مقالات

5.4: حل المعادلات التربيعية في الصيغة التربيعية - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل المعادلات في صورة تربيعية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. عامل بالتعويض: (y ^ {4} -y ^ {2} -20 ).
  2. عامل بالتعويض: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) +15 ).
  3. تبسيط
    1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {1} {4}} )
    2. ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2} )
    3. ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} )

حل المعادلات في صيغة تربيعية

في بعض الأحيان ، عندما حللنا القيم الثلاثية ، لا يبدو أن ثلاثي الحدود بصيغة (ax ^ {2} + bx + c ). لذا فقد حللناها بالتعويض مما سمح لنا بجعلها مناسبة للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ). استخدمنا المعيار (u ) للاستبدال.

لتحليل التعبير (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ) ، لاحظنا أن الجزء المتغير من الحد الأوسط هو (x ^ {2} ) ومربعه ، (x ^ {4} ) ، هو الجزء المتغير من المصطلح الأول. (نعلم ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ).) لذلك دعونا (u = x ^ {2} ) وعوامل.

( left ( color {red} x ^ 2 color {black} right) ^ {2} -4 left ( color {red} x ^ {2} color {black} right) -5 )
دع (u = x ^ {2} ) واستبدل.
حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. ((u + 1) (u-5) )
استبدل (u ) بـ (x ^ {2} ). ( left ( color {red} x ^ {2} color {black} + 1 right) left ( color {red} x ^ 2 color {black} -5 right) )

وبالمثل ، أحيانًا لا تكون المعادلة بالصيغة (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) ولكنها تشبه إلى حد كبير المعادلة التربيعية. بعد ذلك ، يمكننا غالبًا إجراء استبدال مدروس يسمح لنا بجعله مناسبًا للنموذج (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). إذا تمكنا من جعلها مناسبة للصيغة ، فيمكننا بعد ذلك استخدام جميع طرقنا لحل المعادلات التربيعية.

لاحظ أنه في المعادلة التربيعية (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) ، يحتوي الحد الأوسط على متغير (x ) ومربعه (x ^ {2} ) هو الجزء المتغير من المصطلح الأول. ابحث عن هذه العلاقة وأنت تحاول إيجاد بديل.

مرة أخرى ، سنستخدم المعيار (u ) لإجراء استبدال يضع المعادلة في شكل تربيعي. إذا أعطانا الاستبدال معادلة بالصيغة (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) ، فإننا نقول إن المعادلة الأصلية كانت من شكل تربيعي.

يوضح المثال التالي خطوات حل المعادلة بالصيغة التربيعية.

مثال ( PageIndex {1} ) كيفية حل المعادلات في صيغة تربيعية

حل: (6 × ^ {4} -7 × ^ {2} + 2 = 0 )

المحلول:

الخطوة 1: تحديد التعويض الذي سيضع المعادلة في شكل تربيعي.منذ ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ) ، نسمح (u = x ^ {2} ).
الخطوة 2: أعد كتابة المعادلة بالتعويض لوضعها في شكل تربيعي.

أعد الكتابة للتحضير للتبديل.

استبدل (u = x ^ {2} ).

الخطوه 3: حل المعادلة التربيعية لـ (u ).

يمكننا حلها عن طريق التحليل إلى عوامل.

استخدم خاصية المنتج الصفري.

( start {align} (2 u-1) (3 u-2) & = 0 2 u-1 = 0، 3 u-2 & = 0 2 u = 1،3 u & = 2 u = frac {1} {2} u & = frac {2} {3} end {align} )
الخطوة 4: استبدل المتغير الأصلي في النتائج باستخدام التعويض.استبدل (u ) بـ (x ^ {2} ). (x ^ {2} = frac {1} {2} quad x ^ {2} = frac {2} {3} )
الخطوة الخامسة: حل المتغير الأصلي.حل من أجل (x ) ، باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

( start {array} {ll} {x = pm sqrt { frac {1} {2}}} & {x = pm sqrt { frac {2} {3}}} { x = pm frac { sqrt {2}} {2}} & {x = pm frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

هناك أربعة حلول.

( start {array} {ll} {x = frac { sqrt {2}} {2}} & {x = frac { sqrt {6}} {3}} {x = - frac { sqrt {2}} {2}} & {x = - frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

الخطوة 6: تحقق من الحلول.تحقق من جميع الحلول الأربعة. سوف نظهر شيك واحد هنا.

نترك لك الشيكات الأخرى!

تمرين ( PageIndex {1} )

حل: (x ^ {4} -6 x ^ {2} + 8 = 0 ).

إجابه

(س = الجذر التربيعي {2} ، س = - الجذر التربيعي {2} ، س = 2 ، س = -2 )

تمرين ( PageIndex {2} )

حل: (x ^ {4} -11 x ^ {2} + 28 = 0 ).

إجابه

(س = الجذر التربيعي {7} ، س = - الجذر التربيعي {7} ، س = 2 ، س = -2 )

نلخص خطوات حل المعادلة في الصورة التربيعية.

حل المعادلات في صيغة تربيعية

  1. حدد التعويض الذي سيضع المعادلة في صورة تربيعية.
  2. أعد كتابة المعادلة بالتعويض لوضعها في صورة تربيعية.
  3. حل المعادلة التربيعية لـ (u ).
  4. عوّض بالمتغير الأصلي في النتائج باستخدام التعويض.
  5. حل المتغير الأصلي.
  6. تحقق من الحلول.

في المثال التالي ، القيمة ذات الحدين في الحد الأوسط ، ((x-2) ) تربيع في المصطلح الأول. إذا سمحنا (u = x-2 ) بالتعويض ، فسيكون ثلاثي الحدود بصيغة (a x ^ {2} + b x + c ).

تمرين ( PageIndex {3} )

حل: ((x-5) ^ {2} +6 (x-5) + 8 = 0 ).

إجابه

(س = 3 ، س = 1 )

تمرين ( PageIndex {4} )

حل: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) + 15 = 0 ).

إجابه

(ص = -1 ، ص = 1 )

في المثال التالي ، نلاحظ أن (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). تذكر أيضًا أنه عندما نربّع طرفي المعادلة ، قد نقدم جذورًا دخيلة. تأكد من التحقق من إجاباتك!

مثال ( PageIndex {3} )

حل: (x-3 sqrt {x} + 2 = 0 ).

المحلول:

( sqrt {x} ) في الحد الأوسط ، مربعة في المصطلح الأول (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). إذا سمحنا (u = sqrt {x} ) بالتعويض ، فسيكون ثلاثي الحدود على شكل (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

أعد كتابة ثلاثي الحدود للتحضير للتعويض.
دع (u = sqrt {x} ) واستبدل.
حل بالتحليل إلى عوامل.
استبدل (u ) بـ ( sqrt {x} ).
حل من أجل (x ) بتربيع كلا الطرفين.

التحقق من:

تمرين ( PageIndex {5} )

حل: (x-7 sqrt {x} + 12 = 0 ).

إجابه

(س = 9 ، س = 16 )

تمرين ( PageIndex {6} )

حل: (x-6 sqrt {x} + 8 = 0 ).

إجابه

(س = 4 ، س = 16 )

يمكن أن تساعدنا أيضًا بدائل الأسس المنطقية في حل المعادلة في الصورة التربيعية. فكر في خصائص الأس عندما تبدأ المثال التالي.

مثال ( PageIndex {4} )

حل: (x ^ { frac {2} {3}} - 2 x ^ { frac {1} {3}} - 24 = 0 ).

المحلول:

(x ^ { frac {1} {3}} ) في الحد الأوسط مربع في المصطلح الأول ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2 } = x ^ { frac {2} {3}} ). إذا سمحنا (u = x ^ { frac {1} {3}} ) بالتعويض ، فسيكون ثلاثي الحدود بصيغة (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

أعد كتابة ثلاثي الحدود للتحضير للتعويض.
دع (u = x ^ { frac {1} {3}} )
حل بالتحليل إلى عوامل.

((ش -6) (ش + 4) = 0 )

(u-6 = 0 ، رباعي u + 4 = 0 )

(u = 6، quad u = -4 )

استبدل (u ) بـ (x ^ { frac {1} {3}} ).

(x ^ { frac {1} {3}} = 6، quad x ^ { frac {1} {3}} = - 4 )

حل من أجل (x ) بتكعيب كلا الطرفين.

( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = (6) ^ {3}، quad left (x ^ { frac {1} {3}} يمين) ^ {3} = (- 4) ^ {3} )

(س = 216 ، رباعي س = -64 )

التحقق من:

تمرين ( PageIndex {7} )

حل: (x ^ { frac {2} {3}} - 5 x ^ { frac {1} {3}} - 14 = 0 ).

إجابه

(س = -8 ، س = 343 )

تمرين ( PageIndex {8} )

حل: (x ^ { frac {1} {2}} + 8 x ^ { frac {1} {4}} + 15 = 0 ).

إجابه

(س = 81 ، س = 625 )

في المثال التالي ، علينا أن نتذكر تعريف الأس السالب بالإضافة إلى خصائص الأس.

مثال ( PageIndex {5} )

حل: (3 x ^ {- 2} -7 x ^ {- 1} + 2 = 0 ).

المحلول:

يتم تربيع (x ^ {- 1} ) في الحد الأوسط في المصطلح الأول ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} = x ^ {- 2} ). إذا سمحنا (u = x ^ {- 1} ) بالتعويض ، فسيكون ثلاثي الحدود بصيغة (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

أعد كتابة ثلاثي الحدود للتحضير للتعويض.
دع (u = x ^ {- 1} ) واستبدل.
حل بالتحليل إلى عوامل. ((3 ش -1) (ش -2) = 0 )
(3 u-1 = 0 ، رباعي u-2 = 0 )
استبدل (u ) بـ (x ^ {- 1} ).
حل من أجل (x ) بأخذ المعاملة بالمثل منذ (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ).

التحقق من:

تمرين ( PageIndex {9} )

حل: (8 x ^ {- 2} -10 x ^ {- 1} + 3 = 0 ).

إجابه

(س = فارك {4} {3} ، س = 2 )

تمرين ( PageIndex {10} )

حل: (6 x ^ {- 2} -23 x ^ {- 1} + 20 = 0 ).

إجابه

(س = فارك {2} {5} ، س = فارك {3} {4} )

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لحل المعادلات التربيعية.

  • حل المعادلات في صيغة تربيعية

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية حل المعادلات في شكل تربيعي.
    1. حدد التعويض الذي سيضع المعادلة في صورة تربيعية.
    2. أعد كتابة المعادلة بالتعويض لوضعها في صورة تربيعية.
    3. حل المعادلة التربيعية لـ (u ).
    4. عوّض بالمتغير الأصلي في النتائج باستخدام التعويض.
    5. حل المتغير الأصلي.
    6. تحقق من الحلول.

المعادلة التربيعية وحلولها

حلول المعادلة التربيعية x ^ 2 = 5 هي الجذر (5) والجذر (5) ، بما أن (الجذر (5)) ^ 2 = 5 و (-جذر (5)) ^ 2 = 5. بشكل عام ، تسري القاعدة التالية.

إذا كانت x ^ 2 = a (a & gt0) ، فإن x = root (a) أو x = -root (a). يمكننا كتابة x = + - root (a)

أمثلة

حل المعادلات التربيعية التالية.

x = + - root (17) ضع في اعتبارك أن التعبير x = + - root (17) يمثل المعادلتين ، x = root (17) and x = -root (17)

(x + 9) ^ 2 = 10/9 اقسم كلا الجانبين على 2.

يمكن أيضًا كتابة المثال على النحو التالي للتأكيد على وجود حلين.

2 (x + 9) ^ 2 = 20/9 (x + 9) ^ 2 = 10/9 x + 9 = root (10/9) or x + 9 = -root (10/9) x = -9 + الجذر (10) / 3 x = -9-root (10) / 3

لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب. لذلك ، لحل المعادلات مثل x ^ 2 = -4 و (x - 3) ^ 2 = -10 ، يتم استدعاء الأرقام ارقام مركبة مطلوبين. سيتم مناقشة هذه الأرقام في الدورة القادمة في الجبر.

ما الذي يجب إضافته إلى x ^ 2 - 8x للحصول على مربع كامل ثلاثي الحدود؟ الجواب هو 16.

هذا الإجراء يسمى استكمال المربع وتمت مناقشته في قسم آخر. يمكننا استخدام هذا الإجراء لحل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال ، لحل المعادلة x ^ 2 - 6x + 4 = 0 ، قد نحاول التحليل ، كما في القسم السابق ، لكن x ^ 2 - 6x + 4 لن يتم تحليلها. تقنية حل بإكمال المربع موضح في الأمثلة التالية. يجب أن يكون معامل x ^ 2 ، المعامل الرئيسي ، 1 حتى تعمل التقنية.

أمثلة

x ^ 2-6x = -4 -4 تضاف إلى طرفي المعادلة.

تمت إضافة x ^ 2-6x + 9 = -4 + 9 9 لطرفي المعادلة. الجانب الأيسر الآن ثلاثي الحدود المربع الكامل.

(x-3) ^ 2 = 5 بسّط. x-3 = + - الجذر (5) أوجد الجذور التربيعية. x = 3 + -root (5) حل من أجل x.

2. x ^ 2 + 5x = 7 أكمل المربع الموجود على اليسار.

س ^ 2 + 5 س + 25/4 = 7 + 25/4 1/2 * 5 = 5/2 و (5/2) ^ 2 = 25/4

(x + 5/2) ^ 2 = 53/4 بسّط x + 5/2 = + - جذر (53/4) أوجد الجذور التربيعية. x = -5 / 2 + -root (53/4) حل من أجل x. x = -5 / 2 + -root (53) / 2 خاصية خاصة للجذور التربيعية

root (a / b) = root (a) / root (b) for a & gt0 and b & gt0

6x ^ 2 + 12x = 9 أضف 9 لطرفي المعادلة.

(6x ^ 2) / 6 + (12x) / 6 = 9/6 اقسم كل حد على 6 بحيث يكون المعامل الأول هو 1.

x ^ 2 + 2x = 3/2 المعامل الأول هو 1.

x ^ 2 + 2x + 1 = 3/2 + 1 أكمل المربع ، 1/2 * 2 = 1 و 1 ^ 2 = 1

x + 1 = + - الجذر (5/2) أوجد الجذور التربيعية.

س = -1 + -جذر (5) / جذر (2) * جذر (2) / جذر (2) ترشيد المقام.

2x ^ 2 + 5x = 8 أضف 8 لطرفي المعادلة.

(2x ^ 2) / 2 + (5x) / 2 = 8/2 قسّم كل حد على 2 بحيث يكون المعامل الأول 1.

x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 = 4 + 25/16 أكمل المربع ، 1/2 * 5/2 = 5/4 و (5/4) ^ 2 = 25/16

x + 5/4 = + - الجذر (89/16) أوجد الجذور التربيعية.

x = -5 / 4 + -root (89) / 4 حل من أجل x ، وكذلك الجذر (89/16) = الجذر (89) / الجذر (16) = الجذر (89) / 4

x ^ 2 + 8x + 16 = -4 + 16 أكمل المربع.

x + 4 = + - الجذر (12) أوجد الجذور التربيعية.

x = -4 + -2 الجذر (3) الجذر (12) = الجذر (4) * الجذر (3) = 2 الجذر (3) بواسطة خاصية خاصة

الجذر (ab) = الجذر (أ) * الجذر (ب) لـ a & gt0 و b & gt0.

الصيغة التربيعية

الصيغة التربيعية هي طريقة عامة لحل معادلات الدرجة الثانية بالصيغة ax ^ 2 + bx + c = 0 حيث يمكن أن تكون a و b و c أي أرقام حقيقية. الصيغة التربيعية هي صيغة قديمة جدًا كانت معروفة لعلماء الرياضيات البابليين حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ومع ذلك ، فإن علماء الرياضيات البابليين ، ولاحقًا ، يتجاهلون دائمًا الحلول السلبية للمعادلات التربيعية لأنهم شعروا أن هذه الحلول ليس لها معنى فيزيائي. حاول علماء الرياضيات اليونانيون دائمًا تفسير مشاكلهم الجبرية من وجهة نظر هندسية ، وبالتالي تطوير الطريقة الهندسية لـ "إكمال المربع".

ضع في اعتبارك المعادلة التالية: x ^ 2 + 6x = 7. يتكون الشكل الهندسي من المساحات x ^ 2 و 3x و 3x. لاحظ ذلك بالترتيب

لجعل الشكل مربعًا ، يجب إضافة قسم 3 × 3 (المنطقة = 9). وبالتالي ، يجب إضافة 9 إلى جانبي المعادلة لاستعادة المساواة. هكذا،

إذن ، المربع الذي يحتوي على ضلع x + 3 تبلغ مساحته الآن 16 وحدة مربعة. لذلك ، يجب أن يكون طول الأضلاع 4 ، مما يعني x + 3 = 4.

لاحظ أن مجموعة حل المعادلة الأصلية هي <1، -7> ، بما أن (-7) ^ 2 + 6 (- 7) = 49 - 42 = 7. وهكذا فقد علماء الرياضيات اليونانيون الحل السلبي بسبب تفسيرهم الهندسي الدقيق للمعادلات التربيعية. لذلك ، كان هناك العديد من المعادلات التربيعية التي لم يستطع علماء الرياضيات اليونانيون حلها لأن كلا الحلين كانا أعدادًا سالبة أو أرقامًا مركبة. تم تجاهل الحلول السلبية للمعادلات بالكامل تقريبًا حتى أوائل القرن الخامس عشر الميلادي خلال عصر النهضة.

تطوير الصيغة التربيعية

نحن الآن مهتمون بتطوير صيغة مفيدة في حل المعادلات التربيعية من أي شكل. ستعمل هذه الصيغة دائمًا، ولكن يجب ألا ينسى الطالب العوملة واستكمال تقنيات التربيع لأنها يمكن أن تكون أسهل في التطبيق من الصيغة.
المعادلة التربيعية العامة يكون

نريد حل المعادلة التربيعية العامة لـ x بدلالة المعاملات a و b و c. هذه التقنية هي اكمل المربع، ومعاملة a و b و c كثوابت.

ax ^ 2 + bx = -c أضف -c لكلا الجانبين.

(ax ^ 2) / a + (bx) / a = -c / a قسّم كل حد على a.

x ^ 2 + b / a x = -c / a بسّط: (bx) / a = b / a x

س ^ 2 + ب / أ س + (ب / (2 أ)) ^ 2 = (ب / (2 أ)) ^ 2 + (- ج) / أ أكمل المربع ، 1/2 (ب / أ) = ب / ( 2 أ)

(x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) + (- c * 4a) / (a ​​* 4a) المقام المشترك هو 4a ^ 2

x + b / (2a) = + - root ((b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2)) أوجد الجذور التربيعية.

x + b / (2a) = + - root (b ^ 2-4ac) / + - root (4a ^ 2) استخدم جذر العلاقة (a / b) = root (a) / root (b) if a، b & gt0

x = (- b) / (2a) + - root (b ^ 2-4ac) / (2a) حل من أجل x.

س = (- ب + -جذر (ب ^ 2-4ac)) / (2 أ) الصيغة التربيعية

ملاحظة خاصة: التعبير b ^ 2 - 4ac يسمى مميز. إذا كانت b ^ 2 - 4ac & lt 0 ، فلا توجد حلول للأرقام الحقيقية. يتم إعطاء مناقشة للمميزات السلبية في الدورات اللاحقة في الجبر.

يمكن الآن إيجاد حلول المعادلات التربيعية بالانتقال مباشرة إلى الصيغة.

أمثلة

حل المعادلات التربيعية التالية باستخدام الصيغة التربيعية.

هذه هي الطريقة التي تحل بها المعادلة التربيعية الخاصة بنا بواسطة spte solver المشكلة أعلاه. يمكنك أن ترى حل مشاكل مماثلة من خلال النقر على زر "حل مشابه".


ما هي المعادلة التربيعية؟

المعادلة التربيعية هي تعبير جبري عن الدرجة الثانية في x. الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي ax 2 + bx + c = 0 ، حيث a ، b هي المعاملات ، x هي المتغير ، و c هي الحد الثابت. الشرط الأول لكي تكون المعادلة معادلة تربيعية هو أن معامل x 2 هو مصطلح غير صفري (a ≠ 0). لكتابة معادلة تربيعية في الشكل القياسي ، يتم كتابة مصطلح x 2 أولاً ، متبوعًا بالمصطلح x ، وأخيرًا ، يتم كتابة الحد الثابت. لا تتم كتابة القيم الرقمية لـ a و b و c بشكل عام ككسور أو كسور عشرية ولكن تتم كتابتها كقيم متكاملة.

علاوة على ذلك ، في مسائل الرياضيات الحقيقية ، يتم تقديم المعادلات التربيعية في أشكال مختلفة: (x - 1) (x + 2) = 0 ، -x 2 = -3x + 1 ، 5x (x + 3) = 12x ، x 3 = x ( × 2 + س - 3). يجب تحويل كل هذه المعادلات إلى الشكل القياسي للمعادلة التربيعية قبل إجراء المزيد من العمليات.


5. المعادلات في شكل تربيعي

في هذا القسم ، سنصادف معادلات تربيعية في الواقع ، لكنها قد لا تبدو كذلك للوهلة الأولى.

سنستخدم أيًا من الطريقتين التاليتين لحل هذه المعادلات:

مثال 1

هنا ، إذا سمحنا ش = x 2 , يمكننا إعادة كتابة المعادلة بحيث تبدو وكأنها معادلة تربيعية عادية:

لذا فإن الحلول ل ش تبلغ من العمر 16 أو 4 سنوات.

x = & ناقص 4 أو 4 x = & ناقص 2 أو 2

لذا فإن مجموعة الحلول الكاملة هي: `x = & ناقص 4 ، & ناقص 2 ، 2 ، 4`.

`y = x ^ 4 - 20x ^ 2 + 64` ، يُظهر التقاطعات مع امتداد x-محور

يمكننا أن نرى من حيث يقطع الرسم البياني x- محور أن الحلول صحيحة.

مثال 2

هنا ، إذا كتبنا `` u = sqrt (x) `` فلدينا:

خطر! فكر جيدًا دائمًا في إجابتك. يمكنك غالبًا الحصول على إجابات ليست حلولًا حقيقية.

تحقق بالتعويض: `4 (1/16) +3 (1/4) = 1`. حسنا.

لكن `sqrt (x) = - 1` غير ممكن (` sqrt (x) `دائمًا ما يكون` & ge 0`).

نستنتج أن هناك جذرًا واحدًا فقط: `x = 1 / 16`

لإعطاء فكرة أفضل عن شكل الحل ، دعنا نلقي نظرة على الرسم البياني لـ `y = 4x + 3sqrt (x) - 1`.

التقاطع مع x- سيخبرنا المحور بحل المعادلة الأصلية.


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

القسم الفرعي 7.5.1 حل المعادلات التربيعية باستخدام جذر تربيعي

تناولنا في القسم 7.1 كيفية حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي وكيفية استخدام نظرية فيثاغورس.

مثال 7.5.1. حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

حل من أجل (w ) في (3 (2-w) ^ 2-24 = 0 text <.> )

من المهم هنا قمع أي رغبة قد تضطر إلى توسيع المربع ذي الحدين. نبدأ بعزل المقدار التربيعي.

الآن وبعد أن تم عزل المقدار التربيعي ، يمكننا استخدام خاصية الجذر التربيعي.

مجموعة الحلول هي ( left <2 sqrt <2> + 2، -2 sqrt <2> +2 right > text <.> )

مثال 7.5.2. نظرية فيثاغورس.

كانت Faven تقوم ببعض الأعمال الخشبية في مرآبها. لقد احتاجت إلى قطع قطعة خشب مثلثة لمشروعها التي يبلغ طول وترها (16 ) بوصة ، ويجب أن تكون أضلاع المثلث متساوية في الطول. كم من الوقت يجب أن تجعل جوانبها؟

لنبدأ بتمثيل طول المثلث ، المقاس بالبوصة ، بالحرف (x text <.> ) وهذا من شأنه أيضًا أن يجعل الضلع الآخر (x ) بوصة طويلة.

يجب أن يقوم فافن الآن بإعداد نظرية فيثاغورس فيما يتعلق بالصورة. ممكن حدوثه

لحل هذه المعادلة ، لدينا:

يجب أن تجعل Faven أضلاع مثلثها حوالي (11.3 ) بوصة لفرض أن يكون طول الوتر (16 ) بوصة.

القسم الفرعي 7.5.2 الصيغة التربيعية

تناولنا في القسم 7.2 كيفية استخدام الصيغة التربيعية لحل أي معادلة تربيعية.

مثال 7.5.4. حل المعادلات التربيعية بالصيغة التربيعية.

حل المعادلات باستخدام الصيغة التربيعية.

أولاً ، يجب علينا تغيير المعادلة إلى الصورة القياسية.

بعد ذلك ، نتحقق ونرى أنه لا يمكننا تحليل الجانب الأيسر أو استخدام خاصية الجذر التربيعي ، لذا يجب علينا استخدام الصيغة التربيعية. نحدد أن ( بديلا نص <،> ) ( بديل نص <،> ) و ( بديل text <.> ) سنقوم باستبدالها بالصيغة التربيعية:

لذا فإن مجموعة الحلول هي ( left <- 2+ sqrt <10>، -2- sqrt <10> right > text <.> )

نظرًا لأن المعادلة (5x ^ 2-2x + 1 = 0 ) هي بالفعل في الشكل القياسي ، فإننا نتحقق ونرى أنه لا يمكننا تحليل الجانب الأيسر أو استخدام خاصية الجذر التربيعي ، لذلك يجب علينا استخدام الصيغة التربيعية. نحدد أن ( بديلا نص <،> ) ( بديل نص <،> ) و ( بديل text <.> ) سنقوم باستبدالها بالصيغة التربيعية:

نظرًا لأن الحلول لها جذور تربيعية للأرقام السالبة ، يجب أن نستنتج أنه لا توجد حلول حقيقية.

القسم الفرعي 7.5.3 الحلول المعقدة للمعادلات التربيعية

تناولنا في القسم 7.3 ماهية كل من الأعداد التخيلية والأرقام المركبة ، وكذلك كيفية حل المعادلات التربيعية حيث تكون الحلول عبارة عن أعداد تخيلية أو أعداد مركبة.

مثال 7.5.5. أرقام خيالية.

بسّط التعبير ( sqrt <-12> ) باستخدام الرقم التخيلي (i text <.> )

ابدأ بفصل (- 1 ) عن (12 ) وبالبحث عن أكبر عامل مربع كامل لـ (- 12 نص <،> ) والذي يحدث ليكون (4 نص <. > )

مثال 7.5.6. حل المعادلات التربيعية بحلول خيالية.

حل من أجل (م ) في (2 م ^ 2 + 16 = 0 نص <،> ) حيث (p ) هو رقم تخيلي.

لا يوجد حد (م ) لذلك سنستخدم طريقة الجذر التربيعي.

مجموعة الحلول هي ( left <- firsthighlight <2> secondhighlight sqrt <2> ، تمييز أول <2> تمييز ثاني sqrt <2> right > text <.> )

مثال 7.5.7. حل المعادلات التربيعية مع الحلول المعقدة.

حل المعادلة (3 (v-2) ^ 2 + 54 = 0 text <،> ) حيث (v ) هو رقم مركب.

لذا ، فإن مجموعة الحلول هي ( left <2+ firsthighlight <3> secondhighlight sqrt <2> ، 2- Firsthighlight <3> secondhighlight sqrt <2> right > text <.> )

القسم الفرعي 7.5.4 حل المعادلات بشكل عام

في القسم 2.1 تعلمنا كيفية حل المعادلات الخطية. في القسم 6.4 تعلمنا كيفية حل المعادلات الجذرية. في القسم 7.1 والقسم ، تعلمنا كيفية حل المعادلات التربيعية.

ثم في القسم 7.4 ، نظرنا في بعض الاستراتيجيات لحل المعادلات بشكل عام ، معتمدين غالبًا على تلك التقنيات المحددة السابقة.

مثال 7.5.8. المعادلات التي يظهر فيها المتغير مرة واحدة.

حل المعادلات بطريقة فعالة.

نظرًا لأن المتغير (x ) يظهر مرة واحدة فقط ، يمكننا تطبيق الخطوات واحدة تلو الأخرى للتراجع عن جميع العمليات التي تتم من أجل (x ) وعزله في النهاية.

لذا فإن مجموعة الحلول هي ( left <4+ sqrt <2>، 4- sqrt <2> right > )

نظرًا لأن المتغير (x ) يظهر مرة واحدة فقط ، يمكننا تطبيق الخطوات واحدة تلو الأخرى للتراجع عن جميع العمليات التي تتم من أجل (x ) وعزله في النهاية.

في هذه المرحلة ، لا يعد ( frac <47> <3> ) سوى حل محتمل. ربما قدمنا ​​حلًا غريبًا في النقطة التي قمنا فيها بتربيع كلا الجانبين. لذلك يجب علينا التحقق من ذلك.

إذن ، مجموعة الحلول هي ( left < frac <47> <3> right > text <.> )

نظرًا لأن المتغير (x ) يظهر مرة واحدة فقط ، يمكننا تطبيق الخطوات واحدة تلو الأخرى للتراجع عن جميع العمليات التي تتم من أجل (x ) وعزله في النهاية.

مجموعة الحلول هي ( left < frac <9> <5> right > text <.> )

مثال 7.5.9. المعادلات ذات أكثر من مثيل للمتغير.

أدرك أن هذه المعادلات لها أكثر من مثيل واحد من المتغير ، لذلك لا يمكن عزل المتغير على الفور عن طريق التراجع عن العمليات التي تم إجراؤها عليه. بدلًا من ذلك ، استدع أسلوبًا خاصًا لحل المعادلة.

لحل المعادلة ((x-4) ^ 2 + 2x = 0 text <،> ) لاحظ أنها معادلة من الدرجة الثانية ، ويمكننا كتابتها بالصيغة القياسية.

في هذه المرحلة ، نلاحظ أن الحلول معقدة. استمر في التبسيط حتى يتم تقليلها تمامًا.

لذا فإن مجموعة الحلول هي ( left <3-i sqrt <3>، 3 + i sqrt <3> right > text <.> )

لحل المعادلة (16x-2 (3x-1) = 3 ) نلاحظ أولاً أنها خطية. نظرًا لأنه خطي ، نحتاج فقط إلى اتباع الخطوات الموضحة في العملية 2.1.4.

إذن ، مجموعة الحلول هي ( left < frac <2> <5> right > text <.> )

منذ المعادلة ( sqrt= x-4 ) معادلة جذرية ، يجب أن نعزل الجذر (وهو موجود بالفعل) وتربيع كلا طرفي المعادلة.

نظرًا لأن المعادلة الآن تربيعية ، فقد نستخدم الصيغة التربيعية 7.2.2 لحلها.

نظرًا لأن هذه معادلة جذرية ، يجب علينا التحقق من حلولنا والبحث عن "حلول خارجية".

لذا فإن مجموعة الحلول هي ( <7 > نص <.> )

مثال 7.5.10. حل المتغير من حيث المتغيرات الأخرى.

غالبًا في فصول العلوم ، يتم إعطاؤك صيغة تحتاج إلى إعادة ترتيبها لتكون مفيدة في موقف ما. فيما يلي بعض المعادلات من الفيزياء التي تصف العالم الطبيعي.

حل المعادلة (v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2ax ) من أجل (x text <.> ) (تصف هذه المعادلة حركة الكائنات التي تتسارع.)

حل المعادلة (c ell = ell_0 sqrt) لـ (v text <.> ) (تصف هذه المعادلة حجم الأشياء التي تتحرك بسرعات عالية جدًا.)

حل المعادلة (y = frac < alpha t ^ 2> <2> + vt ) من أجل (t text <.> ) (هذه معادلة أخرى تصف حركة الكائنات التي تتسارع.)

نظرًا لأن (x ) يظهر مرة واحدة فقط في euqation ، فنحن نحتاج فقط إلى التراجع عن العمليات التي تم إجراؤها عليه.

نظرًا لأن (v ) يظهر مرة واحدة فقط في euqation ، فنحن نحتاج فقط إلى التراجع عن العمليات التي تم إجراؤها عليه. وفقًا لترتيب العمليات ، على الجانب الأيمن من المعادلة ،

تمت إضافة النتيجة إلى (c ^ 2 text <.> )

النتيجة لها جذر تربيعي مطبق.

يتم ضرب النتيجة بـ ( ell_0 text <.> )

إذن نفعل كل الأشياء المعاكسة بالترتيب المعاكس.

هذا هو المعادلة التربيعية عندما ننظر إلى (t ) كمتغير. أولًا ، علينا إعادة ترتيب المعادلة إلى الصورة القياسية.

من المفيد مع العديد من المعادلات "مسح القواسم". في هذه الحالة ، يعني ذلك ضرب كل جانب من جوانب المعادلة في (2 نص <.> )

تمارين 7.5.5 تمارين

حل المعادلات التربيعية باستخدام جذر تربيعي

تقوم ديفون بتصميم حديقة مستطيلة. يجب أن يكون قطر الحديقة (64.6 ) قدمًا ، ويجب أن تكون النسبة بين قاعدة الحديقة وارتفاعها (15: 8 text <.> ) أوجد طول قاعدة الحديقة وارتفاعها.

قاعدة الحديقة أقدام وارتفاعها.

تقوم تامي بتصميم حديقة مستطيلة. يجب أن يكون قطر الحديقة (13.5 ) قدمًا ، ويجب أن تكون النسبة بين قاعدة الحديقة وارتفاعها (4: 3 text <.> ) أوجد طول قاعدة الحديقة وارتفاعها.

قاعدة الحديقة أقدام وارتفاعها.

الصيغة التربيعية

يتم إطلاق كائن لأعلى على ارتفاع (200 ) متر. يمكن على غرار ارتفاعه

حيث يشير (h ) إلى ارتفاع الكائن بالأمتار ، و (t ) يشير إلى الوقت المنقضي بالثواني منذ إطلاقه. سيكون ارتفاع الجسم (240 ) مترًا مرتين قبل أن يصل إلى الأرض. أوجد عدد الثواني منذ الإطلاق التي سيكون ارتفاع الجسم (240 ) مترًا. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

سيكون ارتفاع الكائن (240 ) مترًا في المرة الأولى بالثواني ، ثم المرة الثانية بالثواني.

ينطلق جسم تصاعديًا على ارتفاع (220 ) مترًا. يمكن على غرار ارتفاعه

حيث يشير (h ) إلى ارتفاع الكائن بالأمتار ، و (t ) يشير إلى الوقت المنقضي بالثواني منذ إطلاقه. سيكون ارتفاع الجسم (230 ) مترًا مرتين قبل أن يصل إلى الأرض. أوجد عدد الثواني منذ الإطلاق التي سيكون ارتفاع الجسم (230 ) مترًا. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

سيكون ارتفاع الجسم (230 ) مترًا في المرة الأولى بالثواني ، ثم المرة الثانية بالثواني.

حلول معقدة للمعادلات التربيعية

بسّط الجذر واكتبه في صورة عدد مركّب باستخدام (i text <.> )

بسّط الجذر واكتبه في صورة عدد مركّب باستخدام (i text <.> )


كيفية إيجاد أصفار دالة تربيعية؟

في حساب التفاضل والتكامل المسبق ، ربما تكون قد استخدمت خاصية المنتج الصفري لإيجاد جذور المعادلة المحللة إلى عوامل. بعد تحليل كثير الحدود إلى مجموعاتها المختلفة ، يمكنك تحديد كل مجموعة تساوي الصفر لحل الجذور بخاصية المنتج الصفري.

تتنبأ خاصية المنتج الصفري بأنه إذا تم ضرب عدة عوامل لتعطيك صفرًا ، فيجب أن يكون أحدها على الأقل صفرًا.

عملك هو إيجاد جميع قيم x التي تجعل كثير الحدود يساوي صفرًا. إذا تم تحليل كثير الحدود إلى عوامل ، فيمكنك تعيين كل عامل يساوي صفرًا وإيجاد قيمة x.

إذن ، كيف تجد أصفار دالة تربيعية؟

يعطيك التحليل (x ^ 2 + 3x - 10 = 0 ) ((x + 5) (x - 2) ).

المضي قدمًا سهل لأن كل عامل خطي (الدرجة الأولى).

تعطيك المعادلة (س + 5 = 0 ) حلاً ، (س = –5 ، ) و

(x - 2 = 0 ) يعطيك الحل الآخر ،

تصبح كل هذه الإجابات عبارة عن تقاطع x على التمثيل البياني لكثير الحدود.

في بعض الأحيان بعد أن تقوم & rsquove بالتحليل إلى عوامل ، يمكن تحليل أحد العاملين أو كليهما مرة أخرى ، في هذه الحالة ، يجب عليك الاستمرار في التحليل.

في حالات أخرى ، قد تكون غير قابلة للتحويل إلى عوامل. إذا كان أحد هذه العوامل تربيعيًا ، فلا يمكنك إيجاد الجذور إلا باستخدام الصيغة التربيعية.

على سبيل المثال ، (6x ^ 4 - 12x ^ 3 + 4x ^ 2 = 0 ) عوامل (2x ^ 2 (3x ^ 2–6x + 2) = 0. )

المصطلح الأول ، (2x ^ 2 = 0 ، ) قابل للحل باستخدام الجبر ، لكن العامل الثاني ، (3x ^ 2–6x + 2 = 0 ، ) غير قابل للتحليل ويتطلب الصيغة التربيعية.

في حالات أخرى ، قد تكون غير قابلة للتحليل ، وفي هذه الحالة لا يمكنك حلها إلا باستخدام الصيغة التربيعية.

ضع في اعتبارك (f (x) = 3x ^ 2 + 12x + 8 ) بشكل عام. ارسم التمثيل البياني لـ f ، وابحث عن رأسه ، وابحث عن أصفار f.

طريقة بديلة لإيجاد الرأس

في بعض الحالات ، لا يكون إكمال المربع هو أبسط طريقة لإيجاد رأس القطع المكافئ. إذا كان الرسم البياني للدالة التربيعية يحتوي على نقطتي تقاطع x ، فإن طريق التناظر هو الخط العمودي عبر نقطة منتصف التقاطع x.

تقع تقاطعات x في الرسم البياني أعلاه عند -5 وثلاثة.

يمر خط التماثل بـ -1 ، وهو متوسط ​​-5 وثلاثة.

بمجرد أن نعلم جميعًا أن طريق التناظر هو (x = -1 ، ) ، فإننا نعلم جميعًا أن الإحداثي الأساسي للرأس هو (- 1. )

غالبًا ما يتم العثور على الإحداثي الثاني للرأس من خلال تقييم الوظيفة عند (x = -1 )

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 2 - 6x + 7 ) بشكل عام. ارسم التمثيل البياني لـ f وابحث عن أصفاره ورأسه.

(= (x2 - 6x) + 7. ) جمّع حدود (x ^ 2 ) و x ثم أكمل المربع وفقًا لهذه الشروط.

نحتاج إلى ميزة 9 لأنه & # 39 s هو مربع 1 نصف معامل x ، (( frac <-6> <2>) 2 = 9. )

ومن ثم كنا نحل معادلة. أضفنا 9 إلى طرفي المعادلة. في هذا الإعداد ، نجمع ونطرح 9 حتى لا نغير الوظيفة.

نرى أن (x ^ 2 - 6x + 9 ) مربع كامل ، أي ((x - 3) ^ 2. )

هذا هو الشكل القياسي.

من هذه النتيجة ، يجد المرء بسهولة رأس الرسم البياني (f ) هو ((3 ، -2). )

لإيجاد أصفار (f، ) قمنا بتعيين f على 0 وإيجاد قيمة (x. )

لرسم التمثيل البياني لـ f نحول الرسم البياني (y = x ^ 2 ) ثلاث وحدات إلى الصحيح ووحدتان لأسفل.

إذا كان معامل (x ^ 2 ) غير & # 39t 1 ، فيجب علينا تحليل هذا المعامل من المصطلحين (x ^ 2 ) و (x ) قبل المتابعة.


الصيغة التربيعية

يمكنك حل أي معادلة من الدرجة الثانية من خلال استكمال المربع—صياغة جزء من المعادلة كمربع كامل ثلاثي الحدود. إذا أكملت المربع في المعادلة العامة [اللاتكس] ax ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex] ثم حللت من أجل x، تجد أن [اللاتكس] x = frac <-b pm sqrt <<^ <2>> -4ac >> <2a> [/ لاتكس]. تُعرف هذه المعادلة بالصيغة التربيعية.

يمكننا اشتقاق الصيغة التربيعية بإكمال المربع. أولاً ، افترض أن المعامل الرئيسي موجب إذا كان سالبًا ، يمكننا ضرب المعادلة في [اللاتكس] -1 [/ اللاتكس] والحصول على قيمة موجبة أ. معطى [اللاتكس] أ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex] ، [latex] a ne 0 [/ latex] ، سنكمل المربع على النحو التالي:

    أولاً ، انقل المصطلح الثابت إلى الجانب الأيمن من علامة التساوي:

هذه الصيغة مفيدة جدًا في حل المعادلات التربيعية التي يصعب أو يستحيل تحليلها ، ويمكن أن يكون استخدامها أسرع من إكمال المربع. يمكن استخدام الصيغة التربيعية لحل أي معادلة تربيعية بالصيغة [اللاتكس] ax ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex].

يُطلق على الشكل [اللاتكس] ax ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex] الشكل القياسي للمعادلة التربيعية. قبل حل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية ، يتم & # 8217s مهم للغاية أن تكون متأكدًا من أن المعادلة بهذا الشكل. إذا لم & # 8217t ، فقد تستخدم قيمًا خاطئة لـ أ, ب، أو ج، وبعد ذلك ستعطي الصيغة حلولاً غير صحيحة.


5.4: حل المعادلات التربيعية في الصيغة التربيعية - الرياضيات

حل المعادلات باستخدام الصيغة التربيعية

ربما يكون هذا الدرس هنا هو أكثر ما يخشاه طلاب الجبر! تبدو الصيغة التربيعية كتعبير هائل ومخيف ، لكنها في الحقيقة ليست بهذا السوء.

ال الصيغة التربيعية يستخدم لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. استخدمنا المميز لمعرفة ذلك كيف كان هناك العديد من الجذور ، لكن المعادلة التربيعية ستخبرنا في الواقع ماذا او ما هم انهم. الجذور هي النقاط التي تساوي فيها المعادلة صفرًا ، وهي نفس النقاط التي يصل فيها الرسم البياني إلى المحور x. تذكر أنه يمكن أن يكون هناك جذران حقيقيان ، أو جذر حقيقي واحد ، أو لا توجد جذور حقيقية.

هل انت جاهز؟ لنجرب واحدًا:

سنحتاج إلى إيجاد a و b و c ، مما يعني أننا نحتاج إلى أن تساوي المعادلة صفرًا. لذلك دعونا نضيف 1 لكل جانب.

تذكر أن النموذج القياسي هو (ax ^ 2 + bx + c ) لذلك لدينا:

الآن ، ها هي الصيغة التربيعية. إنه كثير من التوصيل والتبسيط باستخدام أ ، ب ، ج.

الصيغة التربيعية

رمز " ( pm )" يعني "زائد أو ناقص" مما يعني أن هذه الصيغة هي في الواقع اثنان في واحد! سيتعين علينا تقسيمها لاحقًا. فلنبدأ في إدخال أرقامنا.

في بعض الأحيان ، يُسمح لك بالاحتفاظ بإجابتك في هذا النموذج. إذا تم طلب نموذج عشري ، فسنضطر إلى تقسيم " ( pm )" وتقدير ( sqrt <21> ).

(x = كبير فارك <-5 + sqrt <21>> <2> ) ( leftarrow SPLIT rightarrow ) (x = كبير فارك <-5 + sqrt <21>> <2> )
(س = كبير فارك <-5 + 4.58> <2> ) (س = كبير فارك <-5 - 4.58> <2> )
(س = كبير فارك <-0.42> <2> ) (س = كبير فارك <-9.58> <2> )
(س = -0.21 ) (س = -4.79 )

يا للعجب! لذلك ، لم يكن ذلك صعبًا للغاية ولكنه بالتأكيد يتطلب الكثير من العمل! دعونا نتدرب ونجرب واحدة أخرى:

نريده أن يساوي صفرًا ، لذا اطرح 8 وأضف (p ^ 2 ) لكلا الطرفين.

"ب" مفقود! هذا يعني أنه يساوي صفرًا.

وإذا احتاج الأمر إلى تقدير ، فقم بتقسيمهم!

(p = كبير فارك <+ sqrt <32>> <-2> ) ( leftarrow SPLIT rightarrow ) (p = كبير فارك <- sqrt <32>> <-2> )
(ف = كبير فارك <5.66> <-2> ) (ف = كبير فارك <-5.66> <-2> )
(ع = -2.83 ) (ع = 2.83 )

فعله! اقتراحي لهذه المشاكل هو أن تأخذ وقتك وتحافظ على تنظيم عملك. إنها مشاكل طويلة وخطأ واحد صغير يمكن أن يسبب فوضى كبيرة! لذا تحقق جيدًا من كل شيء ولن تبدو الصيغة التربيعية سيئة للغاية بعد كل شيء.

خوار يمكنك تحميل بعض مجانا أوراق عمل وممارسة الرياضيات.


5.4: حل المعادلات التربيعية في الصيغة التربيعية - الرياضيات

في هذا القسم سنلقي نظرة على المعادلات التي يتم استدعاؤها من الدرجة الثانية في الشكل أو قابل للاختزال إلى تربيعي في الشكل. ما يعنيه هذا هو أننا سننظر في المعادلات التي إذا نظرنا إليها في الضوء الصحيح يمكننا جعلها تبدو مثل المعادلات التربيعية. في هذه المرحلة ، يمكننا استخدام التقنيات التي طورناها للمعادلات التربيعية لمساعدتنا في حل المعادلة الفعلية.

من الأفضل عادةً مع هؤلاء إظهار العملية بمثال ، لذلك دعونا نفعل ذلك.

الآن ، لنبدأ هنا بملاحظة ذلك

بمعنى آخر ، يمكننا أن نلاحظ هنا أن الجزء المتغير من المصطلح الأول (بمعنى آخر. تجاهل المعامل) ليس أكثر من الجزء المتغير من المصطلح الثاني تربيع. لاحظ أيضًا أن كل ما نحتاج إلى ملاحظته هنا هو أن الأس في الحد الأول كان ضعف الأس في الحد الثاني.

هذا ، إلى جانب حقيقة أن الحد الثالث ثابت ، يعني أن هذه المعادلة قابلة للاختزال إلى تربيعية في الشكل. سنحل هذا من خلال تحديد ،

لذلك ، يمكننا كتابة المعادلة من حيث (u ) 's بدلاً من (x ) على النحو التالي ،

[ - 7 + 12 = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> - 7u + 12 = 0 ]

المعادلة الجديدة (التي تحتوي على (u ) ’s) هي معادلة من الدرجة الثانية ويمكننا حلها. في الواقع ، هذه المعادلة قابلة للتحليل ، لذا فإن الحل هو

[ - 7u + 12 = يسار ( يمين شمال( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> u = 3 ، ، ، u = 4 ]

لذلك ، حصلنا على الحلين الموضحين أعلاه. هذه ليست الحلول التي نبحث عنها. نريد قيم (x ) ، وليس قيم (u ). هذه ليست مشكلة حقًا بمجرد أن نتذكر أننا حددناها

للحصول على قيم (س ) للحل ، كل ما نحتاج إليه هو إدخال (u ) في هذه المعادلة وحل ذلك من أجل (س ). لنفعل ذلك.

[يبدأu = 3: & hspace <0.25in> 3 = hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm sqrt 3 u = 4: & hspace <0.25in> 4 = hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm sqrt 4 = pm 2 end]

إذن ، لدينا أربعة حلول للمعادلة الأصلية ، (x = pm 2 ) و (x = pm sqrt 3 ).

لذا ، فإن العملية الأساسية هي التحقق من أن المعادلة قابلة للاختزال إلى تربيعية في الشكل ثم إجراء استبدال سريع لتحويلها إلى معادلة تربيعية. نحل المعادلة الجديدة لـ (u ) ، المتغير من التعويض ، ثم نستخدم هذه الحلول وتعريف التعويض للحصول على حلول المعادلة التي نريدها حقًا.

في معظم الحالات ، لإجراء التحقق من إمكانية اختزاله إلى تربيعي في الشكل ، كل ما نحتاج إليه حقًا هو التحقق من أن أحد الأسس هو ضعف الآخر. هناك استثناء واحد لهذا سنراه هنا بمجرد أن ندخل في مجموعة من الأمثلة.

أيضًا ، بمجرد أن تحصل على "جيد" في هذه الأمور ، لن تحتاج في كثير من الأحيان إلى إجراء الاستبدال أيضًا. سنفعلها للتأكد من أن العمل واضح. ومع ذلك ، يمكن حل هذه المشكلات بدون الاستبدال في كثير من الحالات.

حسنًا ، في هذه الحالة يمكننا أن نرى ذلك ،

ولذا فإن أحد الأسس هو ضعف الآخر لذا يبدو أن لدينا معادلة يمكن اختزالها إلى تربيعية في الشكل. سيكون التبديل بعد ذلك ،

استبدال هذا في المعادلة يعطي ،

[يبدأ - 2 ش - 15 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> u = - 3 ، ، ، ، u = 5 end]

الآن بعد أن حصلنا على حلول ​​(u ) يمكننا إيجاد قيم (س ).

إذن ، لدينا حلين هنا (س = - 27 ) و (س = 125 ).

لهذا الجزء لاحظ أن ،

ولذا لدينا معادلة يمكن اختزالها إلى الصورة التربيعية. الاستبدال هو ،

[يبدأ - 9u + 8 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.5in> u = 1، ، ، u = 8 end]

الآن ، العودة إلى (ص ) ستستغرق المزيد من العمل هنا ، لكن لا ينبغي أن تكون سيئة للغاية.

الحلان لهذه المعادلة هما (y = 1 ) و (y = frac <1> <2> ).

هذا الأمر أصعب قليلاً لمعرفة أنه تربيعي في الشكل ، ومع ذلك فهو كذلك. لنلاحظ أن الأس في الجذر التربيعي يساوي نصفًا ، إذن يمكننا ملاحظة أن الأس في الحد الأول يساوي ضعف الأس في الحد الثاني. إذن ، هذه المعادلة في الواقع قابلة للاختزال إلى تربيعية في الشكل.

ثم تصبح المعادلة ،

[يبدأ - 9u + 14 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> u = 2، ، ، u = 7 end]

[يبدأu = 2: & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> sqrt z = 2 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> z = < left (2 right) ^ 2 > = 4 u = 7: & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> sqrt z = 7 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> z = < left (7 يمين) ^ 2> = 49 نهاية]

الحلان لهذه المعادلة هما (ض = 4 ) و (ض = 49 )

الآن ، هذا الجزء هو الاستثناء من القاعدة التي استخدمناها لتحديد المعادلات التي يمكن اختزالها إلى تربيعية في الشكل. لا يوجد سوى مصطلح واحد بداخله (t ). ومع ذلك ، لاحظ أنه يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي ،

لذلك ، إذا استخدمنا التعويض ،

ولذا يمكن اختزالها إلى تربيعية في الشكل.

يمكننا الآن حل هذا باستخدام خاصية الجذر التربيعي. القيام بذلك يعطي ،

الآن ، بالرجوع إلى (t ) يعطينا ،

[يبدأu = 2: & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = 2 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> t = pm sqrt 2 u = - 2: & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = - 2 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> t = pm sqrt <- 2> = pm sqrt 2 ، ، i end]

في هذه الحالة ، نحصل على أربعة حلول ، اثنان منها عبارة عن حلول معقدة. يعد الحصول على حلول معقدة من هذه الحلول أكثر شيوعًا مما قد توحي به هذه المجموعة من الأمثلة. تكمن المشكلة في أن الحصول على بعض الحلول المعقدة يتطلب معرفة لم نغطيها (ولن نغطيها) في هذه الدورة. لذلك ، لا يظهرون كثيرًا.

أعطت جميع الأمثلة إلى هذه النقطة معادلات تربيعية كانت قابلة للتحليل أو في حالة الجزء الأخير من المثال السابق كانت معادلة يمكننا استخدام خاصية الجذر التربيعي عليها. ومع ذلك ، لا يجب أن يكون هذا هو الحال دائمًا. من المحتمل جدًا أننا سنحتاج إلى الصيغة التربيعية للقيام ببعض هذه الأمور. يجب أن نقوم بمثال واحد من هؤلاء فقط لتوضيح هذه النقطة.

في هذه الحالة يمكننا اختزال هذا إلى تربيعي في الصورة باستخدام التعويض ،

باستخدام هذا الاستبدال تصبح المعادلة ،

هذا لا يؤثر ، لذا سنحتاج إلى استخدام الصيغة التربيعية عليه. من الصيغة التربيعية الحلول هي ،

الآن ، من أجل العودة إلى (x ) ، سنحتاج إلى قيم عشرية لهذه ،

الآن ، باستخدام التعويض للعودة إلى (x ) 'يعطي ما يلي ،

كان علينا استخدام الآلة الحاسبة للحصول على الإجابة النهائية لهذه. هذا هو أحد الأسباب التي تجعلك لا تميل إلى رؤية الكثير منها يتم إجراؤه في فصل الجبر. تميل الأعمال و / أو الإجابات إلى أن تكون فوضوية بعض الشيء.


أمثلة مع الحلول

مثال 1

حل المثال 1:

  • معطى
    س 4 + س 2-6 = 0
  • بما أن (x 2) 2 = x 4 ، دع u = x 2 وأعد كتابة المعادلة بدلالة u.
    u 2 + u - 6 = 0
  • حلل الجانب الأيسر إلى عوامل.
    (ش + 3) (ش - 2) = 0
  • استخدم نظرية العامل الصفري للحصول على معادلات بسيطة.
    أ) ش + 3 = 0
    ب) ش - 2 = 0
  • حل المعادلة أ).
    ش = -3
  • حل المعادلة ب).
    ش = 2
  • استخدم حقيقة أن u = x 2 ، الحل الأول في u يعطي ،
    ش = س 2 = - 3
  • والحل الثاني يعطي.
    ش = س 2 = 2
  • لا يمكن أن يكون مربع العدد الحقيقي سالبًا ، وبالتالي لا تحتوي المعادلة x 2 = - 3 على أي حلول حقيقية. يتم حل المعادلة الثانية عن طريق استخراج الجذر التربيعي وإعطاء حلين.
    س = & # 87302
    س = - & # 87302
  1. س = & # 87302
    الجانب الأيسر من المعادلة = (& # 87302) 4 + (& # 87302) 2-6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    الجانب الأيمن من المعادلة = 0.
  2. س = - & # 8730 (2)
    الجانب الأيسر من المعادلة = (- & # 8730 (2)) 4 + (- & # 8730 (2)) 2-6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    الجانب الأيمن من المعادلة = 0.

استنتاج: الحلول الحقيقية للمعادلة المعطاة هي & # 8730 (2) و - & # 8730 (2)

التمرين المتطابق 1 ابحث عن جميع الحلول الحقيقية للمعادلة.

مثال 2

حل المثال 2:

  • معطى
    2 س + 3 & # 8730 س = 5
  • لاحظ أن & # 8730x يعني أن x يجب أن يكون موجبًا أو صفرًا. بما أن [& # 8730x] 2 = x ، دع u = & # 8730x وأعد كتابة المعادلة في مصطلح u.
    2 ش 2 + 3 ش = 5
  • أعد كتابة المعادلة بالطرف الأيمن يساوي 0.
    2u 2 + 3u - 5 = 0

استنتاج:
الحل الحقيقي للمعادلة المعطاة هو x = 1.

التمرين المتطابق 2. ابحث عن جميع الحلول الحقيقية للمعادلة.


شاهد الفيديو: الرياضيات - الصف الاولالثانوي - حل المعادلات التربيعية باستخدام صيغة أو بإكمال مربع (شهر اكتوبر 2021).