مقالات

6.6: مصفوفة الخريطة الخطية - الرياضيات


الآن سنرى أن كل خريطة خطية (T in mathcal {L} (V، W) ) ، مع (V ) و (W ) مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة ، يمكن ترميزها بواسطة مصفوفة ، والعكس صحيح ، كل مصفوفة تحدد مثل هذه الخريطة الخطية.

لنفترض أن (V ) و (W ) مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة ، واجعل (T: V to W ) خريطة خطية. افترض أن ((v_1، ldots، v_n) ) هو أساس (V ) وأن ((w_1، ldots، w_m) ) هو أساس (W ). لقد رأينا في النظرية 6.1.3 أن (T ) يتم تحديده بشكل فريد من خلال تحديد المتجهات (Tv_1 ، ldots ، Tv_n in W ). نظرًا لأن ((w_1، ldots، w_m) ) هو أساس (W ) ، فهناك مقاييس فريدة (a_ {ij} in mathbb {F} ) مثل
ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: Tv}
Tv_j = a_ {1j} w_1 + cdots + a_ {mj} w_m quad text {for (1 le j le n ).} tag {6.6.1}
نهاية {المعادلة}
يمكننا ترتيب هذه المقاييس في مصفوفة (م مرات n ) على النحو التالي:
ابدأ {المعادلة *}
م (T) = تبدأ {bmatrix}
a_ {11} & ldots & a_ {1n}
vdots && vdots
a_ {m1} & ldots & a_ {mn}
نهاية {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}
غالبًا ما تتم كتابة هذا أيضًا كـ (A = (a_ {ij}) _ {1 le i le m، 1 le j le n} ). كما هو الحال في القسم A.1.1 ، يُرمز إلى مجموعة جميع المصفوفات (m times n ) ذات الإدخالات في ( mathbb {F} ) بواسطة ( mathbb {F} ^ {m times n} ).

ملاحظة 6.6.1. من المهم أن تتذكر أن (M (T) ) لا يعتمد فقط على الخريطة الخطية (T ) ولكن أيضًا على اختيار الأساس ((v_1، ldots، v_n) ) لـ (V ) واختيار الأساس ((w_1، ldots، w_m) ) لـ (W ). يحتوي العمود (j ^ { text {th}} ) في (M (T) ) على معاملات متجه الأساس (j ^ { text {th}} ) (v_j ) عندما موسعة من حيث الأساس ((w_1، ldots، w_m) ) ، كما في المعادلة 6.6.1.

مثال 6.6.2. لنفترض أن (T: mathbb {R} ^ 2 to mathbb {R} ^ 2 ) هي الخريطة الخطية التي قدمها (T (x، y) = (ax + by، cx + dy) ) من أجل بعض (أ ، ب ، ج ، د في mathbb {R} ). بعد ذلك ، فيما يتعلق بالأساس الكنسي لـ ( mathbb {R} ^ 2 ) المعطى بواسطة (((1،0)، (0،1)) ) ، فإن المصفوفة المقابلة هي
ابدأ {المعادلة *}
M (T) = start {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}
نهاية {المعادلة *}
بما أن (T (1،0) = (a، c) ) يعطي العمود الأول و (T (0،1) = (b، d) ) يعطي العمود الثاني.

بشكل عام ، افترض أن (V = mathbb {F} ^ n ) و (W = mathbb {F} ^ m ) ، ويشير إلى الأساس القياسي لـ (V ) بواسطة ((e_1، ldots ، e_n) ) والأساس القياسي لـ (W ) بواسطة ((f_1 ، ldots ، f_m) ). هنا ، (e_i ) (resp. (f_i )) هو (n ) - tuple (resp. (m ) - tuple) مع وجود واحد في الموضع (i ) وأصفار في كل مكان آخر . ثم يتم إعطاء المصفوفة (M (T) = (a_ {ij}) ) بواسطة

ابدأ {المعادلة *}
a_ {ij} = (Te_j) _i ،
نهاية {المعادلة *}
حيث يشير ((Te_j) _i ) إلى (i ^ { text {th}} ) المكون المتجه (Te_j ).

مثال 6.6.3. لنفترض أن (T: mathbb {R} ^ 2 to mathbb {R} ^ 3 ) هي الخريطة الخطية المحددة بواسطة (T (x، y) = (y، x + 2y، x + y) ). بعد ذلك ، فيما يتعلق بالأساس القياسي ، لدينا (T (1،0) = (0،1،1) ) و (T (0،1) = (1،2،1) ) بحيث
ابدأ {المعادلة *}
M (T) = start {bmatrix} 0 & 1 1 & 2 1 & 1 end {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}
ومع ذلك ، إذا أخذنا بدلاً من ذلك القواعد (((1،2)، (0،1)) ) لـ ( mathbb {R} ^ 2 ) و
((1،0،0)، (0،1،0)، (0،0،1)) ) لـ ( mathbb {R} ^ 3 ) ، ثم (T (1،2 ) = (2،5،3) ) و (T (0،1) = (1،2،1) ) بحيث
ابدأ {المعادلة *}
M (T) = start {bmatrix} 2 & 1 5 & 2 3 & 1 end {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}

مثال 6.6.4. لنفترض أن (S: mathbb {R} ^ 2 to mathbb {R} ^ 2 ) هي الخريطة الخطية (S (x، y) = (y، x) ). فيما يتعلق بالأساس (((1،2)، (0،1)) ) لـ ( mathbb {R} ^ 2 ) ، لدينا
ابدأ {المعادلة *}
S (1،2) = (2،1) = 2 (1،2) -3 (0،1) رباعي نص {and} رباعي
ق (0،1) = (1،0) = 1 (1،2) -2 (0،1) ،
نهاية {المعادلة *}
و حينئذ
[M (S) = start {bmatrix} 2 & 1 - 3 & -2 end {bmatrix}. ]

بالنظر إلى مسافات المتجهات (V ) و (W ) من الأبعاد (n ) و (م ) ، على التوالي ، ومع توفير اختيار ثابت للقواعد ، لاحظ أن هناك تطابق واحد لواحد بين الخرائط الخطية في ( mathcal {L} (V، W) ) والمصفوفات في ( mathbb {F} ^ {m times n} ). إذا بدأنا بالخريطة الخطية (T ) ، فسيتم تعريف المصفوفة (M (T) = A = (a_ {ij}) ) عبر المعادلة 6.6.1. بالمقابل ، بالنظر إلى المصفوفة (A = (a_ {ij}) in mathbb {F} ^ {m times n} ) ، يمكننا تحديد خريطة خطية (T: V to W ) عن طريق الإعداد

[Tv_j = sum_ {i = 1} ^ m a_ {ij} w_i. ]

تذكر أن مجموعة الخرائط الخطية ( mathcal {L} (V، W) ) هي مساحة متجهة. نظرًا لوجود تطابق واحد لواحد بين الخرائط والمصفوفات الخطية ، يمكننا أيضًا إنشاء مجموعة المصفوفات ( mathbb {F} ^ {m times n} ) في مساحة متجه. إعطاء مصفوفتين (A = (a_ {ij}) ) و (B = (b_ {ij}) ) في ( mathbb {F} ^ {m times n} ) وإعطائها عددًا ( alpha in mathbb {F} ) ، نحدد الامتداد إضافة مصفوفة و الضرب القياسي المكون الحكيم:

ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
A + B & = (a_ {ij} + b_ {ij}) ،
alpha A & = ( alpha a_ {ij}).
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

بعد ذلك ، نظهر أن ملف تكوين من الخرائط الخطية تفرض منتجًا على المصفوفات ، وتسمى أيضًا ضرب المصفوفة. لنفترض أن (U، V، W ) مسافات متجهة فوق ( mathbb {F} ) مع قواعد ((u_1، ldots، u_p) )، ((v_1، ldots، v_n) ) و ((w_1، ldots، w_m) ) على التوالي. لنفترض أن (S: U to V ) و (T: V to W ) خرائط خطية. ثم يكون المنتج خريطة خطية (T circ S: U to W ).

كل خريطة خطية لها المصفوفة المقابلة (M (T) = A ، M (S) = B ) و (M (TS) = C ). السؤال هو ما إذا كان (C ) يتم تحديده بواسطة (A ) و (B ). لدينا ، لكل (j in {1،2 ، ldots p } ) ، هذا

ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
(T circ S) u_j & = T (b_ {1j} v_1 + cdots + b_ {nj} v_n) = b_ {1j} Tv_1 + cdots + b_ {nj} Tv_n
& = sum_ {k = 1} ^ n b_ {kj} Tv_k
= sum_ {k = 1} ^ n b_ {kj} bigl ( sum_ {i = 1} ^ m a_ {ik} w_i bigr)
& = sum_ {i = 1} ^ m bigl ( sum_ {k = 1} ^ n a_ {ik} b_ {kj} bigr) w_i.
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

ومن ثم ، يتم إعطاء المصفوفة (C = (c_ {ij}) ) بواسطة
ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: c}
c_ {ij} = sum_ {k = 1} ^ n a_ {ik} b_ {kj}. العلامة {6.6.2}
نهاية {المعادلة}

يمكن استخدام المعادلة 6.6.2 لتعريف (m times p ) المصفوفة (C ) على أنها حاصل ضرب (m times n ) مصفوفة (A ) و a (n times ع ) مصفوفة (ب ) ، أي
ابدأ {المعادلة}
C = AB. العلامة {6.6.3}
نهاية {المعادلة}

يشير اشتقاقنا إلى أن المراسلات بين الخرائط والمصفوفات الخطية تحترم بنية المنتج.

الاقتراح 6.6.5. يترك (S: U إلى V ) و (T: V إلى W ) تكون خرائط خطية. ثم

[M (TS) = M (T) M (S). ]

مثال 6.6.6. باستخدام التدوين كما في الأمثلة 6.6.3 و 6.6.4 ، يجب أن تكون قادرًا على التحقق من ذلك
ابدأ {المعادلة *}
M (TS) = M (T) M (S) = start {bmatrix} 2 & 1 5 & 2 3 & 1 end {bmatrix}
تبدأ {bmatrix} 2 & 1 - 3 & -2 نهاية {bmatrix}
= start {bmatrix} 1 & 0 4 & 1 3 & 1 end {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}

بالنظر إلى المتجه (v in V ) ، يمكننا أيضًا ربط مصفوفة (M (v) ) بـ (v ) على النحو التالي. لنفترض أن ((v_1، ldots، v_n) ) يكون أساسًا لـ (V ). ثم هناك مقاييس فريدة (b_1، ldots، b_n ) مثل ذلك

[v = b_1 v_1 + cdots b_n v_n. ]

يتم بعد ذلك تعريف مصفوفة (v ) لتكون (n مرات 1 ) المصفوفة

[M (v) = start {bmatrix} b_1 vdots b_n end {bmatrix}. ]

مثال 6.6.7 مصفوفة المتجه (x = (x_1، ldots، x_n) in mathbb {F} ^ n ) في الأساس القياسي ((e_1، ldots، e_n) ) هي متجه العمود أو (n times 1 ) مصفوفة
ابدأ {المعادلة *}
M (x) = start {bmatrix} x_1 vdots x_n end {bmatrix}
نهاية {المعادلة *}
منذ (x = (x_1، ldots، x_n) = x_1 e_1 + cdots + x_n e_n ).

توضح النتيجة التالية كيف تتلاءم فكرة مصفوفة الخريطة الخطية (T: V to W ) ومصفوفة المتجه (v in V ) معًا.

اقتراح 6.6.8. يترك (T: V إلى W ) تكون خريطة خطية. ثم ، لكل (v in V ) ،
ابدأ {المعادلة *}
M (Tv) = M (T) M (v).
نهاية {المعادلة *}

دليل - إثبات.

لنفترض أن ((v_1، ldots، v_n) ) يكون أساسًا لـ (V ) و ((w_1، ldots، w_m) ) يكون أساسًا لـ (W ). افترض أنه فيما يتعلق بهذه الأسس ، مصفوفة (T ) هي (M (T) = (a_ {ij}) _ {1 le i le m، 1 le j le n} ). هذا يعني أنه بالنسبة لجميع (j in {1،2 ، ldots ، n } ) ،

[ ابدأ {المعادلة *}
Tv_j = sum_ {k = 1} ^ m a_ {kj} w_k.
نهاية {المعادلة *} ]

يمكن كتابة المتجه (v in V ) بشكل فريد كمجموعة خطية من نواقل الأساس مثل

[v = b_1 v_1 + cdots + b_n v_n. ]

بالتالي،

ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
التلفزيون & = b_1 T v_1 + cdots + b_n T v_n
& = b_1 sum_ {k = 1} ^ m a_ {k1} w_k + cdots + b_n sum_ {k = 1} ^ m a_ {kn} w_k
& = sum_ {k = 1} ^ m (a_ {k1} b_1 + cdots + a_ {kn} b_n) w_k.
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

هذا يدل على أن (M (Tv) ) هي مصفوفة (م مرات 1 )

ابدأ {المعادلة *}
M (Tv) = start {bmatrix} a_ {11} b_1 + cdots + a_ {1n} b_n vdots
أ_ {m1} b_1 + cdots + a_ {mn} b_n end {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}

ليس من الصعب التحقق ، باستخدام صيغة ضرب المصفوفة ، من أن (M (T) M (v) ) يعطي نفس النتيجة.

مثال 6.6.9. خذ الخريطة الخطية (S ) من المثال 6.6.4 بأساس (((1،2)، (0،1)) ) لـ ( mathbb {R} ^ 2 ). لتحديد الإجراء على المتجه (v = (1،4) in mathbb {R} ^ 2 ) ، لاحظ أن (v = (1،4) = 1 (1،2) +2 (0 ، 1) ). بالتالي،
ابدأ {المعادلة *}
M (Sv) = M (S) M (v) = start {bmatrix} 2 & 1 - 3 & -2 end {bmatrix}
ابدأ {bmatrix} 1 2 النهاية {bmatrix}
= start {bmatrix} 4 -7 end {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}

هذا يعني ذاك

[Sv = 4 (1،2) -7 (0،1) = (4،1) ، ]

وهو حقًا صحيح.


هل المشتقات خرائط خطية؟

لكن بين Apostol و Rudin ، أنا في حيرة من أمري من حيث أن المشتقات الكلية هي مشتقات.

المشتقات الجزئية تشبه إلى حد كبير المشتقات المعتادة التي يتم تدريسها في المدرسة الثانوية

لكن اليعقوبي لا يشبه هذا على الإطلاق. وبحسب كتبي فهي خريطة خطية.

إذا كانت المشتقات خرائط خطية ، فهل يمكن لشخص ما مساعدتي في رؤية كيفية ارتباط حدسي حول المشتقات الأبسط بالصيغ الأكثر تعقيدًا بشكل أوضح؟ أنا فقط لا أفهم أين ذهبت الحدود ، ولماذا هي أكثر تعقيدًا ، ولماذا لا توصف الأشكال الأبسط بالخرائط الخطية.


تنشيط الجبر الخطي

العنصران الأساسيان في الجبر الخطي هما المتجه و مصفوفة. يمثل المتجه نقطة في الفضاء الإقليدي بينما المصفوفة عبارة عن رسم خرائط خطي يرسم المتجهات من مساحة إلى أخرى (يمكن أن يكون كلا الفراغين من نفس الأبعاد أو أبعاد مختلفة). هنا صاغ المصطلح رسم الخرائط الخطية، هذا يعني التعيين من مساحة متجه إلى أخرى يحترم البنية الأساسية (الخطية) لكل مساحة متجه ، أي أنه يحافظ على الخطية ، (فضاء المتجه هو مجرد تمثيل تجريدي). رياضيا ، نكتب باسم

هنا ، L هي الخريطة الخطية المعروفة أيضًا باسم التحويل الخطي.

هذه كلها مصطلحات رياضية ، لكن ما الذي تفعله حقًا هندسيًا؟ وبالتالي، إذا كان هناك متجه في الفضاء الإقليدي ، فسيتم قياسه ، أو تدويره ، أو القيام بكليهما بالتتابع. دعونا نتخيل ما تفعله المصفوفة (رسم الخرائط الخطي) بالمتجه في الفضاء الإقليدي (R2 في هذه الحالة).


3 إجابات 3

إعادة تعريف الرموز لتجنب الغموض: $ T: mathbb^ n to mathbb^ n $ هي الخريطة الخطية المحددة على أنها $ T (x) = Ax $ و $ S: mathbb^ n مرات mathbb^ n to mathbb$ هي الخريطة ثنائية الخطوط المحددة على أنها $ S (x، y) = y ^ T A x $.

بناء وظائف خطية من وظائف خطية باستخدام المنتج الداخلي

طريقة واحدة لفهم $ S $ هي تكوين $ T $ مع المنتج الداخلي القياسي $ phi: mathbb^ n مرات mathbb^ n to mathbbيُعرّف $ على أنه $ phi (x، y) = y ^ T x $ ، أي

يتيح لنا هذا العرض ملاحظة بعض خصائص $ S $ بناءً على خصائص $ T $ والخصائص المعروفة لـ $ phi $. على سبيل المثال ، نظرًا لأنه من المعروف أن $ phi $ غير متحلل ، فإن $ S $ غير متحلل إذا وفقط إذا كان $ T $ هو تماثل.

يتم تعميم البناء بسهولة على حالة $ n times m $ بتأليف $ T: mathbb^ م إلى mathbb^ n $ مع $ phi $.

تغيير الأساس

للحصول على مصفوفة ثابتة $ A in mathbb^ينتج عن البناء أعلاه وظيفتين: دالة خطية $ T_A: mathbb^ n to mathbb^ n $ ودالة خطية $ S_A: mathbb^ n مرات mathbb^ n to mathbb$. يتم البناء على أساس ثابت ، ولكن الدالات الناتجة $ S $ و $ T $ مستقلة عن الأساس ، لذلك من الطبيعي أن نسأل كيف يتغير تمثيل المصفوفة في ظل تحولات الأساس.

من السهل أن نرى أن المصفوفة التي تمثل دالة خطية تتحول بشكل مختلف عن المصفوفة التي تمثل دالة ثنائية الخطوط. لنفترض أن $ B $ يشير إلى مصفوفة قابلة للانعكاس تصف تغيير الأساس. ثم

عندما يكون $ A '= B ^ <-1> AB $ ، أي أن المصفوفات التي تمثل خريطة خطية ثابتة متشابهة. على الجانب الآخر،

عندما $ A ^ <''> = B ^ TAB $ ، أي أن المصفوفات التي تمثل خريطة ثنائية الخطوط ثابتة تكون متطابقة.

يوضح هذا أنه يجب توخي الحذر عند استخدام تمثيلات المصفوفة للوظائف الخطية والثنائية. حتى عندما يتم تمثيل دالة خطية $ T $ ودالة خطية $ S $ بنفس المصفوفة في أساس واحد ، فهذا لا يعني أنهما يتم تمثيلهما بنفس المصفوفة في أساس آخر (ما لم يكن تحويل الأساس متعامدًا).

أي شكل ثنائي الخطي $ b Colon mathbb R ^ n times mathbb R ^ n to mathbb R $ يتوافق بشكل طبيعي مع خريطة خطية $ Phi_b Colon mathbb R ^ n to ( mathbb R ^ n) ^ * $ ، حيث $ ( mathbb R ^ n) ^ * = operatorname( mathbb R ^ n، mathbb R) $ هي المسافة المزدوجة. يتم إعطاء هذه المراسلات بواسطة start b quad longmapsto quad Phi_b Colon mathbb R ^ n & amp to ( mathbb R ^ n) ^ * ، x & amp mapsto b (x، -). نهاية هنا يشير $ b (x، -) $ إلى الخريطة الخطية $ mathbb R ^ n to mathbb R $ إرسال $ y $ إلى $ b (x، y) $.

بالنظر إلى عناصر $ mathbb R ^ n $ كمتجهات أعمدة ، يمكننا اعتبار عناصر $ ( mathbb R ^ n) ^ * $ كمتجهات صف: لـ $ rho in ( mathbb R ^ n) ^ * $ و $ x = (x_1، dots، x_n) ^ T $ لدينا نبدأ rho (x) & amp = rho (x_1 e_1 + cdots + x_n e_n) = x_1 rho (e_1) + cdots + x_n rho (e_n) & amp = start rho (e_1) & amp rho (e_2) & amp dots & amp rho (e_n) end يبدأ x_1 x_2 vdots x_n end. نهاية باستخدام هذا التعريف ، يوجد تماثل $ <> ^ T Colon ( mathbb R ^ n) ^ * to mathbb R ^ n $ معطى بواسطة $ y mapsto y ^ T $.

الآن بدءًا من $ b (x، y) = y ^ TAx $ ينتج عن هذا $ Phi_b (x) = (y mapsto y ^ TAx) $ الذي حددناه مع متجه الصف $ Phi_b (x) = (Ax) ^ تي دولار. باستخدام تماثل الشكل أعلاه ، نحصل بعد ذلك على مخطط خطي $ mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $: start mathbb R ^ n & amp xrightarrow < Phi_b> ( mathbb R ^ n) ^ * xrightarrow mathbb R ^ n ، x & amp longmapsto (Ax) ^ T mapsto Ax. نهاية

هذه هي الطريقة التي نبدأ بها بالخريطة ثنائية الخطوط المحددة بواسطة $ A $ نحصل على الخريطة الخطية المحددة بواسطة $ A $. يمكنك بالطبع الذهاب في الاتجاه الآخر أيضًا.

بشكل أكثر تجريدًا ، يمكنك التفكير في هذا من حيث ربط الموتر-هوم جنبًا إلى جنب مع تماثل الشكل (المعتمد على الأساس!) $ ( mathbb R ^ n) ^ * cong ( mathbb R ^ n) $: begin < نص> & amp leftrightarrow اسم التشغيل( mathbb R ^ n otimes mathbb R ^ n ، mathbb R) & amp cong operatorname( mathbb R ^ n، operatorname( mathbb R ^ n to mathbb R)) & amp = operatorname( mathbb R ^ n، ( mathbb R ^ n) ^ *) & amp cong operatorname( mathbb R ^ n، mathbb R ^ n). نهاية


الحل 1

بشرط أن $ A mathbf_i = mathbf_i $ ، لدينا مصفوفة مساواة $ A [ mathbf_1 mathbf_2 mathbf_3] = [ mathbf_1 mathbf_2 mathbf_3]$.
صراحة لدينا
[A ابدأ
1 & أمبير 0 & أمبير 0
1 & amp1 & amp0
1 & أمبير 1 & أمبير 1
نهاية
= ابدأ
1 & أمبير -1 & أمبير 3
2 & amp0 & amp1
0 & أمبير 3 & أمبير 1
نهاية. ] لإيجاد المصفوفة $ A $ ، نجد معكوس المصفوفة $ begin
1 & أمبير 0 & أمبير 0
1 & amp1 & amp0
1 & أمبير 1 & أمبير 1
نهاية$ واضرب في اليمين به.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


4 إجابات 4

من خلال تعريف الإسقاط على $ W $ لدينا $ DeclareMathOperator proj_W v = proj_W (x + y) = x $ بالنسبة إلى الحجمين التعسفيين $ lambda_i $ والمتجهين $ v_i في V $ لدينا تقسيمات فردية $ v_i = x_i + y_i $ مع $ x_i في W $ و $ y_i in W ^ perp $. يمكننا دمجها في $ lambda_1 v_1 + lambda_2 v_2 = lambda_1 (x_1 + y_1) + lambda_2 (x_2 + y_2) = ( lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2) + ( lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2) $ بسبب قواعد الحساب في $ V $.

بسبب إغلاق $ W $ و $ W ^ perp $ لكل منهما (خاصية مساحة متجه) ، لدينا $ lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 in W lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 in W ^ perp $ الذي يعني $ proj_W ( lambda_1 v_1 + lambda_2 v_2) = lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 $ من ناحية أخرى لدينا $ lambda_i proj_W (v_i) = lambda_i x_i $ لذلك نحصل على $ proj_W ( lambda_1 v_1 + lambda_2 v_2) = lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 = lambda_1 proj_W (v_1) + lambda_2 proj_W (v_2) $ وهذا يعني أن $ proj_W $ خطي على $ V $.

إذا كان $ langle cdot ، cdot rangle $ هو منتجك الداخلي وإذا كان $ (e_1، ldots، e_k) $ أساسًا متعامدًا لـ $ W $ ، ثم $ ( forall v in V): T ( ت) = مجموع_^ k langle v، e_j rangle e_j. $ هذا يعبر عن $ T $ كمجموع من الخرائط الخطية. لذلك ، $ T $ خطي.


التحولات الخطية

أ التحول الخطي (أو ببساطة تحويل، اتصلت في بعض الأحيان خريطة خطية) هو تعيين بين مسافتين متجهتين: يأخذ متجهًا كمدخل و يتحول إلى ناقل إخراج جديد. يقال أن الوظيفة خطية إذا تم الحفاظ على خصائص الجمع والضرب القياسي ، أي يتم الحصول على نفس النتيجة إذا تم إجراء هذه العمليات قبل التحويل أو بعده. تسمى الوظائف الخطية بشكل مترادف التحويلات الخطية.

تدوين التحولات الخطية

يمكنك مواجهة الترميز التالي لوصف التحول الخطي: تلفزيون. هذا يشير إلى المتجه الخامس تحولت بواسطة تي. تحول تي مصفوفة معينة. نظرًا لأنه يجب الحفاظ على الجمع والضرب القياسي في التحويل الخطي ، يمكنك كتابة:

في الجبر الخطي ، يمكن تمثيل المعلومات المتعلقة بالتحويل الخطي كمصفوفة. علاوة على ذلك ، يمكن التعبير عن كل تحويل خطي كمصفوفة.

عندما تقوم بالتحويل الخطي المرتبط بالمصفوفة ، نقول لك أنت تطبيق المصفوفة إلى المتجه. بشكل أكثر تحديدًا ، فهذا يعني أنك تحسب حاصل ضرب المصفوفة والمتجه للمصفوفة والمتجه. في هذه الحالة ، يمكن أحيانًا تسمية المصفوفة أ مصفوفة التحويل. على سبيل المثال ، يمكنك تطبيق مصفوفة أ إلى متجه الخامس مع منتجهم Av.

تطبيق المصفوفات

ضع في اعتبارك أنك لتطبيق مصفوفة على ناقل ضرب اليسار المتجه بالمصفوفة: المصفوفة على اليسار إلى المتجه.

عندما تضرب عدة مصفوفات ، يتم دمج التحويلات الخطية المقابلة بالترتيب من اليمين إلى اليسار.

على سبيل المثال ، لنفترض أن مصفوفة أ يقوم بدوران 45 درجة في اتجاه عقارب الساعة ومصفوفة ب يقوم بالتمدد ، المنتج بكالوريوس يعني أنك تقوم بالدوران أولاً ثم الشد.

هذا يدل على أن منتج المصفوفة هو:

  • غير تبادلي (ABبكالوريوس): التمدد ثم الدوران هو تحول مختلف عن الدوران ثم التمدد.
  • ترابطي (ABC)) = ((AB)ج): نفس التحويلات المرتبطة بالمصفوفات أ, ب، و ج تتم بنفس الترتيب.

وبالتالي يمكن اعتبار منتج متجه المصفوفة وسيلة لتحويل متجه. لقد رأيت في Essential Math for Data Science أن شكل أ و الخامس يجب أن تتطابق مع المنتج ليكون ممكنًا.

من الطرق الجيدة لفهم العلاقة بين المصفوفات والتحولات الخطية تصور هذه التحولات. للقيام بذلك ، ستستخدم شبكة من النقاط في مساحة ثنائية الأبعاد ، كل نقطة مناظرة لمتجه (من الأسهل تصور النقاط بدلاً من الأسهم التي تشير من الأصل).

لنبدأ بإنشاء الشبكة باستخدام الوظيفة meshgrid () من Numpy:

تتيح لك الوظيفة meshgrid () إنشاء كل مجموعات النقاط من المصفوفتين x و y. & # x27s نرسم مخطط التبعثر المقابل لـ xx و yy.

يمكنك رؤية الشبكة في الشكل 1. اللون يتوافق مع إضافة قيم xx و yy. هذا سيجعل التحولات أسهل في تصورها.


6.6.2. احصائيات الجمالونات¶

يهتم مجال الإحصائيات بتحديد القوى المؤثرة على الأنظمة المدنية والميكانيكية. هناك حاجة إلى معرفة حجم القوى على أجزاء من النظام للتأكد من أن الأنظمة مصممة لتكون قوية بدرجة كافية.

هنا نعتبر هيكلًا مكونًا من سبعة دعامات. تم أخذ هذا المثال من نص حول الإحصائيات والديناميكيات. [MERIAM78] الصفحة من كتاب مريم # 8217 هنا. truss_problem.pdf

يتم حل المشكلات الإحصائية مثل هذه على مستويين. أولاً ، نعتبر القوى الخارجية على الهيكل العام. سيخبرنا هذا بالقوى على دعامات الهيكل. يتم استخدام ثلاث معادلات لهذه الخطوة.

مجموع اللحظات هو صفر. هنا نحدد نقطة محورية ثم نحسب لحظة كل قوة خارجية كمنتج لقيمة القوة عموديًا على الهيكل مضروبًا في المسافة من النقطة المحورية. هذا يضمن عدم دوران الهيكل.

مجموع القوات في الاتجاه صفر.

مجموع القوات في الاتجاه صفر.

بعد ذلك ، استخدم ملف طريقة المفاصل لتحديد القوة على كل الجمالون. ندرس كل مفصل ونكتب معادلات للقوى الموجودة في و ال الاتجاهات. يجب أيضًا أن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا لكل مفصل.

كما ترون من الصفحة الممسوحة ضوئيًا من كتاب Meriam & # 8217s ، فهذه مشكلة بسيطة إلى حد ما. عند أخذها بالترتيب المطلوب ، تقل كل معادلة إلى متغير واحد غير معروف.

عند حلها باستخدام مصفوفة ، يمكن إدخال كل قوة تروس كقوة ضغط. الدعامات التي تكون في حالة توتر سوف تكون لها قوة سلبية.

معادلة المصفوفة مفرطة التحديد ، مما يعني أن لدينا معادلات أكثر من المجهول. عندما يحدث هذا ، نضرب طرفي المعادلة في .


شاهد الفيديو: طريقة حساب المسافة في خرائط جوجل بالنقط وبالتدقيق (شهر اكتوبر 2021).