مقالات

9: مثلثات


9.1 القياس بالمثلثات

من الإنصاف أن نتساءل لماذا يجب علينا أن نتحمل عناء تعلم المثلثات ، حيث أن صلتها بالبيئة والموارد الطبيعية لا يتم تحديدها على الفور. لكن القوة الحقيقية للمثلثات لا تكمن في المكان الذي يمكننا رؤيته فيه ، ولكن في المكان الذي نستطيع رؤيته فيه يتصور معهم. في هذا الفصل ، سنراجع بعض خصائص المثلثات ونرى كيف يمكن الاستفادة من هذه الخصائص لقياس الأشياء التي نهتم بها.

9.2 التمهيدي حساب المثلثات

علم المثلثات هو دراسة المثلثات ، وتحديداً العلاقات بين أطوال أضلاعها والزوايا بينها. للوهلة الأولى ، قد لا يبدو ذلك وثيق الصلة بالعلوم الطبيعية ، لكن بعض الأمثلة قد تقنعك بخلاف ذلك:

  • غالبًا ما يكون تحديد المسافة "أثناء تحليق الغراب" بين نقطتين جغرافيتين أسهل بكثير بمساعدة المثلثات.
  • يمكن أن يستخدم قياس ارتفاع شجرة أو جبل مثلثات.
  • غالبًا ما يستخدم القياس عن بعد التثليث لتحديد الموقع الجغرافي للحيوانات ذات الأطواق.

إذا كان لديك فصل علم المثلثات ، فيمكنك ربط النظام بمعالجة المعادلات بالجزء الثانيθ وسرير أطفال (1 + π/ 2). خارج حصة الرياضيات ، هل وجدت نفسك يومًا بحاجة إلى إيجاد قاطع زاوية؟ غير محتمل. ولكن ليس من غير المألوف أن تصادف أمثال الجيب وجيب التمام ، والتي غالبًا ما تكتب الخطيئة وجيب التمام على التوالي. هذا لأنها مفيدة حقًا (^ {1} ). واتضح أن جميع وظائف حساب المثلثات الأخرى التي ربما تكون قد تعلمت عنها هي تقريبًا يتم تعريفها بسهولة باستخدام الجيب وجيب التمام! على سبيل المثال ، يمكن تعريف ظل الزاوية على أنه نسبة جيب الزاوية إلى جيب تمام الزاوية ، ولكنه مفيد جدًا لدرجة أننا يجب أن نتعرف عليه أيضًا.

بقدر ما أشعر بالقلق ، إذا احتجت في أي وقت إلى معالجة معادلة تحتوي على جيب التمام الزائدي (cosh) لشيء ما ، يمكنك البحث عنه أو كتابته في أداة إنترنت مثل Wolfram | Alpha. إذا كانت هذه هي تجربتك الأولى مع علم المثلثات ، فلا داعي للقلق ، فسنأخذها ببطء!

العنصر 1.

(^ {1} ) في هذه المرحلة ، قد تحتاج فقط إلى أخذ كلامي في الاعتبار ، ولكن آمل أن تقدر هذه الحقيقة بحلول الوقت الذي تنتهي فيه من هذا الفصل.

المرجع (Wolfram | Alpha)

Wolfram | Alpha هي أداة قائمة على الويب طورها عالم الرياضيات ورجل الأعمال ستيفن ولفرام. يعتمد على نفس المحرك الحسابي الأساسي مثل برنامج الرياضيات Mathematica ، ولكن يمكن استخدامه (مجانًا مع وظائف محدودة قليلاً) من أي متصفح ويب. بالإضافة إلى إجراء العمليات الحسابية والتبسيط الجبري ، يمكنه محاولة فهم الأسئلة المكتوبة البسيطة ويمكنه استرداد البيانات من عدد قليل من قواعد البيانات المنشأة ، فيما يتعلق على سبيل المثال بالطقس والشؤون المالية والرياضة.

تشابه

التشابه هو مفهوم قد لا يتباهى بما يكفي من التطور لضمان إدراجه في فئة علم المثلثات. ومع ذلك ، فهي فكرة سهلة الفهم ويمكن أن تكون فائدتها رائعة. ولحسن حظ العلماء المعاصرين ، فإن التطبيق الرسمي للتشابه يسمح لنا بتصميم أدوات لقياس الأشياء بكفاءة في هذا المجال.

مبدأ التشابه الهندسي (^ {2} ) مباشر. إذا كان لدينا شكل معطى أطوال ضلع معروفة و / أو زوايا معروفة تكونت بين الجانبين ، فيمكننا القول أن شكلًا آخر مشابه إذا كان له نفس عدد الأضلاع وعلاقة بين تلك الجوانب والزوايا هي نفسها لدينا الشكل المرجعي. يمكن أن يظل الشكلان متشابهين حتى لو لم يكونا بنفس الحجم أو الاتجاه. إذا كانت أي مجموعة من الترجمة (تحريك الشكل) ، أو التدوير ، أو الانعكاس (صورة معكوسة) ، أو مقياس متساوي القياس (^ {3} ) يمكن أن يسمح لك بتراكب شكل على الآخر لتجدهما متطابقين ، فإن الأشكال متشابهة.

العنصر 2.

في بعض المجالات ، يُمنح هذا المفهوم اسمًا صوتيًا أكثر تعقيدًا: التشبيه الهندسيتود.

العنصر 3.

الكلمة متساوي القياس في هذا السياق يعني أن أي تغيير في بعد مكاني واحد للشكل (على سبيل المثال ، الطول) يقابله تغيير نسبي في جميع الأبعاد الأخرى.

بالنسبة للمثلثات ، تعتبر المعايير المؤهلة للتشابه بسيطة ، حيث لا يوجد سوى ثلاثة جوانب وزاوية داخلية واحدة في كل من الرؤوس الثلاثة. باختصار ، عندما يكون لمثلثين زاوية واحدة متطابقة ، سنسمي ذلك أ. عندما يتساوى مثلثان في الزوايا الثلاث ، فسنشير إلى ذلك AAA. وبالمثل ، إذا كان طول ضلع أحد أضلاع مثلثين متساويًا ، فسنصف ذلك بـ س. باستخدام هذه التعريفات ، سنقدم الادعاءات التالية ، التي لم يتم إثباتها بعد ، حول معايير تحديد التشابه:

تشابه المثلث

يتشابه المثلثان إذا أمكن إنشاء أي مما يلي:

AAA. زوايا مثلث واحد تساوي زوايا الثاني.

سن اند ساند سبورتس. أطوال أضلاع مثلث واحد تساوي أطوال أضلاع المثلث الثاني. يمكن تحجيم أطوال الأضلاع بثابت ج إذا كان هذا الثابت هو نفسه لكل جانب.

ساس. طولا ضلع وزاوية واحدة لمثلث واحد تساوي تلك الخاصة بالثاني. يمكن تحجيم أطوال الأضلاع بثابت ج إذا كان هذا الثابت هو نفسه لكل جانب.

عندما تصل إلى نهاية هذا الفصل ، يجب أن تكون قادرًا على إظهار كيف يمكن اشتقاق كل معيار من معايير التشابه هذه من أحد المعايير الأخرى. يُترك هذا كتمرين يمكنك العمل عليه ، والذي يمكنه بناء حدسك لاستخدام خصائص المثلث لحل المشكلات.

9.2.1 المثلث الأيمن و sohcahto

يعد SOH-CAH-TOA ذاكري SOH-CAH-TOA واحدًا من عدد صغير من الأشياء التي يتذكرها معظم طلاب حساب المثلثات بعد سنوات من حضور الفصل. في الواقع ، هذه طريقة مفيدة حقًا لتذكر الخوارزميات التي تربط وظائف حساب المثلثات الأساسية بالنسب بين جوانب a مثلث قائم (^ {4} ). لكنها لا تكشف شيئًا عن الطرق التي يمكن بها استخدام المثلثات لأغراض عملية. لذا قبل أن نتعامل مع هذه الوظائف ، دعنا نعيد النظر في ماهية المثلث القائم ، حيث قد نواجه واحدًا ، وبعض المصطلحات والقواعد المتعلقة بهذه الحيوانات. يوضح الشكل 9.2 شخصية لطيفة وحسنة التصرف.

العنصر 4.

كما تعلم ، يُعرَّف المثلث القائم على أنه مثلث بزاوية قائمة واحدة أو 90 درجة

لاحظ أن كل قمة الرأس (نقطة ركن) يربط بين جانبين من الجوانب الثلاثة ولا يلمس الجانب المقابل لها. لأسباب قد تتضح بعد قليل ، نختار أسماء الأضلاع والرؤوس التي تشير ضمنًا إلى وجود علاقة بين الرأس والضلع المقابل له. لذلك على سبيل المثال ، الجانب أ هو الرأس المعاكس أ (بمعنى الرأس أ ليست إحدى نقاط نهاية الجانب أ). من المحتمل أن يرضي حدسك أن حجم الزاوية في الرأس قد يكون له بعض العلاقات البسيطة مع طول الجانب المقابل - على الأقل هناك علاقة أكثر حدسية من تلك الموجودة بين الرأس أ وواحد من الجانبين الآخرين. تخيل الاحتفاظ بالرؤوس أ و ج ثابت ، ولكن السماح للزاوية عند أ ينمو. من الواضح أنه إذا كانت الزاوية ∠أ يزيد الرأس ب يجب أن تتحرك لأعلى وطول الجانب أ يزداد تبعا لذلك. تنتج هذه التجربة الفكرية نتائج مماثلة لأزواج الجانب / الزوايا الأخرى المتعارضة أيضًا ، وسنستخدمها لصالحنا قريبًا في التعامل مع التثليث.

من أهم الخصائص الأساسية لجميع المثلثات أن مجموع زوايا الرؤوس الثلاثة يساوي 180 (^ {◦} ) (∠أ + ∠ب + ∠ج = 180◦). بالنسبة للحالة الخاصة للمثلث القائم ، الزاوية القائمة بحكم التعريف هي 90 (^ {◦} ) ، لذا يجب أن تكون الزاويتان الأخريان أصغر من 90. يبدو هذا واضحًا ، لكن له نتيجة مهمة: أطول ضلع في المثلث هو الجانب المقابل للزاوية الأكبر. لذلك ، بما أن الزاوية القائمة هي أكبر زاوية في مثلث قائم الزاوية ، فإن الضلع الأطول (الذي نسميه وتر) مقابل الزاوية اليمنى (الشكل 9.3).

بالإضافة إلى قاعدة أن مجموع الزوايا يساوي 180 درجة ، فإن أحد أقوى خصائص المثلثات القائمة هو تمسكها بـ نظرية فيثاغورس:

[a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} label {9.1} ]

هذا صحيح دائما شريطة أن ج هو وتر المثلث القائم. اتضح أن هناك تعديلًا بسيطًا يمكن إجراؤه على هذا إذا كنا نتعامل مع أي مثلث عشوائي. ولكن قبل أن نذهب إلى أبعد من ذلك بكثير ، فكر في إعداد مثال حيث يمكن أن يكون المثلث الأيمن مساعدًا مفيدًا للقياس.

9.2.2 مثال: المسافات البرية

إذا كنت تزور نقاط طريق GPS المخزنة على هيئة إحداثيات UTM ، فقد لا تكون المسافة على الأرض بين نقطتين واضحة من مجموعات الإحداثيات. على سبيل المثال ، ما هي المسافة بين (452632،4660214) و (452991،4660580) ، المواقع المميزة لعشّين ديكيسيسيل ملحوظين؟ بمجرد التعرف على هذه الأزواج المرتبة كمكافئ جغرافي لـ (x,ذ) أزواج ، من السهل جدًا رؤية أن العش الثاني هو 452991 - 452632 = 359 مترًا شرقًا و 4660580 - 4660214 = 366 مترًا شمال الأول. ولكن من المحتمل ألا ينتقل أي من علماء الطيور أو عالم الطيور من عش إلى آخر بالذهاب أولاً 366 مترًا شمالًا ثم 359 مترًا شرقًا. من المرجح أن يسير كلاهما في خط مستقيم تقريبًا. نظرًا لأن الشرق والشمال متعامدين ، يمكننا إنشاء مثلث مثل الشكل 9.4 ، بطول 359 مترًا من الجانب الشرقي وطول الجانب الشمالي 366 مترًا لتمثيل مسافات الإحداثيات. مسافة ذبابة الغراب هي وتر المثلث لأنها تقابل الزاوية القائمة. لذلك يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد المسافة التي يمكننا تسميتها د:

ابدأ {مجموعة} {l}
د ^ {2} = ( text {easting}) ^ {2} + ( text {northing}) ^ {2} (9.2)
د = sqrt {( text {easting}) ^ {2} + ( text {northing}) ^ {2}} (9.3)
د = sqrt {(359 م) ^ {2} + (366 م) ^ {2}} = 513 mathrm {~ m} (9.4)
نهاية {مجموعة}

العنصر 5.

يشير Universal Transverse Mercator ، أو UTM ، إلى نظام إحداثيات جغرافي مُسقط حيث يتم إعطاء إحداثيات للمواقع (متر باتجاه الشرق ، أمتار باتجاه الشمال) وفقًا لمسافتها بالأمتار شرق وشمال مسند محدد مسبقًا. فائدة إحداثيات UTM مقارنة بخطوط الطول والعرض هي أنها نظام إحداثيات متعامد مشابه للديكارتي x-ذ نظام إحداثيات نستخدمه أحيانًا للتجريد في الرياضيات.

إن معرفة أن العش الثاني يبعد عن الأول بحوالي 513 مترًا أمرًا رائعًا. ولكن إذا كنت ستعطي تعليمات إلى مساعد ميداني للسير لمسافة 513 مترًا من العش الأول للعثور على العش الثاني ، فهذه وحدها معلومات غير كافية للوصول إلى المكان الصحيح. في أي اتجاه عليها أن تسلك؟ يمكنك بالطبع أن تجعلها تمشي شمالًا 366 مترًا ثم شرقًا 359 مترًا ، لكن هذا لن يكون فعالًا بشكل كبير. من الواضح أن ما ينقص هو الاتجاه. إذا كانت تحمل بوصلة ، فيمكنك منحها اتجاه اتجاه أو بوصلة لاتباعها ، ولكن ما هذا الاتجاه ، وهل لدينا معلومات كافية لتحديد ذلك؟

9.2.3 الزوايا والسمت

في هذه المرحلة ، نحتاج إلى تحديد المزيد من الفروق المهمة فيما يتعلق بأنظمة التنسيق والاتفاقيات. عندما نحتاج إلى أن نكون أكثر دقة من مجرد قول "شمال شرق" ، غالبًا ما يتم إعطاء محامل البوصلة كزوايا بالدرجات. بعض الناس يفضلون استخدام رباعي المحامل ، حيث يتم إعطاء الاتجاهات فيما يتعلق بالانحرافات عن الشمال أو الجنوب. على سبيل المثال ، قد يتم التعبير عن الشمال الشرقي المستحق على أنه "شمال 45 شرقًا" ، أو بشكل مكافئ N (_ {45} ) (^ {◦} ) E. يمكن تفسير ذلك على أنه 45 (^ {◦} ) شرقًا من الشمال. وبالمثل ، يمكن أن يكون الجنوب الشرقي S (_ {45} ) (^ {◦} ) E والجنوب الغربي هو S (_ {45} ) (^ {◦} ) W. يمكن أن يكون فهم هذا أسهل في بعض الأحيان في المحادثة ، ولكن يتم التعبير عن الاتجاهات في السمت هم أقل عرضة لسوء التفسير. السمت هو اتجاه البوصلة بالدرجات في اتجاه عقارب الساعة من الشمال ، ويتزايد باستمرار من 0 إلى 360. في هذا النظام ، الشمال هو 0 (^ {◦} ) و 360 (^ {◦} ) ، والشرق 90 (^ {◦} ) ، والجنوب 180 (^ {◦} ) والغرب 270 (^ {◦} ) (الشكل 9.5).

في عالم الرياضيات ، تُقاس الزوايا عادةً بعكس اتجاه عقارب الساعة من x-محور. هذا لا يعني فقط أن نقطة البداية (0 (^ {◦} )) في مكان مختلف ، ولكنها تزداد في اتجاه مختلف. سنستخدم هذه الاتفاقية من حين لآخر ، لأنها منتشرة جدًا في الموضوعات الكمية التي لا علاقة لها بالجغرافيا. لكن بالنسبة للمشكلة الحالية ، سوف نتمسك بالسمت.

بالعودة إلى مشكلة العثور على عش dickcissel ، كيف يمكننا تحديد الاتجاه الذي يجب أن نعطيه للمساعد الميداني؟ نظرًا لأن مسافات الشرق والشمال متشابهة ، يمكننا أن نكون واثقين تمامًا من أنها ستكون قريبة من 45 (^ {◦} ) (NE) ، ولكن ربما ليس هذا بالضبط. لكن كيف تحدد الزوايا المجهولة في المثلث عندما تعرف زاوية واحدة فقط (الزاوية القائمة) وجميع أطوال الأضلاع؟ آها! الجيب وجيب التمام للإنقاذ !!

9.3 الزوايا والدوائر والجيوب

قبل أن نبدأ في إيجاد السمت ، دعنا نحدد بشكل رسمي عددًا قليلاً من الكميات المثلثية. سنفعل هذا في البداية في إطار الرياضيات ، باستخدام x-ذ نظام التنسيق مع زيادة الزوايا عكس اتجاه عقارب الساعة من x-محور. يوضح الشكل 9.6 ما يمكن أن نطلق عليه "دائرة الوحدة" ، وهي دائرة تتمحور حول النقطة (0،0) (وتسمى أيضًا "الأصل") نصف قطرها وحدة واحدة. إذا اخترنا أي نقطة على الدائرة ، نسميها ص، تقع على مسافة وحدة واحدة من الأصل. لكن إحداثياتها ليست واضحة على الفور. كما هو الحال مع أعشاش dickcissel ، يمكننا قطع المسار من الأصل إلى ص في أحد مكونات x الاتجاه ومكون في ذ اتجاه. بربط كل من مسارات المكونات هذه بالمسار المباشر (خط نصف القطر) ، ينتهي بنا المطاف بمثلث قائم الزاوية △ OAH ، كما هو موضح باللون الأصفر في الشكل 9.6.

نظرًا لأن لدينا مثلثًا قائمًا ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس مرة أخرى لإيجاد طول ضلع مجهول بشرط أن نعرف ضلعين. لكن في هذه الحالة ، لا نعرف وجهين. بدلا من ذلك نعرف الزاوية θ بين ال x- المحور والخط الذي يربط الأصل بالنقطة ص. نحن نعلم أيضًا أن هذا الخط ، نسميه ح للوتر ، طوله 1 حسب التعريف. الجانبان الآخران ، ا و أ للمقابل والمجاور ، غير معروفين لكن يمكن إيجادهما من الأساسي الدوال المثلثية.

النسب المثلثية

ال شرط من زاوية هي نسبة طول الضلع المقابل (ا) على طول ضلع الوتر (ح).
ال جيب التمام من زاوية هي نسبة طول الضلع المجاور (أ) على طول ضلع الوتر (ح).
ال ظل من زاوية هي نسبة طول الضلع المقابل (ا) على طول الضلع المجاور (أ).

الظل مطابق لنسبة الجيب إلى جيب التمام لزاوية ، والتي يمكنك رؤيتها تعادل التعريف أعلاه إذا ألغيت شروط الوتر في نسبة النسب. هذه تعريفات محملة ، فلنأخذ بضع لحظات للتفكير فيما رأيناه للتو.

  • وظائف حساب المثلثات هي المهام بالمعنى الرسمي: يقومون بتحويل المدخلات (الزاوية) إلى ناتج فريد (نسبة أطوال الأضلاع).
  • يتم تعريف الضلع المقابل والمجاور بالنسبة إلى الزاوية التي تمثل جدال من دالة حساب المثلثات.
  • ناتج كل دالة مثلثية عبارة عن كمية بلا أبعاد تمثل نسبة طولي ضلع.
  • إذا عرفنا زاوية واحدة (بخلاف الزاوية القائمة) وطول ضلع واحد ، فيمكننا إيجاد طولي الضلعين المتبقيين باستخدام الدوال المثلثية.

في المعادلات ، لا نقوم بتهجئة الاسم الكامل لهذه الوظائف ، ولكن بدلاً من ذلك نستخدم الخطيئة وجيب التمام والظل كاختصار. باستخدام هذا الاختصار والتعريفات أعلاه ، يمكننا إنشاء بعض المعادلات البسيطة التي يمكن أن تساعدنا في العثور على أطوال الأضلاع المجهولة O و A في الشكل 9.6:

الخطيئة θ = ( frac {O} {H} ) (9.5)

كوس θ = ( frac {A} {H} ) (9.6)

منذ أن عرفنا θ و H في دائرة الوحدة ، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلات لإيجاد المجهول. بضرب طرفي كل معادلة بـ H ، نحصل على:

ح الخطيئة θ = ا (9.7)

ح كوسθ = أ (9.8)

الآن سبب قيامنا بهذا في دائرة الوحدة هو ذلك ح = 1 ، لذلك ننتهي بشكل أساسي من تعريفات الخطيئة θ = ا وجيب التمام θ = أ. الشيء المهم الذي يجب إدراكه ، إذن ، هو أننا نستطيع زيادة لأي أطوال جانبية تعسفية. لنفترض أننا لم نهتم بمثلث به وتر المثلث 1 وحدة ، ولكن بمثلث به وتر المثلث 55 مترًا. تعريف F = 55 وقياس جميع أضلاع المثلث بشكل متساوي بواسطة هذا العامل ، يمكننا أن نرى على سبيل المثال ما يلي:

( sin theta = frac {f O} {f H} left [ frac { mathrm {m}} { mathrm {m}} right] ) (9.9)

بالطبع F تطول ببساطة ح و ا بنفس العامل المشترك ، ويمكن إلغاؤها بسهولة. لكن هذا يوضح حقيقة أن الجيب والدوال المثلثية الأخرى تصف نسب طول الجانب بلا أبعاد ، وأن هذه النسب يمكن أن تتناسب مع بعضها دون تغيير الجيب وجيب التمام وظل الزوايا! من الدلالات الواضحة أنه إذا كان رأس أحد المثلث القائم الزاوية له نفس جيب التمام وجيب المثلث الآخر ، فيمكن إظهار أن المثلثات متشابهة.

في الواقع ، لقد علمنا بالفعل أنه من خلال معرفة زاوية واحدة غير الزاوية القائمة في مثلث قائم الزاوية ، يمكننا بسهولة إيجاد الزاوية الثالثة. تذكر ، إذن ، أن أحد معايير تحديد التشابه في المثلثات هو AAA ، أو المساواة بين جميع الزوايا الثلاث بغض النظر عن طول الضلع. بالنسبة لأي زوج من المثلثات اليمنى المتشابهة ، فإن الاختلاف الوحيد في أطوال الأضلاع هو عامل تحجيم ثابت F .

وبالتالي ، يمكن تصغير أي مثلث قائم الزاوية إلى مثلث مماثل في دائرة الوحدة بقسمة جميع أطوال الأضلاع على طول الوتر ، بحيث ح/ F = 1!

بالإضافة إلى تبسيط قياس المثلث ، تتيح لنا دائرة الوحدة أيضًا تخيل نقطة متحركة ص على طول المحيط والتعرف على كيفية أطوال أ و ا تغير تبعا لذلك. في الواقع ، برنامج Geogebra مناسب تمامًا للقيام بذلك ، وأنا أوصي بشدة باللعب به لتعزيز حدسك. الشيء الأساسي الذي يجب ملاحظته هو أن مقام النسب الجانبية المعرفة بالجيب وجيب التمام هو الوتر ، أو 1 على دائرة الوحدة. إذن ، أطوال الضلعين المقابل (الجيب) والمجاور (جيب التمام) هما ناتج هاتين الدالتين. للزوايا بين 0 (^ {◦} ) و 90 (^ {◦} ) ، تتراوح كلتا الوظيفتين من 0 إلى 1. إذا سمحت بذلك x و ذ لأخذ القيم السلبية كنقطة ص يذهب لأسفل أو إلى يسار الأصل ، سترى أن كلتا الوظيفتين تظلان بين -1 و 1 ، ضمناً.

لكن الظل قصة مختلفة. تذكر أن أحد تعريف ظل الزاوية هو ا/أ. يمكنك أن ترى ذلك من زاوية صغيرة θ, ا صغير جدًا و أ قريبة جدًا من 1 ، لذا فإن نسبة الاثنين ستكون تقريبًا 0. ا و أ متساوية وتانθ = 1 متى θ هو 45 (^ {◦} ) ، وبصيغة
θ تقترب من 90 (^ {◦} ) ، أ تقترب من 0 و ا تقترب من اللانهاية ، لذلك تان θ يقترب من اللانهاية كذلك. ماذا تفترض يحدث θ يصبح أكبر من 90 (^ {◦} )؟

9.3.1 مثال: قياس الشجرة

يعد مقياس الميل من أكثر الطرق شيوعًا لقياس ارتفاع الشجرة. هذا جهاز صغير محمول باليد مع عدسة رؤية وشعر متقاطع وواحد من مجموعة متنوعة من الآليات المختلفة لقياس زاوية الميل (سواء كانت موجبة أو سالبة) لخط الرؤية من الأفقي. يوضح الشكل 9.7 المثلثات الافتراضية التي تم إنشاؤها برؤوس في عين المراقب ، وقاعدة وتاج الشجرة المستهدفة. يمكن أن يتضمن الحصول على توزيع ارتفاع الأخشاب القابلة للتسويق في قطعة الغابة لدينا في المشكلة 3.5 مجموعة من قياسات الارتفاع التمثيلية باستخدام مقياس الميل.

عند قياس ارتفاع الشجرة ، غالبًا ما يتم أخذ قراءتين باستخدام مقياس الميل: واحدة إلى التاج θ (_ {u} ) وواحد للقاعدة أو الجذع θل. نقطة المراقبة ه هي مسافة محددة مسبقًا د من الشجرة نفسها. من هذه المعلومة ما هو ارتفاع الشجرة؟

نحدد ح كمقدار الفائدة ، واحترم ذلك ح = ح (_ {u} ) + ح (_ {l} ). كخطوة أولى ، يجب أن نحدد حش و حل.
نفترض أن هندسة المشكلة تسمح لنا ببناء مثلثين خياليين قائم الزاوية كما هو موضح وأن مقياس الميل لدينا يعطينا زوايا بالدرجات من الأفقي. بما أننا نعرف المسافة الأفقية للشجرة د وقمنا بقياس الزوايا إلى الأعلى (θ (_ {u} )) وأسفل (θ (_ {l} )) من الشجرة نعرف طول الضلع المجاور (د) وزاوية لكلا المثلثين. الهدف المجهول هو الأضلاع المتقابلة لكل مثلث ، ومن sohcahtoa نعلم أنه يمكننا استخدام tan لإيجاد الضلعين المتقابلين عندما نعرف الضلعين المجاورين.

هكذا:

تانθ (_ {u} ) = ( frac {H_u} {D} ) (9.10)

دتانθ (_ {u} ) = H (_ {u} ) (9.11)

و

تانθ (_ {l} ) = ( frac {H_l} {D} ) (9.12)

دتانθ (_ {u} ) = H (_ {l} ) (9.13)

ومنذ ذلك الحين ح = ح (_ {u} ) + ح (_ {l} ) ،

ح = د تان θ (_ {l} ) + د تان θ (_ {l} ) (9.14)

ح = د(تانθ (_ {u} ) + تانθ (_ {l} )).

وبالتالي ، يمكننا استخدام دالة مثلثية أولية (تان) وقليلًا من الجبر لإنتاج صيغة تربط قياسات زاوية مقياس الميل بارتفاع الشجرة.

9.4 المثلثات العشوائية

في حين أنه قد يتم التعامل مع بعض المشكلات بشكل مربح باستخدام مثلثات قائمة الزاوية الوهمية ، فإن البعض الآخر يقدم مثلثات بدون زوايا قائمة. سوف نسمي هذه اعتباطي أو مثلثات عامة. التثليث هو مهمة نموذجية قد يواجه فيها علماء البيئة أو مديرو الحياة البرية مثلثات عشوائية. عند التعقب اللاسلكي لحيوان ذي أطواق ، على سبيل المثال ، تتمثل إحدى طرق تحديد موقع الحيوان في وقت معين في التثليث من هوائيات اتجاهات متعددة. الشكل 9.4 هو نفسه الشكل 1.9 ، فيما عدا أننا ندرس الآن أن الرؤوس هي أجهزة إرسال راديوية (حيوانات) ومستقبلات (علماء البيئة).

حتى الآن ، لدينا فقط أداتان آمنان للاستخدام مع المثلثات التي تفتقر إلى الزاوية اليمنى: القاعدة التي تفيد بأن مجموع الزوايا الداخلية يصل إلى 180 (^ {◦} ) (والتي قد نستخدم الاختزال (for من أجلها) 180) والمعايير العامة للمثلثات المتشابهة والآثار المترتبة عليها. قد تكون هذه ذات فائدة محدودة إذا كان هدفنا هو تحديد المسافة إلى أو موقع حيوان ملتوٍ. ولكن إذا عرفنا طول جانب واحد (لنقل الجانب ب في الشكل 9.4) ، وبعض الزوايا ، يمكننا إحراز بعض التقدم.

9.4.1 قانون الجيب

قانون الجيب صالح للمثلثات العامة ، بما في ذلك المثلثات القائمة. إذا كنا حريصين على تحديد جوانبنا ورؤوسنا كما لدينا (بزاوية الرأس أ الجانب المعاكس أ وهكذا) ، يمكننا أن نذكر قانون الجيب على النحو التالي:

قانون الجيوب

( frac {sin A} {a} ) = ( frac {sin B} {b} ) = ( frac {sin C} {c} ). (9.16)

لاحظ أن هذه المعادلة غريبة من حيث أن هناك علامتي يساوي. لا تقلق ، هذا مجرد اختصار يسمح لنا بالقول في سطر واحد أن كل نسبة بين جيب الزاوية وطول الجانب المقابل لها تساوي نسب الجيب / الجانب المقابلة الأخرى. إذا كتبنا كل معادلة بعلامة "=" واحدة ، فسيكون هناك ثلاثة منهم وسيستغرق الأمر مساحة أكبر. ولكن في التطبيق الفعلي ، يمكنك استخدام أي من المساواة الضمنية في المعادلة 9.16 ، مثل:

( frac {sin A} {a} ) = ( frac {sin C} {c} ) (9.17)

المفهوم الأساسي هنا هو أن هناك علاقة بسيطة ومتسقة بين جيب كل زاوية وطول ضلعها المقابل ، وأن هذا ينطبق على جميع المثلثات ، بغض النظر عن الحجم أو الشكل. هذا منطقي كثيرا أليس كذلك؟ إذا تخيلت أن مثلثًا مكونًا من ثلاثة أشرطة مطاطية معقودة ويطيل جانبًا واحدًا (دون تغيير طول الضلعين الآخرين) ، فماذا يحدث للزاوية المقابلة لهذا الجانب المشدود؟ ينمو بشكل صحيح؟ ولكن لاستيعاب نمو تلك الزاوية ، يجب أن تصبح الزاويتان الأخريان أصغر. يكون قانون الجيب مفيدًا بشكل خاص إذا كنت تعرف جانبين وزاوية واحدة (SSA) أو زاويتين وجانب واحد (AAS).

9.4.2 قانون جيب التمام

أداة أخرى مفيدة للمثلثات العامة تسمى "قانون جيب التمام". من نواحٍ عديدة ، يوفر نفس المعلومات التي يمكنك العثور عليها بسهولة من الأدوات الأخرى التي ناقشناها بالفعل ، لذلك لن نشتقها أو نناقشها بتفصيل كبير. لكن عالم الرياضيات بول لوكهارت يطرح قضية أن قانون جيب التمام قد يكون اسمًا مضللًا ، وأنه من الأفضل وصف العلاقة بأنها نسخة معدلة من نظرية فيثاغورس التي تناسب جميع المثلثات العامة. تحقق من ذلك:

ج(^{2}) = أ(^{2}) +ب(^{2}) −2أبكوسج. (9.18)

كما ترى ، فهي مطابقة لنظرية فيثاغورس فيما عدا أن هناك عامل تصحيح 2أب كوس ج يتم طرحه لحساب الانحرافات عن مثلث قائم الزاوية. كما هو الحال مع نظرية فيثاغورس ، يمنحك قانون جيب التمام طول الضلع الثالث إذا كنت تعرف الضلعين الآخرين ، لكنك تحتاج أيضًا إلى معرفة الزاوية بين الأضلاع المعروفة (SSA). على هذا النحو ، تتداخل وظيفتها مع قانون الجيب.

9.5 أدوات المثلث: ملخص

علم المثلثات هو مجال فرعي كبير للرياضيات ، ويمكنه بالفعل ملء أكثر من فصل دراسي في فصول الرياضيات. ركز علاجنا هنا على الأدوات الأكثر شيوعًا في الإعدادات الميدانية العملية في العلوم الطبيعية. يمكن أن تصبح العديد من الوظائف والعلاقات والمهارات الإضافية مهمة في تطبيقات محددة وأكثر تقنية ، ولكن يمكن اشتقاق معظمها من الوظائف الأساسية التي تمت مناقشتها هنا. يتم تلخيص هذه الوظائف والخصائص في الجدول التالي.

9.5.1 مثال: موطن الطيور المائية على الخط الساحلي (المشكلة 3.1)

يبدو أن بعض أنواع البط المبتلة مثل البط البري تفضل المياه الضحلة جدًا. وهذا يعني أن الأراضي الرطبة الضحلة الصغيرة يمكن أن تتناسب مع الفاتورة ، ولكن حتى المناطق الساحلية الضحلة للأراضي الرطبة الأكبر والأعمق قد تكون كافية. تعد الشواطئ أيضًا واجهة بين مناطق التغذية والتعشيش للعديد من الأنواع ، وغالبًا ما تدعم النباتات والحيوانات المتنوعة عبر البيئة البيئية.

إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها تقدير مدى موائل الخط الساحلي هي إيجاد طول محيط الأراضي الرطبة أو الخطوط العريضة. إذا قمنا ، كما هو موضح في الفصل الأخير ، برقمنة (أو حصلنا على بيانات حالية) لمخططات الأراضي الرطبة في قطعنا المرشحة ، يجب أن يكون لدينا إحداثيات شرقية وشمالية لهذه الخطوط العريضة. كما هو الحال مع منطقة المضلع ، فإن معظم برامج نظم المعلومات الجغرافية ستحسب تلقائيًا محيط أي شكل. ومع ذلك ، فمن المفيد أن نرى كيف يتبع ذلك من مناقشتنا السابقة للاستدلال المكاني بمساعدة المثلث.

تذكر أننا عندما كنا نتنقل بين أعشاش ديكيسيل ، استخدمنا تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد مسافة الخط المستقيم من إحداثيات نقطتي النهاية. يمكننا كتابة هذه العلاقة في ملف x, ذ نظام الإحداثيات على النحو التالي:

(l_ {1 rightarrow 2} = sqrt { left [ left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right ) ^ {2} right]} ) (9.19)

أين ل (_ {1 → 2} ) هو طول مسافة الخط المستقيم من النقطة 1 (ذات الإحداثيات x(_{1}), ذ (_ {1} )) والنقطة 2. لاحظ أن النتيجة دائمًا رقم حقيقي غير سالب لأن الفروق مربعة. إذا كان لدينا سلسلة من ن النقاط التي تصف الخطوط العريضة للأراضي الرطبة ، مجموع الكل ن من الأطوال التي تشكل مضلع مغلق تقترب من المحيط ص المضلع (^ {7} ). يمكننا تعميم هذا على النحو التالي:

( تبدأ {محاذاة}
P = sqrt { left [ left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right) ^ {2} right] } & + sqrt { left [ left (x_ {3} -x_ {2} right) ^ {2} + left (y_ {3} -y_ {2} right) ^ {2} right ]} + ldots
& ldots sqrt { left [ left (x_ {1} -x_ {n} right) ^ {2} + left (y_ {1} -y_ {n} right) ^ {2} right ]}.
نهاية {محاذاة} ) (9.20)

كما هو الحال مع صيغة المنطقة شبه المنحرفة ، يمكن تنفيذ ذلك يدويًا أو في جدول بيانات أو باستخدام برنامج GIS.

العنصر 7.

(^ {7} ) ما مدى جودة هذا النوع من التقريب للمحيط؟ هذا سؤال بسيط إجابته ليست بهذه البساطة. لأغراضنا هنا ، كلما كان لدينا المزيد من النقاط ، كان ذلك أفضل - لا سيما إذا كان لدينا طريقة آلية لإجراء الحسابات. ومع ذلك ، بمعنى أكثر فلسفية ، هذا هو جوهر مفارقة الخط الساحلي ، التي أشاعها عالم الرياضيات بينوا ماندلبروت لأول مرة.

التمرين 1.

1. استخدم الشكل 9.4 والمثلثات القائمة التي تكونت بإسقاط العمود العمودي ح، لاشتقاق قانون الجيب من وظائف حساب المثلثات التي تعرفها بالفعل.

تمرين 2.

2. اشرح كيف يمكنك العثور على موقع القياس عن بعد ب إذا كنت تعرف مواقع أ و ج وزواياهم الداخلية.

التمرين 3.

3. ماذا يحدث إذا حاولت تطبيق قانون الجيب على مثلث قائم الزاوية؟

التمرين 4.

4. ماذا يحدث إذا استخدمت قانون جيب التمام على مثلث قائم الزاوية؟ افترض الزاوية ج هي الزاوية الصحيحة.

التمرين 5.

5. يمكن استخدام المثلثات لقياس الأشياء البعيدة ، حتى لو لم نتمكن من الوصول إليها. يمكن استخدام هذا لتقدير ارتفاع كائن (على سبيل المثال ، قمة جبل أو شجرة) حيث لا يمكننا الوصول إلى القاعدة ، وبالتالي لا يمكننا قياس المسافة الأفقية الكاملة التي تفصلنا عن الكائن الذي نرغب في قياسه. يتم توضيح الفرضية العامة للطريقة عن بعد في الشكل 9.9. إذا كان بإمكاننا استخدام مقياس الميل (جهاز لتحديد الزاوية بين الأفقي وخط البصر لكائن موضع اهتمام) لتحديد زوايا خط الرؤية للكائن موضع الاهتمام ص من مكانين مختلفين ب1 و ب2 ، ونعرف المسافة بين تلك الأماكن ل، يمكننا استخدام علم المثلثات والجبر لتحديد الارتفاع المطلوب ح.

ضع استراتيجية للقياس ح من المعلومات التي تم جمعها في ب1 و ب2. اشتقاق وتبرير صيغة يمكن استخدامها لهذه المهمة.


أسئلة إضافية للصف 9 رياضيات الفصل 7 مثلثات مع إجابات حلول

مثلثات الفئة 9 أسئلة إضافية نوع الإجابة قصير جدًا

السؤال رقم 1.
أوجد قياس كل زاوية خارجية لمثلث متساوي الأضلاع.
المحلول:
نعلم أن كل زاوية داخلية لمثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة.
∴ كل زاوية خارجية = 180 درجة & # 8211 60 درجة = 120 درجة

السؤال 2.
إذا كان في ∆ABC ، ​​∠A = ∠B + C ، اكتب شكل المثلث المعطى.
المحلول:
هنا ، A = ∠B + C
وفي ∆ABC ، ​​لدينا من خلال خاصية مجموع الزوايا
∠A + ∠B + C = 180 درجة
⇒ ∠A + ∠A = 180 درجة
⇒ 2∠A = 180 درجة
⇒ ∠A = 90 درجة
ومن ثم ، فإن المثلث المعطى هو مثلث قائم الزاوية.

السؤال 3.
في ∆PQR و PQ = QR و R = 50 ° ، ثم ابحث عن قياس ∠Q.
المحلول:
هنا ، في ∆PQR ، PQ = QR
⇒ ∠R = P = 50 درجة (معطى)
الآن ، ∠P + ∠Q + ∠R = 180 درجة
50 درجة + Q + 50 درجة = 180 درجة
⇒ ∠Q = 180 درجة & # 8211 50 درجة & # 8211 50 درجة
= 80°

السؤال 4.
إذا كانت ∆SKY ≅ ∆MON بواسطة قاعدة التطابق SSS ، فاكتب ثلاث معادلات من الزوايا المقابلة.
المحلول:
منذ ∆SKY ≅ ∆MON بواسطة قاعدة التطابق SSS ، ثم ثلاث معادلات من الزوايا المتناظرة
هي ∠S = ∠M ، ∠K = ∠O و ∠Y = N.

السؤال 5.
هل ABC ممكن ، إذا كان AB = 6 سم ، BC = 4 سم ، AC = 1.5 سم؟
المحلول:
بما أن 4 + 1.5 = 5.5 6
وبالتالي ، فإن المثلث غير ممكن.

السؤال 6.
في ∆MNO ، إذا كانت N = 90 ° ، فاكتب الضلع الأطول.
المحلول:
نعلم أن الضلع المقابل لأكبر زاوية هو الأطول.
∴ أطول جانب = MO.

السؤال 7.
في ∆ABC ، ​​إذا كان AB = AC و ∠B = 70 ° ، فأوجد ∠A.
المحلول:
هنا ، في ∆ABC AB = AC ∠C = B [∠s مقابل. لتساوي جوانب a)
الآن ، ∠A + ∠B + C = 180 درجة
⇒ ∠A + 70 درجة + 70 درجة = 180 درجة [∵ ∠B = 70 درجة]
⇒ ∠A = 180 درجة & # 8211 70 درجة & # 8211 70 درجة = 40 درجة

السؤال 8.
في ∆ABC ، ​​إذا كان AD متوسطًا ، فقم بإظهار أن AB + AC & gt 2AD.
المحلول:

قم بإنتاج AD إلى E ، بحيث يكون AD = DE.
في ∆ADB و ∆EDC ، لدينا
BD = CD ، AD = DE و 1 = 2
∆ADB ≅ ∆EDC
AB = CE
الآن ، لدينا في AEC
AC + CE & GT AE
AC + AB & gt AD + DE
AB + AC & gt 2AD [∵ AD = DE]

مثلثات الفئة 9 أسئلة إضافية نوع الإجابة المختصرة 1

السؤال رقم 1.
في الشكل التالي ، AD = BC و BD = AC ، أثبت أن ∠DAB = ∠CBA.
المحلول:

في ∆DAB و ∆CBA ، لدينا
AD = BC [معطى]
BD = AC [معطى]
AB = AB [عام]
∴ ∆DAB ≅ ∆CBA [بواسطة بديهية التطابق SSS]
وبالتالي ، ∠DAB = ∠CBA [c.p.c.t.]

السؤال 2.
في الشكل الموضح ، فإن ∆ABD و ABCD عبارة عن مثلثين متساوي الساقين على نفس القاعدة BD. إثبات أن ∠ABC = ∠ADC.
المحلول:

في ∆ABD ، لدينا
AB = AD (معطى)
∠ABD = ∠ADB [الزوايا المتقابلة للأضلاع متساوية] & # 8230 (i)
في ∆BCD ، لدينا
CB = CD
⇒ ∠CBD = ∠CDB [الزوايا المتقابلة للأضلاع متساوية] & # 8230 (ii)
إضافة (1) و (2) ، لدينا
∠ABD + ∠CBD = ∠ADB + ∠CDB
⇒ ∠ABC = ∠ADC

السؤال 3.
في الشكل الموضح ، إذا كانت 1 = ∠2 و 3 = ∠4 ، فأثبت أن BC = CD.
المحلول:

في ∆ABC و ACDA ، لدينا
∠1 = ∠2 (معطى)
AC = AC [عام]
∠3 = ∠4 [معطى]
لذلك ، باستخدام مسلمة التطابق ASA
∆ABC ≅ ∆CDA
بما أن الأجزاء المتناظرة من المثلثات المتطابقة متساوية
∴ BC = قرص مضغوط

السؤال 4.
في الشكل المعطى ، B & lt ∠A و C & lt ∠D. تبين أن AD & lt BC.

المحلول:
هنا ، B & lt ∠A
⇒ AO & lt BO & # 8230 .. (i)
و ∠C & lt ∠D
⇒ OD & lt CO & # 8230 .. (ii)
[∴ الضلع المقابل للزاوية الأكبر أطول]
إضافة (1) و (2) ، نحصل عليها
AO + OD & lt BO + CO
ميلادي & lt قبل الميلاد

السؤال 5.
في الشكل التالي ، AC & gt AB و D هي نقطة على AC بحيث AB = AD. تبين أن القرص المضغوط BC & GT.
المحلول:

هنا ، في ∆ABD ، AB = AD
∠ABD = ∠ADB
[مقابل. لتساوي جوانب a]
في ∆BAD
تحويلة. ∠BDC = ∠BAD + ∠ABD
⇒ ∠BDC & GT ∠ABD & # 8230. (الثاني)
أيضا ، في ∆BDC.
تحويلة. ∠ADB & GT ∠CBD & # 8230 (الثالث)
من (2) و (3) ، لدينا
∠ BDC & gt CD [الجانبين مقابل. لزاوية أكبر أكبر]

السؤال 6.
في المثلث ABC ، ​​D هي النقطة الوسطى للجانب AC بحيث يكون BD = ( frac <1> <2> ) AC. أظهر أن ∠ABC زاوية قائمة.
المحلول:

هنا ، في ABC ، ​​D هي النقطة الوسطى لـ AC.
⇒ AD = CD = ( frac <1> <2> ) AC & # 8230 (i)
أيضًا ، BD = ( frac <1> <2> ) AC & # 8230 (ii) [معطى]
من (1) و (2) نحصل عليها
AD = BD و CD = BD
⇒ ∠2 = ∠4 و ∠1 = ∠3 & # 8230 .. (iii)
في ∆ABC ، ​​لدينا
∠ABC + ∠ACB + ∠CAB = 180 درجة
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
⇒ ∠1 + ∠2 + 1 + ∠2 = 180 درجة [باستخدام (iii)]
⇒ 2(∠1 + ∠2) = 180°
⇒ ∠1 + ∠2 = 90°
ومن ثم ، ∠ABC = 90 درجة

مثلثات الفئة 9 أسئلة إضافية نوع الإجابة المختصرة 2

السؤال رقم 1.
ABC مثلث متساوي الساقين ، AB = AC. P و Q هما نقطتان على AB و AC على التوالي مثل AP = AQ. إثبات أن CP = BQ.
المحلول:

في ∆ABQ و ∆ACP ، لدينا
AB = AC (معطى)
∠BAQ = ∠CAP [عام]
AQ = AP (معطى)
∴ بمعايير التطابق SAS ، لدينا
∆ABQ ≅ ∆ACP
CP = BQ

السؤال 2.
في الشكل الموضح ، ∆ABC و ∆DBC عبارة عن مثلثين متساوي الساقين على نفس القاعدة BC والرؤوس A و D على نفس الجانب من BC ، وتمتد AD لتتقاطع مع BC عند P. أظهر أن: (i) ∆ABD ≅ ∆ACD (2) ∆ABP ≅ ∆ACP

المحلول:
(ط) في ∆ABD و ∆ACD
AB = AC [معطى]
BD = CD [معين]
م = م [عام)]
∴ من خلال بديهية التطابق SSS ، لدينا
∆ABD ≅ ∆ACD
(2) في ∆ABP و ∆ACP
AB = AC [معطى]
∠BAP = ∠CAP [c.p.cit. مثل ∆ABD ≅ ∆ACD]
AP = AP [عام]
∴ من خلال بديهية التطابق SAS ، لدينا
∆ABP ≅ ∆ACP

السؤال 3.
في الشكل المعطى ، نجد أن AE = AD و BD = CE. إثبات أن AEB ∆ ∆ADC.

المحلول:
لدينا AE = AD & # 8230 (i)
و CE = BD & # 8230 (ii)
عند إضافة (1) و (2) ،
لدينا AE + CE = AD + BD
⇒ AC = AB
الآن ، في AEB و ∆ADC ،
لدينا AE = AD [معين]
AB = AC [ثبت أعلاه]
∠A = ∠A [عام]
∴ من خلال بديهية التطابق SAS ، لدينا
∆AEB = ∆ADC

السؤال 4.
في الشكل المعطى ، في ∆ABC ، ​​B = 30 ° ، C = 65 ° ، ومنصف ∠A يلتقي BC في X. رتب AX و BX و CX بترتيب تصاعدي من حيث الحجم.

المحلول:
هنا ، AX ينصف ∠BAC.
∴ ∠BAX = ∠CAX = x (قل)
الآن ، ∠A + ∠B + C = 180 ° [خاصية مجموع زاوية المثلث]
⇒ 2 س + 30 درجة + 65 درجة = 180 درجة
⇒ 2 س + 95 = 180 درجة
⇒ 2x = 180 درجة & # 8211 95 درجة
⇒ 2x = 85 درجة
⇒ س = ( فارك <85 ^ < دائرة >> <2> ) = 42.59
في ∆ABX ، لدينا x & gt 30 درجة
باكس و GT ∠ABX
⇒ BX & gt AX (الجانب المقابل للزاوية الأكبر أكبر)
⇒ AX & lt BX
أيضًا ، في ∆ACX ، لدينا 65 درجة و GT x
⇒ ∠ACX & GT ∠CAX
⇒ AX & gt CX [الجانب المقابل. لزاوية أكبر أكبر]
⇒ CX & GT AX & # 8230 (الثاني)
ومن ثم ، من (1) و (2) ، لدينا
CX & lt AX & lt BX

السؤال 5.
في الشكل ، & # 8216S & # 8217 هي أي نقطة على الجانب QR من APQR. إثبات أن PQ + QR + RP & gt 2PS.

المحلول:
في ∆PQS ، لدينا
PQ + QS & gt PS & # 8230 (i)
[∵ مجموع ضلعين في المثلث أكبر من الضلع الثالث]
في ∆PRS ، لدينا
RP + RS & gt PS & # 8230 (ii)
إضافة (1) و (2) ، لدينا
PQ + (QS + RS) + RP & gt 2PS
ومن ثم ، PQ + QR + RP & gt 2PS. [∵ QS + RS = QR]

السؤال 6.
إذا كان لمثلثين متساوي الساقين قاعدة مشتركة ، فبرهن أن الخط الذي يربط رؤوسهما يقسمهما بزوايا قائمة.
المحلول:
هنا ، يوجد مثلثين مشتركين ABC و BDC
القاعدة BC ، مثل AB = AC و DB = DC.
الآن ، في ABD و ∆ACD

AB = AC [معطى]
BD = CD [معين]
م = م [عام]
∴ ΔABD ≅ ΔΑCD [بواسطة بديهية التطابق SSS]
⇒ ∠1 = ∠2 [c.p.c.t.]
مرة أخرى ، لدينا في ABE و ∆ACE
AB = AC [معطى]
∠1 = ∠2 [تم إثباته أعلاه]
AE = AE [عام]
∆ABE = ∆ACE [بواسطة بديهية التطابق SAS]
BE = CE [c.p.c.t.]
و ∠3 = ∠4 [c.p.c.t.]
لكن ∠3 + ∠4 = 180 درجة [زوج خطي]
⇒ ∠3 = ∠4 = 90°
ومن ثم ، فإن AD يقسم BC بزوايا قائمة.

مثلثات فئة 9 أسئلة إضافية نوع الإجابة الطويلة

السؤال رقم 1.
في الشكل المعطى ، AP و DP هما منصفين لزاويتين متجاورتين A و D للرباع ABCD. إثبات أن 2 ∠APD = B + 2C.

المحلول:
هنا ، AP و DP هما منصف زاوي من A و D
∴ ∠DAP = ( frac <1> <2> ) ∠DAB و ∠ADP = ( frac <1> <2> ) ADC & # 8230 & # 8230 (i)
في ∆APD ، ∠APD + ∠DAP + ∠ADP = 180 درجة
⇒ ∠APD + ( فارك <1> <2> ) ∠DAB + ( فارك <1> <2> ) ∠ADC = 180 درجة
⇒ ∠APD = 180 درجة & # 8211 ( فارك <1> <2> ) (∠DAB + ∠ADC)
⇒ 2∠APD = 360 ° & # 8211 (∠DAB + ADC) & # 8230 & # 8230 (ii)
أيضًا ، ∠A + ∠B + C + D = 360 درجة
∠B + 2C = 360 درجة & # 8211 (∠A + ∠D)
∠B + C = 360 درجة & # 8211 (∠DAB + ADC) & # 8230 & # 8230 (iii)
من (2) و (3) نحصل عليها
2∠APD = ∠B + C

السؤال 2.
في الشكل ، ABCD عبارة عن مربع و EF موازية للقطري BD و EM = FM. اثبت ذلك
(ط) DF = BE (i) AM منصفين ∠BAD.

المحلول:
(ط) إي أف || BD = ∠1 = ∠2 و ∠3 = ∠4 [s المقابلة]
أيضا ، ∠2 = ∠4
⇒ ∠1 = ∠3
⇒ CE = CF (الأضلاع المقابلة. حتى تساوي ofs من a]
∴ DF = BE [∵ BC & # 8211 CE = CD & # 8211 CF)

(2) في ∆ADF و ∆ABE ، لدينا
AD = AB [جوانب مربع]
DF = BE [ثبت أعلاه]
∠D = ∠B = 90 درجة
⇒ ∆ADF ≅ ∆ABE [بواسطة بديهية التطابق SAS]
⇒ AF = AE و ∠5 = ∠6 & # 8230 (i) [c.p.c.t.]
في ∆AMF و ∆AME
AF = AE [ثبت أعلاه]
صباحًا = صباحًا [عام]
FM = EM (معطى)
∴ ∆AMF ≅ ∆AME [بواسطة بديهية التطابق SSS]
∴ ∠7 = ∠8 & # 8230 (ii) [c.p.c.t.]
إضافة (1) و (2) ، لدينا
∠5 + ∠7 = ∠6 + ∠8
∠DAM = ∠BAM
∴ AM شطر ∠BAD.

السؤال 3.
في المثلث القائم الزاوية ABC ، ​​الزاوية القائمة عند C ، M هي منتصف نقطة الوتر AB. يتم ربط C بـ M ويتم إنتاجها إلى النقطة D بحيث يكون DM = CM. تم ربط النقطة D بالنقطة B (انظر الشكل). أظهر أن: (i) ∆AMC ≅ BMD (ii) ∠DBC = 90 ° (ii) ∆DBC ≅ ∆ACB (iv) CM = ( frac <1> <2> ) AB

المحلول:
معطى: ∆ACB حيث 4C = 90 ° و M هي النقطة الوسطى لـ AB.
لإثبات:
(ط) ∆AMC ≅ ∆BMD
(2) BCDBC = 90 درجة
(ثالثا) BCDBC ≅ ∆ACB
(4) CM = ( frac <1> <2> ) AB
الإثبات: ضع في اعتبارك ∆AMC و ∆BMD ،
لدينا AM = BM [معطى]
CM = DM [بالبناء]
∠AMC = ∠BMD [زوايا متقابلة عموديًا]
∴ ∆AMC ≅ ∆BMD [بواسطة بديهية التطابق SAS]
⇒ AC = DB & # 8230 (i) [بواسطة c.p.c.t.]
و ∠1 = ∠2 [بواسطة c.p.c.t.]
لكن 1 و 2 زاويتان متبادلتان.
⇒ BD || كاليفورنيا
الآن ، BD || CA و BC مستعرضان.
∴ ∠ACB + ∠CBD = 180 درجة
⇒ 90 درجة + CBD = 180 درجة
∠ CBD = 90 درجة
في ∆DBC و ∆ACB ،
لدينا CB = BC [عام]
DB = AC [باستخدام (i)]
∠CBD = ∠BCA
∴ DBC ≅ ∆ACB
⇒ DC = AB
⇒ ( فارك <1> <2> ) AB = ( فارك <1> <2> ) تيار مستمر
⇒ ( frac <1> <2> ) AB = CM أو CM = ( frac <1> <2> ) AB (∵ CM = ( frac <1> <2> ) DC)

السؤال 4.
في الشكل ، ABC مثلث متساوي الساقين مع AB = AC. D هي نقطة في الجزء الداخلي من suchABC بحيث ∠BCD = BDCBD. إثبات أن AD يشطر ∠BAC من ABC.

المحلول:
في ∆BDC ، لدينا ∠DBC = ∠DCB (معطى).
⇒ CD = BD (الجوانب المقابلة. لتساوي s من ∆DBC)
الآن ، في ABD و ∆ACD ،
لدينا AB = AC [معطى]
BD = CD [ثبت أعلاه]
م = م [عام]
∴ باستخدام بديهية التطابق SSS ، نحصل عليها
∆ABD ≅ ∆ACD
⇒ ∠BAD = ∠CAD [c.p.ç.t.]
ومن ثم ، AD يشطر ∠BAC من ABC.

السؤال 5.
أثبت أن مثلثين متطابقين إذا كانت أي زاويتين والضلع المضمن في أحد المثلث يساوي أي زاويتين والضلع المضمن في المثلث الآخر.
المحلول:

معطى: اثنان كـ ABC و DEF حيث
∠B = ∠E ،
∠C = F و BC = EF
لإثبات: ∆ABC = ∆DEF
الدليل: لدينا ثلاثة احتمالات
الحالة الأولى إذا كان AB = DE ،
لدينا AB = DE ،
∠B = E و BC = EF.
لذلك ، من خلال بديهية التطابق SAS ، لدينا ∆ABC ≅ ∆DEF

الحالة الثانية. إذا كان AB & lt ED ، فخذ نقطة Mon ED
مثل أن EM = AB.
انضم إلى MF.
الآن ، في ABC و ∆MEF ،
لدينا
AB = ME ، ∠B = ∠E و BC = EF.
لذلك ، من خلال بديهية التطابق SAS ،
لدينا ΔΑΒC ≅ ΔΜEF
⇒ ∠ACB = ∠MFE
لكن ∠ACB = ∠DFE
∴ ∠MFE = ∠DFE

وهو ممكن فقط عندما يتطابق FM مع B FD ، أي يتزامن M مع D.
وهكذا ، AB = DE
∴ في ∆ABC و EFDEF ، لدينا
AB = DE ،
∠B = E و BC = EF
لذلك ، من خلال بديهية التطابق SAS ، لدينا
∆ABC ≅ ∆DEF
الحالة الثالثة. عندما AB & GT ED
خذ نقطة M على ED المنتجة
مثل أن EM = AB.
انضم إلى MF
كما في الحالة الثانية ، يمكننا إثبات ذلك
∆ABC = ∆DEF
وبالتالي ، في جميع الحالات ، لدينا
∆ABC = ∆DEF.

السؤال 6.
في الشكل المعطى ، يتم إنتاج الجانب QR إلى النقطة S. إذا اجتمع منصفا ∠PQR و ∠PRS عند T ،
إثبات أن ∠QTR = ( frac <1> <2> ) QPR.

المحلول:
هنا ، QT هو منصف زاوية ∠PQR

مثلثات فئة 9 أسئلة إضافية HOTS

السؤال رقم 1.
بيّن أن الفرق بين ضلعين في المثلث أقل من الضلع الثالث.
المحلول:

اعتبر المثلث ABC
لإثبات:
(ط) AC & # 8211 AB & lt BC
(2) BC & # 8211 AC & lt AB
(3) BC & # 8211 AB & lt AC
البناء: خذ النقطة D على التيار المتردد
مثل أن AD = AB.
انضم إلى BD.
الدليل: في ∆ABD ، لدينا ∠3 & GT ∠1 & # 8230 (i)
[∵ الخارج ∠ أكبر من كل زاوية داخلية معاكسة في a ∆]
وبالمثل ، لدينا في ∆BCD
∠2 & gt ∠4 & # 8230 .. (ii) [∵ ext. ∠ أكبر من المقابل الداخلي. زاوية في ∆]
في ∆ABD ، لدينا
AD = AB [بالتشييد]
∠1 = 2 & # 8230 (iii) [مقابل الزوايا. لتساوي الأضلاع متساوية في مثلث]
من (1) و (2) و (3) لدينا
⇒ ∠3 & GT ∠4 =
⇒ قرص مضغوط BC & GT
⇒ قرص مضغوط & lt قبل الميلاد
AC - AD & lt قبل الميلاد
AC & # 8211 AB & lt BC [∵ AD = AB]
ومن ثم ، AC & # 8211 AB & lt BC
وبالمثل ، يمكننا أن نثبت
BC & # 8211 AC & lt AB
و BC & # 8211 AB & lt AC

السؤال 2.
في الشكل ، O هي النقطة الداخلية لـ ∆ABC. يلتقي BO مع AC في D. أظهر أن OB + OC & lt AB + AC.

المحلول:
في ∆ABD و AB + AD & gt BD & # 8230 (i)
∵ مجموع ضلعين في المثلث أكبر من الضلع الثالث. أيضا لدينا
BD = BO + OD
AB + AD & gt BO + OD & # 8230. (ii)
وبالمثل ، لدينا في ∆COD
OD + DC & GT OC & # 8230 (iii)
عند إضافة (2) و (3) ، لدينا
AB + AD + OD + DC & gt BO + OD + OC
⇒ AB + AD + DC & gt BO + OC
⇒ AB + AC & gt OB + OC
أو OB + OC & lt AB + AC
ومن ثم ثبت.

مثلثات الفئة 9 أسئلة إضافية على أساس القيمة (VBQs)

السؤال رقم 1.
بدأ متطوعون من نادي الرياضيات حملة لتعزيز المدرسة ومحيطها تحت قيادة Swachh Bharat Abhiyan. لقد صنعوا شعارهم الخاص لهذه الحملة. ما هي القيم التي يكتسبها النادي الرياضي؟
إذا أعطيت أن ∆ABC ≅ ∆ECD ، BC = AE.
إثبات أن ∆ABC ≅ ∆CEA.

المحلول:
هنا ، يتم إعطاء ذلك
∆ABC ≅ ∆ECD
AB = CE [c.p.c.t.]
BC = CD [c.p.c.t.]
AC = ED [c.p.c.t.]
الآن ، في ∆ABC و ∆CEA
BC = AE [معين]
AB = EC [ثبت أعلاه]
AC = AC [عام]
∴ باستخدام بديهية التطابق SSS ، لدينا
∆ABC ≅ ∆CEA
القيمة: النظافة الاجتماعية المتعلقة.

السؤال 2.
راجيف ، طالب جيد ومشارك بنشاط في تطبيق المعرفة أ بالرياضيات في الحياة اليومية. طلب من زميله في الدراسة راهول أن يصنع مثلثًا كما هو موضح باختيار أحد الرؤوس المشتركة. حاول راهول ولكن ليس بشكل صحيح. بعد فترة لمح راجيف راهول عن تطابق المثلث. الآن ، ثبت راهول الرأس C كرأس مشترك وحدد موقع النقطة D ، E بحيث يكون AC = CD و BC = CE. هل كان المثلث الذي صنعه راهول مطابقًا؟ اكتب الشرط المطابق المرضي.
ما هي القيمة التي يرسمها عمل راجيف & # 8217؟

المحلول:
في ∆ABC و ∆DEC ، لدينا
AC = DC [حسب البناء]
BC = EC [حسب البناء]
∠ACB = ∠ECD [vert. مقابل. ∠s]
باستخدام بديهية التطابق SAS ، لدينا
∆ABC ≅ ∆DEC
القيمة: التعلم التعاوني واستخدام المفهوم والطبيعة الودودة.


تقضي كل هذا الوقت في التحدث إلى العملاء المحتملين & # 8211 يبدو أن لديهم المال والفائدة والحاجة الواضحة لخدماتك. لكن بطريقة ما لم يشتروا & # 8211 ذهبوا مع شخص آخر ، أو امتنعوا عن السعر ، أو كانوا يحلبونك للحصول على استشارة مجانية ، أو اتضح أنهم حمقى. كيف تتجنب كل هذا؟ اعلم أن الجراحين لا يتركون & # 8230

أنت & # 8217 جيد في ما تفعله. لن يقوم العملاء & # 8217t بتوظيفك إذا لم تكن & # 8217t. لكنك تخشى أنه من خلال توظيف المزيد من الأشخاص ، ستفقد اللمسة الشخصية وستنخفض جودة خدماتك. في الوقت نفسه ، ينمو عملك التجاري ولن تتمكن أنت & # 8217re من الحفاظ على مستوى الجهد الحالي. لذلك يجب أن نعطي شيئًا: المقياس & # 8230


مثلث 9 + HS

لتحصين الماشية السليمة كمساعدة في الوقاية من الأمراض الناجمة عن التهاب الأنف البقري المعدي (IBR) ، الإسهال الفيروسي البقري (BVD) النوع الأول ، نظير الإنفلونزا 3 (PI-3) ، فيروسات الجهاز التنفسي الخلوي البقري (BRSV) ، Haemophilus somnus، Leptospira pomona، L. hardjo، L. grippotyphosa، L. canicola و النزف اليرقي. يحتوي هذا المنتج على نوع BVD الأول.

جرعة: الماشية ، تحقن جرعة واحدة 5 مل في العضل باستخدام تقنية التعقيم. كرر خلال 14 إلى 28 يومًا. يوصى بجرعة معززة 5 مل سنويًا أو قبل وقت الإجهاد أو التعرض. يجب إعادة تطعيم العجول التي تم تحصينها دون ستة أشهر من العمر عند ستة أشهر من العمر. يمكن إعطاؤه للحيوانات الحوامل في أي مرحلة من مراحل الحمل. حماية الحيوانات من التعرض لمدة 14 يومًا على الأقل بعد آخر جرعة من اللقاح.

يحتوي اللقاح على نظام مساعد مزدوج لتحفيز المناعة. يستخدم اللقاح عملية إعاقة Immune-Guard & # 174 للمكونات الفيروسية.


9: مثلثات

معطى: أ = 55 درجة ، ب = 40 درجة

النظرية المستخدمة: مجموع زوايا المثلث 180 درجة.

من النظرية يمكننا كتابة ما يلي:

∠A + ∠B + C = 180 درجة

55 ° + 40 ° + C = 180 ° // وضع قيم A و B.

95 درجة + درجة مئوية = 180 درجة

∠C = 180 درجة & # 8211 95 درجة

∠C = 85 درجة

الزاوية ∠C تساوي 85 درجة.

السؤال 2: إذا كانت زوايا المثلث بنسبة 1: 2: 3 ، فأوجد ثلاث زوايا.

معطى: زوايا المثلث بنسبة 1: 2: 3

دع الزوايا هي x ، 2x ، 3x

النظرية المستخدمة: مجموع زوايا المثلث 180 درجة.



س + 2 س + 3 س = 180 درجة

6 س = 180 درجة

س = 180 درجة / 6

x = 30 ° // اشتقاق قيمة x

اشتقاق قيمة الزاويتين الأخريين من قيمة x

2 س = 2 س (30 درجة) = 60 درجة

3 س = 3 س (30 درجة) = 90 درجة

جميع الزوايا الثلاث 30 درجة و 60 درجة و 90 درجة على التوالي.

السؤال 3: زوايا المثلث هي (x - 40) ° و (x - 20) ° و (1/2 x - 10) °. العثور على قيمة x.

زوايا المثلث هي (x - 40) ° ، (x - 20) ° و (1 / 2x - 10) °

النظرية المستخدمة: مجموع زوايا المثلث 180 درجة.

(x - 40) ° + (x - 20) ° + (1/2 x - 10) ° = 180 درجة

5/2 س - 70 درجة = 180 درجة

5/2 س = 180 درجة + 70 درجة

5x = 2 (250) درجة

س = 500 درجة / 5

س = 100 درجة

قيمة x هي 100 درجة


السؤال 4: زوايا المثلث مرتبة ترتيبًا تصاعديًا من حيث الحجم. إذا كان الفرق بين زاويتين متتاليتين يساوي 10 ° ، فأوجد الزوايا الثلاث.

معطى: الفرق بين زاويتين متتاليتين هو 10 °.

النظرية المستخدمة: مجموع زوايا المثلث 180 درجة.

دع أصغر زاوية في المثلث هي x °.

ومن ثم ، وفقًا للشرط المعطى ، فإن الزاويتين المتتاليتين الأخريين هما (x + 10) ° و (x + 20) ° على التوالي.

الآن من النظرية المذكورة يمكننا أن نكتب ما يلي:

س + (س + 10 درجة) + (س + 20 درجة) = 180 درجة.

3x + 30 ° = 180 ° // تبسيط المعادلة

3 س = 180 درجة & # 8211 30 درجة

3 س = 150 درجة

س = 150 درجة / 3

س = 50 درجة

ومن ثم ، نحصل هنا على أصغر زاوية هي 50 درجة.

الزاويتان المتتاليتان التاليتان هما 50 درجة + 10 درجة = 60 درجة و 50 درجة + 20 درجة = 70 درجة على التوالي.

ومن ثم ، فإن زوايا المثلث الثلاث هي 50 درجة و 60 درجة و 70 درجة على التوالي.

السؤال 5: زاويتان في المثلث متساويتان والزاوية الثالثة أكبر من كل زاوية بمقدار 30 درجة. حدد كل زوايا المثلث.

معطى: (1) زاويتان للمثلث متساويتان

(2) الزاوية الثالثة أكبر من كل زاوية بمقدار 30 درجة

النظرية المستخدمة: مجموع زوايا المثلث 180 درجة.

دع الزوايا المتساوية هي x ° والزاوية الأخرى (x + 30) °.



الآن من النظرية المذكورة يمكننا أن نكتب ما يلي:

س + س + (س + 30 درجة) = 180 درجة

3 س + 30 درجة = 180 درجة

3 س = 180 درجة & # 8211 30 درجة

3 س = 150 درجة

س = 150 درجة / 3

س = 50 درجة

ومن ثم ، فإن الزوايا المتساوية هي 50 درجة والزاوية الأخرى (50 + 30) ° = 80 درجة.

زوايا المثلث هي 50 درجة و 50 درجة و 80 درجة على التوالي.

السؤال 6: إذا كانت إحدى زوايا المثلث تساوي مجموع الزاويتين الأخريين ، أظهر أن المثلث مثلث قائم الزاوية.

معطى: زاوية واحدة في المثلث تساوي مجموع الزاويتين الأخريين

النظرية المستخدمة: مجموع زوايا المثلث 180 درجة.

دع الزوايا الثلاث للمثلث هي A و ∠B و ∠ (A + B) على التوالي.

∠A + ∠B + ∠ (A + B) = 180 درجة

2 (∠A + ∠B) = 180 درجة

∠A + ∠B = 90 ° // ومن هنا جاءت الزاوية الثالثة A + B = 90 ° (اثبت)

السؤال 7: ABC مثلث فيه الزاوية A = 72 °. يلتقي المنصف الداخلي للزاوية ∠B و C في O. أوجد مقدار ∠BOC.

معطى: (1) ∠A = 72 درجة من المثلث ABC

(2) تلتقي المنصفات الداخلية للزاوية ∠B و C في النقطة O.



النظريات المستخدمة: مجموع زوايا المثلث الثلاث هو 180 درجة

في المثلث ABC ،

∠A + ∠B + C = 180 درجة

72 درجة + B + C = 180 درجة

∠B + ∠C = 180 درجة & # 8211 72 درجة = 108 درجة

∠B / 2 + C / 2 = 108 ° / 2 = 54 ° // قسمة كلا الجانبين على 2

∠OBC + ∠OCB = 54 ° & # 8211 (1) // من المثلث يمكننا أن نرى هذا بوضوح لأن OB و OC هما منصف الزاوية

الآن في △ BOC ،

∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180 درجة

∠BOC + (∠OBC + ∠OCB) = 180 درجة

∠BOC + 54 ° = 180 ° // وضع قيمة ∠OBC + ∠OCB = 54 ° من الاشتقاق (1)

∠BOC = 180 درجة & # 8211 54 درجة = 126 درجة (الإجابة)

∠BOC = 126 درجة.

السؤال 8: لا يمكن لمنصفي زوايا قاعدة المثلث أن يحيطوا بزاوية قائمة في أي حال.

النظريات المستخدمة: مجموع زوايا المثلث الثلاث هو 180 درجة

من المثلث △ ABC

∠A + ∠B + C = 180 درجة

∠A / 2 + ∠B / 2 + C / 2 = 180 درجة / 2 = 90 درجة // قسمة كلا الجانبين على 2

∠B / 2 + C / 2 = 90 درجة & # 8211 ∠A / 2 & # 8212- (1)

من المثلث △ BOC ،

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180 درجة

بما أن OB و OC هما منصف الزاوية ، ∠OBC = B / 2 و OCB = C / 2.

∠BOC + ∠B / 2 + C / 2 = 180 ° // وضع قيم ∠B / 2 + C / 2 = 90 ° & # 8211 ∠A / 2 من الاشتقاق السابق ،

∠BOC + 90 درجة & # 8211 ∠A / 2 = 180 درجة

∠BOC = 180 درجة & # 8211 90 درجة + A / 2 = 90 درجة + ∠A / 2

لأي مثلث صالح △ ABC ∠A> 0 ، فهذا يعني أن ∠A / 2> 0 ،

هذا يعني ببساطة

∠BOC لا تساوي 90 درجة على أي حال. (اثبت)

السؤال 9: إذا كان منصف زوايا قاعدة المثلث يحيط بزاوية 135 درجة ، فأثبت أن المثلث مثلث قائم الزاوية.

معطى: في △ BOC يكون ∠BOC = 135 درجة

النظريات المستخدمة: مجموع زوايا المثلث الثلاث هو 180 درجة

من المثلث △ ABC

∠A + ∠B + C = 180 درجة

∠A / 2 + ∠B / 2 + C / 2 = 180 درجة / 2 = 90 درجة // قسمة كلا الجانبين على 2

∠B / 2 + C / 2 = 90 درجة & # 8211 ∠A / 2 & # 8212- (1)

من المثلث △ BOC ،

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180 درجة

بما أن OB و OC هما منصف الزاوية ، ∠OBC = B / 2 و OCB = C / 2.

∠BOC + ∠B / 2 + C / 2 = 180 ° // وضع قيم ∠B / 2 + C / 2 = 90 ° & # 8211 ∠A / 2 من الاشتقاق السابق ،

∠BOC + 90 درجة & # 8211 ∠A / 2 = 180 درجة

∠BOC = 180 درجة & # 8211 90 درجة + A / 2 = 90 درجة + ∠A / 2

وضع القيمة ∠BOC = 135 درجة من الشرط المعطى ،

90 درجة + A / 2 = 135 درجة

∠A / 2 = 135 درجة & # 8211 90 درجة = 45 درجة

∠A = 45 درجة × 2 = 90 درجة

ومن ثم ، فإن △ ABC هو مثلث قائم الزاوية(اثبت)

السؤال 10: في المثلث △ ABC ، ​​∠ABC = ∠ACB ومنصف ∠ABC و ∠ACB يتقاطعان عند O بحيث ∠BOC = 120 °. أظهر أن ∠A = ∠B = C = 60 °.

المعطى: (ط) ∠ABC = ∠ACB

(2) ∠BOC = 120 درجة

من المثلث △ ABC

∠ABC = ∠ACB

∠ABC / 2 = ∠ACB / 2

∠OBC = ∠OCB

من المثلث △ ABC

∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180 درجة

من الشرط المعطى ∠BOC = 120 ° و ∠OBC = ∠OCB

يمكننا كتابة ذلك ،



∠OBC + OBC + 120 درجة = 180 درجة.

2 X ∠OBC = 180 درجة & # 8211120 درجة = 60 درجة

∠ ABC = 60 درجة

كزاوية ∠ACB = ∠ABC ،

∠ACB = 60 درجة

∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180 درجة

60 درجة + 60 درجة + ∠BAC = 180 درجة

∠BAC = 180 درجة & # 8211120 درجة = 60 درجة

بالتالي،

∠A = ∠B = C = 60 درجة.(اثبت)

السؤال 11: هل يمكن أن يكون للمثلث ،

(ط) زاويتان قائمتان.

إذا كان للمثلث زاويتان قائمتان ، يصبح مجموع تلك الزوايا 90 درجة + 90 درجة = 180 درجة ، وهذا يعني أن حجم الزاوية الثالثة هو 180 درجة & # 8211 180 درجة = 0 ، هذا غير ممكن ،

إجابه: رقم

(2) زاويتان منفرجتان

حجم الزاوية المنفرجة أكبر من 90 درجة ، وبالتالي فإن مجموع الزاويتين أكبر من 180 درجة ، لكننا نعلم أن مجموع زوايا المثلث الثلاث هو 180 درجة. لذلك ليس من الممكن.

إجابه: رقم

(3) زاويتان حادتان

وجود زاويتين حادتين لا يخالف أي قانون حيث يوجد مجموع أقل من 180 درجة

إجابه: نعم

(4) جميع الزوايا أكثر من 60 درجة

إذا كانت جميع الزوايا أكثر من 60 درجة ، فسيكون مجموع الزوايا أكبر من 180 درجة ، لكننا نعلم أن مجموع الزوايا الثلاث للمثلث هو 180 درجة. لذلك ليس من الممكن.

إجابه: رقم

(ت) جميع الزوايا أقل من 60 درجة

إذا كانت جميع الزوايا أكثر من 60 درجة ، فسيكون مجموع الزوايا 180 درجة. لكننا نعلم أن مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي 180 درجة. لذلك ليس من الممكن.

إجابه: رقم

(6) جميع الزوايا تساوي 60 درجة

إذا كانت جميع الزوايا تساوي 60 درجة ، فسيكون مجموع كل الزوايا = 180 درجة ، ونعلم أن مجموع الزوايا الثلاث للمثلث هو 180 درجة. لذلك من الممكن.

إجابه: نعم

السؤال 12: إذا كانت كل زاوية في المثلث أقل من مجموع الزاويتين الأخريين ، أظهر أن جميع زوايا المثلث هي زاوية حادة.

معطى: كل زاوية أقل من مجموع الزاويتين الأخريين

∠A + ∠B + C = 180 درجة

بالنظر إلى ذلك ، ∠A & lt ∠B + C ، لذا يمكننا أن نكتب ،

∠A & lt 90 درجة ،

يمكن عمل نفس الشيء مع ∠B و C.

ومن ثم ثبت أن جميع الزوايا الثلاث هي زاوية حادة.


مثلثات - صنف 9: ملاحظات

(1) المثلث: وهو شكل مغلق يتكون من ثلاثة خطوط متقاطعة. له ثلاثة جوانب وثلاث زوايا وثلاثة رؤوس.
ضع في اعتبارك المثلث ABC الموضح أدناه: سيتم الإشارة إلى المثلث ABC كـ ∆ ABC. هنا ، ABC لها ثلاثة جوانب AB و BC و CA ثلاث زوايا ∠ A و ∠ B و ∠ C وثلاثة رؤوس A و B و C.

(2) تطابق المثلثات: الكلمة 'تتطابق"تعني متساوٍ في جميع الجوانب أو الأشكال التي تتشابه الأشكال والأحجام.
بالنسبة للمثلثات ، إذا كانت جوانب وزوايا أحد المثلث متساوية مع الأضلاع والزوايا المقابلة للمثلث الآخر ، فيُقال إنها مثلثات متطابقة.

فمثلا: ضع في اعتبارك اثنين ∆ ABC و ∆ PQR كما هو موضح أدناه: هنا ، تتطابق ∆ ABC مع ∆ PQR والتي يشار إليها بـ ∆ ABC ≅ ∆ PQR.
∆ ABC ≅ ∆ PQR تعني الجانبين AB = PQ ، BC = QR ، CA = RP ، ∠ A = ∠ P ، ∠ B = ∠ Q ، ∠ C = R والرؤوس A تقابل P ، B تقابل Q و C تقابل إلى R.
ملاحظة: CPCT هو نموذج قصير للأجزاء المقابلة من المثلثات المتطابقة.

تريد التعلم عن طريق محاضرات الفيديو؟ انقر هنا لمشاهدتها

(3) معايير تطابق المثلثات:
(ط) قاعدة التطابق SAS:
بيان: مثلثان متطابقان إذا كان ضلعان والزاوية المضمنة لمثلث واحد متساويين مع الأضلاع والزاوية المضمنة في المثلث الآخر.

فمثلا: إثبات Δ AOD ≅ Δ BOC. من الشكل يمكننا أن نرى ذلك
OA = OB و OC = OD
يمكننا أن نرى أيضًا أن ∠ AOD و BOC يشكلان زوجًا من الزوايا المتقابلة رأسياً ،
∠ AOD = BOC
الآن ، بما أن ضلعين وزاوية مثلث محصورة متساوية ، فبموجب قاعدة التطابق SAS ، يمكننا كتابة Δ AOD ≅ Δ BOC.

(2) قاعدة تطابق ASA:
بيان: مثلثان متطابقان إذا كانت زاويتان والضلع المضمن لمثلث واحد متساويين مع زاويتين والجانب المضمن في المثلث الآخر.
دليل - إثبات: افترض أن لدينا مثلثين ABC و DEF ، مثل ∠ B = ∠ E و ∠ C = ∠ F و BC = EF.
علينا إثبات أن Δ ABC ≅ Δ DEF.
الحالة 1: افترض AB = DE. من الافتراض ، AB = DE وبالنظر إلى أن ∠ B = ∠ E ، BC = EF ، يمكننا القول أن Δ ABC ≅ Δ DEF وفقًا لقاعدة SAS.
الحالة 2: افترض AB & gt DE أو AB & lt DE. لنأخذ النقطة P على AB بحيث يكون PB = DE كما هو موضح في الشكل.
الآن ، من الافتراض ، PB = DE وبالنظر إلى أن ∠ B = ∠ E ، BC = EF ، يمكننا القول أن that PBC ≅ Δ DEF وفقًا لقاعدة SAS.
الآن ، بما أن المثلثات متطابقة ، فإن الأجزاء المقابلة لها ستكون متساوية. ومن ثم ، ∠ PCB = ∠DFE
نعطي أن ∠ ACB = ∠ DFE ، مما يعني أن ∠ ACB = ∠PCB
هذا الشيء ممكن فقط إذا كانت P هي نفس النقاط أو BA = ED.
وبالتالي ، Δ ABC ≅ Δ DEF وفقًا لقاعدة SAS.
في الحجج المماثلة ، بالنسبة لـ AB & lt DE ، يمكن إثبات أن Δ ABC ≅ Δ DEF.

فمثلا: AD و BC متساويان متعامدين على قطعة مستقيمة AB. بيّن أن القرص المضغوط يشطر AB. من الشكل يمكننا أن نرى ذلك ،
∠ AOD = ∠ BOC (زوايا متقابلة رأسياً)
∠ CBO = ∠ DAO (كلاهما 90 درجة)
BC = AD (معطى)
الآن ، وفقًا لقاعدة التطابق AAS ، يمكننا القول أن that AOD ≅ Δ BOC.
ومن ثم ، BO = AO مما يعني أن القرص المضغوط ينقسم إلى AB.

تريد التعلم عن طريق محاضرات الفيديو؟ انقر هنا لمشاهدتها

(4) بعض خصائص المثلث:
نظرية 1: الزوايا المقابلة لأضلاع متساوية في مثلث متساوي الساقين متساوية.
دليل - إثبات: لنفترض أن لدينا مثلث متساوي الساقين ABC له AB = AC.
علينا إثبات أن ∠ B = ∠C أولاً ، سنرسم منصف ∠ A الذي يتقاطع مع BC عند النقطة D.
بالنسبة إلى Δ BAD و Δ CAD ، بالنظر إلى أن AB = AC ، من الشكل ∠ BAD = ∠ CAD و AD = AD.
وهكذا ، من خلال قاعدة SAS Δ BAD ≅ Δ CAD.
لذلك ، ∠ ABD = ∠ ACD ، لأنها زوايا متناظرة لمثلثات متطابقة.
ومن ثم ، ∠ B = ∠C.

فمثلا: في ∆ ABC ، ​​AB = AC ، D و E هي نقاط على BC بحيث تكون BE = CD. أظهر أن م = AE. من الشكل يمكننا أن نرى ذلك في Δ ABD و Δ ACE ،
AB = AC و
∠ B = ∠ C (الزوايا المقابلة لأضلاع متساوية)
بالنظر إلى أن BE = CD.
بطرح DE من كلا الجانبين ، لدينا ،
BE - DE = CD - DE أي BD = CE.
الآن ، باستخدام قاعدة SAS ، يمكننا القول أن Δ ABD ≅ Δ ACE
لذلك ، من خلال CPCT ، AD = AE.

نظرية 2: الأضلاع المتقابلة للزوايا المتساوية في المثلث متساوية.
فمثلا: في Δ ABC ، ​​المنصف AD لـ ∠ A عمودي على الضلع BC. بيّن أن AB = AC و Δ ABC متساوي الساقين. من الشكل يمكننا أن نرى ذلك في Δ ABD و Δ ACD ،
من المفترض أن ∠ BAD = ∠ CAD
م = م (الجانب المشترك)
∠ ADB = ∠ ADC = 90 درجة
لذلك ، Δ ABD ≅ Δ ACD بواسطة قاعدة تطابق ASA.
لذلك ، من خلال CPCT ، AB = AC (CPCT) أو بعبارة أخرى Δ ABC هو مثلث متساوي الساقين.

تريد التعلم عن طريق محاضرات الفيديو؟ انقر هنا لمشاهدتها

(5) بعض المعايير الإضافية لتطابق المثلثات:
(ط) قاعدة التطابق SSS:
بيان: إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي الأضلاع الثلاثة لمثلث آخر ، فإن المثلثين متطابقان.

فمثلا: الضلعان AB و BC والوسيط AM لمثلث واحد ABC يساويان على التوالي الجانبين PQ و QR ومتوسط ​​PN لـ PQR. أظهر أن Δ ABM ≅ Δ PQN. من الشكل ، يمكننا أن نرى أن AM هي الوسيط لـ BC.
إذن ، BM = ½ BC.
وبالمثل ، PN هو متوسط ​​QR. إذن QN = ½ QR.
الآن BC = QR.
لذا ، ½ BC = ½ QR أي BM = QN
بالنظر إلى ذلك ، AB = PQ و AM = QN و AM = PN.
لذلك ، Δ ABM ≅ Δ PQN بواسطة SSS Congruence Rule.

(6) عدم المساواة في المثلث:
نظرية 1: إذا كان ضلعا المثلث غير متساويين ، فإن الزاوية المقابلة للضلع الأطول تكون أكبر (أو أكبر).
نظرية 2: في أي مثلث ، يكون الضلع المقابل للزاوية الأكبر (الأكبر) أطول.
نظرية 3: مجموع أي ضلعين في المثلث أكبر من الضلع الثالث.

فمثلا: بالنسبة للشكل المحدد ، PR & gt PQ و PS منصفين QPR. إثبات أن ∠ PSR & gt ∠ PSQ. معين ، العلاقات العامة و GT PQ.
لذلك ، ∠ PQR & gt ∠ PRQ (حسب الزاوية المقابلة للجانب الأكبر أكبر) - (1)
أيضًا ، PS تنصف QPR ، لذلك ، ∠ QPS = RPS - (2)
الآن ، ∠ PSR = ∠ PQR + QPS ، لأن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة. - (3)
وبالمثل ، ∠ PSQ = ∠ PRQ + ∠ RPS ، لأن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة. - (4)
بإضافة (1) و (2) ، نحصل ،
∠ PQR + ∠ QPS & gt ∠ PRQ + RPS
الآن ، من 3 و 4 أمبير ، نحصل على ،
∠ PSR & GT ∠ PSQ.

فمثلا: D هي نقطة على الجانب BC من Δ ABC بحيث AD = AC. أظهر أن AB & gt AD. بالنظر إلى أن AD = AC ،
ومن ثم ، ∠ ADC = ∠ ACD لأنهما زاويتان متقابلتان على أضلاع متساوية.
الآن ، ∠ ADC هي زاوية خارجية لـ ΔABD. لذلك ، ∠ ADC & gt ∠ ABD أو ، ACD & gt ∠ ABD أو ، ACB & gt ∠ ABC.
إذن ، AB & gt AC منذ الضلع المقابل للزاوية الأكبر في ABC.
بمعنى آخر ، AB & gt AD (AD = AC).

تريد التعلم عن طريق محاضرات الفيديو؟ انقر هنا لمشاهدتها


تضيف الزوايا الداخلية الثلاث دائمًا إلى 180 درجة

المحيط هو المسافة حول حافة المثلث: فقط اجمع الأضلاع الثلاثة:

المنطقة نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع.

  • "ب" هي المسافة على طول القاعدة
  • "h" هو الارتفاع (يُقاس بالزاوية القائمة على القاعدة)

تعمل الصيغة مع جميع المثلثات.

ملاحظة: أبسط طريقة لكتابة الصيغة به / 2

مثال: ما مساحة هذا المثلث؟

(ملاحظة: 12 هو ارتفاع، وليس طول الجانب الأيسر)

المساحة = ½ × ب × ح = ½ × 20 × 12 = 120

يمكن أن تكون القاعدة على أي جانب ، فقط تأكد من أن يتم قياس "الارتفاع" بزوايا قائمة على "القاعدة":

(ملاحظة: يمكنك أيضًا حساب المساحة من أطوال الجوانب الثلاثة باستخدام صيغة هيرون.)

لماذا المنطقة "نصف البوسنة والهرسك"؟

تخيل أنك "ضاعفت" المثلث (اقلبه حول أحد الحواف العلوية) لعمل شكل يشبه المربع (متوازي أضلاع) يمكن تغييره إلى مستطيل بسيط:

ثم المنطقة كلها به، وهو لكل من المثلثين ، لذلك واحد فقط هو ½ × bh.


فيما يلي قائمة بأول عدد قليل من ثلاثية فيثاغورس (ليس بما في ذلك الإصدارات "الموسعة" المذكورة أدناه):

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17)
(9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(15,112,113) (16, 63, 65) (17,144,145) (19,180,181)
(20, 21, 29) (20, 99,101) (21,220,221) (23,264,265)
(24,143,145) (25,312,313) (27,364,365) (28, 45, 53)
(28,195,197) (29,420,421) (31,480,481) (32,255,257)
(33, 56, 65) (33,544,545) (35,612,613) (36, 77, 85)
(36,323,325) (37,684,685) . أكثر من ذلك بكثير.

9: مثلثات

النظريات المستخدمة: تنص نظرية الزاوية الخارجية على أن قياس كل زاوية خارجية في المثلث يساوي مجموع الزوايا الداخلية المقابلة وغير المتجاورة. (نظرية الزاوية الخارجية)

∠ACD = ∠ABC + ∠BAC [نظرية الزاوية الخارجية]

ابحث عن ∠ABC:



∠ABC + ∠ABE = 180 درجة [زوج خطي]

∠ ABC + 136 درجة = 180 درجة

∠ ABC = 44 درجة

البحث عن ∠ACB:

∠ACB + ∠ACD = 180 درجة [زوج خطي]

∠ACB + 1040 = 180 درجة

∠ACB = 76 درجة

الآن،

مجموع كل زوايا المثلث = 180 درجة

∠A + 44 درجة + 76 درجة = 180 درجة

∠A = 180 درجة - 44 درجة 76 درجة

∠ أ = 60 درجة

زوايا المثلث هي ∠ A = 60 ° ، ∠B = 44 ° و C = 76 ° (الجواب)

السؤال 2: في ا △ ABC ، ​​المنصفات الداخلية لـ B و C تلتقي عند P وتلتقي المنصفات الخارجية لـ B و C عند Q. أثبت أن ∠BPC + BQC = 180 درجة.

في △ ABC ،

BP و CP هما منصف داخلي لـ B و C على التوالي

=> خارجي ∠B = 180 درجة & # 8211 ∠B

BQ و CQ هما منصف خارجي لـ B و C على التوالي.



=> خارجي ∠C = 180 ° & # 8211 ∠C

في المثلث BPC ،

∠BPC + 1 / 2∠B + 1/2C = 180 درجة

∠BPC = 180 درجة & # 8211 (B + C) & # 8230. (1)

في المثلث BQC ،

∠BQC + 1/2 (180 درجة & # 8211 ∠B) + 1/2 (180 درجة & # 8211 درجة مئوية) = 180 درجة

∠BQC + 180 درجة & # 8211 (∠B + C) = 180 درجة

∠BPC + ∠BQC = 180 درجة [باستخدام (1)] (اثبت)

السؤال 3: في الشكل ، تم إنتاج الأضلاع BC و CA و AB لـ a △ ABC إلى D و E و F على التوالي. إذا كانت ∠ACD = 105 ° و ∠EAF = 45 ° ، فأوجد كل زوايا △ ABC.

النظريات المستخدمة:

(1) تنص نظرية الزاوية الخارجية على أن قياس كل زاوية خارجية للمثلث يساوي مجموع الزوايا الداخلية المقابلة وغير المتجاورة. (نظرية الزاوية الخارجية)

(2) مجموع زوج الزاوية الخطية هو 180 درجة

(3) الزوايا المتقابلة عموديًا متساوية.

∠BAC = ∠EAF = 45 درجة [زوايا متقابلة عموديًا]

∠ACD = 180 درجة - 105 درجة = 75 درجة [زوج خطي]

∠ABC = 105 درجة - 45 درجة = 60 درجة [خاصية الزاوية الخارجية]

السؤال 4: احسب قيمة x في كل من الأشكال التالية:

(أنا)


∠ACB = 180 درجة - 112 درجة = 68 درجة [زوج خطي]

مجموع كل زوايا المثلث = 1800

س = 180 درجة - ∠BAC - ∠ACB

= 180° − 60° − 68° = 52° (الجواب)

(ثانيا)

∠ABC = 180 درجة - 120 درجة = 60 درجة [زوج خطي]

∠ACB = 180 درجة - 110 درجة = 70 درجة [زوج خطي]

مجموع كل زوايا المثلث = 180 درجة

س = ∠BAC = 180 درجة - ∠ABC - ∠ACB

= 180° – 60° – 70° = 50° (الجواب)

(ثالثا)

∠BAE = ∠EDC = 52 درجة [زوايا بديلة]

مجموع كل زوايا المثلث = 180 درجة

x = 180 درجة - 40 درجة - 52 درجة = 180 درجة - 92 درجة = 88 درجة (الجواب)

(رابعا)


∠BEC = 180 درجة - 45 درجة - 50 درجة = 85 درجة [مجموع كل زوايا المثلث = 180 درجة]

∠AEC = 180 درجة - 85 درجة = 95 درجة [زوج خطي]

الآن ، x = 95 ° + 35 ° = 130 ° [خاصية الزاوية الخارجية]

الجواب: س = 130 درجة

السؤال 5: في الشكل ، AB يقسم ∠DAC في النسبة 1: 3 و AB = DB. أوجد قيمة x.

دع ∠BAD = y ، ∠BAC = 3y

∠BDA = ∠BAD = y (مثل AB = DB)

الآن،

∠BAD + ∠BAC + 108 ° = 180 درجة [زوج خطي]

ص + 3 ص + 108 درجة = 180 درجة

4 ص = 72 درجة

أو ص = 18 درجة

الآن ، في ΔADC

∠ADC + ∠ACD = 108 درجة [خاصية الزاوية الخارجية]

س + 18 درجة = 180 درجة

س = 90 درجة (الجواب)

السؤال 6: ABC مثلث. منصف الزاوية الخارجية B ومنصف الزاوية ∠C يتقاطعان عند D. أثبت أن ∠D = (1/2) A.

دع ∠ABE = 2x و ∠ACB = 2y

∠ABC = 180 درجة & # 8211 2 كيلو [زوج خطي]

∠A = 180 درجة - ∠ABC - ∠ACB [خاصية مجموع الزاوية]

= 180 ° -180 ° + 2x & # 8211 2y

= 2 (س & # 8211 ص)

الآن ، ∠D = 180 درجة & # 8211 ∠DBC & # 8211 ∠DCB

∠D = 180 درجة - (س + 180 درجة & # 8211 2 س) & # 8211 ص

= x & # 8211 ص

= (1/2) ∠A (ومن ثم تم إثبات ذلك)

السؤال 7: في الشكل, AC عمودي على CE و ∠A: ∠B: ∠C = 3: 2: 1 أوجد ∠ECD.

بالنظر إلى أن ∠A: ∠B: ∠C = 3: 2: 1

اجعل الزوايا 3x و 2 x و x.

3x + 2x + x = 180 ° [خاصية مجموع الزاوية]

6 س = 180 درجة

س = 30 درجة = ∠ACB

وبالتالي،

∠ECD = 180 درجة & # 8211 ∠ACB & # 8211 90 درجة [زوج خطي]

= 180° – 30° – 90°

= 60° (الجواب)

السؤال 8: في الشكل ، AM عمودي على BC و AN هي منصف ∠أ ∠ب = 65 درجة و ∠C = 33 ° تجد ∠رجل.

دع ∠BAN = ∠NAC = x [AN bisects ∠A]

لذلك ، ∠ANM = x + 33 ° [خاصية الزاوية الخارجية]

في △ AMB ،

∠BAM = 90 ° & # 8211 65 ° = 25 ° [خاصية الزاوية الخارجية]

لذلك ، ∠MAN = ∠BAN & # 8211 ∠BAM = x & # 8211 25 °

الآن في △ MAN ،

(x & # 8211 25 °) + (x + 33 °) + 90 ° = 180 ° [خاصية مجموع الزاوية]

أو 2 س + 8 درجة = 90 درجة

أو x = 41 درجة

لذلك ، ∠MAN = 41 درجة & # 8211 25 درجة = 16 درجة (الجواب)

السؤال 9: في a △ ABC ، ​​AD منصفين A و C> B. إثبات أن ∠ADB> ∠ADC.

لنفترض أن ∠BAD = ∠CAD = x. [معطى شطر ميلادي A]

بشرط،

∠ ج> ∠ ب

أو C + x> ∠B + x [إضافة x على كلا الجانبين]

أو 180 ° & # 8211 ∠ADC> 180 ° & # 8211 ∠ADB [خاصية مجموع الزاوية]

أو & # 8211 ∠ADC> - ∠ADB

أو ∠ADB> ∠ADC. (اثبت)

السؤال 10: في a △ ABC ، ​​يكون BD عموديًا على AC ويكون CE متعامدًا على AB. إذا تقاطع BD و CE عند O يثبت أن ∠BOC = 180 ° -A.

في AEOD الرباعي ،

∠A + ∠AEO + ∠EOD + ∠ADO = 360 درجة

أو ، ∠A + 90 درجة + 90 درجة + EOD = 360 درجة

أو ، ∠A + ∠BOC = 360 ° & # 8211 90 ° & # 8211 90 ° [∠EOD = ∠BOC لأنها زوايا متقابلة رأسياً]

أو ، BOC = 180 ° & # 8211 ∠A (اثبت)

السؤال 11: في الشكل ، AE منصفين ∠CAD و ∠B = C. إثبات أن AE || قبل الميلاد.


ثم،

∠CAD = ∠B + ∠C = 2x (الزاوية الخارجية)

∠CAD / 2 = س

∠EAC = ∠C [AE bisects CAD و C = x مفترض]

هذه هي الزوايا الداخلية للخط AE و BC ،

وبالتالي،

عبد اللطيف || قبل الميلاد (اثبت)

السؤال الثاني عشر: في الشكل AB || DE. ابحث عن ∠ACD.

منذ ، AB || DE

وبالتالي،

∠ABC = ∠CDE = 40 درجة [زوايا بديلة]

∠ACB = 180 درجة & # 8211 ∠ABC & # 8211 ∠BAC

= 180° – 40° – 30°

= 110°

وبالتالي،

∠ACD = 180 درجة & # 8211 ∠ACB [زوج خطي]

=70°

السؤال 13- أى العبارات التالية صحيحة (T) وأيها خاطئة (F):

(ط) مجموع زوايا المثلث الثلاث هو 180 درجة.

(2) يمكن أن يكون للمثلث زاويتان قائمتان.

(3) يمكن أن تكون جميع زوايا المثلث أقل من 60 درجة.

(4) يمكن أن تكون جميع زوايا المثلث أكبر من 60 درجة.

(v) يمكن أن تساوي جميع زوايا المثلث 60 درجة.

(6) يمكن أن يكون للمثلث زاويتان منفرجتان.

(7) يمكن أن يحتوي المثلث على زوايا منفرجة واحدة على الأكثر.

(8) إذا كانت إحدى زوايا المثلث منفرجة ، فلا يمكن أن تكون مثلثًا قائم الزاوية.

(lx) الزاوية الخارجية للمثلث أقل من أي من الزاويتين المتقابلتين من الداخل.

(x) الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين المتقابلتين.

(xi) الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من الزوايا الداخلية المقابلة.

السؤال 14: املأ الفراغات لجعل العبارات التالية صحيحة

(ط) مجموع زوايا المثلث هو _________.

(2) الزاوية الخارجية للمثلث تساوي الزاويتين المتقابلتين ____________.

(iii) الزاوية الخارجية للمثلث هي دائمًا _________________ من أي من الزوايا الداخلية المقابلة.

(4) لا يمكن أن يحتوي المثلث على أكثر من ______________________ من الزوايا القائمة.

(5) لا يمكن أن يحتوي المثلث على أكثر من ________________________ زوايا منفرجة.


محتويات

يوضح الرسم البياني أعلاه النقاط التسع المهمة للدائرة المكونة من تسع نقاط. نقاط د, ه، و F هي نقاط منتصف الأضلاع الثلاثة للمثلث. نقاط جي, ح، و أنا هي أقدام ارتفاعات المثلث. نقاط ي, ك، و إل هي نقاط المنتصف لمقاطع الخط بين تقاطع قمة كل ارتفاع (نقاط أ, ب، و ج) ومركز تقويم المثلث (النقطة س).

بالنسبة للمثلث الحاد ، تقع ست نقاط (نقاط المنتصف وأقدام الارتفاع) على المثلث نفسه بالنسبة لمثلث منفرج المنفرج ، فإن اثنين من الارتفاعات لهما أقدام خارج المثلث ، لكن هذه الأقدام لا تزال تنتمي إلى الدائرة المكونة من تسع نقاط.

على الرغم من أنه يُنسب إليه الفضل في اكتشافه ، إلا أن كارل فيلهلم فيورباخ لم يكتشف الدائرة ذات النقاط التسع بالكامل ، بل اكتشف الدائرة المكونة من ست نقاط ، مع إدراك أهمية نقاط المنتصف للأضلاع الثلاثة للمثلث وأقدام ارتفاعات ذلك. مثلث. (انظر الشكل 1 ، النقاط D ، E ، F ، G ، H ، و أولاً) (في تاريخ سابق قليلًا ، ذكر تشارلز بريانشون وجان فيكتور بونسيليه وأثبتوا نفس النظرية.) ولكن بعد فترة وجيزة من فورباخ ، أثبت عالم الرياضيات Olry Terquem نفسه وجود الدائرة. لقد كان أول من أدرك الأهمية الإضافية لنقاط المنتصف الثلاثة بين رؤوس المثلث والمركز العمودي. (انظر الشكل 1 ، النقاط ياء ، ك ، و L.) وهكذا ، كان Terquem أول من استخدم اسم الدائرة المكونة من تسع نقاط.

في عام 1822 اكتشف كارل فيورباخ أن أي دائرة مكونة من تسع نقاط للمثلث ماسة خارجيًا للحواف الثلاثة لهذا المثلث وماس داخليًا لمحيطه ، تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية فيورباخ. أثبت أن:

. الدائرة التي تمر من خلال أقدام ارتفاعات المثلث هي مماس للدوائر الأربع التي بدورها تكون مماسة للأضلاع الثلاثة للمثلث. (Feuerbach 1822) خطأ في الحصاد: لا يوجد هدف: CITEREFFeuerbach1822 (مساعدة)

يُطلق على مركز المثلث الذي تتلامس عنده الدائرة المكونة من تسع نقاط والدائرة نقطة فيورباخ.

  • دائرة من تسع نقاط تقسم قطعة مستقيمة من المركز العمودي للمثلث المقابل إلى أي نقطة في محيطها.
  • المركز ن الدائرة المكونة من تسع نقاط تشطر جزءًا من مركز تقويم العظام ح للختانا (جعل مركز تقويم العظام مركز تمدد لكلا الدائرتين): [5]: ص 152
  • مركز تسع نقاط ن ربع الطريق على طول خط أويلر من النقطه الوسطى جي لمركز تقويم العظام ح: [5]: ص 153
  • لنفترض أن ω < displaystyle omega> هي الدائرة ذات التسع نقاط للمثلث القطري لشكل رباعي دوري. تنتمي نقطة تقاطع ثنائية الأبعاد للرباعي الدوري إلى الدائرة المكونة من تسع نقاط. [6] [7]
  • الدائرة ذات التسع نقاط للمثلث المرجعي هي دائرة كل من المثلث الإنسي للمثلث المرجعي (برؤوس عند نقاط المنتصف لأضلاع المثلث المرجعي) ومثلثه المتعامد (مع الرؤوس عند أقدام ارتفاعات المثلث المرجعي). [5]: ص 153
  • يقع مركز كل القطع الزائدة المستطيلة التي تمر عبر رؤوس المثلث على دائرته المكونة من تسع نقاط. تشمل الأمثلة الأشكال الزائدة المستطيلة المعروفة في Keipert و Jeřábek و Feuerbach. تُعرف هذه الحقيقة بنظرية فيورباخ المخروطية.
  • إذا كان نظام تقويم العظام من أربع نقاط أ, ب, ج و ح إذن ، فإن المثلثات الأربعة المكونة من أي مجموعة من ثلاث نقاط مميزة من ذلك النظام تشترك جميعها في نفس الدائرة المكونة من تسع نقاط. هذا هو نتيجة التناظر: الجوانب لمثلث مجاور لرأس يكون مركزًا متعامدًا لمثلث آخر شرائح من ذلك المثلث الثاني. نقطة الوسط الثالثة تقع على جانبهم المشترك. (نفس "نقاط الوسط" التي تحدد دوائر منفصلة من تسع نقاط ، يجب أن تكون هذه الدوائر متزامنة).
  • وبالتالي ، فإن هذه المثلثات الأربعة لها دوائر متطابقة بنصف قطر متطابق. يترك ن تمثل مركز النقاط التسع المشترك و ص تكون نقطة اعتباطية في مستوى نظام تقويم العظام. ثم
  • تشكل مراكز دائرة وحواف المثلث نظامًا تقويميًا. الدائرة ذات التسع نقاط التي تم إنشاؤها لهذا النظام التقويمي هي دائرة المثلث الأصلي. أقدام الارتفاعات في نظام تقويم العظام هي رؤوس المثلث الأصلي.
  • إذا أربع نقاط تعسفية أ, ب, ج, د أعطيت أنها لا تشكل نظامًا تقويميًا ، ثم دوائر تسع نقاط ABC, بى سى دى, CDA و ربت نتفق في نقطة. تتوافق كل نقاط التقاطع الستة المتبقية في هذه الدوائر المكونة من تسع نقاط مع نقاط المنتصف للمثلثات الأربعة. من اللافت للنظر ، وجود شكل مخروطي فريد من تسع نقاط ، متمركز في النقطه الوسطى من هذه النقاط الأربع العشوائية ، والذي يمر عبر جميع نقاط التقاطع السبع لهذه الدوائر ذات التسع نقاط. علاوة على ذلك ، بسبب نظرية فيورباخ المخروطية المذكورة أعلاه ، يوجد محيط مستطيل فريد ، تتمحور حول نقطة التقاطع المشتركة للدوائر الأربع المكونة من تسع نقاط ، والتي تمر عبر النقاط التعسفية الأربعة الأصلية بالإضافة إلى مقومات تقويم المثلثات الأربعة.
  • إذا أربع نقاط أ, ب, ج, د يتم إعطاؤها شكل رباعي دوري ، ثم الدوائر المكونة من تسع نقاط ABC, بى سى دى, CDA و ربت تتفق في المركز المعاكس للرباعي الدوري. تتطابق جميع الدوائر المكونة من تسع نقاط مع نصف قطر نصف قطر دائرة الدائرة الرباعية. تشكل الدوائر المكونة من تسع نقاط مجموعة من أربع دوائر لجونسون. وبالتالي ، فإن المراكز الأربعة المكونة من تسع نقاط تكون دورية وتقع على دائرة مطابقة للدوائر الأربع المكونة من تسع نقاط والتي تتمركز عند المركز المقابل للشكل الرباعي الدوري. علاوة على ذلك ، فإن الرباعي الدوري المكون من أربعة مراكز ذات تسعة أجزاء متجانسة مع الرباعي الدوري المرجعي ا ب ت ث بعامل - 1 /2 ومركزها التماثل (ن) تقع على الخط الذي يربط بين الختان (س) إلى المركز المعاكس (م) أين
  • تقع orthopole من الخطوط التي تمر عبر دائرة الختان على الدائرة ذات التسع نقاط.
  • إن دائرة محيط المثلث ، ودائرته المكونة من تسع نقاط ، ودائرته القطبية ، ودائرة مثلثه المماسي [8] محورية. [9] لمركز Kiepert الزائد هي
  • الإحداثيات الثلاثية لمركز القطع الزائد في Jeřábek هي
  • السماح x : ذ : ض تكون نقطة متغيرة في إحداثيات ثلاثية الخطوط ، معادلة الدائرة المكونة من تسع نقاط هي

الدائرة مثال على قسم مخروطي والدائرة المكونة من تسع نقاط هي مثال على الشكل المخروطي العام المكون من تسع نقاط والذي تم إنشاؤه فيما يتعلق بالمثلث ABC ونقطة رابعة ص، حيث يظهر مثال الدائرة المكونة من تسع نقاط عندما ص هو تقويم العظام ABC. رؤوس المثلث و ص تحديد شكل رباعي كامل وثلاث "نقاط قطرية" حيث تتقاطع الأضلاع المتقابلة للشكل الرباعي. هناك ستة "خطوط جانبية" في الشكل الرباعي ، يتقاطع المخروط ذو النقاط التسع مع نقاط المنتصف لهذه النقاط ويتضمن أيضًا النقاط القطرية. عندما يكون المخروط هو القطع الناقص ص هو داخلي ل ABC أو في منطقة تشترك في الزوايا الرأسية مع المثلث ، ولكن يحدث القطع الزائد من تسع نقاط عندما ص يقع في إحدى المناطق الثلاث المتجاورة ، ويكون القطع الزائد مستطيلًا عندما يقع P على دائرة ABC.


شاهد الفيديو: حساب مثلثات 9 - شرح لنظرية السينوس وبرهانها (شهر اكتوبر 2021).