مقالات

11.1: المشغلون الذاتيون أو المحكمون


لنفترض أن (V ) مساحة منتج داخلية ذات أبعاد محدودة تزيد عن ( mathbb {C} ) مع المنتج الداخلي ( inner { cdot} { cdot} ). يتم تحديد عامل التشغيل الخطي (T in mathcal {L} (V) ) بشكل فريد من خلال قيم

[ inner {Tv} {w}، quad text {for all (v، w in V ).} ]

وهذا يعني ، على وجه الخصوص ، أنه إذا كان (T، S in mathcal {L} (V) ) و

ابدأ {المعادلة *}
داخلي {تلفزيون} {w} = داخلي {Sv} {w} quad text {للجميع (v، w in V )،}
نهاية {المعادلة *}

ثم (T = S ). لرؤية هذا ، خذ (w ) لتكون عناصر أساس متعامد لـ (V ).

التعريف 11.1.1. بالنظر إلى (T in mathcal {L} (V) ) ، فإن معاون (الملقب ب. الناسك المترافقة) من (T ) هو العامل (T ^ * in mathcal {L} (V) ) الذي

[ inner {Tv} {w} = inner {v} {T ^ * w}، quad text {for all (v، w in V )} ]

علاوة على ذلك ، نسمي (T ) المعاينة الذاتية (a.k.a.الناسك}) إذا (T = T ^ * ).

تفرد (T ^ * ) واضح من خلال الملاحظة السابقة.

مثال 11.1.2. لنفترض أن (V = mathbb {C} ^ 3 ) ، وليكن تعريف (T in cal {L} ( mathbb {C} ^ 3) ) من خلال (T (z_1، z_2، z_3) ) = (2z_2 + iz_3، iz_1، z_2) ). ثم
ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
داخلي {(y_1، y_2، y_3)} {T ^ * (z_1، z_2، z_3)} & = inner {T (y_1، y_2، y_3)} {(z_1، z_2، z_3)}
& = inner {(2y_2 + iy_3، iy_1، y_2)} {(z_1، z_2، z_3)}
& = 2y_2 overline {z_1} + iy_3 overline {z_1} + iy_1 overline {z_2} + y_2 overline {z_3}
& = inner {(y_1، y_2، y_3)} {(- iz_2،2z_1 + z_3، -iz_1)}
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

بحيث (T ^ * (z_1، z_2، z_3) = (- iz_2،2z_1 + z_3، -iz_1) ). كتابة المصفوفة لـ (T ) من حيث الأساس القانوني ، نرى ذلك
ابدأ {المعادلة *}
M (T) = start {bmatrix} 0 & 2 & i i & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix} quad text {and} quad
M (T ^ *) = begin {bmatrix} 0 & -i & 0 2 & 0 & 1 -i & 0 & 0 end {bmatrix}.
نهاية {المعادلة *}

لاحظ أنه يمكن الحصول على (M (T ^ *) ) من (M (T) ) بأخذ الاقتران المركب لكل عنصر ثم التحويل. هذه العملية تسمى متقارن تبديل من (M (T) ) ، ونشير إليها ب ((M (T)) ^ {*} ).

نقوم بتجميع العديد من الخصائص الأولية للعملية المساعدة في الاقتراح التالي. يجب عليك تقديم دليل على هذه النتائج لممارستك الخاصة.

الاقتراح 11.1.3. يترك (S، T in mathcal {L} (V) ) و (a in mathbb {F} ).

  1. ((S + T) ^ * = S ^ * + T ^ * ).
  2. ((aT) ^ * = overline {a} T ^ * ).
  3. ((T ^ *) ^ * = T ).
  4. (أنا ^ * = أنا ).
  5. ((ST) ^ * = T ^ * S ^ * ).
  6. (M (T ^ *) = M (T) ^ * ).

عندما (n = 1 ) ، لاحظ أن التدوير المترافق لـ (1 مرات 1 ) مصفوفة (أ ) هو مجرد اتحاد معقد لإدخاله الفردي. ومن ثم ، فإن طلب (A ) أن يكون مساعدًا ذاتيًا ( (A = A ^ * )) يعني القول بأن هذا الإدخال الوحيد حقيقي. بسبب التحويل ، على الرغم من ذلك ، فإن الواقع ليس هو نفسه التقارب الذاتي عند (n> 1 ) ، لكن التشبيه مع ذلك ينتقل إلى القيم الذاتية للعوامل المساعدة الذاتية.

الاقتراح 11.1.4. كل قيمة ذاتية للمشغل الذاتي هي قيمة حقيقية.

دليل - إثبات. لنفترض أن ( lambda in mathbb {C} ) هي قيمة ذاتية لـ (T ) وأن (0 neq v in V ) هو متجه ذاتي مماثل بحيث (Tv = lambda v ) ). ثم

ابدأ {المعادلة *}
ابدأ {تقسيم}
lambda norm {v} ^ 2 & = inner { lambda v} {v} = inner {Tv} {v} = inner {v} {T ^ * v}
& = inner {v} {Tv} = inner {v} { lambda v} = overline { lambda} inner {v} {v}
= overline { lambda} norm {v} ^ 2.
نهاية {تقسيم}
نهاية {المعادلة *}

هذا يعني أن ( lambda = overline { lambda} ).

مثال 11.1.5. عامل التشغيل (T in mathcal {L} (V) ) محدد بواسطة (T (v) = begin {bmatrix} 2 & 1 + i 1-i & 3 end {bmatrix} v ) هي ذاتية المعايرة ، ويمكن التحقق (على سبيل المثال ، باستخدام كثير الحدود المميز) من أن القيم الذاتية لـ (T ) هي ( لامدا = 1،4 ).


عامل مساعد ذاتي

يجب ملاحظة أنه بالنسبة للمشغلين المقيدين ، يمكن تعريف المشغل المساعد بشكل طبيعي ، بينما بالنسبة للمشغلين غير المحدودين ، لا يمكن القيام بذلك إلا إذا كان مجال أ ، د(أ) ، كثيف في H وفقط لتلك النواقل ϕ لأي منهم ⟨ϕ, أχ⟩ هي دالة مستمرة لـ χ . مجموعة هذه المتجهات هي مجموعة فرعية متجهة من H وبحكم التعريف ستكون المجال ، D (أ † ) ، من أ † .

تعريف: عامل تشغيل خطي أ يقال أنه:

  1. أ عامل متماثل لو أأ † و $ overline < mathcal(أ)> = رياضيات$ ، حيث $ overline < mathcal(أ)> $ هو مكمل D (أ)
  2. أ المعاينة الذاتية عامل إذا أ = أ † و $ overline < mathcal(أ)> = رياضيات$ .

بالنسبة للمشغلين الخطيين المقيدين ، ولا سيما للمشغلين الخطيين في مسافات هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة ، تتطابق التعريفات الثلاثة.

'' العرض: شرط ضروري وكاف للمشغل الخطي أ أن تكون Hermitian هل هذا '''

دليل - إثبات: هذه المساواة تعني بالتأكيد تعريف 1. للمشغل Hermitian. العكس هو الصحيح بسبب الهوية التالية ، والتي يمكن التحقق منها بسهولة:

المصفوفة التي تمثل معاون من عامل خطي أ في أي أساس متعامد هو اتحاد Hermitian للمصفوفة يمثل أ . في الواقع ، يتم إعطاء عناصر المصفوفة من خلال:

لذلك ، إذا كان عامل التشغيل الخطي المحدد هو المعاينة الذاتية، يتم تمثيلها بواسطة مصفوفة هرميتية بأي أساس متعامد.


3 إجابات 3

اسمحوا $ mathscrكن فضاء هلبرت. مجال عامل التشغيل $ A $ على $ mathscrيُرمز $ D (A) $ بواسطة an تمديد من $ A $ تعني عامل تشغيل $ B $ مع $ D (A) مجموعة فرعية D (B) $ و $ B | D (A) = A $ (حيث يشير $ B | D (A) $ إلى تقييد $ من B $ إلى $ D (A) $). إذا كان $ B $ امتدادًا لـ $ A $ فمن المعتاد كتابة $ A مجموعة فرعية B $.

الآن خذ $ A $ ليكون محددة بكثافة، مما يعني أن الفضاء الجزئي الخطي $ D (A) $ من $ mathscr$ كثيف في $ mathscr$. يسمح هذا الشرط بتعريف عامل التشغيل المساعد $ A ^ ast $ of $ A $ تعريفه هو أن $ D (A ^ ast) $ هو مجموعة $ y in mathscr$ مثل أن الخريطة $ D (A) ni x mapsto (Ax، y) in mathbf$ مستمر (من خلال نظرية هان باناخ ، تمتد هذه الخريطة إلى $ mathscr$ ، ويقوم بذلك بشكل فريد لأننا افترضنا أن $ A $ معرف بشكل مكثف). بواسطة نظرية تمثيل Riesz لكل $ y in D (A ^ ast) $ يوجد عنصر فريد من $ mathscr$ ، والذي يُرمز إليه $ A ^ ast y $ ، بحيث يكون $ (Ax، y) = (x، A ^ ast y) $ لكل $ x في D (A) $. وبالتالي ، يتم تعريف $ A ^ ast $ لضمان $ (Ax، y) = (x، A ^ ast y) $ لجميع $ x in D (A) $ و $ y in D (A ^ ast) $.

$ دولار هو متماثل (أو رسميًا المعايرة الذاتية، على ما يبدو أن الفيزيائيين يطلقون عليهم أيضًا Hermitian ، لكن لن يفعل أي عالم رياضيات ذلك) إذا كان $ A subset A ^ ast $ المعاينة الذاتية إذا كان $ A = A ^ ast $. وبالتالي ، فإن كل عامل مساعد ذاتي متماثل ، لكن العكس لا يحتاج إلى الصمود. ومع ذلك ، إذا كان $ A $ مستمرًا و $ D (A) = mathscrالمتماثل $ ثم $ A $ يدل على $ A $ المتماثل. (في حالة الأبعاد المحدودة تكون كل خريطة خطية متصلة.)

شيء مدهش في ميكانيكا الكم (نظرية Hellinger-Toeplitz): إذا كان $ A $ متماثل و $ D (A) = mathscr$ ثم $ A $ مستمر. ومن ثم إذا كان $ A $ غير متصل ومتماثل ، لا يمكن تعريفه على إجمالي $ mathscr$. (يوضح هذا أنه لا يمكنك مناقشة ميكانيكا الكم دون القلق بشأن المجالات ، حيث يمكن للمرء أن يوضح أنه إذا كان المشغلون $ A $ و $ B $ يوفون بعلاقة التبديل الأساسية $ AB-BA = iI $ فإن واحدًا على الأقل من $ A $ و لا يمكن أن يكون $ B $ مستمرًا). كما أن عامل التشغيل المتماثل $ A $ هو عامل مساعد ذاتيًا إذا كان طيفه عبارة عن مجموعة فرعية من الخط الحقيقي (هذا مهم في ميكانيكا الكم لأن الطيف موجود هناك مع إعطاء تفسير مادي).

هناك فكرة أخرى مفيدة في كثير من الأحيان ، لا سيما في الفيزياء الرياضية. $ دولار هو في الأساس ربط ذاتي إذا كان $ A $ متماثلًا وكان إغلاقه ذاتيًا (مثل هذا المشغل يعترف بامتداد ذاتي الالتفاف الفريد ، وهو الإغلاق). هذا يظهر على سبيل المثال في التمثيل القياسي لعلاقات التبديل المتعارف عليها: $ mathscr= L ^ 2 ( mathbf) $، $ A = -id / dx $ و $ B $ تكون عملية الضرب في $ x $. $ A $ و $ B $ هما أساسًا مساعدان ذاتيان في مساحة Schwartz $ mathscr( mathbf)$.

ملاحظة: حتى لو تم تعريف $ A $ بشكل مكثف ، لا يلزم تعريف $ A ^ ast $ بشكل مكثف (في الواقع يتم تعريفه بشكل مكثف إذا كان $ A $ قابل للإغلاق ، على سبيل المثال إذا كان $ A $ متماثل).

إذا كنت تريد مرجعًا ، فإن المرجع القياسي هو Reed / Simon: طرق الفيزياء الرياضية الحديثة ، المجلد الأول (هذا صارم تمامًا وفقًا لمعايير الرياضيات).


عوامل التشغيل الذاتي

اعطاء عامل خطي محدد بكثافة أ على ح، يرافقه أ* تعرف على النحو التالي:

  • مجال أ* يتكون من نواقل x في ح مثل ذلك
  • بواسطة نظرية تمثيل Riesz للوظائف الخطية ، إذا x يقع في مجال أ* ، هناك ناقل فريد ض في ح مثل ذلك

لاحظ أن كثافة مجال المشغل ، جنبًا إلى جنب مع الجزء الفريد من تمثيل Riesz ، هي التي تضمن تعريف المشغل المساعد جيدًا.

نتيجة لنوع Hellinger-Toeplitz تقول أن المشغل الذي له نقطة مساعدة محددة في كل مكان مقيد.

شرط أن يكون المشغل الخطي على مساحة هيلبرت المعاينة الذاتية أقوى من أن تكون متماثل.

لأي عامل محدد بكثافة أ في فضاء هيلبرت يمكن للمرء تحديد عامل التشغيل المساعد الخاص به أ*. لمشغل متماثل أ، مجال المشغل أ* يحتوي على مجال المشغل أ، وتقييد المشغل أ* في مجال أ يتزامن مع المشغل أ، بمعنى آخر. ، بعبارات أخرى أ* امتداد أ. للمشغل الذاتي أ مجال أ* هو نفس مجال أ، و أ=أ*. راجع أيضًا امتدادات المشغلات المتماثلة والمشغل غير المحدود.

تفسير هندسي

هناك طريقة هندسية مفيدة للنظر إلى نقطة التقاء عامل التشغيل أ على ح كالتالي: نعتبر الرسم البياني G (أ) من أ المعرفة من قبل

نظرية. دع J يكون رسم الخرائط العفوية

ثم الرسم البياني لـ أ* هو المكمل المتعامد لـ JG (أ):

عامل محدد بكثافة أ متماثل إذا وفقط إذا

حيث تدوين المجموعة الفرعية من المفهوم أنه يعني عامل أ يكون المعاينة الذاتية إذا وفقط إذا هذا ، إذا وفقط إذا

مثال. ضع في اعتبارك مجمع هلبرت فضاء L 2 (ص) ، والعامل الذي يضرب دالة معينة في x:

مجال أ هي مساحة جميع وظائف L 2 التي يكون فيها الجانب الأيمن قابلًا للتكامل مع مربع. أ هو عامل متماثل بدون أي قيم ذاتية ووظائف ذاتية. في الواقع ، اتضح أن المشغل هو عامل مساعد ذاتيًا ، على النحو التالي من النظرية الموضحة أدناه.

كما سنرى لاحقًا ، فإن للمشغلين المتعاونين ذاتيًا خصائص طيفية مهمة جدًا ، فهم في الواقع عوامل الضرب في مساحات القياس العامة.


مساعد الذات والناسك

يميل علماء الرياضيات إلى التحدث بشكل أكثر تجريدًا من علماء الفيزياء!

إن Hermitian (الأصح ، المساعد Hermitian) الخاص بالمشغل ينطبق فقط على المشغلين على مسافات متجهة فوق الأرقام المركبة.

إذا كانت U و V عبارة عن أي مساحات منتج داخلية وكانت T عبارة عن تحويل خطي من U إلى V ، فإن & quotadjoint & quot من T و T * عبارة عن تحويل خطي من V إلى U بحيث بالنسبة لأي u في U و v في V و ، v & gt = & ltu، T * v & gt. يتم أخذ المنتجين الداخليين في V و U على التوالي.

على وجه الخصوص ، إذا كانت U = V و T * = T ، أي إذا كانت & ltTu ، v & gt = & ltu ، Tv & gt ، فإن T هي & quot؛ ملحقة & quot.

IIRC بشكل صحيح:
- عامل التشغيل هو Hermitian if & ltu، Av & gt = & ltAu، v & gt for all u، v، في مجال A.
- عامل التشغيل هو المعايرة الذاتية إذا كانت A * = A.

الاختلاف الدقيق هو أن مجالات A و A * قد لا تتطابق بشكل عام.
تتوافق هذه التعريفات مع عوامل التشغيل المحدودة.
لقد رأيت بعض الأماكن التي يكون فيها عامل الناسك مقيدًا بالتعريف ، والبعض الآخر يخفف من هذا الشرط. لست متأكدًا جدًا من التعريفات الدقيقة ، لذا لا تقتبسني هنا.

IIRC بشكل صحيح:
- عامل التشغيل هو Hermitian if & ltu، Av & gt = & ltAu، v & gt for all u، v، في مجال A.
- عامل التشغيل هو المعايرة الذاتية إذا كانت A * = A.

الاختلاف الدقيق هو أن مجالات A و A * قد لا تتطابق بشكل عام.
تتوافق هذه التعريفات مع عوامل التشغيل المحدودة.
لقد رأيت بعض الأماكن التي يكون فيها عامل الناسك مقيدًا بالتعريف ، والبعض الآخر يخفف من هذا الشرط. لست متأكدًا جدًا من التعريفات الدقيقة ، لذا لا تقتبسني هنا.

صيح. لكن الأمر أكثر من ذلك. عامل التشغيل Hermitian هو عامل مساعد ذاتي في مساحة منتج داخلية معقدة مع منتج داخلي معين. لذلك ، حتى لو كان الحقل معقدًا ، إذا كان المنتج الداخلي هو المنتج النموذجي ، فإن العامل سيكون مجرد ارتباط ذاتي.

بالنسبة للمصفوفة ، فإن الاتحاد Hermitian هو الاتحاد المعقد للمدور. إذا كان هذا يساوي الأصل ، فإن المصفوفة هي Hermitian.

كان هذا الموضوع محيرا للغاية. سأكتب تعريف الوظيفة الإضافية التي واجهتها للتو.

لنفترض أن T: D (T) - & gtH يكون عامل تشغيل ، ربما غير محدود ، بحيث تكون D (T) كثيفة في H. ثم نحدد

ومن الممكن تعريف T *: D (T *) - & gtH عن طريق تحديد (T * x | y) = (x | Ty) لجميع x في D (T *) و y في D (T).

لا أعرف حتى الآن تفاصيل الإثبات المطلوب لهذا التعريف ، لكن هذا يبدو جيدًا على أي حال.

بالنظر إلى أول مشاركة لـ Hallsoflvi ، أعتقد أن انتباهي قد لفت انتباهي إلى هذا

كثيرًا ، بينما لم أكن أعرف ما هو مناسب. كان باقي المنشور يحتوي بالفعل على الإجابة ، وهي نفس الإجابة التي قدمها جاليليو. لكنني لست مقتنعًا بأن كل شيء على ما يرام مع المجموعتين U و V هنا

في حالة المسافات المعيارية التعسفية ، يكون التقريب بين الثنائيات ، T *: V * - & gtU *. مع مساحات هيلبرت ، أفترض ، تسير الأمور كما أظهرت الآن.

على أي حال ، ارتفعت الصعوبة من حقيقة أنني كنت أعرف فقط T /> - & gtH و T * /> - & gtH في وقت سابق مع المشغلين المقيدين. أيضًا ، إذا تم تعريف عامل التشغيل المحدود T: D (T) - & gtH على مجموعة فرعية كثيفة ، فيمكن دائمًا تمديده إلى H بشكل فريد.

إذا نظرنا إلى الوراء في إجابة غاليليو ، كان ينبغي أن أسأل عن تعريف الملحق. لكن كما تعلم ، من الصعب جدًا إبقاء الأفكار واضحة


عامل مساعد ذاتي

في الرياضيات ، على مساحة منتج داخلية ذات أبعاد محدودة ، أ عامل مساعد ذاتي هي واحدة من المصفوفات المرافقة لها ، أو على نحو مكافئ ، مصفوفتها هرميتية ، حيث تكون المصفوفة الهرميتية هي التي تساوي مدورها المقترن. من خلال النظرية الطيفية ذات الأبعاد المحدودة ، يكون لمثل هؤلاء المشغلين أساس متعامد يمكن من خلاله تمثيل المشغل كمصفوفة قطرية بإدخالات في العدد الحقيقي s. في هذه المقالة ، نعتبر تعميم هذا المفهوم على المشغلين في فضاء هيلبرت ذي البعد التعسفي.

تُستخدم العوامل المساعدة الذاتية في التحليل الوظيفي وميكانيكا الكم. تكمن أهميتها في ميكانيكا الكم في حقيقة أنه في صياغة ديراك فون نيومان لميكانيكا الكم ، يتم تمثيل العناصر الفيزيائية التي يمكن ملاحظتها مثل الموضع ، والزخم ، والزخم الزاوي ، والدوران بواسطة مشغلين متعاونين ذاتيًا في فضاء هيلبرت. أهمية خاصة هو هاميلتوني

: H psi = - frac <2 م> abla ^ 2 psi + V psi

الذي يمكن ملاحظته يتوافق مع الطاقة الكلية لجسيم كتلته "م" في مجال محتمل حقيقي "V". العوامل التفاضلية هي فئة مهمة من المشغلين غير المحدودين.

تشبه بنية المشغلين ذاتية المساعدة في مسافات هيلبرت ذات الأبعاد اللانهائية بشكل أساسي حالة الأبعاد المحدودة ، أي أن المشغلين يكونون متعاونين ذاتيًا إذا وفقط إذا كانوا معادلين وحدًا لمشغلي الضرب الحقيقي القيمة. مع التعديلات المناسبة ، يمكن أن تمتد هذه النتيجة إلى مشغلين غير محدودين في مساحات أبعاد لا نهائية. نظرًا لأن المشغل المساعد الذاتي المحدد في كل مكان يكون مقيدًا بالضرورة ، يحتاج المرء إلى أن يكون أكثر انتباهاً لمسألة المجال في الحالة غير المحدودة. هذا موضح أدناه بمزيد من التفصيل

معاملات ymmetric

يتم استدعاء عامل تشغيل خطي معرف جزئيًا "A" على مساحة هيلبرت "H" متماثل إذا وفقط إذا: langle Ax mid y angle = lang x mid Ay ang لجميع العناصر "x" و "y" في مجال "A". بشكل عام ، يُقال أن عامل التشغيل الخطي المحدد جزئيًا "A" من فضاء متجه طوبولوجي "E" إلى مساحته المزدوجة المستمرة "E" & amp ؛ مضخم الصوت متماثل إذا: langle فأس منتصف y زاوية = lang x mid Ay ang لجميع العناصر "x" و "y" في مجال "A". هذا الاستخدام هو المعيار إلى حد ما في أدبيات التحليل الوظيفي.

عامل التشغيل المتماثل "المحدد في كل مكان" هو عامل مساعد ذاتي. بواسطة نظرية Hellinger-Toeplitz ، يتم تقييد عامل متماثل "محدد في كل مكان".

وتسمى أيضًا عوامل التشغيل المتماثلة المقيدة Hermitian.

يتوافق التعريف السابق مع تعريف المصفوفات الوارد في مقدمة هذه المقالة ، إذا أخذنا مساحة هيلبرت كـ "H" ج "n" مع حاصل الضرب القياسي وتفسير مصفوفة مربعة كعامل خطي في مساحة هيلبرت هذه. ومع ذلك ، فهي أكثر عمومية حيث توجد مساحات هيلبرت ذات أبعاد غير محدودة.

إن طيف أي مشغل متماثل محدود هو حقيقي على وجه الخصوص ، جميع قيمه الذاتية حقيقية ، على الرغم من أن المشغل المتماثل قد لا يكون له أي قيم ذاتية.

فيما يلي نسخة عامة من النظرية الطيفية والتي تنطبق أيضًا على عوامل التشغيل المتماثل المقيدة. إذا كانت مجموعة قيم eigenvalues ​​لعامل متماثل غير فارغة ، وكانت القيم الذاتية غير متولدة ، فإنه يتبع من التعريف أن المتجهات الذاتية المقابلة لقيم eigenvalues ​​المتميزة هي متعامدة. المشغلين ليس لديهم قيم ذاتية على الإطلاق (على الرغم من أن طيف أي مشغل مساعد ذاتي غير فارغ). يوضح المثال أدناه الحالة الخاصة عندما يكون لعامل متماثل (غير محدود) مجموعة من المتجهات الذاتية التي تشكل أساس فضاء هلبرت. يمكن رؤية أن عامل التشغيل "A" أدناه له معكوس مضغوط ، مما يعني أن المعادلة التفاضلية المقابلة "A" "f" = "g" يتم حلها بواسطة عامل "G" متكامل ، وبالتالي مضغوط. عامل التشغيل المتماثل المدمج "G" لديه عائلة معدودة من المتجهات الذاتية التي تكتمل في L ^ 2. ويمكن بعد ذلك أن يقال الشيء نفسه عن "أ".

مثال. ضع في اعتبارك مجمع هلبرت فضاء L 2 [0،1] والمشغل التفاضلي

محددة في الفضاء الجزئي المكون من جميع الوظائف ذات القيمة المعقدة القابلة للتفاضل اللانهائي "f" في [0،1] مع شروط الحدود:

ثم يظهر التكامل بالأجزاء أن "A" متماثل. وظائفها الذاتية هي أشباه الجيوب

: f_n (x) = sin (n pi x) quad n = 1،2 ، النقاط

مع قيم eigenvalues ​​الحقيقية "n" 2 2 ، يتبع التعامد المعروف لوظائف الجيب نتيجة لخاصية التناظر.

نعتبر تعميمات هذا المشغل أدناه.

عوامل التشغيل الذاتي

بالنظر إلى عامل تشغيل خطي محدد بكثافة "A" على "H" ، يتم تعريف "A" * المساعد على النحو التالي:
* يتكون مجال "A" * من المتجهات "x" في "H" مثل ذلك

:: y mapsto langle x mid a y angle

: (وهي خريطة "خطية" محددة بكثافة) هي وظيفة خطية مستمرة. من خلال استمرارية وكثافة مجال "A" ، فإنه يمتد إلى دالة خطية مستمرة فريدة على كل "H".

* من خلال نظرية تمثيل Riesz للوظائف الخطية ، إذا كان "x" في مجال "A" * ، فهناك متجه فريد "z" في "H" مثل: langle x mid A y angle = langle z mid رباعي زاوية y لكل y في اسم التشغيل ج: تم تعريف المتجه "z" على أنه "A" * "x". يمكن إثبات أن اعتماد "z" على "x" خطي.

لاحظ أن كثافة مجال المشغل ، جنبًا إلى جنب مع الجزء الفريد من تمثيل Riesz ، هي التي تضمن تعريف المشغل المساعد جيدًا.

نتيجة من نوع Hellinger-Toeplitz تقول أن المشغل الذي له نقطة مساعدة محدودة مقيد. لذلك فإن مساعد عامل غير محدود هو بالضرورة غير مقيد.

شرط أن يكون عامل تشغيل خطي على فضاء هلبرت "ذاتي المساعد" أقوى من أن يكون "متماثلًا".

بالنسبة إلى أي عامل محدد بكثافة "A" على مساحة هيلبرت ، يمكن للمرء تحديد عامل التشغيل المساعد "A" *. بالنسبة للمشغل المتماثل "A" ، يحتوي مجال المشغل "A" * على مجال المشغل "A" ، و يتطابق تقييد عامل التشغيل "A" * على المجال "A" مع عامل التشغيل "A" ، أي أن المجموعة الفرعية A ^ * ، وبعبارة أخرى "A" * هي امتداد لـ "A". بالنسبة إلى عامل التشغيل الذاتي "A" ، يكون مجال "A" * هو نفسه مجال "A" ، و "A" = "A" *. انظر أيضًا امتدادات العوامل المتماثلة.

تفسير هندسي

هناك طريقة هندسية مفيدة للنظر إلى النقطة المساعدة لعامل التشغيل "A" على "H" على النحو التالي: نحن نعتبر الرسم البياني G ("A") من "A" المحدد بواسطة

نظرية. دع J يكون رسم الخرائط العفوي

: H oplus H ightarrow H oplus H

: اسم المشغل: (xi، eta) mapsto (-eta، xi).

ثم الرسم البياني لـ "A" * هو المكمل المتعامد لـ JG ("A"):

عامل التشغيل المحدد بكثافة "A" يكون متماثلًا إذا وفقط إذا: A subseteq A ^ *.

حيث يُفهم أن تدوين المجموعة الفرعية A subseteq A ^ * يعني G (A) subseteq G (A ^ *). عامل التشغيل "أ" هو المعاينة الذاتية إذا وفقط إذا كان A = A ^ * أي فقط إذا وفقط إذا كان G (A) = G (A ^ *).

مثال. ضع في اعتبارك مجمع هلبرت فضاء L 2 (ص) ، والعامل الذي يضرب دالة معينة بـ "x":

مجال "A" هو مساحة جميع وظائف L 2 حيث يكون الجانب الأيمن قابلًا للتكامل مع مربع. "A" هو عامل متماثل بدون أي قيم ذاتية ووظائف ذاتية. في الواقع ، اتضح أن المشغل هو عامل مساعد ذاتيًا ، على النحو التالي من النظرية الموضحة أدناه.

كما سنرى لاحقًا ، فإن للمشغلين المتعاونين ذاتيًا خصائص طيفية مهمة جدًا ، فهم في الواقع عوامل الضرب في مساحات القياس العامة.

نظرية الطيفية

عوامل التشغيل المعرفة جزئيًا "A" ، "B" على مسافات هيلبرت "H" ، "K" هي مكافئ وحيدًا إذا وفقط إذا كان هناك عامل تشغيل أحادي "U": "H" → "K" هكذا

* خرائط "U" لـ dom "A" bijective ly على dom "B" ،

* B U xi = U A xi ، رباعي xi في اسم التشغيلأ.

يتم تعريف عامل الضرب على النحو التالي: لنفترض أن (X ، Sigma ، mu) مساحة قياس مضافة بشكل محسوب و "f" دالة قابلة للقياس ذات قيمة حقيقية على "X". عامل "T" من النموذج

الذي مجاله هو مساحة which التي يكون الجانب الأيمن أعلاه في "L" 2 يسمى عامل الضرب.

نظرية. أي عامل ضرب هو عامل ربط ذاتي (محدد بكثافة). أي عامل ربط ذاتي يعادل في حد ذاته عامل الضرب.

يمكن إثبات هذا الإصدار من النظرية الطيفية لمشغلي الربط الذاتي عن طريق الاختزال إلى النظرية الطيفية للمشغلين الوحدويين. يستخدم هذا التخفيض "تحويل كايلي" لمشغلي التوصيل الذاتي المحدد في القسم التالي. قد نلاحظ أنه إذا كانت T هي الضرب في f ، فإن طيف T هو النطاق الأساسي لـ f.

حساب بوريل الوظيفي

بالنظر إلى تمثيل "T" كعامل ضرب ، فمن السهل توصيف حساب بوريل الوظيفي : إذا كانت "h" دالة بوريل محدودة القيمة في ص، ثم "h" ("T") هو عامل الضرب بالتركيب h circ f. لكي يتم تحديد ذلك جيدًا ، يجب أن نظهر أنها العملية الفريدة على وظائف Borel ذات القيمة الحقيقية المحدودة والتي تلبي عددًا من الشروط.

حسم الهوية

لقد كان من المعتاد تقديم الترميز التالي

حيث يشير mathbf <1> _ <(- infty، lambda]> إلى الوظيفة التي تكون متطابقة 1 في الفاصل الزمني (-infty، lambda]. عائلة مشغلي الإسقاط E"T"(λ) يسمى حل الهوية عن "T". علاوة على ذلك ، يمكن إثبات تمثيل Stieltjes المتكامل التالي لـ "T":

: T = int_ <-infty> ^ <+ infty> lambda d operatorname_T (لامدا).

يمكن اختزال تعريف عامل التشغيل المتكامل أعلاه إلى تعريف تكامل Stieltjes ذي القيمة العددية باستخدام طوبولوجيا المشغل الضعيفة. ومع ذلك ، في العلاجات الحديثة ، يتم تجنب هذا التمثيل عادةً ، حيث يمكن التعامل مع معظم المشكلات الفنية عن طريق حساب التفاضل والتكامل الوظيفي.

الصياغة في أدب الفيزياء

في الفيزياء ، لا سيما في ميكانيكا الكم ، يتم التعبير عن النظرية الطيفية بطريقة تجمع بين النظرية الطيفية كما هو مذكور أعلاه وحساب بوريل الوظيفي باستخدام تدوين ديراك على النحو التالي:

إذا كانت "H" هي Hermitian (اسم الوظيفة الذاتية في أدبيات الفيزياء) و "f" هي دالة Borel ،

: f (H) = int dE midPsi_ زاوية f (E) langle Psi_ منتصف

: H mid Psi_ زاوية = E midPsi_ زاوية

حيث يعمل التكامل على كامل نطاق "H". يشير التدوين إلى أن "H" مائلة بواسطة القيم الذاتية Ψ"هاء". مثل هذا الترميز رسمي بحت. يمكن للمرء أن يرى التشابه بين تدوين ديراك والمقطع السابق. يشبه دقة الهوية (تسمى أحيانًا مقاييس قيمة الإسقاط) إسقاطات الرتبة الأولى | بسي_ زاوية المستطيل Psi_ | في تدوين ديراك ، يتم وصف القياسات (الإسقاطية) عبر قيم eigenvalues ​​و eigenstates ، وكلاهما كائنات رسمية بحتة. وكما يتوقع المرء ، فإن هذا لا ينجو من المرور إلى حل الهوية. في الصيغة الأخيرة ، توصف القياسات باستخدام مقياس طيفي لـ | زاوية Psi ، إذا تم تحضير النظام بـ | زاوية بسي قبل القياس. بدلاً من ذلك ، إذا رغب المرء في الحفاظ على مفهوم eigenstates وجعله صارمًا ، وليس مجرد شكل رسمي ، فيمكن للمرء أن يستبدل مساحة الدولة بمساحة هلبرت مزورة مناسبة.

إذا كان "f" = 1 ، تتم الإشارة إلى النظرية على أنها حل الوحدة:

: I = int dE mid Psi_ زاوية المستطيل Psi_ منتصف

في حالة H_= H-iGamma هو مجموع Hermitian "H" والانحراف-Hermitian (انظر المصفوفة-Hermitian) المشغل -iGamma ، واحد يحدد مجموعة الأساس biorthogonal

: ح ^ * _ منتصف Psi_^ * زاوية = E ^ * منتصف Psi_^ * زاوية

واكتب النظرية الطيفية على النحو التالي:

: f (H_) = int dE mid Psi_ الزاوية f (E) langle Psi_^ * منتصف

(انظر طريقة تقسيم Feshbach-Fano للسياق حيث تظهر مثل هذه العوامل في نظرية التشتت).

امتدادات العوامل المتماثلة

يظهر السؤال التالي في عدة سياقات: إذا كان عامل التشغيل "A" في فضاء هيلبرت "H" متماثل ، فمتى يكون له امتدادات ذاتية؟ يتم توفير إجابة واحدة من قبل كايلي تحويل من عامل مساعد ذاتي ومؤشرات النقص. (يجب أن نلاحظ هنا أنه غالبًا ما يكون من الملائم من الناحية الفنية التعامل مع المشغلين المغلقين. في الحالة المتماثلة ، لا يشكل شرط الإغلاق أي عقبات ، حيث من المعروف أن جميع المشغلين المتماثلين يمكن إغلاقهم.

نظرية. لنفترض أن "A" عامل متماثل. ثم هناك عامل خطي فريد محدد جزئيًا

: اسم المشغل(أ) اسم أوبرا القولون(A + i) اسم أوبرا السهم(A-i)

: اسم المشغل(أ) (الفأس + التاسع) = الفأس - التاسع رباعي x في اسم التشغيل(أ).

هنا ، تشير "ركض" و "دوم" إلى النطاق والمجال ، على التوالي. W ("A") متساوي القياس في مجالها. علاوة على ذلك ، فإن النطاق 1 - W ("A") كثيف في "H".

على العكس من ذلك ، نظرًا لأي عامل محدد جزئيًا "U" وهو متساوي القياس في مجاله (وهو ليس مغلقًا بالضرورة) وأن 1 - "U" كثيفة ، هناك عامل (فريد) S ("U")

: اسم المشغل(U) اسم أوبرا القولون(1 - U) اسم أوبرا السهم(1 + يو)

: اسم المشغل(U) (x - Ux) = i (x + U x) رباعي x في اسم التشغيل(يو).

عامل التشغيل S ("U") محدد ومتماثل بكثافة.

التعيينات W و S هي انعكاس لبعضهما البعض.

رسم الخرائط W يسمى كايلي تحويل. إنه يربط قياسًا محددًا جزئيًا لأي عامل متماثل محدد الكثافة. لاحظ أن التعيينات W و S أحادية اللون: وهذا يعني أنه إذا كان "B" عامل تشغيل متماثل يمتد إلى عامل التشغيل المتماثل المحدد بكثافة "A" ، فإن W ("B") يمتد W ("A") ، وبالمثل لـ س.

نظرية. الشرط الضروري والكافي لكي يكون "أ" مساعدًا ذاتيًا هو أن يكون تحويل كايلي W ("أ") وحدويًا.

يمنحنا هذا فورًا شرطًا ضروريًا وكافيًا لـ "أ" للحصول على تمديد ذاتي ، على النحو التالي:

نظرية. الشرط الضروري والكافي لـ "A" للحصول على امتداد ملحق ذاتي هو أن W ("A") لها امتداد أحادي.

عامل متساوي القياس محدد جزئيًا "V" على مساحة هيلبرت "H" له امتداد متساوي القياس فريد لإغلاق القاعدة لـ dom ("V"). يسمى المشغل متساوي القياس المحدد جزئيًا مع المجال المغلق بالتساوي الجزئي.

بالنظر إلى التساوي الجزئي "V" ، فإن مؤشرات النقص من "V" هي أبعاد المكملات المتعامدة للمجال والمدى:

: n _ + (V) = اسم التشغيل اسم المشغل(الخامس) ^

: n _- (V) = اسم التشغيل اسم المشغل(الخامس) ^

نظرية. القياس الجزئي "V" له امتداد أحادي إذا وفقط إذا كانت مؤشرات النقص متطابقة. علاوة على ذلك ، فإن "V" لها امتداد أحادي "فريد" إذا وفقط إذا كان كلا مؤشري النقص صفرًا.

نرى أن هناك انحرافًا بين الامتدادات المتماثلة لمشغل وامتدادات متساوية القياس لتحويل كايلي. ويقال إن العامل الذي له امتداد فريد ذاتي المعايرة هو في الأساس ربط ذاتي. مثل هؤلاء المشغلين لديهم حساب بوريل وظيفي محدد جيدًا. قد يكون للمشغلين المتماثلين الذين ليسوا في الأساس معاونين ذاتيًا امتدادًا متعارفًا ذاتيًا متعارفًا. هذا هو الحال بالنسبة لعوامل التشغيل المتماثلة "غير السلبية" (أو بشكل عام ، العوامل المحددة أدناه). هؤلاء المشغلين لديهم دائمًا امتداد فريدريش محدد بشكل قانوني ، وبالنسبة إلى هؤلاء المشغلين يمكننا تحديد حساب التفاضل والتكامل الوظيفي المتعارف عليه. يتم تقييد العديد من العوامل التي تحدث في التحليل أدناه (مثل سلبية عامل Laplacian) ، وبالتالي فإن مسألة الارتباط الأساسي لهؤلاء المشغلين أقل أهمية.

ملحقات إضافية قزم في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم ، تتوافق المراقبات مع عوامل مرتبطة ذاتيًا. وفقًا لنظرية ستون ، فإن عوامل الارتباط الذاتي هي على وجه التحديد المولدات المتناهية الصغر للمجموعات الوحدوية لمشغلي تطور الوقت. ومع ذلك ، فقد صيغت العديد من المشاكل الفيزيائية على أنها معادلة التطور الزمني التي تنطوي على عوامل تفاضلية يكون هاملتونيان متماثلًا فقط. في مثل هذه الحالات ، إما أن يكون هاميلتوني في الأساس مساعدًا ذاتيًا ، وفي هذه الحالة يكون للمشكلة المادية حلول فريدة أو يحاول أحدهم إيجاد امتدادات ذاتية من هاملتونيان تتوافق مع أنواع مختلفة من الشروط أو الظروف الحدودية عند اللانهاية.

صيغ فون نيومان

لنفترض أن "A" متماثل ، أي امتداد متماثل لـ "A" هو تقييد لـ "A" * في الواقع إذا كان "B" متماثل

: المجموعة الفرعية B تعني المجموعة الفرعية B B ^ * المجموعة الفرعية A ^ *

نظرية. لنفترض أن "A" عامل متماثل محدد بكثافة. يترك

: اسم المشغل(A ^ *) = خط<>(A)> oplus N_ + oplus N_-

حيث يكون التحلل متعامدًا بالنسبة إلى الناتج الداخلي للرسم البياني لـ dom ("A" *):

: langle xi | ايتا زاوية_ماذرم = langle xi | زاوية eta + متشابك A ^ * xi | أ ^ * زاوية إتا.

يشار إلى هذه باسم صيغ von Neumann في مرجع Akhiezer و Glazman.

نعتبر أولاً عامل التشغيل التفاضلي

يتم تعريفها على مساحة وظائف C ذات القيمة المعقدة على [0،1] التلاشي بالقرب من 0 و 1. "D" عامل متماثل كما يمكن توضيحه من خلال التكامل بالأجزاء. المساحات "N"+، "ن" يتم إعطاء الحلول التوزيعية للمعادلة على التوالي

التي هي في "L" 2 [0،1]. يمكن للمرء أن يوضح أن كل واحدة من مساحات الحل هذه هي ذات بعد واحد ، تم إنشاؤها بواسطة الدالتين "x" → "e" "ix" و "x" → "e" - "ix" على التوالي. هذا يدل على أن "D" ليس بالضرورة مساعدًا ذاتيًا ، ولكنه يحتوي على امتدادات ذاتية. يتم تحديد هذه الامتدادات ذاتية الضبط بواسطة مساحة التعيينات الوحدوية

والتي في هذه الحالة تكون دائرة الوحدة تي.

يوضح هذا المثال البسيط حقيقة عامة حول الامتدادات ذاتية الربط لمشغلي التفاضل المتماثل "P" على مجموعة مفتوحة "M". يتم تحديدها من خلال الخرائط الوحدوية بين مسافات eigenvalue

حيث "P"حي هو الامتداد التوزيعي لـ "P".

نعطي بعد ذلك مثال العوامل التفاضلية ذات المعامل الثابت s. يترك

: P (vec) = sum_alpha c_alpha x ^ alpha

كن متعدد الحدود في ص "n" مع معاملات "حقيقية" ، حيث تتراوح α على مجموعة (محدودة) من المؤشرات المتعددة. هكذا

: alpha = (alpha_1، alpha_2، ldots، alpha_n)،!

ثم تم تعريف العامل "P" (D) على مساحة الوظائف القابلة للتفاضل بلا حدود للدعم المضغوط ص "ن" بقلم

: P (اسم مشغل) phi = sum_alpha c_alpha D ^ alpha phi

هو أساسًا مساعد ذاتي على "L" 2 (ص "ن" ).

نظرية. دع "P" تعمل بوظيفة كثيرة الحدود ص "n" مع معاملات حقيقية ، F يعتبر تحويل فورييه خريطة وحدوية "L" 2 (ص "n") → "L" 2 (ص "ن" ). ثم F* "P" (D) F هو في الأساس ربط ذاتي وامتداده الذاتي الفريد هو عامل الضرب بالدالة "P".

بشكل عام ، ضع في اعتبارك مشغلي التفاضل الخطي الذين يعملون على وظائف ذات قيمة معقدة قابلة للتفاضل بشكل لا نهائي للدعم المضغوط. إذا كانت "M" مجموعة فرعية مفتوحة من ص "ن"

: P phi (x) = sum_alpha a_alpha (x) [D ^ alpha phi] (x) quad

اين ا"α (ليست بالضرورة ثابتة) وظائف قابلة للتفاضل بلا حدود. "P" عامل تشغيل خطي

: C_0 ^ infty (M) ightarrow C_0 ^ infty (M). رباعية

بالتوافق مع "P" هناك عامل تفاضلي آخر ، وهو رسمي من "P"

: ف ^ <>phi = sum_alpha D ^ alpha (overline فاي) رباعي

نظرية. العامل المساعد النظري "P" * لـ "P" هو تقييد للتمديد التوزيعي للمساعد الرسمي. خاصة:

Spectral multiplicity theory

The multiplication representation of a self-adjoint operator, though extremely useful, is not a canonical representation. This suggests that it is not easy to extract from this representation a criterion to determine when self-adjoint operators "A" and "B" are unitarily equivalent. The finest grained representation which we now discuss involves spectral multiplicity. This circle of results is called the "Hahn-Hellinger theory of spectral multiplicity".

We first define "uniform multiplicity":

تعريف. A self-adjoint operator "A" has uniform multiplicity "n" where "n" is such that 1 ≤ "n" ≤ ωif and only if "A" is unitarily equivalent to the operator M"f" of multiplication by the function "f"(λ) = λ on

أين ح"n" is a Hilbert space of dimension "n". The domain of M"f" consists of vector-valued functions ψ on ص مثل ذلك

: int_ <><>|lambda|^2 | psi(lambda)|^2 , d mu(lambda)

Non-negative countably additive measures μ, ν are mutually singular if and only if they are supported on disjoint Borel sets.

نظرية. Let "A" be a self-adjoint operator on a "separable" Hilbert space "H". Then there is an ω sequence of countably additive finite measures on ص (some of which may be identically 0)

such that the measures are pairwise singular and "A" is unitarily equivalent to the operator of multiplication by the function "f"(λ) = λ on

This representation is unique in the following sense: For any two such representations of the same "A", the corresponding measures are equivalent in the sense that they have the same sets of measure 0.

The spectral multiplicity theorem can be reformulated using the language of direct integral s of Hilbert spaces:

نظرية. Any self-adjoint operator on a separable Hilbert space is unitarily equivalent to multiplication by the function λ → λ on

: int_mathbb^oplus H_x d mu(x).

The measure equivalence class of μ (or equivalently its sets of measure 0) is uniquely determined and the measurable family<"H""x">"x" is determined almost everywhere with respect to μ.

Example: structure of the Laplacian

The Laplacian on ص "n" is the operator

As remarked above, the Laplacian is diagonalized by the Fourier transform. Actually it is more natural to consider the "negative" of the Laplacian - Δ since as an operator it is non-negative (see elliptic operator ).

نظرية. If "n"=1, the - Δ has uniform multiplicity mult=2, otherwise - Δ has uniform multiplicity mult=ω. Morover, the measure μmult is Borel measure on [ 0, ∞).

Pure point spectrum

A self-adjoint operator "A" on "H" has pure point spectrum if and only if "H" has an orthonormal basis <"e""i">"i" ∈ I consisting of eigenvectors for "A".

مثال. The Hamiltonian for the harmonic oscillator has a quadratic potential "V", that is

This Hamiltonian has pure point spectrum this is typical for bound state Hamiltonians in quantum mechanics. As was pointed out in a previous example, a sufficient condition that an unbounded symmetric operator has eigenvectors which form a Hilbert space basis is that it has a compact inverse.

* Compact operator on Hilbert space
* Theoretical and experimental justification for the Schrödinger equation

* N.I. Akhiezer and I. M. Glazman, "Theory of Linear Operators in Hilbert Space" (two volumes), Pitman, 1981.

* T. Kato, "Perturbation Theory for Linear Operators", Springer, New York, 1966.

* M. Reed and B. Simon, "Methods of Mathematical Physics" vol 2, Academic Press, 1972.

* G. Teschl, "Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrödinger Operators", http://www.mat.univie.ac.at/

* K. Yosida, "Functional Analysis", Academic Press, 1965.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Look at other dictionaries:

Self-adjoint — In mathematics, an element x of a star algebra is self adjoint if x^*=x.A collection C of elements of a star algebra is self adjoint if it is closed under the involution operation. For example, if x^*=y then since y^*=x^<**>=x in a star algebra,… … Wikipedia

Operator algebra — In functional analysis, an operator algebra is an algebra of continuous linear operators on a topological vector space with the multiplication given by the composition of mappings. Although it is usually classified as a branch of functional… … Wikipedia

نظرية المشغل — In mathematics, operator theory is the branch of functional analysis that focuses on bounded linear operators, but which includes closed operators and nonlinear operators. Operator theory also includes the study of algebras of operators. Contents … Wikipedia

Operator (physics) — In physics, an operator is a function acting on the space of physical states. As a result of its application on a physical state, another physical state is obtained, very often along with some extra relevant information. The simplest example of… … Wikipedia

Compact operator on Hilbert space — In functional analysis, compact operators on Hilbert spaces are a direct extension of matrices: in the Hilbert spaces, they are precisely the closure of finite rank operators in the uniform operator topology. As such, results from matrix theory… … Wikipedia

Hermitian adjoint — In mathematics, specifically in functional analysis, each linear operator on a Hilbert space has a corresponding adjoint operator. Adjoints of operators generalize conjugate transposes of square matrices to (possibly) infinite dimensional… … Wikipedia

Differential operator — In mathematics, a differential operator is an operator defined as a function of the differentiation operator. It is helpful, as a matter of notation first, to consider differentiation as an abstract operation, accepting a function and returning… … Wikipedia

Discrete Laplace operator — For the discrete equivalent of the Laplace transform, see Z transform. In mathematics, the discrete Laplace operator is an analog of the continuous Laplace operator, defined so that it has meaning on a graph or a discrete grid. For the case of a… … Wikipedia

Multiplication operator — In operator theory, a multiplication operator is a linear operator T defined on some vector space of functions and whose value at a function φ is given by multiplication by a fixed function f. That is, for all φ in the function space and all x in … Wikipedia

Affiliated operator — In mathematics, affiliated operators were introduced by Murray and von Neumann in the theory of von Neumann algebras as a technique for using unbounded operators to study modules generated by a single vector. Later Atiyah and Singer showed that… … Wikipedia


Let $mathcal$ be a second-order self-adjoint differential operator. Then $mathcalu(x)$ may be written as
يبدأضع الكلمة المناسبةmathcalu(x)=fracleft[p(x)frac ight]+q(x)u(x)end as we discussed here. Multiply eqref by $v^ast$ ($v^ast$ is the complex conjugate of $v$) and integrate
يبدأ
int_a^bv^astmathcaludx&=int_a^bv^astfracleft[p(x)frac ight]dx+int_a^bv^ast qudx
&=int_a^bv^ast dleft[p(x)frac ight]+int_a^bv^ast qudx
&=v^ast pfrac|_a^b-int_a^b ^prime pu’dx+int_a^bv^ast qudx
نهاية
We may impose
يبدأضع الكلمة المناسبةv^ast pfrac|_a^b=0end
as a boundary condition.
يبدأ
-int_a^b ^prime pu’dx&=-int_a^b ^prime pdu
&=-^prime pu|_a^b+int_a^b u(p^prime)’dx
نهاية
We may also impose
يبدأضع الكلمة المناسبة-^prime pu|_a^b=0end
as a boundary condition. ثم
يبدأ
int_a^bv^astmathcaludx&=int_a^b u(p^prime)’dx+int_a^bv^ast qudx
&=int_a^b umathcalv^ast dx
نهاية

تعريف. A self-adjoint operator $mathcal$ is called a Hermitian operator with respect to the functions $u(x)$ and $v(x)$ if

يبدأضع الكلمة المناسبةint_a^bv^astmathcaludx=int_a^b umathcalv^ast dxend

That is, a self-adjoint operator $mathcal$ which satisfies the boundary conditions eqref and eqref is a Hermitian operator.

Hermitian Operators in Quantum Mechanics

In quantum mechanics, the differential operators need to be neither second-order nor real. For example, the momentum operator is given by $hat p=-ihbarfrac$. Therefore we need an extended notion of Hermitian operators in quantum mechanics.

تعريف. The operator $mathcal$ is Hermitian لو
يبدأضع الكلمة المناسبةint psi_1^astmathcalpsi_2 d au=int(mathcalpsi_1)^astpsi_2 d auend
Note that eqref coincides with eqref if $mathcal$ is real. In terms of Dirac’s braket notation eqref يمكن كتابتها كـ
$langlepsi_1|mathcalpsi_2 angle=langlemathcalpsi_1|psi_2 angle$

ال adjoint operator $A^dagger$ of an operator $A$ is defined by
يبدأضع الكلمة المناسبةint psi_1^ast A^dagger psi_2 d au=int(Apsi_1)^astpsi_2 d auend Again in terms of Dirac’s braket notation eqref يمكن كتابتها كـ
$langlepsi_1|A^daggerpsi_2 angle=langle Apsi_1|psi_2 angle$
If $A=A^dagger$ then $A$ is said to be المعاينة الذاتية. Clearly, self-adjoint operators are Hermitian operators. However the converse need not be true. Although we will not delve into this any deeper here, the difference is that Hermitian operators are always assumed to be bounded while self-adjoint operators are not necessarily restricted to be bounded. That is, bounded self-adjoint operators are Hermitian operators. Physicists don’t usually distinguish self-adjoint operators and Hermitian operators, and often they mean self-adjoint operators by Hermitian operators. In quantum mechanics, observables such as position, momentum, energy, angular momentum are represented by (Hermitian) linear operators and the measurements of observables are given by the eigenvalues of linear operators. Physical observables are regarded to be bounded and continuous, because the measurements are made in a laboratory (so bounded) and points of discontinuity are mathematical points and nothing smaller than the Planck length can be observed. As well-known any bounded linear operator defined on a Hilbert space is continuous.

For those who are interested: This may cause a notational confusion, but in mathematics the complex conjugate $a^ast$ is replaced by $ar a$ and the adjoint $a^dagger$ is replaced by $a^ast$. Let $mathcal$ be a Hilbert space. By the Riesz Representation Theorem, it can be shown that for any bounded linear operator $a:mathcallongrightarrowmathcal’$, there exists uniquely a bounded linear operator $a^ast: mathcal’longrightarrowmathcal$ such that
$langle a^asteta|xi angle=langleeta|axi angle$ for all $xiinmathcal$, $etainmathcal’$. This $a^ast$ is defined to be the معاون of the bounded operator $a$. $<>^ast$ defines an involution on $mathcal(mathcal)$, the set of all bounded lineart operators of $mathcal$ and $mathcal(mathcal)$ with $<>^ast$ becomes a C$<>^ast$-algebra. In mathematical formulation of quantum mechanics, observables are represented by self-adjoint operators of the form $a^ast a$, where $ainmathcal(mathcal)$. Note that $a^ast a$ is positive i.e. its eigenvalues are non-negative.

تعريف. ال expectation value of an operator $mathcal$ is
$langlemathcal angle=int psi^astmathcalpsi d au$
$langlemathcal angle$ corresponds to the result of a measurement of the physical quantity represented by $mathcal$ when the physical system is in a state described by $psi$. The expectation value of an operator should be real and this is guaranteed if the operator is Hermitian. To see this suppose that $mathcal$ is Hermitian. ثم
يبدأ
langlemathcal angle^ast&=left[int psi^astmathcalpsi d au ight]^ast
&=intpsimathcal^astpsi^ast d au
&=int(mathcalpsi)^astpsi d au
&=intpsi^astmathcalpsi d au (mbox$ is Hermitian>)
&=langlemathcal angle
نهاية
That is, $langlemathcal angle$ is real.

There are three important properties of Hermitian (self-adjoint) operators:


11.1: Self-adjoint or hermitian operators

Consider a linear vector space of functions over the complex numbers. Any linear combination of functions &Sigmaa i f i (x) with complex coefficients a i is also a member of the space. The functions are to be integrable, with &intf*(x)f(x)dx < &infin, where the limits on x are ±&infin. We may extend this to more than one argument x in the obvious way, but we keep to one argument for simplicity. An inner product of any two functions (a,b) = &intf* a f b dx is defined. This space is, therefore, a Hilbert space, with many similarities with an ordinary Euclidean vector space. The norm of a function is ||f(x)|| = (f,f) (or its square root). We can multiply any function by a constant to make its norm unity.

The space may be spanned by a properly chosen infinite set of basis functions that satisfy (u i ,u j *) = &delta ij and the completeness relation &delta(x - x') = &Sigmau i (x)u i (x'). This allows us to expand any function as f(x) = &intf(x')&delta(x - x')dx' = &Sigmau i (x)&intu i *(x')f(x')dx'= &Sigmaa i u i (x), where the amplitudes a i = (u i ,f) are analogous to a vector.

Let A be an operator that converts any function f(x) into another function g(x) that is also in the space, g(x) = Af(x). Since we can express f(x) as a linear combination of the basis functions u i (x), we can predict the result of operating with A if we know the effect of A on the basis functions. This can be expressed by expanding Au i in terms of the u i , obtaining the amplitudes (u i ,Au j , which form a matrix usually written (i|A|j) = &intu i *(x)Au j (x)dx.

Note that the operator A operates on the function to the right. To find an expression giving the same value in which A operates on the function to the left, we define the adjoint operator A &dagger by (i|A|j) = &int[A &dagger u i (x)]u j dx. Taking the complex conjugate, we have (i|A|j)* = &intu j A &dagger u i (x)dx =(j|A &dagger |i). This shows that the matrix of A &dagger is the transposed complex conjugate of the matrix of A. It follows from this that if A is nonsingular so A -1 exists, so does A &dagger-1 .

Since (Ai,j) = (i,A &dagger j) = (A &dagger&dagger i,j), we have A &dagger&dagger = A. Also, (i,ABj) = (A &dagger i,Bj) = (B &dagger A &dagger i,j), or (AB) &dagger = B &dagger A &dagger . Applying this to AA -1 = 1, we find that 1 = (AA -1 ) &dagger = A -1 &dagger A &dagger , or A -1&dagger = A &dagger-1 . Furthermore, (i,&lambdaA) = (&lambda*A &dagger i,j) from the definition. Finally, (i,[A + B]j) = ([A &dagger + B &dagger ]i,j), or (A + B) &dagger = &dagger + B &dagger . These are the most important algebraic properties of the adjoint operator.

If A &dagger = A, then (i|A|j)* = (j|A|i), so the matrix of A is Hermitian, and A is called a Hermitian operator. The diagonal matrix elements are clearly real, (i|A|i)* = (i|A|i), and the eigernvalues of the matrix are also real. This is the reason Hermitian matrices are so useful in quantum mechanics, where they correspond to real dynamical variables.

For example, consider the operator i(d/dx). Its matrix elements are &intu*i(dv/dx)dx, where we write u,v for u i and u j . Since d(u*v)/dx = u*(dv/dx) + v(du*/dx), the integral us equal to &int[d(u*v)/dx-iv(du*/dx)]dx = &int-iv(du*/dx)dx, as the integrated part vanishes at x = ±&infin. This may be written &int(idu/dx)*v dx, so the adjoint operator is also i(d/dx) and the operator is Hermitian. When multiplied by -h/2&pi, this is the operator for the linear momentum corresponding to the coordiante x. The presence of the i in the operator compensates for the change of sign on the integration by parts that throws the differentiation onto the first function. On the other hand, the coordinate operator x is clearly Hermitian since it moves from one function to the other without change. The second derivative operator d 2 /dx 2 is Hermitian, since two integrations by parts do not change the sign. Therefore, the Laplacian, del 2 , is also Hermitian. It follows that the single-particle Hamiltonian H = (h/2&pi) 2 (del 2 /2m) + V( r ) is Hermitian.

It is easy to show that the components of the angular momentum operator L = r x p are Hermitian. For example, L z = xp y - yp x so L z &dagger = p y &dagger x &dagger - p x &dagger y &dagger = xp y - yp x = L z , since the coordinates and momentum components commute, and are themselves Hermitian.

If an operator A is not Hermitian, the combination (A + A &dagger )/2 will be Hermitian. The adjoint of an operator is analogous to the complex conjugate of a number, and an operator can be resolved into Hermitan and anti-Hermitian parts analogous to real and imaginary parts of a complex number. An operator and its adjoint are evidently quite similar to each other and much like a complex conjugate.

An interesting example is provided by the Runge-Lenz vector, a constant of the motion in orbital motion under an exact inverse-square force. This vector is classically defined as M = ( p x L )/m - k r /r, where the attractive potential is k/r. The second term is clearly Hermitian. The z-component of the first term is M z = (p x L y - p y L x )/m. Taking the adjoint and using the Hermitian nature of p and x, we find M z &dagger = (L y p x - L x p y )/m, or M &dagger = -( L x p )/m. Classically, this would show the operator was Hermitian, but quantum mechanically p and L do not commute because of the presence of x in L. A Hermitian M can be constructed as in the preceding paragraph of which the first term is ( p x L - L x p )/2m, and this operator remains a constant of the motion.

Even though r and p do not commute in general, it happens that r x p = - p x r , as can be seen by writing out the components. Taking the adjoint interchanges the bottom two rows of the cross product determinant, so this property makes L Hermitian.

References

L. I. Schiff, Quantum Mechanics , 3rd ed. (New York: McGraw-Hill, 1968), Chapter 6. The Runge-Lenz vector appears on p. 236.

There are Wikipedia articles on Adjoint operators and Hilbert space, and other similar topics that are worth looking at.

Composed by J. B. Calvert
Created 15 February 2011
Last revised 21 February 2011


جدول المحتويات

Chapter 1 Vector Analysis
1.1 Definitions, Elementary Approach
1.2 Advanced Definitions
1.3 Scalar or Dot Product
1.4 Vector or Cross Product
1.5 Triple Scalar Product, Triple Vector Product
1.6 Gradient
1.7 Divergence
1.8 Curl
1.9 Successive Applications of V
1.10 Vector Integration
1.11 Gauss's Theorem
1.12 Stokes's Theorem
1.13 Potential Theory
1.14 Gauss's Law, Poisson's Equation
1.15 Helmholtz's Theorem
Chapter 2 Coordinate Systems
2.1 Curvilinear Coordinates
2.2 Differential Vector Operations
2.3 Special Coordinate Systems—Rectangular Cartesian Coordinates
2.4 Circular Cylindrical Coordinates (p,φ,z)
2.5 Spherical Polar Coordinates (r,0,φ)
2.6 Separation of Variables
Chapter 3 Tensor Analysis
3.1 Introduction, Definitions
3.2 Contraction, Direct Product
3.3 Quotient Rule
3.4 Pseudotensors, Dual Tensors
3.5 Dyadics
3.6 Theory of Elasticity
3.7 Lorentz Co variance of Maxwell's Equations
3.8 Noncartesian Tensors, Co variant Differentiation
3.9 Tensor Differential Operations
Chapter 4 Determinants, Matrices, and Group Theory
4.1 Determinants
4.2 Matrices
4.3 Orthogonal Matrices
4.4 Oblique Coordinates
4.5 Hermitian Matrices, Unitary Matrices
4.6 Diagonalization of Matrices
4.7 Eigenvectors, Eigenvalues
4.8 Introduction to Group Theory
4.9 Discrete Groups
4.10 Continuous Groups
4.11 Generators
4.12 SU(2), SU(3), and Nuclear Particles
4.13 Homogeneous Lorentz Group
Chapter 5 Infinite Series
5.1 Fundamental Concepts
5.2 Convergence Tests
5.3 Alternating Series
5.4 Algebra of Series
5.5 Series of Functions
5.6 Taylor's Expansion
5.7 Power Series
5.8 Elliptic Integrals
5.9 Bernoulli Numbers, Euler-Maclaurin Formula
5.10 Asymptotic or Semiconvergent Series
5.11 Infinite Products
Chapter 6 Functions of a Complex Variable I
6.1 Complex Algebra
6.2 Cauchy-Riemann Conditions
6.3 Cauchy's Integral Theorem
6.4 Cauchy's Integral Formula
6.5 Laurent Expansion
6.6 Mapping
6.7 Conformal Mapping
Chapter 7 Functions of a Complex Variable II: Calculus of Residues 396
7.1 Singularities
7.2 Calculus of Residues
7.3 Dispersion Relations
7.4 The Method of Steepest Descents
Chapter 8 Differential Equations
8.1 Partial Differential Equations of Theoretical Physics
8.2 First-Order Differential Equations
8.3 Separation of Variables—Ordinary Differential Equations
8.4 Singular Points
8.5 Series Solutions—Frobenius Method
8.6 A Second Solution
8.7 Nonhomogeneous Equation—Green's Function
8.8 Numerical Solutions
Chapter 9 Sturm-Liouville Theory - Orthogonal Functions
9.1 Self-Adjoint Differential Equations
9.2 Hermitian (Self-Adjoint) Operators
9.3 Gram-Schmidt Orthogonalization
9.4 Completeness of Eigenfunctions
Chapter 10 The Gamma Function (Factorial Function)
10.1 Definitions, Simple Properties
10.2 Digamma and Polygamma Functions
10.3 Stirling's Series
10.4 The Beta Function
10.5 The Incomplete Gamma Functions and Related Functions
Chapter 11 Bessel Functions
11.1 Bessel Functions of the First Kind, Jv(x)
11.2 Orthogonality
11.3 Neumann Functions, Bessel Functions of the Second Kind, Nv(x)
11.4 Hankel Functions
11.5 Modified Bessel Functions, Iv(x) and Kv(x)
11.6 Asymptotic Expansions
11.7 Spherical Bessel Functions
Chapter 12 Legendre Functions
12.1 Generating Function
12.2 Recurrence Relations and Special Properties
12.3 Orthogonality
12.4 Alternate Definitions of Legendre Polynomials
12.5 Associated Legendre Functions
12.6 Spherical Harmonics
12.7 Angular Momentum Ladder Operators
12.8 The Addition Theorem for Spherical Harmonics
12.9 Integrals of the Product of Three Spherical Harmonics
12.10 Legendre Functions of the Second Kind, Qn(x)
12.11 Vector Spherical Harmonics
Chapter 13 Special Functions
13.1 Hermite Functions
13.2 Laguerre Functions
13.3 Chebyshev (Tschebyscheff) Polynomials
13.4 Chebyshev Polynomials—Numerical Applications
13.5 Hypergeometric Functions
13.6 Confluent Hypergeometric Functions
Chapter 14 Fourier Series
14.1 General Properties
14.2 Advantages, Uses of Fourier Series
14.3 Applications of Fourier Series
14.4 Properties of Fourier Series
14.5 Gibbs Phenomenon
14.6 Discrete Orthogonality—Discrete Fourier Transform
Chapter 15 Integral Transforms
15.1 Integral Transforms
15.2 Development of the Fourier Integral
15.3 Fourier Transforms—Inversion Theorem
15.4 Fourier Transform of Derivatives
15.5 Convolution Theorem
15.6 Momentum Representation
15.7 Transfer Functions
15.8 Elementary Laplace Transforms
15.9 Laplace Transform of Derivatives
15.10 Other Properties
15.11 Convolution or Faltung Theorem
15.12 Inverse Laplace Transformation
Chapter 16 Integral Equations
16.1 Introduction
16.2 Integral Transforms, Generating Functions
16.3 Neumann Series, Separable (Degenerate) Kernels
16.4 Hilbert-Schmidt Theory
16.5 Green's Functions—One Dimension
16.6 Green's Functions—Two and Three Dimensions
Chapter 17 Calculus of Variations
17.1 One-Dependent and One-Independent Variable
17.2 Applications of the Euler Equation
17.3 Generalizations, Several Dependent Variables
17.4 Several Independent Variables
17.5 More Than One Dependent, More than One Independent Variable
17.6 Lagrangian Multipliers
17.7 Variation Subject to Constraints
17.8 Rayleigh-Ritz Variational Technique
Appendix 1 Real Zeros of a Function
Appendix 2 Gaussian Quadrature
General References
Index


مثال

The total orbital angular momentum operator squared commutes with its ض-component

It can be shown that spherical harmonics are eigenvectors of both commuting operators simultaneously

هنا is a normalization constant (for spherical harmonics usually equal unity) and the δ's are Kronecker deltas (zero if the subscripts are different, one otherwise).