مقالات

15: قطري المصفوفات المتماثلة


المصفوفات المتماثلة لها تطبيقات عديدة. على سبيل المثال ، إذا أخذنا في الاعتبار أقصر مسافة بين أزواج من المدن المهمة ، فقد نحصل على جدول مثل هذا:

[ start {array} {c | ccc} & Davis & Seattle & San ؛ Francisco hline Davis & 0 & 2000 & 80 سياتل & 2000 & 0 & 2010 San ؛ Francisco & 80 & 2010 & 0 end {array} ]

تم ترميزها كمصفوفة ، نحصل على:

[M = begin {pmatrix} 0 & 2000 & 80 2000 & 0 & 2010 80 & 2010 & 0 end {pmatrix} = M ^ {T}. ]

التعريف: مصفوفة متماثلة

تكون المصفوفة متماثلة إذا كانت تتبع [M = M ^ {T}. ]

إحدى الخصائص الرائعة للمصفوفات المتماثلة هي أنها تمتلك دائمًا حقيقة القيم الذاتية. يرشدك تمرين المراجعة 1 خلال الإثبات العام ، ولكن إليك مثالاً لمصفوفات (2 مرات 2 ):

المثال 128

للحصول على مصفوفة متماثلة عامة (2 مرات 2 ) ، لدينا:

start {eqnarray *} P _ { lambda} start {pmatrix} a & b b & d end {pmatrix} & = & det begin {pmatrix} lambda-a & -b - b & lambda -d end {pmatrix} & = & ( lambda-a) ( lambda-d) -b ^ {2} & = & lambda ^ {2} - (a + d) lambda- ب ^ {2} + ad Rightarrow lambda & = & frac {a + d} {2} pm sqrt {b ^ {2} + left ( frac {ad} {2} right ) ^ {2}}. end {eqnarray *}

لاحظ أن المميز (4b ^ {2} + (a-d) ^ {2} ) دائمًا موجب ، لذا يجب أن تكون قيم eigenvalues ​​حقيقية.

الآن ، افترض أن المصفوفة المتماثلة (M ) لها قيمتان متماثلتان متميزتان ( lambda neq mu ) والمتجهات الذاتية (x ) و (y ):

[Mx = lambda x، qquad My = mu y. ]

ضع في اعتبارك حاصل الضرب النقطي (x cdot y = x ^ {T} y = y ^ {T} x ) واحسب:

start {eqnarray *} x ^ {T} M y & = & x ^ {T} mu y = mu x cdot y، textit {and} x ^ {T} M y & = & ( y ^ {T} Mx) ^ {T} textit {(بتحويل a (1 times 1 ) matrix)} & = & x ^ {T} M ^ {T} y & = & x ^ {T} My & = & x ^ {T} lambda y & = & lambda x cdot y. end {eqnarray *}

يخبرنا طرح هاتين النتيجتين أن:

start {eqnarray *} 0 & = & x ^ {T} My-x ^ {T} My = ( mu- lambda) ، x cdot y. end {eqnarray *}

نظرًا لأنه من المفترض أن تكون ( mu ) و ( lambda ) قيمًا ذاتية مميزة ، فإن ( lambda- mu ) ليست صفرية ، وبالتالي (x cdot y = 0 ). لقد أثبتت نظرية التالية.

نظرية

المتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة ذات قيم ذاتية متميزة متعامدة.

مثال 129

المصفوفة (M = begin {pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end {pmatrix} ) لها قيم ذاتية محددة بواسطة

[ det (M- lambda I) = (2- lambda) ^ {2} -1 = 0. ]

لذا فإن القيم الذاتية لـ (M ) هي (3 ) و (1 ) ، وتتحول المتجهات الذاتية المرتبطة إلى ( begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix} ) و ( start {pmatrix} 1 - 1 end {pmatrix} ). من السهل ملاحظة أن هذه المتجهات الذاتية متعامدة:

[ start {pmatrix} 1 1 end {pmatrix} cdot begin {pmatrix} 1 - 1 end {pmatrix} = 0 ]

في الفصل 14 رأينا أن المصفوفة (P ) مبنية من أي أساس متعامد ((v_ {1}، ldots، v_ {n}) ) لـ ( mathbb {R} ^ {n} ) كأعمدتها ،

[P = begin {pmatrix} v_ {1} & cdots & v_ {n} end {pmatrix} ،، ]

كانت مصفوفة متعامدة:

[P ^ {- 1} = P ^ {T}، textit {or} PP ^ {T} = I = P ^ {T} P. ]

علاوة على ذلك ، نظرًا لأي متجه (وحدة) (x_ {1} ) ، يمكن دائمًا العثور على المتجهات (x_ {2} ، ldots ، x_ {n} ) مثل ((x_ {1} ، ldots ، x_ {n}) ) أساس متعامد. (يمكن الحصول على مثل هذا الأساس باستخدام إجراء جرام شميدت.)

افترض الآن أن (M ) متماثل (n مرات n ) مصفوفة و ( lambda_ {1} ) هي قيمة ذاتية مع موجه eigenvector (x_ {1} ) (هذا هو الحال دائمًا لأن كل تحتوي المصفوفة على قيمة ذاتية واحدة على الأقل - انظر مشكلة المراجعة 3). دع المصفوفة المربعة لمتجهات العمود (P ) تكون كما يلي:

[P = begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & cdots & x_ {n} end {pmatrix}، ]

حيث (x_ {1} ) إلى (x_ {n} ) متعامدة ، و (x_ {1} ) هو متجه ذاتي لـ (M ) ، لكن الآخرين ليسوا بالضرورة متجهات ذاتية لـ ( م). ثم

[MP = begin {pmatrix} lambda_ {1} x_ {1} & Mx_ {2} & cdots & Mx_ {n} end {pmatrix}. ]

لكن (P ) مصفوفة متعامدة ، لذلك (P ^ {- 1} = P ^ {T} ). ثم:

start {eqnarray *} P ^ {- 1} = P ^ {T} & = & begin {pmatrix} x_ {1} ^ {T} vdots x_ {n} ^ {T} end {pmatrix} Rightarrow P ^ {T} MP & = & begin {pmatrix} x_ {1} ^ {T} lambda_ {1} x_ {1} & * & cdots & * x_ {2 } ^ {T} lambda_ {1} x_ {1} & * & cdots & * vdots & & & vdots x_ {n} ^ {T} lambda_ {1} x_ {1} & * & cdots & * end {pmatrix} & = & begin {pmatrix} lambda_ {1} & * & cdots & * 0 & * & cdots & * vdots & * & & vdots 0 & * & cdots & * end {pmatrix} & = & begin {pmatrix} lambda_ {1} & 0 & cdots & 0 0 & & & vdots & & hat {M} & 0 & & & end {pmatrix} ،. end {eqnarray *}

يتبع المساواة الأخيرة لأن (P ^ {T} MP ) متماثل. العلامات النجمية في المصفوفة هي مكان حدوث "الأشياء" ؛ يتم الإشارة إلى هذه المعلومات الإضافية بواسطة ( hat {M} ) في التعبير النهائي. لا نعرف شيئًا عن ( hat {M} ) إلا أنها مصفوفة ((n-1) times (n-1) ) وأنها متماثلة. ولكن بعد ذلك ، من خلال إيجاد (وحدة) eigenvector لـ ( hat {M} ) ، يمكننا تكرار هذا الإجراء على التوالي. ستكون النتيجة النهائية عبارة عن مصفوفة قطرية بقيم ذاتية لـ (M ) على القطر. مرة أخرى ، لقد أثبتنا وجود نظرية:

نظرية

كل مصفوفة متماثلة تشبه مصفوفة قطرية لقيمها الذاتية. بعبارات أخرى،

[M = M ^ {T} Leftrightarrow M = PDP ^ {T} ]

حيث (P ) هي مصفوفة متعامدة و (D ) هي مصفوفة قطرية تكون مدخلاتها هي القيم الذاتية لـ (M ).

لإعطاء شكل قطري لمصفوفة متماثلة حقيقية ، ابدأ ببناء مصفوفة متعامدة من أساس متعامد للمتجهات الذاتية:

المثال 130

المصفوفة المتماثلة

[M = begin {pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end {pmatrix} ،، ]

لها قيم eigenvalues ​​ (3 ) و (1 ) مع متجهات eigenvectors ( begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix} ) و ( begin {pmatrix} 1 - 1 end {pmatrix }) على التوالى. بعد تطبيع هذه المتجهات الذاتية ، نقوم ببناء المصفوفة المتعامدة:

[P = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} frac {1} { sqrt {2}} & فارك {-1} { sqrt {2}} end {pmatrix} ،. ]

لاحظ أن (P ^ {T} P = I ). ثم:

[MP = begin {pmatrix} frac {3} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} frac {3} { sqrt {2}} & frac {-1} { sqrt {2}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} frac {1} { sqrt {2}} & frac {1} { sqrt {2}} frac {1} { sqrt {2}} & frac {-1} { sqrt {2}} end {pmatrix} begin {pmatrix} 3 & 0 0 & 1 end {pmatrix}. ]

باختصار ، (MP = DP ) ، لذا (D = P ^ {T} MP ). ثم (D ) هو الشكل المائل لـ (M ) و (P ) مصفوفة تغيير الأساس المرتبطة من الأساس القياسي إلى أساس المتجهات الذاتية.


قطري مصفوفة متماثلة معقدة

$ AMA ^ T = D $ ، حيث D عبارة عن مصفوفة قطرية بإدخالات موجبة حقيقية.

السؤال الأول: متى يمكن القيام بذلك؟

السؤال 2: هل $ A $ وحدوي ، أي هل $ A ^ dagger A = 1 $؟

السؤال 3: كيف يمكنني إنشاء $ A $؟

الدافع وراء السؤال هو كتل ماجورانا من الفرميونات ، وهي مصفوفات متماثلة معقدة ، وتحتاج إلى قطريًا كما هو مذكور أعلاه للحصول على الكتل المادية. من الواضح أن الكتل يجب أن تكون موجبة ويجب أن يحافظ دوران الأساس بمقدار $ A $ على الاحتمالات ، ويجب أن يكون وحدويًا.


3x3 مصفوفة قطري

كود C ++ بسيط يبحث عن رباعي يقطر مصفوفة 3x3:

إن تحديد قطري 3x3 متماثل له العديد من التطبيقات المفيدة مثل مائل موترات القصور الذاتي ، وتركيب OBBs ، وإيجاد المحاور الرئيسية ، وما إلى ذلك. الإدخالات القطرية للمصفوفة المائلة هي القيم الذاتية ويمثل الرباعي المتجهات الذاتية في أن صفوف المصفوفة المقابلة هي المتجهات الذاتية . لاحظ أن هذا سيكون بمثابة أعمدة المصفوفة بالنسبة لك الأشخاص الرئيسيين هناك. ملاحظة: قد يستخدم الكود الفعلي على موقع github الخاص بي بعض الاصطلاحات المختلفة (نمط التسمية والآن في العمود الرئيسي).

يتم الاحتفاظ بهذا الرمز بسيطًا بحيث يكون من السهل الحصول عليه ودمجه في مكتبة الرياضيات ثلاثية الأبعاد الخاصة بك أو تطبيق الألعاب. أعد تسمية أنواع المتجهات والمصفوفة و quat كما تراه مناسبًا. كن على دراية بأي تخزين مصفوفة (الصف مقابل العمود) ومضاعفة اصطلاحات الطلبات التي قد تستخدمها. يفترض الكود اصطلاحات لغة C الرئيسية و D3D لترتيب عنصر المصفوفة (على سبيل المثال v_world = v_local * M). ربما لاحظت أن التعليقات تكتب D = Q * M * Q ^ T ، في حين أن كتاب الجبر الخطي المرتكز على العمود من المحتمل أن يكتب D = Q ^ T * M * Q بدلاً من ذلك. الارتباط الرباعي مع المصفوفات والضرب هو نفس الترتيب الذي يستخدمه الجميع حرفيًا. على حد علمي ، يتضمن هذا تنفيذ D3DX الرباعي على الرغم من أن ترتيب مصفوفة D3D المقابل له والذي يعني: (Qa * Qb) .AsMatrix () == Qb.AsMatrix () * Qa.AsMatrix (). على أي حال ، يمكن بسهولة تعديل الوظيفة لتتوافق مع تفضيلاتك إذا كانت مختلفة.

عندما تستدعي روتين المصفوفة M وتحصل على رباعي q المصفوفة المقابلة لها هي Q ثم تحسب D = Q * M * Q ^ T ، ستلاحظ على الأرجح أن عناصر D غير المائلة ليست صفرًا تمامًا. العناصر الداخلية للخوارزمية كلها تعويم 32 بت. قد يؤدي تغيير هذا إلى الضعف إلى تحسين النتيجة. حتى مع ذلك ، سيتم تمثيل الرباعي الناتج بدقة متناهية (32 بت xyzw). بالنسبة للحلقة الرئيسية للوظائف ، قمت فقط بترميز حد التكرار البالغ 24. لا يوجد سبب وجيه لهذا الرقم. عصفت بالعشرات من المراتب المتماثلة العشوائية في الوظيفة ، لم أر أنها تستخدم أكثر من 7 قبل تلبية أحد شروط الخروج. لاحظ أنه تمت تهيئة الإدخالات العشوائية باستخدام (float) rand () / (float) rand (). من بين ما رأيته ، كانت العناصر غير المائلة دائمًا أصغر بكثير من أكبر عنصر قطري وأصغر من أصغر قطري. قد يكون من المفيد إجراء مزيد من اختبارات التغطية في الحالات الأكثر خطورة.


محتويات

يتم التعبير عن الحقيقة الأساسية حول الخرائط والمصفوفات القابلة للقياس من خلال ما يلي:

  • يكون n × n < displaystyle n times n> المصفوفة A < displaystyle A> على حقل F < displaystyle F> قابلاً للقطر إذا وفقط إذا كان مجموع أبعاد مسافات eigenspace الخاصة به يساوي n < displaystyle n > ، وهذا هو الحال إذا وفقط إذا كان هناك أساس لـ F n < displaystyle F ^> تتكون من المتجهات الذاتية لـ A < displaystyle A>. إذا تم العثور على مثل هذا الأساس ، فيمكن للمرء أن يشكل المصفوفة P < displaystyle P> بها متجهات الأساس هذه كأعمدة ، و P - 1 AP < displaystyle P ^ <-1> AP> ستكون مصفوفة قطرية ذات مدخلات قطرية هي القيم الذاتية لـ A < displaystyle A>. تُعرف المصفوفة P < displaystyle P> بأنها مصفوفة مشروطة لـ A < displaystyle A>.
  • الخريطة الخطية T: V → V < displaystyle T: V to V> قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان مجموع أبعاد مسافات eigens مساويًا للعتمة ⁡ (V) ، هذا هو الحال إذا وفقط إذا كان هناك أساس V يتكون من المتجهات الذاتية لـ T . فيما يتعلق بهذا الأساس ، سيتم تمثيل T < displaystyle T> بمصفوفة قطرية. المدخلات القطرية لهذه المصفوفة هي القيم الذاتية لـ T < displaystyle T>.

توصيف آخر: المصفوفة أو الخريطة الخطية قابلة للقياس قطريًا فوق الحقل F < displaystyle F> إذا وفقط إذا كان الحد الأدنى من كثير الحدود هو نتاج عوامل خطية مميزة على F < displaystyle F>. (بعبارة أخرى ، المصفوفة قابلة للقياس قطريًا فقط إذا كانت جميع مقسوماتها الأولية خطية.)

غالبًا ما يكون الشرط التالي الكافي (ولكن ليس ضروريًا) مفيدًا.

على الأعداد المركبة C > ، كل مصفوفة تقريبًا قابلة للقطر. بتعبير أدق: مجموعة المصفوفات المعقدة n × n < displaystyle n times n> ليس قطريًا على C > ، تعتبر مجموعة فرعية من C n × n ^> ، وقد Lebesgue يقيس الصفر. يمكن للمرء أيضًا أن يقول أن المصفوفات القابلة للقطر تشكل مجموعة فرعية كثيفة فيما يتعلق بطوبولوجيا زاريسكي: المصفوفات غير القابلة للقطر تقع داخل مجموعة التلاشي لمميز متعدد الحدود المميز ، وهو سطح مفرط. من ذلك يتبع أيضًا الكثافة في المعتاد (قوي) طوبولوجيا معطاة حسب القاعدة. نفس الشيء ليس صحيحًا على R > .


إجراء قطري المصفوفة

من الممكن رياضيًا العثور على نظام إحداثياتx′, ذ′, ض′> حيث يكون لموتّر النفاذية شكل قطري . نقوم بتقطير المصفوفة من خلال إيجاد وتطبيق مصفوفة تحويل التشابه . الإجراء الخاص بإيجاد مصفوفة الذي يقطر ن × ن مصفوفة كالتالي: & # 914 & # 93

  • أوجد قيم eigenvalues ​​<λأنا: أنا = 1, . ن> من من معادلة eigenvalue det = 0.
  • يجد ن المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا .
  • تشكيل مصفوفة تحويل التشابه مع المتجهات الذاتية كأعمدة.
  • احسب المصفوفة المائلة ´. المداخل القطرية لـ ´ هي القيم الذاتية المقابلة للمتجهات الذاتية .

محاور الإحداثياتx′, ذ′, ض′> هي المحاور الرئيسية للموتر المائل ، ويتم الحصول على الشكل القطري لموتّر النفاذية عن طريق تحويل المحور الرئيسي. معادلات التدفق على طول المحاور الرئيسية هي

يعتمد شكل موتر النفاذية على خصائص الوسط المسامي. إذا كان الوسيط متباين الخواص ، فإن عنصرين على الأقل من موتر النفاذية المائل غير متساويين. إذا كانت النفاذية لا تعتمد على الاتجاه ، فإن النفاذية تكون متناحرة ، وعناصر موتر النفاذية القطرية متساوية ، أي ،

إذا كان حجم عناصر موتر النفاذية يختلف من نقطة في الوسط إلى أخرى ، فإن موتر النفاذية يكون غير متجانس ، وإلا فإن النفاذية تكون متجانسة. قد تختلف المحاور الرئيسية لموتّر النفاذية أيضًا من نقطة إلى نقطة في الوسط إذا كانت النفاذية غير متجانسة.


هل يمكن دائمًا تحديد مجموعة من المصفوفات الحقيقية المتماثلة التي تعتمد بسلاسة على معلمة حقيقية من خلال تحويلات تشابه سلسة؟

هذا السؤال متعلق بسؤال آخر ، لكنه بالتأكيد ليس هو نفسه.

هل من الممكن دائمًا قطري (محليًا على الأقل حول كل نقطة) عائلة من المصفوفات الحقيقية المتماثلة $ A (t) $ والتي تعتمد بسلاسة على المعامل الحقيقي $ t $؟ من المفترض أن تتم عملية القطر من خلال تحويلات تشابه مع عائلة من المصفوفات القابلة للانعكاس $ S (t) $ اعتمادًا على $ t $.

الصيغة المكافئة هي ما إذا كان ، بإعطاء حزمة متجه سلسة $ E to mathbb R $ على مشعب قابل للتفاضل أحادي البعد $ mathbb R $ ، وصيغة خطية متماثلة سلسة $ b في E ^ * otimes_M E ^ * $ في حزمة المتجه ، يمكننا دائمًا العثور على إطار محلي لأقسام سلسة بقيمة $ E $ يكون فيها الشكل الخطي المتماثل $ b $ قطريًا.

بعض النتائج حول مثل هذه الأقطار معروفة ، على سبيل المثال من هذه المقالة. هناك ثبت أنه يمكننا بسلاسة اختيار القيم الذاتية لعائلة من المصفوفات hermitian اعتمادًا بسلاسة على معلمة حقيقية ، نظرًا لعدم وجود نقاط حيث تلتقي جذور كثير الحدود المميز بترتيب لانهائي. على وجه الخصوص ، هذا يعمل مع الحالة التحليلية. ولكن نظرًا لأن المتجهات الذاتية يتم حسابها فيما يتعلق بالأساس الطبيعي ، فمن المفترض ضمنيًا أنها متعامدة فيما يتعلق بهذا الأساس.

إن حاجتي هي إيجاد قطرية سلسة من خلال تحويلات التشابه ، والتي لا تكون بالضرورة متعامدة فيما يتعلق بالأساس الطبيعي ، ولكنها قابلة للعكس فقط. لذلك ، يكون القيد أضعف من وجود متجهات ذاتية سلسة.

هل من الممكن دائمًا العثور على مثل هذا القطر؟ إذا لم يكن كذلك ، فما هي الشروط التي يمكن القيام بها؟ هل يمكنك تقديم بعض المراجع؟

تحديث مع الاستنتاجات:

يجيب المثال المضاد من النوع الذي قدمه مايكل ريناردي ودينيس سيري (الذي يشرح ذلك أيضًا) على سؤالي (بشكل سلبي). في البداية ، كنت أظن أن مثل هذه الأمثلة صالحة فقط لمشكلة المتجهات الذاتية ، كونها من النوع الموجود في المقالة التي أشرت إليها في سؤالي ، وكنت آمل أن السماح للتحولات بأن تكون أكثر عمومية من تلك المتعامدة قد يتجنب هذه المشكلة.

لكنني أدرك الآن أن المشكلتين متكافئتان في الواقع. أعتقد أن جوهر المثال المضاد هو أن يكون الأساس مكونًا من متجهين دائريين يكون للصيغة التربيعية المقابلة لـ $ b (t) $ إشارات معاكسة. في هذه الحالة ، إذا تمكنا بطريقة عبثية من قطري المصفوفات ، حتى لو لم تكن $ S (t) $ متعامدة ، ففي الأساس الجديد يشبه حل مشكلة القيمة الذاتية ، وهذا الاحتمال يتناقض مع الأمثلة المضادة. بالنسبة للحالة المؤكدة الإيجابية ، أشار يوهانس إيبرت إلى أن القطر ممكن.


القسم 5.2 قطري متعامد

الدليل: إذا كانت [اللاتكس] U [/ اللاتكس] عبارة عن [لاتكس] n مرات n [/ لاتكس] مصفوفة ذات أعمدة متعامدة ، فإن [اللاتكس] U [/ اللاتكس] بها صفوف متعامدة. لأن [اللاتكس] U [/ اللاتكس] قابل للانعكاس ، و [اللاتكس] U ^= U ^ <-1> [/ لاتكس] و [لاتكس] UU ^= أنا [/ لاتكس].

التعريف: مصفوفة متعامدة هي مصفوفة مربعة قابلة للعكس [لاتكس] U [/ لاتكس] مثل [لاتكس] U ^ <-1> = U ^[/ لاتكس].

التعريف: مصفوفة متماثلة عبارة عن مصفوفة [لاتكس] أ [/ لاتكس] مثل [لاتكس] أ = أ ^[/ لاتكس].

ملاحظة: هذه المصفوفة مربعة بالضرورة. مداخلها القطرية الرئيسية تعسفية ، لكن مداخلها الأخرى تحدث في أزواج & # 8212 على جانبي القطر الرئيسي.

نظرية: إذا كان [اللاتكس] A [/ اللاتكس] متماثل ، فإن أي متجهين ذاتيين من فضاءات إيغين مختلفة يكونان متعامدين.

الدليل: استخدم [اللاتكس] lambda_ <1> overrightarrow> cdot overrightarrow> = lambda_ <2> overrightarrow> cdot overrightarrow> [/ لاتكس].

مثال 1 : ابحث عن مسافة eigenspace لـ [اللاتكس] A = left [ start 16 & -4 -4 & 1 نهاية right] [/ latex] وتحقق من أن المتجهات الذاتية من فضاءات eigenspace المختلفة متعامدة.

التمرين 1: ابحث عن مسافة eigenspace لـ [اللاتكس] A = left [ begin -7 & 24 24 & 7 نهاية right] [/ latex] وتحقق من أن المتجهات الذاتية من فضاءات eigenspace المختلفة متعامدة.

التعريف: [لاتكس] n مرات n [/ لاتكس] مصفوفة [لاتكس] أ [/ لاتكس] يقال قطري متعامد في حالة وجود مصفوفة متعامدة [لاتكس] P [/ لاتكس] (مع [لاتكس] P ^ <-1> = P ^[/ لاتكس] و [لاتكس] ف [/ لاتكس] بهما أعمدة متعامدة) ومصفوفة قطرية [لاتكس] د [/ لاتكس] مثل [لاتكس] A = PDP ^= PDP ^ <-1> [/ لاتكس].

ملاحظة: مثل هذا القطر يتطلب [لاتكس] ن [/ لاتكس] مستقل خطيًا ومتجهات ذاتية متعامدة. إذا كان [اللاتكس] A [/ اللاتكس] قابلًا للقطر بشكل متعامد ، فحينئذٍ [اللاتكس] A ^= (PDP ^)^= (P ^)^د ^ص ^= PDP ^= أ [/ لاتكس] ،

أي [اللاتكس] A [/ اللاتكس] متماثل.

النظرية: [لاتكس] n مرات n [/ لاتكس] المصفوفة أ تكون متعامدة قطريًا إذا وفقط إذا كان [لاتكس] أ [/ لاتكس] متماثل
مصفوفة.

المثال 2: متعامد قطري المصفوفة [اللاتكس] أ = اليسار [ ابدأ 3 & 1 1 & 3 نهاية right] [/ لاتكس].

تمرين 2: متعامد قطري المصفوفة [اللاتكس] أ = اليسار [ ابدأ 1 & 5 5 & 1 نهاية right] [/ لاتكس].

المثال 3: متعامد قطري المصفوفة [اللاتكس] أ = اليسار [ ابدأ 3 & -2 & 4 -2 & 6 & 2 4 & 2 & 3 نهاية right] [/ لاتكس].

التمرين 3: متعامد قطري المصفوفة [اللاتكس] أ = اليسار [ ابدأ 5 & ​​-4 & -2 -4 & 5 & 2 -2 & 2 & 2 نهاية right] [/ لاتكس].

ملاحظة: مجموعة القيم الذاتية لمصفوفة [لاتكس] A [/ لاتكس] تسمى أحيانًا طيف [لاتكس] أ [/ لاتكس] ، ويسمى الوصف التالي للقيم الذاتية نظرية طيفية.

النظرية: النظرية الطيفية للمصفوفات المتماثلة

المصفوفة المتماثلة [اللاتكس] n times n [/ latex] المتماثلة [اللاتكس] A [/ latex] لها الخصائص التالية:

(أ) [اللاتكس] A [/ اللاتكس] له [اللاتكس] n [/ اللاتكس] قيم ذاتية حقيقية ، مع احتساب التعدد.

(ب) أبعاد فضاء eigenspace لكل قيمة ذاتية [لاتكس] لامدا [/ لاتكس] تساوي تعدد [لاتكس] لامدا [/ لاتكس] كجذر للمعادلة المميزة.

(ج) تكون فضاءات eigens متعامدة بشكل متبادل ، بمعنى أن المتجهات الذاتية المقابلة لقيم eigenvalues ​​المختلفة متعامدة.

(د) [اللاتكس] A [/ اللاتكس] قابل للتحديد بشكل متعامد.

المثال 4: متعامد قطري المصفوفة [اللاتكس] أ = اليسار [ ابدأ 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 نهاية right] [/ لاتكس].

التمرين 4: متعامد قطري المصفوفة [اللاتكس] أ = اليسار [ ابدأ 1 & 0 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 1 & 0 & 0 & 1 end حق]. [/ لاتكس]

مثال 1: صواب أم خطأ.

أ. يجب أن تكون المصفوفة [اللاتكس] n times n [/ latex] القابلة للقياس المتعامد متماثلة.

ب. إذا كانت [اللاتكس] A = A ^[/ اللاتكس] وإذا كانت ناقلات [اللاتكس] overrightarrow[/ اللاتكس] و [اللاتكس] السهم الزائد[/ اللاتكس] إرضاء
[اللاتكس] A overrightarrow= 3 سهم مفرط[/ لاتكس] و [لاتكس] أ سهم فوق اليمين= 4 overrightarrow[/ اللاتكس] ثم
[لاتكس] سهم مفرط cdot overrightarrow= 0 [/ لاتكس].

ج. [لاتكس] n مرات n [/ لاتكس] لها مصفوفة متماثلة [لاتكس] n [/ لاتكس] قيم ذاتية حقيقية مميزة.

د. كل مصفوفة متماثلة قابلة للتحديد بشكل متعامد.

ه. إذا كانت [اللاتكس] B = PDP ^[/ لاتكس] ، حيث [لاتكس] ف ^= P ^ <-1> [/ لاتكس] و [لاتكس] د [/ لاتكس] عبارة عن مصفوفة قطرية ، ثم [لاتكس] ب [/ لاتكس] هي مصفوفة متماثلة.

F. أبعاد مساحة eigens لمصفوفة متماثلة تساوي تعدد قيمة eigenvalue المقابلة.

GroupWork 2: أظهر أنه إذا كانت [latex] A [/ latex] و [latex] B [/ latex] مصفوفات متعامدة ، فإن [latex] AB [/ latex] هي أيضًا مصفوفة متعامدة.

GroupWork 3: افترض أن [اللاتكس] A [/ latex] قابل للانعكاس ومتعامد قطريًا. بيّن أن [اللاتكس] A ^ <-1> [/ latex] يمكن تحديده قطريًا بشكل متعامد.

GroupWork 4: إثبات العبارة أو إعطاء مثال مضاد.

أ. المصفوفة المتعامدة قابلة للتحديد بشكل متعامد.

ب. المصفوفة المتعامدة قابلة للعكس.

ج. المصفوفة العكسية متعامدة.

د. إذا كانت المصفوفة قابلة للتحديد فإنها تكون متماثلة.

GroupWork 5: افترض أن [latex] A [/ latex] عبارة عن مصفوفة متماثلة [لاتكس] n مرات n [/ latex] مصفوفة و [latex] B [/ latex] هي أي مصفوفة [latex] n times m [/ latex] . أظهر أن [اللاتكس] ب ^AB [/ لاتكس] ، [لاتكس] ب ^ب [/ لاتكس] ، و [لاتكس] BB ^[/ لاتكس] هي مصفوفات متماثلة.


15: قطري المصفوفات المتماثلة

وصف المحاضرة

الجبر الخطي: بالنسبة للمصفوفة المتماثلة الحقيقية [3 2/2 3] ، 1) تحقق من أن جميع القيم الذاتية حقيقية ، 2) أظهر أن المتجهات الذاتية للقيم الذاتية المتميزة متعامدة فيما يتعلق بالمنتج الداخلي القياسي ، و 3) ابحث عن مصفوفة متعامدة P مثل أن P ^ <-1> AP = D قطري. تنص النظرية الطيفية على أنه يمكن وضع كل مصفوفة متماثلة في شكل قطري حقيقي باستخدام تغيير متعامد لمصفوفة الأساس (أو يوجد أساس متعامد للمتجهات الذاتية).

فهرس المقرر

  1. اختزال الصف لنظام من معادلتين خطيتين
  2. حل 2x2 SLE باستخدام معكوس المصفوفة
  3. حل SLE في 3 متغيرات باستخدام عمليات الصف 1
  4. حل SLE في 3 متغيرات باستخدام عمليات الصف 2
  5. اتساق نظام المعادلات الخطية
  6. معكوس مصفوفة 3 × 3 باستخدام عمليات الصف 1
  7. معكوس مصفوفة 3x3 باستخدام عمليات الصف 2
  8. معكوس مصفوفة 4x4 باستخدام عمليات الصف
  9. مثال على المحدد باستخدام صيغة Row Echelon
  10. معكوس مصفوفة 3 × 3 باستخدام الصيغة Adjugate Formula
  11. معكوس مصفوفة 4x4 باستخدام الصيغة Adjugate
  12. قاعدة كرامر لثلاث معادلات خطية
  13. محدد مصفوفة 4 × 4 باستخدام العوامل المساعدة
  14. محدد مصفوفة 4 × 4 باستخدام عمليات الصف
  15. أمثلة على الخرائط الخطية
  16. مثال على الجمع الخطي
  17. مثال على الجمع الخطي (بصري)
  18. تقييم التحويلات الخطية باستخدام الأساس
  19. التحولات الخطية على R ^ 2
  20. مثال على التحقق من خاصية الأساس
  21. مثال على أساس مساحة فارغة
  22. مثال على أساس فترة
  23. مثال على الاستقلال الخطي باستخدام المحدد
  24. مثال على Kernel و Range of Linear Transformation
  25. التحويلات الخطية: واحد واحد
  26. التحولات الخطية: Onto
  27. مثال على تغيير الأساس
  28. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
  29. مثال على Eigenvector: Markov Chain
  30. مثال على قطري مصفوفة 2 × 2
  31. مثال على صيغة القوة لمصفوفة
  32. أرقام فيبوناتشي باستخدام الجبر الخطي (إصدار HD)
  33. طول المتجه في R ^ n
  34. المنتج الداخلي القياسي على R ^ n
  35. مثال على خدعة فوريير
  36. مثال على التكملة المتعامدة
  37. تحويلات متعامدة 1: 2x2 حالة
  38. تحويلات متعامدة 2: 3x3 حالة
  39. مثال على تقويم غرام شميدت
  40. تحليل QR- لمصفوفة 2x2
  41. ما وراء Eigenspaces: طائرات ثابتة حقيقية
  42. ما وراء Eigenspaces 2: شكل معقد
  43. النظرية الطيفية للمصفوفات الحقيقية: الحالة العامة 2x2
  44. النظرية الطيفية للمصفوفات الحقيقية: حالة nxn العامة
  45. مثال على نظرية الطيفية (3 × 3 مصفوفة متماثلة)
  46. مثال على التحليل الطيفي
  47. مثال على قطرية مصفوفة متماثلة (نظرية الطيفية)

وصف الدورة التدريبية

تحتوي هذه الدورة على 47 محاضرة بالفيديو القصير للدكتور بوب حول المفاهيم الأساسية والمتقدمة من الجبر الخطي. يرشدك عبر الأفكار الأساسية مثل كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام صيغة الصف ، واختزال الصف ، وإلغاء Gaussian-Jordan ، وحل أنظمة من معادلتين أو أكثر باستخدام المحددات ، وقاعدة كرامر ، والمزيد.

كما أنه يبحث في مفاهيم المساحات المتجهة مثل الامتداد ، والخرائط الخطية ، والتركيبات الخطية ، والتحولات الخطية ، وأساس المتجه ، والفضاء الفارغ ، وتغييرات الأساس ، وكذلك إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.

أخيرًا ، أنهى الدورة التدريبية التي تغطي بعض المفاهيم المتقدمة التي تتضمن المتجهات الذاتية ، بما في ذلك قطرية المصفوفة ، ومعادلة القوة للمصفوفة ، وحل أرقام فيبوناتشي باستخدام الجبر الخطي ، والمنتج الداخلي على R ^ n ، والتحويلات المتعامدة ، وتعامل غرام-شميدت ، QR -التحلل ، نظرية الطيف ، وأكثر من ذلك بكثير.


15: قطري المصفوفات المتماثلة

المصفوفات المتماثلة لها العديد من الخصائص الخاصة ، يتم التعبير عن أهمها في النظرية التالية:

3. توجد مصفوفة قطرية ومصفوفة متعامدة مثل A = UDU T. المدخلات القطرية لـ D هي قيم eigenvalues ​​لـ A وأعمدة U هي المتجهات الذاتية المقابلة:

ترضي المصفوفة المتعامدة U ، بحكم التعريف ، U T = U -1 ، مما يعني أن أعمدة U متعامدة (أي أن أي عمودين متعامدين ولكل منهما معيار واحد). يشار إلى التعبير A = UDU T لمصفوفة متماثلة من حيث قيمها الذاتية والمتجهات الذاتية على أنها التحلل الطيفي لـ A.

تشير النظرية الطيفية إلى وجود تغيير في المتغيرات التي تحول A إلى مصفوفة قطرية. قبل شرح هذا التغيير في المتغيرات ، سأوضح سبب أهميته. سيتذكر القارئ أن كل دالة تربيعية في المتغيرات n يمكن التعبير عنها بالصيغة

تتضمن صيغة q (x) حد n 2 ، وعادة ما تقترن المتغيرات. ومع ذلك ، إذا كانت H مصفوفة قطرية ، فإن صيغة q (x) تبسط إلى حد كبير:

من السهل فهم هذه المعادلة التربيعية: في كل اتجاه إحداثي x i ، يكون الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ ، يفتح لأعلى إذا كان H ii & gt0 ويفتح لأسفل إذا كان H ii & lt0. هناك أيضًا الحالة المتدهورة H ii = 0 ، وفي هذه الحالة يكون q ثابتًا بالنسبة إلى x i ويكون الرسم البياني في هذا الاتجاه خطًا أفقيًا.

لذلك ، في متغيرين (الحالة الوحيدة التي يمكن تصورها) ، تحتوي الدالة التربيعية المحددة بواسطة ستة أشكال محتملة ، تقابل الحالات التالية: 1. 0، lambda_2> 0 $ -> 2. 3. 0، lambda_2 أو 0 دولار -> 4. 0 ، lambda_2 = 0 دولار -> أو 0 دولار -> 5. أو 6.. أربعة من الاحتمالات موضحة في الشكل 1.

   الشكل 1: الرسوم البيانية لأربع وظائف تربيعية: قيمتان موجبتان من قيم eigenvalue (أعلى اليسار) ، واثنان من قيم eigenvalue السلبية (أعلى اليمين) ، وقيمة ذاتية موجبة وواحدة سلبية (أسفل اليسار) ، وواحدة موجبة وقيمة ذاتية صفرية (أسفل اليمين).

سأشرح الآن تغيير المتغيرات التي تقطّر المصفوفة المتماثلة. ناقل

يتم التعبير عنه ضمنيًا من حيث الأساس القياسي:

إذا كانت مجموعة متعامدة ، فهي أساس بديل: يمكن التعبير عن كل منها كـ

علاوة على ذلك ، من السهل حساب المعاملات:

عندما يشكل الأساس المتعامد مصفوفة ، فإن حساب المعاملات يأخذ شكل منتج متجه المصفوفة:

النقطة الأساسية هنا هي أنه يمكن اعتبار الأرقام متغيرات جديدة تمثل المتجه x. على وجه التحديد ، قم بتمثيل x في الأساس القياسي ، بينما تمثل x في الأساس البديل.

أستطرد الآن لتذكير القارئ بالخاصية الأساسية التالية للمصفوفات والمتجهات والمنتج النقطي: إذا ، إذن

هذا هو سبب أهمية تبديل المصفوفة.

على افتراض متماثل ، فإنه يحتوي على تحلل طيفي H = UDU T. وبالتالي،

حيث قمت بتطبيق تغيير المتغيرات. لذلك ، فإن التربيعية عبارة عن تربيعية بسيطة منفصلة عند التعبير عنها من حيث الأساس البديل. نظرًا لأن كل مصفوفة متماثلة لها تحلل طيفي ، فهذا يعني أنه يمكن التعبير عن كل دالة تربيعية على أنها تربيعية بسيطة منفصلة ، بشرط اختيار نظام الإحداثيات الصحيح. على وجه الخصوص ، يوضح هذا أن الرسم البياني لكل تربيعي في متغيرين يشبه أحد الرسوم البيانية في الشكل 1 (أو كواحد من الاحتمالين الآخرين غير الموضحين في هذا الشكل) ، ربما تم تدويره من الإحداثيات القياسية.


15: قطري المصفوفات المتماثلة

يمكن أن تكون المصفوفة قطرية إذا كانت تحتوي على n متجهات ذاتية مستقلة. المصفوفة القطرية Î ›هي مصفوفة القيمة الذاتية.

فهرس المقرر

  1. مقدمة في المعادلات التفاضلية ومجموعة MATLAB® ODE
  2. نظرة عامة على المعادلات التفاضلية
  3. حساب التفاضل والتكامل الذي تحتاجه
  4. الاستجابة للإدخال الأسي
  5. استجابة لمدخلات تتأرجح
  6. حل لأي مدخلات
  7. وظيفة الخطوة ودالة دلتا
  8. الرد على الأسي المعقد
  9. عامل التكامل للمعدل الثابت
  10. عامل التكامل لمعدل متغير
  11. المعادلة اللوجيستية
  12. استقرار الدول المستقرة وعدم استقرارها
  13. معادلات قابلة للفصل
  14. معادلات الدرجة الثانية
  15. الحركة التوافقية القسرية
  16. الحركة المخففة غير القسرية
  17. استجابة الاندفاع والاستجابة خطوة
  18. الاستجابة الأسية - الرنين المحتمل
  19. معادلات التخميد من الدرجة الثانية
  20. الشبكات الكهربائية: الفولتية والتيارات
  21. طريقة المعاملات غير المحددة
  22. مثال على المعاملات غير المحددة
  23. اختلاف المعلمات
  24. تحويل لابلاس: معادلة من الدرجة الأولى
  25. تحويل لابلاس: معادلة من الدرجة الثانية
  26. تحويلات لابلاس والتواء
  27. صور الحلول
  28. صور مستوى الطور: المصدر ، المغسلة ، السرج
  29. صور الطائرة: اللوالب والمراكز
  30. معادلتان من الدرجة الأولى: الاستقرار
  31. الخطية في النقاط الحرجة
  32. الخطية لمعادلتين غير خطيتين
  33. القيم الذاتية والاستقرار: 2 × 2 ماتريكس ، أ
  34. The Tumbling Box في ثلاثي الأبعاد
  35. مساحة العمود لمصفوفة
  36. الاستقلال والأساس والبعد
  37. الصورة الكبيرة للجبر الخطي
  38. الرسوم البيانية
  39. مصفوفات الوقوع للرسوم البيانية
  40. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
  41. قطري المصفوفة
  42. صلاحيات المصفوفات ومصفوفات ماركوف
  43. حل الأنظمة الخطية
  44. مصفوفة الأسي
  45. المصفوفات المتشابهة
  46. المصفوفات المتماثلة ، القيم الذاتية الحقيقية ، المتجهات الذاتية المتعامدة
  47. أنظمة الترتيب الثاني
  48. المصفوفات الموجبة المحددة
  49. تحليل القيمة الفردية (SVD)
  50. شروط الحدود تحل محل الشروط الأولية
  51. معادلة لابلاس
  52. سلسلة فورييه
  53. أمثلة على سلسلة فورييه
  54. حل سلسلة فورييه لمعادلة لابلاس
  55. معادلة الحرارة
  56. معادلة الموجة
  57. أويلر ، ODE1
  58. طريقة نقطة المنتصف ، ODE2
  59. الكلاسيكية رونج كوتا ، ODE4
  60. النظام ، اصطلاحات التسمية
  61. تقدير الخطأ ، ODE23
  62. ODE45
  63. صلابة ، ODE23s ، ODE15s
  64. نظم المعادلات
  65. مجموعة MATLAB ODE
  66. تراجع مربع
  67. معادلات المفترس والفريسة
  68. جاذب لورنز والفوضى

وصف الدورة التدريبية

تعلم المعادلات التفاضلية: عن قرب مع Gilbert Strang و Cleve Moler هي سلسلة متعمقة من مقاطع الفيديو حول المعادلات التفاضلية ومجموعة MATLAB® ODE. مقاطع الفيديو هذه مناسبة للطلاب والمتعلمين مدى الحياة للاستمتاع بها.

يقدم كليف مولر ، المؤسس وكبير علماء الرياضيات في MathWorks ، وجيلبرت سترانج ، الأستاذ والرياضيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، نظرة عامة على سلسلة الفيديو المتعمقة الخاصة بهم حول المعادلات التفاضلية ومجموعة MATLAB® ODE.

المعادلات التفاضلية والجبر الخطي موضوعان أساسيان في العلوم والهندسة. تقوم سلسلة الفيديو الخاصة بـ Gilbert Strang بتطوير هذه الموضوعات بشكل منفصل ومجتمعي وتكمل كتاب Gil Strang المدرسي حول هذا الموضوع. يقدم Cleve Moler حسابًا للمعادلات التفاضلية ويشرح مجموعة MATLAB ODE وخلفيتها الرياضية. تبدأ سلسلة مقاطع الفيديو الخاصة بـ Cleve Moler بطريقة Euler وتتطور إلى Runge Kutta وتتضمن تمارين MATLAB العملية.


شاهد الفيديو: المصفوفة الاحادية ايجاد العدد الاكبر,الترتيب التصاعدي,تزحيف المصفوفة,استبدال قيم المواقع (شهر اكتوبر 2021).