مقالات

5: الدوال الأسية واللوغاريتمية


الصورة المصغرة: (CC BY ؛ Openstax)


5: الدوال الأسية واللوغاريتمية

سرعة: 5 أسابيع + أسبوع من إعادة التدريس / الإثراء

قبل البدء في هذه الوحدة ، يتوقع من الطلاب:

- إثبات فهمهم لجميع المهارات المطلوبة مسبقًا من الوحدة السابقة
- معرفة خصائص الأسس والقدرة على استخدامها
- فهم العمليات بالنسب المئوية ، بما في ذلك نسبة التغيير
- التعرف على خصائص التسلسل الهندسي
- فهم العلاقة بين الدالة ومعكوسها

1. كيف يمكنك تحليل الدوال الأسية واللوغاريتمية باستخدام تمثيلات مختلفة؟
2. كيف يمكنك بناء ومقارنة النماذج الخطية والتربيعية والأسية واستخدامها لحل المشكلات؟

مفردات نقدية جديدة:

أ) اللوغاريتم ب) النمو مقابل الاضمحلال ج) الشكل الأسي د) سلسلة هندسية محدودة

الأفكار الرئيسية (مع سرعة)

اختبار تمهيدي على المهارات الأساسية (الواجب المنزلي بعد التقييم النهائي للوحدة السابقة)

الموضوع 1: استخدام خصائص الأس لتفسير التعبيرات الخاصة بالدوال الأسية
أ) مراجعة خصائص الأس & أمبير يمتد إلى الأسس العقلاني (2 أيام)
ب) كتابة المعادلات الأسية (3 أيام)
ط) معدل التغيير
ب) النمو مقابل الاضمحلال
ج) الجمع بين أنواع الوظائف القياسية باستخدام العمليات الحسابية
د) اشتقاق مجموع صيغة سلسلة هندسية محدودة

مهمة الأداء: M & ampM Lab (يومين)

الموضوع 2: الرسم البياني الدوال الأسية المعبر عنها رمزيًا
أ) تحديد جميع السمات الرئيسية للرسم البياني وفقًا لمخطط المنهج Algebra II CCSS (2 أيام)
ب) اكتشف وقاعدة الرسم البياني ه (اكتشاف مختبر هـ) (يوم 1)

الموضوع 3: إنشاء ورسم بياني وحل المعادلات / عدم المساواة لنمذجة تطبيقات العالم الحقيقي (5 أيام)
أ) إنشاء المعادلات وعدم المساواة الناشئة عن الدوال الخطية والتربيعية وكذلك الدوال المنطقية والأسية البسيطة واستخدام تلك المعادلات / عدم المساواة لحل المشكلات

تقييم المواضيع 1 و 2 و 3 (يوم واحد)

الموضوع 4: التحويل من وإلى الأشكال الأسية / اللوغاريتمية
أ) بالنسبة للنماذج الأسية ، عبر كلوغاريتم عن الحل لـ ab ct = d ، حيث تكون a و b و c أرقامًا ، والقاعدة b هي 2 أو 10 أو e ، قم بتقييم اللوغاريتم باستخدام التكنولوجيا (3 أيام)
ب) فهم العلاقة العكسية بين الأس واللوغاريتمات واستخدام هذه العلاقة لحل المسائل التي تنطوي على اللوغاريتمات والأس. (5 ايام)
ط) تقييم اللوغاريتمات

الموضوع 5: الرسم البياني اللوغاريتمات المعبر عنها رمزيًا (يومان)
أ) تحديد جميع السمات الرئيسية للرسم البياني وفقًا لمخطط المنهج Algebra II CCSS

مراجعة للتقييم النهائي (يوم واحد)
التقييم النهائي (يوم واحد)

** 1 يوم إضافي متاح للتخصيب أو المعالجة أو الممارسة أو الأنشطة الإضافية.


Precalculus 2014

ما الدور الذي يلعبه الخط المقارب الأفقي للدالة الأسية في إخبارنا عن السلوك النهائي للرسم البياني؟

مشكلة 70

ما هي ميزة معرفة كيفية التعرف على تحولات الرسم البياني لوظيفة أصل جبريًا؟

المشكلة 71

الرسم البياني لـ $ f (x) = 3 ^ينعكس $ حول المحور $ y $ ويمتد عموديًا بمعامل $ 4. $ ما هي معادلة الدالة الجديدة $ g (x)؟ $ الحالة الخاصة بها $ y $ - التقاطع والمجال والنطاق.

مشكلة 72

الرسم البياني لـ $ f (x) = left ( frac <1> <2> right) ^ <-x> $ ينعكس حول المحور $ y $ ويتم ضغطه عموديًا بواسطة عامل $ frac <1 > <5> $. ما هي معادلة الدالة الجديدة $ g (x)؟ $ State الخاص بها $ y $ -intercept ، والمجال ، والنطاق.

مشكلة 73

الرسم البياني لـ $ f (x) = 10 ^ينعكس $ حول المحور $ x $ ويتحرك لأعلى بمقدار 7 وحدات. ما هي معادلة الدالة الجديدة ، $ g (x)؟ $ اذكر تقاطعها ومجالها ونطاقها.

مشكلة 74

الرسم البياني لـ $ f (x) = (1.68) ^يتم إزاحة $ 3 وحدات لليمين ، ممتدة بمعامل 2 $ ، ينعكس $ حول المحور $ x $ ، ثم يتحول إلى الأسفل 3 وحدات. ما هي معادلة الدالة الجديدة ، $ g (x)؟ $ الحالة $ y $ - تقاطعها لأقرب جزء من ألف) والمجال والنطاق.

المشكلة 75

الرسم البياني لـ $ f (x) = - frac <1> <2> left ( frac <1> <4> right) ^تم إزاحة + 4 $ لليسار وحدتين ، ممتدة رأسيًا بمعامل 4 $ ، انعكس $ حول المحور $ x $ ، ثم تم إزاحته 4 وحدات للأسفل. ما هي معادلة الدالة الجديدة $ g (x)؟ $ State الخاص بها $ y $ -intercept ، والمجال ، والنطاق.

مشكلة 76

للتمارين التالية ، قم برسم الدالة وانعكاسها حول المحور $ y $ على نفس المحاور ، واكتب التقاطع $ y $.

المشكلة 77

للتمارين التالية ، قم برسم الدالة وانعكاسها حول المحور $ y $ على نفس المحاور ، واكتب التقاطع $ y $.

المشكلة 78

للتمارين التالية ، قم برسم الدالة وانعكاسها حول المحور $ y $ على نفس المحاور ، واكتب التقاطع $ y $.

المشكلة 79

للتمارين التالية ، قم برسم كل مجموعة من الوظائف على نفس المحاور.

مشكلة 80

للتمارين التالية ، قم برسم كل مجموعة من الوظائف على نفس المحاور.

مشكلة 81

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بمطابقة كل وظيفة بأحد الرسوم البيانية في الشكل 4.19

مشكلة 82

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بمطابقة كل وظيفة بأحد الرسوم البيانية في الشكل 4.19

مشكلة 83

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بمطابقة كل وظيفة بأحد الرسوم البيانية في الشكل 4.19

مشكلة 84

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بمطابقة كل وظيفة بأحد الرسوم البيانية في الشكل 4.19

المشكلة 85

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بمطابقة كل وظيفة بأحد الرسوم البيانية في الشكل 4.19

المشكلة 86

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بمطابقة كل وظيفة بأحد الرسوم البيانية في الشكل 4.19

المشكلة 87

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم الرسوم البيانية الموضحة في الشكل 4.20 دولارًا أمريكيًا.جميعها لها شكل $ f (x) = a b ^$

أي رسم بياني له أكبر قيمة لـ $ b؟

المشكلة 88

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم الرسوم البيانية الموضحة في الشكل 4.20 دولارًا أمريكيًا.جميعها لها شكل $ f (x) = a b ^$

أي رسم بياني له أقل قيمة لـ $ b؟

المشكلة 89

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم الرسوم البيانية الموضحة في الشكل 4.20 دولارًا أمريكيًا.جميعها لها شكل $ f (x) = a b ^$

أي رسم بياني له أكبر قيمة لـ $ a $؟

المشكلة 90

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم الرسوم البيانية الموضحة في الشكل 4.20 دولارًا أمريكيًا.جميعها لها شكل $ f (x) = a b ^$

أي رسم بياني له أقل قيمة لـ $ a؟ $

المشكلة 91

للتمارين التالية ، قم برسم الدالة وانعكاسها حول المحور $ x $ على نفس المحاور.

المشكلة 92

للتمارين التالية ، قم برسم الدالة وانعكاسها حول المحور $ x $ على نفس المحاور.

مشكلة 93

للتمارين التالية ، قم برسم الدالة وانعكاسها حول المحور $ x $ على نفس المحاور.

المشكلة 94

للتمارين التالية ، ارسم تحويل $ f (x) = 2 ^$. اكتب الخط المقارب الأفقي والمجال والنطاق.

مشكلة 95

للتمارين التالية ، ارسم تحويل $ f (x) = 2 ^$. اكتب الخط المقارب الأفقي والمجال والنطاق.

المشكلة 96

للتمارين التالية ، ارسم تحويل $ f (x) = 2 ^$. اكتب الخط المقارب الأفقي والمجال والنطاق.

المشكلة 97

للتمارين التالية ، صف السلوك النهائي للرسوم البيانية للوظائف.

المشكلة 98

للتمارين التالية ، صف السلوك النهائي للرسوم البيانية للوظائف.

مشكلة 99

للتمارين التالية ، صف السلوك النهائي للرسوم البيانية للوظائف.

المشكلة 100

للتمارين التالية ، ابدأ بالرسم البياني لـ $ f (x) = 4 ^$. ثم اكتب دالة ناتجة عن التحويل المحدد.

المشكلة 101

للتمارين التالية ، ابدأ بالرسم البياني لـ $ f (x) = 4 ^$. ثم اكتب دالة ناتجة عن التحويل المحدد.

انقل $ f (x) 3 $ وحدة للأسفل

المشكلة 102

للتمارين التالية ، ابدأ بالرسم البياني لـ $ f (x) = 4 ^$. ثم اكتب دالة ناتجة عن التحويل المحدد.

المشكلة 103

للتمارين التالية ، ابدأ بالرسم البياني لـ $ f (x) = 4 ^$. ثم اكتب دالة ناتجة عن التحويل المحدد.

مشكلة 104

للتمارين التالية ، ابدأ بالرسم البياني لـ $ f (x) = 4 ^$. ثم اكتب دالة ناتجة عن التحويل المحدد.

عكس $ f (x) $ حول المحور $ x $

المشكلة 105

للتمارين التالية ، ابدأ بالرسم البياني لـ $ f (x) = 4 ^$. ثم اكتب دالة ناتجة عن التحويل المحدد.

عكس $ f (x) $ حول المحور $ y $

المشكلة 106

بالنسبة للتدريبات التالية ، يمثل كل رسم بياني تحويلًا لـ $ y = 2 ^ اكتب معادلة تصف التحول.

المشكلة 107

بالنسبة للتدريبات التالية ، يمثل كل رسم بياني تحويلًا لـ $ y = 2 ^ اكتب معادلة تصف التحول.

مشكلة 108

بالنسبة للتدريبات التالية ، يمثل كل رسم بياني تحويلًا لـ $ y = 2 ^ اكتب معادلة تصف التحول.

المشكلة 109

للتدريبات التالية ، ابحث عن معادلة أسية للرسم البياني.

المشكلة 110

للتدريبات التالية ، ابحث عن معادلة أسية للرسم البياني.

مشكلة 111

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم الدوال الأسية للقيمة المشار إليها لـ $ x. $

المشكلة 112

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم الدوال الأسية للقيمة المشار إليها لـ $ x. $

مشكلة 113

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم الدوال الأسية للقيمة المشار إليها لـ $ x. $

المشكلة 114

للتمارين التالية ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية لتقريب حلول المعادلة. قرب لاقرب جزء من الف. $ f (x) = أ ب ^+ د

المشكلة 115

للتمارين التالية ، استخدم حاسبة بيانية لتقريب حلول المعادلة. قرب لاقرب جزء من الف. $ f (x) = أ ب ^+ د

مشكلة 116

للتمارين التالية ، استخدم حاسبة بيانية لتقريب حلول المعادلة. قرب لاقرب جزء من الف. $ f (x) = أ ب ^+ د

المشكلة 117

للتمارين التالية ، استخدم حاسبة بيانية لتقريب حلول المعادلة. قرب لاقرب جزء من الف. $ f (x) = أ ب ^+ د

المشكلة 118

للتمارين التالية ، استخدم حاسبة بيانية لتقريب حلول المعادلة. قرب لاقرب جزء من الف. $ f (x) = أ ب ^+ د

المشكلة 119

استكشف وناقش الرسوم البيانية لـ $ F (x) = (b) ^$ و $ G (x) = left ( frac <1> حق) ^$. ثم قم بتخمين العلاقة بين الرسوم البيانية للوظائف $ b ^$ و $ left ( frac <1> حق) ^$ لأي رقم حقيقي $ b & gt0 $.

المشكلة 120

إثبات التخمين الذي تم إجراؤه في التمرين السابق.

المشكلة 121

استكشف وناقش الرسوم البيانية لـ $ f (x) = 4 ^، ز (س) = 4 ^و $ و $ h (x) = left ( frac <1> <16> right) ^$. ثم قم بتخمين العلاقة بين الرسوم البيانية للوظائف $ b ^$ و $ left ( frac <1><>> حق) ب ^$ لأي رقم حقيقي $ n $ ورقم حقيقي $ b & gt0 $.


الاضمحلال الأسي (شكل متزايد)

وظيفة

سمات

  • مقارب لـ y = C إلى اليمين
  • يمر من خلال (0،0)
  • C هو الحد الأعلى
  • متزايد ، ولكن يحدها من قبل ص = ج

تلاحظ

يمكن لنماذج الانحطاط الأسي من هذا النموذج أن تصمم منحنيات المبيعات أو التعلم حيث يوجد حد أعلى. يتم ذلك بطرح التعبير الأسي من واحد وضربه في الحد الأعلى.

ستزداد نماذج الانحلال الأسي من هذا النموذج بسرعة كبيرة في البداية ، ثم تستقر لتصبح مقاربة للحد الأقصى.

مثل النماذج الأسية الأخرى ، إذا كنت تعرف الحد الأعلى ، فمن السهل إلى حد ما إكمال باقي النموذج.

لن تتناسب الآلة الحاسبة مع النموذج المتزايد الذي يتضمن الاضمحلال الأسي مباشرة.


10.5 يحل المعادلات الأسية واللوغاريتمية

في القسم الخاص بالدوال اللوغاريتمية ، قمنا بحل بعض المعادلات بإعادة كتابة المعادلة بالصيغة الأسية. الآن بعد أن أصبح لدينا خصائص اللوغاريتمات ، لدينا طرق إضافية يمكننا استخدامها لحل المعادلات اللوغاريتمية.

إذا كانت معادلتنا تحتوي على لوغاريتمين ، فيمكننا استخدام خاصية تنص على أنه إذا كان السجل M = log a N log a M = log a N فمن الصحيح أن M = N. م = ن. هذه هي خاصية واحد لواحد للمعادلات اللوغاريتمية.

خاصية واحد لواحد للمعادلات اللوغاريتمية

لاستخدام هذه الخاصية ، يجب أن نتأكد من كتابة طرفي المعادلة بنفس الأساس.

تذكر أن اللوغاريتمات معرّفة فقط للأرقام الحقيقية الموجبة. تحقق من نتائجك في المعادلة الأصلية. ربما حصلت على نتيجة تعطي لوغاريتمًا يساوي صفرًا أو رقمًا سالبًا.

مثال 10.38

حل: 2 سجل 5 س = سجل 5 81. 2 سجل 5 س = سجل 5 81.

المحلول

حل: 2 سجل 3 س = سجل 3 36 2 سجل 3 س = سجل 3 36

هناك إستراتيجية أخرى لاستخدامها في حل المعادلات اللوغاريتمية وهي تكثيف المجاميع أو الاختلافات في لوغاريتم واحد.

مثال 10.39

حل: سجل 3 س + سجل 3 (س - 8) = 2. سجل 3 س + سجل 3 (س - 8) = 2.

المحلول

حل: سجل 2 س + سجل 2 (س - 2) = 3 سجل 2 س + سجل 2 (س - 2) = 3

حل: سجل 2 س + سجل 2 (س - 6) = 4 سجل 2 س + سجل 2 (س - 6) = 4

عندما يكون هناك لوغاريتمات على كلا الجانبين ، فإننا نختصر كل جانب في لوغاريتم واحد. تذكر استخدام خاصية الطاقة حسب الحاجة.

مثال 10.40

حل: سجل 4 (س + 6) - سجل 4 (2 س + 5) = - سجل 4 س. سجل 4 (س + 6) - سجل 4 (2 س + 5) = - سجل 4 س.

المحلول

حل: سجل (س + 2) - سجل (4 س + 3) = - سجل س. تسجيل (س + 2) - تسجيل (4 س + 3) = - سجل س.

حل: تسجيل (x - 2) - تسجيل (4 x + 16) = تسجيل 1 x. تسجيل (س - 2) - تسجيل (4 س + 16) = تسجيل 1 س.

حل المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات

في القسم الخاص بالدوال الأسية ، قمنا بحل بعض المعادلات بكتابة طرفي المعادلة بنفس الأساس. بعد ذلك ، كتبنا معادلة جديدة عن طريق جعل الأسس متساويين.

ليس من الممكن أو الملائم دائمًا كتابة التعبيرات بنفس الأساس. في هذه الحالة ، غالبًا ما نأخذ اللوغاريتم المشترك أو اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين بمجرد عزل الأس.

مثال 10.41

المحلول

عندما نأخذ لوغاريتم كلا الجانبين ، سنحصل على نفس النتيجة سواء استخدمنا اللوغاريتم المشترك أو اللوغاريتم الطبيعي (حاول استخدام اللوغاريتم الطبيعي في المثال الأخير. هل حصلت على نفس النتيجة؟) عندما يكون للأسي أساس ه، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي.

مثال 10.42

المحلول

استخدم النماذج الأسية في التطبيقات

تمكنا في الأقسام السابقة من حل بعض التطبيقات التي تم تصميمها باستخدام المعادلات الأسية. الآن بعد أن أصبح لدينا العديد من الخيارات لحل هذه المعادلات ، أصبحنا قادرين على حل المزيد من التطبيقات.

سنستخدم معادلات الفائدة المركبة مرة أخرى ولذا فإننا ندرجها هنا كمرجع.

الفائدة المركبة

لمدير ، ص، مستثمرة بسعر فائدة ، ص، إلى عن على ر سنوات ، التوازن الجديد ، أ يكون:

مثال 10.43

استثمر والدا جيرمايل 10000 دولار أمريكي في شكل استثمارات لتغطية نفقات كليته في عيد ميلاده الأول. إنهم يأملون أن تبلغ قيمة الاستثمارات 50000 دولار عندما يبلغ 18 عامًا. إذا تفاقمت الفائدة بشكل مستمر ، فما معدل النمو الذي سيحتاجون إليه تقريبًا لتحقيق هدفهم؟

المحلول

لقد رأينا أن النمو والانحلال يتم تشكيلهما من خلال الدوال الأسية. من أجل النمو والانحلال ، نستخدم الصيغة A = A 0 e k t. أ = أ 0 هـ ك ت. النمو الأسي له معدل نمو إيجابي أو ثابت نمو ، k k ، والانحلال الأسي له معدل نمو سلبي أو ثابت تسوس ، ك.

النمو الأسي والاضمحلال

يمكننا الآن حل التطبيقات التي تعطينا معلومات كافية لتحديد معدل النمو. يمكننا بعد ذلك استخدام معدل النمو هذا للتنبؤ بالحالات الأخرى.

مثال 10.44

سجل الباحثون أن مجموعة بكتيريا معينة نمت من 100 إلى 300 في 3 ساعات. في ظل معدل النمو هذا ، كم عدد البكتيريا التي ستبقى بعد 24 ساعة من بدء التجربة؟

المحلول

هذه المشكلة تتطلب خطوتين رئيسيتين. أولا يجب أن نجد المعدل المجهول ، ك. ثم نستخدم قيمة ك لمساعدتنا في العثور على عدد غير معروف من البكتيريا.

سجل الباحثون أن مجموعة بكتيريا معينة نمت من 100 إلى 500 في 6 ساعات. عند معدل النمو هذا ، كم عدد البكتيريا التي ستبقى بعد 24 ساعة من بدء التجربة؟

سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا انخفض من 700000 إلى 400000 في 5 ساعات بعد تناول الدواء. عند هذا المعدل من الاضمحلال ، كم عدد البكتيريا التي ستبقى بعد 24 ساعة من بدء التجربة؟

تتحلل المواد المشعة أو تتحلل وفقًا لمعادلة الانحلال الأسي. يُطلق على مقدار الوقت الذي تستغرقه المادة حتى تتحلل إلى نصف الكمية الأصلية نصف عمر المادة.

على غرار المثال السابق ، يمكننا استخدام المعلومات المعطاة لتحديد ثابت الانحلال ، ثم استخدام هذا الثابت للإجابة على أسئلة أخرى.

مثال 10.45

يبلغ عمر النصف للراديوم 226 1590 سنة. ما المقدار المتبقي من عينة 100 مجم في 500 عام؟

المحلول

هذه المشكلة تتطلب خطوتين رئيسيتين. أولًا ، علينا إيجاد ثابت الانحلال ك. إذا بدأنا بـ 100 مجم ، فسيتبقى عند نصف العمر 50 مجم. سوف نستخدم هذه المعلومات للعثور على ك. ثم نستخدم قيمة ك لمساعدتنا في العثور على كمية العينة التي ستترك بعد 500 عام.

يبلغ عمر النصف للمغنيسيوم -27 9.45 دقيقة. ما المقدار المتبقي من عينة 10 مجم في 6 دقائق؟

يبلغ عمر النصف لليود المشع 60 يومًا. ما المقدار المتبقي من عينة 50 مجم في 40 يومًا؟

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لحل المعادلات الأسية واللوغاريتمية.

تمارين البند 10.5

مع التدريب يأتي الإتقان

حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام خصائص اللوغاريتمات

في التدريبات التالية ، حل من أجل x.

سجل 3 (× 2 + 3) = سجل 3 4 × سجل 3 (× 2 + 3) = سجل 3 4 ×

تسجيل (س + 4) - تسجيل (5 س + 12) = - تسجيل س تسجيل (س + 4) - تسجيل (5 س + 12) = - تسجيل س

تسجيل الدخول (س - 1) - تسجيل (س + 3) = تسجيل 1 × تسجيل (س - 1) - تسجيل (س + 3) = تسجيل 1 س

سجل 5 (س + 3) + سجل 5 (س - 6) = سجل 5 10 سجل 5 (س + 3) + سجل 5 (س - 6) = سجل 5 10

سجل 5 (س + 1) + سجل 5 (س - 5) = سجل 5 7 سجل 5 (س + 1) + سجل 5 (س - 5) = سجل 5 7

تسجيل 3 (2 س - 1) = سجل 3 (س + 3) + سجل 3 3 سجل 3 (2 س - 1) = سجل 3 (س + 3) + سجل 3 3

تسجيل الدخول (5 س + 1) = تسجيل (س + 3) + سجل 2 سجل (5 س + 1) = تسجيل (س + 3) + سجل 2

حل المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات

في التدريبات التالية ، حل كل معادلة أسية. أوجد الإجابة الصحيحة ثم قربها لأقرب ثلاث منازل عشرية.

في التمارين التالية ، حل كل معادلة.

سجل 6 س + سجل 6 (س - 5) = سجل 6 24 سجل 6 س + سجل 6 (س - 5) = سجل 6 24

تسجيل 9 x + تسجيل 9 (x - 4) = تسجيل 9 12 تسجيل 9 x + تسجيل 9 (x - 4) = تسجيل 9 12

تسجيل 2 (x + 2) - تسجيل 2 (2 x + 9) = - تسجيل 2 x تسجيل 2 (x + 2) - تسجيل 2 (2 x + 9) = - تسجيل 2 x

تسجيل 6 (x + 1) - تسجيل 6 (4 x + 10) = تسجيل 6 1 x تسجيل 6 (x + 1) - تسجيل 6 (4 x + 10) = تسجيل 6 1 x

في التدريبات التالية ، حل من أجل x، مع إعطاء إجابة دقيقة بالإضافة إلى تقريب لثلاث منازل عشرية.

استخدم النماذج الأسية في التطبيقات

في التدريبات التالية ، حل.

سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا انخفض من 100000 إلى 100 خلال 24 ساعة. عند هذا المعدل من الاضمحلال ، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة في 16 ساعة؟

سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا انخفض من 800000 إلى 500000 في 6 ساعات بعد تناول الدواء. عند هذا المعدل من الاضمحلال ، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة خلال 24 ساعة؟

يستغرق الفيروس 6 أيام لمضاعفة عدد سكانه الأصليين (A = 2 A 0). (أ = 2 أ 0). كم من الوقت سيستغرق ثلاثة أضعاف عدد سكانها؟

تضاعف البكتيريا سكانها الأصليين في غضون 24 ساعة (أ = 2 أ 0). (أ = 2 أ 0). كم سيكون حجم سكانها في 72 ساعة؟

يُستخدم الكربون -14 في التأريخ الأثري بالكربون. عمر النصف هو 5730 سنة. ما المقدار المتبقي من عينة 100 جرام من الكربون 14 في 1000 عام؟

غالبًا ما يستخدم التكنيشيوم المشع 99m في الطب التشخيصي نظرًا لأن له عمر نصف قصير نسبيًا ولكنه يدوم لفترة كافية لإجراء الاختبار المطلوب على المريض. إذا كان نصف العمر 6 ساعات ، فما مقدار المادة المشعة التي تشكل حقنة 0.5 مل في الجسم خلال 24 ساعة؟

تمارين الكتابة

ما هو الفرق بين معادلة النمو الأسي مقابل معادلة الاضمحلال الأسي؟

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لما و لما لا؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/10-5-solve-exponential-and-logarithmic-equations

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    5: الدوال الأسية واللوغاريتمية

    المجموعة التالية من الدوال التي نريد أن نلقي نظرة عليها هي الدوال الأسية واللوغاريتمية. أكثر الدوال الأسية واللوغاريتمية شيوعًا في دورة حساب التفاضل والتكامل هي الوظيفة الأسية الطبيعية ، (<< bf> ^ x> ) ، ودالة اللوغاريتم الطبيعي ، ( ln left (x right) ). ومع ذلك ، سنتخذ نهجًا أكثر عمومية وننظر إلى الدالة الأسية واللوغاريتمية العامة.

    وظائف أسية

    سنبدأ بالنظر إلى الدالة الأسية ،

    نريد تمييز هذا. لن تعمل قاعدة القوة التي نظرنا إليها قبل قسمين لأن ذلك يتطلب أن يكون الأس عددًا ثابتًا وأن يكون الأساس متغيرًا. هذا هو عكس ما حصلنا عليه من هذه الوظيفة. لذلك ، علينا أن نبدأ بتعريف المشتق.

    الآن ، () لا يتأثر بالحد لأنه لا يحتوي على أي (h ) 's وبالتالي فهو ثابت بقدر ما يتعلق الأمر بالحد. يمكننا إذن إخراج هذا من النهاية. هذا يعطي،

    الآن دعونا نلاحظ أن الحد الذي حصلنا عليه أعلاه هو بالضبط تعريف مشتق (f left (x right) = ) في (س = 0 ) ، بمعنى آخر. (f ' يسار (0 يمين) ). لذلك ، يصبح المشتق ،

    [f ' يسار (x يمين) = f' يسار (0 يمين)]

    لذلك ، نحن عالقون نوعًا ما. نحتاج إلى معرفة المشتق للحصول على المشتق!

    هناك قيمة واحدة لـ (أ ) يمكننا التعامل معها في هذه المرحلة. بالعودة إلى قسم الوظائف الأسية من فصل المراجعة ، ذكرنا أن (< bf> = mbox <2.71828182845905> ldots ) ​​لكن ما لم نفعله هو في الواقع تحديد أين ( bf) يأتي من. في الواقع ، توجد طرق متنوعة لتعريف ( bf). هنا يوجد ثلاثه منهم.

    بعض تعريفات ( bf)

    1. (displaystyle > = mathop < lim> limits_ > يمين) ^ n> )
    2. ( displaystyle bf) هو الرقم الموجب الفريد الذي ( mathop < lim> limits_ فارك <<<< bf> ^ ح> - 1 >>= 1)
    3. (displaystyle > = sum limits_^ infty < فارك <1> <>> )

    والثاني هو المهم بالنسبة لنا لأن هذا الحد هو بالضبط الحد الذي نعمل عليه أعلاه. إذن ، هذا التعريف يؤدي إلى الحقيقة التالية ،

    حقيقة 1

    للدالة الأسية الطبيعية ، (f left (x right) = << bf> ^ x> ) لدينا (f ' left (0 right) = mathop < lim> limits_ فارك <<<< bf> ^ ح> - 1 >> = 1).

    لذلك ، بشرط أن نستخدم الدالة الأسية الطبيعية ، نحصل على ما يلي.

    [f left (x right) = << bf> ^ x> hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> f ' left (x right) = << bf> ^ x> ]

    في هذه المرحلة ، نفتقد بعض المعرفة التي ستتيح لنا الحصول بسهولة على المشتق لوظيفة عامة. في النهاية سنتمكن من إظهار أنه بالنسبة للدالة الأسية العامة لدينا ،

    [f يسار (x يمين) = hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> f ' left (x right) = ln يسار (أ يمين) ]

    وظائف اللوغاريتم

    دعونا الآن بإيجاز نحصل على مشتقات اللوغاريتمات. في هذه الحالة ، سنحتاج إلى البدء بالحقيقة التالية حول الدوال التي تكون معكوسة لبعضها البعض.

    حقيقة 2

    إذا كان (f (x) ) و (g (x) ) معكوسين لبعضهما البعض ،

    إذن ، كيف تكون هذه الحقيقة مفيدة لنا؟ حسنًا ، تذكر أن الدالة الأسية الطبيعية ودالة اللوغاريتم الطبيعي هما معكوسان لبعضهما البعض ونعرف مشتق الدالة الأسية الطبيعية!

    لذلك ، إذا كان لدينا (f left (x right) = << bf> ^ x> ) و (g left (x right) = ln x ) ثم ،

    تستخدم الخطوة الأخيرة فقط حقيقة أن الوظيفتين مقلوبتان لبعضهما البعض.

    جمع كل هذا يعطي ،

    لاحظ أننا نحتاج إلى ذلك (x & gt 0 ) نظرًا لأن هذا مطلوب للوغاريتم ولذا يجب أيضًا أن يكون مطلوبًا لمشتقه. يمكن أيضًا إثبات أن ،

    باستخدام هذا كل ما نحتاج إلى تجنبه هو (x = 0 ).

    في هذه الحالة ، على عكس حالة الدالة الأسية ، يمكننا إيجاد مشتقة دالة اللوغاريتم العامة. كل ما نحتاجه هو مشتق اللوغاريتم الطبيعي ، الذي أوجدناه للتو ، وتغيير صيغة الأساس. باستخدام تغيير الصيغة الأساسية ، يمكننا كتابة لوغاريتم عام على النحو التالي ،

    ثم يصبح التمايز بسيطًا إلى حد ما.

    لقد استفدنا من حقيقة أن (a ) كان ثابتًا وبالتالي فإن ( ln a ) هو أيضًا ثابت ويمكن حسابه في المشتق. جمع كل هذا معًا يعطي ،

    فيما يلي ملخص للمشتقات في هذا القسم.

    حسنًا ، بعد أن أصبح لدينا اشتقاقات الصيغ بعيدًا عن الطريق ، فلنحسب بعض المشتقات.

    سيكون هذا هو المثال الوحيد الذي لا يتضمن دوال اللوغاريتم الأسي الطبيعي والطبيعي.

    ليس كثيرا لهذا. فقط تذكر استخدام قاعدة الضرب في المصطلح الثاني.

    سنحتاج إلى استخدام قاعدة خارج القسمة في هذه القاعدة.

    لا يوجد حقًا الكثير للتمييز بين اللوغاريتمات الطبيعية والدوال الأسية الطبيعية في هذه المرحلة طالما أنك تتذكر الصيغ. في الأقسام اللاحقة عندما نحصل على المزيد من الصيغ تحت حزامنا ، ستصبح أكثر تعقيدًا.

    بعد ذلك ، نحتاج إلى حل مشكلة التطبيق / التفسير الإلزامي حتى لا ننساها.

    هل توقف الجسم عن الحركة؟

    أولًا ، سنحتاج إلى المشتقة. نحتاج إلى هذا لتحديد ما إذا كان الجسم قد توقف عن الحركة لأنه عند تلك النقطة (بشرط أن يكون هناك واحد) ستكون السرعة صفرًا ونتذكر أن مشتقة دالة الموضع هي سرعة الجسم.

    إذن ، علينا تحديد ما إذا كانت المشتقة تساوي صفرًا أم لا. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى حل ،

    الآن ، نحن نعلم أن الدوال الأسية ليست صفرًا أبدًا ، وبالتالي ستكون صفرًا فقط عند (t = - 1 ). لذا ، إذا كنا سنسمح بالقيم السالبة لـ (t ) ، فسيتوقف الكائن عن الحركة مرة واحدة عند (t = - 1 ). إذا لم نسمح بالقيم السالبة لـ (t ) فلن يتوقف الكائن عن الحركة أبدًا.

    قبل الانتقال إلى القسم التالي ، نحتاج إلى الرجوع إلى اثنين من المشتقات للتأكد من أننا لا نخلط بين الاثنين. المشتقتان هما ،

    من المهم ملاحظة أنه مع قاعدة القوة ، يجب أن يكون الأس ثابتًا ويجب أن يكون الأساس متغيرًا بينما نحتاج إلى العكس تمامًا لمشتق الدالة الأسية. بالنسبة للدالة الأسية ، يجب أن يكون الأس متغيرًا ويجب أن يكون الأساس ثابتًا.

    من السهل أن تنغلق في إحدى هذه الصيغ وتستخدمها فقط لكل من هاتين الصيغتين. لم نتحدث أيضًا عن ما يجب فعله إذا كان كل من الأس والأساس يشتملان على متغيرات. سنرى هذا الموقف في قسم لاحق.


    الفصل 5: الدوال الأسية واللوغاريتمية - عرض PowerPoint PPT

    5.8: النمو الأسي والاضمحلال ، النمو اللوجيستي لقانون نيوتن والاضمحلال. قانون النمو غير المقيد: A (t) = A 0 ekt A 0 = المبلغ عندما يكون t = 0 k 0. المبلغ (الوقت. & ndash عرض PowerPoint PPT

    يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

    يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة لعروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمه لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

    مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح مع أعلى التصنيفات. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

    العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمه لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


    5 - اللوغاريتمات: الدوال الأسية واللوغاريتمية

    سيدي ، لقد قمت بهذه الرحلة الطويلة عمدًا لرؤية شخصك ، ولأعرف من خلال محرك الذكاء أو البراعة الذي جئت أولاً لتفكر في هذه المساعدة الممتازة في علم الفلك ، أي. اللوغاريتمات ، ولكن ، يا سيدي ، لكونك اكتشفت بواسطتك ، أتساءل أنه لم يكتشفها أحد من قبل ، عندما أصبح معروفًا الآن ، أصبح الأمر بهذه السهولة.

    الهدف من هذا الفصل هو شرح ماهية اللوغاريتمات ومناقشة طرق استخدامها. ليس من السهل جدًا استيعاب بعض المواد ، لكنك تحتاج إلى فهم هذا المجال. حتى بالنسبة للأشخاص الذين هم بالفعل على دراية باللوغاريتمات ، من المحتمل أن يكون هناك شيء جديد في هذا الفصل.

    اللوغاريتم هو طريقة لكتابة رقم واحد (x) معبراً عنه كقوة (فهرس) للرقم الثاني (y) والذي يسمى الأساس ، والذي يجب أن يكون رقمًا حقيقيًا & gt1. يجب أن توضح بعض الأمثلة ما يعنيه هذا. الرقم 8 هو 2 3 ، وبالتالي إذا تم استخدام 2 كأساس ، فيمكننا كتابة: log 2 8 = 3 في الكلمات هذا يعني أن لوغاريتم 8 للأساس 2 هو 3. الآن ، إذا كان 8 بدلاً من 2 تم استخدامه كقاعدة ثم سجل 8 8 = 1 (8 = 8 1). إذا كانت 64 هي الأساس ، فسيتم التعبير عن 8 (= √64) على أنها log 64 8 = 0.5.


    المعادلات الأسية واللوغاريتمية المحتويات: تتوافق هذه الصفحة مع القسم 4.4 (ص 348) من النص. المشاكل المقترحة من النص: ص. 355 # 13،17،21،25،27،29،31،51،53،57،59،81،89 المعادلات الأسية

    يمكن حل بعض المعادلات الأسية باستخدام حقيقة أن الدوال الأسية هي واحد لواحد. بمعنى آخر ، لا تأخذ الدالة الأسية قيمتين مختلفتين لنفس الرقم.

    3 س = 9

    3 س = 3 2

    الدالة f (x) = 3 x هي واحد لواحد ، لذلك لا تأخذ قيمتين مختلفتين إلى 9 ، لذلك يجب أن يساوي x 2.

    كان من السهل حل المعادلة في المثال 1 لأنه يمكننا التعبير عن 9 كقوة 3. ومع ذلك ، غالبًا ما يكون من الضروري استخدام لوغاريتم عند حل معادلة أسية.

    ه س = 20

    سنستخدم حقيقة أن اللوغاريتم الطبيعي هو معكوس الدالة الأسية ، لذلك ln e x = x ، عن طريق المطابقة اللوغاريتمية 1. يجب أن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المعادلة.

    الآن يبسط الطرف الأيسر إلى x ، والجانب الأيمن هو رقم. إنه يقارب 2.9957.

    استخدم الآلة الحاسبة للتحقق من الإجابة التي وجدناها للمعادلة في المثال 2.

    5 س = 16 سنحل هذه المعادلة بطريقتين مختلفتين.

    الطريقة الأولى: نستخدم حقيقة أن log 5 5 x = x (متطابقة لوغاريتمية 1 مرة أخرى).

    5 س = 16

    سجل 5 5 س = سجل 5 16

    س = سجل 5 16

    x = ln 16 / ln 5 ، بواسطة صيغة تغيير القاعدة.

    س = 1.7227 (تقريبًا)

    الطريقة الثانية: سنستخدم اللوغاريتم الطبيعي والممتلكات 3.

    5 x = 16 خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين.

    ln 5 x = ln 16

    x ln 5 = ln 16

    س = ln 16 / ln 5

    س = 1.7227 (تقريبًا)

    كان بإمكاننا استخدام أي لوغاريتم بالطريقة الثانية. الطريقة الثانية هي التي تراها في أغلب الأحيان.

    استخدم الآلة الحاسبة للتحقق من الإجابة التي وجدناها للمعادلة في المثال 3.

    تتكرر المعادلات المماثلة في المثال التالي في التطبيقات.

    200 هـ 0.07 طن = 500

    نعزل الجزء الأسي أولًا بقسمة طرفي المعادلة على 200.

    نأخذ الآن اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين.

    يبسط الطرف الأيسر إلى 0.07 طن ، من خلال متطابقة لوغاريتمية 1.

    حل المعادلات التالية وتحقق من الإجابات.

    (أ) 3 × = 10

    (ب) 150 هـ 0.05 ر = 350

    إجابه

    المعادلات اللوغاريتمية

    عند حل المعادلات الأسية ، استخدمنا بشكل متكرر الهوية اللوغاريتمية 1 لأنها تتضمن تطبيق دالة لوغاريتمية على & quotundo & quot تأثير الدالة الأسية. عند التعامل مع المعادلات اللوغاريتمية ، سنستخدم الهوية اللوغاريتمية 2 حيث يتم تطبيق الدالة الأسية على & quotundo & quot تأثير الدالة اللوغاريتمية.

    2 سجل x = 12

    نريد عزل اللوغاريتم x ، لذا نقسم كلا الطرفين على 2.

    بما أن اللوغاريتم هو اللوغاريتم للأساس 10 ، فإننا نطبق الدالة الأسية للأساس 10 على طرفي المعادلة.

    By logarithmic identity 2, the left hand side simplifies to x.

    7 + 3 ln x = 15 First isolate ln x.

    3 ln x = 8

    ln x = 8/3

    Now apply the exponential function to both sides.

    This is the exact answer. If you use a calculator to evaluate this expression, you will have an approximation to the answer.

    x is approximately equal to 14.39.

    Check the answers found in examples 5 and 6.

    ln (x + 4) + ln (x - 2) = ln 7

    First we use property 1 of logarithms to combine the terms on the left.

    Now apply the exponential function to both sides.

    The logarithmic identity 2 allows us to simplify both sides.

    x = 3 checks, for ln 7 + ln 1 = ln 7.

    x = -5 does not check, for when we try to substitute -5 for x in the original equation we are taking the natural logarithm of negative numbers, which is not defined.


    Exponential and Logarithmic Functions

    There are many quantities that grow exponentially. Some examples are population, compound interest and charge in a capacitor.

    An understanding of exponential growth is essential if you want to be comfortably rich later on.

    The special thing about exponential growth is that the rate of growth increases as time increases. You can see this in the graph at right. The curve gets steeper and steeper as time goes on.

    We can also have exponential decay (for example, radioactive decay).

    Related Sections in "Interactive Mathematics"

    Exponents and Radicals, which is essential background before starting the current chapter.

    ب. Logarithms

    Logarithms were developed in the 17th century by the Scottish mathematician, John Napier. They were a clever method of reducing long multiplications into much simpler additions (and reducing divisions into subtractions). Young Johhny Napier had to help his dad, who was a tax collector. Johhny got sick of multiplying and dividing large numbers all day and devised logarithms to make his life easier.

    The use of logarithms made trigonometry and many other fields of mathematics much simpler to calculate.

    متي calculus was developed later in the century, logarithms became central to many solutions. Today, logarithms are still important in many fields of science and engineering, even though we use calculators for most simple calculations.

    You can see some applications in the "Related Sections" panel at right.


    شاهد الفيديو: اشتقاق الدوال الاسية واللوغاريتمية تفاضــــــــــــــــــل - ثالثة ثانوى (شهر اكتوبر 2021).