مقالات

4.3: تبسيط الأسس المنطقية


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {1} {n}} )
  • تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {m} {n}} )
  • استخدم خصائص الأسس لتبسيط المقادير ذات الأسس الكسرية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. أضف: ( frac {7} {15} + frac {5} {12} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 1.28.
  2. بسّط: ((4x ^ {2} y ^ {5}) ^ {3} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.18.
  3. بسّط: (5 ^ {- 3} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.14.

تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {1} {n}} )

الأسس العقلانيون هي طريقة أخرى لكتابة التعبيرات باستخدام الجذور. عندما نستخدم الأسس الكسرية ، يمكننا تطبيق خصائص الأسس لتبسيط المقادير.

تنص خاصية الطاقة الخاصة بالأُس على أن ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ) عندما (m ) و (n ) أعداد صحيحة . لنفترض أننا لم نقتصر الآن على الأعداد الصحيحة.

لنفترض أننا نريد إيجاد رقم (p ) مثل ( left (8 ^ {p} right) ^ {3} = 8 ). سنستخدم خاصية القوة للأسس لإيجاد قيمة (p ).

( يسار (8 ^ {p} يمين) ^ {3} = 8 )

اضرب الأسس على اليسار.

(8 ^ {3p} = 8 )

اكتب الأس (1 ) على اليمين.

(8 ^ {3p} = 8 ^ {1} )

بما أن الأسس هي نفسها ، يجب أن يتساوى الأسس.

(3 ع = 1 )

حل من أجل (ص ).

(p = frac {1} {3} )

لذا ( left (8 ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = 8 ). لكننا نعرف أيضًا (( sqrt [3] {8}) ^ {3} = 8 ). إذًا يجب أن يكون (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} ).

يمكن استخدام نفس المنطق لأي أس عدد صحيح موجب (n ) لإظهار أن (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

التعريف ( PageIndex {1} ): الأس العقلاني (a ^ { frac {1} {n}} )

إذا كان ( sqrt [n] {a} ) رقمًا حقيقيًا و (n geq 2 ) ، إذن

(a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} )

مقام الأس المنطقي هو فهرس الجذر.

ستكون هناك أوقات يكون فيها العمل مع التعبيرات أسهل إذا استخدمت الأسس المنطقية وأوقات يكون من الأسهل فيها استخدام الجذور. في الأمثلة القليلة الأولى ، ستتدرب على تحويل التعبيرات بين هذين الرمزين.

مثال ( PageIndex {1} )

اكتب كتعبير جذري:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} )
  3. (z ^ { frac {1} {4}} )

المحلول:

نريد كتابة كل تعبير بالصيغة ( sqrt [n] {a} ).

أ.

(x ^ { frac {1} {2}} )

مقام الأس المنطقي هو (2 ) ، لذا فإن فهرس الجذر هو (2 ). لا نعرض الفهرس عندما يكون (2 ).

( sqrt {x} )

ب.

(y ^ { frac {1} {3}} )

مقام الأس هو (3 ) ، لذا فإن الفهرس هو (3 ).

( sqrt [3] {y} )

ج.

(z ^ { frac {1} {4}} )

مقام الأس هو (4 ) ، لذا فإن الفهرس هو (4 ).

( sqrt [4] {z} )

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب كتعبير جذري:

  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2. (م ^ { فارك {1} {3}} )
  3. (r ^ { frac {1} {4}} )
إجابه
  1. ( sqrt {t} )
  2. ( sqrt [3] {m} )
  3. ( sqrt [4] {r} )

تمرين ( PageIndex {2} )

اكتب كتعبير جذري:

  1. (b ^ { frac {1} {6}} )
  2. (z ^ { frac {1} {5}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} )
إجابه
  1. ( sqrt [6] {b} )
  2. ( sqrt [5] {z} )
  3. ( sqrt [4] {p} )

في المثال التالي ، سنكتب كل جذري باستخدام الأس الكسري. من المهم استخدام الأقواس حول التعبير بأكمله في الجذر ، لأن التعبير بأكمله مرفوع إلى القوة المنطقية.

مثال ( PageIndex {2} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {5y} )
  2. ( sqrt [3] {4 x} )
  3. (3 sqrt [4] {5 z} )

المحلول:

نريد كتابة كل جذري بالصيغة (a ^ { frac {1} {n}} )

أ.

( sqrt {5y} )

لا يوجد فهرس معروض ، لذا فهو (2 ).

سيكون مقام الأس (2 ).

ضع أقواس حول التعبير بالكامل (5y ).

((5 ص) ^ { frac {1} {2}} )

ب.

( sqrt [3] {4 x} )

الفهرس هو (3 ) ، لذا فإن مقام الأس هو (3 ). قم بتضمين الأقواس ((4x) ).

((4 س) ^ { فارك {1} {3}} )

ج.

(3 sqrt [4] {5 z} )

الفهرس هو (4 ) ، لذا فإن مقام الأس هو (4 ). ضع الأقواس فقط حول (5z ) لأن الرقم 3 ليس تحت علامة الجذر.

(3 (5 z) ^ { frac {1} {4}} )

تمرين ( PageIndex {3} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {10m} )
  2. ( sqrt [5] {3 n} )
  3. (3 sqrt [4] {6 y} )
إجابه
  1. ((10 م) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((3 n) ^ { frac {1} {5}} )
  3. (3 (6 س) ^ { فارك {1} {4}} )

تمرين ( PageIndex {4} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt [7] {3 كيلو} )
  2. ( sqrt [4] {5 j} )
  3. (8 sqrt [3] {2 a} )
إجابه
  1. ((3 ك) ^ { فارك {1} {7}} )
  2. ((5 ي) ^ { فارك {1} {4}} )
  3. (8 (2 أ) ^ { frac {1} {3}} )

في المثال التالي ، قد تجد أنه من الأسهل تبسيط التعابير إذا أعدت كتابتها على هيئة جذور أولاً.

مثال ( PageIndex {3} )

تبسيط:

  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (256 ^ { frac {1} {4}} )

المحلول:

أ.

(25 ^ { frac {1} {2}} )

أعد كتابته في صورة جذر تربيعي.

( sqrt {25} )

تبسيط.

(5)

ب.

(64 ^ { frac {1} {3}} )

أعد كتابته في صورة جذر تكعيبي.

( sqrt [3] {64} )

التعرف على (64 ) مكعب مثالي.

( sqrt [3] {4 ^ {3}} )

تبسيط.

(4)

ج.

(256 ^ { frac {1} {4}} )

أعد كتابته كجذر رابع.

( sqrt [4] {256} )

التعرف على (256 ) هو قوة رابعة كاملة.

( sqrt [4] {4 ^ {4}} )

تبسيط.

(4)

تمرين ( PageIndex {5} )

تبسيط:

  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (16 ^ { frac {1} {4}} )
إجابه
  1. (6)
  2. (2)
  3. (2)

تمرين ( PageIndex {6} )

تبسيط:

  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {1} {4}} )
إجابه
  1. (10)
  2. (3)
  3. (3)

كن حذرًا من وضع العلامات السلبية في المثال التالي. سنحتاج إلى استخدام الخاصية (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ) في حالة واحدة.

مثال ( PageIndex {4} )

تبسيط:

  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )

المحلول:

أ.

((- 16) ^ { frac {1} {4}} )

أعد كتابته كجذر رابع.

( sqrt [4] {- 16} )

( sqrt [4] {(- 2) ^ {4}} )

تبسيط.

لا يوجد حل حقيقي

ب.

(- 16 ^ { frac {1} {4}} )

الأس ينطبق فقط على (16 ). أعد كتابته كجذر رابع.

(- sqrt [4] {16} )

أعد كتابة (16 ) بالشكل (2 ^ {4} )

(- sqrt [4] {2 ^ {4}} )

تبسيط.

(-2)

ج.

((16) ^ {- frac {1} {4}} )

أعد الكتابة باستخدام الخاصية (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )

أعد كتابته كجذر رابع.

( frac {1} { sqrt [4] {16}} )

أعد كتابة (16 ) بالشكل (2 ^ {4} ).

( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ {4}}} )

تبسيط.

( فارك {1} {2} )

تمرين ( PageIndex {7} )

تبسيط:

  1. ((- 64) ^ {- frac {1} {2}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {2}} )
إجابه
  1. لا يوجد حل حقيقي
  2. (-8)
  3. ( فارك {1} {8} )

تمرين ( PageIndex {8} )

تبسيط:

  1. ((- 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((256) ^ {- frac {1} {4}} )
إجابه
  1. لا يوجد حل حقيقي
  2. (-4)
  3. ( فارك {1} {4} )

تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {m} {n}} )

يمكننا إلقاء نظرة على (a ^ { frac {m} {n}} ) بطريقتين. تذكر أن خاصية الطاقة تخبرنا بضرب الأسس وهكذا ( left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {m} ) و ( left (a ^ {m} right) ^ { frac {1} {n}} ) كلاهما يساوي (a ^ { frac {m} {n}} ). إذا كتبنا هذه التعبيرات في صورة جذرية ، نحصل على

(a ^ { frac {m} {n}} = left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {m} = ( sqrt [n] {a}) ^ { m} quad text {and} quad a ^ { frac {m} {n}} = left (a ^ {m} right) ^ {^ { frac {1} {n}}} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

هذا يقودنا إلى التعريف التالي.

التعريف ( PageIndex {2} ): الأس المنطقي (a ^ { frac {m} {n}} )

لأي أعداد صحيحة موجبة (م ) و (ن ) ،

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} quad text {and} quad a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

ما الشكل الذي نستخدمه لتبسيط التعبير؟ عادة ما نأخذ الجذر أولاً - وبهذه الطريقة نحافظ على الأرقام في الجذر وأصغر ، قبل رفعها إلى القوة المشار إليها.

مثال ( PageIndex {5} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {y ^ {3}} )
  2. (( sqrt [3] {2 x}) ^ {4} )
  3. ( sqrt { left ( frac {3 a} {4 b} right) ^ {3}} )

المحلول:

نريد استخدام (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} ) لكتابة كل جذري بالصيغة (a ^ { frac {m} {ن}})

أ.

ب.

ج.

تمرين ( PageIndex {9} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {x ^ {5}} )
  2. (( sqrt [4] {3 y}) ^ {3} )
  3. ( sqrt { left ( frac {2 m} {3 n} right) ^ {5}} )
إجابه
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2. ((3 ص) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ( left ( frac {2 m} {3 n} right) ^ { frac {5} {2}} )

تمرين ( PageIndex {10} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt [5] {a ^ {2}} )
  2. (( sqrt [3] {5 a b}) ^ {5} )
  3. ( sqrt { left ( frac {7 x y} {z} right) ^ {3}} )
إجابه
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2. ((5 أ ب) ^ { فارك {5} {3}} )
  3. ( left ( frac {7 x y} {z} right) ^ { frac {3} {2}} )

تذكر أن (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ). العلامة السالبة في الأس لا تغير من علامة التعبير.

مثال ( PageIndex {6} )

تبسيط:

  1. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  2. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (32 ^ {- frac {2} {5}} )

المحلول:

سنعيد كتابة التعبير كجذر أولاً باستخدام التعريف ، (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} ). تتيح لنا هذه الصورة أخذ الجذر أولاً ، وبالتالي نحتفظ بالأرقام في الجذر وأصغر مما لو استخدمنا الصيغة الأخرى.

أ.

(125 ^ { frac {2} {3}} )

قوة الجذر هي بسط الأس (2 ). فهرس الجذر هو مقام الأس (3 ).

(( sqrt [3] {125}) ^ {2} )

تبسيط.

((5)^{2})

(25)

ب. سنعيد كتابة كل تعبير أولاً باستخدام (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ) ثم نغير إلى صيغة جذرية.

(16 ^ {- frac {3} {2}} )

أعد الكتابة باستخدام (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}} )

التغيير إلى الشكل الجذري. قوة الجذر هي بسط الأس (3 ). الفهرس هو مقام الأس (2 ).

( frac {1} {( sqrt {16}) ^ {3}} )

تبسيط.

( frac {1} {4 ^ {3}} )

( فارك {1} {64} )

ج.

(32 ^ {- frac {2} {5}} )

أعد الكتابة باستخدام (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}} )

التغيير إلى الشكل الجذري.

( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ {2}} )

أعد كتابة الجذر في صورة قوة.

( frac {1} { left ( sqrt [5] {2 ^ {5}} right) ^ {2}} )

تبسيط.

( frac {1} {2 ^ {2}} )

( فارك {1} {4} )

تمرين ( PageIndex {11} )

تبسيط:

  1. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  2. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ {- frac {3} {4}} )
إجابه
  1. (9)
  2. ( فارك {1} {729} )
  3. ( فارك {1} {8} )

تمرين ( PageIndex {12} )

تبسيط:

  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ {- frac {3} {4}} )
إجابه
  1. (8)
  2. ( فارك {1} {9} )
  3. ( frac {1} {125} )

مثال ( PageIndex {7} )

تبسيط:

  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} )

المحلول:

أ.

(- 25 ^ { frac {3} {2}} )

أعد الكتابة في شكل جذري.

(- ( sqrt {25}) ^ {3} )

بسّط الجذر.

(-(5)^{3})

تبسيط.

(-125)

ب.

(- 25 ^ {- frac {3} {2}} )

أعد الكتابة باستخدام (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

(- left ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}} right) )

أعد الكتابة في شكل جذري.

(- left ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ {3}} right) )

بسّط الجذر.

(- left ( frac {1} {(5) ^ {3}} right) )

تبسيط.

(- frac {1} {125} )

ج.

((- 25) ^ { frac {3} {2}} )

أعد الكتابة في شكل جذري.

(( sqrt {-25}) ^ {3} )

لا يوجد عدد حقيقي جذره التربيعي (- 25 ).

ليس رقمًا حقيقيًا.

تمرين ( PageIndex {13} )

تبسيط:

  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} )
إجابه
  1. (-64)
  2. (- frac {1} {64} )
  3. ليس رقمًا حقيقيًا

تمرين ( PageIndex {14} )

تبسيط:

  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} )
إجابه
  1. (-729)
  2. (- فارك {1} {729} )
  3. ليس رقمًا حقيقيًا

استخدم خصائص الأس لتبسيط التعبيرات ذات الأسس المنطقية

تنطبق نفس خصائص الأس التي استخدمناها بالفعل على الأس المنطقي. سنقوم بإدراج خصائص الأس هنا كمرجع أثناء قيامنا بتبسيط التعبيرات.

خصائص الأس

إذا كان (a ) و (b ) أرقامًا حقيقية و (m ) و (n ) أرقام منطقية ، إذن

خاصية المنتج

(a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} )

خاصية الطاقة

( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} )

المنتج إلى قوة

((أ ب) ^ {m} = أ ^ {m} ب ^ {m} )

خاصية الحاصل

( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}، a neq 0 )

تعريف الأس الصفري

(أ ^ {0} = 1 ، أ neq 0 )

الحاصل على خاصية الطاقة

( left ( frac {a} {b} right) ^ {m} = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}}، b neq 0 )

خاصية الأس السلبية

(a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}}، a neq 0 )

سنقوم بتطبيق هذه الخصائص في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {8} )

تبسيط:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )
  2. ( left (z ^ {9} right) ^ { frac {2} {3}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )

المحلول

أ. تخبرنا خاصية المنتج أنه عندما نضاعف الأساس نفسه ، نضيف الأسس.

(x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )

الأسس هي نفسها ، لذلك نجمع الأسس.

(x ^ { frac {1} {2} + frac {5} {6}} )

اجمع الكسور.

(x ^ { frac {8} {6}} )

بسّط الأس.

(x ^ { frac {4} {3}} )

ب. تخبرنا خاصية القوة أنه عندما نرفع قوة ما إلى قوة ، فإننا نضاعف الأسس.

( left (z ^ {9} right) ^ { frac {2} {3}} )

لرفع قوة إلى قوة ، فإننا نضرب الأسس.

(z ^ {9 cdot frac {2} {3}} )

تبسيط.

(ض ^ {6} )

ج. تخبرنا خاصية Quotient أنه عندما نقسم على نفس القاعدة ، فإننا نطرح الأسس.

( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )

للقسمة على نفس الأساس ، نطرح الأسس.

( frac {1} {x ^ { frac {5} {3} - frac {1} {3}}} )

تبسيط.

( frac {1} {x ^ { frac {4} {3}}} )

تمرين ( PageIndex {15} )

تبسيط:

  1. (x ^ { frac {1} {6}} cdot x ^ { frac {4} {3}} )
  2. ( left (x ^ {6} right) ^ { frac {4} {3}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )
إجابه
  1. (x ^ { frac {3} {2}} )
  2. (س ^ {8} )
  3. ( فارك {1} {س} )

تمرين ( PageIndex {16} )

تبسيط:

  1. (y ^ { frac {3} {4}} cdot y ^ { frac {5} {8}} )
  2. ( left (m ^ {9} right) ^ { frac {2} {9}} )
  3. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} )
إجابه
  1. (y ^ { frac {11} {8}} )
  2. (م ^ {2} )
  3. ( فارك {1} {د} )

نحتاج أحيانًا إلى استخدام أكثر من خاصية واحدة. في المثال التالي ، سنستخدم كلا من المنتج إلى خاصية الطاقة وبعد ذلك خاصية الطاقة.

مثال ( PageIndex {9} )

تبسيط:

  1. ( left (27 u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )
  2. ( left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} )

المحلول:

أ.

( left (27 u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )

أولاً ، نستخدم المنتج في خاصية الطاقة.

((27) ^ { frac {2} {3}} left (u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )

أعد كتابة (27 ) كقوة لـ (3 ).

( left (3 ^ {3} right) ^ { frac {2} {3}} left (u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} { 3}} )

لرفع قوة إلى قوة ، فإننا نضرب الأسس.

( left (3 ^ {2} right) left (u ^ { frac {1} {3}} right) )

تبسيط.

(9 u ^ { frac {1} {3}} )

ب.

( left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} )

أولاً ، نستخدم المنتج في خاصية الطاقة.

( left (m ^ { frac {2} {3}} right) ^ { frac {3} {2}} left (n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} )

لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس.

(m n ^ { frac {3} {4}} )

تمرين ( PageIndex {17} )

تبسيط:

  1. ( left (32 × ^ { frac {1} {3}} right) ^ { frac {3} {5}} )
  2. ( left (x ^ { frac {3} {4}} y ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )
إجابه
  1. (8 × ^ { frac {1} {5}} )
  2. (x ^ { frac {1} {2}} y ^ { frac {1} {3}} )

تمرين ( PageIndex {18} )

تبسيط:

  1. ( left (81 n ^ { frac {2} {5}} right) ^ { frac {3} {2}} )
  2. ( left (a ^ { frac {3} {2}} b ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {4} {3}} )
إجابه
  1. (729 n ^ { frac {3} {5}} )
  2. (a ^ {2} b ^ { frac {2} {3}} )

سوف نستخدم كلا من خاصية المنتج و ال خاصية الحاصل في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {10} )

تبسيط:

  1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
  2. ( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3}} y ^ { frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

المحلول:

أ.

( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )

استخدم خاصية المنتج في البسط ، أضف الأس.

( frac {x ^ { frac {2} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )

استخدم خاصية الحاصل ، اطرح الأس.

(x ^ { frac {8} {4}} )

تبسيط.

(س ^ {2} )

ب.

( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3}} y ^ { frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

استخدم خاصية الحاصل ، اطرح الأس.

( left ( frac {16 x ^ { frac {6} {3}}} {y ^ { frac {6} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

تبسيط.

( left ( frac {16 x ^ {2}} {y} right) ^ { frac {1} {2}} )

استخدم المنتج إلى خاصية الطاقة ، واضرب الأس.

( frac {4 x} {y ^ { frac {1} {2}}} )

تمرين ( PageIndex {19} )

تبسيط:

  1. ( frac {m ^ { frac {2} {3}} cdot m ^ {- frac {1} {3}}} {m ^ {- frac {5} {3}}} )
  2. ( left ( frac {25 m ^ { frac {1} {6}} n ^ { frac {11} {6}}} {m ^ { frac {2} {3}} n ^ { - frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )
إجابه
  1. (م ^ {2} )
  2. ( frac {5 n} {m ^ { frac {1} {4}}} )

تمرين ( PageIndex {20} )

تبسيط:

  1. ( frac {u ^ { frac {4} {5}} cdot u ^ {- frac {2} {5}}} {u ^ {- frac {13} {5}}} )
  2. ( left ( frac {27 x ^ { frac {4} {5}} y ^ { frac {1} {6}}} {x ^ { frac {1} {5}} y ^ { - frac {5} {6}}} right) ^ { frac {1} {3}} )
إجابه
  1. (u ^ {3} )
  2. (3 × ^ { frac {1} {5}} ص ^ { frac {1} {3}} )

الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع الأسس المنطقية المبسطة.

  • دعاة المراجعة العقلانية
  • استخدام قوانين الأس على الجذور: خصائص الأسس العقلاني

المفاهيم الرئيسية

  • الأس العقلاني (a ^ { frac {1} {n}} )
    • إذا كان ( sqrt [n] {a} ) رقمًا حقيقيًا و (n≥2 ) ، إذن (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).
  • الأس العقلاني (a ^ { frac {m} {n}} )
    • لأي أعداد صحيحة موجبة (م ) و (ن ) ،
      (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} text {and} a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [ n] {a ^ {m}} )
  • خصائص الأس
    • إذا كانت (أ ، ب ) أرقامًا حقيقية و (م ، ن ) أرقام منطقية ، إذن
      • خاصية المنتج (a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} )
      • خاصية الطاقة ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} )
      • المنتج إلى قوة ((أ ب) ^ {m} = أ ^ {m} ب ^ {m} )
      • خاصية الحاصل ( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}، a neq 0 )
      • تعريف الأس الصفري (أ ^ {0} = 1 ، أ neq 0 )
      • الحاصل على خاصية الطاقة ( left ( frac {a} {b} right) ^ {m} = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}}، b neq 0 )
      • خاصية الأس السلبية (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}}، a neq 0 )

تبسيط كثيرات الحدود

يوجد في القسم 3 من الفصل 1 العديد من التعريفات المهمة جدًا ، والتي استخدمناها عدة مرات. نظرًا لأن هذه التعريفات تكتسب أهمية جديدة في هذا الفصل ، فسوف نكررها.

عندما يتكون التعبير الجبري من أجزاء متصلة بعلامات + أو - ، فإن هذه الأجزاء ، جنبًا إلى جنب مع علاماتها ، تسمى مصطلحات من التعبير.

أ + ب لها حدين.
2x + 5y - 3 له ثلاثة حدود.

في أ + ب ، تكون الشروط أ و ب. في 2x + 5y - 3 ، المصطلحات هي 2x و 5y و -3.

عندما يتكون التعبير الجبري من أجزاء ليتم ضربها ، فإن هذه الأجزاء تسمى عوامل من التعبير.

من المهم جدًا أن تكون قادرًا على التمييز بين المصطلحات والعوامل. لن تنطبق القواعد التي تنطبق على الشروط ، بشكل عام ، على العوامل. عند تسمية المصطلحات أو العوامل ، من الضروري مراعاة التعبير بأكمله.

من الآن فصاعدًا من خلال كل الجبر ، ستستخدم الكلمات مصطلح و عامل. تأكد من فهمك للتعريفات.

ان الأس هو رقم يستخدم للإشارة إلى عدد مرات استخدام عامل ما في المنتج. يُكتب الأس عادةً كرقم أصغر (في الحجم) أعلى قليلاً وعلى يمين العامل المتأثر بالأس.

يُشار إلى الأس أحيانًا باسم "قوة". على سبيل المثال ، يمكن الإشارة إلى 5 3 على أنها "خمسة إلى القوة الثالثة".

لاحظ الفرق بين 2x 3 و (2x) 3. من خلال استخدام الأقواس كرموز للتجميع ، نرى ذلك

2x 3 تعني 2 (x) (x) (x) ، بينما (2x) 3 تعني (2x) (2x) (2x) أو 8x 3.

ما لم يتم استخدام الأقواس ، فإن الأس يؤثر فقط على العامل الذي يسبقه مباشرة.

في تعبير مثل 5x 4
5 هو معامل في الرياضيات او درجة,
س هو قاعدة,
4 هو الأس.
5x 4 تعني 5 (x) (x) (x) (x).

لاحظ أن الأساس فقط هو الذي يتأثر بالأس.

يرتكب العديد من الطلاب الخطأ بضرب الأساس في الأس ، على سبيل المثال سيقولون 3 4 = 12 بدلاً من الإجابة الصحيحة ،
3 4 = (3)(3)(3)(3) = 81.

عندما نكتب رقمًا حرفيًا مثل x ، سوف نفهم أن المعامل هو واحد والأس واحد. يمكن أن يكون هذا مهمًا جدًا في العديد من العمليات.

من المفهوم أيضًا أن رقمًا مكتوبًا مثل 3 له أس 1. نحن فقط لا نتعبأ بكتابة الأس 1.


أسئلة مشابهة

الرياضيات العاجلة

1. بسّط التعبير 7 ^ 9/7 ^ 3 a.7 ^ 3 *** b.7 ^ 6 c.7 ^ 12 d.1 ^ 6 2. بسّط التعبير z ^ 8 / z ^ 12 az ^ 20 bz ^ 4 c.1 / z ^ -4 d.1 / z ^ 4 3. بسّط التعبير (-3 ^ 4) / (- 3 ^ 4 a. (- 3) ^ 1 b.0 c.1 d . (- 3) ^ 8 4. أي التعبيرات يمكن أن تكون

لا أعرف كيف أعيد كتابة تعبير باستخدام تدوين الأس المنطقي. تظهر المشكلة على أنها ^ 3 الجذر التربيعي لـ 11.

تبسيط. y ^ -9 * y ^ 3 اكتب إجابتك بأس موجب فقط.

ما قبل الجبر

ماذا سيساوي 6 (1/3)؟ أنا أقوم حاليًا بالنمو الأسي والانحطاط ، لكنني لا أفهم تمامًا كيفية القيام بذلك. المشكلة هي y = 6 (1/3) الأس x وتنطلق من الأس 1-5. إذا كان الأس 2 ، إذن

أوجد حجم هرم مربع طول قاعدته 14.2 سم ، وارتفاعه 3.9 سم ، أس واحدًا و 18.5 سم لثلاثة أس 71.0 سم لثلاثة أس ، 262.1 سم ، تعرض لثلاثة أس 786.4 سم لثلاثة

بسّط كل أس. اكتب الإجابة بالصيغة القياسية وصيغة الأس. 12 ^ 2 (2 ^ 8) * (2 ^ -3) 2 ^ 15/2 ^ 8 4 ^ 5 + 4 ^ 2 (3 ^ -3) ^ 2 ((2) ^ 4 * (2) ^ 5) / (2) ^ 6 4 ^ 2-2 ^ 3 مساعدة. نسيت كيف أفعل ذلك. شكرا،

الجبر

تبسيط. جذر من 500 بسيط.اسم جميع المتغيرات تمثل أرقامًا إيجابية. جذر X ^ 4Y ^ 3 قرر ما إذا كان الجذر 49/100 منطقيًا أم غير منطقي 500 = 100 * 5 sqrt x ^ ay ^ b هو x ^ (a / 2) y ^ (b / 2) ما هو الجذر التربيعي لـ 7 ، من

تطبيق قوانين الأس. عرض طرقًا مختلفة لتبسيط كل من التعبيرات التالية. أجب على السؤال التالي. 1. 2 ^ 5 * 2 ^ 4 2. x ^ 4 * x ^ 7 3. (3 ^ 2) ^ 3 4. (م ^ 4) ^ 5 5. (5 ^ 3 * 2 ^ 2) ^ 2 1 كيف تبسيط

الرياضيات (الرجاء المساعدة)

* أنا لا أفهم هذه المشكلة على الإطلاق. 4 (x + 2) 6x ^ 2 ------ * ---- 5x 2x ما هي الاتجاهات؟ في المقام ، لديك 10x ^ 2 في البسط ، لديك 24x ^ 2 (x + 2) تقسم x ^ 2 ، ويمكن تقليل الأرقام. التي من شأنها أن

الفيزياء

ينتقل الإلكترون بسرعة 1٪ من سرعة الضوء. ما هي طاقتها الحركية بالجول؟ (سرعة الضوء = 3x 10 أس 8 م / ث) أ. 4.000 × 10-18 (أس -18) ب. 4.098 × 10 (أس -18) ج. 4.098 × 10 (الأس

ريدج ريدان الهندي

بسّط التعبير المعطى إلى صيغة الأس المنطقية وبرّر كل خطوة بتحديد خصائص الأسس المنطقية المستخدمة. يجب إظهار كل العمل. 1 / الجذر التكعيبي لـ x حتى -6

الرياضيات 9

استخدم قواعد الأس للتبسيط. اكتب كقوة واحدة ، لا داعي لإيجاد القيمة. [(11/20) ^ 4 x (11/20) ^ - 8] ^ 5 و (11/20) ^ - 6 لا يمكنك ترك رقم لقوة الأس السالب. عليك تغييره مثل هذا المثال:


4.3: تبسيط الأسس المنطقية

لقد اشتريت مدرس الجبر الشخصي (PAT). النظام لا يعمل كما أردت أو توقعت ، وهناك العديد من المشاكل التي لن يحلها ، أو بعض المشاكل ستجمد النظام. البرنامج على ما يرام ولكن هناك العديد من القيود والعديد من المشكلات الفنية. استغرق الأمر ثلاثة رسائل بريد إلكتروني من الدعم الفني لديهم فقط لتنشيط البرنامج.
تيريزا سوندرز ، أو

أداة رائعة لطالب الجبر الجديد.
جوري كيد ، كنتاكي

لقد حصلت على 95٪ في منتصف الفصل الدراسي في Algebra في الكلية مما أدى إلى رفع درجتي إلى درجة A. لقد وصلت إلى درجة C وكنت قلقًا عندما وجدت برنامجك. أعتمد على برنامجك في معظم ما تعلمته. شكرا على الرد السريع.
جو جونسون ، أوهايو

أحدث إصدار من برنامجك هائل. إلى جانب واجهة المستخدم الرسومية ، أحببت بشكل خاص "المعالجات" التي تجعل إدخال مشاكل النوع الهندسي أسهل بكثير. لم أستخدم الميزات الأكثر تقدمًا حتى الآن (العمليات الوظيفية وما إلى ذلك) ، ولكن سيصبح هذا مفيدًا بمجرد أن أصل إلى College Algebra.
مونيكا ، تكساس


4.3: تبسيط الأسس المنطقية

· تحويل الجذور إلى التعبيرات ذات الأسس المنطقية.

· تحويل التعبيرات ذات الأسس المنطقية إلى معادلاتها الجذرية.

· استخدم قوانين الأسس لتبسيط التعبيرات ذات الأسس المنطقية.

· استخدام الأسس المنطقية لتبسيط التعبيرات الجذرية.

غالبًا ما تكتب الجذور التربيعية باستخدام علامة جذرية مثل هذه. لكن هناك طريقة أخرى لتمثيل أخذ الجذور. يمكنك استخدام الأس المنطقي بدلاً من الجذر. أ الأس العقلاني أس هو كسر. على سبيل المثال ، يمكن كتابتها كـ.

لا يمكنك تخيل رفع عدد إلى الأس المنطقي؟ قد يكون من الصعب التعود عليها ، لكن الأسس المنطقية يمكنها في الواقع المساعدة في تبسيط بعض المسائل. دعونا نستكشف العلاقة بين الأس المنطقيين (الكسريين) والراديكاليين.

إعادة كتابة التعبيرات الجذرية باستخدام الأسس المنطقية

الجذور والأسس الكسرية هي طرق بديلة للتعبير عن نفس الشيء. لقد رأيت بالفعل كيف يمكن التعبير عن الجذور التربيعية كأسس للقوة النصف.


4.3: تبسيط الأسس المنطقية

قم بإجراء العمليات المشار إليها.
اكتب كل إجابة باستخدام الأس الموجبة فقط.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية غير صفرية.

قم بإجراء العمليات المشار إليها.
اكتب كل إجابة باستخدام الأس الموجبة فقط.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية غير صفرية.

قم بإجراء العمليات المحددة.
اكتب كل إجابة باستخدام الأس الموجبة فقط.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية غير صفرية.

احسب التعبير & # 160 16 1 وفراسل4 = (2 4) 1 & frasl4
احسب التعبير & # 160 16 1 وفراسل4 = 2

قم بإجراء العمليات المشار إليها.
اكتب كل إجابة باستخدام الأس الموجبة فقط.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.

100 3 وفراسل2 = (10 2) 3 وفراسل2
100 3 وفراسل2 = 10 3
100 3 وفراسل2 = 1000

قم بإجراء العمليات المشار إليها.
اكتب كل إجابة باستخدام الأس الموجبة فقط.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.

قم بإجراء العمليات المشار إليها.
اكتب كل إجابة باستخدام الأس الموجبة فقط.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.

ابحث عن المنتج.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.

عامل باستخدام العامل المشترك المحدد.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.

4t & # 1502 + 8t & # 1504 ، & # 160 معطى 4t & # 1504

4t & # 1502 + 8t & # 1504 = 4t & # 1504 (ر 2 + 2)

عامل باستخدام العامل المشترك المحدد.
افترض أن جميع المتغيرات تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.

(ص + 4) & # 1503 & فراسل2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (ص + 4) 1 وفراسل2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [1 + (ف + 4) + (ف + 4) 2]
(ص + 4) & # 1503 & فراسل2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (ص + 4) 1 وفراسل2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [1 + (ف + 4) + (ص 2 + 8 بكسل + 16)]
(ص + 4) & # 1503 & فراسل2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (ص + 4) 1 وفراسل2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [1 + ف + 4 + ص 2 + 8 ص + 16]
(ص + 4) & # 1503 & فراسل2 + (p + 4) & # 1501 & frasl2 + (ص + 4) 1 وفراسل2 = (p + 4) & # 1503 & frasl2 [p 2 + 9p + 21]

نفذ جميع العمليات المشار إليها واكتب الإجابة بأسس صحيحة موجبة.

بسّط التعبير المنطقي.
استخدم العوملة حسب الحاجة.
افترض أن جميع التعبيرات المتغيرة تمثل أرقامًا حقيقية موجبة.

2 (2x & # 150 3) 1 & frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x & # 150 3) 2 & frasl3
 =  (2x & # 150 3) 1 & frasl3 [2 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1501]
–––––––––––––––––––––––––––––––––
(2x & # 150 3) 1 & frasl3 (2x & # 150 3) 1 & frasl3

2 (2x & # 150 3) 1 & frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x & # 150 3) 2 & frasl3
 =  2 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1501
––––––––––––––––––––
(2x & # 150 3) 1 & frasl3

2 (2x & # 150 3) 1 & frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x & # 150 3) 2 & frasl3

 = 
2 –  x & # 150 1
––––––
2x & # 150 3
–––––––––––
(2x & # 150 3) 1 & frasl3

2 (2x & # 150 3) 1 & frasl3 & # 150 (x & # 150 1) (2x & # 150 3) & # 1502 & frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
(2x & # 150 3) 2 & frasl3

مصدر مشاكل التمرين: & # 160 College Algebra and Trigonometry بقلم Lial، Hornsey، Schneider، Daniels، Fifth Edition، Section R6، pp. 55-58


4.3: تبسيط الأسس المنطقية

الآن بعد أن نظرنا إلى الأس الصحيح ، نحتاج إلى البدء في النظر إلى الأس الأكثر تعقيدًا. في هذا القسم سنلقي نظرة على الأسس المنطقية. هذا هو الأس في النموذج

حيث (m ) و (n ) أعداد صحيحة.

سنبدأ ببساطة بالنظر إلى الحالة الخاصة التالية ،

حيث (n ) عدد صحيح. بمجرد أن نحدد هذا ، سيكون من السهل جدًا التعامل مع الحالة العامة المذكورة أعلاه.

دعونا أولاً نحدد فقط ما نعنيه بأسس هذا النموذج.

بمعنى آخر ، عند تقييم (>> ) نسأل ما هو الرقم (في هذه الحالة (أ )) الذي رفعناه إلى (n ) للحصول على (ب ). غالبا (>> ) يسمى (n ) جذر ب.

فلنقم بتقييمين.

عند إجراء هذه التقييمات ، فإننا في الواقع لن نقوم بها بشكل مباشر. عند مواجهة هذه الأنواع من التقييمات لأول مرة ، غالبًا ما يكون إجراؤها مباشرة أمرًا صعبًا للغاية. من أجل تقييم هذه ، سوف نتذكر التكافؤ الوارد في التعريف ونستخدمه بدلاً من ذلك.

سنعمل على أول واحد بالتفصيل ثم لا نضع الكثير من التفاصيل في بقية المشاكل.

إذن ، هذا ما نطلبه في هذه المسألة.

باستخدام التكافؤ من التعريف يمكننا إعادة كتابة هذا ،

لذا ، كل ما نطلبه هنا حقًا هو ما هو العدد الذي تربيعه لنحصل على 25. في هذه الحالة (نأمل) أن يكون من السهل الحصول عليه. نحن نربّع 5 لنحصل على 25. لذلك ،

إذن ما نطلبه هنا هو ما هو العدد الذي رفعناه إلى الأس الخامس لنحصل على 32؟

ما هو العدد الذي رفعناه للقوة الرابعة لنحصل على 81؟

نحن بحاجة إلى توخي الحذر قليلاً مع علامات الطرح هنا ، لكن بخلاف ذلك ، فإنها تعمل بنفس طريقة الأجزاء السابقة. ما الرقم الذي رفعناه إلى القوة الثالثة (بمعنى آخر. مكعب) للحصول على -8؟

هذا الجزء ليس لديه إجابة. إنه هنا لإثبات نقطة. في هذه الحالة نسأل عن العدد الذي نرفعه للقوة الرابعة لنحصل على -16. ومع ذلك ، نعلم أيضًا أن رفع أي رقم (موجب أو سالب) إلى قوة زوجية سيكون موجبًا. بعبارة أخرى ، لا يوجد رقم حقيقي يمكننا رفعه للقوة الرابعة لنحصل على -16.

لاحظ أن هذا يختلف عن الجزء السابق. إذا رفعنا عددًا سالبًا إلى قوة فردية ، فسنحصل على رقم سالب حتى نتمكن من إجراء التقييم في الجزء السابق.

كما أوضح هذا الجزء ، لا يمكننا دائمًا إجراء هذه التقييمات.

مرة أخرى ، هذا الجزء هنا لتوضيح نقطة أكثر من أي شيء آخر. على عكس الجزء السابق ، هذا واحد لديه إجابة. تذكر من القسم السابق أنه في حالة عدم وجود أي أقواس ، فإن الجزء الموجود على يسار الأس فقط هو الذي يحصل على الأس. إذن ، هذا الجزء يطلب منا تقييم المصطلح التالي.

لذا ، نحتاج إلى تحديد العدد المرفوع للقوة الرابعة الذي سيمنحنا 16. هذا هو 2 وهكذا في هذه الحالة الإجابة هي ،

كما أوضح الجزءان الأخيران من المثال السابق مرة أخرى ، نحتاج حقًا إلى توخي الحذر عند استخدام الأقواس. في هذه الحالة ، يصنع الأقواس الفرق بين القدرة على الحصول على إجابة أم لا.

أيضًا ، لا تقلق إذا لم تكن تعرف بعض هذه القوى من أعلى رأسك. عادة ما تكون بسيطة إلى حد ما لتحديد ما إذا كنت لا تعرفهم على الفور. على سبيل المثال ، في الجزء "ب" ، كنا بحاجة إلى تحديد الرقم المرفوع إلى الرقم 5 الذي سيعطي 32. إذا لم تتمكن من رؤية القوة مباشرة من أعلى رأسك ، فما عليك سوى البدء في أخذ الصلاحيات حتى تجد الرقم الصحيح. بمعنى آخر احسب (<2 ^ 5> ) ، (<3 ^ 5> ) ، (<4 ^ 5> ) حتى تصل إلى القيمة الصحيحة. بالطبع ، في هذه الحالة لن نحتاج إلى تجاوز الحساب الأول.

الشيء التالي الذي يجب أن ندركه هو أن جميع خصائص الأس التي قدمناها في القسم السابق لا تزال صالحة لجميع الأسس المنطقية. يتضمن هذا الأس المنطقي الأكثر عمومية والذي لم ننظر إليه بعد.

الآن بعد أن علمنا أن الخصائص لا تزال صالحة ، يمكننا أن نرى كيفية التعامل مع الأس المنطقي الأكثر عمومية. هناك طريقتان مختلفتان للتعامل معهم كما سنرى. تتضمن كلتا الطريقتين استخدام الخاصية 2 من القسم السابق. لأغراض مرجعية ، هذه الخاصية هي ،

لذا ، دعونا نرى كيفية التعامل مع الأس المنطقي العام. سنعيد كتابة الأس على النحو التالي.

بعبارة أخرى ، يمكننا التفكير في الأس على أنه حاصل ضرب عددين. الآن سوف نستخدم خاصية الأس الموضحة أعلاه. ومع ذلك ، سنستخدمه في الاتجاه المعاكس لما فعلناه في القسم السابق. أيضا ، هناك طريقتان للقيام بذلك. ها هم،

باستخدام أي من هاتين الصيغتين ، يمكننا الآن إيجاد قيمة بعض التعبيرات الأكثر تعقيدًا

يمكننا استخدام أي من النموذجين لإجراء التقييمات. ومع ذلك ، فإنه عادة ما يكون أكثر ملاءمة لاستخدام النموذج الأول كما سنرى.

دعنا نستخدم كلا النموذجين هنا حيث لا أحد منهما سيء للغاية في هذه الحالة. دعونا نلقي نظرة على الشكل الأول.

الآن ، دعونا نلقي نظرة على النموذج الثاني.

لذلك ، نحصل على نفس الإجابة بغض النظر عن الشكل. لاحظ مع ذلك أنه عندما استخدمنا النموذج الثاني انتهى بنا الأمر إلى أخذ الجذر الثالث لعدد أكبر بكثير مما قد يسبب مشاكل في بعض الأحيان.

مرة أخرى ، دعنا نستخدم كلا النموذجين لحساب هذا.

كما أظهر هذا الجزء ، قد يكون من الصعب جدًا استخدام النموذج الثاني في الحسابات. لم يكن الجذر في هذه الحالة جذرًا واضحًا وليس من السهل الحصول عليه إذا لم تكن تعرفه مباشرة من أعلى رأسك.

في هذه الحالة سنستخدم النموذج الأول فقط. ومع ذلك ، قبل القيام بذلك ، سنحتاج أولاً إلى استخدام الخاصية 5 من خصائص الأس لإدخال الأس في البسط والمقام.

يمكننا أيضًا حل بعض مسائل نوع التبسيط مع الأسس المنطقية التي رأيناها في القسم السابق.

في هذه المسألة ، سننقل الأس إلى القوس أولاً ثم نحذف الأس السالب كما فعلنا في القسم السابق. سننقل المصطلح بعد ذلك إلى المقام ونسقط علامة الطرح.

في هذه الحالة ، سنبسط التعبير داخل الأقواس أولًا.

لا تقلق إذا لم يعد لدينا كسر بعد الآن بعد التبسيط. سيحدث ذلك في بعض الأحيان. الآن سنزيل السالب في الأس باستخدام الخاصية 7 ثم سنستخدم الخاصية 4 لإنهاء المسألة.

سنترك هذا القسم مع تحذير بشأن خطأ شائع يرتكبه الطلاب فيما يتعلق بالأسس السالبة والأسس المنطقية. احرص على عدم الخلط بين الاثنين لأنهما موضوعان منفصلان تمامًا.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


نأمل أن تكون قد استمتعت بالتعلم حول تبسيط التعبيرات المنطقية باستخدام الأمثلة وأسئلة التدريب. الآن ، سوف تكون قادرًا على حل المشكلات بسهولة على مختلف التقنيات المستخدمة لتبسيط التعبيرات المنطقية والأسئلة المتعلقة بتطبيقها.

At Cuemath, our team of math experts is dedicated to making learning fun for our favorite readers, the students!

Through an interactive and engaging learning-teaching-learning approach, the teachers explore all angles of a topic.

Be it worksheets, online classes, doubt sessions, or any other form of relation, it&rsquos the logical thinking and smart learning approach that we, at Cuemath, believe in.


شاهد الفيديو: السيد كمال الحيدري: نظرية الشهيد الصدر في الاسس المنطقية للاستقراء 2 (شهر اكتوبر 2021).