مقالات

7.6: قطري (2 مرات 2 ) المصفوفات والتطبيقات - الرياضيات


دعونا (A = start {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} in mathbb {F} ^ {2 times 2} ) ، وتذكر أنه يمكننا تحديد عامل تشغيل خطي (T in mathcal {L} ( mathbb {F} ^ {2}) ) على ( mathbb {F} ^ {2} ) عن طريق ضبط (T (v) = A v ) لكل (v = start {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {F} ^ 2 ).

تتمثل إحدى طرق العثور على معلومات eigen لـ (T ) في تحليل حلول معادلة المصفوفة (A v = lambda v ) لـ ( lambda in mathbb {F} ) و ( v in mathbb {F} ^ {2} ). على وجه الخصوص ، باستخدام تعريف eigenvector و eigenvalue ، ​​(v ) هو متجه ذاتي مرتبط بقيمة eigenvalue ( lambda ) إذا وفقط إذا (A v = T (v) = lambda v ).

تتضمن الطريقة الأبسط معادلة المصفوفة المكافئة ((A - lambda I) v = 0 ) ، حيث يشير (I ) إلى خريطة الهوية على ( mathbb {F} ^ {2} ). على وجه الخصوص ، (0 neq v in mathbb {F} ^ {2} ) هو متجه eigenvector لـ (T ) المرتبط بقيمة eigenvalue ( lambda in mathbb {F} ) إذا فقط إذا كان نظام المعادلات الخطية

ابدأ {المعادلة}
متبقى.
ابدأ {مجموعة} {rrrrr}
(أ - لامدا) v_ {1} & + & b v_ {2} & = & 0
ج v_ {1} & + & (d - lambda) v_ {2} & = & 0
نهاية {مجموعة}
right } label {7.6.1}
نهاية {المعادلة}

لديه حل غير تافه. علاوة على ذلك ، يحتوي النظام ref {7.6.1} على حل غير تافه إذا وفقط إذا كانت كثيرة الحدود (p ( lambda) = (a - lambda) (d - lambda) - bc ) تُقَدَم بصفر. (راجع تمرين إثبات الكتابة 12 بوصة تمارين للفصل 7.)

بمعنى آخر ، قيم eigenvalues ​​لـ (T ) هي بالضبط ( lambda in mathbb {F} ) التي (p ( lambda) = 0 ) ، والمتجهات الذاتية لـ (T ) المرتبطة بقيمة eigenvalue ( lambda ) هي بالضبط المتجهات غير الصفرية (v = begin {bmatrix} v_ {1} v_ {2} end {bmatrix} in mathbb {F} ^ 2 ) يتوافق مع النظام المرجع {7.6.1}.

مثال ( PageIndex {1} )

دع (A = begin {bmatrix} -2 & -1 5 & 2 end {bmatrix} ) ثم (p ( lambda) = (-2 - lambda) (2 - lambda) - (-1) (5) = lambda ^ {2} + 1 ) ، والتي تساوي الصفر تمامًا عندما ( lambda = pm i ). علاوة على ذلك ، إذا ( lambda = i ) ، فسيصبح النظام (7.6.1)

[
متبقى.
ابدأ {مجموعة} {rrrrr}
(-2 - i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0
5 v_ {1} & + & (2 - i) v_ {2} & = & 0
نهاية {مجموعة}
حق}،
]

الذي يرضي بأي متجه (v = begin {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {C} ^ 2 ) بحيث (v_ {2} = (-2 - i) v_ {1} ). وبالمثل ، إذا ( lambda = -i ) ، فسيصبح System ref {7.6.1}

[
متبقى.
ابدأ {مجموعة} {rrrrr}
(-2 + i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0
5 v_ {1} & + & (2 + i) v_ {2} & = & 0
نهاية {مجموعة}
حق}،
]

الذي يرضي بأي متجه (v = begin {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {C} ^ 2 ) بحيث (v_ {2} = (-2 + i) v_ {1} ).

ويترتب على ذلك أنه ، بالنظر إلى (A = begin {bmatrix} -2 & -1 5 & 2 end {bmatrix} ) ، تم تعريف عامل التشغيل الخطي على ( mathbb {C} ^ {2} ) بواسطة (T (v) = A v ) له قيم eigenvalues ​​ ( lambda = pm i ) ، مع المتجهات الذاتية المرتبطة كما هو موضح أعلاه.

مثال ( PageIndex {2} )

خذ الدوران (R_ theta: mathbb {R} ^ 2 to mathbb {R} ^ 2 ) بزاوية ( theta in [0،2 pi) ) المعطاة بواسطة المصفوفة

ابدأ {المعادلة *}
R_ theta = begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}
نهاية {المعادلة *}

ثم نحصل على قيم eigenvalues ​​من خلال حل المعادلة متعددة الحدود

ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
ع ( لامدا) & = ( كوس ثيتا - لامدا) ^ 2 + الخطيئة ^ 2 ثيتا
& = لامدا ^ 2-2 لامدا كوس ثيتا + 1 = 0 ،
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

حيث استخدمنا حقيقة أن ( sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 ). حل لـ ( lambda ) في ( mathbb {C} ) ، نحصل عليه

ابدأ {المعادلة *}
lambda = cos theta pm sqrt { cos ^ 2 theta -1} = cos theta pm sqrt {- sin ^ 2 theta}
= cos theta pm i sin theta = e ^ { pm i theta}.
نهاية {المعادلة *}

نرى أنه كعامل فوق مساحة المتجه الحقيقية ( mathbb {R} ^ 2 ) ، فإن العامل (R_ theta ) له قيم ذاتية فقط عندما ( theta = 0 ) أو ( ثيتا = بي ). ومع ذلك ، إذا فسرنا المتجه ( begin {bmatrix} x_1 x_2 end {bmatrix} in mathbb {R} ^ 2 ) كرقم مركب (z = x_1 + ix_2 ) ، إذن (z ) عبارة عن ناقل eigenvector إذا (R_ theta: mathbb {C} to mathbb {C} ) خرائط (z mapsto lambda z = e ^ { pm i theta} z ) . علاوة على ذلك ، من القسم 2.3 ، نعلم أن الضرب في (e ^ { pm i theta} ) يتوافق مع الدوران بالزاوية ( pm theta ).


شاهد الفيديو: معكوس المصفوفة 22 Inverse of a Matrix (شهر اكتوبر 2021).