن x -المحور في هذه المرحلة ، ويعود بالطريقة التي جاء بها.

        ملاحظة: الرسم البياني لكثير الحدود شديد الانحدار في الأماكن التي اختفت أحيانًا في برنامج الرسوم البيانية الخاص بي. اضطررت إلى العبث بقيم المحور وحجم النافذة لإظهار المنحنى بالكامل. عند استخدام الآلة الحاسبة ، لا تلتزم فقط بالشاشة الافتراضية للعب الرسوم البيانية بقيم المحور حتى تحصل على صورة مفيدة.

        حللها جيدًا: 2x 5 & ​​ndash 3x 4 و - 9x 3 + 3x 2 و - 11x + 6

        لقد أعطوني تعبيرًا وليس معادلة ، وطلبوا مني أن أحللها. لذلك سأجد العوامل بدلاً من x - القيم ، وسأحتاج إلى تتبع كل شيء أخرجه ، من البداية إلى النهاية.

        لا يوجد عامل مشترك بين جميع المصطلحات ، لذلك لا يوجد شيء يمكن سحبه بعد. سوف أتحقق من وجود أصفار في المعادلة متعددة الحدود المرتبطة (جعل التعبير الأصلي يساوي صفرًا) ، وأرى ما يمكنني العثور عليه. ثم سأحول الأصفار إلى عوامل ، وسحبها للخارج.

        أولاً ، سأحاول الاختصار المعتاد باستخدام & plusmn1 الإيجابي أولاً:

        لا فرح. سأحاول السلبية الآن:

        هذا أسوأ. حسنًا ، سأستخدم الآن اختبار الجذور المنطقية لإنشاء قائمة بقيم ربما الحل:

        أعلم بالفعل أنه يمكنني تجاهل & plusmn1. تخبرني قاعدة علامات ديكارت أنه سيكون هناك أربعة أو اثنين أو صفر جذور موجبة وجذر سلبي واحد (محدد). لذلك سأبدأ بالأعداد الصحيحة السالبة:

        حسنًا ، لقد وجدت ذلك x = & ndash2 هو جذر ، مما يعني أن x + 2 عامل. أيضًا ، لقد قمت بتقليل التعبير الذي ما زلت بحاجة إلى التحليل إلى العوامل التالية:

        الحد الثابت هو 3 ، لذلك أعلم أن & plusmn2 لا يمكن أن يكون حلاً لما تبقى ، ولا يمكن أن يكون & plusmn6. أيضًا ، لقد وجدت بالفعل واحدًا سالب صفر. لذلك هذا يترك لي:

        أحاول تجنب الكسور ، لذلك سأحاول احتمال آخر عدد صحيح:

        الصف الأخير أعلاه عبارة عن كثير حدود من أربعة حدود يبدو أنه يمكن تحليلها في أزواج:

        العامل التربيعي هو مجموع المربعات ، لذا فهو غير قابل للتحليل. هذا يعني أنني انتهيت ، والتعامل الكامل الخاص بي هو:

        طريقة الإجابة على التمرينين أعلاه هي الطريقة التي تعلمتها ، في العصور القديمة عندما حكمت الديناصورات العالم وصُنعت الآلات الحاسبة من جلود الدب والسكاكين الحجرية. من المحتمل أن تكون مشابهة على الأقل للطريقة التي رأيتها في كتابك ، ومن المحتمل أن يتوقع معلمك أنك تعرض عملاً على غرار ما فعلته أعلاه.

        ومع ذلك ، إذا كان لديك آلة حاسبة بالرسوم البيانية (والجميع يمتلكها حاليًا) ، فيمكنك تجنب إضاعة الكثير من الوقت في قيم ربما الحل التي يتبين أنها لا تعمل.

        البحث عن جميع أصفار ذ = 8x 5 & ​​- 58x 4 + 137x 3 و - 118x 2 + 33x + 18

        قبل القيام بأي شيء آخر ، سأقوم بعمل رسم بياني سريع:

        بالنظر إلى الرسم البياني ، أعرف أن أتحقق x = 3 مرتين:

        كانت كثيرة الحدود الأصلية من الدرجة الخامسة. لقد وجدت صفرًا واحدًا لمضاعفة اثنين ، مما يترك ثلاثة أصفار أخرى على الأكثر. بالنظر إلى كثير الحدود الذي يمثله الصف الأخير أعلاه ، يقول اختبار الجذور المنطقية أن أي & quotnice & quot أصفار متبقية ستكون من بين هذه:

        من الواضح أنه لا توجد أصفار موجبة أخرى. على الجانب السلبي ، يشير الرسم البياني إلى أن القيمة الوحيدة المتبقية التي ربما ينبغي عليّ التحقق منها هي:

        أستطيع الآن أن أرى أن هناك عاملًا مشتركًا لأربعة يمكن تقسيمه وإهماله ، مما يترك لي:

        لقد سألوني عن جميع الأصفار ، وليس فقط كل الأصفار ذات القيمة الحقيقية ، لذلك يجب أن أدرج هذين الجذرين اللذين لا يظهران في الرسم البياني. ومع ذلك ، من خلال التحقق من الرسم البياني أولاً ، تمكنت من توفير الكثير من الوقت في الوصول إلى إجابتي:

        هناك مجموعة متنوعة من هذه التمارين ، حيث توفر واحدًا أو أكثر من العوامل (للتعبير) أو الأصفار (لمعادلة أو وظيفة) ، ويريدون منك العثور على باقي هذه العوامل. لدي أمثلة على كيفية عمل ذلك في الصفحة الأخيرة من درس القسمة التركيبية. غالبًا ما تكون التمارين المتنوعة أكثر فوضوية ، وللإجابة عليها ، من المتوقع أن يكون لديك فهم أعمق لكيفية إنشاء الصيغة التربيعية للحلول في أزواج ، بسبب & quot & quot & plusmn & quot. خلاف ذلك ، فإنهم يعملون بنفس الطريقة إلى حد كبير.


        شاهد الفيديو: حل معادلات كثيرات الحدود (شهر اكتوبر 2021).