مقالات

7.4: وجود القيم الذاتية


فيما يلي ، نريد دراسة السؤال عن وقت وجود قيم eigenvalues ​​لعامل معين (T ). للإجابة على هذا السؤال ، سنستخدم كثيرات الحدود (p (z) in mathbb {F} [z] ) التي تم تقييمها على عوامل التشغيل (T in mathcal {L} (V، V) ) (أو ، بشكل مكافئ ، على المصفوفات المربعة (A in mathbb {F} ^ {n times n} ). بشكل أكثر وضوحًا ، بالنظر إلى كثير الحدود

[p (z) = a_0 + a_1 z + cdots + a_k z ^ k ]

يمكننا ربط المشغل

[p (T) = a_0 I_V + a_1 T + cdots + a_k T ^ k. ]

لاحظ أنه بالنسبة إلى (p (z)، q (z) in mathbb {F} [z] ) ، لدينا

ابدأ {المعادلة *}
(pq) (T) = p (T) q (T) = q (T) p (T).
نهاية {المعادلة *}

ستكون نتائج هذا القسم لمساحات متجهية معقدة. هذا لأن إثبات وجود قيم eigenvalues ​​يعتمد على النظرية الأساسية للجبر من الفصل 3 ، والتي تقدم بيانًا حول وجود أصفار لكثيرات الحدود فوق ( mathbb {C} ).

نظرية 7.4.1: وجود

يترك (V neq {0 } ) تكون مساحة متجهة ذات أبعاد محدودة ( mathbb {C} ) ، واسمحوا (T in mathcal {L} (V، V) ). ثم (T ) لديه واحد على الأقل القيمة الذاتية.

دليل - إثبات

دع (v in V ) مع (v neq 0 ) ، واعتبر قائمة المتجهات

ابدأ {المعادلة *}
(v ، Tv ، T ^ 2v ، ldots ، T ^ nv) ،
نهاية {المعادلة *}

حيث (n = dim (V) ). نظرًا لأن القائمة تحتوي على (n + 1 ) متجهات ، يجب أن تكون تابعة خطيًا. ومن ثم ، توجد مقاييس (a_0، a_1، ldots، a_n in mathbb {C} ) ، وليس كل الصفر ، مثل

ابدأ {المعادلة *}
0 = a_0 v + a_1 Tv + a_2 T ^ 2 v + cdots + a_n T ^ n v.
نهاية {المعادلة *}

لنفترض أن (m ) هو أكبر فهرس له (a_m neq 0 ). منذ (v neq 0 ) ، يجب أن يكون لدينا (m> 0 ) (لكن ربما (m = n ). ضع في اعتبارك كثير الحدود

ابدأ {المعادلة *}
ع (ض) = أ_0 + أ_1 ض + cdots + أ_ م ض ^ م.
نهاية {المعادلة *}

من خلال النظرية 3.2.3 (3) يمكن تحليلها إلى عوامل
ابدأ {المعادلة *}
ع (ض) = ج (ض- lambda_1) cdots (ض- lambda_m) ​​،
نهاية {المعادلة *}

حيث (c، lambda_1، ldots، lambda_m in mathbb {C} ) و (c neq 0 ).

لذلك،
ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
0 & = a_0 v + a_1 Tv + a_2 T ^ 2 v + cdots + a_n T ^ n v = p (T) v
& = c (T- lambda_1 I) (T- lambda_2 I) cdots (T- lambda_m I) v ،
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}
ولذا يجب أن يكون أحد العوامل على الأقل (T- lambda_j I ) غير موضوعي. بمعنى آخر ، هذا ( lambda_j ) هو قيمة ذاتية لـ (T ).

لاحظ أن إثبات النظرية 7.4.1 يستخدم فقط المفاهيم الأساسية حول الخرائط الخطية ، وهو نفس النهج المستخدم في كتاب مدرسي شائع يسمى تم إجراء الجبر الخطي بشكل صحيح بواسطة شيلدون أكسلر. تعتمد العديد من الكتب المدرسية الأخرى على براهين أكثر صعوبة بشكل ملحوظ باستخدام مفاهيم مثل المحدد وخاصية كثير الحدود للمصفوفة. في الوقت نفسه ، غالبًا ما يكون من الأفضل استخدام كثير الحدود المميز لمصفوفة من أجل حساب معلومات eigen لمشغل ؛ نناقش هذا النهج في الفصل 8.

لاحظ أيضًا أن النظرية 7.4.1 لا تنطبق على المساحات المتجهة الحقيقية. على سبيل المثال ، كما رأينا في المثال 7.2.2 ، لا يحتوي عامل الاستدارة (R ) على ( mathbb {R} ^ 2 ) على قيم eigenvalues.


ابحث عن قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية لـ $$ left [ begin1 & 2 0 & 3 نهاية حق] $$.

ابدأ من تكوين مصفوفة جديدة بطرح $$ lambda $$ من الإدخالات القطرية للمصفوفة المحددة: $$ left [ start1 - لامدا & 2 0 & 3 - لامدا نهاية حق] $$.

محدد المصفوفة التي تم الحصول عليها هو $$ left ( lambda - 3 right) left ( lambda - 1 right) $$ (للخطوات ، انظر حاسبة المحددات).

حل المعادلة $$ يسار ( لامدا - 3 يمين) يسار ( لامدا - 1 يمين) = 0 $$.

الجذور هي $$ lambda_ <1> = 3 $$ ، $$ lambda_ <2> = 1 $$ (للخطوات ، انظر حلال المعادلة).

هذه هي القيم الذاتية.

بعد ذلك ، أوجد المتجهات الذاتية.

$$ اليسار [ البدء1 - لامدا & 2 0 & 3 - لامدا نهاية right] = left [ start-2 & 2 0 & 0 نهاية حق] $$

المسافة الخالية في هذه المصفوفة هي $$ left < left [ begin1 1 نهاية right] right > $$ (لمعرفة الخطوات ، راجع حاسبة المساحة الفارغة).

$$ اليسار [ البدء1 - لامدا & 2 0 & 3 - لامدا نهاية right] = left [ start0 & 2 0 & 2 نهاية حق] $$

المسافة الخالية في هذه المصفوفة هي $$ left < left [ begin1 0 نهاية right] right > $$ (لمعرفة الخطوات ، راجع حاسبة المساحة الفارغة).


7.4: القيم الذاتية لل Lz

  • بمساهمة ريتشارد فيتزباتريك
  • أستاذ (فيزياء) في جامعة تكساس في أوستن

يبدو من المعقول محاولة كتابة eigenstate (Y_( theta، phi) ) بالشكل القابل للفصل

يمكننا أن نلبي قيد التعامد ([e8.31]) بشرط ذلك

لاحظ ، من المعادلة ([e8.26]) ، أن العامل التفاضلي الذي يمثل (L_z ) يعتمد فقط على الزاوية السمتيّة ( phi ) ، ومستقل عن الزاوية القطبية ( ثيتا ). لذلك يتبع من المعادلات ([e8.26]) و ([e8.29]) و ([e8.34]) أن [- < rm i> ، hbar ، frac_m> = m ، hbar ، < mit Phi> _m. ] حل هذه المعادلة هو [ label < mit Phi> _m ( phi) sim < rm e> ^ <، < rm i> ، m ، phi>. ] هنا ، الرمز ( sim ) يعني فقط أننا نتجاهل ثوابت الضرب.

يشير تفسيرنا الأساسي للدالة الموجية على أنها كمية يمثل معاملها التربيعي الكثافة الاحتمالية لإيجاد جسيم في نقطة معينة في الفضاء إلى أن دالة الموجة الفيزيائية يجب أن تكون ذات قيمة واحدة في الفضاء. خلاف ذلك ، فإن كثافة الاحتمال عند نقطة معينة لن يكون لها ، بشكل عام ، قيمة فريدة ، وهذا ليس له معنى مادي. ومن ثم ، فإننا نطالب بأن تكون الدالة الموجية ([e8.38]) ذات قيمة واحدة: أي (< mit Phi> _m ( phi + 2 ، pi) = < mit Phi> _m ( phi) ) للجميع ( phi ). هذا يعني على الفور أن الكمية (م ) محددة. في الواقع ، (m ) يمكن أن يأخذ قيمًا صحيحة فقط. وبالتالي ، نستنتج أن القيم الذاتية لـ (L_z ) يتم تحديدها كميًا أيضًا ، وتأخذ القيم (m ، hbar ) ، حيث (m ) هو عدد صحيح. [هناك حجة أكثر صرامة وهي أن (< mit Phi> _m ( phi) ) يجب أن يكون مستمرًا للتأكد من أن (L_z ) عامل هرميتى ، لأن إثبات الانسداد يتضمن تكاملًا من خلال الأجزاء في ( phi ) التي تم فيها إلغاء المساهمات من ( phi = 0 ) و ( phi = 2 pi ). ]

أخيرًا ، يمكننا بسهولة تطبيع eigenstate ([e8.38]) من خلال الاستفادة من القيد المتعامد ([e8.36]). نحصل على [< mit Phi> _m ( phi) = frac << rm e> ^ <، < rm i> ، m ، phi >> < sqrt <2 pi> >. ] هذا هو eigenstate المقيس بشكل صحيح لـ (L_z ) المطابق للقيمة الذاتية (m ، hbar ).


محتويات

إذا كان T هو تحويل خطي من فضاء متجه V فوق حقل F في نفسه و الخامس هو متجه غير صفري في V ، إذن الخامس هو ناقل eigenvector لـ T إذا تي(الخامس) هو مضاعف عددي لـ الخامس . يمكن كتابة هذا كـ

حيث λ هو عدد قياسي في F ، والمعروف باسم القيمة الذاتية, قيمة مميزة، أو جذر مميز مرتبط ب الخامس .

هناك مراسلات مباشرة بين ن-بواسطة-ن المصفوفات المربعة والتحويلات الخطية من ن-فضاء متجه الأبعاد في نفسه ، بالنظر إلى أي أساس لمساحة المتجه. ومن ثم ، في فضاء متجه ذي أبعاد محدودة ، فإنه يكافئ تعريف القيم الذاتية والمتجهات الذاتية باستخدام إما لغة المصفوفات ، أو لغة التحولات الخطية. [3] [4]

إذا كانت V ذات أبعاد محدودة ، فإن المعادلة أعلاه تعادل [5]

حيث A هو تمثيل المصفوفة لـ T و ش هو متجه إحداثيات الخامس .

تبرز القيم الذاتية والمتجهات الذاتية بشكل بارز في تحليل التحولات الخطية. البادئة إيجن- مأخوذ من الكلمة الألمانية إيجن (مشابه للكلمة الإنجليزية خاصة) لكلمة "مناسب" ، "مميز" ، "خاص". [6] [7] تستخدم في الأصل لدراسة المحاور الرئيسية للحركة الدورانية للأجسام الصلبة ، والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية لها مجموعة واسعة من التطبيقات ، على سبيل المثال في تحليل الاستقرار ، وتحليل الاهتزاز ، والمدارات الذرية ، والتعرف على الوجه ، وقطر المصفوفة.

في جوهرها ، المتجه الذاتي الخامس من التحول الخطي تي هو متجه غير صفري عندما تي يتم تطبيقه عليه ، لا يغير الاتجاه. التقديم تي إلى eigenvector فقط يقيس eigenvector بالقيمة العددية λ، تسمى قيمة eigenvalue. يمكن كتابة هذا الشرط على أنه المعادلة

يشار إليها باسم معادلة القيمة الذاتية أو المعادلة الذاتية. بشكل عام، λ قد يكون أي عدد. فمثلا، λ قد يكون سالبًا ، وفي هذه الحالة يقوم المتجه الذاتي بعكس اتجاهه كجزء من القياس ، أو قد يكون صفريًا أو معقدًا.

يقدم مثال الموناليزا المصور هنا توضيحًا بسيطًا. يمكن تمثيل كل نقطة على اللوحة كمتجه يشير من مركز اللوحة إلى تلك النقطة. يسمى التحويل الخطي في هذا المثال تعيين القص. يتم نقل النقاط الموجودة في النصف العلوي إلى اليمين ، ويتم نقل النقاط الموجودة في النصف السفلي إلى اليسار ، بما يتناسب مع بُعدها عن المحور الأفقي الذي يمر عبر منتصف اللوحة. وبالتالي ، فإن المتجهات التي تشير إلى كل نقطة في الصورة الأصلية مائلة إلى اليمين أو اليسار ، وتصبح أطول أو أقصر من خلال التحويل. نقاط على طول لا يتحرك المحور الأفقي على الإطلاق عند تطبيق هذا التحويل. لذلك ، فإن أي متجه يشير مباشرة إلى اليمين أو اليسار بدون مكون رأسي هو متجه ذاتي لهذا التحول ، لأن التعيين لا يغير اتجاهه. علاوة على ذلك ، فإن كل هذه المتجهات الذاتية لها قيمة ذاتية تساوي واحدًا ، لأن التعيين لا يغير طولها أيضًا.

يمكن أن تتخذ التحويلات الخطية أشكالًا مختلفة ، ترسم المتجهات في مجموعة متنوعة من المساحات المتجهية ، وبالتالي يمكن أن تتخذ المتجهات الذاتية أيضًا أشكالًا عديدة. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون التحويل الخطي عاملًا تفاضليًا مثل d d x < displaystyle < tfrac >> ، في هذه الحالة ، تكون المتجهات الذاتية وظائف تسمى eigenfunctions التي يتم تحجيمها بواسطة عامل التشغيل التفاضلي ، مثل

بدلاً من ذلك ، يمكن أن يتخذ التحويل الخطي شكل ن بواسطة ن المصفوفة ، وفي هذه الحالة تكون المتجهات الذاتية ن من خلال 1 مصفوفات. إذا تم التعبير عن التحويل الخطي في شكل ن بواسطة ن مصفوفة أ، ثم يمكن إعادة كتابة معادلة eigenvalue للتحويل الخطي أعلاه كضرب المصفوفة

حيث المتجه الذاتي الخامس هو ن بنسبة 1 مصفوفة. بالنسبة للمصفوفة ، يمكن استخدام القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لتحليل المصفوفة - على سبيل المثال عن طريق قطريها.

تؤدي القيم الذاتية والمتجهات الذاتية إلى ظهور العديد من المفاهيم الرياضية ذات الصلة الوثيقة والبادئة إيجن- يتم تطبيقها بحرية عند تسميتها:

  • تسمى مجموعة جميع المتجهات الذاتية للتحول الخطي ، كل منها مقترنة بقيمتها الذاتية المقابلة ، نظام eigensystem من هذا التحول. [8] [9]
  • مجموعة جميع المتجهات الذاتية لـ تي المقابلة لنفس القيمة الذاتية ، جنبًا إلى جنب مع المتجه الصفري ، يسمى eigenspace، أو ال مساحة مميزة من تي المرتبطة بتلك القيمة الذاتية. [10]
  • إذا كانت مجموعة من المتجهات الذاتية من تي يشكل أساس مجال تي، ثم يسمى هذا الأساس eigenbasis.

غالبًا ما يتم تقديم القيم الذاتية في سياق الجبر الخطي أو نظرية المصفوفة. تاريخياً ، نشأت في دراسة الأشكال التربيعية والمعادلات التفاضلية.

في القرن الثامن عشر ، درس ليونارد أويلر الحركة الدورانية لجسم صلب ، واكتشف أهمية المحاور الرئيسية. [أ] أدرك جوزيف لويس لاغرانج أن المحاور الرئيسية هي المتجهات الذاتية لمصفوفة القصور الذاتي. [11]

في أوائل القرن التاسع عشر ، رأى Augustin-Louis Cauchy كيف يمكن استخدام عملهم لتصنيف الأسطح الرباعية ، وتعميمها على أبعاد عشوائية. [12] كما صاغ كوشي المصطلح راسين caractéristique (جذر مميز) ، لما يسمى الآن القيمة الذاتية فترة حكمه في معادلة مميزة. [ب]

في وقت لاحق ، استخدم جوزيف فورييه عمل لاغرانج وبيير سيمون لابلاس لحل معادلة الحرارة بفصل المتغيرات في كتابه الشهير عام 1822. Théorie analytique de la chaleur. [13] طور تشارلز-فرانسوا ستورم أفكار فورييه بشكل أكبر ، ولفت انتباه كوشي إليها ، الذي جمعها مع أفكاره الخاصة وتوصل إلى حقيقة أن المصفوفات المتماثلة الحقيقية لها قيم ذاتية حقيقية. [12] وسع تشارلز هيرميت هذا في عام 1855 إلى ما يسمى الآن المصفوفات الهرميتية. [14]

في نفس الوقت تقريبًا ، أثبت Francesco Brioschi أن القيم الذاتية للمصفوفات المتعامدة تقع على دائرة الوحدة ، [12] ووجد ألفريد كليبش النتيجة المقابلة للمصفوفات المنحرفة المتماثلة. [14] أخيرًا ، أوضح كارل وييرستراس جانبًا مهمًا في نظرية الاستقرار التي بدأها لابلاس ، من خلال إدراك أن المصفوفات المعيبة يمكن أن تسبب عدم الاستقرار. [12]

في غضون ذلك ، درس جوزيف ليوفيل مشاكل eigenvalue المشابهة لتلك الخاصة بـ Sturm ، يسمى الانضباط الذي نشأ من عملهم الآن نظرية شتورم ليوفيل. [15] درس شوارتز أول قيمة ذاتية لمعادلة لابلاس على المجالات العامة في نهاية القرن التاسع عشر ، بينما درس بوانكاريه معادلة بواسون بعد سنوات قليلة. [16]

في بداية القرن العشرين ، درس ديفيد هيلبرت القيم الذاتية للمشغلين المتكاملين من خلال عرض المشغلين على أنهم مصفوفات لا نهائية. [17] كان أول من استخدم الكلمة الألمانية إيجن، والتي تعني "تملك" ، [7] للدلالة على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية في عام 1904 ، [ج] على الرغم من أنه ربما كان يتبع استخدامًا ذا صلة من قبل هيرمان فون هيلمهولتز. لبعض الوقت ، كان المصطلح القياسي في اللغة الإنجليزية هو "القيمة المناسبة" ، ولكن المصطلح الأكثر تميزًا "eigenvalue" هو المعيار اليوم. [18]

ظهرت أول خوارزمية عددية لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية في عام 1929 ، عندما نشر ريتشارد فون ميزس طريقة الطاقة. إحدى الطرق الأكثر شيوعًا اليوم ، وهي خوارزمية QR ، تم اقتراحها بشكل مستقل من قبل جون جي إف فرانسيس [19] وفيرا كوبلانوفسكايا [20] في عام 1961. [21] [22]

غالبًا ما يتم تقديم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للطلاب في سياق دورات الجبر الخطي التي تركز على المصفوفات. [23] [24] علاوة على ذلك ، يمكن تمثيل التحويلات الخطية عبر فضاء متجه ذي أبعاد محدودة باستخدام المصفوفات ، [25] [4] وهي شائعة بشكل خاص في التطبيقات العددية والحاسوبية. [26]

ضع في اعتبارك المتجهات ذات الأبعاد n التي تم تشكيلها كقائمة من n العددية ، مثل المتجهات ثلاثية الأبعاد

يقال أن هذه المتجهات هي مضاعفات عددية لبعضها البعض ، أو متوازية أو خطية ، إذا كان هناك عدد بحيث

الآن ضع في اعتبارك التحويل الخطي للمتجهات ذات الأبعاد n المحددة بواسطة n بواسطة n مصفوفة A ،

إذا حدث أن v و w عبارة عن مضاعفات عددية ، فهذا إذا كان

ومن بعد الخامس هو ناقل eigenvector للتحول الخطي A وعامل القياس λ هو القيمة الذاتية المقابلة لذلك eigenvector. المعادلة (1) هل معادلة القيمة الذاتية للمصفوفة أ.

المعادلة (1) يمكن التعبير عنها بالتساوي

حيث أنا مصفوفة هوية n على n و 0 هو المتجه الصفري.

القيم الذاتية وتحرير متعدد الحدود المميز

المعادلة (2) يحتوي على حل غير صفري الخامس إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة (أλأنا) تساوي صفرًا. لذلك ، فإن قيم eigenvalues ​​لـ أ هي قيم λ التي تفي بالمعادلة

باستخدام قاعدة لايبنيز للمحدد ، الجانب الأيسر من المعادلة (3) هي دالة كثيرة الحدود للمتغير λ ودرجة هذا كثير الحدود ن، ترتيب المصفوفة أ. معاملاتها تعتمد على إدخالات أ، ما عدا أن مدتها من الدرجة ن دائما (−1) ن λ ن . هذا كثير الحدود يسمى كثير الحدود المميزة من أ. المعادلة (3) يسمى معادلة مميزة أو ال معادلة علمانية من أ.

تشير النظرية الأساسية في الجبر إلى أن كثير الحدود المميز لـ an ن-بواسطة-ن مصفوفة أ، كونها متعددة الحدود من الدرجة ن، يمكن وضعها كعامل في منتج ن شروط خطية ،

حيث كل λأنا قد يكون حقيقيًا ولكن بشكل عام هو رقم مركب. الارقام λ1, λ2, …, λن، والتي قد لا تحتوي جميعها على قيم مميزة ، فهي جذور متعددة الحدود وهي قيم eigenvalues ​​لـ أ.

كمثال موجز ، سيتم وصفه بمزيد من التفصيل في قسم الأمثلة لاحقًا ، ضع في اعتبارك المصفوفة

أخذ محددات (أλأنا) ، كثير الحدود المميز لـ أ يكون

عند تعيين كثير الحدود المميز يساوي صفرًا ، يكون له جذور عند λ = 1 و λ = 3 ، وهما قيمتا eigenvalues ​​لـ أ. يمكن العثور على المتجهات الذاتية المقابلة لكل قيمة ذاتية عن طريق حل مكونات الخامس في المعادلة (A - λ I) v = 0 = mathbf <0>>. في هذا المثال ، المتجهات الذاتية هي أي مضاعفات عددية غير صفرية لـ

إذا كانت مداخل المصفوفة أ كلها أرقام حقيقية ، فإن معاملات كثير الحدود المميز ستكون أيضًا أرقامًا حقيقية ، لكن القيم الذاتية قد لا تزال تحتوي على أجزاء خيالية غير صفرية. لذلك قد تحتوي إدخالات المتجهات الذاتية المقابلة أيضًا على أجزاء خيالية غير صفرية. وبالمثل ، قد تكون قيم eigenvalues ​​أرقامًا غير منطقية حتى لو كانت جميع إدخالات أ هي أعداد منطقية أو حتى لو كانت جميعها أعدادًا صحيحة. ومع ذلك ، إذا كانت إدخالات أ جميع الأعداد الجبرية ، والتي تشمل الأسباب المنطقية ، والقيم الذاتية هي أعداد جبرية معقدة.

يمكن تجميع الجذور غير الحقيقية لكثير الحدود الحقيقية ذات المعاملات الحقيقية في أزواج من الاتحادات المعقدة ، أي مع وجود عضوين من كل زوج لهما أجزاء تخيلية تختلف فقط في الإشارة ونفس الجزء الحقيقي. إذا كانت الدرجة فردية ، فبالنسبة لنظرية القيمة المتوسطة ، يكون أحد الجذور على الأقل حقيقيًا. لذلك ، فإن أي مصفوفة حقيقية بترتيب فردي لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل ، في حين أن المصفوفة الحقيقية بترتيب زوجي قد لا تحتوي على أي قيم ذاتية حقيقية. المتجهات الذاتية المرتبطة بهذه القيم الذاتية المعقدة هي أيضًا معقدة وتظهر أيضًا في أزواج مترافقة معقدة.

تحرير التعددية الجبرية

يترك λأنا أن تكون قيمة ذاتية لـ ن بواسطة ن مصفوفة أ. ال تعدد جبري ميكرومترأ(λأنا) من قيمة eigenvalue هو تعددها كجذر لكثير الحدود المميزة ، أي أكبر عدد صحيح ك مثل ذلك (λλأنا) ك يقسم هذا كثير الحدود بالتساوي. [10] [27] [28]

افترض مصفوفة أ له أبعاد ن و دن قيم ذاتية متميزة. بينما المعادلة (4) عوامل كثيرة الحدود المميزة لـ أ في منتج ن المصطلحات الخطية مع بعض المصطلحات التي يحتمل تكرارها ، يمكن بدلاً من ذلك كتابة كثير الحدود المميز كمنتج لـ د المصطلحات تتطابق مع قيمة ذاتية مميزة وترتفع إلى قوة التعددية الجبرية ،

لو د = ن ثم الجانب الأيمن هو نتاج ن المصطلحات الخطية وهذه هي نفس المعادلة (4). يرتبط حجم التعددية الجبرية لكل قيمة ذاتية بالبعد ن مثل

لو ميكرومترأ(λأنا) = 1 إذن λأنا يقال أن يكون قيمة ذاتية بسيطة. [28] إذا ميكرومترأ(λأنا) يساوي التعددية الهندسية لـ λأنا, γأ(λأنا) ، المحدد في القسم التالي ، إذن λأنا يقال أن يكون القيمة الذاتية شبه البسيطة.

Eigenspaces والتعددية الهندسية و eigenbasis لتحرير المصفوفات

إعطاء قيمة ذاتية معينة λ التابع ن بواسطة ن مصفوفة أ، حدد المجموعة ه لتكون جميع النواقل الخامس التي ترضي المعادلة (2),

من ناحية ، هذه المجموعة هي بالضبط النواة أو الفراغ الفارغ للمصفوفة (أλأنا). من ناحية أخرى ، بحكم التعريف ، فإن أي ناقل غير صفري يفي بهذا الشرط هو ناقل ذاتي لـ أ مرتبط ب λ. لذا ، فإن المجموعة ه هو اتحاد المتجه الصفري مع مجموعة جميع المتجهات الذاتية لـ أ مرتبط ب λ، و ه يساوي nullspace لـ (أλأنا). ه يسمى eigenspace أو مساحة مميزة من أ مرتبط ب λ. [29] [10] بشكل عام λ هو رقم مركب والمتجهات الذاتية معقدة ن من خلال 1 مصفوفات. خاصية nullspace هي أنها فضاء جزئي خطي ، لذلك ه هي مساحة جزئية خطية لـ ℂ ن .

لأن مساحة eigenspace ه هو فضاء جزئي خطي ، يتم إغلاقه تحت الإضافة. هذا هو ، إذا اثنين من النواقل ش و الخامس تنتمي إلى المجموعة ه، مكتوبة ش, الخامسه ، من ثم (ش + الخامس) ∈ ه أو مكافئ أ(ش + الخامس) = λ(ش + الخامس). يمكن التحقق من ذلك باستخدام خاصية التوزيع لضرب المصفوفة. وبالمثل ، لأن ه هي فضاء جزئي خطي ، يتم إغلاقه تحت الضرب القياسي. هذا هو ، إذا الخامسه و α هو رقم مركب ، (αالخامس) ∈ ه أو مكافئ أ(αالخامس) = λ(αالخامس). يمكن التحقق من ذلك من خلال ملاحظة أن ضرب المصفوفات المعقدة بأرقام معقدة هو تبادلي. طالما ش + الخامس و αالخامس ليست صفرا ، بل هي أيضا متجهات ذاتية أ مرتبط ب λ.

أبعاد فضاء eigenspace ه مرتبط ب λ، أو على نحو مكافئ الحد الأقصى لعدد المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا المرتبطة بـ λ، يشار إليها باسم eigenvalue's تعدد هندسي γأ(λ). لان ه هي أيضًا nullspace لـ (أλأنا) ، التعدد الهندسي لـ λ هو بعد مسافة nullspace لـ (أλأنا) ، وتسمى أيضًا بطلان من (أλأنا) ، والتي تتعلق بأبعاد ورتبة (أλأنا) كما

بسبب تعريف القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، يجب أن يكون التعدد الهندسي لقيم eigenvalue واحدًا على الأقل ، أي أن كل قيمة ذاتية لها على الأقل متجه ذاتي واحد مرتبط. علاوة على ذلك ، لا يمكن أن تتجاوز التعددية الهندسية لقيمة eigenvalue تعددها الجبري. بالإضافة إلى ذلك ، تذكر أن التعددية الجبرية لقيمة eigenvalue لا يمكن أن تتجاوز ن.

خصائص إضافية لتحرير قيم eigenvalues

تحرير المتجهات الذاتية اليمنى واليسرى

تمثل العديد من التخصصات المتجهات تقليديًا كمصفوفات بعمود واحد بدلاً من كونها مصفوفات بصف واحد. لهذا السبب ، تشير كلمة "eigenvector" في سياق المصفوفات دائمًا تقريبًا إلى a ناقل eigenvector الصحيح، وهي أ عمودي ناقلات ذلك حق يضاعف n × n < displaystyle n times n> المصفوفة A < displaystyle A> في المعادلة المحددة ، المعادلة (1),

يمكن أيضًا تحديد مشكلة eigenvalue و eigenvector لـ صف ناقلات ذلك متبقى اضرب المصفوفة A < displaystyle A>. في هذه الصيغة ، فإن المعادلة المحددة هي

قطري وتحرير eigendecomposition

افترض أن المتجهات الذاتية لـ أ تشكل الأساس ، أو ما يعادله أ لديها ن المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا الخامس1, الخامس2, …, الخامسن مع القيم الذاتية المرتبطة بها λ1, λ2, …, λن. لا يجب أن تكون قيم eigenvalues ​​مميزة. حدد مصفوفة مربعة س أعمدتها ن المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا لـ أ,

منذ كل عمود من س هو ناقل eigenvector من أ، الضرب الصحيح أ بواسطة س مقاييس كل عمود من س من خلال القيمة الذاتية المرتبطة بها ،

مع وضع ذلك في الاعتبار ، حدد مصفوفة قطرية حيث كل عنصر قطري Λثانيا هي قيمة eigenvalue المرتبطة بـ أناالعمود ال س. ثم

لأن أعمدة س مستقلة خطيًا ، Q قابلة للانعكاس. لليمين ضرب طرفي المعادلة في س −1 ,

أو بدلاً من ذلك ترك ضرب كلا الجانبين في س −1 ,

أ لذلك يمكن أن تتحلل إلى مصفوفة تتكون من متجهاتها الذاتية ، مصفوفة قطرية بقيمها الذاتية على طول القطر ، وعكس مصفوفة المتجهات الذاتية. هذا يسمى eigendecomposition وهو تحول تشابه. هذه المصفوفة أ يقال أن يكون مماثل إلى المصفوفة القطرية Λ أو قابلة للاستقطار. المصفوفة س هو تغيير المصفوفة الأساسية لتحويل التشابه. في الأساس ، المصفوفات أ و تمثل نفس التحويل الخطي معبرًا عنه في قاعدتين مختلفتين. يتم استخدام المتجهات الذاتية كأساس عند تمثيل التحويل الخطي كـ Λ.

على العكس ، افترض مصفوفة أ قطري. يترك ص أن تكون مصفوفة مربعة غير مفردة مثل ذلك ص −1 AP عبارة عن مصفوفة قطرية د. غادر ضرب كلاهما ص, AP = PD . كل عمود من ص لذلك يجب أن يكون ناقلًا ذاتيًا لـ أ الذي قيمته الذاتية هي العنصر القطري المقابل لـ د. منذ أعمدة ص يجب أن تكون مستقلة خطيًا عن ص لتكون قابلة للعكس ، فهي موجودة ن المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا لـ أ. ثم يلي ذلك أن المتجهات الذاتية لـ أ تشكل الأساس إذا وفقط إذا أ قطري.

يقال إن المصفوفة غير القابلة للقياس تكون معيبة. بالنسبة للمصفوفات المعيبة ، يُعمم مفهوم المتجهات الذاتية على المتجهات الذاتية المعممة وتعمم المصفوفة القطرية للقيم الذاتية على الشكل العادي للأردن. فوق حقل مغلق جبريًا ، أي مصفوفة أ له شكل الأردن الطبيعي وبالتالي يقبل أساسًا من المتجهات الذاتية المعممة والتحلل إلى فضاءات eigenspaces المعممة.


وجود وتفرد التحلل الذاتي لمصفوفة مربعة

أنا مرتبك بشأن الشروط الكافية لوجود وتفرد التحلل الذاتي لمصفوفة مربعة.

ضع في اعتبارك مصفوفة $ A $ ذات بعد $ m مرات m $ ، مصفوفة $ B $ أبعادها $ m مرات m $ ومصفوفة $ D $ ذات بعد $ m مرات m $.

الافتراض 1: $ B $ قابل للعكس

الافتراض 2: العناصر القطرية لـ $ D $ مميزة جميعًا

الافتراض 3: $ A = BDB ^ <-1> $ حيث يوجد $ B ^ <-1> $ بالافتراض 1

(1) هل الافتراض 3 يعني أن $ BDB ^ <-1> $ هو التحلل الذاتي لـ $ A $؟ بعبارة أخرى ، هل الافتراض 3 يكافئ القول بأن أعمدة $ B $ هي المتجهات الذاتية لـ $ A $ والعناصر القطرية لـ $ D $ هي القيم الذاتية لـ $ A $؟ أم أننا بحاجة إلى افتراضات أخرى لتوضيح ذلك؟

أشك في أنه: إذا كان الافتراض 3 يعني أن أعمدة $ B $ هي المتجهات الذاتية لـ $ A $ والعناصر القطرية لـ $ D $ هي القيم الذاتية لـ $ A $ ، إذًا ، بما أن $ B $ قابل للعكس ، يجب أن يكون أن تكون المتجهات الذاتية لـ $ A $ مستقلة خطيًا ، وبالتالي ، فإن $ A $ قابل للعكس (وهو ليس من بين افتراضاتي).

(2) مما قرأته في بعض المصادر ، الافتراضات 2 و 3 يعني ضمناً أن التحلل الذاتي لـ $ A $ هو فريدة من نوعها [حتى الضرب الأيسر لـ $ B $ بواسطة مصفوفة قطرية معكوسة وحتى ترتيب قيم eigenvalues]. ماذا تعني كلمة "فريد" بالضبط؟ كان تفكيري أن هذا يعني أنه لا توجد مصفوفات أخرى $ E ، F $ بقطر $ F $ مثل $ A = EFE ^ <-1> $؟ ولكن إذا كان هذا صحيحًا ، فسيكون التفرد ضروريًا لضمان أن أعمدة $ B $ هي المتجهات الذاتية لـ $ A $ والعناصر القطرية لـ $ D $ هي القيم الذاتية لـ $ A $ بمعنى آخر ستكون "مضمنة" بالقول إن $ BDB ^ <-1> $ هو التحلل الذاتي لـ $ A $. هل يمكنك توضيح هذه النقطة؟


7.4: وجود القيم الذاتية


هذا هو الموقع الإلكتروني لدورة MAT22B في قسم الرياضيات بجامعة كاليفورنيا في ديفيس.
يحتوي على معلومات الدورة الأساسية ومذكرات الرياضيات والموارد الرياضية.

الكتاب المدرسي للدورة هو النسخة المختصرة من المعادلات التفاضلية الأولية ومشكلات القيمة الحدودية بقلم W.E. بويس ، أر. ديبريما ودي. أعدت Meade لطلاب UC Davis. ستستخدم دورتنا الفصول 1،2،3،6 و 7 فقط من الإصدار الحادي عشر القياسي.

الهدف من المقرر الدراسي هو تطوير فهم واضح للمعادلات التفاضلية وأساليب الحل الأساسية واكتساب القدرة على استخدامها لحل المشكلات ، كما هو مبين في منهج القسم.

دورة معلومات

محاضرات: MWF الساعة 10: 00-10: 50 صباحًا في Kleiber Hall 3.

كتاب مدرسي: المعادلات التفاضلية الأولية ومشكلات القيمة الحدودية بقلم W.E. بويس ، أر. ديبريما ودي. ميد (الإصدار الحادي عشر).
يرجى ملاحظة أن هناك نسخة مختصرة وبأسعار معقولة من هذا الكتاب المدرسي متاحة لطلاب جامعة كاليفورنيا في ديفيس.
سنستخدم الفصول 1،2،3،6 و 7 من الكتاب المدرسي أعلاه ، والمتوفرة في النسخة المختصرة.


المنهج: يحتوي منهج الدورة على المبادئ التوجيهية الأساسية للدورة ، وسيتم تحميلها مع اقتراب بداية الربع.

ساعات العمل: الاثنين 4: 30-5: 30 مساءً والأربعاء 3-4 مساءً في MSB 3214 (Casals). دائما لا تتردد في السؤال بعد انتهاء اليوم الدراسي. الثلاثاء 4-5 مساءً والأربعاء 4-5 مساءً في MSB 2123 (Jiawei Wang). الثلاثاء 2-3 مساءً والخميس 3-4 مساءً في MSB 2204 (Haolin Chen).
تقدم مراكز المساعدة الأكاديمية والدروس الخصوصية ورشة عمل دعم لهذا الفصل أيام الاثنين والأربعاء 3: 10-4 مساءً في 3218 Dutton Hall.

مساعدو التدريس: مساعدا التدريس هما جياوي وانج (wangjw - at - math.ucdavis.edu) وهاولين تشين (hlnchen - at - math.ucdavis.edu).

تواريخ مهمة: اليوم الأول (25 سبتمبر) ، اختبار النصفي (25 أكتوبر) ، الاختبار النهائي (9 ديسمبر).
يمكن إضافة الدورة حتى 10 أكتوبر (اليوم الثاني عشر من التدريس) وإسقاطها حتى 22 أكتوبر (اليوم العشرين من التدريس).

مجموعات المشاكل: الواجبات الأسبوعية مستحقة يوم الجمعة الساعة 10:00 صباحًا في بداية الفصل.
يجب إرسال مجموعات المشكلات عبر الإنترنت من خلال Canvas. مجموعة المشكلات 1 ستكون مستحقة يوم الجمعة 4 أكتوبر.

مجموعات المشاكل

    : موعد التسليم الجمعة 4 أكتوبر ومتوفر الجمعة 27 سبتمبر.

: موعد التسليم الجمعة 11 أكتوبر ومتاح يوم السبت 5 أكتوبر.

: موعد التسليم الجمعة 18 أكتوبر ومتاح يوم السبت 12 أكتوبر.

: للممارسة ومتاح الخميس 17 أكتوبر.

: للتمرين ومتاح الجمعة 18 أكتوبر.

: متوفر في الصف الجمعة 25 أكتوبر.

: موعد التسليم الجمعة 8 نوفمبر ومتوفر يوم السبت 2 نوفمبر.

: موعد التسليم الجمعة 15 تشرين الثاني (نوفمبر) ومتاح الخميس 7 تشرين الثاني (نوفمبر).

: موعد التسليم الجمعة 6 ديسمبر ومتاح الخميس 23 نوفمبر.

: للتدريب ومتاح السبت 30 نوفمبر.

: للتدريب ومتاح السبت 30 نوفمبر.

: للتدريب ومتاح السبت 30 نوفمبر.

حلول

: متاح الخميس 17 أكتوبر.

يوميات الرياضيات

    الأربعاء 25 سبتمبر: مقدمة في المعادلات التفاضلية.

تعريف المعادلة التفاضلية. أمثلة على الأمرين الأول والثاني.
النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل كطريقة للحل.
فئتان من المعادلات التفاضلية: قانون نيوتن الثاني ونمذجة معدل النمو.
أمثلة: البندول المتذبذب والتذبذبات الصغيرة (القسم 1.3).
قراءة الكتب المدرسية (25 سبتمبر): القسمان 1.1 و 1.3. يوصى أيضًا بالقسم 1.2.

طريقة فصل المتغيرات. المثال الأول.
المعادلة التفاضلية لقانون باريتو وحلها.
التطبيق: عدد المليونيرات المقدر في الولايات المتحدة عام 1998.
المعادلة التفاضلية لنمو الخلية والحل.
قراءة الكتاب المدرسي (30 سبتمبر): القسم 2.2.

الحلول النوعية. ما مدى سرعة سقوط الجسم.
السلوك طويل المدى: الحل التحليلي والحل الهندسي.
طريقة حقول الاتجاه (Isoclines). مثال: نموذج لوجيستي.
حصاد الحصص. انقراض بقرة البحر ستيلر (1968).
قراءة الكتب المدرسية (2 أكتوبر): الأقسام 1.1 و 1.2 والقسم 2.5.

المعادلات التفاضلية المستقلة. السلوك من حيث f (y).
مثال في النموذج اللوجستي. وصفة لحلول مستقرة وغير مستقرة.
تطبيق على الحصاد: حل لحالة الحصة الثابتة.
(حالة الحصة غير الثابتة: نموذج جوردون شايفر).

قراءة الكتاب المدرسي (4 أكتوبر): القسم 2.5 ، المشكلتان 19 و 20 (حصاد ​​مورد متجدد).

التقديرات العددية: القيم والأخطاء. طريقة أويلر ،
المنظور الهندسي. الخوارزمية: الوصفة.
دراسة حالة شاملة: حلول تحليلية وعددية.
تحليل الأخطاء. خطأ من حيث h والحد الأعلى للخطأ العام.
قراءة الكتاب المدرسي (7 أكتوبر): القسم 2.7.

ODEs من الدرجة الثانية. الخطية ومبدأ التراكب.
المثالان الرئيسيان: البندول ذو التذبذبات الصغيرة وانعكاسه.
أنساتز الأسي. معادلة مميزة. جذور مميزة ومعقدة.
الوصفة: حل معادلات ODE المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

قراءة الكتاب المدرسي (9 أكتوبر): القسم 3.1.

التذبذبات التوافقية المخففة. التفسير المادي.
الإفراط في التخميد (جذور حقيقية مميزة). التخميد (جذور معقدة مميزة).
المذبذبات المخففة بشكل حاسم: حالة الجذور المتكررة.
تخفيض الترتيب: إيجاد حل مستقل خطيًا ثانيًا.

قراءة الكتب المدرسية (11 أكتوبر): القسمان 3.4 و 3.7.

التذبذبات التوافقية المخففة القسرية. حلول خاصة.
الحلول العامة: حلول متجانسة بالإضافة إلى حل خاص.
جدول أنساتز: شكل الحلول الخاصة مع إعطاء القوة الخارجية.
طريقة المعاملات غير المحددة. أمثلة.
قراءة الكتب المدرسية (14 أكتوبر): القسمان 3.5 و 3.8.

تباين معلمات معادلات ODE الخطية من الدرجة الثانية.
تحديد الوظائف: النظام الخطي بدلالة Wronskian.
تعريف Wronskian وإكمال النظرية الرئيسية (Thm. 3.6.1).
مثال: الجمع بين تخفيض الترتيب وتنوع المعامِلات.
قراءة الكتاب المدرسي (16 أكتوبر): القسم 3.6

الوجود والتفرد لـ ODEs الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية (نظرية 3.2.3).
وجود وتفرد معادلات ODE الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (نظرية 3.6.1).
أمثلة حيث تكون هناك حاجة إلى متغيرات المعلمات (وفشل المعاملات غير المحددة).
إيجاد حلول مستقلة خطيًا عن طريق تقليل النظام.
قراءة الكتاب المدرسي (18 أكتوبر): القسمان 3.2 و 3.6.

معادلة أويلر. متعدد الحدود Ansatz. الجذور المتكررة والمعقدة.
معادلة الهواء والوظيفة الهوائية. أقواس قزح ونقاط تحول.
معادلة Schr & oumldinger. المذبذب التوافقي الكمي.
قراءة الكتب المدرسية (21 أكتوبر): القسمان 5.2 و 5.4.

حدس تحولات فورييه ولابلاس. تطبيقات التحويلات المتكاملة.
التعريفات الرياضية الدقيقة. ترددات الالتقاط: تعامد الجيب وجيب التمام.
تحويل فورييه لوتر رئيسي F. تحويل النبضات وإشارات التيار المستمر.
قراءة الكتاب المدرسي (28 أكتوبر): القسم 6.1.

تعريف تحويل لابلاس. شروط الوجود (نظرية 6.1.2): النمو الأسي.
جدول تحولات لابلاس (الجدول 6.2.1): الدوال الأسية ومتعددة الحدود والوظائف المثلثية.
الخاصية الأساسية لتحويل لابلاس (نظرية 6.2.1): تحويل المشتق.
تحويل لابلاس لمعادلة تفاضلية خطية. أمثلة لأنظمة الدرجة الثانية.
قراءة الكتاب المدرسي (30 أكتوبر): القسم 6.2.

تحويل لابلاس للنظام التوافقي المخمد: الجيب وجيب التمام من إكمال المربعات.
معادلات تفاضلية ذات رتبة أعلى مع تحويل لابلاس. مثال من الرتبة الرابعة (مثال 6.2.3).
وظائف Heaviside Step وتحويل لابلاس الخاص به. أمثلة في القسمين 6.3 و 6.4.
ديراك دلتا إمبلس وتحويل لابلاس الخاص به. أمثلة في القسم 6.5.
Textbook Reading (Nov 1): Sections 6.3, 6.4 and 6.5.

System of Coupled Springs and Double Pendulums.
Higher-order Differential Equations as a System of First-order.
Definition of a system of ODEs. Definition of a Linear System of ODEs.
Review of Linear Algebra: Eigenvalues, Eigenvectors and Diagonalization.
Textbook Reading (Nov 4): Sections 7.1, 7.2 and 7.3.

Principle of Superposition (Theorem 7.4.1). Fundamental set of solutions.
Solutions to Linear Homogeneous Systems (Theorem 7.4.2).
Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients.
Examples: Diagonal case and Non-Diagonal Case.
Textbook Reading (Nov 6): Sections 7.4 and 7.5.

Eigenvalues and Eigenvectors. Fundamental Solutions associated to Eigenvalues.
Review of Linear Algebra: Nullspace, rank and eigenspaces.
Several Examples. Space of solutions of a linear system.
Textbook Reading (Nov 8): Sections 7.5 and 7.6.

General Recipe for Linear Systems. Example with Defective Eigenvalues.
Towers of Generalized Eigenvalues. Fundamental solutions for Generalized Eigenvalues.
3-Dimensional Example with a multiplicity three eigenvalue and Fundamental Solutions.
Textbook Reading (Nov 13): Section 7.8.

The Direction Field of a Linear System. Long-term behaviours.
The geometric meaning of Eigenvalues and Eigenvectors. أمثلة.
Case of Real Eigenvalues. Imaginary Eigenvalues and Rotations.
Generic Complex Eigenvalues and Spirals.
Textbook Reading (Nov 15): Sections 7.5 and 7.6.

Motivation for the Matrix Exponential. Definition with Taylor Series.
Examples of Exponentials in Diagonal and Non-Diagonal Case.
Computation of a Matrix Exponential via Diagonalization.
Application to Solving Linear Systems of ODEs.
Textbook Reading (Nov 18): Section 7.7.

Non-homogeneous Linear Systems. Structure of the General Solution.
Method of Variations of Parameters. Fundamental Matrices.
Construction of a Particular Solution. Detailed Example.
Textbook Reading (Nov 20): Section 7.9.

The Lorenz Attractor. Non-linear Systems of Equations.
Examples: the Lorenz System and the Lotka-Volterra System.
The Hartman-Grobman Theorem: Linearization at Constant Solutions.
Example of How To Linearize a System. Deduction of Global Dynamics.
Resources (Nov 22): This lecture and this lecture can be helpful.


محتويات

The possible states of a quantum mechanical system may be treated mathematically as abstract vectors in a separable, complex Hilbert space, while the observables may be represented by linear Hermitian operators acting upon them. By selecting a suitable basis, the components of these vectors and the matrix elements of the operators in that basis may be determined. If A is a ن × ن matrix, X a non-zero vector, and λ is a scalar, such that A X = λ X , then the scalar λ is said to be an eigenvalue of A and the vector X is said to be the eigenvector corresponding to λ . Together with the zero vector, the set of all eigenvectors corresponding to a given eigenvalue λ form a subspace of ℂ ن , which is called the eigenspace of λ . An eigenvalue λ which corresponds to two or more different linearly independent eigenvectors is said to be degenerate, i.e., A X 1 = λ X 1 =lambda X_<1>> and A X 2 = λ X 2 =lambda X_<2>> , where X 1 > and X 2 > are linearly independent eigenvectors. The dimension of the eigenspace corresponding to that eigenvalue is known as its degree of degeneracy, which can be finite or infinite. An eigenvalue is said to be non-degenerate if its eigenspace is one-dimensional.

The eigenvalues of the matrices representing physical observables in quantum mechanics give the measurable values of these observables while the eigenstates corresponding to these eigenvalues give the possible states in which the system may be found, upon measurement. The measurable values of the energy of a quantum system are given by the eigenvalues of the Hamiltonian operator, while its eigenstates give the possible energy states of the system. A value of energy is said to be degenerate if there exist at least two linearly independent energy states associated with it. Moreover, any linear combination of two or more degenerate eigenstates is also an eigenstate of the Hamiltonian operator corresponding to the same energy eigenvalue. This clearly follows from the fact that the eigenspace of the energy value eigenvalue λ is a subspace (being the kernel of the Hamiltonian minus λ times the identity), hence is closed under linear combinations.

In the absence of degeneracy, if a measured value of energy of a quantum system is determined, the corresponding state of the system is assumed to be known, since only one eigenstate corresponds to each energy eigenvalue. However, if the Hamiltonian H ^ >> has a degenerate eigenvalue E n > of degree gن, the eigenstates associated with it form a vector subspace of dimension gن. In such a case, several final states can be possibly associated with the same result E n > , all of which are linear combinations of the gن orthonormal eigenvectors | E n , i ⟩ angle > .

This section intends to illustrate the existence of degenerate energy levels in quantum systems studied in different dimensions. The study of one and two-dimensional systems aids the conceptual understanding of more complex systems.

Degeneracy in one dimension Edit

In several cases, analytic results can be obtained more easily in the study of one-dimensional systems. For a quantum particle with a wave function | ψ ⟩ moving in a one-dimensional potential V ( x ) , the time-independent Schrödinger equation can be written as

In case of well-defined and normalizable wave functions, the above constant vanishes, provided both the wave functions vanish at at least one point, and we find: ψ 1 ( x ) = c ψ 2 ( x ) (x)=cpsi _<2>(x)> where c is, in general, a complex constant. For bound state eigenfunctions (which tend to zero as x → ∞ ), and assuming V and E satisfy the condition given above, it can be shown [3] that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit x → ∞ , so that the above constant is zero and we have no degeneracy.

Degeneracy in two-dimensional quantum systems Edit

Two-dimensional quantum systems exist in all three states of matter and much of the variety seen in three dimensional matter can be created in two dimensions. Real two-dimensional materials are made of monoatomic layers on the surface of solids. Some examples of two-dimensional electron systems achieved experimentally include MOSFET, two-dimensional superlattices of Helium, Neon, Argon, Xenon etc. and surface of liquid Helium. The presence of degenerate energy levels is studied in the cases of particle in a box and two-dimensional harmonic oscillator, which act as useful mathematical models for several real world systems.


In the preceding section we saw that the eigenvalues and eigenvectors of the n × n matrix أ are of central importance to the solutions of the homogeneous linear constant-coefficient system

Indeed, according to Theorem 1 from Section 7.3 , if λ is an eigenvalue of أ و الخامس is an eigenvector of أ associated with λ , then

is a nontrivial solution of the system (1) . Moreover, if أ has n linearly independent eigenvectors v 1 , v 2 , … , v n associated with its n eigenvalues λ 1 , λ 2 , … , λ n , then in fact all solutions of the system (1) are given by linear combinations

where c 1 , c 2 , … , c n are arbitrary constants. If the eigenvalues include complex conjugate .

يحصل Differential Equations and Linear Algebra, 4th Edition now with O’Reilly online learning.

O’Reilly members experience live online training, plus books, videos, and digital content from 200+ publishers.


1 إجابة 1

يوجد رقم canonical choice for a basis of eigenvectors. For instance, if $(1,1,1)$ is an eigenvector, then also $(a,a,a)$ (for $a e0$) is, and there's no rule that makes $(1,1,1)$ preferable to $(2,2,2)$.

Your matrix is $ egin 7 & -4 & 10 4 & -3 & 8 -2 & 1 & -2 end $ It's readily checked that

  1. $(1,2,0)$ is an eigenvector for the eigenvalue $-1$
  2. $(1,-1,-1)$ is an eigenvector for the eigenvalue $1$
  3. $(2,0,-1)$ is an eigenvector for the eigenvalue $2$.

There's no canonical choice, so using $(-2,0,1)$ is as good as using $(4,0,-2)$ or $(2,0,-1)$.

However, having made the checks, your vector $(1,4,1)$ cannot be an eigenvector: if it were, it would be a scalar multiple of one of the preceding vectors, which it isn't.

If I had to grade your test, I'd consider this a serious mistake, because you لديك a way to check your computations, namely that the vectors you found are indeed eigenvectors.


Amann, H., Lusternik-Schnirelman theory and nonlinear eigenvalue problems, رياضيات. Ann., 199, 1972, 55–72.

Azorero, J. G. and Alonso, I. P., Existence and nonuniqueness for the ص-Laplacian: nonlinear eigenvalues, Commun. in PDE, 12, 1987, 1389–1430.

Brezis, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces, and Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2011.

Cao, D., Peng, S. and Yan, S., Infinitely many solutions for p-Laplacian equation involving critical Sobolev growth, Journal of Functional Analysis, 262(6), 2012, 2861–2902.

Carl, S. and Motreanu, D., Multiple and sign-changing solutions for the multivalued p-Laplacian equation Mathematische Nachrichten, 283(7), 2010, 965–981.

Chen, H., Liu, X. and Wei Y., Existence theorem for a class of semi-linear totally characteristic elliptic equations with Cr Y.itical cone sobolev exponents, Annals of Global Analysis and Geometry, 39, 2011, 27–43.

Chen, H., Liu, X. and Wei, Y., Cone Sobolev inequality and dirichlet problems for nonlinear elliptic equations on manifold with conical singularities, Calculus of variations and PDEs, 43(3), 2012, 463–484.

Chen, H., Liu, X. and Wei, Y., Multiple solutions for semilinear totally characteristic elliptic equations with subcritical or critical cone sobolev exponents, J. Differential Equations, 252, 2012, 4200–4228.

Chen, H. and Wei, Y., Multiple solutions for nonlinear cone degenerate p-Laplacian equations, preprint, 2018.

Chen, H., Wei, Y. and Zhou, B., Existence of solutions for degenerate elliptic equations with singular potential on conical singular manifolds, رياضيات. Nachrichten, 285(11–12), 2012, 1370–1384.

Coriasco, S., Schrohe, E. and Seiler, J., Realizations of differential operators on conic manifolds with boundary, Annals of Global Analysis and Geometry, 31, 2007, 223–285.

Drabek, P., Resonance problems for the p-Laplacian, Journal of Functional Analysis, 169(1), 1999, 189–200.

Egorov, Ju. V. and Schulze, B.-W., Pseudo-differential operators, singularities, applications, Operator Theory, Advances and Applications, 93, Birkhäuser Verlag, Basel, 1997.

Evans, L. C., Partial Differential Equations: 2nd ed., Graduate Series in Mathematics, vol. 19. R, American. Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010.

Melrose, R. B. and Mendoza, G. A., Elliptic operators of totally characteristic type, Preprint, Math. علوم. الدقة. Institute, MSRI 047–83, 1983.

Rabinowitz, P. H., Some Aspects of nonlinear eigenvalue problems, Rocky Mountain J. of Math., 2(2), 1973, 70.

Rabinowitz, P. H., Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations, CBMS Regional Conference, 65, A.M.S., Providence, Rhode Island, 1986.

Schulze, B.-W., Boundary Value Problems and Singular Pseudo-differential Operators, J. Wiley, Chichester, 1998.

Schrohe, E. and Seiler, J., Ellipticity and invertibility in the cone algebra on إلص-Sobolev spaces, Integral Equations Operator Theory, 41, 2001, 93–114.


شاهد الفيديو: نونية ابن القيم في وصف الجنه صوت أبوعبدالملك (شهر اكتوبر 2021).