مقالات

6.3: العوامل التفاضلية الخطية - الرياضيات


أصبحت فئة حساب التفاضل والتكامل الخاصة بك أسهل بكثير عندما توقفت عن استخدام تعريف النهاية للمشتق ، وتعلمت قاعدة الأس ، وبدأت في استخدام خطية عامل الاشتقاق.

مثال 64

لنفترض أن (V ) هو مساحة متجه للعديد من الحدود من الدرجة 2 أو أقل مع الجمع القياسي والضرب القياسي.

[V = {a_ {0} cdot1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} | a_ {0}، a_ {1}، a_ {2} in Re } nonumber ]

لنفترض أن ( frac {d} {dx} Colon V rightarrow V ) هو العامل المشتق. تسمح المعادلات الثلاث التالية ، جنبًا إلى جنب مع الخطية للمشغل المشتق ، بأخذ مشتق من أي متعدد الحدود من الدرجة الثانية:

[
frac {d} {dx} 1 = 0، ~ frac {d} {dx} x = 1، ~ frac {d} {dx} x ^ {2} = 2x ،. لا يوجد رقم
]

بخاصة

[
frac {d} {dx} (a_ {0} cdot1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2}) =
a_ {0} frac {d} {dx} cdot1 + a_ {1} frac {d} {dx} x + a_ {2} frac {d} {dx} x ^ {2}
= 0 + a_ {1} + 2a_ {2}. nonumber
]

وبالتالي ، فإن المشتق الذي يعمل على أي عدد لا نهائي من كثيرات الحدود من الدرجة الثانية يتم تحديده من خلال عمله لثلاثة مدخلات فقط.


عامل التفاضل الخطي

هنا $ a _ النقاط أنا _ > $ هي دوال ذات قيم في نفس الحقل ، تسمى معاملات $ A $. إذا كانت المعاملات تأخذ قيمًا في مجموعة $ (t times s) $ - مصفوفات الأبعاد فوق $ k $ ، فعندئذ يتم تعريف عامل التفاضل الخطي $ A $ على الدوال ذات القيمة المتجهية $ u = (u _ <1> النقاط ش _ ) $ وتحويلها إلى دوال ذات قيمة متجهة $ v = (v _ <1> dots v _ ) $. في الحالة $ n = 1 $ يسمى عامل التفاضل الخطي العادي ، وفي الحالة $ n & gt 1 $ يسمى عامل التفاضل الجزئي الخطي.

لنفترض أن $ X $ متشعب قابل للتفاضل ودع $ E $ و $ F $ يكونان حِزم متجهة محدودة الأبعاد على $ X $ (كل فئة $ C ^ infty $، cf. Vector bundle) اسمحوا $ widetilde rightarrow widetilde $ تكون الحزم (cf. sheaf) لجراثيم أقسام هذه الحزم من فئة النعومة المقابلة. عامل التفاضل الخطي بالمعنى الواسع $ A: E rightarrow F $ هو رسم تخطيطي للحزم $ widetilde rightarrow widetilde $ يفي بالشرط التالي: كل نقطة $ x في X $ لها حي إحداثي $ U $ ضمنه تكون الحزم تافهة ، أثناء التعيين

$ A: Gamma (U، E) rightarrow Gamma (U، F)، $

حيث $ Gamma (U، E) $ هي مساحة الأقسام من $ E $ فوق $ U $ ، تعمل وفقًا لـ (1) ، حيث الإحداثيات المحلية $ x _ <1> dots x _ $ والتفاهات

E دولار منتصف _ cong U times k ^ ، F منتصف _ cong U times k ^ $

يستخدم. أصغر عدد $ m $ بحيث يكون (1) مناسبًا في جميع النقاط $ x في X $ يسمى ترتيب عامل التفاضل الخطي $ A $. على سبيل المثال ، كل اتصال غير صفري على $ E $ هو عامل تفاضل خطي $ d: E rightarrow E otimes Omega ^ <1> (X) $ من الدرجة الأولى. تعريف مكافئ آخر للعامل التفاضلي الخطي $ A: E rightarrow F $ هو التالي: إنه عامل تشغيل خطي $ A: Gamma (X، E) rightarrow Gamma (X، F) $ يفي بالشرط $ supp Au subset supp u $ ، حيث $ supp u $ هو دعم $ u $.

يمكن تعريف عامل التفاضل الخطي على مساحات وظيفية أوسع. على سبيل المثال ، إذا تم تحديد مقياس موجب على $ X $ وتم تحديد منتج عددي في الحزم $ E $ و $ F $ ، فسيتم تحديد مسافات المقاطع القابلة للتكامل المربّع من هذه الحزم. يحدد عامل التفاضل الخطي المحدد بواسطة التعابير المحلية (1) عامل تشغيل خطي غير محدود $ A: L _ <2> (E) rightarrow L _ <2> (F) $. في ظل بعض الافتراضات الضعيفة ، قد يتم إغلاق الأخير كمشغل في مساحات هيلبرت. يسمى هذا الإغلاق أيضًا عامل التفاضل الخطي. بطريقة مماثلة ، يمكن للمرء إنشاء عامل يعمل على مساحات Sobolev أو في مساحات ذات نطاقات أكثر عمومية.

يمكن أن يمتد عامل التفاضل الخطي من الفئة $ C ^ infty $ إلى عامل في مساحات الأقسام المعممة. يمكن إنشاء هذا الامتداد عن طريق عامل مساعد رسميًا. لنفترض أن $ E ^ prime $ هو الحزمة المزدوجة إلى $ E $ (أي $ E ^ prime = mathop < rm Hom> (E، I) $ ، حيث $ I $ هو الحزمة التافهة أحادية البعد ) واجعل $ Omega $ حزمة من الأشكال التفاضلية على $ X $ من الدرجة القصوى. هناك تحديد مخطط ثنائي الخطوط

$ ( cdot، cdot) _ : Gamma (X، E) times Gamma _ <0> (X، E ^ prime otimes Omega) rightarrow k، $

والذي يتضمن تكاملًا يزيد عن $ X $. هنا $ Gamma _ <0> ( cdot) $ هي مساحة الأقسام ذات الدعم المضغوط. الصيغة

يعرّف بشكل فريد عامل تشغيل خطي

$ <> ^ ج: جاما _ <0> (X، F ^ Prime otimes Omega) rightarrow Gamma _ <0> (X، E ^ prime otimes Omega). $

يتم إحداثه بواسطة عامل التفاضل الخطي $ <> ^ ج: F ^ < prime> otimes Omega rightarrow E ^ prime otimes Omega $ التي داخل منطقة الإحداثيات $ U $ لها التعبير

$ <> ^ أ u = sum (- 1) ^ + النقاط + أنا _ > فارك < جزئي ^ + النقاط + أنا _ > ( <> ^ أ _ النقاط أنا _ > u)> < جزئي x _ <1> ^ > نقاط جزئية x _ ^ > > , $

إذا تم التقليل من قيمة الحزمة $ Omega $ باختيار القسم $ d x _ <1> wedge dots wedge d x _ $. عامل التفاضل الخطي $ <> ^ يقال إن الدولار الأمريكي هو مرتبط رسميًا فيما يتعلق بالدولار الأسترالي.

في الفراغ $ Gamma _ <0> (X، E ^ Prime otimes Omega) يتم تعريف التقارب $ وفقًا للقاعدة التالية: $ f _ rightarrow f $ إذا كان اتحاد دعامات الأقسام $ f _ ينتمي $ إلى مجموعة مضغوطة وإذا كان في أي حي إحداثيات $ U مجموعة فرعية X $ حيث يوجد تافه من $ E $ ، فإن الدوال ذات القيمة المتجهية $ f _ تتقارب $ بشكل موحد مع $ f $ مع جميع المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالإحداثيات المحلية. يُطلق على مساحة جميع الوظائف الخطية مساحة الأقسام المعممة من $ E $ ويُشار إليها بـ $ D ^ prime (E) $. عامل التشغيل $ <> ^ يأخذ $ A المتواليات المتقاربة إلى المتواليات المتقاربة ، وبالتالي يُنشئ عاملًا مساعدًا $ D ^ prime (E) rightarrow D ^ prime (F) $. يتطابق الأخير مع $ A $ على الفضاء الجزئي $ Gamma (X، E) $ ويسمى امتداد عامل التفاضل الخطي المحدد إلى مساحة الأقسام المعممة. يعتبر المرء أيضًا الامتدادات الأخرى لمشغلي التفاضل الخطي ، لمساحات الأقسام المعممة ذات الترتيب اللانهائي ، إلى مساحة الوظائف المفرطة ، إلخ.

يُفهم أن العامل التفاضلي الخطي ذو الترتيب اللانهائي هو عامل يعمل في مساحة معينة من الوظائف التحليلية (الأقسام) ويتم تعريفه بواسطة (1) ، حيث يكون الجمع على مجموعة لا نهائية من المؤشرات $ i _ <1> النقاط أنا _ ، dots $.

الخاصية التالية تميز المعاملات التفاضلية الخطية. تسلسل $ > subset Gamma (X، E) $ يقترب من قسم $ f $ إذا $ f _ يتجه $ بشكل موحد إلى $ f $ مع جميع المشتقات الجزئية في أي حي إحداثي يحتوي على إغلاق مضغوط. عامل التشغيل الخطي $ A: Gamma _ <0> (X، E) rightarrow Gamma (X، F) $ الذي يأخذ المتواليات المتقاربة إلى التسلسلات المتقاربة هو عامل تفاضل خطي للأمر على الأكثر $ m $ إذا وفقط إذا لأي $ f ، g in C ^ infty (X) $ الدالة

$ tag <2> mathop < rm exp> (- i lambda g) A (f mathop < rm exp> (i lambda g)) $

هي كثيرة الحدود في المعامل $ lambda $ من الدرجة على الأكثر $ m $. إذا تم استبدال هذا الشرط بافتراض أن (2) يتم تمثيله بواسطة سلسلة القدرة المقاربة ، عندئذٍ يحصل المرء على تعريف عامل التفاضل الزائف الخطي.

لنفترض أن المتشعب $ X $ وكذلك الحزمتين $ E $ و $ F $ مُنحتان بهيكل $ G $ ، حيث $ G $ عبارة عن مجموعة. ثم يتم تحديد إجراء هذه المجموعة على أي عامل تفاضل خطي $ A: E rightarrow F $ بواسطة الصيغة

يُقال أن عامل التفاضل الخطي $ A $ ثابت بالنسبة إلى $ G $ إذا كان $ g ^ <*> (A) = A $ لكل $ g في G $.

حزمة النفاثات هي جسم مزدوج في مساحة عامل التفاضل الخطي. لنفترض مرة أخرى أن $ E $ عبارة عن حزمة متجهة على متشعب $ X $ من الفئة $ C ^ infty $. حزمة من $ m $ - نفاثات أقسام من $ E $ هي حزمة متجهة $ J _ (E) $ على $ X $ الذي يزيد حجم أليافه عن نقطة $ x $ يساوي $ widetilde _ / widetilde _ (م) $ ، حيث $ widetilde _ $ هو ألياف الحزمة $ widetilde $ للجراثيم لأقسام من $ E $ و $ widetilde _ (م) $ هو الفضاء الجزئي لهذه الألياف المكونة من جراثيم الأقسام التي تختفي فيها جميع المشتقات حتى طلب $ m $ شاملًا عند $ x $. عامل التفاضل الخطي $ d _ : E rightarrow J _ (هـ) $ الذي يعمل وفقًا للقاعدة: قيمة القسم $ d _ (u) $ at $ x $ يساوي صورة المقطع $ u $ في مساحة الحاصل $ widetilde _ / widetilde _ (م) $ ، يُقال أنه عالمي. بعد ذلك ، افترض أن $ F $ حزمة على $ X $ وأن $ A: J _ (E) rightarrow F $ هو تماثل حزمة ، أي عامل تفاضلي خطي من الدرجة صفر. المركب

$ tag <3> E rightarrow ^ < > J _ (E) rightarrow ^ F $

هو عامل تفاضل خطي للأمر بحد أقصى $ m $. على العكس من ذلك ، يمكن تمثيل كل عامل تفاضل خطي على الأكثر $ m $ بشكل فريد كتكوين (3).

الرمز (النظام الأساسي) للعامل التفاضلي الخطي $ A: E rightarrow F $ هو عائلة التعيينات الخطية

اعتمادًا على نقطة $ (x، xi) $ من حزمة ظل التمام $ T ^ <*> (X) $. يتصرفون وفقًا للصيغة $ e rightarrow a ( xi ^ ه) / م! $ ، حيث $ a $ هو تماثل الشكل المتضمن في (3) ، $ e in widetilde _ $ و $ xi ^ e $ هو عنصر $ J _ (هـ) _ $ يساوي صورة $ f ^ e $ ، حيث $ f $ هو جرثومة دالة من الفئة $ C ^ infty $ بحيث يكون $ f (x) = 0 $ ، $ df (x) = xi $. إذا كان $ A $ يحتوي على الشكل (1) ، إذن

حيث $ xi _ <1> dots xi _ $ هي الإحداثيات في ألياف الحزمة $ T ^ <*> (U) cong U times k ^ وهكذا ، فإن الرمز هو شكل من الدرجة $ m $ ، متجانس في $ xi $. وفقًا لهذا البناء للرمز ، يقدم المرء مفهوم الخاصية. صفة عامل التفاضل الخطي $ A $ هي النقطة $ (x، xi) في T ^ <*> (X) $ حيث يحتوي الرمز $ sigma _ $ على نواة غير صفرية.

يشير التصنيف المعتمد في نظرية العوامل التفاضلية الخطية بشكل أساسي إلى العوامل التفاضلية الخطية التي تعمل في حزم من نفس البعد ، في الواقع لمشغلي النموذج (1) حيث تكون المعاملات عبارة عن مصفوفات مربعة. يُقال أن عامل التفاضل الخطي يكون ناقصًا إذا لم يكن له خصائص حقيقية $ (x، xi) $ مع $ xi neq 0 $ (راجع أيضًا المعادلة التفاضلية الجزئية الإهليلجية). تتميز هذه الفئة بأفضل الخصائص المحلية لحلول المعادلة $ Au = w $ ، وأيضًا بحقيقة أن مشاكل القيمة الحدية في المجالات المحددة موضوعة جيدًا. يتم تمييز فئة العوامل التفاضلية الخطية الزائدية أيضًا بشرط مفروض فقط على الخصائص (راجع المعادلة التفاضلية الجزئية الزائدية). ترتبط خاصية كونها زائدية ارتباطًا وثيقًا بالوضع الجيد لمشكلة كوشي مع البيانات غير التحليلية. يتم تحديد فئة مشغلي التفاضل الخطي من النوع الأساسي بشرط مفروض فقط على الرمز (راجع النوع الأساسي ، عامل التفاضل الجزئي لـ). وقد تم تطوير نظرية حول قابلية الحل المحلي وسلاسة الحلول لمثل هؤلاء المشغلين. يتم تمييز فئة العوامل التفاضلية الخطية المكافئة بشرط لا يتعلق فقط بالرمز ولكن أيضًا ببعض المصطلحات ذات الترتيب الأدنى (راجع المعادلة التفاضلية الجزئية المكافئة). نموذجي لمشغلي التفاضل الخطي المكافئ هي المشكلة المختلطة ومشكلة كوشي مع الظروف في اللانهاية. يتم تحديد فئة عوامل التشغيل التفاضلي الخطي hypo-elliptic بالشرط غير الرسمي التالي: كل حل معمم مسبقًا للمعادلة $ Au = w $ مع الجانب الأيمن من $ C ^ infty $ نفسه ينتمي إلى $ C ^ infty $. يُعرف عدد من الشروط الشكلية على التعبير (1) التي تضمن أن العامل ناقص الإهليلجيه.

بصرف النظر عن هذه الأنواع الأساسية من العوامل التفاضلية الخطية ، يتحدث المرء أحيانًا عن العوامل التفاضلية الخطية من النوع المختلط أو المتغير (راجع أيضًا المعادلة التفاضلية من النوع المختلط) ، والمشغلات التفاضلية الخطية من النوع المركب ، وما إلى ذلك. بشروط في اللانهاية ، مشاكل القيمة الحدية مع حدود حرة ، مشاكل النظرية الطيفية ، مشاكل التحكم الأمثل ، إلخ.

مجموعة عوامل التفاضل الخطي عبارة عن سلسلة من العوامل التفاضلية الخطية

$ E ^ <*>: dots rightarrow E _ rightarrow ^ < > ه _ 1 rightarrow ^ < 1> ه _ 2 rightarrow dots $

فيها $ A _ 1 أ _ = 0 $ لكل $ k $. تماثل مجموعة العوامل التفاضلية الخطية $ E ^ <*> $ هو تماثل مجموعة مسافات المتجهات $ Gamma (X، E ^ <*>) $. دع $ H ^ $ k $-th المصطلح المشترك لهذا المركب. المبلغ $ sum (- 1) ^ mathop < rm dim> H ^ يسمى $ فهرس مجمع العوامل التفاضلية الخطية. وهكذا ، فإن فهرس المعقد الإهليلجي لمشغلي التفاضل الخطي (أي أن عددًا محدودًا من $ E _ $ ليست صفرية ، والمركب يتكون من رموز عوامل التفاضل الخطي $ A _ $ دقيق في جميع النقاط $ (x، xi) في T ^ <*> (X)، $ $ xi neq 0 $) محدود في حالة $ X $ المضغوط والبحث عن الصيغ التي التعبير عن فهرس مثل هذا المعقد من حيث رمزه هو محتوى عدد من التحقيقات التي تجمع بين نظرية العوامل التفاضلية الخطية والهندسة الجبرية والطوبولوجيا الجبرية (انظر معادلات الفهرس).

$ tag <4> D (F) rightarrow ^ < > D (E) rightarrow ^

M (A) rightarrow 0، $

والوحدات الفرعية $ O (X) $ - $ M _ equiv p (D _ (E)) $، $ k = 0، 1 dots $ تشكل ترشيحًا متزايدًا في $ M (A) $. الوحدة $ O (X) $ - المصنفة

$ mathop < rm gr> M (A) = oplus _ <0> ^ infty M _ / م _ 1 ، M _ <-> 1 = 0 ، دولار

تسمى وحدة الرمز الخاصة بالمعامل التفاضلي الخطي $ A $. منذ أي $ k $ و $ l $ عمل $ D _ $ على $ M (A) $ يأخذ $ M _ دولار إلى M دولار _ k $ ، في $ mathop < rm gr> M (A) $ يوجد هيكل لوحدة متدرجة فوق الجبر المتدرج $ mathop < rm gr> D equiv oplus _ <0> ^ infty D _ / د _ 1 دولار. تعتبر أداة إبادة هذه الوحدة نموذجًا مثاليًا متجانسًا في $ mathop < rm gr> D $. المشعب المميز لعامل التشغيل $ A $ هو مجموعة الأصفار لهذا النموذج المثالي. نظرًا لأن الجبر $ mathop < rm gr> D $ متماثل مع الجبر المتماثل لحزمة الظل $ T (X) $ ، فإن المتشعب المميز مضمّن بشكل قانوني في $ T ^ <*> (X) $ ، وهو التقاطع مع كل ليف مخروط جبري.

إذا كان المشعب $ X $ والحزم المعطاة لها بنية تحليلية حقيقية أو معقدة ، فإن المتشعب المميز يتطابق مع مجموعة جذور $ mathop المثالي < rm gr> ( mathop < rm ann> M (A) ) $. في هذه الحالة ، تكون مجموعة فرعية تحليلية مغلقة من $ T ^ <*> (X) $ ، وإذا لم تكن فارغة ، فإن أبعادها تكون على الأقل $ mathop < rm dim> X $. في الحالة التي يكون فيها هذا البعد مساويًا لـ $ mathop < rm dim> X $ ، يُقال أن عامل التفاضل الخطي $ A $ محدد بشكل زائد أو كلي.

تهتم النظرية الرسمية لمشغلي التفاضل الخطي العام بمفاهيم التكامل الرسمي والمحلل. تكافئ خاصية التكامل الرسمي ، التي تمت صياغتها في المصطلحات المزدوجة للطائرات ، بشرط أن تكون الوحدة النمطية $ O (X) $ - $ mathop < rm gr> M (A) $ مجانية محليًا. من المفهوم أن حل عامل التفاضل الخطي $ A $ هو التسلسل الممتد (4) ،

$ dots rightarrow D (F _ <1>) rightarrow ^ < ^ رئيس الوزراء> D (F) mathop rightarrow limits ^ < > D (E) rightarrow M (A)، $

حيث كل $ A _ $، $ k = 1، 2 dots $ عوامل تفاضلية خطية. على وجه الخصوص ، يسمى $ A _ <1> $ عامل التوافق لـ $ A $. يضمن التكامل الرسمي الوجود المحلي للمحل.

في الأدبيات ، تم استخدام المصطلحين "مفرط التحديد" و "غير محدد" لأنظمة المعادلات التفاضلية ، ومع ذلك ، لا يوجد تعريف عام مرض. يمكن أن يكون ما يلي بمثابة تقريب لمثل هذا التعريف: هناك عامل تفاضل خطي غير صفري $ B $ مثل $ BA = 0 $ (زيادة في التحديد) ، $ AB = 0 $ (نقص في التحديد). على سبيل المثال ، عامل التفاضل الخطي $ d $ الذي يساوي تقييد عامل التمايز الخارجي إلى أشكال الدرجة $ k $ على مشعب $ X $ من البعد $ n $ غير محدد بشكل أقل لـ $ k & gt 0 $ ، مُحدّد بشكل زائد عن $ k & lt n $ وشامل لـ $ k = 0 $.

المشاكل الرئيسية التي تمت دراستها لمشغلي التفاضل الخطي العام هي ما يلي: قابلية حل المعادلة مع الجانب الأيمن $ Au = w $ إذا كان شرط التوافق $ A _ <1> u = 0 $ يفي بإمكانية تمديد حلول المعادلة $ Au = 0 $ لمجال أكبر (تأثير مرتبط بإفراط في التحديد) وتمثيل الحل العام من حيث حل من شكل خاص. يمكن تحديد المشكلة الأخيرة بشكل أكثر تحديدًا للمشغلين الثابتين ، على سبيل المثال لمشغلي التفاضل الخطي في $ mathbf R ^ مع معاملات ثابتة أو دورية: لوصف تمثيل مجموعة $ G $ في فضاء الحلول باعتباره جزءًا لا يتجزأ (بمعنى ما) على جميع العروض الفرعية غير القابلة للتحلل. في تحديد العوامل ذات المعاملات الثابتة ، يتم تحديد هذا التمثيل من خلال التكامل فيما يتعلق بالأس (التمثيل الأسي) ، وبالنسبة للمشغلين الذين لديهم معاملات دورية عن طريق التكامل فيما يتعلق بالحلول المعممة في فلوكيت.

يتم تعريف العوامل التفاضلية الخطية أيضًا في الهياكل الجبرية التعسفية. دع $ R $ يكون حلقة تبادلية ودع $ E $ و $ F $ يكون $ R $ - وحدات. تعيين المجموعات $ A: E rightarrow F $ يسمى عامل التفاضل الخطي للأمر على الأكثر $ m $ إذا كان مضافًا ولأي عنصر $ a في R $ فإن التعيين $ aA- Aa $ هو تفاضل خطي مشغل الطلب بحد أقصى $ m- 1 $. عامل التفاضل الخطي للأمر بحد أقصى $ - 1 $ يعني التعيين الصفري. على وجه الخصوص ، عامل التفاضل الخطي من الدرجة صفر هو تماثل من $ R $ - وحدات ، والعكس بالعكس. كل اشتقاق (راجع الاشتقاق في حلقة) $ v: R rightarrow F $ هو عامل تفاضل خطي من الدرجة الأولى (أو يساوي الصفر). إذا كان $ R $ جبرًا على حقل $ k $ ، فإن عامل التفاضل الخطي الذي يزيد عن $ R $ هو عامل تفاضل خطي فوق الحلقة $ R $ وهو تعيين خطي $ k $. مثل هذا المشغل التفاضلي الخطي لديه عدد من الخصائص الشكلية لمشغلي التفاضل الخطي العادي. إذا كان $ R $ هو الجبر لجميع متسلسلات القوة الرسمية التي تزيد عن $ k $ أو جبر سلسلة القوة المتقاربة التي تزيد عن $ k $ ، وإذا كان $ E $ و $ F $ مجانيان ، فإن $ R $ - وحدات من نوع محدود ، فكل عامل التفاضل الخطي $ A: E rightarrow F $ للطلب على الأكثر $ m $ يمكن كتابته بشكل فريد في الشكل (1).

لنفترض أن $ (X، < mathcal O>) $ يكون مساحة حلقية ودع $ E $ و $ F $ يكونان $ < mathcal O> $ -. المعامل التفاضلي الخطي $ A: E rightarrow F $ هو أي شكل حزمي يعمل في الألياف فوق كل نقطة $ x في X $ مثل عامل التفاضل الخطي فوق الحلقة (الجبر) $ < mathcal O> _ $. تم استخدام العوامل التفاضلية الخطية التي تعمل في وحدات أو حزم من الوحدات في عدد من الأسئلة في الهندسة الجبرية.


2. المعادلات التفاضلية الخطية ذات عامل التشغيل غير المحدود.

لنفترض أن $ A _ <0> (t) $ قابل للعكس لكل $ t $ ، بحيث يمكن حل (1) للمشتق وتأخذ الشكل

وافترض أن هنا $ A (t) $ هو عامل غير محدود في مساحة $ E $ ، مع مجال كثيف للتعريف $ D (A (t)) $ في $ E $ ومع مجموعة مذيب غير فارغة ، وافترض أن $ f (t) $ دالة معطاة و $ u (t) $ دالة غير معروفة ، كلاهما له قيم في $ E $.

حتى لأبسط معادلة $ dot = Au $ مع عامل غير محدود ، حلول مشكلة كوشي $ u (0) = u _ <0> $ ليست بالضرورة موجودة ، فقد تكون غير فريدة ، وقد تكون غير قابلة للتمديد إلى شبه المحور بالكامل ، لذا فإن التحقيقات الرئيسية مكرسة لمسائل الوجود والتفرد في الحلول. حل المعادلة $ dot = Au $ على الفاصل الزمني $ [0، T] $ يُفهم أنه دالة تأخذ قيمًا في $ D (A) $ ، قابلة للتفاضل على $ [0، T] $ وتفي بالمعادلة. في بعض الأحيان يكون هذا التعريف جامدًا للغاية ويقدم المرء مفهوم الحل الضعيف كدالة لها نفس الخصائص على $ (0، T] $ وتكون متصلة عند $ 0 $ فقط.

افترض أن عامل التشغيل $ A $ لديه محلل

$ R ( lambda، A) = (A - lambda I) ^ <-> 1 $

لكل ما يكفي من $ lambda $ الموجب وذاك

ثم حل المشكلة الضعيف

فريد في $ [0، T - h] $ ويمكن أن يتفرع لـ $ t = T - h $. إذا كان $ h = 0 $ ، يكون الحل فريدًا على شبه المحور بالكامل. هذا التأكيد دقيق فيما يتعلق بسلوك $ R ( lambda، A) $ كـ $ lambda rightarrow infty $.

إذا كان لكل $ u _ <0> في D (A) $ حلًا فريدًا للمشكلة (10) يمكن تفاضله باستمرار على $ [0، T] $ ، فيمكن تمديد هذا الحل إلى النصف بالكامل - المحور ويمكن تمثيله بالصيغة $ u (t) = U (t) u _ <0> $ ، حيث $ U (t) $ عبارة عن مجموعة شبه مستمرة بقوة من عوامل التشغيل المحدودة على $ [0 ، infty) $، $ U (0) = I $، الذي تم تقديره $ | يو (ر) | leq M e ^ < omega t> $ معلق. لكي تحصل المعادلة على هذه الخاصية ، من الضروري والكافي ذلك

$ علامة <11> | ( lambda - omega) ^ ص ^ ( لامدا ، أ) | leq M $

لكل $ lambda & gt omega $ و $ m = 1 ، 2 dots $ حيث $ M $ لا يعتمد على $ lambda $ و $ m $. من الصعب التحقق من هذه الشروط. إنهم راضون إذا $ | ( لامدا - أوميغا) ر ( لامدا ، أ) | leq 1 $ ثم $ | يو (ر) | leq e ^ < omega t> $. إذا كان $ omega = 0 $ ، فإن $ U (t) $ عبارة عن مجموعة شبه انكماشية. يكون هذا صحيحًا فقط إذا وفقط إذا كان $ A $ هو عامل التشتيت الأقصى. إذا كان $ u _ <0> notin D (A) $ ، فإن الوظيفة $ U (t) u _ <0> $ غير قابلة للتفاضل (على أي حال لـ $ t = 0 $) ، غالبًا ما يطلق عليها الحل المعمم من (10). حلول المعادلة $ dot = يمكن إنشاء $ Au كحدود ، مثل $ n rightarrow infty $ ، لحلول المعادلة $ dot = أ _ u $ مع عوامل التشغيل المحدودة ، في ظل نفس الظروف الأولية. لهذا يكفي أن المشغلين $ A _ $ commute ، تقارب بقوة إلى $ A $ على $ D (A) $ وهذا

إذا تم استيفاء الشروط (11) ، فإن المشغلين $ A _ = - nI - n ^ <2> R ( lambda، A) $ (عوامل Yosida) لها هذه الخصائص.

طريقة أخرى لبناء حلول المعادلة $ dot = A u $ يعتمد على تحويل لابلاس. إذا تم تعريف مُحلل $ A $ في بعض الكفاف $ Gamma $ ، فإن الوظيفة

$ tag <12> u (t) = - frac <1> <2 pi i> int limits _ Gamma e ^ < lambda t> R ( lambda، A) u _ <0> d لامدا $

رسميًا يفي بالمعادلة

$ نقطة = A u + frac <1> <2 pi i> int limits _ Gamma e ^ < lambda t> d lambda u _ <0>. $

إذا تم ضمان تقارب التكاملات ، وصحة التفاضل تحت علامة التكامل وتلاشي آخر تكامل ، فإن $ u (t) $ يفي بالمعادلة. تكمن الصعوبة في حقيقة أن معيار المذيب لا يمكن أن ينخفض ​​أسرع من $ | لامدا | ^ <-> 1 دولار في ما لا نهاية. ومع ذلك ، فإنه في بعض العناصر ينخفض ​​بشكل أسرع. على سبيل المثال ، إذا تم تعريف $ R ( lambda، A) $ لـ $ mathop < rm Re> lambda geq alpha $ وإذا

$ | ص ( لامدا ، أ) | leq M | لامدا | ^ ، k geq - 1 ، $

مقابل $ | كبير بما يكفي لامدا | $ ، ثم لـ $ Gamma = (- i infty، i infty) تعطي الصيغة $ (12) حلاً لأي $ u _ <0> in D (A ^ <[k] + 3>) $. في حالة "أقل جودة" ، عندما يتم استيفاء عدم المساواة السابقة في المجال فقط

(المعادلات القطعية الضعيفة) ، و $ Gamma $ هي حدود هذا المجال ، يحصل المرء على حل فقط لـ $ u _ <0> $ ينتمي إلى تقاطع نطاقات تعريف جميع قوى $ A $ ، مع سلوك محدد لـ $ | أ ^ ش _ <0> | $ كـ $ n rightarrow infty $.

يتم الحصول على حلول أضعف بشكل ملحوظ في حالة انتقال $ Gamma $ إلى نصف المستوى الأيسر ، ويمكن للمرء استخدام تقليل الوظيفة $ | ه ^ < lambda t> | $ عليها. كقاعدة عامة ، زادت الحلول من نعومة $ t & gt 0 $. إذا كان المذيب محددًا على الكفاف $ Gamma $: $ mathop < rm Re> lambda = - psi (| mathop < rm Im> lambda |) $ ، حيث $ psi ( tau) $ هي دالة مقعرة سلسة وغير متناقصة تزيد مثل $ mathop < rm ln> tau $ عند $ infty $ ، ثم لأي $ u _ <0> في E $ تكون الوظيفة (12) قابلة للتفاضل و يفي بالمعادلة ، بدءًا من بعض $ t _ <0> $ كلما زاد $ t $ أكثر ، تزداد نعومتها. إذا زاد $ psi ( tau) $ مثل قوة $ tau $ مع الأس أقل من واحد ، فإن الوظيفة (12) قابلة للتفاضل بلا حدود لـ $ t & gt 0 $ إذا كان $ psi ( tau) $ يزيد مثل $ tau / mathop < rm ln> tau $ ، ثم $ u (t) $ ينتمي إلى فئة شبه تحليلية من الوظائف إذا زادت مثل دالة خطية ، فإن $ u (t) $ تحليلي. في جميع هذه الحالات ، تحقق المعادلة $ dot = A u $.

يمكن الحصول على وجود المذيب على الأكفة التي تدخل في نصف المستوى الأيسر ، باستخدام تمدد السلسلة ، من التقديرات المقابلة على الخطوط الرأسية. If لـ $ mathop < rm Re> lambda geq gamma $ ،

$ علامة <13> | ص ( لامدا ، أ) | leq M (1 + | mathop < rm Im> lambda |) ^ <- beta>، 0 & lt beta & lt 1، $

ثم لكل $ u _ <0> في D (A) $ يوجد حل للمشكلة (10). كل هذه الحلول قابلة للتفاضل بلا حدود مقابل $ t & gt 0 $. يمكن تمثيلها بالصيغة $ u (t) = U (t) u _ <0> $ ، حيث $ U (t) $ عبارة عن مجموعة شبه قابلة للتفاضل بلا حدود لـ $ t & gt 0 $ ، بشكل عام ، تفرد عند $ t = 0 $. لمشتقاته واحد لديه التقديرات

إذا كان التقدير (13) محققًا لـ $ beta = 1 $ ، فكل الحلول المعممة للمعادلة $ dot = Au $ تحليلي في بعض القطاعات التي تحتوي على شبه محور موجب.

المعادلة $ dot = يُطلق على Au $ معادلة قطع مكافئ مجردة إذا كان هناك حل ضعيف فريد على $ [0 ، infty] $ يفي بالشرط الأولي $ u (0) = u _ <0> $ لأي $ u _ <0> في E $. لو

$ علامة <14> | ص ( لامدا ، أ) | leq M | لامدا - أوميغا | ^ <-> 1 textrm mathop < rm Re> lambda & gt omega، $

إذن المعادلة هي معادلة قطع مكافئ مجردة. جميع حلولها المعممة تحليلية في بعض القطاعات التي تحتوي على شبه المحور الموجب ، و

حيث لا يعتمد $ C $ على $ u _ <0> $. على العكس من ذلك ، إذا كانت المعادلة تحتوي على الخصائص المدرجة ، فسيتم تلبية (14) لعامل التشغيل $ A $.

إذا كانت المشكلة (10) تحتوي على حل ضعيف فريد لأي $ u _ <0> في D (A) $ حيث يكون المشتق قابلًا للتكامل في كل فترة زمنية محددة ، فيمكن تمثيل هذه الحلول بالصيغة $ u (t) = U (t) u _ <0> $ ، حيث $ U (t) $ عبارة عن مجموعة شبه مستمرة بقوة على $ (0، infty) $ ، وكل حل ضعيف للمعادلة غير المتجانسة $ dot = Av + ​​f (t) $ بالشرط الأولي $ v (0) = 0 $ يمكن تمثيله في النموذج

$ tag <15> v (t) = int limits _ <0> ^ U (t- s) f (s) ds. $

يتم تعريف الدالة $ v (t) $ لأي $ f (t) $ مستمر ، ومن ثم يطلق عليها الحل العام للمعادلة غير المتجانسة. للتأكد من أنها قابلة للتفاضل ، يفرض المرء شروط السلاسة على $ f (t) $ ، و "أسوأ" مجموعة شبه $ U (t) $ ، يجب أن تكون "أعلى". وبالتالي ، في ظل الظروف السابقة ، (15) هو حل ضعيف للمعادلة غير المتجانسة إذا كان $ f (t) $ قابل للاشتقاق مرتين بشكل مستمر إذا تم استيفاء (11) ، ثم (15) حل إذا $ f (t) $ قابل للتفاضل باستمرار إذا كان (13) راضٍ عن $ beta & gt 2/3 $ ، ثم $ v (t) $ هو حل ضعيف إذا كان $ f (t) $ يفي بشرط Hölder مع الأس $ gamma & gt 2 (1 - 1 / بيتا) $. بدلاً من نعومة $ f (t) $ فيما يتعلق بـ $ t $ ، يمكن للمرء أن يطلب أن تنتمي قيم $ f (t) $ إلى مجال تعريف القوة المقابلة لـ $ A $.

للحصول على معادلة ذات عامل متغير

$ علامة <16> نقطة = A (t) u، 0 leq t leq T، $

هناك بعض نظريات الوجود والتفرد الأساسية حول الحلول (الحلول الضعيفة) لمسألة كوشي $ u (s) = u _ <0> $ على الفاصل $ s leq t leq T $. إذا كان مجال تعريف $ A (t) $ لا يعتمد على $ t $ ،

إذا كان العامل $ A (t) $ مستمرًا بقوة بالنسبة إلى $ t $ على $ D (A) $ وإذا

$ | lambda R ( lambda، A (t)) | leq 1 دولار

مقابل $ lambda & gt 0 $ ، فإن حل مشكلة كوشي فريد من نوعه. علاوة على ذلك ، إذا كان $ A (t) $ قابلاً للتفاضل بشكل مستمر على $ D (A) $ ، فعند كل $ u _ <0> في D (A) $ يوجد حل ويمكن تمثيله في النموذج

حيث $ U (t، s) $ هو عامل تطور بالخصائص التالية:

1) $ U (t، s) $ مستمر بقوة في المثلث $ T _ Delta $: $ 0 leq s leq t leq T $

2) $ U (t، s) = U (t، tau) U ( tau، s) $، $ 0 leq s leq tau leq t leq T $، $ U (s، s) = أنا دولار

3) $ U (t، s) $ خرائط $ D (A) $ داخل نفسه وعامل التشغيل

محدد ومستمر بقوة $ T _ Delta $

4) في $ D (A) $ عامل التشغيل $ U (t، s) $ قابل للتفاضل بشدة فيما يتعلق بـ $ t $ و $ s $ و

يتم تنفيذ بناء عامل التشغيل $ U (t، s) $ عن طريق تقريب $ A (t) $ بواسطة المشغلين المقيدين $ A _ (t) $ والاستعاضة عن الأخيرة بعوامل التشغيل الثابتة متعددة التعريف.

في العديد من المشكلات المهمة ، لا يتم استيفاء الشروط السابقة على العامل $ A (t) $. لنفترض أنه بالنسبة للمشغل $ A (t) $ ، هناك ثوابت $ M $ و $ omega $ على هذا النحو

$ | ص ( لامدا ، أ (ر _ )) dots R ( lambda، A (t _ <1>)) | leq M ( lambda - omega) ^ <-> k $

لكل $ lambda & gt omega $ ، $ 0 leq t _ <1> leq dots leq t _ leq T $ ، $ k = 1 ، 2 ،. . . $. لنفترض أنه في $ E $ توجد مساحة Banach مضمنة بكثافة $ F $ موجودة في $ D (A (t)) $ ولها الخصائص التالية: أ) عامل التشغيل $ A (t) $ يتصرف بشكل محدود من $ F $ إلى $ E $ وهو مستمر بالنسبة إلى $ t $ في القاعدة كعامل مقيد من $ F $ إلى $ E $ و b) هناك تماثل $ S $ من $ F $ على $ E $ مثل ذلك

حيث $ B (t) $ هي دالة عامل محدودة بـ $ E $ وقابلة للقياس بشدة ، والتي من أجلها $ | ب (ر) | $ قابل للتكامل على $ [0، T] $. ثم هناك عامل تطور $ U (t، s) $ له الخصائص: 1) 2) 3 ') $ U (t، s) F subset F $ و $ U (t، s) $ مستمر بقوة في $ F $ على $ T _ Delta $ و 4 ') على $ F $ المشغل $ U (t، s) $ قابل للتفاضل بشدة بمعنى المعيار $ E $ و $ جزئي U / جزئي t = A (t) U $ ، $ جزئي U / جزئي s = - UA (s) $. هذا التأكيد يجعل من الممكن الحصول على نظريات الوجود للمعادلات شبه الخطية الأساسية للفيزياء الرياضية من النوع الزائدي.

يتم استخدام طريقة المعاملات المجمدة في نظرية المعادلات المكافئة. افترض أنه مقابل كل $ t _ <0> في [0، T] $ إلى المعادلة $ dot = A ( t _ <0>) u $ corresponds an operator semi-group $ U _ ) > ( t) $. The unknown evolution operator formally satisfies the integral equations

$ + intlimits _ < s >^ < t >U _ ( t - s ) [ A ( au ) - A ( t) ] U ( au , s ) d au , $

$ + intlimits _ < s >^ < t >U ( t , au ) [ A ( au ) - A ( s) ] U _ ( au - s ) d au . $

When the kernels of these equations have weak singularities, one can prove that the equation has solutions and also that $ U ( t , s ) $ is an evolution operator. The following statement has the most applications: If

$ D ( A ( t) ) equiv D ( A) , | R ( lambda , A ( t) ) | < M ( 1 + | lambda | ) ^ <->1 $

for $ mathop < m Re>lambda geq 0 $ and

$ | [ A ( t) - A ( s) ] A ^ <->1 ( 0) | leq C | t - s | ^ ho $

(a Hölder condition), then there is an evolution operator $ U ( t , s ) $ that gives a weak solution $ U ( t , s ) u _ <0>$ of the Cauchy problem for every $ u _ <0>in E $. Uniqueness of the solution holds under the single condition that the operator $ A ( t) A ^ <->1 ( 0) $ is continuous (in a Hilbert space). An existence theorem similar to the one given above holds for the operator $ A ( t) $ with a condition of type (13) and for a certain relation between $ eta $ and $ ho $.

The assumption that $ D ( A ( t) ) $ is constant does not make it possible in applications to consider boundary value problems with boundary conditions depending on $ t $. لنفترض أن

$ | R ( lambda , A ( t) ) | leq M ( 1 + | lambda | ) ^ <->1 , mathop < m Re>lambda > 0 $

$ left | فارك 1 ( t) >

- frac 1 ( s) > ight | leq K | t - s | ^ alpha , 0 < alpha < 1 $

$ left | frac partial R ( lambda , A ( t) ) ight | leq N | lambda | ^ < ho - 1 >, 0 leq ho leq 1 , $

in the sector $ | mathop < m arg>lambda | leq pi - phi $, $ phi < pi / 2 $ then there is an evolution operator $ U ( t , s ) $. Here it is not assumed that $ D ( A ( t) ) $ is constant. There is a version of the last statement adapted to the consideration of parabolic problems in non-cylindrical domains, in which $ D ( A ( t) ) $ for every $ t $ lies in some subspace $ E ( t) $ of $ E $.

The operator $ U ( t , s ) $ for equation (16) formally satisfies the integral equation

$ ag <17 >U ( t , s ) = I + intlimits _ < s >^ < t >A ( au ) U ( au , s ) d au . $

Since $ A ( t) $ is unbounded, this equation cannot be solved by the method of successive approximation (cf. Sequential approximation, method of). Suppose that there is a family of Banach spaces $ E _ alpha $, $ 0 leq alpha leq 1 $, having the property that $ E _ eta subset E _ alpha $ and $ | x | _ alpha leq | x | _ eta $ for $ alpha < eta $. Suppose that $ A ( t) $ is bounded as an operator from $ E _ eta $ to $ E _ alpha $:

and that $ A ( t) $ is continuous with respect to $ t $ in the norm of the space of bounded operators from $ E _ eta $ to $ E _ alpha $. Then in this space the method of successive approximation for equation (17) will converge for $ | t - s | leq ( eta - alpha ) ( Ce ) ^ <->1 $. In this way one can locally construct an operator $ U ( t , s ) $ as a bounded operator from $ E _ eta $ to $ E _ alpha $. In applications this approach gives theorems of Cauchy–Kovalevskaya type (cf. Cauchy–Kovalevskaya theorem).

For the inhomogeneous equation (9) with known evolution operator, for the equation $ dot = A ( t) u $ the solution of the Cauchy problem is formally written in the form

$ u ( t) = U ( t , s ) u _ <0>+ intlimits _ < s >^ < t >U ( t , au ) f ( au ) d au . $

This formula can be justified in various cases under certain smoothness conditions on $ f ( t) $.


Differential operator


A generalization of the concept of a differentiation operator. A differential operator (which is generally discontinuous, unbounded and non-linear on its domain) is an operator defined by some differential expression, and acting on a space of (usually vector-valued) functions (or sections of a differentiable vector bundle) on differentiable manifolds or else on a space dual to a space of this type. A differential expression is a mapping $ lambda $ of a set $ Omega $ in the space of sections of a vector bundle $ xi $ with base $ M $ into the space of sections of a vector bundle $ eta $ with the same base such that for any point $ p in M $ and arbitrary sections $ f , g in Omega $ the coincidence of their $ k $- jets (cf. Jet) at $ p $ entails the coincidence of $ lambda f $ and $ lambda g $ at that point. The smallest number $ k $ which meets this condition for all $ p in M $ is said to be the order of the differential expression and the order of the differential operator defined by this expression.

A differential operator on a manifold $ M $ without boundary often proves to be an extension of an operator which is defined in a natural manner by a fixed differential expression on some set, open in an appropriate topology, of infinitely (or sufficiently often) differentiable sections of a given vector bundle $ xi $ with base $ M $, and thus permits a natural extension to the case of sheaves of germs of sections of differentiable vector bundles. A differential operator $ L $ on a manifold $ M $ with boundary $ partial M $ is often defined as an extension of an analogous operator which is naturally defined by a differential expression on the set of differentiable functions (or sections of a vector bundle), the restrictions of which to $ partial M $ lie in the kernel of some differential operator $ l $ on $ partial M $( or satisfies some other conditions definable by some requirements to be satisfied in the domain of values of an operator $ l $ on the restrictions of the functions from the domain of definition of $ L $, such as inequalities) the differential operator $ l $ is said to define the boundary conditions for the differential operator $ L $. Linear differential operators on spaces dual to spaces of functions (or sections) are defined as operators dual to the differential operators of the above type on these spaces.

أمثلة.

1) Let $ F $ be a real-valued function of $ k+ 2 $ variables $ x , y _ <0>dots y _ $, defined in some rectangle $ Delta = I imes J _ <0> imes dots imes J _ $ the differential expression

$ D u = F left ( x , u , frac dots frac u > > ight ) $

(where $ F $ usually satisfies some regularity conditions such as measurability, continuity, differentiability, etc.) defines a differential operator $ D $ on the manifold $ I $, the domain of definition $ Omega $ of which consists of all functions $ u in C ^ ( I ) $ satisfying the condition $ u ^ <(>i) ( x) in J _ $ for $ i = 1 , 2 ,dots $. If $ F $ is continuous, $ D $ may be considered as an operator on $ C ( I) $ with domain of definition $ Omega $ the differential operator $ D $ is said to be a general ordinary differential operator. If $ F $ depends on $ y _ $, the order of $ D $ is $ k $. $ D $ is said to be quasi-linear if it depends linearly on $ y _ $ it is linear if $ F $ depends linearly on $ y _ <0>dots y _ $ it is said to be linear with constant coefficients if $ F $ is independent of $ x $ and if $ D $ is a linear differential operator. The remaining differential operators are said to be non-linear. If certain conditions as to the regularity of $ F $ are satisfied, a quasi-linear operator may be extended to a differential operator from one Sobolev space into another.

2) Let $ x = ( x ^ <1>dots x ^ ) $ run through a domain $ $ in $ mathbf R ^ $, let $ F = ( x , u , D ^ <(>n) ( u) ) $ be a differential expression defined by a real-valued function $ F $ on the product of $ $ and some open rectangle $ omega $, where $ D ^ <(>n) ( u) $ is a set of partial derivatives of the type $ D ^ alpha u = partial ^ + dots + alpha _ > u / ( partial x ^ <1>) ^ > dots ( partial x ^ ) ^ > $, where $ alpha _ <1>+ dots + alpha _ leq n $, and, as in example 1), let the function $ F $ satisfy certain regularity conditions. The differential operator defined by this expression on the space of sufficiently often differentiable functions on $ $ is known as a general partial differential operator. As in example 1), one defines non-linear, quasi-linear and linear partial differential operators and the order of a partial differential operator a differential operator is said to be elliptic, hyperbolic or parabolic if it is defined by a differential expression of the respective type. One sometimes considers functions $ F $ depending on derivatives of all orders (e.g. as their formal linear combination) such differential expressions, although not defining a differential operator in the ordinary sense, can nevertheless be brought into correspondence with certain operators (e.g. on spaces of germs of analytic functions), and are known as differential operators of infinite order.

3) The previous examples may be extended to include the complex-valued case or the case of functions with values in a locally compact, totally disconnected field and (at least in the case of linear differential operators) even to a more general situation (cf. Differential algebra).

4) Systems of differential expressions define differential operators on spaces of vector functions. For example, the Cauchy–Riemann differential operator, defined by the expression $ < partial u / partial x - partial v / partial y, partial u / partial y + partial v / partial x >$, converts the space of pairs of harmonic functions on the plane into itself.

In the definition of a differential operator and of its generalizations one often employs (besides ordinary derivatives) generalized derivatives, which appear in a natural manner when considering extensions of differential operators defined on differentiable functions, and weak derivatives, related to the transition to the adjoint operator. Moreover, derivatives of fractional and negative orders appear when the differentiation is defined by means of a Fourier transform (or some other integral transform), applicable to the domain of definition and range of such a generalized differential operator (cf. Pseudo-differential operator). This is done in order to obtain the simplest possible representation of the corresponding differential operator of a function $ F $ and to attain a reasonable generality in the formulation of problems and satisfactory properties of the objects considered. In this way, a functional or operational calculus is obtained, extending the correspondence between the differentiation operator and the operator of multiplication by the independent variable as realized in the Fourier transform.

Problems in the theory of differential equations — such as problems of existence, uniqueness, regularity, continuous dependence of the solutions on the initial data or on the right-hand side, the explicit form of a solution of a differential equation defined by a given differential expression — are readily interpreted in the theory of operators as problems on the corresponding differential operator defined on suitable function spaces — viz. as problems on kernels, images, the structure of the domain of definition of a given differential operator $ L $ or of its extension, continuity of the inverse of the given differential operator and explicit construction of this inverse operator. Problems of the approximation of solutions and of the construction of approximate solutions of differential equations are also readily generalized and improved as problems on the corresponding differential operators, viz. — selection of natural topologies in the domain of definition and in the range such that the operator $ L $( if the solutions are unique) realizes a homeomorphism of the domains of definition and ranges in these topologies (this theory is connected with the theory of interpolation and scales (grading) of function spaces, in particular for linear and quasi-linear differential operators). Another example is the selection of differential operators close to a given operator in some definite sense (which makes it possible by using appropriate topologies in the space of differential operators, to justify methods of approximation of equations, such as the regularization and the penalty method, and iterated regularization methods). The theory of differential operators makes it possible to apply classical methods in the theory of operators, e.g. the theory of compact operators, and the method of contraction mappings in various existence and uniqueness theorems for differential equations, in the theory of bifurcation of solutions and in non-linear eigen value problems. Other applications utilize a natural order structure present in function spaces on which a differential operator is defined (in particular, the theory of monotone operators), or use methods of linear analysis (the theory of duality, convex sets, dual or dissipative operators). Again, variational methods and the theory of extremal problems or the presence of certain supplementary structures (e.g. complex, symplectic, etc.) can be used in order to clarify the structure of the kernel and range of the differential operator, i.e. to obtain information on the solution space of the respective equations. Many problems connected with differential expressions necessitate a study of differential inequalities, which are closely connected with multi-valued differential operators.

Thus, the theory of differential operators makes it possible to eliminate a number of difficulties involved in the classical theory of differential equations. The utilization of various extensions of classical differential operators leads to the concept of generalized solutions of the corresponding differential equations (which necessarily proved to be classical in several cases connected with, say, elliptic problems), while the utilization of the linear structure makes it possible to introduce the concept of weak solutions of differential equations. In choosing a suitable extension of a differential operator as defined by a differential expression, a priori estimates of solutions connected with such an expression are of importance, since they permit one to identify function spaces on which the extended operator is continuous or bounded.

Moreover, the theory of differential operators also makes it possible to formulate and solve many new problems, which are qualitatively different from the classical problems in the theory of differential equations. Thus, in the study of non-linear operators it is of interest to study the structure of the set of its stationary points and the action of the operator in a neighbourhood of them, as well as the classification of these singular points, and the stability of the type of the singular point when the respective differential operator is perturbed. Other subjects of interest in the theory of linear differential operators are the description and the study of the spectrum of a differential operator, the calculation of its index, the structure of invariant subspaces of the differential operator, the harmonic analysis of a given differential operator (in particular, the decomposition, which requires a preliminary study of the completeness of the system of eigen functions and associated functions). There is also the study of linear and non-linear perturbations of a given differential operator. These results are of special interest for elliptic differential operators generated by symmetric differential expressions in the context of the theory of self-adjoint operators on a Hilbert space (in particular, in the spectral theory of these operators and the theory of extensions of symmetric operators). The theory of various hyperbolic and parabolic (not necessarily linear) differential operators is connected with the theory of groups and semi-groups of operators on locally convex spaces.

Next to the linear class of differential operators, perhaps the most intensively studied class are differential operators which are either invariant or which vary according to a specific law when certain transformations constituting a group (or a semi-group) $ G $ are acting in their domain of definition, and hence also on the differential expression. These include, for instance, invariant differential operators connected with the representations of a group $ G $ the covariant derivative or, more generally, differential operators on spaces of differentiable tensor fields, where $ G $ is the group of all diffeomorphisms (the so-called atomization) many examples of operators in theoretical physics, etc. Such functional-geometric methods are also useful in the study of differential operators with so-called hidden symmetry (see, for example, Korteweg–de Vries equation).


محتويات

The most common differential operator is the action of taking the derivative. Common notations for taking the first derivative with respect to a variable x include:

When taking higher, نth order derivatives, the operator may be written:

The derivative of a function F of an argument x is sometimes given as either of the following:

ال د notation's use and creation is credited to Oliver Heaviside, who considered differential operators of the form

One of the most frequently seen differential operators is the Laplacian operator, defined by

Another differential operator is the Θ operator, or theta operator, defined by [1]

This is sometimes also called the homogeneity operator, because its eigenfunctions are the monomials in ض:

في ن variables the homogeneity operator is given by

As in one variable, the eigenspaces of Θ are the spaces of homogeneous polynomials.

In writing, following common mathematical convention, the argument of a differential operator is usually placed on the right side of the operator itself. Sometimes an alternative notation is used: The result of applying the operator to the function on the left side of the operator and on the right side of the operator, and the difference obtained when applying the differential operator to the functions on both sides, are denoted by arrows as follows:

Such a bidirectional-arrow notation is frequently used for describing the probability current of quantum mechanics.

The differential operator del, also called nabla, is an important vector differential operator. It appears frequently in physics in places like the differential form of Maxwell's equations. In three-dimensional Cartesian coordinates, del is defined as

Del defines the gradient, and is used to calculate the curl, divergence, and Laplacian of various objects.

Given a linear differential operator T

the adjoint of this operator is defined as the operator T ∗ > such that

where the notation ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ is used for the scalar product or inner product. This definition therefore depends on the definition of the scalar product.

Formal adjoint in one variable Edit

In the functional space of square-integrable functions on a real interval (أ, ب) , the scalar product is defined by

where the line over F(x) denotes the complex conjugate of F(x). If one moreover adds the condition that F أو ز vanishes as x → a and x → b , one can also define the adjoint of تي بواسطة

This formula does not explicitly depend on the definition of the scalar product. It is therefore sometimes chosen as a definition of the adjoint operator. When T ∗ > is defined according to this formula, it is called the formal adjoint من تي.

A (formally) المعاينة الذاتية operator is an operator equal to its own (formal) adjoint.

Several variables Edit

If Ω is a domain in ص ن ، و ص a differential operator on Ω, then the adjoint of ص is defined in إل 2 (Ω) by duality in the analogous manner:

for all smooth إل 2 functions F, ز. Since smooth functions are dense in إل 2 , this defines the adjoint on a dense subset of إل 2 : P * is a densely defined operator.

مثال تحرير

The Sturm–Liouville operator is a well-known example of a formal self-adjoint operator. This second-order linear differential operator إل can be written in the form

L u = − ( p u ′ ) ′ + q u = − ( p u ″ + p ′ u ′ ) + q u = − p u ″ − p ′ u ′ + q u = ( − p ) D 2 u + ( − p ′ ) D u + ( q ) u . u+(-p')Du+(q)u.!>

This property can be proven using the formal adjoint definition above.

This operator is central to Sturm–Liouville theory where the eigenfunctions (analogues to eigenvectors) of this operator are considered.

أين F و ز are functions, and أ ثابت.

Any polynomial in د with function coefficients is also a differential operator. We may also compose differential operators by the rule

Some care is then required: firstly any function coefficients in the operator د2 must be differentiable as many times as the application of د1 requires. To get a ring of such operators we must assume derivatives of all orders of the coefficients used. Secondly, this ring will not be commutative: an operator gD isn't the same in general as Dg. For example we have the relation basic in quantum mechanics:

The subring of operators that are polynomials in د with constant coefficients is, by contrast, commutative. It can be characterised another way: it consists of the translation-invariant operators.

The differential operators also obey the shift theorem.

The same constructions can be carried out with partial derivatives, differentiation with respect to different variables giving rise to operators that commute (see symmetry of second derivatives).

Ring of univariate polynomial differential operators Edit

لو ص is a ring, let R ⟨ D , X ⟩ be the non-commutative polynomial ring over ص in the variables د و X، و أنا the two-sided ideal generated by DXXD − 1. Then the ring of univariate polynomial differential operators over ص is the quotient ring R ⟨ D , X ⟩ / I . This is a non-commutative simple ring. Every element can be written in a unique way as a ص-linear combination of monomials of the form X a D b mod I < ext< mod >>I> . It supports an analogue of Euclidean division of polynomials.

Ring of multivariate polynomial differential operators Edit

for all 1 ≤ i , j ≤ n , where δ is Kronecker delta. Then the ring of multivariate polynomial differential operators over ص is the quotient ring R ⟨ D 1 , … , D n , X 1 , … , X n ⟩ / I ,ldots ,D_,X_<1>,ldots ,X_ angle /I> .

This is a non-commutative simple ring. Every element can be written in a unique way as a ص-linear combination of monomials of the form X 1 a 1 … X n a n D 1 b 1 … D n b n ^>ldots X_^<>>D_<1>^>ldots D_^<>>> .

In differential geometry and algebraic geometry it is often convenient to have a coordinate-independent description of differential operators between two vector bundles. يترك ه و F be two vector bundles over a differentiable manifold م. ان ص-linear mapping of sections ص : Γ(ه) → Γ(F) is said to be a كth-order linear differential operator if it factors through the jet bundle ي ك (ه). In other words, there exists a linear mapping of vector bundles

أين ي ك : Γ(ه) → Γ(ي ك (ه)) is the prolongation that associates to any section of ه its ك-jet.

This just means that for a given section س من ه, the value of ص(س) at a point xم is fully determined by the كth-order infinitesimal behavior of س في x. In particular this implies that ص(س)(x) is determined by the germ of س في x, which is expressed by saying that differential operators are local. A foundational result is the Peetre theorem showing that the converse is also true: any (linear) local operator is differential.

Relation to commutative algebra Edit

An equivalent, but purely algebraic description of linear differential operators is as follows: an ص-linear map ص هو كth-order linear differential operator, if for any ك + 1 smooth functions f 0 , … , f k ∈ C ∞ ( M ) ,ldots ,f_in C^(M)> we have

[ f , P ] ( s ) = P ( f ⋅ s ) − f ⋅ P ( s ) .

This characterization of linear differential operators shows that they are particular mappings between modules over a commutative algebra, allowing the concept to be seen as a part of commutative algebra.

  • In applications to the physical sciences, operators such as the Laplace operator play a major role in setting up and solving partial differential equations.
  • In differential topology, the exterior derivative and Lie derivative operators have intrinsic meaning.
  • In abstract algebra, the concept of a derivation allows for generalizations of differential operators, which do not require the use of calculus. Frequently such generalizations are employed in algebraic geometry and commutative algebra. See also Jet (mathematics).
  • In the development of holomorphic functions of a complex variableض = x + i ذ, sometimes a complex function is considered to be a function of two real variables x و ذ. Use is made of the Wirtinger derivatives, which are partial differential operators:

The conceptual step of writing a differential operator as something free-standing is attributed to Louis François Antoine Arbogast in 1800. [2]


Classics in Applied Mathematics

Don't let the title fool you! If you are interested in numerical analysis, applied mathematics, or the solution procedures for differential equations, you will find this book useful. Because of Lanczos' unique style of describing mathematical facts in nonmathematical language, Linear Differential Operators also will be helpful to nonmathematicians interested in applying the methods and techniques described.

Originally published in 1961, this Classics edition continues to be appealing because it describes a large number of techniques still useful today. Although the primary focus is on the analytical theory, concrete cases are cited to forge the link between theory and practice. Considerable manipulative skill in the practice of differential equations is to be developed by solving the 350 problems in the text. The problems are intended as stimulating corollaries linking theory with application and providing the reader with the foundation for tackling more difficult problems.

Lanczos begins with three introductory chapters that explore some of the technical tools needed later in the book, and then goes on to discuss interpolation, harmonic analysis, matrix calculus, the concept of the function space, boundary value problems, and the numerical solution of trajectory problems, among other things. The emphasis is constantly on one question: “What are the basic and characteristic properties of linear differential operators?”

In the author's words, this book is written for those “to whom a problem in ordinary or partial differential equations is not a problem of logical acrobatism, but a problem in the exploration of the physical universe. To get an explicit solution of a given boundary value problem is in this age of large electronic computers no longer a basic question. But of what value is the numerical answer if the scientist does not understand the peculiar analytical properties and idiosyncrasies of the given operator? The author hopes that this book will help in this task by telling something about the manifold aspects of a fascinating field.”

In one of the (unfortunately lost) comedies of Aristophanes the Voice of the Mathematician appeared, as it descended from a snow-capped mountain peak, pronouncing in a ponderous sing-song—and words which to the audience sounded like complete gibberish—his eternal Theorems, Lemmas, and Corollaries. The laughter of the listeners was enhanced by the implication that in fifty years' time another Candidate of Eternity would pronounce from the same snow-capped mountain peak exactly the same theorems, although in a modified but scarcely less ponderous and incomprehensible language.

Since the days of antiquity it has been the privilege of the mathematician to engrave his conclusions, expressed in a rarefied and esoteric language, upon the rocks of eternity. While this method is excellent for the codification of mathematical results, it is not so acceptable to the many addicts of mathematics, for whom the science of mathematics is not a logical game, but the language in which the physical universe speaks to us, and whose mastery is inevitable for the comprehension of natural phenomena.

In his previous books the author endeavoured to establish a more discursive manner of presentation in which the esoteric shorthand formulation of mathematical deductions and results was replaced by a more philosophic exposition, putting the emphasis on ideas and concepts and their mutual interrelations, rather than on the mere manipulation of formulae. Our symbolic mechanism is eminently useful and powerful, but the danger is ever-present that we become drowned in a language which has its well-defined grammatical rules but eventually loses all content and becomes a nebulous sham. Hence the author's constant desire to penetrate below the manipulative surface and comprehend the hidden springs of mathematical equations.

To the author's surprise this method (which, of course, is not his monopoly) was well received and made many friends and few enemies. It is thus his hope that the present book, which is devoted to the fundamental aspects of the theory of Linear Differential Operators, will likewise find its adherents. The book is written at advanced level but does not require any specific knowledge which goes beyond the boundaries of the customary introductory courses, since the necessary tools of the subject are developed as the narration proceeds.


Differential and Integral Calculus on Manifolds

5.2.2 Differential operators and point distributions

(I) D ifferential operators يترك ب be a pure ف-dimensional manifold that is locally compact and countable at infinity and مب, نب two complex vector bundles of finite ranks م و ن, respectively ( section 3.4.1 , Definition 3.22 ). The space Γ(Β, م) of sections of class ج ∞ of م is a Fréchet nuclear space, like ℰ U itself whenever يو is an open subset of ℝ q ([P2], sections 4.3.1 (I) and 4.3.2 (III)). Hence, this space is separable ([P2], section 3.11.3(I)).

Definition 5.5

A linear differential operator of class Cfrom M into N is a continuous linear mapping P : Fص. f from Γ(Β, م) into Γ(Β, ن) that satisfies the following condition:

(إل) For every open subset U of Β and every morphic section f ∈ Γ(Β, م) such that f |يو = 0، لدينا (ص.F)|يو = 0.

The condition (L) expresses the محلي nature of the operator ص. Write Diff (ب م, ن) for the set of these differential operators this is an ℰ B -module.

The local trivialization condition (V) of the vector bundles م و ن ( Definition 3.22 (i)) implies that, for every بΒ, there exists an open neighborhood يو من ب that is the domain of a chart ج = (يو, ξ, ف) من Β over which these two fibers can be identified with the trivial bundles U × ℂ m and U × ℂ n , respectively. Hence, for every section F ∈ Γ(Β, م), there exist a mapping g V ∈ ℰ V , with الخامس = ξ (يو), and a linear differential operator Q : ℰ V m → ℰ V n such that both squares of the following diagram commute (the rows of this diagram are not compositions):

We say that س is the local expression of ص corresponding to the chart ج (and the local trivializations specified above). Given the topology of ℰ V ([P2], section 4.3.1 (I)), with the notation of section 1.2.4 (IV) , the operator س is of the form

أين xأα (x)(x = ξ (ب)) is a mapping of class ج ∞ from الخامس = ξ (يو) into Hom ℂ m ℂ n ≅ ℂ m × n (exercise*: see [DIE 93] , Volume 3, (17.13.3)). ال order of the differential operator ص at the point ب is defined as the greatest integer | α | مثل ذلك أα ≠ 0.

لو م و ن are both equal to the trivial bundle B × ℂ , then Γ(Β, م) and Γ(Β, ن) can both be identified with ℰ B , in which case Diff (ب م, ن) is simply written as Diff(ب).

(II) S heaf of differential operators For every بΒ and every open neighborhood يو من ب، يترك م |يو و ن |يو be the vector bundles induced by م و ن, respectively, on يو ( section 3.3.1 , Lemma-Definition 3.4 (4)). Let h ∈ ℰ B be a mapping such that supp(ح) ⊂ يو و ح is equal to 1 in a neighborhood دبليويو من ب (the existence of such a function follows from Theorem 2.13 and Corollary 2.17 ). يترك F ∈ Γ(يو, م) و ص ∈ Diff (ب م, ن) ح.F, extended by 0 outside of supp (ح), is an element of Γ(Β م). Hence, we can form ص. (ح.F). This quantity is independent of ح، و Fص. (ح.F) is called the restriction P |يو ∈ Diff (يو م |يو, ن |يو) من ص ل يو.

Let ℰ be the sheaf of rings U ↦ ℰ U . The mapping يو ↦ Diff(يو م |يو, ن |يو) is clearly a sheaf of ℰ -Modules ([P2], section 5.3.1 ).

(III) P oint distributions يترك ص ∈ Diff (ب). For every بΒ, F ↦ (ص.F) (ب) is a distribution with support in <ب>, written as ص (ب). We say that it is a point distribution at ب, and so Diff (ب) is said to be a field of point distributions. The local expression (see (I)) of a point distribution at ب of order ص يكون

The set of point distributions at ب is an ℰ B -module, written as T b ∞ B , and T ∞ B = ⊕ b ∈ B T b ∞ B is the ℰ B -module of distributions with finite support in ب. The above shows that T ∞ B = Γ B Diff B . We have the following result ( [SCH 66] , Chapter 3 , section 10, Theorem 35):

Any distribution on ℝ n whose support is contained in <0>is a finite linear combination of the Dirac distribution and its derivatives.

We can extend the notion of a finitely supported distribution to the case where Β is a Banach ك -manifold of class C ص ( [BOU 82a] , section 13). It might seem tempting to define a compactly supported distribution more generally as a continuous linear form on ℰ B but this would require us to define a “good” locally convex topology on the latter space, which is surprisingly difficult (see [KRE 76] ).


Book Description

Aims to construct the inverse problem theory for ordinary non-self-adjoint differential operators of arbitary order on the half-line and on a finite interval. The book consists of two parts: in the first part the author presents a general inverse problem of recovering differential equations with integrable coefficients when the behaviour of the spectrum is arbitrary. The Weyl matrix is introduced and studied as a spectral characteristic. The second part of the book is devoted to solving incomplete inverse problems when a priori information about the operator or its spectrum is available and these problems are significant in applications.


1 إجابة 1

The two notions are equivalent in the characteristic zero (smooth! as pointed out by Mariano in the comments) case. The reason they're equivalent basically boils down to the Leibniz rule: $xpartial_x-partial_xx=1$ in the ring of differential operators. Here's a sketch of the proof for the case of the $n$-dimensional Weyl algebra, defined by $W_2=klangle x_1,dots,x_n,y_1,dots,y_n angle/([x_i,y_i]-1,[x_i,x_j],[y_i,y_j]),$ which is the ring of differential operators on $A=k[x_1,dots,x_n]$:

Let $Tin mathrm_k(A)$ such that the $m+1$-fold commutator with any $m+1$ elements of $A$ is zero, but the $m$-fold commutator is not. Pick the following basis of $W$ as a left $A$-algebra: $y_1^y_2^cdots y_n^$. Use the list of basis vectors such that $sum i_j=n$ to determine the $A$-coefficients of each of these terms in $T$ by setting the first $i_1$ of $a_j$ to be $x_1$, and so forth. Subtract the resulting linear combination of differential operators from $T$ to obtain a differential operator of order $leq n-1$, and repeat. Eventually you have $T$ written as an element of the subalgebra of $mathrm_k(A)$ generated by $A$ and $mathrm(A)$.


شاهد الفيديو: الحل العام للمعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة (شهر اكتوبر 2021).