مقالات

18.1: الأعداد المركبة - الرياضيات


بشكل غير رسمي ، الرقم المركب هو رقم يمكن وضعه في النموذج

[z = x + i cdot y ، ]

حيث (x ) و (y ) أرقام حقيقية و (i ^ 2 = -1 ).

سيتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد المركبة أيضًا بواسطة ( mathbb {C} ). إذا كانت (x ) و (y ) و (z ) كما في 18.1.1 ، فإن (x ) يسمى جزء حقيقي و (ص ) ال الجزء الخيالي من العدد المركب (ض ). باختصار هو مكتوب باسم

[x = text {Re} z text {and} y = text {Im} z. ]

على المستوى الأكثر رسمية ، الرقم المركب هو زوج من الأرقام الحقيقية ((س ، ص) ) مع الجمع والضرب الموصوف أدناه ؛ التعبير (x + i cdot y ) ليس سوى طريقة ملائمة لكتابة الزوج ((x، y) ).

[ start {align} (x_1 + i cdot y_1) + (x_2 + i cdot y_2) &: = (x_1 + x_2) + i cdot (y_1 + y_2)؛ (x_1 + i cdot y_1) cdot (x_2 + i cdot y_2) &: = (x_1 cdot x_2-y_1 cdot y_2) + i cdot (x_1 cdot y_2 + y_1 cdot x_2). نهاية {محاذاة} ]


S6: رياضيات متقدمة

هذا الكتاب المدرسي هو جزء من إصلاح المناهج الدراسية في رواندا ، أي تغييرات في ما يتم تدريسه في المدارس وكيفية تدريسه. من المأمول أن يجعل هذا ما تتعلمه في المدرسة مفيدًا لك عندما تترك المدرسة. في الماضي ، كان الشيء الرئيسي في التعليم هو تعلم المعرفة ، أي الحقائق والأفكار حول كل موضوع. الآن ، الفكرة الرئيسية هي أنه يجب أن تكون قادرًا على استخدام المعرفة التي تتعلمها من خلال تطوير المهارات أو الكفاءات. تتضمن هذه المهارات أو الكفاءات القدرة على التفكير بنفسك ، والقدرة على التواصل مع الآخرين وشرح ما تعلمته ، وأن تكون مبدعًا ، أي تطوير أفكارك الخاصة وليس فقط اتباع أفكار المعلم والكتاب النصي. يجب أيضًا أن تكون قادرًا على معرفة المعلومات والأفكار لنفسك بدلاً من الاعتماد فقط على ما يخبرك به المعلم أو الكتاب النصي.

التعلم القائم على النشاط

يحتوي هذا الكتاب على مجموعة متنوعة من الأنشطة التي يمكنك القيام بها بالإضافة إلى المعلومات التي يمكنك قراءتها. تقدم لك هذه الأنشطة المواد أو الأشياء التي يمكنك القيام بها والتي ستساعدك على تعلم الأشياء واكتشاف الأشياء بنفسك. لديك بالفعل الكثير من المعرفة والأفكار بناءً على الخبرات التي مررت بها وحياتك داخل مجتمعك. لذلك ، تطلب منك بعض الأنشطة التفكير في المعرفة والأفكار التي لديك بالفعل.

عند استخدام هذا الكتاب ، من الضروري أن تقوم بكل الأنشطة. لن تتعلم بشكل صحيح ما لم تقم بهذه الأنشطة. هم الجزء الأكثر أهمية في الكتاب. في بعض النواحي ، يجعل هذا التعلم أكثر صعوبة. إن التفكير بنفسك أصعب من تقليد ما يخبرك به المعلم ، لكن إذا قبلت هذا التحدي ، ستصبح شخصًا أفضل وتصبح أكثر نجاحًا في حياتك.

يمكنك أن تتعلم الكثير من الآخرين في صفك. إذا كانت لديك مشكلة ، فيمكن حلها غالبًا بمناقشتها مع الآخرين. ولذلك ، فإن العديد من الأنشطة في هذا الكتاب تتضمن المناقشة في مجموعات أو أزواج. سيساعد معلمك في تنظيم هذه المجموعات وقد يرتب الفصل الدراسي بحيث تجلس دائمًا في مجموعات تواجه بعضها البعض. لا يمكنك المناقشة بشكل صحيح إلا إذا كنت تواجه بعضكما البعض.

أحد أهداف المنهج القائم على الكفاءة هو مساعدتك في اكتشاف الأشياء بنفسك. لذلك ، تطلب منك بعض الأنشطة إجراء بحث باستخدام الكتب الموجودة في المكتبة أو الإنترنت إذا كانت مدرستك تمتلك هذا أو مصادر أخرى مثل الصحف والمجلات. هذا يعني أنك ستطور مهارات التعلم لنفسك عندما تترك المدرسة. سيساعدك معلمك إذا لم يكن لدى مدرستك مكتبة جيدة أو إنترنت.

لإرشادك ، يتم تمييز كل نشاط في الكتاب برمز أو رمز يوضح لك نوع النشاط. الأيقونات هي كما يلي:


ارقام مركبة

عندما نجمع بين رقم حقيقي ورقم وهمي نحصل على a عدد مركب:

أمثلة:

هل يمكن أن يكون الرقم مزيجًا من عددين؟

هل يمكننا تكوين رقم من رقمين آخرين؟ بالطبع نستطيع!

نحن نفعل ذلك مع الكسور في كل وقت. الكسر 3 /8 هو رقم مكون من 3 و 8. نعلم أنه يعني & quot3 من 8 أجزاء متساوية & quot.

حسنًا ، الرقم المركب عادل جمع رقمين معًا (رقم حقيقي وخيالي).


تتضمن حلول Balbharati للرياضيات والإحصاء 2 (الآداب والعلوم) الفصل الحادي عشر من مجلس ولاية ماهاراشترا (الأرقام المركبة) جميع الأسئلة مع الحل والشرح التفصيلي. سيؤدي ذلك إلى إزالة شكوك الطلاب حول أي سؤال وتحسين مهارات التطبيق أثناء التحضير لامتحانات المجلس. ستساعدك الحلول التفصيلية خطوة بخطوة على فهم المفاهيم بشكل أفضل وتوضيح ارتباكاتك ، إن وجدت. موقع Shaalaa.com لديه حلول مجلس ولاية ماهاراشترا للرياضيات والإحصاء 2 (الآداب والعلوم) المعيار الحادي عشر في ولاية ماهاراشترا بطريقة تساعد الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية بشكل أفضل وأسرع.

علاوة على ذلك ، نحن في موقع Shaalaa.com نقدم مثل هذه الحلول حتى يتمكن الطلاب من الاستعداد للامتحانات الكتابية. يمكن أن تكون حلول الكتب المدرسية من Balbharati مساعدة أساسية للدراسة الذاتية وتعمل كدليل مثالي للمساعدة الذاتية للطلاب.

المفاهيم التي تم تناولها في الرياضيات والإحصاء 2 (الفنون والعلوم) المعيار الحادي عشر لمجلس ولاية ماهاراشترا ، الفصل الأول ، الأرقام المركبة هي مقدمة للرقم المركب ، مفهوم الأعداد المركبة ، جبر الأعداد المركبة ، الجذر التربيعي للعدد المركب ، النظرية الأساسية للجبر ، أرجاند الرسم التخطيطي أو المستوى المركب ، نظرية De Moivres ، جذر الوحدة التكعيبي ، مجموعة النقاط في المستوى المركب.

يعد استخدام تمرين الأعداد المعقدة من حلول Balbharati 11 من قبل الطلاب طريقة سهلة للتحضير للامتحانات ، حيث إنها تتضمن حلولًا مرتبة حسب الفصل أيضًا. الأسئلة التي يتضمنها Balbharati Solutions هي أسئلة مهمة يمكن طرحها في الاختبار النهائي. يفضل طلاب المجلس الحادي عشر لولاية ماهاراشترا كحد أقصى حلول Balbharati Textbook Solutions للحصول على درجات أعلى في الامتحان.


18.1: الأعداد المركبة - الرياضيات

جلسة مراجعة الامتحان النهائي. ستعقد جلسة مراجعة للاختبار النهائي يوم الاثنين ، 13 ديسمبر ، من الساعة 3:00 مساءً حتى 4:30 مساءً في الغرفة 242 ، العلوم والتكنولوجيا 1.

تمارين للفصل 18. تمارين الفصل 18 كالتالي:

القسم 18.1 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، التمارين المجمعة: 2 ، 6

القسم 18.2 1 ، 5 ، تمرين جماعي: 2

القسم 18.3 3 ، 5 ، تمرين جماعي: 2

آخر واجب منزلي مستحق يوم الثلاثاء 14 ديسمبر وهو اختياري. ستحل تقديرك في هذا الواجب محل أدنى تقدير حالي للواجب المنزلي (أو لا يحل تقديرك في هذا الواجب يكون أدنى درجة لك في الواجبات المنزلية). إذا اخترت عدم تسليمه فلن يؤثر ذلك على متوسط ​​واجبك المنزلي.

الامتحان النهائي. سيتم إجراء الاختبار النهائي لهذه الدورة يوم الثلاثاء 14 ديسمبر ، 10:30 صباحًا - 1:15 ظهرًا في نفس الغرفة التي يوجد بها فصل دراسي. سيكون الاختبار النهائي تراكميًا حيث يغطي ما يقرب من نصف الامتحان الفصلين 16 و 17 ، ويتم توزيع بقية الامتحان بالتساوي تقريبًا بين الفصول الأخرى التي تغطيها الدورة التدريبية. يُسمح لك بإحضار ورقتين 8.5 & quot × 11 & quot إلى الفصل باستخدام الصيغ. يُسمح باستخدام الآلات الحاسبة ولكن يجب عليك إظهارها كل العمل من أجل الحصول على رصيد لمشكلة. سأقوم قريبًا بتحديث هذه المساحة بمعلومات حول الأقسام التي لن تظهر في الاختبار النهائي.

سيتم تغطية الأقسام التالية في النهائي. افهم أنه من المتوقع أن تعرف المواد من الأقسام التي لم تتم تغطيتها في النهاية إلى الحد الذي تظهر فيه هذه المواد في الأقسام التي تمت تغطيتها.

18.1 ، 18.3 (مشكلة واحدة فقط على الأكثر).

درجات الامتحان النصفي 2. سيتم احتساب درجاتك في الاختبار 2 من المعدل النهائي كما لو كان الاختبار من أصل 54 نقطة. لذلك على سبيل المثال ، إذا حصلت على 44/60 = 73٪ في الامتحان ، فإن الدرجة المستخدمة لحساب درجة الفصل الدراسي ستكون 44/54 = 81٪.

الامتحان النصفي 2. وسيبدأ الامتحان النصفي الثاني يوم الخميس 18 نوفمبر. وسيغطي جميع الأقسام في الفصول من 13 إلى 15. سيكون لديك فترة الدراسة الكاملة لإجراء هذا الاختبار. ستكون المشاكل في الامتحان مشابهة للتدريبات المخصصة ذات الأرقام الفردية. يُسمح لك بإحضار ورقة واحدة مقاس 8.5 × 11 بوصة بها صيغ (كلا الجانبين). يُسمح أيضًا باستخدام آلة حاسبة ولكن يجب عليك إظهارها كل العمل من أجل الحصول على رصيد لمشكلة.

الواجب المنزلي # 10. من المقرر الآن أن يكون الواجب المنزلي رقم 10 يوم الثلاثاء ، 23 نوفمبر ، حتى يكون لدي وقت لتغطية المواد بشكل كافٍ وحتى يكون لديك وقت للدراسة لامتحان الخميس. ينعكس هذا التغيير في تواريخ الاستحقاق أدناه.

تواريخ استحقاق جديدة للواجبات المنزلية. تم تغيير تواريخ الاستحقاق وتغطية مجموعات الواجبات المنزلية التي سيتم تسليمها أدناه. تبدأ تواريخ الاستحقاق الجديدة مع الواجب المستحق يوم الخميس.

الامتحان النصفي 1. وسيعطى الامتحان النصفي الأول يوم الخميس 7 أكتوبر. وسيغطي جميع الأقسام في الفصلين 9 و 10 باستثناء القسم 10.9. سيكون لديك فترة الدراسة الكاملة لإجراء هذا الاختبار. ستكون المشاكل في الامتحان مشابهة للتدريبات المخصصة ذات الأرقام الفردية. يُسمح لك بإحضار ورقة واحدة مقاس 8.5 × 11 بوصة بها صيغ (كلا الجانبين). يُسمح أيضًا باستخدام آلة حاسبة ولكن يجب عليك إظهارها كل العمل من أجل الحصول على رصيد لمشكلة.

توضيح إضافي حول التوقعات بخصوص مجموعات الواجبات المنزلية المجمعة: يجب تدبيس جميع مجموعات الواجبات المنزلية إذا تجاوزت صفحة واحدة. لا يُسمح بأي طريقة أخرى لربط الصفحات معًا ، بما في ذلك مشابك الورق أو طيها أو مضغ العلكة.

توضيح التوقعات الخاصة بمجموعات الواجبات المنزلية: يرجى فهم أن مجموعات الواجبات المنزلية ليس ليتم تسليمها عبر البريد الإلكتروني. يُعد السماح بإرسال مجموعات الواجبات المنزلية عبر البريد الإلكتروني امتيازًا أقوم بتمديده لمنع شخص ما من فقدان الائتمان في مهمة واجب منزلي لأنه تأخر عن الفصل لأسباب خارجة عن إرادته أو إرادتها. أتوقع منك تسليم نسخة مطبوعة من واجبك المنزلي بمجرد وصولك إلى الفصل. من غير المقبول إرسال الواجب بالبريد الإلكتروني ثم عدم الحضور للفصل. إذا كنت تعلم أنك ستتغيب بسبب تعارض لا مفر منه ، فيمكننا إجراء ترتيب مناسب ، ولكن في ظل الظروف العادية ، يجب تسليم نسخة مطبوعة قبل نهاية الفصل في اليوم الذي تستحق فيه المهمة.

تاريخ استحقاق جديد للواجب المنزلي # 3: الواجب المنزلي رقم 3 مستحق الخميس 23 سبتمبر ، وليس الثلاثاء 21 سبتمبر. تم تغيير هذا التحديث أدناه أيضًا.

مسابقة VT Math and Putnam. يقوم قسم الرياضيات مرة أخرى بتجميع مجموعة / فريق دراسة الرياضيات في جامعة GMU للمشاركة في مسابقة Virginia Tech Math ومسابقة Putnam Math.

مهتم بالرياضيات (لست بحاجة إلى أن تكون تخصصًا في الرياضيات)

اجتماعات أسبوعية (غير رسمية) للعمل على مشاكل Putnam / VT من السنوات السابقة (التاريخ / الوقت يتم تحديده لاحقًا).

امتحان VT - السبت 30 أكتوبر 2010.

امتحان بوتنام - السبت 4 ديسمبر 2010.

من الذى: اتصل بـ Dan Anderson [email protected].

الواجبات المنزلية غير المحصلة: عندما يتم تقدير مجموعة واجبات منزلية ، سأعيدها إليك خلال الفصل التالي. سيتم وضع جميع الواجبات المنزلية غير المحصلة في مظروف خارج باب مكتبي. يمكنك المجيء واستلامه في أي وقت. لن أحضر الواجبات المنزلية غير المحصلة إلى الفصل أكثر من مرة.

التوقعات الخاصة بمجموعات الواجبات المنزلية: أريد أن أكون واضحًا تمامًا بشأن توقعاتي فيما يتعلق بمجموعات الواجبات المنزلية المقدمة. يجب استيفاء كل هذه الشروط وإلا فلن يتم قبول مجموعة الواجبات المنزلية وستحصل على صفر مقابل ذلك.

يجب تقديم جميع مجموعات الواجبات المنزلية في الوقت المحدد. & quotOn time & quot تعني في بداية الفصل (أي 10:30 صباحًا) في اليوم الذي تستحق فيه المهمة. يجب عليك الترتيب للوصول إلى الفصل مبكرًا في تلك الأيام للتأكد من تشغيل مجموعة واجباتك المدرسية في الوقت المحدد. إذا كانت هناك مشكلات في حياتك لا يمكن التنبؤ بها (مثل حركة المرور ، والأطفال ، وما إلى ذلك) وتقوض ثقتك في أنه يمكنك الوصول إلى الفصل مبكرًا ، فيمكنك إرسال المهمة إلي عبر البريد الإلكتروني قبل الفصل ثم إحضار النسخة المطبوعة إلى الفصل . حتى إذا قمت بتسليم النسخة المطبوعة متأخرًا ، فسوف أعتبر أن الواجب المنزلي قد تم تقديمه في الوقت المحدد. أيضًا إذا كنت تريد تسليم الواجب مبكرًا فلا بأس بذلك.

يجب كتابة جميع مجموعات الواجبات المنزلية باستخدام نوع من البرامج التي يمكنها إعادة إنتاج الرموز الرياضية. إذا كانت هناك بعض الرموز التي يفتقر إليها برنامجك ، فيمكنك ترك مساحة على واجبك المنزلي وكتابة هذه الرموز يدويًا. إذا كنت تريد تضمين رسم تخطيطي مرسوم يدويًا أو بعض الرسوم التوضيحية الأخرى في واجبك المنزلي ، فلا بأس بذلك ، ولكن يجب كتابة أي حسابات تقوم بها. يجب أن تتأكد من ترك وقت كافٍ قبل الفصل للحصول على نسخة مطبوعة لائقة من مهمتك. & quot الطابعة لا تعمل & quot ليس عذرا.

يجب تدبيس جميع واجبات الواجبات المنزلية التي تتجاوز صفحة واحدة معًا. لا يُقبل المشابك الورقية أو المشابك أو السحابات النحاسية أو الشريط اللاصق أو العلكة أو الثني الزائد أو أي شيء آخر قد تعتقد أنه ليس عنصرًا أساسيًا.

يجب أن يكون كل عمل خاص بك. يمكنك أن تتعاون مع كل ما تريد (وفي الواقع إنها فكرة ممتازة أن تفعل ذلك) في التمارين ذات الأرقام الفردية المخصصة كممارسة ، ولكن العمل على مجموعات الواجبات المنزلية المجمعة يجب أن يكون ملكك.

المواعيد النهائية. يرجى العلم بجميع المواعيد النهائية ذات الصلة.

القسم 9.1 المتجهات في مسافتين و 3 مسافات. بي دي إف

القسم 9.2 المنتج الداخلي (المنتج النقطي). بي دي إف

القسم 9.3 المنتج المتجه (المنتج المتقاطع). بي دي إف

القسم 9.4 الوظائف والحقول المتجهية والعددية. المشتقات. بي دي إف

منحنيات القسم 9.5. طول القوس. بي دي إف

القسم 9.7 تدرج حقل عددي. المشتقات الاتجاهية. بي دي إف

القسم 9.8 تباعد حقل متجه. بي دي إف

القسم 9.9 حليقة لحقل متجه. بي دي إف

القسم 10.1 تكاملات الخط. بي دي إف

القسم 10.2 استقلالية مسار تكاملات الخط. بي دي إف

القسم 10.4 نظرية جرين في المستوى. بي دي إف

القسم 10.5 أسطح تكاملات السطح. بي دي إف

القسم 10.6 التكاملات السطحية. بي دي إف

القسم 10.7 التكاملات الثلاثية. نظرية الاختلاف لغاوس. بي دي إف

القسم 10.8 تطبيقات أخرى لنظرية الاختلاف. بي دي إف

القسم 10.9 نظرية ستوكس. بي دي إف

القسم 13.1 الأعداد المركبة. طائرة معقدة. بي دي إف

القسم 13.2 الشكل القطبي والسلطات والجذور. بي دي إف

القسم 13.3 مشتق. وظائف تحليلية. بي دي إف

القسم 13.4 معادلات كوشي-ريمان. بي دي إف

القسم 13.5 الوظيفة الأسية. بي دي إف

القسم 14.1 تكاملات الخط المركب. بي دي إف

القسم 14.2 نظرية كوشي المتكاملة. بي دي إف

القسم 14.4 مشتقات وظائف التحليل. بي دي إف

القسم 15.1 المتواليات ، المتسلسلة ، اختبارات التقارب. بي دي إف

القسم 15.3 الوظائف التي تقدمها سلسلة الطاقة. بي دي إف

القسم 15.4 سلسلة تايلور وماكلورين. بي دي إف

القسم 16.1 سلسلة لوران. بي دي إف

القسم 16.2 التفردات والأصفار. ما لا نهاية. بي دي إف

القسم 16.3 طريقة دمج المخلفات. بي دي إف

القسم 17.1 رسم الخرائط المطابقة. بي دي إف

القسم 17.2 التحولات الجزئية الخطية. بي دي إف

القسم 18.1 المجالات الكهروستاتيكية. بي دي إف

القسم 18.2 استخدام الخرائط المطابقة. النمذجة. بي دي إف

القسم 18.3 مشاكل الحرارة. بي دي إف

القسم 18.5 صيغة بواسون المتكاملة للإمكانيات. بي دي إف

القسم 18.6 الخصائص العامة للوظائف التوافقية. بي دي إف

واجبات منزلية:
الواجب المنزلي رقم 1 (واجب يوم الخميس 09-09-10): الأقسام 9.1 و 9.2 و 9.3.
الواجب المنزلي رقم 2 (واجب الخميس 09-16-10): الأقسام 9.4 ، 9.5 ، 9.7.
الواجب المنزلي رقم 3 (واجب الخميس 09-23-10): الأقسام 9.8 و 9.9 و 10.1 و 10.2.
الواجب المنزلي رقم 4 (واجب الخميس 09-30-10): الأقسام 10.3 و 10.4 و 10.5 و 10.6.
الواجب المنزلي رقم 5 (واجب الخميس 10-07-10): الأقسام 10.7 و 10.8 و 10.9.


الواجب المنزلي رقم 6 (واجب الخميس 10-21-10): الأقسام 13.1 ، 13.2.

الواجب المنزلي رقم 7 (واجب الخميس 10-28-10): الأقسام 13.4 و 13.5 و 14.1 و 14.2.

الواجب المنزلي رقم 8 (واجب الخميس 11-04-10): الأقسام 14.3 و 14.4 و 15.1.

الواجب المنزلي رقم 9 (واجب الخميس 11-11-10): الأقسام 15.2 و 15.3 و 15.4.

الواجب المنزلي رقم 10 (واجب الثلاثاء 11-23-10): الأقسام 16.1 و 16.2 و 16.3.

الواجب المنزلي رقم 11 (واجب الخميس 10-02-12): الأقسام 16.4 و 17.1 و 17.2

الواجب المنزلي رقم 12 (اختياري ، واجب الثلاثاء 12-14-10): الأقسام 17.3 و 18.1 و 18.2 و 18.3

حلول الواجبات المنزلية:
الواجب المنزلي # 1 pdf
الواجب المنزلي # 2 pdf
الواجب المنزلي # 3 pdf
الواجب المنزلي # 4 pdf
الواجب المنزلي # 5 pdf

حلول الاختبار:
الامتحان 1 (10-07-10): الحلول
الامتحان 2 (11-18-10): الحلول


المكورات معقدة

حيث a هو المكون الحقيقي و b i هو المكون التخيلي ، يكون المُقارن المركب z * لـ z هو:

يمكن أيضًا الإشارة إلى الاتحاد المركب باستخدام z. لاحظ أن a + b i هو أيضًا المرافق المركب لـ a - b i.

المرافق المركب مفيد بشكل خاص في تبسيط قسمة الأعداد المركبة. هذا لأن أي عدد مركب مضروبًا في مرافقه ينتج عنه رقم حقيقي:

وبالتالي ، يمكن ضرب مسألة القسمة التي تتضمن أعدادًا مركبة في مرافق المقام لتبسيط المسألة.


نظرية الأعداد - أنواع الأعداد الرياضية

تلك الرموز أو الأرقام أو الأرقام العشرة البسيطة التي نتعلمها جميعًا في وقت مبكر من الحياة والتي تؤثر على حياتنا بطرق أكثر بكثير مما نتخيله. هل تساءلت يومًا كيف ستكون حياتنا بدون هذه الأرقام العشرة الأنيقة والمجموعة اللانهائية من الأرقام الأخرى التي يمكنهم إنشاؤها؟ أعياد الميلاد ، والأعمار ، والطول ، والوزن ، والأبعاد ، والعناوين ، وأرقام الهواتف ، وأرقام لوحات الترخيص ، وأرقام بطاقات الائتمان ، وأرقام التعريف الشخصي ، وأرقام الحسابات المصرفية ، وأرقام محطات الراديو / التلفزيون ، والوقت ، والتواريخ ، والسنوات ، والاتجاهات ، وأوقات الاستيقاظ ، والنتائج الرياضية ، الأسعار ، المحاسبة ، التسلسلات / سلسلة الأرقام ، المربعات السحرية ، الأرقام المضلعة ، العوامل ، المربعات ، المكعبات ، أرقام فيبوناتشي ، الأرقام الكاملة والناقصة والوفرة ، والقائمة تطول إلى ما لا نهاية. لا يستطيع المهندسون والمحاسبون وكتبة المتاجر والمصنعون والصرافون والمصرفيون ووسطاء الأوراق المالية والنجارون وعلماء الرياضيات والعلماء وما إلى ذلك أن يعيشوا بدونهم. بمعنى ما ، يمكن أن نستنتج بسهولة أننا لن نتمكن من العيش بدونهم. من المثير للدهشة أن هناك مجموعة لا حصر لها من العجائب الخفية المحيطة أو المنبثقة عن هذه الرموز المألوفة التي نستخدمها كل يوم ، الأرقام الطبيعية.

بمرور الوقت ، تم تصنيف العديد من المصفوفات أو الأنماط اللانهائية للأرقام المشتقة من الأرقام العشرة الأساسية أو تصنيفها إلى مجموعة متنوعة من أنواع الأرقام وفقًا لبعض الأغراض التي تخدمها ، أو القاعدة الأساسية التي تتبعها ، أو الخاصية التي تمتلكها . العديد ، إن لم يكن كلهم ​​، فريدون بشكل رائع ويعملون على توضيح الجمال الطبيعي الفائق والعجب لأرقامنا كما هو مستخدم في كل من الرياضيات الكلاسيكية والترفيهية

من أجل تحفيز الاهتمام الأوسع بنظرية الأعداد والرياضيات الترفيهية ، ستسعى هذه المجموعة إلى تقديم تعريفات أساسية وأوصاف موجزة للعديد من أنواع الأرقام التي غالبًا ما يتم مواجهتها في المجال الواسع للرياضيات الترفيهية. لن تكون أوصاف نوع الأرقام التالية شاملة بالتفصيل لأن المساحة محدودة وبعضها قد يحتاج إلى أحجام لتغطيتها بالتفصيل. يتم توفير قائمة مراجع القراءة الممتازة لأولئك الذين يرغبون في معرفة المزيد عن أي نوع رقم محدد أو استكشاف الآخرين غير المدرجة. نأمل بصدق أن تحفزك المواد الواردة هنا على القراءة والاستكشاف بشكل أكبر. آمل أيضًا أنه بعد قراءة واستيعاب وفهم المواد المعروضة هنا ، ستكون قد استمتعت بالتجربة وأنك لن تنطق أبدًا بتلك الكلمات الرهيبة التي لا تُنسى ، "أنا أكره الرياضيات".

يتم تقديم بعض التعريفات الأساسية للمصطلحات التي يتم مواجهتها عادةً في الفصل الدراسي أولاً.

عدد صحيح - أي من الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة ، . - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, . الأعداد الصحيحة الموجبة ، 1 ، 2 ، 3. تسمى الأعداد الطبيعية أو أرقام العد. عادةً ما يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة بواسطة Z أو Z +

أرقام - الرموز العشرة 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 ، تُستخدم لإنشاء أرقام في نظام الأرقام العشرية الأساسي 10.

الأعداد - الرموز المستخدمة للدلالة على الأعداد الطبيعية. الأرقام العربية 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 هي تلك المستخدمة في نظام الأرقام الهندوسية العربية لتعريف الأرقام.

الأعداد الطبيعية - مجموعة الأعداد ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17. التي نراها ونستخدمها كل يوم. غالبًا ما يشار إلى الأعداد الطبيعية على أنها أرقام العد والأعداد الصحيحة الموجبة.

الأعداد الكلية - الأعداد الطبيعية زائد الصفر.

أرقام نسبية - أي رقم يكون إما عددًا صحيحًا "أ" أو يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين ، أ / ب. قد يكون البسط ، "a" ، أي عدد صحيح ، وقد يكون المقام ، "b" ، أي عدد صحيح موجب أكبر من الصفر. إذا كان المقام هو الوحدة ، ب = 1 ، تكون النسبة عددًا صحيحًا. إذا كانت "b" غير 1 ، فإن a / b عبارة عن كسر.

الأعداد الكسرية - أي رقم يمكن التعبير عنه بحاصل قسمة رقمين كما في a / b ، "b" أكبر من 1 ، حيث يسمى "a" بالبسط و "b" يسمى المقام. إذا كان "a" أصغر من "b" فهو كسر صحيح. إذا كان "a" أكبر من "b" فهو كسر غير صحيح يمكن تقسيمه إلى عدد صحيح وكسر صحيح.

أرقام غير منطقية - أي رقم لا يمكن التعبير عنه بعدد صحيح أو نسبة عددين صحيحين. يمكن التعبير عن الأعداد غير النسبية فقط ككسور عشرية حيث تستمر الأرقام إلى الأبد بدون نمط متكرر. بعض الأمثلة على الأرقام غير المنطقية

الأعداد التجاوزية - أي رقم لا يمكن أن يكون جذرًا لمعادلة كثيرة الحدود ذات معاملات عقلانية. إنها مجموعة فرعية من أرقام غير منطقية أمثلة منها Pi = 3.14159. و e = 2.7182818. أساس اللوغاريتمات الطبيعية.

أرقام حقيقية - مجموعة الأعداد الحقيقية بما في ذلك جميع الأعداد المنطقية وغير المنطقية.

الأرقام غير النسبية هي أرقام مثل

تتضمن الأعداد النسبية الأعداد الصحيحة (0 ، 1 ، 2 ، 3 ،.) ، الأعداد الصحيحة (. - 2 ، - 1 ، 0 ، 1 ، 2 ،.) ، والكسور ، والأعداد العشرية المتكررة والنهائية.

ضع عليها كل الأعداد الصحيحة 1،2،3،4،5،6،7. إلخ

ثم ضع جميع السلبيات للأعداد الصحيحة على يسار 0

ثم ضع كل الكسور.

ثم ضع جميع الكسور العشرية [بعض الكسور العشرية ليست كسورًا]

الآن لديك ما يسمى "خط الأعداد الحقيقي"

طريقة الحصول على رقم غير "حقيقي" هي محاولة إيجاد الجذر التربيعي لـ - 1

لا يمكن أن تكون 1 لأن 1 تربيع يساوي 1 ، وليس -1

لا يمكن أن يكون -1 لأن مربع -1 هو 1 وليس -1

لذلك لا يوجد رقم على خط الأعداد الخاص بك

والأرقام الجديدة يجب وضعها في مكان ما.

يتم سرد أنواع الأرقام التي تم إدخالها حاليًا و / أو المخطط إدخالها أدناه وسيتم تحديثها عند إدخال إدخالات جديدة في المستقبل. عند الاقتضاء ، وإذا سمح الوقت ، سيتم توسيع بعض تعريفات / أوصاف الأرقام بشكل أكبر لتوفير معلومات إضافية.

وفير ، جبري ، ودي ، ترتيب ، آلي ، ثنائي ، كاردينال ، كتالوني ، مركب ، مركب ، متطابق ، عد ، تكعيبي ، عشري ، ناقص ، زوجي ، عامل ، عاملي ، فيرمات ، فيبوناتشي ، مجسم ، كسري ، ودود ، توليد ، جنومون ، ذهبي ، دائري ، سعيد ، هاردي-رامانوجان ، هيرونيان ، خيالي ، لانهائي ، عدد صحيح ، غير عقلاني ، مرسين ، مونوديجيت ، نرجسي ، طبيعي ، مستطيل ، ثماني السطوح ، فردي ، ترتيبي ، طفيلي ، بيل ، خماسي ، مثالي ، ثابت ، متعدد الأضلاع ، بروني ، هرمي ، فيثاغورس ، شبه كامل ، عشوائي ، عقلاني ، حقيقي ، مستطيل ، رئيس نسبيًا ، شبه كامل ، متسلسل ، اجتماعي ، مربع ، فائق ، علامة ، رباعي السطوح ، متسامي ، مثلث ، جزء وحدة ، كامل.

تشكل العديد من الأرقام أنماطًا فريدة تُستخدم غالبًا في حل المشكلات الرياضية. عندما تكون الأنماط المميزة قابلة للتطبيق ، سيتم إعطاء الأرقام العشرة الأولى من الأنماط جنبًا إلى جنب مع العلاقات أو المعادلات المحددة ، والتي ستمكنك من العثور على أي رقم في النموذج.

رقم ن التي مجموع القواسم σ(ن) & GT2ن، أو بشكل مكافئ ، مجموع القواسم الصحيحة (أو مجموع القسمة) س(ن) & GTن.

العدد الوفير هو رقم ن التي مجموع القواسم σ(ن) & GT2ن، أو بشكل مكافئ ، مجموع القواسم الصحيحة (أو مجموع القسمة) س(ن) & GTن.

الأعداد الوفيرة هي جزء من عائلة الأعداد التي تكون إما ناقصة أو كاملة أو وفيرة.

الأعداد الوفيرة هي الأرقام التي يكون فيها المجموع Sa (N) لأجزاء / قساماته أكبر من الرقم نفسه Sa (N) & gt N أو S (N) & gt 2N. (في لغة علماء الرياضيات اليونانيين ، تم تعريف قواسم العدد N على أنها أي عدد صحيح أصغر من N ينتج عنه ، عند تقسيمه إلى N ، أعدادًا صحيحة. عوامل / مقسومات الرقم N ، ناقص الرقم نفسه ، هي يشار إليها على أنها أجزاء القسمة ، أو قسامات القسمة ، أو القواسم المناسبة للعدد.) وبالمقابل ، يكون N أيضًا وفيرًا إذا كان مجموع قساماته ، S (N) ، لـ "كل" مقسوماته أكبر من 2N.

Sa (N) - & GT1..1..1..3..1. 6. 1. 7. 4. 8. 1. 16. 1. 10. 9. 15. 1. 21. 1. 22..11..12. 1. 36

. 12 و 18 و 20 و 24 متوفرة بكثرة.

يمكن بسهولة ملاحظة أنه باستخدام تجميع أجزاء القسمة ، sa (24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36 & gt N = 24 بينما s (24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60 & gt 2N = 48 ، مما يجعل 24 متوفرًا باستخدام أي من التعريفين.

21 فقط من الأرقام من 1 إلى 100 متوفرة بكثرة. الرقم 945 هو أول رقم فردي وفير.

كل عدد صحيح زوجي أكبر من 46 يمكن التعبير عنه بمجموع رقمين وافرين.

كل عدد صحيح أكبر من 83159 يمكن التعبير عنه بمجموع رقمين وافرين.

أي مضاعف لعدد وفير وفير.

العدد الأولي أو أي قوة لعدد أولي ناقص. قواسم العدد الكامل أو الناقص ناقصة.

الأعداد الوفيرة أقل من 100 هي 20 و 24 و 30 و 36 و 40 و 42 و 48 و 54 و 56 و 60 و 66 و 70 و 72 و 78 و 80 و 84 و 88 و 90 و 96.

(انظر الكمال ، شبه كامل ، مضاعف الكمال ، شبه كامل ، ناقص ، أقل نقص ، وفرة للغاية)

الأعداد الجبرية هي الحلول العددية الحقيقية أو المعقدة للمعادلات متعددة الحدود في النموذج:

المعاملات أ ، ب ، ج ، د ،. p ، q ، هي أعداد صحيحة أو كسور. جميع الأعداد المنطقية جبرية بينما بعض الأعداد غير المنطقية جبرية.

جزء القسمة هو أي مقسوم على رقم ، لا يساوي الرقم نفسه. غالبًا ما يشار إلى القواسم على أنها قواسم مناسبة. الأجزاء القسمة للرقم 24 هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 8 و 12 ..

عادةً ما يتم تطبيق رقم مثالي تقريبًا على قوى 2 نظرًا لأن مجموع أجزاء القسمة هو

أو أقل من أن يكون رقمًا مثاليًا. ويترتب على ذلك أن أي قوة لـ 2 هي رقم ناقص

تشكل الأرقام الأبجدية cryptarithms حيث يتم تعيين مجموعة من الأرقام للحروف التي عادة ما توضح بعض التفكير الهادف. يمكن أن تشكل الأرقام مشكلة جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة. ظهرت واحدة من أوائل العملات المشفرة في عام 1924 في شكل مشكلة إضافة الكلمات التي تهدف إلى تمثيل رسالة الطالب من الكلية إلى الوالدين. قراءة اللغز إرسال + المزيد = المال. كانت الإجابة 9567 + = 1085 = 10652. بالطبع عليك استخدام المنطق لاشتقاق الأرقام التي يمثلها كل حرف ..

الأرقام الودية هي أزواج من الأرقام ، كل منها هو مجموع قسامات القسمة الأخرى. على سبيل المثال ، 220 و 284 عبارة عن أرقام ودية في حين أن جميع قواسم القسمة على 220 ، أي 110 ، 55 ، 44 ، 22 ، 10 ، 5 ، 4 ، 2 ، 1 تضيف ما يصل إلى 284 وجميع قسامات القسمة على 284 ، أي ، مجموع 142 ، 71 ، 4 ، 2 ، 1 يصل إلى 220. صحيح أيضًا لأي رقمين وديين ، N1 و N2 ، هو حقيقة أن مجموع جميع العوامل / القواسم لكليهما ، Sf (N1 + N2) = N1 + N2. بطريقة أخرى مذكورة ، Sf (220 + 284) = 220 + 284 = 504. الأرقام الودية الأخرى هي:

هناك أكثر من 1000 زوج ودّي معروف. يشار إلى الأرقام الودية أحيانًا بالأرقام المألوفة.

توجد عدة طرق لاشتقاق الأرقام الودية ، ولكن ليس كلها للأسف. ابتكر عالم رياضيات عربي طريقة واحدة. لقيم n أكبر من 1 ، تأخذ الأرقام الودية الشكل:

إذا كانت x و y و z أعداد أولية. n = 2 ينتج x = 11 و y = 5 و z = 71 وكلها أعداد أولية وبالتالي ينتج عنها زوج الأرقام الودي 220/284. n = 3 ينتج x = 23 ، y = 11 و z = 287 لكن 287 مركب ، 7x41. n = 4 تنتج x = 47 ، y = 23 و z = 1151 ، كلها أعداد أولية ، وبالتالي ينتج عنها زوج ودي من 17،296 و 18،416. عند مراجعة الأزواج الودية القليلة الموضحة سابقًا ، من الواضح أن هذه الطريقة لا تنتج كل الأزواج الودية.

إذا لم يتم استخدام الرقم 1 في إضافة قسامات القسمة لرقمين ، ولا تزال قسامات القسمة المتبقية لكل رقم تضيف ما يصل إلى الرقم الآخر ، فإن الأرقام تسمى شبه ودية. على سبيل المثال ، مجموع قسامات القسمة 48 ، باستثناء 1 ، هو 75 بينما مجموع قسامات القسمة 75 ، باستثناء 1 ، هو 48.

كمسألة معلومات عامة:

يتم الحصول على مجموع جميع العوامل / القواسم للرقم N بواسطة

والتي عند تطبيقها على مثال 60 = 2 ^ 2x3x5 ينتج عنها

. سادس (60) = (2^3 - 1) x (3^2 - 1) x (5^2 - 1) = 7 × 4 × 6 = 168.

بطريقة أخرى ، يتم إعطاء مجموع عوامل الرقم N بواسطة

والتي عند تطبيقها على مثال

كما ذكرنا سابقًا ، فإن مجموع عوامل القسمة / القواسم هو مجموع جميع العوامل / القواسم مطروحًا منها الرقم نفسه.

رقم سفر الرؤيا ، 666 ، الذي يشار إليه غالبًا برقم الوحش ، يُشار إليه في الكتاب المقدس ، رؤيا ١٣:١٨.

في حين أن المعنى الفعلي أو مدى صلة الرقم لا يزال غير واضح ، فإن الرقم نفسه له بعض الخصائص المثيرة للاهتمام بشكل مدهش.

مجموع أول 36 رقمًا موجبًا هو 666 ، مما يجعله الرقم الثلاثي السادس والثلاثين.

مجموع مربعات أول سبعة أعداد أولية هو 666.

ينتج عن ضرب أضلاع المثلث الأيمن البدائي 12-35-37 في 18 جوانب غير أولية من 216-630-666.

الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو حقيقة أن هذه الجوانب يمكن كتابتها بصيغة نظرية فيثاغورس:

أرقام الترتيب ، التي يطلق عليها أكثر شيوعًا أرقام التقليب ، أو ببساطة التباديل ، هي عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب أو ترتيب عدد من الأشياء. وهي تتطور عادةً من السؤال عن عدد الترتيبات الممكنة للكائنات "n" باستخدام جميع الكائنات "n" أو الكائنات "r" في وقت واحد. نحن نعيّن التباديل لـ "n" الأشياء التي يتم أخذها "n" في وقت كـ نصن وتباديل "ن" الأشياء التي اتخذت "ص" في وقت نصص حيث تشير P إلى التباديل ، و "n" تعني عدد الأشياء المعنية ، و "r" أقل من "n". لإيجاد عدد التباديل للأشياء المتباينة "n" المأخوذة "n" في المرة الواحدة ، تكون الصيغة هي نصن = ن! وهو عامل "n" والذي يعني:

مثال: كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب الحروف A & amp B. بوضوح 2 وهو 2 × 1 = 2 ، أي AB و BA.

كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب الأحرف A و B و amp C في مجموعات من ثلاثة؟ بوضوح 3ص3 = 3 × 2 × 1 = 6 ، وهي ABC و CBA و BAC و CAB و ACB و BCA.

كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب A و B و C و D في مجموعات من أربعة؟ بوضوح 4ص4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

للعثور على عدد التباديل للأشياء غير المتشابهة "n" المأخوذة "r" في كل مرة ، تكون الصيغة:

مثال: كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب الأحرف A و B و C و D باستخدام 2 في كل مرة؟ لدينا 4ص4 = 4 × (4-2 + 1) = 4 × 3 = 12 وهي AB و BA و AC و CA و AD و DA و BC و CB و BD و DB و CD و DC.

كم عددًا مكونًا من 3 خانات يمكن تكوينه من الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 ، بدون رقم مكرر؟ إذن لدينا 6ص3 = 6 × 5 × (6-3 + 1) = 6 × 5 × 4 = 120.

كم عدد الترتيبات المكونة من 3 أحرف يمكن إجراؤها من 26 حرفًا أبجديًا بالكامل بدون أحرف متكررة؟ لدينا الآن 26ص3 = 26 × 25 × (26-3 + 1) = 26 × 25 × 24 = 15600.

أخيرًا ، يدخل أربعة أشخاص سيارة بها ستة مقاعد. كم عدد الطرق التي يمكن أن يجلسوا بها؟ 6ص4 = 6 × 5 × 4 × (6-4 + 1) = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

سيناريو آخر للتبديل هو السيناريو الذي ترغب في العثور فيه على تباديل الأشياء "n" ، التي يتم أخذها جميعًا في وقت واحد ، عندما تكون الأشياء "p" من نوع واحد ، "q" أشياء من نوع آخر ، "r" أشياء من النوع الثالث والباقي مختلفون. دون الخوض في الاشتقاق ،

مثال ، كم عدد التبديلات المختلفة الممكنة من حروف كلمة لجنة مجتمعة؟ هناك 9 أحرف ، 2 منها m و 2 t و 2 هي e و 1 c و 1 o و 1 i. لذلك ، فإن عدد التبديلات الممكنة لهذه الأحرف التسعة هو:

الأرقام ذات الشكل الآلي هي أعداد من "n" الأرقام التي تنتهي مربعاتها بالرقم نفسه. يجب أن تنتهي هذه الأرقام بالرقم 1 أو 5 أو 6 لأن هذه هي الأرقام الوحيدة التي تنتج منتجاتها 1 أو 5 أو 6 في خانة الوحدات. على سبيل المثال ، مربع 1 يساوي 1 ، ومربع 5 يساوي 25 ، ومربع 6 يساوي 36.

ماذا عن الأعداد المكونة من رقمين والتي تنتهي بـ 1 أو 5 أو 6؟ من المعروف أن جميع الأعداد المكونة من رقمين المنتهية بـ 5 تؤدي إلى رقم ينتهي بـ 25 مما يجعل 25 رقمًا آليًا مكونًا من رقمين ومربع 625. لن ينتج عن أي رقم مكون من رقمين آخر ينتهي بـ 5 رقمًا ذاتي الشكل.

هل هناك رقم آلي مكون من رقمين ينتهي بالرقم 1؟ نعلم أن حاصل ضرب 10A + 1 و 10A + 1 هو 100A 2 + 20A + 1. يجب أن يكون "A" رقمًا بحيث ينتج 20A عددًا يساوي رقمه "A". بالنسبة إلى "A" = 2 ، 2 × 20 = 40 و 4 ليست 2. بالنسبة إلى "A" = 3 ، 3 × 20 = 60 و 6 ليست 3. بالاستمرار على هذا النحو ، لم نجد أي رقم مكون من رقمين ينتهي بـ 1.

هل هناك رقم آلي مكون من رقمين وينتهي بـ 6؟ مرة أخرى ، نعلم أن حاصل ضرب 10A + 6 و 10A + 6 هو 100A 2 + 120A + 36. يجب أن يكون "A" رقمًا بحيث ينتج 120A رقمًا مضافًا إليه رقم عشرات إلى 3 يساوي "A". بالنسبة إلى "A" = 2 ، 2 × 120 = 240 و 4 + 3 = 7 وهي ليست 2. بالنسبة إلى "A" = 3 ، 3 × 120 = 360 و 6 + 3 = 9 وهي ليست 3. الاستمرار على هذا النحو من خلال A = 9 ، بالنسبة لـ "A" = 7 ، نحصل على 7 × 120 = 840 و 4 + 3 = 7 = "أ" ، مما يجعل 76 الرقم الوحيد الآخر المكون من رقمين والذي يكون مربعه 5776.

من خلال نفس العملية ، يمكن إظهار أن مربعات كل رقم تنتهي بـ 625 أو 376 ستنتهي بـ 625 أو 376.

تسلسل المربعات المنتهية بـ 25 هي 25 ، 225 ، 625 ، 1225 ، 2025 ، 3025 ، إلخ. يمكن اشتقاق الرقم n المربع المنتهي بـ 25 مباشرة من N (n) 2 = 100n (n - 1) + 25. ( هذا التعبير مشتق من سلسلة الفروق المحدودة للمربعات.)

الأعداد الثنائية هي الأعداد الطبيعية المكتوبة في الأساس 2 بدلاً من الأساس 10. بينما يستخدم نظام الأساس 10 10 أرقام ، يستخدم النظام الثنائي رقمين فقط ، أي 0 و 1 ، للتعبير عن الأعداد الطبيعية في تدوين ثنائي. الأرقام الثنائية 0 و 1 هي الأرقام الوحيدة المستخدمة في أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة لتمثيل أي رقم أساس 10. ينبع هذا من حقيقة أن أرقام التسلسل الثنائي المألوف ، 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، إلخ ، يمكن جمعها لتمثيل كل رقم. للتوضيح ، 1 = 1 ، 2 = 2 ، 3 = 1 + 2 ، 4 = 4 ، 5 = 1 + 4 ، 6 = 2 + 4 ، 7 = 1 + 2 + 4 ، 8 = 8 ، 9 = 1 + 8 ، 10 = 2 + 8 ، 11 = 1 + 2 + 8 ، 12 = 4 + 8 ، وهكذا. بهذه الطريقة ، يمكن تمثيل أرقام العد في الكمبيوتر باستخدام الأرقام الثنائية فقط من 0 و 1 على النحو التالي.

عدد B I N A R Y S E Q U E N C E
128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 ب
2 1 0 أنا
3 1 1 ن
4 1 0 0 أ
5 1 0 1 ص
6 1 1 0 ص
7 1 1 1
8 1 0 0 0 ن
9 1 0 0 1 ا
10 1 0 1 0 تي
11 1 0 1 1 أ
12 1 1 0 0 تي
13 1 1 0 1 أنا
14 1 1 1 0 ا
15 1 1 1 1 ن
76 1 0 0 1 1 0 0
157 1 0 0 1 1 0 1 1

كما ترى ، يشير موقع رقم الآحاد في التمثيل الثنائي إلى أرقام التسلسل الثنائي التي سيتم إضافتها معًا للحصول على رقم الأساس 10 للفائدة.

الرقم الأساسي هو رقم يحدد عدد العناصر الموجودة في مجموعة أو مجموعة من العناصر. عادةً ، يُشار إلى مجموعة كاملة من العناصر باسم "مجموعة" العناصر ويشار إلى العناصر الموجودة داخل المجموعة باسم "عناصر" المجموعة. على سبيل المثال ، يتم تحديد عدد أو مجموعة أو مجموعة اللاعبين في فريق البيسبول من خلال الرقم الأساسي 9. يتم تحديد المجموعة المكونة من 200 طالب في المدرسة الثانوية في فصل التخرج من خلال الرقم الأساسي 200. (انظر الأرقام الترتيبية والعلامة) أعداد.)

الأرقام الكاتالونية هي واحدة من العديد من المتواليات الخاصة للأرقام المشتقة من مشاكل التوافقية في الرياضيات الترفيهية. تتعامل التوافقيات مع اختيار العناصر من مجموعة من العناصر التي تتم مواجهتها عادةً ضمن موضوعات الاحتمالات والتوليفات والتباديل وأخذ العينات. الأرقام الكاتالونية المحددة هي 1 ، 1 ، 2 ، 5 ، 14 ، 42 ، 132 ، 429 ، 1430 ، 4862 ، 16796 وما إلى ذلك مشتقة من

هذه المجموعة الخاصة من الأرقام مشتقة من عدة مسائل اندماجية ، إحداها ما يلي.

تجمع عدد "2n" من الناس على طاولة مستديرة. كم عدد الأشخاص الذين يمكن إجراؤهم بدون عبور أو مصافحة ، أي عدم تقاطع أزواج من الأسلحة مع بعضها البعض عبر الطاولة؟ ستقودك بعض المخططات السريعة للدوائر مع مجموعات من النقاط والخطوط إلى الإجابات الثلاثة الأولى بسهولة. شخصان ، مصافحة واحدة. أربعة أشخاص ، مصافحتان. ستة أشخاص ، 5 مصافحات. بقليل من الصبر والمثابرة ، سيقودك ثمانية أشخاص إلى 14 مصافحة. أبعد من ذلك ، ربما يكون من الأفضل الاعتماد على التعبير المعطى.

أرقام الاختيار ، التي يطلق عليها بشكل أكثر شيوعًا أرقام المجموعة ، أو مجرد مجموعات ، هي عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عدد من الأشياء أو اختيارها أو تجميعها. المجموعات تتعلق فقط بتجميع العناصر وليس ترتيب تلك العناصر. تتطور عادةً من السؤال: كم عدد مجموعات الكائنات "n" الممكنة باستخدام جميع الكائنات "n" أو الكائنات "r" في المرة الواحدة؟ للعثور على عدد تركيبات "n" أشياء غير متشابهة مأخوذة "r" في كل مرة ، تكون الصيغة:

والتي يمكن ذكرها كمضروب "n" مقسومًا على ناتج مضروب "r" مرات (n - r).

مثال: كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها دمج الأحرف A و B و C و D في مجموعات من ثلاثة؟ بوضوح،

وهي ABC و ABD و ACD و BCD. (لاحظ أن ACB و BAC و BCA و CAB و CBA كلها تركيبة واحدة مرتبة بشكل مختلف. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار لجنة مكونة من ثلاثة أشخاص من مجموعة مكونة من 12 شخصًا؟

كم عدد المصافحات التي ستحدث بين ستة أشخاص في الغرفة عندما يتصافح كل منهم مع جميع الأشخاص الآخرين في الغرفة مرة واحدة؟ هنا،

لاحظ أنه لا يوجد اعتبار لترتيب العناصر أو ترتيبها ولكن فقط المجموعات.

طريقة أخرى لعرض المجموعات على النحو التالي. ضع في اعتبارك عدد المجموعات المكونة من 5 أحرف مأخوذة من 3 أحرف في كل مرة. ينتج عن هذا:

افترض الآن أنك بدل (رتب) حرف r = 3 في كل من المجموعات العشر بكل الطرق الممكنة. كل مجموعة ستنتج r! التباديل. السماح x = 5ج3 في الوقت الحالي ، سيكون لدينا إجمالي x (r!) تباديل مختلفة. ومع ذلك ، يمثل هذا الإجمالي جميع التباديل (الترتيبات) الممكنة لعدد n من الأشياء التي تم أخذها r في وقت واحد ، والتي تظهر تحت أرقام الترتيب ويتم تعريفها على أنها نصص. وبالتالي،

باستخدام لجنة مكونة من 3 أشخاص من 12 مثالًا من أعلى ،

ضع في اعتبارك ما يلي: كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها دخول سيارة ذات 4 أبواب؟ من الواضح أن هناك 4 طرق مختلفة للدخول إلى السيارة. طريقة أخرى للتعبير عن هذا هي:

إذا تجاهلنا وجود المقاعد الأمامية لغرض هذا المثال ، فكم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك الخروج بها من السيارة على افتراض أنك لا تخرج من الباب الذي أدخلته؟ من الواضح أن لديك 3 خيارات. يمكن التعبير عن هذا أيضًا على النحو التالي:

للمضي قدمًا في هذه الخطوة ، كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها الدخول إلى السيارة من باب والخروج من باب آخر؟ الدخول من خلال الباب رقم 1 يتركك مع 3 أبواب أخرى للخروج من خلالها. توجد نفس النتيجة إذا قمت بالدخول من خلال أي من الأبواب الثلاثة الأخرى. لذلك ، فإن العدد الإجمالي لطرق الدخول والخروج في ظل الشروط المحددة هو:

مثال آخر على هذا النوع من المواقف هو كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار لجنة مكونة من 4 فتيات و 3 فتيان من فئة مكونة من 10 فتيات و 8 فتيان؟ وينتج عنه:

راجع أرقام الترتيب لتحديد عدد الترتيبات الممكنة بين العناصر.

الرقم الأولي الدائري هو الرقم الذي يظل عددًا أوليًا بعد إعادة تحديد موضع أول رقم إلى نهاية العدد بشكل متكرر. على سبيل المثال ، 197 و 971 و 719 كلها أعداد أولية. وبالمثل ، فإن 1193 و 1931 و 9311 و 3119 كلها أعداد أولية. الأرقام الأخرى التي تتوافق مع التعريف هي 11 و 13 و 37 و 79 و 113 و 199 و 337.

يمكن أن تحتوي الأعداد الأولية المكونة من رقمين أو أكثر على الأرقام 1 أو 3 أو 7 فقط لأنه إذا كان 0 أو 2 أو 4 أو 5،6 أو 8 جزءًا من الرقم ، في خانة الوحدات ، فسيكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 أو 5.

يُعتقد أن هناك عددًا لا حصر له من الأعداد الأولية الدائرية ولكن لم يتم إثباتها بعد.

تتشكل الأعداد المركبة من خلال إضافة رقم حقيقي ورقم وهمي ، والشكل العام له هو a + bi حيث i =

= العدد التخيلي و a و b عددان حقيقيان. يُقال أن "a" هو الجزء الحقيقي من العدد المركب و b الجزء التخيلي.

ربما يكون أسهل رقم يتم تحديده بعد الأعداد الأولية.

تنص النظرية الأساسية للحساب على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو رقم مركب. كما نعلم ، فإن الرقم الأولي "p" هو أي رقم موجب القواسم الوحيدة له هي 1 و p (أو -1 و -p). وبالتالي ، بحكم التعريف ، أي رقم ليس عددًا أوليًا يجب أن يكون رقمًا مركبًا.

الرقم المركب هو أي رقم يحتوي على 3 عوامل / قواسم أو أكثر ويكون نتيجة ضرب الأعداد الأولية معًا. معظم الأعداد الصحيحة الموجبة هي نتاج أعداد أولية أصغر.

أمثلة: 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 15 ، 16 ، 18 ، 20 ، 22 ، 24 ، 25 ، 26 ، 27 ، 28 ، 30 ، 32 ، 33 ، 34 ، 35 ، 36 ، 38 ، 39 ، 40 ، 42 ، 44 ، 45 ، 46 ، 48 ، 49 ، 50 ، إلخ ، كلها أعداد مركبة ، كل منها قابل للقسمة على الأعداد الأولية الصغرى. كل رقم يقبل القسمة على 2 ، العدد الوحيد الذي يقبل القسمة ، يكون مركبًا.

يمكن تقسيم كل رقم مركب إلى مجموعة فريدة من العوامل الأولية وأسسها.

أمثلة: 210 = 2 × 3 × 5 × 7495 = 3 2 × 5 1 × 11 1 أو 4500 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 = 2 2 × 3 2 × 5 3. هذا هو العامل الوحيد الممكن للعدد 210.

إذا كان عدد موجب N يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من

، الرقم N مركب.

تنص نظرية ويلسون على أنه لكل عدد أولي "p" ، [(ع + 1)! + 1] يقبل القسمة بالتساوي على "p". كما تبين أن العكس صحيح أيضًا في أن كل عدد صحيح "N" يقسم بالتساوي [(N + 1)! + 1] عدد أولي. الجمع بين هذه يؤدي إلى النظرية العامة الشهيرة التي مفادها أن الشرط الضروري والكافي أن يكون عددًا صحيحًا "N" عددًا أوليًا هو أن "N" يقسم بالتساوي [(n + 1)! + 1]. على العكس من ذلك ، إذا كانت "N" لا تقسم [(N + 1)! + 1] ، "N" مركب.

لسوء الحظ ، فإن الاستخدام العملي لهذه الطريقة ضئيل بسبب الأعداد الكبيرة التي تمت مواجهتها مع ارتفاع N.

يُقال أن الرقم N متطابق إذا كان هناك عددان صحيحان ، x و y ، ينتج عن ذلك التعبيران x 2 + Ny 2 و x 2 - Ny 2 مربعان كاملان. أصغر رقم مطابق معروف هو 5 وهو ما يحقق 41 2 + 5 (12 2) = 49 2 و 41 2-5 (12 2) = 31 2. ينتج عن استخدام مربع العدد السالب حل آخر هو 2 2 + 5 (1 2) = 3 2 و 2 2 - 5 (1 2) = (-1) 2. في حين أن هناك العديد من الأرقام المتطابقة ، فإن العثور عليها مهمة شاقة. غالبًا ما تكون التعبيرات x 2 + Ny 2 و x 2 - Ny 2 مفيدة في حل العديد من المشكلات في الرياضيات الترفيهية.

أرقام العد هي مجموعة الأعداد الصحيحة المألوفة ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11. التي نراها ونستخدمها كل يوم. (يتم تضمين 0 أحيانًا.) غالبًا ما يشار إلى مجموعة أرقام العد بالأرقام الطبيعية.

العدد التكعيبي هو القوة الثالثة لرقم كما في a x a x a = a 3. قد لا يتفاجأ أولئك المطلعون على تطور المربعات من إضافة أعداد فردية متتالية من اكتشاف كيفية تطور المكعبات من جمع الأرقام الفردية أيضًا. من الواضح أن المكعب n هو ببساطة n 3. يمكن اشتقاق المكعبات بطرق أخرى أيضًا:

مكعب أي عدد صحيح ، "n" ، هو مجموع سلسلة الأعداد الفردية التي تبدأ بـ (n 2 - n + 1) وتنتهي بـ (n 2 + n - 1). مثال: بالنسبة إلى n = 6 ، (n 2 - n + 1) = 31 و 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6 3.

ن 3 (ن) 3 ن 3 (ن 2 - ن + 1) (ن 2 + ن - 1)
1 1 3 = 1 1 = 1(1)
2 2 3 = 8 3 + 5 = 2(1 + 2 + 1)
3 3 3 = 27 7 + 9 + 11 = 3(1 + 2 + 3 + 2 + 1)
4 4 3 = 64 13 + 15 + 17 + 19 = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1)
5 5 3 = 125 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 5(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21

اشطب كل رقم ثالث يعطينا

1. 2. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 13. 14. 16. 17. 19. 20

1. 3. 7. 12. 19. 27. 37. 48. 61. 75. 91. 108. 127..147

اشطب كل رقم ثاني يعطينا

آخر سطر من الأرقام هو المكعبات الكاملة.

أول عشرة مكعبات هي 1 و 8 و 27 و 64 و 125 و 216 و 343 و 512 و 729 و 1000.

مجموع أول مكعبات n بدءًا من 1 هو 1 3 + 2 3 + 3 3 +. + ن 3.

والذي ، بشكل مفاجئ ، هو مربع الرقم الثلاثي التاسع ، المحدد بواسطة Tn = n (n + 1) / 2.

مجموع مكعبات أول n عدد فردي هو 2n 4 - n 2 = n 2 (2n 2-1).

مجموع مكعبات الأعداد الزوجية الأولى من n هو 2n 4 + 4n 3 + 2n 2 = 2n 2 (n + 1) 2.

مجموع مكعبات n الأولى ، 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + n 3 يساوي مربع مجموع أول n من الأعداد الصحيحة. هكذا ، 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + ن 3 = (1 + 2 + 3 + 4 +. + ن) 2.

مكعب أي عدد صحيح هو الفرق بين مربعات عددين صحيحين آخرين.

كل مكعب هو إما مضاعف 9 أو بجانب واحد.

يمكن أن ينتهي المكعب الكامل بأي من الأرقام من 0 إلى 9.

الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام هي مجموع مكعبات أرقامها: 153 ، 370 ، 371 ، 407.

أصغر عدد هو مجموع مكعبين بطريقتين مختلفتين. 1729 = 1 3 + 12 3 = 10 3 + 9 3.

ما أبعاد مكعبين لهما جوانب متكاملة يكون حجمهما المشترك مساويًا لطول حوافهما معًا. ما هي أبعاد المكعبات؟ س = 2 وص = 4.

لا يمكن أن يكون مجموع أي مكعبين مكعبًا.

يمكن أن يساوي مجموع سلسلة من ثلاثة مكعبات أو أكثر مكعبًا.

11 3 + 12 3 + 13 3 + 14 3 = 20 3

1134 3 + 1135 3 + . 2133 3 = 16,830 3

الجذر التكعيبي للرقم N هو الرقم "a" الذي ، عند ضربه في نفسه مرتين ، ينتج عنه الرقم N أو N = axaxa. لا توجد صيغة لاستخراج الجذر التكعيبي لرقم. يمكن الحصول عليها عن طريق طريقة القسمة المطولة أو طريقة تقدير بسيطة.

مجموع المصطلحات "n" للتقدم الحسابي مع الحد الأول يساوي مجموع أول الأعداد الطبيعية "n" والفرق المشترك لـ "n" هو n 3.

أولاً ، طريقة لتقريب الجذر التكعيبي لعدد ما إلى عدة منازل عشرية والتي عادةً ما تكون كافية للاستخدام اليومي.

1 - عمل تقدير للجذر التكعيبي لـ N = n بين الأعداد الصحيحة المتتالية a و b.

2 - احسب أ = ن - أ 3 ، ب = ب 3 - ن

مثال: أوجد الجذر التكعيبي لـ 146

1 - مع وجود 146 بين 125 و 216 ، لنفترض أن a = 5 و b = 6.

3 - ن = 5 + (6 × 21) / [6 × 21 + 5 × 70] = 5 + 126/476 = 5 + .264 = 5.2647

4 - الجذر التكعيبي لـ 146 هو 5.2656

طريقة أكثر دقة لتحديد الجذور التكعيبية الصحيحة.

لاحظ أن كل مكعب من الأرقام من 1 إلى 10 ينتهي برقم مختلف:

ن 3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10

ن 3. 1. 8. 27.64. 125. 216. 343. 512. 729. 1000

لاحظ أيضًا أن الرقم الأخير هو الجذر التكعيبي لجميع الحالات باستثناء 2 و 3 و 7 و 8. تؤدي المراجعة السريعة لهذه الاستثناءات إلى حقيقة أن هذه الأرقام الأربعة هي الفرق بين 10 والجذر التكعيبي ، أي 8 = 10 - 2 ، 7 = 10 - 3 ، 3 = 10 - 7 ، 2 = 10 - 8. كيف يمكن استخدام هذه المعلومات لتحديد الجذر التكعيبي لعدد؟

بالنظر إلى مكعب العدد بين 1 و 100 ، لنقل 300763.

يخبرنا الرقم الأخير أن الرقم الأخير من الجذر التكعيبي هو 10-3 = 7.

حذف آخر 3 أرقام من المكعب يترك الرقم 300.

يقع الرقم 300 بين مكعبي 6 و 7 في القائمة أعلاه.

سيكون الرقم الأول من الجذر التكعيبي هو أصغر هذين الرقمين ، وهو 6 في هذه الحالة.

إذن ، فإن الجذر التكعيبي لـ 30،763 يصبح 67.

الرقم الأخير من 4 هو الرقم الأخير من الجذر التكعيبي.

العدد 592 يقع بين 512 و 729 ، مكعبات 8 و 9.

إذن ، الجذر التكعيبي لـ 592،704 يصبح 84.

بالطبع ، هذا مفيد فقط إذا كنت تعرف مسبقًا أن المكعب هو مكعب مثالي ، أي أنه يحتوي على جذر تكعيبي متكامل.
أرقام دائرية

الرقم الدوري هو عدد من الخانات "n" التي عند ضربها في 1 ، 2 ، 3. n ، ينتج عنها نفس الأرقام ولكن بترتيب مختلف. على سبيل المثال ، الرقم 142،857 هو رقم دوري منذ 142،857 × 2 = 285،714 ، 142،857 × 3 = 428،571 ، 142،857 × 4 = 571،428 ، وهكذا. لا يُعرف فقط عدد الأرقام الدورية الموجودة.

الأرقام العشرية عبارة عن أرقام يتم التعبير عنها من خلال نظام الأرقام العشري أو الأساس 10 حيث يمثل كل رقم مضاعفًا لقوة ما من 10. وينطبق المصطلح بشكل أساسي على الأرقام التي تحتوي على أجزاء كسرية يشار إليها بعلامة عشرية. الرقم الأقل من 1 يسمى كسر عشري ، على سبيل المثال ، 673. الكسر العشري المختلط هو واحد يتكون من عدد صحيح وكسر عشري ، على سبيل المثال ، 37.937.

يمكن التعبير عن الأرقام المنطقية في شكل كسر ، 1/2 ، أو في صورة رقم عشري ، .50 ، 1/8 ، أو في صورة عدد عشري ، 125. من التجربة ، نعلم أن الكسر المعبر عنه في شكل عشري سينتهي إما بدون باقي مثل 3/8 = 0.375 أو 7/8 = 0.875 ، كرر نفس الرقم إلى ما لا نهاية مثل 1/3 = .3333333. أو 2/3 = 6666666. كرر سلسلة من الأرقام المختلفة بشكل متكرر مثل 1/27 = .037037037. أو 1/7 = .142857142857. أو كرر سلسلة من الأرقام بعد بعض الأرقام غير المتكررة مثل 1/12 = .0833333.

جميع القواسم الأولية تنتج كسور عشرية متكررة. غالبًا ما تنتج الكسور التي لها نفس المقام كسور عشرية بنفس الفترة وطول الفترة ولكن تبدأ الأرقام برقم مختلف في الفترة. على سبيل المثال ، 1/7 = .142857142857142857. 2/7 = .285714285714285714. 3/7 = .428571428571428571. 4/7 = .571428571428571428. 5/7 = .714285714285714285. و 6/7 = .857142857142857142. تنتج القواسم الأخرى فترتين متكررتين أو أكثر بترتيبات مختلفة. تحقق من تلك التي تحتوي على مقامات أولية هي 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، إلخ ، ثم 9 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 ، وما إلى ذلك ، وانظر ما هي النتائج. ماذا تلاحظ؟

فيما يلي خاصية أخرى مثيرة للاهتمام تتمثل في تكرار الكسور العشرية حتى طول الفترة الزمنية. خذ المعادل العشري 2/7 = .285714285714. فترة التكرار هي 285714. قسّم الفترة إلى مجموعتين من ثلاثة أرقام واجمعها معًا. النتيجة هي 999. افعل الشيء نفسه مع أي فترة عشرية أخرى متكررة وستكون النتيجة دائمًا سلسلة من التسعات. خذ 1/17 = .0588235294117647. إضافة 05882352 و 94117647 يعطيك 99999999.

جميع الكسور العشرية المكررة ، بغض النظر عن الفترة والطول ، هي أرقام منطقية. هذا يعني ببساطة أنه يمكن التعبير عنه على أنه حاصل قسمة عددين صحيحين. السؤال الذي يطرح نفسه كثيرًا هو كيفية تحويل عدد عشري متكرر ، والذي نعرف أنه منطقي ، إلى كسر.

يمكن تحويل الكسور العشرية المنطقية إلى كسور على النحو التالي:

بالنظر إلى العدد العشري N = 0.078078078.

اضرب N ب 1000 أو 1000N = 78.078078078.

. 999 N = 78 مما يجعل N = 78/999 = 26/333.

بالنظر إلى الرقم العشري N = .076923076923.

Muliply N بمقدار 1،000،000 أو 1،000،000 N = 76،923.0769230769230.

طرح العدد = .0769231769230.

. 999،999 N = 76،923 مما يجعل N = 76،923 / 999،999 = 1/13

أسهل طريقة لاشتقاق الكسر هي ببساطة وضع الأرقام المكررة على نفس العدد من 9. على سبيل المثال ، يتم تحويل العلامة العشرية المتكررة لـ .729729729729 إلى كسر 729/999 = 27/37.

خدعة أخرى حيث يتم تضمين الأصفار هي وضع الأرقام المكررة على نفس العدد من 9 مع العديد من الأصفار التي تلي الرقم 9 حيث توجد أصفار في الكسر العشري المكرر. على سبيل المثال ، يؤدي .00757575 إلى 075/9900 = 1/132.

الأعداد الناقصة هي جزء من عائلة الأعداد التي تكون إما ناقصة أو كاملة أو وفيرة.

الأرقام الناقصة ، dN ، هي الأرقام التي يكون فيها مجموع أجزاء القسمة (القواسم الصحيحة) ، sa (N) ، أقل من الرقم نفسه sa (N) & lt N (في لغة علماء الرياضيات اليونانيين ، قواسم a تم تعريف العدد N على أنه أي أعداد صحيحة أصغر من N والتي ، عند تقسيمها إلى N ، ينتج عنها أعداد صحيحة. ويشار إلى عوامل / مقسومات الرقم N ، ناقصًا الرقم نفسه ، على أنها أجزاء القسمة ، أو قسامات القسمة ، بشكل مكافئ ، يكون N أيضًا ناقصًا إذا كان مجموع s (N) لجميع مقسوماته أقل من 2N. يمكن بسهولة ملاحظة أنه باستخدام تجميع أجزاء القسمة ، sa (16) = 1 + 2 + 4 + 8 = 14 & lt N = 16 أثناء استخدام جميع القواسم ، s (16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 & lt 2N = 32 ، مما يجعل الرقم 16 ناقصًا تحت أي من التعريفين.

Sa (N) - & GT1..1..1..3..1. 6. 1. 7. 4. 8. 1. 16. 1. 10. 9. 15. 1. 21. 1. 22..11..12. 1. 36

1،2،3،4،5،7،8،9،10،11،13،14،15،16،17،19،21،22،23 كلها ناقصة.

العدد الأولي أو أي قوة لعدد أولي ناقص. قواسم pefect أو العدد الناقص ناقص.

الجذر الرقمي للرقم هو الرقم الفردي الذي ينتج عن التجميع المستمر لأرقام الرقم والأرقام الناتجة عن كل مجموعة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرقم 7935. مجموع أرقامه هو 24. مجموع 2 و 4 هو 6 ، الجذر الرقمي لـ 7935. تستخدم الجذور الرقمية للتحقق من الجمع والضرب عن طريق طريقة تسمى طرح تسعة. على سبيل المثال ، تحقق من مجموع 378 و 942. DR لـ 378 هو 9 ، 3 + 7 + 8 = 18 ، 1 + 8 = 9 .. DR لـ 942 هو 6 ، 9 + 4 + 2 = 15 ، 1+ 5 = 6. إضافة 9 و 6 ينتج 15 ، DR لـ 15 هو 6 ، 1 + 5 = 6. مجموع 378 و 942 هو 1320. DR لـ 1320 هو 6. مع تساوي قيمتي DR النهائيتين ، تكون الإضافة صحيحة.

الكسور المصرية هي مقلوب الأعداد الصحيحة الموجبة حيث يكون البسط دائمًا واحدًا. غالبًا ما يشار إليها باسم كسور الوحدة. تم استخدامها حصريًا من قبل المصريين لتمثيل جميع أشكال الكسور. كان الكسران اللذان استخدماهما لا يحتويان على كسر وحدة هما 2/3 و 3/4. كانت الكسور الأخرى الوحيدة التي يبدو أن لديهم اهتمامًا كبيرًا بها هي تلك التي في الصورة 2 / n حيث كان n أي عدد فردي موجب. تحتوي بردية Rhind على قائمة من كسور الوحدات التي تمثل سلسلة من 2 / n للفرد n من 5 إلى 501. من غير الواضح لماذا وجدوا هذه الكسور 2 / n مهمة جدًا. يمكن اشتقاق هذه الكسور وغيرها من الكسور 2 / n من 2 / n = 1 / [n (n + 1) / 2] + 1 / [n + 1) / 2].

في عام 1202 ، أثبت ليوناردو فيبوناتشي أنه يمكن التعبير عن أي كسر عادي كمجموع لسلسلة من كسور الوحدة بعدد لا حصر له من الطرق. استخدم الطريقة الجشعة المسماة آنذاك لاشتقاق توسعات كسور الوحدة الأساسية. وقد وصف الطريقة الجشعة في كتابه Liber Abaci بأنه ببساطة طرح أكبر جزء من الوحدة أقل من جزء الوحدة المعطى وتكرار العملية حتى تبقى كسور الوحدة فقط. تبين لاحقًا أن الطريقة الجشعة ، عند تطبيقها على أي جزء م / ن ، ينتج عنها سلسلة لا تزيد عن "م" من الكسور. مثال سيوضح العملية بشكل أفضل.

اختصر الكسر 13/17 إلى مجموع كسور الوحدة. قسمة الكسر ينتج 7647. من كسور الوحدة 1/2 ، 1/3 ، 1/4 ، 1/5 ، وما إلى ذلك ، 1/2 هو الأكبر وهو أصغر من 13/17 لذلك نحسب 13/17 - 1/2 = 9/34 جعل 13/17 = 1/2 + 9/34. بالتكرار مع 9/34 ، لدينا 9/34 - 1/4 = 2/136 = 1/68 مما يجعل 13/17 = 1/2 + 1/4 + 1/68. بدلاً من ذلك ، قسّم البسط إلى المقام واستخدم العدد الصحيح الأكبر التالي كمقام جديد. 17/13 = 1.307 مما يجعل 2 مقام الكسر المراد طرحه من 13/17.

اختصر الكسر 23/37 إلى مجموع كسور الوحدة. 23/37 - 1/2 = 9/74 - 1/16 = 70/1184 - 1/17 = 6 / 20،128 - 1/3355 = 1/33،764،720 مما يجعل 23/37 = 1/2 + 1/16 + 1 / 17 + 1/3355 + 1 / 33.764.720.

هناك العديد من الطرق أو الخوارزميات التي تشتق كسور الوحدة لأي كسر م / ن. يمكن العثور على المزيد من المعلومات المتعلقة بكسور الوحدات على

خوارزميات الكسور المصرية على http://www1.ics.uci.edu/

يمكن تقسيم كسور الوحدة المشتقة عن طريق الطريقة الموضحة ، أو أي طريقة أخرى ، إلى كسور وحدة أخرى عن طريق الهوية 1 / أ = 1 / (أ + 1) + 1 / أ (أ + 1) ، المعروف أيضًا باسم فيبوناتشي. على سبيل المثال ، 1/2 = 1 / (2 + 1) + 1/2 (2 + 1) = 1/3 + 1/6. علاوة على ذلك ، 1/3 = 1 / (3 + 1) + 1/3 (3 + 1) = 1/4 + 1/12 و 1/6 = 1 / (6 + 1) + 1/6 (6+) 1) = 1/7 + 1/42 تنتج 1/2 = 1/4 + 1/7 + 1/12 + 1/42.في حين أن عدد كسور الوحدة التي يمكن اشتقاقها لأي كسر ما هو بالتالي لانهائي ، لا يوجد على ما يبدو أي إجراء معروف لاشتقاق سلسلة تحتوي على أقل عدد من كسور الوحدة أو أصغر مقام لها. .

يسمى الشكل متساويًا إذا كانت مساحته تساوي محيطه. يوجد بالضبط خمسة مثلثات متساوية هيرونيان: المثلثات التي لها أطوال أضلاع (5 ، 12 ، 13) ، (6 ، 8 ، 10) ، (6 ، 25 ، 29) ، (7 ، 15 ، 20) ، (9 ، 10) ، 17).

الأرقام المتكافئة هي الأرقام التي تكون فيها أجزاء القسمة (القواسم المناسبة بخلاف الرقم نفسه) متطابقة. على سبيل المثال ، 159 و 559 و 703 هي أرقام مكافئة لأن مجموع أجزاء القسمة لديهم هو 57.

و (159) = 1 و 3 و 53 و 159 حيث 1 + 3 + 53 = 57.

و (559) = 1 و 13 و 43 و 559 حيث 1 + 13 + 43 = 57.

و (703) = 1 و 19 و 37 و 703 حيث 1 + 19 + 37 = 57.

ربما يكون الرقم الأسهل تعريفًا ، الرقم الزوجي هو أي رقم يقبل القسمة على 2 بالتساوي.

يتم إعطاء الرقم الزوجي n بواسطة Ne = 2n.

مجموع مجموعة الأرقام الزوجية المتتالية "n" التي تبدأ بـ 2 معطاة بواسطة Se = n (n + 1).

مجموع مجموعة الأرقام الزوجية المتتالية التي تبدأ بـ n1 وتنتهي بـ n2 تُعطى بواسطة Se (n1-n2) = n2 ^ 2 - n1 ^ 2 + (n1 + n2) أو (n1 + n2) (1 + n1 - n2).

يتم الحصول على مجموع مربعات الأرقام الزوجية التي تبدأ بـ 2 ^ 2 بواسطة Se ^ 2 = (4n ^ 3 + 6n ^ 2 + 2n) / 3.

الرقم الزوجي مضروبًا في أي رقم ، أو مرفوعًا لأي قوة ، ينتج عنه رقم زوجي آخر.


18.1: الأعداد المركبة - الرياضيات

لا يتعلق الموضوع الأخير في هذا القسم بمعظم ما قمنا به في هذا الفصل ، على الرغم من أنه مرتبط إلى حد ما بقسم المتطرفين كما سنرى. لن نحتاج أيضًا إلى المواد هنا كثيرًا في أغلب الأحيان في الفترة المتبقية من هذه الدورة التدريبية ، ولكن هناك قسمين سنحتاج فيهما إلى ذلك ، لذا فمن الأفضل إخراجها من الطريق في هذه المرحلة.

لاحظنا في قسم الجذور أننا لن نحصل على عدد حقيقي من الجذر التربيعي لعدد سالب. على سبيل المثال ، ( sqrt <- 9> ) ليس رقمًا حقيقيًا نظرًا لعدم وجود رقم حقيقي يمكننا تربيعه والحصول على 9 سلبي.

الآن رأينا أيضًا أنه إذا كان (a ) و (ب ) كلاهما موجبين ، فإن ( sqrt = sqrt a ، sqrt b ). لثانية ، دعونا ننسى هذا القيد ونفعل ما يلي.

الآن ، ( sqrt <- 1> ) ليس عددًا حقيقيًا ، ولكن إذا فكرت في الأمر ، فيمكننا القيام بذلك لأي جذر تربيعي لعدد سالب. على سبيل المثال،

لذلك ، حتى لو لم يكن الرقم مربعًا كاملاً ، فلا يزال بإمكاننا دائمًا تقليل الجذر التربيعي لرقم سالب وصولاً إلى الجذر التربيعي لعدد موجب (يمكننا أو يمكننا التعامل معه باستخدام الآلة الحاسبة) في ( sqrt <- 1> ).

لذا ، إذا كانت لدينا طريقة للتعامل مع ( sqrt <- 1> ) فيمكننا بالفعل التعامل مع الجذور التربيعية للأرقام السالبة. حسنًا ، الحقيقة هي أنه في هذا المستوى ، لا توجد أي طريقة للتعامل مع ( sqrt <- 1> ) لذا فبدلاً من التعامل معها ، "سنجعلها تختفي" إذا جاز التعبير باستخدام التعريف التالي.

[تطلب bbox [2pt، border: 1px أسود خالص] <>>]

لاحظ أنه إذا قمنا بتربيع جانبي هذا ، فسنحصل على

[تطلب bbox [2pt، border: 1px أسود خالص] <<= - 1>>]

سيكون من المهم تذكر ذلك لاحقًا. يوضح هذا أنه ، بطريقة ما ، (i ) هو "الرقم" الوحيد الذي يمكننا تربيعه والحصول على قيمة سالبة.

باستخدام هذا التعريف ، تصبح جميع الجذور التربيعية أعلاه ،

هذه كلها أمثلة على ارقام مركبة.

ربما يكون السؤال الطبيعي في هذه المرحلة هو فقط لماذا نهتم بهذا؟ الإجابة هي ، كما سنرى في الفصل التالي ، أننا في بعض الأحيان سنركض عبر الجذور التربيعية للأرقام السالبة وسنحتاج إلى طريقة للتعامل معها. لذا ، للتعامل معهم ، سنحتاج إلى مناقشة الأعداد المركبة.

لذا ، فلنبدأ ببعض التعريفات والمصطلحات الأساسية للأعداد المركبة. ال النموذج القياسي لعدد مركب هو

حيث (أ ) و (ب ) أرقام حقيقية ويمكن أن تكون أي شيء ، موجب ، سالب ، صفر ، أعداد صحيحة ، كسور ، كسور عشرية ، لا يهم. عندما يكون في النموذج القياسي (أ ) يسمى جزء حقيقي من العدد المركب و (ب ) يسمى الجزء الخيالي من العدد المركب.

فيما يلي بعض الأمثلة على الأعداد المركبة.

ربما يحتاج الأخيران إلى مزيد من التوضيح. من الممكن تمامًا أن يكون (أ ) أو (ب ) صفرًا وهكذا في 16 (أنا ) الجزء الحقيقي هو صفر. عندما يكون الجزء الحقيقي صفرًا ، غالبًا ما نطلق على الرقم المركب أ رقم وهمي بحت. في المثال الأخير (113) الجزء التخيلي هو صفر ولدينا بالفعل رقم حقيقي. لذا ، بالتفكير في الأرقام في هذا الضوء ، يمكننا أن نرى أن الأعداد الحقيقية هي ببساطة مجموعة فرعية من الأعداد المركبة.

ال المترافقة من العدد المركب (a + bi ) هو العدد المركب (a - bi ). بمعنى آخر ، إنه الرقم المركب الأصلي مع تغيير العلامة الموجودة في الجزء التخيلي. فيما يلي بعض الأمثلة على الأعداد المركبة ومقارناتها.

لاحظ أن مرافق الرقم الحقيقي هو نفسه بدون أي تغييرات.

نحتاج الآن إلى مناقشة العمليات الأساسية للأعداد المركبة. سنبدأ بالجمع والطرح. أسهل طريقة للتفكير في جمع و / أو طرح الأعداد المركبة هي التفكير في كل رقم مركب على أنه كثير حدود والقيام بالجمع والطرح بنفس الطريقة التي نضيف بها كثيرات الحدود أو نطرحها.

ليس هناك الكثير لتفعله هنا سوى الجمع أو الطرح. لاحظ أن الأقواس الموجودة في المصطلحات الأولى موجودة فقط للإشارة إلى أننا نفكر في هذا المصطلح كرقم مركب ولا يتم استخدامه بشكل عام.

أ ( يسار (<- 4 + 7 ط> يمين) + يسار (<5 - 10 ط> يمين) = 1 - 3 ط )

ب ( يسار (<4 + 12 ط> يمين) - يسار (<3 - 15 ط> يمين) = 4 + 12 ط - 3 + 15 ط = 1 + 27 ط )

ج (5 ط - يسار (<- 9 + أنا> يمين) = 5 ط + 9 - أنا = 9 + 4 ط )

بعد ذلك ، دعونا نلقي نظرة على الضرب. مرة أخرى ، مع وجود اختلاف بسيط واحد ، ربما يكون من الأسهل التفكير في الأعداد المركبة على أنها متعددة الحدود ، لذا اضربها كما تفعل مع كثيرات الحدود. سيأتي الاختلاف الوحيد في الخطوة الأخيرة كما سنرى.

  1. (7i يسار (<- 5 + 2i> يمين) )
  2. ( يسار (<1 - 5i> يمين) يسار (<- 9 + 2i> يمين) )
  3. ( يسار (<4 + i> يمين) يسار (<2 + 3i> يمين) )
  4. ( يسار (<1 - 8i> يمين) يسار (<1 + 8i> يمين) )

كل ما علينا فعله هو توزيع 7 (i ) عبر الأقواس.

الآن ، هذا هو المكان الذي يلعب فيه الاختلاف الصغير المذكور سابقًا. هذا الرقم ليس بالشكل القياسي. لا يحتوي النموذج القياسي للأرقام المركبة على () فيه. لكن هذه ليست مشكلة بشرط أن نتذكر ذلك

[7i يسار (<- 5 + 2i> يمين) = - 35i + 14 يسار (<- 1> يمين) = - 14 - 35i ]

قمنا أيضًا بإعادة ترتيب الترتيب بحيث يتم إدراج الجزء الحقيقي أولاً.

في هذه الحالة ، سنحبط الرقمين ، وسنحتاج أيضًا إلى تذكر التخلص من ().

[ يسار (<1 - 5i> يمين) يسار (<- 9 + 2i> يمين) = - 9 + 2i + 45i - 10 = - 9 + 47i - 10 يسار (<- 1> يمين) = 1 + 47i ]

[ يسار (<4 + i> يمين) يسار (<2 + 3i> يمين) = 8 + 12i + 2i + 3 = 8 + 14i + 3 يسار (<- 1> right) = 5 + 14i ]

ها هي عملية ضرب أخيرة ستقودنا إلى الموضوع التالي.

[ يسار (<1 - 8i> يمين) يسار (<1 + 8i> يمين) = 1 + 8i - 8i - 64 = 1 + 64 = 65]

لا تشغل بالك بذلك عندما يكون حاصل ضرب عددين مركبين عددًا حقيقيًا. يمكن أن يحدث هذا وسيحدث في بعض الأحيان.

في الجزء الأخير من المثال السابق ، قمنا بضرب رقم في مرافقه. هناك معادلة عامة جيدة لذلك ستكون مناسبة عندما يتعلق الأمر بمناقشة قسمة الأعداد المركبة.

لذلك ، عندما نضرب عددًا مركبًا في مرافقه ، نحصل على رقم حقيقي معطى ،

الآن ، قدمنا ​​هذه الصيغة مع التعليق على أنها ستكون مناسبة عندما يتعلق الأمر بقسمة الأعداد المركبة ، لذلك دعونا نلقي نظرة على مثالين.

  1. (displaystyle frac << 3 - i >> << 2 + 7i >>)
  2. (displaystyle frac <3> << 9 - i >>)
  3. (displaystyle frac <<8i>> << 1 + 2i >>)
  4. (displaystyle frac << 6 - 9i >> <<2i>>)

إذن ، في كل حالة ، ننظر حقًا إلى قسمة عددين مركبين. الفكرة الرئيسية هنا هي أننا نريد كتابتها في شكل قياسي. لا يسمح النموذج القياسي بوجود أي (i ) في المقام. لذلك ، نحتاج إلى إخراج (i ) من المقام.

هذا في الواقع بسيط إلى حد ما إذا تذكرنا أن العدد المركب مضروبًا في مرافقه هو عدد حقيقي. لذا ، إذا ضربنا البسط والمقام في مرافق المقام ، فسنكون قادرين على حذف (i ) من المقام.

الآن بعد أن توصلنا إلى كيفية القيام بذلك ، دعونا نمضي قدمًا ونحل المشاكل.

لاحظ أنه لوضع الإجابة رسميًا في الشكل القياسي ، قمنا بتقسيم الكسر إلى أجزاء حقيقية وخيالية.

هذا يختلف قليلاً عن سابقيه لأن المقام هو رقم وهمي خالص. يمكن القيام بذلك بنفس الطريقة التي تم إجراؤها في السابق ، ولكن هناك طريقة أسهل قليلاً لحل المشكلة.

أولاً ، قسّم الكسر على النحو التالي.

الآن ، نريد إخراج (i ) من المقام ، وبما أنه لا يوجد سوى (i ) في مقام الحد الأول ، فسنقوم ببساطة بضرب البسط والمقام في الحد الأول في (i ) ).

الموضوع التالي الذي نريد مناقشته هنا هو صلاحيات (i ). دعنا نلقي نظرة على ما يحدث عندما نبدأ في النظر إلى الصلاحيات المختلفة لـ (i ).

هل تستطيع رؤية النمط؟ كل الأسس إذا كان بالإمكان اختزال (i ) إلى واحدة من أربع إجابات محتملة وتكرر كل أربع قوى. يمكن أن تكون هذه حقيقة مناسبة للتذكر.

نحتاج بعد ذلك إلى معالجة مشكلة تتعلق بالتعامل مع الجذور التربيعية للأرقام السالبة. من القسم الخاص بالجذور نعلم أنه يمكننا القيام بما يلي.

[6 = sqrt <36> = sqrt < left (4 right) left (9 right)> = sqrt 4 ، sqrt 9 = left (2 right) left (3 يمين) = 6 ]

بعبارة أخرى ، يمكننا تقسيم حاصل الضرب تحت الجذر التربيعي إلى حاصل ضرب الجذور التربيعية بشرط أن يكون كلا الرقمين موجبين.

اتضح أنه يمكننا فعل الشيء نفسه إذا واحد من الأرقام سلبية. على سبيل المثال،

[6i = sqrt <- 36> = sqrt < left (<- 4> right) left (9 right)> = sqrt <- 4> ، sqrt 9 = left (<2i > يمين) يسار (3 يمين) = 6 ط

ومع ذلك ، إذا كان كلا الرقمين سالبًا ، فلن يعمل هذا بعد الآن كما هو موضح أدناه.

[6 = sqrt <36> = sqrt < left (<- 4> right) left (<- 9> right)> ne sqrt <- 4> ، sqrt <- 9> = left (<2i> right) left (<3i> right) = 6 = - 6]

يمكننا تلخيص ذلك كمجموعة من القواعد. إذا كان (أ ) و (ب ) كلاهما رقمين موجبين ،

لماذا هذا مهم بما يكفي للقلق؟ تأمل المثال التالي.

إذا قمنا بضرب هذا في صورته الحالية ، فسنحصل ،

الآن ، إذا لم نتوخى الحذر ، فربما نجمع الجذور في الحد الأخير في واحد لا يمكن القيام به!

لذلك ، هناك قاعدة عامة في التعامل مع الجذور التربيعية للأرقام السالبة. عندما تواجههم ، فإن أول شيء يجب عليك فعله دائمًا هو تحويلهم إلى رقم مركب. إذا اتبعنا هذه القاعدة ، فسنحصل دائمًا على الإجابة الصحيحة.

لذا ، فلنعمل على هذه المشكلة بالطريقة التي ينبغي أن تعمل بها.

[ left (<2 - sqrt <- 100 >> right) left (<1 + sqrt <- 36 >> right) = left (<2 - 10i> right) left (< 1 + 6i> right) = 2 + 2i - 60 = 62 + 2i ]

تعتبر القاعدة الأساسية الواردة في المثال السابق مهمة بما يكفي لجعلها مرة أخرى. عندما تواجه الجذور التربيعية للأرقام السالبة ، فإن أول ما عليك فعله هو تحويلها إلى أعداد مركبة.

هناك موضوع أخير نحتاج إلى التطرق إليه قبل مغادرة هذا القسم. كما أشرنا في القسم الخاص بالجذور على الرغم من أن ( sqrt 9 = 3 ) يوجد في الواقع رقمان يمكننا تربيعهما للحصول على 9. يمكننا تربيع كل من 3 و -3.

ينطبق الشيء نفسه على الجذور التربيعية للأرقام السالبة. كما رأينا سابقًا ( الجذر التربيعي <- 9> = 3 ، أنا ). كما هو الحال مع الجذور التربيعية للأعداد الموجبة في هذه الحالة ، نسأل حقًا ما الذي تربيعه لنحصل على -9؟ حسنًا ، من السهل التحقق من صحة 3 (i ).

ومع ذلك ، ليس هذا هو الاحتمال الوحيد. ضع في اعتبارك ما يلي ،

وهكذا إذا قمنا بتربيع -3 (i ) فسنحصل أيضًا على -9. إذن ، عند أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ، يوجد بالفعل رقمان يمكننا تربيعهما للحصول على الرقم تحت الجذر. ومع ذلك ، سنأخذ دائمًا الرقم الموجب لقيمة الجذر التربيعي تمامًا كما نفعل مع الجذر التربيعي للأرقام الموجبة.


حلول

الحل: 1 تحليل كثير الحدود

نحاول إيجاد حلول للمعادلة $ x ^ 3 = 1 $ وهي جذور المعادلة $ x ^ 3-1 = 0 $. أحد الحلول هو $ x = 1 $. هذا يعني أن $ x-1 $ يقسم $ x ^ 3-1 $ بدون باقي. بأداء القسمة المطولة ، نجد $ x ^ 3-1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1). $ للعثور على جذور كثير الحدود $ x ^ 2 + x + 1 $ يمكننا استخدام الصيغة التربيعية التي تنص على أن الجذور هي $ frac <-1 pm sqrt <1-4>> <2> = frac <-1> <2> pm frac < sqrt <-3>> <2>. $ نحن نعلم أن $ i ^ 2 = -1 $ لذا $ ( sqrt <3> i) ^ 2 = -3 $ وهذا يعني أن $ sqrt <-3> = sqrt <3> i $. إذن ، جذرا $ x ^ 2 - x + 1 $ هما $ - frac <1> <2> pm frac < sqrt <3>> <2> i $

لقد وجدنا 3 حلول لـ $ x ^ 3-1 = 0 $ ، وهي $ x = 1 ، x = - frac <1> <2> + frac < sqrt <3> i> <2> ، $ و $ x = - frac <1> <2> - frac < sqrt <3> i> <2> $.

يمكننا تطبيق نفس الأسلوب لحل المعادلة $ x ^ 4 = 1 $ أو $ x ^ 4 - 1 = 0 $. يمكننا أولاً كتابة $ x ^ 4-1 $ كفرق بين المربعات: $ x ^ 4-1 = (x ^ 2 + 1) (x ^ 2 - 1). $ لدينا $ x ^ 2 -1 = (x + 1) (x-1) $. وبالمثل لدينا $ x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) $. هذا يعطينا $ x ^ 4 + 1 = (x + i) (xi) (x + 1) (x-1) $ وحلول $ x ^ 4-1 = 0 $ هي $ x = -i، i ، -1،1 دولار.

الحل: 2 باستخدام الهندسة

لنفترض أن $ z $ هو رقم مركب يمكن كتابته بالصيغة القطبية على النحو التالي: $ z = re ^. $ هنا يمثل $ r $ المسافة من $ z $ إلى 0 و $ theta $ هو قياس الزاوية الموجهة بواسطة الأعداد الحقيقية غير السالبة والشعاع من 0 إلى $ z $. تتمثل إحدى الخصائص المهمة للشكل القطبي في أنه يسهل حساب القوى:

باستخدام الصيغة القطبية للعدد المركب $ z $ وخصائصه الموضحة أعلاه ، $ z = re ^$ هو الجذر التكعيبي للعدد 1 عندما يكون $ z ^ 3 = 1 $ أو $ r ^ 3e ^ = 1. $ هذا يعني أن $ r ^ 3 = 1 ، $ لذا $ r = 1 $ لأن $ r $ رقم حقيقي و $ r geq0 $. علاوة على ذلك ، فإن $ 3 theta $ هو عدد صحيح مضاعف لـ $ 2 pi $. هذا يعني أنه يمكننا الحصول على $ theta = 0 $ ، $ theta = frac <2 pi> <3> $ ، أو $ theta = frac <4 pi> <3> $. هذه هي الحلول لـ $ theta $ التي نجدها باختيار مضاعفنا الصحيح $ pi $ ليكون 0 و 1 و 2. إذا اخترنا مضاعفات أعداد صحيحة مختلفة ، فسنجد زوايا تختلف عن الثلاثة المذكورة أعلاه بواسطة عدد صحيح مضاعف 2 $ pi $. تم تصوير الجذور المكعبة الثلاثة للعدد 1 أدناه: & Acirc

لاحظ أن الأعداد الثلاثة التي يكون مكعبها 1 يقسم دائرة الوحدة بالتساوي إلى 3 قطع متساوية.

كتابة $ z = re ^$ ، حلول $ z ^ 4 = 1 $ هي نفس حلول $ r ^ 4e ^ = 1. $ هذا يعني أن $ r ^ 4 = 1 ، $ لذا $ r = 1 $ لأن $ r $ رقم حقيقي و $ r geq 0 $. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يكون $ 4 theta $ عددًا صحيحًا مضاعفًا لـ $ 2 pi $. اختيار مضاعفات 0 و 1 و 2 و 3 يعطي $ theta = 0 ، frac < pi> <2> ، pi ، frac <3 pi> <2> $. هذه تتوافق مع الأرقام الأربعة 1 و $ i $ و -1 و $ -i $ ، كما هو موضح في الصورة أدناه:


تقسم الجذور الرابعة للعدد 1 دائرة الوحدة بالتساوي إلى أربعة أقسام.

الحل: 3 حل المعادلات

  1. كتابة $ (a + bi) ^ 3 = (a ^ 3-3ab ^ 2) + (3a ^ 2b-b ^ 3) i = 1 + 0i $ ومساواة الأجزاء الحقيقية والخيالية من $ (a + bi) ^ 3 = 1 $ يعطي $ a ^ 3 - 3ab ^ 2 = 1 $ و $ 3a ^ 2b - b ^ 3 = 0 $ تحليل المعادلة الثانية كـ $ b (3a ^ 2-b ^ 2) = 0 $ ، نرى ذلك إما $ b = 0 $ أو $ 3a ^ 2 = b ^ 2 $. إذا كان $ b = 0 $ ، فإن $ a ^ 3 = 1 $ ، مع إعطاء الجذر التكعيبي الواضح للرقم 1. إذا كان $ b neq 0 $ ، ثم $ 3a ^ 2 = b ^ 2 $ ، واستبدال هذا في $ a ^ 3-3ab ^ 2 = 1 $ يعطي $ a ^ 3-9a ^ 3 = 1 $ ، لذا $ a = - frac <1> <2> $ ، ثم $ b = pm frac < sqrt <3 >> <2> $.
  2. وبالمثل ، إذا كتبنا $ (a + bi) ^ 4 = ((a ^ 2-b ^ 2) + 2abi) ^ 2 = (a ^ 4-6a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) + (4a ^ 3b -4ab ^ 3) i $ ثم معادلة الأجزاء التخيلية في $ (a + bi) ^ 4 = 1 $ ، يعطي $ (4a ^ 3b-4ab ^ 3) = 0. $ إلى عوامل الجانب الأيسر مثل $ 4ab (a ^ 2-b ^ 2) = 0 $ ، نرى أن أي جذر رابع للعدد 1 يجب أن يحتوي على $ a = 0 $ ، $ b = 0 $ ، أو $ a ^ 2 = ب ^ 2 دولار. إذا كان $ a = 0 $ ، فإن المعادلة $ (bi) ^ 4 = 1 $ تعطي بسرعة $ b = pm 1 $. وبالمثل ، إذا كان $ b = 0 $ ، فإن المعادلة $ a ^ 4 = 1 $ مرة أخرى تعطي $ a = pm 1 $ (تذكر أن $ a $ و $ b $ حقيقيان). أخيرًا ، إذا كان $ a = pm b $ ، فإن معادلة الأجزاء الحقيقية من $ (a pm ai) ^ 4 = 1 $ تعطي $ (a ^ 4-6a ^ 2a ^ 2 + a ^ 4) = 1 $ أو -4 أ ^ 4 = 1 دولار. نظرًا لعدم وجود قيم حقيقية لـ $ a $ وهذا صحيح ، فإن الحلول الوحيدة لهذه المعادلات هي $ (a، b) = ( pm 1،0) $ and $ (a، b) = (0، م 1) $ ، المقابل للجذور الأربعة $ pm 1 $ و $ pm i $.

التفكير في العلم مع ديفيد هوكينز

قد يبدو أن هذا المنشور يدور حول رياضيات مجردة للغاية. لكن الأفكار الموضحة هنا مفيدة جدًا في شرح التذبذبات والأمواج (ما بعد 18.11) ، خاصة عندما تقترن بمفهوم الرقم ه (آخر 18.15).

العد هو مثل التحرك على طول الخط في الصورة أعلاه - من اليسار إلى اليمين. عندما لا نتحرك ، نكون في الموضع 0. يمكننا الانتقال إلى الموضع 1. إذا تحركنا بنفس المسافة مرة أخرى ، فسنصل إلى 2 ، ثم إلى 3 و 4 و 5 وما إلى ذلك. هذه هي الأعداد الصحيحة الموجبة أو الموجبة أعداد صحيحة. هناك أيضًا أرقام مثل 0.3 ، 1.27 ، 3.85. جنبا إلى جنب مع الأعداد الصحيحة ، هذه الأرقام قد تصل إلى مجموعة موجبة أرقام نسبية. هناك أرقام أخرى ، مثل π (المنشور 17.11) و ه (بعد 18.15) ، التي لا يمكننا إصلاح مواضعها بالضبط - ولكن يمكننا حسابها بالدقة التي نحتاجها - هذه هي أرقام غير منطقية. إذا انتقلنا إلى 4 مرتين ، فسنصل إلى 4 × 2 = 8 (4 مضروبًا في 2). لاحظ أن 2 × 2 = 4 ، 3 × 3 = 9 ، 4 × 4 = 16 نقول أن 4 = 16 ½ (آخر 18.2) هو الجذر التربيعي من 16 ، وأن 3 = 9 ½ هو الجذر التربيعي للرقم 9. أعداد مثل 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49…. لها جذور تربيعية أعداد صحيحة. البعض الآخر ، مثل 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 8 ... له جذور مربعة ليست أعدادًا صحيحة - يمكن أن تكون أعدادًا منطقية أو غير منطقية.

إذا انتقلنا من 0 إلى اليسار ، فإننا نلتقي بالأرقام السالبة ، مثل -1 ، -2 ، -3 ، -0.25 ، -3.5 ، -1 / 3 ... التي يمكن أن تكون منطقية أو غير منطقية. بالانتقال -4 مرتين ، نصل إلى 2 x (-4) = -8 ، قمنا بضرب -4 في 2. ضرب -4 في -2 يحركنا في الاتجاه المعاكس (الإيجابي) ، بحيث (-2) x (-4) ) = 8. ضرب رقم موجب في رقم سالب يعطينا إجابة سالبة: ضرب رقم سالب في رقم سالب آخر يعطينا رقم موجب.

الأفكار الموضحة في الفقرة السابقة تعني أن الرقم 1 له جذور تربيعية ، 1 و -1. إذا فكرت في الأمر ، سترى أن كل الأعداد الموجبة لها جذرين تربيعين - أحدهما موجب والآخر سالب. لكن لا يمكننا التفكير في أي رقم ، عند ضربه في نفسه يعطي -1 ، أو أي رقم سالب آخر ، لأن -1 × -1 = 1 للحصول على -1 ، نحتاج إلى ضرب -1 في +1 والرقمين. ليسوا متشابهين. لذلك ، قد نستنتج أن الأعداد السالبة ليس لها جذور تربيعية. هذا ما علمته قبل ذهابي إلى الجامعة.

لكن هذه نتيجة غير مرضية للغاية ، فهي تعني أن الأرقام تتصرف بشكل مختلف تمامًا اعتمادًا على ما إذا كنا ننتقل إلى اليمين أو اليسار من 0 ، في الصورة أعلاه. نتيجة المعادلة x 2 = 1 له حلين (1 و -1) و x 2 = -1 ليس لها حلول. للتغلب على هذه المشكلة ، اخترعنا الرقم أنا التي يتم تحديدها بواسطة أنا 2 = -1. الآن -1 لها جذران تربيعان أنا و & # 8211أنا (لأن & # 8211أنا x & # 8211أنا = 1). وجميع الأعداد السالبة الأخرى لها جذور تربيعية - الجذور التربيعية لـ -16 تساوي 4أنا و -4أنا. نسمي الأرقام التي لديها أنا كعامل (3أنا, -27أنا, 2.236أنا), وهمي أعداد الأرقام التي ليس لديها أنا كعامل (5 ، 1.32 ، π) تسمى أرقام حقيقية. الآن كل الأعداد لها جذران تربيعان. يمثل بعض الأشخاص (معظمهم من المهندسين) الجذر التربيعي لـ -1 في ي بدلا من أنا لا يحدث أي اختلاف في الأفكار الواردة هنا.

تنتمي الأرقام الحقيقية إلى السطر الموجود في بداية هذا المنشور: الأرقام الخيالية ليست كذلك.

هناك أيضًا أرقام مثل 2 + 3أنا التي لديها جزء حقيقي (2) و الجزء الخيالي (3أنا) يطلق عليهم ارقام مركبة. لا تؤثر الإضافة إلى الجزء الحقيقي (عن طريق إضافة أرقام حقيقية) على قيمة الجزء التخيلي والإضافة إلى الجزء التخيلي (بإضافة المزيد من الأرقام التخيلية) لا تؤثر على قيمة الجزء الحقيقي. الأجزاء الحقيقية والخيالية مستقلة عن بعضها البعض متعامد (الملحق 2 من المنشور 16.50). لا يمكننا تمثيل الأعداد المركبة على طول خط واحد ولكن يمكننا تمثيلها على سطرين متعامدين مع بعضهما البعض - مثل محاور نظام إحداثيات ديكارتي متعامد (الملحق 2 من المنشور 16.50) ، كما هو موضح في الصورة أدناه.

لذا ، فإن قيم الأعداد الحقيقية تقع على طول خط تكمن قيم الأعداد المركبة في المستوى - the طائرة أرغند.

توضح الصورة أعلاه موضع العدد المركب ض = أ + باء على متن طائرة أرجاند. نحدد │ض│ (ال معام من ض) بطول ض في طائرة أرغند. وفقًا لنظرية فيثاغورس (الملحق 1 من المنشور 16.50) ض 2 = أ 2 + ب 2. نحدد ض* (ال المكورات معقدة من ض) بواسطة ض* = أباء. الآن ض* = (أ + باء) × (أباء) = أ 2 +أ(-باء) + (باء)(أ) + (باء)(-باء) = أ 2 –أبي +أبيأنا 2 ب 2 = أ 2 + ب 2 = │ض│.

لاحظ (أيضًا في الصورة) أعلاه ، أن ض يرتبط بزاوية ، θ، تسمى به جدال. يمكنك مشاهدة هذا أ = ضكوسθ و ب = ضالخطيئةθ (الملحق 3 من المنشور 16.50) ، لذلك أ / ب = تانθ (الملحق 5 من المنشور 16.50).

إذا قرأت المنشور 18.11 ، فسترى ذلك │ض│ يتصرف تمامًا مثل سعة الموجة أو المذبذب و θ يتصرف مثل ωt، أين ω هو تردد زاوي و ر يمثل الوقت. لذلك ، غالبًا ما تُستخدم الأعداد المركبة لتمثيل سلوك المذبذبات والموجات. لمتابعة هذا الأمر أكثر ، نحتاج إلى التفكير في المزيد من الأفكار الرياضية. ربما لاحظت أيضًا أنه يمكن اعتبار الأعداد المركبة طريقة بديلة لتمثيل المتجهات ثنائية الأبعاد (post 17.2). لكن كن حذرا لأن أنا أو ي هنا معاني مختلفة تمامًا عن طريقة استخدامها في الجبر المتجه (انظر المنشور 17.14).


شاهد الفيديو: العمليات على الأعداد المركبة. رياضيات. التحصيلي علمي. 1441-1442 (شهر اكتوبر 2021).