مقالات

7.5: المصفوفات المثلثية العليا - الرياضيات


كما كان من قبل ، دع (V ) مساحة متجهية معقدة.

لنفترض أن (T in mathcal {L} (V، V) ) و ((v_1، ldots، v_n) ) أساسًا لـ (V ). تذكر أنه يمكننا ربط مصفوفة (M (T) in mathbb {C} ^ {n times n} ) بالمعامل (T ). من خلال النظرية 7.4.1 ، نعلم أن (T ) له قيمة ذاتية واحدة على الأقل ، على سبيل المثال ( lambda in mathbb {C} ). دع (v_1 neq 0 ) يكون متجهًا ذاتيًا يتوافق مع ( lambda ). بواسطة نظرية تمديد الأساس، يمكننا توسيع القائمة ((v_1) ) إلى أساس (V ). منذ (Tv_1 = lambda v_1 ) ، فإن العمود الأول من (M (T) ) فيما يتعلق بهذا الأساس هو

[ start {bmatrix} lambda 0 vdots 0 end {bmatrix}. ]

ما سنعرضه بعد ذلك هو أنه يمكننا العثور على أساس (V ) بحيث تكون المصفوفة (M (T) ) العلوي الثلاثي.

التعريف 7.5.1: مصفوفة المثلث العليا

مصفوفة (A = (a_ {ij}) in mathbb {F} ^ {n times n} ) تسمى العلوي الثلاثي إذا (a_ {ij} = 0 ) لـ (i> j ).

من الناحية التخطيطية ، تحتوي المصفوفة المثلثية العلوية على الشكل

[ begin {bmatrix} * && * & ddots & 0 && * end {bmatrix}، ]

حيث يمكن أن تكون الإدخالات (* ) أي شيء وكل إدخال أسفل القطر الرئيسي يساوي صفرًا.

فيما يلي سببان لكون وجود عامل تشغيل (T ) يمثله مصفوفة مثلثة عليا يمكن أن يكون مناسبًا تمامًا:

  1. القيم الذاتية على قطري (كما سنرى لاحقًا) ؛
  2. من السهل حل نظام المعادلات الخطية المقابل عن طريق الاستبدال الخلفي (كما تمت مناقشته في القسم أ -3).

يخبرنا الاقتراح التالي ما يعنيه المثلث العلوي من حيث العوامل الخطية والفراغات الفرعية الثابتة.

مقترح 7.5.2

افترض (T in mathcal {L} (V، V) ) وأن ((v_1، ldots، v_n) ) هو أساس (V ). ثم البيانات التالية متكافئة:

  1. المصفوفة (م (T) ) فيما يتعلق بالأساس ((v_1، ldots، v_n) ) هو مثلث علوي;
  2. (Tv_k in Span (v_1، ldots، v_k) ) لكل (ك = 1،2 ، نقاط ، ن ) ؛
  3. ( سبان (v_1، ldots، v_k) ) ثابت تحت (T ) لكل (ك = 1،2 ، نقاط ، ن ).

دليل

يتبع تكافؤ الشرط ~ 1 والشرط ~ 2 بسهولة من التعريف لأن الشرط ~ 2 يشير إلى أن عناصر المصفوفة أسفل القطر هي صفر.

من الواضح أن الحالة ~ 3 تعني الحالة ~ 2. لتوضيح أن الشرط ~ 2 يتضمن الشرط ~ 3 ، لاحظ أن أي متجه (v in Span (v_1، ldots، v_k) ) يمكن كتابته كـ (v = a_1v_1 + cdots + a_kv_k ). تطبيق (T ) ، نحصل عليه

[Tv = a_1 Tv_1 + cdots + a_k Tv_k in Span (v_1، ldots، v_k) ]

منذ ذلك الحين ، حسب الحالة ~ 2 ، كل (Tv_j in Span (v_1 ، ldots ، v_j) مجموعة فرعية Span (v_1 ، ldots ، v_k) ) لـ (j = 1،2 ، ldots ، ك ) وبما أن الامتداد هو فضاء فرعي لـ (V ).

(ميدان)

توضح النظرية التالية أن فضاءات المتجهات المعقدة لها بالفعل بعض الأسس التي تكون فيها مصفوفة عامل معين مثلثًا علويًا.

نظرية 7.5.3

يترك (الخامس) تكون مساحة متجهة ذات أبعاد محدودة ( mathbb {C} ) و (T in mathcal {L} (V، V) ). تيدجاجة يوجد أساس (ب ) من أجل (الخامس ) مثل ذلك (م (T) ) هو مثلث علوي بالنسبة ل (ب).

دليل

نبدأ بالحث على ( dim (V) ). إذا كان ( dim (V) = 1 ) ، فلا يوجد شيء لإثباته.

ومن ثم ، افترض أن ( dim (V) = n> 1 ) وأننا أثبتنا نتيجة النظرية للجميع (T in mathcal {L} (W، W) ) ، حيث ( W ) هو مساحة متجه معقدة مع ( dim (W) le n-1 ). من خلال Theorem7.4.1 ، يحتوي (T ) على قيمة eigenvalue واحدة على الأقل ( lambda ).

حدد

[U = المدى (T- lambda I) ، ]

ولاحظ ذلك

  1. ( dim (U) < dim (V) = n ) بما أن ( lambda ) هي قيمة ذاتية لـ (T ) وبالتالي (T- lambda I ) ليست مفاجئة ؛
  2. (U ) هو فضاء فرعي ثابت لـ (T ) لأنه بالنسبة للجميع (u in U ) ، لدينا

[Tu = (T- lambda I) u + lambda u، ]

مما يعني أن (Tu in U ) منذ ((T- lambda I) u in range (T- lambda I) = U ) و ( lambda u in U ).

لذلك ، قد نفكر في عامل التشغيل (S = T | _U ) ، وهو العامل الذي تم الحصول عليه عن طريق تقييد (T ) إلى الفضاء الفرعي (U ). من خلال فرضية الاستقراء ، يوجد أساس ((u_1، ldots، u_m) ) لـ (U ) مع (m le n-1 ) بحيث يكون (M (S) ) أعلى مثلث بالنسبة لـ ((u_1، ldots، u_m) ). هذا يعني ذاك

[Tu_j = Su_j in Span (u_1، ldots، u_j)، quad text {للجميع (j = 1،2، ldots، m ).} ]

قم بتوسيع هذا إلى أساس ((u_1، ldots، u_m، v_1، ldots، v_k) ) لـ (V ). ثم

[Tv_j = (T- lambda I) v_j + lambda v_j، quad text {for all (j = 1،2، ldots، k ).} ]

بما أن ((T- lambda I) v_j in range (T- lambda I) = U = Span (u_1، ldots، u_m) ) ، لدينا ذلك

[Tv_j in Span (u_1، ldots، u_m، v_1، ldots، v_j)، رباعي نص {للجميع (j = 1،2، ldots، k ).} ]

ومن ثم ، (T ) مثلث علوي بالنسبة إلى الأساس ((u_1، ldots، u_m، v_1، ldots، v_k) ).

(ميدان)

فيما يلي حقيقتان مهمتان للغاية حول المصفوفات المثلثية العليا والمشغلين المرتبطين بها.

الاقتراح 7.5.4

لنفترض أن (T in mathcal {L} (V، V) ) عامل خطي وأن (M (T) ) مثلث علوي فيما يتعلق ببعض أسس (V ).

  1. (T ) يكون قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كانت جميع الإدخالات الموجودة على قطري (M (T) ) غير صفرية.
  2. القيم الذاتية لـ (T ) هي بالضبط العناصر القطرية لـ (M (T) ).

إثبات الاقتراح 7.5.4 ، الجزء 1

لنفترض أن ((v_1، ldots، v_n) ) يكون أساسًا لـ (V ) بحيث

ابدأ {المعادلة *}
M (T) = start {bmatrix} lambda_1 && *
& ddots &
0 && lambda_n
نهاية {bmatrix}
نهاية {المعادلة *}

هو مثلث علوي. الادعاء هو أن (T ) قابل للعكس إذا وفقط إذا ( lambda_k neq 0 ) للجميع (k = 1،2 ، ldots ، n ). بالتساوي ، يمكن إعادة صياغة هذا على النحو التالي: (T ) ليس قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كان ( lambda_k = 0 ) على الأقل (k in {1،2، ldots، n } ).

افترض ( lambda_k = 0 ). سنبين أن هذا يعني عدم قابلية انعكاس (T ). إذا كان (k = 1 ) ، فهذا واضح منذ ذلك الحين (Tv_1 = 0 ) ، مما يعني أن (v_1 in kernel (T) ) بحيث لا يكون (T ) حقنيًا وبالتالي لا غير قابل للعكس. لذا افترض أن (ك> 1 ). ثم

(Tv_j in Span (v_1، ldots، v_ {k-1})، quad ) للجميع (j le k ) ،

بما أن (T ) مثلث علوي و ( lambda_k = 0 ). ومن ثم ، قد نحدد (S = T | _ { Span (v_1، ldots، v_k)} ) ليكون تقييد (T ) على الفضاء الفرعي ( Span (v_1، ldots، v_k )) لهذا السبب

[S: Span (v_1، ldots، v_k) to Span (v_1، ldots، v_ {k-1}). ]

الخريطة الخطية (S ) ليست حقنة لأن أبعاد المجال أكبر من أبعاد المجال السري الخاص بها ، أي ،

[ dim ( Span (v_1، ldots، v_k)) = k> k-1 = dim ( Span (v_1، ldots، v_ {k-1})). ]

ومن ثم ، يوجد متجه (0 neq v in Span (v_1، ldots، v_k) ) بحيث (Sv = Tv = 0 ). هذا يعني أن (T ) ليس حقناً أيضًا وبالتالي فهو أيضًا غير قابل للعكس.

افترض الآن أن (T ) ليس قابلاً للعكس. نحتاج إلى إظهار أن واحدًا على الأقل ( lambda_k = 0 ). الخريطة الخطية (T ) غير قابلة للانعكاس تعني أن (T ) ليس حقنة. ومن ثم ، يوجد متجه (0 neq v in V ) بحيث (Tv = 0 ) ، ويمكننا الكتابة

ابدأ {المعادلة *}
v = a_1 v_1 + cdots + a_k v_k
نهاية {المعادلة *}
بالنسبة للبعض (ك ) ، حيث (أ_ك neq 0 ). ثم
ابدأ {المعادلة} التسمية {مكافئ: التوسع}
0 = Tv = (a_1 Tv_1 + cdots + a_ {k-1} Tv_ {k-1}) + a_k Tv_k. التسمية {7.5.1}
نهاية {المعادلة}

بما أن (T ) مثلث علوي بالنسبة إلى الأساس ((v_1، ldots، v_n) ) ، فإننا نعلم أن (a_1 Tv_1 + cdots + a_ {k-1} Tv_ {k-1} in Span (v_1، ldots، v_ {k-1}) ). ومن ثم ، توضح المعادلة المرجع {7.5.1} أن (Tv_k in Span (v_1، ldots، v_ {k-1}) ) ، مما يعني أن ( lambda_k = 0 ).

(ميدان)

إثبات الاقتراح 7.5.4 ، الجزء 2.

تذكر أن ( lambda in mathbb {F} ) هي قيمة ذاتية لـ (T ) إذا وفقط إذا كان العامل (T- lambda I ) غير قابل للعكس. لنفترض أن ((v_1، ldots، v_n) ) يكون أساسًا بحيث يكون (M (T) ) مثلثًا علويًا. ثم

ابدأ {المعادلة *}
م (T- lambda I) = start {bmatrix} lambda_1- lambda && *
& ddots &
0 && lambda_n- lambda
نهاية {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}

وبالتالي ، من خلال الاقتراح 7.5.4 (1) ، لا يكون (T- lambda I ) قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كان ( lambda = lambda_k ) بالنسبة للبعض (k ).

(ميدان)


7.5: المصفوفات المثلثية العليا - الرياضيات

تحلل L U للمصفوفة هو تحليل مصفوفة مربعة معينة إلى مصفوفتين مثلثيتين ، مصفوفة مثلثة عليا ومصفوفة مثلثة سفلية ، بحيث يعطي ناتج هاتين المصفوفتين المصفوفة الأصلية. تم تقديمه بواسطة Alan Turing في عام 1948 ، والذي أنشأ أيضًا آلة turing.

هذه الطريقة في تحليل المصفوفة كمنتج من مصفوفتين مثلثتين لها تطبيقات مختلفة مثل حل نظام المعادلات ، والذي يعد في حد ذاته جزءًا لا يتجزأ من العديد من التطبيقات مثل إيجاد التيار في الدائرة وحل مشاكل النظام الديناميكي المنفصلة. معكوس مصفوفة وإيجاد محدد المصفوفة.
في الأساس ، تكون طريقة تحليل L U مفيدة كلما كان من الممكن نمذجة المشكلة المراد حلها في شكل مصفوفة. يجعل التحويل إلى صيغة المصفوفة والحل باستخدام المصفوفات المثلثية من السهل إجراء العمليات الحسابية في عملية إيجاد الحل.

يمكن أن تتحلل المصفوفة المربعة A إلى مصفوفتين مربعتين L و U بحيث تكون A = LU حيث U عبارة عن مصفوفة مثلثة عليا تم تشكيلها نتيجة لتطبيق طريقة إزالة Gauss على A و L عبارة عن مصفوفة مثلثة سفلية مع عناصر قطرية تساوي 1.

ل = ، لدينا L = و U = مثل أن A = L U.

هنا قيمة ل21 ، ش11 إلخ يمكن مقارنتها وإيجادها.

طريقة إزالة غاوس
وفقًا لطريقة إزالة Gauss:
1. يجب أن يكون أي صف صفري أسفل المصفوفة.
2. يجب أن يكون الإدخال الأول غير الصفري لكل صف على الجانب الأيمن من الإدخال الأول غير الصفري للصف السابق.
تقلل هذه الطريقة من المصفوفة إلى شكل مستوى الصف.

خطوات تحلل LU
بالنظر إلى مجموعة من المعادلات الخطية ، قم أولاً بتحويلها إلى صيغة مصفوفة A X = C حيث A هي مصفوفة المعامل ، X هي المصفوفة المتغيرة و C هي مصفوفة الأرقام على الجانب الأيمن من المعادلات.

الآن ، قم بتقليل مصفوفة المعامل A ، أي المصفوفة التي تم الحصول عليها من معاملات المتغيرات في جميع المعادلات المعطاة مثل أنه بالنسبة لمتغيرات & # 8216n & # 8217 ، لدينا مصفوفة nXn ، إلى شكل ترتيب الصف باستخدام طريقة إزالة Gauss. المصفوفة التي تم الحصول عليها هي U.

لإيجاد L ، لدينا طريقتان. الأول هو افتراض العناصر المتبقية على أنها بعض المتغيرات الاصطناعية ، وعمل معادلات باستخدام A = L U وحلها لإيجاد تلك المتغيرات الاصطناعية.
الطريقة الأخرى هي أن العناصر المتبقية هي معاملات المضاعف التي بسببها أصبحت المواضع المعنية صفرًا في مصفوفة U. (هذه الطريقة صعبة الفهم بالكلمات ولكنها ستتضح في المثال أدناه)

الآن ، لدينا A (مصفوفة معامل nXn) ، L (المصفوفة المثلثية السفلية nXn) ، U (المصفوفة المثلثية العلوية nXn) ، X (مصفوفة المتغيرات nX1) و C (مصفوفة الأرقام nX1 على اليمين- جهة المعادلات).

نظام المعادلات المعطى هو A X = C. نعوض A = L U. وهكذا ، لدينا L U X = C.
نضع Z = U X ، حيث Z عبارة عن مصفوفة أو متغيرات اصطناعية ثم نحل القيمة L Z = C أولاً ثم نحل قيمة U X = Z لإيجاد X أو قيم المتغيرات التي كانت مطلوبة.

مثال:
حل نظام المعادلات التالي باستخدام طريقة التحليل LU:

أ = و مثل أن A X = C.

الآن ، نحن نفكر أولاً وتحويله إلى شكل مستوى الصف باستخدام طريقة إزالة غاوس.

(1)

(2)

(3)

(تذكر دائمًا الاحتفاظ بـ & # 8216 - & # 8216 تسجيل الدخول بينهما ، واستبدال & # 8216 + & # 8216 تسجيل بعلامتين & # 8216 - & # 8216)

ومن ثم ، نحصل على L = و U =

(لاحظ أنه في L matrix ، من (1) ، من (2) و من (3))

الآن ، نفترض أن Z وحل L Z = C.

اذا لدينا

الحل ، نحصل عليه , و .

لذلك ، نحصل عليه ,

وبالتالي ، فإن حل نظام المعادلات الخطية المعطى هو , , ومن ثم المصفوفة X =

ممارسه الرياضه:
في LU تحلل المصفوفة

، إذا كانت العناصر القطرية لـ U كلاهما 1 ، فإن المدخل القطري السفلي l22 من L هو (GATE CS 2015)
(أ) 4
(ب) 5
(ج) 6
(د) 7
للحصول على الحل ، راجع https://www.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2015-set-1-question-28/

جمع هذا المقال نيشانت أرورا. يرجى كتابة التعليقات إذا وجدت أي شيء غير صحيح ، أو إذا كنت ترغب في مشاركة المزيد من المعلومات حول الموضوع الذي تمت مناقشته أعلاه.

القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. تدرب على امتحان GATE قبل الامتحان الفعلي بفترة طويلة من خلال الاختبارات القصيرة حسب الموضوع والاختبارات الشاملة المتاحة في دورة سلسلة اختبارات بوابة.


تحرير مصفوفة هيسنبرغ العليا

تسمى مصفوفة هيسنبرج العليا غير مخفض إذا كانت جميع الإدخالات دون سطرية غير صفرية ، أي إذا كان i + 1 ، i ≠ 0 neq 0> للجميع i ∈ <1،…، n - 1> >. [3]

تحرير مصفوفة هيسنبرغ السفلى

تسمى مصفوفة هيسنبرج السفلية غير مخفض إذا كانت جميع الإدخالات فوق القطعية غير صفرية ، أي إذا كان a i ، i + 1 ≠ 0 < displaystyle a_ neq 0> للجميع i ∈ <1،…، n - 1> >.

ضع في اعتبارك المصفوفات التالية.

تتطلب العديد من خوارزميات الجبر الخطي جهدًا حسابيًا أقل بشكل ملحوظ عند تطبيقها على المصفوفات المثلثية ، وغالبًا ما ينتقل هذا التحسين إلى مصفوفات هيسنبرج أيضًا. إذا كانت قيود مسألة الجبر الخطي لا تسمح باختزال مصفوفة عامة بسهولة إلى مصفوفة مثلثة ، فإن الاختزال إلى شكل هيسنبرغ غالبًا ما يكون أفضل شيء تالي. في الواقع ، يمكن تحقيق اختزال أي مصفوفة إلى شكل هيسنبرغ في عدد محدود من الخطوات (على سبيل المثال ، من خلال تحويل Householder لتحولات التشابه الوحدوية). يمكن تحقيق التخفيض اللاحق لمصفوفة هيسنبرغ إلى مصفوفة مثلثة من خلال الإجراءات التكرارية ، مثل تحويل عامل الاستجابة السريعة. في خوارزميات eigenvalue ، يمكن تقليل مصفوفة Hessenberg إلى مصفوفة مثلثة من خلال Shifted QR-factorization جنبًا إلى جنب مع خطوات الانكماش. إن تقليل المصفوفة العامة إلى مصفوفة هيسنبرج ثم تقليلها إلى مصفوفة مثلثة ، بدلاً من تقليل المصفوفة العامة إلى مصفوفة مثلثة ، غالبًا ما يتم توفير الحساب المتضمن في خوارزمية الاستجابة السريعة لمشكلات القيمة الذاتية.

المصفوفة المكونة من Hessenberg العلوي و Hessenberg السفلي عبارة عن مصفوفة ثلاثية الأضلاع ، منها المصفوفة المتماثلة أو Hermitian Hessenberg هي أمثلة مهمة. يمكن اختزال المصفوفة Hermitian إلى مصفوفات متماثلة حقيقية ثلاثية الأقطار. [5]

عامل Hessenberg هو مصفوفة Hessenberg غير محدودة الأبعاد. يحدث عادةً كتعميم لمشغل جاكوبي على نظام متعدد الحدود المتعامد لمساحة وظائف هولومورفيك القابلة للتكامل المربّع في بعض المجالات - أي مساحة بيرغمان. في هذه الحالة ، عامل Hessenberg هو مشغل التحول لليمين S < displaystyle S> ، معطى بواسطة

يتم إعطاء قيم eigenvalues ​​لكل مصفوفة فرعية رئيسية لمشغل Hessenberg من خلال كثير الحدود المميز لتلك المصفوفة الفرعية. تسمى كثيرات الحدود هذه بمتعددة حدود بيرجمان ، وتوفر أساسًا متعدد الحدود متعامدًا لمساحة بيرجمان.


الاستقرار ، والقصور الذاتي ، والاستقرار القوي

حساب القصور الذاتي لمصفوفة متماثلة

إذا أ متماثل ، فإن قانون Sylvester & # x27s للقصور الذاتي يوفر طريقة غير مكلفة وفعالة عدديًا لحساب القصور الذاتي.

مصفوفة متماثلة أ يعترف بعامل ثلاثي:

أين يو هو نتاج وحدة أولية لمصفوفات المثلث العلوي والتبديل ، و د هو كتلة قطرية متماثلة مع كتل من الرتبة 1 أو 2. وهذا ما يعرف باسم عامل محوري قطري. وهكذا ، من خلال قانون سيلفستر & # x27s من القصور الذاتي في (أ) = في (د)). بمجرد الحصول على هذا العامل المحوري القطري ، فإن القصور الذاتي للمصفوفة المتماثلة أ يمكن الحصول عليها من إدخالات د كما يلي:

يترك د لديك ص كتل النظام 1 و ف كتل من أجل 2 ، مع ص + 2ف = ن. افترض أن أيًا من الكتل 2 × 2 من د فريد. افترض أن من أصل ص كتل الطلب 1 ، ص′ منهم إيجابية ، ص″ منها سلبية و ص″ منهم صفر (أي ص′ + ص″ + ص″ = ص). ثم،

ال يمكن تحقيق عامل التمحور القطري بطريقة مستقرة عدديًا. يتطلب فقط ن 3/3 يتخبط. للحصول على تفاصيل حول عامل التمحور القطري ، انظر Bunch (1971) ، Bunch and Parlett (1971) ، و Bunch and Kaufman (1977).

تنفيذ LAPACK: تم تنفيذ طريقة التمحور القطري في روتين LAPACK SSYTRF.


اختر الإجابة الصحيحة أو الأنسب من البدائل الأربعة المحددة.

السؤال رقم 1.
اذا كاناي جاي = ( frac <1> <2> ) (3i & # 8211 2j) و A = [aاي جاي]2×2 هو

حل:

السؤال 2.
ماذا يجب أن تكون المصفوفة X ، إذا كانت 2X + ( left [ begin <1> & amp <2> <3> & amp <4> end right] = left [ start <3> & amp <8> <7> & amp <2> endحق]) ؟

حل:

السؤال 3.
أي مما يلي غير صحيح بشأن المصفوفة ( اليسار [ البدء <1> & amp <0> & amp <0> <0> & amp <0> & amp <0> <0> & amp <0> & amp <5> endحق])؟
(أ) مصفوفة عددية
(ب) مصفوفة قطرية
(ج) مصفوفة مثلثة عليا
(د) مصفوفة مثلثة منخفضة
حل:
(ب) مصفوفة قطرية

السؤال 4.
إذا كان A و B مصفوفتين بحيث يتم تعريف كل من A + B و AB ، فإن & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(أ) A و B مصفوفتان ليسا بالضرورة من نفس الترتيب.
(ب) A و B عبارة عن مصفوفات مربعة من نفس الترتيب.
(ج) عدد أعمدة a يساوي عدد صفوف B.
(د) أ = ب.
المحلول:
(ب) A و B عبارة عن مصفوفات مربعة من نفس الترتيب.

السؤال 5.
إذا كان A = ( left [ begin < lambda> & amp <1> <-1> & amp <- lambda> end right] ) ، فما قيمة λ ، A 2 = 0؟
(أ) 0
(ب) ± 1
(ج) -1
(د) 1
المحلول:

السؤال 6.
لو و (A + B) 2 = A 2 + B 2 ، ثم قيم a و b هي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) أ = 4 ، ب = 1
(ب) أ = 1 ، ب = 4
(ج) أ = 0 ، ب = 4
(د) أ = 2 ، ب = 4
المحلول:

السؤال 7.
لو هي مصفوفة تحقق المعادلة AA T = 9I ، حيث أنا مصفوفة هوية 3 × 3 ، ثم الزوج المرتب (أ ، ب) يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) (2 ، -1)
(ب) (-2 ، 1)
(ج) (2 ، 1)
(د) (-2 ، -1)
المحلول:

السؤال 8.
إذا كانت A عبارة عن مصفوفة مربعة ، فأي مما يلي غير متماثل؟
(أ) أ + أ ت
(ب) AA T.
(ج) A T A
(د) أ & # 8211 أ ت
المحلول:
(ب)

السؤال 9.
إذا كان A و B مصفوفتان متماثلتان من الرتبة n ، حيث (A ≠ B) ، ثم & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) A + B متماثل منحرف
(ب) أ + ب متماثل
(ج) A + B مصفوفة قطرية
(د) A + B مصفوفة صفرية
المحلول:
(ب)

السؤال 10.
لو وإذا كانت xy = 1 ، فإن det (AA T) يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) (أ & # 8211 1) 2
(ب) (أ 2 + 1) 2
(ج) أ 2 & # 8211 1
(د) (أ 2 & # 8211 1) 2
المحلول:

السؤال 11.
قيمة x التي من أجلها المصفوفة هو المفرد & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) 9
(ب) 8
(ج) 7
(د) 6
المحلول:
(ب) تلميح: معطى A مصفوفة مفردة ⇒ | A | = 0

⇒ e x-2 .e 2x + 3 & # 8211 e 2 + x .e 7 + x = 0
⇒ e 3x + 1 & # 8211 e 9 + 2x = 0 ⇒ e 3x + 1 = e 9 + 2x
⇒ 3 س + 1 = 9 + 2 س
3x & # 8211 2x = 9 & # 8211 1 ⇒ x = 8

السؤال 12.
إذا كانت النقاط (س ، -2) ، (5 ، 2) ، (8 ، 8) متداخلة ، فإن x يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(أ) -3
(ب) ( فارك <1> <3> )
(ج) 1
(د) 3
المحلول:
(د) تلميح: بالنظر إلى أن النقاط على خط واحد
إذن ، مساحة المثلث المكونة من النقاط = 0

السؤال 13.

المحلول:

السؤال 14.
إذا كان مربع المصفوفة هي مصفوفة الوحدة بالترتيب 2 ، ثم يجب أن تفي α و و بالعلاقة.
(أ) 1 + α 2 + = 0
(ب) 1 & # 8211 α 2 & # 8211 βγ = 0
(ج) 1 & # 8211 α 2 + = 0
(د) 1 + α 2 & # 8211 βγ = 0
المحلول:

السؤال 15.

(أ) Δ
(ب) kΔ
(ج) 3kΔ
(د) ك 3 Δ
المحلول:

السؤال 16.
جذر المعادلة هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) 6
(ب) 3
(ج) 0
(د) -6
المحلول:

السؤال 17.
قيمة المحدد هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(أ) -2abc
(ب) abc
(ج) 0
(د) أ 2 + ب 2 + ص 2
المحلول:

السؤال 18.
إذا كان x1، س2، س3 وكذلك ص1، ذ2، ذ3 هي في تقدم هندسي بنفس النسبة المشتركة ، ثم النقاط (x1، ذ1) ، (x2، ذ2) ، (x3، ذ3) نكون
(أ) رؤوس مثلث متساوي الأضلاع
(ب) رؤوس مثلث قائم الزاوية
(ج) رؤوس مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية
(د) خطية متداخلة
المحلول:
(د)

السؤال 19.
إذا كان ( lfloor. rfloor ) يشير إلى أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي الرقم الحقيقي قيد النظر و -1 ≤ x & lt 0 ، 0 ≤ y & lt 1 ، 1 ≤ z ≤ 2 ، ثم قيمة المحدد هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) ( الطابق z r الطابق )
(ب) ( الطابق ص r الطابق )
(ج) ( الطابق x r الطابق )
(د) ( الطابق x r الطابق + 1 )
المحلول:
(أ) تلميح: من القيم المعطاة
& GT

السؤال 20.
إذا كان أ ، ب ، ب ، ج مرضي ثم abc = & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) أ + ب + ج
(ب) 0
(ج) ب 3
(د) أب + ق
المحلول:
(ج) تلميح: التوسع على طول R1,
أ (ب 2 & # 8211 أ) & # 8211 2 ب (3 ب & # 8211 4 ج) + 2 ج (3 أ & # 8211 4 ب) = 0
(ب 2 & # 8211 أ) (أ & # 8211 ب) = 0
ب 2 = أ (أو) أ = ب
⇒ أ ب ج = ب (ب 2) = ب 3

السؤال 21.
لو ثم يتم إعطاء B بواسطة & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) ب = 4 أ
(ب) ب = -4 أ
(ج) ب = -أ
(د) ب = 6 أ
المحلول:

السؤال 22.
إذا كان A هو منحرف متماثل للرتبة n و C ¡s مصفوفة عمود بالترتيب n × 1 ، فإن C T AC هي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) مصفوفة تعريف النظام
(ب) مصفوفة تعريف النظام 1
(هـ) مصفوفة صفرية من الرتبة الأولى
(د) مصفوفة الهوية الخاصة بالترتيب 2
المحلول:
(ج) تلميح: المعطى A هو ترتيب n × n
C من أجل n × 1
لذلك ، CT من الترتيب 1 × n

فليكن مساويا لـ (x) قل
أخذ ينقل على كلا الجانبين
(C T ، AC) T (x) T.
(أي) C T (A T) (C) = x
C T (-A) (C) = x
⇒ C T AC = -x
⇒ x = -x ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0

السؤال 23.
المصفوفة أ التي تحقق المعادلة هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230

المحلول:

السؤال 24.
إذا كان A + I = ، ثم (A + I) (A & # 8211 I) يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.

المحلول:

السؤال 25.
لنفترض أن A و B مصفوفتان متماثلتان من نفس الترتيب. إذن أي من العبارات التالية غير صحيح؟
(أ) A + B ¡مصفوفة متماثلة
(ب) AB - مصفوفة متماثلة
(ج) AB = (BA) T
(د) A T B = AB T
المحلول:
(ب)


المصفوفات

تسمى المصفوفة المستطيلة من الرموز (التي يمكن أن تكون أرقامًا حقيقية أو معقدة) بطول الصفوف والأعمدة بالمصفوفة.
وهكذا فإن نظام رموز m x n مرتبة في تشكيل مستطيل على طول صفوف m و n أعمدة ومحددة بالأقواس [.] تسمى مصفوفة m في n (والتي تتم كتابتها على شكل مصفوفة m × n).

في شكل مضغوط ، يتم تمثيل المصفوفة أعلاه بـ A = [aاي جاي] ، 1 ≤ i m ، 1 j ≤ n أو ببساطة [aاي جاي]م × ن
الأرقام أ11، أ12، & # 8230 وما إلى ذلك من هذه المصفوفة المستطيلة تسمى عناصر المصفوفة. ينتمي العنصر aij إلى الصف i والعمود j ويسمى العنصر (i، j) من المصفوفة.

المصفوفات المتساوية:

يُقال إن مصفوفتين متساويتين إذا كان لهما نفس الترتيب وكان كل عنصر في أحدهما مساويًا للعنصر المقابل في الآخر.

تصنيف المواد

مصفوفة الصف:
تسمى المصفوفة التي تحتوي على صف واحد مصفوفة الصف. ه. ز. [1 3 5 7]

مصفوفة العمود:

تسمى المصفوفة التي تحتوي على عمود واحد مصفوفة العمود. على سبيل المثال

$ كبير اليسار [ ابدأ 2 3 5 نهاية حق] $

مصفوفة مربعة

يُقال أن مصفوفة m × n A مصفوفة مربعة إذا كانت m = n أي عدد الصفوف = عدد الأعمدة.
على سبيل المثال: $ large A = left [ begin 1 & amp 2 & amp 3 2 & amp 3 & amp 4 3 & amp 4 & amp 5 النهاية right] $ مصفوفة مربعة من الرتبة 3 × 3

ملحوظة:
⋄ يُعرف القطر من الزاوية العلوية اليسرى للجانب الأيمن إلى الزاوية السفلية اليمنى بالجانب القطري الرئيسي أو القطري الرئيسي. في المثال أعلاه المصفوفة المربعة التي تحتوي على العناصر 1 ، 3 ، 5 تسمى المصفوفة الأولى أو القطر الرئيسي.

أثر مصفوفة

يُطلق على مجموع عناصر المصفوفة المربعة A الواقعة على طول القطر الرئيسي تتبع A أي tr (A). وبالتالي إذا كان A = [aاي جاي]ن × ن ، ثم

خصائص تتبع المصفوفة:

مصفوفة قطرية:

تسمى المصفوفة المربعة التي تكون جميع عناصرها ، باستثناء العناصر الموجودة في القطر الرئيسي ، صفرًا ، مصفوفة قطرية. لمصفوفة مربعة A = [aاي جاي]ن × ن لتكون مصفوفة قطرية ، أاي جاي = 0 ، عندما تكون i ≠ j.

ملحوظة:
⋄ هنا يمكن أيضًا تمثيل A كـ diag (3 ، 5 ، -1)

$ كبير A = left [ start 3 & amp 0 & amp 0 0 & amp 5 & amp 0 0 & amp 0 & amp -1 end right] $ مصفوفة قطرية من الرتبة 3 × 3

المصفوفة العددية:

تسمى المصفوفة القطرية التي تتساوى جميع عناصرها القطرية الرئيسية بالمصفوفة العددية. لمصفوفة مربعة A = [aاي جاي]ن × ن لتكون مصفوفة عددية

$ كبير a_ = يسار < ابدأ 0 ، & amp i ne j m ، & amp i = j end حق. $

فمثلا:

$ كبير A = left [ start 5 & ​​أمبير 0 & أمبير 0 0 & أمبير 5 & أمبير 0 0 & أمبير 0 & أمبير 5 نهاية right] $ مصفوفة عددية.

مصفوفة الوحدة أو مصفوفة الهوية:

تسمى مصفوفة قطرية من الرتبة n بها وحدة لجميع عناصرها القطرية ، مصفوفة الوحدة من الرتبة n ويُشار إليها بالرمز Iن

وبالتالي فإن المصفوفة المربعة A = [aاي جاي]ن × ن هي مصفوفة وحدة إذا

$ كبير a_ = يسار < ابدأ 1 ، & amp i = j 0 ، & amp i ne j end حق. $

فمثلا:

$ كبير A = left [ start 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end حق] $

مصفوفة مثلثة

تسمى المصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة أسفل القطر صفرًا مصفوفة المثلث العلوي والمصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة فوق القطر صفرًا تسمى المصفوفة المثلثة السفلية.

بالنظر إلى مصفوفة مربعة A = [aاي جاي]nxn

للمصفوفة المثلثية العليا ، أاي جاي = 0، i & gt j

وللمصفوفة المثلثية السفلية ، أاي جاي = 0 ، أنا & lt ي

ملحوظة:
⋄ المصفوفة القطرية عبارة عن مثلث علوي وسفلي.

⋄ مصفوفة مثلثة أ = [أاي جاي]nxn يسمى بصرامة المثلث إذا أثانيا = 0 لـ 1 ≤ i ≤ n.

$ كبير اليسار [ ابدأ a & amp h & amp g 0 & amp b & amp f 0 & amp 0 & amp c end right] and left [ start 1 & amp 0 & amp 0 2 & amp 3 & amp 0 1 & amp -5 & amp 4 end right] $ مصفوفتان مثلثتان علوية وسفلية على التوالي.

مصفوفة لاغية:

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة (مربعة أو مستطيلة) تساوي صفرًا ، فإنها تسمى مصفوفة خالية أو مصفوفة صفرية.

ل = [أاي جاي] أن تكون مصفوفة فارغة ، أاي جاي = 0 ∀ ط ، ي

على سبيل المثال: $ large left [ begin 0 & أمبير 0 & أمبير 0 0 & أمبير 0 & أمبير 0 0 & أمبير 0 & أمبير 0 نهاية حق] $
هي مصفوفة صفرية

تبديل المصفوفة:

تسمى المصفوفة التي تم الحصول عليها من أي مصفوفة معينة A ، عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة ، تبديل A ويشار إليها بالرمز A & # 8217.
إذا كان A = [aاي جاي]مكسن و A & # 8217 = [باي جاي]nxm، ثم باي جاي = أجي، ∀ ط ، ي

خصائص ينقل:

(2) (A + B) & # 8217 = A & # 8217 + B & # 8217 ، A و B كونها مصفوفات متوافقة

(iii) (αA) & # 8217 = αA & # 8217 ، α هي عددية

(4) (AB) & # 8217 = B & # 8217A & # 8217 ، A و B متوافقان مع الضرب


مصفوفة مثلثة عليا

تسمى المصفوفة المربعة التي تكون جميع عناصرها تحت القطر الرئيسي صفرًا ، مصفوفة مثلثة عليا.

يصف اسم المصفوفة المثلثية العليا البنية الداخلية وتشكيل المصفوفة.

  1. معنى العلوي أعلاه.
  2. معنى المثلث هو شكل مثلث.
  3. معنى المصفوفة هو مصفوفة مستطيلة ، حيث يتم ترتيب العناصر في صفوف وأعمدة.

اجمع معاني ثلاث كلمات ، المصفوفة المثلثية العلوية عبارة عن مصفوفة مربعة خاصة ، تكون فيها العناصر ما عدا أسفل القطر الرئيسي عناصر غير صفرية ويكون شكل العناصر غير الصفرية مثلثًا.

يمكن التعبير عن المصفوفة المثلثية العلوية بالشكل العام التالي.

العناصر $ e_ <21> $ و $ e_ <31> $ و $ e_ <32> $ و $ e_ <41> $ و $ e_ <42> $ و $ e_ <43> $ وغيرها هي صفر ولكن العناصر المتبقية هي عناصر غير صفرية.

يمكن أيضًا التعبير عن مصفوفة النموذج العام في شكل مضغوط.

هناك شرط في حالة المصفوفة المثلثية العليا. العناصر تساوي صفرًا إذا كان $ i> j $ وهي عناصر تقع أسفل القطر الرئيسي للمصفوفة. العناصر المتبقية هي عناصر غير صفرية وتشكل شكل مثلث.

بمعنى آخر ، $ e_ = 0 $ إذا $ i> j $.

مثال

الأمثلة التالية تفهمك المصفوفات المثلثية العليا.

$ A $ عبارة عن مصفوفة مربعة وأيضًا مصفوفة مثلثة عليا من أجل $ 2 ضرب 2 $. في هذه الحالة يكون العنصر $ e_ <21> $ صفرًا والعناصر الأخرى غير صفرية وشكلت شكل مثلث.

$ B $ هي مصفوفة مثلثة عليا من أجل $ 3 مرات 3 $ والعناصر $ e_ <21> $ و $ e_ <31> $ و $ e_ <32> $ هي صفر وشكل العناصر غير الصفرية هو مثلث.

يعد $ C $ مثالاً لمصفوفة مثلثة عليا. في هذه المصفوفة المربعة ، العناصر $ e_ <21> $ و $ e_ <31> $ و $ e_ <32> $ و $ e_ <41> $ و $ e_ <42> $ و $ e_ <43> $ هي صفر والعناصر المتبقية غير صفرية ويكون ترتيب العناصر غير الصفرية على شكل مثلث.


اختر الإجابة الصحيحة أو الأنسب من البدائل الأربعة المحددة.

السؤال رقم 1.
اذا كاناي جاي = ( frac <1> <2> ) (3i & # 8211 2j) و A = [aاي جاي]2×2 يكون

المحلول:

السؤال 2.
ماذا يجب أن تكون المصفوفة X ، إذا كانت 2X + ( left [ begin <1> & amp <2> <3> & amp <4> end right] = left [ start <3> & amp <8> <7> & amp <2> endحق]) ؟

المحلول:

السؤال 3.
أي مما يلي غير صحيح بشأن المصفوفة ( اليسار [ البدء <1> & amp <0> & amp <0> <0> & amp <0> & amp <0> <0> & amp <0> & amp <5> endحق])؟
(أ) مصفوفة عددية
(ب) مصفوفة قطرية
(ج) مصفوفة مثلثة عليا
(د) مصفوفة مثلثة منخفضة
المحلول:
(ب) مصفوفة قطرية

السؤال 4.
إذا كان A و B مصفوفتين بحيث يتم تعريف كل من A + B و AB ، فإن & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(أ) A و B مصفوفتان ليسا بالضرورة من نفس الترتيب.
(ب) A و B عبارة عن مصفوفات مربعة من نفس الترتيب.
(ج) عدد أعمدة a يساوي عدد صفوف B.
(د) أ = ب.
المحلول:
(ب) A و B عبارة عن مصفوفات مربعة من نفس الترتيب.

السؤال 5.
إذا كان A = ( left [ begin < lambda> & amp <1> <-1> & amp <- lambda> end right] ) ، فما قيمة λ ، A 2 = 0؟
(أ) 0
(ب) ± 1
(ج) -1
(د) 1
المحلول:

السؤال 6.
لو و (A + B) 2 = A 2 + B 2 ، ثم قيم a و b هي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) أ = 4 ، ب = 1
(ب) أ = 1 ، ب = 4
(ج) أ = 0 ، ب = 4
(د) أ = 2 ، ب = 4
المحلول:

السؤال 7.
لو هي مصفوفة تحقق المعادلة AA T = 9I ، حيث أنا مصفوفة هوية 3 × 3 ، ثم الزوج المرتب (أ ، ب) يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) (2 ، -1)
(ب) (-2 ، 1)
(ج) (2 ، 1)
(د) (-2 ، -1)
المحلول:

السؤال 8.
إذا كانت A عبارة عن مصفوفة مربعة ، فأي مما يلي غير متماثل؟
(أ) أ + أ ت
(ب) AA T.
(ج) A T A
(د) أ & # 8211 أ ت
المحلول:
(ب)

السؤال 9.
إذا كان A و B مصفوفتان متماثلتان من الرتبة n ، حيث (A ≠ B) ، ثم & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) A + B متماثل منحرف
(ب) أ + ب متماثل
(ج) A + B مصفوفة قطرية
(د) A + B مصفوفة صفرية
المحلول:
(ب)

السؤال 10.
لو وإذا كانت xy = 1 ، فإن det (AA T) يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) (أ & # 8211 1) 2
(ب) (أ 2 + 1) 2
(ج) أ 2 & # 8211 1
(د) (أ 2 & # 8211 1) 2
المحلول:

السؤال 11.
قيمة x التي من أجلها المصفوفة هو المفرد & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) 9
(ب) 8
(ج) 7
(د) 6
المحلول:
(ب) تلميح: معطى A مصفوفة مفردة ⇒ | A | = 0

⇒ e x-2 .e 2x + 3 & # 8211 e 2 + x .e 7 + x = 0
⇒ e 3x + 1 & # 8211 e 9 + 2x = 0 ⇒ e 3x + 1 = e 9 + 2x
⇒ 3 س + 1 = 9 + 2 س
3x & # 8211 2x = 9 & # 8211 1 ⇒ x = 8

السؤال 12.
إذا كانت النقاط (س ، -2) ، (5 ، 2) ، (8 ، 8) متداخلة ، فإن x يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(أ) -3
(ب) ( فارك <1> <3> )
(ج) 1
(د) 3
المحلول:
(د) تلميح: بالنظر إلى أن النقاط على خط واحد
إذن ، مساحة المثلث المكونة من النقاط = 0

السؤال 13.

المحلول:

السؤال 14.
إذا كان مربع المصفوفة هي مصفوفة الوحدة بالترتيب 2 ، ثم يجب أن تفي α و و بالعلاقة.
(أ) 1 + α 2 + = 0
(ب) 1 & # 8211 α 2 & # 8211 βγ = 0
(ج) 1 & # 8211 α 2 + = 0
(د) 1 + α 2 & # 8211 βγ = 0
المحلول:

السؤال 15.

(أ) Δ
(ب) kΔ
(ج) 3kΔ
(د) ك 3 Δ
المحلول:

السؤال 16.
جذر المعادلة هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(أ) 6
(ب) 3
(ج) 0
(د) -6
المحلول:

السؤال 17.
قيمة المحدد هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(أ) -2abc
(ب) abc
(ج) 0
(د) أ 2 + ب 2 + ص 2
المحلول:

السؤال 18.
إذا كان x1، س2، س3 وكذلك ص1، ذ2، ذ3 هي في تقدم هندسي بنفس النسبة المشتركة ، ثم النقاط (x1، ذ1) ، (x2، ذ2) ، (x3، ذ3) نكون
(أ) رؤوس مثلث متساوي الأضلاع
(ب) رؤوس مثلث قائم الزاوية
(ج) رؤوس مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية
(د) علاقة خطية متداخلة
المحلول:
(د)

السؤال 19.
إذا كان ( lfloor. rfloor ) يشير إلى أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي الرقم الحقيقي قيد النظر و -1 ≤ x & lt 0 ، 0 ≤ y & lt 1 ، 1 ≤ z ≤ 2 ، ثم قيمة المحدد هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) ( الطابق z r الطابق )
(ب) ( الطابق ص r الطابق )
(ج) ( الطابق x r الطابق )
(د) ( الطابق x r الطابق + 1 )
حل:
(أ) تلميح: من القيم المعطاة
& GT

السؤال 20.
إذا كان أ ، ب ، ب ، ج مرضي ثم abc = & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) أ + ب + ج
(ب) 0
(ج) ب 3
(د) أب + ق
حل:
(ج) تلميح: التوسع على طول R1,
أ (ب 2 & # 8211 أ) & # 8211 2 ب (3 ب & # 8211 4 ج) + 2 ج (3 أ & # 8211 4 ب) = 0
(ب 2 & # 8211 أ) (أ & # 8211 ب) = 0
ب 2 = أ (أو) أ = ب
⇒ أ ب ج = ب (ب 2) = ب 3

السؤال 21.
لو ثم يتم إعطاء B بواسطة & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) ب = 4 أ
(ب) ب = -4 أ
(ج) ب = -أ
(د) ب = 6 أ
حل:

السؤال 22.
IfA هو منحرف متماثل للرتبة n و C s مصفوفة عمود بالترتيب n × 1 ، ثم C T AC هي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(أ) مصفوفة تعريف النظام
(ب) مصفوفة تعريف النظام 1
(هـ) مصفوفة صفرية من الرتبة الأولى
(د) مصفوفة الهوية بالترتيب 2
حل:
(ج) تلميح: المعطى A هو ترتيب n × n
C من أجل n × 1
لذلك ، CT من الترتيب 1 × n

فليكن مساويا لـ (x) قل
أخذ ينقل على كلا الجانبين
(C T ، AC) T (x) T.
(أي) C T (A T) (C) = x
C T (-A) (C) = x
⇒ C T AC = -x
⇒ x = -x ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0

السؤال 23.
المصفوفة أ التي تحقق المعادلة هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230

حل:

السؤال 24.
إذا كان A + I = ، ثم (A + I) (A & # 8211 I) يساوي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.

حل:

السؤال 25.
لنفترض أن A و B مصفوفتان متماثلتان من نفس الترتيب. إذن أي من العبارات التالية غير صحيح؟
(أ) A + B ¡مصفوفة متماثلة
(ب) AB - مصفوفة متماثلة
(ج) AB = (BA) T
(د) A T B = AB T
حل:
(ب)


محتويات

أ مصفوفة عبارة عن مصفوفة مستطيلة من الأرقام (أو غيرها من الأشياء الرياضية) التي يتم من أجلها تحديد عمليات مثل الجمع والضرب. [8] الأكثر شيوعًا ، مصفوفة فوق حقل F هي مجموعة مستطيلة من الحجميات ، كل منها عضو في F. [9] [10] تركز معظم هذه المقالة على حقيقة و المصفوفات المعقدة، أي المصفوفات التي تكون عناصرها على التوالي أعدادًا حقيقية أو أعدادًا مركبة. تتم مناقشة أنواع أكثر عمومية من الإدخالات أدناه. على سبيل المثال ، هذه مصفوفة حقيقية:

تسمى الأرقام أو الرموز أو التعبيرات الموجودة في المصفوفة باسمها إدخالات أو لها عناصر. يتم استدعاء الخطوط الأفقية والرأسية للإدخالات في المصفوفة صفوف و الأعمدة، على التوالى.

تحرير الحجم

يتم تحديد حجم المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة التي تحتوي عليها. لا يوجد حد لعدد الصفوف والأعمدة التي يمكن أن تحتوي عليها المصفوفة (بالمعنى المعتاد) طالما أنها أعداد صحيحة موجبة. مصفوفة مع م من الصفوف و ن الأعمدة تسمى م × ن مصفوفة أو م-بواسطة-ن بينما المصفوفة م و ن تسمى به أبعاد. على سبيل المثال ، المصفوفة أ أعلاه مصفوفة 3 × 2.

يتم استدعاء المصفوفات التي تحتوي على صف واحد نواقل الصف، ويتم استدعاء من لديهم عمود واحد ناقلات العمود. تسمى المصفوفة التي لها نفس عدد الصفوف والأعمدة أ مصفوفة مربعة. [11] تسمى المصفوفة التي تحتوي على عدد لا حصر له من الصفوف أو الأعمدة (أو كليهما) مصفوفة لانهائية. في بعض السياقات ، مثل برامج الجبر الحاسوبية ، من المفيد النظر في مصفوفة بدون صفوف أو بدون أعمدة ، تسمى مصفوفة فارغة.

نظرة عامة على حجم المصفوفة
اسم بحجم مثال وصف
ناقلات التوالي 1 × ن [3 7 2] 3 & amp7 & amp2 النهاية>> مصفوفة من صف واحد ، تُستخدم أحيانًا لتمثيل متجه
ناقلات العمود ن × 1 [4 1 8] 4 1 8 نهاية>> مصفوفة بعمود واحد تستخدم أحيانًا لتمثيل متجه
مصفوفة مربعة ن × ن [9 13 5 1 11 7 2 6 3] 9 & amp13 & amp5 1 & amp11 & amp7 2 & amp6 & amp6 end>> مصفوفة بنفس عدد الصفوف والأعمدة ، تُستخدم أحيانًا لتمثيل تحويل خطي من مساحة متجه إلى نفسها ، مثل الانعكاس أو الدوران أو القص.

عادة ما يتم كتابة المصفوفات بين قوسين مربعين أو أقواس:

تختلف خصائص تدوين المصفوفة الرمزية على نطاق واسع ، مع بعض الاتجاهات السائدة. عادةً ما يتم ترميز المصفوفات باستخدام أحرف كبيرة (مثل أ في الأمثلة أعلاه) ، [3] بينما الأحرف الصغيرة المقابلة ، مع مؤشرين منخفضين (على سبيل المثال ، أ11، أو أ1,1) ، تمثل الإدخالات. بالإضافة إلى استخدام الأحرف الكبيرة لترمز إلى المصفوفات ، يستخدم العديد من المؤلفين أسلوبًا خاصًا في الطباعة ، وعادة ما يكون بخط عريض مستقيم (غير مائل) ، لتمييز المصفوفات عن الكائنات الرياضية الأخرى. يتضمن الترميز البديل استخدام تسطير مزدوج مع اسم المتغير ، مع أو بدون نمط غامق (كما في حالة A _ _ >>).

الإدخال في أناالصف السادس و ي- العمود الثالث من المصفوفة أ يشار إليه أحيانًا باسم أنا,ي, (أنا,ي)، أو (أنا,ي) دخول المصفوفة ، والأكثر شيوعًا هو أأنا,ي، أو أاي جاي. الترميزات البديلة لهذا الدخول هي أ[اي جاي] أو أاي جاي. على سبيل المثال ، المدخل (1،3) من المصفوفة التالية أ هو 5 (يشار إليه أيضًا أ13, أ1,3, أ[1,3] أو أ1,3):

في بعض الأحيان ، يمكن تعريف إدخالات المصفوفة بصيغة مثل أأنا,ي = F(أنا, ي). على سبيل المثال ، كل من إدخالات المصفوفة التالية أ يتم تحديده من خلال الصيغة أاي جاي = أناي.

في هذه الحالة ، يتم تعريف المصفوفة نفسها أحيانًا بهذه الصيغة ، داخل أقواس مربعة أو أقواس مزدوجة. على سبيل المثال ، يتم تعريف المصفوفة أعلاه على أنها أ = [أناي]، أو أ = ((أناي)). إذا كان حجم المصفوفة هو م × ن، الصيغة المذكورة أعلاه F(أنا, ي) صالح لأي أنا = 1, . م وأي ي = 1, . ن. يمكن تحديد ذلك بشكل منفصل أو الإشارة إليه باستخدام م × ن كمنخفض. على سبيل المثال ، المصفوفة أ أعلاه 3 × 4 ، ويمكن تعريفها على أنها أ = [أناي] (أنا = 1, 2, 3 ي = 1 ،. 4) أو أ = [أناي]3×4.

تستخدم بعض لغات البرمجة المصفوفات المزدوجة (أو مصفوفات المصفوفات) لتمثيل ملف م-×-ن مصفوفة. تبدأ بعض لغات البرمجة في ترقيم فهارس المصفوفة عند الصفر ، وفي هذه الحالة تكون مدخلات ملف م-بواسطة-ن مصفوفة مفهرسة ب 0 ≤ أنام - 1 و 0 ين - 1. [12] تتبع هذه المقالة العرف الأكثر شيوعًا في الكتابة الرياضية حيث يبدأ التعداد من 1.

تُستخدم علامة النجمة أحيانًا للإشارة إلى صفوف أو أعمدة كاملة في مصفوفة. فمثلا، أأنا,∗ يشير إلى الصف الأول من أ، و أ∗,ي يشير إلى العمود j من أ. مجموعة الكل م-بواسطة-ن يتم الإشارة إلى المصفوفات M (m ، n) ، (م ، ن) ،> أو R م × n ^> للمصفوفات الحقيقية.

هناك عدد من العمليات الأساسية التي يمكن تطبيقها لتعديل المصفوفات ، تسمى إضافة مصفوفة, الضرب القياسي, التحويل, ضرب المصفوفة, عمليات الصف، و مصفوفة فرعية. [14]

تحرير الجمع والضرب العددي والتبديل

هذه العملية تسمى الضرب القياسي، ولكن لم يتم تسمية نتيجته "المنتج القياسي" لتجنب الالتباس ، حيث يتم استخدام "المنتج القياسي" أحيانًا كمرادف لـ "المنتج الداخلي".

تمتد الخصائص المألوفة للأرقام إلى عمليات المصفوفات هذه: على سبيل المثال ، الجمع هو تبادلي ، أي أن مجموع المصفوفة لا يعتمد على ترتيب عمليات الجمع: أ + ب = ب + أ. [15] المدور متوافق مع الجمع والضرب القياسي ، كما يتم التعبير عنه بواسطة (جأ) T = ج(أ T) و (أ + ب) T = أ T + ب تي. أخيرا، (أ T) T = أ.

تحرير المصفوفة

عمليه الضرب من مصفوفتين يتم تعريفه إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة اليسرى هو نفسه عدد صفوف المصفوفة اليمنى. لو أ هو م-بواسطة-ن مصفوفة و ب هو ن-بواسطة-ص مصفوفة ، ثم بهم منتج المصفوفة AB هل م-بواسطة-ص المصفوفة التي يتم إعطاء مدخلاتها بواسطة حاصل الضرب النقطي للصف المقابل لـ أ والعمود المقابل من ب: [16]

حيث 1 ≤ أنام و 1 يص. [17] على سبيل المثال ، يتم حساب الإدخال المسطر 2340 في المنتج على أنه (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

ضرب المصفوفة يلبي القواعد (AB)ج = أ(قبل الميلاد) (الترابطية) و (أ + ب)ج = تيار متردد + قبل الميلاد إلى جانب ج(أ + ب) = كاليفورنيا + سي بي (التوزيع الأيمن والأيسر) ، كلما كان حجم المصفوفات بحيث يتم تعريف المنتجات المختلفة. [18] المنتج AB يمكن تعريفها بدون بكالوريوس يجري تعريفه ، أي إذا أ و ب نكون م-بواسطة-ن و ن-بواسطة-ك المصفوفات على التوالي و مك. حتى إذا تم تعريف كلا المنتجين ، فلا داعي لأن يكونا متساويين ، أي:

وبعبارة أخرى ، فإن ضرب المصفوفة ليس تبادليًا ، في تناقض ملحوظ مع الأرقام (المنطقية أو الحقيقية أو المعقدة) ، التي يكون ناتجها مستقلاً عن ترتيب العوامل. [16] مثال على مصفوفتين لا تتنقلان مع بعضهما البعض:

إلى جانب ضرب المصفوفة العادي الموصوف للتو ، توجد أيضًا عمليات أخرى أقل استخدامًا على المصفوفات والتي يمكن اعتبارها أشكالًا للضرب ، مثل منتج Hadamard ومنتج Kronecker. [19] تنشأ في حل معادلات المصفوفة مثل معادلة سيلفستر.

تحرير عمليات الصف

هناك ثلاثة أنواع من عمليات الصفوف:

  1. بالإضافة إلى ذلك ، يتم إضافة صف إلى آخر.
  2. ضرب الصف ، أي ضرب جميع إدخالات الصف في ثابت غير صفري
  3. تبديل الصفوف ، أي تبديل صفين من المصفوفة

تُستخدم هذه العمليات بعدة طرق ، بما في ذلك حل المعادلات الخطية وإيجاد مقلوب المصفوفة.

تحرير مصفوفة

أ مصفوفة فرعية من المصفوفة عن طريق حذف أي مجموعة من الصفوف و / أو الأعمدة. [20] [21] [22] على سبيل المثال ، من المصفوفة التالية 3 × 4 ، يمكننا بناء مصفوفة فرعية 2 × 3 عن طريق إزالة الصف 3 والعمود 2:

تم العثور على العوامل الثانوية والعوامل المساعدة للمصفوفة عن طريق حساب محدد بعض المصفوفات الفرعية. [22] [23]

أ مصفوفة فرعية رئيسية هي مصفوفة فرعية مربعة يتم الحصول عليها عن طريق إزالة بعض الصفوف والأعمدة. التعريف يختلف من مؤلف لآخر. وفقًا لبعض المؤلفين ، فإن المصفوفة الفرعية الرئيسية هي مصفوفة فرعية تكون فيها مجموعة مؤشرات الصف المتبقية هي نفس مجموعة مؤشرات الأعمدة المتبقية. [24] [25] عرّف مؤلفون آخرون المصفوفة الفرعية الرئيسية على أنها مصفوفة أولية ك الصفوف والأعمدة لبعض العدد ك، هي تلك التي بقيت [26] هذا النوع من المصفوفات الفرعية كما يسمى أ قيادة مصفوفة فرعية رئيسية. [27]

يمكن استخدام المصفوفات للكتابة بشكل مضغوط والعمل مع معادلات خطية متعددة ، أي أنظمة المعادلات الخطية. على سبيل المثال ، إذا أ هو م-بواسطة-ن مصفوفة، x يحدد متجه العمود (أي ، ن× 1 مصفوفة) من ن المتغيرات x1, x2, . xن، و ب هو م× متجه عمود واحد ، ثم معادلة المصفوفة

يكافئ نظام المعادلات الخطية [28]

باستخدام المصفوفات ، يمكن حل هذا بشكل أكثر إحكاما مما هو ممكن عن طريق كتابة جميع المعادلات بشكل منفصل. لو ن = م والمعادلات مستقلة ، ثم يمكن عمل ذلك عن طريق الكتابة

أين أ −1 هي معكوس مصفوفة أ. لو أ ليس لها معكوس ، الحلول - إن وجدت - يمكن إيجادها باستخدام معكوسها العام.

تكشف المصفوفات وضرب المصفوفات عن سماتها الأساسية عند ارتباطها بـ التحولات الخطية، المعروف أيضًا باسم خرائط خطية. حقيقي م-بواسطة-ن مصفوفة أ يؤدي إلى تحول خطي ر نر م تعيين كل متجه x في ر ن إلى منتج (المصفوفة) فأس، وهو متجه في ر م . على العكس من ذلك ، كل تحويل خطي F: ر نر م ينشأ من فريد م-بواسطة-ن مصفوفة أ: صراحة ، (أنا, ي) - دخول أ هل أنا الاحداثيات ال F(هي)، أين هي = (0. 0،1،0. 0) هو متجه الوحدة مع 1 في ي المركز العاشر و 0 في أي مكان آخر. المصفوفة أ يقال لتمثيل الخريطة الخطية F، و أ يسمى مصفوفة التحويل من F.

على سبيل المثال ، مصفوفة 2 × 2

يمكن اعتباره تحويل مربع الوحدة إلى متوازي أضلاع برؤوس عند (0 ، 0) ، (أ, ب) , (أ + ج, ب + د) ، و (ج, د). يتم الحصول على متوازي الأضلاع الموضح على اليمين بالضرب أ مع كل من متجهات العمود [0 0] ، [1 0] ، [1 1] 0 0 نهاية> ، < start1 0 نهاية> ، < start1 1 نهاية>> ، و [0 1] 0 1 نهاية>> بدوره. تحدد هذه المتجهات رؤوس مربع الوحدة.

يوضح الجدول التالي عدة مصفوفات حقيقية 2 × 2 مع الخرائط الخطية المرتبطة بها ر 2. تم تعيين الأصل الأزرق على الشبكة والأشكال الخضراء. الأصل (0،0) مميز بنقطة سوداء.

القص الأفقي
مع م = 1.25.
الانعكاس من خلال المحور الرأسي ضغط الخرائط
مع ص = 3/2
تحجيم
بمعامل 3/2
دوران
بمقدار π / 6 = 30 درجة
[1 1.25 0 1] 1 & amp1.25 0 & amp1 النهاية>> [- 1 0 0 1] -1 & amp0 0 & amp1 النهاية>> [3 2 0 0 2 3] < frac <3> <2>> & amp0 0 & amp < frac <2> <3>> end>> [3 2 0 0 3 2] < frac <3> <2>> & amp0 0 & amp < frac <3> <2>> end>> [كوس ⁡ (π 6) - الخطيئة ⁡ (π 6) الخطيئة ⁡ (π 6) cos ⁡ (π 6)] cos left (< frac < pi> <6>> right) & amp- sin left (< frac < pi> <6>> right) sin left (< frac < pi> <6>> right) & amp cos left (< frac < pi> <6>> right) end>>

في إطار المراسلات 1 إلى 1 بين المصفوفات والخرائط الخطية ، يتوافق ضرب المصفوفة مع تكوين الخرائط: [29] إذا كان ك-بواسطة-م مصفوفة ب يمثل خريطة خطية أخرى ز: ر مر ك ثم التكوين زF يمثله بكالوريوس منذ

(زF)(x) = ز(F(x)) = ز(فأس) = ب(فأس) = (بكالوريوس)x.

تأتي المساواة الأخيرة من الترابط المذكور أعلاه لضرب المصفوفة.

رتبة المصفوفة أ هو الحد الأقصى لعدد متجهات الصف المستقلة خطيًا للمصفوفة ، وهو نفس العدد الأقصى لمتجهات العمود المستقلة خطيًا. [30] بالتساوي هو أبعاد صورة الخريطة الخطية التي يمثلها أ. [31] تنص نظرية الرتبة والعدم على أن أبعاد نواة المصفوفة بالإضافة إلى الرتبة تساوي عدد أعمدة المصفوفة. [32]

المصفوفة المربعة هي مصفوفة لها نفس عدد الصفوف والأعمدة. [11] أن ن-بواسطة-ن تُعرف المصفوفة بالمصفوفة المربعة للترتيب ن. يمكن إضافة أي مصفوفتين مربعتين من نفس الترتيب وضربهما. الإدخالات أثانيا تشكل القطر الرئيسي لمصفوفة مربعة. تقع على الخط التخيلي الذي يمتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلية من المصفوفة.

الأنواع الرئيسية تحرير

اسم مثال مع ن = 3
مصفوفة قطرية [a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33] a_ <11> & amp0 & amp0 0 & ampa_ <22> & amp0 0 & amp0 & ampa_ <33> end>>
مصفوفة مثلثة منخفضة [a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33] a_ <11> & amp0 & amp0 a_ <21> & ampa_ <22> & amp0 a_ <31> & ampa_ <32> & ampa_ <33> end>>
مصفوفة مثلثة عليا [a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33] a_ <11> & ampa_ <12> & ampa_ <13> 0 & ampa_ <22> & ampa_ <23> 0 & amp0 & ampa_ <33> end>>

تحرير المصفوفة القطرية والمثلثة

إذا كانت كافة إدخالات أ أسفل القطر الرئيسي صفر ، أ يسمى مصفوفة مثلثة عليا. وبالمثل إذا كانت جميع إدخالات أ فوق القطر الرئيسي صفر ، أ يسمى أ مصفوفة مثلثة سفلية. إذا كانت جميع الإدخالات خارج القطر الرئيسي صفرًا ، أ يسمى المصفوفة القطرية.

تحرير مصفوفة الهوية

ال مصفوفة الهوية أنان من الحجم ن هل ن-بواسطة-ن مصفوفة تكون فيها جميع العناصر الموجودة على القطر الرئيسي مساوية لـ 1 وجميع العناصر الأخرى تساوي 0 ، على سبيل المثال ،

إنها مصفوفة نظام مربعة ن، وأيضًا نوع خاص من المصفوفة القطرية. تسمى مصفوفة الهوية لأن الضرب بها يترك المصفوفة دون تغيير:

منظمة العفو الدوليةن = أنامأ = أ لأي م-بواسطة-ن مصفوفة أ.

يسمى المضاعف العددي غير الصفري لمصفوفة الهوية أ العددية مصفوفة. إذا جاءت إدخالات المصفوفة من حقل ، فإن المصفوفات العددية تشكل مجموعة ، تحت ضرب المصفوفة ، تكون متشابهة لمجموعة المضاعفة من العناصر غير الصفرية للحقل.

تحرير المصفوفة المتماثلة أو المنحرفة المتماثلة

مصفوفة مربعة أ التي تساوي تبديلها ، أي أ = أ T هي مصفوفة متماثلة. إذا بدلاً من ذلك ، أ يساوي سالب تبديلها ، أي أ = −أ تي ، إذن أ هي مصفوفة منحرفة متماثلة. في المصفوفات المعقدة ، غالبًا ما يتم استبدال التناظر بمفهوم المصفوفات Hermitian ، والتي ترضي أ ∗ = أ، حيث تشير النجمة أو العلامة النجمية إلى تبديل اقتران المصفوفة ، أي تبديل الاقتران المركب لـ أ.

من خلال النظرية الطيفية ، تحتوي المصفوفات المتماثلة الحقيقية والمصفوفات الهرمية المعقدة على أساس eigenbasis أي أن كل متجه يمكن التعبير عنه كمجموعة خطية من المتجهات الذاتية. في كلتا الحالتين ، تكون جميع القيم الذاتية حقيقية. [33] يمكن تعميم هذه النظرية على المواقف ذات الأبعاد اللانهائية المتعلقة بالمصفوفات التي تحتوي على عدد لانهائي من الصفوف والأعمدة ، انظر أدناه.

المصفوفة المعكوسة وعكسها تحرير

مصفوفة مربعة أ يسمى غير قابل للعكس أو غير مفرد إذا كانت هناك مصفوفة ب مثل ذلك

AB = بكالوريوس = أنان , [34] [35]

أين أنان هل ن×ن مصفوفة الهوية مع 1s على القطر الرئيسي والأصفار في مكان آخر. لو ب موجود ، إنه فريد ويسمى مصفوفة معكوسة من أ، يعني أ −1 .

مصفوفة محددة تحرير

متماثل ن×ن-مصفوفة أ يسمى إيجابية محددة إذا كان الشكل التربيعي المرتبط

F (x) = x تي فأس

له قيمة موجبة لكل متجه غير صفري x في ر ن . لو F (x) ينتج فقط قيمًا سالبة بعد ذلك أ يكون سلبي محدد لو F لا تنتج كلا من القيم السالبة والموجبة بعد ذلك أ يكون غير محدد. [36] إذا كانت الصيغة التربيعية F ينتج فقط قيمًا غير سالبة (موجبة أو صفرية) ، تسمى المصفوفة المتماثلة موجب نصف محدد (أو إذا كانت القيم غير موجبة فقط ، فحينئذٍ تكون سالبة - شبه محددة) ومن ثم تكون المصفوفة غير محددة على وجه التحديد عندما لا تكون موجبة - شبه محددة ولا سلبية - شبه محددة.

تكون المصفوفة المتماثلة موجبة التحديد إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية موجبة ، أي أن المصفوفة موجبة نصف محددة وقابلة للعكس. [37] يوضح الجدول الموجود على اليمين احتمالين لمصفوفات 2 × 2.

السماح كمدخلين مختلفين متجهين بدلاً من ذلك ينتج الشكل ثنائي الخطوط المرتبط أ:

بأ (x, ذ) = x تي آية. [38]

تحرير المصفوفة المتعامدة

ان مصفوفة متعامدة هي مصفوفة مربعة بإدخالات حقيقية تكون أعمدتها وصفوفها متجهات وحدة متعامدة (أي ، متجهات متعامدة). بالتساوي ، مصفوفة أ متعامد إذا كان منقوله يساوي معكوسه:

أين أنان هي مصفوفة هوية الحجم ن.

مصفوفة متعامدة أ هو بالضرورة مقلوب (مع عكس أ −1 = أ T) ، الوحدوي ( أ −1 = أ*) وعادي ( أ*أ = AA*). محدد أي مصفوفة متعامدة هو إما +1 أو -1. أ مصفوفة متعامدة خاصة هي مصفوفة متعامدة مع محدد +1. كتحول خطي ، فإن كل مصفوفة متعامدة ذات محدد +1 هي دوران خالص بدون انعكاس ، أي أن التحويل يحافظ على اتجاه البنية المحولة ، بينما كل مصفوفة متعامدة ذات محدد -1 تعكس الاتجاه ، أي تكوين لـ انعكاس نقي ودوران (ربما لاغٍ). مصفوفات الهوية لها المحدد 1 ، وهي عبارة عن دورات نقية بزاوية صفر.

التناظرية المعقدة للمصفوفة المتعامدة هي مصفوفة وحدوية.

تحرير العمليات الرئيسية

تتبع تحرير

التتبع ، tr (أ) من مصفوفة مربعة أ هو مجموع مداخلها القطرية. في حين أن ضرب المصفوفة ليس تبادليًا كما هو مذكور أعلاه ، فإن تتبع حاصل ضرب مصفوفتين مستقل عن ترتيب العوامل:

هذا فوري من تعريف ضرب المصفوفة:

ويترتب على ذلك أن تتبع ناتج أكثر من مصفوفتين مستقل عن التباديل الدوري للمصفوفات ، ولكن هذا لا ينطبق بشكل عام على التباديل التعسفي (على سبيل المثال ، tr (ABC) ≠ tr (باك)، بشكل عام). أيضًا ، فإن تتبع المصفوفة يساوي ذلك من مدورها ، أي ،

تحرير محدد

ال محدد من مصفوفة مربعة أ (يشار إلى det (أ) أو |أ| [3]) هو رقم يشفر خصائص معينة للمصفوفة. تكون المصفوفة قابلة للعكس فقط إذا كان محددها غير صفري. قيمته المطلقة تساوي المساحة (في ر 2) أو الحجم (بوصة ر 3) لصورة مربع الوحدة (أو المكعب) ، بينما تتوافق علامتها مع اتجاه الخريطة الخطية المقابلة: يكون المحدد موجبًا إذا وفقط إذا تم الحفاظ على الاتجاه.

يتم إعطاء محدد المصفوفات 2 × 2 بواسطة

يتضمن محدد المصفوفات 3 × 3 6 شروط (قاعدة ساروس). تعمل صيغة Leibniz الأطول على تعميم هاتين الصيغتين على جميع الأبعاد. [39]

محدد لمنتج المصفوفات المربعة يساوي حاصل ضرب محدداتها:

det (AB) = det (أ) · det (ب). [40]

لا تؤدي إضافة مضاعفات أي صف إلى صف آخر ، أو مضاعفات أي عمود إلى عمود آخر إلى تغيير المحدد. يؤثر تبديل صفين أو عمودين على المحدد بضربه في −1. [41] باستخدام هذه العمليات ، يمكن تحويل أي مصفوفة إلى مصفوفة مثلثة سفلية (أو عليا) ، وبالنسبة لمثل هذه المصفوفات ، المحدد يساوي حاصل ضرب المدخلات على القطر الرئيسي وهذا يوفر طريقة لحساب محدد أي مصفوفة . أخيرًا ، يعبر توسيع لابلاس عن المحدد من حيث القاصرين ، أي محددات المصفوفات الأصغر. [42] يمكن استخدام هذا التوسع لتعريف تكراري للمحددات (مع الأخذ في الاعتبار حالة البداية محدد مصفوفة 1 × 1 ، والتي هي مدخلها الفريد ، أو حتى محدد مصفوفة 0 × 0 ، والتي هو 1) ، يمكن اعتباره مكافئًا لصيغة لايبنيز. يمكن استخدام المحددات لحل الأنظمة الخطية باستخدام قاعدة كرامر ، حيث يساوي تقسيم محددات مصفوفتين مربعتين متصلتين قيمة كل من متغيرات النظام. [43]

تحرير القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

رقم λ ومتجه غير صفري الخامس مرضيه

تسمى القيمة الذاتية و ناقل eigenvector من أ، على التوالى. [44] [45] الرقم هو قيمة ذاتية لـ an ن×ن-مصفوفة أ إذا وفقط إذا أ−λأنان غير قابل للعكس ، وهو ما يعادل

كثير الحدود صأ في غير محدد X معطى عن طريق تقييم المحددات (Xأنانأ) يسمى كثير الحدود المميز لـ أ. إنها متعددة الحدود أحادية الدرجة ن. لذلك فإن المعادلة متعددة الحدود صأ(λ) = 0 بحد أقصى ن حلول مختلفة ، أي القيم الذاتية للمصفوفة. [47] قد تكون معقدة حتى لو كانت مداخل أ حقيقة. وفقًا لنظرية كايلي هاملتون ، صأ(أ) = 0 ، أي نتيجة استبدال المصفوفة نفسها في كثير الحدود المميز الخاص بها ينتج المصفوفة الصفرية.

يمكن إجراء حسابات المصفوفة غالبًا بتقنيات مختلفة. يمكن حل العديد من المشكلات من خلال الخوارزميات المباشرة أو الأساليب التكرارية. على سبيل المثال ، يمكن الحصول على المتجهات الذاتية لمصفوفة مربعة بإيجاد سلسلة من المتجهات xن تتقارب إلى eigenvector عندما ن يميل إلى اللانهاية. [48]

لاختيار الخوارزمية الأنسب لكل مشكلة محددة ، من المهم تحديد فعالية ودقة جميع الخوارزميات المتاحة. يُطلق على المجال الذي يدرس هذه الأمور اسم الجبر الخطي العددي. [49] كما هو الحال مع المواقف العددية الأخرى ، هناك جانبان رئيسيان هما تعقيد الخوارزميات واستقرارها العددي.

إن تحديد مدى تعقيد الخوارزمية يعني إيجاد حدود عليا أو تقديرات لعدد العمليات الأولية مثل الإضافات ومضاعفات الحجميات اللازمة لأداء بعض الخوارزمية ، على سبيل المثال ، مضاعفة المصفوفات. حساب حاصل ضرب المصفوفة لاثنين ن-بواسطة-ن المصفوفات باستخدام التعريف الوارد أعلاه الاحتياجات ن 3 مضاعفات ، منذ ذلك الحين لأي من ن 2 مداخل للمنتج ، ن الضرب ضروري. تتفوق خوارزمية Strassen على هذه الخوارزمية "الساذجة" التي تحتاجها فقط ن 2.807 الضرب. [50] يشتمل النهج المُحسَّن أيضًا على ميزات محددة لأجهزة الحوسبة.

في العديد من المواقف العملية ، تُعرف معلومات إضافية حول المصفوفات المعنية. إحدى الحالات المهمة هي المصفوفات المتفرقة ، أي المصفوفات التي يكون معظم مدخلاتها صفرًا. هناك خوارزميات مُكيَّفة خصيصًا لحل الأنظمة الخطية ، على سبيل المثال فأس = ب للمصفوفات المتفرقة أ، مثل طريقة التدرج المترافق. [51]

الخوارزمية ، تقريبًا ، مستقرة عدديًا ، إذا كانت الانحرافات الصغيرة في قيم الإدخال لا تؤدي إلى انحرافات كبيرة في النتيجة. على سبيل المثال ، حساب معكوس مصفوفة عبر توسعة لابلاس (صفة (أ) يشير إلى المصفوفة المرافقة لـ أ)

أ −1 = صفة (أ) / det (أ)

قد يؤدي إلى أخطاء كبيرة في التقريب إذا كان محدد المصفوفة صغيرًا جدًا. يمكن استخدام معيار المصفوفة لالتقاط تكييف المسائل الجبرية الخطية ، مثل حساب معكوس المصفوفة. [52]

تدعم معظم لغات برمجة الكمبيوتر المصفوفات ولكنها غير مصممة بأوامر مضمنة للمصفوفات. بدلاً من ذلك ، توفر المكتبات الخارجية المتاحة عمليات مصفوفة على المصفوفات ، في جميع لغات البرمجة المستخدمة حاليًا تقريبًا. كان التلاعب بالمصفوفة من بين أقدم التطبيقات العددية لأجهزة الكمبيوتر. [53] يحتوي Dartmouth BASIC الأصلي على أوامر مضمنة لحساب المصفوفة على المصفوفات من تطبيق الإصدار الثاني في عام 1964. في وقت مبكر من السبعينيات ، كانت بعض أجهزة الكمبيوتر المكتبية الهندسية مثل HP 9830 تحتوي على خراطيش ROM لإضافة أوامر BASIC للمصفوفات. تم تصميم بعض لغات الكمبيوتر مثل APL لمعالجة المصفوفات ، ويمكن استخدام العديد من البرامج الرياضية للمساعدة في الحوسبة باستخدام المصفوفات. [54]

هناك عدة طرق لتحويل المصفوفات إلى نموذج يسهل الوصول إليه. يشار إليها عمومًا باسم تحلل المصفوفة أو عامل المصفوفة التقنيات. الفائدة من كل هذه الأساليب أنها تحافظ على خصائص معينة للمصفوفات المعنية ، مثل المحدد أو الرتبة أو المعكوس ، بحيث يمكن حساب هذه الكميات بعد تطبيق التحويل ، أو أن عمليات مصفوفة معينة يسهل تنفيذها خوارزميًا لبعض أنواع المصفوفات.

مصفوفات عوامل التحلل LU كمنتج أقل (إل) ومصفوفات مثلثة عليا (يو). [55] بمجرد حساب هذا التحلل ، يمكن حل الأنظمة الخطية بشكل أكثر كفاءة ، عن طريق تقنية بسيطة تسمى الاستبدال الأمامي والخلفي. وبالمثل ، فإن حساب معكوسات المصفوفات المثلثية أسهل من الناحية الحسابية. ال القضاء الغاوسي هي خوارزمية مشابهة تقوم بتحويل أي مصفوفة إلى شكل مرتبة صف. [56] تمضي الطريقتان بضرب المصفوفة في مصفوفات أولية مناسبة ، والتي تتوافق مع الصفوف أو الأعمدة التبادلية وإضافة مضاعفات صف واحد إلى صف آخر. يعبر تحلل القيمة المفردة عن أي مصفوفة أ كمنتج UDV ∗ أين يو و الخامس هي مصفوفات وحدوية و د هي مصفوفة قطرية.

تكوين eigendecomposition أو قطري يعبر أ كمنتج VDV −1 أين د هي مصفوفة قطرية و الخامس هي مصفوفة قابلة للعكس مناسبة. [57] إذا أ يمكن كتابته بهذا الشكل ، ويسمى قطريًا. بشكل أكثر عمومية ، وقابل للتطبيق على جميع المصفوفات ، يحول تحلل الأردن مصفوفة إلى شكل الأردن الطبيعي ، أي المصفوفات التي تكون مدخلاتها الوحيدة غير الصفرية هي القيم الذاتية λ1 إلى λن من أ، موضوعة على القطر الرئيسي وربما مداخل تساوي واحدًا أعلى القطر الرئيسي مباشرةً ، كما هو موضح على اليمين. [58] نظرًا للتكوين الذاتي ، فإن ن ال قوة ال أ (هذا هو، نيمكن حساب مضاعفة المصفوفة المتكررة) عبر

أ ن = (VDV −1 ) ن = VDV −1 VDV −1 . VDV −1 = VD ن الخامس −1

ويمكن حساب قوة المصفوفة القطرية بأخذ القوى المقابلة لمدخلات القطر ، وهو أسهل بكثير من القيام بقياس الأس لـ أ في حين أن. يمكن استخدام هذا لحساب المصفوفة الأسية ه أ ، وهي حاجة تنشأ بشكل متكرر في حل المعادلات التفاضلية الخطية ولوغاريتمات المصفوفة والجذور التربيعية للمصفوفات. [59] لتجنب المواقف غير المشروطة عدديًا ، يمكن استخدام خوارزميات أخرى مثل تحلل شور. [60]

يمكن تعميم المصفوفات بطرق مختلفة. يستخدم الجبر المجرد المصفوفات مع إدخالات في مجالات أكثر عمومية أو حتى حلقات ، بينما يقوم الجبر الخطي بتدوين خصائص المصفوفات في مفهوم الخرائط الخطية. من الممكن اعتبار المصفوفات ذات عدد لا نهائي من الأعمدة والصفوف. الامتداد الآخر هو الموترات ، والتي يمكن رؤيتها على أنها مصفوفات ذات أبعاد أعلى من الأرقام ، على عكس المتجهات ، والتي يمكن غالبًا إدراكها كتسلسلات من الأرقام ، بينما المصفوفات عبارة عن مصفوفات مستطيلة أو ثنائية الأبعاد من الأرقام. [61] تميل المصفوفات ، الخاضعة لمتطلبات معينة ، إلى تشكيل مجموعات تعرف باسم مجموعات المصفوفات. وبالمثل ، في ظل ظروف معينة ، تشكل المصفوفات حلقات تُعرف باسم حلقات المصفوفة. على الرغم من أن منتج المصفوفات ليس تبادليًا بشكل عام ، إلا أن بعض المصفوفات تشكل حقولًا تُعرف باسم حقول المصفوفة.

المصفوفات مع المزيد من الإدخالات العامة تحرير

تركز هذه المقالة على المصفوفات التي تكون مدخلاتها أرقامًا حقيقية أو معقدة. ومع ذلك ، يمكن اعتبار المصفوفات بأنواع إدخالات أكثر عمومية من الأرقام الحقيقية أو المركبة. كخطوة أولى للتعميم ، يمكن استخدام أي مجال ، أي مجموعة يتم فيها تعريف عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وحسن التصرف ، بدلاً من ر أو ج، على سبيل المثال الأرقام المنطقية أو الحقول المحدودة. على سبيل المثال ، تستخدم نظرية الترميز المصفوفات على الحقول المحدودة. أينما يتم النظر في القيم الذاتية ، نظرًا لأن هذه جذور متعددة الحدود ، فقد تكون موجودة فقط في حقل أكبر من مجال إدخالات المصفوفة على سبيل المثال ، فقد تكون معقدة في حالة المصفوفة ذات الإدخالات الحقيقية. إن إمكانية إعادة تفسير مدخلات المصفوفة كعناصر لحقل أكبر (على سبيل المثال ، لعرض مصفوفة حقيقية كمصفوفة معقدة تصادف أن تكون جميع إدخالاتها حقيقية) ثم تسمح بالنظر إلى كل مصفوفة مربعة لامتلاك مجموعة كاملة من القيم الذاتية. بدلاً من ذلك ، يمكن للمرء أن ينظر فقط في المصفوفات التي تحتوي على مدخلات في حقل مغلق جبريًا ، مثل ج، من الخارج.

بشكل عام ، المصفوفات التي تحتوي على مدخلات في الحلقة ر تستخدم على نطاق واسع في الرياضيات. [62] الحلقات هي فكرة عامة أكثر من الحقول حيث لا يلزم وجود عملية قسمة. تمتد عمليات الجمع والضرب نفسها للمصفوفات إلى هذا الإعداد أيضًا. المجموعة م (ن, ر) من كل مربع ن-بواسطة-ن المصفوفات ر هي حلقة تسمى حلقة المصفوفة ، متشابهة إلى حلقة التشكل من اليسار ر-وحدة ر ن . [63] إذا كان الحلبة ر هو تبادلي ، أي أن ضربه تبادلي ، ثم M (ن, ر) هو أحادي غير تبادلي (ما لم ن = 1) الجبر الترابطي ر. محدد المصفوفات المربعة على حلقة تبادلية ر لا يزال من الممكن تعريفها باستخدام صيغة Leibniz ، مثل هذه المصفوفة تكون قابلة للانعكاس إذا وفقط إذا كان محددها قابلاً للانعكاس في ر، وتعميم الوضع على الميدان F، حيث يكون كل عنصر غير صفري قابلاً للعكس. [64] تسمى المصفوفات فوق الينابيع الفائقة المصفوفات الفائقة. [65]

لا تحتوي المصفوفات دائمًا على جميع إدخالاتها في نفس الحلقة - أو حتى في أي حلقة على الإطلاق. إحدى الحالات الخاصة ولكن الشائعة هي مصفوفات الكتلة ، والتي يمكن اعتبارها مصفوفات تكون مدخلاتها نفسها مصفوفات. لا يلزم أن تكون الإدخالات عبارة عن مصفوفات مربعة ، وبالتالي لا يلزم أن تكون أعضاء في أي حلقة ولكن يجب أن تفي أحجامها بشروط توافق معينة.

تحرير العلاقة بالخرائط الخطية

الخرائط الخطية ر نر م تعادل م-بواسطة-ن المصفوفات ، كما هو موضح أعلاه. بشكل عام ، أي خريطة خطية F: الخامسدبليو بين الفراغات المتجهية ذات الأبعاد المحدودة يمكن وصفها بمصفوفة أ = (أاي جاي) ، بعد اختيار القواعد الخامس1, . الخامسن من الخامس، و ث1, . ثم من دبليو (وبالتالي ن هو البعد الخامس و م هو البعد دبليو) ، وهو مثل هذا

بمعنى آخر ، العمود ي من أ يعبر عن صورة الخامسي من حيث نواقل الأساس ثأنا من دبليو وهكذا تحدد هذه العلاقة بشكل فريد مداخل المصفوفة أ. تعتمد المصفوفة على اختيار القواعد: تؤدي الاختيارات المختلفة للقواعد إلى ظهور مصفوفات مختلفة ولكنها متكافئة. [66] يمكن إعادة تفسير العديد من المفاهيم الملموسة المذكورة أعلاه في هذا الضوء ، على سبيل المثال ، مصفوفة تبديل الموضع أ يصف T تبديل الخريطة الخطية التي قدمها أ، فيما يتعلق بالقواعد المزدوجة. [67]

يمكن إعادة ذكر هذه الخصائص بشكل أكثر طبيعية: فئة جميع المصفوفات ذات الإدخالات في الحقل k < displaystyle k> مع الضرب كتكوين يكافئ فئة المساحات المتجهة محدودة الأبعاد والخرائط الخطية فوق هذا الحقل.

بشكل عام ، فإن مجموعة م×ن يمكن استخدام المصفوفات لتمثيل رخرائط خطية بين الوحدات المجانية ر م و ر ن لحلقة تعسفية ر مع الوحدة. متي ن = م تكوين هذه الخرائط ممكن ، وهذا يؤدي إلى ظهور حلقة مصفوفة لـ ن×ن المصفوفات التي تمثل حلقة تشوه الشكل من ر ن .

مجموعات المصفوفة تحرير

المجموعة هي بنية رياضية تتكون من مجموعة من الكائنات مع عملية ثنائية ، أي عملية تجمع بين أي كائنين في عنصر ثالث ، وفقًا لمتطلبات معينة. [68] المجموعة التي تكون فيها العناصر عبارة عن مصفوفات وعملية المجموعة هي ضرب المصفوفة تسمى أ مجموعة المصفوفة. [69] [70] نظرًا لأن كل مجموعة يجب أن تكون قابلة للعكس ، فإن مجموعات المصفوفات الأكثر عمومية هي مجموعات جميع المصفوفات القابلة للانعكاس ذات الحجم المحدد ، والتي تسمى المجموعات الخطية العامة.

يمكن استخدام أي خاصية من خصائص المصفوفات المحفوظة ضمن منتجات المصفوفات والمعاكسات لتحديد المزيد من مجموعات المصفوفات. على سبيل المثال ، تشكل المصفوفات ذات الحجم المحدد والمحدد 1 مجموعة فرعية من (أي مجموعة أصغر موجودة في) مجموعتها الخطية العامة ، والتي تسمى مجموعة خطية خاصة. [71] المصفوفات المتعامدة ، التي تحددها الحالة

تشكيل المجموعة المتعامدة. [72] كل مصفوفة متعامدة لها المحدد 1 أو 1. تشكل المصفوفات المتعامدة ذات المحدد 1 مجموعة فرعية تسمى مجموعة متعامدة خاصة.

كل مجموعة محدودة هي متشابهة لمجموعة مصفوفة ، كما يمكن للمرء أن يرى من خلال النظر في التمثيل المنتظم للمجموعة المتماثلة. [73] يمكن دراسة المجموعات العامة باستخدام مجموعات المصفوفات ، والتي تُفهم جيدًا نسبيًا ، عن طريق نظرية التمثيل. [74]

تحرير المصفوفات اللانهائية

من الممكن أيضًا النظر في المصفوفات التي تحتوي على عدد لا نهائي من الصفوف و / أو الأعمدة [75] حتى إذا كانت كائنات لا نهائية ، فلا يمكن للمرء تدوين هذه المصفوفات بشكل صريح. كل ما يهم هو أنه لكل عنصر في مجموعة صفوف الفهرسة ، وكل عنصر في مجموعة أعمدة الفهرسة ، هناك إدخال محدد جيدًا (لا يلزم أن تكون مجموعات الفهرس هذه مجموعات فرعية من الأرقام الطبيعية). لا يزال من الممكن تحديد العمليات الأساسية للجمع والطرح والضرب القياسي والتبديل بدون مشكلة ، لكن مضاعفة المصفوفة قد تتضمن عمليات تجميع لا نهائية لتحديد الإدخالات الناتجة ، وهي غير محددة بشكل عام.

إذا تم استخدام المصفوفات اللانهائية لوصف الخرائط الخطية ، فيمكن استخدام تلك المصفوفات فقط التي تحتوي جميع أعمدتها على عدد محدود من الإدخالات غير الصفرية ، للسبب التالي. للحصول على مصفوفة أ لوصف خريطة خطية F: الخامسدبليو، يجب أن يكون قد تم اختيار القواعد لكلا الفراغين ، تذكر أنه بالتعريف هذا يعني أن كل متجه في الفضاء يمكن كتابته بشكل فريد كمجموعة خطية (محدودة) من نواقل الأساس ، بحيث يتم كتابتها كمتجه (عمود) الخامس من المعاملات ، فقط عدد محدود من المدخلات الخامسأنا ليست صفرية. الآن أعمدة أ وصف الصور من خلال F من نواقل الأساس الفردية الخامس على أساس دبليو، والذي يكون له معنى فقط إذا كانت هذه الأعمدة تحتوي فقط على عدد محدود من الإدخالات غير الصفرية. لا توجد قيود على صفوف أ ومع ذلك: في المنتج أ·الخامس لا يوجد سوى عدد محدود من المعاملات غير الصفرية لـ الخامس متضمن ، لذا فإن كل مدخل من إدخالاته ، حتى لو تم تقديمه كمجموع غير محدود من المنتجات ، يتضمن فقط عددًا محدودًا من المصطلحات غير الصفرية وبالتالي فهو محدد جيدًا. علاوة على ذلك ، فإن هذا يرقى إلى تكوين مجموعة خطية من أعمدة أ يتضمن بشكل فعال فقط عددًا محدودًا منها ، حيث تحتوي النتيجة على عدد محدود من الإدخالات غير الصفرية لأن كل عمود من هذه الأعمدة يفعل ذلك يتم تعريف منتجات مصفوفتين من النوع المحدد جيدًا (بشرط أن تتطابق مجموعات فهرس العمود وفهرس الصف) ، وتكون من نفس النوع ، وتتوافق مع تكوين الخرائط الخطية.

إذا ص هي حلقة معيارية ، ثم يمكن تخفيف حالة محدودية الصف أو العمود. مع وجود القاعدة في مكانها الصحيح ، يمكن استخدام السلاسل المتقاربة تمامًا بدلاً من المبالغ المحدودة. على سبيل المثال ، تشكل المصفوفات التي تكون مجاميع أعمدةها تسلسلات متقاربة تمامًا حلقة. وبالمثل ، فإن المصفوفات التي تكون مجموع صفوفها متقاربة تمامًا تشكل أيضًا حلقة.

يمكن أيضًا استخدام المصفوفات اللانهائية لوصف المشغلين في مساحات هيلبرت ، حيث تنشأ أسئلة التقارب والاستمرارية ، مما يؤدي مرة أخرى إلى قيود معينة يجب فرضها. ومع ذلك ، فإن وجهة النظر الصريحة للمصفوفات تميل إلى التعتيم على الأمر ، [76] ويمكن بدلاً من ذلك استخدام الأدوات المجردة والأكثر قوة للتحليل الوظيفي.

تحرير المصفوفات الفارغة

ان مصفوفة فارغة هي مصفوفة يكون فيها عدد الصفوف أو الأعمدة (أو كليهما) صفرًا. [77] [78] تساعد المصفوفات الفارغة في التعامل مع الخرائط التي تتضمن مساحة متجه صفرية. على سبيل المثال ، إذا أ هي مصفوفة 3 × 0 و ب هي مصفوفة 0 × 3 ، إذن AB هي المصفوفة صفر 3 × 3 المقابلة للخريطة الفارغة من الفضاء ثلاثي الأبعاد الخامس لنفسها ، بينما بكالوريوس هي مصفوفة 0 في 0. لا يوجد تدوين شائع للمصفوفات الفارغة ، لكن معظم أنظمة الجبر الحاسوبية تسمح بالإنشاء والحساب باستخدامها. محدد المصفوفة 0 × 0 هو 1 على النحو التالي فيما يتعلق بالمنتج الفارغ الذي يحدث في صيغة لايبنيز للمحدد مثل 1. تتوافق هذه القيمة أيضًا مع حقيقة أن خريطة الهوية من أي مساحة ذات أبعاد محدودة لها المحدد 1 ، حقيقة تُستخدم غالبًا كجزء من توصيف المحددات.

هناك تطبيقات عديدة للمصفوفات ، سواء في الرياضيات أو في العلوم الأخرى. البعض منهم فقط يستفيد من التمثيل المضغوط لمجموعة من الأرقام في مصفوفة. على سبيل المثال ، في نظرية اللعبة واقتصادها ، تقوم مصفوفة المكافآت بترميز المكافأة للاعبين ، اعتمادًا على أي من مجموعة البدائل (المحدودة) التي يختارها اللاعبون. [79] يستخدم التنقيب عن النص وتجميع المكنز الآلي مصفوفات مصطلح المستند مثل tf-idf لتتبع ترددات كلمات معينة في عدة مستندات. [80]

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بواسطة مصفوفات 2 × 2 حقيقية معينة عبر

والتي بموجبها تتطابق جمع وضرب الأعداد المركبة والمصفوفات مع بعضها البعض. على سبيل المثال ، تمثل مصفوفات الدوران 2 × 2 الضرب مع عدد مركب من القيمة المطلقة 1 ، على النحو الوارد أعلاه. تفسير مشابه ممكن للرباعيات [81] وكليفورد الجبر بشكل عام.

كما استخدمت تقنيات التشفير المبكرة مثل شفرات هيل المصفوفات. ومع ذلك ، نظرًا للطبيعة الخطية للمصفوفات ، من السهل نسبيًا كسر هذه الرموز. [82] تستخدم رسومات الكمبيوتر المصفوفات لتمثيل الكائنات ولحساب تحويلات الكائنات باستخدام مصفوفات الدوران الأفيني لإنجاز مهام مثل إسقاط كائن ثلاثي الأبعاد على شاشة ثنائية الأبعاد ، بما يتوافق مع ملاحظة الكاميرا النظرية. [83] تعتبر المصفوفات الموجودة على حلقة متعددة الحدود مهمة في دراسة نظرية التحكم.

تستخدم الكيمياء المصفوفات بطرق مختلفة ، لا سيما منذ استخدام نظرية الكم لمناقشة الترابط الجزيئي والتحليل الطيفي. ومن الأمثلة على ذلك مصفوفة التداخل ومصفوفة Fock المستخدمة في حل معادلات الجذر للحصول على المدارات الجزيئية لطريقة Hartree-Fock.

تحرير نظرية الرسم البياني

المصفوفة المجاورة للرسم البياني المحدود هي فكرة أساسية لنظرية الرسم البياني. [84] يسجل أي رؤوس الرسم البياني مرتبطة بحافة. المصفوفات التي تحتوي على قيمتين مختلفتين فقط (1 و 0 تعني على سبيل المثال "نعم" و "لا" ، على التوالي) تسمى المصفوفات المنطقية. تحتوي مصفوفة المسافة (أو التكلفة) على معلومات حول مسافات الحواف. [85] يمكن تطبيق هذه المفاهيم على مواقع الويب المتصلة عن طريق الارتباطات التشعبية أو المدن المتصلة بالطرق وما إلى ذلك ، وفي هذه الحالة (ما لم تكن شبكة الاتصال كثيفة للغاية) تميل المصفوفات إلى أن تكون متفرقة ، أي تحتوي على عدد قليل من الإدخالات غير الصفرية. لذلك ، يمكن استخدام خوارزميات المصفوفة المصممة خصيصًا في نظرية الشبكة.

التحليل والهندسة تحرير

مصفوفة هسه لدالة التفاضل ƒ: ص نص يتكون من المشتقات الثانية من ƒ فيما يتعلق بالاتجاهات التنسيقية المتعددة ، أي ، [86]

يشفر المعلومات حول سلوك النمو المحلي للوظيفة: بالنظر إلى نقطة حرجة x = (x1, . xن) ، أي النقطة التي تكون فيها المشتقات الجزئية الأولى ∂ f / ∂ x i < displaystyle جزئي f / جزئي x_> من ƒ تختفي ، يكون للوظيفة حد أدنى محلي إذا كانت مصفوفة هسي موجبة محددة. يمكن استخدام البرمجة التربيعية للعثور على القيم الدنيا أو القصوى العالمية للوظائف التربيعية المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالوظائف المرتبطة بالمصفوفات (انظر أعلاه). [87]

هناك مصفوفة أخرى تستخدم بشكل متكرر في المواقف الهندسية وهي مصفوفة جاكوبي لخريطة قابلة للتفاضل F: ص نص م . إذا F1, . Fم تشير إلى مكونات F، ثم يتم تعريف مصفوفة جاكوبي على أنها [88]

إذا ن & GT م، وإذا وصلت مرتبة مصفوفة جاكوبي إلى قيمتها القصوى م, F يكون قابلاً للعكس محليًا عند هذه النقطة ، من خلال نظرية الوظيفة الضمنية. [89]

يمكن تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية من خلال النظر في مصفوفة معاملات المعاملات التفاضلية من الدرجة الأولى في المعادلة. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية البيضاوية ، تكون هذه المصفوفة موجبة التحديد ، والتي لها تأثير حاسم على مجموعة الحلول الممكنة للمعادلة المعنية. [90]

طريقة العناصر المحدودة هي طريقة عددية مهمة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية ، وهي مطبقة على نطاق واسع في محاكاة الأنظمة الفيزيائية المعقدة. يحاول تقريب الحل لبعض المعادلات من خلال دوال خطية متعددة التعريف ، حيث يتم اختيار القطع فيما يتعلق بشبكة دقيقة بدرجة كافية ، والتي بدورها يمكن إعادة صياغتها كمعادلة مصفوفة. [91]

نظرية الاحتمالات والإحصاء تحرير

المصفوفات العشوائية عبارة عن مصفوفات مربعة تمثل صفوفها متجهات احتمالية ، أي إدخالاتها غير سالبة ومجموعها واحد. تُستخدم المصفوفات العشوائية لتحديد سلاسل ماركوف مع عدد محدود من الحالات. [92] يعطي صف من المصفوفة العشوائية التوزيع الاحتمالي للموضع التالي لبعض الجسيمات الموجودة حاليًا في الحالة التي تتوافق مع الصف. خصائص حالات الامتصاص التي تشبه سلسلة ماركوف ، أي تنص على أن أي جسيم يصل في النهاية ، يمكن قراءته من المتجهات الذاتية لمصفوفات الانتقال. [93]

يستخدم الإحصاء أيضًا المصفوفات في العديد من الأشكال المختلفة. [94] الإحصاء الوصفي يهتم بوصف مجموعات البيانات ، والتي يمكن غالبًا تمثيلها كمصفوفات بيانات ، والتي قد تخضع بعد ذلك لتقنيات تقليل الأبعاد. مصفوفة التغاير تشفر التباين المتبادل لعدة متغيرات عشوائية. [95] أسلوب آخر باستخدام المصفوفات هو المربعات الصغرى الخطية ، وهي طريقة تقترب من مجموعة محدودة من الأزواج (x1, ذ1), (x2, ذ2), . (xن, ذن) ، بواسطة دالة خطية

ذأنافأسأنا + ب, أنا = 1, . ن

التي يمكن صياغتها من حيث المصفوفات ، المتعلقة بتحلل القيمة المفردة للمصفوفات. [96]

المصفوفات العشوائية عبارة عن مصفوفات تكون مدخلاتها أرقامًا عشوائية ، وتخضع لتوزيعات احتمالية مناسبة ، مثل التوزيع الطبيعي للمصفوفة. إلى جانب نظرية الاحتمالات ، يتم تطبيقها في مجالات تتراوح من نظرية الأعداد إلى الفيزياء. [97] [98]

التماثلات والتحولات في الفيزياء تحرير

تلعب التحولات الخطية والتماثلات المرتبطة بها دورًا رئيسيًا في الفيزياء الحديثة. على سبيل المثال ، تُصنف الجسيمات الأولية في نظرية المجال الكمي على أنها تمثيلات لمجموعة لورنتز للنسبية الخاصة ، وبشكل أكثر تحديدًا ، من خلال سلوكها ضمن مجموعة الدوران. تمثل التمثيلات الملموسة التي تتضمن مصفوفات باولي ومصفوفات جاما الأكثر عمومية جزءًا لا يتجزأ من الوصف المادي للفرميونات ، التي تتصرف مثل السبينورات. [99] بالنسبة للكواركات الثلاثة الأخف وزنًا ، يوجد تمثيل نظري جماعي يتضمن المجموعة الوحدوية الخاصة SU (3) لحساباتهم ، ويستخدم الفيزيائيون تمثيل مصفوفة مناسب يُعرف باسم مصفوفات جيل مان ، والتي تُستخدم أيضًا لـ SU (3) مجموعة القياس التي تشكل أساس الوصف الحديث للتفاعلات النووية القوية ، الديناميكا اللونية الكمومية. تعبر مصفوفة Cabibbo - Kobayashi - Maskawa بدورها عن حقيقة أن حالات الكوارك الأساسية المهمة للتفاعلات الضعيفة ليست هي نفسها ، ولكنها مرتبطة خطيًا بحالات الكوارك الأساسية التي تحدد الجسيمات ذات الكتل المحددة والمتميزة. [100]

مجموعات خطية من الحالات الكمية تحرير

مثّل النموذج الأول لميكانيكا الكم (Heisenberg ، 1925) مشغلي النظرية بواسطة مصفوفات لا نهائية الأبعاد تعمل على حالات الكم. [101] يشار إلى هذا أيضًا بميكانيكا المصفوفة. أحد الأمثلة الخاصة هو مصفوفة الكثافة التي تميز الحالة "المختلطة" للنظام الكمي على أنها مجموعة خطية من eigenstates الأولية "النقية". [102]

تعمل مصفوفة أخرى كأداة رئيسية لوصف تجارب التشتت التي تشكل حجر الزاوية لفيزياء الجسيمات التجريبية: تفاعلات الاصطدام مثل تحدث في مسرعات الجسيمات ، حيث تتجه الجسيمات غير المتفاعلة نحو بعضها البعض وتصطدم في منطقة تفاعل صغيرة ، مع منطقة تفاعل جديدة. مجموعة من الجسيمات غير المتفاعلة كنتيجة لذلك ، يمكن وصفها بأنها المنتج القياسي لحالات الجسيمات الخارجة ومجموعة خطية من حالات الجسيمات الداخلية. يتم إعطاء التركيبة الخطية بواسطة مصفوفة تعرف باسم مصفوفة S ، والتي ترمز جميع المعلومات حول التفاعلات الممكنة بين الجسيمات. [103]

تعديل الأوضاع العادية

التطبيق العام للمصفوفات في الفيزياء هو وصف الأنظمة التوافقية المقترنة خطيًا. يمكن وصف معادلات الحركة لهذه الأنظمة في شكل مصفوفة ، بمصفوفة كتلة تضاعف السرعة المعممة لإعطاء المصطلح الحركي ، ومصفوفة القوة تضاعف متجه الإزاحة لتمييز التفاعلات. أفضل طريقة للحصول على الحلول هي تحديد المتجهات الذاتية للنظام ، أوضاعها العادية ، عن طريق قطرية معادلة المصفوفة. تقنيات كهذه مهمة عندما يتعلق الأمر بالديناميات الداخلية للجزيئات: الاهتزازات الداخلية للأنظمة التي تتكون من ذرات مكونة مرتبطة ببعضها البعض. [104] وهي ضرورية أيضًا لوصف الاهتزازات الميكانيكية والتذبذبات في الدوائر الكهربائية. [105]

البصريات الهندسية تحرير

توفر البصريات الهندسية تطبيقات مصفوفة إضافية. في هذه النظرية التقريبية ، يتم إهمال الطبيعة الموجية للضوء. والنتيجة هي نموذج تكون فيه أشعة الضوء بالفعل أشعة هندسية. إذا كان انحراف أشعة الضوء بواسطة العناصر البصرية صغيرًا ، فيمكن التعبير عن تأثير العدسة أو العنصر العاكس على شعاع ضوئي معين كضرب متجه مكون من عنصرين بمصفوفة ثنائية في اثنين تسمى تحليل مصفوفة نقل الشعاع: مكونات المتجه هي منحدر شعاع الضوء وبعده عن المحور البصري ، بينما تقوم المصفوفة بترميز خصائص العنصر البصري. في الواقع ، هناك نوعان من المصفوفات ، أي. أ مصفوفة الانكسار يصف الانكسار على سطح العدسة ، و مصفوفة الترجمة، يصف ترجمة المستوى المرجعي إلى سطح الانكسار التالي ، حيث يتم تطبيق مصفوفة انكسار أخرى. يتم وصف النظام البصري ، الذي يتكون من مجموعة من العدسات و / أو العناصر العاكسة ، ببساطة بواسطة المصفوفة الناتجة عن منتج مصفوفات المكونات. [106]

تحرير الإلكترونيات

يؤدي تحليل الشبكات التقليدية والتحليل العقدي في الإلكترونيات إلى نظام من المعادلات الخطية التي يمكن وصفها بالمصفوفة.

يمكن وصف سلوك العديد من المكونات الإلكترونية باستخدام المصفوفات. يترك أ يكون متجهًا ثنائي الأبعاد بجهد دخل المكون الخامس1 والمدخلات الحالية أنا1 كعناصرها ، واسمحوا ب يكون متجهًا ثنائي الأبعاد بجهد خرج المكون الخامس2 والتيار الناتج أنا2 كعناصرها. ثم يمكن وصف سلوك المكون الإلكتروني بواسطة ب = ح · أ، أين ح عبارة عن مصفوفة 2 × 2 تحتوي على عنصر معاوقة واحد (ح12) ، عنصر دخول واحد (ح21) ، وعنصرين بلا أبعاد (ح11 و ح22). يتم الآن تقليل حساب الدائرة إلى ضرب المصفوفات.

تتمتع المصفوفات بتاريخ طويل من التطبيق في حل المعادلات الخطية ولكنها كانت تُعرف بالمصفوفات حتى القرن التاسع عشر. النص الصيني تسعة فصول في الفن الرياضي كتب في القرنين العاشر والثاني قبل الميلاد هو المثال الأول لاستخدام طرق المصفوفة لحل المعادلات المتزامنة ، [107] بما في ذلك مفهوم المحددات. في عام 1545 ، أحضر عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو الطريقة إلى أوروبا عندما نشر آرس ماجنا. [108] استخدم عالم الرياضيات الياباني سيكي نفس طرق المصفوفات لحل المعادلات الآنية عام 1683. [109] مثَّل عالم الرياضيات الهولندي جان دي ويت التحولات باستخدام المصفوفات في كتابه عام 1659 عناصر المنحنيات (1659). [110] بين 1700 و 1710 نشر جوتفريد فيلهلم ليبنيز استخدام المصفوفات لتسجيل المعلومات أو الحلول وجرب أكثر من 50 نظامًا مختلفًا من المصفوفات. [108] قدم كريمر حكمه عام 1750.

مصطلح "ماتريكس" (لاتيني ل "الرحم" ، مشتق من الأم—الأم [111]) صاغه جيمس جوزيف سيلفستر في عام 1850 ، [112] الذي فهم المصفوفة ككائن يؤدي إلى ظهور العديد من المحددات التي تسمى اليوم القاصرين ، أي محددات المصفوفات الأصغر المشتقة من المصفوفة الأصلية إزالة الأعمدة والصفوف. في ورقة بحثية نُشرت عام 1851 ، أوضح سيلفستر:

لقد عرّفت في أوراق سابقة "المصفوفة" على أنها مصفوفة مستطيلة من المصطلحات ، يمكن من خلالها إنشاء أنظمة مختلفة من المحددات بدءًا من رحم أحد الوالدين المشتركين. [113]

نشر آرثر كايلي أطروحة حول التحولات الهندسية باستخدام المصفوفات التي لم تكن نسخًا مستديرة للمعاملات التي يتم التحقيق فيها كما تم سابقًا. بدلاً من ذلك ، قام بتعريف عمليات مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة كتحويلات لتلك المصفوفات وأظهر أن الخصائص الترابطية والتوزيعية صحيحة. قام كايلي بالتحقيق في الخاصية غير التبادلية لمضاعفة المصفوفة وكذلك الخاصية التبادلية لإضافة المصفوفة. [108] اقتصرت نظرية المصفوفة المبكرة على استخدام المصفوفات بشكل حصري تقريبًا للمحددات ، وكانت عمليات المصفوفة المجردة لآرثر كايلي ثورية. كان له دور فعال في اقتراح مفهوم مصفوفة مستقل عن أنظمة المعادلات. في عام 1858 نشر كايلي كتابه مذكرات حول نظرية المصفوفات [114] [115] حيث اقترح وشرح نظرية كايلي هاملتون. [108]

كان عالم رياضيات إنجليزي يُدعى كوليس أول من استخدم تدوين الأقواس الحديث للمصفوفات في عام 1913 وقد أظهر في نفس الوقت أول استخدام مهم للتدوين. أ = [أأنا,ي] لتمثيل المصفوفة حيث أأنا,ي بالعودة الى أناالصف العاشر و يالعمود ال. [108]

نشأت الدراسة الحديثة للمحددات من عدة مصادر. [116] أدت المشكلات النظرية للأرقام إلى قيام غاوس بربط معاملات الأشكال التربيعية ، أي تعبيرات مثل x 2 + س ص − 2ذ 2 ، والخرائط الخطية في ثلاثة أبعاد لمصفوفات. طور آيزنشتاين هذه المفاهيم بشكل أكبر ، بما في ذلك الملاحظة القائلة بأن منتجات المصفوفة ، في اللغة الحديثة ، غير تبادلية. كان كوشي أول من أثبت العبارات العامة حول المحددات ، باستخدام تعريف محدد المصفوفة أ = [أأنا,ي] الآتي: استبدال الصلاحيات أي ك بواسطة أكيه في كثير الحدود

حيث Π تشير إلى منتج المصطلحات المشار إليها أظهر أيضًا ، في عام 1829 ، أن القيم الذاتية للمصفوفات المتماثلة حقيقية. [117] درس جاكوبي "المحددات الوظيفية" - التي أطلق عليها لاحقًا محددات جاكوبي بواسطة سيلفستر - والتي يمكن استخدامها لوصف التحولات الهندسية على مستوى محلي (أو متناهي الصغر) ، انظر أعلاه Vorlesungen über die Theorie der Determinanten [118] و Weierstrass ' تسور المحدد النظري، [119] تم نشر كلاهما في عام 1903 ، حيث عالجتا المحددات أولاً بطريقة بديهية ، على عكس الأساليب السابقة الأكثر واقعية مثل صيغة كوشي المذكورة. في تلك المرحلة ، تم تأسيس المحددات بحزم.

تم إنشاء العديد من النظريات لأول مرة للمصفوفات الصغيرة فقط ، على سبيل المثال ، تم إثبات نظرية كايلي هاملتون لمصفوفات 2 × 2 بواسطة كايلي في المذكرات المذكورة أعلاه ، ومن خلال هاملتون لمصفوفات 4 × 4. قام Frobenius ، الذي يعمل على الأشكال ثنائية الخطوط ، بتعميم النظرية على جميع الأبعاد (1898). في نهاية القرن التاسع عشر أيضًا ، تم إنشاء القضاء على Gauss-Jordan (تعميم حالة خاصة تعرف الآن باسم إزالة Gauss) من قبل الأردن. في أوائل القرن العشرين ، اكتسبت المصفوفات دورًا مركزيًا في الجبر الخطي ، [120] ويرجع ذلك جزئيًا إلى استخدامها في تصنيف أنظمة الأعداد المفرطة المعقدة للقرن السابق.

أدى إنشاء ميكانيكا المصفوفة بواسطة Heisenberg و Born و Jordan إلى دراسة المصفوفات التي تحتوي على عدد لا نهائي من الصفوف والأعمدة. [121] في وقت لاحق ، نفذ فون نيومان الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم ، من خلال تطوير مفاهيم تحليلية وظيفية مثل المشغلين الخطيين في فضاء هيلبرت ، والتي ، بالمعنى التقريبي للغاية ، تتوافق مع الفضاء الإقليدي ، ولكن مع لانهائية من الاتجاهات المستقلة.

الاستخدامات التاريخية الأخرى لكلمة "مصفوفة" في تحرير الرياضيات

تم استخدام الكلمة بطرق غير عادية من قبل اثنين على الأقل من المؤلفين ذوي الأهمية التاريخية.

برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد في مبادئ الرياضيات (1910-1913) استخدم كلمة "مصفوفة" في سياق بديهية الاختزال. اقترحوا هذه البديهية كوسيلة لتقليل أي وظيفة إلى نوع أدنى ، على التوالي ، بحيث تكون الوظيفة في "أسفل" (0 ترتيب) مطابقة لامتدادها:

"دعونا نعطي اسم مصفوفة إلى أي وظيفة ، مهما كانت العديد من المتغيرات ، التي لا تنطوي على أي متغيرات ظاهرة. بعد ذلك ، تُشتق أي وظيفة محتملة بخلاف المصفوفة من مصفوفة عن طريق التعميم ، أي بالنظر إلى الافتراض القائل بأن الوظيفة المعنية صحيحة مع جميع القيم الممكنة أو مع بعض القيمة لإحدى الوسيطات ، أو الحجة الأخرى أو الحجج المتبقية غير محددة ". [122]

على سبيل المثال ، دالة Φ (س ، ص) من متغيرين x و ذ يمكن اختزالها إلى أ مجموعة من وظائف متغير واحد ، على سبيل المثال ، ذ، من خلال "النظر" في وظيفة جميع القيم الممكنة "للأفراد" أأنا استبدال المتغير x. ثم المجموعة الناتجة من وظائف المتغير الفردي ذ، هذا هو ، ∀aأنا: Φ (أأنا، ذ) ، يمكن اختزالها إلى "مصفوفة" من القيم من خلال "مراعاة" وظيفة جميع القيم الممكنة "للأفراد" بأنا استبدال المتغير ذ:

ألفريد تارسكي في عام 1946 مقدمة في المنطق استخدم كلمة "مصفوفة" بشكل مرادف لمفهوم جدول الحقيقة كما هو مستخدم في المنطق الرياضي. [123]


7.5: المصفوفات المثلثية العليا - الرياضيات

نحتاج في هذا القسم إلى إلقاء نظرة على الطريقة الثالثة لحل أنظمة المعادلات. بالنسبة للأنظمة المكونة من معادلتين ، ربما يكون الأمر أكثر تعقيدًا من الطرق التي نظرنا إليها في القسم الأول. ومع ذلك ، بالنسبة للأنظمة التي تحتوي على معادلات أكثر ، فمن المحتمل أن يكون أسهل من استخدام الطريقة التي رأيناها في القسم السابق.

قبل أن ندخل في الطريقة ، نحتاج أولاً إلى إخراج بعض التعريفات من الطريق.

ان المصفوفة المعززة لنظام المعادلات عبارة عن مصفوفة من الأرقام حيث يمثل كل صف الثوابت من معادلة واحدة (كلا من المعاملات والثابت على الجانب الآخر من علامة التساوي) ويمثل كل عمود جميع المعاملات لمتغير واحد.

دعونا نلقي نظرة على مثال. ها هو نظام المعادلات الذي ألقينا نظرة عليه في القسم السابق.

[يبدأx - 2y + 3z & = 7 2x + y + z & = 4 - 3x + 2y - 2z & = - 10 end]

ها هي المصفوفة المعززة لهذا النظام.

يتكون الصف الأول من جميع الثوابت من المعادلة الأولى بمعامل (س ) في العمود الأول ، معامل (ص ) في العمود الثاني ، معامل (ض ) في العمود الثالث والثابت في العمود الأخير. الصف الثاني هو الثوابت من المعادلة الثانية بنفس الموضع وكذلك للصف الثالث. يمثل الخط المتقطع مكان وجود علامة التساوي في نظام المعادلات الأصلي ولا يتم تضمينه دائمًا. هذا يعتمد في الغالب على المعلم و / أو الكتاب المدرسي المستخدم.

بعد ذلك ، نحن بحاجة إلى المناقشة عمليات الصف الابتدائية. هناك ثلاثة منهم وسنقدم كلا الترميز المستخدم لكل واحد بالإضافة إلى مثال باستخدام المصفوفة المعززة الموضحة أعلاه.

لذلك ، نحن نفعل بالضبط ما تقوله العملية. ينتقل كل إدخال في الصف الثالث إلى الصف الأول ويتحرك كل إدخال في الصف الأول لأسفل إلى الصف الثالث. تأكد من نقل جميع الإدخالات. أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا هو نسيان نقل إدخال واحد أو أكثر.

لذلك ، عندما نقول إننا سنضرب صفًا في ثابت ، فهذا يعني حقًا أننا سنضرب كل عنصر في هذا الصف في الثابت. احترس من العلامات في هذه العملية وتأكد من ضرب كل إدخال.

دعنا ننتقل إلى الحسابات الفردية للتأكد من أنك اتبعت هذا.

[يبدأ - 3-4 يسار (1 يمين) & = - 7 مسافة ساعة <0.25in> 2-4 يسار (<- 2> يمين) & = 10 - 2-4 يسار (3 يمين) & = - 14 - 10 - 4 يسار (7 يمين) & = - 38 نهاية]

كن حذرا جدا مع العلامات هنا. سنفعل هذه الحسابات في رؤوسنا في معظم الأحيان ومن السهل جدًا خلط الإشارات وإضافة واحدة لا تنتمي أو تفقد واحدة يجب أن تكون موجودة.

من المهم جدًا أن تتمكن من إجراء هذه العملية لأن هذه العملية هي العملية التي سنستخدمها أكثر من العمليتين الأخريين مجتمعين.

حسنًا ، كيف نستخدم المصفوفات المعززة وعمليات الصف لحل الأنظمة؟ لنبدأ بنظام من معادلتين ومجهولين.

[يبدأالفأس + بواسطة & = p cx + dy & = q end]

نكتب أولاً المصفوفة المعززة لهذا النظام ،

واستخدم عمليات الصف الأولية لتحويلها إلى المصفوفة المعززة التالية.

بمجرد أن نحصل على المصفوفة المعززة بهذه الصورة نكون قد انتهينا. سيكون حل النظام هو (x = h ) و (y = k ).

هذه الطريقة تسمى جاوس جوردان إزالة.

  1. (يبدأ3x - 2y & = 14 x + 3y & = 1 end)
  2. (يبدأ - 2x + y & = - 3 x - 4y & = - 2 end)
  3. (يبدأ3x - 6y & = - 9 - 2x - 2y & = 12 end)

الخطوة الأولى هنا هي كتابة المصفوفة المعززة لهذا النظام.

لتحويله إلى الشكل النهائي ، سنبدأ في الزاوية اليسرى العليا ونعمل في عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يظهر أول عمودين كما ينبغي.

لذا ، فإن الخطوة الأولى هي تحويل الثلاثة الحمراء في المصفوفة المعززة أعلاه إلى 1. يمكننا استخدام أي من عمليات الصفوف التي نرغب في القيام بها. يجب أن نحاول دائمًا تقليل العمل قدر الإمكان.

لذلك ، نظرًا لوجود واحد في العمود الأول بالفعل ، فهو ليس في الصف الصحيح ، فلنستخدم عملية الصف الأول وتبادل الصفين.

الخطوة التالية هي الحصول على صفر أسفل 1 الذي حصلنا عليه للتو في الزاوية اليسرى العلوية. هذا يعني أننا نحتاج إلى تحويل الثلاثة الحمراء إلى صفر. سيتطلب ذلك منا دائمًا استخدام عملية الصف الثالث. إذا أضفنا -3 في الصف 1 إلى الصف 2 ، يمكننا تحويل 3 إلى 0. هذه هي العملية.

بعد ذلك ، نحتاج إلى وضع 1 في الزاوية اليمنى السفلية من أول عمودين. هذا يعني تغيير الأحمر -11 إلى 1. يتم تحقيق ذلك عادةً مع عملية الصف الثاني. إذا قسمنا الصف الثاني على -11 ، فسنحصل على 1 في تلك البقعة التي نحتاجها.

حسنًا ، لقد أوشكنا على الانتهاء. الخطوة الأخيرة هي تحويل الثلاثة الحمراء إلى صفر. مرة أخرى ، يتطلب هذا دائمًا تشغيل الصف الثالث. ها هي العملية لهذه الخطوة الأخيرة.

لدينا المصفوفة المعززة بالشكل المطلوب وقد انتهينا. حل هذا النظام هو (س = 4 ) و (ص = - 1 ).

في هذا الجزء لن نقدم الكثير من الشرح لكل خطوة. سنضع علامة على الرقم التالي الذي نحتاج إلى تغييره باللون الأحمر كما فعلنا في الجزء السابق.

سنكتب أولاً المصفوفة المعززة ثم نبدأ في عمليات الصف.

قبل الشروع في الخطوة التالية ، دعنا نلاحظ أنه في المصفوفة الثانية كان لدينا واحد في كلتا النقطتين الذي كنا في حاجة إليه. ومع ذلك ، فإن الطريقة الوحيدة لتغيير -2 إلى صفر التي كان علينا أيضًا أن نمتلكها هي تغيير 1 في الزاوية اليمنى السفلية أيضًا. هذا جيد. في بعض الأحيان سيحدث ذلك ومحاولة الاحتفاظ بهما لن يؤدي إلا إلى مشاكل.

حل هذا النظام إذن هو (س = 2 ) و (ص = 1 ).

دعنا نكتب أولا المصفوفة المعززة لهذا النظام.

الآن ، في هذه الحالة ، لا يوجد 1 في العمود الأول ، وبالتالي لا يمكننا فقط تبادل صفين كخطوة أولى. ومع ذلك ، لاحظ أنه نظرًا لأن جميع الإدخالات في الصف الأول تحتوي على 3 كعامل ، فيمكننا قسمة الصف الأول على 3 والتي ستحصل على 1 في هذا المكان ولن نضع أي كسور في المشكلة.

هنا العمل لهذا النظام.

حل هذا النظام هو (س = - 5 ) و (ص = - 1 ).

من المهم أن نلاحظ أن المسار الذي سلكناه للحصول على المصفوفات المعززة في هذا المثال في الشكل النهائي ليس هو المسار الوحيد الذي كان يمكن أن نستخدمه. هناك العديد من المسارات المختلفة التي كان من الممكن أن نسلكها. كان من الممكن أن تصل جميع المسارات إلى نفس المصفوفة المعززة النهائية ، ولكن يجب علينا دائمًا اختيار المسار الذي نشعر أنه أسهل طريق. لاحظ أيضًا أن الأشخاص المختلفين قد يشعرون أن المسارات المختلفة أسهل وبالتالي قد تحل الأنظمة بشكل مختلف. ومع ذلك سيحصلون على نفس الحل.

بالنسبة إلى معادلتين ومجهولين ، من المحتمل أن تكون هذه العملية أكثر تعقيدًا من مجرد عملية الحل المباشر التي استخدمناها في القسم الأول من هذا الفصل. تبدأ هذه العملية في أن تصبح مفيدة عندما نبدأ في النظر إلى أنظمة أكبر. لذلك ، دعونا نلقي نظرة على نظامين بهما ثلاث معادلات.

في هذه الحالة ، تكون العملية متطابقة بشكل أساسي باستثناء أنه سيكون هناك المزيد للقيام به. كما هو الحال مع معادلتين ، سنقوم أولاً بإعداد المصفوفة المعززة ثم استخدام عمليات الصف لوضعها في النموذج ،

بمجرد أن تكون المصفوفة المعززة بهذا الشكل يكون الحل هو (x = p ) و (y = q ) و (z = r ). كما هو الحال مع حالة المعادلتين ، لا يوجد حقًا أي مسار محدد لاتخاذ المصفوفة المعززة في هذا الشكل. المسار المعتاد هو الحصول على 1 في الأماكن الصحيحة و 0 أسفلها. بمجرد الانتهاء من ذلك ، نحاول الحصول على الأصفار فوق الآحاد.

لنعمل على بعض الأمثلة لنرى كيف يعمل هذا.

  1. (يبدأ3x + y - 2z & = 2 x - 2y + z & = 3 2x - y - 3z & = 3 end)
  2. (يبدأ3x + y - 2z & = - 7 2x + 2y + z & = 9 - x - y + 3z & = 6 end)

دعنا نكتب أولا المصفوفة المعززة لهذا النظام.

كما هو الحال مع الأمثلة السابقة ، سنضع علامة على الرقم (الأرقام) الذي نريد تغييره في خطوة معينة باللون الأحمر. الخطوة الأولى هنا هي الحصول على 1 في الزاوية اليسرى العليا ومرة ​​أخرى ، لدينا العديد من الطرق للقيام بذلك. في هذه الحالة ، سنلاحظ أنه إذا قمنا بتبديل الصف الأول والصف الثاني ، يمكننا الحصول على 1 في تلك البقعة مع القليل من العمل نسبيًا.

الخطوة التالية هي جعل الرقمين أسفل هذا الرقم صفرًا. لاحظ أيضًا أن هذا سيتطلب دائمًا إجراء عملية الصف الثالث. أيضًا ، يمكننا إجراء كلا الأمرين في خطوة واحدة على النحو التالي.

بعد ذلك ، نريد تحويل 7 إلى a 1. يمكننا فعل ذلك بقسمة الصف الثاني على 7.

إذن ، لدينا كسر يظهر هنا. سيحدث ذلك في بعض الأحيان ، لذا لا تجعل كل هذا متحمسًا حيال ذلك. الخطوة التالية هي تغيير 3 أسفل هذا 1 الجديد إلى 0. لاحظ أننا لن نتعامل مع -2 أعلاه تمامًا بعد. في بعض الأحيان يكون من السهل تحويل هذا إلى 0 في نفس الخطوة. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، ربما يكون من السهل القيام بذلك لاحقًا كما سنرى.

لذلك ، باستخدام عملية الصف الثالث نحصل عليها ،

بعد ذلك ، نحتاج إلى تحويل الرقم الموجود في الزاوية اليمنى السفلية إلى 1. يمكننا القيام بذلك باستخدام عملية الصف الثاني.

الآن ، نحتاج إلى أصفار فوق هذه 1. الجديدة ، لذا ، فإن استخدام عملية الصف الثالث مرتين كما يلي سيفعل ما يتعين علينا القيام به.

لاحظ أنه في هذه الحالة لم يتغير العمود الأخير في هذه الخطوة. كان ذلك فقط لأن الإدخال الأخير في هذا العمود كان صفرًا. بشكل عام ، هذا لن يحدث.

الخطوة الأخيرة هي تحويل -2 أعلى من 1 في العمود الثاني إلى صفر. يمكن القيام بذلك بسهولة مع تشغيل الصف الثالث.

إذن ، لدينا المصفوفة المعززة في الشكل النهائي وسيكون الحل ،

يمكن التحقق من ذلك عن طريق توصيل هذه المعادلات الثلاث والتأكد من أنها كلها راضية.

مرة أخرى ، الخطوة الأولى هي كتابة المصفوفة المعززة.

لا يمكننا الحصول على 1 في الزاوية اليسرى العليا بمجرد تبديل الصفوف هذه المرة. يمكننا تبديل الصف الأول والأخير ، ولكن هذا سيتطلب أيضًا عملية أخرى لتحويل -1 إلى 1. في حين أن هذا ليس صعبًا ، إلا أنهما عمليتان. لاحظ أنه يمكننا استخدام عملية الصف الثالث للحصول على 1 في ذلك المكان على النحو التالي.

الآن ، يمكننا استخدام عملية الصف الثالث لتحويل العددين الأحمرين إلى أصفار.

الخطوة التالية هي الحصول على 1 في البقعة التي يشغلها اللون الأحمر 4. يمكننا فعل ذلك بقسمة الصف بأكمله على 4 ، لكن هذا سيضع كسرين غير محبوبين إلى حد ما. لذا ، بدلاً من القيام بذلك ، سنقوم بتبادل الصف الثاني والثالث. سيتضح سبب ذلك قريبًا بما فيه الكفاية.

الآن ، إذا قسمنا الصف الثاني على -2 ، فسنحصل على 1 في تلك البقعة التي نريدها.

قبل الانتقال إلى الخطوة التالية ، دعنا نفكر في ملاحظة بعض الأشياء هنا. أولاً ، تمكنا من تجنب الكسور ، وهو أمر جيد دائمًا ، وثانيًا تم الانتهاء من هذا الصف. كنا سنحتاج في النهاية إلى صفر في ذلك المركز الثالث وقد حصلنا عليه مجانًا. ليس هذا فقط ، لكنه لن يتغير في أي من العمليات اللاحقة. هذا لا يحدث دائمًا ، ولكن إذا حدث ذلك فسوف يجعل حياتنا أسهل.

الآن ، دعنا نستخدم عملية الصف الثالث لتغيير 4 الأحمر إلى صفر.

يمكننا الآن قسمة الصف الثالث على 7 لنحصل على الرقم الموجود في الركن الأيمن السفلي في واحد.

بعد ذلك ، يمكننا استخدام عملية الصف الثالث لتحويل -3 إلى صفر.

الخطوة الأخيرة هي تحويل -1 إلى 0 باستخدام عملية الصف الثالث مرة أخرى.

الحل لهذا النظام إذن ،

يمكن أن يكون استخدام حذف Gauss-Jordan لحل نظام من ثلاث معادلات يتطلب الكثير من العمل ، ولكنه غالبًا لا يكون أكثر من حل مباشر ، كما أنه في كثير من الحالات يتطلب القليل من العمل. إذا أردنا عمل نظام من أربع معادلات (وهو ما لن نفعله) في تلك المرحلة ، فسيكون حذف Gauss-Jordan أقل احتمالية إذا تم حلها مباشرة.

أيضًا ، كما رأينا في المثال الأخير الذي تم إجراؤه في هذا القسم ، لا يوجد حقًا مسار محدد لاتخاذ هذه المشكلات. يختلف كل نظام وقد يتطلب مسارًا مختلفًا ومجموعة عمليات مختلفة. أيضًا ، قد لا يكون المسار الذي يعتبره شخص ما هو الأسهل من خلال المسار الذي يراه شخص آخر هو الأسهل. بغض النظر عن المسار ، ستكون الإجابة النهائية هي نفسها.


شاهد الفيديو: رياضيات الأعمال - الوحدة التاسعة - التساوي والجمع والطرح في المصفوفات وضرب المصفوفة بعدد ثابت (شهر اكتوبر 2021).