مقالات

18.7: كسور التحولات الخطية - الرياضيات


تمرين ( PageIndex {1} )

شاهد فيديو "كشف تحولات موبيوس" لدوغلاس أرنولد وجوناثان روجنس. (وهي متوفرة على موقع يوتيوب.)

المستوى المركب ( mathbb {C} ) الممتد برقم مثالي واحد ( infty ) يسمى طائرة معقدة ممتدة. يُرمز إليه بـ ( hat { mathbb {C}} ) ، لذلك ( hat { mathbb {C}} = mathbb {C} cup { infty } )

أ التحول الخطي الجزئي أو تحول موبيوس of ( hat { mathbb {C}} ) هي دالة لمتغير معقد واحد (z ) يمكن كتابته كـ

(f (z) = dfrac {a cdot z + b} {c cdot z + d} ، )

حيث المعاملات (a ) ، (b ) ، (c ) ، (d ) هي أرقام مركبة مرضية (a cdot d - b cdot c not = 0 ). (إذا (a cdot d - b cdot c = 0 ) فإن الوظيفة المحددة أعلاه ثابتة ولا تعتبر تحويلًا خطيًا كسريًا.)

في حالة (c not = 0 ) ، نفترض ذلك

(f (-d / c) = infty quad text {and} quad f ( infty) = a / c ؛ )

وإذا افترضنا (ج = 0 )

(f (infty) = infty. )


رسم الخرائط الجزئية الخطية

تعيين المساحة المعقدة $ mathbf C ^ rightarrow mathbf C ^ تتحقق $ من خلال الدوال الكسرية الخطية (راجع دالة كسور خطية).

في حالة المستوى المركب $ mathbf C ^ <1> = mathbf C $ ، هذا تعيين غير ثابت للنموذج

$ tag <1> z rightarrow w = L (z) = frac , $

حيث يتم استخدام $ a d - b c neq 0 $ التسوية أحادية النمط $ a d - b c = 1 $ غالبًا. يمكن تحديد أي تعيين خطي كسري بشكل إضافي من خلال المراسلات $ infty rightarrow a / c $ و $ - d / c rightarrow infty $ للحصول على تعيين واحد لواحد للمستوى الممتد $ overline < mathbf C> $ على نفسه. أبسط التعيينات الكسرية الخطية هي التخطيطات الخطية ، $ z rightarrow w = widetilde z + widetilde $ ، والتي يتم الحصول عليها إذا كان $ c = 0 $. يمكن تمثيل جميع التعيينات الخطية الكسرية غير الخطية كتركيبات لتعيينات خطية وللتعيين $ L _ <0> $: $ z rightarrow w = 1 / z $. يمكن توضيح خصائص رسم الخرائط الخطية الجزئية $ L _ <0> $ على كرة ريمان ، لأنه إذا تم استخدام الإسقاط المجسم ، فإنه يتوافق مع دوران الكرة خلال 180 درجة حول القطر الذي يمر عبر صور النقاط $ pm 1 in mathbf C $.

خصائص خاصة. يعين التعيين الكسري الخطي $ overline < mathbf C> $ على نفسه ، بشكل مطابق وحيوي. خاصية الدائرة: تحت التعيين الكسري الخطي ، تتحول أي دائرة في $ overline < mathbf C> $ (أي دائرة في $ mathbf C $ أو خط مستقيم مكمل بالنقطة $ infty $) إلى دائرة في $ overline < mathbf C> $. ثبات نسبة نقطتين متماثلتين: زوج من النقاط $ z، z ^ <*> $ وهو متماثل بالنسبة إلى أي دائرة في $ overline < mathbf C> $ يصبح ، كنتيجة لـ رسم تخطيطي كسري خطي ، زوج من النقاط $ w ، w ^ <*> $ وهو متماثل بالنسبة لصورة هذه الدائرة. النسبة المتقاطعة بين أربع نقاط في $ overline < mathbf C> $ ثابتة فيما يتعلق بالتخطيط الجزئي الخطي ، أي إذا كان هذا التعيين يحول النقاط $ xi _ <1> ، xi _ <2> ، xi _ <3> ، xi _ <4> $ في النقاط $ zeta _ <1> ، zeta _ <2> ، zeta _ <3> ، zeta _ <4> $ ، على التوالي ، ثم

لأي ثلاثة توائم معطاة $ xi _ <1> ، xi _ <2> ، xi _ <3> $ و $ zeta _ <1> ، zeta _ <2> ، zeta _ <3> $ of نقاط مميزة زوجية في $ overline < mathbf C> $ يوجد رسم تخطيطي كسري واحد فقط والذي يحول $ xi _ rightarrow زيتا _ $، $ k = 1، 2، 3 $ على التوالي. يمكن إيجاد هذا التعيين الكسري الخطي من المعادلة (2) بالتعويض فيه $ z $ و $ w $ لـ $ xi _ <4> $ و $ zeta _ <4> $ ، على التوالي. خاصية المجموعة: تشكل مجموعة جميع التعيينات الخطية الكسرية مجموعة غير تبادلية فيما يتعلق بالتركيب $ (L _ <1> L _ <2>) (z) = L _ <1> (L _ <2> (z)) $ مع عنصر الوحدة $ E (z) = z $. خاصية العالمية: أي شكل آلي مطابق لـ $ overline < mathbf C> $ هو تعيين كسري خطي ، وبالتالي فإن مجموعة جميع التعيينات الخطية الكسرية تتطابق مع المجموعة $ mathop < rm Aut> overline < mathbf C> $ لجميع الأشكال التلقائية المطابقة لـ $ overline < mathbf C> $.

جميع الأشكال التلقائية المطابقة لقرص الوحدة $ B = < : <| ض | & lt 1> > $ تشكل مجموعة فرعية $ mathop < rm Aut> B $ للمجموعة $ mathop < rm Aut> overline < mathbf C> $ ، تتكون من تعيينات كسرية خطية من النوع

الأمر نفسه ينطبق على الأوتوماتيكية المطابقة لنصف المستوى العلوي $ < : < mathop < rm Im> z & gt 0> > $ لديهم النموذج

$ z rightarrow w = frac ، mathop < rm Im> (a، b، c، d) = 0، a d - b c & gt 0. $

كل التماثلات المطابقة لنصف المستوى العلوي على قرص الوحدة لها الشكل

باستثناء التعيين الجزئي الخطي للهوية $ E (z) $ ، تحتوي التعيينات الجزئية الخطية على نقطتين ثابتتين على الأكثر $ xi _ <1> $، $ xi _ <2> $ in $ overline < mathbf C> $. إذا كانت هناك نقطتان ثابتتان $ xi _ <1> neq xi _ <2> $ ، فإن العائلة $ Sigma $ من الدوائر التي تمر عبر $ xi _ <1> $ و $ xi _ <2> $ يتم تحويله عن طريق التحويل الخطي الجزئي (1) إلى نفسه. عائلة $ Sigma ^ prime $ من جميع الدوائر المتعامدة لدوائر $ Sigma $ تحولت أيضًا إلى نفسها. ثلاث حالات ممكنة في هذا الصدد.

1) يتم تحويل كل دائرة من $ Sigma $ إلى نفسها ، ويقال أن رسم الخرائط الخطي الكسري هو قطعي ويمكن تمثيله في الشكل العادي

حيث يكون مضاعف التعيين هو $ mu & gt 0 $ ، $ mu neq 1 ، infty $. يعتبر التعيين الخطي الكسري أحادي النموذج (1) زائديًا إذا وفقط إذا كان $ a + d in mathbf R $ و $ | أ + د | & GT 2 دولار.

2) يتم تحويل كل دائرة من $ Sigma ^ prime $ إلى نفسها ، ويقال إن رسم الخرائط الكسري الخطي هو بيضاوي الشكل ، وفي الشكل العادي (3) ، يتميز بمضاعف $ mu $ مثل هذا $ | mu | = 1 دولار ، $ mu neq 1 دولار. التعيين الخطي الكسري أحادي النموذج (1) يكون ناقصًا إذا وفقط إذا كان $ a + d in mathbf R $، $ | أ + د | & lt 2 دولار.

3) لم يتم تحويل أي من دوائر العائلات $ Sigma $ و $ Sigma ^ prime $ إلى نفسها ، ويقال إن رسم الخرائط الجزئي الخطي هو loxodromic ، وفي الشكل العادي (3) ، يتميز بمضاعف $ mu in mathbf C $ ، $ | mu | neq 1 $ ، بحيث يكون إما $ mathop < rm Im> mu neq 0 $ أو $ mu & lt 0 $. يعد التعيين الخطي الكسري أحادي النموذج (1) loxodromic إذا وفقط إذا كان $ a + d in mathbf C setminus mathbf R $.

إذا تم دمج نقطتين ثابتتين في نقطة واحدة $ xi _ <1> $ ، يُقال أن التعيين الكسري الخطي هو قطع مكافئ. تتكون العائلة $ Sigma $ في مثل هذه الحالة من جميع الدوائر التي لها ظل مشترك عند $ xi _ <1> $ يتم تحويل كل دائرة إلى نفسها. الشكل العادي لرسم الخرائط الخطية الكسرية هو

$ فارك <1> > = فارك <1> > + alpha، alpha in mathbf C، alpha neq 0، $

$ w = z + alpha، alpha in mathbf C، alpha neq 0، $

إذا كان $ xi _ <1> = infty $. يعد التعيين الخطي الكسري أحادي النموذج (1) مكافئًا إذا وفقط إذا كان $ a + d = pm 2 $.

نظرًا للخصائص الأولية العديدة المذكورة أعلاه ، تجد التعيينات الجزئية-الخطية استخدامًا مكثفًا في جميع فروع نظرية وظائف المتغير المعقد وفي مختلف التخصصات التطبيقية. على وجه الخصوص ، يمكن إنشاء نموذج لهندسة Lobachevskii بمساعدة التعيينات الخطية الجزئية.

من بين المجموعات الفرعية للمجموعة الكاملة للتعيينات الخطية الجزئية ، تعتبر المجموعات المنفصلة $ Gamma $ للتعيينات الجزئية-الخطية الأكثر أهمية فيما يتعلق بالتطبيقات الخاصة بالنظرية التحليلية للمعادلات التفاضلية ، ونظرية الوظائف التلقائية والمشاكل الأخرى في التحليل. المجموعات الأولية المنفصلة للتعيينات الخطية الجزئية هي المجموعات المنتهية التي تكون متشابهة إما لمجموعات الدوران الدوري في كرة ريمان أو لمجموعات الدوران لمتعددات الوجوه المنتظمة. مجموعة منفصلة $ Gamma $ من التعيينات الخطية الكسرية بدائرة ثابتة $ gamma $ في $ overline < mathbf C> $ والتي تكون مشتركة لجميع تحويلات $ Gamma $ والتي يكون الجزء الداخلي من $ جاما $ تتحول إلى نفسها في ظل جميع تحولات $ Gamma $ ، وتعرف باسم مجموعة Fuchsian. لا يمكن أن تحتوي مجموعة Fuchsian على رسم خرائط كسور خطي loxodromic. تاريخيًا ، كان المثال الأول لمجموعة Fuchsian هو المجموعة المعيارية التي تظهر في نظرية الوظائف الإهليلجية (انظر أيضًا الوظيفة المعيارية). تتكون المجموعة المعيارية من جميع التعيينات الخطية الكسرية أحادية النسق (1) حيث تكون المعاملات $ a $ ، $ b $ ، $ c $ ، $ d $ هي الأعداد الصحيحة التي يكون المحور الحقيقي فيها ثابتًا فيما يتعلق بالتعيينات المعيارية الكسرية والخطية. المجموعات غير الأولية وغير الفوشية للتعيينات الخطية الجزئية - المجموعات Kleinian (راجع مجموعة Kleinian) - أكثر تعقيدًا وقد تمت دراستها بدرجة أقل.

رسم تخطيطي كسري خطي للمساحة المعقدة $ mathbf C ^ $، $ n geq 1 $ ، هو تعيين غير منحط

$ z = (z _ <1> dots z _ ) rightarrow $

$ rightarrow w = (w _ <1> dots w _ ) = (L _ <1> (ض) النقاط L _ (ض)) $

يمكن تحقيقه عن طريق الدوال الكسرية الخطية

L دولار _ (ض) = فارك ض _ <1> + النقاط + أ _ ض _ + ب _ > ض _ <1> + النقاط + ج _ ض _ + د _ > ، ك = 1 نقاط n. $

أهم التعيينات الخطية الكسرية لـ $ mathbf C ^ $ هي تلك التي تمتد إلى بعض ضغط $ mathbf C ^ $. وبالتالي ، فإن جميع التحويلات الخطية التي تنطوي على إعادة ترتيب الإحداثيات ، وكذلك التعيينات الكسرية الخطية من النوع

$ z = (z _ <1> dots z _ ) rightarrow w = (L _ <1> (z _ <1>) dots L _ (ض _ ) ) , $

حيث $ L _ (ض _ ) $ تخطيط كسري خطي من النوع (1) في المستوى $ z _ $ ، يمتد إلى مساحة نظرية الوظيفة $ overline << mathbf C ^ >> $. تتطابق مجموعة التعيينات الخطية الجزئية التي تم إنشاؤها بواسطة هذه التعيينات مع المجموعة $ mathop < rm Aut> overline << mathbf C ^ >> $ من كل الأشكال الآلية ثنائية الشكل للضغط $ overline << mathbf C ^ >> $. المجموعة الفرعية المقابلة $ mathop < rm Aut> U ^ $ مع

يستنفد جميع الأشكال الآلية للوحدة polydisc $ U ^ = < >: <| ض _ | & lt 1، j = 1 dots n> > $. التعيينات الكسرية الخطية التي فيها

$ علامة <4> L _ (ض) = فارك ض _ <1> + النقاط + أ _ ض _ + ب _ > ض _ <1> + النقاط + ج _ ض _ + د> = فارك (ض)> , $

تمتد إلى الإغلاق الإسقاطي $ mathbf C P ^ $ للمساحة $ mathbf C ^ $. يحتوي هذا الامتداد على الشكل التالي في إحداثيات متجانسة:

$ (z _ <0> النقاط z _ ) rightarrow left (z _ <0> l left ( frac > right) النقاط z _ <0> l _ اليسار ( frac > right) right). $

تستنفد هذه التعيينات المجموعة $ mathop < rm Aut> mathbf C P ^ $ لجميع الأشكال الآلية الحيوية لـ $ mathbf C P ^ $. آلية الشكل الآلي لوحدة الكرة $ B ^ = < >: <| ض | & lt 1> > $ تشكل المجموعة الفرعية $ mathop < rm Aut> B ^ $ للمجموعة $ mathop < rm Aut> mathbf C P ^ يتكون $ من جميع التعيينات الخطية الكسرية من النوع (4) التي تخضع معاملاتها لشروط تكميلية معينة (راجع [2] ، المجلد 2).

مراجع

[1] أنا. [أنا. Privalov] Priwalow ، "Einführung in die Funktionentheorie" ، 1–3 ، تيوبنر (1958-1959) (مترجم من الروسية)
[2] B.V. Shabat ، "إدخال التحليل المعقد" ، 1–2 ، موسكو (1976) (بالروسية)
[3] S. Stoilow ، "نظرية وظائف المتغير المعقد" ، 1 ، موسكو (1962) (بالروسية مترجمة عن الرومانية)
[4] ر. فورد ، "وظائف أوتوماتيكية" ، تشيلسي ، طبع (1951)

تعليقات

مرجع جيد لـ $ mathop < rm Aut> B ^ $ هو [a1]. تُعرف التعيينات الخطية الجزئية أيضًا باسم تحويلات موبيوس.


Astels، S: مجموع الأعداد التي لها حاصل جزئية صغيرة. بروك. أكون. رياضيات. شركة 130, 637–642 (2002)

ديفيس ، سي إس: في بعض الكسور المتواصلة البسيطة المرتبطة بـ (هـ ). J. لوند. رياضيات. شركة 20, 194–198 (1945)

Diviš ، B: على مجاميع الكسور المستمرة. اكتا اريث. 22, 157–173 (1973)

إلسنر ، سي: حول الخصائص الحسابية لمقاربات عدد أويلر. كولوك. رياضيات. 79, 133–145 (1999)

Elsner، C.، Komatsu، T: صيغة التكرار لقفز المقاربات من الكسور المستمرة غير المنتظمة. تطبيق الجبر الخطي. 428, 824–833 (2008)

Elsner، C.، Komatsu، T: حول فئات المخلفات للتسلسلات الصحيحة التي تلبي معادلة التكرار الخطية المكونة من ثلاثة حدود. تطبيق الجبر الخطي. 429, 933–947 (2008)

فاولر ، دي إتش: رياضيات أكاديمية أفلاطون: إعادة بناء جديدة ، الطبعة الثانية. منشورات أكسفورد للعلوم ، نيويورك (1999)

Beeler، M.، Gosper، R.W.، Schroeppel، R: "HAKMEM"، Tech. ممثل رقم 239 ، مختبر الذكاء الاصطناعي ، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، كامبريدج ، ماساتشوستس (1972). https://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/hakmem.html أو https://w3.pppl.gov/

هول ، م: حول مجموع وحاصل الكسور المستمرة. آن. رياضيات. 48, 966–993 (1947)

كوماتسو ، ت: عن الكسور المستمرة لهورويتز وتاسويف. اكتا اريث. 107, 161–177 (2003)

كوماتسو ، ت: الخصائص الحسابية لتقاربات القفز لـ (e ^ <1 / s> ). طوكيو جيه الرياضيات. 27, 1–12 (2004)

كوماتسو ، تي: هورويتز وتاسويف الكسور المستمرة. موناتش. رياضيات. 145, 47–60 (2005)

كوماتسو ، تي: بعض الخصائص التجميعية لأقارب القفز. عدد صحيح 7(2), 21 (2007)

كوماتسو ، تي: واصل هورويتز الكسور ذات الدوال الهندسية الفوقية المتكدسة. تشيكوسلوف. رياضيات. ج. 57, 919–932 (2007)

كوماتسو ، تي: المزيد عن الكسور المستمرة في هورويتز وتاسويف. Sarajevo J. Math. 4, 155–180 (2008)

كوماتسو ، تي: بعض الخصائص التجميعية لأقارب القفز ، II. تطبيقات أرقام فيبوناتشي (الإجراء الصادر عن المؤتمر الدولي الثاني عشر بشأن أرقام فيبوناتشي وتطبيقاتها). Congr. رقم. 200, 187–196 (2010)

كوماتسو ، تي: قفز تقاربات هورويتز الكسور المستمرة. مناقشة. رياضيات. اللواء. تطبيق الجبر. 31, 101–121 (2011)

كوماتسو ، تي: القفزة المتقاربة لكسور Tasoev المستمرة. مناقشة. رياضيات. اللواء. تطبيق الجبر. 31, 201–216 (2011)

كوماتسو ، تي: بعض التعبيرات الجبرية الدقيقة لذيول تاسويف الكسور المستمرة. J. أوست. رياضيات. شركة 92, 179–193 (2012)

Lagarias، JC، Shallit، J.O: التحويل الجزئي الخطي للكسور المستمرة ذات الحاصلات الجزئية المحدودة. J. Theor. نومبر. بوردكس. 9, 267–279 (1997)

Liardet ، P. ، Stambul ، P: الحسابات الجبرية مع الكسور المستمرة. J. Number Theory. نظرية الأعداد 73(1), 92–121 (1998)

لي ، ك .: الكسور المستمرة للتحولات الجزئية الخطية لسلسلة القدرة. محدودة الحقول ث. برنامج. 11, 45–55 (2005)

Lehmer، D.H: الكسور المستمرة التي تحتوي على التعاقب الحسابي. سكريبتا الرياضيات. 29, 17–24 (1973)

Lehmer، DN: النظرية الحسابية لبعض كسور هورويتز المستمرة. أكون. J. الرياضيات. 40(4), 375–390 (1918)

ماك لافلين ، ياء: بعض العائلات الجديدة من كسور تاسوفيان وهورويتزيان المستمرة. اكتا اريث. 135(3), 247–268 (2008)

ماثيوز ، K.R. ، والترز ، RFC: بعض خصائص التوسع الكسر المستمر لـ ((m / n) e ^ <1 / q> ). بروك. كامب. فيلوس. شركة 67, 67–74 (1970)

Panprasitwech، O.، Laohakosol، V.، Chaichana، T: التحولات الخطية الجزئية للكسور المستمرة ذات الحاصلات الجزئية المحدودة في مجال السلاسل الرسمية. East-West J. Math. 11, 185–194 (2009)


محتويات

تحويل فورييه المستمر F >> للدالة ƒ: رج هو مشغل أحادي إل 2 الذي يعين الوظيفة ƒ إلى نسختها الترددية ƒ̂ (يتم أخذ جميع التعبيرات في ملف إل 2 بمعنى ، وليس نقطي):

و يتم تحديدها بواسطة ƒ̂ عبر التحويل العكسي F - 1 >^<-1>>

يوفر FRFT مجموعة من التحويلات الخطية التي توسع هذا التعريف للتعامل مع القوى غير الصحيحة ن = 2α/π من FT.

ملاحظة: يكتب بعض المؤلفين التحويل من حيث "الترتيب a" بدلاً من "الزاوية α" ، وفي هذه الحالة تكون α عادةً مرة π/ 2. على الرغم من أن هذين الشكلين متكافئان ، يجب على المرء أن يكون حذرًا بشأن التعريف الذي يستخدمه المؤلف.

بالنسبة لأي α حقيقي ، يتم الإشارة إلى تحويل فورييه الكسري لمجموع α لوظيفة ƒ بواسطة F α (u) > _ < alpha> (u)> ومحددة بواسطة

بشكل رسمي ، تكون هذه الصيغة صالحة فقط عندما تكون وظيفة الإدخال في مساحة لطيفة بدرجة كافية (مثل مساحة L1 أو مساحة شوارتز) ، ويتم تحديدها من خلال وسيطة الكثافة ، بطريقة مشابهة لتلك الخاصة بتحويل فورييه العادي (انظر المقالة) ، في الحالة العامة. [8]

إذا كانت α عددًا صحيحًا مضاعفًا لـ ، فإن دالات ظل التمام ودالة التمام أعلاه تتباعد. ومع ذلك ، يمكن التعامل مع هذا بأخذ الحد ، ويؤدي إلى دالة ديراك دلتا في التكامل. بشكل مباشر أكثر ، بما أن F 2 (f) = f (- t) ، F α (f) > ^ <2> (f) = f (-t)

(و)> يجب أن يكون ببساطة F(ر) أو F(−ر) لـ α مضاعف زوجي أو فردي لـ على التوالي.

ل α = π/ 2 ، يصبح هذا تحديدًا هو تعريف تحويل فورييه المستمر ، ومن أجل α = −π/ 2 هو تعريف تحويل فورييه المستمر المعكوس.

إن وسيطة FrFT u ليست مكانية x ولا تردد ξ. سنرى لماذا يمكن تفسيره على أنه مزيج خطي من كلا الإحداثيين (x,ξ). عندما نريد التمييز بين المجال الكسري المستطيل α ، سنسمح لـ x a < displaystyle x_> بالإشارة إلى وسيطة F α < displaystyle < mathcal > _ < alpha >>.

ملاحظة: مع التردد الزاوي ω اصطلاح بدلاً من التردد واحد ، صيغة FrFT هي نواة Mehler ،

تحرير الخصائص

ال α -الترتيب الكسري عامل تحويل فورييه ، F α > _ < alpha >> ، له الخصائص:

  • الجمع. لأية زوايا حقيقية α ، β ,
  • الخطية.
  • أوامر عدد صحيح. إذا α هو عدد صحيح مضاعف لـ π / 2 < displaystyle pi / 2> ، ثم:
  • معكوس.
  • التبادلية.
  • الترابطية
  • الوحدة
  • عكس الوقت.
  • تحويل وظيفة مزاحة

تحرير النواة الكسرية

أين نواة الزاوية α

هنا مرة أخرى ، تتوافق الحالات الخاصة مع السلوك المحدود عندما تقترب α من مضاعف π.

يحتوي FrFT على نفس خصائص نواته:

التحولات ذات الصلة تحرير

توجد أيضًا تعميمات كسرية ذات صلة بتحولات مماثلة مثل تحويل فورييه المنفصل. ال تحويل فورييه الجزئي المنفصل زئيف زالفسكي في (Candan، Kutay & amp Ozaktas 2000) و (Ozaktas، Zalevsky & amp Kutay 2001، Chapter 6). وصف Somma خوارزمية كمومية لتنفيذ نسخة من تحويل فورييه الجزئي المنفصل في وقت تحت الحدود الدنيا. [9]

تحويل المويجة الجزئي (FRWT): [10] تعميم للتحويل المويجي الكلاسيكي (WT) في نطاقات تحويل فورييه الجزئي (FRFT). تم اقتراح FRWT من أجل تصحيح قيود WT و FRFT. لا يرث هذا التحويل مزايا تحليل الحلقات المتعددة لـ WT فحسب ، بل لديه أيضًا القدرة على تمثيل الإشارات في المجال الكسري الذي يشبه FRFT. مقارنةً بـ FRWT الحالي ، يمكن لـ FRWT (المحددة بواسطة Shi و Zhang و Liu 2012) تقديم تمثيلات للإشارة في مستوى التردد الجزئي الزمني.

انظر أيضًا تحويل chirplet للتعميم ذي الصلة لتحويل فورييه.

تحرير التعميمات

تحويل فورييه هو أساسًا بوزونيًا ، فهو يعمل لأنه يتوافق مع مبدأ التراكب وأنماط التداخل ذات الصلة. يوجد أيضًا تحويل فورييه الفرميوني. [11] وقد تم تعميمها في FRFT فائق التناظر ، وتحويل الرادون فائق التناظر. [11] يوجد أيضًا تحويل الرادون الجزئي ، و FRFT العاطفي ، وتحويل الموجة العطفية. [12] نظرًا لأن الدوائر الكمومية تعتمد على عمليات وحدوية ، فهي مفيدة لحساب التحويلات التكاملية لأن الأخيرة هي مشغلات وحدوية في مساحة الوظيفة. تم تصميم دائرة كمومية تنفذ FRFT. [13]

يعتبر التفسير المعتاد لتحويل فورييه بمثابة تحويل لإشارة مجال زمني إلى إشارة مجال تردد. من ناحية أخرى ، فإن تفسير تحويل فورييه المعكوس هو بمثابة تحويل لإشارة مجال تردد إلى إشارة مجال زمني. يحول Fractional Fourier تحويل إشارة (سواء في المجال الزمني أو مجال التردد) إلى المجال بين الوقت والتردد: إنه دوران في مجال التردد الزمني. يتم تعميم هذا المنظور من خلال التحويل الكنسي الخطي ، والذي يعمم تحويل فورييه الجزئي ويسمح بتحويلات خطية لمجال التردد الزمني بخلاف الدوران.

خذ الشكل أدناه كمثال. إذا كانت الإشارة في المجال الزمني مستطيلة (على النحو التالي) ، فإنها تصبح وظيفة صادقة في مجال التردد. ولكن إذا طبق المرء تحويل فورييه الجزئي على الإشارة المستطيلة ، فسيكون ناتج التحويل في المجال بين الوقت والتردد.

تحويل فورييه الجزئي هو عملية تناوب على توزيع التردد الزمني. من التعريف أعلاه ، لـ α = 0 ، لن يكون هناك تغيير بعد تطبيق تحويل فورييه الجزئي ، بينما ل α = π/ 2 ، يصبح تحويل فورييه الجزئي تحويل فورييه عادي ، والذي يقوم بتدوير توزيع التردد الزمني مع π/ 2. لقيمة أخرى من α، يقوم تحويل فورييه الجزئي بتدوير توزيع التردد الزمني وفقًا لـ α. يوضح الشكل التالي نتائج تحويل فورييه الجزئي بقيم مختلفة لـ α.

يمكن استخدام تحويل فورييه الجزئي في تحليل التردد الزمني و DSP. [14] من المفيد ترشيح الضوضاء ، لكن بشرط ألا تتداخل مع الإشارة المرغوبة في مجال التردد الزمني. تأمل المثال التالي. لا يمكننا تطبيق مرشح مباشرة لإزالة الضوضاء ، ولكن بمساعدة تحويل فورييه الجزئي ، يمكننا تدوير الإشارة (بما في ذلك الإشارة والضوضاء المرغوبة) أولاً. ثم نطبق مرشحًا محددًا ، والذي سيسمح فقط للإشارة المرغوبة بالمرور. وبالتالي ستتم إزالة الضوضاء تمامًا. ثم نستخدم تحويل فورييه الجزئي مرة أخرى لتدوير الإشارة مرة أخرى ويمكننا الحصول على الإشارة المطلوبة.

وبالتالي ، باستخدام الاقتطاع فقط في المجال الزمني ، أو مرشحات تمرير منخفضة مكافئة في مجال التردد ، يمكن للمرء أن يقطع أي مجموعة محدبة في فضاء الوقت والتردد فقط باستخدام طرق المجال الزمني أو مجال التردد دون تحويلات فورييه الجزئية تسمح فقط بقطع المستطيلات بالتوازي مع المحاور.

تحويلات فورييه الكسرية لها تطبيقات في فيزياء الكم. على سبيل المثال ، يتم استخدامها لصياغة علاقات عدم اليقين الحتمية. [15]

كما أنها مفيدة في تصميم الأنظمة البصرية ولتحسين كفاءة التخزين الثلاثية الأبعاد. [16]


18.7: كسور التحولات الخطية - الرياضيات

افترض $ I ( bar) = بار$ (على سبيل المثال ، $ I $ لا يغير متجه الإدخال الخاص به.)

هل صحيح أن $ I (c bar) = cI ( bar)$ ?

هل صحيح أن $ I ( bar+ بار) = أنا ( بار) + أنا ( بار)$ ?

إذن كيف تبدو مصفوفة هذه المتطابقة ، $ I $ ،؟ تذكر أن العمودين الأول والثاني من نموذج المصفوفة يشيران إلى مكان بدء المتجهات $ 1 0 نهاية$ و $ start0 1 نهاية$ اذهب تحت التحول الخطي.
نظرًا لأن $ I $ لا يفعل شيئًا لمدخلاته ، فإن المتجهات المذكورة أعلاه نكون المخرجات ، ومن ثم أعمدة شكل المصفوفة. بعبارات أخرى. أنا $ = تبدأ1 & amp 0 0 & amp 1 end$

الآن بعد أن أثبتنا وجود الهوية ، يمكننا التحدث عن الانعكاسات.

بالنظر إلى أي تحويل خطي ، $ M $ (في شكل مصفوفة) ، هل يوجد تحويل خطي (والذي سنسميه $ M ^ <-1> $) من شأنه "التراجع" عن تأثير $ M $؟ . وكيف نجده؟

أولاً ، دعونا نتأكد من أنه إذا كان هذا $ M ^ <-1> $ الذي سيؤدي إلى "التراجع" عن تأثير $ M $ موجود بالفعل ، فلا بد أنه تحول خطي.

لنفترض أن $ c $ عددي و $ شريطكن متجهًا تعسفيًا ، وابدأ بمحاولة إظهار $ M ^ <-1> (c bar) = سم ^ <-1> ( بار) $. افترض أن هناك متجهًا $ bar$ مثل هذا
$ M ^ <-1> (c bar) = بار$
ولكن بعد ذلك (بافتراض $ c ne 0 $) ،
$ تبدأ
م ( بار) & amp = & amp c bar & amp رباعي رباعي textrm\\
displaystyle < frac<>>)>> & amp = & amp بار & amp رباعي رباعي textrm\\
M يسار (displaystyle >> right) & amp = & amp bar & amp رباعي رباعي textrm$ للجانبين>
displaystyle < frac < bar>> & amp = & amp M ^ <-1> ( bar) & amp quad quad textrm\\
شريط & amp = & amp cM ^ <-1> ( bar) & amp quad quad
نهاية$
ومع ذلك ، فإننا نعلم من أعلى أن $ M ^ <-1> (c bar) = بار$ ، لذا
$ M ^ <-1> (c bar) = سم ^ <-1> ( بار)$
حتى لو كان $ c = 0 $ ، فلا يزال بإمكاننا الوصول إلى هذا الاستنتاج. ضع في اعتبارك ما يلي

افترض أن $ M ^ <-1> (0 cdot bar) = M ^ <-1> ( bar <0>) = barدولار لبعض المتجهات $ بار$. بعد ذلك ، بتطبيق $ M $ نجد $ M ( bar) = بار <0> دولار. لاحظ أنه من التافه توضيح $ M ( bar <0>) = bar <0> $ (ضع في اعتبارك منتج المصفوفة). علاوة على ذلك ، نظرًا لوجود $ M ^ <-1> $ ، يجب أن يكون هناك متجه إدخال فريد لـ $ M $ ينتج أي متجه ناتج معين ، لذلك $ M ^ <-1> ( bar <0>) = bar < 0> دولار. أخيرًا ، بما أننا نعرف $ M ^ <-1> ( bar) $ عبارة عن متجه ، ثم cdot M ^ <-1> ( bar) = بار <0> دولار. وضع هذه الأشياء معًا ، لدينا
$ M ^ <-1> (0 cdot bar) = M ^ <-1> ( bar <0>) = bar <0> = 0 cdot M ^ <-1> ( bar)$
ومن ثم ، فإن الخاصية الأولى للتحويلات الخطية تنطبق على $ M ^ <-1> $.

الآن ، بالإضافة إلى ذلك ، افترض أن $ bar$ هو المتجه الثاني. سنحاول إظهار أن $ M ^ <-1> ( bar + بار) = M ^ <-1> ( بار) + M ^ <-1> ( بار)$.

مع كل من الخاصيتين الضروريتين لكونه تحويلًا خطيًا يحمل قيمة $ M ^ <-1> $ ، يجب أن يكون تحويلًا خطيًا بحد ذاته.

الآن ، بعد أن علمنا أن ما نسعى إليه هو تحويل خطي ، دعنا نفكر في مثال محدد فيما يتعلق بكيفية العثور على شكل المصفوفة لهذا التحويل الخطي:

دعونا نحاول إيجاد (إن وجد) معكوس $ M = start2 & amp 3 5 & amp 7 النهاية$
نظرًا لكونه تحويلًا خطيًا ، يجب أن يكون لدى $ M ^ <-1> $ أيضًا شكل مصفوفة ما - لنفترض أنه مُعطى من خلال ما يلي:
$ M ^ <-1> = start2 & amp 3 5 & amp 7 النهاية^ <-1> = ابدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهاية$
نحن نعلم أن $ M ^ <-1> $ سوف "يتراجع" عن $ M $ ، وهو ما يعني لأي متجه $ بار$ ، لدينا:
$ (M ^ <-1> circ M) ( bar) = M ^ <-1> (م ( بار)) = بار$
لاحظ أن $ (M ^ <-1> circ M) $ يترك متجه الإدخال دون تغيير - لكن هذا يمكن أن يعني شيئًا واحدًا فقط. $ (M ^ <-1> circ M) $ يجب أن يكون مصفوفة الهوية!

هكذا
$ تبدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهاية يبدأ2 & amp 3 5 & amp 7 النهاية = ابدأ1 & amp 0 0 & amp 1 end$
ولكن بعد ذلك ، "ضرب" المصفوفات لتكوين التحويلات الخطية الأساسية ، نجد
$ تبدأ
2 أ + 5 ب & أمبير = 1
3 أ + 7 ب & أمبير = 0
2c + 5d & amp = 0
3c + 7d & amp = 1
نهاية$
يمكننا استخدام المعادلتين الأوليين لحل المعادلتين $ a $ و $ b $. (نحن نحل هذا النظام بالطريقة العادية ، ونضرب كل معادلة في ثوابت مختارة جيدًا ، بحيث عند إضافة معادلتين معًا ، يتم حذف أحد المتغيرات.)

$ displaystyle <
يبدأ
7 cdot 2a + 7 cdot 5b & amp = 7
-5 cdot 3a - 5 cdot 7b & amp = 0
نهاية> $ displaystyle
3 cdot 2a + 3 cdot 5b & amp = 3
-2 cdot 3a - 2 cdot 7 b & amp = 0
نهاية>$

تؤدي إضافة المعادلتين على اليسار إلى ترك معادلة يمكن حلها مقابل $ a $ ، بينما تؤدي إضافة المعادلتين على اليمين إلى ترك معادلة يمكن حلها مقابل $ b $.

$ (7 cdot 2-5 cdot 3) a = 7 hspace <0.5in> (3 cdot 5 - 2 cdot 7) b = 3 $

هذه بدورها توفر الحلول:

$ a = frac <7> <7 cdot 2-5 cdot 3> qquad b = frac <3> <3 cdot 5 - 2 cdot 7> $
نتوقف هنا لسببين. أولاً ، لاحظ أننا تركنا حل $ a $ و $ b $ غير مبسّط ، لأننا لم نقم بتقييم المقامات. سنستمر في ترك هذه القواسم غير مبسطة طوال بقية المشكلة. هذا حتى نتمكن من رؤية شكل لحلنا من حيث صلته بأعداد المصفوفة الأصلية.

نود التوصل إلى اختصار ، إذا أردت ، لإيجاد معكوس أي مصفوفة معينة بسرعة. إذا قمنا بتبسيط الأمور الآن ، فسيكون اكتشاف هذا الاختصار أكثر صعوبة.

ثانيًا ، لاحظ أن كل ما فعلناه حتى الآن كان بإمكاننا القيام به في سياق التطابقات $ pmod$ بدلاً من المعادلات (كما سيكون الحال عندما نبدأ الحديث عن شفرات هيل). ومع ذلك ، فإن "قسمة كلا الجانبين على بعض المعامل" في التطابق يتم التعامل معه بشكل مختلف قليلاً. بدلاً من القسمة (ومن ثم تكوين كسر محتمل) ، سنضرب كلا الجانبين في "معكوس مضاعف $ pmod$ للمعامل المعني ". سيصبح هذا أكثر وضوحًا لاحقًا ، لكن تذكر أنه يكمن هنا الاختلاف الحاسم بين إيجاد مقلوب المصفوفات وإيجاد مقلوب المصفوفات $ pmod$.

باستخدام المعادلتين الثانيتين من مجموعتنا المكونة من أربعة أعلاه ، يمكننا بالمثل حل المعادلتين $ c $ و $ d $.

نضرب أولًا في ثوابت مختارة جيدًا.

$ displaystyle
-7 cdot 2c - 7 cdot 5d & amp = 0
5 cdot 3c + 5 cdot 7d & amp = 5
نهاية> $ displaystyle
-3 cdot 2c - 3 cdot 5d & amp = 0
2 cdot 3c + 2 cdot 7d & amp = 2
نهاية>$

بإضافة المعادلات إلى اليسار ، نصل إلى معادلة يمكن حلها لـ $ c $ ، وإضافة المعادلات على اليمين ، نحصل على معادلة يمكن حلها لـ $ d $.

$ (5 cdot 3 - 7 cdot 2) c = 5 hspace <0.5in> (2 cdot 7 - 3 cdot 5) d = 2 $

أولاً ، لاحظ أنه إذا ضربنا الكسور العلوية اليمنى والسفلى اليسرى في $ frac <-1> <-1> $ ، فيمكننا جعل كل المقامات تبدو متشابهة.
$ تبدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهاية = ابدأ dfrac <7> <2 cdot 7-5 cdot 3> & amp dfrac <-3> <2 cdot 7-5 cdot 3>
dfrac <-5> <2 cdot 7-5 cdot 3> & amp dfrac <2> <2 cdot 7-5 cdot 3> end$
الآن ، بإخراج هذا المقام المشترك كعامل موجود خارج المصفوفة (لماذا يمكننا القيام بذلك؟) ، لدينا
$ تبدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهاية = frac <1> <2 cdot 7-5 cdot 3> start7 & amp -3 - 5 & amp 2 النهاية$

كما،
$ تبدأ2 & amp 3 5 & amp 7 النهاية^ <-1> = dfrac <1> <2 cdot 7-5 cdot 3> ابدأ7 & amp -3 - 5 & amp 2 النهاية$
نظرًا لأننا لم نبسط أيًا من العمليات الحسابية مطلقًا ، يمكننا الآن أن نرى بوضوح أين ذهبت الأرقام في الشكل النهائي. يقترح هذا "الصيغة" التالية لصيغة المصفوفة لعكس تحويل خطي معين:

إذا كان التحويل الخطي ، $ M $ ، له شكل مصفوفة
م = تبدأx & amp y z & amp w end$
ثم يُعطى معكوسها بواسطة
$ M ^ <-1> = startx & amp y z & amp w end^ <-1> = dfrac <1>يبدأw & amp -y - z & amp x end$
لاحظ أنه بناءً على قيم $ x $ و $ y $ و $ z $ و $ w $ ، فمن الممكن أن يكون لدينا صفر في مقام الكسر أعلاه. سيكون هذا سيئًا بمعنى أن $ M $ لن يكون له معكوس. لذا ، فإن قيمة المقام ، $ (x cdot w - y cdot z) $ ، "تحدد" ما إذا كان للمصفوفة معكوس أم لا. على هذا النحو ، دعونا نسمي هذه القيمة الخاصة محدد المصفوفة ونشير إليها بالطريقة التالية
$ textrm = ابدأx & amp y z & amp w end = x cdot w - z cdot y $
يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة معكوس المصفوفة على النحو التالي
$ M ^ <-1> = startx & amp y z & amp w end^ <-1> = textrm^ <-1> ابدأw & amp -y - z & amp x end$


18.7: كسور التحولات الخطية - الرياضيات

صورة النمطي هندسي متكرر: الجمال المفيد
(مقدمة عامة للهندسة الكسورية)

"الغيوم ليست كروية ، والجبال ليست مخاريط ، والسواحل ليست دوائر ، واللحاء ليس سلسًا ، ولا ينتقل البرق في خط مستقيم."

إيديتا باترزاليك ، معهد ستان أكرمانز ،
الاكتتاب العام ، مركز تفاعل نظام المستخدم ، جامعة أيندهوفن للتكنولوجيا

الفركتلات هي فرع جديد للرياضيات والفنون. ربما يكون هذا هو السبب الذي يجعل معظم الناس يتعرفون على الفركتلات فقط باعتبارها صورًا جميلة مفيدة كخلفيات على شاشة الكمبيوتر أو أنماط بطاقات بريدية أصلية. لكن ما هم حقا؟

معظم الأنظمة الفيزيائية للطبيعة والعديد من المصنوعات البشرية ليست أشكالًا هندسية منتظمة للهندسة القياسية المشتقة من إقليدس. تقدم الهندسة الكسورية طرقًا غير محدودة تقريبًا لوصف وقياس وتوقع هذه الظواهر الطبيعية. لكن هل من الممكن تحديد العالم كله باستخدام المعادلات الرياضية؟

توضح هذه المقالة كيف تم إنشاء أشهر أربع فركتلات وتشرح أهم خصائص الفركتلات ، والتي تجعل الفركتلات مفيدة لمجال مختلف من العلوم.

كثير من الناس مفتونون بالصور الجميلة التي يطلق عليها الفركتلات. تمتد الهندسة الكسورية إلى ما وراء التصور النموذجي للرياضيات كجسم من الصيغ المعقدة والمملة ، حيث تمزج الفن بالرياضيات لإثبات أن المعادلات هي أكثر من مجرد مجموعة من الأرقام. ما يجعل الفركتلات أكثر إثارة للاهتمام هو أنها أفضل الأوصاف الرياضية الموجودة
للعديد من الأشكال الطبيعية ، مثل السواحل أو الجبال أو أجزاء من الكائنات الحية.

على الرغم من أن الهندسة الفركتلية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بتقنيات الكمبيوتر ، فقد عمل بعض الأشخاص على الفركتلات قبل اختراع أجهزة الكمبيوتر بفترة طويلة. كان هؤلاء الأشخاص رسامي خرائط بريطانيين ، واجهوا مشكلة في قياس طول الساحل البريطاني. كان الخط الساحلي المقاس على خريطة كبيرة الحجم يقارب نصف طول الخط الساحلي المقاس على خريطة مفصلة. كلما نظروا عن قرب ، كلما أصبح الخط الساحلي أكثر تفصيلاً وطول. لم يدركوا أنهم اكتشفوا إحدى الخصائص الرئيسية للفركتلات.

اثنان من أهم خصائص الفركتلات هما التشابه الذاتي والبعد غير الصحيح.

ماذا يعني التشابه الذاتي؟ إذا نظرت بعناية إلى ورقة سرخس ، ستلاحظ أن كل ورقة صغيرة - جزء من الورقة الأكبر - لها نفس شكل ورقة السرخس بأكملها. يمكنك القول أن ورقة السرخس متشابهة. الشيء نفسه ينطبق على الفركتلات: يمكنك تكبيرها عدة مرات وبعد كل خطوة سترى نفس الشكل ، وهو ما يميز ذلك الفراكتل المعين.

من الصعب شرح البعد غير الصحيح. تتعامل الهندسة الكلاسيكية مع كائنات ذات أبعاد صحيحة: نقاط الأبعاد الصفرية ، والخطوط والمنحنيات ذات البعد الواحد ، والأشكال المستوية ثنائية الأبعاد مثل المربعات والدوائر ، والمواد الصلبة ثلاثية الأبعاد مثل المكعبات والأشكال الكروية. ومع ذلك ، يتم وصف العديد من الظواهر الطبيعية بشكل أفضل باستخدام بُعد بين عددين صحيحين. لذا ، بينما يكون للخط المستقيم بعد واحد ، سيكون للمنحنى الفركتلي بعدًا بين واحد واثنين ، اعتمادًا على مقدار المساحة التي يشغلها أثناء تقوسه ومنحنياته. كلما زاد ملء الفراكتل المسطح للمستوى ، كلما اقترب من بعدين. وبالمثل ، فإن "مشهد التلال الفركتالية" سيصل إلى بُعد في مكان ما بين اثنين وثلاثة أبعاد. لذلك فإن المشهد الفركتلي المكون من تل كبير مغطى بتلال صغيرة سيكون قريبًا من البعد الثاني ، في حين أن السطح الخشن المكون من العديد من التلال المتوسطة الحجم سيكون قريبًا من البعد الثالث.

هناك أنواع مختلفة من الفركتلات. سأقدم في هذا البحث نوعين من أكثر الأنواع شيوعًا: فركتلات العدد المركب وفركتلات نظام الوظائف المتكرر (IFS).

قبل وصف هذا النوع من الفركتل ، قررت أن أشرح بإيجاز نظرية الأعداد المركبة.

يتكون الرقم المركب من رقم حقيقي مضاف إلى رقم وهمي. من الشائع الإشارة إلى رقم مركب على أنه "نقطة" على المستوى المركب. إذا كان الرقم المركب ، فإن إحداثيات النقطة هي (أفقي - محور حقيقي) و ب (عمودي - محور تخيلي).
وحدة الأعداد التخيلية:.

اثنان من الباحثين الرائدين في مجال فركتلات الأعداد المركبة هما جاستون موريس جوليا وبينوا ماندلبروت.

ولد جاستون موريس جوليا في نهاية القرن التاسع عشر في الجزائر. قضى حياته في دراسة تكرار كثيرات الحدود والوظائف المنطقية. في حوالي عشرينيات القرن الماضي ، بعد نشر ورقته البحثية حول تكرار دالة عقلانية ، اشتهرت جوليا. ومع ذلك ، بعد وفاته ، تم نسيانه.

في السبعينيات من القرن الماضي ، تم إحياء أعمال جاستون موريس جوليا ونشرها من قبل البولندي المولد بينوا ماندلبروت. مستوحى من عمل جوليا ، وبمساعدة رسومات الكمبيوتر ، تمكن ماندلبروت من موظف شركة IBM من عرض الصور الأولى لأجمل صور الفركتلات المعروفة اليوم.

مجموعة ماندلبروت هي مجموعة النقاط على سهل معقد. لبناء مجموعة Mandelbrot ، علينا استخدام خوارزمية تعتمد على الصيغة العودية:

فصل نقاط المستوى المعقد إلى فئتين:

توضح الصورة أدناه جزءًا من المستوى المركب. تم تلوين نقاط مجموعة Mandelbrot باللون الأسود.

من الممكن أيضًا تخصيص لون للنقاط خارج مجموعة Mandelbrot. تعتمد ألوانها على عدد التكرارات المطلوبة لتحديد أنها خارج مجموعة Mandelbrot.

لإنشاء مجموعة Mandelbrot ، يتعين علينا اختيار نقطة (C) على المستوى المركب. الرقم المركب المقابل لهذه النقطة له الشكل:

بعد حساب قيمة التعبير السابق:

باستخدام الصفر كقيمة ، نحصل على C كنتيجة. تتكون الخطوة التالية من تخصيص النتيجة للحساب وتكرارها: الآن النتيجة هي الرقم المركب. ثم يتعين علينا تعيين القيمة وتكرار العملية مرارًا وتكرارًا.

يمكن تمثيل هذه العملية على أنها "ترحيل" للنقطة الأولية C عبر المستوى. ماذا يحدث للنقطة التي نكرر فيها الوظيفة بشكل متكرر؟ وهل ستبقى قريبة من الأصل أم ستبتعد عنها وتزيد بعدها عن الأصل بلا حدود؟ في الحالة الأولى ، نقول إن C تنتمي إلى مجموعة Mandelbrot (وهي إحدى النقاط السوداء في الصورة) وإلا نقول إنها تنتقل إلى ما لا نهاية ونقوم بتعيين لون إلى C اعتمادًا على السرعة التي تكون عندها النقطة "يهرب" من الأصل.

يمكننا إلقاء نظرة على الخوارزمية من وجهة نظر مختلفة. لنتخيل أن كل النقاط على المستوى تنجذب إلى كل من: اللانهاية ومجموعة ماندلبروت. هذا يجعل من السهل فهم السبب:

  • النقاط البعيدة عن مجموعة ماندلبروت تتحرك بسرعة نحو اللانهاية ،
  • نقاط قريبة من مجموعة Mandelbrot تهرب ببطء إلى ما لا نهاية ،
  • النقاط داخل مجموعة Mandelbrot لا تهرب أبدًا إلى اللانهاية. & # 9

ترتبط مجموعات جوليا ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. الوظيفة التكرارية المستخدمة لإنتاجها هي نفسها المستخدمة في مجموعة Mandelbrot. الاختلاف الوحيد هو طريقة استخدام هذه الصيغة. من أجل رسم صورة لمجموعة ماندلبروت ، نكرر الصيغة لكل نقطة C من المستوى المركب ، ونبدأ دائمًا بـ. إذا أردنا عمل صورة لمجموعة جوليا ، يجب أن تكون C ثابتة أثناء عملية التوليد بأكملها ، بينما تتباين قيمة. تحدد قيمة C شكل مجموعة جوليا بعبارة أخرى ، كل نقطة من المستوى المركب مرتبطة بمجموعة جوليا معينة.

علينا اختيار النقطة C) على المستوى المركب. تحدد الخوارزمية التالية ما إذا كانت نقطة على المستوى المعقد Z) تنتمي إلى مجموعة Julia المرتبطة بـ C ، وتحدد اللون الذي يجب تعيينه لها. لمعرفة ما إذا كان Z ينتمي إلى المجموعة ، علينا تكرار الوظيفة باستخدام. ماذا يحدث للنقطة الأولية Z عندما تتكرر الصيغة؟ وهل ستبقى قريبة من الأصل أم ستبتعد عنها وتزيد بعدها عن الأصل بلا حدود؟ في الحالة الأولى ، تنتمي إلى مجموعة Julia وإلا ستنتقل إلى ما لا نهاية ونقوم بتعيين لون إلى Z اعتمادًا على السرعة التي "تهرب" النقطة من الأصل. لإنتاج صورة لمجموعة جوليا بأكملها المرتبطة بـ C ، يجب أن نكرر هذه العملية لجميع النقاط Z التي يتم تضمين إحداثياتها في هذا النطاق:

أهم علاقة بين مجموعات جوليا ومجموعة ماندلبروت هي أنه في حين أن مجموعة ماندلبروت متصلة (وهي قطعة واحدة) ، فإن مجموعة جوليا متصلة فقط إذا كانت مرتبطة بنقطة داخل مجموعة ماندلبروت. على سبيل المثال: تم توصيل مجموعة جوليا المرتبطة بمجموعة جوليا المرتبطة بها غير متصلة (انظر الصورة أدناه).

يتم إنشاء فركتلات نظام الوظائف المتكرر (IFS) على أساس تحويلات مستوية بسيطة: التحجيم ، والخلع ، ودوران محاور المستوى. يتكون إنشاء كسورية IFS من الخطوات التالية:

  1. تحديد مجموعة من التحولات المستوية ،
  2. رسم نمط أولي على المستوى (أي نمط) ،
  3. تحويل النمط الأولي باستخدام التحولات المحددة في الخطوة الأولى ،
  4. تحويل الصورة الجديدة (مجموعة من الأنماط الأولية والمتحولة) باستخدام نفس مجموعة التحويلات ،
  5. تكرار الخطوة الرابعة عدة مرات قدر الإمكان (نظريًا ، يمكن تكرار هذا الإجراء لعدد لا نهائي من المرات).

أشهر فركتلات ISF هي مثلث Sierpinski و Koch Snowflake.

هذا هو الفراكتل الذي يمكننا الحصول عليه بأخذ نقطتي المنتصف لكل جانب من أضلاع مثلث متساوي الأضلاع وربطهما. يجب تكرار التكرارات لعدد لا نهائي من المرات. تقدم الصور أدناه أربع خطوات أولية لبناء مثلث Sierpinski:

باستخدام هذا الفركتلي كمثال ، يمكننا إثبات أن البعد الكسري ليس عددًا صحيحًا.

بادئ ذي بدء ، علينا أن نكتشف كيف يتصرف "حجم" الكائن عندما يزداد بعده الخطي. في بعد واحد يمكننا النظر في قطعة مستقيمة. إذا تمت مضاعفة البعد الخطي للقطعة المستقيمة ، فإن الطول (الحجم المميز) للخط قد تضاعف أيضًا. في بعدين ، إذا تم مضاعفة الأبعاد الخطية للمربع على سبيل المثال ، فإن الحجم المميز ، المساحة ، يزيد بمعامل 4. في ثلاثة أبعاد ، إذا تضاعف البعد الخطي للمربع ، فإن الحجم يزيد بمعامل 8.

يمكن تعميم هذه العلاقة بين البعد D والقياس الخطي L ونتيجة زيادة الحجم S على النحو التالي:

تعطي إعادة ترتيب هذه الصيغة تعبيرًا عن البعد بناءً على كيفية تغير الحجم كدالة للقياس الخطي:

في الأمثلة أعلاه ، تكون قيمة D عددًا صحيحًا - 1 أو 2 أو 3 - اعتمادًا على بُعد الهندسة. هذه العلاقة تنطبق على جميع الأشكال الإقليدية. ماذا عن الفركتلات؟

بالنظر إلى صورة الخطوة الأولى في بناء مثلث Sierpinski ، يمكننا أن نلاحظ أنه إذا تضاعف البعد الخطي للمثلث الأساسي (L) ، فإن مساحة الفركتلات الكاملة (مثلثات زرقاء) تزداد بمقدار ثلاثة أضعاف (S ).

باستخدام النمط الموضح أعلاه ، يمكننا حساب بُعد لمثلث Sierpinski:

نتيجة هذا الحساب تثبت البعد الكسري غير الصحيح.

لبناء Koch Snowflake ، علينا أن نبدأ بمثلث متساوي الأضلاع مع جوانب طول ، على سبيل المثال ، 1. في منتصف كل جانب ، سنضيف مثلثًا جديدًا بثلث الحجم ونكرر هذه العملية لعدد لا نهائي من التكرارات. طول الحدود - اللانهاية. ومع ذلك ، تظل المساحة أقل من مساحة الدائرة المرسومة حول المثلث الأصلي. هذا يعني أن هناك خطًا طويلًا بلا حدود يحيط بمنطقة محدودة. يشبه البناء النهائي لـ Koch Snowflake الخط الساحلي للشاطئ.

أربع خطوات لبناء كوخ سنوفليك:

تغلغلت الهندسة الفركتلية في العديد من مجالات العلوم ، مثل الفيزياء الفلكية والعلوم البيولوجية ، وأصبحت واحدة من أهم التقنيات في رسومات الكمبيوتر.

لا أحد يعرف حقًا عدد النجوم المتلألئة في سمائنا ، لكن هل تساءلت يومًا كيف تشكلت ووجدت في النهاية موطنها في الكون؟ يعتقد علماء الفيزياء الفلكية أن مفتاح هذه المشكلة هو الطبيعة الكسورية للغاز بين النجوم. التوزيعات الكسورية هرمية ، مثل مسارات الدخان أو السحب المتصاعدة في السماء. يشكل الاضطراب كلاً من السحب في السماء والغيوم في الفضاء ، مما يمنحها نمطًا غير منتظم ولكنه متكرر يستحيل وصفه بدون مساعدة الهندسة الفركتلية.

قام علماء الأحياء تقليديًا بنمذجة الطبيعة باستخدام التمثيلات الإقليدية للأشياء أو السلاسل الطبيعية. لقد مثلوا دقات القلب على أنها موجات جيبية ، وأشجار صنوبرية كمخاريط ، وموائل حيوانية كمناطق بسيطة ، وأغشية خلوية كمنحنيات أو أسطح بسيطة. ومع ذلك ، فقد أدرك العلماء أن العديد من التركيبات الطبيعية تتميز بشكل أفضل باستخدام الهندسة الكسورية. تتميز الأنظمة والعمليات البيولوجية عادةً بالعديد من مستويات البنية التحتية ، مع تكرار نفس النمط العام في سلسلة متناقصة باستمرار.

اكتشف العلماء أن البنية الأساسية للكروموسوم تشبه الشجرة ، وتتكون من العديد من "الكروموسومات الصغيرة" ، وبالتالي يمكن التعامل معها على أنها كسورية. بالنسبة للكروموسوم البشري ، على سبيل المثال ، فإن البعد الكسري D يساوي 2،34 (بين المستوى وبُعد الفضاء).

تم العثور على تشابه ذاتي أيضًا في تسلسل الحمض النووي. في رأي بعض علماء الأحياء ، يمكن استخدام الخصائص الكسورية للحمض النووي لحل العلاقات التطورية في الحيوانات.

ربما سيستخدم علماء الأحياء في المستقبل الهندسة الكسورية لإنشاء نماذج شاملة للأنماط والعمليات التي لوحظت في الطبيعة.

أكبر استخدام للفركتلات في الحياة اليومية هو علوم الكمبيوتر. تستخدم العديد من أنظمة ضغط الصور خوارزميات كسورية لضغط ملفات رسومات الكمبيوتر إلى أقل من ربع حجمها الأصلي.

يستخدم فنانو الرسوم على الكمبيوتر العديد من الأشكال الكسورية لإنشاء مناظر طبيعية ونماذج معقدة أخرى.

من الممكن إنشاء جميع أنواع الصور "التزييف الكسوري" الواقعية للمشاهد الطبيعية ، مثل المناظر الطبيعية على سطح القمر وسلاسل الجبال والسواحل. يمكننا رؤيتها في العديد من المؤثرات الخاصة في أفلام هوليوود وأيضًا في الإعلانات التلفزيونية. تم إنشاء "تأثير التكوين" في فيلم "Star Trek II - The Wrath of Khan" باستخدام خوارزميات المناظر الطبيعية الكسورية ، وفي "عودة Jedi" تم استخدام فركتلات "عودة Jedi" لإنشاء جغرافيا القمر ، ورسم الخطوط العريضة لـ "نجمة الموت" المخيفة. ولكن يمكن أيضًا استخدام الإشارات الكسورية لنمذجة الأجسام الطبيعية ، مما يسمح لنا بتعريف بيئتنا رياضيًا بدقة أعلى من أي وقت مضى.

لقد وجد العديد من العلماء أن الهندسة الكسورية هي أداة قوية لكشف الأسرار من مجموعة متنوعة من الأنظمة وحل المشكلات المهمة في العلوم التطبيقية. قائمة أنظمة الفركتلات الفيزيائية المعروفة طويلة وتنمو بسرعة.

حسنت الفركتلات من دقتنا في وصف وتصنيف الكائنات "العشوائية" أو العضوية ، لكنها ربما ليست مثالية. ربما هم أقرب إلى عالمنا الطبيعي ، وليس مثله. لا يزال بعض العلماء يعتقدون أن العشوائية الحقيقية موجودة ، ولن تصفها أي معادلة رياضية بشكل مثالي. حتى الآن ، لا توجد طريقة لتحديد من هو على حق ومن هو على خطأ.

ربما بالنسبة للعديد من الناس ، لن تمثل الفركتلات أبدًا أي شيء أكثر من الصور الجميلة.


التحولات الخطية

أ التحول الخطي هي دالة من فضاء متجه إلى آخر يحترم البنية الأساسية (الخطية) لكل فضاء متجه. يُعرف التحويل الخطي أيضًا باسم المشغل الخطي أو الخريطة. قد يكون نطاق التحول هو نفسه المجال ، وعندما يحدث ذلك ، يُعرف التحول باسم التشكل الداخلي أو ، إذا كان قابلاً للانعكاس ، التشكل التلقائي. يجب أن يكون للمساحتين المتجهتين نفس الحقل الأساسي.

تعتبر التحويلات الخطية مفيدة لأنها تحافظ على بنية الفضاء المتجه. لذلك ، فإن العديد من التقييمات النوعية لمساحة متجهية هي مجال التحويل الخطي ، في ظل ظروف معينة ، قد يتم الاحتفاظ بها تلقائيًا في صورة التحويل الخطي. على سبيل المثال ، تعطي البنية على الفور أن النواة والصورة كلاهما فضاءان فرعيان (وليس مجرد مجموعات فرعية) من نطاق التحويل الخطي.

من المحتمل أن يُنظر إلى معظم الوظائف الخطية على أنها تحويلات خطية في الإعداد المناسب. تعتبر التحولات في تغيير الصيغ الأساسية خطية ، ومعظم العمليات الهندسية ، بما في ذلك التدوير والانعكاسات والتقلصات / التوسعات ، هي تحويلات خطية. بشكل أكثر قوة ، يمكن أن تنطبق تقنيات الجبر الخطي على وظائف معينة غير خطية للغاية من خلال إما التقريب بوظائف خطية أو إعادة التفسير كوظائف خطية في مسافات متجهة غير عادية. يكشف الفهم الشامل والأساسي للتحولات الخطية عن العديد من الروابط بين مجالات وأغراض الرياضيات.


18.7: كسور التحولات الخطية - الرياضيات

يتم توفير جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يجوز إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن عدة تقنيات أو مناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة والتي يعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


يُسمح لطلابك بالوصول غير المحدود إلى دورات WebAssign التي تستخدم هذا الإصدار من الكتاب المدرسي دون أي تكلفة إضافية.

الوصول مشروط باستخدام هذا الكتاب المدرسي في الفصل الدراسي للمدرس.

  • الفصل 1: ODEs من الدرجة الأولى
    • 1.1: المفاهيم الأساسية. النمذجة
    • 1.2: المعنى الهندسي ذ = F (x, ذ). حقول الاتجاه ، طريقة أويلر
    • 1.3: معادلات ODE القابلة للفصل. النمذجة
    • 1.4: معادلات التطوير الحاسوبية الدقيقة. تكامل العوامل
    • 1.5: المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية. معادلة برنولي. ديناميات السكان
    • 1.6: المسارات المتعامدة
    • 1.7: وجود وتفرد حلول لمشاكل القيمة الأولية
    • 1: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 2.1: المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية
    • 2.2: معادلات ODE الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
    • 2.3: العوامل التفاضلية
    • 2.4: نمذجة التذبذبات الحرة لنظام الكتلة و ndashSpring
    • 2.5: معادلات أويلر وندش كوشي
    • 2.6: وجود الحلول وتفردها. Wronskian
    • 2.7: معادلات التطوير غير المتجانسة
    • 2.8: النمذجة: التذبذبات القسرية. صدى
    • 2.9: النمذجة: الدوائر الكهربائية
    • 2.10: الحل عن طريق تغيير المعامِلات
    • 2: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 3.1: المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية المتجانسة
    • 3.2: معادلات ODE الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
    • 3.3: المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية غير المتجانسة
    • 3: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 4.0: كمرجع: أساسيات المصفوفات والمتجهات
    • 4.1: أنظمة ODE كنماذج في التطبيقات الهندسية [3)
    • 4.2: النظرية الأساسية لنظم ODE. Wronskian
    • 4.3: أنظمة المعامل الثابت. طريقة مستوى الطور (3)
    • 4.4: معايير النقاط الحرجة. الاستقرار (4)
    • 4.5: الطرق النوعية للأنظمة غير الخطية [3)
    • 4.6: الأنظمة الخطية غير المتجانسة في المعادلات التفاضلية الجزئية (2)
    • 4: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 5.1: طريقة سلسلة الطاقة
    • 5.2: معادلة ليجيندر. متعدد الحدود Legendre صن(x)
    • 5.3: طريقة سلسلة الطاقة الممتدة: طريقة Frobenius
    • 5.4: معادلة بيسل. وظائف بيسل يالخامس(x) (5)
    • 5.5: وظائف Bessel من صالخامس(x). الحلول العامة (5)
    • 5: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 6.1: تحويل لابلاس. الخطية. نظرية التحول الأول (س-الانتقال) (8)
    • 6.2: تحولات المشتقات والتكاملات. ODEs (5)
    • 6.3: وظيفة خطوة الوحدة (وظائف Heaviside). نظرية التحول الثانية (ر-الانتقال) (6)
    • 6.4: نبضات قصيرة. وظيفة دلتا ديراك. الكسور الجزئية (3)
    • 6.5: الالتواء. معادلات متكاملة (3)
    • 6.6: تمايز وتكامل التحولات. معادلات ثنائية مع معاملات متغيرة (4)
    • 6.7: أنظمة ODE (2)
    • 6.8: تحويل لابلاس: الصيغ العامة
    • 6.9: جدول تحويلات لابلاس
    • 6: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 7.1: المصفوفات والمتجهات: الجمع والضرب العددي [3)
    • 7.2: ضرب المصفوفة (4)
    • 7.3: أنظمة المعادلات الخطية. جاوس القضاء (3)
    • 7.4: الاستقلال الخطي. رتبة المصفوفة. فيكتور سبيس (11)
    • 7.5: حلول الأنظمة الخطية: الوجود والتفرد
    • 7.6: كمرجع: محددات الدرجة الثانية والثالثة
    • 7.7: المحددات. قاعدة كرامر (4)
    • 7.8: معكوس المصفوفة. جاوس وندش جوردان اقصاء (3)
    • 7.9: مساحات المتجهات ، مساحات المنتج الداخلية. التحولات الخطية (6)
    • 7: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 8.1: مشكلة القيمة الذاتية لمصفوفة. تحديد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (4)
    • 8.2: بعض تطبيقات مشاكل القيمة الذاتية
    • 8.3: المصفوفات المتماثلة ، والانحراف المتماثل ، والمتعامد (3)
    • 8.4: قواعد Eigenbases. قطري. الأشكال التربيعية (5)
    • 8.5: المصفوفات والنماذج المعقدة (4)
    • 8: مراجعة الأسئلة والمشكلات
    • 9.1: المتجهات في 2-Space و 3-Space
    • 9.2: المنتج الداخلي (المنتج النقطي)
    • 9.3: منتج متجه (منتج متقاطع)
    • 9.4: دوال المتجهات والعددية ومجالاتها. متجه حساب التفاضل والتكامل: المشتقات
    • 9.5: منحنيات. طول القوس. انحناء. التواء
    • 9.6: مراجعة التفاضل والتكامل: وظائف عدة متغيرات
    • 9.7: انحدار حقل عددي. مشتق اتجاهي (6)
    • 9.8: تباعد حقل متجه (4)
    • 9.9: تجعيد حقل متجه (3)
    • 9: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 10.1: تكاملات الخط (5)
    • 10.2: استقلالية مسار تكاملات الخط [4)
    • 10.3: مراجعة التفاضل والتكامل: التكاملات المزدوجة (4)
    • 10.4: نظرية جرين في المستوى (5)
    • 10.5: أسطح تكاملات السطح (7)
    • 10.6: تكاملات السطح (5)
    • 10.7: تكاملات ثلاثية. نظرية الاختلاف لغاوس (4)
    • 10.8: تطبيقات أخرى لنظرية الاختلاف [4)
    • 10.9: نظرية ستوكس (5)
    • 10: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 11.1: سلسلة فورييه (3)
    • 11.2: الفترة التعسفية. الوظائف الزوجية والفردية. توسعات نصف المدى (4)
    • 11.3: التذبذبات القسرية (2)
    • 11.4: التقريب بواسطة كثيرات الحدود المثلثية (3)
    • 11.5: مشاكل شتورم وندشليوفيل. وظائف متعامدة (3)
    • 11.6: سلسلة متعامدة. سلسلة فورييه المعممة (3)
    • 11.7: فورييه لا يتجزأ (3)
    • 11.8: تحويلات فورييه لجيب التمام والجيب [4)
    • 11.9: تحويل فورييه. تحولات فورييه السريعة المنفصلة (3)
    • 11.10: جداول التحولات
    • 11: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 12.1: المفاهيم الأساسية لأجهزة PDE (5)
    • 12.2: النمذجة: سلسلة تهتز ، معادلة موجة
    • 12.3: الحل بفصل المتغيرات. استخدام سلسلة فورييه (3)
    • 12.4: حل دالمبرت لمعادلة الموجة. الخصائص (2)
    • 12.5: النمذجة: التدفق الحراري من الجسم في الفضاء. معادلة الحرارة
    • 12.6: معادلة الحرارة: حل بواسطة سلسلة فورييه. مشاكل الحرارة الثابتة ثنائية الأبعاد. مشكلة ديريتشليت (5)
    • 12.7: معادلة الحرارة: نمذجة قضبان طويلة جدًا. الحل عن طريق تكاملات وتحولات فورييه (4)
    • 12.8: النمذجة: الغشاء ، معادلة الموجة ثنائية الأبعاد
    • 12.9: غشاء مستطيل. سلسلة فورييه مزدوجة (4)
    • 12.10: Laplacian في الإحداثيات القطبية. غشاء دائري. سلسلة فورييه وندش بيسيل (1)
    • 12.11: معادلة لابلاس في الإحداثيات الأسطوانية والكروية. القدره
    • 12.12: حل PDEs بواسطة Laplace Transforms (1)
    • 12: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 13.1: الأعداد المركبة وتمثيلها الهندسي [6)
    • 13.2: الشكل القطبي للأرقام المركبة. القوى والجذور (8)
    • 13.3: المشتق. الوظيفة التحليلية (6)
    • 13.4: معادلات كوشي وندش ريمان. معادلة لابلاس (6)
    • 13.5: الوظيفة الأسية (5)
    • 13.6: الدوال المثلثية والقطعية. فورميولا اويلر (5)
    • 13.7: لوغاريتم. القوة العامة. القيمة الرئيسية (6)
    • 13: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 14.1: خط متكامل في المستوى المركب (6)
    • 14.2: نظرية كوشي المتكاملة (6)
    • 14.3: صيغة كوشي المتكاملة (5)
    • 14.4: مشتقات وظائف التحليل [4)
    • 14: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 15.1: المتتاليات ، المتسلسلة ، اختبارات التقارب (9)
    • 15.2: سلسلة الطاقة (5)
    • 15.3: الوظائف التي توفرها سلسلة Power [5)
    • 15.4: سلسلة تايلور وماكلورين (5)
    • 15.5: التقارب المنتظم
    • 15: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 16.1: سلسلة Laurent (7)
    • 16.2: التفردات والأصفار. انفينيتي (10)
    • 16.3: طريقة تكامل المخلفات (9)
    • 16.4: تكامل بقايا التكاملات الحقيقية (9)
    • 16: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 17.1: هندسة الوظائف التحليلية: رسم الخرائط المطابقة (5)
    • 17.2: التحولات الجزئية الخطية (تحويلات M & oumlbius) [4)
    • 17.3: التحولات الجزئية الخطية الخاصة (2)
    • 17.4: رسم الخرائط المطابق بواسطة وظائف أخرى [8)
    • 17.5: أسطح ريمان
    • 17: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 18.1: المجالات الكهروستاتيكية (3)
    • 18.2: استخدام الخرائط المطابقة. النمذجة (2)
    • 18.3: مشاكل الحرارة (3)
    • 18.4: تدفق السوائل (2)
    • 18.5: صيغة بواسون المتكاملة للإمكانيات
    • 18.6: الخصائص العامة للوظائف التوافقية. نظرية التفرد لمشكلة Dirichlet
    • 18: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 19.1: مقدمة
    • 19.2: حل المعادلات بالتكرار
    • 19.3: الاستيفاء
    • 19.4: استيفاء المفتاح
    • 19.5: التكامل والتفاضل الرقمي
    • 19: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 20.1: الأنظمة الخطية: إزالة Gauss
    • 20.2: الأنظمة الخطية: LU-Factorization ، Matrix Inversion
    • 20.3: الأنظمة الخطية: الحل بالتكرار
    • 20.4: الأنظمة الخطية: سوء التكييف ، المعايير
    • 20.5: طريقة المربعات الصغرى
    • 20.6: مصفوفة مشاكل القيمة الذاتية: مقدمة
    • 20.7: إدراج القيم الذاتية لمصفوفة
    • 20.8: طريقة الطاقة للقيم الذاتية
    • 20.9: ثلاثي الأضلاع وعوامل QR
    • 20: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 21.1: طرق ODE من الدرجة الأولى
    • 21.2: طرق متعددة الخطوات
    • 21.3: طرق للأنظمة و ODEs ذات الترتيب الأعلى
    • 21.4: طرق أجهزة PDE الإهليلجية
    • 21.5: مشاكل نيومان والمختلطة. حدود غير منتظمة
    • 21.6: طرق لأجهزة PDEs مكافئ
    • 21.7: طريقة لأجهزة PDE الزائدية
    • 21: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 22.1: مفاهيم أساسية. التحسين غير المقيد: طريقة الانحدار الشديد
    • 22.2: البرمجة الخطية
    • 22.3: طريقة Simplex
    • 22.4: الطريقة البسيطة: الصعوبات
    • 22: مراجعة الأسئلة والمشكلات
    • 23.1: الرسوم البيانية والديجرافس
    • 23.2: أقصر طريق مشاكل. تعقيد
    • 23.3: مبدأ بيلمان. خوارزمية ديكسترا
    • 23.4: أقصر أشجار ممتدة: الخوارزمية الجشعة
    • 23.5: أقصر أشجار ممتدة: خوارزمية Prim
    • 23.6: التدفقات في الشبكات
    • 23.7: الحد الأقصى للتدفق: خوارزمية فورد وندش فولكرسون
    • 23.8: الرسوم البيانية ثنائية الأجزاء. مشاكل التعيين
    • 23: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 24.1: تمثيل البيانات. متوسط. انتشار
    • 24.2: التجارب والنتائج والأحداث
    • 24.3: الاحتمالية
    • 24.4: التباديل والتوليفات
    • 24.5: المتغيرات العشوائية. التوزيعات الاحتمالية
    • 24.6: متوسط ​​وتباين التوزيع
    • 24.7: التوزيعات ذات الحدين ، والبواسون ، والهندسة المفرطة
    • 24.8: التوزيع الطبيعي
    • 24.9: توزيعات عدة متغيرات عشوائية
    • 24: مراجعة الأسئلة والمشاكل
    • 25.1: مقدمة. أخذ العينات العشوائية
    • 25.2: تقدير النقاط للمعلمات
    • 25.3: فترات الثقة
    • 25.4: اختبار الفرضيات. قرارات
    • 25.5: مراقبة الجودة
    • 25.6: قبول العينات
    • 25.7: حسن الملاءمة. & تشي 2-الاختبار
    • 25.8: الاختبارات اللامعلمية
    • 25.9: الانحدار. تركيب خطوط مستقيمة. علاقة
    • 25: مراجعة الأسئلة والمشاكل

    الرياضيات الهندسية المتقدمة ، الإصدار العاشر من قبل Edwin Kreyszig معروف بتغطيته الشاملة ، والرياضيات الدقيقة والصحيحة ، والتمارين المتميزة ، والأجزاء الموضوعية المستقلة لتحقيق أقصى قدر من المرونة. يزود هذا الإصدار المدربين والطلاب بمورد شامل وحديث لتعليم وتعلم الرياضيات الهندسية ، أي الرياضيات التطبيقية للمهندسين والفيزيائيين والرياضيين وعلماء الكمبيوتر ، بالإضافة إلى أعضاء التخصصات الأخرى. يتضمن مكون WebAssign لهذا النص ارتباطات إلى الكتاب الإلكتروني الكامل وتعليقات فورية للطلاب حول الأسئلة العشوائية عبر الإنترنت.


    الأعداد النسبية إلى المعادلات الخطية

    هذا هو المجلد الأول من ثلاثة مجلدات ، والتي تقدم معًا عرضًا لرياضيات الصفين 9 و ndash12 التي تكون صحيحة رياضيًا ومناسبة لمستوى الصف في نفس الوقت. تتوافق المجلدات مع CCSSM (معايير الدولة الأساسية المشتركة للرياضيات) وتهدف إلى تقديم رياضيات K & ndash12 كموضوع شفاف تمامًا.

    يبدأ الحجم الحالي بالكسور ، ثم الأعداد المنطقية ، ثم الهندسة التمهيدية التي يمكن أن تفهم ميل الخط ، ثم شرح الاستخدام الصحيح للرموز التي تجعل معنى & ldquovariables & rdquo ، وأخيراً معالجة منهجية للمعادلات الخطية التي تشرح لماذا يعتبر الرسم البياني للمعادلة الخطية في متغيرين خطًا مستقيمًا ولماذا تكون طريقة الحل المعتادة للمعادلات الخطية المتزامنة والبدائل ldquoby & rdquo صحيحة.

    يجب أن يكون هذا الكتاب مفيدًا للمعلمين الحاليين والمستقبليين لرياضيات K & ndash12 ، وكذلك لبعض طلاب المدارس الثانوية ومحترفي التعليم.

    القراء

    مدرسو رياضيات المدرسة الإعدادية والمهنيون المهتمون بتعليم الرياضيات.


    شاهد الفيديو: معكوس العدد. الرياضيات. الأعداد السالبة (شهر اكتوبر 2021).